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Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 1
1
1 CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO
VVEECCTTOORREESS
William Rowan Hamilton
El matemático más eminente de los pueblos de habla inglesa, después de Isaac Newton, es William Rowan Hamilton, que nació en 1.805 y murió en 1.865. Su fama ha sufrido vicisitudes curiosas. Durante su vida fue aclamado, pero no entendido. Después de su muerte su reputación empezó a declinar y se llegó a ser tenido como figura de segunda categoría. En el siglo XX ha tenido lugar una revitalización extraordinaria del interés y la estima por él. Debido a los métodos educativos de su tío o a sus propios dones naturales, lo cierto es que se cuenta que a la edad de tres años William podía leer ya inglés fácilmente. A los cinco era capaz de traducir latín, griego y hebreo. A los ocho había añadido el italiano y
el francés a su lista. Antes de tener diez años estaba ya estudiando árabe y sánscrito. A la edad de catorce escribió una carta en persa al
embajador persa, entonces de visita en Dublín. William se decidió a dedicar su vida a las matemáticas. "Nada", afirmó más tarde, "ensalza la mente de igual manera o eleva al hombre de sus iguales como las investigaciones de la ciencia. ¿Quién es el que no preferiría tener la fama de Arquímedes que la de su conquistador Marcelo?.. Hamilton llegó a conjeturar que en el espacio de tres dimensiones un vector podría ser representado por un conjunto de tres números, de la misma forma que un vector en un plano es expresado en un par. Trató de encontrar la cuarta proporcional multiplicando ternas, conjuntos de tres números, pero encontró dificultades. Los miembros más jóvenes de la casa de Dunsink participaban con afecto en las esperanzas y desengaños de su ilustre padre, a medida que las investigaciones tenían lugar. William Edwin, de nueve años y Archibald Henry, de ocho solían preguntar en el desayuno: "¿Qué, papá, puedes multiplicar ya ternas?" A lo cual se veía obligado a contestar, sacudiendo tristemente su cabeza: "No, sólo los puedo sumar y restar". Un día, paseando de Dunsink a Dublín, Hamilton se dio cuenta repetidamente de la respuesta. Las operaciones geométricas de los espacios de tres dimensiones requerían para su descripción no conjunto de tres, sino de cuatro números. A fin de especificar la operación necesaria para convertir un vector en otro en el espacio, era necesario conocer cuatro números: (1) la relación entre la longitud de un vector y la del otro, (2) el ángulo entre ellos, (3) el nodo y (4) la inclinación del plano en el que estos vectores se encuentran.
Para un líder… como TÚ
Sé sumiso y rebelde. Sumiso para aceptar la vida, rebelde para transformarla. De corazón grande para sufrir, pero indómito frente al error y la injusticia. No doblegarse ni partirse: morir en pie. No tengas complejo de víctima. Sé tan fuerte que nadie pueda herirte, Sé tan noble que nadie pueda ofenderte, Sé tan valiente y humilde, que haga falta una gran cruz para crucificarte.
El Pez García - Salve
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.
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2
DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE UUNN VVEECCTTOORR EENN RR22 YY RR
33
Para denotar un vector se emplean las primeras o las últimas letras minúsculas
del alfabeto en negritas como son: {a, b, c, d,..., u, v, w.}
En ocasiones se utilizan pares de letras mayúsculas solo cuando se conoce el
punto inicial y el punto final.
Ejemplos 𝐴𝐵 , 𝐶𝐷 , 𝑃𝑄 . La primera letra denota el punto inicial y la segunda el punto final del vector, y no
necesariamente tiene que seguirse el orden alfabético.
Ejemplos 𝑅𝑄 , 𝐷𝐴 , 𝑆𝐵 .
Sugerencia didáctica
EESSCCAALLAARR
Un escalar es sencillamente un número real, o bien, una cantidad que solo
tiene magnitud. Un escalar se emplea para definir magnitudes como la
Temperatura, el área, el volumen, que no requieren más que un sistema
dimensional apropiado. Por ejemplo 37 m2.
Ejemplos: {… -2 , -1 , 0 , ¼ , 1 , 2 …}
VVEECCTTOORR
Es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. Se emplean para
indicar un desplazamiento, velocidad, fuerza. Se representa mediante una
flecha o un segmento de recta dirigido.
Formar equipos y leer durante 15 minutos, pag 3-7, en forma individual
y hacer su propio resumen, enseguida
hacer su resumen por equipo y seleccionar
uno para su exposición
1.1
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.
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3
VVEECCTTOORREESS EENN EELL PPLLAANNOO ((xx ,, yy)) OO VVEECCTTOORREESS EENN RR22..
Un vector bidimensional se define por sus componentes:
v = < v1, v2>.
Donde: Gráficamente: vx = v1 = x2 – x1
vy = v2 = y2 – y1.
El vector v tiene su punto inicial en el origen
por ello recibe el nombre de vector de
posición normal; también decimos que
cuando un vector se denota por el símbolo
< , >, es un vector con punto inicial en el
origen.
Tenemos otros vectores que tienen su punto inicial distinto de (0,0) como se ilustra
en la figura 1.1.1-2.
MMAAGGNNIITTUUDD DDEE UUNN VVEECCTTOORR ((LLOONNGGIITTUUDD))..
1.1.1
1.1.2
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.
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4
La longitud de un vector se calcula aplicando el teorema de Pitágoras, ya que
dicha magnitud corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y sus
lados son las componentes v1 y v2, como se muestra en la figura 1.1.2-1
En equivalencia con dicho teorema se tiene:
hip = 22 .)(.)( adycatetoopcateto || v || = 2
2
2
1 )()( vv
VVEECCTTOORREESS EENN EELL SSIISSTTEEMMAA TTRRIIDDIIMMEENNSSIIOONNAALL ÓÓ VVEECCTTOORREESS EENN RR33..
VVEECCTTOORREESS EEQQUUIIVVAALLEENNTTEESS
Dos o más vectores son equivalentes, solo cuando su dirección y su
magnitud sean iguales.
PQv
1 2 2 1 2 1, ,v v x x y y
MMAAGGNNIITTUUDD OO LLOONNGGIITTUUDD DDEE UUNN VVEECCTTOORR
Para indicar la magnitud de un vector se utiliza la notación ||v|| y se calcula:
2 2
1 2( ) ( )v vv
2 2
2 1 2 1( ) ( )PQ x x y y
1.1.3
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.
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5
Los vectores en el sistema tridimencional (x, y, z) son conocidos también, como
vectores en el espacio. Este sistema esta compuesto por 8 octantes (Ver figura
1.1.3-1). Sus características más importantes se resumen de la siguiente manera:
EJEMPLO 1
El punto inicial y final de un vector RS son R (3,-1,4) y S (2, -5, 3), hallar el punto
final de su vector equivalente PQ , si P (4, 3, 3). Graficar ambos vectores.
Solución
11.. SSUUSS CCOOMMPPOONNEENNTTEESS SSOONN::
v = <v 1 , v 2 , v 3 > = < x2 – x1, y2 – y1, z2 - z1 >
22.. LLOONNGGIITTUUDD::
|| v || = 2
3
2
2
2
1 vvv
|| PQ || = 2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxx
33.. IIGGUUAALLDDAADD DDEE VVEECCTTOORREESS
Sean u = 3,2,1 uuu y v = 321 ,, vvv vectores en el espacio, entonces
u = v si y solo si u1= v1, u 2 = v 2 y u 3 = v 3
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.
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6
Recordemos que dos vectores son equivalentes si:
RS = PQ
<x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1> = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1>
Sustituyendo los puntos, los cuales se designan como, inicial a R y final a S, de
manera análoga para PQ , inicial es P y final Q( x2, y2, z2 ) que es nuestra incógnita
2 2 22 3, 5 1 , 3 4 4, 3, 3x y z
2 2 21, 4, 1 4, 3, 3x y z
Igualando componentes correspondientes y despejando x2, y2 , z2
se tiene:
-1 = x2 - 4 -4 = y2 - 3 -1 = z2 - 3
4 -1 = x2 3 - 4 = y2 3 -1 = z2
x2 = 3 y2 = -1 z2 = 2
Por lo tanto: Q( 3, -1, 2 )
Comprobación. ¿Tienen la misma magnitud || RS || = || PQ || ?
|| RS || = 2 2 2(2 3) ( 5 ( 1) (3 4) || PQ || = 222 )32()31()43(
= 222 )1()4()1( = 222 )1()4()1(
= 1161 = 1161
= 18 = 18
|| || || ||RS PQ
R (3, -1, 4) , S (2, -5, 3)
Graficando RS y PQ :
z P (4, 3, 3) , Q (3, -1, 2)
Figura 1.7
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.
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7
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.
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8
EJEMPLO 2
Se desea construir un centro comercial que tenga la forma de un paralelogramo;
ya se tienen contemplados la ubicación de tres de sus vertices, cuyas
coordenadas son: A ( -1, 2 ), B ( 0, - 3 ), C ( 5, 1 ), hallar las coordenadas del
cuarto vertice que esta situado con rumbo al noreste aproximadamente:
Solución
Graficando los tres vertices conocidos se tiene:
Para obtener la posición exacta del cuarto vértice podemos considerar el vector,
BC en donde B punto inicial y C punto final, y así determinar el vector AD que
debe ser equivalente a BC
BC AD
< 5 - 0, 1 - (-3) > = < x2 - (-1), y2 – 2 >
< 5, 4 > = < x2 + 1, y2 – 2 >
Igualando componente a componente:
5 = x2 +1 4 = y2 - 2
-1 + 5 = x2 2 + 4 = y2
x2 = 4 y2 = 6
Por lo tanto las coordenadas exactas del cuarto vértice son: D (4, 6)
Comprobando: || || || ||BC AD
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.
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9
|| ||BC = 22 45 || ||AD = 22 45
= 22 1625 = 22 1625
= 41 = 41
|| || || ||BC AD
Enseguida, podemos observar como queda el paralelogramo completamente
trazado con el punto D
Ejercicios propuestos
11..11..22 CCOOMMPPOONNEENNTTEESS YY VVEECCTTOORREESS EEQQUUIIVVAALLEENNTTEESS EENN RR22 YY RR
33
En los ejercicios del 1-4,
a) expresar el vector v en componentes,
b) dibujar v con punto inicial en el origen.
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.
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10
En los ejercicios del 5-8, se dan los puntos inicial y final de un vector v.
a) Dibuje el segmento dirigido PQ .
b) Expresar v en componentes.
c) Dibujar el vector v con su punto inicial en el origen.
5. P(1,- 4), Q(5, 3)
6. P(7, -3), Q(-2, 4)
7. P(2, 5, -1) Q(-4, 3, 2)
8. P(-4, 6, 4) Q(-4, -2, 3)
En los ejercicios 9 - 11, se dan las componentes de un vector v y el punto inicial
de su vector equivalente, a) Hallar su punto final.
9. v = <-3,-2 >, punto inicial (2, 4)
10. v = <4,-1,3>, punto inicial (-2, 3, -1)
11. v = <2,-3,-1>, punto inicial (4, 0, 1)
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.
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11
12. Tres vértices de un paralelogramo en R2 son: (1, 3), (4, 1) y (9, 3); existen 3
formas diferentes de proyectar el paralelogramo. Halle los tres candidatos a un
cuarto vértice que los originan (véase la figura).
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
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12
OOPPEERRAACCIIOONNEESS CCOONN VVEECCTTOORREESS YY SSUUSS PPRROOPPIIEEDDAADDEESS..
MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIIÓÓNN DDEE UUNN VVEECCTTOORR PPOORR UUNN EESSCCAALLAARR..
EJEMPLO 1
Las componentes de un vector son: v = < 3, -2, 4 >, hallar:
a) 2v = < (2)(3) , (2)(-2) , (2)(4) > = < 6 , -4 , 8 >
b) - 3
1v = < -1 ,
3
2, -
3
4 >
c) 2
1 v = <
2
3 , -1 , 2 >
TAREA 1
Se desea la construcción de un kiosco al centro de una plaza en forma de
paralelogramo cuyas coordenadas son:
A ( -1, 2 ), B ( 0, - 3 ), C ( 5 , 1 ) y D ( 4, 6 )
Hallar las coordenadas del centro para dicha construcción.
Solución
Se localizan los puntos en el plano (x, y) para dar forma al parelogramo
Se define como el producto de un número real, por las componentes de un
vector. Sea v = <v 1 , v 2 , v3> y q un escalar, entonces el múltiplo escalar de v se
expresa:
q v = < q v 1 , q v 2 , q v 3 >
1.2
1.2.1
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
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13
Para determinar las coordenadas del centro trazaremos la bisectriz (diagonales)
entre 2 puntos, por ejemplo de B a D, obteniendo así, el vector BD sabemos que
al trazar las bisectrices del paralelogramo obtendríamos el punto medio, donde se
intercepten dichas rectas. Pero lo calcularemos analíticamente.
Considerando el vector BD , encontremos su punto medio;
BD = < x2 – x1 , y2 – y1 >
= < 4 – 0, 6 – (-3) >
= < 4, 9 >
Multiplicando a v por el escalar ½:
v = 1
2BD = < 2 ,
9
2 >
Sí v = BE ; ¿ E (x2, y2) ?
Verificando equivalencia:
v = BE
< 2, 9
2> = < x2 – 0, y2 – (-3) >
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
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14
Igualando componentes:
2 = x2 – 0 9
2= y2 + 3
x2 = 2 y2 = 3
2
Por lo tanto las coordenadas exactas del centro de la plaza son E ( 2, 3
2).
Ejercicios Propuestos
11..22..11 MMÚÚLLTTIIPPLLOO EESSCCAALLAARR
En los ejercicios 1 - 2, dibuje el múltiplo escalar de v.
1. v = < 3, -1 > a ) 2v b) -3v c)3
1v
2. v = < 2, -3, 2 > a) 4v b)2
1 v c)
3
2v
3. Obtenga un vector en la dirección opuesta que v = < 3, -1, 5 >, pero que tenga
a) 3
2de su longitud b)
4
5 de su longitud
SSUUMMAA DDEE VVEECCTTOORREESS..
Sean dos vectores u = <u1, u2, u3> y v = <v1, v2, v3> la suma de u + v se
expresa como:
u + v = < u1 + v1 , u2 + v2 , u3+ v3>
A u + v se le conoce como vector suma o vector resultante.
1.2.2
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
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15
Propiedades
1. u + v = v + u (Conmutativa)
2. u + (v + w) = (u + v) + w (Asociativa)
3. q (u + v) = qu + qv (Múltiplo escalar)
4. u + 0 = u (Neutro aditivo)
5. u + (-u) = 0 (Inverso aditivo)
Gráficamente:
Figura 1.2.2-1
EJEMPLO 1
Hallar 2a – 3b si a = < 3, -2, 5 > y b = < -2
1,
3
4, 1 >
2a = < 6, -4, 10 >
3b = < -2
3, 4, 3 >
2a - 3b = < 2
15, -8, 7 >
EJEMPLO 2
Utilice la figura 1.2.2-2 para hallar los vectores:
a) a + b + c b) a + ( b +c)
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
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16
Solución
Con la magnitud y dirección que tienen los vectores a, b, y c mostrados en la
Figura 1.2.2-2, se efectúan las sumas solicitadas.
EJEMPLO 3
Hallar los escalares a y b de tal forma que:
v = a u + b w, si v = < 3, 2 >, u = < 4, 3 > y w = < -2, 5 >
Solución
Sustituyendo:
< 3, 2 > = a < 4, 3 > + b < -2, 5 >
< 3, 2 > = < 4a, 3a > + < -2b, 5b >
< 3, 2 > = < 4a - 2b, 3a + 5b >
Igualando:
3 = 4a - 2b (1) 2 = 3a + 5b (2)
Despejando de (1) a a:
4a = 3 + 2b 3 1
4 2
a b
Sustituyendo el valor de a en (2)
3 1 9 32 3 5 5
4 2 4 2b b b b
13 9 1 2 12 =
2 4 4 13 26b b
1
26b
Sustituyendo el valor de b en (1):
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
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17
3 = 4a – 2(- )
4a = 3 – 13
1
a =
38
13 4 =
19
26a
Comprobación: Sustituyendo los valores de a y b en (1) y (2):
(1) 3 = 4( ) – 2(- ) (2) 2 = 4
3 ( ) +5 (- )
3 = 26
76 +
26
2 2 =
104
57 –
26
5.
3 = 3 2 = 2
Ejercicios Propuestos
11..22..22 SSUUMMAA DDEE VVEECCTTOORREESS
1. Escriba cada combinación de vectores como un solo vector
(a) PQ QR (b) RP PS
(c) QS PS (d) RS SP PQ
26
1
26
19
26
19
26
1
26
19
26
1
EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa
Todo el grupo resolverá el ejercicio 1 inciso a); y 7 de los propuestos y uno o
dos estudiantes lo resolverán en el pizarrón y se harán acreedores de 10%;
y a los tres primeros que terminen en su lugar antes que el del pizarrón se le
otorgarán 5% a cada uno.
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
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18
2. Copie los vectores de la figura y empléelos para dibujar los siguientes vectores.
(a) u + v (b) u - v
(c) v + w (d) w +v + u
3. Dado u = < 2, 2, 2> y v = < -3, 5, 2 >, encuentre un vector en la misma
dirección de: a) u + v, pero que tenga 4 veces su longitud; b) 2v – ½ u , pero que
tenga 5/4 veces su longitud.
En los ejercicios 4 - 5 hallar a) u + (v + w) , b) 2v + 3u c) || u - v || para los vectores
indicados. Ilustre geométricamente.
4. u = < 5, 1, –2 >, v = <- 2, 4, 6 >, w = < 3, 10, -8 >
5. u = < 4,- 3, 1 >, v = < 1, 2, 1 >, w = < 4, 5, -6 >
En los ejercicios 6 - 9, determinar los escalares a y b de manera tal que satisfaga
la igualdad v = au + bw, para los valores de:
u = < 1, 2 >, y w = < 1, -1 >.
6. v = < 2 ,1 > 7. v = < 0, 3 >
8. v = < 1, 1 > 9. v = < -1, 7 >
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 19
19
VVEECCTTOORREESS UUNNIITTAARRIIOOSS CCAANNÓÓNNIICCOOSS..
Los vectores unitarios canónicos son i, j, k, y se encuentran localizados sobre los
ejes coordenados x, y, z, respectivamente, debido a los valores de sus
componentes, ver figura 1.2.3-1
Sus componentes son:
i = < 1 , 0 , 0 >
j = < 0 , 1 , 0 >
k = < 0 , 0 , 1 >
Los vectores unitarios cónicos tienen magnitudes iguales a uno por lo que:
i = 1 j = 1 k = 1
Se emplean para denotar a los vectores como una combinación lineal, y poder
expresarlos de otra forma diferente a la que ya se ha empleado antes, es decir,
.v =< v1, v2, v3 >; esto es como escribir nuestros textos ya sea con letra cursiva o
bien con letra script, sin que por ello cambie el significado del mismo; así pues
expresamos también
v = v1 i + v2 j + v3 k
EJEMPLO 1
Si v = 3i + 2j + k, trace este vector normal.
Solución
1.2.3
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 20
20
Componentes de un vector, conocidos su magnitud y su ángulo
Si conocemos la magnitud de un vector v y el
ángulo que le da su dirección, entonces
podemos calcular sus componentes v1 y v2,
aplicando el teorema de Pitágoras y poder
expresar el vector como:
v = < v cos , v sen >
o bien,
v = v cos i + v sen j
Ejercicios propuestos
11..22..33 VVEECCTTOORREESS UUNNIITTAARRIIOOSS CCAANNOONNIICCOOSS
EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa
Todo el grupo resolverá el ejercicio 1 y los tres primeros que lo resuelvan se
harán acreedores de un 5%. Luego resolverán el ejercicio 7, y un estudiante
pasará al pizarrón a resolverlo y ganará 10%.
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 21
21
En los ejercicios 1-3 encuentre las componentes horizontal y vertical del vector
descrito.
1. Una niña tira de un trineo sobre la nieve ejerciendo una fuerza de 10 kg/f a un
ángulo de 45 con la horizontal. Represéntelo con un esquema.
2. Un avión despega con una velocidad aproximada de 150 km/hr. Con un ángulo
de 30 con respecto a la horizontal.
3. Un rifle, que imprime a la bala una velocidad inicial de 1200 pies/s, se dispara
con un ángulo de elevación de 6º. Halle sus componentes horizontal y vertical de
la velocidad.
4. Si v se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo 3
con el eje x
positivo y v =4, determine v en forma de componentes. :<2, 2 3 >
5. Si un niño jala un trineo por la nieve con una fuerza de 50 N ejercida a un
ángulo de 38° arriba de la horizontal, encuentre las componentes horizontal y
vertical de la fuerza.
6. Un mariscal de campo lanza un balón con ángulo de elevación de 40° y una
velocidad de 60 ft/s. encuentre las componentes horizontal y vertical del vector
velocidad. : 45.96 fts
En los ejercicios 7 - 8. Encuentre la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo
que forma con el eje x positivo. (Ver Figura 1.2.3-4)
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 22
22
En los Ejercicios del 9 - 12, suponga el siguiente hecho: si un avión viaja con
vector velocidad aparente Va con respecto del aire y la velocidad del viento es w,
entonces el vector velocidad del plano con respecto del suelo es Vg = Va + w (Ver
Figura 1.2.3-5. El vector Va es el vector velocidad aparente, mientras que Vg es
el vector velocidad real.
De aquí que la velocidad real: Vg = Va + w.
9. Suponga que el viento sopla desde el noroeste a 50 millas por hora y que el
piloto desea volar hacia el este a 500 millas por hora. ¿Cuál debe ser el vector
velocidad aparente del avión?
10. Repita el problema 9 con la frase hacia el oeste en vez de hacia el este.
11. Repita el problema 9, si el piloto desea volar al noroeste a 500 millas por hora.
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 23
23
12. Un avión vuela en dirección 32 norte-oeste con una velocidad relativa al aire
de 900 km/h. El viento sopla del suroeste a 100 km/h (ver Figura 1.2.3-6). ¿Cuál
es la verdadera dirección de vuelo y la velocidad respecto del suelo?
13. Ubicación Un ave vuela desde su nido 5 km en la dirección 60° al norte del
este, donde se detiene a reposar en un árbol. Luego vuela 10 km en dirección
sureste y se para en un poste telefónico. Utilice un sistema de coordenadas xy de
modo que el origen esté en el nido del ave, el eje x apunte hacia el este y el eje y
apunte hacia el norte.
a) ¿En qué punto se ubica el árbol?
5 5 3
: 5cos60 , 5 sen60 ,2 2
b) ¿En qué punto está el poste?
5 10 2 5 3 10 2: 5cos60 10cos315 ,5sen60 10sen315 ,
2 2
14. Una mujer camina al oeste en la cubierta de un barco a 3 millas/h. El barco se
mueve al norte a una velocidad de 22 millas/h. Encuentre la rapidez y la dirección
de la mujer respecto a la superficie del agua.
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 24
24
VVEECCTTOORR UUNNIITTAARRIIOO UU EENN LLAA MMIISSMMAA DDIIRREECCCCIIÓÓNN DDEELL VVEECCTTOORR vv..
EJEMPLO 1
Hallar un vector unitario u que tenga la dirección que v = 2i + 3j – 3k, compruebe
que tiene magnitud igual a uno.
Solución
||v|| = 2 2 2
2 3 3 = 22
u = 2 3 3
22 22 22
v
v i j k
Comprobación:
||u|| =
222
22
3
22
3
22
2
= 1
22
22
22
9
22
9
22
4
Un vector unitario u tiene longitud igual a uno y la misma dirección que un
vector v = < v1, v2, v3 > si:
1.2.4
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 25
25
Ejercicios Propuestos
11..22..44 VVEECCTTOORREESS UUNNIITTAARRIIOOSS
En los ejercicios 1 y 2, encuentre un vector unitario, a) en la misma dirección de v
y b) en la dirección opuesta de v.
1. v = < 4, -1, 3 > 2. v = < 3, -4, 2 > 3. v = 8i –j + 4k
En los ejercicios 4 y 6, u = < 3, 0, -2 > y v = < 1, -2, 2 >. Halle un vector unitario
que tenga la misma dirección del vector indicado.
4. u - v 5. 2u + 2
1 v 6. 3v – 1/3 u
EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa
Todo el grupo resolverá el ejercicio 4, y un estudiante lo resolverá en el
pizarrón y se hará acreedor de 10%; y a los tres primeros que terminen en su
lugar antes que el del pizarrón se le otorgaran 5% a cada uno.
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 26
26
VVEECCTTOORREESS PPAARRAALLEELLOOSS..
EJEMPLO 1
Diga si los siguientes vectores son paralelos:
u = 4,2,3 , v = 5,4,6
Solución:
Comparamos a las primeras componentes de cada vector y observamos que la del vector u es menor, por ello elegimos la relación q u = v Despejamos q:
q = 1
1
v
u =
3
6 = 2
q = v
u q =
2
2
v
u =
2
4= 2
q = 3
3
v
u =
4
5
Dado que una de las q tiene diferente valor, entonces se dice que u y v no son
paralelos, no existe el escalar q que los iguale.
EJEMPLO 2
Dados los vectores u = 3, 2, 4 y v = 6, 4, 8 , diga si son paralelos.
Dos vectores u y v son paralelos si existe algún escalar que pueda
multiplicar a alguno de los dos vectores para igualarlos en magnitud y en
dirección.
u = q v ó bien q u = v
1.2.5
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 27
27
Solución
Elegimos la igualdad q u = v Despejamos q: sustituimos los valores de las componentes
q = 1
1
v
u=
3
6 = 2
q =v
u q =
2
2
v
u=
2
4 = 2
q = 3
3
v
u=
4
8 = 2
u y v son paralelos, existe el escalar q que es 2u = v.
Ejercicios propuestos
11..22..55 VVEECCTTOORREESS PPAARRAALLEELLOOSS.. 1. Determine cuales de los siguientes vectores son paralelos a u = 2i + 2j - 4k. a) v = i + 2j - 3k b) b) v = -4i - 6j - 2k c) v = i + j - 2k
d) v = 4i + 4j - 8k e) v =2
1i + j - 2k
2. Obtenga un escalar c de manera que a = 3i + cj - 6k y b = -i + 9j + 2k sean
paralelos.
En los ejercicios 3 y 4 encuentre un vector v que sea paralelo al vector dado y
tenga la magnitud indicada.
3. u = 2
1i -
2
1j -
2
1k, ||v|| = 3
4. u = 3i + 7j + 6 k, ||v|| = 2
EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa
Todo el grupo resolverá el ejercicio 2, y un alumno pasará al pizarrón a resolverlo.
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 28
28
5. Demuestre que los tres puntos P (0, -2, 4), Q (1, -3, 5) y R (4, -6, 8) están
en una sola línea recta.
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 29
29
PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR YY VVEECCTTOORRIIAALL..
PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR OO PPRROODDUUCCTTOO PPUUNNTTOO..
PPrrooppiieeddaaddeess DDeell PPrroodduuccttoo PPuunnttoo
1. u v = v u (Conmutativa)
2. u (v + w ) = u v + u w (Distributiva)
3. u 0 = 0
4. u u = ||u||2
5. q (u v ) = q u v = u q v q es un escalar
Las demostraciones de las propiedades se dejan como ejercicios.
EJEMPLO 1
Hallar u v si u = 3 , -1 , 5 y v = -4 , 3 , -2
Solución
u v = (3)(-4) + (-1)(3) + (5)(-2) = -25
Una de las interpretaciones geométricas del producto punto u v en términos del
ángulo entre u y v, que se define como el ángulo entre las representaciones de
u y v que empiezan en el origen como se ilustra en la figura 1.3.1-1, se define en el
siguiente teorema.
DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN
Dados dos vectores u =< u1 , u2 , u3 > y v = < v1 , v2 , v3 > el producto
escalar o producto punto se define por:
u • v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = ESCALAR
El resultado del producto escalar es siempre un escalar, cuya
interpretación geométrica y física se verá más adelante.
1.3
1.3.1
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 30
30
Demostración
Si se aplica la ley de los cosenos al triángulo formado en la figura 1.3.1-1 se
obtiene el teorema. Se deja al lector la demostración.
Ángulos posibles formados entre dos vectores
EJEMPLO 2
Si los vectores u y v tienen magnitudes 2 y 5, y el ángulo entre ellos es 3
,
encuentre •u v .
TEOREMA 1
Si es el ángulo entre los vectores u y v, entonces
• cosu v u v
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 31
31
Solución
Con el teorema 1, se tiene
1
• cos 2 5 53 2
u v u v
EJEMPLO 3
Determine el ángulo entre los vectores
u = 2i +3j -2k y v = 4i + j – 3k
Solución
Calculamos las magnitudes de u y v
22 22 3 2 17u 22 24 1 3 26v
y el producto punto
2 4 3 1 2 3 17u v
Sustituimos en
17cos
17 26
u v
u v
Por lo tanto el ángulo entre u y v es
1 17cos 36.04
17 26
CCAALLCCUULLOO DDEELL AANNGGUULLOO EENNTTRREE DDOOSS VVEECCTTOORREESS (( 22 )) La fórmula del teorema 1 permite hallar también el ángulo entre dos vectores
no nulos, despejando se tiene
•cos
u v
u v
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 32
32
EJEMPLO 4
Dados los vectores u = 3i – 2j + k, y v = 4i + 2j – k, diga si son ortogonales.
Solución
Realizamos el producto escalar u v = 12 – 4 –1 = 7 observamos que u y v no son
ortogonales puesto que u v 0
EJEMPLO 5
Hallar el escalar q de tal manera que u y v sean ortogonales, siendo
u = 3i – qj + 3k y v = 2qi + qj + k
Solución
Multiplicamos con producto escalar a u y v:
u v = 6q – q2 + 3 = 0
Ordenando observamos que tenemos una ecuación de segundo grado
-q2 + 6q + 3 = 0
Utilizando la formula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas:
TTEEOORREEMMAA DDEE OORRTTOOGGOONNAALLIIDDAADD
Dos vectores u y v son ortogonales (perpendiculares) si y solo si:
u v = 0
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial.
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33
22
1
2
6 6 4 1 34 6 48
2 2 1 2
6 48 3 2 3 3 3.4641
2
0.4641
6.4641
b b ac
aq
q
q
q
Así los vectores u y v quedan expresados:
1. u = 3i + 0.46j + 3k v = -0.92i – 0.46j + k
2. u = 3i – 6.46j + 3k v = 12.92i + 6.46j + k
CCOOSSEENNOOSS DDIIRREECCTTOORREESS
Los ángulos directores de un vector u diferente de cero son los ángulos α, β y γ,
que u forma con los ejes positivos x, y y z (ver Figura 1.3.1-4).
Los cosenos de estos ángulos directores, cos α, cos β y cos γ, se llaman cosenos
directores de un vector u. si empleamos el cos θ con i en lugar de v, tenemos que
1 cos
uu i
u i u
De manera similar
2
3
cos
cos
j
k
uu
u j u
uu
u k u
EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa
Se deja al estudiante la comprobación del producto escalar
u • v = 0
1
2
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 34
34
Si se eleva al cuadrado las expresiones 1 y 2 y al sumarlas, se ve que
2 2 2cos cos cos 1
También un vector se puede expresar en términos de sus componentes
empleando los cosenos directores
1 2 3, , cos , cos , cosu u u u u u u
Factorizando cos , cos , cosu u
Por lo tanto cos , cos , cosu
u
EJEMPLO 1
Encuentre los ángulos de dirección del vector 2,2,1u
Solución:
Obtenemos 2 2 22 2 1 3u
sustituyendo en las ecuaciones 1 y 2, se tiene
2cos
3
2cos
3
1cos
3
de aquí que
1 2cos 48
3
1 2cos 48
3
1 1cos 70
3
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 35
35
Ejercicios Propuestos
11..33..11 PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR
PPRROODDUUCCTTOO PPUUNNTTOO En los ejercicios 1-6, calcular a) u • v b) u • u c)||u|| (v • w) d)(u • v) w
1. u = < 3 , 4 > v = < 2 , -3 > w = < 1 , 1 >
2. u = < 5 , 12 > v = < -3 , 2 > w = < -2 , 1 >
3. u = < 2, -3 , 4 > v = < 0 , 6 , 5 > w = < 3 , 1 , 3 >
4. u = 2i + j – 2k v = i – 3j + 2k w = -4i + 5k
5. ||u|| = 3 , ||v|| = 5 , ||w|| = 1, el ángulo entre v y w es 3
6. ||u|| = 4 , ||v|| = 6 , ||w|| = 3, el ángulo entre v y w es 45°
7. Encuentre el producto punto entre dos vectores si sus longitudes son 5 y 3
2
y el ángulo entre ellos es 4
VVEECCTTOORREESS OORRTTOOGGOONNAALLEESS
8. Determine que parejas de los vectores siguientes son ortogonales,
combinándolos entre sí.
a) < 2 , 0 , 1 >
b) 3i + 2j – k
c) 2i – j – k
d) i – 4j + 6k
e) < 1 , 1 , 1 >
f) < -4 , 3 , 8 >
9. Determine un escalar c de modo que sean ortogonales las parejas de
vectores indicados.
a) u = 4i – cj + 2k
v = 3i + 2j + 4k
b) u = < c , 1/3 , c >
v = < -2 , 4 , c >
10. Determine un vector v = < x , y , z > que sea ortogonal tanto a u = < 3 , 1 , -1
> como a w = < -3 , 2 , 2 >
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 36
36
AANNGGUULLOOSS EENNTTRREE VVEECCTTOORREESS
Calcular el ángulo entre los vectores de los ejercicios 11 a 14 con una
aproximación de centésimas de radián.
11. u = i + 2j – k , v = 2i + j = 0.75 rad
12. u = 2i – 2j + k , v = 3i + 4k
13. u = 3 i + j – 2k , v = 3 i - 7j = 1.77 rad
14. u = < -1 , 1 , 1 > , v = < 1 , 2 , 2 >
15. Use el producto punto para calcular los ángulos del triángulo cuyos vértices
A, B y C se indican.
a) A = ( -1 , 0 ) , B = ( 2 , 1 ) , y C = ( 1 , -2 )
A 63.43 B 53.13 C 63.43
b) A = ( 3 , -1 , 2 ) , B = ( 0 , 2 , -1 ) , y C = ( -2 , 2 , 3 )
c) A = ( 4 , 0 , 1 ) , B = ( -3 , 2 , 0 ) , y C = ( -1 , -3 , 1 )
16. Calcule las medidas de los ángulos entre las diagonales del rectángulo
cuyos vértices son A = ( 1 , 0 ), B = ( 0 , 3 ), C = ( 3 , 4 ) y D = ( 4 , 1 )
17. Calcular los ángulos de dirección α, β y γ de los vectores dados:
a) u = 3i – 2j + 4k
b) u = < 5 , -1 , 2 >
c) u = 5i + 3k
d) u = 2i + 3j – 6k
18. Si un vector tiene ángulos directores α = / 4 y β = / 3 , encuentre el tercer
ángulo director γ.
PPRROOYYEECCCCIIÓÓNN DDEE UUNN VVEECCTTOORR SSOOBBRREE OOTTRROO..
Una de las aplicaciones del producto escalar es el cálculo de la proyección de un
vector u sobre un vector v. Supóngase que el Sol está en el zenit (12:00 am),
1.3.21
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 37
37
como se ilustra en la Figura 1.3.2-1, deseamos saber la cantidad de sombra que
produce el vector u sobre el vector v que representaría el suelo en esta posición.
Podemos apreciar en la figura tres posiciones en general en las que se puede
manifestar la proyección.
Deducción: si cosu
vComp u (1)
PPRROOYYEECCCCIIÓÓNN EESSCCAALLAARR ÓÓ CCOOMMPPOONNEENNTTEE::
La cantidad de “sombra” proyectada del vector u = < u1 , u2 , u3 > sobre el
vector v = < v1 , v2 , v3 > la podemos calcular de la siguiente manera
•uComp ESCALARv
u v
v
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 38
38
Y si •
cosu v
u v
Sustituyendo cos en (1) se tiene que:
• •uCompv
u v u vu
u v v
EJEMPLO 1
a) Hallar la proyección escalar o componente del vector u sobre v.
si u = 2i – 3j + 3k y v = 2j + 4k;
b) Grafique los vectores u y v, luego señale en la gráfica la componente.
Solución:
• - 6 12 31.34
20 5
uCompv
u v
v
EJEMPLO 2
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
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39
Dados dos vectores a = 3i + j + 2k, c = 4i + 5j + k encontrar la proyección escalar
o componente del vector (a – c) sobre c:
Solución:
Estructuramos la fórmula
c(a-c)
a - c • cComp =
c
Formamos el vector a – c: a – c = <-1 , -4 , 1 >
Realizamos el producto escalar
( a – c ) c = -4 – 20 + 1 = -23
PPrrooyyeecccciióónn VVeeccttoorriiaall ddee uu ssoobbrree vv
Para obtener la proyección vectorial de u sobre v; se multiplica la componente
escalar por el vector unitario, con la finalidad de expresar dicha componente en
forma vectorial; de donde se obtiene la siguiente fórmula.
•uProyv
u v v
v v
Simplificando:
233 55
42
a c -Comp - .
c
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 40
40
2
•uProyv
u vv
v
PPrrooyyeecccciióónn OOrrttooggoonnaall ddee uu ssoobbrree vv
Esta proyección es la componente vertical del vector u expresada en forma
vectorial y se obtiene como la diferencia de los vectores u y la proyección
vectorial.
uuProy Proyv v u
EJEMPLO 3
Dados los vectores u = 3i – 3k, v = 2i – j + 5k y w = 3i + 2j + 4k
Hallar:
a) La proyección vectorial de ( 2w – v ) sobre u
b) La proyección ortogonal de ( 2w – v ) sobre u
c) La proyección escalar o componente de u sobre v
Solución
Hacemos nuestra fórmula
a) 2 -
2
2 - •Proy
uw v w v u
uu
2w = 6i + 4j + 8k , 2w – v = 4i + 5j + 3k
||u||2 = 18
2 -Proy
uw v
=
4 5 3 • 3 -3
3 -318
i j k i ki k
= 12-9 1 1 1
3 -3 3 -318 6 2 2
i k i k i k
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 41
41
2 -Proy
uw v
= ½ i – ½ k
b) 2 - Proy
uw v
= ( 2w – v ) - 2 -
Proyw v
u
Sustituyendo: 2 - Proy
uw v
= ( 4i + 5j + 3k ) – ( ½ i – ½ k )
2 - Proyu
w v =
2
7i + 5 j +
2
7 k
c) • • 6 15 9
30 30
uCompv
u v u vu
u v v
Graficando:
Figura 1.3.2-8
Ejercicios Propuestos
11..33..22 PPRROOYYEECCCCIIÓÓNN DDEE UUNN VVEECCTTOORR SSOOBBRREE OOTTRROO
En los ejercicios del 1 y 2 encuentre la componente del vector dado, en la
dirección que va del origen al punto indicado.
1. 4, 6 ;u P (3,10)
2. 3 2 u i j k P (-2,2,1)
y
z
x
v
u
w 2w-
v 2w vProy
u2w v
Proyu
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 42
42
En los ejercicios 3 y 4 determinar: a) la proyección vectorial del vector u sobre el
vector v; y b) la proyección ortogonal del vector u sobre el vector v.
3.
1, 2,7 u , 6, 3, 2 v
4. 4 2i j u , 3 v i j
En los ejercicios 5 y 6 se definen los vectores 5 3 u i j k y 4 2 v i k .
Obtenga el vector indicado.
5. u
u vProy 6. (2 )
v
u vProy
PPRROODDUUCCTTOO VVEECCTTOORRIIAALL OO PPRROODDUUCCTTOO CCRRUUZZ..
El vector resultante del producto cruz de u x v es un vector ortogonal a ambos vectores, a u y v, a diferencia del producto punto u v que es un escalar. Para calcular u x v. En forma de determinantes:
1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
i j k
u v i 1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
i j k
j 1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
i j k
k
2 3
2 3
u u
v v
u v i
1 3
1 3
u u
v v
j1 2
1 2
u u
v v
k
u x v = (u2v3 - u3 v2)i - (u1v3 - u3 v1)j + (u1v2 - u2 v1)k
DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN:: Sean dos vectores u = u1i + u2j + u3k y v = v1i + v2j + v3k en R3, el
producto vectorial entre ambos se definen como:
u x v = (u2v3 - u3 v2)i - (u1v3 - u3 v1)j + (u1v2 - u2 v1)k
1.3.3
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 43
43
Propiedades geométricas del producto vectorial
Si u y v son vectores no nulos del espacio y es el ángulo entre u y v, entonces
se verifican las siguientes propiedades:
1. u x v es ortogonal a ambos a u y v
2. ||uv|| = ||u|| ||v|| sen = Área del paralelogramo que tiene a u y v como lados
adyacentes.
3. El vector u x v es ortogonal a ambos vectores u y v, podemos demostrarlo
de la siguiente manera: (u x v) u = 0 (u x v) v = 0
PPRROOPPIIEEDDAADDEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS
1) u v ≠ v u
2) u ( v + w) = (u v) + (u w)
3) c (u v) = (c u) v = u (c v) c es un escalar
4) u 0= 0 u = 0
5) u u = 0
6) u • (v w) = (u v) • w
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 44
44
4.- u x v = 0 si y solo si u y v son múltiplos escalares el uno del otro.
EJEMPLO 1
Hallar el producto vectorial entre los vectores unitarios i, j, y k.
Solución Por la propiedad geométrica (2) se tiene que:
u v = (u1 i + u2 j + u3 k) x (v1 i + v2 j + v3 k)
i i = || i || || i || sen 0° = (1) (1) 0 = 0
j j = 0
k k = 0
i j = || i || || j || sen 90° = (1) (1) (1) =1k
j i = || j || || i || sen (- 90°) = (1) (1) (-1) = -1k
i k = || i || || k || sen (- 90°) = (1) (1) (-1) = -1j
k i = || k || || i || sen ( 90°) = (1) (1) (1) = 1j
j k = || j || || k || sen ( 90°) = (1) (1) (1) = 1i
k j = || k || || j || sen (- 90°) = (1) (1) (-1) = -1i
EJEMPLO 2
Dados los vectores u =-i + 2j – 4k y v =5i – 3j + 2k hallar:
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 45
45
a) Un vector ortogonal a u y v.
b) El área del paralelogramo que tiene a u y v como aristas adyacentes.
Solución
Efectuamos el producto vectorial, con el método de determinantes:
1 2 4
5 3 2
i j k
u v
u x v = [ (2) (2) – (-4)(-3) ]i - [ (-1) (2) – (-4)(5) ]j + [ (-1)(-3) – (2)(5)]k
= [ 4 - 12 ]i – [-2 + 20 ]j + [3 - 10 ]k - 8 i –18 j - 7 k
a) u x v = - 8 i –18 j -7 k
b) || u x v || = 2227188 = 437 = 20.90
EJEMPLO 3
Hallar el área del triángulo que tiene vértices en A (4, -2, -2), B (1, 3, 1) y C (-3, -3, 2).
Solución
Formamos los vectores AB y AC y trazamos el triángulo:
AB = ( 1 - 4)i + ( 3 + 2) j + (1 + 2)k = -3i + 5j + 3k
AC = (-3 - 4)i + (-3 + 2) j + (2 + 2)k = -7i - j + 4k
3 5 3 20 3 – 12 21 3 35
7 1 4
AB AC
i j k
i j k
AB AC = 23 i -9 j + 38 k
|| AB AC || = 2054 rea = 1 20542
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial
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46
Ejercicios Propuestos
11..33..22 PPRROODDUUCCTTOO VVEECCTTOORRIIAALL
En los ejercicios 1-4 determine u x v.
1. u=<1,-3,1> , v=<2,0,4>
2. u=<1,1,3> , v=<5,-2,1>
3. u=<2,-1,2> , v=<-1,3-1>
4. u= 4i + 3j , v= 5j + 3k
En los ejercicios 5 - 7 encuentre el vector perpendicular al plano que pasa por los
puntos P, Q y R dados.
5. P(2,1,3), Q(0,3,-1), R(1,2,4)
6. P(3,0,0), Q(2,-3,1), R(4,-1,0)
7. P(1, 4, 6) Q(-2, 5, -1) R(1, -1, 1)
8. Sean u = <2,0,-1>, v = <-3,1,0>, y w = <1,-2,4>
Haga la determinación u ∙ (v x w) y (u x v) ∙ w
9. Demuestre que (u x v) ∙ v = 0 para los vectores u y v del ejercicio 7.
10. Emplee los vectores del ejercicio 3 para hallar u x v y v x u (demostración de la
propiedad 5)
EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa
Todo el grupo resolverá los ejercicios 5 y 8, y un alumno pasará al pizarrón a
resolverlos.
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 47
47
TTRRIIPPLLEE PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR..
TTRRIIPPLLEE PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR..
Sean tres vectores u = u1 i + u2 j + u3 k y v = v1 i + v2 j + v3 k w = w1 i + w2 j + w3 k,
el triple producto escalar se puede escribir y resolver como un determinante como
se define a continuación:
o bien, puede resolver los productos por separado, es decir, primero v x w y el
vector resultante se hace producto punto con el vector u
IInntteerrpprreettaacciióónn ggeeoommééttrriiccaa
El volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes a los vectores
u, v y w se calcula con el valor absoluto del triple producto escalar:
Donde:
El área de la base A = || v w ||
es el ángulo entre u y v w.
La altura del paralelepípedo es
h = ||u|| cos
Por lo tanto el volumen del paralelepípedo
V = Ah = || v w || ||u|| cos
=|| u (v w) ||
V = | u (v w) |
u • ( v w ) = Escalar
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( )
u u u
v v v
w w w
u v w
uv w (v2w3 – w2v3)u1 - (v1w3 – w1v3)u2 + (v1 w2 – w1 v2) u3
1.4
1.4.1
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.
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48
EJEMPLO 1
Hallar el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes a:
u = 2i – 3j + 4k , v = 5i – j + 2k , w = 4i + 2j + k
Solución
Acomodamos las componentes de u, v, y w.
2 3 4
( ) 5 1 2
4 2 1
u v w
u v w = 2[(-1)(1) – (2)(2)] + 3[5 - 8] + 4[10 + 4] = -10 – 9 + 56 = 37
Volumen = 37
EJEMPLO 2
Hallar el volumen del tetraedro con vértices en A(3, -2, 0), B(2, 4, -3), C(5, 0, 0) y
D(-2, -2, 3), sabiendo que su volumen es una sexta parte del volumen del
paralelepípedo.
Solución
De la fórmula VT = 6
1 |u v w|, formamos tres vectores que sean aristas
adyacentes del tetraedro:
AB = <-1, 6, -3> AC = <2, 2, 0>
AD = <-5, 0, 3>
1 6 3
( ) 2 2 0
5 0 3
1 6 0 6 6 0 3 0 10 72
72 72
7212
6T
AB AC ADV
V
V
V
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.
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49
Ejercicios Propuestos
11..44..11 TTRRIIPPLLEE PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR
En los ejercicios 1 y 2, usar el producto mixto para calcular el volumen del
paralelepípedo con lados adyacentes u, v, w.
1. u=i+j 2. u=<1,3,1>
v=j+k v=<0,5,5>
w=i+k w=<4,0,4>
3 Calcular el volumen del paralelepípedo con los vértices dados: a) (1,1,1), (1,9,2), (4,0,0), (5,9,2)
( 2,3,7), (-1,8,5), (3,0,4), (4,9,6)
b) (0,0,0), (3,0,0), (0,5,1), (3,5,1)
(2,0,5), (5,0,5), (2,5,6), (5,5,6)
c) (1,1,1), (4,0,1), (-2,2,-5), (8,0,9)
4. (-1,-10,5), (3,2,8), (2,-7,0), (1,4,2)
En los ejercicios del 4-6 , Calcular el volumen del tetraedro cuyos vértices son 5. (3, 2, -2), (0, -3, -1), (2, 2, 1), (-2, -2, 3).
6. (0,-3,-4), (1, 1, 0), (0, 0, 0), (-1, 3, 4).
7. (-4, 4, 2), (0, -5, 5), (-2, 0, 2), (3, 2, -3)
W
U
V
U
W
V
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.
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50
AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS FFIISSIICCAASS YY GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE LLOOSS
PPRROODDUUCCTTOOSS EESSCCAALLAARR YY VVEECCTTOORRIIAALL..
ÁÁNNGGUULLOO EENNTTRREE DDOOSS VVEECCTTOORREESS.. Como ya se dijo en la sección 1.3.1, una de las aplicaciones del producto
escalar, es el cálculo del ángulo entre dos vectores u y v , donde
•cos
u v
u v
EJEMPLO 1
Hallar los ángulos del triángulo que tiene los vértices A ( 3 , -1 , 1 ), B ( 0 , 3 ,
-1 ) y C ( -2 , 1 , 3 ).
Solución:
Primero trazamos el triángulo, para seleccionar el ángulo a calcular, como se
muestra en la Figura 1.5.1-3
Calculando el angulo A: hacemos dos vectores AB y AC :
AB = -3 , 4, -2
AC = -5 , 2, 2
cos
AB ACA
AB AC=
3329
4-8+15 = 0.6142
1 0.6142 52.1A Cos
1.5
1.5.1
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.
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51
Calculando el ángulo B:
BA = < 3 , -4 , 2 > y BC = < -2 , -2 , 4 >
6 8 8cos
29 24
BA BCB
BA BC
= 10 / 25.382 = 0.379
10.379 67.72 1 80B Cos C A B
1 80 52.1 67.72C
60.18C
IINNTTEERRPPRREETTAACCIIOONN FFÍÍSSIICCAA DDEELL PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR..
Cuando una fuerza constante de magnitud F hace mover un objeto una distancia d
en la misma dirección de la fuerza, el trabajo realizado es simplemente:
Sin embargo, si una fuerza constante F aplicada a un cuerpo actúa formando un
ángulo θ con la dirección del movimiento, entonces el trabajo realizado por F se
define como el producto de la componente de F en la dirección del
desplazamiento y la distancia d que recorre el cuerpo;
1.5.2
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.
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52
cos cosd dW F F
Si F causa un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es:
• dW F
EJEMPLO 1
Determinar el trabajo realizado por una fuerza constante F = 2i + 4j, si su punto de
aplicación en un bloque se traslada de A (1, 1) a B (4, 6). Suponga que F está
medida en Newtons y d está en metros.
Solución
Observemos que la fuerza está expresada como vector, por lo tanto la distancia
también tenemos que expresarla como vector, de aquí que:
d = AB = B – A = (4 –1)i + (6 – 1)j = 3i + 5j
De esta forma, empleamos la fórmula:
• (2 4 )• (3 5 ) 6 20 26W F d i j i j
26 W N m
Ejercicios Propuestos
11..55..22 IINNTTEERRPPRREETTAACCIIÓÓNN FFÍÍSSIICCAA DDEELL PPRROODDUUCCTTOO PPUUNNTTOO YY PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR
1. Encuentre el trabajo realizado por una fuerza F = 8i – 6j + 9k que mueve un
objeto del punto ( 0 , 10 , 8 ) al punto ( 6 , 12 , 20 ) a lo largo de una línea
recta. La distancia se mide en metros y la fuerza en Newtons.
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 53
53
:144J
2. Un camión de remolque arrastra un auto a lo largo de un camino. La
cadena forma un ángulo de 30° con el camino y la tensión en la cadena es
de 1500 N. ¿Cuánto trabajo es realizado por el camión al tirar del auto 1
kilometro?
3. Un trineo es jalado por una cuerda lo largo de un sendero nivelado. Una
fuerza de 30 libras que actúa a un ángulo de 40° sobre la horizontal mueve
al trineo 80 pies. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza.
:1839 / lft b
4. Un bote navega al sur con ayuda de un viento que sopla en la dirección .
S 36° E con una magnitud de 400 libras. Encuentre el trabajo realizado por
el viento cuando el bote se mueve 120 pies.
AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEELL PPRROODDUUCCTTOO VVEECCTTOORRIIAALL.. ÁÁRREEAA DDEE UUNN
PPAARRAALLEELLOOGGRRAAMMOO YY DDEE UUNN TTRRIIÁÁNNGGUULLOO EENN RR33..
Par de Torsión
La idea de un producto cruz ocurre con frecuencia en física. En particular, se
considera una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido en un punto dado por un
vector de posición r. (Por ejemplo, si se aprieta un perno aplicando una fuerza a
una llave como en la figura 1.5.3-1, se produce un efecto de giro). El par de torsión
τ (relativo al origen) se define como el producto cruz de los vectores de posición y
fuerza.
τ r F
y mide la tendencia del cuerpo a girar respecto al origen. La dirección par de
torsión indica el eje de rotación. De acuerdo con la propiedad geométrica 2 del
producto cruz de la sección 1.3.3, la magnitud del vector de par de torsión es
r r senτ F F
1.5.3
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 54
54
Donde θ es el ángulo entre los vectores de posición y fuerza. Observe que la única
componente de F que puede causar rotación es la que es perpendicular a r, es
decir, ||F|| sen θ. La magnitud del par de torsión es igual al área del paralelogramo
determinado por r y F.
EJEMPLO 1
Se aprieta un perno aplicando una fuerza de 50 N a una llave de 0.35 m como se
muestra en la figura 1.5.3-2. Encuentre la magnitud del par de torsión respecto al
centro del perno.
Solución
La magnitud del vector del par de torsión es
sen 0.35 50 sen 75 17.5sen 75 16.9r r N mτ F F
si el perno tiene cuerda derecha, entonces el vector par de torsión es
17.5n nτ τ
Donde n es un vector unitario con dirección hacia la página.
Ejercicios Propuestos
11..55 ..33 AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEELL PPRROODDUUCCTTOO VVEECCTTOORRIIAALL.. ÁÁRREEAA DDEE UUNN
PPAARRAALLEELLOOGGRRAAMMOO YY DDEE UUNN TTRRIIÁÁNNGGUULLOO EENN RR33
En los ejercicios 1 - 3: (a) Encuentre un vector perpendicular al plano determinado
por los puntos P, Q y R; (b) Calcule el área del triangulo determinado por P, Q y R.
1. P(-3, 0, 5), Q(2, -1 ,3), R(4, 1, -1)
2. P(1, -1, 2), Q(0, 3, -1), R(3, -4, 1)
3. P(-1, 2, 0), Q(0, 2, -3), R(5, 0, 1)
En los ejercicios 4 y 5, comprobar que los puntos son vértices de un
paralelogramo y calcular su área.
4. (1, 1, 1), (2, 3, 4), (6, 5, 2), (7, 7, 5)
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 55
55
5. (2, -1, 1), (5, 1, 4), (0, 1, 1), (3, 3, 4)
En los ejercicios 6 - 9, calcular el área del triangulo cuyos vértices se especifican.
(Guía): El área del triangulo con u y v como lados adyacentes es 2
1|| u x v ||.
6. (0, 0, 0), (1, 2, 3), (-3, 0, 0)
7. (2, -3, 4), (0, 1, 2), (-1, 2, 0)
8. (1, 3, 5), (3, 3, 0), (-2, 0, 5)
9. (1, 2, 0), (-2, 1, 0), (0, 0, 0)
En los ejercicios 10 – 11 encuentre || u x v || y determine si u x v está dirigido hacia
la página o hacia afuera de ésta.
24entrandoala página
12. Encuentre dos vectores unitarios ortogonales a < 1, -1, 1 > y < 0, 4, 4 >
2 1 1 2 1 1, , , ,6 6 6 6 6 6
13. Encuentre dos vectores unitarios a i + j + k y 2i + k.
14. Encuentre el área del paralelogramo con vértices C (1, 2, 3), D (1, 3, 6),
. E (3, 8, 6) y F(3, 7, 3)
Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 56
56
15. Un pedal de bicicleta es empujado por un pie con una fuerza de 60 N
como se ilustra en la figura 1.5.3-2. El eje del pedal es de 18 cm de largo.
Encuentre la magnitud del par de torsión respecto a P.
10.6 N m
16. Determine la magnitud del par de torsión respecto a P si se aplica una
fuerza de 36 lb como se ilustra a continuación.
17. Una llave de 30 cm de largo yace a lo largo del eje y positivo y sujeta un
perno en el origen. Se aplica una fuerza en la dirección < 0 , 3 , -4 > y al
final de la llave. Encuentre la magnitud de la fuerza necesaria para
suministrar 100 N·m de par de torsión al perno.
417 N
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 57
57
EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE RREECCTTAASS YY PPLLAANNOOSS..
EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE LLAA RREECCTTAA..
Nuestro objetivo principal en este tema es encontrar una ecuación de la recta que
nos permitirá graficarla en el espacio, a partir del conocimiento de un solo punto P
(x1, y1, z1) por el que deseamos pase dicha recta y definiremos a un vector de
posición normal v que le dará la dirección a nuestra recta suponiendo la existencia
de un punto Q de tal forma que v y PQ
deban ser paralelos.
a, b, c son números de dirección
v = < a, b, c > es el vector director
Si PQ es paralelo a entonces
PQ = t v
Donde t es un escalar denominado parámetro que al multiplicar a v puede
igualarlos.
Sustituyendo componentes:
< x- x1, y – y1, z – z1>= t < a, b, c>
Igualando componente:
x - x1 = a t y - y1 = b t z - z1 = c t
Despejando x, y, z tenemos:
Ecuaciones paramétricas de la recta
Si despejamos al parámetro t de cada ecuación paramétrica.
1xatx 1ybty 1zctz
1.6.1
1.6
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 58
58
Llegamos a las ecuaciones simétricas de la recta
EJEMPLO 1
Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas para la
recta que pasa por el punto P(3, -1, 3) y es paralela al vector v = 2i – j + 4k.
Solución
Identificamos los números de dirección a, b y c.
a = 2, b = -1, c = 4, x1 = 3 y1 = -1 z1 = 3
Así, determinaremos que las ecuaciones paramétricas son:
x = at + x1 y = bt + y1 z = ct + z1
x = 2t + 3 y = -t - 1 z = 4t + 3
Ecuaciones simétricas
1 1 1 x x y y z z
ta b c
3 1 3
2 1 4
x y zt
EJEMPLO 2
Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas y simétricas para la recta que pasa
por el punto P (4, -1, 5) y es paralela a los planos xz y yz.
Solución
El vector v que es paralelo a la recta es el unitario v = <0, 0, 1 > = k
Y por lo tanto las ecuaciones paramétricas
x = at + x1 y = bt + y1 z = ct + z1
x = 0t + 4 y = 0t + (- 1) z = 1t + 5
1 1 1 x x y y z z
ta b c
componente de PQt
componente de v
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 59
59
x = 4 y = -1 z = t + 5
Trazamos la recta con los diferentes puntos Q encontrados en la tabla adjunta.
Ecuaciones simétricas
c
zz
b
ty
a
xxt 211
1
5
0
1
0
4
zyxt
5 zt
4x , 1y
EJEMPLO 3
Determinar qué puntos de los que a continuación se dan, están en la recta L que
pasa por los puntos P(2, 0, -3) y Q(4, 2, -2).
a) (4, -1, -2) b) (5/2,½, -11/4 ) c) (-1, -3, -4)
Solución
Con los puntos P y Q formamos el vector director PQ v , así pues
2, 2, 1 Vector directorPQ
En la Figura 1.6.1-3 representamos los puntos P y Q por donde pasa la recta y
también se localizan los puntos A, B y C para plantear gráficamente este ejercicio.
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
t -2 -1 0 1 2
x = 4 4 4 4 4 4
y = -1 -1 -1 -1 -1 -1
z = 5 + t 3 4 5 6 7
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 60
60
De las ecuaciones simétricas. c
zz
b
yy
a
xxt 111
a) (4, -1, -2) = (x, y, z) sustituimos este punto en las ecuaciones simétricas.
12
4 2 1 0 2 31
2 2 1t t
(4, 1, 2) No está en L.
b) (5/2, ½, -11/4 ) = (x, y, z) sustituimos este punto en las ecuaciones simétricas.
411
21
25 ,,
4
14
14
1411
21
25
1
3
2
0
2
2tt Si está en L.
c) (-1, -3, -4)
3 32 2
1 2 3 0 4 31
2 2 1t t
( 1, 3, 4) No está en L.
EECCUUAACCIIOONNEESS DDEELL PPLLAANNOO..
De manera análoga a las ecuaciones de la recta, el objetivo de encontrar una
ecuación de un plano en el espacio es para poder graficarlo. Los elementos
mínimos necesarios para esto son el conocimiento de un punto P(x1, y1, z1) por el
que pase dicho plano y un vector n que sea normal (u ortogonal). Como se puede
observar en la Figura 1.6.2-1, la ortogonalidad es el principio básico para llegar a
nuestro objetivo.
1.6.2
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 61
61
Sustituyendo componentes en la ecuación 0PQ n se tiene
< x- x1, y – y1, z – z1> < a, b, c > = 0
Multiplicando escalarmente tenemos:
Ecuación canónica del plano
Si multiplicamos término a término obtenemos:
EJEMPLO 1
Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto (4, -2, 2) y tiene como
vector normal a n = 2i – j + 3k.
Solución
Identificamos las componentes a,b y c, así como:
x1 = 4 y1 = -2 z1= 2
a = 2 b = -1 c = 3
Sustituyendo en la ecuación canónica del plano:
a ( x - x 1) + b ( y – y1) + c ( z – z1) = 0
2 ( x – 4) - 1 ( y + 2) + 3 ( z – 2) = 0
2x - 8 - y – 2 + 3z – 6 = 0
EECCUUAACCIIÓÓNN GGEENNEERRAALL DDEELL PPLLAANNOO
0ax by cz d
1 1 1Donde d ax by cz
0111 zzcyybxxa
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 62
62
Ecuación general del plano: 2x - y + 3z – 16 = 0
Para graficación: Método trazas 2x - y + 3z – 16 = 0
Traza: es la recta que corta a los ejes coordenados.
Traza xy si y = 0 y z = 0
22xx –– 1166 == 00 xx == 88 EEll ppuunnttoo eess ((88,, 00,, 00))
Traza xz si x = 0 y z = 0
--yy –– 1166 == 00 yy == -- 1166 EEll ppuunnttoo eess ((00,, --1166,, 00))
Traza yz si x = 0 y y = 0
33zz –– 1166 == 00 zz == 1166//33 EEll ppuunnttoo eess ((00,, 00,, 1166//33))
LLaa ggrrááffiiccaa ddeell ppllaannoo ssee mmuueessttrraa eenn llaa FFiigguurraa 11..66..22--22..
EJEMPLO 2
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (-3,-2,1) y es perpendicular a la
recta con ecuaciones paramétricas.
x = 4 – 2t y = 1 + 4t z = 4
Solución
Primero hacemos un bosquejo del sistema para darnos la idea de lo que tenemos
y de lo que nos falta. (Ver Figura 1.6.2.-3).
Dado que la recta es ortogonal al plano y contiene en su ecuación un vector
v = <-2, 4, 0>
Entonces v también es ortogonal al plano, así pues
se concluye que:
v = n
n = <-2, 4, 0>
Sustituyendo en la ecuación canónica del plano
a ( x - x 1) + b ( y – y1) + c ( z – z1) = 0
-2 ( x + 3) + 4 ( y + 2) + 0 ( z – 1) = 0 multiplicando
-2x – 6 + 4y + 8 = 0 reduciendo se obtiene:
Ecuación del plano:
-2x + 4y + 2 = 0 ó 2x - 4y - 2 = 0
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 63
63
La graficación del plano se realiza por el método de trazas y se representa en la
Figura 1.6.2-4
Casos generales de graficación de un plano:
Cuando alguna ecuación del plano está incompleta, es decir, que le haga falta una
o dos variables, los planos se grafican de la siguiente manera:
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 64
64
Ejercicios propuestos
11..66..11 EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE LLAA RREECCTTAA
En los ejercicios 1 – 8, hallar un conjunto de ecuaciones a) paramétricas y b)
simétricas para la recta L que pasa por el punto dado y es paralela al vector v.
Punto Paralela a
1. (2, 3, -1) v = < 0, -2, 5 >
2. (3, -3, 6) v = < 4, -3, 3 >
3. (0, 0, 0) v = < 1, 2, 3 >
4. (0, 0, 0) v = 1,2
5,2
5. (-2, 0, 3) v = 2i + 4j - 2k
6. (-2, 0, 3) v = 6i + 3j
7. (1, 0, 1) x = 3 + 3t, y = 5 - 2t, z = -7 + t
8. (-3, 5, 4) 32
1
3
1
z
yx
En los ejercicios 9 - 10, hallar ecuaciones a) paramétricas y b) simétricas para la
recta que pasa por los dos puntos. (Para cada recta, expresar los números
directores como enteros).
9. (5,-3,-2),
1,
3
2,
3
2
10. (1,0,1) , (1,3,-2)
En los ejercicios 11 y 12, hallar ecuaciones paramétricas para la recta.
11. La recta que pasa por el punto (2,3,4) y es paralela a los planos xz y yz
12. La recta que pasa por el punto (2,3,4) y es perpendicular al plano
3x + 2y – z = 6
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 65
65
11..66..22 EECCUUAACCIIOONNEESS DDEELL PPLLAANNOO Producto vectorial. En los ejercicios 1 y 2, a) hallar las coordenadas de tres
puntos P, Q y R del plano y considerar los vectores PQ y PR . b) Hallar PQ x PR
¿Qué relación entre las componentes del producto vectorial y los coeficientes en la
ecuación del plano? ¿Por qué?
1. 4x - 3y - 6z = 6 2. 2x + 3y + 4z = 4
En los ejercicios 3 - 8, hallar una ecuación del plano que pasa por el punto y es
perpendicular al vector o recta dados.
Punto Perpendicular a
3. (2, 1, 2) n = i
4. (1, 0, -3) n = k
5. (3, 2, 2) n = 2i + 3j - k
6. (0, 0, 0) n =- 3i + 2k
7. (0, 0, 6) tztytx 24,2,1
8. (3, 2, 2)
3
32
4
1
zy
x
En los ejercicios 9 – 20 hallar una ecuación del plano.
9. El plano que pasa por (0, 0, 0), (1, 2, 3) y (-2, 2, 3).
10. El plano que pasa por (1, 2, -3), (2, 3, 1), y (0, -1, -1).
11. El plano que pasa por (1, 2, 3), (3, 2, 1) y (-1, -2, 2).
12. El plano que pasa por el punto (1, 2, 3) paralelo al plano yz.
13. El plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralelo al plano xy.
14. El plano que contiene el eje y y forma un ángulo de 6/ con el semieje x
positivo.
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
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66
15. El plano que contiene las rectas de ecuaciones.
zyx
4
2
1
y 1
2
4
1
3
2
zyx
16. El plano que pasa por el punto (2, 2, 1) y contiene la recta dada por
zyx
1
4
2
17. El plano que pasa por los puntos (2, 2, 1) y (-1, 1, -1) y es perpendicular al
plano 2x -3y + z = 3.
18. El plano que pasa por los puntos (3, 2, 1) y (3, 1, -5) y es perpendicular al
plano 6x + 7y + 2z = 10.
19. El plano que pasa por los puntos (1, -2, -1) y (2, 5, 6) y es paralela al eje x.
20. El plano que pasa por los puntos (4, 2, 1) y (-3, 5, 7) y es paralela al eje z.
En los ejercicios 21 – 26, marcar las intersecciones y dibujar la grafica del plano.
21. 4x +2y + 6z=12 22. 3x + 6y + 2z = 3
23. 2x – y + 3z=4 24. 2x – y + z=4
25. y + z=5 26. x + 2y=4