Teora Microeconmica

Irn Apolinar Peredo Cortes

6 de septiembre de 2011

2

ndice general

1. Juegos estticos con informacin completa 5

1.1. Estrategias estrictamente dominadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Estructuras de Mercado 11

2.1. Monopolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Perdida de Eciencia Econmica . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Oligopolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1. La Paradoja de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2. Productos diferenciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3. Modelo de Ciudad Lineal con costos de transporte cuadrticos 16

2.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3

Introduccin

Casi todos los acontecimientos de nuestra vida cotidiana esta relacionada con la toma

de decisiones, estas son tomadas por ejemplo en las relaciones de pareja al decidir en

que lugar se va a cenar o que pelcula se ver, en el trabajo establecemos decisiones

a n de maximizar los benecios tanto propios como empresariales, en el ambiente

escolar, etc. Toda toma de decisiones involucra diferentes tipos de actores y diferentes

tipos incentivos o metas, sin embargo cabe destacar que cada individuo tiene por lo

general una meta la cual es la ms deseable y, para lograrlo establece una estrategia

para lograr dicho objetivo, precisamente eso es lo que estudia la Teora de los Juegos.

La Teora de Juegos desde ahora abreviada TJ para algunos es la parte de las mate-

mticas que se encarga del estudio de la toma de decisiones de los individuos dentro

de un sistema, en este sentido la TJ tiene grandes aplicaciones en diferentes disci-

plinas tales como las ciencias polticas, la psicologa y la economa, es precisamente

sta sobre la que exacerbaremos en el presente documento.

Qu es un Juego ?

Un juego es una representacin formal de una situacin donde existen individuos

los cuales tienen estrategias interdependientes y que ademas cada combinacin de

estrategias ejecutadas se le retribuyen en un cierto valor de utilidad. Los juegos bi-

personales pueden ser representados de una forma cmoda de la forma estratgica

o normal mediante una matriz binaria donde generalmente las las le corresponde

a las estrategias del jugador 1 y las columnas al jugador 2. De igual forma cada

interseccin de estrategias proporciona un nivel de utilidad donde el primer nmero

le corresponde al jugador 1 y el segundo al jugador 2. Como veremos ms adelante

un juego puede ser expresado de la forma extensiva lo cual ser necesario cuando

analicemos juegos de ms de una tirada. Los juegos pueden clasicarse como juegos

de informacin completa, incompleta, de estrategias puras o estrategias mixtas, entre

los ms comunes.en el Capitulo 1 analizaremos los juegos estticos con informacin

completa, es decir, aquellos juegos donde los conjuntos de informacin son del do-

minio publico, ademas se dice que son estticos porque ambos jugadores eligen sus

estrategias simultneamente.

4

Captulo 1

Juegos estticos con informacin

completa

Deniciones bsicas

Un juego esta formado por I jugadores i, denotaremos a Hi como el conjunto deinformacin del jugador i, A son las posibles acciones del juego y C(H) A es elconjunto de acciones posibles con el conjunto de informacin H. Una estrategia parael jugador i es una funcin si : Hi ! A donde si 2 Si. Si es el conjunto de todas lasestrategias puras del jugador i, de igual forma tiene una funcin de pagos uifg. Portanto un juego de forma normal N tiene puede representarse como:

N = [I; fSig; uifg]

Denotamos al producto cartesiano

Qi2I Si como S, a los elementos en S les llamare-mos perl de estrategias puras, es decir, s1 puede ser reescrito como (s

i j si) donde

si es la estrategia llevada acabo por el jugador i y si es el conjunto de estrategiasdel resto de los jugadores.

1.1. Estrategias estrictamente dominadas

Dentro del estudio de la teora de juegos como ya hemos observado es fundamental

siempre establecer como decisin la mejor estrategia de tal forma que obtengas el

mejor pago posible. Como en todo conjunto de estrategias existen algunas que son

obviamente estrategias desechables, en el sentido de que siempre hay estrategias que

indudablemente son mejores que esa. Cuando en un juego encontramos este tipo de

estrategias diremos que es una estrategia dominada ya sea de manera estricta o de

manera dbil.Para ejemplicar esto supngase dos estrategias puras por ejemplo s^iy ~si, se dice que ~si esta dominada estrictamente si:

ui(s^i j si) > ui(~si j si)8si 2 Si

5

6 CAPTULO 1. JUEGOS ESTTICOS CON INFORMACIN COMPLETA

Si la desigual no es estricta diremos que es dbilmente dominada. Usando esta re-

gla podemos resolver un juego mediante la eliminacin de estrategias estrictamente

dominadas, utilizaremos el siguiente ejemplo para mostrar el uso de la eliminacin

de estrategias estrictamente dominadas como mtodo de solucin de un juego de la

forma normal.

Ejemplo 1.1 El dilema del prisionero. Consideremos una situacin donde existen

dos acusados de un robo, ambos son aislados y listos para el interrogamiento. Cada

jugador tiene un el siguiente conjunto de estrategias puras Si ={confesar, no con-fesar}. El juego se puede expresar de la forma normal mediante la siguiente matriz

binaria:

No Confesar Confesar

No Confesar -2,-2 -10,-1

Confesar -1,-10 -5,-5

Cada casilla de la matriz representa los pagos uifg de cada jugador (prisionero),generalmente el jugador 1 le corresponden las estrategias de las (horizontal) y a al

jugador 2 las columnas (vertical); por ejemplo, la casilla arriba-izquierda donde el

jugador 1 decide no confesar y el jugador 2 decide igualmente no confesar forma un

perl de estrategias puras s1 ={No Confesar, Confesar} los respectivos pagos sonuij = f2;2g. Cabe destacar que por convencin se le asigna al jugador 1 el pagode la izquierda y al 2 el de la derecha.

El juego anterior nos dice que si el jugador 1 conesa tendr -1 da de libertad (1

da de encierro) o -5 das dependiendo de la accin del jugador 2. De la misma forma

el jugador dos tendr -2 o -10 das de libertad si se queda callado y depender de

lo que decida el jugador 1. La forma de obtener la solucin de este juego mediante

la eliminacin de estrategias estrictamente dominadas consiste en lo siguiente: para

el jugador 1 la estrategia confesar domina estrictamente a no confesar y dado que

1 > 2 y 5 > 10 , podra ser escrito de esta forma:

u1 = {Confesar | si } >u1 = { No Confesar | si}

Donde si contiene a las estrategias del jugador 2 las cuales son Confesar o NoConfesar. Dado que el jugador 1 es un agente maximizador elimina la estrategia No

confesar, por lo que el juego se convierte en:

No Confesar Confesar

Confesar -1,-10 -5,-5

Ahora el jugador 2 se da cuenta que Confesar le retribuye ms que No Confesar, es

1.2. EQUILIBRIO DE NASH 7

decir, 5 > 10, es decir:

u2 ={Confesar | si}>u2 ={No confesar | si }

Por tanto el jugador 2 elimina la estrategia de No Confesar, al nal solo queda la

solucin del juego con el perl de estrategia puras {Confesar, Confesar} donde a cada

uno le corresponden -5 das de libertad. Por una parte cabe destacar que en este tipo

de juegos asumimos una cierta racionalidad de los jugadores, es decir, ambos suponen

que su compaero de juego es racional en el sentido que siempre busca el mximo

nivel de utilidad posible. Por otra parte es de sealar que la solucin del juego no

es la mejor para ellos en conjunto, es decir, el perl de estrategias {No Confesar, No

Confesar} les brinda un mayor nivel de utilidad. Esta es una caracterstica importante

de los juegos No Cooperativos, podemos armar que los equilibrios no son siempre

socialmente ptimos, sin embargo si signica la mejor respuesta de cada jugador ante

la estrategia seleccionada por el resto de los jugadores asumiendo que es racional en

el sentido antes expuesto.

1.2. Equilibrio de Nash

En un Equilibrio de Nash (EN) la estrategia elegida por cada jugador es la

mejor respuesta a las estrategias del resto del resto de los jugadores si. Es decir: Unperl de estrategias s = fs1; s2; :::; sIg constituye un EN en estrategias puras paraun juego N = [I; fSig; uifg] para todo i = 1; :::; I

uifsi jsig uifsijsig8si 2 SiEjemplo 1.2 La batalla de los Sexos. Supngase que tenemos el siguiente proble-

ma: Ale y Fabi son una pareja que tienen gustos muy diferentes sin embargo siempre

preeren estar juntos a estar separados. Ahora bien, Ale quiere salir el n de semana

con sus amigos y le gustara que Fabi lo acompaace. De igual forma Fabi quiere

salir con Ale a algn Antro pero sin la compaa de los amigos de Ale. La matriz de

pagos es la siguiente:

Antro Amigos

Antro 2,1 0,0

Amigos 0,0 1,2

Donde nuevamente las las son para el jugador 1, en este caso Fabi y las columnas

para Ale. Si Ale decide ir al antro a Fabi le conviene tambin ir al antro ya que su

ganancia es de 2. Si ale decide ir con sus amigos a Fabi no le queda ms remedio

que acompaarlo ya que 1 > 0 aunque el preferira que ella eligiera ir con sus amigosporque su ganancia sera mayor. en este juego existen 2 EN en estrategias puras.

8 CAPTULO 1. JUEGOS ESTTICOS CON INFORMACIN COMPLETA

1.3. Ejercicios Resueltos

Problema 1

Considera el juego bilateral resumido por la siguiente tabla de pagos. Qu estrate-

R S T

A 3,0 2,2 1,1

B 4,4 0,3 2,2

C 1,3 1,0 0,2

gias del juego sobreviven la eliminacin iterativa de estrategias dominadas? Calcula

los equilibrios de Nash en estrategias puras.

Solucin De entrada observamos que A domina de manera estricta a C, y R dominade manera estricta a T . Soobreviven a la eliminacion iterativa A;B;R y S. Existen2 Equilibrios de Nash, A;S y B;R.

Problema 2

Dos individuos negocian sobre cmo repartirse 1 Peso. Cada individuo i = 1; 2 in-troduce en un sobre cerrado su propuesta i sobre cunto desea conseguir. A conti-nuacin, un interventor externo abre los sobres y ejecuta el siguiente reparto:

Si 1 + 2 1,da a cada individuo la cantidad de i + 1122 .

Si 1 + 2 > 1 ningn individuo revise nada

(1) Dibuja la funcin de pagos del individuo 1 si el 2 propone 2 = 0. Dibuja lafuncin de pagos del 1 si el 2 propone 2 =

12

(2) Representa la correspondencia de mejor respuesta del individuo 1 para cual-

quier posible propuesta del 2.

(3) Encuentra los equilibrios de Nash en estrategias puras (Sugerencia: dibuja en

el mismo grco las dos correspondencias de mejor respuesta).

Solucin:

Si 2 = 0, la funcin de pagos de 1 es 1+12 si 1 1. y 0 en otro caso. Si

2 =

12 , la uncin de pagos es

1+214 si 1 12 y 0 en otro caso.

si 2 = 1, cualquier valor en [0; 1] es mejor respuesta. si 2 < 1 la mejorrespuesta es 1 2.

Es fcil ver que 1 = 2 = 1 es un equilibrio, tambien lo es cualquier combina-cin estratgica (1; 2) tales que 1 + 2 = 1

1.3. EJERCICIOS RESUELTOS 9

B C

A x; 3 a; b

B 1; d e; 0

Problema 3 (15 puntos)

Dado el siguiente juego estratgico Si x > 1; a < e; b < 3 y d > 0 encontrar el o losequilibrios de Nash en estrategias puras.

Solucin

El nico equilibrio de Nash esta en x; 3 ya que si el jugador 1 (las) selecciona A Eljugador dos selecciona 3 a b dado que 3es mayor a b, la misma lgica se aplica entodo el juego.

10 CAPTULO 1. JUEGOS ESTTICOS CON INFORMACIN COMPLETA

Captulo 2

Estructuras de Mercado

2.1. Monopolio

Se le denomina Monopolio a aquella estructura de mercado donde solo existe un

competidor (1 empresa) desde el punto de vista de la teora de los juegos, es un juego

con un jugador donde tiene libertad de imponer estrategias en un juego esttico. Las

reglas de este juego puedes ser descritas como:

(1) Derecho exclusivo de venta (Poder de Mercado)

(2) Selecciona el precio que maximice su utilidad (a la Bertrand)

(3) Restricciones tecnolgicas C(q) y cunductas de consumo dadas p = D1(q)

Dentro de las causas comunes que brindan el Poder de mercado a un monopolista son

la existencia de Economas de escala (costos marginales constantes ante incremen-

tos en la produccin), tcticas estratgicas (discriminacin de precios) o fusiones.

Otra caracterstica de esta estructura de mercado son las barreras de entrada las

cuales pueden ser exgenas como la tecnologa utilizada por el monopolista o ma-

terias primas limitadas y endgenas que son medidas estratgicas realizada por el

monopolista. Denominemos a qm = D(p) la funcin de demanda de un monopolista,denominemos a su funcin inversa p = D1(qm) (de manera indistinta se puede uti-lizar la notacin p = p(qm)), denominemos C(q) a los costos de producir q unidadesde producto. Asumimos que la funcin de demanda D(p) es continua y diferenciabletal que D

0(qm) < 0, el monopolista maximiza sus benecios seleccionando un nivelde pm, es decir:

maxp

m = pD(p) C(D(p)) (2.1)Las condiciones de primer orden estn dadas por:

@m

@p= p

@D(p)

@p+D(p) @C(D(p))

@D(p)

@D(p)

@p= 0 (2.2)

=

p @C(D(p))

@D(p)

@D(p)

@p+D(p) = 0 (2.3)

11

12 CAPTULO 2. ESTRUCTURAS DE MERCADO

A partir de una manipulacin de la ecuacin (3) encontramos el Indice de Lerner

dividiendo toda la ecuacin por p obtenemos:p @C(D(p))

@p

1

p= D(p)

@D(p)@p

1

p(2.4)

o

pm C 0(D(p))pm

=1

"(2.5)

Donde " = D0pm=D denota la elasticidad de la demanda ante el precio de mono-polio pm, por otra parte qm D(pm) denota la produccin del monopolio, podemosreescribir la condicin de primer orden como una igualdad entre el ingreso marginal

y el costo marginal:

IM(qm) p(qm) + p0(qm)qm = C 0(qm) (2.6)

El termino p0(qm)qmrepresenta una un "markup"(margen) que gana el monopolistaen su decisin de produccin y que hace que p 6= C 0(D((pm)). La ecuacin (5) esconocida como el ndice de Lerner que el el ratio que nos muestra la proporcin

que representa la diferencia entre el precio de monopolio y los costos marginales con

respecto a los precios y esto es igual a inverso de la elasticidad de la demanda.

2.1.1. Perdida de Eciencia Econmica

Como ya hemos echo notar la existencia de un monopolio genera distorsiones en los

precios pagados por los consumidores, dichas distorsiones pueden expresarse como el

margen obtenido por el monopolista, la perdida de eciencia econmica (Deadweight

Welfare Loss) el cual puede ser expresado como:

DWL =

Z qcqm

[p(q) c0(q)]dq > 0 (2.7)

El rea comprende la interseccin de las curvas p(q) y c0(q) (funcin de demanda y decosto marginal) los cuales estn limitados por las cantidades qm y qc, este ultimo esla cantidad producida en competencia perfecta. Los excedentes tanto del consumidor

como del productor estn dados por:

ECm =

Z qm0

[p(q) p(qm)]dq (2.8)

EPm =

Z qm0

[p(qm) C 0(qm)] (2.9)

Ejemplo 1.1Dada la funcin de demandaD(p) = p y costos marginales constantesc calcular el precio y cantidad elegida por el monopolista,el indice de Lerner. El

2.1. MONOPOLIO 13

Figura 2.1: Como observamos a diferencia del anlisis de competencia perfecta, el

monopolio maximiza su utilidad cuando el costo marginal es igual al ingreso marginal,

a este nivel selecciona qm que es la cantdada que maximiza sus benecios, la grandiferencia es que el ingreso marginal no es igual a el precio.

mximo benecio del monopolista esta dado por:

maxp

m = pp pc (2.10)@Pim

@p= (1 )p cp1 (2.11)

=p

p1=c1 ) p

m =c

1 (2.12)

sustituyendo el valor de pm en la ecuacin de demanda obtenemos la demanda delmonopolista:

D(p) = p =

c

1

= qm (2.13)

El indice de Lerner est dado por:

p cp

=c1 c

c1(2.14)

=

cc(1)1c1(2.15)

=1

(2.16)

14 CAPTULO 2. ESTRUCTURAS DE MERCADO

2.2. Oligopolio

2.2.1. La Paradoja de Bertrand

Consideremos el siguiente modelo oligopolstico propuesto por Joseph Bertrand (1883),

dicho modelo propone la existencia de dos empresas (Duopolio) en un mercado.En

este juego asumimos que los bienes producidos por las empresas son bienes sustitutos

perfectos en las funciones de utilidad de los consumidores. Las funciones de demanda

pueden ser expresadas como Qi = Di(pi; pj), asumimos que D() es continua y estric-tamente decreciente para toda p tal que D(p) > 0, ambas empresas tienen retornosconstantes a escala y los mismos costos c > 0, por unidad producida, asumimos queD(c) 2 [0;1). Para este modelo cada empresa i 2 I selecciona una precio p talque maximice su utilidad. Un perl de estrategias en este juego puede ser descrito

como p = fpijpig, Bertrand supone que una sola empresa podra satisfacer toda lademanda de mercado.La funcin de benecios de la empresa i puede ser expresadacomo:

i(pi:pj) = (pi c)Di(pi:pj) (2.17)Donde la demanda de la rma i, denotada por Di esta dada por:

Di(pi:pj) =

8>:Dpi if pi < pj ;12Dpi if pi = pj ;

0 if pi > pj :

Lo anterior implica que la demanda del jugador i, Di abastece todo el mercadocuando establece un precio ms bajo que su competidor, en el segundo caso ambas

empresas se reparten la mitad de la demanda total cuando sus precios son iguales

y por ende la empresa i tiene benecios nulos cuando su precio es mayor que elprecio de su competidor. Bertrand sostiene la existencia de la siguiente paradoja:

ambas empresas intentan jar un precio p que maximice sus benecios, sin embargosiempre existe la posibilidad de que ante un precio pi > c la empresa j pueda imponerun precio pj+ tal que < (pic). Para la empresa i la mejor respuesta a la empresai se da cuando pi = c, por tanto en el equilibrio pi = pj = c. Es decir la paradoja sebasa en:

maxpi

i(pi:pj) = (pi c)Di(pi:pj)() pi = pj = c) i(pi:pj) = 0 (2.18)

Es decir, en el intento de maximizar los benecios, el nico equilibrio se da cuando

el precio es igual a los costos marginales y por ende al igual que en competencia

perfecta los benecios son nulos.

La paradoja de Bertrand puede ser resuelta de diferentes formas claro, siempre y

cuando se exibilice alguno de los supuestos establecidos por Bertrand, uno de los

ms analizados en el campo de la Organizacin Industrial es el caso con productos

diferenciados lo cual se expondra continuacin.

2.2. OLIGOPOLIO 15

2.2.2. Productos diferenciados

Suponga dos funciones inversas de demanda pi = D1i (Qi), en este caso romperemosel supuesto propuesto por Bertrand de productos homogneos para introducir pro-

ductos diferenciados con un cierto grado de sustitucin, las funciones lineales pueden

expresarse como:

p1 = M Ql Q2 (2.19)p2 = M Q2 Q1 (2.20)Despejando Q1 de la ecuacin (1.3) obtenemos:

Q1 = M Q2 p1 (2.21)Despejando Q2 de (1.4) y sustituyendo en (1.5) obtenemos las funciones de demandaD1(p1; p2) = Q1.

Q1 = M [M Q1 p2] p1= M M + 2Q1 + p2 p1=

M

1 + +

1 2 p2 1

1 2 p1 = D1(p1; p2)

La respectiva funcin de benecios esta determinada por:

1(p1; p2) = (p1 c)D(p1p2) (2.22)

= (p1 c)

M

1 + +

1 2 p2 1

1 2 p1(2.23)

Derivando la ecuacin (1.7) respecto a p1 i despejando obtenemos:

maxp1

1 =@1

@p1=

M

1 + 2p1

1 2 +c

1 2 +p2

1 2 = 0 (2.24)= M(1 ) 2p1 + c+ p2 = 0 (2.25)La funcin de reaccin de la empresa 1 R(p2) puede ser expresado como:

p1 = R(p2) =1

2[M(1 ) + c+ p2] (2.26)

Dado que en equilibrio (EN) p1 = p2, es decir:

p p

2=

M(1 ) + c2(2.27)

p1

2

=

M(1 ) + c2(2.28)

p =M(1 ) + c

2 8 < 2 (2.29)

Cuando = 1 ) p = c y caemos en la paradoja de Bertrand con productoshomogneos, fuera de esto la paradoja se Rompe.

16 CAPTULO 2. ESTRUCTURAS DE MERCADO

2.2.3. Modelo de Ciudad Lineal con costos de transporte cuadrti-

cos

El modelo de ciudad lineal con costos de transporte cuadrticos en este caso obedecen

al anlisis de la teora de la localizacin iniciada por Von Thnen en 1826 con su

modelo del lugar central, este modelo se desarrolla bajo la misma premisa: costos de

transporte.

Supuestos:

Los consumidores de encuentran distribuidos uniformemente dentro de un cier-to espacio lineal, es decir esta distribuido desde 0 asta 1.

Existen dos empresas localizadas a lo largo del segmento. Los productos que ofrecen las empresas son idnticos excepto por la localizacinde la empresa.

El costo marginal es constante e idntico para ambas empresas C 0(q) = c1 =c2 = ~c.

Cada consumidor compra una nica cantidad de producto.Como veremos tanto la utilidad de los consumidores como la utilidad de las empresas

dependen en una primera etapa de la localizacin de estas, en una segunda etapa

una ves encontrada la localizacin optima inicia la eleccin de precios en el cual

retornaremos al concepto de equilibrio de Nash.

Existen i:::n consumidores, el consumidor i esta localizado a una cierta distanciax 2 [0; 1]. La funcin de utilidad de del consumidor representativo esta dada por:

Uij = r pij tx2ij (2.30)

Donde:

r: es el precio de reserva, pj : es el preci del producto de la empresa j, xij : distancia entre la localizacin del consumidor i y la localizacin de laempresa j en el segmento,

t consto de transporte por unidad de distancia.Lo anterior implica si los costos de trasporte son cuadrticos que, los costos de

trasporte en el que incurre el consumidor se consume en la empresa 1 estarn dados

por tx2 y en los que incurre si consume en la empresa 2 sern t(1x)2, el coste totaldel producto para al consumidor est dado por su precio ms su costo de transporte,

es decir, para la empresa 1 p1+tx2y de igual manera p2+t(1x)2 para el consumidorque compra en la empresa 2.

2.2. OLIGOPOLIO 17

Figura 2.2: En este modelo las el objetivo de las empresas en encontrar la localizacin

optima la cual debe ser capas de maximizar sus benecios dependiendo de las estra-

tegias de la otra empresa. Como veremos este modelo tambin rompe la paradoja de

Bertrand.

El problema se puede plantear de la siguiente forma: la empresa debe seleccionar

una localizacin la cual debe ser la mejor para el consumidor representativo, si la

empresa 2 seleccionase localizarse en la zona perifrica le permitira a la empresa

1 localizarse de tal forma que le robe todo el mercado, es decir,la mejor estrategia

para la empresa representativa debe estar iniciada por colocarse exactamente a la

misma distancia que su competidor con respecto al consumidor representativo. Si el

consumidor esta a la misma distancia de ambas empresas su utilidad es indiferente

de la empresa a la que compre, es decir:

Ux;1 = Ux;2

Lo anterior implica:

r p1 tx2 = r p2 t(1 x)2 (2.31)p1 + tx

2 = p2 + t(1 x)2 (2.32)p1 + tx

2 = t 2xt+ x2t+ p2 (2.33)x =

p2 p12t

+1

2= D(p1; p2; t) (2.34)

Una ves seleccionada la localizacin optima de las empresas estas maximizan su

utilidad en funcin del comportamiento estratgico de su rival, es decir, dependiendo

del precio que este seleccione, el problema formal es el siguiente:

maxp1

= (p1 c)p2 p1

2t+

1

2

(2.35)

@

@p1=

p2 2p1 + t+ c2t(2.36)

2p12t

=p2 + c+ t

2t(2.37)

p1 =p2 + c+ t

2(2.38)

18 CAPTULO 2. ESTRUCTURAS DE MERCADO

Al igual que en el modelo de Bertrand el equilibrio se obtiene cuando p1 = p2, esdecir:

p1 p22

=c+ t

2(2.39)

p1 1

2

=

c+ t

2(2.40)

=c+t2

212

(2.41)

p1 = p2 = p = c+ t (2.42)

Sustituyendo la ecuacin (1.42) en (1.35) obtenemos:

1 = 2 =t

2(2.43)

El modelo de ciudad lineal con costos de transporte en este caso cuadrticos nos

permiten al igual que en el caso anterior romper la paradoja de Bertrand ya que a

pesar de tener bienes homogneos los costos de transporte hacen que el precio de

equilibrio no sea c, sino c + t, es decir, por arriba del costo marginal. Otro puntointeresante sera suponer si los precios estubieran dados, caso de las farmacias u otras

empresas las cuales deben dar el mismo precio, es implicara que p1 = p2 entes delproceso de maximizacin, es decir dada la ecuacin (1.34) obtenemos que:

x1 = x2 =1

2(2.44)

En cambio si permitimos a las empresas en la primera etapa seleccionar su ubicacin y

en la segunda seleccionar su precio, permite obtener benecios positivos y precios por

encima del costo marginal. Un dato interesante es saber como cambia la elasticidad

de la demanda de alguna de las empresas, la elasticidad puede ser calculada de la

siguiente forma:

x = D(p1; p2; t) =p2 p1

2t+

1

2(2.45)

@D(p1; p2; t)

@t tD(p1; p2; t)

=(p2 p1)

2t2 tp2p1

2t +12

(2.46)

=(p2p1)

2tp2p1+t

2t

(2.47)

= 2p1p2 p21 p22 + t(p1 p2) = D1t (2.48)

Un dato aun ms interesante para las empresas es saber como cambiara su elasticidad

distancia-Demanda cuando cambia la distancia, es decir, es menester de la empresa

2.3. EJERCICIOS RESUELTOS 19

plantear sus estrategias en la eleccin de precios dependiendo de la sensibilidad de

la demanda.

@D1t@t

= p1 p2 = 0 syss p1 = p2 (2.49)> 0 syss p1 > p2 (2.50)

< 0 syss p1 < p2 (2.51)

Lo anterior implica que cuando ambos precios son iguales (Equilibrio de Nash) la

elasticidad distancia-demanda permanece constante, sabemos que la empresa preere

producir en los tramos ms elsticos a medida que la empresa esta ms alejada

del consumidor representativo, es decir, le gustara a la empresa que sus benecios

incrementaran independientemente de la distancia, pero como vimos, si no esta en

el equilibrio de Nash sus benecios son 0.

2.3. Ejercicios resueltos

Problema 1

Un monopolista tiene una funcin de costos marginales C 0 = ~c(costo marginalconstante), calcular el preci de monopolio pm, la cantidad demandada qm y elindice de Lerner para las funciones de demanda inversas D1(p) = q yD1(p) = a b ln q.

maxp

m = (p c) p

1(2.52)

@m

@p= 1

p

11

(p c) + p

1

= 0 (2.53) p

1

=1

p

11

(p c) (2.54) p

=1

(p c) (2.55)

p

p

= c(2.56)

( p) p = c (2.57)p+ p = c+ (2.58)

pm =c+

+ 1) qm =

+

c+

+ 1

1 1

(2.59)