Vectores Livres no Plano e no Espaço
uu
O vector livre representa todosos segmentos orientados que têm:
a mesma direcção
o mesmo sentido
o mesmo comprimento
O vector livre representa todosos segmentos orientados que têm:
a mesma direcção
o mesmo sentido
o mesmo comprimento
• Operações com vectores
1. Adição
u v
Regra do paralelogramo
u
v
vu
Regra do Triângulo:
u
v
vu
u
v
uv
Casos particulares• Mesma direcção e sentido
• Mesma direcção e sentido oposto
Propriedades da adição
u
v
vu
u
v
uv
• Propriedade Comutativa
uvvu
• Propriedade Associativa
wvuwvu
u
v
vu
w
wvu
u
v
wv
w
wvu
• Elemento Neutro
vovvo
• Simétrico
ovvvv
)()(
Nota:O vector nulo
tem direcção e sentido
indeterminados
Vectores Equipolentes: São vectores que têm a mesma
direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento
Norma de um vector – Chama-se norma de um vector á medida de comprimento do vector e representa-se por || u ||
2. Produto de um número por um vector
Produto de um número k por um vector é um vector com:
• a mesma direcção de • a norma
• sentido
• Se ou então
v
v
vk
0 se - de
0 se de
kv
kv
0k ov
ovk
u
u
2
u
3
u
2
u
2
1
Propriedades
• Distributiva em relação à adição de vectores
vkukvuk
v
u
vu
vu
3
u
3
vu
33
v
3
Propriedades
• Distributiva em relação à adição de números
uhukuhk
u uuu
3232
u
5
u
2
u
3
uu
32
Propriedades
• Associativa
ubauba
u uu
623
u
2
u
6
u
6
3. Soma de um ponto com um vector
Au
u
B
BuA
uAB
A soma de um pontocom um vector é
um ponto
A diferença de dois pontos é um
vectorABAB
Dois vectores não colineares constituemUma base, porque é possível exprimir
Qualquer outro vector a partir destes dois
Dois vectores não colineares constituemUma base, porque é possível exprimir
Qualquer outro vector a partir destes dois
ef
Dois vectores não colineares constituemuma base, porque é possível exprimir
qualquer outro vector a partir destes dois
Dois vectores não colineares constituemuma base, porque é possível exprimir
qualquer outro vector a partir destes dois
ef
v
vfv
2
ev
1
fvevv
21
21 ,vvv
ef
v
v
fv
2
ev
1
fvevv
21
21 ,vvv
ef
v
v
fv
2
ev
1
fvevv
21
21 ,vvv
ef
v
vfv
2
ev
1
fvevv
21
21 ,vvv
ef
v
f
0 ev
1
fevv
01
0,1vv
v
01 v
ef
v
f
0
ev
1
fevv
01
0,1vv
v
01 v
ef
v
fv
2
e
0
fvev
20
2,0 vv
v
02 v
ef
v
fv
2 e
0
fvev
20
2,0 vv
v
02 v
ij
2,3v
P(3,2)
Norma de um VectorA norma de um vector é a medida de
comprimento desse vector e é dada por:
• Plano – sendo o vector u=(u1,u2) vem
|| u || =
• Espaço – sendo u=(u1,u2,u3,) vem
|| u || =22
22
1 3uuu
22
21 uu
e
f
Bases Ortonormadas
Referencial Ortonormado
1, fefefe
1,,0 fefefe
Só vectores
Pontos e vectores
NO PLANO
1e2e
Bases Ortonormadas
Referencial Ortonormado
Só vectores
Pontos e vectores
NO ESPAÇO
1,, 321321321 eeeeeeeee
1,,, 321321321 eeeeeeeeeO
3e
ij
BvA
A(-2,-2)
B(4,1)
A soma de um ponto com um vector é um ponto
1,43,62,2 BvA
Para somar um ponto com um vector,somam-se as respectivas coordenadas
1,43,62,2
ij
2,21,4 ABAB
A(-2,-2)
B(4,1)
3,621,24
A diferença de dois pontos é um vector
ij
vuw
A soma de dois vectores numa base
4,73,21,5 wvu
3,2v
1,5u
4,73,21,5
Para somar dois vectores, basta somarordenadamente as coordenadas
Propriedades da adição numa base ji ,
juiuu
21 jvivv
21
Propriedade Comutativa
juvivjuiuvu
2121
jvjuiviu
2211
jvuivu
2211
juviuv
2211
uv
uvvu
Verificam-se todas as propriedades da adição de vectores
ij
Produto de um número por um vector
v
6,92,333
2,3
vv
3 9
2
6
Para multiplicar um vector por um número,multiplica-se esse número pelas coordenadas