INTRODUCCION

Antes de entrar a definir que son los bonos, los tipos de bonos que existen y de

plantear ejercicios, hablemos un poco de las entidades que emiten estos bonos.

Las Instituciones Financieras han sido autorizadas para poder emitir Bonos con el

objeto de incrementar sus recursos externos, invitando a terceros a hacerles un

préstamo colectivo a mediano plazo, a cambio de una rentabilidad en principio fija

y susceptible de mejorarse a través de sorteos, cuando tal sistema está previsto.

La emisión de Bonos efectuada por los Bancos representan títulos valores que

Incorporan una parte alícuota de un crédito colectivo, redimible a mediano plazo, y

a cambio de una remuneración generalmente mayor a la de cualquier otro

depósito bancario.

Constituye una modalidad típica de los llamados títulos valores seriales, que se

emiten y expiden en forma masiva, representando el total de la suma máxima de

endeudamiento previsto y utilizando las series de manera que cada una

corresponda a valores homogéneos de emisión. La modalidad del título serial es

explicable en esta materia porque lo Interesante de la emisión, en cuanto a la

relación contractual, radica en que la oferta se emite a favor de un número

desconocido e indeterminado de posibles tomadores de los títulos, de manera que

la entidad emisora desconoce la suerte de su propuesta en endeudamiento.

MATEMATICA FINANCIERA I

1. DEFINICIÓN DE BONOS:

Los bonos son títulos-valores o activos financieros que son emitidos por empresas

o gobiernos y colocados en los mercados financieros con la finalidad de captar

recursos con los cuales financiaran sus planes de estabilidad o crecimiento.

En el tipo más tradicional de emisión de bonos, el tenedor de un bono se convierte

en un acreedor del emisor y tiene derecho a exigir el pago periódico de los

llamados cupones (intereses) y la devolución del nominal del bono en la fecha de

redención (vencimiento) del mismo.

Dado que en esta modalidad de financiamiento del emisor paga intereses, esta

fuente de financiamiento del emisor paga intereses, esta fuente de financiamiento

se considera vía “deuda”.

Es conveniente aclarar que el proceso de valoración de bonos cuele utilizar dos

tasas de interés.

Una de ellas es la tasa del bono, que puede ser nominal o efectiva. A partir de

esta se debe hallar la tasa efectiva con periodo de vigencia igual al del pago de

cupones. Si multiplicamos la tasa así hallada por el nominal del bono obtendremos

los cupones por pagar.

La otra tasa es la que corresponde al inversionista y debe reflejar sus expectativas

de ganancia sobre el bono; con esta tasa es que se realiza el proceso de

actualización de los flujos futuros.

Por lo tanto, si una persona realiza un desembolso “D” para comprar un bono

recién emitido, de valor nominal “N”, pago de cupones (intereses) “C” por periodo

(calculados aplicando la tasa efectiva del bono”i” por el periodo al valor nominal

del mismo) y con una fecha de redención dentro de “n” períodos, entonces el flujo

de caja de dicha operación será:

2

MATEMATICA FINANCIERA I

0 1 n

Donde deberá cumplirse:

D = VA (de los n cupones C) + VA (del nominal N)

El valor “D” lo podemos interpretar también como el máximo desembolso que

estará dispuesto a realizar el inversionista, con la finalidad de obtener como

mínimo una determinada tasa de rendimiento. En esta última es la que se deberá

utilizar como tasa de descuento para hallar los valores actuales anteriores.

2. CLASES DE BONOS:

En la medida en que se va sofisticando el mercado financiero encontramos

diferentes clases de bonos:

Bonos corporativos: Son aquellos bonos que son emitidos por las empresas no

financieras.

Bonos subordinados: Son emitidos por instituciones del sistema bancario

financiero. Se les denomina subordinados, debido a que los mismos se

encuentran supeditados, en caso de incumplimiento, al pago previo de los

depósitos de los ahorristas.

Bonos de arrendamiento financiero: Son aquellos que tienen por objetivo el

obtener recursos para operaciones de arrendamiento financiero.

Bonos cupón cero: Son aquellos bonos en los cuales no se paga un cupón sino

que se colocan debajo de la par, y que se redimen a su vencimiento a su valor

3

N

D

C = i .N

MATEMATICA FINANCIERA I

nominal, por lo que el interés implícito obtenido es la diferencia entre el menor

valor que se paga y el valor nominal.

Bonos convertibles en acciones: Son bonos que contienen una clausula por la

cual es posible que en lugar de redimir el bono, el mismo se capitalice por

acciones.

Bonos estructurados: Estos bonos se caracterizan porque están vinculados a un

derivado.

3. CONTENIDO DE LOS BONOS

Podemos señalar que los bonos deben contener, entre otros, las siguientes

menciones:

a. Sobre el Banco, como nombre, domicilio, capital, reservas, etc.

b. Sobre la emisión, como cuantía, series, números por sedes, valores, primas,

tipo de interés, forma, lugar y plazo de amortización del capital y de los Intereses.

c. Sobre el cumplimiento de los requisitos legales, como fecha y notaría de la

escritura pública, inscripción en los Registros Públicos, Resolución de la

CONASEV aprobatoria.

Los títulos pueden estar sometidos a otra serie de requisitos e Incluso de

naturaleza formal como puede ser tamaño, utilización de papel de seguridad,

inserción de cupones desprendibles para el cobro de intereses, etc.

Tratándose de bonos emitidos en moneda nacional, su monto debe ser reajustado

necesariamente, y la legislación de la materia obliga a que se indique en el título,

que no pueden ser pagados antes de su vencimiento.

4. ¿POR QUÉ INVERTIR EN BONOS ?

Muchos de los asesores financieros recomiendan a los inversionistas tener un

portafolio diversificado constituido en bonos, acciones y fondos entre otros. Debido

a que los bonos tienen un flujo predecible de dinero y se conoce el valor de este al

final( lo que le van a entregar al inversionista al final de la inversión), mucha gente

invierte en ellos para preservar el capital e incrementarlo o recibir ingresos por

4

MATEMATICA FINANCIERA I

intereses, además las personas que buscan ahorrar para el futuro de sus hijos, su

educación , para estrenar casa, para incrementar el valor de su pensión u otra

cantidad de razones que tengan un objetivo financiero, invertir en bonos puede

ayudarlo a conseguir sus objetivos.

4.1 Claves para escoger el Bono que más le conviene

Hay muchas variables que considerar para tomar la decisión de invertir en

determinado tipo de bonos: su maduración, contratos, pago de los intereses,

calidad del crédito, la tasa de interés, precio, yield , tasas tributarias e impuestos,

etc.

Todos estos puntos ayudan a un inversionista a determinar el tipo de bono que

puede colmar sus expectativas y el grado de inversión que se desea obtener de

acuerdo con los objetivos buscados.

4.2 La tasa de interés:

Los intereses que pagan los bonos pueden ser fijos o variable ( unidos a un índice

como la DTF, LIBOR, etc.). El periodo de tiempo para su pago también es

diferente, pueden ser pagaderos mensualmente, trimestralmente, semestralmente

o anualmente, siendo estas las formas de pago más comunes.

(Cabe anotar que los intereses en la gran mayoría de los países son pagados a su

vencimiento, en Colombia existe esta modalidad y la de pagar los intereses

anticipadamente; la diferencia entre una y otra es que en los bonos con intereses

vencidos le van a entregar el capital más los intereses al final y en la modalidad

anticipada los intereses son pagados al principio).

4.3gMaduración:

La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será

pagado. La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años.

Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera:

1. Corto plazo: maduración hasta los cinco años.

2. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años.

3. Largo plazo: maduración de doce años en adelante.

5

MATEMATICA FINANCIERA I

4.4 Bonos con contratos:

Cuando la maduración de un bono es una buena guía de cuanto tiempo el bono

será extraordinario para el portafolio de un inversionista, ciertos bonos tienen

estructuras que pueden cambiar substancialmente la vida esperada del

inversionista. En estos contrato se pueden efectuar las llamadas call provisions, en

las cuales permiten al emisor reembolsar cierto dinero al principal del inversionista

a una fecha determinada. Las operaciones de call para los bonos se usan cuando

las tasas de interés han caído dramáticamente desde su emisión (también son

llamadas call risk). Antes de invertir en un bono pregunte si hay una call provision,

y si la hay asegures de recibir el yield to call y el yield a la maduración. Los bonos

con provisiones de redención por lo general tienen un mayor retorno anual que

compensan el riesgo del bono a ser llamado prontamente.

Por otra parte las operaciones put, le permiten al inversionista exigirle al emisor

recomprar el bono en una fecha determinada antes de la maduración. Esto lo

hacen los inversionistas cuando necesitan liquidez o cuando las tasas de interés

han subido desde la emisión y reinvertirse a tasas más altas.

4.5 Calidad del crédito:

Se refiere al grado de inversión que tengan los bonos así como su calificación

para la inversión. Estas calificaciones van desde AAA (que es la mas alta) hasta

BBB y así sucesivamente determinando la calidad del emisor.

4.6vPrecio:

El precio que se paga por u bono esta basado en un conjunto de variables,

incluyendo tasas de interés, oferta y demanda, calidad del crédito, maduración e

impuestos. Los bonos recién emitidos por lo general se transan a un precio muy

cerca de su valor facial (al que salió al mercado). Los bonos en el mercado

secundario fluctúan respecto a los cambios en las tasas de interés (recordemos

que la relación entre precio y tasas es inversa).

4.7wYield:

La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio

que se pago y el pago de intereses que se reciben. Hay básicamente dos tipos de

6

MATEMATICA FINANCIERA I

yield para los bonos: yield ordinario y yield de maduración.

El yield ordinario es el retorno anual del dinero pagado por el bono y se obtiene de

dividir el pago de los intereses del bono y su precio de compra. Si por ejemplo

usted compro un bono en $ 1.000 y los intereses son del 8 % ( $ 80 ), el yield

ordinario será de 8 % ( $ 80 / $ 1.000); veamos otro ejemplo, si compró un bono a

$ 900 y la tasa de interés es del 8 % ( $ 80) entonces el yield ordinario será de

8.89 % ($ 80/$900).

El yield de la maduración, que es mas significativo, es el retorno total que se

obtiene por tener el bono hasta su maduración . permite comparar bonos con

diferentes cupones y maduraciones e iguala todos los intereses que se reciben

desde la compra más las ganancias o perdidas.

4.8 Tasas tributarias e impuestos.

Algunos bonos presentan más ventajas tributarias que otros, algunos presentan

los intereses libres de impuestos y otros no. Un asesor financiero le puede mostrar

los beneficios de cada bono, así como de las regulaciones existentes para cada

caso.

La relación entre las tasas e interés y la inflación. Como inversionista debe

conocer como los precios de los bonos se conectan directamente con los ciclos

económicos y la inflación. Como una regla general, el mercado de bonos y la

economía en general se benefician de tasas de crecimiento continuo y sostenible.

Pero hay que tener en cuenta que este crecimiento podría llevar a crecimientos en

la inflación, que encarece los costos de los bienes y servicios y conduce además a

un alza en las tasas de interés y repercute en el valor de los bonos. El alza en las

tasas de interés presiona los precios de los bonos a la baja y es por esto que el

mercado de bonos reacciona negativamente

5. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA EMISIÓN DE BONOS

A) VENTAJAS PARA LAS EMPRESA EMISORAS

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MATEMATICA FINANCIERA I

Reduce el costo de financiamiento: el interés ofrecido por los bonos es

normalmente menor que el interés de los prestamos bancarios.

El emisor define la modalidad de pago, de acuerdo con su flujo de caja

proyectada. Es un instrumento flexible, que puede ser hecho a la medida.

No se necesitan garantías: no es necesario ofrecer activos en garantía

como en los préstamos bancarios.

Se obtiene una sola subvención fiscal por el uso de acuerdo por parte del

gobierno, al considerarse en el pago de los intereses costos financieros que

se cargan en los estados financieros antes del cálculo del impuesto.

Promueve las negociaciones con la banca.

Puede ser destinada a la restructuración de pasivos.

Control en las decisiones de la empresa.

Maximizar el valor de la empresa.

Gerencia crecimiento económico.

B) VENTAJAS CON LOS INVERSIONISTAS

Mayor rentabilidad de la inversión.

Exoneración del impuesto a la renta sobre intereses generados.

C) DESVENTAJAS PARA LAS COMPAÑÍAS

La compañía estará sujeta a mayor supervisión: CONASEV, inversionistas,

clasificadoras de riesgo.

La duración del proceso de emisión toma alrededor de 10 semanas.

Costos fijos de emisión.

D) DESVENTAJAS PARA LOS INVERSIONISTAS

Ausencia de garantías reales (en algunos casos) .

Marco legal

o Ley general de sociedades

o Ley del mercado de valores

6. TIPOS DE BONOS:

8

MATEMATICA FINANCIERA I

Existen seis tipos de bonos brady cuyas características esenciales se repitan para

cada país:

a. BONOS PAR

Intercambio al valor de los préstamos.

Madurez de 30 años.

El cupón puede ser fijo hasta la fecha de maduración o es posible que

presenten variaciones de acuerdo a un calendario predeterminado.

El monto del principal es colaterizado por bonos cupón cero del tesoro de

EE.UU.

El interés en la mayoría de los casos es respaldo por fondos basados en

instrumentos de corto plazo, con una alta calificación por moody o estándar&

pors.

b. BONOS AL DESCUENTO

Son intercambios por préstamos a descuento del valor oficial.

El cupón es flotante basado en la tasa LIBOR mas una fracción porcentual

extra

El tiempo de maduración es aproximadamente de 30 años

El monto del principal es caracterizado por bonos cupón cero del tesoro de

EEUU

El interés en la mayoría de los casos es respaldados por fondos basados en

instrumentos de corto plazo con una alta crediticia por Moody

c. BONOS DE INTERES CAPITALIZADOS

Estos instrumentos ofrecen tasa de interés variables

El valor oficial crece a través de la vida útil del bono

Estos bonos no poseen colateral

d. CANJE POR BONOS CON DESCUENTO

Los bonos con descuento se distinguen de los bonos ala par porque se

intercambian por un monto mayor de deuda respecto de su valor nominal.

9

MATEMATICA FINANCIERA I

Si cada dólar de deuda se intercambian por 60 centavos en este tipos de

bonos entonces se habla de un descuento de 40 % . El uso de bonos con

descuento es mas conveniente para el país deudor que el de los bonos ala

par , porque un dólar de nueva deuda en bonos reemplaza mas de una

dólar en deuda antigua.

EJERCICIOS:

1. Un inversionista desea comprar un bono de valor nominal S/. 15000 y con

fecha de redención a los 5 años. Si el pago de cupones será semestral y

la TEA (tasa efectiva anual) del bono es 15%, hallar el máximo

desembolso que este inversionista estará dispuesto a realizar por la

compra de dicho bono si espera obtener un rendimiento mínimo de 20%

anual por sus inversiones.

Solución:

Primero hallamos el cupón semestral correspondiente:

Tasa efectiva semestral = (1.15)1/2 – 1 = 0.072381

Cupón semestral = (0.072381) (15000) = 1085.72

Si “D” es el desembolso por hallar, entonces el flujo de caja de la operación será:

0 1 10

De acuerdo con lo definido anteriormente, “D” debe ser igual al valor actual del

flujo de ingresos futuros que obtendrá el inversionista; para resolver el problema,

previamente debemos hallar la tasa semestral del inversionista:

10

D = ?

150001085.72

MATEMATICA FINANCIERA I

Tasa de rendimiento semestral = (1.20)1/2 – 1 = 0.095445

Por lo tanto, utilizando calculadora financiera:

1085.72 PMT; 10 n; 9.5445 i%; 15000 FV

PV = 12832.02 = D

2. Un inversionista ha adquirido un bono con las siguientes características:

Valor nominal : S/. 5000

Tasa del bono : 10% pagaderos trimestralmente

Pago de cupones : Trimestral

Redención : A los 3 años.

a) Si el inversionista espera obtener un rendimiento de 15% anual por sus

inversiones, determinar el máximo desembolso “D” que estará dispuesto a

realizar por cada bono.

b) Si otro inversionista ha desembolsado S/. 4088.14 por cada bono, hallar el

rendimiento trimestral que espera obtener como mínimo por sus

inversiones.

Solución:

a) En primer lugar hallamos el cupón que pagara el bono:

Tasa efectiva del bono = 2.5% trimestral

Cupón trimestral del bono = (0.025) (5000) = 125

El flujo de caja de la operación será:

11

MATEMATICA FINANCIERA I

Para realizar la valoración del bono necesitamos hallar el rendimiento trimestral

mínimo que espera obtener el inversionista:

Tasa de rendimiento trimestral = (1.15)1/4 – 1 = 0.035558

Con calculadora financiera:

125 PMT; 12 n; 3.5558 i%; 5000 FV

PV = 4491.54 (máximo desembolso) = D

b) El flujo de caja de la operación será:

Con calculadora financiera:

125 PMT; 12 n; (-) 4088.14 PV; 5000 FV

I% = 4.5 (rendimiento trimestral mínimo) = D

3. Un inversionista adquiere el siguiente bono:

Valor nominal : S/. N

Tasa del bono : 15% pagaderos mensualmente

Pago de cupones : Mensual

12

MATEMATICA FINANCIERA I

Redención : A los 5 años

Si este inversionista desembolso S/. 17805.08 por bono, esperando obtener una

rentabilidad de 20% anual, hallar el valor nominal N del bono.

Solución:

Tasa efectiva mensual del bono = 0.15/12 = 0.0125

Cupón mensual del bono = (0.0125) N

Rendimiento mensual del inversionista = (1.2)1/12 – 1 = 0.01530947

Por lo tanto, el flujo de caja de la operación es:

Por definición:

17805.08 = VA del flujo de ingresos del bono; entonces,

17805.08 = N (factor de actualización)

Hallando el factor de actualización:

0 CFj; 0.0125 CFj; 59 Nj; 1.0125 CFj; 1.5309 i%

NPV = 0.890254

Por lo tanto

17805.08 = N (0.890254)

N = 20000

4. Para el siguiente bono:

13

MATEMATICA FINANCIERA I

Valor nominal : S/. 10000

Tasa del bono : X% pagaderos bimestralmente

Pago de cupones : Bimestral

Redención : A los 5 años

Si se sabe que un inversionista ha adquirido tales bonos a una cotización de 5%

bajo la par, esperando obtener una rentabilidad de 17.6548% anual, hallar la tasa

nominal anual X% del bono.

Solución:

Hallando la rentabilidad bimestral que espera obtener el inversionista:

Tasa de rendimiento bimestral = (1.176548)1/6 – 1 = 0.027468

El flujo de caja de la operación será:

Observemos que el desembolso que realiza el inversionista es S/.9500, pues esta

adquiriendo el bono a una cotización de 5% bajo la par, lo cual debe ser entendido

“con un descuento del 5% sobre el nominal”, dado que el valor nominal debe ser

considerado como “la par”.

Utilizando la calculadora financiera:

2.7468 i%; 30 n; (-) 9500 PV; 10000 FV

PMT = 250 (cupón bimestral del bono)

Por lo tanto, la tasa efectiva bimestral que paga el bono es:

14

MATEMATICA FINANCIERA I

Tasa efectiva bimestral = 250/10000 = 0.02

En consecuencia, la tasa nominal anual X% del bono debe ser:

X% = 6(2.5%) = 15% anual

5. El señor Torres espera obtener como rendimiento mínimo en sus

inversiones una tasa de 10% anual 8tasa costo de oportunidad) y desea

comprar un bono con las siguientes características:

Valor nominal : $ 3000

Tasa de interés : 8% TEA

Pago de cupones : Trimestral

Redención : A los 5 años

a) ¿Cuál es precio máximo que estará dispuesto a pagar por dicho bono?

b) Si luego de un año (después de haber cobrado el cupón correspondiente) el

señor Torres piensa vender el bono al señor Aguilar, quien desea obtener

un rendimiento mínimo de 15% anual por sus inversiones, ¿Cuál es el

máximo precio que podrá cobrarle al señor Aguilar por dicho bono?

Solución:

Cupón = 0.019427 (1500) = 29.14

a) TCOTORRES = 2.4114% trim.

b)

TCOAGUILAR = 3.5558%

15

MATEMATICA FINANCIERA I

6. Luis García ha adquirido bonos con las siguientes características:

Valor nominal : US$ 12000

Tasa del bono : 9% capit. Diariamente

Pago de cupones : cada 50 días.

Redención del bono : A los 5 años.

a) Si Luis espera obtener una rentabilidad de 12% TEA en esta inversión,

¿Qué precio pago por cada bono?

b) Si inmediatamente después de cobrar el cupón numero 20, Luis vende el

bono a José Abanto quien espera obtener una rentabilidad de 15% TEA por

estos bonos, determine el precio que pago José Abanto por estos bonos.

Solución:

a) Tasa efectiva para el bono en 50 días = 1.257687% entonces el cupón será

igual a: 12000*0.1257687 = 150.92 el cual será pagado cada 50 días.

Total de cupones = 36 (periodos de 50 días en los 5 años)

TCO de Luis para los 50 días = 1.586462% (con esta tasa se halla el valor

actual de los 36 cupones y del nominal para hallar el precio).

Resolviendo el precio será igual a 10924.19

16

MATEMATICA FINANCIERA I

b) Numero de cupones que faltan por cobrar 16

TCO de José Abanto para los 50 días = 1.9601% (con esta tasa se halla el

valor actual de los 16 cupones y del nominal para hallar el precio).

Resolviendo el precio será igual a 10851.88

7. Un inversionista compro por S/. 1097.73 un bono de valor nominal S/.

1000, que pagaba una tasa de 9.5& anual. Un baño mas tarde, después de

haber cobrado el cupón correspondiente, lo vende a otro inversionista

que espera obtener por sus inversiones una tasa de 6.5% anual.

Si el bono para cupones anuales y fue vendido faltando tres años para su

redención ¿Cuál es la rentabilidad anual que obtuvo el primer

inversionista en su operación de compra-venta del bono?

Solución:

En primer lugar, calculamos el precio P que paga el segundo inversionista; para

ello consideramos el flujo de caja:

Con calculadora científica:

95 PMT; 3 n; 6.5 i%; 1000 FV

PV = 1079.45 = P (dinero que recibe el primer inversionista)

En consecuencia, el primer inversionista desembolso S/. 1097.73 para obtener

luego de un año: S/. 1079.45 + S/. 95 = S/. 1174.45; por lo tanto, la rentabilidad

anual que obtuvo fue:

17

9595 95

P

1000

1 2 30

MATEMATICA FINANCIERA I

Rentabilidad = 1174.45 – 1097.73 = 6.9890% anual

8. El señor Black compro el día 01/07/2003, en el mercado primario, 20

bonos serie “C” de la segunda emisión de la empresa MERCE S.A.

Las características de estos bonos son:

Valor nominal : S/. 10000

Tasa de interés : 74.9% efectivo anual

Pago de intereses : Trimestral

Fecha de emisión : 01/07/2003

Fecha de Redención : 01/07/2005

El 25 de abril de 2004decide negociarlos en la Bolsa de Valores de Lima. En

ese mimo día, los bonos son comprados por el señor White, de modo tal que

este obtendrá una rentabilidad de 90.12% anual en esta operación.

Si en el precio que pactan los señores Black y White no se incluyen los

intereses corridos y se sabe que la comisión SAB, la cuota a la BVL y el aporte

a la CONASEV suman 2.95% (incluyendo el IGV correspondiente), hallar el

precio pagado por cada bono y la TIR obtenida por el señor Black en esta

operación (asumir meses de 30 días).

Solución:

En primer lugar calcularemos el desembolso (D) realizado por el señor White por

la compra de los bonos deben ser equivalentes con la cantidad que desembolso

por la compra de los mismos.

En otras palabras, deben ser iguales en valor actual o valor futuro a la tasa de

rentabilidad que el señor White desea por su inversión, es decir, a la tasa de

90.12% anual.

Hallando algunos valores:

18

1097.73

MATEMATICA FINANCIERA I

Tasa trimestral = (1.749)1/4 – 1 = 0.15%

Interés trimestral = 1000 (0.15) = 150

Tasa trimestral demandada por el señor White:

I = (1.9012)1/4 – 1 = 17.42% trimestral

Tasa por 65 días:

I = (1.1742)65/90 – 1 = 0.1230 (12.30% por 65 días)

El flujo de caja correspondiente a un bono será:

Hallando equivalencia:

D = VA (flujo de ingresos)

D = 965.42

Sin embargo, cabe mencionar que este desembolso debe incluir, además del

precio pactado, las comisiones y los intereses corridos a la fecha de la

transacción.

Los intereses corridos por los 25 días se calculan utilizando el método

exponencial:

Intereses = 1000 (1.15)25/90 – 1000 = 39.59

Por lo tanto, debe cumplirse la siguiente igualdad:

965.42 = 39.59 + P + (0.00295)P

19

90 días

65 días

D

1000

150150150150150

Interés Precio Comisiones + IGV

MATEMATICA FINANCIERA I

P = 923.11

Por lo tanto, S/. 923.11 es el precio pactado por cada bono.

Dado que la SAP cobra tanto al que vende como al que compra, es de esperar

que el señor Black reciba una cantidad (C) diferente que el precio pactado:

C = 923.11 – (0.0025) 923.11 – 0.18 (0.0025) 923.11 + 39.59

C = 960

El flujo de caja para el señor Black será:

Planteando equivalencia:

i = 4.12% mensual

Por lo tanto, la TIR que obtiene el señor Black es de 4.12% mensual.

9. El 30 de julio de 2002, la empresa Metales Arequipa S.A. (MASA) decidió

adquirir, en el mercado primario de la Bolsa de Valores de Lima, bonos de

2 emisiones subordinadas emitidas por el Banco de Negocios de los

Andes (bonos de la series A y B) esperando obtener el mismo

rendimiento en ambas. En las dos emisiones, los bonos tenían un valor

nominal de US$ 1000por bono y estaban sujetas a una tasa de interés de

12% nominal anual pagaderos trimestralmente. La fecha de redención de

20

1000

150 150150

960

90 días 25 días

MATEMATICA FINANCIERA I

la serie Aes a los 3 años y la de la serie B un año después. La empresa

MASA pago un precio de US$ 1047.23 por cada bono de la serie A. la

comisión del agente de bolsa fue 0.40%, la cuota de la Bolsa de Valores

fue de 0.04%, la contribución a la CONASEV fue 0.08% y suma que se

pago un IGV del 18%. Considere todos los meses de 30 días.

a) ¿Cuál es la tasa de rendimiento anual esperado por MASA sobre ambos

bonos?

b) ¿Cuál fue el desembolso hecho por MASA por los bonos de la serie B?

c) El día 12/11/2003 MASA vendió los bonos, a través de una SAB, a un

inversionista que tenia una tasa de rendimiento esperando del 10% anual,

¿en qué porcentaje sobre (o bajo) la par se colocaron cada uno de los

bonos?

Solución:

a) Si el precio pagado fue US$ 1047.23, el desembolso D que considera a la

suma de las comisiones mas el IGV sobre ellas será:

D = 1047.23 ((0.0052) (1.18) + 1 ) = 1053.66

De este modo el flujo de caja será:

0 1 12

Utilizando calculadora financiera:

(-) 1053.66 CFj; 30 CFj; 11 Nj; 1030 CFj;

21

1053.66

1000

3030

MATEMATICA FINANCIERA I

IRR = 2.4776%

Por lo tanto, el rendimiento trimestral esperado de MASA por ambos bonos fue

2.4776% o, equivalente, 10.2848% anual.

b) El desembolso D pagado por MASA por los bonos de la serie B debe ser:

i = 2.4776% trim.

0 CFj; 30 CFj; 15 Nj; 1030 CFj; 2.4776 i%;

VPN = 1068.32 =D

c) Para el bono de la serie A:

i = 10% anual = 2.4114% trim.

Usando la calculadora financiera primero se actualiza al punto 5 y luego se lleva a

valor futuro por 78 días:

0 CFj; 30 CFj; 6 Nj; 1030 CFj; 2.4114 i%;

VPN = 1037.50 D = 1037.50 (1.024114) 12/90 = 1040.80

Calculo de los intereses corridos por 12 días:

1000 ((1.03)12/90 – 1) = 3.95

22

30

78d

5 6 12

12d

1030

MATEMATICA FINANCIERA I

De este modo deberá cumplirse la siguiente igualdad:

1059.64 = P (1+ 0.0052 * 1.18) + 3.95 P = 1049.25

Por lo tanto, el inversionista compro los bonos de la serie B a una cotización de

4.925% sobre la par.

d) Calculando el desembolso D:

D = 1025.25 (1 + 0.0052 * 1.18) + 3.95 = 1031.54

La ecuación de valor será:

1031.50 = +

Resolviendo y utilizando interpolación se obtiene una tasa de:

i = 2.56% trim. = 10.64% anual.

10.La compañía Teléfonos Nacionales emitió bonos de $ 100 que vencen a la

par el 1 de julio de 2012, con intereses del 10.4% anual pagaderos el

primer día de los meses de enero, abril, julio y octubre de cada año, es

decir, cada trimestre ¿Cuánto deberá pagarse por cada bono el 1 de

octubre de 2007 si se pretenden rendimientos del 15% anual compuesto

por trimestre? ¿A cuanto ascienden las utilidades para el inversionista

que los compra?

a) Para encontrar el precio de compraventa C del bono, se reemplazan los

siguientes valores en la ecuación.

M por 100, el valor de redención.

i por 0.15, la tasa de rendimiento anual.

p por 4, porque los cupones y la frecuencia de conversión son trimestrales.

i/p = 0.15/4 = 0.0375 por trimestre.

R por 2.60, ya que R depende del valor nominal y de la tasa de interés r y

R = 100(0.104/4)

23

10001 - (1/1 + i) 730

(1 + i) 78/90 1 - (1/1 + i) (1 + i) 618/90

MATEMATICA FINANCIERA I

R = $2.60

El plazo en trimestres es np = 19, los que faltan para la redención del bono, es

decir, los trimestres que hay entre el 1 de octubre de 2007 y el 1 de julio de 2012,

inclusive.

El valor de compraventa de cada bono es, por lo tanto:

C = 100(1 + 0.104/4)-19 + 2.60 1 – (1.0375)-19

C = 100(0.496850805) + 2.60 (13.41731187)

C = 49.6850805 + 34.88501086

C = 84.57009135

C = $84.57 redondeando

b) Para conocer la utilidad neta para el inversionista, es decir, los intereses, se

reta el valor de compraventa del bono total que recibirá después por el bono

y los 19 cupones.

Utilidad = 100 + 19(2.60) – 84.57 = $64.83

Bono cupones inversión utilidad

11.Obtenga la tasa de interés semestral con la que Petróleos de la Nación

emitió bonos con valor nominal de $100, si se adquieren con un

descuento total del 18%, 3 años antes de su redención. Suponga que se

generan rendimientos del 21% anual capitalizable por semestre.

Solución:

Entonces, al reemplazar en la ecuación queda:

82 = 100(1 + 0.21/2)-6 + R

82 = 54.93211643 + R (4.292179388)

24

1 - (0.105)-6

0.0375

0.105

MATEMATICA FINANCIERA I

De donde:

R = (82 – 54.93211643)/4.292179388 o

R = 6.306326258, es el valor de cada cupón semestral. Entonces redondeando R,

la tasa de interés semestral es:

6.3063 = 100 (r/2) R =N(r/p)

De donde:

6.3063 (2)/100 = r

R = 0.126126 o 12.6126% anual, aproximadamente

Note que r es menor que i, ya que se compraron con descuento.

12.Calcular la prima o descuento y las utilidades que genera para un

inversionista cada bono que emitió la compañía Ferrocarriles de la

Nación, con valor nominal de $100. Suponga que se redimen a 117. El 7

de agosto de 2014, que pagan intereses del 13.9% en cupones que

vencen el séptimo día de los meses de febrero y agosto de cada año, que

la tasa de rendimiento es del 12.5% compuesto por semestre y que se

negocian el 7 de febrero de 2007.

Solución:

El plazo es de 15 semestres, los que hay entre el 7 de febrero de 2007 y el 7 de

agosto de 2014.

El valor de cada cupón es:

R = 100(0.139/2) R = N (r/p)

R = 6.95

Porque se redimen a 117, el monto al final del plazo es:

M = 100(1.17) o M = 117

25

MATEMATICA FINANCIERA I

El valor de compraventa es entonces:

C = 117 (0.402778165) + 6.95 (9.555549357)

C = 47.12504533 + 66.41106803

C = 113.5361134

C = $ 113.5361

El descuento es la diferencia entre este valor y el de redención:

Descuento = 117 - 113.5361 o $3.4639

La utilidad para el inversionista por cada bono que compra es:

U = 15(6.95) + 117 – 113.5361

U = $107.7139

13.Hallar el precio que debe pagarse el 10 de abril, por un bono de $500 que

se cotiza a 92, si el valor del cupón es de $20 pagaderos el 1ro. De enero

y el 1ro. de julio.

Solución:

Valor de cotización = 500(0,92) = $460

Del 1ro. de enero al 10 de abril, han transcurrido 100 de los 180 días del

periodo, o sea, k=5/9; aplicando la fórmula (69), tenemos,

P= 460 + 5/9 (20) = $471,11

14.Hallar el rendimiento de un bono de $1,000 al 18%, con cupones

trimestrales, redimible a la par dentro de 5 años si se cotizan a 92. Se

supone en fecha de cupón.

Solución:

26

MATEMATICA FINANCIERA I

P = C + (Fr – Ci) 1−(1+i)−n

i

P = 920; C=1,000 ;Fr=1000 (0,18)4

= 45, n=5(4) = 20 trimestres

900=1000 + (45-1000i).1−(1+i)−20

i

15.Un bono de $1000 al 6% anual convertible semestralmente, con

vencimiento el 1ro. de julio, puede ser redimido a la par el 1ro. de julio de

1990 o en cualquier fecha posterior. Hallar el precio de compra en enero

1ro. de 1985 para que el rendimiento sea del 5%. Se escoge como fecha

de redención la más cercana, o sea, el 1ro. de julio de 1990.

Solución:

P= C+(Fr – Ci) a n i

C=1000; F=1000; r=0,03; i=0,025, n=11

P=1000+(30-25) a 11 0,025

P= 1000 + 5 (9,5142) = $1047,57

16. ¿Cuánto se puede pagar el 1ro. de julio de 1981 por un bono de $1000 al

8% nominal convertible semestralmente, redimible con premio del 5% el

1ro. de julio de 1995, para obtener un rendimiento del 14% efectivo

anual?

Solución:

27

MATEMATICA FINANCIERA I

P = C + (Fr-Ci) a n i

C= 1050; Fr=1000(0,04) = 40, n028; i=√1,14 - 1 = 0,0677

P=1050 + (1000(0,04) – 1050(0,0677) a 28 0,0677

a 28 0,0677 = 1−(1,0677 )−28

0,0677 = 12,4114805

P= $664,19

17.Para un bono de $1000 con 27%, con cupones mensuales, hacer una

tabla de liquidación por días transcurridos.

Operando con una calculadora con función Xy y memoria.

Solución:

Interés mensual= 0,2712

= 0,0225

Cupón diario = 1000 (0,0225) = $22,50

Interés efectivo diario = (1,0225) 130

-1 = 0,000742

Se lleva a memoria 1,000742

Día Operaciones Intereses $ (valor

cupón)

1

1,000742

0,74

2 1,000742(MR)= 1,40

28

MATEMATICA FINANCIERA I

1,001485

3 1,001485(MR)=

1,002228

2,23

4 1,002228(MR)=

1,002971

2,97

.

.

.

Así sucesivamente

29 =1,0217

43

21,74

30 1,021743(MR)

=1,022500

22,50

DíaTasa efectiva

%

Valor cupón

según día

1

2

3

4

.

.

.

0,000742

0,001485

0,002228

0,002971

.

.

.

0,74

1,40

2,23

2,97

.

.

.

29

MATEMATICA FINANCIERA I

29

30

0,021743

0,022500

21,74

22,50

Completa los valores de los días 5 al 28

18.Un bono de $1000 al 6%, convertible semestralmente, es redimible al

105% de su valor nominal, opcionalmente, en abril 1ro. de 1990, con

vencimiento en abril 1ro. del año 2000. Hallar el valor en abril 1ro. de

1974, para que dé un rendimiento del 8%.

Se calcula el precio en ambas fechas, la opcional de redención y la de vencimiento

y se escoge el menor valor. Fecha abril 1ro. de 1990.

Solución:

P = C + (Fr – Ci) a n i

C = 1000(1,05) = 1,050; Fr = 1000(0,03) = 30; i= 0,04; n = 16(2) = 32

30

MATEMATICA FINANCIERA I

P=1050 + (30 – 42)a 32 0,04 = 1050 – 12 (17,8735) = $835,52

Para la fecha de vencimiento abril 1ro. del 2000; n = 52

P = 1050 – 12 a 52 0,04 = 1050 – 12(21,7476) = $789,03

El comprador debe pagar el menor valor o sea $789,03 y así asegura, por lo

menos, el rendimiento del 8% para su inversión.

19. Un bono de $1000 al 5% convertible semestralmente, es redimible a la

par el 1ro. de enero de 1991. Es comprado el 1ro. de julio de 1988 por un

inversionista que desea un rendimiento del 7%. Hacer el cuadro de

acumulación.

Solución:

Calculamos el precio de compra:

P = 1000 + (25-35)a 5 0,035

P = 1000 – 10(4,515) = $954,85

Perio

do

Valor

en

libros

a

princi

pio

Intere

ses

sobre

invers

ión

Intere

ses

del

bono

Acumula

ción

Valo

r en

libro

s a

final

de

31

MATEMATICA FINANCIERA I

de

perio

do

perio

do

1

2

3

4

5

954,8

5

963,2

7

971,9

8

981,0

0

990,3

4

33,42

33,71

34,02

34,34

34,66

25,00

25,00

25,00

25,00

25,00

8,42

8,71

9,02

9,34

9,66

963,

27

971,

98

981,

00

990,

34

1000

,00

20. Resolver el problema 7 por interpolación utilizando los precios en la

fecha de cupón más próxima. Por el método de los promedios se obtuvo

el rendimiento 5,51%. Calculamos el precio de compra para j(2) = 6% y

j(2) = 5%

Solución:

El precio P1 en julio 1ro. de 1985, para el 55 de rendimiento, es:

P1=C+(Fr – Ci) a n i = 1000 + (25-25) a 38 0,025=$1000

Para el rendimiento del 6% se tiene el precio P2

P2= 1000 + (25-30) a 38 0,03=1000 – 5(22,4925) =$887,54

Interpolando entre P1 y P2 se tiene:

1000 correspon

de a

0,0

5

937,5

0

correspon

de a

X

887,5 correspon 0,0 887,5 correspon 0,06

32

MATEMATICA FINANCIERA I

4 de a 6 4 de a

112,5

4

es a -0,01 como 49,96 es X=0,0

6

112,46 = 49,96

-0,01 x – 0,06

x-0,06 = −0,01(49,96)112,46

= - 0,004442

21.Un bono de $1000 al 16% con fechas de cupón 1ro. de febrero y 1ro. de

agosto, vence a la par el 1ro. de agosto del año 2010, pero puede ser

redimido desde el 1ro. de agosto del año 2000. Hallar el precio de compra

el 1ro. de agosto de 1984, para que dé un rendimiento del 28% por lo

menos, y hallar la utilidad del inversionista si el bono es redimido el 1ro.

de agosto del año 2005.

Solución:

Puesto que el interés que paga el bono es menor que el rendimiento deseado,

debe calcularse el precio en la última fecha de redención que es, indudablemente,

el más bajo.

P = C + (Fr – C) a n i

C = 1000; Fr = 1000(0,08) = 80; i= 0,14; n052 semestres.

33

MATEMATICA FINANCIERA I

P=1000 + (80 – 140) – 1−(1,14 )−52

0,14

P = 1000 + (-60)(7,135008)

P = $571,90

El 1ro. De agosto del año 2005 el valor en libros es

P=1000 + (80 – 140) – 1−(1,14 )−10

0,14

P = 1000 – 60 (5,216116)

P = 687,03

Puesto que el bono es redimido por $1000, la utilidad es de $312,97

22.Una compañía a emitido bonos para refinanciar su pasivo de corto plazo.

el valor nominal de casa bono es de $y ofrece una TEA por cupón anual

de % su fecha de redención es de años. La tasa del mercado es una TEA

de %

I = 15%(1000) =150

M =1000

Kb =15%

B0 = 150 1-(1+0,15)-15 +1000(1+0,15) -15

0,15

B0 =150(5,8474)+ 1000(0,1229)

B0 = 877,1 +122,89

B0 = $ 999,98 =$ 1000

0 1 2 15

34

MATEMATICA FINANCIERA I

B0 $150 $150 $150

$150

$1150

23.Considerando los datos del ejemplo anterior, el costo de oportunidad de

alternativas del mercado de similar riesgo (Kb) permanece constante a

una TEA de 15% ¿Cuál debería ser el valor del bono un año después?

B0 =150 1-(1+0,15) -14 +1000(1+0,15) -14

0,15

B0 =150(5,7245)+ 1000(0,1413)

B0 = $ 999,99 =$ 1000

24.Con los mismos datos del ejemplo anterior: La tasa de la economía cae

un año después que los bonos fueron emitidos y como resultado Kb cae

de 15 % a 10%.

35

B 0 = VALOR DEL BONO HOY O VALOR DE COTIZACION

I = IMPORTE DE INTERES GANADO CADA AÑO

M = VALOR NOMINAL PAR DE MADURACION DEL BONO

Kb = TASA DE INTERES DEL MERCADO O COSTO DE OPORTUNIDAD

DE ALTERNATIVAS DE SIMILAR RIESGO

N = NUMERO DE PERIODOS HASTA QUE EL BONO

MATEMATICA FINANCIERA I

B0 =150 1-(1+0,10)-14 +1000(1+0,10) -14

0,10

B0 =150(7,3667)+ 1000(0,2633)

B0 = $ 1368,33

DATOS

0 CF

150 CFJ

13MJ

1150 CFJ

10 i%

NPV= 1368,33

25.Asumamos que la de interés del Mercado de alternativas de similar riesgo

permanecen constantes a una TEA de 10 % para los próximos 13 años

¿Qué pasara con el precio de los bonos?

Solución:

B0 = 150 1-(1+0,15)-13 + 1000(1+0,10) -13

0,10

B0 = 150(7,1034)+ 1000(0,2897)

B0 = $ 1355,16

36

MATEMATICA FINANCIERA I

El valor del bono cayo en $1368,33 - $1355,16 =$13,17

26. Si usted compra el bono al precio de $1368,33 y lo vende un año mas

tarde, recibirá $ 150 de ingresos por interés, pero perderá $13,17 o un

retorno total de $136.90.

Interés o rentabilidad ganadas: $150/ $1368,33 =0,1096 =10,96 %

Capital ganado: $13,17/ $1368,33=0,0096 =0,96 %

CALCULO TASA DE INTERES DEL BONO

Total tasa de retorno: $ 136,90 / $ 1368,33 =0,100 =10 %

27.Usted tiene un bono que se redime a 14 años a una TEA de 15% de

interés por cupón, al valor par de $1000. El precio del bono es $ 1368,31

¿Cuál es la tasa de interés que usted ganaría si mantuviera en su poder

del bono hasta su maduración o reducción.

Solución:

B0 =1368,31 = 150 + 150 +… + 150 + 1000

(1+ Kb) 1 (1+ Kb) 2 (1+ Kb) 14 (1+ Kb) 14

$ 1368, 31 = 150 1-(1+ Kb)-14 + 1000 (1+ kb) -14

Kb

37

MATEMATICA FINANCIERA I

28.Lo que tenemos que hallar es Kb

Cuando no se cuenta con una calculadora financiera ni alguna formula de

aproximación, se tiene que hallar el valor “tanteando” .Se debe calcular

con diferentes tasas de hasta el valor aproximado.

Solución:

Iniciemos con 12%

$1368,33 =150 1- (1+ 0.12) -14 + $1000 (1+0,12)-14

0.12

$1368,33 = 150 (6,6262) +$ 1000(0,2046)

$1368,33 =$ 1198,63 por lo tanto no es 12%

Calculemos con 10%

$1368.33 = 150 1- (1+ 0.10)-14 + $ 1000 (1+0,10)-14

0.10

$1368,33 = $1368.33

29.Un bono de minera santa Rita se cotiza hoy al 109,246 % de su valor

nominal. Al bono le resta 6 años y la rentabilidad al vencimiento 8% anual

¿Cuál debe ser el tipo el interés por cupón de esos bonos? El valor

nominal del bono es $ 1000.

$ 1092,46 = x 1- (1+ 0.08)-6 + $ 1000 (1,08)-6

0.08

38

MATEMATICA FINANCIERA I

X= $100

30.Se ha adquirido un bono a $ 948,46 que ofrece una TEA de 6% de interés

por cupón , con una redención de 3 años

a) ¿Cuál es la nueva rentabilidad al vencimiento del bono?

0 1 2 3

-$948,46 $ 60 $ 60 $60 +

$1000

1060

31.Compañías unidad emitió bonos por la suma de 2000000, aun valor

nominal de $ 1000 cada uno ofrece un interés por cupón de una TEA de

7% y le queda cinco años para su redención.

a) ¿Cuál es el interés por cupón que reciben los bonistas?

I = 0,07 ($ 1000) =$7000

b) Si los intereses se pagan anualmente ¿Cuál es el precio del bono, si al tentativas de bonos de similar riesgo ofrecen una TEA de 9 %?

B0 = $70 (1-(1+0,09) -5) + $ 1000 (1,09) -50,09

B0 =$272,28+ $ 649,983

B0=$922,21

RENTABILIDAD DE UN BONO DE CUPON SEMESTRAL

32.Calcular la rentabilidad de un bono a 5 años, cupón del 5% semestral que

se adquiere por el nominal.

39

MATEMATICA FINANCIERA I

Solución: TIR 10.25 efectivo anual

Cupón% 5%

Nominal 100.00

Cupón 5.00

semestre Flujo caja

0 -100

1 5.00

2 5.00

3 5.00

4 5.00

5 5.00

6 5.00

7 5.00

8 5.00

9 5.00

10 105.00

PRECIO DEUN BONO EN EL MERCADO SECUNDARIO

33.Determinar el precio de adquisición de un bono en el mercado secundario

que cotiza al 3,4% efectivo anual y al que restan para su amortización 3

años y 9 meses. El cupón es del 1,5% semestral.

TIR 3.40%efectivo anual

TIR 0.8394% efectivo

40

Por ser un bono estándar la TIR se puede calcular simplemente dividiendo el cupón entre el nominal. o bien diciendo que la TIR coincide con el cupón expresado en porcentaje . Pero en este caso al ser semestral los flujos , la TIR es semestral .Finalmente hemos de anualizarla

TIR semestral 5%

TIR 10.25%

MATEMATICA FINANCIERA I

trimestral trimestral

Tiempo3 años y 9

mesesTrimestres 15 TrimestresCupón % 1.50% semestralCupón 1.50 semestralesNominal 100.00 (*)

(*)El enunciado no da el nominal. Supondremos que es de 100 €, así el precio se

podrá interpretar como un porcentaje del nominal.

Precio = 99.45

El precio del bono es el Valor Actual de los Flujos de Caja

que promete el bono a futuro, descontados a su TIR .Ha

sido necesario trabajar con periodicidad trimestral porque

el tiempo más pequeño entre dos flujos de caja es el

trimestre. Concretamente, el tiempo entre la adquisición y

el cobro del primer cupón. Además para que el VAN

funcione es imprescindible poner flujo de caja cero en los

trimestres donde no se paga cupón. Si esas celdas se

dejan vacías la formula no funciona bien.

Sabemos que el tiempo entre la adquisición y el cobro del

primer cupón es de un trimestre ya que la amortización del

bono coincide con el pago del último cupón, y contando

los periodos hacia atrás en el tiempo llegamos a la

conclusión de que el bono se adquiere en t=1/2

semestres.

PRIMA DE AMORTIZACION

34.Un inversor adquiere un bono en el mercado secundario por el nominal.

El bono paga un cupón semestral del 6% nominal anual, venciendo el

41

Trimestre

Flujos Caja

0 - P1 1.50 €2 0.00 €3 1.50 €4 0.00 €5 1.50 €6 0.00 €7 1.50 €8 0.00 €9 1.50 €

10 0.00 €11 1.50 €12 0.00 €13 1.50 €14 0.00 €15 101.50 €

MATEMATICA FINANCIERA I

próximo dentro de 6 meses, y se amortiza dentro de 18 meses, con una

prima de amortización de 10 €. El nominal del bono es de 1.000 €. Calcular

la rentabilidad del bono.

Solución:

TIR 6.7554 Efectivo anual

TIR Semestral 3.32% efectivo semestral

NOMINAL DE BONO

35.Se puede adquirir un bono en el mercado secundario por P €. Su nominal

es N € y vence dentro de 3 años y 2 meses. El bono proporciona un

cupón semestral del 8% nominal anual. El primer cupón por importe de 50

€ se cobrará dentro de p meses. Calcular N.

Solución: Nominal 1250.00

Cupón nominal % 8% nominal anualm 2 numero de sub periodos contenidos en el periodoCupón semestral % 4%Cupón 50 €

Cupón = cupón(%) x nominal

42

Cupón nominal % 6%

nominal anual

Cupón % 3% semestralNominal 1,000.00Cupón 30.00 semestralPrima Amort. 10.00Precio % 100%Precio 1,000.00

Semestre

Flujo Caja

0- 1,000.00

1 30.00

2 30.00

3 1,040.00

MATEMATICA FINANCIERA I

Nominal 1250.00

DEUDA PERPETUA

36.Determinar el precio de mercado de un bono de deuda perpetua con

cupón anual del 3%, TIR del 10%, nominal de 1.000 € y sabiendo que hoy

cobrará el cupón.

Solución: Precio 330.00

El precio de un bono es el valor actual de los flujos de caja futuros descontados a su TIR.

43

Cupón % 3% anualNominal 1,000.00Cupón 30.00 anualesTIR 10%

Año PrestaciónContraprestació

n0 - P 301 302 303 304 305 306 307 308 309 30

10 3011 3012 3013 3014 3015 30: :: :: :

∞ 30

MATEMATICA FINANCIERA I

37.Una inversión ofrece rendir $3000 el primer año, $ 4000 el segundo y $

3000 el tercero. Hoy esos flujos esperados valen $ 9076.77 considerando

una tasa de descuento del 5%.

Solución:

La fórmula para calcular el valor presente de una cantidad de dinero es:

VP =       F      

(1 + r)T

Donde:

F=Cantidad futura

r = Tasa de descuento

T = Tiempo

El VP permite conocer el valor de diferentes pagos futuros.

VP =$ 2857.14+$ 3628.12+$ 2591.51

VP

=

$ 9076.77

Hablando de bonos, el valor presente permite conocer su precio

considerando los diferentes pagos de intereses y del principal al

44

VP =

  $ 3000 

(1 +

0.05)

+  $ 4000 

(1 + 0.05) 2

+ $ 3000 

(1 + 0.05) 3

MATEMATICA FINANCIERA I

vencimiento. La tasa de descuento es la tasa pagada por la alternativa de

ahorro más atractiva.

38.Se tiene un bono de $10,000 que paga el 5% anual y vence dentro de dos

años. ¿Cuánto se debería pagar por el bono si la tasa que ofrecen los

depósitos bancarios es del 6%?. Los diferentes flujos del bono deben

traerse al presente a la tasa del 6% como sigue

Solución:

VP =       F      

(1 + r)T

VP =

 $ 500 

(1 +

0.06)

+ $ 500  

(1 + 0.06) 2

+ $ 10000 

(1 + 0.06) 2

VP =$

471.70

+$ 445+$ 8899.97

VP =$ 9816.67

39.El precio del bono debería ser como máximo: $ 9816.67. Un bono tiene

un valor nominal o principal de $20,000 y paga intereses del 5%. La yield-

to-maturity (YTM) es 4% y el vencimiento es dentro de cinco años. El

bono pagará su primer cupón de $1000 dentro un año, $1000 dentro de

dos años, $1000 dentro de tres años, $1000 dentro de cuatro años, $1000

y $20,000 al final del quinto año.

45

MATEMATICA FINANCIERA I

A continuación se calcula el valor presenta de cada uno de los pagos descontados

al YTM de 4%:

Solución:

$ 10000

  1.04=  $ 961.54

$ 10000

  1.04 2= $ 924.56

$ 10000

  1.04 3= $ 888.99

$ 10000

  1.04 4= $ 854.80

$ 10000

  1.04 5= $ 812.93

$ 20000

  1.04 5= $ 16438.54

La duración será igual al promedio ponderado de los diferentes pagos:

D =1*$961.54 + 2*$924.56 + 3*$888.99 + 4*$854.80 + 5*$821.93 + 5*$16438.54

     $961.54 + $924.56 + $888.99 + $854.80 + $821.93 + $16438.54

D = 4.56 años

Cupón que percibe el inversor

40.Don Andrés adquiere un bono en el mercado primario por 970. El bono es

de 1.000 nominales y proporciona un cupón de C durante 4 años,

amortizándose por el nominal. Todos los cupones se ingresan en una

cuenta corriente bancaria que proporciona una rentabilidad del 2%

efectivo anual. Si Don Andrés obtiene una rentabilidad del 4% efectivo

anual durante los 4 años por sus 970 , determinar el importe del cupón

46

MATEMATICA FINANCIERA I

Solución:

Año Flujo Caja Flujos Caja V.F. C/C0 -970 - 970.00 €1 C 32.70 € 34.70 €2 C 32.70 € 34.02 €3 C 32.70 € 33.35 €4 1000+C 1,032.70 € 1,032.70 €

Meses transcurridos

41.Doña Isabel adquiere un bono de deuda perpetua en el mercado

secundario por 1.349,89. El bono paga un cupón semestral de 20 . La TIR

del bono en el momento de la compra es del 3%. Calcular cuantos meses

transcurren desde la compra hasta el cobro del primer cupón.

Solución:

SemestreFlujos Caja

0

47

Precio 970.00 €Nominal 1,000.00 €Tiempo 4 años

C/C 2%efectivo anual

Rentabilidad inversor 4%Cupón 32.70 €

Precio 1,349.89 €Cupón 20 € semestralTIR 3% efectivo anualTIR semestral 1.4889%

efectivo semestral

TIR mensual 0.2466% efectivo mensualVencimiento Perpétua

MATEMATICA FINANCIERA I

1 202 203 204 205 20: :

∞ 20+N

Valor Actual de la Renta Perpetua en t=1 semestres 1,363.26 0

1 Valor de la Renta 1 mes antes 1,359.91 1

2Valor de la Renta 2 meses antes 1,356.56 2

3Valor de la Renta 3 meses antes 1,353.22 3

4Valor de la Renta 4 meses antes 1,349.89 4

5Valor de la Renta 5 meses antes 1,346.57 5

6Valor de la Renta 6 meses antes 1,343.26 6

7Valor de la Renta 7 meses antes 1,339.95 7

8Valor de la Renta 8 meses antes 1,336.66 8

Precio de venta

42.Se compra un bono de nominal 1.000 en el mercado secundario el 1 de

julio de 2004 por 922. El cupón semestral es del 5% nominal anual y el

próximo pago se efectuará el 1 de enero de 2005. Se vende el bono el 1 de

mayo de 2005 por un precio P, obteniéndose una rentabilidad del 5%

efectivo anual. Calcular P.

Solución:

Nominal 1,000.00Fecha Compra 01/07/2004Precio 922.00Fecha cobro 1er cupón 01/01/2005Fecha Venta 01/05/2005

48

MATEMATICA FINANCIERA I

Rentabilidad obtenida % 5% efectivo anualCupón semestral nominal 5% nominal anual

Cupón semestral % 2.5%efectivo semestral

Cupón semestral 25.00

Fecha Flujo Caja Flujos de Caja01/07/2004 - 922.00 - 922.0001/01/2005 25.00 25.0001/05/2005 +P 934.83

Cupón corrido:

43.Se adquiere el 17 de octubre de 2004 un Bono del Estado que cotiza a un

precio ex cupón del 105,874% (1058,74 €). Cupón del 4,3% pagadero el 15

de junio de cada año, y con vencimiento el 15 de junio de 2007. Calcule el

cupón corrido, el precio de adquisición del bono y su TIR.

Solución:

TIR 2.0066%efectivo anual

Precio 1,073.35 €Cupón Corrido 14.61 €

Nº de días desde el último cupón 124Nº de días del periodo de cupón 241Total días del periodo entre cupones 365

Fecha Flujos caja15-jun-04

17-oct-04- 1,073.35 €

49

Fecha adquisición 17-oct-04Pex % 105.874%Pex 1,058.74 €Nominal 1,000.00 €Cupón % 4.30%Cupón 43.00 €Pago cupón 15-junVencimiento 15-jun-07

MATEMATICA FINANCIERA I

15-jun-05 43.00 €15-jun-06 43.00 €15-jun-07 1,043.00 €

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 2

1. DEFINICIÓN DE BONOS 3

2. CLASES DE BONOS 4

3. CONTENIDO DE LOS BONOS 5

4. ¿POR QUÉ INVERTIR EN BONOS? 5

4.1 Claves para escoger el Bono que más le conviene 6

4.2 La tasa de interés: 6

4.3gMaduración: 6

4.4 Bonos con contratos: 6

4.5 Calidad del crédito: 7

4.6vPrecio: 7

4.7wYield: 7

4.8 Tasas tributarias e impuestos. 8

5. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA EMISIÓN DE BONOS 8

A) Ventajas para las empresa emisoras 8

B) Ventajas con los inversionistas 9

C) Desventajas para las compañías 9

D) Desventajas para los inversionistas 9

6. TIPOS DE BONOS: 9

a. Bonos par 10

b. Bonos al descuento 10

c. Bonos de interés capitalizados 10

d. Canje por bonos con descuento 10

50

MATEMATICA FINANCIERA I

EJERCICIOS 11

BIBLIOGRAFIA 50

51