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  • Teora Microeconmica

    Irn Apolinar Peredo Cortes

    6 de septiembre de 2011

  • 2

  • ndice general

    1. Juegos estticos con informacin completa 5

    1.1. Estrategias estrictamente dominadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2. Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2. Estructuras de Mercado 11

    2.1. Monopolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.1.1. Perdida de Eciencia Econmica . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.2. Oligopolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.2.1. La Paradoja de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.2.2. Productos diferenciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2.3. Modelo de Ciudad Lineal con costos de transporte cuadrticos 16

    2.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3

  • Introduccin

    Casi todos los acontecimientos de nuestra vida cotidiana esta relacionada con la toma

    de decisiones, estas son tomadas por ejemplo en las relaciones de pareja al decidir en

    que lugar se va a cenar o que pelcula se ver, en el trabajo establecemos decisiones

    a n de maximizar los benecios tanto propios como empresariales, en el ambiente

    escolar, etc. Toda toma de decisiones involucra diferentes tipos de actores y diferentes

    tipos incentivos o metas, sin embargo cabe destacar que cada individuo tiene por lo

    general una meta la cual es la ms deseable y, para lograrlo establece una estrategia

    para lograr dicho objetivo, precisamente eso es lo que estudia la Teora de los Juegos.

    La Teora de Juegos desde ahora abreviada TJ para algunos es la parte de las mate-

    mticas que se encarga del estudio de la toma de decisiones de los individuos dentro

    de un sistema, en este sentido la TJ tiene grandes aplicaciones en diferentes disci-

    plinas tales como las ciencias polticas, la psicologa y la economa, es precisamente

    sta sobre la que exacerbaremos en el presente documento.

    Qu es un Juego ?

    Un juego es una representacin formal de una situacin donde existen individuos

    los cuales tienen estrategias interdependientes y que ademas cada combinacin de

    estrategias ejecutadas se le retribuyen en un cierto valor de utilidad. Los juegos bi-

    personales pueden ser representados de una forma cmoda de la forma estratgica

    o normal mediante una matriz binaria donde generalmente las las le corresponde

    a las estrategias del jugador 1 y las columnas al jugador 2. De igual forma cada

    interseccin de estrategias proporciona un nivel de utilidad donde el primer nmero

    le corresponde al jugador 1 y el segundo al jugador 2. Como veremos ms adelante

    un juego puede ser expresado de la forma extensiva lo cual ser necesario cuando

    analicemos juegos de ms de una tirada. Los juegos pueden clasicarse como juegos

    de informacin completa, incompleta, de estrategias puras o estrategias mixtas, entre

    los ms comunes.en el Capitulo 1 analizaremos los juegos estticos con informacin

    completa, es decir, aquellos juegos donde los conjuntos de informacin son del do-

    minio publico, ademas se dice que son estticos porque ambos jugadores eligen sus

    estrategias simultneamente.

    4

  • Captulo 1

    Juegos estticos con informacin

    completa

    Deniciones bsicas

    Un juego esta formado por I jugadores i, denotaremos a Hi como el conjunto deinformacin del jugador i, A son las posibles acciones del juego y C(H) A es elconjunto de acciones posibles con el conjunto de informacin H. Una estrategia parael jugador i es una funcin si : Hi ! A donde si 2 Si. Si es el conjunto de todas lasestrategias puras del jugador i, de igual forma tiene una funcin de pagos uifg. Portanto un juego de forma normal N tiene puede representarse como:

    N = [I; fSig; uifg]

    Denotamos al producto cartesiano

    Qi2I Si como S, a los elementos en S les llamare-mos perl de estrategias puras, es decir, s1 puede ser reescrito como (s

    i j si) donde

    si es la estrategia llevada acabo por el jugador i y si es el conjunto de estrategiasdel resto de los jugadores.

    1.1. Estrategias estrictamente dominadas

    Dentro del estudio de la teora de juegos como ya hemos observado es fundamental

    siempre establecer como decisin la mejor estrategia de tal forma que obtengas el

    mejor pago posible. Como en todo conjunto de estrategias existen algunas que son

    obviamente estrategias desechables, en el sentido de que siempre hay estrategias que

    indudablemente son mejores que esa. Cuando en un juego encontramos este tipo de

    estrategias diremos que es una estrategia dominada ya sea de manera estricta o de

    manera dbil.Para ejemplicar esto supngase dos estrategias puras por ejemplo s^iy ~si, se dice que ~si esta dominada estrictamente si:

    ui(s^i j si) > ui(~si j si)8si 2 Si

    5

  • 6 CAPTULO 1. JUEGOS ESTTICOS CON INFORMACIN COMPLETA

    Si la desigual no es estricta diremos que es dbilmente dominada. Usando esta re-

    gla podemos resolver un juego mediante la eliminacin de estrategias estrictamente

    dominadas, utilizaremos el siguiente ejemplo para mostrar el uso de la eliminacin

    de estrategias estrictamente dominadas como mtodo de solucin de un juego de la

    forma normal.

    Ejemplo 1.1 El dilema del prisionero. Consideremos una situacin donde existen

    dos acusados de un robo, ambos son aislados y listos para el interrogamiento. Cada

    jugador tiene un el siguiente conjunto de estrategias puras Si ={confesar, no con-fesar}. El juego se puede expresar de la forma normal mediante la siguiente matriz

    binaria:

    No Confesar Confesar

    No Confesar -2,-2 -10,-1

    Confesar -1,-10 -5,-5

    Cada casilla de la matriz representa los pagos uifg de cada jugador (prisionero),generalmente el jugador 1 le corresponden las estrategias de las (horizontal) y a al

    jugador 2 las columnas (vertical); por ejemplo, la casilla arriba-izquierda donde el

    jugador 1 decide no confesar y el jugador 2 decide igualmente no confesar forma un

    perl de estrategias puras s1 ={No Confesar, Confesar} los respectivos pagos sonuij = f2;2g. Cabe destacar que por convencin se le asigna al jugador 1 el pagode la izquierda y al 2 el de la derecha.

    El juego anterior nos dice que si el jugador 1 conesa tendr -1 da de libertad (1

    da de encierro) o -5 das dependiendo de la accin del jugador 2. De la misma forma

    el jugador dos tendr -2 o -10 das de libertad si se queda callado y depender de

    lo que decida el jugador 1. La forma de obtener la solucin de este juego mediante

    la eliminacin de estrategias estrictamente dominadas consiste en lo siguiente: para

    el jugador 1 la estrategia confesar domina estrictamente a no confesar y dado que

    1 > 2 y 5 > 10 , podra ser escrito de esta forma:

    u1 = {Confesar | si } >u1 = { No Confesar | si}

    Donde si contiene a las estrategias del jugador 2 las cuales son Confesar o NoConfesar. Dado que el jugador 1 es un agente maximizador elimina la estrategia No

    confesar, por lo que el juego se convierte en:

    No Confesar Confesar

    Confesar -1,-10 -5,-5

    Ahora el jugador 2 se da cuenta que Confesar le retribuye ms que No Confesar, es

  • 1.2. EQUILIBRIO DE NASH 7

    decir, 5 > 10, es decir:

    u2 ={Confesar | si}>u2 ={No confesar | si }

    Por tanto el jugador 2 elimina la estrategia de No Confesar, al nal solo queda la

    solucin del juego con el perl de estrategia puras {Confesar, Confesar} donde a cada

    uno le corresponden -5 das de libertad. Por una parte cabe destacar que en este tipo

    de juegos asumimos una cierta racionalidad de los jugadores, es decir, ambos suponen

    que su compaero de juego es racional en el sentido que siempre busca el mximo

    nivel de utilidad posible. Por otra parte es de sealar que la solucin del juego no

    es la mejor para ellos en conjunto, es decir, el perl de estrategias {No Confesar, No

    Confesar} les brinda un mayor nivel de utilidad. Esta es una caracterstica importante

    de los juegos No Cooperativos, podemos armar que los equilibrios no son siempre

    socialmente ptimos, sin embargo si signica la mejor respuesta de cada jugador ante

    la estrategia seleccionada por el resto de los jugadores asumiendo que es racional en

    el sentido antes expuesto.

    1.2. Equilibrio de Nash

    En un Equilibrio de Nash (EN) la estrategia elegida por cada jugador es la

    mejor respuesta a las estrategias del resto del resto de los jugadores si. Es decir: Unperl de estrategias s = fs1; s2; :::; sIg constituye un EN en estrategias puras paraun juego N = [I; fSig; uifg] para todo i = 1; :::; I

    uifsi jsig uifsijsig8si 2 SiEjemplo 1.2 La batalla de los Sexos. Supngase que tenemos el siguiente proble-

    ma: Ale y Fabi son una pareja que tienen gustos muy diferentes sin embargo siempre

    preeren estar juntos a estar separados. Ahora bien, Ale quiere salir el n de semana

    con sus amigos y le gustara que Fabi lo acompaace. De igual forma Fabi quiere

    salir con Ale a algn Antro pero sin la compaa de los amigos de Ale. La matriz de

    pagos es la siguiente:

    Antro Amigos

    Antro 2,1 0,0

    Amigos 0,0 1,2

    Donde nuevamente las las son para el jugador 1, en este caso Fabi y las columnas

    para Ale. Si Ale decide ir al antro a Fabi le conviene tambin ir al antro ya que su

    ganancia es de 2. Si ale decide ir con sus amigos a Fabi no le queda ms remedio

    que acompaarlo ya que 1 > 0