Download - TDA やら Night!!

Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.

2017/04/01 非公式ロマンティック数学ナイトs.t.@simizut22TDA やら night ！！

2Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.

目次

• Persistent Homology # とは• Persistent Homology の表示と分解定理• 応用例

Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc. 3

Persistent Homology # とは


問題設定

さて、を距離空間とし、を有限集合とする (point cloud) がどのような空間 / モデルから生成されたデータなのか、何かしらの情報をから知りたい

例： - 次元 - 連結度


問題設定

一つの道具としての Persistent Homology• 一般的なデータ分析手法はデータ ( が埋め込まれたユークリッド空間 )

の次元が高次元になると大変• Persistent Homology はデータ ( が埋め込まれたユークリッド空間 )

の次元によらない• データのスケールにも依存しない• データがベクトル空間に存在してなくてもよい ( 多くの機械学習の手法

はベクトル空間上のデータであることを使用する


距離空間の例

例 1 ( ユークリッド空間 )例 2 ( 文字列の空間 )文字の集合とし、を上の長さの文字列のなす集合　

を次で与える：

これは上の距離になる ( ハミング距離 )□

例 3(metric グラフ )計量グラフ , i.e. グラフの各辺に長さが定まっているとき


データが現れた。さてどうする？？

Point cloud data


太らせて見よう。

-ballsPoint cloud data


穴が現れた！！！


もっと続けてみた


続けてみた

太らせる過程で、離散点から始まりa. つながりができるb. 穴ができるc. 穴がふさがるを繰り返し最終的に全部つながった ( 上の例だと ball と同相 )


数学的なセッティング

→ 計算機に乗せて計算したい代数的な道具で表現穴や連結具合をあらわす道具：基本群などの homotopy 群やhomology 群など。

Homotopy 群は一般に計算が難しい→ 計算が簡単な homology ( 以下を使おう


性質 1. 空間 X に対しその Homology はベクトル空間2. Functorial( 関手性 )特に、包含写像に対し準同型

が誘導され、次の自然性を持つに対し

3. Homotopy 不変 ( または位相不変 )今日は明示的には使わないので略


Persistent Homology 実数に対し pt cloud X を r 太らせた空間をと書くことにする各 r に対し Homology を取ると、半直線上のベクトル空間の図式

を与えたことになる

このベクトル空間の図式が (-indexed) Persistent Homology


Persistent HomologyPersistent Homology において何が重要か？？

矢印がどのくらい同型から外れるか。つまりその点である homology クラスは死に ( 穴がふさがった ) ある homology クラスは生まれる ( 新しい穴ができた )と思える


Persistent Homology の表示


計算できるかもしれないが．．．

データ解析してたら Visualization したくなるよね。

→ よしっ、可視化できる形わかりやすい形で表現


Interval ModuleDef(Interval Module)Persistent Module 次の図式で与える：

これを Interval Module という

これは時刻 b で発生し時刻 d まで生きる homology class に対応する


Interval Module何でこんなのがいるの？？？

1. Interval Module が既約な表現2. PH はこの直和で表現できる

…つまり


分解定理

Thm(Gabriel, Krull-Schmidt)Persistent Module (of finite type) は次のような Interval Module による ( 既約 ) 分解を持つ :

: multiplicity とし、この和は区間についてを渡る

この分解は ( 区間の index の付け替えを除いて ) 一意


PH の表示

PH を interval Decomp. したときの interval を図示したものを、 PH に対する bar-code という。

これで図示してみる


bar-code の例


分解定理の remarkInterval Decomposition 定理は-indexed Module (of finite type) だけでなく、- 離散 indexed zigzag persistent( → ←矢印はとが混じっててもよい )でも成立

これは1 変数多項式環が単項イデアル整域 (PID) ■であることによる


応用例


応用例

タンパク質の構造解析 neural network( ホントの neural) の解析材料科学遺伝子解析系統樹多様体学習最近 Edelsbrunner 先生が cosmic web の論文出してた(cosmology)

Download - TDA やら Night!!

Top Related