Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 1 de 49
SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO
LIBRO ALONSO FINN
Tabla de contenido EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN..........2 EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................2
EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................3 EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................6
EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................7 EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................8 EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................9
EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn .................................................................................9 EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................10
EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................11 EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................12 EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................12
EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................13 EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................14
EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................15 EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................16 EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................17
EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................21 EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................22
EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................24 EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................25 EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................26
EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn ..............................................................................27 EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................28
EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................29 EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................30 EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro
pagina370..............................................................................................................................................33 EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE .........................................................................39
EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS ........................................41 EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470 ...............................................................................41
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 2 de 49
EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN
EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn
Una rueda de 30 ππ de radio tiene una manigueta en su borde. La rueda gira a 0,5 πππ£
π ππ con
su eje de posiciΓ³n horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan vertical sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento armΓ³nico simple encontrar:
a) El periodo de oscilaciΓ³n de la sombra,
b) La frecuencia,
c) Su amplitud,
d) Escribir las ecuaciones que expresan su desplazamiento en funciΓ³n del tiempo.
Suponer la fase inicial cero.
SoluciΓ³n
Datos:
Radio= Amplitud = 30 ππ
π = 0,5 πππ£
π ππ
a) El periodo de oscilaciΓ³n de la sombra es:
π =2π
π
π = 2π
0,5 β 2π ππππ ππ
π = 2 π π
b) La frecuencia de la sombra es:
π =1
π
π = 1
2 π ππ
π = 0,5 π»π§
c) Su amplitud es:
π΄ = 30 ππ
d) Escribir las ecuaciones q expresan su desplazamiento en funciΓ³n del tiempo.
Suponer la fase inicial cero.
π(π‘) = π΄ π ππ (ππ‘ + π)
π(π‘) = 0,30 π ππ (ππ‘ ) Donde la fase inicial es igual a cero (π = 0).
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 3 de 49
EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn
Un oscilador armΓ³nico simple estΓ‘ descrito por la ecuaciΓ³n
π₯(π‘) = 4 πππ (0.1π‘+ 0.5) Donde todos las cantidades se expresan en MKS.
Encuentre: a. Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento
b. Velocidad y aceleraciΓ³n del movimiento
c. Condiciones iniciales
d. La posiciΓ³n, velocidad y aceleraciΓ³n para π‘ = 5π
e. Hacer el grΓ‘fico de la posiciΓ³n, velocidad y aceleraciΓ³n en funciΓ³n del tiempo.
SoluciΓ³n Por comparaciΓ³n con la expresiΓ³n
π₯(π‘) = π΄ πππ (π€π‘+ π) Tenemos que,
π₯(π‘) = 4 πππ (0.1π‘+ 0.5)
a) Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento.
Amplitud: π΄ = 4π
Frecuencia Angular: π = 0.1 πππ/π
Fase Inicial: π = 0.5 rad Periodo:
π = 2π
π
π = 2π
0,1 π ππ
π = 20 π π ππ
Frecuencia: π = 1
π
π = 1
20π π ππ
b) Velocidad y aceleraciΓ³n del movimiento
π(π‘) =ππ₯
ππ‘= 0.4 πΆππ (0.1π‘+ 0.5) π(π‘) =
π2π₯
ππ‘2 = β0.04πππ(0.1π‘ + 0.5)
c) Condiciones iniciales cuando π‘ = 0,
π₯0 = π₯(π‘ = 0) = 4πππ(0.5) = 1.92π
π£0 = π£(π‘ = 0) = 4πΆππ (0.5) = 0.351π/π
π0 = π(π‘ = 0) = β0.04πππ(0.5) = β19.17π₯10β3π/π 2
d) La posiciΓ³n, velocidad y aceleraciΓ³n para π‘ = 5π
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 4 de 49
π₯(π‘ = 5) = 4πππ(1) = 3.37π
π£(π‘ = 5) = 4πΆππ (1) = 0.216π/π
π(π‘ = 5) = β0.04πππ(1) = β3.37π₯10β2π/π 2
e) l grΓ‘fico de la posiciΓ³n, velocidad y aceleraciΓ³n en funciΓ³n del tiempo.
GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO CONTRA TIEMPO
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 5 de 49
GRAFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO
GRAFICA ACELERACION CONTRA TIEMPO
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 6 de 49
EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn
Una partΓcula estΓ‘ situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posiciΓ³n de equilibrio con
una velocidad de 2π
π la amplitud es de 10β3 π. ΒΏCuΓ‘l es la frecuencia y el periodo del vibrador?
Escribir la ecuaciΓ³n que exprese su desplazamiento en funciΓ³n del tiempo.
SoluciΓ³n
πΈπ =1
2ππ£2
πΈπ =1
2ππ2[π΄2 β π₯2]
Como pasa por la posiciΓ³n de equilibrio π₯ = 0 tenemos,
1
2ππ2[π΄2 β π₯2] =
1
2ππ£2
π =2
ππ
10β3 π
π = 2000πππ
π ππ
AsΓ la el periodo es:
π = 2π
π
π = 2π
2000ππππ ππ
π = π β 10β3π ππ Y la frecuencia:
π = 1
π
π = 103
π π ππ
La ecuaciΓ³n que exprese su desplazamiento en funciΓ³n del tiempo es:
π(π‘) = 10β3 π ππ(2000π‘ + πΌ)
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 7 de 49
EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn
Una partΓcula cuya masa es de 1 π vibra con movimiento armΓ³nico simple de amplitud de 2 ππ. Su
aceleraciΓ³n en el extremo de su recorrido es de 8,0 β 103 π
π 2. Calcular la frecuencia del movimiento y
la velocidad de la partΓcula cuando pasa por la posiciΓ³n de equilibrio y cuando la elongaciΓ³n es de 1,2 ππ. Escribir la ecuaciΓ³n que expresa la fuerza que actΓΊa sobre la partΓcula en funciΓ³n posiciΓ³n y
el tiempo. SoluciΓ³n
Datos
π΄ = 2 β 10β3 π, π = 10β3 ππ , π = 8,0 β 103 π
π 2 , π₯ = 1,2 ππ
La aceleraciΓ³n de la partΓcula es:
π = βπ2π₯
π2 = βπ
π₯; π = 2ππ
AsΓ la frecuencia se puede calcular,
π2 = βπ
(2π)2π₯
π2 = β8,0 β 103 π
π 2
(2π)2(β2 β 10β3 π)
π = β106
(π)2π»π§2
π = β106
(π)2π»π§2
π =103
ππ»π§
La velocidad de la partΓcula se puede calcular, partiendo de la energΓa cinΓ©tica,
πΈπ =1
2ππ£2
πΈπ =1
2ππ2[π΄2 β π₯2]
Como pasa por la posiciΓ³n de equilibrio π₯ = 0 tenemos,
1
2ππ2π΄2 =
1
2ππ£2
(2ππ)2π΄2 = π£2 π£ = 2πππ΄
π£ = 2π(103
ππ»π§) 2 β 10β3π
π£ = 4π
π
Cuando la elongaciΓ³n es de 1,2 ππ , su velocidad se puede escribir,
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 8 de 49
1
2ππ2[π΄2 β π₯2] =
1
2ππ£2
(2ππ)2[π΄2 β π₯2] = π£2
π£ = 2ππβ[π΄2 β π₯2]
π£ = 2π(103
ππ»π§)β[(2 β 10β3)^2 β (1,2 β 10β3)2] π
π£ = 3,2π
π
La fuerza que actΓΊa sobre la partΓcula en funciΓ³n posiciΓ³n y el tiempo es
πΉ = βππ2π₯
πΉ = (10β3 )(2β 103)2π₯ πΉ = 4 β 103 π₯ [π]
πΉ = βππ΄π2π ππ(ππ‘ + πΌ)
πΉ = β(10β3 ) (β2 β 10β3)(2 β 103 )2π ππ(ππ‘ + πΌ) [π] πΉ = 8π ππ(2 β 103π‘ + πΌ) [π]
EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn
Una partΓcula se mueve con movimiento armΓ³nico simple con una amplitud de 1.5 π y frecuencia
100 ciclos por segundo ΒΏCuΓ‘l es su frecuencia angular? Calcular su velocidad, aceleraciΓ³n y su fase cuando su desplazamiento es de 0.75 π.
SoluciΓ³n La frecuencia angular es,
π = 2ππ π = 2π(100 π»π§)
π = 200 π π»π§
La velocidad se puede calcular a travΓ©s de la energΓa cinΓ©tica, 1
2ππ2[π΄2 β π₯2] =
1
2ππ£2
(2ππ)2[π΄2 β π₯2] = π£2
π£ = πβ[π΄2 β π₯2]
π£ = (200 π π»π§)β[(1.5 π )2 β (0.75 m)2] π£ = 2,59 β 102 π π»π§
La aceleraciΓ³n se puede calcular como sigue,
π = βπ2π₯
π = β(200 π π»π§)2(β0,75 π)
π = 3 β 104 ππ
π
La fase inicial se puede calcular como sigue, para la condiciones iniciales (t=0=),
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 9 de 49
π₯ = π΄ π ππ(π€π‘ + πΌ) π₯
π΄= π ππ(πΌ)
πΌ = π ππβ1 (π₯
π΄)
πΌ = π ππβ1 (0,75
1,5)
πΌ = 30Β° EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn
Un movimiento armΓ³nico simple tiene una amplitud de 8 ππ y un periodo de 4 π ππ. Calcular
la velocidad y la aceleraciΓ³n 0,5 πππ despuΓ©s que la partΓcula pase por el extremo de su
trayectoria. SOLUCIΓN:
DATOS: A = 8 cm ---- 0.08m T = 4 seg.
La frecuencia angular es,
π =2π
π
π =2π
4 π ππ
π =π
2
πππ
π ππ
La velocidad despuΓ©s de π‘ = 0,5, es:
π£ = π΄ π πππ (ππ‘ + πΌ)
π£ = 0,08π
2 πππ (
π
2(0,5) +
π
2)
π£ = 2,8 π β 10β2π
π
La aceleraciΓ³n despuΓ©s de π‘ = 0,5, es:
π = βπ΄ π2 πππ (ππ‘ + πΌ)
π = 0,08(π
2 )
2
π ππ (π
2(0,5)+
π
2)
π = 1,4 π2 β 10β2π
π
EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn
Una partΓcula cuya masa es de 0.5 Kg, se mueve con movimiento armΓ³nico simple. Su periodo es de 0.15 seg y la Amplitud de su movimiento es de 10cm, calcular la aceleraciΓ³n,
la fuerza de la energΓa potencia y cinΓ©tica cuando la partΓcula estΓ‘ a 5 cm de la posiciΓ³n inicial. DATOS
Masa: 0.5 Kg Periodo (T): 0.15 S
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 10 de 49
Amplitud (A): 10cm: 0.1M Po: 0.05 M
SOLUCIΓN
A)
πΉ =1
π
πΉ =1
0.15 π ππ= π.πππ π―π
B)
π = 2ππ w= 2 ( Ο) (6.666 Hz)= 41.88 hz
C)
π = βπΒ²π₯
π = β41.882 β 0.05 π ππ
π = ππ.πππ
ππ
D)
πΈπ =1
2 π π2[π΄2 βπ2]
πΈπ =1
2 (0.5 πΎπ) (41.88
πππ
π )2[(0.10 π)2 β (0.05 π)2]
π¬π = π.ππ π΅
EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn
Una plancha horizontal oscila con movimiento armΓ³nico simple con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 15 oscilaciones por minuto. Calcular el valor mΓnimo del coeficiente de fricciΓ³n a fin de
que un cuerpo colocado sobre la plancha no resbale cuando la plancha se mueve.
SoluciΓ³n
π΄ = 1,5 π
πΉ = 15 ππ π/min π = 2ππ
π = 2 HYPERLINK "http://es.wikipedia. org/wiki/%CE%A0" \o "\"Ξ \" (15 ππ π
πππ)(
1πππ
60π ππ)
π =π
2
πππ
π ππ
La fuerza de fricciΓ³n es
πΉπ = πππ
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 11 de 49
Para que la plancha no resbale se debe cumplir
πΉ = πΉπ
ππ = πππ
π =π
π
Para obtener el valor mΓnimo del coeficiente de refracciΓ³n tenemos
π =π΄π2
π
π =(1.5 π)(
π2
ππππ ππ
)2
9,8ππ 2
π = 0.377
EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn Cuando un hombre de 60kg se introduce en un auto, el centro de gravedad del auto baja 0,3 cm.
ΒΏCuΓ‘l es la conste de elasticidad de los muelles del auto? Suponiendo que la masa del auto es de 500kg, ΒΏCuΓ‘l es su periodo de vibraciΓ³n cuando estΓ‘ vacΓo y cuando estΓ‘ el hombre adentro?
SOLUCIΓN:
RepresentaciΓ³n de Fuerzas
π2 = 60ππ ; π₯ = 0.3ππ= 3x10-3m
a) Calculo de la constante de elasticidad (K) de los muelles del auto.
πΉ = βππ₯ = βπ2π
π =π2π
π₯=
60ππ Γ 9.8π π 2β
3 Γ 10β3π
π = πππΓ πππ π΅ πβ
b) Periodo de vibraciΓ³n del auto vacΓo.
ππ₯ = π1π2π₯; m1=500kg
-kx
560 Kg
-kx
(M1+M2)g
500 Kg
M1g
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 12 de 49
π = βπ
π= β
196 Γ 103 π πβ
500ππ= 19.79898987πππ
π β β 19.8ππππ β
π· =ππ
π=
ππ
ππ.π πππ πβ
= π. ππππ
c) Periodo de vibraciΓ³n del auto con el hombre adentro.
π1 + π2 = 560ππ
π = βπ
π1 + π2
= β196 Γ 103 π πβ
560ππ= 18.70829πππ
π β β 18.71 ππππ β
π· =ππ
π=
ππ
ππ.π πππ πβ
= π. ππππ
EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn
Un bloque de madera cuya densidad es Ο tiene dimensiones a, b, c. Mientras estΓ‘ flotando en el agua con el lado a vertical se le empuja hacia abajo y se le suelta. Halle el periodo de las oscilaciones resultantes.
Tomemos como sentido positivo de desplazamiento del bloque verticalmente hacia abajo. Llamemos
h a la longitud del bloque debajo del agua cuando flota en equilibrio. En esta situaciΓ³n tendremos que la fuerza neta hacia abajo serΓ‘ nula:
mgβ Fempuje = 0β mg= (VsumergidoΟ0) g β mg= (bchΟ0) g
Donde Ο0es la densidad del agua. Si realizamos un desplazamiento x del bloque respecto de su posiciΓ³n de equilibrio, la nueva longitud del bloque por debajo del agua serΓ‘ h + x. En esta nueva
situaciΓ³n la fuerza neta hacia abajo ya no serΓ‘ nula: Fneta = mgβF Β΄empuje= mgβ (V βsumergidoΟ0) g = mgβ (bc [h + x] Ο0) g
Sustituyendo en esta expresiΓ³n la relaciΓ³n entre el peso del cilindro y la altura h:
Fneta = β (bcΟ0g) x
Vemos que la fuerza es de tipo elΓ‘stico con una constante elΓ‘stica: k = bcΟ0g
El periodo de las oscilaciones serΓ‘:
π» =ππ
π= ππ β
π
π= ππ β
ππππ
πππππ= ππ β(
π
ππ)(
π
π)
EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 13 de 49
Encontrar, para un movimiento armΓ³nico simple, los valores de (π₯Μ ) π¦ (π₯2), donde los promedios se refieren.
Parte a)
π₯ = π΄ π ππ π€0 π‘
οΏ½Μ οΏ½ = π΄ π ππ π€0 π‘Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
Pero π ππ π€0 π‘Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ = 0
Entonces οΏ½Μ οΏ½ = 0 Parte b)
π₯2 = π΄2π ππ2 π€0 π‘
π₯2Μ Μ Μ = π΄2 π ππ2 π€0 π‘Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
Pero π ππ2 π€0 π‘Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ = 1
π β« π ππ2π€0 π‘ ππ‘
π
0 =
1
π β« [
1βcos 2 π€0 π‘
2]ππ‘
π
0
π ππ2 π€0 π‘Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ = 1
π β«
1
2ππ‘ β
π
0
1
π β« [
cos2 π€0 π‘
2]ππ‘
π
0
Entonces π ππ2 π€0 π‘Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ = 1
π [
1
2]π =
1
2
π₯2Μ Μ Μ =1
2π΄2
EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn
El Periodo de un pΓ©ndulo es de 3s. ΒΏCuΓ‘l serΓ‘ su periodo si su longitud (a) aumenta, (b) disminuye un 60%?
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 14 de 49
SoluciΓ³n
a. El periodo de un pΓ©ndulo simple estΓ‘ dado por:
π = 2πβπΏ
π= 3 π ππ
Si su longitud aumenta un 60%, su nueva longitud es:
πΏβ² = πΏ + 0,6πΏ
Luego.
π β² = 2πβπΏβ²
π= 2πβ
1.6πΏ
π= β1.6 2πβ
πΏ
π
π β² = β1.6 (3π ) = 3.79π
b. Si el periodo disminuye en un 60%, su nueva longitud es:
π β²β² = 2πβπΏβ²β²
π= 2πβ
0.4πΏ
π= β0.4 2πβ
πΏ
π
πβ²β² = β0.4 (3π ) = 1.89π
EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn
El pΓ©ndulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g=9,80 m/s2.
Si la longitud se aumenta en 1mm. ΒΏCuΓ‘nto se habrΓ‘ atrasado el reloj despuΓ©s de 24 horas?
T1 = 2ΟβπΏ/π
T1 = 2 segundos
g =9.81 m/s2
T2 = 2Ο βπΏ+0.001 πΏ
π
T2 = 2Ο β1.001 πΏ
π
T2 = 2Ο βπΏ
π β1,001
SI Tenemos que T1 = 2ΟβπΏ/π Ahora reemplazo T1 en T2 :
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 15 de 49
T2 = T1 β1,001
T2 = ( 2 segundos) β1,001
T2 = 2,00099975 segundos
Para conocer cuanto se ha atrasado el reloj entonces:
ΞT = T2 - T1 = 2,00099975 segundos - 2segundos=0,00099975 ΒΏCuΓ‘nto se habrΓ‘ atrasado el reloj despuΓ©s de 24 horas?
24βππππ π₯ 3600π πππ’ππππ
1βπππ = 86.400 π πππ’ππππ
En 24 horas el reloj se atraso
atraso = (86.400 π πππ’ππππ )x (0,00099975)=77,7segundos
EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn ΒΏCuΓ‘nto se habrΓ‘ atrasado el reloj del programa anterior despuΓ©s de 24horas si se coloca en un lugar
donde la g=9,75 m/s2
Sin cambiar la longitud del pΓ©ndulo ΒΏCuΓ‘l debe ser la longitud correcta del pΓ©ndulo a fin de mantener
el tiempo correcto en la nueva posicion?
L= 1mm =0.001m
g=9,75 m/s2.
T1 = 2ΟβπΏ/π
T1 = 2 segundos g =9.81 m/s2
T1 = 2Ο β0.001
9.80= 0,06346975 π πππ’ππππ
T2 = 2Οβ0.001πΏ
9.75 = 0,063632291 π πππ’ππππ
T2-T1 = (0,063632291 π πππ’ππππ ) -(0,06346975 π πππ’ππππ )=
T2-T1 = 0,001625411126 segundos
Regla de 3:
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 16 de 49
0,063632291 0,001625411126 segundos
1440metros X
X= 3,6mt
L= 1mm =0.001m
g=9,75 m/s2.
T1 = 2 segundos
T2
L= π2 π
4 π2
L= (2)2 π
4 π2
L= 4 (9,75 )
4 π2
L= 0,988m
EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn
Estimar el orden relativo de magnitud de los primeros tΓ©rminos correctivos en la serie del periodo de un pΓ©ndulo simple si la amplitud es:
a) 10ΒΊ
b) 30ΒΊ
SoluciΓ³n
a) Para 10ΒΊ
P= (2πβπΏ
π) [1 +
1
4sin(
1
2ππ)
2
+9
64sin (
1
2ππ)
4
β¦ ]
P=(2πβπΏ
π )[1 +
1
4sin (
1
210)
2
+9
64sin (
1
210)
4
]
P=(2πβπΏ
π )[1 + 1.899 Γ 10β3 + 8.114 Γ 10β6]
b) Para 30ΒΊ
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 17 de 49
P=(2πβπΏ
π) [1 +
1
4sin (
1
230)
2
+9
64sin (
1
230)
4
]
P= (2πβπΏ
π ) [1 + 1.674 Γ 10β2 + 6.31 Γ 10β4]
EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn
SoluciΓ³n: Para determinar la longitud del pΓ©ndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del pΓ©ndulo e igualarlo al periodo de un pΓ©ndulo simple para determinar la longitud de este pΓ©ndulo
simple que tiene el mismo periodo que el compuesto Para determinar el periodo del pΓ©ndulo compuesto primero el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa el cual es Ic = mR 2 2 , donde m es la masa del disco, pero debido a que el disco no gira en su centro de masa si no a
una distancia h del mismo, se debe aplicar el teorema de steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste en sumarle al momento de inercia del centro
de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro de masa al punto de giro, esto es
OTRA FORMA DE RESOLVERLO REVISAR FORMULAS : puede haber un error.. revisar revisar
El radio de giro K se define Ik= mK2
mk2= m(h2+1/2R2) K2=1/2R2+h2 12.30 Un disco solido de radio R puede colgarse de un eje horizontal a una distancia h de su centro A. Encontrar la longitud del pΓ©ndulo simple equivalente
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 18 de 49
B. Encontrar la posiciΓ³n del eje para el cual el periodo es un mΓnimo. C. Representar el periodo en funciΓ³n de h.
SOLUCION:
Para determinar la longitud del pΓ©ndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del pΓ©ndulo e igualarlo al periodo de un simple Para determinar el periodo del pΓ©ndulo compuesto primero debemos conocer el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa
I0= Β½ mR2 Pero debido a que el disco no gira en su centro de masa sino a una distancia h del mismo se debe aplicar el Teorema de Steiner. El teorema de Steiner dice que el momento de inercia respecto a el eje B es I k=mh2+I0 donde I0 es el momento de inercia respecto a el disco Entonces,
Ik= mh2+1/2mR2= m (h2+1/2R2) El radio de giro K se define Ik= mK2
mk2= m(h2+1/2R2)
K2=1/2R2+h2 el periodo del pΓ©ndulo compuesto es
P= 2 π βπ(π2)
ππβ
P(h)= 2 π β1/2(π 2+β2)
πβ
P(h)= 2Ο β Β½ R2+h2/gh A. Debemos igualar la fΓ³rmula de pΓ©ndulo compuesto con pΓ©ndulo simple para despejar L Donde pΓ©ndulo simple
P= 2π βπΏ
π
Y reemplazo la P por el valor de: P(h)= 2 π β1/2(π 2+β2)
πβ
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 19 de 49
( 2 π β1/2(π 2+β2)
πβ ) =2π β
πΏ
π
( 2 π β1/2(π 2+β2)
πβ )2 = (2π β
πΏ
π )2
4π2(1/2(π 2+β2)
πβ) =4π2πΏ
π
1/2(π 2+β2)
πβ =
πΏ
π
1/2(π 2+β2)
β =
πΏπ
π
1/2(π 2+β2)
β = L DONDE K2=1/2 R2+h2
π2
β = L
B. Para hallar minimos debemos derivar P en funciΓ³n de h
P(h)= 2 π βΒ½(π 2+β2)
πβ
ππ
πβ= 2 π
βπ
2
2+β
2
πβ
Derivada de
π 2
2+β2
πβ
= [π 2
2+β2]
β²
[πβ]β[π 2
2+β2][πβ]β²
[πβ]2
= 2β[πβ]β[
π 2
2+β2][π+β]
[πβ]2
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 20 de 49
= 2πβ2β [
π 2
2πβπβ2]
π2 β2
ππ
πβ=
[
22 βπ
2
2+ β
2
πβ
]
[2πβ2β
π 2
2πβ
πβ2
π2β2 ]
El valor de h para el cual el periodo es un mΓnimo es h = R/β 2 C. Representar el periodo en funciΓ³n de h.
P(h)= 2 π βΒ½(π 2+β2)
πβ cuando h=
π
β2
P(h)= 2 π βΒ½(π 2+(
π
β2)2)
π(π
β2)
P(h)= 2 π βΒ½(π 2+
π 2
2)
π(π
β2)
P(h)= 2 π βΒ½(
2π 2+π 2
2)
π(π
β2)
P(h)= 2 π βΒ½(
3π 2
2)
π(π
β2)
P(h)= 2 π β(3π 2
4)
π(π
β2)
P(h)= 2 π β3π 2 β2
4ππ
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 21 de 49
P(h)= 2 π β3π β2
4π
P(h)= 2 π β(β2 π )
π
P(h)= 2 β Β½ R2+h2/gh cuando h = R/β 2 P(h)=2 β β 2R/g
EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn
Una varilla de longitud L, oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por el extremo, un
cuerpo de igual masa que la varilla estΓ‘ situado sobre la varilla a una distancia h del eje. a) Obtener el periodo del sistema en funciΓ³n de h y de L.
b) ΒΏHay algΓΊn valor de h para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera masa?
SoluciΓ³n. a). Lo primero que haremos serΓ‘ encontrar el centro de masa de la masa 2 que en este caso
es igual a la masa de la varilla, aplicando la siguiente formula.
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 22 de 49
πͺπ =(π³
π)π+π(π)
ππ=
π³
π+π
π=
π³+ππ
π
Luego calculamos el momento de inercia con la siguiente ecuaciΓ³n.
πΌ =1
3mπΏ2 + πβ2 factorizando m quedarΓa de la siguiente forma.
πΌ = [πΏ2
3+ β2]π
Expresando el periodo con respecto al momento de inercia y al centro de masa, se tiene la siguiente ecuaciΓ³n:
π = 2πβπΌ
πππ
Donde:
b=centro de masa. g=gravedad m=masa
Reemplazando el centro de masa y el momento de inercia se obtiene que:
π = 2πβ[πΏ2
3+ β2]π
π³+ πππ
ππ
Simplificando:
π = 4πβπΏ2 + β2
3(π³+ ππ)π
b). No hay ningΓΊn valor.
EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn
Un pΓ©ndulo de torsiΓ³n consiste de un bloque rectangular de madera de 8cm x 12cm x 3cm con una masa de 0.3 Kg, suspendido por medio de un alambre que pasa a travΓ©s de su centro y de tal modo que el lado corto es vertical. El periodo de oscilaciΓ³n es de 2.4 s. ΒΏCuΓ‘l
es la constante de torsiΓ³n K del alambre?
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 23 de 49
SoluciΓ³n:
Antes que nada necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este objeto en particular (cubo de madera), para lo cual se utilizarΓ‘ la siguiente ecuaciΓ³n.
πΌ = [π(π2+π2
12)]
Donde:
M=masa del objeto, 0.3Kg. π2= la dimensiΓ³n horizontal del objeto para este caso 8cm=0.08m
π2= la profundidad del objeto en este caso 12cm=0.12m
Como en el ejercicio nos piden encontrar la constante K=Kappa, Utilizamos la siguiente ecuaciΓ³n que relaciona el momento de inercia con la constante.
πΎ = (2π)2 πΌ
π2
Donde: π2 es igual al periodo de oscilaciΓ³n al cuadrado, siendo I el momento de inercia y 2Ο
al cuadrado una constante.
Haciendo la relaciΓ³n entre las dos ecuaciones anteriores tenemos que:
πΎ = (2π)2 [π(π2 + π
2
12)/π2]
Reemplazando valores tenemos que:
πΎ = (2π)2 [0.3ππ(0.08π2 + 0.12π2
12)/2.42]
K=3.564X10β3N.m [Newton por metro] OTRA FORMA DE RESOLVERLO
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 24 de 49
EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn
Encontrar la ecuaciΓ³n resultante de la superposiciΓ³n de dos movimientos armΓ³nicos simples paralelos
cuyas ecuaciones son:
π₯β = 2π ππ ( ππ‘+π
3 )
π₯β = 3π ππ ( ππ‘+π
2 )
Hacer un grΓ‘fico de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar sus respectivos
vectores rotantes. SOLUCIΓN:
Es una superposicion de M.A.S. Paralelos de igual frecuencia π₯β = π΄β π ππ ( ππ‘ + πΏβ) π₯β = π΄β π ππ ( ππ‘ + πΏβ)
Con resultante π₯ = π΄ sen(ππ‘ + πΏ)
Donde:
π΄ = (π΄βΒ² + AβΒ² + 2Aβ Aβ cosΞ±)^0.5 πΌ = πΏββ πΏβ
y
tan πΏ = π΄β π ππ πΏβ + π΄β π ππ πΏβ
π΄β πππ πΏβ + π΄β πππ πΏβ
Estas ecuaciones estΓ‘n demostradas en el libro de Alonsoβ Finn (pag.372),por ejemplo. Valores
πΌ = πΏββ πΏβ =π
2β
π
3=
π
6
π΄ = (π΄12 + A22 + 2A1A2cosΞ±)0.5
π΄ = (22 + 32 + 2.2.3 cosΟ
6)
0.5
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 25 de 49
π΄ = 4.73
tan πΏ = π΄β π ππ πΏβ + π΄β π ππ πΏβ
π΄β πππ πΏβ + π΄β πππ πΏβ
tan πΏ = 2 π ππ π/3 + 3 π ππ π/2
2 πππ π/3 + 3 πππ π/2
tan πΏ = 4.732
πΏ = 1.36 πππ
Luego:
π₯ = π΄ sen(ππ‘ + πΏ)
π₯ = π΄ cos(ππ‘+π
2β πΏ)
π₯ = 4.732 cos(ππ‘ + 0.2)
EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn
Encontrar la ecuaciΓ³n de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimientos armΓ³nicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones son x = 4senΟt y y = 3sen (Οt + Ξ±), cuando Ξ± = 0, Ο/2 y Ο. Hacer un grΓ‘fico de la trayectoria de la partΓcula en cada caso y seΓ±alar el sentido en el cual viaja la
partΓcula.
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 26 de 49
EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn
Un pΓ©ndulo simple tiene un periodo de 2 π y un amplitud de 2Β°, despuΓ©s de 10 oscilaciones
completas su amplitud ha sido reducida a 1,5Β° encontrar la constante de amortiguamiento πΎ. SoluciΓ³n
Datos: π‘ = 2 π ππ ; ππ = 2Β°; π = 1.5Β° La ecuaciΓ³n para este movimiento toma la forma, donde la amplitud del movimiento viene dada por,
π= π0πβπΎπ‘ 1
πβπΎπ‘=
π0
π
ππΎπ‘ =π0
π
πΎπ‘ = ln (π0
π)
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 27 de 49
πΎ =1
π‘ ln (
π0
π)
πΎ =10
2 seg ln (
2Β°
1.5Β°)
πΎ = 1,43 π β1
EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn
En el caso de un oscilador amortiguado, la cantidad π =1
2πΎ se denomina tiempo de relajaciΓ³n.
a) Verificar que tiene unidades de tiempo. b) ΒΏen cuΓ‘nto ha variado la amplitud del oscilador despuΓ©s de un tiempo π?
c) Expresar como una funciΓ³n de π, el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la
mitad de su valor inicial. d) ΒΏCuΓ‘les son los valores de la amplitud despuΓ©s de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el
valor obtenido en c)? SoluciΓ³n
a) Verificamos que tiene unidades de tiempo haciendo un anΓ‘lisis dimensional.
π =1
2πΎ
π =1
2Ξ»
2m
π =m
Fv
π =m β v
πΉ
π =[πΎπ] β [π/π ]
[πΎπ βππ 2]
π = π b) la amplitud del oscilador despuΓ©s de un tiempo π ha variado,
π΄Β΄(π‘) = π΄πβπΎπ‘
π΄Β΄ (1
2πΎ) = π΄π
βπΎ12πΎ
π΄Β΄ (1
2πΎ) = π΄πβ
12
π΄Β΄ (1
2πΎ) = 0,6 π΄
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 28 de 49
c) Expresar como una funciΓ³n de π, el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial.
π΄Β΄(π‘) = π΄πβπΎπ‘ π΄
2= π΄πβπΎπ‘
1
2= πβπΎπ‘
β1
2ππ‘ = πΏπ (1/2)
βπ‘ = 2π πΏπ (1/2) βπ‘ = β1,38 π
π‘ = 1,38 π
d) ΒΏCuΓ‘les son los valores de la amplitud despuΓ©s de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el
valor obtenido en c)?
π΄Β΄(π‘) = π΄πβπΎπ‘
π΄Β΄(1,38 π ) =π΄
2
π΄Β΄(2 β 1,38 π ) =π΄
4
π΄Β΄(3 β 1,38 π ) =π΄
8
π΄Β΄(π β 1,38 π ) =π΄
2π
EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn
Escribir la ecuaciΓ³n del movimiento de un oscilador armΓ³nico simple sin amortiguamiento al
cual se le aplica la fuerza πΉ= πΉ0 Cos wft.
Verificar que su soluciΓ³n es π₯= [πΉ0 /π (w02-wf2) ] Cos wft SoluciΓ³n:
π ππ
π ππ+ ππ
π π = (ππ
π)(πͺππ πππ)
π = [ ππ
π (ππ π β ππ
π )] πͺππ πππ
π π
π π=
βππππ πͺππ πππ
π (ππ π β ππ
π )
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 29 de 49
π ππ
π ππ=
βππππ π πͺππ πππ
π (ππ π β ππ
π )
Reemplazando en la ecuaciΓ²n inicial: π ππ
π ππ+ ππ
π π = (ππ
π)(πͺππ πππ)
(βππ ππ
π πͺππ πππ
π (ππ π β ππ
π ) ) + ππ
π (ππ πͺππ πππ
π (ππ π β ππ
π ) ) = (
ππ
π)(πͺππ πππ)
Reorganizando tΓ©rminos:
(ππ
π ππ πͺππ πππ
π (ππ π β ππ
π ) ) β (
ππππ π πͺππ πππ
π (ππ π β ππ
π ) ) = (
ππ
π)(πͺππ πππ)
Sacando factor comΓΊn :
(ππ πͺππ πππ
π ) [ (
(ππ π β ππ
π )
(ππ π β ππ
π ) )] = (
ππ
π)(πͺππ πππ)
Y se cumple con la igualdad llegando la demostraciΓ³n:
(ππ πͺππ πππ
π ) = (
ππ
π) (πͺππ πππ)
EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn Una partΓcula se desliza hacia adelante y hacia atrΓ‘s entre dos planos inclinados sin fricciΓ³n a) Encontrar el periodo de oscilaciΓ³n del movimiento si h es la altura inicial b) ΒΏEs el movimiento oscilatorio? c) ΒΏEs el movimiento armΓ³nico simple? SoluciΓ³n a) La aceleraciΓ³n serΓ‘: a= g Cos Ο΄
La longitud del plano = L= π
πΊππ π½
Partiendo del reposo a la altura h se tiene: L=1/2 a t2
t= β2πΏ
π
Para descender del plano y entonces:
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 30 de 49
t= β2πΏ
π
T= 4 t
T= 4 (β2πΏ
π )
T= 4 (β2(
π
πΊππ π½)
π πΆππ π )
T= 4 (β4(
π
π )
2πΊππ π½πΆππ π )
Teniendo en cuenta una de las identidades fundamentales de la trigonometrΓa: 2 Sen Ο΄ Cos Ο΄ = Sen 2 Ο΄ Y operando resulta:
T= 4x2 (β(π
π )
πΊππ ππ½ )
T= 8 (β(π
π )
πΊππ ππ½ )
b) SΓ, es oscilatorio; c) NO, no es armΓ³nico simple porque no sigue una variaciΓ³n senoidal o cosenoidal del tipo: x = A cos (wt+delta)
EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn
Una partΓcula de masa m situada en una mesa horizontal lisa (Fig.12-49) esta sostenida por dos alambres estirados de longitud l0 cuyos extremos estΓ‘n fijos en P1 y P2.
La tensiΓ³n de los alambres es T.
Si la partΓcula se desplaza lateralmente una cantidad X0 pequeΓ±a comparada con la longitud de los alambres, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente.
Encontrar su frecuencia de oscilaciΓ³n y escribir la ecuaciΓ³n de su movimiento. Suponer que la longitud de los alambres y la tensiΓ³n permanecen inalterables
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 31 de 49
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 32 de 49
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 33 de 49
EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro pagina370
12.6 Un anillo de 0,1 m de radio esta suspendido de una varilla como se ilustra determinar el periodo de oscilaciΓ³n hallar el equivalente a un pΓ©ndulo simple. a.
π = 2πβπ2
ππ
P= 2Ο β k2/ gb K2= I/m Ic=mR2
Teorema de Steiner
I=Ic+ma2 I=mR2+mR2 =LmR2 K2=2m R2/m K2=2R2
π = 2πβ2π 2
ππ
π = 2πβ2π
π
π = (6.28)β2(π. 1)
(9.8)
π = 0.89 π πππ’ππππ
b.
L=k2/ b
L=2R2/2 L=2R= 2 (0,1)= 0,2 m
MOVIMIENTO ARMΓNICO SIMPLE EJERCICIO 16 Cuando una masa de 0.750 ππ oscila en un resorte ideal, la frecuencia es de 1.33 π»π§. a) ΒΏCuΓ‘l serΓ‘ la frecuencia si se agregan
0.220 ππ a la masa original, y b) y si se restan de la masa original? Intente resolver este problema sin calcular la constante de
fuerza del resorte.
SoluciΓ³n
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 34 de 49
EJERCICIO 17 Un oscilador armΓ³nico tiene una masa de 0.500 ππ unida a un resorte ideal con constante de fuerza de 140 π/π. Calcule a) el periodo, b) la
frecuencia y c) la frecuencia angular de las oscilaciones.
SoluciΓ³n
EJERCICIO 18 Sobre una pista de aire horizontal sin fricciΓ³n, un deslizador oscila en el extremo de un resorte ideal, cuya constante de fu erza es 2.50 π/ππ. En la
figura, la grΓ‘fica muestra la aceleraciΓ³n del deslizador en funciΓ³n del tiempo. Calcule a) la masa del deslizador; b) el desplazamiento mΓ‘ximo del
deslizador desde el punto de equilibrio; c) la fuerza mΓ‘xima que el resorte ejerce sobre el deslizador.
SoluciΓ³n
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 35 de 49
EnergΓa en el movimiento armΓ³nico simple
EJERCICIO 19 Una porrista ondea su pompΓ³n en MAS con amplitud de 18.0 ππ y frecuencia de 0.850 π»π§. Calcule a) la magnitud mΓ‘xima de la aceleraciΓ³n y de la
velocidad; b) la aceleraciΓ³n y rapidez cuando la coordenada del pompΓ³n es π₯ = +9.0 ππ; c) el tiempo que tarda en moverse directamente de la
posiciΓ³n de equilibrio a un punto situado a 12.0 cm de distancia. d) ΒΏCuΓ‘les de las cantidades pedidas en los incisos a), b)
SoluciΓ³n
EJERCICIO 19
Un juguete de 0.150 ππ estΓ‘ en MAS en el extremo de un resorte horizontal con constante de fuerza π = 300 π/π. Cuando el objeto estΓ‘ a 0.0120 π
de su posiciΓ³n de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 π/π . Calcule a) la energΓa total del objeto en cualquier punto de su movimiento; b) la amplitud
del movimiento; c) la rapidez mΓ‘xima alcanzada por el objeto durante su movimiento.
SoluciΓ³n
Aplicaciones del movimiento armΓ³nico simple
EJERCICIO 20
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 36 de 49
Un orgulloso pescador de alta mar cuelga un pez de 65.0 ππ de un resorte ideal con masa despreciable, estirando el resorte 0.120 π. a) Calcule la
constante de fuerza del resorte. Ahora se tira del pez 5.00 ππ hacia abajo y luego se suelta. b) ΒΏQuΓ© periodo de oscilaciΓ³n tiene el pez? c) ΒΏQuΓ©
rapidez mΓ‘xima alcanzarΓ‘?
SoluciΓ³n
EJERCICIO 21
Una esfera de 1.50 ππ y otra de 2.00 ππ se pegan entre sΓ colocando la mΓ‘s ligera debajo de la mΓ‘s pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical,
cuya constante de fuerza es de 165 π/π, y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de 15.0 ππ. El pegamento que une las esferas es dΓ©bil y antiguo, y de
repente falla cuando las esferas estΓ‘n en la posiciΓ³n mΓ‘s baja de su movimiento. a) ΒΏPor quΓ© es mΓ‘s probable que el pegamento falle en el punto mas bajo, que en
algΓΊn otro punto del movimiento? b) Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones despuΓ©s de que la esfera inferior se despega.
SoluciΓ³n
EJERCICIO 22
Un disco metΓ‘lico delgado con masa de 2.00 3 1023 kg y radio de 2.20 cm se une en su centro a una fibra larga como se ve en la figura. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1.00 s. Calcule la constante de torsiΓ³n de la fibra.
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 37 de 49
SoluciΓ³n
EJERCICIO 24 Imagine que quiere determinar el momento de inercia de una pieza mecΓ‘nica complicada, con respecto a un eje que pasa por su centro de masa,
asΓ que la cuelga de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una constante de torsiΓ³n de . Usted gira un poco la p ieza alrededor del eje y la suelta, cronometrando 125 oscilaciones en 265 s. ΒΏCuΓ‘nto vale el momento de inercia buscado?
SoluciΓ³n
El pΓ©ndulo simple EJERCICIO 25 En San Francisco un edificio tiene aditamentos ligeros que consisten en bombillas pequeΓ±as de 2.35 ππ con pantallas, que cuelgan del techo en el extremo de cordones ligeros y delgados de 1.50 de longitud. Si ocurre un terremoto leve, ΒΏcuΓ‘ntas oscilaciones por segundo ha rΓ‘n tales
aditamentos?
SoluciΓ³n
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 38 de 49
EJERCICIO 26 Un pΓ©ndulo en Marte. En la Tierra cierto pΓ©ndulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ΒΏQuΓ© periodo tendrΓ‘ en Marte, donde
π = 3.71π
π 2?
SoluciΓ³n
El pΓ©ndulo fΓsico
EJERCICIO 27 Una biela de 1.80 ππ de un motor de combustiΓ³n pivota alrededor de un fi lo de navaja horizontal como se muestra en la figura. El centro de gravedad de la biela se encontrΓ³ por balanceo y estΓ‘ a 0.200 π del pivote. Cuando la biela se pone a oscilar con amplitud corta, completa 100 oscilaciones
en 120 π . Calcule el momento de inercia de la biela respecto al eje de rotaciΓ³n en el pivote.
SoluciΓ³n
EJERCICIO 28 Dos pΓ©ndulos tienen las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (m). El pΓ©ndulo A es una esfera muy pequeΓ±a que oscila en el extremo de una varilla uniforme
sin masa. En el pΓ©ndulo B, la mitad de la masa estΓ‘ en la esfera y la otra mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada pΓ©ndulo para oscil aciones pequeΓ±as. ΒΏCuΓ‘l tarda mΓ‘s tiempo en una oscilaciΓ³n?
SoluciΓ³n
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 39 de 49
EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Una masa m=1kg vibra verticalmente a lo largo de un segmento de 20cm de longitud con MAS
y un perΓodo de T= 4 s. Determinar:
a) Velocidad y aceleraciΓ³n del cuerpo en el punto medio de su trayectoria. b) La velocidad y aceleraciΓ³n en los extremos del segmento.
c) La fuerza restauradora cuando pasa por el punto medio de su trayectoria. Y en los extremos de la trayectoria.
d) ΒΏEn que tiempo la partΓcula se encuentra en 8cm?
SOLUCION
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 40 de 49
W= 2 /4
W= /2
A=10 cm= 0,1m
a) Velocidad y aceleraciΓ³n del cuerpo en el punto medio de su trayectoria.
a= - wx si x=0
a= - ( /2)(0m) = 0 m/ s2
a= 0 m/ s2
Vmax= Aw Vmax= (0,1m )( /2 ) = 0,157 m/s
b) La velocidad y aceleraciΓ³n en los extremos del segmento.
En los extremos v=0 a= - w2 x
a= - ( /2)2 (0,1 m)
a= - ( 2 /4) (0,1 m) = -0,2467 m/ s2
c) La fuerza restauradora cuando pasa por el punto medio de su trayectoria. Y en los extremos de
la trayectoria. En el punto medio de su trayectoria
F= - k x Si x = 0 F = 0
En los extremos de la trayectoria F= - k x Si x = 0,1 m F = ?
w =βπ/π
w2 =k/m k= w2 m
F= - k x
F= - (w2 m) (0,1m)= F= - ( ( 2 /4) (1 kg) ) (0,1m)= -0,247
d) ΒΏEn que tiempo la partΓcula se encuentra en 8cm?
A= 8 cm= 0,8m
W= /2
X=A Sen( Wt)
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 41 de 49
(0,8m)= (0,8m) Sen(( /2 ) t
(0,8m)/(0,8m) =Sen(( /2 ) t
1=Sen(( /2 ) t
Sen-1 (1) / ( /2 ) = t
( /2 ) / ( /2 ) = t
t= 1 segundo
e) En que lugar esta la particula para un tiempo de t=4segundos ? W= /2
A=10 cm= 0,1m X=A Sen( Wt)
X= (0,1m) Sen(( /2 ) (4 segundos))
X= (0,1m) Sen(( /2 ) (4 segundos))
X= (0,1m) (4 ) X= 0,4m
EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470
1. Suponga que un astronauta tiene una masa de 60kg, incluido del dispositivo de silla al que se amarra.
El y la silla se mueven bajo la influencia de la fuerza de un resorte con K=3.1 x 102 N/m. No hay otras fuerzas actuantes.
El desplazamiento mΓ‘ximo desde el equilibrio del dispositivo de mediciΓ³n de masa corporal es de 0,200m .
Suponga que debido a la fricciΓ³n la amplitud un ciclo mΓ‘s tarde es de 0,185m. ΒΏCuΓ‘l es el factor de
calidad para este oscilador armΓ³nico amortiguado?
M= 60kg
k1=3,1x10 2 N/m
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 42 de 49
A=0,200m
Aβ =0,185 m
π = 2 ππΈ
βπΈ
βπΈ = (2π
π) E
E=? ΞE=? q=?
En el desplazamiento mΓ‘ximo , la energΓa totales toda energΓa potencial:
πΈ = 1
2πΎπ΄2
Si A=0,200m
πΈ = 1
2πΎπ΄2
πΈ = 1
2(3,1π₯102)(0,200)2 = 6,2 Julios
Si Aβ =0,185 m
πΈ = 1
2πΎπ΄2
πΈβ² = 1
2(3,1π₯102)(0,185)2 = 5,3 Julios
βπΈ = πΈβ² β πΈ βπΈ = (5,3 π½π’ππππ ) β (6,2 Julios) = β0,9 Julios
π = 2 ππΈ
βπΈ
π = 2 π(6,2 π½π’ππππ )
(0,9 π½π’ππππ ) = 43,2 oscilaciones
El factor de calidad es:
q=43,2 oscilaciones 2. Una masa m=1 kg cuelga de un resorte de contante de resistividad k=200 N/m.
La constante de amortiguamiento es Ξ»=1 kg/s.
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 43 de 49
En el instante t=0 comienza a actuar sobre la masa una fuerza F= F0 Sen(wf t) con F0 =2N y wf =10 rad/segundos.
Si en t=0 x(0)=0 y v(0)=0.
Encuentre la posiciΓ³n de la partΓcula en funciΓ³n del tiempo para t=1 segundo, t=10 s, t=100s , t=1000 s.
SOLUCION:
M1 =1 kg K= 200 N/m
Ξ»=1 kg /s f0 =2N
wf = 10 rad/s t=0 x=0 x(t)=? t =1 ,10 ,100 , 1000
π€0 = βπ
π
π€0 = β200 N/m
1 kg = 14,142
2πΎ = π
π
πΎ = π
2π
πΎ = (1ππ/π )
2(1ππ)= 0,5 π πππ’ππππ β1
LA ECUACION DIFERENCIAL E.D
π ππ
π ππ+ ππΈ
π π
π π= (
ππ
π)(πͺππ πππ + πΉ)
SOLUCION A LA ECUACION DIFERENCIAL E.D
πΏ = π¨ πΊππ( πππ β πΉ)
Entonces:
π΄ =
πΉ0
π(π€1
2 β π€02)2 + 4πΎ2 + π€1
2
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 44 de 49
π΄ =
(2 π)(1 ππ)
((10)2 β (14,14)2)2 + 4(0,5)2 + (10)2
π΄ =
(2 π)(1 ππ)
( (100)β (199.9396))2 + 4(0,25)+ (100)
π΄ =
(2 π)(1 ππ)
( β99.9396)2 + 4(0,25)+ (100)
π΄ =
(2 π)(1 ππ)
(9987.9236)+ (1)+ (100)
π΄ =
(2 π)(1 ππ)
(9987.9236)+ (1)+ (100)
π΄ = 1.9823 π₯ 10β4
π΄ = 0.000198237
πΏ = π‘ππβ1 (π€π
2 β π€02
2 πΎ π€π
)
πΏ = π‘ππβ1 ((10)2 β (14,14)2
2 (0,5)(10))
πΏ = π‘ππβ1 (β99.9396
10)
πΏ = π‘ππβ1(β9.99396) πΏ = β1.47106
3. Demuestre por sustituciΓ³n directa que las funciones: X1 = A1 Sen (w1 t +Ξ±1 ) y
X2 = A1 Sen (w1 t +Ξ±1 )
Para un oscilador acoplado son soluciones de las ecuaciones de movimiento
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 45 de 49
π ππ
π ππ+
ππ + π
πππ = (
π
π) ππ
Siempre que:
π€1 = βπ1
π1
4. Considere el sistema dela fig.
La pizarra Z, de masa 500 g cuelga de un resorte cuya cte. elΓ‘stica es K=50N/m. Se sabe ademΓ‘s que la cte. de amortiguamiento B=5 s-1 .
En un cierto momento, se tira de la pizarra hacia abajo, haciendo que el resorte se estire 3cm , y se acerca la punta entintada P a la pizarra.
A continuaciΓ³n, la pizarra se suelta. Considere este instante como el inicial y analice el movimiento de la punta respecto al centro de la
pizarra βoβ. A partir de las condiciones iniciales, calcule la ecuaciΓ³n que describe el movimiento de la punta
respecto a βOβ direcciΓ³n del eje βOyβ.
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 46 de 49
M = 500g
K = 50 N/m B = 5 s-1
X = 3x 10-2 = 0,03 metros
X = A e-Bt Sen (wt + Ξ΄ )
π€ = βπ€02 β π΅2
π€ = β(10)2 β (5 πβ1)2
π€ = β100β 25
π€ = β75
π€ = 8.66 πππ
π ππ
π€0 = βπΎ
π
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 47 de 49
π€0 = β(50)
(0,5)
π€0 = β100
π€0 = 10 πππ
π ππ
X = A e-Bt Sen (wt + Ξ΄ )
Derivamos la ecuacion x:
v = Aw e-Bt Cos (wt + Ξ΄ )
v = Aw e-B(0) Cos (wt + Ξ΄ )
v = Aw (1) Cos (wt + Ξ΄ )
v = Aw Cos (wt + Ξ΄ )
si v=0
0 = Aw Cos (wt + Ξ΄ )
0 = A(8,6 rad/seg) Cos ( (8,6 rad/seg) t + Ξ΄ )
Ahora para la ecuacion X, mientras: Si t=0
x=0,003 metros
X = A e-Bt Sen (wt + Ξ΄ )
(0,003 metros) = A e-(5)(0) Sen ((8,6 rad/seg)(0 seg)+ Ξ΄ )
(0,003 metros) = A(1) Sen ((0 )+ Ξ΄ )
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 48 de 49
(0,003 metros) = A Sen ((0 )+ Ξ΄ )
Debemos hallar la amplitud, por lo que debemos encontrar primero delta Ξ΄ = ?
X = A e-Bt Sen (wt + Ξ΄ ) π π
π π= π = π¨πβπ©π(βπ©) πΊππ (ππ + πΉ) + π¨πβπ©π(π) πͺππ (ππ + πΉ)
π π
π π= π = βπ¨π©πβπ©π πΊππ (ππ + πΉ) + π¨π πβπ©π πͺππ (ππ + πΉ)
Si v=0 B=5 t=0 w= 8,6 rad/seg
π = βπ¨π©πβπ©π πΊππ (ππ + πΉ) + π¨π πβπ©π πͺππ (ππ + πΉ) π = βπ¨π©πβπ©π πΊππ (ππ + πΉ) + π¨π πβπ©π πͺππ (ππ + πΉ)
π = βπ¨(π)πβ(π)(π) πΊππ ((8,6rad
seg) (0 seg) + πΉ) + π¨(π,π
πππ
πππ)πβ(π)(π) πͺππ ((8,6 rad/seg)(0 seg) + πΉ)
π = βπ¨(π) ( π ) πΊππ ( (0) + πΉ) + π¨(π,ππππ
πππ) (π) πͺππ ((0 ) + πΉ)
π = βππ¨ πΊππ ( (0) + πΉ) + π, π π¨ πͺππ ((0 ) + πΉ) π = βππ¨ πΊππ ( πΉ) + π, π π¨ πͺππ ( πΉ) π = π¨(βπ πΊππ ( πΉ) + π,π πͺππ ( πΉ))
π = βπ πΊππ ( πΉ) + π, π πͺππ ( πΉ) π πΊππ ( πΉ) = π,π πͺππ ( πΉ)
πΊππ( πΉ)
πͺππ ( πΉ) =
π,π
π
πππ(πΉ) =π,π
π
πΉ = πππβπ ( π,π
π )
πΉ = π,ππ πππ
Como ya encontramos delta reemplazamos :
X = A e-Bt Sen (wt + Ξ΄ )
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 49 de 49
(0,003 metros) = A e-(5)(0) Sen ((8,6 rad/seg)(0 seg)+ Ξ΄ )
(0,003 metros) = A(1) Sen ((0 )+ Ξ΄ )
(0,003 metros) = A Sen ((0 )+ Ξ΄ )
(0,003 metros) = A Sen ((0 )+ (1,04) )
π΄ = 0,003
πππ (1,04)
A = 0,034
A = 3,4 x10-2
Entonces la ecuaciΓ³n quedarΓa:
X = A e-Bt Sen (wt + Ξ΄ )
X = (3,4 x10-2) e-5t Sen (8,6 t + 1,04 )