42510011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

UN PASSEIG PER LES MATEMÀTIQUES

JOSEP MALLOL GURGUI

AULES DE LA GENT GRAN 2009

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

2

PANEGÍRIC APOL·LOGÈTIC

• Les Matemàtiques estan a la nostra vida, estem envoltats de Matemàtiques

• De “l‘eina científica” a la ciència més autèntica

• La que es menysprea amb orgull (!)

• Probablement la ciència de l’univers?

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

3

UNA MICA D’HISTÒRIA

• 3000 A.C.- 2500 A.C.Els textos de matemàtica més anticsque tenim procedeixen deMesopotàmia, alguns textoscuneïformes tenen més de 5000 anysd’edatS’inventa l’àbacus a Xina, primerinstrument mecànic per a calcularS’inventen les taules de multiplicar ies desenvolupa el càlcul d’àrees

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

4

UNA MICA D’HISTÒRIA

• 1600 A.C. aprox. El Papir de Rhind, és el principal text matemàtic egipci, fou escrit per un escriba sota el regnat del rei hicse Ekenenre Apopi i conté l’essencial del saber matemàtic dels egipcis. Entre aquests, proporciona unes regles per a càlculs de sumes i restes de fraccions, equacions simples de primer grau, diversos problemes d’aritmètica, medicions de superfícies i volums

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

5

HISTÒRIA

• Entre 600 i 300 A.C. La matemàtica grega és coneguda gràcies a un pròleg històric escrit el segle V D.C. pel filòsof Procle. Aquest text anomena els geòmetres grecs d’aquell període, però sense precisar la naturalesa exacta dels seus descobriments

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

6

HISTÒRIA• Del 550 al 450 A.C. S’estableix l’era pitagòrica

Pitàgores de Samos, personatge semi llegendari, creador d’un gran moviment metafísic, moral, religiós i científic.El saber geomètric dels pitagòrics estava en la geometria elemental, on destaca el famós Teorema de Pitàgores, que fou establert per la seva escola i on la tradició dels pitagòrics portà a atribuir-se'l al seu mestre.Pel que fa a l’aritmètica, el saber dels pitagòrics era enorme. Foren els primers en analitzar la noció de número i en establir les relacions de correspondència entre l’aritmètica i la Geometria.Van definir els nombres primers, algunes progressions i precisaren la teoria de les proporcions.Els pitagòrics propagaven que tot podia expressar-se mitjançant nombres, però després hagueren d’acceptar que la diagonal d’un quadrat era incommensurable amb el costat del quadrat.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

7

HISTÒRIA• Cap el 300 A.C.

Euclides desenvolupa la major part de la seva immensa i importantíssima obra. ÉS autor de nombroses obres publicades, entre elles els seus cèlebres “Elements de Geometria”.Els Elements no contenen tota la geometria grega de l’època, ni tant sols constitueixen un resum d’ella; però si que conté una bona part de la matemàtica elaborada pels matemàtics grecs anteriors a Euclides i per ell mateix.La importància científica d’aquesta obra s’ha mantingut no discutida fins l’aparició de les geometries no euclidianes en la primera part del segle XIX i el seu valor didàctic es mantingué fins a començaments del segle XX.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

8

HISTÒRIA• Cap el 260 A.C.

Arquímedes d’Alexandria fou considerat un dels més grans savis i científics de l’antiguitat. Entre els seus escrits més oroginals podriem destacar “Del mètode relatiu als teoremes mecànics”, que coneixem abreujadament com a “Mètode” en ell, explota hàbilment les propietats de la palancxa i erls centres de gravetat.Recordem que molts dels resultats aconseguits per Arquimedes: àrees, volums, centres de gravetat, s’obtenen avui dia mitjançant el càlcul integral. Podriem dir que amb Arquimedes, la matemàtica grega arriba al seu apogeu, desvinculant gairebé totalment els llaços que mantenia lligada la matemàtica amb la filosofia. Aquesta major llibertat i autonomia, sense descuidar el rigor, es reflecteix en l’elecció dels postulats, en les aplicacions a la ciència natural, en les seves incursions en la teoria de nombres i en la matemàtica aproximada i converteixen a Arquimedes en el primer gran matemàtic en el sentit actual de la paraula

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

9

HISTÒRIA• Cap el 460 A.C

El mercader Hipòcrates de Quíos, es convertí en el primer en redactar unsElements, és a dir, un tractat sistemàtic de matemàtiques

• Cap al 406 a 315 A.C.L’astrònom Eudox de Cnido estableix una Teoria de la Semblança.

• Cap al 250-300 A.C.Apol·loni de Pèrgam desenvolupa nombrosos estudis sobre les còniques.

• 276-194 A.C.El matemàtic grec Eratóstenes va idear un mètode amb el qual va poder mesurar la longitud de la circumferència terrestre.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

10

HISTÒRIA

• Període greco-romà i primers segles cristiansPodem destacar en aquest període; Pappus d’Alexandria, Claudi Ptolomeu, Astrònom il·lustre, i sobretot Diofant, que juntament amb Heró formen una extraordinària parella de matemàtics, l’obra dels quals podríem dir que culmina les matemàtiques dels babilonis.

• Nicòmac de Gerasa, cap al Segle IPublica una Introducció Aritmètica, obra que es convertí en el tex d’aritmètica de tota l’Edat Mitjana.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

11

HISTÒRIA

• 300-600Els hindús coneixen el sistema de numeració babilònica per posició i l’adapten a la numeració decimal, creant així el sistema decimal de posició, que és el nostre sistema actual

• 1100Omar Khayyam desenvolupa un mètode per a dibuixar un segment la longitud del qual sigui una arrel real positiva d’un polinomi cúbic donat

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

12

HISTÒRIA• 476

Neix Aryabhata publica una obra dividida en 4 llibres, dels quals el més important, des del punt de vista matemàtic comprèn una taula de sinus i exemples d’anàlisi indeterminat de primer grau.

• 813-833 Califat d’Al-MamunEl seu bibliotecari fou el geògraf, astrònom i matemàtic Mohamed Ibn Musa Al-Khuwaritzmi. Va publicar una Aritmètica en la seva versió llatina Algoritmi de numero indorum. Observem el nom de l’autor deformat.Sense dubte, el llibre més important d’aquest matemàtic és Hisab al-jabar wa-al-muqabala, d’on prové la paraula ÀLGEBRA, com a símbol de reordenació de termes.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

13

HISTÒRIA• 1525El matemàtic alemany ChristoffRudolff empra el símbol actual de l’arrel quadrada• 1545Gerolamo Cardano publica el mètode generalper a resoldre equacions de tercer grau• 1550Ferrari dóna a conèixer el mètode general deresolució d’una equació de quart grau• 1591Francois Viète escriví “In artem analyticemIsagoge” en el qual s’aplicava per primer copl’àlgebra a la geometria.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

14

HISTÒRIA

• 1614John Napier inventa els logaritmesi posteriorment inventa un joc detaules de multiplicar, anomenada“els ossos de Napier". Poc tempsdesprés va publicar la primerataula de logaritmes.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

15

HISTÒRIA• 1619

René Descartes crea la Geometria Analítica

• 1642El matemàtic Blaise Pascal construeix la primera màquina de calcular, coneguda com “la pascalina”, que podia efectuar sumes i restes de fins a 6 xifres

• 1650Pierre de Fermat enuncia i demostra (?) el seu darrer gran teorema sobre teoria de nombres

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

16

HISTÒRIA

• La Familia BernouilliEs va fer famosa tota una generació de matemàtics que treballà en una munió de camps diversos com la mecànica de fluids o l’estudi de trajectòries ortogonals i equacions diferencials.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

17

HISTÒRIA

• 1684Newton i Leibniz creen, gairebé simultàniament, l’anàlisi Infinitesimal.

• 1746D'Alembert enuncia i demostra parcialment que “qualsevol polinomi de grau n, té n arrels reals o complexes”(Teorema Fonamental de l’àlgebra)

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

18

HISTÒRIA

• 1684Podem considerar Newton com un dels més grans matemàtics i científics de la història.Va treballar i fer aportacions fonamentals en matemàtiques, física i fins i tot, òptica, inventant el famós telescopi reflector que encara avui porta el seu nom.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

19

HISTÒRIA• 1761

Johann Lambert prova que el número és irracional

• 1797Joseph Louis Lagrange publica la seva “teoria de les funcions analítiques”

• 1798El matemàtic italià Paolo Ruffini enuncia i demostra parcialment  la impossibilitat de resoldre equacions de 5è grau

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

20

HISTÒRIA• 1777

Leonhard Euler, matemàtic suís, simbolitza l’arrel quadrada de -1 amb la lletra i (d’imaginari).Es pot considerar que Euler presideix l’investigació matemàtica i científica del segle XVIII, amb les seves aportacions a gairebé totes les branques de la ciència, no només teòrica, sinó pràctica i experimental. La seva “Opera Omnia” fa 50 anys que s’està recopilant i està previst que ocupi uns 69 volums.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

21

HISTÒRIA• 1801

Karl Friedrich Gauss publica “Disquisitiones Arithmeticae”, primera gran obra sobre la teoria de nombres on es sistematitza l’obra dels seus predecessors.Per molts experts, Gauss és el més gran matemàtic de tots els temps, per les seves aportacions a branques de la Matemàtica tan diverses com la teoria de nombres, la geometria no euclidiana, el càlcul infinitesimal i el magnetisme

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

22

HISTÒRIA

• 1812Laplace va publicar a París la seva Théorie analytique des probabilités on fa un desenvolupament rigurós

de la teoria de la probabilitat amb aplicacions a problemes demogràfics, jurídics i explicant diversos fets astronòmics

• 1814Augustin Louis Cauchy publica un article que suposà la fundació de l’anàlisi complexa.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

23

HISTÒRIA

• 1817Bernhard Bolzano presenta un treball titulat "Una prova purament analítica del teorema que estableix que entre dos valors on es garanteixi un resultat oposat, hi ha una arrel real de l’equació".Aquesta prova analítica es coneix avui dia com a Teorema de Bolzano

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

24

HISTÒRIA

• 1822Poncelet descobreix el que ell anomenà “Propietats Projectives de les Figures“

• 1831G.W.Leibniz posà de manifest el valor del concepte de grup, obrint la porta a les idees matemàtiques més importants del món contemporani

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

25

HISTÒRIA

• 1832Evariste Galois escriu, als 21 anys i abans de morir en un duel, les seves principals aportacions sobre la teoria de grups i la resolució d’equacions

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

26

HISTÒRIA

• 1851Pafnuty Lvovich Txebitxeff

treballa en la distribució dels nombres primers

• 1855Nikolai Ivanovitx Lobatxevski

publica “Pangéométrie” sobre geometries no euclidianes

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

27

HISTÒRIA

• 1881Henri Poincaré estudia les funcions automorfes.

• 1889Giuseppe Peano funda axiomàticament l’aritmètica

• 1899David Hilbert publica “Fonaments de la Geometria”

• 1900Congrés de París, on Hilbert enumera 20 problemes de la matemàtica encara no resolts.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

28

HISTÒRIA

• 1908Zermelo axiomatitza la teoria de conjunts

• 1935Comencen a aparèixer els “Elements de matemàtica” de Nicholas Bourbaki

• 1948Apareix la “Cibernètica” de Norbert Wiener

• 1998Andrew Wiles exposa al Congrés internacional de Matemàtica de Berlín la demostració del darrer teorema de Fermat.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

29

MOLTES GRÀCIES