Download - Solucionari 3r ESO
Grup PromotorSantillana
El Solucionari de Matemàtiques per a 3r d’ESOés una obra col·lectiva concebuda, dissenyadai creada al Departament d’Edicions Educativesde Grup Promotor / Santillana,dirigit per Enric Juan Redali M. Àngels Andrés Casamiquela.
En la realització han intervingut:
A. M. GazteluA. GonzálezM. Marqués
EDICIÓN. GrinyóR. NevadoC. Pérez
DIRECCIÓ DEL PROJECTED. Sánchez Figueroa
Matemàtiques 3ESO
Biblioteca del professoratSOLUCIONARI
831106 _ 0001-0003.qxd 11/9/07 12:25 Página 1
2
138
Sistemes d’equacions5
EQUACIÓ LINEAL AMB DUES INCÒGNITES
CLASSES DE SISTEMES RESOLUCIÓ GRÀFICA
SISTEMES DE DUES EQUACIONSAMB DUES INCÒGNITES
SUBSTITUCIÓ IGUALACIÓ REDUCCIÓ
MÈTODES DE RESOLUCIÓ
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB SISTEMES DE DUES EQUACIONS
I DUES INCÒGNITES
Una classe improvisada
Estar convidat a la Festa de la Primavera, que cada any se celebrava al palau del maharajà, era un honor reservat només als personatges més influents.
Quan pujava a l’elefant, el savi Brahmagupta i el seu jove ajudant, Serhane,van coincidir a reconèixer que el maharajà era molt generós d’enviar el seu seguici per portar-los al palau.
El jove ajudant es va passar mig camí queixant-se de les disciplines que havia d’estudiar:
–Mestre, per què he d’estudiar àlgebra? No té cap utilitat; si tinc cinc monedes són cinc monedes, no pas cinc incògnites... I que la incògnita pugui ser qualsevol cosa és antinatural.
Brahmagupta va prendre la paraula i durant l’altre meitat del camí que els faltava li va explicar al seu deixeble la utilitat de l’àlgebra:
–En aquest món tot té el seu significat: l’estel al front de l’elefant no és tan sols un estel, sinó que vol dir que pertany al maharajà, i la creu coronada per quatre cercles no és només un dibuix, és el símbol de la ciutat. En matemàtiques, el més senzill és treure-li el significat a les coses, operar amb nombres i, després, interpretar-ne el resultat.
Després d’aquestes paraules, mestre i deixeble es van quedar en silenci durant el quilòmetre que faltava per arribar a palau.
Amb l’ajuda d’una equació, calcula la distància que tots dos van recórrer dalt de l’elefant.
x = distància
� 2x + x + 4 = 4x � x = 4
Van recórrer una distància de 4 km.
12
14
1x x x++ ++ ==
73
2
c) La distància de la Terra a Neptú:
4,5 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 4,3504 ⋅ 109 km
La velocitat és de 360.000 km/h = 3,6 ⋅ 105 km/h.
De la Terra a Neptú es triga:
(4,3504 ⋅ 109) : (3,6 ⋅ 105) = 1,2084 ⋅ 104 = 12.084 horas = 503,5 dies
A anar i tornar es trigarà el doble, és a dir, 1,006 dies, que equivalen aproxi-madament a 2 anys i 9 mesos. Per tant, sí que podríem anar i tornar de Neptú.
Has de tenir en compte que estem suposant que des del primer momentassolim la velocitat màxima de 360.000 km/h.
En Sergi acaba d’arribar a Londres. Abans de fer el viatge va canviar al banc200 lliures i li van donar aquest rebut.
Un euro val 0,649900 lliures, per tant, les 200 lliures que vacanviar li van costar €.En Sergi es vol comprar unspantalons que costen 48,5 lliures i ha de calcular-ne el cost en eurosper fer-se una idea del seu valor.a) Creus que és correcta l’estimació
que ha fet? Quin error comet?b) Si les cinc nits d’hotel li costen
467 lliures, quin serà el valor eneuros que calcularà en Sergisegons les seves estimacions? I quin serà el valor real?
a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 €. Per tant, la seva estimació és errònia i enSergi comet un error absolut de 14,63 €, i un error relatiu de 0,196 €.
b) El valor real és de 718,57 €, i l’error que cometrà és de: 718,57 ⋅ 0,196 == 140,84 €. Per tant, estimarà: 718,57 − 140,84 = 577,73 €.
COMPRA DE BITLLETS ESTRANGERS I/OXECS DE VIATGE EN DIVISA I/O PAGAMENT DE XEC DE COMPTE EN DIVISA
Sr. SERGI AVELLANEDA GILDomicili AVINGUDA DE LA LLUM, S/NPoblació BARCELONAC.P. 08013 D.N.I./C.I. 978687623
Concepte: OPERACIÓ INVISIBLE
REF. 6036786
BBAANNCCENTITAT-OFICINA-COMPTE
2038 - 5538948273647783 EUR
DOCUMENT DIVISA IMPORT CANVI CONTRAVALOR
BITLLETS GBP 200,0 0,649900 307,74 EUR
307,74 EUR
DATA OPERACIÓ: 31/07/2007 DATA VALOR: 31/07/2007 TOTAL 307,74 EUR
Comisiones i gastos
Signatura de l’interessat
BAN
CO BAN
CO
Signatura i segellBB AA NN CC
106���
Costa uns… 60 €
SOLUCIONARI
72
A LA VIDA QUOTIDIANA
Navegant per Internet hem arribat a la pàgina següent:
a) Quina distància hi ha entre Mercuri i Saturn?b) Quina distància és més gran, la de la Terra a Urà o la de Mart a Neptú?c) Amb una nau com la que es descriu a la segona pàgina, quant es tardaria a
arribar a Neptú? Podríem visitar Neptú i tornar a la Terra?
a) La distància de Mercuri a Saturn:
1,429 ⋅ 109 − 5,791 ⋅ 107 = 1,429 ⋅ 109 − 0,05791 ⋅ 109 == 1,37109 ⋅ 109 km
b) La distància de la Terra a Urà:
2,87 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 2,87 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 2,7204 ⋅ 109 km
La distància de Mart a Neptú:
4,5 ⋅ 109 − 2,2794 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,22794 ⋅ 109 = 4,27206 ⋅ 109 kmHi ha més distància de Mart a Neptú que de la Terra a Urà.
105���
Nombres reals
Formació dels planetes
Els planetes es van formar fa uns 4.500 milions d’anys, al mateix temps que el Sol.
En general, els materials lleugers que no es van quedar al Sol es van allunyar més que els pesants.
Al núvol de gas i pols original, que girava en espirals, hi havia zones més denses, projectes de planetes.
La gravetat i les col·lisions van portar més matèria a aquestes zones i el moviment rotatori les va arrodonir.
Planetes Radi
equatorial Distància
al Sol (km) Llunes
Període de Rotació
Òrbita
Mercuri 2.440 km 5,791 ⋅ 107 0 58,6 dies 87,97 dies
Venus 6.052 km 1,082 ⋅ 108 0 –243 dies 224,7 dies
Terra 6.378 km 1,496 ⋅ 108 1 23,93 hores 365,256 dies
Mart 3.397 km 2,2794 ⋅ 108 2 24,62 hores 686,98 dies
Júpiter 71.492 km 7,7833 ⋅ 108 16 9,84 hores 11,86 anys
Saturn 60.268 km 1,429 ⋅ 109 18* 10,23 hores 29,46 anys
Urà 25.559 km 2,87 ⋅ 109 15 17,9 hores 84,01 anys
Neptú 24.746 km 4,5 ⋅ 109 8 16,11 hores 164,8 anys
*Alguns astrònoms atribueixen 23 satèl·lits al planeta Saturn.
Asteriodes
Vida a l’espaiExploració
Estem sols?
ExploracióExpoMars
Futuresexploracions a MartNous mitjans detransport
Navegació espacial
Fins ara, gairebé totes les missions espacialshan fet servir motors coets amb combustibles i comburents químics. Per desgràcia, aquests motors no són gaire eficaços; per exemple, més de la meitat del pes de la sonda espacial Rosetta de l’ESAen el moment del llançament era combustible.
L’ESA estudia actualment maneres de reduir laquantitat de combustible que transporten les naus. Una de les idees consisteixen un motor d’ions que faci servir una pistola elèctrica per disparar gas cap al’espai.
Tot i que la força d’empenta del motor coet elèctric d’ions és molt petita, en vaaugmentant la velocitat gradualment, fins que, quan arriba el moment, permetque la nau espacial es desplaci amb molta rapidesa.
La sonda SMART 1 ha provat amb èxit un motor d’ions en el seu viatge de laTerra a la Lluna. Per cada quilogram de combustible consumit, aquest motorprodueix un augment de la velocitat de la nau deu vegades més gran que si fosun motor coet ordinari.
L’ESA també estudia fer servir naus espacials que utilitzin espelmes solars enlloc de motors coets. La llum solar bufa sobre una espelma molt gran que potpropulsar una nau espacial cap a altres planetes. Després de molts mesos deviatge amb el vent del Sol, una nau d’aquest tipus podria arribar a una velocitatde 360.000 km/h.
Estacions espacials
ExploracióLab
Diversión
Noticias
PresentacióEl nom de la sèrie, La Casa del Saber, respon al plantejament de presen-tar un projecte de matemàtiques centrat en l’adquisició dels contingutsnecessaris perquè els alumnes puguin desenvolupar-se en la vida real. Elsaber matemàtic, en l’etapa obligatòria d’ensenyament, ha de garantir nonomés que s’interpreti i es descrigui la realitat, sinó també que s’hi actuï.
En aquest sentit, i considerant les matemàtiques en aquests nivells comuna matèria procedimental, recollim en aquest material la resolució detots els exercicis i problemes formulats en el llibre de l’alumne. Pretenemque aquesta resolució sigui no només un instrument, sinó que es puguientendre com una proposta didàctica per enfocar l’adquisició dels dife-rents conceptes i procediments que es presenten en el llibre de l’alumne.
831106 _ 0001-0003.qxd 11/9/07 12:25 Página 2
3
Unitat 0 Repàs 4-13
Unitat 1 Nombres racionals 14-43
Unitat 2 Nombres reals 44-73
Unitat 3 Polinomis 74-99
Unitat 4 Equacions de primer i segon grau 100-137
Unitat 5 Sistemes d’equacions 138-177
Unitat 6 Proporcionalitat numèrica 178-207
Unitat 7 Progressions 208-241
Unitat 8 Llocs geomètrics. Figures planes 242-273
Unitat 9 Cossos geomètrics 274-309
Unitat 10 Moviments i semblances 310-337
Unitat 11 Funcions 338-365
Unitat 12 Funcions de proporcionalitat 366-395
Unitat 13 Estadística 396-425
Unitat 14 Probabilitat 426-454
Índex
831106 _ 0001-0003.qxd 11/9/07 12:25 Página 3
4
NOMBRES
Troba sis múltiples de cada nombre: a) 5 b) 10 c) 50 d) 72 e) 100 f) 450 g) 600 h) 723
a) 10, 15, 20, 25, 30, 35b) 20, 30, 40, 50, 60, 70c) 100, 150, 200, 250, 300, 350d) 144, 216, 288, 360, 432, 504e) 200, 300, 400, 500, 600, 700f) 900, 1.350, 1.800, 2.250, 2.700, 3.150g) 1.200, 1.800, 2.400, 3.000, 3.600, 4.200h) 1.446, 2.169, 2.892, 3.615, 4.338, 5.061
Troba dos divisors dels nombres següents: a) 25 b) 15 c) 150 d) 190 e) 320 f) 450 g) 600 h) 725
a) 1 i 5 c) 3 i 50 e) 20 i 80 g) 6 i 100b) 3 i 5 d) 10 i 19 f) 5 i 9 h) 5 i 25
Completa els buits amb la paraula adequada (múltiple o divisor):a) 24 és … de 6 c) 125 és … de 25b) 12 és … de 24 d) 51 és … de 17
a) 24 és múltiple de 6 c) 125 és múltiple de 25b) 12 és divisor de 24 d) 51 és múltiple de 17
Esbrina quins d’aquests nombres són primers o compostos: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 i 6.723.
Primers: 79, 239, 313
Compostos: 93 = 3 ⋅ 31 117 = 32 ⋅ 13 585 = 32 ⋅ 5 ⋅ 131.001 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 6.723 = 34 ⋅ 83
Busca els nombres primers compresos entre 100 i 120.
Els nombres primers entre 100 i 120 són: 101, 103, 107, 109 i 113.
Completa els buits:a) Div (30) = {1, 2, 3, �, �, �, 15, �}b) Div (100) = {1, 2, �, �, 10, �, 25, �, 100}c) Div (97) = {�, 97}d) Div (48) = {�, 2, 3, 4, 6, �, �, �, �, �}
a) Div (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}b) Div (100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}c) Div (97) = {1, 97}d) Div (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
006
005
004
003
002
001
Repàs0
831106 _ 0004-0013.qxd 11/9/07 12:32 Página 4
5
0
Calcula el m.c.d. de cada parella de nombres:
a) 6 i 14 c) 5 i 15 e) 76 i 85 g) 160 i 180b) 9 i 10 d) 42 i 4 f) 102 i 104 h) 281 i 354
a) 2 c) 5 e) 1 g) 20
b) 1 d) 2 f) 2 h) 1
Calcula el m.c.m. d’aquests nombres:
a) 7 i 14 c) 9 i 16 e) 61 i 49 g) 150 i 415b) 12 i 7 d) 8 i 25 f) 280 i 416 h) 296 i 432
a) 14 c) 144 e) 2.989 g) 12.450
b) 84 d) 200 f) 14.560 h) 15.984
Calcula el m.c.d. i el m.c.m. de cada grup de nombres:
a) 25, 50 i 100 c) 40, 42 i 48 e) 8, 10, 12 i 14b) 6, 7 i 8 d) 12, 18 i 20 f) 2, 4, 6, 8 i 10
a) m.c.m. (25, 50, 100) = 100 m.c.d. (25, 50, 100) = 25
b) m.c.m. (6, 7, 8) = 168 m.c.d. (6, 7, 8) = 1
c) m.c.m. (40, 42, 48) = 1.680 m.c.d. (40, 42, 48) = 2
d) m.c.m. (12, 18, 20) = 180 m.c.d. (12, 18, 20) = 2
e) m.c.m. (8, 10, 12, 14) = 840 m.c.d. (8, 10, 12, 14) = 2
f) m.c.m. (2, 4, 6, 8, 10) = 120 m.c.d. (2, 4, 6, 8, 10) = 2
Dos vaixells mercants surten d’un port el dia 1 de gener. El primer triga 26 dies a tornar, i el segon, 30 dias. Tots dos van i vénen constantment. Quants dies triguen els vaixells a coincidirde nou al port?
Calculem el m.c.m. (26, 30) = 390.Els vaixells triguen 390 dies a tornar a coincidir al port, és a dir, coincidiran el 25 de gener de l’any següent.
Tenim dos rotllos de corda que tenen 144 i 120 m de longitud, respectivament.Quin és el nombre de trossos iguals, de mida màxima, que es pot fer amb els rotllos de corda?
Calculem el m.c.d. (144, 120) = 24.La mida màxima dels trossos de corda és 24 m i, per tant, el nombre de trossos que es pot fer és:
= 6 + 5 = 11 trossos.144
24
120
24+
011
010
009
008
007
SOLUCIONARI
831106 _ 0004-0013.qxd 11/9/07 12:32 Página 5
6
Escriu tots els nombres enters:
a) Més grans que −4 i més petits +2.b) Més petits que +3 i més grans que −5.c) Més petits que +1 i més grans que −2.d) Més grans que −5 i més petits que +6.
a) −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2
b) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3
c) −2 < −1 < 0 < 1
d) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6
Representa a la recta numèrica els nombres següents: −6, 0, −8, +3, −5 i +4.
Indica el número enter que correspon a cada punt marcat a la recta numèrica.
a)
b)
a) A = −5, B = −3, C = 2, D = 5
b) A = −6, B = −4, C = −1, D = 3
Completa amb nombres enters:
a) −3 <� <� <+1 c) −9 <� <� <−6b) +3 >� >� >−1 d) −15 <� <� <−10
Pots col·locar més d’un nombre a cada buit?
a) −3 < −2 < −1 < +1 c) −9 < −8 < −7 < −6
b) +3 > +2 > +1 > −1 d) −15 < −14 < −13 < −10
La solució no és única; només ho és per a l’apartat c).
Calcula:
a) ⏐+3⏐ b) ⏐−3⏐ c) ⏐−7⏐ d) ⏐−4⏐ e) ⏐+5⏐ f) ⏐−9⏐
a) ⏐+3⏐ = 3 c) ⏐−7⏐ = 7 e) ⏐+5⏐ = 5
b) ⏐−3⏐ = 3 d) ⏐−4⏐ = 4 f) ⏐−9⏐ = 9
Troba els oposats d’aquests nombres:
a) −5 b) +8 c) −15 d) −40 e) +125 f) −134
a) Op (−5) = +5 c) Op (−15) = +15 e) Op (+125) = −125
b) Op (+8) = −8 d) Op (−40) = +40 f) Op (−134) = +134
017
016
015
0
A B C D
A B C D
0
014
−8 −6 −5 +3 +40
013
012
Repàs
831106 _ 0004-0013.qxd 11/9/07 12:32 Página 6
7
0
Calcula:
a) (−11) + (+4) c) (−20) + (−12)b) (+13) + (+12) d) (+11) + (−15)
a) (−11) + (+4) = −7 c) (−20) + (−12) = −32
b) (+13) + (+12) = 25 d) (+11) + (−15) = −4
Fes les restes:
a) (−5) − (+5) c) (−15) − (−17)b) (+3) − (−7) d) (+8) − (+7)
a) (−5) − (+5) = −10 c) (−15) − (−17) = 2
b) (+3) − (−7) = 10 d) (+8) − (+7) = 1
Calcula:
a) (−4) + (+5) − (−18) c) (+20) − (−5) − (+5)b) (+30) − (+7) + (−18) d) (−12) − (+3) − (−7)
a) (−4) + (+5) − (−18) = 19 c) (+20) − (−5) − (+5) = 20
b) (+30) − (+7) + (−18) = 5 d) (−12) − (+3) − (−7) = −8
Completa els buits perquè les igualtats siguin certes:
a) (+13) + � = (+12) c) (−15) −� = (+9)b) � + (−20) = (−12) d) � − (+8) = (+7)
a) −1 b) 8 c) −24 d) 15
Calcula:
a) (+4) ⋅ (−5) c) (−40) ⋅ (−10)b) (−40) ⋅ (+8) d) (+2) ⋅ (+15)
a) (+4) ⋅ (−5) = −20 c) (−40) ⋅ (−10) = 400
b) (−40) ⋅ (+8) = −320 d) (+2) ⋅ (+15) = 30
Fes aquestes divisions:
a) (+35) : (−7) b) (−21) : (+3) c) (−18) : (−2) d) (+40) : (−10)
a) (+35) : (−7) = −5 c) (−18) : (−2) = 9
b) (−21) : (+3) = −7 d) (+40) : (−10) = −4
Completa els buits perquè les igualtats siguin certes:
a) (+13) ⋅ � = (+39) c) (−15) : � = (+5)b) � ⋅ (−6) = (−42) d) � : (+8) = (+2)
a) 3 b) 7 c) −3 d) 16
024
023
022
021
020
019
018
SOLUCIONARI
831106 _ 0004-0013.qxd 11/9/07 12:32 Página 7
8
Fes aquestes operacions:
a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3)b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5)c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4)d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7)
a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) = 6 + (−2) − (−4) = 8
b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) = 7 − (+1) + (−3) = 3
c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) = 3 + (−1) − (−11) = 13
d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) = −8 + (+5) + (−16) = −19
e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3) = 10 − (+1) + (−12) = −3
f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5) = 1 − (−1) + (−9) = −7
g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) = −1 − (0) = −1
h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7) = 3 + (−4) − (−5) = 4
Calcula el valor d’aquestes expressions:
a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 d) 100 − 22 ⋅ 5b) (−12) ⋅ 7 : 3 e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4c) 9 − 12 : 4 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2
a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 = 5
b) (−12) ⋅ 7 : 3 = −28
c) 9 − 12 : 4 = 6
d) 100 − 22 ⋅ 5 = −10
e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 = −13 − 2 + 4 = −11
f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2 = −135 + 21 = −114
Fes aquestes operacions:
a) (−4) − (−6) : (+3)b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2)c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9)d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5)e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6)f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)]
a) (−4) − (−6) : (+3) = (−4) − (−2) = −2
b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) = −1 − (−14) = 13
c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9) = (−11) − (+2) − (−9) = −4
d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) = (−18) − (−1) + (+5) = −12
e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) = (−5) − (−9) − (−1) = 5
f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)] = (+3) − (−3) = 0
027
026
025
Repàs
831106 _ 0004-0013.qxd 11/9/07 12:32 Página 8
Calcula:
a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3)b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)]d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1]
a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) = 30 − 12 = 18
b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7 = [(−1) + 9] ⋅ 7 = 56
c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] = 2 ⋅ (−2) = −4
d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1] = (−6) − (−143) = 137
Completa els buits perquè es compleixin les igualtats:
a) (−6) ⋅ [(−1) + �] = −18 c) 3 − [� ⋅ 5] = 18b) 8 ⋅ [4 −�] = 32 d) 1 + [3 : �] = −2
a) 4 b) 0 c) −3 d) −1
Expresa amb una raó.
a) De les 55 preguntes del test, n’he encertades 36. b) Teníem 68 ous i se n’han trencat 12. c) En el primer torn de menjar mengen 94 alumnes, i en el segon, 65. d) Una fruiteria té 7 caixes de tomàquets i 3 de pebrots.
a) b) c) d)
Al menjador de l’escola posen 3 barres de pa per cada 8 alumnes. Avui hi hem menjat 124 alumnes i han posat 50 barres. S’ha mantingut la proporció?
Comprovem si les dues raons, i , formen una proporció.
3 ⋅ 124 � 8 ⋅ 50
Per tant, no s’ha mantingut la proporció.
Identifica les raons que formen una proporció.
a) b) c)
a) Formen proporció: .
b) Formen proporció: .
c) Formen proporció: .7 5
3
10
4
,=
10
2
50
10=
2
1
6
3=
7 53
46
32
104
,, , ,
102
5010
308
205
, , ,21
82
63
95
, , ,
032
50
124
3
8
031
3
7
65
94
12
68
36
55
030
029
028
9
0SOLUCIONARI
831106 _ 0004-0013.qxd 11/9/07 12:32 Página 9
10
«LA POBLA DE MONTALBÍ: NOMÉS EL 8% DELS ENQUESTATS CRITICA LA TASCA MUNICIPAL.»
Si la Pobla de Montalbí té 7.000 habitants, aproximadament quants aproven la tasca de l’alcalde?
El 8 % de 7.000 = 560 persones critiquen la tasca municipal.
Per tant, 7.000 − 560 = 6.440 persones aproven la tasca municipal.
A la dreta veus la composició d’un iogurt.
Calcula el pes dels seus components si pesa 125 g.
En 125 g de iogurt hi ha:
3,5 % de 125 = 4,375 g de proteïnes
13,4 % de 125 = 16,75 g de carbohidrats
1,9 % de 125 = 2,375 g de greixos
GEOMETRIA
Dibuixa aquest polígon a la llibreta i assenyala’n els costats, els vèrtexs i elsangles. Traça’n les diagonals. Quantes en té?
Té 5 diagonals.
Dibuixa un octàgon, un enneàgon i un decàgon que no siguin regulars i traça’nles diagonals.
036
035
034
033
Repàs
VALOR NUTRITIUProteïnes: 3,5 %
Carbohidrats: 13,4 % Greixos: 1,9 %
G
G
G
G
Vèrtex
Diagonal
Costat
Angle
831106 _ 0004-0013.qxd 11/9/07 12:32 Página 10
11
0
Contesta si és cert o és fals:
a) Un polígon pot tenir més vèrtexs que costats. b) Un polígon pot tenir més vèrtexs que angles.c) Un polígon pot tenir més vèrtexs que diagonals.
a) Fals. c) Cert, per exemple
b) Fals. un triangle o un quadrat.
Dibuixa una circumferència amb un compàs. Després, traça una corda i els dos arcs que determina.
En aquesta circumferència, assenyala els segments que són cordes, radis i diàmetres.
Contesta aquestes preguntes:
a) Un triangle rectangle pot ser equilàter? b) Quin és el valor dels angles d’un triangle rectangle isòsceles? c) Quant fan els angles d’un triangle rectangle amb un angle agut que fa
el triple que l’altre angle agut? a) No, perquè els tres angles d’un triangle equilàter són de 60°.
b) Un angle fa 90° i els altres dos fan 45° cada un.
c) Un angle fa 90°, l’altre 22,5°, i el tercer 67,5°.
Un triangle isòsceles té l’angle desigual de 50°. Quant fan els angles iguals?
Els angles iguals fan:
.180 50
265
−= °
C
A B
041
040
Cordes
Diàmetre
Radis
F
F
G
G
G
G
039
G
FArc BA�Corda
G Arc AB�
B
A
038
037
SOLUCIONARI
831106 _ 0004-0013.qxd 11/9/07 12:32 Página 11
12
Si dibuixem un triangle rectangle, un d’isòsceles i un d’escalè, i els tallem per una recta paral·lela a la base, quins polígons obtenim en cada cas?
En el cas del triangle rectangle, si la base és un dels catets, obtenim un altre triangle rectangle i un trapezi rectangle. Si la base és la hipotenusa,obtenim un triangle rectangle i un trapezi.
En el cas del triangle isòsceles, si la base és el costat desigual, obtenim un triangle isòsceles i un trapezi isòsceles. Si la base és el costat igual, s’obté un triangle isòsceles i un trapezi.
Calcula la mida de C$ en aquest trapezi rectangle si saps que B$ = 45°.
A$ = 90°, D$ = 90° i B$ = 45° → C$ = 360 − 90 − 90 − 45 = 135°
FUNCIONS
Indica les coordenades de cada punt.
A(3, 2) C(0, 4) E(5, −3) A(3, 6) C(−4, 5) E(−5, 0)
B(−4, 2) D(1, −3) F(−2, −2) B(6, 1) D(0, −1) F(4, −3)
AB
C
D E
F
Y
X
A
B
C
D
E
F
1
1
1
1
G
Y
X
044
D C
A B
043
042
Repàs
Si el triangle és escalè, s’obté un triangleescalè semblant a l’original i un trapezi.
831106 _ 0004-0013.qxd 11/9/07 12:32 Página 12
13
0
Donats els punts següents: A(4, −1), B(3, 4), C(−3, 2) i D(−2, −3):a) Representa’ls en el pla. b) Uneix-los en ordre alfabètic i uneix també D i A. Quina figura obtens?
S’obté un romboide.
Fes el mateix amb els punts: A(5, 0), B(3, 4), C(−3, 4), D(−5, 0) i E(0, −4).
La figura que s’obté és un pentàgon.
Representa els punts següents: A(−5, 2), B(4, 0), C(−5, −1), D(8, 2) i E(−1, 2).a) Indica els punts que tenen la mateixa ordenada.b) Quants punts tenen la mateixa abscissa? Quins són?
a) Tenen la mateixa ordenada: A, D i E.
b) Tenen la mateixa abscissa: A i C.
Dibuixa els eixos de coordenades perquè el punt sigui A(2, −1).
A
Y
X
2
−1
048
AE
B
C
D
Y
X0
5
3
1
−1
−3
−5
047
A
E
BC
D
Y
X1
1
046
A
B
C
D
Y
X1
1
045
SOLUCIONARI
3−3 5 7
831106 _ 0004-0013.qxd 11/9/07 12:32 Página 13
14
Nombres racionals1
EXACTES PERIÒDICSNO EXACTES
I NO PERIÒDICS
PURS
FRACCIONS
MIXTOS
NOMBRESDECIMALS
FRACCIÓEQUIVALENT
OPERACIONS
FRACCIÓIRREDUCTIBLE
NOMBRESRACIONALS
DIVISIÓSUMA RESTA MULTIPLICACIÓ
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 14
Al dia se li assigna:
A la nit se li assigna: 69
23
=
39
13
=
La sendera dels records
La sala del tron papal li semblava enorme i buida, a Silvestre II. El que fou el poderós pontífex romà havia perdut tot el poder polític, però per a qualsevol la seva presència encara imposava un respecte gairebé místic.
Ja era vell i li agradava passejar pel seu passat, l’únic lloc on només ell podia arribar i on se sentia lliure. Recordava, feliç, la seva estada al monestir català de Ripoll, les visites que sovint feia a la seva biblioteca i la ciència que venia del sud.
Li venien a la memòria uns quants records i se li il·luminava el rostre; per exemple, aquell àbac que va fer ell mateix amb els nombres aràbics escrits a les fitxes, l’ús del qual va descriure amb detall; o el projecte d’una màquina per fraccionar el temps que havia de substituir la campana dels monjos: matines, laudes, prima, tèrcia...
Va obrir el llibre i, per atzar, es va trobar el projecte de la màquina que mesurava el temps; les primeres línies deien:
Dia i nit són les dues parts en què es divideix
el dia, però no són pas iguals, el primer
de desembre s’han consumit tres espelmes
durant el dia i sis durant la nit...
De cop i volta, com el fum de les espelmes després d’un cop d’aire, el camí imaginari traçat en el temps es va esborrar quan va sentir la veu del seu secretari. L’informava de la seva pròxima audiència.
Quina fracció del dia li assignaries al dia i a la nit?
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 15
16
EXERCICIS
Calcula:
a) de 450 b) de 350
a) b)
Comprova si aquestes fraccions són equivalents:
a) i b) i
a) Són equivalents, ja que: 7 ⋅ 6 = 42 = 2 ⋅ 21.
b) No són equivalents, perquè: 12 ⋅ 25 = 300 � 600 = 60 ⋅ 10.
Representa aquestes fraccions en un gràfic com a parts de la unitat.
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Escriu fraccions amb aquest valor numèric:
a) 2 b) −2 c) 0,5 d) 1,5
a) c)
b) d)
Escriu dues fraccions equivalents a cadascuna de les següents per amplificació i dues més per simplificació.
a) b) c)
AMPLIFICACIÓ SIMPLIFICACIÓ
a)
b)
c)12
28
6
14
3
7= =
12
28
24
56
36
84= =
690
360
230
120
69
36= =
690
360
1 380
720
2 070
1 080= =
. .
.
120
60
60
30
40
20= =
120
60
240
120
360
180= =
1228
690360
12060
005
3
21 5= ,
−= −
6
32
1
20 5= ,
14
72=
004
63
55
74
410
003
1025
1260
216
72
002
3
7350 150⋅ =
4
5450 360⋅ =
37
45
001
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 16
17
1
Calcula la fracció irreductible d’aquestes fraccions.
a) b) c)
a) m.c.d. (18, 40) = 2 ⎯→
b) m.c.d. (60, 75) = 15 →
c) m.c.d. (42, 56) = 14 →
Busca fraccions de denominador 100 que siguin equivalents
a les fraccions , i .
La fracció és irreductible. Ho continuarà sent si multipliquem
el numerador i el denominador per 7?
No serà irreductible, ja que el numerador i el denominador tindran el 7 com a comú denominador.
Ordena de més petita a més gran:
a)
b)
a) m.c.m. (9, 3, 5, 30) = 90;
b) m.c.m. (5, 4, 7, 9) = 1.260;
3
7
4
9
3
5
3
4< < <
4
9
560
1 260=
.
3
5
756
1 260
3
4
945
1 260
3
7
540
1 260= = =
.,
.,
.,
1
3
11
30
2
5
4
9< < <
4
9
40
90
1
3
30
90
2
5
36
90
11
30
33
90= = = =, , ,
35
34
37
49
, , ,
49
13
25
1130
, , ,
009
ab
008
11
20
55
100=
39
50
78
100=
13
25
52
100=
1120
3950
1325
007
42
56
3
4=
60
75
4
5=
18
40
9
20=
4256
6075
1840
006
SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 17
18
Ordena de més petita a més gran: .
m.c.m. (9, 3, 4, 5 ,7) = 1.260;
Quant ha de valer a perquè ?
a ha de ser més gran que 7: a > 7.
Calcula:
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Multiplica:
a) b)
a)
b)
Fes les operacions següents:
a) b)
a)
b) − − − = − − − =59
4
3
14
140
28
63
28
6
28
209
28
− + − = − + − =−7
2
9
4
5
8
28
8
18
8
5
8
15
8
− − −594
314
− + −72
94
58
014
( )− ⋅ =−
= −411
2
44
222
12
5
7
3
84
15
28
5⋅ = =
( )− ⋅4112
125
73⋅
013
48
3
12
3
8
3
4
3− = − =
5
3
4
3
1
3− =
57
8
40
8
7
8
47
8+ = + =
7
8
3
8
10
8
5
4+ = =
483
−578
+
53
43
−78
38
+
012
a5
75
>011
−<−< < <
3
4
2
3
5
9
6
7
8
5
8
5
2 016
1 260
6
7
1 080
1 260= =
.
.,
.
.
5
9
700
1 260
2
3
840
1 260
3
4
945
1 260=
−=− −
=−
.,
.,
.,
59
23
34
85
67
, , , ,− −
010
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 18
19
1
Completa amb una fracció:
a) b)
a)
b)
Fes les divisions:
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Calcula:
a) b)
a)
b)
Calcula:
a) b)
a)
b)
Completa amb una fracció perquè les igualtats siguin certes:
a) b)
a) b)6
5
3
5
30
15
6
3: = =
3
5
21
20
60
105
4
7: = =
:35
63
== 2120
35
:
019
9
4
5
6
8
9
6
5
83
36
6
5− +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−: :
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =−415
216
−⋅ + −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =−⋅ =
7
3
3
5
5
6
7
12
7
3
51
60
357
180
94
56
89
65
− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟:
− ⋅ + −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
73
35
56
712
018
4
25
8
2
7
20
4
25
73
20
349
100− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
5
9
7
5
4
15
5
9
17
15
76
45+ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = + =
425
82
720
− −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
59
75
415
+ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
017
( ) :− =−
=−
510
9
45
10
9
2
8
11
3
5
40
33: =
47
2
8
7: =
9
5
4
7
63
20: =
( ) :−5109
811
35
:
472
:95
47
:
016
3
7
1
21
10
21
3
7
10
21
1
21+ = − =
−→
1
4
1
3
1
12
1
3
1
12
1
4− =
−+−=→
= −121
37−= 1
413+
015
SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 19
20
Indica la part entera, la decimal, el període i l’antperíode.
a) 0,333… c) 3,37888…b) 234,4562525… d) 0,012333…
a) Part entera: 0. c) Part entera: 3.
Període: 3. Antperíode: 37.
Període: 8.
b) Part entera: 234. d) Part entera: 0.
Antperíode: 456. Antperíode: 012.
Període: 25. Període: 3.
Classifica aquests nombres:a) 0,333… b) 34,45666… c) 125,6
a) Periòdic pur.
b) Periòdic mixt.
c) Decimal exacte.
Completa fins a deu xifres decimals.a) 1,347347… c) 3,2666…b) 2,7474… d) 0,253737…
a) 1,3473473473 c) 3,2666666666
b) 2,7474747474 d) 0,2537373737
Escriu dos nombres decimals no exactes i no periòdics.
2,12345678… i 56,12112111211112…
Sense fer la divisió, classifica aquestes fraccions en funció de si s’expressen com unnombre enter, un de decimal exacte o un de decimal periòdic. Explica com ho fas.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) Periòdic. f) Periòdic.
b) Periòdic. g) Enter.
c) Decimal exacte.h) Decimal exacte.
d) Enter.
e) Decimal exacte. i) Periòdic.−−
=−−
346
222
173
111→111
240
37
80= →
−=−84
210
2
5→
−−
346222
176
95
−84210
111240
76
−8517
17525
53
024
023
022
021
020
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 20
Escriu dues fraccions que expressin:a) Un nombre enter.b) Un nombre decimal exacte.c) Un nombre decimal periòdic.
a) b) c)
Si tenim una fracció que té un numerador que no és múltiple del denominador i eldenominador té factors diferents de 2 i 5, quin tipus de nombre decimal expressa?
Expressa un decimal periòdic pur, ja que no és enter i els factors del denominador són diferents de 2 i 5.
Calcula la fracció generatriu d’aquests nombres decimals:
a) 3,54 f) 0,8)
b) 9,87 g) 0,77)
c) 0,000004 h) 5,211)
d) 24,75 i) 37,111)
e) −7,002 j) −2,02)
a) f)
b) g)
c) h)
d) i)
e) j)
Expressa en forma de fracció:
a) 3,9)
b) 1,79)
c) 15,9)
A què equival el període format per 9?
a) b) c)
El nombre decimal periòdic pur amb període 9 equival al nombre enterimmediatament superior.
Completa: a) b)
a) b) 5 628
5, =5 33
533
100, =
5 65
, = �5 33533
, =�
029
144
916=
162
918=
36
94=
028
−200
99
−=−7 002
1 000
3 501
500
.
.
.
4 120
111
.2 475
100
99
4
.=
5 206
999
.4
1 000 000
1
250 000. . .=
7
9
987
100
8
9
354
100
177
50=
027
026
5
3
8
35i
3
5
7
2i
4
2
20
4i
025
21
1SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 21
22
Calcula la fracció generatriu d’aquests nombres:
a) 3,24)
b) 11,87)
c) 5,925)
a) b) c)
Calcula. Fes servir fraccions generatrius.
a) 2,75 + 3,8 b) 5,06)− 2,95
)
a)
b)
Sense calcular la fracció generatriu, raona per què són falses les igualtats.
a) c)
b) d)
a) És falsa perquè el denominador ha de ser 990, 99 del període i 0 de l’antperíode.
b) És falsa perquè el numerador no pot ser més gran que la part entera, el període i l’antperíode junts, en aquest cas 23.
c) És falsa perquè el quocient és menor que 2 (55 < 2 ⋅ 45) i el nombre ésmés gran que 12.
d) És falsa perquè el denominador ha de ser divisor de 900 i no n’és.
Completa aquesta taula, tenint en compte que un nombre pot estar present en més d’una casella.
−0,224466881010… −1,897897897…− 240,67543 −3,0878787… −1,5
Escriu quatre fraccions que representin nombres racionals que siguin:
a) Més petits que 1 i més grans que −1. b) Més grans que −1 i més petits que 0.
a) b)− − − −5
9
1
3
2
5
51
65, , ,
− −7
9
2
3
2
5
48
65, , ,
034
Nombrenatural
Nombreenter
Decimal exacte
Decimal periòdic
Decimal no exacte i no periòdic
Nombre racional
24 24 0,67543 −1,897897897… −0,224466881010… 0,67543−1,5 −3,0878787… −1,897897897…
−3,0878787…24
−1,5
033
012456495
,�=0 023
321990
, � =
12 375545
,�=0 243
241999
, � =
032
456
90
266
90
190
902− = = ,1�
275
100
38
10
275 380
100
655
1006 55+ =
+= = ,
031
5 866
990
.1 069
90
.292
90
030
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 22
23
1
Escriu quatre nombres que no siguin racionals i que estiguin comprensos entre:
a) −1 i 1 b) −1 i 0
a) −0,01001000100001…; −0,12345678…; 0,122333444455555…;0,135791113…
b) −0,01001000100001…; −0,12345678…; −0,122333444455555…;−0,135791113…
ACTIVITATS
Expressa aquests enunciats amb una fracció.
a) Han dividit una pizza en 8 parts i en Joan se n’ha menjat 2. b) D’una classe de 20 alumnes, 15 han anat d’excursió. c) D’un grup de 7 amigues, 3 són pèl-roges. d) Una de cada cinc persones té problemes d’esquena.
a) b) c) d)
Escriu la fracció que representa la parte pintada de cada figura.
a) c)
b) d)
a) b) c) d)
Representa les fraccions següents fent servir figures geomètriques.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
49
76
52
37
038●
3
5
2
8
1
4=
11
8
1
3
037●
1
5
3
7
15
20
3
4=
2
8
1
4=
036●
035
SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 23
24
Pinta els de la figura.
Calcula:
a) de 180 c) de 40 e) de 320
b) de 420 d) de 540 f) de 1.342
a) 90 b) 350 c) −16 d) 240 e) 200 f) −366
041
−311
49
56
58
−25
12
040●
23
039●
FES-HO AIXÍ
COM ES REPRESENTEN FRACCIONS IMPRÒPIES A LA RECTA NUMÈRICA?
Representa a la recta numèrica la fracció .
PRIMER. Expressem la fracció com un nombre enter més una fracció pròpia.
→ →
La fracció està compresa entre 5 i 6.
SEGON. Dividim el tros de recta comprès entre 5 i 6 en tantes parts com indica eldenominador, 3, i agafem les que assenyala el numerador, 1.
Per dividir el tros de recta tracem una semirecta, amb la inclinació que vulguem,amb origen a 5, i dibuixem tres segments iguals.
Unim l’extrem de l’últim segment amb el punt que representa 6 i tracem paral·lelesa aquesta recta des de les altres dues divisions.
5 6
5 16
3
6
5 6
16
35
1
3= +16 3
1 5
16
3
163
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 24
25
1
Representa aquests nombres racionals:
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Quina fracció representa cada recta?
a)
b)
c)
a) b) c)
Indica si són equivalents o no aquestes parelles de fraccions.
a) d)
b) e)
c) f)
a) 3 ⋅ 7 � 10 ⋅ 21. No són equivalents.
b) −1 ⋅ 30 � 7 ⋅ (−14). No són equivalents.
c) 6 ⋅ 8 � 10 ⋅ 3. No són equivalents.
d) −2 ⋅ 5 � 3 ⋅ (−4). No són equivalents.
e) 2 ⋅ 20 = 5 ⋅ 8. Sí que són equivalents.
f) 20 ⋅ 450 � 50 ⋅ 120. No són equivalents.
2050
120450
i6
1038
i
25
820
i− −17
1430
i
− −23
45
i3
10217
i
044●
62
6
38
6+ =1
1
5
6
5+ =− − =
−2
2
3
8
3
C
6 7
B
1 2
A
−3 −2 −1
043●
28
8
3 4
−−
= = +28
8
28
83
4
8
13
3
4 5
13
34
1
3= +
−7
5
−2 −1
−= − −
7
51
2
5
2
9
0 1
−−288
−75
133
29
042●
SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 25
26
Calcula el valor de x perquè les fraccions siguin equivalents.
a) b) c) d)
a) x = = 15 c) x = = 8
b) x = = 6 d) x = = 3
Completa:
Agrupa les fraccions que siguin equivalents.
Troba dues fraccions equivalents a cadascuna de les següents per amplificació i dues més per simplificació.
Amplificació: . Amplificació: .
Simplificació: . Simplificació: .
Amplificació: . Amplificació: .
Simplificació: . Simplificació: .
Amplifica les fraccions següents de manera que el denominador de la fraccióamplificada sigui un nombre més gran que 300 i més petit que 400.
a) b) c) d) e) f)
a) c) e)
b) d) f)−770
350
−30
370
162
312
120
320
900
330
100
360
−115
38
−337
311
2752
518
049●●
504
72
252
36
126
18= =
60
36
30
18
10
6= =
504
72
1 008
144
1 512
216= =
. .60
36
300
180
600
360= =
30
45
6
9
2
3= =
8
100
4
50
2
25= =
30
45
300
450
600
900= =
8
100
16
200
24
300= =
50472
3045
6036
8100
048●
− −1
2
3
6i
4
2
10
5i−−
20
40
2
4i
2040
42
12
105
24
36
, , , , ,− −
−−
047●
2
3
4
6
4
6
20
30
30
45= = = =
23
46 30
30= = = =�
� �
�
046●
14 9
42
⋅9 4
6
⋅
12 6
9
⋅10 6
4
⋅
1442 9= xx
1269
=9 64x
=104 6= x
045●
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 26
27
1
Simplifica fins a obtenir la fracció irreductible d’aquestes fraccions.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
Digues quines d’aquestes simplificacions estan mal fetes i per què.
a) c)
b) d)
a) Malament, perquè no es poden simplificar sumands del numerador i del denominador.
b) Bé.
c) Malament, perquè no es poden simplificar sumands del numerador idel denominador.
d) Bé, però encara es podria simplificar més.
Escriu una fracció equivalente a i una altra d’equivalent a , totes dues amb el mateix denominador.
m.c.m. (5, 6) = 30
Ordena de més gran a més petit.
a) d)
b) e)
c) f)25
47
835
12
, , ,38
1024
2048
, ,
− −4360
1040
810
, ,− −11
87
8,
− − −46
216
512
, ,49
78
,−
053●
→ 1
5
6
30
4
6
20
30= =y
46
15
052●●
4080
40 2080 20
24
= =::
2214
2 112 7
117
= ⋅⋅
=
2018
15 515 3
53
= ++
=2213
11 1111 2
112
= ++
=
051●●
1
3
2
3
4
9
10
7
8
9
105
4
5
15=
5
4
1
2
618
4060
818
3021
1618
2108
5511
1512
2040
050●
SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 27
28
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Escriu una fracció compresa entre:
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)−+−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−5
9
6
92
11
18:
7
6
8
62
15
12
5
4+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =:
−+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
6
1
52
1
60:
9
7
11
92
158
126+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =:
−+−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−3
7
2
52
29
70:
4
5
7
82
67
80+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =:
− −59
69
i− −37
25
i97
119
i
−16
15
i76
86
i45
78
i
055●●
054
2
5
28
70
4
7
40
70
8
35
16
70
1
2
35
70
4
7
1
2
2= = = = > >, , , →
55
8
35>
10
40
15
60
8
10
48
60
10
40
43
60
8
10=
−=−
>−
>−
, →
−=− −
=− −
>−>−4
6
8
12
21
6
42
12
5
12
4
6
21
6, →
3
8
18
48
10
24
20
48
10
24
20
48
3
8= = = >, →
−>−7
8
11
8
4
9
7
8>−
FES-HO AIXÍ
COM OBTENIM UNA FRACCIÓ COMPRESA ENTRE DUES FRACCIONS?
Troba i escriu una fracció compresa entre les fraccions i .
PRIMER. Les sumem totes dues.
SEGON. Dividim entre 2 la fracció que hem obtingut.
La fracció està compresa entre i .7
6
4
9
29
36
29
182
29
36: =
4
9
7
6
8
18
21
18
29
18+ = + =
76
49
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 28
29
1
Calcula:
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Fes les restes següents:
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Calcula:
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Calcula:
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)−
− − =−18
21
63
21
49
21
130
21
−+ − =
−8
20
15
20
20
20
13
20
18
24
15
24
192
24
159
24+ − =
−10
12
20
12
15
12
45
12
15
4+ + = =
14
30
20
30
5
30
11
30− − =
−24
16
5
16
6
16
23
16+ − =
− − −67
373
715
23
16
− −56
53
54
+ +
912
58
8+ −− + −25
34
132
516
38
+ −
059●
189
63
3
63
9
63
14
63
191
63− − + =
70
77
110
77
84
77
96
77+ − =
156
156
13
156
60
156
109
156+ − =
150
210
21
210
70
210
199
210− + =
24
6
1
6
7
6
30
65− + = =
34
7
3121
17
29
− − +416
76
− +57
110
13
− +
11
125
13+ −10
11107
1211
+ −257
117
27
+ −
058●
154
66
33
66
6
66
115
66− − =
15
30
2
30
13
30− =
126
84
12
84
14
84
100
84− − =
23
11
73
12
111
− −32
17
212
− −510
115
−3311
1011
−
057●
63
7
5
7
6
7
62
7+ − =
21
6
12
6
8
6
41
6+ + =
−7
2
8
4
957
67
+ −52
32
92
− −72
286
+ +34
54
14
+ +
056●
SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 29
30
Fes les operacions:
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Emplena els buits:
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Calcula aquests productes:
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Calcula:
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)9 3 11
4 11 3
9
4
⋅ ⋅⋅ ⋅
=27
42
9
14=
162
35− = −
14
36
7
18
3
24
1
8=
36
30
6
5=
94
311
113
⋅ ⋅−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
14
36
29
74
⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
97
65
3⋅ ⋅96
37⋅12
536⋅
063●●
84
9
28
3=
70
6
35
3=
40
14
20
7=
12
15
4
5=
2149⋅7
2103
⋅514
8⋅23
65⋅
062●
= − − =−1
4
1
6
1
5
7
60= − =
4
5
4
6
2
15
= − − =−3
9
3
7
3
8
79
504= − =
1
2
1
3
1
6
= 16
14
15
− −= 46
45−
= 39
37
38
+= 12
13+
061●●
1 521
1 287
99
1 287
1 573
1 287
3 193
1 287
.
. .
.
.
.
.+ + =
9
18
2
18
2
18
9
18
1
2+−+ = =
588
924
77
924
330
924
995
924+ + =
50
70
7
70
43
70+−=
385
77
70
77
110
77
565
77+ + =
−7
16
1311
113
119
+ +51011
107
+ +57
110
+ −
711
112
514
+ +12
19
218
+ − +− + −516
216
060●
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 30
31
1
Calcula:
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Fes les divisions:
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Emplena els buits:
a) d)
b) e) (−5) ⋅
c) f) = −2
a)
b)
c)
d)
e)
f) = − =−4
52
2
5: ( )
=−
− =10
35
2
3: ( )
= = =1
4
1
5
1
6
30
4
15
2: :
= =3
9
3
7
3
8
56
27: :
=−=−4
5
4
6
6
5:
= =1
4
1
3
3
4:
45
:= 39
37
38
⋅ ⋅
= −103
= −46
45
:
= 16
14
15
: := 14
13
⋅
066●●
− =−15
60
1
4
64
3
11
21
14
105
2
15=
56
103
:−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟8
38
:
113
7:75
212
:
065●
−=−40
90
4
9
20
84
5
21=
63
30
21
10=
10
24
5
12=
815
65
:−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
512
74
:
95
67
:58
32
:
064●
SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 31
32
Calcula:
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Fes les operacions:
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Assenyala la part entera i decimal dels nombres següents:
a) 0,75 c) 1,8989… e) 2,161820…b) 274,369 d) 127,4555… f) −7,0222…
a) Part entera: 0. Part decimal: 75.
b) Part entera: 274. Part decimal: 369.
c) Part entera: 1. Part decimal: 8989…
d) Part entera: 127. Part decimal: 4555…
e) Part entera: 2. Part decimal: 161820…
f) Part entera: −7. Part decimal: 0222…
069●
3
5
21
20
33
20+ =
72
15
13
15
72
13: =
2
75
37
7+ =
8
5
7
30
48
7: =
4
3
7
18
17
18− =
4
5
17
72
17
90⋅−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =−
3
10
5
4
19
20− =
−7
6
21
60
49
60− =
25
310
718
: −85
35
1130
: +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
12
65
75
43
⋅ + :25
34
54
⋅ −45
524
49
⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
27
32135
+ :83
59
65
13
: :⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
76
320
815
− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
068●●●
8
3
7
15
33
15− =
7
51
2
5− =
35
36
7
3
2
5
245
108
2
5
1 441
540⋅ + = + =
.6
5
16
21
46
105− =
91
4
41
159
41
60
499
60− ⋅ = − =
11
20
7
3
77
60⋅ =
97
12
2
5
529
60− + =
4
5
7
12
48 35
60
13
60− =
−=
914
73
25
− ⋅ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟2
35
47
34
⋅ − :
23
34
15
37
: − ⋅914
73
25
− ⋅ +45
14
73
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
914
73
25
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
35
47
34
1: : −45
14
73
− ⋅
067●●
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 32
33
1
Expressa la part pintada de cadascuna de les figures mitjançant una fracció un nombre decimal.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Indica quins dels nombres són periòdics i quins no. Assenyala’n el període en els que ho siguin.
a) 1,333… d) 6,987654…b) 2,6565… e) 0,010101…c) 3,02333… f) 1,001002003…
a) Periòdic; període: 3.
b) Periòdic; període: 65.
c) Periòdic; període: 3.
d) No periòdic.
e) Periòdic; període: 01.
f) No periòdic.
Classifica aquests nombres decimals en exactes, periòdics purs, periòdicsmixtos o no exactes i no periòdics.
a) 1,052929… f) 13,12345666…b) 0,89555… g) −1.001,034034…c) −7,606162… h) 0,0000111…d) 120,8 i) −1,732e) −98,99100101… j) 0,123456777…
a) Periòdic mixt. f) Periòdic mixt.
b) Periòdic mixt. g) Periòdic mixt.
c) No exacte i no periòdic. h) Periòdic mixt.
d) Exacte. i) Exacte.
e) No exacte i no periòdic. j) Periòdic mixt.
072●●
071●●
1
60 1666= , ...
3
40 75= ,
1
20 5= ,
1
20 5= ,
070●
SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 33
34
Raona quin tipus de nombre expressen les fraccions següents: enter, decimalexacte o periòdic.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) Exacte, perquè el denominador de la seva fracció irreductible només té 2com a factor.
b) Enter, perquè el numerador és múltiple del denominador.
c) Periòdic mixt, perquè el denominador de la seva fracció irreductible técom a factors 2 i 3.
d) Exacte, perquè el denominador només té com a factors 2 i 5.
e) Periòdic mixt, perquè el denominador de la seva fracció irreductible técom a factors 5 i 3.
f) Periòdic pur, perquè els factors del denominador són diferents de 2 i 5.
g) Enter, perquè el numerador és múltiple del denominador.
h) Exacte, perquè el denominador de la seva fracció irreductible només técom a factors 2 i 5.
i) Periòdic mixt, perquè el denominador té com a factors 2, 3 i 5.
Calcula la fracció generatriu.
a) 5,24 c) 3,7)
e) 5,12)
b) 1,735 d) 5,43)
f) 0,235)
a) c) e)
b) d) f)
Expressa en forma de fracció aquests nombres:
a) −7 d) 9,6)
g) 9,54)
b) 6,05 e) 4,07)
h) 0,315)
c) −0,00182 f) −14,413)
i) 0,0123)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)122
9 900
61
4 950. .=−
14 399
999
.− = −
182
100 000
91
50 000. .
312
990
52
165=
403
99
605
100
121
20=
859
90
87
9
29
3=
−7
1
075●
233
990
538
99
1 735
1 000
347
200
.
.=
461
90
34
9
524
100
131
25=
074●
1990
1521
424
21420
−3430
− 4411
221−
5120
2736
073●
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 34
35
1
Expressa les fraccions en forma decimal i els decimals en forma fraccionària.
a) f) k)
b) 7,35 g) 0,278 l) 1,0435c) 13,7
)h) 6,16
)m) 1,274
)
d) 8,91)
i) 18,57)
n) 0,315)
e) j) 2,265)
ñ) 0,0123)
a) 1,125 f) 0,81)
k) 1,12)
b) g) l)
c) h) m)
d) i) n)
e) 4,8 j) ñ)
Calcula fent servir les fraccions generatrius.
a) 0,2777… + 2,333… c) 0,44… ⋅ 2,5151…b) 3,5666… − 2,2727… d) 1,13888… : 0,9393…
a) c)
b) d)
Digues quines de les afirmacions següents són certes o falses i justifica la resposta.
a) Qualsevol nombre decimal el podem expressar en forma de fracció.b) Un nombre enter el podem expressar com una fracció.c) En un nombre decimal periòdic les xifres decimals es repeteixen
indefinidament després de la coma. d) Si un nombre decimal té el període 0, és un nombre exacte.
a) Fals, els decimals no exactes i no periòdics no es poden expressar en forma de fracció.
b) Cert, la fracció serà el quocient del nombre i la unitat.
c) Cert en el cas dels periòdics purs, però no en els periòdics mixtos.
d) Cert, ja que té un nombre exacte de xifres decimals.
078●●
1 025
900
93
99
451
372
.: =
321
90
225
99
1 281
990− =
.
44
100
249
99
913
825⋅ =
25
90
21
9
235
90
47
18+ = =
077●●
12
990
2
165=
2 039
900
.
284
900
71
225=
1 839
99
613
33
.=
802
90
401
45=
1 273
999
.555
90
37
6=
124
9
10 435
10 000
2 087
2 000
.
.
.
.=
278
1 000
139
500.=
735
100
147
20=
4810
10190
911
98
076●
SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:38 Página 35
36
Tenim 30 m de tela. Calcula quants metres són:
a) de la tela b) de la tela c) de la tela
a)
b)
c)
Una empresa ha ingressat aquesta setmana dos cinquens de 12.300 €. Calcula quants diners ha ingressat.
Ha ingressat: €.
Un pare li dóna a la filla gran 30 € i al fill petit, la tercera parte del que harebut la gran. Quant ha rebut el fill petit?
El fill petit ha rebut: €.
Li hem regalat al meu pare, pel seu aniversari, una capsa de bombons.
Ens hem menjat les de la caixa. Si n’hi havia 40, de bombons,
quants en queden?
Queda de la caixa, és a dir, bombons.1
440 10⋅ =
1
4
34
083●●
082
1
330 10⋅ =
081●
2
512 300 4 920⋅ =. .
080●
5
630 25⋅ = m
7
3030 7⋅ = m
3
530 18⋅ = m
56
730
35
079●
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM ELS PROBLEMES EN QUÈ CONEIXEM UNA PART DEL TOTAL?
A la classe, les parts són nois. Quantes noies hi ha si són 25 alumnes en total?
PRIMER. Restem la part que coneixem, , del total, 1, per calcular la part que noconeixem.
són noies
SEGON. Calculem què representa aquesta part en el total d’alumnes, 25.
15 noies3
525
3
525
3 25
5
75
5de = ⋅ =
⋅= =
12
5
5
5
2
5
3
5− = − =
2
5
25
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:39 Página 36
37
1
Els tres vuitens del total d’alumnes d’un IES porten ulleres. Si en porten 129 alumnes, quants n’hi ha, en total?
En total són alumnes.
Un granger vol tancar un terreny de 2.275 m de llargada. El primer dia fa
els de la feina i, el segon dia, los . Quants metres falten per tancar?
→ falten.
Uns amics recorren 105 km en bicicleta. El primer dia fan del camí
i el segon dia . La resta la deixen per al tercer dia.
Quants quilòmetres fan cada dia?
1r dia → 3r dia → 105 − (28 + 35) = 42 km
2n dia →
Una familia es gasta dels seus ingressos mensuals en el lloguer del pis,
en el telèfon i en transport i roba.
Com es distribueixen les despeses si tenen uns ingressos mensuals de 3.000 €?
Lloguer ⎯→ € Transport i roba → €
Telèfon → €
En un campament, dels joves són europeus, asiàtics, i, la resta, africans. Si en total hi ha 800 joves:
a) Quants n’hi ha d’europeus?b) Si la meitat dels asiàtics són noies, quantes noies asiàtiques hi ha?c) Quants d’aquests joves són africans?
a) Europeus →
b) Asiàtiques →
c) Africans → 800 − 300 − 160 = 340
1
5800 2 160 2 80⋅
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =: :
3
8800 300⋅ =
15
38
088●●
1
603 000 50⋅ =.
1
83 000 375⋅ =.
1
153 000 200⋅ =.
18
160
115
087●●
4
15105 28⋅ = km
1
3105 35⋅ = km
415
13
086●●
16
352 275 1 040⋅ =. . m1
3
7
2
51
29
35
16
35− +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
25
37
085●●
3
8
129 129 8
3344= =
⋅=
xx→
084●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:39 Página 37
38
Tenim una peça de filferro de 90 m. En venem parts a 3 €/m,
de la resta a 4 €/m i els metres que falten a 2 €/m. Quant hi hem guanyat,
si havíem comprat el metro de filferro a 2 €?
, a 3 €/m, són 180 €.
, a 4 €/m, són 20 €.
90 − 60 − 5 = 25 m, a 2 €/m, ssón 50 €.
El filferro ens va costar 90 ⋅ 2 = 180 € i hem cobrat: 180 + 20 + 50 = 250 €.Per tant, hi hem guanyat: 250 − 180 = 70 €.
Tres amics es reparteixen 90 € que han guanyat a la travessa de la manera següent: el primer se’n queda una cinquena part, el segon, la tercera part del que rep el primer, i el tercer, la meitat del que rep el segon.
a) Quina fracció representa el que obté cadascú?
b) Quants diners es queda cada amic
c) Quants en deixen de pot?
a) 1r → 2n → 3r →
b) 1r → € 2n → € 3r → €
c) De pot deixen: 90 − (18 + 6 + 3) = 63 €.
1
3090 3⋅ =
1
1590 6⋅ =
1
590 18⋅ =
1
2
1
15
1
30⋅ =
1
3
1
5
1
15⋅ =
1
5
091●●
1
690 60 5⋅ − =( ) m
2
390 60⋅ = m
16
23
090●●
089
Nombres racionals
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM UNA PART D’UNA FRACCIÓ?
La Cristina s’ha de llegir un llibre per al col·legi. El primer dia en llegeix unaquarta part, i el segon dia, la meitat del que li faltava per llegir. Quina fracciórepresenta el que ha llegit el segon dia?
PRIMER. Calculem la fracció de la qual trobarem la part.
El primer dia llegeix , i li falten: .
SEGON. Calculem la part de la fracció.
El segon dia llegeix: .
Per tant, el segon dia llegeix del llibre.3
8
3
42
3
8: =
11
4
3
4− =
1
4
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:39 Página 38
39
1
D’un escalfador, primer se’n gasta la meitat de l’aigua i, després, la quarta partde la que quedava. Si encara en queden 12 litres, quina és la capacitat de l’escalfador?
Primer: .
Segon: .
Aleshores, en queden: .
Per tant, ¬ és la capacitat de l’escalfador.
Uns amics fan una excursió a la muntanya. El primer dia recorren un quart delque tenien programat i el segon dia, un terç. La resta, que són 25 km, ho deixenper al tercer dia. Quina fracció representen els quilòmetres recorreguts el tercerdia? Quants quilòmetres han fet en total?
El tercer dia recorren: .
En total han fet: .x = =255
1260: km
11
4
1
3
5
12− − =
094●●●
x = =123
832:
11
2
1
8
3
8− − =
1
41
1
2
1
8⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
2
093●●●
092
SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM EL TOTAL SI EN SABEM UNA PART?
Una piscina està plena fins als de la seva capacitat. Encara fan falta 880 litres
perquè quedi totalment plena. Quina capacitat té la piscina?
PRIMER. Calculem la fracció que representa la part buida de la piscina
SEGON. Designem amb x la capacitat total de la piscina.
Aïllem x:
La piscina té 3.960 litres de capacitat.
x = =⋅= =880
2
9
880 9
2
7 920
23 960:
..
2
9
2
9880de x x= ⋅ =
17
9
9
9
7
9
2
9− = − =
79
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:39 Página 39
40
Calcula les diferències següents:
a) Amb els resultats, fes aquesta suma.
b) En vista del resultat anterior, quin creus que serà el resultat d’aquesta suma?
a)
b)
Si buidem aquests dos recipients en una gerra, quina serà la proporció d’aigua i de vinagre que hi haurà?
La barreja resultant tindrà 5 parts d’aigua i 2 parts de vinagre.
La proporció d’aigua és i la de vinagre és .2
7
5
7
096●●●
= − =11
1 001
1 000
1 001.
.
.
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
1 001 000+ + + + + + + =…
. .
1
1 001 000
1
1 000
1
1 001. . . .= −
= − + − + − + − + − = − =11
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
4
1
5
1
5
1
61
1
6
5
6
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30+ + + + =
1
4
1
5
1
20− =
1
2
1
3
1
6− =
1
5
1
6
1
30− =
1
3
1
4
1
12− =1
1
2
1
2− =
12
16
112
120
130
142
11 001 000
+ + + + + + … +. .
12
16
112
120
130
+ + + +
12
13
13
14
14
15
15
16
1 12
- -
- -
-
095●●●
BARREJA
2 parts d’aigua1 part de vinagre
BARREJA
3 parts d’aigua1 part de vinagre
Nombres racionals
831106 _ 0014-0043.qxd 20/9/07 13:35 Página 40
41
1
Aquesta figura conté nou quadrats, tots de costat 1. Els punts assenyalatsverifiquen:
PQ = QR = RS = ST =
Una recta uneix X amb un d’aquests puntsi divideix la figura en dues regions ambla mateixa àrea. Quina és aquesta recta?
És la recta XQ, que forma un triangle i un quadrat. La base del triangle
és 4 i l’altura: . Per tant, l’àrea del triangle serà: .
D’altra banda, l’àrea del quadrat és 1.
L’àrea és: 3,5 + 1 = 4,5, que és la meitat de l’àrea total: .
A LA VIDA QUOTIDIANA
Una comunitat de veïns vol instal·lar plaques solars per abastir part de l’energiaelèctrica que es consumeix a l’edifici. Ho han consultat amb una empresainstal·ladora, que els ha proporcionat les dades següents:
098●●●
9
24 5= ,
47
42 3 5⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =: ,1
3
4
7
4+ =
14
X
T SRQP
097●●
X
SOLUCIONARI
PRESSUPOST PER A LA INSTAL·LACIÓ
DE PLAQUES SOLARS
Comunitat de veïns; c/ del Sol, 23
Plaques solars
i instal·lació.Total: 22.000 €
Segons els nostres informes,la instal·lació de plaques solars
permet un estalvi de del consum
energètic actual de l’edifici.
27
Q
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:39 Página 41
42
L’empresa instal·ladora els ha informat que certs organismes oficialsconcedeixen subvencions per a la instal·lació de plaques solars.
La companyia elèctrica subministradora de la comunitat cobra a 8,6726 cèntims el quilowatt. A l’últim rebut bimensual, cadascun dels 48 veïns ha pagat 46,34 €.Quant temps trigraran a amortitzar les plaques solars i la instal·lació, si elconsum de la comunitat és manté?
Cost de les plaques i la instal·lació: 22.000 €.
Subvenció: ⋅ 22.000 = 11.000 €.
Despesa mensual: (48 ⋅ 46,34) : 2 = 1.112,16 €.
Estalvi en la despesa: €.
Temps d’amortització: (22.000 − 11.000) : 317,76 = 34,62 mesos.
Per tant, trigaran una mica menys de tres anys a amortitzar la despesa.
Les notícies sobre els accidents que hi ha hagut durant la Setmana Santadestaquen un important augment dels sinistres.
099●●●
2
71 11216 317 76⋅ =. , ,
1
2
INSTITUT PER A LA DIVERSIFICACIÓI ESTALVI DE L’ENERGIA
En relació amb la subvenció sol·licitada per la sevacomunitat per a la instal·lació de plaques solars a l’edificisituat al carrer del Sol, número 23, l’informem que lasubvenció li ha estat atorgada, i que la quantitat ascendeix a la meitat del cost de les plaques i la instal·lació.
Nombres racionals
Sinistralitat durant la Setmana Santa a la carretera
108 persones han mort en accidents a la carretera
La meitat dels morts en turis-mes no duien cordat el cinturó.
Una de cada tres víctimes mor-tals en accident de motocicleta noportava casc.
La meitat del morts tenia menysde 35 anys, i d’aquests, un de ca-da quatre era menor de 25 anys.
La distracció s’apunta com elfactor fonamental en dos de cadacinc accidents, la infracció de lesnormes de trànsit en un de cadatres i l’excés de velocitat en tres decada deu.
Vehicle Morts
Turismes 91
Motocicletes 17
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:39 Página 42
43
1
L’últim paràgraf de l’article es refereix a accidents, però nosaltres resolem elproblema com si es tractés de morts. Així, el paràgraf fóra:
La distracció s’apunta com el factor fonamental en dos de cada cincmorts, la infracció de les normes de trànsit en un de cada tres i l’excésde velocitat en tres de cada deu.
Si no ho consideréssim d’aquesta manera, no podríem determinar el nombrede morts, ja que en un mateix accident hi pot haver més d’un mort o nohaver-n’hi cap.
SOLUCIONARI
Morts
Mesures de seguretat
No duia el cinturó 1
291 45 5 46⋅ = ≈,
No portava casc 1
317 5 6 6⋅ = ≈,
�
Complia les mesures de seguretat 108 − 46 − 6 = 56
Edats
Menors de 35 anys 1
2108 54⋅ =
Majors de 35 anys 1
2108 54⋅ =
Menors de 25 anys 1
454 13 5 14⋅ = ≈,
Causa principal de l’accident
Distracció 2
5108 43 2 43⋅ = ≈,
Infracció de normes de trànsit
1
3108 36⋅ =
Excés de velocitat 3
10108 32 4 32⋅ = ≈,
Cap de les circumstànciesanteriors
L’excés de velocitat és una infracció de tràfic, pertant,108 − 36 − 43 = 29. Han mort 29 persones enaquestes circumstàncies.Estem suposant que la causa principal delsaccidents és única, és a dir, que no es computendues o més causes principals d’accident.
831106 _ 0014-0043.qxd 11/9/07 12:39 Página 43
44
Nombres reals2
REPRESENTACIÓ
NOMBRESRACIONALS
NOMBRESIRRACIONALS
POTENCIACIÓ APROXIMACIONS
ERRORS
NOMBRESREALS
EXPONENTPOSITIU
EXPONENTNEGATIU
NOTACIÓCIENTÍFICA
OPERACIONS
SUMA RESTA MULTIPLICACIÓ DIVISIÓ
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 44
La raó irracional
El gran Pitàgores, estudiós del món i la seva relació amb els nombres i descobridor de la bellesa racional de totes les coses, es confessava amb amargor, al final de la seva vida, en els albors del segle V aC, a un dels seus deixebles:
–Escolta –li deia a Hipàs de Metapont–: Tota la vida he buscat la veritat en els nombres; l’explicació del que és diví i el que és humà era en els nombres o les seves raons, tot era perfecte i explicable, tot era raonable...
Hipàs es mirava el seu mestre amb admiració i assentia amb el cap.
Mentrestant, Pitàgores continuava:
–Ara que he arribat al final de la vida, t’he de confessar una certesa horrible: fa temps que els vaig descobrir, n’hi ha d’altres.
–Altres? –li va preguntar Hipàs.
–Sí. Hi són, però són incommensurables: tothom pot construir un quadrat amb un costat que faci 1, però mesurar-ne la diagonal no és possible. Fins i tot la raó de la pentalfa no és com pensàvem, sinó que és un d’aquests camuflat.
Si no t’ho creus, intenta mesurar la diagonal d’aquesta habitació que fa 3 passes d’amplada i 5 de llargada.
Apliquem el teorema de Pitàgores:
Observem que, tot i que l’amplada i la llargada de l’habitació es podenmesurar amb nombres enters, la diagonalés un nombre irracional, és a dir, que no és mesurable.
3 5 9 2534 5 830951
2 2+ = + == = , …
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 45
46
EXERCICIS
Calcula les potències següents:
a) 32 d) (−5)3 g) (4,25)4
b) 74 e) (−2,02)4 h)
c) (−9)2 f) i) (−14,32)8
a) 9 d) −125 g) 326,25390625
b) 2.401 e) 16,64966416 h)
c) 81 f) i) 8.622.994,474905370624
Calcula (−0,8)2, (−0,8)3 i (−0,8)4. Quina és més gran?
(−0,8)2 = 0,64 (−0,8)3 = −0,512 (−0,8)4 = 0,4096
El més gran és (−0,8)2.
Expressa en forma de potència:
a) 3 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 3 b)
a) 36 b)
Calcula aquestes potències:
a) 7−3 d) (−5)−2 g) j)
b) 71 e) (−5)0 h) k)
c) 7−1 f) (−5)−1 i) l)
a) e) 1 i)
b) 7 f) j)
c) g) k) 1
d) h) l) −5
8
8
5
1
5
1
252( )−=
5
8
625
4 096
4
4=
.1
7
− = −5
8
5
5
3.125
32.768
1
5
1
51( )−= −
5
8
1
7
1
3433=
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−85
185
1⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
85
085
1⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−85
585
4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
004
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
7
3
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅1
717
17
003
002
−3.125
32.768
−1
27
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
58
5
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
13
3
001
Nombres reals
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 46
47
2
Contesta si és cert o fals.
a) Una potència d’exponent negatiu és sempre positiva.b) Una potència d’exponent 0 és sempre positiva.
a) Fals, sempre serà positiva si l’exponent és parell.
b) Cert, sempre val 1.
Com calcularies (0,2)−3?
Calcula:
a) (8 ⋅ 4)3 d) [6 ⋅ 5]−2
b) [(−1) ⋅ (−4)]3 e) [(−3) ⋅ 5]−2
c) f)
a) 83 ⋅ 43 = 512 ⋅ 64 = 32.768 d)
b) (−1)3 ⋅ (−4)3 = (−1) ⋅ (−64) = 64 e)
c) f)
Calcula:
a) b)
a)
b) (−6)5 = 65 = 7.776
Quina desigualtat és certa?
a) b)
a) És certa: .
b) És falsa: .[ ( )]2 1 2 164 4⋅ − = = >1
2
1
2
1
8
3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <
1
4
[ ( )]2 112
4⋅ − <12
14
3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ <
009
14
3
14
3
5 5
5
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
537.824
243
35
102
⋅ −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−
( )273
5
⋅⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
008
3
5
2
2=
9
25
4
5
3
3=
64
125
1
3 5
1
9 25
1
2252 2( )− ⋅=
⋅=
1
6 5
1
36 25
1
9002 2⋅=
⋅=
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−53
245
3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
007
0 21
50 2
1
55 125
33
3, ,= ( ) =⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
−−
→
006
005
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 47
48
Expressa com una sola potència:
a) 54 ⋅ 56 e) [22]3
b) (−9)6 : (−9)2 f) [(−2)2]3
c) g)
d) h)
a) 54+6 = 510 e) 22⋅3 = 26
b) (−9)6−2 = 94 f) (−2)2⋅3 = 26
c) g)
d) h)
Simplifica aquestes operacions amb potències.
a) (43 ⋅ 42)3 d) (711 : 75)2
b) [(−5)3 : (−5)2]2 e) (72 ⋅ 94)2
c) [(4,2)4 ⋅ (4,2)3]4 f) [(−3)5 ⋅ 45]2
a) 4(3+2)⋅3 = 415 d) 7(11−5)⋅2 = 712
b) (−5)(3−2)⋅2 = 52 e) 74 ⋅ 98
c) (4,2)(4+3)⋅4 = (4,2)28 f) 310 ⋅ 410
Expressa com una sola potència.
a) 25 ⋅ 43 b) (3−5 ⋅ 93)−2
a) 25 ⋅ 43 = 25 ⋅ 26 = 211
b) (3−5 ⋅ 93)−2 = (3−5 ⋅ 36)−2 = 3−2
Escriu en notació científica.
a) 493.000.000 c) 0,0004464 e) 253b) 315.000.000.000 d) 12,00056 f) 256,256
a) 4,93 ⋅ 108 c) 4,464 ⋅ 10−4 e) 2,53 ⋅ 102
b) 3,15 ⋅ 1011 d) 1,200056 ⋅ 101 f) 2,56256 ⋅ 102
Escriu aquests nombres que apareixen en notació científica amb totes les xifres.
a) 2,51 ⋅ 106 b) 9,32 ⋅ 10−8 c) 3,76 ⋅ 1012
a) 2.510.000 b) 0,0000000932 c) 3.760.000.000.000
014
013
012
011
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−4
3
4
31
3 3 03
5
3
5
4 2 8⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
·
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
+4
3
4
3
3 3 65
6
5
6
10 6 4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
43
43
3 3
:35
4 2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥⎥
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
43
43
3 356
56
10 6⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟:
010
Nombres reals
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 48
49
2
Aquests nombres no estan ben escrits en notació científica. Corregeix-los.
a) 0,247 ⋅ 108 b) 24,7 ⋅ 108 c) 0,247 ⋅ 10−8
a) 2,47 ⋅ 107 b) 2,47 ⋅ 109 c) 2,47 ⋅ 10−9
Els actius financers d’una entitat bancària són, aproximadament, 52 bilionsd’euros. Expressa aquesta quantitat en notació científica.
5,2 ⋅ 1013
Fes aquestes operacions fent servir la notació científica:
a) 7,77 ⋅ 109 − 6,5 ⋅ 107 d) (34 ⋅ 103) ⋅ (25,2 ⋅ 10−2)b) 0,05 ⋅ 102 + 1,3 ⋅ 103 e) (0,75 ⋅ 107) : (0,3 ⋅ 103)c) 37,3 ⋅ 10−2 + 0,01 ⋅ 102 f) (8,06 ⋅ 109) ⋅ (0,65 ⋅ 107)
No t’oblidis d’expressar el resultat en notació científica.
a) 777 ⋅ 107 − 6,5 ⋅ 107 = 770,5 ⋅ 107 = 7,705 ⋅ 109
b) 0,005 ⋅ 103 + 1,3 ⋅ 103 = 1,305 ⋅ 103
c) 0,373 ⋅ 100 + 1 ⋅ 100 = 1,373 ⋅ 100
d) 3,4 ⋅ 104 ⋅ 2,52 ⋅ 10−1 = 8,568 ⋅ 103
e) (7,5 ⋅ 106) : (3 ⋅ 102) = 2,5 ⋅ 104
f) (8,06 ⋅ 109) ⋅ (6,5 ⋅ 106) = 52,39 ⋅ 1015 = 5,239 ⋅ 1016
Calcula l’element que falta en cada cas:
a) 2,5 ⋅ 106 −� = 8,4 ⋅ 105 c) (2,5 ⋅ 106) ⋅ � = 8,4 ⋅ 105
b) 9,32 ⋅ 10−3 + � = 5,6 ⋅ 10−2 d) (9,52 ⋅ 10−3) : � = 5,6 ⋅ 10−2
a) � = 1,66 ⋅ 106 c) � = 3,36 ⋅ 101
b) � = 4,668 ⋅ 10−2 d) � = 11,7 ⋅ 10−1
Fes aquesta suma: 7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099. Després, torna a fer-la amb la calculadora. Què passa? Per què et sembla que passa?
7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099 = 1,28 ⋅ 10100. Amb la calculadora surt ∃, perquè l’ordre de magnitud és 100, que té 3 xifres, i la calculadora noméstreballa amb 2 xifres.
Classifica els nombres decimals següents en racionals i irracionals:
a) 4,325325325…b) 4,330300300030000300000…c) 1,23233233323333233333...d) 3,12359474747…
a) Racional. c) Irracional.
b) Irracional. d) Racional.
020
019
018
017
016
015
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 49
50
Escriu cinc nombres racionals i cinc d’irracionals.
Racionals ⎯→ 1,16)
; 1,6)
; 8; 2,83)
; 0,4625
Irracionals → 2,123456789101112...; 6,111213141516171819...;
0,010010001...; π;
Pots anotar un nombre irracional amb un sol dígit després de la coma? I ambdos dígits?
No, perquè es necessiten infinits dígits després de la coma.
Trunca i arrodoneix els nombres següents a les centèsimes i a les mil·lèsimes.
a) 1,234564668 g)b) 2,7
)h) 3,222464
c) 4,51)
i)d) 1,43643625 j) 1,6467538e) 2,222 k) 1,1234…f) 3,127
)l) 5,5
)
a) Truncament: 1,23 i 1,234. Arrodoniment: 1,23 i 1,235.
b) Truncament: 2,77 i 2,777. Arrodoniment: 2,78 i 2,778.
c) Truncament: 4,51 i 4,515. Arrodoniment: 4,52 i 4,515.
d) Truncament: 1,43 i 1,436. Arrodoniment: 1,44 i 1,436.
e) Truncament: 2,22 i 2,222. Arrodoniment: 2,22 i 2,222.
f) Truncament: 3,12 i 3,127. Arrodoniment: 3,13 i 3,128.
g) Truncament: 2,23 i 2,236. Arrodoniment: 2,24 i 2,236.
h) Truncament: 3,22 i 3,222. Arrodoniment: 3,22 i 3,222.
i) Truncament: 1,73 i 1,732. Arrodoniment: 1,73 i 1,732.
j) Truncament: 1,64 i 1,646. Arrodoniment: 1,65 i 1,647.
k) Truncament: 1,12 i 1,123. Arrodoniment: 1,12 i 1,123.
l) Truncament: 5,55 i 5,555. Arrodoniment: 5,56 i 5,556.
Calcula l’error relatiu i absolut que s’ha comès en cadascun dels casos de l’exercici 23.
a)
b)
c) Aproximació 4,51 4,515 4,52Error absolut 0,005151515 0,000151515 0,004848485Error relatiu 0,00114094 3,3557E−05 0,001073826
Aproximació 2,77 2,777 2,78 2,778Error absolut 0,007777778 0,000777778 0,002222222 0,000222222Error relatiu 0,0028 0,00028 0,0008 0,00008
Aproximació 1,23 1,234 1,235Error absolut 0,004564668 0,000564668 0,000435332Error relatiu 0,003697391 0,000457382 0,00035262
024
3
5
023
022
2
021
Nombres reals
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 50
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
En aproximar el pes d’un cuc de 2,1236 g hem comès un error absolut de0,0236 g. I quan hem aproximat el d’un bou de 824,36 kg, hem comès un errorde 4,36 kg. En quin cas ha estat més gran l’error?
L’error relatiu, en el cas del cuc, és 0,01111.
L’error relatiu, en el cas del bou, és 0,00528.
Hem comès l’error més gran en el pes del cuc.
Representa a la recta real el nombre de manera exacta i aproximada a les dècimes.Fes servir un triangle rectangle amb uns catets
que facin 1 cm i cm.2
3026
025
Aproximació 5,55 5,555 5,56 5,556Error absolu 0,005555556 0,000555556 0,004444444 0,000444444Error relatiu 0,001000000 0,000100000 0,000800000 0,000080000
Aproximació 1,12 1,123Error absolut 0,003456789 0,000456789Error relatiu 0,003076922 0,000406592
Aproximació 1,64 1,646 1,65 1,647Error absolut 0,006753800 0,000753800 0,003246200 0,000246200Error relatiu 0,004101281 0,000457749 0,001971272 0,000149506
Aproximació 1,73 1,732Error absolut 0,002050808 0,000050808Error relatiu 0,001184034 0,000029334
Aproximació 3,22 3,222Error absolut 0,002464000 0,000464000Error relatiu 0,000764632 0,000143989
Aproximació 2,23 2,236 2,24Error absolut 0,006067977 0,000067977 0,003932023Error relatiu 0,002713682 0,000030400 0,001758454
Aproximació 3,12 3,127 3,13 3,128Error absolut 0,007777778 0,000777778 0,002222222 0,000222222Error relatiu 0,002486679 0,000248668 0,00071048 0,00007
Aproximació 2,22 2,222Error absolut 0,002 0Error relatiu 0,00090009 0
Aproximació 1,43 1,436 1,44Error absolut 0,00643625 0,00043625 0,00356375Error relatiu 0,004480707 0,000303703 0,002480966
51
2SOLUCIONARI
1
1
1
0
3
3
2
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 51
52
Representa el nombre de manera exacta i aproximada a les dècimes. Fes servir un triangle rectangle amb uns catets que facin 1 cm i 2 cm.
Quin és el nombre representat a la figura?
OP2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 → OP =
Representa de manera exacta el nombre . Com ho fas?
S’agafen 3 unitats sobre l’eix horitzontal, i 2 sobre el vertical.
La hipotenusa farà:
Representa els intervals següents:
a) [1, 4] b) (2, 5) c) (3, 6] d) [3, 7)
a)
b)
c)
d)
Quin és l’interval representat?
És l’interval (−7, −1).
Quins nombres pertanyen a l’interval (−1, 4]?
a) 0 b) 3,98 c) d) −0,3)
Tots els nombres pertanyen a l’interval.
2
032
−7 −1
031
3 7
3 6
2 5
1 4
030
3 2 132 2+ =13
132
2 310
13029
82
210
P
028
5 2 236067= …,
5027
Nombres reals
0
2,2 2,4 2,7
1 2
15
5
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 52
53
2
Quants punts hi ha a l’interval [1, 2]? I a [1,1; 1,2]? I a [1,11; 1,12]?
En qualsevol interval no buit hi ha infinits punts.
ACTIVITATS
Escriu en forma de potència els productes de potències següents i calcula’n el resultat.
a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2b) (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5)
c)
a) 24 = 16
b) (−5)6 = 15.625
c)
Expressa en forma de producte i calcula el resultat.
a) (−3)4 c) 56 e) (2,5)3
b) d) f) (−2,3)4
a) (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81
b)
c) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 15.625
d)
e) (2,5) ⋅ (2,5) ⋅ (2,5) = 15,625
f) (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) = 27,9841
Si es pot, escriu en forma de potència aquestes expressions:
a) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 e) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3)b) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 f) (6 + 6 + 6 + 6) ⋅ 6c) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 4 g) 23 + 23 + 23 + 23d) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 h) 5 + 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
a) 95 e) 63
b) No és possible. f) No és possible.
c) No és possible. g) No és possible.
d) No és possible. h) No és possible.
036●●
10
3
10
3
100
9
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
1
2
1
2
1
2 ⎟⎟⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠1
2
1
2
1
2⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
1
2
1
128
103
2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
12
7
035●
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−2
5
8
125
3
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
25
25
25 ⎟⎟
034●
033
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 53
54
Troba el resultat de les potències següents fent servir la calculadora:
a) 25 d) g) (0,7)2 j) (−2)5
b) 64 e) h) (0,04)6 k) (−6)4
c) 123 f) i) (1,32)8 l) (−12)3
a) 64 e) 5,0625 i) 9,2170395205042176
b) 1.296 f) 0,027 j) −32
c) 1.728 g) 0,49 k) 1.296
d) 0,000244140625 h) 0,000000004096 l) −1.728
Expressa cada nombre com una potència d’un nombre positiu.
a) 8 b) 27 c) 16 d) 81 e) 64 f) 125 g) 49 h) 121
a) 23 b) 33 c) 24 d) 34 e) 26 f) 53 g) 72 h) 112
Escriu aquests nombres com una potència d’un nombre negatiu.
a) 16 c) 49 e) 121 g) −27 i) 64b) −125 d) −128 f) 144 h) −216
a) (−4)2 c) (−7)2 e) (−11)2 g) (−3)3 i) (−8)2
b) (−5)3 d) (−2)7 f) (−12)2 h) (−6)3
Calcula les potències següents:
a) (−2)2 b) (−3)3 c) −(−82) d) −(−2)3
a) 4 b) −27 c) −64 d) 8
Digues si són certes les igualtats.
a) Falsa. d) Falsa.
b) Certa. e) Certa.
c) Falsa. f) Certa.
041●●
040●●
039●●
038●●
310
3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
32
4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
14
6⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
037●
Nombres reals
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 54
55
2
Escriu cada nombre com una potència d’un nombre enter.
a) −81 d) −1.000 g) −49
b) −8 e) −25 h) −2.187
c) −16 f) −512 i) −7.776
a) −34 d) (−10)3 g) −72
b) (−2)3 e) −52 h) (−3)7
c) −24 f) (−2)9 i) (−6)5
Calcula el valor de a en les igualtats següents:
a) 2a = 32 c) a4 = 2.401
b) 3a = 729 d) a3 = 216
a) a = 5 c) a = 7
b) a = 6 d) a = 6
Calcula les potències següents:
a) 2−3 d) 4−2 g) (−5,02)−3
b) (1,3)−2 e) (−3)−2 h) (−2)−4
c) f) i)
a)
b)
c) 22 = 4
d)
e) 0,1)
f)
g)
h)
i) (−6)2 = 36
1
2
1
160 0625
4( )−= = ,
1
5 02
10079047629
3( )−= =
, 126,5060080,
5
3
125
27
3
3( )−= −
1
3
1
92( )−= =
1
4
1
160 0625
2= = ,
1
1 3
1
1690 5917159
2( ), ,,= =
1
2
1
80 125
3= = ,
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−16
2−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−3
5
312
2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
044●
043●●●
042●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 55
56
Troba el resultat de les potències següents fent servir la calculadora:
a) 7−4 c) (−0,07)−4 e) (0,12)−7
b) (−4)−7 d) f)
a) 0,0004164931 d) 0,19753086419753
b) −0,00006103515625 e) 2.790.816,47233653
c) 41.649,312786339 f) −0,064
Donades les potències 2−2, 2−3 i 2−5.
a) Quina és la més gran?b) Com és la potència a mesura que l’exponent negatiu augmenta en valor
absolut?c) Contesta les qüestions anteriors per a les potències 0,7−3, 0,7−4 i 0,7−5.
a) La potència més gran és 2−2.
b) La potència disminueix a mesura que augmenta l’exponent en valorabsolut.
c) La més gran és 0,7−5. La potència augmenta a mesura que ho fal’exponent en valor absolut. La diferència amb el cas anterior és perquè,ara, la base és més petita que la unitat.
Calcula el valor d’aquestes potències:
a) 25 ⋅ 23 d) (−4)9 ⋅ (−4)5 ⋅ (−4)b) 25 : 23 e) (−4)9 : (−4)5 : (−4)c) 37 ⋅ 32 ⋅ 34 f) (7 ⋅ 4)0
a) 28 = 256 d) (−4)15 = −1.073.741.824
b) 22 = 4 e) (−4)3 = −64
c) 313 = 1.594.323 f) 1
Troba el resultat de les operacions amb potències següents fent servir la calculadora:
a) (0,03)2 ⋅ (0,03)4
b) (4,1)6 ⋅ (4,1)4
c) (1,2)2 ⋅ (1,2)5 ⋅ (1,2)8
d) (0,6)2 ⋅ (0,6)4 ⋅ (0,6)12
e) (0,7)6 ⋅ (0,7)13 ⋅ (0,7)11
a) 7,29 ⋅ 10−10
b) 1.342.265,931
c) 15,40702157
d) 1,015599567 ⋅ 10−4
e) 2,25393403 ⋅ 10−5
048●
047●
046●●●
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−52
332
4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
045●
Nombres reals
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 56
57
2
Expressa el resultat com una sola potència.
a) (33 ⋅ 34 ⋅ 38) : 39
b) (−2)4 ⋅ (−2)6 ⋅ (−2)5
c) (−7)8 : (−7)4 ⋅ (−7)2
d)
e)
f) (−5)8 : [(−5)3 : (−5)3]g) [69 ⋅ 65] : [64 ⋅ 62]
a) 36
b) (−2)15 e)
c) (−7)6 = 76 f) (−5)8
d)g) 68
Aplica les propietats de les potències per resoldre les expressions.
a) 74 ⋅ 34 = 2.401 ⋅ 81 = 194.481
b) (−5)5 ⋅ 35 = −3.125 ⋅ 243 = −759.375
c)
d) (−8)3 : 53 = −512 : 125
e)
f)
g) (−6)18
h) (0,3)6
i) (−0,5)30
j) −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
6
5
4
6
7
3
45 5⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥= −:
55 5
5 5
5
5
3
6 7
2
7
⋅⋅
= −
( )
( )
0 16
3
0 0256
9
2
2
, ,
−=
64
27
512
216
4 096
729⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
.
050●●
5
2
1⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
9
1
9
2 2
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−19
19
2 3
:11
91
9
4⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
:
52
52
52
4 3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟:
66
049●●
SOLUCIONARI
a) (7 ⋅ 3)4
b) [(−5) ⋅ 3]5
c)
d) [(−8) : 5]3
e) [(0,16) : (−3)]2
f)
g) (−6)2 ⋅ (−6)4 ⋅ (−6)12
h) (0,3)2 ⋅ (0,3)4
i) (−0,5)6 ⋅ (−0,5)13 ⋅ (−0,5)11
j) −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
36
36
3 2
46
73
5⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥:
43
86
3
⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 57
58
Expressa el resultat de cada divisió com una sola potència.
a) 38 : 34 d) 3140 : (−31)4 : (−31)b) (−9)12 : (−9)4 e) (0,5)30 : (0,5)5 : (0,5)3
c) (−12)15 : 123 : 125
a) 34 d) −3135
b) (−9)8 e) (0,5)22
c) −127
Completa:
a) 23 ⋅� = 25 d) (−3)12 : � = (−3)6
b) (−4)5 ⋅ � = (−4)10 e) � : 56 = 5
c) ⋅ � = f) � :
a) 23 ⋅ 22 = 25
b) (−4)5 ⋅ (−4)5 = (−4)10
c)
d) (−3)12 : (−3)6 = (−3)6
e) 57 : 56 = 5
f)
Esbrina el valor de a en aquestes igualtats:
a) 5a ⋅ 53 = 56 c) (−6)a : (−6)8 = (−6)0
b) (−2)5a : (−2)2a = (−2)6 d)
a) a = 3 c) a = 8
b) a = 2 d) a = 3
53
53
53
3 2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟
a
⎟⎟
9
054●●●
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟1
3
1
3
1
3
3 0
: ⎟⎟⎟⎟
3
7
2
7
2
7
2
6 1⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
77
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
13
13
0 372
7⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
72
6⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
053●●
052●●
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM PRODUCTES DE POTÈNCIES AMB BASES OPOSADES?
Expressa com una sola potència: (−3)4 ⋅ 32.
PRIMER. Descomponem la base negativa i després apliquem la propietat de potèn-cia d’un producte.
(−3)4 ⋅ 32 = (−1 ⋅ 3)4 ⋅ 32 = (−1)4 ⋅ 34 ⋅ 32
SEGON. Fem les operacions amb potències de la mateixa base i operem.
(−1)4 ⋅ 34 ⋅ 32 = (−1)4 ⋅ 34+2 = 1 ⋅ 36 = 36
051
Nombres reals
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 58
59
2
Fes les operacions:
a) 25
b) 2−6 ⋅ 2−4 = 2−10
c) (−3)−3
d) (−3)8 : (−3)5 = (−3)3
e)
f)
g) 33
h) (−5)11
i) (−6)−15 ⋅ (−6)−20 = (−6)−35
Indica els errors d’aquestes igualtats i corregeix-los.
a) 32 + 33 + 35 = 32+3+5 = 310
b) 32 ⋅ 33 − 35 = 32+3 − 35 = 35 − 35 = 30 = 1
c) 49 : 42 ⋅ 44 = 49 : 42+4 = 49 : 46 = 49−6 = 43
d) (−2)6 ⋅ (−2)3 = [(−2) ⋅ (−2)]6+3 = 49
e) −32 ⋅ 32 = (−3)2+2 = (−3)4 = 34
f) 2 ⋅ (−3)2 = [2 ⋅ (−3)]2 = (−6)2 = 62
g) 85 ⋅ 87 = (8 + 8)5+7 = 1612
h) 31 ⋅ 30 = 31⋅0 = 30 = 1
a) 32 ⋅ 33 ⋅ 35 = 32+3+5 = 310
b) 32 ⋅ 33 − 35 = 32+3 − 35 = 35 − 35 = 0
c) 49 : 42 ⋅ 44 = 49−2 ⋅ 44 = 47 ⋅ 44 = 47+4 = 411
d) (−2)6 ⋅ (−2)3 = (−2)6+3 = (−2)9
e) −32 ⋅ 32 = −32+2 = −34
f) 2 ⋅ (−3)2
g) 85 ⋅ 87 = 812
h) 31 ⋅ 30 = 31+0 = 31
056●●
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟
− −1
4
1
4
1
4
6 6
: ⎟⎟⎟⎟ =0
1
1
3
9⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
055●●
SOLUCIONARI
a) 24 ⋅ 2−2 ⋅ 23
b) (2−2)3 ⋅ 2−4
c) (−3)−5 : (−3)2 ⋅ (−3)4
d) [(−3)−2]−4 : (−3)5
e)
f)
g) 3−6 : 3−7 ⋅ 32
h) (−5)8 : (−5)−2 : (−5)−1
i) [(−6)3]−5 ⋅ [(−6)−5]4
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
− −
14
14
6 2
:
33
13
13
13
2 5⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟
−
: ⎟⎟
−6
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 59
60
Justifica si les igualtats són certes o no.
a) 9−1 = −9
b) (−2)−4 = 24
c) (−3)−6 = 3−6
d) (−3)−3 = (−3)−2 ⋅ 3−1
e) 4−3 = (−4)−1 ⋅ (−4)4
f) (2−5)−1 = 2−6
a) Falsa: .
b) Falsa: .
c) Certa: .
d) Falsa: (−3)3 = (−3)2 ⋅ (−3)−1 � (−3)2 ⋅ 3−1.
e) Falsa: (−4)−1 ⋅ (−4)4 = (−4)3 � 4−3.
f) Falsa: (2−5)−1 = 25.
Expressa com una potència única.
a) (23)4
b) [(−3)3]2
c) [−64]3
d)
e)
f) [−52]4
a) 212 c) −612 e)
b) (−3)6 d) f) 58
Calcula el valor d’aquestes potències:
a) [(−3)2]2 ⋅ [(−3)3]3
b) [(5)8]2 : [(−5)4]3
a) (−3)4 ⋅ (−3)9 = (−3)13 = 1.594.323
b) 516 : (−5)12 = 516 : 512 = 54 = 625
059●●
1
3
8⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
5
15
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
35
3 5
13
2 4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
058●
( )( )
− =−
= =− −31
3
1
336
6 66
( )− = =− −2 21
24 4
4
91
91− =
057●●
Nombres reals
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 60
61
2
Resol:
a) (−2)−4 ⋅ [(−2)2]3 e) −2−3 ⋅ (−2−4)
b) 34 ⋅ [(−3)2]−2 f) (−26) ⋅ (−2−6)
c) (−8)3 ⋅ 2−4 g) (−3)4 ⋅ (−34)
d) (−2)−3 ⋅ 2−3 h) 4−3 ⋅ 2−2
a) (−2)−4 ⋅ (−2)6 = (−2)2 e) 2−7
b) 34 ⋅ 3−4 = 30 = 1 f) 20 = 1
c) (−2)9 ⋅ 2−4 = (−2)5 g) −38
d) −2−3 ⋅ 2−3 = −2−6 h) 2−6 ⋅ 2−2 = 2−8
Completa les igualtats següents:
a) [(−5)3]� : (−5)7 = (−5)5 c) [73]5 : 7� = 1
b) [�2]5 ⋅ �4 = (−3)14 d) 119 ⋅ [112]3 = 11�
a) [(−5)3]4 : (−5)7 = (−5)5
b) [(−3)2]5 ⋅ (−3)4 = (−3)14
c) [73]5 : 715 = 1
d) 119 ⋅ [112]3 = 1115
Simplifica aquests productes de potències.
a) 54 ⋅ 253 e) −123 ⋅ 185
b) 84 ⋅ 162 f) (−63)5 ⋅ 212
c) 63 ⋅ 125 g) −723 ⋅ (−4)7
d) 47 ⋅ 32 h) 322 ⋅ (−24)3
a) 54 ⋅ 56 = 510 e) −26 ⋅ 33 ⋅ 25 ⋅ 310 = −211 ⋅ 313
b) 212 ⋅ 28 = 220 f) −310 ⋅ 75 ⋅ 32 ⋅ 72 = −312 ⋅ 77
c) 23 ⋅ 33 ⋅ 210 ⋅ 35 = 213 ⋅ 38 g) −36 ⋅ 29 ⋅ (−214) = 36 ⋅ 223
d) 214 ⋅ 25 = 219 h) 210 ⋅ (−2)9 ⋅ 33 = (−2)19 ⋅ 33
063●●●
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM PRODUCTES DE POTÈNCIES QUAN LES BASES TENEN ELS MATEIXOS
FACTORS?
Calcula 162 ⋅ 32−2.
PRIMER. Descomponem en factors primers.
162 ⋅ 32−2 = (24)2 ⋅ (25)−2
SEGON. Fem les operacions: potència de potència i producte de potències amb lamateixa base.
(24)2 ⋅ (25)−2 = 28 ⋅ 2−10 = 2(8−10) = 2−2
062
061●●
060●
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 61
62
Calcula i expressa el resultat com una sola potència.a) (52 ⋅ 252)3 c) ((−2)12)3 ⋅ 85 e) ((3)12)3 ⋅ ((−27)5)2
b) (92 : (−27)4)4 d) (63 ⋅ 362)6 f) (162 : 643)5 ⋅ 44
a) (56)3 = 518 d) (67)6 = 642
b) (−34 : 312)4 = 3−32 e) 336 ⋅ 330 = 366
c) 236 ⋅ 215 = 241 f) (44 : 49)5 ⋅ 44 = 4−25 ⋅ 44 = 4−21
Fes les operacions següents i simplifica’n el resultat tant com puguis.a) 4012 : ((−4)6)−6
b) (−45)15 ⋅ ((−15)3)−6
c) (92 : 274)−4 ⋅ (6−3 ⋅ 36−2)
d)
a) 512 ⋅ 236 : 2−72 = 512 ⋅ 2108
b) −330 ⋅ 515 ⋅ 3−18 ⋅ 5−18 = −312 ⋅ 5−3
c) (3−8)−4 ⋅ (2−7 ⋅ 3−7) = 2−7 ⋅ 3−39
d) [1−3 : (−2 ⋅ 3)]−1 = −2 ⋅ 3
Expressa com una potència de base 10 el resultat de les operacions següents:a) 0,000000001 ⋅ 1.000.000 c) 0,00000000001 : 1.000.000.000b) 0,0000000010 ⋅ 10.000.000 d) 0,000001 : 1.000
a) 10−3 b) 10−2 c) 10−20 d) 10−9
Escriu en notació científica.a) Tres bilions i mig. c) Deu milionèsimes.b) Dues-centes mil·lèsimes. d) Cent mil milions i mig.
a) 3,5 ⋅ 1012 b) 2 ⋅ 10−1 c) 1 ⋅ 10−5 d) 1,000005 ⋅ 1011
Escriu amb totes les xifres els nombres en notació científica següents:a) 3,432 ⋅ 104 c) 3,124 ⋅ 10−7
b) 1,3232 ⋅ 10−3 d) 5,3732 ⋅ 107
a) 34.320 c) 0,0000003124
b) 0,0013232 d) 53.732.000
Sense fer les operacions prèviament, sabries dir quin és l’ordre de magnitud del resultat d’aquestes operacions?a) 6,3 ⋅ 102 + 4,5 ⋅ 102 c) (2,6 ⋅ 103) ⋅ (3,1 ⋅ 104)b) 7,7 ⋅ 104 − 7,2 ⋅ 104 d) (5 ⋅ 107) : (2,5 ⋅ 106)
a) 3 b) 3 c) 7 d) 1
069●●
068●
067●
066●
34
43
32
43
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤−
: ( )⎦⎦
⎥⎥⎥
−1
065●●●
064●●●
Nombres reals
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 62
63
2
Fes les operacions següents i expressa el resultat en notació científica:
a) 113,5 ⋅ 10−6 + 0,0001 ⋅ 104
b) 7.693,57 ⋅ 10−2 + 0,7861 ⋅ 106
c) 3.023.500 ⋅ 10 − 0,0317 ⋅ 1012
d) 4.023 ⋅ 104 − 1.234,57 ⋅ 1011
e) (20.100 ⋅ 103) : (2,7 ⋅ 105)f) 0,35 ⋅ (1,24 ⋅ 10−8)g) (1.435 ⋅ 103) ⋅ (6,7 ⋅ 107)h) (32,130 ⋅ 10−6) : (3,7 ⋅ 107)i) (54,3 ⋅ 10−7) : (6,7 ⋅ 105)
a) 1,0001135 ⋅ 100 d) −1,2345695977 ⋅ 1014 g) 9,6145 ⋅ 1013
b) 7,861769357 ⋅ 105 e) 7,444444444 ⋅ 101 h) 8,683783784 ⋅ 10−13
c) −3,1669765 ⋅ 1010 f) 4,34 ⋅ 10−9 i) 8,104477612 ⋅ 10−12
Calcula l’element que falta en cada cas.
a) 15 ⋅ 104 + � = 13 ⋅ 103
b) 4,6 ⋅ 1011 + � = 2,1 ⋅ 104
c) (32,15 ⋅ 104) ⋅ � = 65,53 ⋅ 104
d) (3,6 ⋅ 102) : � = 6,12 ⋅ 1012
a) 1,37 ⋅ 105 c) 2,038258165 ⋅ 100
b) −4,59999979 ⋅ 1011 d) 5,882352941 ⋅ 10−11
Indica el conjunt numèric mínim a què pertany cada nombre o expressió.
a) 7,65444… e) π − e i)b) −11,2 f) 1,010222… j) 1c) 999 g) 300,301302… k) 6,585959…
d) 9,88777… h) l) 1,00111…
a) 7,654)
→ Decimal periòdic mixt; conjunt Q.
b) −11,2 → Decimal exacte; conjunt Q.
c) 999 → Natural; conjunt N.
d) 9,887)
→ Decimal periòdic mixt; conjunt Q.
e) π − e → Irracional; conjunt I.f) 1,0102
)→ Decimal periòdic mixt; conjunt Q.
g) 300,301302… → Irracional; conjunt I.h) → Natural; conjunt N.
i) → Irracional; conjunt I.j) 1 → Natural; conjunt N.
k) 6,5859)
→ Decimal periòdic mixt; conjunt Q.
l) 1,001)
→ Decimal periòdic mixt; conjunt Q.
99 9 94987e = …,
169 13=
169
99e
072●
071●●
070●
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 63
64
Ordena aquests nombres de més gran a més petit.
a)
b)
a)
−1,73)
< −1,73206 < −1,7320508… < −1,4
−1,73)
< −1,73206
b) →
Esbrina quins dels nombres següents són racionals i quins són irracionals.a) 0,444444… c) 0,151155111555…b) 0,323232… d) 0,234432234432…Quan sigui possible, determina l’expressió fraccionària del nombre.
a) Racional, . c) Irracional.
b) Racional, . d) Racional, .
075
234 432
999 999
2 368
10 101
.
.
.
.=
32
99
4
9
074●
1 1 001 1 089 1110
9< < < =, ,
� � �,
10
911= ,�
< − < −37
5
− = − − = −3 173205087
51 4, …; ,
1 1 00111109
1111 1 08999; , ; ; , ; ,… … …
− − − −375
1 7333 1 73206; ; , ; ,…
073●
Nombres reals
FES-HO AIXÍ
COM REPRESENTEM ARRELS EL RADICAND DE LES QUALS NO ÉS LA SUMA DE QUADRATS
PERFECTES?
Amb el regle i el compàs, dibuixa el nombre a la recta real.
PRIMER. En descomponem el radicand en suma de quadrats fins que tots siguinquadrats perfectes.
SEGON. En ordre invers. dibuixem triangles rec-tangles que expressin les relacions calculades.
La primera relació és .
TERCER. Construïm triangles rectangles, ca-dascun sobre la hipotenusa anterior. Després,amb centre 0 i com a radi la hipotenusa, tra-cem un arc que talli la recta en el punt P', queté com a abcissa l’arrel que busquem.
Fem un altre triangle que expressi la relació( ) ( ) .2 1 3
2 2 2+ =
1 1 22 2 2+ = ( )
3 1 2 1 1 12 2 2 2 2 2= + = + +( ) ( )
3
10
1
1
3
32
P
1
10
P'
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 64
65
2
Representa, amb els procediments anteriors, els nombres reals següents:
a) b) c) d)
a), b) i c)
d)
Representa aquests nombres reals amb regla i compàs.
a) b) c) d)
a) 26 = 52 + 12
b) 40 = 62 + 22
c) 161 = 122 + 17
17 = 42 + 12
d) 187 = 132 + 18
118 = 42 + 2
112 = 12 + 12
4
13 14
187
187
F
4
1
12 13
161
161
F
0 1
2
2 3 4 5 6 7
4040
F
1
26
F
26
0 1 2 3 4 5 6
1871614026
077●
11 10 12 2
2( ) = ( ) +
10 3 12
2 2( ) = +
0 1
1
2 3 4
11
F
10
11
8 7 12 2( ) = ( ) +
7 6 12 2( ) = ( ) +
6 5 12 2( ) = ( ) +
5 2 12
2 2( ) = +
0 1
1
2
5
6
78
67
8
FF F3
11786
076●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 65
66
Explica de manera raonada la forma de representar els nombres reals següents:
a) c)
b) d)
a) Representem a partir de la diagonal d’un quadrat 1 × 1,
tracem la mediatriu i tenim el punt mitjà del segment: .
b) Tracem dues rectes que es tallin a 0. Representem i sobre una de les rectes, i 1 sobre l’altra. Tracem la recta que uneix
i 1, i després tracem la paral·lela que passa per . El punt de tall
sobre la segona recta és .
c) Representem a partir de la diagonal d’un quadrat 1 × 1.
Representem a partir de la diagonal d’un quadrat 1 × ,
tracem la mediatriu i tenim el punt mitjà del segment: .
d) Representem a partir de la diagonal d’un quadrat 1 × 1.
Representem a partir de la diagonal d’un quadrat 1 ×i traslladem la longitud de a continuació de .
Quin és el nombre representat pel punt P en cada cas?
a)
b)
a) . Per tant, P representa el número .
b) . Per tant, P representa el número 5.16 9 5+ =
2016 4 20+ =
P
0 4
3
P
0 4
2
079●●
32
23
2
3
2
23
2
3
2
32
32
2
2
2
2 3+32
32
22
078●●
Nombres reals
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 66
67
2
El nombre 1 + :
a) És racional o irracional?b) Representa’l de manera exacta sobre la recta real.
a) Irracional.
b)
Representa de manera aproximada aquests nombres sobre la recta real.
a) 0,9)
b) 1,202202220… c)
a)
b)
c)
Escriu tres nombres irracionals. Fes servir els dígits 0 i 1 a la part decimal i raona el procés de construcció de cada nombre.
Comencem la part decimal per 1 i entre dos dígits 1 consecutius afegim un 0més que entre els anteriors: 1,1101001000100001…
Comencem per un 1 i un 0, a continuació dos 1 i dos 0:1,10110011100011110000…
En les posicions corresponents a nombres primers posem 1, i a la resta 0:1,01101010001010001000001…
Escriu dos nombres reals i dos d’irracionals compresos entre:
a) 7,1 i 7,11
b) i 1
c) 0,63)
i 0,636633666333…
d) � i
a) Reals: 7,102 i 7,109. Irracionals: i 7,10110111011110...
b) Reals: 0,9)
i 0,95. Irracionals: i 0,919293949596...
c) Reals: 0,634 i 0,635. Irracionals: 0,636465666768... i 0,636261605958...
d) Reals: 3,15 i 3,16. Irracionals: 3,15012384… i 3,162122334489…
0 9,
50 5,
10
89
083●●
082●●
−3
− 15
F−4
1 2
1,202202220…
F
0 1
0,9)
F
− 15
081●●
0 1 2 3 4
1 2+
F
2080●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 67
68
Arrodoneix i truca els nombres següents a les mil·lèsimes i calcula l’error absolut comès.
a) 1,2468 d) 0,67)
g)
b) 5,3)
e) 3,28)
h) 9,12)
c) 21,9673 f) i) 6,54)
a) Arrodoniment: 1,247. Error: 0,0002.Truncament: 1,246. Error: 0,0008.
b) Arrodoniment: 5,333. Error: 0,0003)
.Truncament: 5,333. Error: 0,0003
).
c) Arrodoniment: 21,967. Error: 0,0003.Truncament: 21,967. Error: 0,0003.
d) Arrodoniment: 0,677. Error: 0,00032)
.Truncament: 0,0676. Error: 0,00076
).
e) Arrodoniment: 3,283. Error: 0,00017)
.Truncament: 3,282. Error: 0,00082
).
f) Arrodoniment: 4,123. Error: 0,000105626...Truncament: 4,123. Error: 0,000105626...
g) Arrodoniment: 4,359. Error: 0,000101056...Truncament: 4,358. Error: 0,000898944...
h) Arrodoniment: 9,121. Error: 0,00021)
.Truncament: 9,121. Error: 0,00021
).
i) Arrodoniment: 6,545. Error: 0,00045)
.Truncament: 6,545. Error: 0,00045
).
Calcula l’error més gran que es pot cometre quan s’aproxima els nombressegüents a les dècimes.
a) 5,697 b) 0,28)
c)
Quin resultat has obtingut? Depèn del nombre que has aproximat?
a) 0,097 b) 0,088888 c) 0,0852575695...
En els tres casos, l’error es comet quan es trunquen els nombres, ja que el seu segon decimal és més gran que 5.
Escriu un nombre que:
a) Quan l’arrodoneixis i el trunquis a les dècimes doni el mateix resultat.b) Quan l’arrodoneixis a les centèsimes doni com a resultat 5,87.c) Quan l’arrodoneixis a les centèsimes doni com a resultat 11,56 i l’error
absolut comès sigui 0,003.d) Quan el trunquis a les dècimes doni com a resultat 0,7 i l’error absolut
comès sigui 0,025.
a) 1,23 b) 5,8685 c) 11,563 d) 0,675
086●●
21
085●
17
19
084●
Nombres reals
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 68
69
2
Representa els intervals següents:
a) [−2, 3] c) (−5, 1]b) (−1, 0) d) [6, 9)
a) c)
b) d)
Quins són els intervals representats?
Són [−5, 1) i (−2, 4).
Representa sobre la recta real aquests intrervals i indica dos nombres quepertanyin als quatre intervals a la vegada.
a) [1, 5] b) (4, 6] c) (3,5; 9) d) [0, 6)
a) c)
b) d)
Nombres que pertanyen als quatre intervals: 5 i 4,5.
Fixa’t en l’exemple i expressa cada interval fent servir les desigualtats.(2, 5] equival a 2 < x ≤ 5
a) [−1, 2] c) [0, π] e) (11, 15]b) (1, 5) d) (6, 7) f) [0, 11)
a) −1 ≤ x ≤ 2 c) 0 ≤ x ≤ π e) 11 < x ≤ 15
b) 1 < x < 5 d) 6 < x < 7 f) 0 ≤ x < 11
Escriu dos intervals que continguin el nombre −0,8).
[−5, 0) i (−0,9; −0,8)
Quins d’aquests intervals faries servir per expressar el conjunt dels nombresreals més grans que −3 i més petits o iguals que 5?
a) (−3, 5) b) [−3, 5) c) (−3, 5] d) [−3, 5]
L’opció és c): (−3, 5].
Expressa en forma de potència quants avis, besavis i rebesavis tens.
Avis: 22, besavis: 23, rebesavis: 24.
093●●
092●
091●
090●●
0 64 6
3,5 91 5
089●
−2 4
−5 1
088●
6 9−1 0
−5 1−2 3
087●
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 69
70
S’ha organitzat un concurs de tir amb arc. Després de seleccionar-ne elsconcursants, s’han format cinc equips de cinc membres cadascun. Cada membre de l’equip disposa de cinc fletxes per llançar a la diana. Quantes fletxes fan falta?
53 = 125. Es necessiten 125 fletxes.
La biblioteca de l’aula té tres prestatgeries. Cadascuna té tres prestatges i cada prestatge té tres apartats on hi ha tres llibres. Quants prestatges, apartatsi llibres té la biblioteca? Expressa el resultat en forma de potència.
Prestatges: 32 = 9 Apartats: 33 = 27 Llibres: 34 = 81
La paga setmanal d’en Màrius és de 32 €. Els seus pares l’han castigat i la hi redueixen a la meitat cada setmana.a) Expressa aquest procés en forma de potències.b) Quantes setmanes han de passar perquè la paga quedi reduïda
a 25 cèntims?
a) 25, 24, 23, 22, 2, 1, b) Han de passar 7 setmanes.
Un pis té una superfície de 117,13 m2 i un altre té 73,65 m2.Arrodoneix i trunca la superfície de cada pis a metres quadrats.Indica quina aproximació és més precisa.
En el primer, l’arrodoniment és 117 m2, com el truncament. Per tant, l’errorés el mateix: 0,13 m2.
En el segon, l’arrodoniment és 74 m2, amb un error de 0,35 m2. El truncamentés 73 m2, amb un error de 0,65 m2. Per tant, és més precís l’arrodoniment.
La distància a l’estació de tren més pròxima és de 16,74 km. En Lluís diu que són 16 kilòmetres i la Sara, que en són 17. Qui s’hi aproxima de manera més precisa?
S’hi aproxima més la Sara, amb un error de 0,26 km, ja que en Lluís cometun error de 0,74 km.
Les notes que han tret els alumnes de 3r d’ESO en la primera avaluació de llengua han estat:
El professor posa la butlleta de la notaque resulta de truncar a l’enter méspròxim.a) Quina nota els correspondrà?b) Quina seria la nota si el professor
arrodonís?
a) 2, 6, 8, 6, 7, 9, 3, 4, 5, 3, 6, 9, 4, 5, 9, 9, 6, 3, 8, 2, 7, 4, 9, 1, 5
b) 3, 6, 9, 6, 8, 9, 3, 5, 5, 4, 6, 10, 4, 6, 10, 9, 7, 4, 8, 3, 7, 5, 9, 2, 5
099●●
098●●
097●●
1
2
1
22,, , …
096●●●
095●●
094●●
Nombres reals
2,56,48,66,17,693,2
4,55,23,86,49,74,3
5,89,79,36,83,78,4
2,67,24,79,11,65
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 70
71
2
En una ampolla de 5 litres d’aigua mineral hi figura escrit: «5 litres ± 5 %».
a) Què vol dir, aquesta indicació?b) Entre quins valors està compresa la capacitat de l’ampolla?
a) Vol dir que el valor màxim que poden cometre quan indiquen que hi ha 5 litres d’aigua és el 5 % per defecte o per excés.
b) Entre 4,75 i 5,25 litres.
Una potència d’exponent enter positiu és sempre més gran que la base?En quins casos?
És més gran que la base si aquesta base és més gran que 1.
Una potència d’exponent enter negatiu és més gran que la base? Hi ha alguns valors de la base per als quals la potència sigui més petita?
És més gran que la base si aquesta base és més petita que 1, i és més petitasi la base és més gran que 1.
Continua la sèrie:
En el segle III aC, Arquimedes va donar com
a aproximació del nombre π la fracció .
a) Escriu tres aproximacions per defecte i per excés de π d’aquesta fracció.
b) Arrodoneix tots dos nombres a les mil·lèsimes i compara’n els resultats.
c) I si els arrodoneixes a les centèsimes?
a) Per defecte: 3; 3,1; 3,14.
Per excés: 4; 3,2; 3,15.
b) . La diferència de l’arrodoniment és 1 mil·lèsima.
c) . L’arrodoniment a les centèsimes és el mateix.22
7314 314≈ ≈, ,; π
22
73143 3142≈ ≈, ,; π
227
104●●●
22 = 12 + 3
32 = 22 + 5
42 = 32 + 7
52 = 42 + 9
n2 = (n − 1)2 + (2n − 1)
22 = 12 + 3
32 = 22 + 5
42 = 32 + 7
52 = � 2 +�n2 = …
103●●●
102●●●
101●●●
100●●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 71
72
A LA VIDA QUOTIDIANA
Navegant per Internet hem arribat a la pàgina següent:
a) Quina distància hi ha entre Mercuri i Saturn?b) Quina distància és més gran, la de la Terra a Urà o la de Mart a Neptú?c) Amb una nau com la que es descriu a la segona pàgina, quant es tardaria a
arribar a Neptú? Podríem visitar Neptú i tornar a la Terra?
a) La distància de Mercuri a Saturn:
1,429 ⋅ 109 − 5,791 ⋅ 107 = 1,429 ⋅ 109 − 0,05791 ⋅ 109 == 1,37109 ⋅ 109 km
b) La distància de la Terra a Urà:
2,87 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 2,87 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 2,7204 ⋅ 109 km
La distància de Mart a Neptú:
4,5 ⋅ 109 − 2,2794 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,22794 ⋅ 109 = 4,27206 ⋅ 109 kmHi ha més distància de Mart a Neptú que de la Terra a Urà.
105●●●
Nombres reals
Formació dels planetes
Els planetes es van formar fa uns 4.500 milions d’anys, al mateix temps que el Sol.
En general, els materials lleugers que no es van quedar al Sol es van allunyar més que els pesants.
Al núvol de gas i pols original, que girava en espirals, hi havia zones més denses, projectes de planetes.
La gravetat i les col·lisions van portar més matèria a aquestes zones i el moviment rotatori les va arrodonir.
PlanetesRadi
equatorialDistància
al Sol (km) Llunes
Períodede Rotació
Òrbita
Mercuri 2.440 km 5,791 ⋅ 107 0 58,6 dies 87,97 dies
Venus 6.052 km 1,082 ⋅ 108 0 –243 dies 224,7 dies
Terra 6.378 km 1,496 ⋅ 108 1 23,93 hores 365,256 dies
Mart 3.397 km 2,2794 ⋅ 108 2 24,62 hores 686,98 dies
Júpiter 71.492 km 7,7833 ⋅ 108 16 9,84 hores 11,86 anys
Saturn 60.268 km 1,429 ⋅ 109 18* 10,23 hores 29,46 anys
Urà 25.559 km 2,87 ⋅ 109 15 17,9 hores 84,01 anys
Neptú 24.746 km 4,5 ⋅ 109 8 16,11 hores 164,8 anys
*Alguns astrònoms atribueixen 23 satèl·lits al planeta Saturn.
Asteriodes
Vida a l’espaiExploracióEstem sols?
ExploracióExpoMarsFuturesexploracionsa MartNous mitjans detransport
Navegació espacial
Fins ara, gairebé totes les missions espacialshan fet servir motors coets amb combustibles i comburents químics. Per desgràcia, aquests motors no són gaire eficaços; per exemple, més de la meitat del pes de la sonda espacial Rosetta de l’ESA en el moment del llançament era combustible.
L’ESA estudia actualment maneres de reduir laquantitat de combustible que transporten les naus. Una de les idees consisteixen un motor d’ions que faci servir una pistola elèctrica per disparar gas cap al’espai.
Tot i que la força d’empenta del motor coet elèctric d’ions és molt petita, en vaaugmentant la velocitat gradualment, fins que, quan arriba el moment, permetque la nau espacial es desplaci amb molta rapidesa.
La sonda SMART 1 ha provat amb èxit un motor d’ions en el seu viatge de laTerra a la Lluna. Per cada quilogram de combustible consumit, aquest motorprodueix un augment de la velocitat de la nau deu vegades més gran que si fosun motor coet ordinari.
L’ESA també estudia fer servir naus espacials que utilitzin espelmes solars enlloc de motors coets. La llum solar bufa sobre una espelma molt gran que potpropulsar una nau espacial cap a altres planetes. Després de molts mesos deviatge amb el vent del Sol, una nau d’aquest tipus podria arribar a una velocitatde 360.000 km/h.
Estacionsespacials
ExploracióLab
Diversión
Noticias
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 72
73
2
c) La distància de la Terra a Neptú:
4,5 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 4,3504 ⋅ 109 km
La velocitat és de 360.000 km/h = 3,6 ⋅ 105 km/h.
De la Terra a Neptú es triga:
(4,3504 ⋅ 109) : (3,6 ⋅ 105) = 1,2084 ⋅ 104 = 12.084 horas = 503,5 dies
A anar i tornar es trigarà el doble, és a dir, 1,006 dies, que equivalen aproxi-madament a 2 anys i 9 mesos. Per tant, sí que podríem anar i tornar de Neptú.
Has de tenir en compte que estem suposant que des del primer momentassolim la velocitat màxima de 360.000 km/h.
En Sergi acaba d’arribar a Londres. Abans de fer el viatge va canviar al banc200 lliures i li van donar aquest rebut.
Un euro val 0,649900 lliures, per tant, les 200 lliures que vacanviar li van costar €.En Sergi es vol comprar unspantalons que costen 48,5 lliures i ha de calcular-ne el cost en eurosper fer-se una idea del seu valor.a) Creus que és correcta l’estimació
que ha fet? Quin error comet?b) Si les cinc nits d’hotel li costen
467 lliures, quin serà el valor eneuros que calcularà en Sergisegons les seves estimacions? I quin serà el valor real?
a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 €. Per tant, la seva estimació és errònia i enSergi comet un error absolut de 14,63 €, i un error relatiu de 0,196 €.
b) El valor real és de 718,57 €, i l’error que cometrà és de: 718,57 ⋅ 0,196 == 140,84 €. Per tant, estimarà: 718,57 − 140,84 = 577,73 €.
COMPRA DE BITLLETS ESTRANGERS I/OXECS DE VIATGE EN DIVISA I/O PAGAMENT DE XEC DE COMPTE EN DIVISA
Sr. SERGI AVELLANEDA GILDomicili AVINGUDA DE LA LLUM, S/NPoblació BARCELONAC.P. 08013 D.N.I./C.I. 978687623
Concepte: OPERACIÓ INVISIBLE
REF. 6036786
BBAANNCCENTITAT-OFICINA-COMPTE
2038 - 5538948273647783 EUR
DOCUMENT DIVISA IMPORT CANVI CONTRAVALOR
BITLLETS GBP 200,0 0,649900 307,74 EUR
307,74 EUR
DATA OPERACIÓ: 31/07/2007 DATA VALOR: 31/07/2007 TOTAL 307,74 EUR
Comisiones i gastos
Signatura de l’interessat
BAN
CO BAN
CO
Signatura i segellBB AA NN CC
106●●●
Costa uns… 60 €
SOLUCIONARI
831106 _ 0044-0073.qxd 11/9/07 12:48 Página 73
74
Polinomis3
OPERACIONS
MONOMIS
VALOR NUMÈRIC D’UN POLINOMI
POLINOMIS
SUMA RESTA MULTIPLICACIÓ DIVISIÓ
OPERACIONSAMB POLINOMIS
QUADRATD’UNA SUMA
QUADRATD’UNA DIFERÈNCIA
PRODUCTE DE SUMA PER DIFERÈNCIA
IGUALTATS NOTABLES
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 74
El servidor del califa
Muhammad recorria, tot nerviós, les sales de la Casa de la Saviesa. Hi buscava el savi Al-Khwarizmi, que li havia ensenyat un mètode per comptar i operar amb quantitats desconegudes que el jove feia servir en la seva feina com a funcionari d’abastiment del palau del califa.
Per fi, assegut al costat d’una font, va trobar el seu mestre.
–Mestre, podem repassar els càlculs d’ahir?
–M’alegro que tinguis aquest afany de coneixement. –Al-Khwarizmi estava estranyat que Muhammad dediqués tant temps lliure a aprendre.
–La riquesa dels pobres és la bondat i el coneixement i, com tots els homes, vull ser ric. A més, aquesta riquesa no te la pot robar cap lladre –va contestar Muhammad amb un somriure.
–Molt bé, molt bé! –va dir i, mig sorprès mig divertit, el savi li va proposar uns exercicis aritmètics mentre ell estudiava el llenguatge algebraic i les equacions.
A la taula s’hi podia llegir: «Un quadrat i deu arrels són iguals a trenta-nou unitats...», que en llenguatge algebraic modern és: x2 + 10x = 39.
Com escriuries en llenguatge algebraic: «El cub d’un nombre menys tres vegades el seu quadrat menys cinc unitats»?
Cub d’un nombre = x3
Tres vegades el seu quadrat = 3x2
Cinc unitats = 5x3 – 3x2 – 5
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 75
76
EXERCICIS
Indica el coeficient, la part literal i el grau d’aquests monomis.
a) −3x3y 2z 4 b) −5b2c3 c) x15y d)
a) Coeficient: −3 Part literal: x3y 2z 4 Grau: 3 + 2 + 4 = 9
b) Coeficient: −5 Part literal: b2c3 Grau: 2 + 3 = 5
c) Coeficient: 1 Part literal: x15y Grau: 15 + 1 = 16
d) Coeficient: Part literal: xy 5 Grau: 1 + 5 = 6
Determina si els monomis són semblants o no.
a) i −5z 5x 2y 3 c) xy 3 i −xy 3
b) 6x 3y 4 i 6x 4y 3 d) 7x i −x
a) Són semblants. c) Són semblants.
b) No són semblants. d) Són semblants.
Escriu l’oposat d’aquests monomis.
a) b) −4a2b3 c) −5x9 d) 9x11
a) b) 4a2b3 c) 5x9 d) −9x11
Escriu, si es pot, un monomi:
a) De coeficient 2 i part literal xy 6.b) De coeficient −3 i semblant a −2x3.c) De grau 7 i semblant a −4x2y.d) De part literal x3y 4 i oposat a −4x3y.
a) 2xy6
b) −3x3
c) No és possible. No pot ser de grau 7 i 3 a la vegada.
d) No és possible. No pot ser de grau 7 i 4 a la vegada.
Fes les operacions.
a) 6x 2 + 2x 2 − x 2 + 3x 2 − x 2 d) (−8x 2y) ⋅ (−4xy2)b) 3x 2y 2 − 2x 2y 2 + 6x 2y 2 − x 2y 2 e) (15xy) : (−3x)c) (−5ab) ⋅ (6abc) f) (2xyz) : (−2xy)
a) 9x2 d) 32x3y3
b) 6x2y2 e) −5y
c) −30a2b2c f) −z
005
004
−1
23 2xy z
12
3 2xy z
003
12
2 3 5x y z
002
−2
3
−23
5xy
001
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 76
77
3
Simplifica les expressions següents:
a) −2x3 − x2 + 5x2 − 6x + x − 2x2 − 6xb) 5x − (x2 + 3x3) + 3x 2 − x3 + 2xc) 11x7y 3 + 4xy5 − 9x7y 3 + xy 5 − x2
a) −2x3 + (−1 + 5 − 2)x2 + (−6 + 1 − 6)x = −2x3 + 2x2 − 11x
b) (−3 − 1)x3 + (−1 + 3)x2 + (5 + 2)x = −4x3 + 2x2 + 7x
c) (11 − 9)x7y3 + (4 + 1)xy5 − x2 = 2x7y3 + 5xy5 − x2
Calcula: −x2y − (−3x2 ⋅ 7y) + (16x2y 3z : 4y 2z).
−x2y + 21x2y + 4x2y = 24x2y
Determina el grau, les variables i el terme independent d’aquests polinomis.
a) P(x, y) = −2x5 − x2y 2 + 5x3 − 1 + 3x3 + 3b) Q(x, y) = x2 + 4x3 − x − 9 + 4x 4y 3
c) R(x, y) = x 9 − x 7y 3 + y13 − 4d) S(x, y, z) = 7x2yz − 3xy2z + 8xyz2
a) Grau: 5. Variables: x, y. Terme independent: 3 − 1 = 2.
b) Grau: 3 + 4 = 7. Variables: x, y. Terme independent:−9.
c) Grau: 13. Variables: x, y. Terme independent: −4.
d) Grau: 2 + 1 + 1 = 4. Variables: x, y, z. Terme independent: 0.
Redueix aquest polinomi i calcula’n l’oposat.
R(x) = x5 + 1 − 3 + 4x5 − 3x − 2x
R(x) = 5x5 − 5x − 2. El seu oposat és: −R(x) = −5x5 + 5x + 2.
Escriu un polinomi de dues variables, de grau 7, que tinguin un terme de grau3, que sigui reduït i no tingui terme independent.
Per exemple: 5x5y2 − 3xy2.
Calcula el valor numeric del polinomi en cada cas.
a) P(x) = 3x6 + 2x5 − 3x 4 − x2 + 7x − 2, per a x = 0.b) P(x, y) = −x 4y − x2y + 7xy − 2, per a x = 1, y = 2.
a) P(0) = 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0 − 0 + 7 ⋅ 0 − 2 = −2
b) P(1, 2) = −1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1 ⋅ 2 − 2 = 8
011
010
009
008
007
006
SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 77
78
Donats els polinomis:P(x, y) = 3x2y + xy − 7x + y − 2Q(x, y) = −xy 2 + 4y 2 − 3x
calcula els valors numèrics:P(0, 0) P(1, 1) Q(0, −1) Q(0, 2)
P(0, 0) = 3 ⋅ 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 − 7 ⋅ 0 + 0 − 2 = −2
P(1, 1) = 3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 − 7 ⋅ 1 + 1 − 2 = −4
Q(0, −1) = −0 ⋅ (−1)2 + 4 ⋅ (−1)2 − 3 ⋅ 0 = 4
Q(0, 2) = −0 ⋅ 22 + 4 ⋅ 22 − 3 ⋅ 0 = 16
Redueix els polinomis següents i calcula’n el valor numèric per a x = 2.
a) P(x) = 4 − 3x2 + x − x2 + 1b) Q(x) = x4 − 4 − 3x2 + x − x2 + 1 − 3x4 − 3x
a) P(x) = −4x2 + x + 5 P(2) = −4 ⋅ 22 + 2 + 5 = −9
b) P(x) = −2x4 − 4x2 − 2x − 3 P(2)= −2 ⋅ 24 − 4 ⋅ 22 − 2 ⋅ 2 − 3 = −55
Un nombre és arrel d’un polinomi quan el valor numèric del polinomi per a aquest nombre és zero. Determina si els nombres −4 i 4 són arrelsd’aquest polinomi.
P(x) = x2 − 5x + 4Sabries trobar una altra arrel del polinomi?
P(−4) = (−4)2 − 5 ⋅ (−4) + 4 = 40 → −4 no és arrel d’aquest polinomi.
P(4) = 42 − 5 ⋅ 4 + 4 = 0 → 4 és arrel d’aquest polinomi.
Aquest polinomi té una altra arrel: x = 1.
Fes la suma, la resta i el producte de cada parell de polinomis.a) R(x) = x4 − x + 1; S(x) = x2 + 1b) R(x) = x + 1; S(x) = x2 + x − 1c) R(x) = 5x7 − x8 + 1; S(x) = x2 + x6 − 1d) R(x) = x5 − x4 + x3 + 2x + 1; S(x) = x3 + 2xe) R(x) = 7x3 + 2x2 + x − 3; S(x) = x4 + x2 − 8f) R(x) = x7 + 3; S(x) = x3 + x2 + 4x + 2
a) R(x) + S(x) = (x 4 − x + 1) + (x2 + 1) = x4 + x2 − x + 2R(x) − S(x) = (x 4 − x + 1) − (x2 + 1) = x4 − x2 − xR(x) ⋅ S(x) = (x 4 − x + 1) ⋅ (x2 + 1) = x6 + x4 − x3 + x2 − x + 1
b) R(x) + S(x) = (x + 1) + (x2 + x − 1) = x2 + 2xR(x) − S(x) = (x + 1) − (x2 + x − 1) = −x2 + 2R(x) ⋅ S(x) = (x + 1) ⋅ (x2 + x − 1) = x3 + 2x2 − 1
c) R(x) + S(x) = (5x7 − x8 + 1) + (x2 + x6 − 1) = −x8 + 5x7 + x6 + x2
R(x) − S(x) = (5x7 − x8 + 1) − (x2 + x6 − 1)= −x8 + 5x7 − x6 − x2 + 2R(x) ⋅ S(x) = (5x7 − x8 + 1) ⋅ (x2 + x6 − 1) =
= −x14 + 5x13 − x10 + 5x9 − 5x7 + x8 + x6 + x2 − 1
015
014
x = 2⎯⎯→
x = 2⎯⎯→
013
012
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 78
79
3
d) R(x) + S(x) = (x5 − x4 + x3 + 2x + 1) + (x 3 + 2x) == x5 − x4 + 2x3 + 4x + 1
R(x) − S(x) = (x5 − x4 + x3 + 2x + 1) − (x 3 + 2x) = x5 − x4 + 1R(x) ⋅ S(x) = (x5 − x4 + x3 + 2x + 1) ⋅ (x 3 + 2x) =
= x8 − x7 + 3x6 − 2x5 + 4x4 + x3 + 2x2 − 2x
e) R(x) + S(x) = (7x3 + 2x2 + x − 3) + (x 4 + x2 − 8) == x4 + 7x3 + 3x2 + x − 11
R(x) − S(x) = (7x3 + 2x2 + x − 3) − (x 4 + x2 − 8) == −x4 + 7x3 + x2 + x + 5
R(x) ⋅ S(x) = (7x3 + 2x2 + x − 3) ⋅ (x 4 + x2 − 8) == 7x7 + 7x6 + 8x5 − x4 − 55x3 − 11x2 + 24
f) R(x) + S(x) = (x7 + 3) + (x 3 + x2 + 4x + 2) = x7 + x3 + x2 + 4x + 5R(x) − S(x) = (x7 + 3) − (x 3 + x2 + 4x + 2) = x7 − x3 − x2 − 4x + 1R(x) ⋅ S(x) = (x7 + 3) ⋅ (x 3 + x2 + 4x + 2) =
= x10 + x9 + 4x8 + 2x7 + 4x4 + 3x3 + 3x2 + 12x + 6
Calcula −A(x) + B(x) y −A(x) − B(x) amb els polinomis:A(x) = 3x 4 − 5x3 + x 2 − 7B(x) = −3x 4 + x3 − 2x + 1
−A(x) + B(x) = −(3x4 − 5x3 + x2 − 7) + (−3x4 + x3 − 2x + 1) == −6x4 + 6x3 − x2 − 2x + 8
−A(x) − B(x) = −(3x4 − 5x3 + x2 − 7) − (−3x4 + x3 − 2x + 1) == 4x3 − x2 + 2x + 6
Calcula el producte dels dos polinomis de l’exercici anterior. Fes servir la propietat distributiva.
A(x) ⋅ B(x) = (3x4 − 5x3 + x2 − 7) ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) == 3x4 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) − 5x3 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) ++ x2 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) − 7 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) == (−9x8 + 3x7 − 6x5 + 3x4) + (15x7 − 5x6 + 10x4 − 5x3) ++ (−3x6 + x5 − 2x3 + x2) + (21x4 − 7x3 + 14x − 7) == −9x8 + 18x7 − 8x6 − 5x5 + 34x4 − 14x3 + x2 + 14x − 7
Calcula:
a) (x3 − 3x2 + 2x) : xb) (2x3 − 3x2 − 5x − 5) : (x − 2)c) (2x3 − 3x2 + 4x − 3) : (x2 + x − 1)d) (x4 + x3 − x2 + x + 1) : (x3 − 5)e) (−6x5 + x3 + 2x + 2) : (4x3 + 2x + 3)f) (x8 − 1) : (x5 + x3 + x + 2)g) (x − 1) : xh) (x2 − 1) : (x + 1)i) (x2 − 5x + 6) : (x − 2)
018
017
016
SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 79
80
a) x2 − 3x + 2
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) x2 − x − 1 x + 1
− x2 − x x − 1
− x2 − x − 1− x2 − x + 1− x2 − x − 0
x − 1 x− x 1
x − 1
x8 − x6 − x4 + 2x3 + x2 + 2x − 1 x5 + x3 + x − 2
− x8 − x6 − x4 − 2x3 + x2 + 2x − 1 x3 − x− x6 − x4 − 2x3 + x2 + 2x − 1
x6 + x4 + 2x3 + x2 + 2x − 1
− x6 − x4 − 2x3 + x2 + 2x − 1
x4 + x3 − x2 + 5x + 1 x3 − 5
− x4 + x3 − x2 + 5x x + 1
x3 − x2 + 6x + 1
− x3 − x2 + 6x + 5
−x2 + 6x + 6
2x3 − 3x2 + 4x − 3 x2 + x − 1
− 2x3 − 2x2 + 2x 2x − 5
−5x2 + 6x − 3
+ 5x2 + 5x − 5
11x − 8
2x3 − 3x2 − 5x − 5 x − 2
− 2x3 + 4x2 2x2 + x − 3
x2 − 5x − 5
− x2 + 2x− 3x − 5
3x − 6
−11
−6x5 + x3 + + 2x + 2 4x3 + 2x + 3
−6x5 + 3x3 + + 1
4x3 + + 2x + 2
− 4x3 + − 2x − 3
− 19
22x
9
22x
−3
22x
9
22x
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 80
i)
Fes les divisions següents i comprova si estan ben fetes.
a) (x3 − 4x2 + 5x − 2) : (x2 − 2)b) (x 4 + x2 + 3) : (x3 + 3x2 + 2x + 6)
a)
(x2 − 2) ⋅ (x − 4) + (7x − 10) = (x 3 − 4x2 − 2x + 8) + (7x − 10) == x3 − 4x2 + 5x − 2
b)
(x3 + 3x2 + 2x + 6) ⋅ (x − 3) + (8x2 + 21) = (x4 − 7x2 − 18) + (8x2 + 21) == x4 + x2 +3
Calcula el residu d’aquesta divisió de polinomis.
Dividend → P(x) = x5 + x3 − x2 + 5x − 3Divisor ⎯→ Q(x) = x3 + x − 1Quocient → C(x) = x2
R(x) = P(x) − Q(x) ⋅ C(x) = (x 5 + x3 − x2 + 5x − 3) − (x 3 + x − 1) ⋅ x2 == (x 5 + x3 − x2 + 5x − 3) − (x 5 + x3 − x2) == 5x −3
Extreu factor comú en els polinomis següents:
a) 8x2 − 4x d) −12ab3 + 4b2 − 6b4
b) 18x3y 2 − 12x2y 3 e) 34a4 − 14a3b + 28ab3
c) 30a2b − 15ab2 + 5a2b2 f) 20a4b2c + 36a2b − 18a3b2
a) 4x ⋅ (2x − 1) d) 2b2 ⋅ (−6ab + 2 − 3b2)
b) 6x2y2 ⋅ (3x − 2y) e) 2a ⋅ (17a3 − 7a2b + 14b3)
c) 5ab ⋅ (6a − 3b + ab) f) 2a2b ⋅ (10a2bc + 18 − 9ab)
021
020
x4 − 3x3 + 2x2 − 6x + 13 x3 + 3x2 + 2x + 6
− x4 − 3x3 − 2x2 − 6x x − 3
− 3x3 − 2x2 − 6x + 13
− 3x3 + 9x2 + 6x + 18
8x2 + 6x + 21
x3 − 4x2 + 5x − 12 x2 − 2
− x3 − 4x2 + 2x x − 4
− 4x2 + 7x − 12
− 4x2 + 7x − 18
7x − 10
019
x2 − 5x + 6 x − 2
− x2 + 2x x − 3
− x2 − 3x + 6− x2 − 3x − 6
− 0
81
3SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 81
82
Extreu factor comú en aquests polinomis:
a) b) x ⋅ (xy 2 − y) + y 2 ⋅ (4xy − 3y) c)
a)
b) y[x ⋅ (xy − 1) + y2(4x − 3)]
c)
Calcula a perquè el factor comú de ax3y + 4x 4y 2 − 6xay 3 sigui 2x2y.
Observem el tercer terme. Si a > 2 el factor comú dels trestermes tindria x elevat a 3, i això no és possible; i si a < 2,el factor comú dels tres termes tindria x elevat a un nombre més petit que 2. Per tant, l’única solució és a = 2.
Desenvolupa els quadrats següents:
a) (x + 7)2 e) (x − 4)2
b) (2a + 1)2 f) (3a − b)2
c) (6 + x)2 g) (5 − x)2
d) (3a2 + 2b)2 h) (2b 2 − 5b 3)2
a) x2 + 14x + 49 e) x2 − 8x + 16
b) 4a2 + 4a + 1 f) 9a2 − 6ab + b2
c) 36 + 12x + x2 g) 25 − 10x + x2
d) 9a4 + 12a2b + 4b2 h) 4b4 − 20b5 + 25b6
Desenvolupa:
a) (3x3 − a2)2 b) (x2 + x3)2 c) (2x + x3)2 d) (6ab 2 − 2y)2
a) 9x6 − 6x3a2 + a4 c) 4x2 + 4x4 + x6
b) x4 + 2x5 + x6 d) 36a2b4 − 24ab2y − 4y2
Expressa com el quadrat d’una suma o una diferència, en funció del que convingui.
a) x2 + 6x + 9 c) x2 + 4xy + 4y 2
b) 4x2 − 12xy + 9y 2 d) x 4 + 2x2 + 1
a) (x + 3)2 c) (x + 2y)2
b) (2x − 3y)2 d) (x2 + 1)2
Calcula els productes següents:
a) (x + 7) ⋅ (x − 7) b) (7x + 4y) ⋅ (7x − 4y)
a) x2 − 49 b) 49x2 − 16y2
027
026
025
024
023
xx x−
−−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
7
1
5
xx
21⋅ −( )
x x x x2 227 5− − −x x2
2 2−
022
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 82
83
3
Estudia si aquestes expressions les podem expressar com una suma per diferència.
a) x2 − 1 b) x 4 − 9 c) 16 − x2
a) (x + 1) ⋅ (x − 1) b) (x2 + 3) ⋅ (x2 − 3) c) (4 − x) ⋅ (4 + x)
Expressa en forma de producte.
a) 4x2 − 4x + 1 c) 100x2 − 4z 6
b) 9a2 − 30ab + 25b2
a) (2x − 1)2 b) (3a − 5b)2 c) (10x + 2z3) ⋅ (10x − 2z3)
Fixa’t en l’exemple i calcula mentalment.
1.0002 − 9992 = (1.000 + 999) ⋅ (1.000 − 999) = 1.999 ⋅ 1 = 1.999
a) 462 − 452 b) 1202 − 1192 c) 5002 − 4992
a) 91 b) 239 c) 999
Simplifica les fraccions algebraiques.
a) b) c) d)
a) b) c) d) x
Simplifica: a) b)
a) b)
Calcula a perquè
4x2 + 4ax + a2 = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 → a = 3
ACTIVITATS
Indica si les expressions següents són monomis:
a) 2x2 + yz c) 5x5y 2 e)
b) d) f) 3ab + 2a2
a) No monomi. c) Monomi. e) No monomi.
b) Monomi. d) Monomi. f) No monomi.
xyz2
11
2 4x y −
32
13
x y+
034●
4 42 3
2 32 2x ax a
xx
+ ++
= + .033
( ) ( )
( )
x x
x
x+ ⋅ −−
=+3 3
2 3
3
2
( )x
xx
−−
= −2
22
2
xx
2 92 6
−−
x xx
2 4 42
− +−
032
2
y
5
3
2x yx
y
2
44
2x yxy
63
2
2 2
x yx y
53
3 2x yxy
xxy
3
031
030
029
028
SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 83
84
Digues si els monomis són semblants.
a) xz, 3xy, −6xy c) 4c 9d, c 7d, cd 4
b) ab, a 2b, 7b d) 8xy2, 7xy
A a) són semblants: 3xy, −6xy; xz no és semblant als anteriors.
No hi ha cap monomi semblant als apartats b), c) i d).
Fes aquestes sumes de monomis:
a) xz + 3xz + 6xz c) 9c 9 + c 9 + c 9
b) a 2b + 9a 2b + 27a 2b d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy
a) 10xz b) 37a2b c) 11c9 d) 81xy
Fes les restes de monomis següents:
a) 3xz − 6xz c) 18xy − 7xy − 3xy − 3xyb) 9a 2b − 2a 2b d) 5x 9 − x 9 − x 9 − x 9
a) −3xz c) 5xy
b) 7a2b d) 2x9
Fes les operacions i indica el grau del monomi resultant.
a) 2x2 + 3x2 − 7x2 + 8x2 − x2
b) 5xy3 − 2xy3 + 7xy3 − 3xy3 + 12xy3
c) 3abc − 2abc + 6abc + 9abc − 4abcd) 5xz − 3xz + 15xz − 11xz + 8xz − 3xze) (2xyz) ⋅ (2x2yz 3)f) (−2abc) ⋅ (3a 2b 2c 2) ⋅ (−bc)g) 7x ⋅ (2xy) ⋅ (−3xy5) ⋅ (xy)h) (6ac3) ⋅ (−2a 2c3) ⋅ (−3ac) ⋅ (−4a 3c2)i) (21x2y 3) : (7xy2)j) (9abc) : (3bc)k) (16x4y 5a 3b 6) : (8x2y 3a 2b 5)l) (5m3n2g 4) : (2mng)
a) 5x2 Grau 2. g) −42x4y7 Grau 11.
b) 25xy3 Grau 4. h) −144a7c9 Grau16.
c) 12abc Grau 3. i) 3xy Grau 2.
d) 11xz Grau 2. j) 3a Grau 1.
e) 4x3y2z4 Grau 9. k) 2x2y2ab Grau 6.
f) 6a3b4c4 Grau 11. l) Grau 6.5
22 3m ng
038●
037●
036●
035●
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 84
85
3
Fes les operacions següents:
a) −xz + 6xz + xyz − 8xz c) 9c 9 − c 9 − c 9 + 10c 9
b) 9a 2b − 2a 2b + 8a 2b − a 2b d) 8xy + 7xy − xy + 3xy − xy
a) −3xz + xyz b) 14a2b c) 17c9 d) 16xy
Fes aquestes multiplicacions:
a) xy ⋅ 3xy ⋅ (−6xy) c) 8xy2 ⋅ 7xyb) ab ⋅ a 2b ⋅ 7b ⋅ ab d) 15x9 ⋅ (−3x9)
a) −18x3y3 b) 7a4b3 c) 4y d) −45x18
Fes les divisions de monomis següents:
a) 9xy : 3xy c) 15x8 : 5x8 e) 15x9 : 3x9
b) 9ab : ab d) 8xy2 : 2xy2 f) 32x7 : 8x 4
a) 3 b) 9 c) 3 d) 4 e) 5 f) 4x3
Calcula i simplifica el resultat tant com puguis.
a) 2x2 − 5(−x2) + 8x2 − (2x) ⋅ (3x)b) 2x ⋅ (−y) + 7xy − yx + (−4x) ⋅ (−5y)c) 3x2 − (−x)2 + 3(−x2) + (−3) ⋅ (−x)2
d) (2xy − 3xy + 7xy) ⋅ (2ab)e) (x2 − 3x2 + 6x2 − 2x2) ⋅ (−5zx)
a) 2x2 + 5x2 + 8x2 − 6x2 = 9x2 d) (6xy) ⋅ (2ab) = 12xyabb) −2xy + 7xy − xy + 20xy = 24xy e) (2x2) ⋅ (−5zx) = −10x3zc) 3x2 − x2 − 3x2 − 3x2 = −4x2
Raona si les igualtats següents són certes o falses:
a) Certa: x ⋅ x ⋅ x = x1+1+1 = x3.
b) Falsa, perquè no podem restar potències amb la mateixa base i exponentdiferent.
c) Certa: x3 ⋅ x4 = x3+4 = x7.
d) Falsa, ja que una potència consisteix a multiplicar un determinat nombre devegades la base, i no sumar-la.
e) Certa: (x2)2 = x2 ⋅2 = x4.
f) Falsa: .xx
− =22
1
a) x · x · x = x3
b) x2 - x = xc) x3 · x 4 = x7
d) x5 = 5xe) (x2)2 = x 4
f) x-2 = -x2
043●●
042●●
041●
040●
039●
SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 85
86
Indica el grau, el terme independent i el polinomi oposat dels polinomis.a) P(x) = −x3 + x2 − 7x − 2 d) S(x) = 8b) Q(x) = −x2 + 2x + 6 e) T(x) = 12x − x2 + x4
c) R(x) = x + 1 f)
a) Grau 3 Terme independent: −2 Oposat: x3 − x2 + 7x + 2
b) Grau 2 Terme independent: 6 Oposat: x2 − 2x − 6
c) Grau 1 Terme independent: 1 Oposat: −x − 1
d) Grau 0 Terme independent: 8 Oposat: −8
e) Grau 4 Terme independent: 0 Oposat: −x4 + x2 − 12x
f) Grau 2 Terme independent: Oposat:
Raona si és cert o fals.a) Un polinomi és la suma de dos monomis.b) El grau d’un polinomi és el grau més gran dels monomis
que el formen.c) Els coeficients d’un polinomi són sempre nombres naturals.d) Tots els polinomis tenen un terme on apareix x2.
a) Fals. Un polinomi és la suma o la resta de dos monomis o més.
b) Cert.
c) Fals. Els coeficients poden ser qualsevol tipus de nombre.
d) Fals. No cal que la variable sigui x, i no és necessari que tingui un termede grau 2.
Redueix els polinomis següents:a) P(x) = −x2 − x − 2 − x3 + x2 − x − 2b) Q(x) = −x2 + x2 + 6 − x + x2 − 7x − 2c) R(x) = x + 1 − x + x2
d) S(x) = 8 − x + 34 − x + 324e) T(x) = x4 + x4 − x3 + x2 − 7x − 2
f)
a) P(x) = −x3 − 2x − 4
b) Q(x) = x2 − 8x + 4
c) R(x) = x2 + 1
d) S(x) = −2x + 364
e) T(x) = 2x4 − x3 + x2 − 7x − 2
f) U(x) = 3
7
1
62x x− −
U x x x x( ) = − − −12
16
27
2 2
046●
045●●
− + +1
2
1
62x x−
1
6
U x x x( ) = − −12
16
2
044●
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 86
87
3
Calcula el valor numèric de cada polinomi per als valors de la variable.
a) A(x) = x + 1, per a x = 1
b) B(x) = x 4 + 3, per a x = 2
c) C(x) = 4x5 − x2 + 3, per a x = −1d) D(x) = −9x 4 + 7x2 + 5,per a x = 1e) E(x) = x3 + x2 + x + 2, per a x = −2f) F (x) = x 4 + x 4 − x3 + x2 − 7x − 2, per a x = 0g) G(x) = −14, per a x = −2
a) A(1) = 1 + 1 = 2b) B(2) = 8 + 3 = 11c) C(−1) = −4 − 1 + 3 = −2d) D(1) = −9 + 7 + 5 = 3e) E(−2) = −8 + 4 − 2 + 2 = −4f) F(0) = −2g) G(−2) = −14
Calcula els valors numèrics per al polinomi:P(x, y) = 2x2y + xy 2 − 3xy + 5x − 6y + 9
a) P(0, 0) c) P(−1, 1) e) P(1, 2)b) P(1, 1) d) P(1, −1) f) P(2, 1)
a) P(0, 0) = 2 ⋅ 02 ⋅ 0 + 0 ⋅ 02 − 3 ⋅ 0 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 − 6 ⋅ 0 + 9 = 9
b) P(1, 1) = 2 ⋅ 12 ⋅ 1 + 1 ⋅ 12 − 3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 − 6 ⋅ 1 + 9 = 8
c) P(−1, 1) = 2 ⋅ (−1)2 ⋅ 1+ (−1) ⋅ 12− 3 ⋅ (−1) ⋅ 1+ 5 ⋅ (−1)− 6 ⋅ 1+ 9 = 2
d) P(1, −1) = 2 ⋅ 12 ⋅ (−1)+ 1 ⋅ (−1)2− 3 ⋅ 1 ⋅ (−1)+ 5 ⋅ 1− 6 ⋅ (−1)+ 9= 11
e) P(1, 2) = 2 ⋅ 12 ⋅ 2 + 1 ⋅ 22 − 3 ⋅ 1 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 − 6 ⋅ 2 + 9 = 4
f) P(2, 1) = 2 ⋅ 22 ⋅ 1 + 2 ⋅ 12 − 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 − 6 ⋅ 1 + 9 = 17
049
048●
12
047●
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM EL COEFICIENT D’UN POLINOMI SI EN SABEM
UN DELS VALORS ABSOLUTS?
Calcula el valor de k en el polonomi P(x) = x2 − x + k, si P (2) = 5.
PRIMER. Substituïm al polinomi la variable pel seu valor.
P(x)
SEGON. Aïllem k a l’equació resultant.
2 + k = 5 → k = 5 − 2 = 3
P k kP
k( )( )2 2 2 22 5
2 52= − + = +
=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =→x = 2F
SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 87
88
Calcula el valor de k en cada polinomi si sabem que P(1) = 6.a) P(x) = kx7 + x3 + 3x + 1 d) P(x)= kx6 − kx3 + kx + kb) P(x) = kx 4 + kx3 + 4 e) P(x) = kc) P(x) = 9x5 + kx2 + kx − k
a) k + 1 + 3 + 1 = 6 → k = 1 d) k − k + k + k = 6 → k = 3b) k + k + 4 = 6 → k = 1 e) k = 6c) 9 + k + k − k = 6 → k = 3
Donats els polinomis:P(x) = 2x5 − 3x 4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6 R(x) = 3x2 − x + 1Q(x) = 3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1 S(x) = 2x + 3
calcula:
a) P(x) + Q(x) c) P(x) − S(x) e) P(x) + R(x) g) Q(x) − R(x)b) Q(x) + P(x) d) Q(x) − P(x) f) R(x) + S(x) h) R(x) − P(x)
a) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) == 2x5 + 5x3 + 3x2 − 4x − 7
b) (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) + (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) == 2x5 + 5x3 + 3x2 − 4x − 7
c) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (2x + 3) == 2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + x − 9
d) (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) − (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) == −2x5 + 6x4 − 9x3 + 7x2 − 10x + 5
e) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x2 − x + 1) == 2x5 − 3x4 + 7x3 + x2 + 2x − 5
f) (3x2 − x + 1) + (2x + 3) = 3x2 + x + 4
g) (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) − (3x2 − x + 1) = 3x4 − 2x3 + 2x2 − 6x − 2
h) (3x2 − x + 1) − (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) == −2x5 + 3x4 − 7x3 + 5x2 − 4x + 7
Suma i resta els polinomis següents:a) P(x) = −7x + 4; Q(x) = 2x + 5b) P(x) = −3x2 + 1; Q(x) = −x2 + 2xc) P(x) = −3x2 + 1; Q(x) = −x2 + 2x + 6d) P(x) = −5x3 + x2 − 7x − 2; Q(x) = 5x3 + x2 + 4x − 2
e) P(x) = x2 − 2xy − y 2; Q(x) = x2 − xy − y 2
f) P(x) = x2 −2xy − y 2; Q(x) = x2 − 2xy − y 2
g) P(x) = x2 − − 3; Q(x) = − x2 + x − 1
h) P(x) = x2 − 5x − 3; Q(x) = − x2 + 13
12
13
12
x2
23
13
32
12
32
12
052●
051●
050●●
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 88
89
3
a) Suma: −5x + 9 Resta: −9x − 1
b) Suma: −4x2 + 2x + 1 Resta: −2x2 − 2x + 1
c) Suma: −4x2 + 2x + 7 Resta: −2x2 − 2x −5
d) Suma: 2x2 − 3x − 4 Resta: −10x3 − 11x
e) Suma: x2 − 3xy − y2 Resta: x2 − xy − y2
f) Suma: x2 − 4xy − y2 Resta: x2 − y2
g) Suma: x2 − x − 4 Resta: x2 − x − 2
h) Suma: x2 − 5x − Resta: x2 − 5x −
Donats els polinomis:
P(x) = 2x5 − 3x 4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6 R(x) = 3x2 − x + 1Q(x) = 3x 4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1 S(x) = 2x + 3
calcula:
a) P(x) + Q(x) + R(x) + S(x) c) [P(x) + Q(x)] − [R(x) + Q(x)]b) P(x) − R(x) + S(x) − Q(x) d) [P(x) − Q(x)] − [R(x) − Q(x)]
a) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) ++ (3x2 − x + 1) + (2x + 3) = 2x5 + 5x3 + 6x2 − 3x − 3
b) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (3x2 − x + 1) + (2x + 3) −− (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) = 2x5 − 6x4 + 9x3 − 10x2 + 13x − 3
c) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] ++ [(3x2 − x + 1) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] =
= (2x5 + 5x3 + 3x2 − 4x − 7) − (3x4 − 2x3 + 8x2 − 8x) == −2x5 − 3x4 + 7x3 − 5x2 + 4x − 7
d) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] ++ [(3x2 − x + 1) − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] =
= [2x5 − 6x4 + 9x3 − 7x2 + 10x − 5] − [−3x4 + 2x3 − 2x2 + 6x + 2] == 2x5 − 3x4 + 7x3 − 5x2 + 4x − 7
Quin és el polinomi Q(x) que hem de sumar a P(x) = x2 + 2x − 1per obtenir com a resultat R(x).
a) R(x) = x − 1 d) R(x) = −7x2 − 3xb) R(x) = 2x2 − x − 6 e) R(x) = x3 − xc) R(x) = 5x2 − x + 1 f) R(x) = x3 − x2
Q(x) = R(x) − P(x)
a) Q(x) = −x2 − x d) Q(x) = −8x2 − 5x + 1
b) Q(x) = x2 − 3x − 5 e) Q(x) = x3 − x2 − 3x + 1
c) Q(x) = 4x2 − 3x + 2 f) Q(x) = x3 − 2x2 − 2x + 1
054●●
053●
10
3
3
2
8
3
1
2
5
6
3
2
1
6
1
2
5
6
1
6
13
6
5
6
1
2−
1
2
5
2
3
2
SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 89
90
Donats els polinomis:P(x) = 2x6 − 7x 4 + 2x3 − 2x2 + x − 1Q(x) = 3x5 − 2x3 + x2 − x − 1R(x) = x2 − x + 1
calcula:
a) P(x) ⋅ Q(x) b) Q(x) ⋅ R(x) c) P(x) ⋅ R(x) d) R(x) ⋅ R(x)
a) (2x6 − 7x4 + 2x3 − 2x2 + x − 1) ⋅ (3x5 − 2x3 + x2 − x − 1) == 6x11 − 25x9 + 8x8 + 6x7 − 10x6 + 10x5 + x4 + 3x3 + 1
b) (3x5 − 2x3 + x2 − x − 1) ⋅ (x2 − x + 1) == 3x7 − 3x6 + x5 + 3x4 − 4x3 + x2 − 1
c) (2x6 − 7x4 + 2x3 − 2x2 + x − 1) ⋅ (x2 − x + 1) == 2x8 − 2x7 − 5x6 + 9x5 − 11x4 + 5x3 − 4x2 + 2x − 1
d) (x2 − x + 1) ⋅ (x2 − x + 1) = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Donats els polinomis:P(x) = 2x5 − 3x 4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6 R(x) = 3x2 − x + 1Q(x) = 3x 4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1 S(x) = 2x + 3
calcula:
a) [P(x) − Q(x)] ⋅ S(x) c) [P(x) + Q(x) + R(x)] ⋅ S(x)b) [R(x) − Q(x)] ⋅ S(x) d) [P(x) + Q(x) − R(x)] ⋅ S(x)
a) [(2x5 − 3x4+ 7x3 − 2x2 + 3x− 6)− (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x− 1)] ⋅ (2x+ 3)== (2x5 − 6x4 + 9x3 − 7x2 + 10x − 5) ⋅ (2x + 3) == 4x6 − 6x5 + 13x3 − x2 + 20x − 15
b) [(3x2 − x + 1) − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] ⋅ (2x + 3) == (−3x4 + 2x3 − 2x2 + 6x + 2) ⋅ (2x + 3) == −6x5 − 5x4 + 2x3 + 6x2 + 22x + 6
c) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) ++ (3x2 − x + 1)] ⋅ (2x + 3) = (2x5 + 5x3 + 6x2 − 5x − 6) ⋅ (2x + 3) =
= 4x6 + 6x5 + 10x4 + 27x3 + 8x2 − 27x − 18
d) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) −− (3x2 − x + 1)] ⋅ (2x + 3) = (2x5 + 5x3 − 3x − 8) ⋅ (2x + 3) =
= 4x6 + 6x5 + 10x4 + 15x3 − 6x2 − 25x − 24
Fes les operacions següents:
a)
b)
c)
d)56
3 113
52
43
5 2 5 2x x x x x x x⋅ − + − − ⋅ − +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )
25
3 112
23
2 3 2 3 2x x x x x x x⋅ − + − − ⋅ − +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )
53
25
752
33 2 2x x x x x− + −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
12
34
54
772
92 2x x x x+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + −
443x +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
057●●
056●●
055●
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 90
91
3
a)
b)
c)
d)
Divideix:
a) (4x 4 + 3x3 − 5x2 + x + 7) : (x − 1)
b) (4x 4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 5) : (x + 1)
c) (7x5 + 4x 4 + 3x3 − 5x2 + 2x − 1) : (x2 + x)d) (x 4 − 2x3 + x2 − x + 3) : (x2 + x + 1)
e) (4x 4 − 2x3 + 7x2 − 2x + 3) : (x2 − x − 2)
a)
b) 4x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 15 x + 1
− 4x4 − 4x3 4x3 − 6x2 + 9x − 11
− 6x3 + 3x2 − 2x + 15
− 6x3 + 6x2
+ 9x2 − 2x + 15
− 9x2 − 9x− 11x + 15
− 11x + 11
16
4x4 + 3x3 − 5x2 + 2x + 7 x − 1
− 4x4 + 4x3 4x3 + 7x2 + 2x + 3
7x3 − 5x2 + 2x + 7
− 7x3 + 7x2
+ 2x2 + 2x + 7
− 2x2 + 2x− 3x + 17
− 3x + 13
10
058●
5
6
5
6
5
2
5
6
5
2
4
36 3 2 6 5x x x x x x− + −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − − +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − + − − + −1
3
10
3
4
3
5
6
5
2
5
67 6 5 3 2x x x x x x
2
5
6
5
2
5
2
5
1
2
2
35 4 3 2 5 4 3x x x x x x x− + −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − − +
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − + − −1
10
1
5
4
15
2
55 4 3 2x x x x
25
66
37
10
41
2215 4 3 2x x x x x− + − +
1
2
7
2
3
4
5
4
9
472+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − − −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + − +x x 33 4
11
442( ) = − −x x
SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 91
92
c)
d)
e)
Desenvolupa:
a) (3x + 2)2 d) (7x3 + 4x2)2 g) (x4 + 3x5) ⋅ (x 4 − 3x5)b) (3x − 2)2 e) (2x + 7) ⋅ (2x − 7)
h)c) (3x2 − 2x)2 f) (2x2 + 3x) ⋅ (2x2 − 3x)
a) 9x2 + 12x + 4 e) 4x2 − 49
b) 9x2 − 12x + 4 f) 4x4 − 9x2
c) 9x4 − 12x3 + 4x2 g) x8 − 9x10
d) 49x6 + 56x5 + 16x4 h) 4x2 − 2x +
Desenvolupa aquests quadrats:
a) (x + 5)2 c) (−y − 8)2 e) (−x − y)2
b) (2y − 7)2 d) (xy − 6x)2 f) (x + 2xy)2
a) x2 + 10x + 25 d) x2y2 − 12x2y + 36x2
b) 4y2 − 28y + 49 e) x2 + 2xy + y2
c) y2 + 16y + 64 f) x2 + 2x2y + 4x2y2
060●●
1
4
212
2
x −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
059●
4x4 − 2x3 + 17x2 − 12x + 13 x2 − x − 2
− 4x4 + 4x3 + 38x2 4x2 + 2x + 17
− 2x3 + 15x2 − 12x + 13
− 2x3 + 12x2 + 14x+ 17x2 + 12x + 13
− 17x2 + 17x + 34
19x + 37
x4 − 2x3 + 3x2 − 1x + 3 x2 + x + 1
− x4 − 2x3 − 3x2 x2 − 3x + 3
− 3x3 + 3x2 − 1x + 3
− 3x3 + 3x2 + 3x+ 3x2 + 2x + 3
− 3x2 − 3x − 3
− 3x
7x5 + 4x4 + 3x3 − 15x2 + 12x − 1 x2 + x− 7x5 − 7x4 7x3 − 3x2 + 6x − 11
− 3x4 + 3x3 − 15x2 + 12x − 1
− 3x4 + 3x3
+ 6x3 − 15x2 + 12x − 1
− 6x3 − 16x2
− 11x2 + 12x − 1
11x2 + 11x13x − 1
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 92
93
3
Completa les igualtats següents:
a) (2x + 3)2 = � + 12x + � c) (9 + 7x) ⋅ (9 − 7x) = � − �b) (5 − 3x)2 = 25 − � + � x2 d) (� + � )2 = x 4 + 2x3 + x2
a) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9
b) (5 − 3x)2 = 52 − 2 ⋅ 5 ⋅ 3x + (3x)2 = 25 − 30x + 9x2
c) (9 + 7x) ⋅ (9 − 7x) = 92 − (7x)2 = 81 − 49x2
d) x4 + 2x3 + x2 = (x2)2 + 2 ⋅ x2 ⋅ x + x2 = (x2 + x)2
Desenvolupa i simplifica les expressions següents:
a) 5x2 + (2x2 + 1)2 − 2x 4 − (x − 1)2
b) (x − 1)2 − (x2 + x + 1)c) (5x + 5)2 − (5x − 5)2
d) (2x3 − 3x2)2 − (2x + 2) ⋅ (2x − 2)e) (x + 6)2 − (x − 6)2 − (x − 5) ⋅ (x + 5)f) (2x + 1)2 − (2x − 1)2 + (2x + 1) ⋅ (3x + 2)
a) 5x2 + (2x2 + 1)2 − 2x4 − (x − 1)2 = 5x2 + 4x4 + 4x2 + 1 − 2x4 − x2 ++ 2x − 1 = 2x4 + 8x2 + 2x
b) (x − 1)2 − (x2 + x + 1) = x2 − 2x + 1 − x2 − x − 1 = −3x
c) (5x + 5)2 − (5x − 5)2 = [(5x)2 + 2 ⋅ 5x ⋅ 5 + 52] −− [(5x)2 − 2 ⋅ 5x ⋅ 5 + 52] = 25x2 + 50x + 25 − 25x2 + 50x − 25 = 100x
d) (2x3 − 3x2)2 − (2x + 2) ⋅ (2x − 2) = (2x3)2 − 2 ⋅ 2x3 ⋅ 3x2 + (3x2)2 −− [(2x)2 − 22] = 4x6 − 12x5 + 9x4 − 4x2 + 4
e) (x + 6)2 − (x − 6)2 − (x − 5) ⋅ (x + 5) == x2 + 12x + 36 − x2 + 12x − 36 − x2 + 25 = −x2 + 24x + 25
f) (2x + 1)2 − (2x − 1)2 + (2x + 1) ⋅ (3x + 2) == (2x)2 + 2 ⋅ 2x + 1 − ((2x)2 − 2 ⋅ 2x + 1) + 6x2 + 4x + 3x + 2 == 4x2 + 4x + 1 − 4x2 + 4x − 1 + 6x2 + 7x + 2 = 6x2 + 15x + 2
063●●
FES-HO AIXÍ
Fes l’operació següent:(2x − 3)2 − (2 + x)2
PRIMER. Desenvolupem el polinomi aplicant el resultat de les igualtats notables.
(2x − 3)2 − (2 + x)2 = (4x2 − 12x + 9) − (4 + 4x + x2)
SEGON. Traiem els parèntesis. N’hem de tenir en compte els signes.
(4x2 − 12x + 9) − (4 + 4x + x2) = 4x2 − 12x + 9 − 4 − 4x − x2
TERCER. Reduïm el polinomi.
4x2 − 12x + 9 − 4 − 4x − x2 = 3x2 − 16x + 5
Així doncs, (2x − 3)2 − (2 + x)2 = 3x2 − 16x + 5.
062
061●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 93
94
Expressa aquests polinomis com el quadrat d’una suma o diferència.
a) 9x2 + 18x + 9 c) x2 + 16x + 64b) 16x2 − 16x + 4 d) 4x2 + 4x + 1
a) 32x2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 3x + 32 = (3x + 3)2
b) 42x2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2x + 22 = (4x − 2)2
c) 12x2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 8x + 82 = (x + 8)2
d) 22x2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1x + 12 = (2x + 1)2
Expressa l’àrea de cada figura mitjançant un polinomi. Simplifica’n l’expressió.
a) c)
b) d)
a) (x + 4)2 + x2 = 2x2 + 8x + 16
b)
c) (x + 5) ⋅ (x + 3) − 2(x − 1) = x2 + 8x + 15 − 2x + 2 = x2 + 6x + 17
d) = x2 + 2x
Escriu els polinomis com un producte de dos factors.
a) x2 − 16 d) x2 − 4x + 4b) x 4 − 36 e) 16x2 − 24xy + 9y 2
c) 4x2 − 25 f) 16x 4 + 24x2 + 9
a) (x + 4) ⋅ (x − 4) d) (x − 2)2
b) (x2 + 6) ⋅ (x2 − 6) e) (4x − 3y)2
c) (2x + 5) ⋅ (2x − 5) f) (4x2 + 3)2
Fixa’t en l’exemple resolt i completa.
[(x + 2) + 3] ⋅ [(x + 2) − 3] = (x + 2)2 − 9a) [(3x − y) + 4] ⋅ [(3x − y) − 4]b) [(a + b) + c] ⋅ [(a + b) − c]
a) (3x − y)2 − 16
b) (a + b)2 − c2
067●●
066●●
x xx
+ +⋅
( )4
2
( ) ( )x xx x
− ⋅ += − −
3 2 5
2
1
2
15
22
x + 4
x
x
2x + 5
x − 3
x − 1
x + 32
x + 5
x + 4
x + 4
x
x
065●●
064●●
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 94
95
3
Extreu factor comú en aquestes expressions:
a) 3x2 − 4x c) xy − 6xyz − 5xyztb) (x + 1) + 3(x + 1) d) 3x − 4x2 − 6x3
a) x(3x − 4) c) xy(1 − 6z − 5zt )
b) (x + 1) ⋅ (1 + 3) = 4(x + 1) d) x(3 − 4x − 6x2)
Simplifica aquestes expressions aplicant les igualtats notables i extraient factor comú:
a) 7x2 − 14x + 7 e) (2x + 4) ⋅ (x − 2)b) 16x2 + 64x + 64 f) (x − 5) ⋅ (x2 + 5x)c) x3 − 2x2 + x g) (−x − 7) ⋅ (x − 7)d) 18x 4 − 12x2 + 2 h) (−x2 + 5) ⋅ (−x2 − 5)
a) 7(x2 − 2x + 1) = 7(x − 1)2
b) 16(x2 + 4x + 4) = 16(x + 2)2
c) x(x2 − 2x + 1) = x(x − 1)2
d) 2(9x4 − 6x2 + 1) = 2(3x2 − 1)2
e) 2(x + 2) ⋅ (x − 2) = 2(x2 − 4)
f) x (x − 5) ⋅ (x + 5) = x(x2 − 25)
g) −(x + 7) ⋅ (x − 7) = −(x2 − 49) = 49 − x2
h) (x2 − 5) ⋅ (x2 + 5) = x4 − 25
070
069●●
068●●
FES-HO AIXÍ
COM SIMPLIFIQUEM EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES?
Simplifica:
PRIMER. Descomponem el numerador i el denominador en tants factors com siguipossible.
SEGON. Dividim el numerador i el denominador pels factors comuns a tots dos.
y y x
x y x
y y x
x
3 2
2
1 1
1
1 1⋅ − ⋅ −
⋅ ⋅ −=
− −( ) ( )
( )
( )( )
y y x
xy x
3 2
2
1 1
1
( ) ( )
( )=
− ⋅ −−
( ) ( )
( )
( ) ( )y y x x
xy x
y y x x4 3 2
2
3 22 1
1
1 2 1− ⋅ − +−
=− ⋅ − +
xxy x2 1( )−=
S’extreu factorcomú a y3:
y 4 − y3 = y3 ⋅ (y − 1)
Quadrat d’unadiferència:
x2 − 2x + 1 = (x − 1)2
F F
( ) ( )( )
y y x xxy x
4 3 2
2
2 11
− − +−
⋅
SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 95
96
Simplifica les fraccions algebraiques:
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Simplifica les fraccions algebraiques següents:
a) d)
b) e)
c) f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Si P(x) té grau 5 i Q(x) grau 2, determina, quan sigui possible, els graus dels polinomis:
a) P(x) + Q(x) c) P(x) ⋅ Q(x)b) P(x) −Q(x) d) El quocient i el residu de P(x) : Q(x).
Fes el mateix si P(x) i Q(x) tenen grau 5.
073●●●
3 4 4
2 4 4
3
2
( ) ( )
( ) ( )
x x
x x
+ ⋅ −+ ⋅ −
=
4 3 4
3 3 4 3 4
4 3 4
3 3 4
2( )
( ) ( )
( )
( )
x
x x
x
x
++ ⋅ −
=+−
( )
( ) ( )
( )
( )
3 2
3 2 3 2
3 2
3 2
2x
x x
x
x
++ ⋅ −
=+−
18 1
9 1
18 1 1
9 1
2 2
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( ) ( )
( )
x
x x
x x
x x
−−
=− ⋅ +
−==
+2 1 2
2
( )x
x
2 4
4 4
2 4
4
2x x
x x
x x
x
( )
( ) ( )
( )
( )
−− ⋅ +
=−+
x x x
x xx x
2 4 4
44
( ) ( )
( )( )
− ⋅ ++
= −
( )( )3 12 42 322
x xx+ −−
18 36 189 1
4 2
2 2
x xx x− +−( )
( )6 827 48
2
2
xx+−
x x xx
( )( )
2 16 3216
2
2
− +−
( )3 29 4
2
2
xx−−
x xx x
3 2 164
( )( )−+
072●●●
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(x x y y
xy x y
x+ ⋅ − ⋅ + ⋅ −− ⋅ +
=+3 3 4 4
2 3 4
32
)) ( )
( )
⋅ −+y
xy y
4
2 4
y x
x x
y x
x
2 2 22
2
2( )
( )
( )−−
=−
x x x
x xx x
2 2 2
22
( ) ( )
( )( )
+ ⋅ −−
= +
( )
( )
( )x
x x
x
x
++
=+1
1
12
( )( )( )( )x y
xy x y
2 2
2
9 162 6 4− −− +
x xx x
2 2 42
( )( )−−
y x xx x
2 2 4 42
( )( )− +−
x xx x
2 2 11
+ ++( )
071●●
Polinomis
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 96
97
3
a) Grau 5.
b) Grau 5.
c) Grau 7 = 5 + 2.
d) Quocient → Grau 3 = 5 − 2.Residu ⎯→ Grau més petit que 2.
Si P(x) i Q(x) tenen grau 5:
a) No es pot saber, perquè pot passar que alguns dels termes s’anul·lin en lasuma, si els coeficients són oposats.
b) No es pot saber, perquè potser algun dels termes s’anul·la en la resta, si els coeficients són oposats.
c) Grau10 = 5 + 5.
d) Quocient → Grau 0 = 5 − 5.Residu ⎯→ Grau més petit que 5.
Les sumes següents són quadrats perfectes.
En vista d’aquests resultats, podries determinar a quin quadrat és iguall’expressió següent?
x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2
Comprova que la teva igualtat és correcta.
x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2 = [x (x +1) + 1]2
Per demostrar aquesta fórmula, partim del segon membre:
[x(x + 1) + 1]2 = [x(x + 1)]2 + 2x(x + 1) + 1 = x2(x +1)2 + 2x(x + 1) + 1 == x2(x + 1)2 + 2x2 + 2x + 1 == x2(x + 1)2 + x2 + x2 + 2x + 1 == x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2
Comprova amb uns quants exemples que el producte de tres nombres enters consecutius sumat al nombre del mig és sempre un cub perfecte.
Demostra-ho per a tres nombres enters consecutius qualssevol: x − 1,x i x + 1.
Exemples: 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 = 27 = 33
4 ⋅ 5 ⋅ 6 + 5 = 125 = 53
9 ⋅ 10 ⋅ 11 + 10 = 1.000 = 103
(x − 1) ⋅ x ⋅ (x + 1) + x = (x3 − x) + x = x3
075●●●
12 + 22 + 12 · 22 = 32
22 + 32 + 22 · 32 = 72
…
92 + 102 + 92 · 102 = 912
074●●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 97
98
Esbrina, seguint el mètode aplicat per trobar el desenvolupament de lesigualtats notables, els desenvolupaments de:
a) (a + b)3 c) (a + b)2 ⋅ (a − b)2
b) (a − b)3 d) (a − b)4
a) (a + b)3 = (a + b)2 ⋅ (a + b) = (a2 + 2ab + b2) ⋅ (a + b) == a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3a2b + b3
b) (a − b)3 = (a − b)2 ⋅ (a − b) = (a2 − 2ab + b2) ⋅ (a − b) == a3 − 2a2b + ab2 − a2b + 2ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
c) (a + b)2 ⋅ (a − b)2 = ((a + b) ⋅ (a − b)) ⋅ ((a + b) ⋅ (a − b)) = (a2 − b2)2 == ((a2)2 − 2(a2) ⋅ (b2) + (b2)2) = a4 − 2a2b2 + b4
d) (a − b)4 = (a − b)3 ⋅ (a − b) = (a3 − 3a2b + 3ab2 − b3) ⋅ (a − b) == a4 − 3a3b + 3a2b2 − ab3 − a3b + 3a2b2 − 3ab3 + b4 == a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4
A LA VIDA QUOTIDIANA
Una fàbrica produeix taules fetes a mà. L’amo s’ha fixat que els costos de fabricació per unitat varien massa en funció del nombre de taules produïdes.
A més, ha arribat a la conclusió que el cost total (en euros) de la producció de x taules està donat per la fórmula:
C(x) = x3 + 5x + 16.000
Segons tot això:a) Quin és el cost de producció de 40 taules?
Quant costa produir cada unitat? I de 20 taules? Quant costa produir cada unitat en aquest cas?
b) Quina és la diferència de beneficis per al fabricant en cada cas? Quina opcióli suposarà un benefici més gran?
a) El cost de fabricació de 40 taules és: C(40) = 403 + 5 ⋅ 40 + 16.000 == 80.200 €
Produir una unitat costa: 80.200 : 40 = 2.005 €.
Fabricar 20 taules costa: C(20) = 203 + 5 ⋅ 20 + 16.000 = 24.100 €
i produir una unitat costa: 24.100 : 20 = 1.205 €.
077●●●
076●●●
Polinomis
M’han fet una comanda de 18 taules i tinc dues opcions:
• Fabricar 18 taules i vendre-les a preu decatàleg: 1.700 euros cadascuna.
• Oferir al client una oferta de 20 taulesa 1.640 euros cadascuna.
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 98
99
3
b) Fabricar 18 taules costa: C(18) = 183 + 5 ⋅ 18 + 16.000 = 21.922 €.Els ingressos són: 1.700 ⋅ 18 = 30.600 €.Els guanys són: 30.600 − 21.922 = 8.678 €.
Fabricar 20 taules costa: C(20) = 203 + 5 ⋅ 20 + 16.000 = 24.100 €
Els ingressos són: 1.640 ⋅ 20 = 32.800 €.Els guanys són: 32.800 − 24.100 = 7.300 €.
La diferència entre els beneficis és 8.678 − 7.300 = 1.378 € si ven 18 taules, que és l’opció més beneficiosa per al fabricant.
EMBALATGES CARTILLA fabrica caixes de cartró per embalar.
Tenen tres tipus de caixes i cada clientpot triar el format i les dimensionsen funció de les necessitats.
Totes les mides estan expressades encentímetres i, per exigències deproducció i de resistència del cartró,els valors de la variable tenen algunesrestriccions segons el model. A més, han de ser més grans de 10 cm i més petites de 50.
a) Expressa en forma de polinomi la quantitat de cartró necessària per fabricar cada embalatge.
b) Si el preu del cartró és de 0,02 €/m2, quin seràel preu del cartró necessari per fabricar 200 caixesd’embalatge tradicional de 30 × 60 × 80 cm?
c) Quin tipus de caixes necessitem per embalar aquestesesferes?
a) Embalatge cúbic: 6 cares de superfície x2 → S(x) = 6x2
Embalatge allargat: 2 cares de superfície x2 i 4 cares de superfície:3x2 → S(x) = 14x2
Embalatge tradicional: 2 cares de superfície 2x2, 2 cares de superfície2x2 + 20 i 2 cares de superfície 4x2 + 40x → S(x) = 2(8x2 + 60x) == 16x2 + 120x
b) x = 30 → La superfície de cada caixa és: S(30) = 16 ⋅ 302 + 120 ⋅ 30 = 18.000 cm2 → 18.000 cm2 = 1,8 m2
200 caixes tenen una superfície de 200 ⋅ 1,8 = 360 m2 i un costde 360 ⋅ 2 = 720 cèntims d’euro = 7,20 €.
c) El diàmetre de l’esfera no pot mesurar més de 50 cm.
Si volem que l’embalatge sigui individual, ho farem amb tres caixes cúbiques.
Si volem embalar les tres esferes juntes, sense que sobri espai, faremservir l’embalatge allargat.
Si volem embalar les tres esferes juntes i que sobri espai, farem servirl’embalatge tradicional.
078●●●
EMBALATGE TRADICIONAL
SOLUCIONARI
EMBALATGE
CÚBIC
EMBALATGE
ALLARGAT
2x + 20
2x
3x
x
x
x
x
x
x
831106 _ 0074-0099.qxd 11/9/07 12:44 Página 99
100
Equacions de primer i segon grau4
IGUALTATS ALGEBRAIQUES
TIPUS D’EQUACIONS MÈTODE GENERAL
EQUACIONS DE PRIMER GRAU
EQUACIONSCOMPLETES
EQUACIONSINCOMPLETES
FÓRMULAGENERAL
MÈTODESDE RESOLUCIÓ
ESTUDI DEL NOMBRE DE SOLUCIONS
EQUACIONS DE SEGON GRAU
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB EQUACIONS
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 100
La fi del món
L’octubre de 1533 a la presó de Wittenberg s’hi va celebrar una reunió força curiosa: Luter hi era per visitar Michael Stifel, amic íntim seu. Stifel havia aplicat a la Bíblia càlculs numèrics i haviaprofetitzat que la fi del món seria el 18 d’octubre d’aquell mateix any. Luter contenia el riure i li deia:
–Michael, quantes vegades t’he dit que no barregis la fe amb la raó?
–No em tornarà a passar mai més. Quan surti d’aquí em dedicaré a ordenar els meus escrits i a publicar els meus treballs científics. Però no barrejaré mai més l’aigua amb l’oli.
Tal com va prometre, el 1544 va publicar la seva obra Arithmetica integra, en què generalitza l’ús dels signes + i − per a la suma i la resta. Hi admet, també, per primera vegada, els coeficients negatius a les equacions, tot i que no les solucions negatives.
Segons Stifel...
quina seria la solució d’aquestes equacions?
L’equació:
x + 1 = 0
segons Stifel, no tindria solució, perquè la sevasolució és un nombre negatiu, x = –1.
L’equació:
x2 – 1 = 0
segons Stifel, tindria una única solució: x = 1.
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 101
102
EXERCICIS
Calcula el valor numèric de les expressions:
a) 2x + x 2 − 3 si x = 4 d) x + x 3 − x si x = −1b) 3x + 4y si x = y = 2 e) x 4 + 2 si x = −1c) x 3 − 2x + 2 si x = −3
a) 8 + 16 − 3 = 21
b) 6 + 8 = 14
c) −27 + 6 + 2 = −19
d) −1 − 1 + 1 = −1
e) 1 + 2 = 3
Assenyala quines d’aquestes igualtats són identitats o equacions:
a) −6(x − 2) + 5 = −2(3x − 3) + 11b) 6(x − 1) = 4(x − 2) − 3(−x − 5)
a) −6x + 12 + 5 = −6x + 6 + 11 → −6x + 17 = −6x + 17 → Igualtat
b) 6x − 6 = 4x − 8 + 3x + 15 → 6x − 6 = 7x + 7
Només és certa per a x = −13 → 6(−13) − 6 = 7(−13) + 7 →→ −78 − 6 = −91 + 7
Escriu dues identitats i dues equacions.
Identitats: 7x + 2x − 8 = 9x + 4 − 12−7x − 2 = 7(−x − 1) + 5
Equacions: 2x + 3 = 856x + 8 = 2x + 6
Determina els elements d’aquestes equacions:
a) 2x − 5 = 4(x + 9)b) x 2 + x − 1 = x 2 − 2xc) x (x 2 − x) + 2 + x 2 = x 3 + x
a) Primer membre: 2x − 5.Segon membre: 4(x + 9).Incògnita: x.Grau: 1.
b) Primer membre: x2 + x − 1.Segon membre: x2 − 2x.Incògnita: x.Grau: 1.
c) Primer membre: x(x2 − x) + 2 + x2.Segon membre: x3 + x.Incògnita: x.Grau: 1.
004
003
002
001
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 102
103
4
Quin dels dos nombres següents és la solució de l’equació 5x − 9 = 4(x − 5)?
a) 4 b) −3 c) 14 d) −11
5x − 9 = 4(x − 5)
a) 5 ⋅ 4 − 9 = 20 − 9 = 114(4 − 5) = 4(−1) = −41
→ No
b) 5(−3) − 9 = −15 − 9 = −244(−3 − 5) = 4(−8) = −32
→ No
c) 5 ⋅ 14 − 9 = 70 − 9 = 614(14 − 5) = 4 ⋅ 9 = 36
→ No
d) 5(−11) − 9 = −55 − 9 = −644(−11 − 5) = 4(−16) = −64
→ La solució és x = −11
Escriu dues equacions que tinguin com a solució x = 1.
3x = 3 2x + 5 = 7
Escriu dues equacions que tinguin:
a) Dues solucions.b) Cap solució.c) Infinites solucions.
a) x2 + 5x = −3 x2 = 4
b) x2 + 9 = 0 x2 + x + 1 = 0
c) 3x + 6 = 3(x + 2) 5x + 4 = 2x + 3 + 3x + 1
Resol aplicant les regles de la suma i del producte:
a) x + 4 = 5 d) 8x = 24b) x − 2 = −1 e) −6x = 72c) 3 − x = 21 f) −4x = −24
a) x + 4 = 5 ⎯→ x + 4 − 4 = 5 − 4 → x = 1
b) x − 2 = −1 → x − 2 + 2 = −1 + 2 → x = 1
c) 3 − x = 21 ⎯→ 3 − x − 3 = 21 − 3 → −x = 18 →⎯→ (−1)(−x) = (−1)18 → x = −18
d) 8x = 24 ⎯⎯→
e) −6x = 72 ⎯→
f) −4x = −24 →−−
=−−
=4
4
24
46
xx→
−−
=−
= −6
6
72
612
xx→
8
8
24
83
xx= =→
008
007
006
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
005
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 103
104
Calcula:
a) 2x + 4 = 16 b) 7x + 8 = 57 c) 5x − 5 = 25 d) −6x − 1 = −13
a) 2x + 4 = 16 → 2x + 4 − 4 = 16 − 4 → 2x = 12 → → x = 6
b) 7x + 8 = 57 → 7x + 8 − 8 = 57 − 8 → 7x = 49 → → x = 7
c) 5x − 5 = 25 → 5x − 5 + 5 = 25 + 5 → 5x = 30 → → x = 6
d) −6x − 1 = −13 → −6x − 1 + 1 = −13 + 1 → −6x = −12 →
→ → x = 2
Calcula: a) −11x = −4x + 15 c) 7x − 4 = −5 − 6xb) −1 − 2x = −3x − 11 d) 4x − 8 = 6x + 2
a) −11x = −4x + 15 → −11x + 4x = −4x + 15 + 4x → −7x = 15 →
→
b) −1 − 2x = −3x − 11 → −1 − 2x + 3x + 1 = −3x − 11 + 3x + 1 →→ x = −10
c) 7x − 4 = −5 − 6x → 7x − 4 + 6x + 4 = −5 − 6x + 6x + 4 →
→ 13x = −1 → →
d) 4x − 8 = 6x + 2 → 4x − 8 − 6x + 8 = 6x + 2 − 6x + 8 →
→ −2x = 10 → → x = −5
Troba la solució d’aquesta equació: 3(x + 2) = 3x + 6.
3(x + 2) = 3x + 6 → 3x + 6 = 3x + 6. És una identitat: infinites solucions.
Resol aquestes equacions:
a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3 d) 4x − 5 = 3x − 2 + x − 5b) 3x − 5 = 2x + 4 + x − 9 e) 9x − 11 = 4x + 6 + 5x + 5c) 3x + 8 = 5x + 2 f) 6x + 2x + 4 = 3x + 3 − 5x − 9
a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3 → 2x + 5 = 4x + 5 → 2x − 4x = 5 − 5 → x = 0
b) 3x − 5 = 2x + 4 + x − 9 → 3x − 5 = 3x − 5 → Identitat
c) 3x + 8 = 5x + 2 → 3x − 5x = 2 − 8 → −2x = −6 → x = 3
d) 4x − 5 = 3x − 2 + x − 5 → 4x − 5 = 4x − 7 → 4x − 4x = −7 + 5 →→ 0x = −2 → Equació incompatible
e) 9x − 11 = 4x + 6 + 5x + 5 → 9x − 11 = 9x + 11 →→ 9x − 9x = 11 + 11 → 0x = 22 → Equació incompatible
f) 6x + 2x + 4 = 3x + 3 − 5x − 9 → 8x + 4 = −2x − 6 → x = −1
012
011
−−
=−
2
2
10
2
x
x = −1
13
13
13
1
13
x= −
−−
=−
= −7
7
15
7
15
7
xx→
010
−−
=−−
6
6
12
6
x
5
5
30
5
x=
7
7
49
7
x=
2
2
12
2
x=
009
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 104
105
4
Indica si el pas és correcte o no.
a) 2x + 5x = 2x + 4 → 5x = 4b) 3x − 5 = x − 9 → 4x = −4
a) 2x + 5x − 2x = 4 → 5x = 4. Sí que és correcte.
b) 3x − x = −9 + 5 → 2x = −4. No és correcte.
Què passa quan en els dos membres d’una equació apareix el mateix terme?
Aleshores podem eliminar-lo dels dos membres, perquè si en transposem unens quedaria la suma d’un dels dos més el seu oposat.
Resol:
a) x − 5(x − 2) = 6xb) 120 = 2x − (15 − 7x)
a) x − 5(x − 2) = 6x → x − 5x + 10 = 6x → −4x + 10 = 6x →→ 10 = 6x + 4x → 10 = 10x → x = 1
b) 120 = 2x − (15 − 7x) → 120 = 2x − 15 + 7x → 120 = 9x − 15 →→ 120 + 15 = 9x → 135 = 9x → x = 15
Calcula el valor de x.
a)
b)
c)
a) →
→ 3(x + 2) = 2(x + 3) → 3x + 6 = 2x + 6 → 3x − 2x = 6 − 6 → x = 0
b) →
→ 5x − 2(2x + 7) = 50 → 5x − 4x − 14 = 50 → x = 50 + 14 → x = 64
c)
→ 60 = 7x − 3x → 60 = 4x → x = =60
415
x x x xx x
45
7
1212
412 5 12
7
123 60 7+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =→ → →
m.c.m. (4, 12) = 12
F
x x x x
2
2 7
55 10
210
2 7
510 5−
+= ⋅ − ⋅
+= ⋅→ ( )
m.c.m. (2, 5) = 10
F
62
26
3
3⋅+
= ⋅+x xm.c.m. (2, 3) = 6⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→x x+
=+2
2
3
3
x x4
5712
+ =
x x2
2 75
5− + =
x x+ = +22
33
016
015
014
013
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 105
106
Resol aquestes equacions:
a)
b)
a)
→ 8(x − 1) − 2(x − 3) = 30 → 8x − 8 − 2x + 6 = 30 →
→ 6x − 2 = 30 → 6x = 32 →
b)
→ 48x + 4(x + 5) − 9(x + 4) = 24(7 − 3x) →→ 48x + 4x + 20 − 9x − 36 = 168 − 72x →→ 43x − 16 = 168 − 72x → 43x + 72x = 168 + 16 →
Escriu una equació de primer grau amb parèntesis i denominadors que tingui com a solució x = −1.
Resol:
a) x 2 − 7x + 12 = 0 d) x2 − 9x + 14 = 0b) x 2 − 9x + 18 = 0 e) x 2 − 6x + 8 = 0c) 2x 2 − 8x + 8 = 0 f) 3x 2 + 12x + 9 = 0
a)
b)
=± −
=±
=±
=9 81 72
2
9 9
2
9 3
2
6
3
x x x22
9 18 09 9 4 18
2− + = =
−− ± − − ⋅=→ ( ) ( )
=± −
=±
=±
=7 49 48
2
7 1
2
7 1
2
4
3
x x x22
7 12 07 7 4 12
2− + = =
−− ± − − ⋅=→ ( ) ( )
019
xx
x++ + =
−3
22 1
4
5( )
018
→ →115 184184
115
8
5x x= = =
→ →24 2 245
624
3 4
824 7 3⋅ + ⋅
+− ⋅
+= −x
x xx
( ) ( )( )
25
6
3 4
87 3x
x xx+
+−
+= −
( ) ( ) →
m.c.m. (6, 8) = 24
F
x = =32
6
16
3
4 1
3
2 3
65 6
4 1
36
2 3
66 5
( ) ( ) ( ) ( )x x x x−−
−= ⋅
−− ⋅
−= ⋅→ →
m.c.m. (3, 6) = 6F
25
63 4
87 3x
x xx+ + − + = −( ) ( )
4 13
2 36
5( ) ( )x x− − − =
017
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 106
c) 2x2 − 8x + 8 = 0 →
d)
e)
f)
Expressa de la forma ax 2 + bx + c = 0 i resol:a) x 2 − x = 20 b) 2x 2 = 48 − 10x c) 3x 2 − 8 = −2x d) x 2 + 9 = 10x
a)
b) 2x2 = 48 − 10x → 2x2 + 10x − 48 = 0 →
c) 3x2 − 8 = −2x → 3x2 + 2x − 8 = 0 →
d) x2 + 9 = 10x → x2 − 10x + 9 = 0 →
=±
=±
=10 64
2
10 8
2
9
1
→ x =− − ± − − ⋅
=± −
=( ) ( )10 10 4 9
2
10 100 36
2
2
=− ±
=− ±
=2 100
6
2 10
6
8/6 = 4/3
−2
→ x =− ± + ⋅ ⋅
⋅=
− ± ±=
2 2 4 3 8
2 3
2 4 96
6
2
=− ±
=− ±
=10 484
4
10 22
4
3
−8
→ x =− ± + ⋅ ⋅
⋅=
− ± +=
10 10 4 2 48
2 2
10 100 384
4
2
=± +
=±
=±
=1 1 80
2
1 81
2
1 9
2
5
−4
x x x22
20 01 1 4 20
2− − = =
− − ± − + ⋅=→ ( ) ( )
020
=− ± −
=− ±
=− ±
=12 144 108
6
12 36
6
12 6
6
−1
−3
3 12 9 012 12 4 3 9
2 32
2
x x x+ + = =− ± − ⋅ ⋅
⋅=→
=± −
=±
=±
=6 36 32
2
6 4
2
6 2
2
4
2
x x x22
6 8 06 6 4 8
2− + = =
− − ± − − ⋅=→ ( ) ( )
=± −
=±
=±
=9 81 56
2
9 25
2
9 5
2
7
2
x x x22
9 14 09 9 4 14
2− + = =
− − ± − − ⋅=→ ( ) ( )
→ x =− − ± − − ⋅ ⋅
=± −
= =( ) ( )8 8 4 2 8
4
8 64 64
4
8
42
2
107
4SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 107
108
Resol aquestes equacions:
a) 2x 2 − 98 = 0 b) 5x 2 + 20x = 0
a)
b) 5x2 + 20x = 0 → x2 + 4x = 0 → x(x + 4) = 0
D’una altra manera:
5x2 + 20x = 0 → x
Determina el nombre de solucions de les equacions de segon grau.
a) x 2 − 7x − 12 = 0b) x 2 + 9x + 18 = 0c) 3x 2 − x + 12 = 0
a) ∆ = (−7)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−12) = 49 + 48 = 97 > 0 → Té 2 solucions.
b) ∆ = 92 − 4 ⋅ 1 ⋅ 18 = 81 − 72 = 9 > 0 → Té 2 solucions.
c) ∆ = (−1)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 12 = 1 − 144 = −143 < 0 → No té solució.
Quantes solucions tenen aquestes equacions de segon grau? Calcula’n el valor.
a) x 2 − 6x + 4 = 0 d) x 2 − 5x + 9 = 0b) 2x 2 = 4 − 10x e) 7x 2 + 1 = 6xc) 3x 2 = 6x f) 8x 2 = −3
a) x2 − 6x + 4 = 0 → x =
b) 2x2 = 4 − 10x → 2x2 + 10x − 4 = 0 →
→ x
=− ±
=10 132
4
− +10 132
4
− −10 132
4
=− ± + ⋅ ⋅
⋅=
− ± +=
10 10 4 2 4
2 2
10 100 32
4
2
=±
=6 20
2
6 20
2
+
6 20
2
−
6 6 4 4
2
6 36 16
2
2± − ⋅=
± −=
023
022
=− ±
=−
20 20
10
0
4
=− ± − ⋅ ⋅
=− ±
=20 20 4 5 0
10
20 400
10
2
→ x
→ →→
x xx x
= =+ = = −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
0 04 0 4
1
2
2 98 0 2 98 49 497
72 2 2x x x x− = = = = ± =
−→ → →
021
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 108
109
4
c) 3x2 = 6x → 3x2 − 6x = 0 → x =
d) x2 − 5x + 9 = 0 → x =
No té solucions reals
e) 7x2 + 1 = 6x → 7x2 − 6x + 1 = 0 →
→ x
f) 8x2 = −3 → x2 = No té solucions reals
Calcula el valor del discriminant i les solucions en cada cas.
a) x 2 − 4x + 3 = 0 c) x 2 − 4x = −5
b) 2x 2 − 20x = −50 d)
a) ∆ = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 16 − 12 = 4 > 0 → Té 2 solucions.
b) 2x2 − 20x + 50 = 0 → x2 − 10x − 25 = 0 →→ ∆ = (−10)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 100 − 100 = 0 →→ Té 1 solució (doble).
c) x2 − 4x + 5 = 0 → ∆ = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 16 − 20 = −4 < 0 →→ No té solució.
c) Té 2 solucions.
Escriu una equació de segon grau:
a) Amb dues solucions.b) Amb una solució doble.c) Sense solució.
a) x2 + 7x + 12 = 0 → x1 = −3, x2 = −4
b) x2 + 6x + 9 = 0 → x = −3 (doble)
c) x2 − 3x + 5 = 0 → No té solucions reals.
025
2
3
4
50
4
54
2
302
2
x x+ = =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ ⋅→ →∆
23
45
02x x+ =
024
− = ± −3
8
3
8→ →x
=±
=±
=6 2 2
14
3 2
7
3 2
7
+
3 2
7
−
=− − ± − − ⋅
⋅=
± −=
±=
( ) ( )6 6 4 7
2 7
6 36 28
14
6 8
14
2
=± −5 11
2→
− − ± − − ⋅=
± −=
( ) ( )5 5 4 9
2
5 25 36
2
2
=±
=±
=6 36
6
6 6
6
2
0
− − ± − − ⋅ ⋅⋅
=( ) ( )6 6 4 3 0
2 3
2
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 109
110
Resol:
a) x 2 − 9x = 0 f) x 2 + 6x = 0b) x 2 − 7x = 0 g) x 2 + 9x = 0c) 4x 2 − 5x = 0 h) 10x 2 + 11x = 0d) 7x 2 = 6x i) 3x 2 = −4xe) 2x 2 − 32 = 0 j) 3x 2 − 243 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Calcula:
a) 900x 2 = 9 c) −x 2 = 3x − 10b) 5x(2x − 1) = 7x d) (x − 2)(3x + 7) = 0
a)
b) 5x(2x − 1) = 30 → 10x2 − 5x − 30 = 0 →
→ x
=±
=± =
= − = −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
5 1 225
20
5 35
202
30 20 3 21
2
./ /
→ xx
=−− ± − + ⋅ ⋅
⋅=
± +=
( ) ( ) .5 5 4 10 30
2 10
5 25 1 200
20
2
900 91
100
1
1001 10
1 102 2 1
2x x x x
x= = = ± =
= −⎧⎨⎪⎪→ → → /
/⎩⎩⎪⎪
027
3 243 0 81 99
2 2 1
2x x x
x− = = =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →
x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0
3x + 4 = 0 → x2 = −4/33 4 0 3 4 02x x x x+ = + =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯⎯⎯→ x1 = 0
10x + 11 = 0 → x2 = −11/1010 11 0 10 11 02x x x x+ = + =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x + 9 = 0 → x2 = −9x x x x2 9 0 9 0+ = + =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x + 6 = 0 → x2 = −6x x x x2 6 0 6 0+ = + =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x1 = 4
x2 = −42 32 162 2x x= =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →
x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0
7x − 6 = 0 → x2 = 6/77 6 0 7 6 02x x x x− = − =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0
4x − 5 = 0 → x2 = 5/44 5 0 4 5 02x x x x− = − =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 7 = 0 → x2 = 7x x x x2 7 0 7 0− = − =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 9 = 0 → x2 = 9x x x x2 9 0 9 0− = − =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
026
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 110
111
4
c) −x2 = 3x − 10 → −x2 − 3x + 10 = 0 →
d)
Escriu una equació de segon grau amb algun coeficient igual a zero i duessolucions.
La suma de dos nombres és 48. Si un és la meitat de l’altre, quins nombres són?
Anomenem els dos nombres x i 2x.
x + 2x = 48 → 3x = 48 → x = 16 → 2x = 32
Els dos nombres són 16 i 32.
La Maria té 4 tebeos menys que la Sara. Si la Maria li’n dóna dos dels seus, la Sara en tindrà el triple que ella. Quants tebeos té cadascuna?
Tebeos de la Maria: xTebeos de la Sara: x + 4
x + 4 + 2 = 3(x − 2) → x + 4 + 2 = 3x − 6 → x − 3x = −6 − 4 − 2 →→ −2x = −12 → x = 6
La Maria té 6 tebeos i la Sara en té 10.
Quaranta-tres persones assisteixen a una festa. Si marxessin 3 nois, hi hauria eltriple de noies que de nois. Quants nois i noies hi ha?
Nre. de nois: xNre. de noies: 43 − x
43 − x = 3(x − 3) → 43 − x = 3x − 9 → 43 = 4x − 9 → 52 = 4x → x = 13
Substituïm: 43 − 13 = 30.
Hi ha 13 nois i 30 noies.
La suma de dos nombres consecutius senars çes 156. De quins nombres es tracta?
Anomenem els dos nombres x i x + 2 → x + x + 2 = 156 → 2x = 154 → x = 77
Per tant, els dos nombres són 77 i 79.
El producte d’un nombre pel doble d’aquest nombre és 288. Quin nombre és? Hi ha més d’una solució?
Nombre: x
x ⋅ 2x = 288 → 2x2 = 288 → x2 = 144 → x = ±12 Té dues solucions: 12 i −12.
033
032
031
030
029
x x x xx
2 2 1
216 0 16 16 4
4− = = = ± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ → →
028
x − 2 = 0 ⎯→ x1 = 2
3x + 7 = 0 → x2 = −7/3( )( )x x− + =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 3 7 0 →
→ →x xx
=−− ± − + ⋅
−=
±−
=±−
= −=
( ) ( )3 3 4 10
2
3 49
2
3 7
252
1
2 22⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 111
112
L’Albert té el doble d’edat que l’Anna. Si multipliquem les seves edats obtenimel nombre 512. Quina edat té cadascun?
Edat de l’Anna: x Edat de l’Albert: 2x
x ⋅ 2x = 512 → 2x2 = 512 → x2 = 256 → x = ±16
Com que l’edat és un nombre positiu, la solució és única.
L’Anna té 16 anys, i l’Albert 32.
La suma d’un nombre i el seu quadrat és 42. De quin nombre es tracta?
x + x2 = 42 → x2 + x − 42 = 0 →
Hi ha dues solucions:
Per a x = 6 ⎯→ 62 + 6 = 36 + 6 = 42
Per a x = −7 → (−7)2 + (−7) = 49 − 7 = 42
El producte de les edats de la Lluïsa i el seu germà, que té 5 anys menys queella, és 176. Quants anys tenen tots dos?
La segona solució no és vàlida (una edat no pot ser negativa),així que la Lluïsa té 16 anys i el seu germà té 16 − 5 = 11 anys.
Troba dos nombres consecutius que quan els multipliquem obtinguem com aresultat 380 unitats.
Anomenem els dos nombres x i x + 1.
x(x + 1) = 380 → x2 + x − 380 = 0 →
Hi ha dues solucions:
Per a x = 19 ⎯→ Els nombres són 19 i 20.
Per a x = −20 → Els nombres són −20 i −19.
→ →x xx
=− ± + ⋅
=− ±
=− ± =
= −1 1 4 380
2
1 1 521
2
1 39
219
2
21
2
.00
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
037
=± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
5 27
216
111
2→ x
x
x =−− ± − + ⋅
=± +
=±
=( ) ( )5 5 4 176
2
5 25 704
2
5 729
2
2
Edat de la Lluïsa:Edat del seu germà:
xx − 5
⎫⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = − − =x x x x( )5 176 5 176 02→
036
→ →x xx
=− ± + ⋅
⋅=− ±
=− ± =
= −⎧⎨
1 1 4 42
2 1
1 169
2
1 13
26
7
21
2
⎪⎪⎪⎩⎪⎪
035
034
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 112
113
4
Per tancar una finca rectangular de 750 m2 fem servir 110 m de tanca. Calculales dimensions de la tanca.
Els costats mesuren x i 55 − x.L’àrea serà: A = x(55 − x) = 750.
Per trobar la mesura dels costats hem de resoldre l’equació de segon grau:
x(55 − x) = 750 → 55x − x2 = 750 → x2 + 55x − 750 = 0
x =
ACTIVITATS
Determina si les igualtats algebraiques són identitats o equacions.
a) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8b) 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − xc) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2xd) (x + 2)2 − x 2 − 4x = 4
a) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8 → 2x + 3 = 5x − 5 − 3x + 8 →→ 2x + 3 = 2x + 3 → Identitat
b) 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − x → −x − 7 = 4x + 1 → Equació
c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x → 6 = 2 + 6x → Equació
d) (x + 2)2 − x2 − 4x = 4 → x2 + 4x + 4 − x2 − 4x = 4 → 4 = 4 →→ Identitat
Indica els membres d’aquestes equacions:
a) 2x + 3 = 5b) 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5xc) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2xd) (x + 2) − (x 2 − 2) = 4
a) 2x +3 = 5
1r membre 2n membre
b) 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5x1r membre 2n membre
c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x1r membre 2n membre
d) (x + 2) − (x 2 − 2) = 4
1r membre 2n membre
040●
039●
=− ±−
=− ±−
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
55 25
2
55 5
22530
1
2→ x
x
− ± − ⋅−
=− ± −
−=
55 55 4 750
2
55 3 025 3 000
2
2 . .
038
SOLUCIONARI
55 − x
x
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎫⎪⎬⎪⎭
⎫⎪⎬⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 113
114
Assenyala els termes de les equacions.
a) 5x + 1 = 25 c) 4x + 6 = 76 + 12x + 3 − 2xb) 2x − x − 9 = x + 3x − 5x d) 9(x + 7) − 3(x 2 − 2) = 4
a) 5x + 1 = 25 → Termes: 5x, 1, 25
b) 2x − x − 9 = x + 3x − 5x → Termes: 2x, −x, −9, x, 3x, −5x
c) 4x + 6 = 76 + 12x + 3 − 2x → Termes: 4x, 6, 76, 12x, 3, −2x
d) 9(x + 7) − 3(x2 − 2) = 4 → 9x + 63 − 3x2 + 6 = 4 →→ Termes: 9x, 63, −3x2, 6, 4
Indica el grau de les equacions següents:
a) x4 − 8 + x = 0 b) 2x2 + x = 0 c) 3x2 + 75 = 0 d) −4x2 − 12x5 = x6
a) Grau 4. b) Grau 2. c) Grau 2. d) Grau 6.
Quin d’aquests nombres és la solució de l’equació x (x − 1) = x 2 + x?
La a solució és: c) x = 0, perquè 0(0 − 1) = 0 + 0.
El valor 4 és la solució d’alguna d’aquestes equacions?
a) x 2 − 16 = 0 c) x 2 − 4 = 8 e) x 3 − 124 = 0b) x + 4 = 0 d) x 2 − x + 8 = x + 4 f) x 2 − x + 8 = x + 4 − 8
a) Sí, 16 − 16 = 0. d) No, 16 − 4 + 8 � 4 + 4.
b) No, 4 + 4 � 0. e) No, 64 − 128 � 0.
c) No, 16 − 4 � 8. f) No, 16 − 4 + 8 � 4 + 4 − 8.
Escriu una equació:
a) Amb dues incògnites i termes independents 5 i −3.b) Amb una incògnita i solució 7.c) Amb incògnita z i solució −9.
a) x − 3y + 5 = 2x + y − 3
b) 2x − 5 = 9 → 2x = 14 → x = 7
c) 1 − z = 10 → −z = 10 − 1 = 9 → z = −9
Esbrina quines de les equacions següents tenen com a solució x = 6.
a) 4x = 24 c) e) −x = −6
b) 8x = 12 d) 3x = 32 f)
a) Sí, x = 6. c) No, . e) Sí, x = 6.
b) No, . d) No, . f) No, .x =2
3x =
32
3x =
3
2
x = −4
3
483
x =
− =x43
046●
045●●
044●
a) x = 1 b) x = −1 c) x = 0 d) x = 2 e) x = −3 f) x = −2
043●
042●
041●
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 114
115
4
Escriu dues equacions en cada cas.
a) Que tinguin com a solució x = 3. c) Que tinguin com a solució x = 5.b) Que tinguin com a solució x = −2. d) Que tinguin com a solució x = −1.
a) 2x = 6 i 3x + 6 = 15 c) x − 5 = 0 i 2x = 10
b) 3x = −6 i 9 − 2x = 13 d) x + 1 = 0 i 3x = −3
Resol:
a) 10 − x = 3 e) 4x + 5 = 11b) 9 + x = 2 f) 3x + 7 = 14c) −12 − x = 3 g) −5 + 20x = 95d) 16 + 3x = −12 h) −9 − 11x = 2
a) 10 − x = 3 → 10 − 3 = x → x = 7
b) 9 + x = 2 → 9 + x − 9 = 2 − 9 → x = −7
c) −12 − x = 3 → −12 − x + 12 = 3 + 12 → −x = 15 → x = −15
d) 16 + 3x = −12 → 16 + 3x − 16 = −12 − 16 → 3x = −28 →
e) 4x + 5 = 11 → 4x = 11 − 5 → 4x = 6 →
f) 3x + 7 = 14 → 3x = 14 − 7 → 3x = 7 →
g) −5 + 20x = 95 → 20x = 95 + 5 → = 5
h) −9 − 11x = 2 → −11x = 2 + 9 → = −1
Troba la solució d’aquestes equacions:
a) 4x + 5 = −3x + 12 d) 6x + 40 = 2x + 50 g) 9x + 8 = −7x + 16b) 3x + 7 = 2x + 16 e) −3x − 42 = −2x − 7 h) −5x − 13 = −2x − 4c) 5 + 20x = 7 + 12x f) 3x − 50 = 10 − 2x i) 9x − 8 = 8x − 9
a) 4x + 5 = −3x + 12 → 4x + 3x = 12 − 5 → 7x = 7 → x = 1
b) 3x + 7 = 2x + 16 → 3x − 2x = 16 − 7 → x = 9
c) 5 + 20x = 7 + 12x → 20x − 12x = 7 − 5 → 8x = 2 →
d) 6x + 40 = 2x + 50 → 6x − 2x = 50 − 40 → 4x = 10 →
e) −3x − 42 = −2x − 7 → −3x + 2x = −7 + 42 → −x = 35 → x = −35
f) 3x − 50 = 10 − 2x → 3x + 2x = 10 + 50 → 5x = 60 → x = 12
g) 9x + 8 = −7x + 16 → 9x + 7x = 16 − 8 → 16x = 8 →
h) −5x − 13 = −2x − 4 → −5x + 2x = −4 + 13 → −3x = 9
i) 9x − 8 = 8x − 9 → 9x − 8x = −9 + 8 → x = −1
→ x =−= −
9
33
x =1
2
x = =10
4
5
2
x =1
4
049●
x =−11
11
x =200
20
x =7
3
x =3
2
x = −28
3
048●
047●
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 115
116
Corregeix els errors en la resolució de l’equació.
En el tercer pas, quan s’aïlla la x, el 5 ha de passar dividint amb el mateix
signe amb què multiplica la x, que, en aquest cas, és positiu,
Resol:
a) 6(x + 11) = 40 + 6(x + 2) d) 120 = 2x − (15 − 7x)
b) 2(x − 17) = x − 3(12 − 2x) e) 5(x + 4) = 7(x − 2)
c) x − 5(x − 2) = 6 f) 3(x + 7) − 6 = 2(x + 8)
a) 6(x + 11) = 40 + 6(x + 2) → 6x + 66 = 40 + 6x + 12 →→ 6x + 66 = 6x + 52 → 6x − 6x = 52 − 66 →→ 0x = 14 → No té solució
b) 2(x − 17) = x − 3(12 − 2x) → 2x − 34 = x − 36 + 6x →→ 2x − 34 = 7x − 36 → 2x − 7x = −36 + 34 → −5x = −2 →
c) x − 5(x − 2) = 6 → x − 5x + 10 = 6 → −4x = −4 → x = 1
d) 120 = 2x − (15 − 7x) → 120 = 2x − 15 + 7x → 120 + 15 = 9x →
→ = 15
e) 5(x + 4) = 7(x − 2) → 5x + 20 = 7x − 14 → 5x − 7x = −14 − 20 →→ −2x = −34 → x = 17
f) 3(x + 7) − 6 = 2(x + 8) → 3x + 21 − 6 = 2x + 16 →→ 3x + 15 = 2x + 16 → 3x − 2x = 16 − 15 → x = 1
x =135
9
x =2
5
052●
051
x = =10
52.
050●●
Equacions de primer i segon grau
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM UNA EQUACIÓ AMB PARÈNTESIS?
Resol 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2.
PRIMER. Eliminem els parèntesis. Hem de tenir en compte que si hi ha un signemenys davant d’un parèntesi hem de canviar tots els signes de l’interior.
3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 23 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3x + 2 ⋅ 1 = 212 − 6x − 6x + 2 = 2
SEGON. Agrupem els termes amb x en un membre i els nombres a l’altre.
12 − 6x − 6x + 2 = 2 → 12 + 2 − 2 = 6x + 6x
TERCER. Reduïm els termes semblants.
12 + 2 − 2 = 6x + 6x → 12 = 12x
CUART. Aïllem la x.
12 = 12x → x = = 112
12
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 116
117
4
Resol aquestes equacions:
a) c) e)
b) d) f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Escriu una equació:
a) Que tingui un parèntesi i solució −1.b) Que tingui denominador i solució 3.c) Que tingui dos parèntesis i solució 4.
a) b) c) 3(x − 1) − 6(5 − x) = 3
Resol:
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
→ →15 13 452
15x x= ⋅ =
3
41 12 3
3
43 12 1
3 12
413
xx
xx x− = − + = +
+=→ → →
3
220 25
3
225 20
1
25 2 5 10
xx
xx x x+ = + − = − = = ⋅ =→ → →
3 15
67 3 15 42 3 57
57
319
xx x x
+= − + = − = − =
−= −→ → →
xx x
−= − = = + =
2
51 2 5 5 2 7→ →
34
1 12 3x
x− = −3 156
7x + = −
32
20 25x
x+ = +x − =25
1
055●●
x −= −
5
21
3 3
26
( )x −= −
054●●
−= − − = − =
3
225 3 50
50
3
xx x→ →
9
35 9 15
15
9
5
3
xx x= − = − =
−= −→ →
7
428 7 28 4
112
716
xx x= = ⋅ = =→ →
−= − = =
−= −
2
34 2 12
12
26
xx x→ →
3
621 3 21 6 3 126
126
342
xx x x= − = − ⋅ = − = − = −→ → →
4
203 4 3 20 4 60 15
xx x x= = ⋅ = =→ → →
− = −32
25x7
428
x =36
21x = −
93
5x = −− =2
34
x420
3x =
053●
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 117
118
Calcula el valor de x.
a) d)
b) e)
c) f)
a)
b) 5x − 46 → x + 2 = 15x − 138 → x − 15x = −138 − 2 →→ −14x = −140 → x = 10
c) 10x − 2(x + 4) = 10 + 5x →
→ 10x − 2x − 8 = 10 + 5x → 8x − 8 = 10 + 5x →→ 8x − 5x = 10 + 8 → 3x = 18 → x = 6
d)
→ 3(x + 8) − (x − 4) = 12 → 3x + 24 − x + 4 = 12 →
→ 2x + 28 = 12 → 2x = 12 − 28 → = −8
e)
→ 10 ⋅ 3 →
→ 2(x − 5) + 5(8 − x) + 5(2x − 10) = 30 →→ 2x − 10 + 40 − 5x + 10x − 50 = 30 →
→ 7x − 20 = 30 → 7x = 50 →
f)
→
→ 6(x − 10) − 3(x − 20) − 4(x − 30) = 60 →→ 6x − 60 − 3x + 60 − 4x + 120 = 60 →→ −x + 120 = 60 → −x = 60 − 120 = −60 → x = 60
1210
212
20
412
30
312 5⋅
−− ⋅
−− ⋅
−= ⋅
( ) ( ) ( )x x x →
x x x−−
−−
−=
10
2
20
4
30
35 →
x =50
7
105
510
8
210
2 10
2⋅−
+ ⋅−
+ ⋅−
=( ) ( ) ( )x x x
x x x−+
−+
−=
5
5
8
2
2 10
23 →
x =−16
2
x x x x+−
−= ⋅
+− ⋅
−= ⋅
8
2
4
62 6
8
26
4
66 2→ →( ) ( )
m.c.m. (2, 6) = 6
F
xx x
−+
= +4
51
2→
m.c.m. (5, 2) = 10
F
x +=
2
3
→ →8
302
2 30
8
15
2x x= =
⋅=
3
57
2
69
3
5
2
69 7
3 6 2 5
30
x x x x+ = + − = −
⋅ − ⋅⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟→ → ⎟⎟ =x 2 →
x x x− − − − − =102
204
303
5xx x− + = +4
51
2
x x x− + − + − =55
82
2 102
3x
x+ = −23
5 46
x x+ − − =82
46
235
726
9x x+ = +
056●
Equacions de primer i segon grau
m.c.m. (5, 6) = 30
F
F m.c.m. (5, 2) = 10
F m.c.m. (2, 4, 3) = 12
831106 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 13:15 Página 118
119
4
Troba la solució d’aquestes equacions:
a) d)
b) e)
c)
a)
→ 4(2x − 10) − 9(x − 12) = −12 → 8x − 40 − 9x + 108 = −12 →→ −x + 68 = −12 → −x = −12 − 68 = −80 → x = 80
b) = 15 − 20(x + 2) →
→ −3x − 3 = 15 − 20x − 40 → −3x + 20x = −25 + 3 →
→ 17x = −22 →
c)
→
→ 4(2x − 5) + 5(x + 1) = 20(20 − x) → 8x − 20 + 5x + 5 = 400 − 20x →
→ 13x + 20x = 400 + 15 → 33x = 415 →
d)
→ 2(3 − x) − 14x = 3 + 2(x − 1) →→ 6 − 2x − 14x = 3 + 2x − 2 → 6 − 16x = 1 + 2x →
→ −16x − 2x = 1 − 6 → −18x = −5 →
e)
→
→ 6(4x − 6) + 120x = 1.260 − 15(x + 1) →→ 24x − 36 + 120x = 1.260 − 15x − 15 →
→ 144x + 15x = 1.245 + 36 → 159x = 1.281 → x = =1 281
159
427
53
.
(: 3)
F
604 6
1060 2 60 21 60
3 1
12⋅
−+ ⋅ = ⋅ − ⋅
+xx
x( ) →
4 6
102 21
3 1
12
xx
x−+ = −
+( ) →
m.c.m. (10, 12) = 60
F
x =5
18
3
7
3 2 1
1414
3
714 14
3 2 1
14
−− =
+ −⋅
−− = ⋅
+ −xx
x xx
x( ) ( )→ →→
x =415
33
202 5
520
1
420 20⋅
−+ ⋅
+= −
( ) ( )( )
x xx →
2 5
5
1
420
x xx
−+
+= − →
m.c.m. (5, 4) = 20
F
x = −22
17
− −= − + ⋅
− −3 3
53 4 2 5
3 3
5
xx
x( ) →
2 10
3
3 12
41 12
2 10
312
3 12
4
x x x x−−
−= − ⋅
−− ⋅
−=
( ) ( ) ( )→ −−12 →
m.c.m. (3, 4) = 12
F
2 55
14
20x x
x− + + = −
4 610
2 213 1
12x
xx− + = − +( )− − = − +3 3
53 4 2
xx( )
37
3 2 114
− − = + −xx
x( )2 103
3 124
1x x− − − = −( )
057●
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 119
120
Està ben resolta aquesta equació? Esbrina-ho comprovant-ne la solució.Corregeix els errors que s’han comès.
1r Calculem el m.c.m. m.c.m. (7, 4) = 282n Multipliquem per 28. 4(4x − 2) = 2x − 7(x − 1)3r Eliminem els parèntesis. 16x − 2 = 2x − 7x − 74t Transposem els termes. 16x − 2x + 7x = −7 + 25è Reduïm els termes. 15x = −5
6è Aïllem la x. x = = −3
2n No s’ha multiplicat 2x per 2:4(4x − 2) = 56x − 7(x − 1)
3r La propietat distributiva està mal aplicada:16x − 8 = 56x − 7x + 7
4t 14x − 56x + 7x = 7 + 8
5è S’ha sumat malament:−35x = 15
6è S’ha aïllat malament la x:
x =
Resol:
a)
b)
c)
a) 3(x + 5) = (x + 1)(x − 3) → 3x + 15 = x2 − 2x − 3 → x2 − 5x − 18 = 0
b) x − 2x − 12(x − 1) = 15(x − 2) → x − 2x − 12x + 12 = 15x − 30 →
→ −28x = −42 → x =
c) 2(2x − 3(x − 5)) = x − 3 → 4x − 6x + 30 = x − 3 → −3x = −33 →→ x = 11
3
2
xx
x
=± +
=±
=+
=−
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪5 25 72
2
5 97
2
5 97
2
5 97
2
1
2
→⎪⎪⎪⎪⎪⎪
2 3 52
34
x x x− − = −( )
x x x x6 3
4 12
5 22
− − − = −( ) ( )
2 52
1 33
( ) ( )( )x x x+ = + −059●●
− = −15
35
3
7
155−
4 27
21
4x
xx− = − −
058●●
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 120
121
4
Resol les equacions de segon grau aplicant la fórmula general.
a) x 2 − 5x + 6 = 0 e) x 2 − 2x + 1 = 0b) 2x 2 − 4x + 13 = 0 f) 7x 2 − 3x + 1 = 0c) x 2 + 8x + 16 = 0 g) −x 2 − 4x + 5 = 0d) 3x 2 + 2x − 16 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Esbrina, sense resoldre-les, el nombre de solucions d’aquestes equacions:
a) x 2 + 5x + 6 = 0 e) x 2 + 8x + 16 = 0b) −2x 2 − 6x + 8 = 0 f) 2x 2 − 4x + 13 = 0c) x 2 − 8x + 16 = 0 g) 7x 2 − 3x + 1 = 0d) −x 2 + x + 1 = 0
a) ∆ = 25 − 24 = 1 > 0: 2 solucions.
b) ∆ = 36 + 64 = 100 > 0: 2 solucions.
c) ∆ = 64 − 64 = 0: 1 solució.
d) ∆ = 1 + 4 = 5 > 0: 2 solucions.
e) ∆ = 64 − 64 = 0: 1 solució.
f) ∆ = 16 − 104 = −88 < 0: no té solució.
g) ∆ = 9 − 28 = −19 < 0: no té solució.
061●
xx
x
=± +−
=− ±
=− +
=
=− −
= −
⎧
⎨
⎪4 16 36
2
4 36
2
4 6
21
4 6
25
1
2
→⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
x =± −
=± −3 9 28
14
3 19
14→ No té solució
x =± −
=±
=2 4 4
2
2 0
21 doble( )
xx
x
=− ± +
=− ±
=− +
=
=− −
= −
2 4 192
6
2 196
6
2 14
62
2 14
6
8
1
2
→
33
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
x =− ± −
=− ±
= −8 64 64
2
8 0
24 doble( )
x =± −
=± −4 16 104
4
4 88
4→ No té solució
xx
x
=± −
=±
=+
=
=−
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪5 25 24
2
5 1
2
5 1
23
5 1
22
1
2
→⎪⎪⎪⎪⎪
060●
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 121
122
Determina el nombre de solucions de les equacions següents:
a) x 2 − 1 = 0 e) x 2 − x − 2 = 0b) x 2 + 2x = 0 f) x 2 = 7x − 12c) x 2 − 4x + 4 = 0 g) 2x 2 − 4 + 3x = x 2 + 2 + 2xd) x 2 + 8x + 16 = 0
a) x2 − 1 = 0 → x2 = 1 → x = ±1
b) x2 + 2x = 0 → x(x + 2) = 0 →
c) x2 − 4x + 4 = 0 →
d) x2 + 8x + 16 = 0 →
e) x2 − x − 2 = 0 → x
f) x 2 = 7x − 12 → x2 − 7x + 12 = 0 →
→
g) 2x2 − 4 + 3x = x2 + 2 + 2x → 2x2 − x2 + 3x − 2x − 4 − 2 = 0 →
→ x2 + x − 6 = 0 →
Resol aquestes equacions de segon grau incompletes:
a) x 2 − 8 = 0 e) −8x 2 − 24x = 0b) 2x 2 + 50 = 0 f) −x2 − x = 0c) 3x 2 + 75x = 0 g) x 2 − 1 = 0d) x 2 − 16 = 0 h) 4x 2 − 2x = 0
a)
b) x2 = −25 ⎯→ No té solució
c) 3x(x + 25) ⎯→ x1 = 0, x2 = −25
d) x = ±4
e) −8x(x + 3) → x1 = 0, x2 = −3
f) −x(x + 1) ⎯→ x1 = 0, x2 = −1
g) x = ±1
h) 2x(x − 1) ⎯→ x1 = 0, x2 = 1
x = ± 8
063●
x xx
=− ± + ⋅
=− ± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 1 4 6
2
1 5
22
31
2→
x xx
=−− ± − − ⋅
=± −
=± =
=⎧( ) ( )7 7 4 12
2
7 49 48
2
7 1
243
21
2→ ⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪
=±
=+
=
=−
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
1 3
2
1 3
22
1 3
21
1
2
→x
x
=−− ± − + ⋅
=± +
=( ) ( )1 1 4 2
2
1 1 8
2
2
x =− ± − ⋅
=− ± −
= −8 8 4 16
2
8 64 64
24
2
x =−− ± − − ⋅
=± −
=( ) ( )4 4 4 4
2
4 16 16
22
2
x1 = 0
x + 2 = 0 → x2 = −2
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
062●
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 122
123
4
Resol les equacions amb el mètode més adequat.
a) 7x 2 = 63
b) x 2 − 24 = 120
c) x 2 − 25 = 0d) x 2 = 10.000
e) x 2 − 3 = 22
f) 5x 2 − 720 = 0
g) x 2 + 1 =
h) x 2 − 36 = 100
i) 2x 2 − 72 = 0j) 5x 2 − 3 = 42
k) 9x 2 − 36 = 5x 2
l) 2x 2 + 7x − 15 = 0
a) 7x2 = 63 → x2 = 9 → x = ±3
b) x2 − 24 = 120 → x2 = 120 + 24 = 144 →→ x = ±12
c) x2 − 25 = 0 → x2 = 25 → x = ±5
d) x2 = 10.000 → x = ±100
e) x2 − 3 = 22 → x2 = 25 → x = ±5
f) 5x2 − 720 = 0 → 5x2 = 720 →→ x2 = 144 → x = ±12
g) x2 + 1 =
h) x2 − 36 = 100 → x2 = 100 + 36 = 136 →
→ x =
i) 2x2 − 72 = 0 → 2x2 = 72 → x2 = 36 → x = ±6
j) 5x2 − 3 = 42 → 5x2 = 45 → x2 = 9 → x = ±3
k) 9x2 − 36 = 5x2 → 9x2 − 5x2 = 36 → 4x2 = 36 →→ x2 = 9 → x = ±3
l) 2x2 + 7x − 15 = 0 →
=− ±
= =
= − = −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
7 13
4
6
4
3
220
45
1
2
→x
x
x =− ± +
=7 49 120
4
± 136
→ x = ±1
2
5
4
5
41
1
42→ →x = − =
54
064●
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 123
124
Resol:
a) x 2 − 7x = 0
b) x2 + 3x = 0
c) x 2 − 25x = 0
d) x 2 − 10x = 0
e) 16x(x − 5) = 0
f) 3x 2 − 12x = 0
g) 3x = 4x 2 − 2x
h) 4x 2 = 5x
i) 25x 2 − 100x = 0
j) 6x 2 − 6x = 12x
a) x2 − 7x = 0 → x(x − 7) = 0 →
b) x2 + 3x = 0 → x(x + 3) = 0 →
c) x2 − 25x = 0 → x(x − 25) = 0 →
d) x2 − 10x = 0 → x(x − 10) = 0 →
e) 16x(x − 5) = 0 →
f) 3x2 − 12x = 0 → 3x(x − 4) = 0 →
g) 3x = 4x2 − 2x → 4x2 − 2x − 3x = 0 → 4x2 − 5x = 0 →
→ x(4x − 5) = 0 →
h) 4x2 = 5x → 4x2 − 5x = 0 → x(4x − 5) = 0 →
→
i) 25x2 − 100x = 0 → 25x(x − 4) = 0 →
j) 6x2 − 6x = 12x → 6x2 − 18x = 0 → 6x(x − 3) = 0 →
→6x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 3 = 0 → x2 = 3
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
25x = 0 ⎯→ x1 = 0
x − 4 = 0 → x2 = 4
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x x
x x
= =
− = =
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
0 0
4 5 05
4
1
2
⎯⎯⎯→
→
x x
x x
= =
− = =
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
0 0
4 5 05
4
1
2
⎯⎯⎯→
→
3x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 4 = 0 → x2 = 4
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
16x = 0 ⎯→ x1 = 0
x − 5 = 0 → x2 = 5
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0
x − 10 = 0 → x2 = 10
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0
x − 25 = 0 → x2 = 25
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x + 3 = 0 → x2 = −3
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 7 = 0 → x2 = 7
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
065●
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 124
125
4
Calcula sense aplicar la fórmula general.
a) (x + 2)(x1 − 2) = 0
b) (x − 3)(x2 + 3) = 0
c) (x + 3)(2x − 5)
d) (x − 5)2 = 0
e) (x − 2)2 + x = x
f)
a)
b)
c)
d) x − 5 = 0 → x = 5 (doble)
e) (x − 2)2 = 0 → x − 2 = 0 → x = 2 (doble)
f)(doble)
x x
x x
= =
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
0 0
3
4
4
50
3
4
4
50
12
⎯⎯⎯⎯⎯→
→ → xx216
15=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
x x
x x
xx
+ = = −
− = =
− =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪3 0 3
2 5 05
2
52
10
1
2
3
⎯→
→
⎯⎯⎯→
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x xx x
+ = = −− = =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
3 0 33 0 3
1
2
→→
x xx x
+ = = −− = =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 0 22 0 2
1
2
→→
xx3
445
02
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
52
0−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =x
067●●
066
SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM LES EQUACIONS EN QUÈ UN PRODUCTE ÉS IGUAL A ZERO?
Resol l’equació (x − 1)(x + 2) = 0.
Perquè un producte de diversos factors valgui zero, almenys un dels factors ha deser zero.
PRIMER. Igualem a zero cadascun dels factors.
(x − 1)(x + 2) = 0 →
SEGON. Resolem les equacions que hem obtingut.
(x − 1)(x + 2) = 0 →
L’equació té dues solucions: x1 = 1 i x 2 = −2.
x xx x
− = =+ = = −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 0 12 0 2
→→
xx
− =+ =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 02 0
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 125
126
Resol les equacions següents:
a) (x + 1)(x − 3) + 3 = 0 e) (2x + 3)(2x − 3) = 135b) (x + 9)(x − 9) = 3(x − 27) f)c) x(3x − 2) = 65
d) 4x − (x 2 − 4) = 2x − 4 g)
a) (x + 1)(x − 3) + 3 = 0 → x2 + x − 3x − 3 + 3 = 0 → x2 − 2x = 0 →
→ x(x − 2) = 0 →
b) (x + 9)(x − 9) = 3(x − 27) → x2 − 81 = 3x − 81 → x2 − 3x = 0 →
→ x(x − 3) = 0 →
c) x(3x − 2) = 65 → 3x2 − 2x − 65 = 0 →
d) 4x − (x 2 − 4) = 2x − 4 → 4x − x2 + 4 − 2x + 4 = 0 →
→ −x2 + 2x + 8 = 0 →
e) (2x + 3)(2x − 3) = 135 → 4x2 − 9 = 135 → 4x2 = 144 →→ x2 = 36 → x = ±6
f)
g)
=± −
=+ =
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
7 49 13
2
7 36
2
13
21
2
1
2
→x
x
x x x22
713
40
7 7 4 13 4
2− + = =
−− ± − − ⋅=→ ( ) ( ) /
→x
x
1
2
23 4 41 4
2
64 4
2
64
88
23 4 41 4
2
=+
= = =
=−
( )
( )
/ / /
/ /== − = −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
18 4
2
9
4
/
=± +
=±23 4 529 1 152 16
2
23 4 41 4
2
/ / / /( . ) →
→ x =−− ± − + ⋅
=± +( ) ( ) ( )23 4 23 4 4 18
2
23 4 529 16 722/ / / /
22=
x x x x2 223
418
23
418 0− = − − =→ →
=− ±−
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 6
22
41
2→ x
x
x =− ± + ⋅
⋅ −=− ± +
−=
2 2 4 8
2 1
2 4 32
2
2
( )
→ →x xx
=± +
=± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 4 780
6
2 28
65
131
2
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 3 = 0 → x2 = 3
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 2 = 0 → x2 = 2
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x x2 7134
0− + =
x x2 234
18− =
068●●
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 126
127
4
Escriu una equació de segon grau que tingui tots els coeficients diferents dezero i una solució doble.
L’equació és x2 + 2x + 1 = 0.
070
x =− ± −
=−
= −2 4 4
2
2
21
069●●
SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM EQUACIONS DE SEGON GRAU AMB PARÈNTESIS I DENOMINADORS?
Resol .
PRIMER. Eliminem els denominadors. Calculem el m.c.m. dels denominadors i himultipliquem els dos memnres de l’equació.
m.c.m. (2, 4) = 4
2(x − 1)2 − (3 − 4x) = (5 + 4x)
SEGON. Traiem els parèntesis.
2(x2 − 2x + 1) − 3 + 4x = 5 + 4x
2x2 − 4x + 2 − 3 + 4x = 5 + 4x
TERCER. Passem tots els termes al primer membre i fem les operacions.
2x2 − 4x + 2 − 3 + 4x − 5 − 4x = 0
2x2 − 4x − 6 = 0
QUART. Simplifiquem l’equació, si podem, i la resolem.
2x2 − 4x − 6 = 0 x2 − 2x − 3 = 0
CINQUÈ. Comprovem les solucions
( ) ( ) ( )− −−
− −=
+ −− =
1 1
2
3 4 1
4
5 4 1
42
7
4
1
4
2
→x = −1⎯⎯⎯→
( )3 1
2
3 4 3
4
5 4 3
42
9
4
17
4
2−−
− ⋅=
+ ⋅+ =→
x = 3⎯⎯⎯→
x xx
=± +
=± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 4 12
2
2 4
23
11
2→
Dividim entre 2F
41
2
3 4
44
5 4
4
2( )x x x−−
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
( )x x x− − − = +12
3 44
5 44
2
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 127
128
Resol les equacions següents:
a)
b)
c) (2x + 1)2 = −1d) (x − 2) + (2x − 1)(x − 3) = x (3x − 3) − 2xe) (x − 1)(x + 2) = 2 + (x + 3)(x − 4)
f)
a) 2(x − 2)2 + 14x − 5 = 11 → 2x2 − 8x + 8 + 14x − 5 = 11 →→ 2x2 + 6x − 8 = 0 → x2 + 3x − 4 = 0 →
→
b) 12(x − 2)(x + 2) − 10(14x + 35) = 6(52x + 5) →→ 12x2 − 48 − 140x − 350 = 312x + 60 → 12x2 − 452x − 458 = 0 →
→ 6x2 − 226x − 229 = 0
→ Té 2 solucions
c) 4x2 + 4x + 2 = 0 → 2x2 + 2x + 1 = 0 →
→ → No té solució
d) x − 2 + 2x2 − 7x + 3 = 3x2 − 3x − 2x → −x2 − x + 1 = 0 →
→
e) x2 + x − 2 = 2 + x2 − x − 12 → 2x = −8 → x = −4
f)
Troba dos nombres consecutius que sumin 51.
Els dos nombres són x i x + 1 → x + x + 1 = 51 → 2x = 50 → x = 25
Per tant, els nombres són el 25 i el 26.
Calcula un nombre el doble i el triple del qual sumin 10.
El nombre és x → 2x + 3x = 10 → 5x = 10 → x = 2
073●●
072●●
x xx
x x3
4
5
40
03
4
5
40
5
3
1
2+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
=
+ = =−
⎧⎨⎪
→→
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
xx
x
=± +−
=±−
=+−
=−−
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
1 1 4
2
1 5
2
1 5
2
1 5
2
1
2
→⎪⎪⎪⎪⎪
x =− ± −
=− ± −2 4 8
4
2 4
4
x =± +
=±226 51 076 5 496
12
226 56 572
12
. . .
xx
x=− ± +
=− ±
=− +
=
=− −
= −
⎧
⎨
⎪⎪3 9 16
2
3 25
2
3 5
21
3 5
24
1
2
→⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
34
45
02x x+ =
( )( )x x x x− + − + = +2 25
14 356
52 510
( )x x− + − =23
14 56
116
2
071●●●
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 128
129
4
Calcula un nombre que, quan hi sumis 4, resulti el doble del nombre menys unaunitat.
El nombre és x → x + 4 = 2(x − 1) → −x = −6 → x = 6
Troba dos nombres consecutius si saps que la diferència dels seus quadrats és 567.
Els dos nombres són x i x + 1. (x + 1)2 − x2 = 567 → x2 + 2x + 1 − x2 = 567 → 2x = 566 → x = 283
Els nombres són 283 i 284.
El preu d’un anell i el seu estoig és de 10.200 € i l’anell val 10.000 € més quel’estoig. Quin és el preu de cada article?
Estoig: x. Anell: x + 10.000 → x + x + 10.000 = 10.200 → 2x = 200 →→ x = 100. L’estoig val 100 €, i l’anell 10.100 €.
Una bodega va exportar al gener la meitat dels seus barrils i, al cap de dosmesos, un terç dels que li quedaven. Quants barrils tenia al començament si arahi ha 40.000 barrils?
Barrils: x. Al gener exporta: , i durant els dos mesos següents, .
→ x = 120.000 barrils
078
xx
xx x x
− − −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
2
1
3 240 000
2 640 000. .→ → xx
340 000= . →
1
3 2x
x−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
x
2
077●●
076●●
075●●
074●●
SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM ELS PROBLEMES D’EDATS AMB EQUACIONS?
El gos de l’Àlex té 12 anys menys que ell. D’aquí a 4 anys, l’Àlex tindrà el triplede l’edat del seu gos. Quines edats tenen tots dos?
PRIMER. Plantejament.
D’aquí a 4 anys, l’edat de l’Àlex serà el triple que la del gos: x + 4 = 3(x − 8).
SEGON. Resolució.
x + 4 = 3(x − 8) → x + 4 = 3x − 24 → 28 = 2x → x = 14
TERCER. Comprovació.
L’Àlex té 14 anys, i el seu gos 14 − 12 = 2 anys.
En 4 anys, ell en tindrà 18, i el gos 6; 18 = 6 ⋅ 3.
Edat de l’Àlex Edat del gosActualment x x − 12
D’aquí a 4 anys x + 4 x − 12 + 4 = x − 8
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 129
130
En Miquel té 4 anys més que el seu cosí Ignasi i, d’aquí a 3 anys, entre tots dos sumaran 20 anys. Quants anys té cadascun?
Ignasi: x. Miquel: x + 4 → (x + 3) + (x + 4 + 3) = 20 → 2x = 10 → x = 5Ignasi: 5 anys. Miquel: 9 anys.
Quina edat tinc ara si d’aquí a 12 anys tindré el triple de l’edat que tenia fa 6 anys?
Edat actual: x → x + 12 = 3(x − 6) → −2x = −30 → x = 15 anys
La Llúcia té tres fills. El petit té la meitat d’anys que el mitjà, i aquest té sisanys menys que el gran. Calcula les edats de tots tres, si saps que la suma de les edats que tenen ara és igual que l’edat de la seva cosina Anna, que és 12 anys més gran que el germà petit.
Gran: x Mitjà: x − 6 Petit: Anna:
Gran: 9 anys. Mitjà: 3 anys. Petit: 1 any i mig.
082
x xx x
x x+ − +−
=−
+ = =62
2
2
212 2 18 9→ →
x −+
6
212
x − 6
2
081●●●
080●●
079●●
Equacions de primer i segon grau
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE BARREGES AMB EQUACIONS?
Disposem de dos tipus de te: un de Tailàndia, a 5,20 €/kg, i un altre de l’Índia,a 6,20 €/kg, i volem obtenir 100 kg de te a 6 €/kg. Quants quilos hem de bar-rejar de cada tipus?
PRIMER. Plantejament.
Preu per kg de barreja =
SEGON. Resolució.
5,2x + 620 − 6,2x = 600 → 20 = x
TERCER. Comprovació.
Necessitem 20 kg de te de Tailàndia i 100 − x = 80 kg de te de l’Índia.
El quilo de barreja val: 6 €.5 2 20 6 2 80
100
, ,⋅ + ⋅=
5 2 6 2 100
1006
, ,x x+ −=
( ) →
5 2 6 2 100
1006
, ,x x+ −=
( )
Quilos PreuTe tailandèsTe indiBarreja
x100 − x
100
5,2x6,2(100 − x)
5,2x + 6,2(100 − x)
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 130
131
4
Quants litres de llet de 0,75 €/¬ hem de barrejar amb llet de 0,85 €/¬ peraconseguir-ne 100 litres a 0,77 €/¬?
Llet de 0,75 €: x Llet de 0,85 €: 100 − x
0,75x + 0,85(100 − x) = 100 ⋅ 0,77 → 85 − 0,1x = 77 → x = 80 S’han de barrejar 80 litres a 0,75 €/¬ i 20 litres a 0,85 €/¬.
En una fàbrica de maons barregen argila de 21 € la tona amb argila de 45 €la tona. Quantes tones de cada classe hem de fer servir per aconseguir 500 tones d’argila a 39 € la tona?
Argila a 21 €/t: x. Argila a 45 €/t: 500 − x → 21x + 45(500 − x) = 500 ⋅ 39 → → 22.500 − 24x = 19.500 → x = 120 → 120 t a 21 €/t y 380 t a 45 €/t
En una papereria s’han venut 25 caixes de paper del tipus A i 14 caixes del tipus B per 7.700 €. Quin és el preu de la caixa de cada tipus
si el preu de la del tipus B és la del tipus A?
Tipus A: x Tipus B:
25x + → 110x = 23.000 →
→ x = 210. Caixa del tipus A: 210 €. Caixa del tipus B: 175 €.
086
2535
37 700 75 35 23 100x x x x+ = + =. .→
5
6x
56
085●●
084●●
083●●
SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MOVIMENT AMB EQUACIONS?
Un camió surt d’una ciutat a una velocitat de 80 km/h i, dues hores més tard,surt un cotxe de la mateixa ciutat a 120 km/h. A quina distància de la ciutat elcotxe atraparà el camió?
PRIMER. Plantejament.
x → Temps que ha passatr des que surt el cotxe fins que es troba amb el camió.
La distància recorreguda per tots dos vehicles quan es troben és la mateixa →→ 2 ⋅ 80 + 80x = 120x
SEGON. Resolució: 2 ⋅ 80 + 80x = 120x → 160 = 120x − 80x → x = 4
TERCER. Comprovació.Es troben 4 hores després de la sortida del cotxe, és a dir, al cap de 6 hores del’inici del vaitge del camió.
El camió, en 6 hores, recorre: 6 ⋅ 80 = 480 km.El cotxe, en 4 hores, recorre: 4 ⋅ 120 = 480 km.
Avantatge Moment de la trobadaDistància que recorre el camió
Distància que recorre el cotxe
2 ⋅ 80 2 ⋅ 80 + 80x
120x
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 131
132
L’Ester viatja de Sevilla a Barcelona amb cotxex. Surt a les 8 del matí i va a unavelocitat constant de 90 km/h. A 110 km de Barcelona, en Joan agafa a lamateixa hora un autobús que viatja a 70 km/h en la mateixa direcció que l’Ester.A quina hora es troba l’Ester amb l’autobús? Quina distància ha recorregutcadascun?
El temps que triguen a trobar-se és x. 90x = 110 + 70x → 20x = 110 → x = 5,5 hores.
Per tant, es troben a les 13 h 30 min. La distància que ha recorregut l’Esterés: 5,5 ⋅ 90 = 495 km. La d’en Joan: 495 − 110 = 385 km.
A les 7 del matí, en Tomàs surt de Zamora amb direcció a Cadis, que estan a 660 km de distància, a 75 km/h. A la mateixa hora, la Natàlia surt de Cadis i es dirigeix a Zamora per la mateixa carretera que en Tomàs a una velocitat de 60 km/h. A quina hora es creuaran? I a quina distànciaestaran de Cadis?
Si x és el temps que triguen a trobar-se i tenint en compteque estan a una distància de 660 km: 75x + 60x = 660 → 135x = 660 →→ x = 4,888 hores = 4 h 53 min 20 s. Es creuaran a les 11 h 53 min 20 si estaran a 4,888 ⋅ 60 = 293,333 km de Cadis.
Un terreny rectangular té una superfície de 1.739 m2 i fa 10 m més de llargadaque d’amplada. Calcula’n les dimensions.
Amplada: x. Llargada: x + 10 → x(x + 10) = 1.739 → x2 + 10x − 1.739 = 0
Les dimensions són 37 m d’amplada i 47 m de llargada. L’altra solució no és vàlida perquè és negativa.
Si un camp de futbol fa 30 m més de llargada que d’amplada i la seva àrea ésde 7.000 m2, calcula’n les dimensions.
Amplada: x. Llargada: x + 30 → x(x + 30) = 7.000 → x2 + 30x − 7.000 = 0
Les dimensions del camp són 70 m d’amplada i 100 m de llargada. L’altrasolució no és vàlida perquè és negativa.
→x
x
1
2
30 170
270
30 170
2100
=− +
=
=− −
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x =− ± +
=− ±30 900 28 000
2
30 28 900
2
. . →
090●●
xx
x=− ± +
=− ±
=− +
=10 100 6 956
2
10 7 056
2
10 84
2371
2
. . →==− −
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
10 84
247
089●●
088●●●
087●●●
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 132
133
4
Troba dos nombres que es diferencien en 7 unitats si saps que el seu producte és 60.
Menor: x. Major: x + 7 → x(x + 7) = 60 → x2 + 7x − 60 = 0
Les solucions són 5 i 12 o −12 i −5.
En un triangle rectangle de 24 m de perímetre la longitud del catet és iguala tres quarts de la de l’altre. Troba’n les dimensions..
Catet 1: x
Catet 2:
Hipotenusa:
Catet 1 = 8 m. Catet 2 = 6 m. Hipotenusa = 10 m.
Per enrajolar una sala de 8 m de llargada i 6 m d’amplada s’han fet servir 300 rajoles quadrades. Quant fa el costat de les rajoles?
Costat de la rajola: x
300x2 = 8 ⋅ 6 → x2 = 0,16 → x = 0,4
La rajola fa 40 cm de costat.
La diagonal d’un rectangle fa 10 cm. Troba’n les dimensions si un catet fa 2 cm menys que l’altre.
Major: x Menor: x − 2 Diagonal:
x 2 + (x − 2)2 = 102 → 2x2 − 4x + 4 = 100 → x2 − 2x − 48 = 0
Les dimensions són 8 cm i 10 cm.
L’altra solució no és vàlida perquè és negativa.
xx
x=
± +=
±=
+=
=−
= −
⎧
⎨
⎪⎪2 4 192
2
2 196
2
2 14
28
2 14
26
1
2
→⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
x x2 22+ −( )
094●●
093●●
x x x x x+ + = = =3
4
5
424 3 24 8→ →
x x x2 29
16
5
4+ =
3
4x
092●●●
xx
x=− ± +
=− ±
=− +
=
=− −
= −
7 49 240
2
7 289
2
7 17
25
7 17
2
1
2
→112
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
091●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 133
134
Un cine té el mateix nombre de files que de seients per fila. El propietari decideix remodelar-lo i treure una butaca per fila i tres files.Després de la remodelació, el nombre de seients és 323.
a) Quantes files tenia el cine abans de la remodelació?
b) Quants seients hi ha ara en cada fila?
a) Anomenem x = nre. de files = nre. de butaques/fila
S’eliminen 3 files: x − 3.
S’elimina 1 butaca per fila: x − 1.
(x − 3)(x − 1) = 323 → x2 − 3x − x + 3 = 323 →
→ x2 − 4x − 320 = 0 →
El valor negatiu no té sentit. Per tant, el cine tenia 20 butaques per fila i 20 files.
b) Ara té 20 − 1 = 19 butaques per fila.
Investigarem què passa amb les equacions de segon grau el coeficient de x 2 de les quals val 1, és a dir, les equacions de la forma:
x 2 + bx + c = 0Per fer-ho, seguim aquests passos:
a) Resol les quatre equacions:
b) Quines relacions observes entre les solucions que has obtingut i els coeficients b i c?
c) Troba les solucions de x 2 + bx + c = 0 i després calcula’n la suma i el producte.
d) Aplica les relacions que has trobat i busca dos nombres la suma dels qualssigui 15 i el producte, 56.
096●●●
=± +
=± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
4 16 1 280
2
4 36
220
161
2
. → xx
x =± + ⋅
=4 4 4 320
2
2
095●●●
Equacions de primer i segon grau
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 134
135
4
a) x2 − 7x + 12 = 0 →
x2 − 3x − 10 = 0 →
x2 + 5x + 6 = 0 →
x2 + 2x − 24 = 0 →
b) b = −(x1 + x2), c = x1 ⋅ x2
c)
d) x2 − 15x + 56 = 0 →
Desenvolupa i simplifica l’expressió: A = (x − 1)2 + x 2 + (x + 1)2.
Troba tres nombres enters consecutius la suma dels quadrats dels quals sigui 30.002.
A = (x − 1)2 + x2 + (x − 1)2 → A = x2 − 2x + 1+ x2 + x2 + 2x + 1 →→ A = 3x2 + 2
30.002 = 3x2 + 2 → 30.000 = 3x2 → x2 = 10.000 → x = ±100
Té dues solucions: 99 i 100, 101 i −99, −100 i −101.
097●●●
→ →xx
x
=± −
=±
=+
=
=−
=
⎧
⎨15 225 224
2
15 1
2
15 1
28
15 1
27
1
2
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→x x
b b c b b cb
x xb b c
1 2
2 2
1 2
2
4
2
4
2
4
+ =− + −
+− − −
= −
⋅ =− + −
22
4
2
4
4
2 2 2 2
⋅− − −
=− −
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
b b c b b cc
( )
xb b c
xb b c
1
2
2
2
4
2
4
2
=− + −
=− − −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→
→ →xx
x=
± −=
±=
+=
=−
= −
⎧
⎨
⎪⎪2 4 96
2
2 100
2
2 10
26
2 10
24
1
2
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→ →xx
x
=− ± −
=− ±
=− +
= −
=− −
= −
⎧
⎨5 25 24
2
5 1
2
5 1
22
5 1
23
1
2
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→ →xx
x=
± +=
±=
+=
=−
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪3 9 40
2
3 49
2
3 7
25
3 7
22
1
2⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→ →xx
x
=± −
=±
=+
=
=−
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
7 49 48
2
7 1
2
7 1
24
7 1
23
1
2
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
SOLUCIONARI
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 135
136
Resol l’equació:4x 2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0
sense fer servir la fórmula general. Per fer-ho, factoritza l’expressió del primermembre.
4x2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0→ (2x + 1)(2x − 1) + (2x + 1)(x + 3) = 0 →
→ (2x + 1)[(2x − 1) + (x + 3)] = 0 → (2x + 1)(3x + 2) = 0 →
A LA VIDA QUOTIDIANA
A la Mariam li falten pocs dies per donar a llum. A la seva feina tenen el costum de fer un regal als nounats. En Robert i la Pilar, companys seus, s’han encarregat de recollir els diners.La Mariam és molt popular a l’empresa, gairebé tothom la coneix. Per això la majoria dels seus companys han participat en el regal.Ahir, en Robert i la Pilar van ser en uns grans magatzems i han proposatcomprar el cotxet de nadó, que està d’oferta, pel qual haurien de posar uns 8 € cadascun.
Com que tothom hi estava d’acord, el van anar a comprar, però va resultar quel’oferta s’havia acabat i els faltaven 4 €.
Finalment, en Robert i la Pilar m’han dit que, dels 14 companys, hi ha unapersona que no ha posat els diners per al regal de la Mariam.
Creus que és cert el que diuen?
Persones que participen en el regal:xPreu original:8xPreu nou: 8x + 4 y 9x − 8
8x + 4 = 9x − 8 → x = 12
Per tant, el que han dit en Robert i la Pilar no és cert, ja que han posat diners12 persones, i no 13.
099●●●
x
x
1
2
1
22
3
=−
=−
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
4x2 − 1 = (2x + 1)(2x − 1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
098●●●
Equacions de primer i segon grau
El que podem fer és posar-hi cadascun 9 €
i amb els 8 € que sobrencomprem una samarreta
per al nen.
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 136
137
4
En Marcel·lí és ferrer i s’ha trobat amb força problemes al llarg de la seva trajectòria professional. Molt sovint li fan encàrrecs que són difícilsde portar a terme.A vegades, no només és difícil fer la feina, sinó també interpretar què és el quevol el client.
Per això, quan algú li planteja un problema com aquest, en Marcel·lí l’ha de traduir a les tasques que ell ha de fer a la seva ferreria.
Com haurà de doblegar la barra, en Marcel·lí?
Catet 1 del triangle rectangle: x. Catet 2 del triangle rectangle: 170 − x.
x2 + (170 − x2) = 1302 → x2 + x2 − 340x + 28.900 = 16.900 →→ 2x2 − 340x + 12.000 = 0
x
Haurà de doblegar la barra de manera que les dues parts facin 120 cm i 50 cm.
→x
x
1
2
340 140
4120
340 140
450
=+
=
=−
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
=± −
=±340 115 600 96 000
4
340 19 600
4
. . . →
100●●●
SOLUCIONARI
El que vostè necessita és una barra de ferro que faci 1,70 m.Aquesta barra, l’hem de doblegar
fins que faci un angle recte de manera que la distància entre
els extrems sigui d’1,30 m.
A la terrassa, hi tinc un tros de paret que fa 1,30 m. Vull col·locar,
sobre els extrems de la paret, una barra de ferro que formi un angle
recte per instal·lar-hi un tendal que faci 1,70 de longitud.
831106 _ 0100-0137.qxd 11/9/07 12:55 Página 137
138
Sistemesd’equacions5
EQUACIÓ LINEAL AMB DUES INCÒGNITES
CLASSES DE SISTEMES RESOLUCIÓ GRÀFICA
SISTEMES DE DUES EQUACIONSAMB DUES INCÒGNITES
SUBSTITUCIÓ IGUALACIÓ REDUCCIÓ
MÈTODES DE RESOLUCIÓ
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB SISTEMES DE DUES EQUACIONS
I DUES INCÒGNITES
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:56 Página 138
Una classe improvisada
Estar convidat a la Festa de la Primavera, que cada any se celebrava al palau del maharajà, era un honor reservat només als personatges més influents.
Quan pujava a l’elefant, el savi Brahmagupta i el seu jove ajudant, Serhane,van coincidir a reconèixer que el maharajà era molt generós d’enviar el seu seguici per portar-los al palau.
El jove ajudant es va passar mig camí queixant-se de les disciplines que havia d’estudiar:
–Mestre, per què he d’estudiar àlgebra? No té cap utilitat; si tinc cinc monedes són cinc monedes, no pas cinc incògnites... I que la incògnita pugui ser qualsevol cosa és antinatural.
Brahmagupta va prendre la paraula i durant l’altre meitat del camí que els faltava li va explicar al seu deixeble la utilitat de l’àlgebra:
–En aquest món tot té el seu significat: l’estel al front de l’elefant no és tan sols un estel, sinó que vol dir que pertany al maharajà, i la creu coronada per quatre cercles no és només un dibuix, és el símbol de la ciutat. En matemàtiques, el més senzill és treure-li el significat a les coses, operar amb nombres i, després, interpretar-ne el resultat.
Després d’aquestes paraules, mestre i deixeble es van quedar en silenci durant el quilòmetre que faltava per arribar a palau.
Amb l’ajuda d’una equació, calcula la distància que tots dos van recórrer dalt de l’elefant.
x = distància
➜ 2x + x + 4 = 4x ➜ x = 4
Van recórrer una distància de 4 km.
12
14
1x x x++ ++ ==
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:56 Página 139
140
EXERCICIS
Expressa les equacions següents de la forma ax + by = c, i indica el valor dels seus coeficients:a) y = 2x − 3 b) y = x + 3 c) −3x = 1 − y d) x = 2 − y
Fes una taula de valors per a aquestes equacions.
a) y = 2x − 3 → −2x + y = −3 → a = −2; b = 1; c = −3y = 2x − 3
b) y = x + 3 → −x + y = 3 → a = −1; b = 1; c = 3y = x + 3
c) −3x = 1 − y → −3x + y = 1 → a = −3; b = 1; c = 1y = 3x + 1
d) x = 2 − y → x + y = 2 → a = 1; b = 1; c = 2x = 2 − y → y = 2 − x
Representa en el pla les equacions:
a) 2x + 3 = y b) y + 1 = x
a) 2x + 3 = y
b) y + 1 = x → y = x − 1
002
001
Sistemes d’equacions
x −2 −1 0 1 2y −7 −5 −3 −1 1
x −1 0 1 2 −3y 2 3 4 5 0
x −2 −1 0 1 2y −5 −2 1 4 7
x −1 0 1 2 −3y 3 2 1 0 5
y = 2x + 3
1
1
1
1
y = x − 1
Y
Y
X
X
x y−1 −2
0 −1
1 0
x y−1 1
0 3
1 5
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:56 Página 140
141
5
Escriu dues equacions lineals amb dues incògnites que tinguin com a solucióx = 3, y = −2.
Per exemple:3x + y = 7; y = 1 − x.
Troba la solució de cada sistema a partir de les taules de valors de les equacions que el formen.
a) b)
a) Solucions de x + y = 5:
Solucions de x − y = 3:
El punt (4, 1) és la solució del sistema a).
b) Solucions de 2x + y = 13:
Solucions de x − y = 2:
El punt (5, 3) és la solució del sistema b).
Representa gràficament aquests sistemes i determina’n les solucions.
a) b)
a) x + 2y = 6 →
x − 2y = −2 →
Solució: (2, 2).
b) x + y = 0 → y = −x
x − y = −2 → y = 2 + x
Solució: (−1, 1).
yx
=+ 2
2
yx
=−6
2
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
02
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 62 2
005
2 132
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
004
003
SOLUCIONARI
x 0 1 2 3 4y 5 4 3 2 1
x 0 1 2 3 4y −3 −2 −1 0 1
x 0 1 2 3 4y 13 11 9 7 5
53
x 0 1 2 3 4y −2 −1 0 1 2
53
x 0 2 4 6y 3 2 1 0
x −2 0 2 4y 0 1 2 3
x −2 −1 0 1y 2 1 0 −1
x −2 −1 0 1y 0 1 2 3
1
1
1
−1
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:56 Página 141
142
De quin dels sistemes següents és la solució (8, 4)? I (10, 2)? I (3, 1)?
a)
b)
• Vegem si el punt (8, 4) és solució de a) o b):
a) → → Sí que n’és.
b) → → No n’és.
• Vegem si (10, 2) és solució de a) o b):
a) → → No n’és.
b) → → No n’és.
• Vegem si (3, 1) és solució de a) o b):
a) → → No n’és.
b) → → Sí que n’és.
Escriu una equació lineal amb dues incògnites de manera que una de lessolucions sigui x = 2, y = 3. Escriu un sistema amb aquesta solució.
3x − 2y = 0 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 = 6 − 6 = 0
Resol aquests sistemes i classifica’ls en funció del nombre de solucions:
a) d)
b) e)
c) f) x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 23 2 6
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 32 4 6
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
62 2 12
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
75
2 132
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
008
3 2 2 3 02 3 1
⋅ − ⋅ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪−x = 2, y = 3⎯⎯⎯⎯⎯→3 2 0
1x yx y− =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x = 2, y = 3⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
007
2 3 4 1 6 4 103 3 1 9 1 81⋅ + ⋅ = + =⋅ − = − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 4 103 84
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 1 4 123 1 2 4+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
��
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
124
2 10 4 2 20 8 28 103 10 2 30 2 28 81⋅ + ⋅ = + =⋅ − = − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
��
2 4 103 84
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
10 2 1210 2 8 4+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪�
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
124
2 8 4 4 16 16 32 103 8 4 24 4 20 81 0⋅ + ⋅ = + =⋅ − = − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
��
2 4 103 84
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
8 4 128 4 4+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
124
2 4 103 8x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
124
006
Sistemes d’equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:56 Página 142
143
5
a) x + y = 5 x − y = 3
La solució és (4, 1): sistema compatible determinat.
b) x + y = 7
x − y = 5
La solució és (6, 1): sistema compatible determinat.
c) x + 2y = 3 2x + 4y = 6
Les dues equacions són la mateixa recta: sistema compatible indeterminat.
d) 2x + y = 13
x − y = 2
La solució és (5, 3): sistema compatible determinat.
e) x + y = 6
2x − 2y = 12
La solució és (6, 0): sistema compatible determinat.
f) x − 3y = 2 3x − 2y = 6
Les dues rectes es tallen al punt (2, 0): sistema compatible determinat.
SOLUCIONARI
x 0 1 2 3y 5 4 3 2
41
x 0 1 2 3y −3 −2 −1 0
41
x 0 1 2 3y 7 6 5 4
4 5 63 2 1
x 0 1 2 3y −5 −4 −3 −2
4 5 6−1 0 1
x y1 1
3 0
x y1 1
3 0
x 0 1 2 3y 13 11 9 7
4 55 3
x 0 1 2 3y −2 −1 0 1
4 52 3
x 0 1 2 3y 6 5 4 3
4 5 62 1 0
x 0 1 2 3y −6 −5 −4 −3
4 5 6−2 −1 0
x y2 0−1 −1
x y0 −3
2 0
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:56 Página 143
144
Resol aquests sistemes i classifica’ls:
a) b)
a) b) x − y = 1
3x − 2y = 6 2x − 2y = 1
IncompatibleIncompatible.
Posa un exemple de sistema d’equacions compatible determinat, indeterminat i incompatible.
Compatible determinat:
Compatible indeterminat:
Incompatible:
Resol pel mètode de substitució.
→ y = 5 − x → x − (5 − x) = 3 → x − 5 + x = 3 → 2x = 3 + 5 → x = = 4
y = 5 − x = 5 − 4 = 1
La solució del sistema és x = 4, y = 1.
Resol per substitució i assenyala si és compatible o incompatible.
y = 8 − x = 8 − 8 = 0
La solució del sistema és x = 8, y = 0. És compatible.
→ y = 8 − x→ x − (8 − x) = 8 → x − 8 + x = 8 → 2x = 16 → x = 8
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
88
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
88
012
8
2
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
011
x yx y+ =
− − =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 52 10
x yx y+ =
− − = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 52 5
x yx y+ =
− + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 53 5
010
x y
2 32− =
x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12 2 1
x y
x y2 3
2
3 2 6
− =
− =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
009
Sistemes d’equacions
x 0 2 4 6y −3 0 3 6
x −2 0 2 4y −3 −1 1 3
x −2 0 2 4
y −5
2−
1
2
3
2
7
2
x 0 2 4 6y −6 −3 0 3
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:56 Página 144
Corregeix els errors comesos.
2x−4y = 22 2x−4(1−5x) = 22 → 2x − 4 − 20x = 22 →
→ −18x = 18 → x = = 1
5x − y = 1 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4
→ y = 1 − 5x
S’ha eliminat el signe de la y; hauria de posar: 5x − 1.
2x − 4y = 22 2x − 4(1 − 5x) = 22 → 2x − 4 − 20x = 22
S’ha posat malament el signe; hauria de posar +20x.
−18x = 18
Es passa el 4 restant, i s’hauria de passar sumant; ha de ser: −18x = 26.
x = = 1
S’ha dividit entre 18, i hauria de ser entre −18; ha de ser: .
5x − y = 1 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4
S’ha eliminat el signe de la y; hauria de posar y = −1.
La solució correcta és:
2x − 4y = 22 2x − 4(5x − 1) = 22 → 2x − 20x + 4 = 22 →
→ −18x = 18 →
y = 5x − 1 y = −6
Resol pel mètode d’igualació aquests sistemes d’equacions:
a) b)
a)→ 5 − y = 3 + y → 5 − 3 = 2y → y = 1
x = 5 − y = 5 − 1 = 4
b) →
y = 13 − 2x = 13 − 2 ⋅ 5 = 3
13 2 215 3 5− = −
= =x x
x x→
→ →→→
y xy x
= −= −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
13 22
2 132
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→→
x yx y
= −= +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
2 132
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
014
x = −1⎯⎯→
x = − = −18
181
y = 5x − 1⎯⎯⎯⎯→
5 12 4 22
5 14 2x yx y
y x− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
x = 1⎯⎯→
x = − = −18
181
18
18
y = 1 − 5x⎯⎯⎯⎯→
5 12 4 22
4 2x yx y
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x = 1⎯⎯→
1818
y = 1 − 5x⎯⎯⎯⎯→
5 12 4 22
1 54 2x yx y
y x− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
013
145
5SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:56 Página 145
146
Resol pel mètode d’igualació, i assenyala si són compatibles o incompatibles. Quantes solucions tenen?
a) b)
a)→
Arribem a una igualtat. El sistema té infinites solucions, és compatible indeterminat.
b) Aïllem y de la 1a equació, y = 8 − 2xi a la 2a: y = 12 − 2x, i igualem.
8 − 2x = 12 − 2x → 8 � 12. És un sistema incompatible: no té solució.
Corregeix els errors comesos en la resolució del sistema pel mètode d’igualació.
y − 7 = 1 + → 3(y − 7) = 1 + y → 3y − 21 = 1 + y →
→ 3y − y = 1 + 21 → 2y = 22 → y = = −11
x − y = 7 x − 11 = 7 → x = 7 + 11 = 18
y − 7 = 1 + → 3(y − 7) = 1 + y → Mal eliminat el denominador:→ 3(y − 7) = 3 − y → 3y − 21 = 1 + y →→ 3y − y = 1 + 21→ 2y = 22 →
→ y = → Mal aïllat: .
x − y = 7 x − 11 = 7 → Mal substituït: x + 11 = 7.x = 7 + 11 = 18
La solució correcta és:
→ →
→ 3y + 21 = 1 + y → 3y − y = 1 − 21→ 2y = −20 →
→ y =
x = y + 7 x = −10 + 7 → x = −3y = −10⎯⎯⎯→
−= −
20
210
yy
y y+ =+
+ = +71
33 7 1→ ( )
x y
xy
= +
=+
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
7
1
3
→
→
3 7
3 1
x y
x y
− =
− =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
y = −11⎯⎯⎯→
y = =22
211
22
2−
y
3
→
→
Mal aïllat:
Mal aïllat:
x y
xy
= +
=+
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
7
1
3 ⎭⎭⎪⎪⎪⎪
x y
xy
= −
= +
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
7
13
→
→
3 7
3 1
x y
x y
− =
− =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
y = −11⎯⎯⎯→
222−
y3
x y
xy
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
7
13
→
→
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
x − y = 7
3x − y = 1
016
2 82 12
1x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
55
25
5
25 5− = − =y y →
2 5 10
4 10 20
55
2
5
1x y
x y
x y
x
+ =
+ =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −
=
→
→ −−
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
5
2y
2 82 12
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 5 104 10 20
1x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
015
Sistemes d’equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:56 Página 146
147
5
Resol pel mètode de reducció:
a)
b)
a)Sumem les dues equacions.
I substituïm en una de les equacions:
x + y = 5 4 + y = 5 →→ y = 5 − 4 = 1
b)
Sumem les equacions:
I substituïm en la 1a equació:
x − 5y = 6
Resol pel mètode de reducció aquests sistemes d’equacions i assenyala si són compatibles o incompatibles:
a)
b)
a)
Sistema incompatible: no té solució.
b)
Sistema compatible indeterminat: té infinites solucions.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 2y = 102x − 2y = 10
0 = 10
1a equació ⋅ 2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→restem
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − y = 502x − 2y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 4y = 02x + 4y = 6
0 � 6
1a equació ⋅ 2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→restem
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 2y = 02x + 4y = 6
x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 52 2 10
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 02 4 6
018
→ x = − =−
= −6115
17
102 115
17
13
17
x − −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =5
23
176 →
y = −23
17⎯⎯⎯⎯→
→ y = −23
17
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − 20y = 24−4x + 03y = −1
− 17y = 23
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−4x − 20y = 24−4x + 03y = −1
⋅ 4⎯⎯→⋅ (−1)⎯⎯→
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 5y = 64x − 3y = 1
x = 4⎯⎯→
→ x = 4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + y = 5x − y = 3
2x + y = 8
x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 64 3 1
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
017
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:56 Página 147
148
Corregeix els errors comesos en la resolució del sistema.
2x + y = 0 2 ⋅ (−2) + y = 0 → −4 + y = 0 → y = −4
El producte del terme independent,0 ⋅ 2 és 0.
No s’ha de restar, sinó sumar; a més, està mal restat.
2x + 7 = 0 2(−2) + y = 0 → −4 + y = 0 → y = −4Mal aïllat; hauria de ser y = 4. La solució correcta és:
2x + 7 = 0
Resol pel mètode més adequat:
a) c)
b)
a)
Substituïm a la 1a equació: x + 1 = 5 → x = 4.
b)
y = −6
x = −3 − 5 x = 27
c)
→Substituïm a la 1a equació:x + y = 2 → −12 + y = 2 → y = 14
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 3y = 1−62x + 3y = −18
x + 3y = −12
1a ⋅ 3⎯⎯⎯⎯→restem
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 22 3 18
→→
x yx y x y
+ =+ + − = − −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
24 2 4 18
y = −6⎯⎯⎯→
2 3 5 3
218
( )− − +=
y y →x = −3 − 5y⎯⎯⎯⎯⎯→2 3
218
x y+=
3 3 22 3
218
5 3y x x yx y
x y x+ = − ++
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ = − = −( ) → → 33 5− y
Restem les equacions.
→ y = 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 2y = −5x + 2y = −6
−y = −1
→→
2 3 5 22 3 3 4x y x y
x y y+ = + +
− − = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 3 22 3
218
y x x yx y
+ = − ++
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
x yx y x y
+ =+ + − = − −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
24 2 4 18
2 3 5 22 3 3 4x y x y
x y y+ = + +
− − = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
020
24
70
8
70
8
7
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + =
−+ = =y y y→ →⎯⎯⎯→
x =−4
7
→ x =−4
7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x + 2y = 0+ 3x − 2y = −4
7x − 2y = −4
4 2 23 2 4x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⋅ 2⎯→⎯→
2 03 2 4
2x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x = −2⎯⎯→
4x + 2y = 2− 3x − 2y = −4
x − 2y = −2
4 2 23 2 4x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⋅ 2⎯→⎯→
2 03 2 4
2x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x = −2⎯⎯→
4x + 2y = 2− 3x − 2y = −4
x − 2y = −2
4 2 23 2 4x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⋅ 2⎯→2 03 2 4
2x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
019
Sistemes d’equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 148
149
5
Resol pel mètode més adequat:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2x − y = 4
I restant les equacions: 0 � −1. No té solució, és incompatible.
Escriu un sistema d’equacions que sigui apropiat per resoldre’l mitjançant la substitució i un altre mitjançant la reducció.
Mitjançant substitució:
→ 3x − 8 = y→ 2x + 3(3x − 8) = 31 →→ 2x + 9x − 24 = 31 → 11x = 55 → x = 5
I substituint: y = 3 ⋅ 5 − 8 = 7.
Mitjançant reducció:
Sumem les equacions.
→ x = 1
I substituint: 2 − 1 − 3y = −4 → −3y = −6 → y = 2.
La suma de les edats d’en Ferran i el seu pare és 40 anys. L’edat del pare és 7 vegades la del fill. Quina edat tenen tots dos?
Ferran: x. Pare: y. Aïllant a la 2a equaciói substituint a la 1a:
x + 7x = 40 → x = 5. I substituint: y = 35. Ferran: 5 anys. Pare: 35 anys.
En un examen contesto deu preguntes. Per cada encert em donen 2 punts, i per cada error me’n treuen 1. Si he tret 8 punts, quants encerts tinc?
Encerts: x. Errors: y. Aïllem x de la 1a equació:
x = 10 − y, i substituïm a la 2a: 20 − 2y − y = 8 → y = 4. Substituint: x = 6. Encerts: 6. Errors: 4.
Un hotel té, entre habitacions dobles i individuals, 120 habitacions.Si el nombre de llits és 195, quantes habitacions dobles té? I habitacions individuals?
Dobles: x. Individuals: y. Aïllem x de la 1a: x = 120 − y
Substituïm a la 2a: 240 − 2y + y = 195 → y = 45. Substituint: x = 75. Dobles: 75. Individuals: 45.
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1202 195
025
x yx y+ =
− =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
102 8
024
x yy x
+ ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
407
023
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = −43x + 3y = +9
5x + 3y = +5
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 3y = 812x + 3y = 31
022
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→ →4 2
34 2 3
( )x yx y
−= − =2
32 4
2 4
x yx y
x y
−+ − =
− =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
23
2 4
2 4
x yx y
x y
− + − =
− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
021
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 149
150
Si cada persona es menja 5 pastissos, en sobren 3; però si en mengen 6, en falta 1. Quantes persones i pastissos hi ha?
Anomenem x = nre. de persones i y = nre. de pastissos.
Substituïm a la 2a equació: y = 6 ⋅ 4 − 1 = 23.
Hi ha 4 persones i 23 pastissos.
ACTIVITATS
La solució d’aquestes equacions és x = 1 i y = 2?
a) 3x + 2y = 7 c) 2x − y = 0b) x + 3 = y d) x + 1 = 7
a) 3 + 6 � 7. No ho és. c) 2 − 2 = 0. Sí que ho és.
b) 1 + 3 � 2. No ho és. d) 2 + 1 � 7. No ho és.
Aquesta és la taula de valors de l’equació 2x + 3y = 15.
Dóna diverses solucions de l’equació, i indica un procediment per trobar algunasolució més.
Altres solucions són (9, −1) i (12, −3). El procediment consisteix a aïllar unade les dues incògnites i donar valors a l’altra, i d’aquesta manera s’obtenenels parells de solucions.
Fes una taula de solucions per a aquestes equacions. Pren com a valors de la variable x: −2, −1, 0, 1 y 2.
a) y = x + 5 c) y = 3 − xb) x + y = 4 d) x = 5 + y
a) y = x + 5
b) x + y = 4 → y = 4 − x
c) y = 3 − x
d) x = 5 + y → y = x − 5
029●
028●
027●
5x + 3 = 6x − 1 →−x = −4 → x = 4
→→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x + 3 = y6x − 1 = y
→→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x = y − 36x = y + 1
026
Sistemes d’equacions
x 6 3 0 −3 −6y 1 3 5 7 9
x −2 −1 0 1 2y 3 4 5 6 7
x −2 −1 0 1 2y 6 5 4 3 2
x −2 −1 0 1 2y 5 4 3 2 1
x −2 −1 0 1 2y −7 −6 −5 −4 −3
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 150
151
5
Representa en el pla, per a cada equació de l’activitat anterior, les parelles de nombres que hagis obtingut i comprova que la seva representació és una recta.
a) c)
b) d)
Forma una taula de valors per a cada equació i indica’n algunes solucions.
a) 3x + 2y = 18 d) 2x − 5y = 12b) x − 3y = 20 e) 3x + y = 24c) x − 7 = y f) y = 2x − 1
a)
Solucions: (0, 9), (2, 6)…
b)
Solucions: (−1, −7), (2, −6)...
c)
Solucions: (0, −7), (2, −5)...
d)
Solucions: (−4, −4), (1, −2)...
e)
Solucions: (0, 24), (2, 18)...
f)
Solucions: (0, −1), (2, 3)...
031●
030●
SOLUCIONARI
x 0 2 4 6y 9 6 3 0
x −1 2 5 8y −7 −6 −5 −4
x 0 2 4 6y −7 −5 −3 −1
x −4 1 6 11y −4 −2 0 2
x 0 2 4 6y 24 18 12 6
x 0 2 4 6y −1 3 7 11
Y
X
x + y = 4
y = x + 5
y = 3 − x
x = 5 + y
Y
X
Y
X
Y
X
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 151
152
Forma una taula de valors per a cada equació i indica’n algunes solucions.
Creus que hi ha cap parella de valors de x i y que surti a totes dues taules?
x + y = 5
x − 2y = 2
La parella (4, 1) surt a les dues taules.
Escriu una equació lineal amb dues incògnites, de manera que una de les solucions sigui la parella de valors:
a) x = 3, y = 0 c) x = 2, y = 3b) x = 0, y = −1 d) x = −1, y = −5
a) x − y = 3 c) 2x − y = 1
b) 5x + y = −1 d) 5x − y = 0
Escriu dues equacions lineals amb dues incògnites la solució de les quals sigui x = 3, y = 2. Després, representa totes dues equacions. Què hi observes?
→ x − 1 = 2x − 4 → x = 3
Substituïm a la 1a equació: 3 − y = 1 → 3 − 1 = y → y = 2.
x − y = 1 2x − y = 4
Les dues rectes es tallen al punt (3, 2), que és la solució del sistema.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 1 = y2x − 4 = y
→→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − y = 12x − y = 4
034●●
033●●
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
0 52 2
032●
Sistemes d’equacions
x 0 2 4 6y 5 3 1 −1
x 0 2 4 6y −1 0 1 2
x y01
−10
x y20
0−4
x − y = 1
2x − y = 4
Y
X
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 152
153
5
Indica els coeficients i els termes independents dels sistemes.
a) b) c) d)
a) → a' = 1 b' = 1 c' = 5a' = 1 b' = 2 c' = 6
b) → a' = 1 b' = 3 c' = 5a' = 1 b' = −1 c' = 1
c) → a' = 1 b' = −2 c' = 1a' = 2 b' = 1 c' = 7
d) → a' = 5 b' = −3 c' = 1a' = 4 b' = 1 c' = 11
Quina de les parelles de valors següents és la solució del sistema?
a) (1, 5) c) (2, 3)b) (5, 1) d) (0, 0)
La solució és l’opció b): (5, 1).
Donat el sistema:
esbrina si cap d’aquestes parelles de valors és la solució.
a) x = 2, y = 4 c) x = 1, y = 1
b) x = 4, y = −1 d) x = 0,
a) 6 − 4 = 2 i 4 + 12 � 5. No és solució de la 2a equació.
b) 12 + 1 � 2 i 8 − 3 = 5. No és solució de la 1a equació.
c) 3 − 1 = 2 i 2 + 3 = 5. Sí que és solució del sistema.
d) 0,5 � 2 i −1,5 � 5. No és solució del sistema.
Un sistema té com a solució x = 2, y = −1 i una de les seves equacions és 2x − y = 5. Quina és l’altra?
a) 4x − 2y = 6 c) −x + 2y = 5b) 4x − 2y = 5 d) −x + 2y = −4
L’altra equació és la de l’opció d): −x + 2y = −4.
Escriu una equació lineal amb dues incògnites de manera que una de les solucions sigui x = 1, y = −2. Fes servir l’equació per determinar un sistema d’equacions amb aquesta solució.
Sumem les equacions.
→ x = 1 1 − y = 3 → y = −2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + y = 1x − y = 3
4x − y = 4
039●●
038●●
y = − 12
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = 22x + 3y = 5
037●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 133x − 4y = 11
036●
5 3 14 11
x yx y− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 12 7
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 51
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
52 6
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 114x + 3y = 11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 2y = 12x + 2y = 7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 3y = 5x − 3y = 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 2y = 5x + 2y = 6
035●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 153
154
Troba la solució de cada sistema mitjançant les taules de valors de les equacions que el formen.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) Solucions de x − y = 1: Solucions de 2x − y = 4:
La solució del sistema és x = 3, y = 2.
b) Solucions de x + y = 2: Solucions de 2x − 3y = 9:
La solució del sistema és x = 3, y = −1.
c) Solucions de x − 2y = 1: Solucions de 2x + y = 7:
La solució del sistema és x = 3, y = 1.
d) Solucions de 2x + y = 7: Solucions de x − 3y = 0:
La solució del sistema és x = 3, y = 1.
e) Solucions de 2x + y = 13: Solucions de x − y = 2:
La solució del sistema és x = 5, y = 3.
f) Solucions de −x + 2y = 2: Solucions de 3x − 4y = −2:
La solució del sistema és x = 2, y = 2.
g) Solucions de 5x − 3y = 1: Solucions de 4x + y = 11:
La solució del sistema és x = 2, y = 3.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−x + 2y = −23x − 4y = −2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 2y = 12x + 0y = 7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x + 3y = 163x − 3y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + y = 13x − y = 12
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 3y = 22x − 3y = 9
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 114x + 3y = 11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 7x − 3y = 0
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − y = 12x − y = 4
040●●
Sistemes d’equacions
xy
0−1
10
21
32
xy
0−4
1−2
20
32
xy
02
11
20
3−1
xy
0−3
1−7/3
2−5/3
3−1
xy
0−1/2
10
21/2
31
xy
07
15
23
31
xy
07
15
23
31
xy
00
11/3
22/3
31
xy
013
111
29
37
45
53
xy
0−2
1−1
20
31
42
53
xy
01
13/2
22
xy
01/2
15/4
22
xy
0−1/3
14/3
23
xy
011
17
23
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 154
155
5
h) Solucions de 5x + 3y = 16: Solucions de 3x − 3y = 0:
La solució del sistema és x = 2, y = 2.
Resol gràficament els sistemes d’equacions i indica de quin tipus són:
a) c)
b) d)
a) x + y = 2 2x − y = 1
La solució del sistema és x = 1, y = 1.El sistema és compatible determinat.
b) 2x + y = 2 6x + 3y = 6
Les dues rectes coincideixen.El sistema és compatible indeterminat: té infinites solucions.
c) x + 3y = 5 3x − 4y = 2
Les dues rectes es tallen al punt (2, 1). El sistema és compatible determinat.
d) x + 2y = 4 2x + 4y = 5
Les dues rectes són paral·leles, no es tallen.El sistema és incompatible.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 2y = 42x + 4y = 5
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 26x + 3y = 6
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 3y = 53x − 4y = 2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + y = 22x − y = 1
041●
SOLUCIONARI
xy
016/3
111/3
22
xy
00
11
22
x y01
20
x y01
20
x y25
10
x y0
2/3−1/2
0
x y04
20
x y0
5/25/40
x y02
20
x y01
−11
2x − y = 1
x + y = 2
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
2x + y = 2
6x + 3y = 6
x + 3y = 5
3x − 4y = 2
x + 2y = 4
2x + 4y = 5
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 155
156
Indica quin tipus de sistema d’equacions s’ha representat.
a) c)
b) d)
a) Sistema compatible determinat: una solució.
b) Sistema incompatible: no té solució.
c) Sistema compatible indeterminat: infinites solucions.
d) Sistema incompatible: no té solució.
Resol gràficament aquests sistemes:
a) b)
Què en pots afirmar?
a) x + y = 2 x − y = 2
Solució: (2, 0).
b) 2x + 3y = 4 x − 2y = 2
Solució: (2, 0).
Es pot afirmar que tenen la mateixasolució: x = 2, y = 0. Són sistemes equivalents.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 4x − 2y = 2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + y = 2x − y = 2
043●
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
042●●
Sistemes d’equacions
x y01
21
x y02
−20
x y20
04/3
x y20
0−1
Y
X
Y
X
x + y = 2
x − y = 2
2x + 3y = 4
x − 2y = 2
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 156
157
5
Resol gràficament aquests sistemes i classifica’ls pel nombre de solucions:
a) c)
b) d)
a) 2x − y = −4
−x + 3y = −3
La solució és (−3, −2): sistema compatible determinat.
b) x + 3y = 6
2x + 6y = 12
La solució és tota la recta, té infinites solucions: sistema compatibleindeterminat.
c) 2x − y = 8
4x − 2y = 10
No té solució: sistema incompatible.
d) x − 2y = 0
x + 2y = 0
La solució és (0, 0): sistema compatible determinat.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 2y = 0x + 2y = 0
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 3y = 362x + 6y = 12
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 384x − 2y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = −4−x + 3y = −3
044●
SOLUCIONARI
x −6 −3 0 3y −8 −2 4 10
x −6 −3 0 3y −3 −2 −1 0
x −3 0 3 6y 3 2 1 0
x −3 0 3 6y 3 2 1 0
x −2 0 2 4y −12 −8 −4 0
x −2 0 2 4y −1 0 1 2
x −2 0 2 4y −9 −5 −1 3
x −2 0 2 4y 1 0 −1 −2
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 157
158
Quantes solucions tenen aquests sistemes?
a) b)
a) 4x − 3y = 5
8x − 6y = 10
La solució és tota la recta, té infinites solucions: sistema compatibleindeterminat.
b) 2x + 3y = 5
2x + 3y = 35
No té solució: sistema incompatible.
Esbrina si els sistemes són incompatibles o compatibles i, en aquest cas, si tenen solució única.
a) b)
a) → Les dues equacions
coincideixen i el sistema és compatible indeterminat. Infinites solucions.
b)
→ La igualtat és falsa, per tant,el sistema és incompatible.
Aquests sistemes tenen les mateixes solucions?
a) b)
Sí que tenen les mateixes solucions, perquè si simplifiquem les equacions en el segon sistema obtenim el primer sistema.
3 2 82 3 14
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
: 2⎯⎯→: (−3)⎯⎯→
6 4 166 9 42
x yx y+ =
− + = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6x + 4y = −16−6x + 9y = −42
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 2y = 282x − 3y = 14
047●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6x − 2y = 106x − 2y = 18
0 = 12
⋅ 2⎯→3 56 2 8
2x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4 6 104 6 10
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⋅ 2⎯→2 3 54 6 10
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = 56x − 2y = 8
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 254x + 6y = 10
046●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 252x + 3y = 35
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − 3y = 258x − 6y = 10
045●
Sistemes d’equacions
x 1/2 2 5y −1 1 5
x 1/2 2 5y −1 1 5
x −5 −2 1y 5 3 1
x 1 4 7y 11 9 7
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 158
159
5
Escriu una equació lineal amb dues incògnites que formi un sistema amb l’equació 3x − 2y = 4, i que tingui:
a) Solució única. b) Infinites solucions. c) Cap solució.
a) b) c)
Escriu un sistema d’equacions que tingui com a solució:
a) x = 2, y = 1 b) x = 4, y = −3
a) b)
Sense resoldre aquests sistemes, indica el nombre de solucions que tenen a partir de les seves equacions.
a) c)
b) d)
a) Compatible determinat. c) Incompatible.
b) Incompatible. d) Compatible determinat.
051
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 2y = 1x − 8y = 5
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 4y = 86x + 8y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 10y = 4x + 5y = 4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − y = 5x + y = 1
050●●
x yx y
− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 1012
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
31
049●●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = 49x − 6y = 4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = 49x − 6y = 12
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = 42x + 3y = 1
048●●
FES-HO AIXÍ
COM ACONSEGUIM QUE UNA INCÒGNITA TINGUI COEFICIENTS IGUALS?
Transforma aquest sistema perquè la incògnita x tingui el mateix coeficient atotes dues equacions.
PRIMER. Trobem el m.c.m. dels coeficients de la incògnita a la qual els volem igualar.
m.c.m. (24, 18) = 72
SEGON. Dividim el m.c.m. per cada coeficient i multipliquem l’equació pel resultat.
Primera equació:
3 → 3 ⋅ (24x + 13y = 80) → 72x + 39y = 240
Segona equació:
4 → 4 ⋅ (18x − 7y = 90) → 72x − 28y = 360
El sistema equivalent serà:⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
72x + 39y = 24072x − 28y = 360
m.c.m.
Coeficiente= =
72
18
m.c.m.
Coeficiente= =
72
24
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
24x + 13y = 8018x − 7y = 90
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 159
160
Donat el sistema:
escriu sistemes que en siguin equivalents i que:a) Tinguin coeficients de x iguals.b) Tinguin coeficients de y iguals.c) Tinguin termes independents iguals.
a) Multipliquem la 2a equació per 7:
b) Multipliquem la 1a equació per 4 i la 2a per −2:
c) Multipliquem la 1a equació per 17 i la segona per 4:
Escriu un altre sistema equivalent les equacions del qual no tinguin denominadors.
Multipliquem la 1a equació pel m.c.m. (2, 5) = 10 i la 2a pel m.c.m. (2, 3) = 6:
Completa els sistemes perquè el primer tingui com a solució x = 2, y = −3,i el segon, x = −3, y = 2.
a) b)
Si substituïm les variables per la solució, s’han de verificar les equacions.
a) b)
Completa els sistemes perquè el primer sigui compatible i el segon, incompatible.
a) b)
a) Anirà bé qualsevol valor, sempre que no coincideixi que el terme amb xde la 2a equació sigui −3 i el terme independent de la 1a sigui diferent que −6.
b)o El terme independent de la 2a equació
pot ser qualsevol nombre diferent de 6 en el primer sistema i diferent de 3 en el segon.
2 2 32 2 5
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =+ = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 32 4 7
3 2 82 73
x yx y− =+ = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
�x + 2y = 32x + �y = �
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = ��x + 2y = 6
055●●●
− + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 82 72x y
x y3 5 217 4 2
x yx y− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−2x + �y = 8�x − 2y = −7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 5y = ��x + 4y = 2
054●●●
5 2 504 3 6
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x y
x y2 5
5
23 2
1
+ =
− = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
053●●●
119 34 684 12 68
x yx y− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
21 6 122 6 34
x yx y− =
− − = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7 2 47 21 119
1 11x yx y− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7x − 2y = 04x + 3y = 17
052●●
Sistemes d’equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 160
161
5
Completa aquests sistemes perquè el primer sigui compatible determinati el segon, compatible indeterminat.
a) b)
a) b)
Escriu tres sistemes que tinguin com a solució x = 1, y = 2, de manera que:
a) En el primer, els coeficients siguin 1 o −1.b) En el segon, els coeficients de x siguin el doble o la meitat que els de y.c) En el tercer, els coeficients de x i y siguin fraccions.
a)
b)
c)
Resol pel mètode de substitució.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a)→ y = 1 − x
Substituïm en la 1a equació:3x + 5(1 − x) = 1 → 3x + 5 − 5x = 1 → −2x = −4 → x = 2
Calculem y → y = 1 − x = 1 − 2 = −1.
b)→ 2y = 7 − 3x →
Substituïm en la 1a equació:
7x + 28 − 12x = 23 → −5x = −5 → x = 1
Calculem y → .y x= − = − ⋅ =7
2
3
2
7
2
3
21 2
7 87
2
3
223x x+ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = →
y x= −7
2
3
2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7x + 8y = 233x + 2y = 7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 1x + 5y = 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + y = 12−x − y = −7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 55x + 0y = 4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 207x + 4y = 39
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − 3y = −3x + 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7x + 8y = 233x + 2y = 07
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + y = 102x − y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 014x + 0y = 11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 1x + 5y = 1
058●
x y
x y3 3
1
5
2
51
+ =
+ =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
222 5
2 4x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
31
057●●●
2 5 102 4 6 12
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪,
− − =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 5 12 2 6
x yx y
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + �y = 10�x −�y = 12
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
�x − 5y = �2x + �y = 6
056●●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 161
162
c)→ y = 4 − 5x
Substituïm en la 1a equació:
2x − 3(4 − 5x) = 5 → 2x − 12 + 15x = 5 → 17x = 17 → x = 1
Calculem y:
y = 4 − 5x = 4 − 5 ⋅ 1 = −1
d)→ y = 11 − 4x
Substituïm en la 1a equació:
5x − 3(11 − 4x) = 1 → 5x − 33 + 12x = 1 → 17x = 34 → x = 2
Calculem y:
y = 11 − 4x = 11 − 4 ⋅ 2 = 3
e) → −y = −3 − 4x → y = 3 + 4x
Substituïm en la 1a equació:
x + 3(3 + 4x) = −4 → x + 9 + 12x = −4 → 13x = −13 → x = −1
Calculem y:
y = 3 + 4x = 3 + 4 ⋅ (−1) = −1
f)→ −y = −7 + x → y = 7 − x
Substituïm en la 1a equació:
2x + (7 − x) = 12 → 2x + 7 − x = 12 → 2x − x = 12 − 7 → x = 5
Calculem y:
y = 7 − x = 7 − 5 = 2
g) → y = 10 − 3x
Substituïm en la 2a equació:
2x − (10 − 3x) = 10 → 2x − 10 + 3x = 10 → 5x = 20 → x = 4
Calculem y:
y = 10 − 3x = 10 − 3 ⋅ 4 = −2
h) → 5y = 20 − 3x →
Substituïm en la 2a equació:
Calculem y → .y = − ⋅ = − =43
55 4 3 1
→ →23
539 16
5 23
235x x= − =
⋅=
7 4 43
539 7 16
12
539x x x x+ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + − =→ →
y x= −43
5⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 207x + 4y = 39
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + y = 102x − y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + y = 12−x − y = −7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − y = −3x + 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 14x + 3y = 11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 55x + 3y = 4
Sistemes d’equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 162
163
5
Resol els sistemes d’equacions següents pel mètode d’igualació:
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) → 5y = 1 − 3x → y = 1 − x
Igualem:
Calculem y → y = 1 − x = 1 − 2 = −1.
b)
Igualem:
→ 69 − 49 = −14y + 24y → 20 = 10y → y = 2
Calculem x → .
c) → −3y = 5 − 2x → y = 4 − 5x
Igualem:
Calculem y → y = 4 − 5x = 4 − 5 ⋅ 1 = −1.
d) → 4x + 3 = y→ 3y = −x − 4
Igualem:
Calculem y → y = 4x + 3 = 4 ⋅ (−1) + 3 = −1.
e) → y = 10 − 3x→ 2x − 10 = y
Igualem: 10 − 3x = 2x − 10 → 20 = 5x → x = 4.Calculem y → y = 10 − 3x = 10 − 3 ⋅ 4 = −2.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + y = 102x − y = 10
→ →13
3
13
31
xx= − = −
4 33
4
34
3
4
33x
xx
x+ = − − + = − −→ →
→ yx
= − −3
4
3
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − 3y = −34x + 3y = −4
→ →17
3
17
31x x= =
− + = − + = +5
3
2
34 5
2
35 4
5
3x x x x→ →
→ y x= − +5
3
2
3⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 55x + 3y = 4
x y= − = − ⋅ =−
=7
3
2
3
7
3
2
32
7 4
31
→ →2123
721
7
321
2
321
8
7⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅y y
23
7
8
7
7
3
2
3
23
7
7
3
2
3
8
7− = − − = − +y y y y→ →
→ →3 7 27
3
2
3x y x y= − = −
→ →7 23 823
7
8
7x y x y= − = −⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
7x + 8y = 23
3x + 2y = 7
1
5
3
51
3
51
1
5
2
5
4
52− = − − = − = =x x x x x x→ → → .
→ y x= −1
5
3
5⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 13x + 5y = 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 114x + 3y = 11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 55x + 0y = 4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 207x + 4y = 39
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + y = 102x − y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7x + 8y = 233x + 2y = 07
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x + 3y = 163x − 3y = 00
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − 0y = −30x + 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 1x + 5y = 1
059●
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 163
164
f) → 5x − 1 = 3y→ y = 11 − 4x
Igualem:
17x = 34 → x = 2
Calculem y → y = 11 − 4x = 11 − 4 ⋅ 2 = 3.
g) → 3y = 16 − 5x → 3x = 3y → y = x
Igualem:
→ 16 = 8x → x = 2
Calculem y → y = x = 2.
h)
Igualem:
→ 35x − 12x = 195 − 80 → 23x = 115 → x = 5
Calculem y → .
Resol pel mètode que consideris més adequat:
a) c)
b) d)
a) → →
Restem la 1a equació de la 2a: −4y = −8 → y = 2.
Substituïm a la 2a equació: 3 ⋅ 2 − 2x = 0 → 6 = 2x → x = 3.
b) → →
Sumem les dues equacions: −8y = −16 → y = 2.
Substituïm a la 2a equació: x − 3 ⋅ 2 = −4 → x = −4 + 6 = 2.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−x − 5y = −12x − 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−5y + 10 = x − 2x − 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−5(y − 2) = x − 2x − 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−2x − 3y = −8−2x + 3y = 0
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−2x + 4 = y − 43y − 2x = 0
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−2(x − 2) = y − 43y − 2x = 0
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3(x + 2) − 7(x + y) = 155(x + 1) − y = 14
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= x − 2= −4
−5(y − 2)x − 3y
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3(x + y) − x + 2y = 15−2x − (y + 8) = −11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−2(x − 2) = y − 43y − 2x = 0
060●●
y x= − = − ⋅ = − =43
54
3
55 4 3 1
→ →207
420
3
520
39
420 4⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅x x
43
5
39
4
7
4
7
4
3
5
39
44− = − − = −x x x x→ →
→ →4 39 739
4
7
4y x y x= − = −
→ →5 20 3 43
5y x y x= − = −⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
3x + 5y = 20
7x + 4y = 39
16
3
5
3
16
3
5
3
16
3
8
3− = = + =x x x x x→ → →
→ y x= −16
3
5
3⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x + 3y = 163x − 3y = 0
→ →17
3
34
3x =
5
3
1
311 4
5
34 11
1
3x x x x− = − + = +→ →
→ y x= −5
3
1
3⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 14x + y = 11
Sistemes d’equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 164
165
5
c) → →
Restem les dues equacions:
6y = 18 → y = 3
Substituïm a la 2a equació:
2x − 3 = −3 → 2x = 0 → x = 0
d) →
Aïllem a la 2a equació:
061
564
399
320
399
320 351
39
31
39⋅ − = − = =
−= −y y y→ →
→ x =64
39
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−4x − 7y = 6−1−35x + 7y = −63
−39x = −64
2a ⋅ (−7)⎯⎯⎯⎯→sumem
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−4x − 7y = −1−5x − 7y = 9
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 6 − 7x − 7y = 515x + 5 − y = 14
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3(x + 2) − 7(x + y) = 515(x + 1) − y = 14
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 5y = 152x − 5y = −3
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 3y − x + 2y = 15−2x − y − 8 = −11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3(x + y) − x + 2y = 15−2x − (y + 8) = −11
FES-HO AIXÍ
COM ELIMINEM ELS PARÈNTESIS I ELS DENOMINADORS EN UN SISTEMA?
Resol el sistema:
PRIMER. Eliminem els denominadors.
Calculem el m.c.m. dels denominadors en cada equació i hi multipliquem tots dosmembres.
Primera equació: m.c.m. (2, 4, 2) = 4
4 2x + 3y = 2
Segona equació: m.c.m. (2, 9) = 18
18 = 18 ⋅ (−10) → 9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180
SEGON. Traiem els parèntesis.
9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180 → 54x − 54 − 6y − 6 = −180
TERCER. Passem les incògnites a un membre, i els termes sense incògnita, a l’altre.
54x − 54 − 6y − 6 = −180 → 54x − 6y = −180 + 54 + 6 = −120
Sense parèntesis ni denominadors, el sistema és:
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 29x − y = −20
SimplificantF
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 254x − 6y = −120
3 2 2
2
3 1
9
( ) ( )x y−−
+⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
x y
2
3
44
1
2+
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ = ⋅ →
x
x
y
y2
3 2 22
34
3 19
12
10
+
− −
=
+ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪( ) ( )
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 165
166
Resol pel mètode que consideris més adequat:
a)
b)
a)
→
→ x = 1
Substituïm en la 2a equació:
5 ⋅ 1 + 3y = −1 → 3y = −6 → y = −2
b)
→ −6x = −90 → x = 15
Substituïm en la 1a equació:
Elimina els parèntesis i els denominadors en els sistemes següents:
a) b)
a) Multipliquem la 1a equació per 2 i la 2a per 21:
b) Multipliquem la 1a equació per 10 i la 2a per 6:
→ − − =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪−
10 2 85 14 14
1 11
x yx y
10 1 2 1 5 155 1 7 2 1 12
( ) ( )( ) ( )− − − − =+ + − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
→→ →10 10 2 2 5 155 5 14 7 12− − + − =
+ + − =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
→ x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14 015 14 29
x yx y
x yx
+ =+ − + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =+
015 1 14 2 42
015 15( ) ( )
→−− − = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪14 28 42y
→
3 13
15
12
32
5 1 7 2 16
2
( ) ( )
( ) ( )
− − − − =
+ + − =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪x y
x y⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
x
x
y
y2
5 17
20
2 23
2
+
+ −
=
+ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪( ) ( )
063●●●
15
3 21
21 5 6 12− = − − = − − = − =
y yy→ →
restem⎯⎯⎯→
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
2x − 3y = −6
8x − 3y = 84
x y
x y
x y
3 21
2
3 47
63
62
6
1
− = −
− =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⋅ − ⋅ = −→
222
312
484⋅ − ⋅ =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
x y→
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12x − 6y = 2410x + 6y = −2
22x = 22
2a ⋅ 2⎯⎯⎯→sumem
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12x − 6y = 2415x + 3y = −1
3
3
2
42
3 5 1
123
312
2
42
x y
y x
x y− =
+ = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⋅ − ⋅ = ⋅→ 112
5 3 1x y+ = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
→
x y
x y3 2
1
23 4
7
− = −
− =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
33
24
2
3 5 1
x y
y x
− =
+ = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
062●●
Sistemes d’equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 166
167
5
Resol pel mètode d’igualació aquests sistemes:
a) b) c)
a) Traiem denominadors:
Aïllem y de la 1a equació, , i en la 2a, ,
igualem: . I si substituïm: y = 8.
b) Traiem denominadors:
Aïllem x de la 1a equació, x = 10 − 5y, i en la 2a, ,
igualem: . I si substituïm: .
c) Traiem denominadors: Aïllem y de la 1a equació,
y = x + 3 i en la 2a, y = 4x, igualem: x + 3 = 4x → x = 1, y = 4.
Resol pel mètode de reducció els sistemes següents:
a) c)
b)
a) Traiem denominadors: Les sumem: 4x = 32 →
→ x = 8. Substituïm en la 2a equació: 8 − 2y = −4 → y = 6.
b) Traiem denominadors:
Les restem:−x = 1 , x = −1. Substituïm en la 1a equació:−1 − y = −1 → y = 0.
c) Traiem denominadors:
Multipliquem la 1a equació per −2:
Les sumem: −13y = −13, y = 1. Substituïm en la 1a equació:x + 5 = 10 → x = 5.
− − = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 10 202 3 71
x yx y
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 102 3 7
x yx y
x yx y
− − =− − − = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = −− = −
⎫⎬⎪⎪2 1
2 2 2 61
2 2→
⎭⎭⎪⎪
3 2 362 4
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x
x
y
y2
2 13
22
12
26
1
−
− −
+ =
+ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪( )
x
x
y
y5
2
2
3 7
+
−
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
x
x
y
y2 3
6
2 4
+
−
=
= −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
065●●●
x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
34 0
x =5
710 5
7 3
2
13
7− =
−=y
yy→
xy
=−7 3
2
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 102 3 7
36 3
2
4
28
−=
+=
x xx→
yx
=+ 4
2y
x=
−36 3
2
3 2 362 4
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x
x
y
y5
2
2
3 7
+
−
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
x
x
y
y2
2 13
22
12
26
1
−
− −
+ =
+ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪( )
x
x
y
y2 3
6
2 4
+
−
=
= −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
064●●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 167
168
Resol pel mètode més adequat:
a)
b)
c)
a)Les sumem: 3x = 0 → x = 0.
Substituïm a la 1a equació: y = 0.
b)Multipliquem la 1a equació per 5 i la 2a per −2:
Les sumem: 23y = 0 → y = 0.
Substituïm a la 1a equació: 2x = 2 → x = 1.
c) Traiem denominadors: Les sumem: 4x = 7 →
Substituïm a la 1a equació: .
d) Traiem denominadors:
Aïllem x de la 1a equació: .
Substituïm a la 2a equació:
15y − 10 − 28y = −146 →→ −13y = −136 →
Substituïm: .
e) Traiem denominadors:
Multipliquem la 1a equació per −2:
Les sumem: .
Substituïm a la 2a equació: .2057
715
12
35x x+ = =→
63 5719
21y y= − =
−→
− + = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
20 72 7220 9 157
x yx y
10 36 3620 9 153
x yx y
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x =191
26
y =136
13
103 2
414 73
yy
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − = − →
xy
=−3 2
4
4 3 210 14 73
1x yx y
− = −− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
y =−3
4
x =7
4
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
13 6
10 15 1010 8 101
x yx y
− =− − = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 3 25 4 5
x yx y
− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
02 0
x
x
y
y23
12
0
6
+
−
− =
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 25x + 4y = 5
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + y = 02x − y = 0
066●●●
Sistemes d’equacions
d)
e) 3 16
15
32
3 110
15
33
( )
( )
x xy
y
xy x
+ − − − + =
− − + = +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
2 15
5 17
3 410
25
12
82
x
x
y
y
+ −
+ −
− =
+ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪( )
⎪⎪
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 168
169
5
Expressa mitjançant equacions de dues incògnites:
a) Un entrepà i un refresc valen 5 €.b) Dos entrepans i tres refrescos costen 15 €.c) Un entrepà val 1 € més que un refresc.d) He pagat un entrepà i dos refrescos amb 10 € i me n’han tornat 3 €.
Preu de l’entrepà: x.Preu del refresc: y.
a) x + y = 5
b) 2x + 3y = 15
c) x = y + 1
d) x + 2y + 3 = 10
068●●
067
SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM EXPRESSEM CERTS ENUNCIATS MITJANÇANT EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES?
Expressa com a equacions de dues incògnites:a) La suma de dos nombres és 50.b) La diferència d’edat de dos germans és 5 anys.c) Un pare té el doble d’edat que el seu fill.d) Un nombre en supera un altre en 10 unitats.
PRIMER. Assignem una incògnita a cada dada desconeguda.
SEGON. Relacionem les dades conegudes i les desconegudes amb una igualtat(equació).
a) La suma és 50.x + y = 50
b) La diferència és de 5 anys.x − y = 5
c) El pare dobla l’edat al fill.x = 2y
d) Un supera en 10 l’altre.x = y + 10
Dades desconegudes Incògnites
Dos nombres x, un nombrey, l’altre nombre
Edat de dos germans x, edat del primery, edat del segon
Edats del pare i el fill x, edat del parey, edat del fill
Dos nombre x, un nombrey, l’altre nombre
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 169
170
Tria la resposta adequada:
a) Fa tres anys, l’edat d’un oncle era el triple de la del nebot, però d’aquí a 5 anys serà només el doble. Les edats de l’oncle i el nebot són:1. Oncle: 15; nebot: 5. Oncle: 27; nebot 11.2. Oncle: 35; nebot: 15.
b) En un teatre s’han venut 250 entrades entre seients de platea i de llotja. Les primeres costen 15 € cadascuna i les segones, 30 €.Si la recaptació va ser de 4.500 €, les entrades venudes de cada tipus van ser:1. Platea: 50; llotja: 250. 3. Platea: 200; llotja: 50.2. Platea: 100; llotja: 150. 4. Platea: 125; llotja: 125.
a) Oncle: x Nebot: y
Substituïm x a la 2a equació: 3y + 5 = 2y + 10 →→ y = 5, x = 15
La solució és l’opció 1. Oncle: 15 anys. Nebot 5 anys.
b) Butaques de platea:x Butaques de llotja: y
Substituïm x a la 2a equació: 15(250 − y) + 30y = 4.500 →→ 3.750 + 15y = 4.500 → y = 50, x = 200
La solució és l’opció 3. Butaques de platea: 200. Butaques de llotja: 50.
Calcula dos nombres la suma dels quals és 10 i la diferència, 6.
Sumem les equacions: 2x = 16 → x = 8, y = 2.
Calcula les dimensions d’un rectangle si en saps que el perímetre fa 60 cm i labase és el doble de l’altura.
Substituïm la 2a en la 1a: 4y + 2y = 60 → y = 10, x = 20.
Base: 20 cm. Altura: 10 cm.
Dos quilos d’albercocs i tres de figues costen 13 €.Tres quilos d’albercocs i dos quilos de figues en costen 12 €.Quin és el preu del quilo d’albercocs?
Albercocs: x Figues: y
Multipliquem la 1a equació per 3 i la 2a per −2:
Sumem les equacions: 5y = 15 → y = 3, x = 2. Albercocs: 2 €/kg. Figues: 3 €/kg.
6 9 396 4 24
x yx y
+ =− − = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 3 133 2 12
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
072●●
2 2 602
x yx y
+ ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
071●●
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
106
070●
x yx y
x y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −25015 30 4 500
250.
→
x yx y
=+ = +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
35 2 5( )
069●
Sistemes d’equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 170
171
5
En una compra s’han fet servir monedes de 2 € i bitllets de 5 €.En total, entre monedes i bitllets són 13 i s’han pagat 33 €.Quantes monedes de 2 € s’han fet servir? I bitllets de 5 €?
Monedes: x Bitllets: y
Aïllem x de la 1a equació: x = 13 − y.
Substituïm a la 2a: 26 − 2y + 5y = 32 → y = 2, x = 11.
En una drogueria venen 3 sabons i 2 ampolles de colònia per 12 €,i també 4 sabons i 3 ampolles de colònia per 17 €.Calcula el preu de cada producte.
Preu del sabó: x Preu de l’ampolla de colònia: y
Substituïm a la 1a equació: 3 ⋅ 2 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3.
El sabó val 2 €, i l’ampolla de colònia 3 €.
Hem adquirit segells de 0,26 € i de 0,84 €. En total hem pagat 5,18 €per 11 segells. Quants són de 0,26 €? I de 0,84 €?
Segells de 0,26 €: x Segells de 0,84 €: y
Aïllem x de la 1a equació: x = 11 − y.
Substituïm a la 2a: 2,86 − 0,26y + 0,84y = 5,18 → y = 4, x = 7.
Hem comprat 7 segells de 0,84 € i 4 segells de 0,26 €.
Per a un berenar s’han comprat entrepans de pernil a 2,80 € la unitat i de formatge a 2,50 €. En total, es paguen 48 € per 18 entrepans.Quants se’n compren de pernil?
Entrepans de pernil: x Entrepans de formatge: y
Aïllem x de la 1a equació: x =18 − y.
Substituïm a la 2a: 50,4 − 2,8y + 2,5y = 48 → y = 8, x = 10.
Pernil: 10 entrepans. Formatge: 8 entrepans.
En un taller hi ha 50 vehicles, entre motos i cotxes. Si el nombre total de rodesés 140, quants vehicles hi ha de cada tipus?
Cotxes: x Motos: y→ x = 50 − y
Substituïm a la 2a: 200 − 4y + 2y = 140 → y = 30, x = 20.
Cotxes: 20. Motos: 30.
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 504 2 140
077●●
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 50 182 80 2 50 48
,, ,
076●●
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
0 84 110 26 0 84 5 18
,, , ,
075●●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
9x + 6y = −36−8x − 6y = −34
x =− 32
1a ⋅ 3⎯⎯⎯⎯→2a ⋅ (−2)sumem
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 2y = 124x + 3y = 17
074●●
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 132 5 32
073●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 171
172
El perímetre d’una parcel·la rectangular és 350 m i el triple de la seva llargadaés igual al quàdruple de l’amplada. Quines són les dimensions de la parcel·la?
Llargada:x Amplada: y
. Substituïm y a la 1a equació:
Llargada: 100 m. Amplada: 75 m.
En Josep li diu a l’Agnès: «Si et dono 10 discos en tindries tants com jo.»L’Agnès li respon: «Tens raó, només et faltem 10 discos per doblar-me’n el nombre.» Quants discos té cadascun?
Discos de Josep: x Discos d’Agnès: y
→
Substituïm a la 1a equació: x − 10 = 30 + 10 → x = 50.
En Josep té 50 discos i l’Agnès en té 30.
Una empresa de lloguer de cotxes n’ofereix dos models, un de quatre placesi un altre de cinc. Durant el dia, l’empresa lloga 10 cotxes en què viatgen 42 persones, i queden dues places sense ocupar. Quants cotxes han llogat de cada tipus?
Cotxes de quatre places: xCotxes de cinc places: y
→
Substituïm a la 2a equació:
4x + 5(10 − x) = 44 → 4x + 50 − 5x = 44 → −x = −6 → x = 6
Aïllem: y = 10 − x = 10 − 6 = 4.
Han llogat 6 cotxes de quatre places i 4 de cinc places.
En Joan ha comprat una camisa i uns pantalons. Els preus d’aquestes peces sumaven 60 €, però li han fet un 10 % de descompte en la camisa i un 20 % en els pantalons. Per tot plegat paga 50,15 €. Quin era el preu senserebaixar de cada peça?
Preu de la camisa: c Preu dels pantalons: p
Aïllant a la 1a equació: p = 60 − c. Substituïm a la 2a:
0,9c + 0,8(60 − c) = 50,15 → 0,9c + 48 − 0,8c = 50,15 →→ 0,1c = 2,15 → c = 21,50 €
Aïllem: p = 60 − c = 60 − 21,50 = 38,50 €.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
0,9c + 0,9p = 600,9c + 0,8p = 50,15⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
c + p = 60,15c(100 % − 10 %) + p(100 % − 20 %) = 50,15
081●●●
→ y = 10 − x⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x + 5y = 104x + 5y = 44
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + y = 104x + 5y − 2 = 42
080●●●
Restem les equacions:−y − (−2y) = 20 − (−10) → y = 30⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 2y = 20x − 2y = −10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 10 = y + 10x + 10 = 2y
079●●
23
2350 7 700 100 75x
xx x y+ = = = =→ → ,
2 2 3503 4
3
4
x yx y y
x+ =
=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ =→
078●●
Sistemes d’equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 172
173
5
Barregem licor de 12 €/ ¬ amb licor de 15 €/ ¬, fins que tenim 50 ¬ de licor de13 €/ ¬. Quants litres de cada licor hem barrejat?
Licor de 12 €/¬: xLicor de 15 €/¬: y
Aïllem x de la 1a equació:x = 50 − y.
Substituïm a la 2a:
Licor de 12 €/¬: litres. Licor de 15 €/¬: litres.50
3
100
3
600 12 15 65050
3
100
3− + = = =y y y x→ ,
x yx y
+ =+ = ⋅
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
15 5012 15 50 13
083●●●
082
SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE BARREGES MITJANÇANT SISTEMES D’EQUACIONS?
Volem barrejar dos tipus de vi: un de 5,20 €/ ¬ i un altre de 6,20 €/ ¬ perobtenir 100 ¬ de vi que tingui un preu de 6 €/ ¬. Quants litres de cada tipusfan falta?
PRIMER. Plantejament.
SEGON. Resolució.
Substituïm el valor a l’altra equació:
5,2(100 − y) + 6,2y = 600 → y = 80
x = 100 − y x = 20
TERCER. Comprovació.
La barreja contindrà 20 ¬ del vi A i 80 ¬ del vi B. La quantitat de barreja serà20 + 80 = 100 ¬.I el preu de la barreja és:
6 €5 2 20 6 2 80
100
104 496
100
, ,⋅ + ⋅=
+=
y = 80⎯⎯⎯→
x = 100 − y⎯⎯⎯⎯→
x yx y
x yx
+ =+
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −+
1005 2 6 2
1006
1005 2, , ,
→66 2 600, y =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Litres Preux 5,2xy 6,2y
100 5,2x + 6,2y
x + y = 1005 2 6 2
1006
, ,x y+=
Vi AVi BBarreja
Equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 173
174
En una fàbrica de sucs barregem dos tipus de qualitats, una de 50 cèntims el litre i una altra de 80 cèntims el litre. Quants litres de suc hem de barrejar de cada tipus per obtenir-ne 120 amb un cost total de 85,50 €?
Suc de 0,50 €/¬: x Suc de 0,80 €/¬: y
Substituïm a la 2a equació:
0,50x + 0,80(120 − x) = 85,50 → 0,50x + 96 − 0,80x = 85,50 →→ −0,30x = −10,50 → x = 35
Aïllem:y = 120 − x = 120 − 35 = 85.
S’han de barrejar 35 litres de suc de 0,50 €/¬i 85 litres de suc de 0,80 €/¬.
Hem barrejat 40 kg de cafè a 10 €/kg amb una altra quantitat de cafè a 14 €/kg. Quants quilos hem fet servir de cada classe si venem la barreja a 12,80 €/kg?
Cafè de 12 €: xTotal de cafè: y
Aïllem y de la 1a equació: y = 40 + x.
Substituïm a la 2a equació:
512 + 12,80x − 14x = 400 →
Cafè de 12 €/kg: kg. Total de cafè: kg.
Si en un sistema d’equacions amb solució única multipliquem tots els termesd’una equació per 3:
a) La nova solució és el triple de l’original.b) La solució és la mateixa.c) El nou sistema no pot tenir solució.d) Cap de les tres opcions és certa.
b) La solució és la mateixa, perquè si multipliquem tots els termes d’una equació per la mateixa quantitat, l’equació resultant és equivalent,és a dir, tenen les mateixes solucions.
Si aïllem la mateixa incògnita en dues equacions i, un cop igualades, no podemresoldre l’equació amb una incògnita que resulta, com és el sistema, compatibleo incompatible? Raona la resposta.
És incompatible, perquè si no té solució per a aquesta incògnita, el sistemano pot tenir cap solució, ja que s’aportaria una solució a l’equació que no en tenia.
087●●●
086●●●
400
3
280
3
x y= =280
3
400
3,
y xy x− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14 4012 80 14 400,
085●●●
→ y = 120 − x⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
0,50x + 0,50y = 1200,50x + 0,80y = 85,50
084●●●
Sistemes d’equacions
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 174
175
5
La suma de les dues xifres d’un nombre és a i la seva diferència també és a. De quin tipus són els nombres que compleixen aquesta condició?
Anomenem les xifres x i y:
Sumem les equacions: 2x = 2a → x = a.
Substituïm a la 1a equació: y = 0.
Els nombres que compleixen aquesta condició són les desenes.
La suma de les dues xifres d’un nombre és 2a i la seva diferència és a.Quins nombres compleixen aquesta condició?
Anomenem les xifres x i y: Sumem les equacions: 2x = 3a →
→ . Substituïm a la 1a equació: .
Com que a ha de ser parell i menor que 7 (a = 2, 4, 6), els nombres són 93,39, 62, 26, 31 i 13.
En el triangleABC, el costat BC fa 8 cm i l’altura AH en fa 4. Volem inscriure enaquest triangle un rectangle, MNPQ, on els vèrtexs P i Q estiguin al costat BC,M a AB i N a AC. Calcula les longituds de MN i MQ perquè el perímetre delrectangle MNPQ sigui 12 cm.
Base del rectangle: x. Altura del rectangle: y.
Els triangles ABC i AMN són semblants, ja que MN és paral·lel a AB.
La base de AMN mesura x, i la seva altura mesura 4 − y.
→
Base del rectangle: MN = 4 cm. Altura del rectangle: MQ = 2 cm.
→ 8 + 2y = 12 → y = 2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 2y = 128x + 2y = 38
2x + 2y = 14
Restem⎯⎯⎯→
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 2y = 12x = 8 − 2y
Eliminem denominadors⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→2 2 12
8
4
4
x yx y
+ =
=−
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
A
B C
M N
Q H P
090●●●
ya
=2
xa
=3
2
x y ax y a
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2
089●●●
x y ax y a
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
088●●●
Base de
Base de
Altura de
Altura
AMN
ABC
AMN=
dde ABC
x y→8
4
4=
−
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 175
176
A LA VIDA QUOTIDIANA
En Xavier va a Sevilla amb un tren que ha sortir a les 17.00 h.
Tot i que la seva mare ha insistit que no s’oblidés res, en Xavier s’ha deixat acasa una cosa molt important: el carnet d’identitat.
La seva mare l’ha trobat i ha anat a l’estació de tren per informar-se, i el capd’estació li ha dit:
Si la mare d’en Xavier arribés abans que el tren a l’estació de Villarrual, elpodria buscar i donar-li el carnet. El problema és que ja han passat 20 minutsdes que el tren ha sortit.
Creus que la mare d’en Xavier pot arribar a temps a l’estació?
El tren triga a arribar a Villarrual: 1 h 11 min 9 s.
La mare triga a arribar: 41 min 30 s. Però com ha de sortir
20 min més tard, en total trigarà 1 h 1 min 30 s. Per tant, sí que pot arribar-hia temps.
L’Alícia i la Maria han aconseguit una beca per estudiar durant 2 anys a París.
Quan facturaven l’equipatge han vist que l’Alícia portava 18 kg i la Maria, 27.
092●●●
83
120=
83
70=
091●●●
Vostè porta 18 kgd’equipatge, no ha de pagar sobrepès.
Vostè en porta 27.Haurà d’abonar 42 €
per sobrepès.
Sistemes d’equacions
El tren només farà unaparada a Villarrual,
a 83 quilòmetres d’aquí...El tren va a una
velocitat de 70 km/h, més o menys.
D’aquí a Villarrual hi haautovia, i vostè podria anar
a 120 km/h.
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 176
177
5
Els avions de passatgers permeten un pes determinat dels equipatges; si se sobrepassa, el passatger ha d’abonar una quantitat per cada quilo de més que porti.
Perquè a la Maria li surti més barat, l’hostessa que els factura els equipatges hatingut una idea:
Quin és el pes permès a cada passatger? Quant s’ha de pagar per quilo de sobrepès?
Pes permès: x Preu per quilo: y
→ y = 6
(27 − x)y = 42 (27 − x)6 = 42 → 27 − x = 7 → x = 20
Pes permès: 20 kg. Preu per quilo: 6 €.
y = 6⎯⎯⎯→
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−54y + 2xy = −8445y − 2xy = −30
2−9y + 2xy = −54
⋅ (−2)⎯⎯⎯→27 4245 2 30
2y xyy xy
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
( )[ ( ) ]
27 4227 18 30
27 2− =− − − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− =x yx x y
y xy→ 44245 2 30y xy− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Com que viatgen totesdues juntes, i a la seva
amiga li falten uns quants quilos perarribar al pes màxim,
podem unir els dos equipatges, i així vostè només hauria
de pagar 30 €.
SOLUCIONARI
831106 _ 0138-0177.qxd 11/9/07 12:57 Página 177
178
Proporcionalitatnumèrica6
DIRECTA INVERSA
REGLA DE TRES SIMPLE
DIRECTAMENTPROPORCIONALS
INVERSAMENTPROPORCIONALS
MAGNITUDS
DIRECTES INVERSOS
REPARTIMENTS PROPORCIONALS
INTERÈS SIMPLE
PERCENTATGES
PROPORCIONALITATCOMPOSTA
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:07 Página 178
Un tros de la història
Finalment, l’Alí havia aconseguit fer sortir l’Schoene de l’hotel, on feia quatre dies que s’havia reclòs sense apartar la vista d’aquell llibre, que de tant en tant feia que l’Schoene s’exclamés:
–És meravellós! Fantàstic! Ha estat perdut durant segles i l’he trobat jo!
Aquella tarda, mentre passejaven pel soc, l’Schoene no parava de parlar de la seva nova adquisició; deia que era una petita peça del puzle de la història.
–Alí, el llibre és la prova. –l’Schoene se’l mirava emocionat–. És una traducció d’un llibre de matemàtiques d’Heró d’Alexandria perdut fa molt de temps. L’original es va escriure el segle I.
–Jo prefereixo la realitat a les teories matemàtiques –va contestar l’Alí sense l’entusiasme del seu company.
–T’equivoques, Alí. Aquest llibre està ple de teories pràctiques: ensenya maneres d’aproximar arrels quadrades no exactes, mètodes per calcular les àrees de polígons, volums de cossos i, fins i tot, divisió de superfícies en parts proporcionals... Aquests coneixements eren molt útils a l’Egipte del segle I; per exemple, per calcular les mides dels terrenys que cultivaven o per repartir les herències.
Com repartiries un terreny de 1.000 m2
entre dues famílies de manera que a una n’hi corresponguin 7 parts i a l’altra, 13?
Dividim el terreny en:
7 + 13 = 20 parts → = 50
Cada part fa 50 m2. Per tant:07 parts → 07 ⋅ 50 = 350 m2
13 parts → 13 ⋅ 50 = 650 m2
Una família rebrà 350 m2,i l’altra 650 m2.
1 00020.
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:07 Página 179
180
EXERCICIS
Completa aquestes taules perquè siguin de proporcionalitat directa.
Si el preu de 9 menús és 166,50 €, quant costaran 5 menús?
92,50 €
En un mapa, 14 cm representen 238 km en la realitat. Per quina longitud es representen 306 km? Una longitud de 10 cm al mapa, quina longitud realrepresenta?
→
⎯→
Inserir anuncis en un diari costa 10 € per 3 línies de text, i 3 € per cada línia que hi afegim. Fes la taula que relaciona les magnituds. És de proporcionalitat numèrica?
La taula no és de proporcionalitat, ja que .
Completa les taules perquè siguin de proporcionalitat inversa.
Un vaixell porta menjar per a 8 tripulants i una travessa de 15 dies. Si noméssón 6 tripulants, per a quants dies tindran menjar?
El nombre de tripulants i el temps són magnituds inversament proporcionals, de manera que:
8 ⋅ 15 = 6 ⋅ x → 20
Tindran menjar per a 20 dies.
x =⋅
=8 15
6
006
005
3
10
4
13�
004
x =⋅
=238 10
14170 km
238
14 10=
x
x =⋅
=14 306
23818 cm
238
14
306=
x
003
166 50
5
5 166 50
9
, ,
9= =
⋅=
xx→
002
001
Proporcionalitat numèrica
2 4 5 8 406 12 15 24 120
1 0,25 3 2,4 85 1,25 15 12 40
1 2 3 4 624 12 8 6 4
10 15 25 12 615 10 6 12,5 25
Línies 3 4 5 6Preu 10 13 16 19
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:07 Página 180
181
6
Classifica en proporcionalitat directa o inversa.
a) El costat d’un quadrat i el seu perímetre.b) Obrers i temps per acabar una feina.
a) Directa, amb constant de proporcionalitat 4.
b) Inversa.
A la cuina d’un IES han pagat 42 € per 70 barres de pa. Quant haurien de pagarsi haguessin comprat 45 barres?
Apliquem una regla de tres simple directa:
27 €
Un cotxe gasta 46 cèntims d’euro de gasolina cada 4 km. Quant costarà elcombustible en un viatge de 270 km si manté aquest consum?
Apliquem una regla de tres simple directa:
31,05 €
El preu de 15 menús en un restaurant ha estat de 120 €. Quant costa el menú?Si hi van 7 persones, quant pagaran?
Apliquem una regla de tres simple directa:
56 € pagaran en total
El menú costa: 8 €.
Un arbre de 2,25 m d’altura fa una ombra de 2 m. Quina altura tindrà una torreque, a la mateixa hora, fa una ombra de 188,8 m?
Apliquem una regla de tres simple directa:
212,4 m d’altura
Si el temps que 7 treballadors han dedicat a netejar un carrer és de 7 hores,quant trigaran 5 treballadors?
El nombre de treballadors i el temps són magnituds inversamentproporcionals, de manera que:
7 ⋅ 7 = 5 ⋅ x → 9,8 h = 9 h 48 minx =⋅=
7 7
5
012
x =⋅
=2 25 188 8
2
, ,
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2,25 m d’altura ⎯→ 2 m d’ombrax m d’altura ⎯→ 188,8 m d’ombra
011
120
15
56
7= =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅
=→ x7 120
1515 menús ⎯→ 120 €7 menús ⎯⎯→ 1x €
010
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅
=→ x270 0 46
4
,4 km ⎯⎯→ 0,46 €270 km ⎯→ x €
009
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅
=→ x45 42
7070 barres ⎯→ 42 €45 barres ⎯→ x €
008
007
SOLUCIONARI
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:07 Página 181
182
La Marta triga 5 minuts a anar de casa seva al col·legi en monopatí a una velocitat mitjana de 6 km/h. Quant trigarà quan hi vacaminant, si va a una velocitat de 4 km/h?
La velocitat i el temps són magnituds inversament proporcionals. S’han deconvertir els minuts en hores, per mantenir unitats coherents i evitar errorsconceptuals en física.
5 min h
→ x = 0,125 ⋅ 60 = 7,5 min
Per una aixeta brollen 6 litres per minut i fan falta 5 hores per omplir un dipòsit.Si hi brollés 1 litre per minut, quant trigaria?
El cabdal en litres/minut i el temps són magnituds inversament proporcionals. Per utilitzar magnituds coherents, hem de convertir les hores en minuts:
5 hores = 5 ⋅ 60 minuts = 300 minuts
6 ¬/min ⋅ 300 min = 1 ¬/min ⋅ x min → 1.800 min →
Per construir una piscina, 10 obrers treballen 16 dies. Quants obrers hi van treballar si van tardar 40 dies?
El nombre d’obrers i el temps són magnituds inversament proporcionals.
10 obrers ⋅ 16 dies = x obrers ⋅ 40 dies → 4 obrers
Reparteix 102 € en parts directament proporcionals a 3, 2 i 1, respectivament.
51 €; 34 €; 17 €
Un pare reparteix 99 € entre els seus tres fills en parts directamentproporcionals a 3, 2/3 i 11/6. Quant li correspon a cadascun?
€; €; €z =⋅
=11 6 99
33/
5,5y =
⋅=
2 3 9912
/
5,5x
3 9954=
⋅=
5,5
x y z
3 2 3 11 6
99= = =
/ / 5,5
017
z =⋅
=1 102
6y =
⋅=
2 102
6x
3 102
6=
⋅=
x y z
3 2 1
102
6= = =
016
x =⋅
=10 16
40
015
→ x = =1 800
6030
.hores
x =⋅
=6 300
1
014
65
604
65
604
0 125⋅ = ⋅ =⋅
=x x→ →, h
=5
60
013
Proporcionalitat numèrica
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:07 Página 182
183
6
La senyora Francesca reparteix les seves terres entreels néts en parts directament proporcionals a les edats que tenen: 8, 12 i 15 anys. Si al petit li toquen 12 hectàrees, esbrina el total d’hectàrees repartides.
Reparteix 70 parts inversament proporcionals als nombres 3 i 4
A 3 corresponen: 120 : 3 = 40 parts
i al 4 corresponen: 120 : 4 = 30 parts.
Reparteix 1.100 en parts inversament proporcionals als nombres 5 i 6.
Al 5 li corresponen: 3.000 : 5 = 600
I al 6, li corresponen:3.000 : 6 = 500
Vull repartir 620 € entre els meus nebots en parts inversament proporcionals ales edats que tenen, que són 1, 3 i 7 anys. Quant he de donar a cadascun?
La constant de proporcionalitat és:
420 € 140 € 60 €
Hem repartit 300 € en parts inversament proporcionals a , i .
Quina és la part corresponent a ?
La part que correspon a és: €.k
1
5
20 5 100= ⋅ =1
5
k =+ +
=+ +
= =300
1
1
3
1
1
5
1
1
7
300
3 5 7
300
1520
15
17
15
13
022
z = =420
7y = =
420
3x = =
420
1
k =+ +
=+ +
=⋅
=620
1
1
1
3
1
7
620
21 7 3
21
620 21
31420
021
k =+
= =1 100
1
5
1
6
33 000
113 000
. .. →
020
k =+
= =70
1
3
1
4
840
7120 →
019
12
8 35
12 35
852 5= =
⋅=
TotalTotal ha→ ,
12
8 12 15 8 12 15= = =
+ +y z Total
( )
018
SOLUCIONARI
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:07 Página 183
184
Si reparteixo 1.200 proporcionalment a 5 i 6 i dono 500 a 6 i 700 a 5, ha estatun repartiment inversament proporcional?
No, perquè 500 ⋅ 6 = 3.000 i 700 ⋅ 5 = 3.500. Aquestes quantitats hauriende ser iguals i coincidir amb la constant de proporcionalitat.
En 7 dies, 8 màquines han obert una rasa de 1.400 m de llargada. Quantesmàquines faran falta per fer una rasa de 300 m en 6 dies?
Inversa Directa
Vint treballadors han posat 400 m de cable durant 6 dies. Hi han treballat 8 hores diàries. Quantes hores al dia hauran de treballar 24 treballadors durant14 dies per posar 700 m de cable?
horas
Els obrers treballaran 5 hores diàries durant 14 dies per posar 700 m de cable.
La mestressa d’una pensió ha pressupostat 250 €per alimentar els 18 hostes que té durant 12 dies.Si el nombre d’hostes augmenta en 6 persones, per a quants dies arribarà el pressupost?
Inversa
En aquest cas, com que el pressupost no varia,es tracta d’una regla de tres simple inversa:
18
24 12
18 12
249= =
⋅=
xx→ dies
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Si per a 18 hostes ⎯→ 12 dies ⎯→ 250 €Si per a 24 hostes ⎯→ x dies ⎯→ 250 €
026
I I D
24
20
14
6
400
700
8 134 400
84 000
8 84 00⋅ ⋅ = = =
x xx→ →.
.
. 00 8
134 4005
⋅=
.
025
6
7
1 400
300
8 8 400
2 100
8 2 100 8
8 400⋅ = = =
⋅. .
.
.
.x xx→ → == 2 màquines
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Si en 7 dies ⎯⎯→ 8 màquines ⎯⎯→ 1.400 m de rasaSi en 6 dies ⎯⎯→ x màquines ⎯⎯→ 1.300 m de rasa
024
023
Proporcionalidad numérica
F F F F
F
F
F
F FFF F
Obrers Dies Metres Hores al dia20 6 400 824 14 700 x
Inversa
Directa
Inversa
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:07 Página 184
Un embassament amb una capacitat de 200 hm3 es troba al 45 % de la capacitat. Quina quantitat d’aigua conté?
En un diari diuen que 80 de cada 1.500 persones practiquen esports de risc.Expressa aquesta dada amb un percentatge.
5,3�%
Una raqueta de tennis costa 180 € més un 16% d’IVA. Quin n’és el preu final?
208,80 €
La Maria compra un llibre per 15€. En aquest preu s’hi inclou un 4 % d’IVA.Quant val el llibre sense IVA?
Al preu net del llibre (x) s’hi ha de sumar un 4 %: 0,04 ⋅ x €. Per tant:
x + 0,04 ⋅ x = 15 → 1,04 ⋅ x = 15 → 14,42 € sense IVA
Un disc compacte val 12 €. El botoguer me’l rebaixa un 15 % perquè sóc bonclient i quan pago em cobra un 16 % d’IVA. Quant pago pel disc? Quin percentatge suposa el preu final sobre l’inicial?
Si em rebaixen un 15 % ⎯⎯⎯→ 1 − 0,15 = 0,85
I si em cobren el 16 % d’IVA → 1 + 0,16 = 1,16
Encadenant els percentatges, tenim que:
0,85 ⋅ 1,16 ⋅ 12 = 0,986 ⋅ 12 = 11,83 €
El preu final suposa el 98,6 % del preu inicial.
El valor d’una acció és de 15 €. Dilluns puja un 3 %, dimarts baixa un 7 % i dimecres puja un 10 %. Amb quin valor comença dijous? En quins moments el valor és superior a l’inicial?
Apliquem els successius percentatges de pujada o davallada:
Si puja un 3 % ⎯→ 1 + 0,03 = 1,03Si baixa un 7 % → 1 − 0,07 = 0,93Si puja un 10 % → 1 + 0,10 = 1,10
Dijous, l’acció valdrà:
1,03 ⋅ 0,93 ⋅ 1,10 ⋅ 15 = 1,05 ⋅ 15 = 15,80 €
El valor és el 5,36 % més gran que el valor inicial.
032
031
x = =15
1 04,
030
18016
100180 180 1 0 16 180 1 16+ ⋅ = ⋅ + = ⋅ =( , ) ,
029
80
1 500 100
80 100
1 500. .= =
⋅=
xx→
028
45
100 200
45 200
10090 3= =
⋅=
xx→ hm
027
185
6SOLUCIONARIO
831106 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 14:20 Página 185
186
Hi ha hagut unes quantes variacions en el preu dels tomàquets. A principis de juny, el preu mitjà d’un quilo de tomàquets era de 2,10 €.Durant aquest mes el preu va pujar un 10 %. El mes de juliol el preu del quilode tomàquets també es va incrementar un 17 %, i el mes d’agost va baixar un8 % respecte al preu del mes de juliol. Quin era el preu d’un quilo de tomàquetsa finals del mes d’agost? Quin ha estat el percentatge de pujada del preu dels tomàquets entre juny i agost?
El quilo de tomàquets valia: 2,49 € a finals d’agost.
El percentatge de pujada és: de juny a agost.
Calcula l’interès que donen 1.800 € en 9 mesos al 4 % anual.
54 €
Produeixen un interès de 54 €.
La Marta va deixar a en Joan 2.460 € al 3 % durant 4 anys. Quants diners entotal li va tornar en Joan un cop passat aquest temps?
2.755,20 €
Li va tornar 2.755,20 €.
Quin interès rebrem per una iversió de 4.500 € al 4 % anual si retirem els diners 2 mesos i 9 dies després del començament de la inversió?
34,50 €
Rebrem un interès de 34,50 €.
Esbrina el capital que he invertit en un banc al 4,5 % durant 2 anys si en totalm’han tornat 1.463 €.
Substituïm a l’expressió:
→
→ (1.463 − C) ⋅ 100 = 90C → 146.300 − 100C = 90C →
→ 770 €
El capital és de 770 €.
146 300 190146 300
190.
.= = =C C→
1 46345 2
100. − =
⋅ ⋅C
C →IC r t
=⋅ ⋅100
037
IC r t
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=36 000
4 500 4 69
36 000.
.
.
036
2 460 2 4602 460 3 4
1002 460 295 2. .
.. ,+ = +
⋅ ⋅= + =I
035
IC r t
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=1 200
1 800 4 9
1 200.
.
.
034
0 39
2 1019
,
,%=
2 10110
100
117
100
92
100, ⋅ ⋅ ⋅ =
033
Proporcionalitat numèrica
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:07 Página 186
187
6
ACTIVITATS
Indica quins dels parells de magnituds següents són directament proporcionals.
a) La longitud del costat d’un quadrat i el seu perímetre.b) La longitud del costat d’un quadrat i la seva àrea.c) El nombre de fills d’una família i el nombre de dies de vacances.
És directament proporcional el parell de magnituds de l’apartat a).
En un mercat hi ha dues parades on venen pomes, i tenen aquestes taules de preus.
En quina de les parades les magnituds preu i pes són directamentproporcionals?
Vegem si les proporcions s’acompleixen o no:
=?
=?
→ 0,53 = 0,53 = 0,53
=?
=?
→ 0,60 � 0,50
Per tant, les magnituds pes i preu són directament proporcionalsa la parada A.
Completa la taula. Tingues en compte que és una proporcionalitat directa.
Observa la taula de proporcionalitat de les magnituds següents:
Comprova que les magnituds M i M' són directament proporcionals, i calcula y i y'.
S’haurà d’acomplir que: 0,3)= 0,3
)= 0,3
)
⎯→ 4 ⋅ y = 12 ⋅ 9 ⎯→
→ 4 ⋅ y' = 12 ⋅ 10 → y ' =⋅
=12 10
430
4
12
10=
y'
y =⋅=
12 9
427
4
12
9=
y
4
12
6
18
7
21= = →
041●
040●
1 50
3
,1
2
0 60
1
,
1 59
3
,1 06
2
,0 53
1
,
Parada A1 kg 2 kg 3 kg
0,53 € 1,06 € 1,59 €
Parada B1 kg 2 kg 3 kg
0,60 € 1 € 1,50 €
039●
038●
SOLUCIONARI
100 500 1.000 5.000 25.0004 20 40 200 1.000
Magnitud M 4 6 7 9 10Magnitud M' 12 18 21 y y'
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:07 Página 187
188
Assenyala quins dels parells de magnituds següents són inversamentproporcionals.
a) El nombre de màquines i el temps que triguen a fer una feina. b) L’edat d’una persona i la seva velocitat quan camina.c) La base i l’altura d’un rectangle amb una àrea de 20 cm2.d) La base i l’altura d’un rectangle de 40 cm de perímetre.
Són inversament proporcionals els parells de magnituds dels apartats a) i c).
Estudia si les magnituds són directament o inversament proporcionals.
a) El radi d’una circumferència i la seva longitud.b) La velocitat d’un cotxe i el temps que tarda a fer un recorregut
determinat.c) El nombre d’entrades d’un cinema i el preu.d) La superfície d’una paret i el temps que es tarda a pintar-la.e) La gasolina que gasta un cotxe i la distància que recorre.
a) Directament proporcional. d) Directament proporcional.
b) Inversament proporcional. e) Directament proporcional.
c) Directament proporcional.
Completa les taules següents perquè siguin de proporcionalitat inversa.
a) b)
Comprova que les magnituds M i M' són inversament proporcionals, i calcula el valor de y i y'.
S’haurà d’acomplir que: 4 ⋅ 12 = 6 ⋅ 8 = 8 ⋅ 6 → 48 = 48 = 48
4 ⋅ 12 = 10 ⋅ y ⎯→
4 ⋅ 12 = 16 ⋅ y ' →
En cadascuna d’aquestes taules de proporcionalitat inversa hi ha un error.Corregeix-lo i calcula la constant de proporcionalitat.
a) b)
k = 54 k = 60
1,2 2,4 4,8 6 7,250 25 12,5 10 8,3
)9 6 5,4 4,5 46 9 10 12 13,5
046●●
y ' =⋅
=4 12
163
y =⋅
=4 12
104 8,
045●
4 12 30 60420 140 56 28
2 3 4 50,90 0,60 0,45 0,36
044●
043●
042●
Proporcionalitat numèrica
Magnitud M 4 6 8 10 16Magnitud M' 12 8 6 y y'
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 188
189
6
Per construir una tancade 12 metres s’han pagat1.250 €. Quant s’hauràde pagar per una altra tanca de 25 metres?
→ €
L’Amanda ha comprat un tros de roba de 2 m que li ha costat 32 €.Quant li hauria costat un tros de 3,2 metres?
→ 51,20 €
Un cotxe consumeix 25 litres de combustible en un viatge de 300 km si va auna velocitat determinada. Quant consumirà en un viatge de 550 km si va a la mateixa velocitat?
→
Un tren que circula a 100 km/h triga 5 hores a arribar a una ciutat. A quina velocitat circula un altre tren que triga 6 hores i un quart a fer el mateix recorregut?
La velocitat i el temps són magnituds inversament proporcionals.
100 ⋅ 5 = x ⋅ 6,25 →
Si un pintor ha pintat 75 m2 de paret amb 125 quilos de pintura:
a) Quanta pintura hauria necessitat per pintar 300 m2 de paret?b) Amb 50 kg, quants metres quadrats pot pintar?
Els quilos de pintura i la superfície de paret (m2) són magnituds directament proporcionals.
a)→
b)⎯→ x =
⋅=
50 75
12530 2m
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Si amb 125 kg ⎯⎯→ 75 m2
Si amb 500 kg ⎯⎯→ x m2
x =⋅
=125 300
75500 kg
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Si amb 125 kg ⎯⎯→ 275 m2
Si amb x kg ⎯⎯→ 300 m2
051●●
x =⋅=
100 5
6 2580
,km/h
050●●
x =⋅
=25 550
30045 83, litres
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
300 → 25550 → x
049●
x =⋅
=3 2 32
2
,⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 ⎯→ 323,2 → x
048●
x =⋅
=25 1 250
122 604 17
.. ,
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12 → 1.25025 → x
12 m 25 m
047●
SOLUCIONARI
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 189
190
Quinze persones fan el muntatge d’unes plaques solars en tres setmanes.a) Quant trigarien 35 persones a fer aquest muntatge? b) Si el volem fer en només 15 dies, quantes persones necessitarem?
El nombre de persones i el temps són magnituds inversament proporcionals.
Expressem el temps en dies:
a) 15 persones ⋅ 21 dies = 35 persones ⋅ x dies →
b) 15 persones ⋅ 21 dies = x persones ⋅ 15 dies →
Tres capses de bombons pesen 2,7 quilos.a) Quant pesen 15 capses?b) Si la nostra furgoneta pot transportar 5000 kg, hi podem portar 230 capses
de bombons?
El nombre de capses i el pes són magnituds directament proporcionals.
a)
b)→
Com que 207 kg < 500 kg (pes màxim admisible), sí que podem portarles 230 capses.
Una explotació agrària té herba per alimentar 48 vaques durant 18 setmanes.a) Per a quantes setmanes en tindria si fossin
24 vaques més?b) Si passades 7 setmanes compren
18 vaques, fins quan hi haurà herba?
El nombre de vaques i el temps són magnituds inversament proporcionals.
a) 48 vaques ⋅ 18 setmanes = (48 + 24) ⋅ x →
b) Passades 7 setmanes, hi hauria herba per 11 setmanes més per a les 48 vaques inicials. Si es compren 18 vaques més:
48 vaques ⋅ 11 setmanes = (48 + 18) ⋅ x →
En una casa on viuen 6 persones es consumeix, per a la higiene personal, una mitjana de 900 litres d’aigua diaris. Quant es gastarà en aquesta casa si hi entren a viure 5 persones més?
→ x =⋅
=11 900
61 650. litres
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
16 → 90011 → x
055●●
x =⋅
=48 11
668 setmanes
x =⋅
=48 18
7212 setmanes
054●●
x =⋅
=230 2 7
3207
,kg
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Si 030 capses ⎯⎯→ 2,7 kg230 capses ⎯⎯→ x kg
3
2 7
15 2 7 15
313 5
capses
kg
capses
kg,
,,= =
⋅=
xx→ kg
053●●
x =⋅
=15 21
1521 persones
x =⋅
=15 21
359 dies
052●●
Proporcionalitat numèrica
831106 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 14:20 Página 190
191
6
El consum d’aigua en un gimnàs on van 150 persones és de 6.000 litres diaris.
a) Quin en serà el consum si s’hi inscriuen 30 persones més?b) Si a partir de 7.000 litres el consum té un recàrrec, quin és el nombre
màxim de clients nous que s’hi poden inscriure sense pagar aquest recàrrec?
El nombre de persones i el consum d’aigua són magnituds directamentproporcionals.
a)→
b)→
S’hi podran inscriure 25 clients més.
Per fer una minipizza de 10 centímetres dediàmetre necessitem 100 grams de mozzarella.Si volem fer una pizza de 20 centímetres dediàmetre, quina quantitat de formatge farem servir?
L’àrea de la pizza (el diàmetre no) i els grams de formatge són magnitudsdirectament proporcionals.
→
Un constructor vol repartir 1.000 € entre tres dels seus treballadors de maneradirectament proporcional a l’antiguitat que tenen a l’empresa. L’Andreu fa 9 anys que és a l’empresa, mentre que en Bernat i en Carles només en fa 3.Quina part els correspon?
→ Andreu 600 €
⎯→ Carles 200 €
A en Bernat també li corresponen 200 €.
=⋅
+ +=
1 000 3
9 3 3
.1 000
9 3 3 3
.
+ +=
Carles
=⋅
+ +=
1 000 9
9 3 3
.1 000
9 3 3 9
.
+ +=
Andreu
058●
x =⋅ ⋅⋅
=ππ10 100
5400
2
2g
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Si per a π ⋅ 52 cm2 ⎯⎯→ 100 gSi per a π ⋅ 102cm2 ⎯⎯→ x g
057●●●
x =⋅
=150 7 000
6 000175
.
.persones
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Si 150 persones ⎯⎯→ 6.000 litresx persones ⎯⎯→ 7.000 litres
x =⋅
=180 6 000
1507 200
.. litres
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Si 150 persones ⎯⎯→ 6.000 litresSi 180 persones ⎯⎯→ x litres
056●●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 191
192
Un avi decideix repartir 120 caramels entre els seus quatre néts de maneradirectament proporcional a les edats que tenen, que són 4, 6, 6 i 8 anys,respectivament. Quants caramels corresponen a cada nét?
El nét que té 4 anys: → a = 20 caramels
Els néts que tenen 6 anys: → b = 30 caramels
El nét que té 8 anys: → c = 40 caramels
Dos amics munten un negoci. Un d’ells es retira al cap de 8 mesos. L’altre soci continua fins al final d’any, i el resultat són unes pèrdues de 1.500 €. Quant ha de pagar cada amic?
L’amic que hi ha estat 8 mesos: ⎯→ a = 600 €
L’amic que hi ha estat 1 any: → b = 900 €
En Vicenç i la Sílvia obren una llibreta d’estalvis en un banc. En Vicenç hi posa 400 € i la Sílvia, 800. Uns anys després els tornen 1.380 €.Com els han de repatir? Quant correspon a cadascú?
Hauran de repartir-los de manera directament proporcional.
→ 460 € per en Vicenç
920 € per a la Sílvia
Decidim construir un pont que costa un milió d’euros. L’han de pagar treslocalitats en parts inversamentproporcionals a la distància de cadascuna del pont. Albareda és a 6 km, Bonaigua, a 8 km i Cabester, a 10. Calcula quant ha de pagar cada localitat.
Albareda ha de pagar ⎯→ 2.553.191,49 : 6 = 425.531,91 €
Bonaigua ha de pagar ⎯→ 2.553.191,49 : 8 = 319.148,94 €
Cabester ha de pagar ⎯→ 2.553.191,49 : 10 = 255.319,15 €
k =+ +
= =1 000 000
1
6
1
8
1
10
240 000 000
942 553 19
. . . .. . 11 49,
062●●
y =⋅
=800 1 380
1 200
.
.
x =⋅
=400 1 380
1 200
.
.
x y
400 800
1 380
400 800= =
+.
061●●
1 500
8 12 12
.
+=
b
1 500
8 12 8
.
+=
a
060●●
120
4 6 6 8 8+ + +=
c
120
4 6 6 8 6+ + +=
b
120
4 6 6 8 4+ + +=
a
059●
Proporcionalitat numèrica
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 192
193
6
En Lluís, en Damià i en Carles van comprar un dècim de loteria de Nadal. EnCarles hi va posar 10 €, en Damià 6 i en Lluís 4. El dècim va ser premiat i en elrepartiment a en Carles li van tocar 5.000 €. Quant els va correspondre alsaltres dos?
A en Damià li van correspondre: 6 ⋅ 500 = 3.000 €.
A en Lluís li van correspondre: 4 ⋅ 500 = 2.000 €.
Un avi reparteix 10.350 € entre els seus tres néts de manera proporcional a lesedats que tenen. Si els dos petits tenen 22 i 23 anys, calcula:
a) L’edat del germà gran si saps que li corresponen 3.600 €.b) Les quantitats dels altres germans.
a)
b) . Al nét que té 22 anys li corresponen:
150 ⋅ 22 = 3.300 €. Al nét que té 23 anys: 150 ⋅ 23 = 3.450 €.
k = =3 600
24150
.
10 350
22 23
3 60010 350 3 600 162 000
. .. . .
x xx x
+ += = +→ →→ x = 24 anys
065●●●
k = =5 000
10500
.
064●●
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM LA QUANTITAT REPARTIDA SI EN SABEM UNA PART DIRECTAMENTPROPORCIONAL?
Hem repartit una quantitat de forma directament proporcional a les edats detres germans, que són 8, 4 i 3 anys. Si al germà més gran li han correspost 800 €, quina quantitat hem repartit?
PRIMER. Trobem la constant de proporcionalitat.
SEGON. Calculem el total: (8 + 4 + 3) ⋅100 =1.500.
Hem repartit 1.500 €.
k = =800
8100
063
SOLUCIONARI
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 193
194
Si reparteixes una quantitat a parts inversament proporcionals a 10, 7 i 3, la quantitat que li correspon a 3 és 50. Quines quantitats corresponen a 10 i 7?
k = 3 ⋅ 50 = 150. A 10 li correspon → 150 : 10 = 15 I a 7 li correspon → 150 : 7 = 21,43.
D’acord amb un testament, repartim 359.568 € entre tres persones en parts inversamentproporcionals al seu sou mensual.Calcula quant correspondrà a cadascú si el sou més baix
és del sou mitjà,
el qual és del més alt.
Més alt: x Mitjà: Més baix:
Més alt: 82.977,23x : x = 82.977,23 €
Mitjà: 82.977,23x : = 110.636,31 €
Més baix: 82.977,23x : = 165.954,46 €x
2
3
4
x
k
x x x
xx=
+ += =
359 568
1 4
3
2
1 078 704
1382 977 23
. . .. ,
x
2
3
4
x
34
23
068●●
067●●
066
Proporcionalitat numèrica
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM LA QUANTITAT REPARTIDA SI EN CONEIXEM UNA PART INVERSAMENTPROPORCIONAL?
Hem repartit una herència de forma inversament proporcional a les edats detres cosins, que són 25, 20 i 16 anys. Al cosí de 25 anys li han correspost 800 €. Quina quantitat s’ha repartit?
PRIMER. Calculem la constant de proporcionalitat.
k = 800 ⋅ 25 = 20.000
SEGON. Calculem el total.
Herència
3.050 €
Hem repartit 3.050 €.
20 000
25
20 000
20
20 000
16
. . .+ + =
k k k
25 20 16+ + =
80025
=k →
831106 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 14:20 Página 194
195
6
Un grup de 8 amic va pagar 940 €per una estada de 3 dies en un hotel. Quant costava l’estada d’un dia de cada amic?
Directa
Directa
39,17 €
Dues màquines consumeixen 1.500 kWh en un dia si funcionen 6 hores diàries.Quant consumiran 3 màquines si funcionen 8 hores al dia?
Tres màquines consumiran:
Una barra de metall de 10 m de llargada i 2 cm2 de secció pesa 8,45 kg. Quantpesarà una barra del mateix material de 5 m de llargada i 7 cm2 de secció?
Directa
Directa
Per les festes d’un barri col·loquen 1.200 fanalets que s’encenen 8 hores al dia.Això suposa una despesa de 1.440 €. Quina seria la despesa si es col·loquessin600 fanalets més i s’encenguessin 2 hores menys?
Directa
Directa
x = 1.620 €1 200
1 800
8
6
1 440 9 600
10 800
1 440.
.
. .
.
.⋅ = =
x x→ →
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1.200 fanalets ⎯⎯→ 8 hores/dia ⎯⎯→ 1.440 €1.800 fanalets ⎯⎯→ 6 hores/dia ⎯⎯→ x €
072●●
10
5
2
7
8 45 20
35
8 45 35 8 45
2014 79⋅ = = =
⋅=
, , ,,
x xx→ → kgg
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
10 m de llargada ⎯⎯→ 2 cm2 de secció ⎯⎯→ 8,45 kg15 m de llargada ⎯⎯→ 7 cm2 de secció ⎯⎯→ x kg
071●●●
1 500
2 6 3 8
1 500 3 8
2 63 000
. ..
⋅=
⋅=
⋅ ⋅⋅
=x
x→ kWh
070●●
8
1
3
1
940 24
1
940 940
24⋅ = = = =
x xx→ →
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
8 persones ⎯⎯→ 3 dies ⎯⎯→ 940 €1s persona ⎯⎯→ 1 sdia ⎯⎯→ 9x €
069●●
SOLUCIONARI
F FF
F
F FF
F
F FF
F
Màquines Hores Consum2 6 1.5003 8 x
831106 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 14:20 Página 195
196
Es creu que, per construir la piràmide de Kheops, van treballar 20.000 personesdurant 10 hores al dia. I van trigar 20 anys a acabar-la.
a) Quant haurien trigat si haguessin estat 10.000 persones més.
b) I si haguessin treballat 8 hores diàries?
a)
b)
Cent treballadors tarden 300 dies a construir un vaixell treballant 8 horesdiàries.
a) Si s’augmentés la plantilla en 20 persones, quants dies s’avançaria la construcció?
b) Si es reduís la plantilla en 20 persones, quants dies s’endarreriria la construcció?
c) I si la plantilla es reduís en 20 persones però s’augmentessin els torns a 9 hores diàries?
Inversa
S’avançaria 50 dies.
Inversa
S’endarreriria 75 dies.
Inversa
Inversa
S’endarreriria gairebé 34 dies.
Tres de cada 5 alumnes han tingut la grip en el mes de gener. Expressa aquesta dada en forma de percentatge.
3
5 100
3 100
560= =
⋅=
xx→ %
075●
80
100
9
8
300 720
800
300333 33⋅ = = =
x xx→ → , dies
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
100 persones ⎯⎯→ 8 hores/dia ⎯⎯→ 300 dies80 persones1 ⎯⎯→ 9 hores/dia ⎯⎯→ 1x1 dies
c)
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ →100
80 300375
xx dies100 persones ⎯⎯→ 300 dies
80 persones ⎯⎯→ x diesb)
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ →100
120 300250
xx dies100 persones ⎯⎯→ 300 dies
120 persones ⎯⎯→ x diesa)
074●●
10 208
10 20
825→
→→ anys
xx
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅
=
20 000 2030 000
20 000 20
30 000..
.
.→→
→x
x⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅
= 113 33 13, = anys i 4 mesos
073●●
Proporcionalitat numèrica
F F
F FF FF
F
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 196
197
6
Em fan un 15 % de descompte per un CD que costa 21 €.Quants diners m’estalvio?
3,15 €
En un institut, 63 alumnes, que són el 15 % del total, han viatjat a l’estranger.Quants alumnes té l’institut?
Un venedor de cotxes rep com a comissió el 0,8 % de les vendes que fa.
a) Si en un mes va rebre 300 € de comissió, quines vendes va fer?b) Si el mes següent va vendre per valor de 45.000 €, quina comissió
va obtenir?
a) € b) €
Un comerciant decideix apujar el preu d’una mercaderia, que era de 72 €,un 3%, i la setmana següent un altre 3% sobre l’últim preu. Quin és el preu final de la venda?
1r augment del 3 % → 1,03
2n augment del 3 % ⎯→ 1,03
Encadenem els percentatges d’augment:
1,03 ⋅ 1,03 ⋅ 72 = 1,0609 ⋅ 72 = 76,38 €
Dues setmanes consecutives s’ha aplicat al preu d’un article augments del 2 % i el 5 %. Quin percentatge s’ha incrementat l’article sobre el preu original?
€
S’ha incrementat un 7,1 %.
En una botiga apugen el preu d’un producte de 200 € un 10 %. La setmana següent decideixenrebaixar-lo un 10 % del preu que té en aquell moment. Què ha passat amb el preu?
El preu final és: €; és a dir, s’ha rebaixat 2 €,un 1 %.
200110
100
90
100198⋅ ⋅ =
081●●
100102
100
105
100107 10⋅ ⋅ = ,
080●●
079●●
45 000 0 8
100360
. ,⋅=
300 100
0 837 500
⋅=
,.
078●●
15
100
63 63 100
15420= =
⋅=
xx→ alumnes
077●●
15
100 21
21 15
100= =
⋅=
xx→
076●
SOLUCIONARI
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 197
198
Per Nadal, la carn de xai va pujar de preu:de 8,85 €/kg a 11,55 €/kg. També es va encarir el raïm, de 2,10 €/kg a 3,95 €/kg.Quin producte es va apujar més en proporció?
Carn: .
Raïm: .
S’ha apujat més el preu del raïm.
Hem escalfat una barra de metall d’1 m a 200 °C i s’ha dilatat fins que ha fet1,04 m. Quan hem escalfat una barra de 60 cm d’un altre metall a la mateixatemperatura, s’ha dilatat fins a arribar a mesurar 61,9 cm. Quin metall es dilatamenys?
Barra d’1 m: .
Barra de 60 cm: 0,0316� = 3,16�%.
Es dilata menys el metall de la barra de 60 cm.
En un envàs de galetes anuncien que conté un 25 % més pel mateix preu. Els envasos antics pesaven 1 kg, i l’envàs actual, amb l’oferta, pesa 1,20 kg. És certa la publicitat?
El 25 % d’1 kg és:
Per tant, el pes actual del paquet hauria de ser d’1,25 kg.
Com que 1,20 < 1,25, la publicitat no és certa.
25
100 10 25= =
xx
kg
kgkg→ ,
085●●●
61 9 60
60
, −=
1 04 1
10 04 4
,, %
−= =
084●●
3 95 2 10
2 100 881 88 1
, ,
,, , %
−= =
11 55 8 85
8 850 305 30 5
, ,
,, , %
−= =
083●●
082
Proporcionalitat numèrica
FES-HO AIXÍ
COM COMPAREM MITJANÇANT PERCENTATGE?
En una cafeteria han augmentat els preus dels refrescos: la taronjada, d’1 € a1,05 €, i els refrescos de cola, d’1,10 € a 1,15 €. Ha estat proporcional,l’augment?
PRIMER. Calculem la pujada lineal.
1,05 − 1 = 0,05 1,15 − 1,10 = 0,05
Els dos refrescos pugen la mateixa quantitat.
SEGON. Calculem el percentatge que representa la pujada.
L’augment no és proporcional.
0 05
110
,
,0,0454 4,54= → %
0 05
15
,0,05= → %
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 198
199
6
Quin interès donen 3.000 € al 4,3 % durant 5 anys? I durant 15 mesos? I durant 150 dies?
645 €
161,25 €
53,75 €
Quin és el capital que, al 7,5 %, produeix 3.760 € en un any?
50.133,33 €
L’Emili ha decidit invertir els estalvis, que són 9.600 €, en un dipòsitfinancer que ofereix un interès del3,85 % durant 4 anys.
a) Quant cobrarà d’interessos durantels 6 primers mesos?
b) I per 3 mesos i 20 dies?c) Si decidís treure els diners abans que acabés el període d’inversió, 4 anys,
el penalitzarien amb un pagament del 5 % del capital invertit. Després d’unany i dos mesos i mig, hi perdrà o hi guanyarà diners?
d) Quant temps ha de passar perquè, quan cancel·li el dipòsit, no hi perdi diners?
a) L’interès d’un any és: 369,60 €,
Per a 6 mesos és: €.
b) L’interès per a 3 mesos és: €,
Per a 20 dies és: €. En total, 112,65 €.
c) L’interès per a 1 any és 369,60 i per 2,5 mesos és: €. En total, 446,60 €.
La penalització és: €.
En total perdrà: 480 − 446,6 = 33,40 €.
d) =
= 1 any, 3 mesos i 18 dies
4809 600
100
480 100
9 600=
⋅ ⋅=
⋅⋅
=.
.
3,85
3,851,3
tt→ anys
9 600 5
100480
. ⋅=
369,6 2,5⋅=
1277
369,620,25
⋅=
20
365
369,692,40
⋅=
3
12
369,6184,80
⋅=
6
12
I =⋅ ⋅
=9 600 1
100
. 3,85
088●●
3 7601 3 760 100
..
=⋅ ⋅
=⋅
=C
C7,5
100 7,5→
087●●
IC r t
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=36 000
3 000 150
36 000.
.
.
4,3
IC r t
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=1 200
3 000 15
1 200.
.
.
4,3
IC r t
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=100
3 000 5
100
. 4,3
086●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 199
200
En Mateu ha rebut una herència de 40.000 €. Els inverteix en un dipòsit amb un interès del 5 % anual durant 5 anys i mig. Quan hagi passat aquest temps, els interessos que rebrà els repartirà entre els seus 4 fills, de manera inversament proporcional a l’edat que tenen, que són 15, 14, 12 i 10 anys.
a) Quina quantitat rebrà d’interessos quan acabi la inversió, és a dir, al cap de 5 anys i mig?
b) Quants diners correspondran a cada fill?
a) €
b)
Al fill de 15 anys corresponen → 34.222,22 : 15 = 2.281,48 €
Al fill de 14 anys corresponen → 34.222,22 : 14 = 2.444,44 €
Al fill de 12 anys corresponen → 34.222,22 : 12 = 2.851,85 €
Al fill de 10 anys corresponen → 34.222,22 : 10 = 3.422,22 €
090
k =+ + +
=+ + +
11 000
1
15
1
14
1
12
1
10
4 620 000
28 30 35 4
. . .
22= 34.222,22
I =⋅ ⋅
=40 000 5
10011 000
..
5,5
089●●
Proporcionalitat numèrica
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MESCLES?
Mesclem dos tipus de farina, A i B, amb uns preus de 0,75 €/kg i 0,50 €/kg.La proporció és de 5 kg del tipus A i 3 kg del tipus B. A quin preu surt el quilode la mescla?
PRIMER. Calculem el preu i la quantitat total.
Total de farina = 5 kg + 3 kg = 8 kg
Preu total = 5 ⋅ 0,75 + 3 ⋅ 0,50 = 5,25 €
SEGON. Ho reduïm a la unitat.
Preu de la mescla = 0,66 €/kg5,25
8=
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 200
201
6
Mesclem 8 kg de cafè de 2,25 €/kg amb 5 kg de cafè d’1,66 €/kg.A quant haurem de vendre el quilo si volem quanyar un 10 % del preu per quilo?
Total de cafè = 8 + 5 = 13 kg
Preu total = 8 ⋅ 2,25 + 5 ⋅ 1,66 = 26,30 €
Si hi sumem el 10 % serà: 26,30 ⋅ 1,1 = 28,93 €.
El preu per quilo és: €/kg.
Per guanyar un 10 %, hem de vendre el quilo de mescla a 2,23 €/kg.
Fonem un lingot de plata de 200 g de llei del 90 % (90 % de puresa) amb un altre de 300 g del 80 % de llei. Quina és la llei del lingot nou?
El metall total és:
200 + 300 = 500 g
El total de plata pura és:
420 g
La llei de la mescla és:
La llei del lingot nou és del 84 %.
Tenim alcohol del 96 %. Si mesclem 1 litre d’alcohol amb mig litre d’aigua,quina serà la graduació de l’alcohol que en resulta?
El total de líquid és d’1,5 litres i el total d’alcohol és de 0,96 litres.
La graduació de la mescla serà:: .
En quina proporció hem de mesclar dos tipus de cafè, A i B amb uns preus de 5 €/kg i 8 €/kg perquè en resulti un cafè de 7,25 €/kg?
Suposem que mesclen 1 kg del cafè A i x kg del B.
El preu total és:
7,25 €/kg
5 + 8x = 7,25 + 7,25x → 0,75x = 2,25 → x = 3 kg
Per tant, la proporció és 1 kg de cafè A i 3 kg de cafè B (25 % de Ai 75 % de B).
1 5 8
1
⋅ + ⋅+
=x
x
094●●●
0,96
1,50,64= = 64 %
093●●
420
50084= %
200 90
100
300 80
100
⋅+
⋅=
092●●
28,932,23
13=
091●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 201
202
Un lingot d’or i coure del 90 % de llei té un pes de 100 g. Amb quina quantitat de coure l’haurem de fondre perquè la llei baixi al 75 %?
Si x és la quantitat de coure, la quantitat de l’aliatge serà (100 + x) g.
La quantitat d’or pur és: 100 ⋅ 90 % = 90 g.
L’aliatge tindrà una llei de:
de coure
096
→ x = =15
200,75
g
90
10090 75
+= = +
xx0,75 0,75→ →
095●●●
Proporcionalitat numèrica
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MÒBILS?
Un tren de passatgers va a una velocitat de 90 km/h i un de mercaderies quecircula per una via paral·lela va a 50 km/h.
a) Si surten a la mateixa hora de punts oposats, a una distància l’un de l’altrede 350 km, i un va a trobar l’altre, quant tardaran a trobar-se?
b) Si tots dos surten del mateix punt i el tren de mercaderies, que ha sortit abans,té un avantatge de 140 km, quant tardarà el tren de passatgers a atrapar-lo?
PRIMER. Sumem o restem les velocitats en funció de si van en la mateixa direcció o no.
SEGON. El quocient entre la distància que els separa i la velocitat a què s’acosten ésel temps.
a) VELOCITAT D’ACOSTAMENT = 90 + 50 = 140 km/h
S’acosten a una velocitat de 140 km/h.
Temps =
Tardaran 2,5 hores a trobar-se.
b) VELOCITAT D’ACOSTAMENT = 90 − 50 = 40 km/h
El tren de passatgers s’acosta al de mercaderies amb una velocitat de 40 km/h.
Temps =
Tardarà 3,5 hores a atrapar-lo.
distància
velocitat3,5= =
140
40
distància
velocitat2,5= =
350
140
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 202
203
6
A les 9.45 h surt de Sevilla un AVE en direcció a Madrid que circula a unavelocitat mitjana de 220 km/h. A la mateixa hora surt de Madrid un tren demercaderies que circula per una via paral·lela a la de l’AVE i que va a unavelocitat de 40 km/h. A quina hora es trobaran si la distància entre Madrid i Sevilla és de 520 km?
La velocitat d’acostament és:
220 + 40 = 260 km/h
Per tant, el temps de trobada és:
2 hores
Es trobaran a les 11.45 h.
Un ciclista que circula a una velocitat de 15 km/h té una hora d’avantatgerespecte a un cotxe que circula a 60 km/h. Quant temps trigarà el cotxe a atrapar el ciclista?
Com que el ciclista porta 1 hora d’avantatge, va 15 km per davant del cotxe.
La velocitat d’acostament és:
60 − 15 = 45 km/h
Temps = 0,3� hores = 20 minuts
Si una magnitud, A, és directament proporcional a una altra magnitud, B, i aquesta és inversament proporcional a C, com són A i C?
A i B són directament proporcionals →
B i C són inversament proporcionals → B ⋅ C = k2
Si multipliquem els dos termes de la igualtat per k1:
Per tant A i C són inversament proporcionals.
B C k B C k k k B CA
Bk k A C k k⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅2 1 2 1 2 1 2 1→ → →
A
Bk= 1
099●●●
15
45=
098●●●
520
260=
097●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 203
204
Reparteix un nombre k en dues parts directament proporcionals a dos nombresqualsevol, m i n, i després fes el repartiment inversament proporcional als mateixos valors, m i n.
a) Quina relació hi ha entre les parts obtingudes en cada repartiment?b) Passa sempre el mateix?
El repartiment proporcional corresponent a m és:
I el de n és:
El repartiment és inversament proporcional i la constant és:
Per tant, el repartiment és
k = 100, m = 12 y n = 8
El repartiment proporcional corresponent a 12 és:
I el de 8 és:
El repartiment és inversament proporcional i la constant és:
Per tant, el repartiment és:
a) El repartiment, en cada cas, és el contrari; la quantitat que correspon a m en el repartiment directament proporcional és la que correspon a n enel repartiment inversament proporcional, i a la inversa.
b) Sí, i la demostració és la que hem fet abans.
12 → 60 → 2.400 : 60 = 4018 → 60 → 2.400 : 40 = 60
c =+
= =100
1
60
1
40
12 000
52 400
..
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ x800
204020 → 100
18 → 1x
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ x1 200
2060
.20 → 10012 → 1x
nn k
m n
n m k
m n
n k
m n
m k
m n→ →⋅
+⋅ ⋅+
⋅+
=⋅+
2
2( ):
mm k
m n
n m k
m n
m k
m n
n k
m n→ →⋅
+⋅ ⋅+
⋅+
=⋅+
2
2( ):
ck
m k
m n
n k
m n
k
m n
m k
m n
n k
m n k
m=
⋅+
+⋅+
=+⋅+
+⋅
=⋅ ⋅+1 1
2
( nn)2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅+
→ xn k
m nm + n → kn ⎯⎯⎯→ x
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅+
→ xm k
m nm + n → km ⎯⎯→ x
100●●●
Proporcionalitat numèrica
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 204
205
6
Si una certa quantitat la disminuïm un 10 %, quin percentatge l’hemd’incrementar per obtenir la mateixa quantitat?
11,1�% de la quantitat disminuïda
Una làmina de vidre absorbeix el 20 % de la llumvermella que li arriba, és a dir, en deixa passar el 80 %.Quantes làmines fan falta, com a mínim, una sobre l’altra, perquè passi com a mínim la meitat de la llum vermella que li arribi?
0,80x < 0,5 0,80 ⋅ 0,80 = 0,640,64 ⋅ 0,80 = 0,5120,512 ⋅ 0.80 = 0,4096
Fan falta, com a mínim, 4 làmines.
EN LA VIDA COTIDIANA
En Norbert ha passat les vacances de Setmana Santa a casa dels seusoncles. S’hi va endur els apunts de classe perquè havia de fer unes quantes feines que li havien manat. Quan ha tornat se’ls ha deixat, per això la seva cosina Helena els hi enviarà per missatger.
En Norbert ha trobat a casa una factura d’una empresa de missatgeria que el seu pare havia contractat feia temps.
L’Helena ha pesat el paquet amb els apunts d’en Norbert, 3,2 kg, i ha mesurat en un mapa la distància que hi ha fins a la seva ciutat: 126 km.
Quant pagarà l’Helena si envia elpaquet amb aquesta empresa? I si ho fa amb el servei urgent?
La despesa de transport serà:
→
→ x = €
La despesa sense IVA serà: 2 + 1.209,6 = 1.211,60 €.
I la despesa amb IVA és: 1.211,6 ⋅ 1,07 = 1.296,41 €.
Si l’envia pel servei urgent, li costarà: 1.296,41 ⋅ 1,3 = 1.685,34 €.
18,75 7.560.000
6.2501.209,
⋅ ⋅⋅
= =3 200 126
250 25
.660
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
18,75 → 250 ⋅ 25x → 3.200 ⋅ 126
103●●●
102●●●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= = =→ x1 000
90
100
9
.10 → 90x → 100
101●●●
SOLUCIONARI
Total22,20 €
PackExpress
CIF 455545EE07
Tel: 902 566 300
www.packexpress.com
CLIENT: Sr. Santiago Copaló
DNI: 38135286
Domicili: C/ Romaní, 13
Servei2,00 €
Transport 250 g a
25 km18,75 €
7 % d’IVA1,45 €
Per servei urgent hi haurà un
increment d’un 30 % sobre
el total.
Aquestes empreses cobren unaquantitat fixa per cada servei i n’hi
afegeixen una altra que depènproporcionalment del pes del paquet
i de la distància a què s’envia.
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 205
206
Vilaplana i Vilapujada són dos pobles veïns. Com que acaben de construir unaautopista prop dels dos municipis, els alcaldes han decidit variar la carretera perfer-hi una incorporació a aquesta autovia. El problema és que no es posend’acord sobre com es dividiran les despeses.
Després de moltes discussions han decidit el següent:
Quin percentatge del total del cost de l’obra haurà de pagar cada municipi?
BAN MUNICIPALEs construirà una variant de la carretera en-tre Vilaplana i Vilapujada que connectarà ambl’autovia nova.
Les despeses d’aquesta obra es dividiran demanera proporcional al nombre de veïnscensats en cada poble, i inversament pro-porcional a les despeses que cada munici-pi té en el manteniment de les carreteresveïnals.
Habitants Despeses
Vilaplana 6.748 16.860 €
Vilapujada 1.230 12.400 €
104●●●
Proporcionalitat numèrica
Hi estic d’acord, però hem detenir en compte que Vilaplana témés veïns i, per tant, hi hauria de
contribuir en més mesura. Tot i això, posa la major part de la
despesa en el manteniment de laresta de carreteres de la zona...
Jo crec que hauríem de dividir les despeses de
manera directamentproporcional als veïns
de cada municipi.
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 206
207
6
16.860 6.748
12.400 100 − x 1.230
16.195.200 ⋅ x = (100 − x) ⋅ 20.737.800
36.933.000x = 2.073.780.000 → x = 56,15 %
Vilaplana hi aportarà el 56,15 % i Vilapujada el 43,85 %.
x
x100
6 748
1 230
2 400
16 860−= ⋅ =
.
.
.
.
16.195.200
20.7737.800
Directa⎯⎯⎯⎯→Inversa←⎯⎯⎯⎯
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
Directa⎯⎯⎯⎯⎯⎯→xInversa←⎯⎯⎯⎯⎯⎯
SOLUCIONARI
831106 _ 0178-0207.qxd 11/9/07 13:08 Página 207
208
Progressions7
TERME GENERAL
SUCCESSIONSRECURRENTS
SUCCESSIONS
TERME GENERAL
SUMA DE n TERMES
PROGRESSIÓ ARITMÈTICA
TERME GENERAL
SUMA I PRODUCTE DE n TERMES
SUMA D’INFINITS
TERMES
PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA
INTERÈS COMPOST
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 208
La mascota de la princesa
El rei de Sicília, Frederic II, havia encarregat al filòsof de la cort, Joan de Palerm, que examinés Leonardo de Pisa amb problemes matemàtics difícils de resoldre.
Leonardo, més conegut com a Fibonacci, li va presentar les solucions i es va esperar que les avaluessin. A mesura que estudiaven la feina, les seves cares reflectien la sorpresa que els produïa.
Mentrestant, Fibonacci s’havia allunyat una mica i xerrava amb una nena que, asseguda a l’escala, amanyagava un conillet que tenia a la falda.
–Jo vaig tenir una parella de conills –li va dir Fibonacci.
–De quin color eren? –es va interessar la nena.
–Eren blancs i els vaig tenir a casa, amb les seves cries, durant 12 mesos. Després em vaig traslladar amb el meu pare i no me’ls vaig poder endur. En un any tenia 144 parelles!
–Això és impossible –va dir la nena mentre s’ho imaginava tot ple de conills.
–La primera parella va criar el segon mes, de cada llorigada em quedava amb una altra parella, que començava a procrear al cap de dos mesos de vida –repassava mentalment el savi.
La nena anava apuntant i, de cop i volta, ho va veure clar.
–El nombre de parelles és, cada mes, la suma dels dos mesos anteriors.
Quantes parelles tindria al cap de catorze mesos? I al cap de dos anys?
Calculem el nombre de parelles que tindria als 14 mesostrobant a14:
Al cap de dos anys hauran passat 24 mesos, per tant, s’ha de calcular a24:
… a13 a14 a15 a16 a17 a18
… 233 377 610 987 1.597 2.584
a19 a20 a21 a22 a23 a24 …
4.181 6.765 10.946 17.711 28.657 46.368 …
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 …
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 …
Mes E F M A M J J A S O N D
Parelles 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 209
210
EXERCICIS
Digues quins són els termes a1, a3 i a6 de les successions següents.
a) 6, 7, 8, 9, 10, …
b) 0, −2, −4, −6, −8, …
c) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …
d) −1, −1, −1, −1, −1, …
e) −2, −4, −8, −16, −32, …
f) 1, 2, 3, 5, 8, …
Determina’n la regla de formació.
a) a1 = 6, a3 = 8, a6 = 11. Cada nombre és l’anterior més 1.
b) a1 = 0, a3 = −4, a6 = −10. Cada nombre és l’anterior menys 2.
c) a1 = 1; a3 = 0,01; a6 = 0,00001. Cada nombre és l’anterior dividit entre 10.
d) a1 = −1, a3 = −1, a6 = −1. Tots els nombres són −1.
e) a1 = −2, a3 = −8, a6 = −64. Cada nombre és el doble de l’anterior.
f) a1 = 1, a3 = 3, a6 = 13. Cada nombre és la suma dels dos anteriors.
Fes una successió que compleixi que:
a) El primer terme és 5 i cadascun dels següents és la suma de l’anterior més 3.
b) El primer terme és 12 i cadascun dels següents és l’anterior multiplicatper 3.
a) 5, 8, 11, 14, 17, ...
b) 12, 36, 108, 324, 972, ...
Fes una successió amb els termes a1 = 2, a2 = 3 i a3 = 4, en què els termessegüents siguin la suma dels tres anteriors.
2, 3, 4, 9, 16, 29, ...
Escriu els quatre primers termes de la successió amb terme general:
a) an= n2−3n+2 b) an =
a) a1 = 12 − 3 ⋅ 1 + 2 = 0 a3 = 32 − 3 ⋅ 3 + 2 = 2
a2 = 22 − 3 ⋅ 2 + 2 = 0 a4 = 42 − 3 ⋅ 4 + 2 = 6
b) a1 = a3 =
a2 = a4 =4 4
2 4 1
8
9
+⋅ +
=2 4
2 2 1
6
5
+⋅ +
=
3 4
2 3 1
7
71
+⋅ +
= =1 4
2 1 1
5
3
+⋅ +
=
nn++
42 1
004
003
002
001
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 210
211
7
Troba els quatre primers termes de cada successió.
a) a1 = −1, an = n + an−1 b) a1 = 2, an = 2a2n−1 − 3n
a) an = n + an−1 → a1 = −1, a2 = 2 + (−1) = 1, a3 = 3 + 1 = 4a4 = 4 + 4 = 8
b) an = 2 ⋅ a2n−1 − 3n
a1 = 2, a2 = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 = 8 − 6 = 2
a3 = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 3 = 8 − 9 = −1
a4 = 2 ⋅ (−1)2 − 3 ⋅ 4 = 2 − 12 = −10
Inventa’t el terme general d’una successió i calcula el valor dels termes 13, 25 i 64.
an = 2n2 + 1 a13 = 339 a25 = 1.251 a64 = 8.193
Escriu els termes generals de les successions.
a) 2, 3, 4, 5, 6, … c) 5, 10, 15, 20, 25, …
b) 3, 6, 9, 12, 15, … d) 8, 11, 14, 17, 20, …
a) an = n + 1 b) an = 3n c) an = 5n d) an = 5 + 3n
Determina si les successions següents són progressions aritmètiques.
a) 1, 0, −1, −2, … c) 2, 4, 7, 11, 16, … e) 11, 10, −1, −2, …
b) 4, 5, 6, 7, 8, 9, … d) 1, 4, 9, 16, 25, …
a) a2 − a1 = 0 − 1 = −1 a3 − a2 = −1 − 0 = −1
a4 − a3 = −2 − (−1) = −1 → d = −1 → Sí que ho és.
b) a2 − a1 = 5 − 4 = 1 a3 − a2 = 6 − 5 = 1 a4 − a3 = 7 − 6 = 1
a5 − a4 = 8 − 7 = 1 → d = 1 → Sí que ho és.
c) a2 − a1 = 4 − 2 = 2 a3 − a2 = 7 − 4 = 3 → No ho és.
d) a2 − a1 = 4 − 1 = 3 a3 − a2 = 9 − 4 = 5 → No ho és.
e) a2 − a1 = 10 − 11 = −1 a3 − a2 = −1 − 10 = −11 → No ho és.
En una progressió aritmètica, a1 = 4,8 i a2 = 5,6. Calcula.
a) La diferència, d. b) El terme a8.
a) d = 5,6 − 4,8 = 0,8 b) a8 = 4,8 + 7 ⋅ 0,8 = 10,4
En una progressió aritmètica, el terme a4 = 12 i la diferència d = −3. Calcula a1 i a8.
12 = a1 + 3 ⋅ (−3) → a1 = 12 + 9 = 21 → an = 21 + (n − 1) ⋅ (−3)
a8 = 21 + (8 − 1) ⋅ (−3) = 21 − 21 = 0
010
009
008
007
006
005
SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 211
212
Troba el terme general d’aquestes progressions aritmètiques.
a) , 1, , 2, , … b) 25, 22, 19, 16, …
a) d = 1 − = ⎯→ an = + (n − 1) ⋅ = n
b) d = 22 − 25 = −3 → an = 25 − (n − 1) ⋅ 3 = 28 − 3n
En una progressió aritmètica, el primer terme és 5 i la diferència, −2.Determina an.
a1 = 5, d = −2 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d = 5 − (n − 1) ⋅ 2 = 7 − 2n
En una progressió aritmètica, el tercer terme és 9 i la diferència, 7. Troba el primer terme i el terme general.
a3 = a1 + (3 − 1) ⋅ d → 9 = a1 + 2 ⋅ 7 → a1 = −5
an = a1 + (n − 1) ⋅ d = −5 + (n − 1) ⋅ 7 = 7n − 12
En una progressió aritmètica, a6 = 17 i a9 = 23. Calcula a1 i el terme general.
23 = 17 + (9 − 6) ⋅ d → d = 6 : 3 = 2 → 17 = a1 + 5 ⋅ 2 →→ a1 = 17 − 10 = 7, an = 7 + (n − 1) ⋅ 2
Calcula la suma dels 10 primers termes de la progressió: 3, 7, 11, 15, 19, 23,27, 31, 35, 39, …
d = 7 − 3 = 4 → a10 = 3 + 9 ⋅ 4 = 39
S10 = ⋅ 10 = 210
Donada la progressió aritmètica amb an = 10 − 5n, troba la suma dels 25 primers termes.
a25 = 10 − 5 ⋅ 25 = 10 − 125 = −115
a1 = 10 − 5 ⋅ 1 = 5
S25 = ⋅ 25 = −1.375
Vull col·locar 7 fileres de testos de manera que a la primera fila hi posaré 3 testos, i cadascuna de les files següents tindrà 3 testos més que l’anterior.Quants testos col·locaré en total?
an = a1 + (n − 1) ⋅ d → an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 = 3n
a1 = 3, a7 = 3 + 6 ⋅ 3 = 21
S7 = ⋅ 7 = 84 testos3 21
2
+
017
5 115
2
−
016
3 39
2
+
015
014
013
012
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
52
32
12
011
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 212
213
7
Determina si són progressions geomètriques.
a) 1, 5, 25, 125, 625, … d) 3, 9, 24, 33, …b) 7, 14, 28, 56, 112, … e) 4, 4, 4, 4, 4, …c) −1, −2, −4, −8, −16, …
a) → Sí que ho és.
b) → Sí que ho és.
c) → Sí que ho és.
d) → No ho és..
e) → Sí que ho és.
Troba el terme general i el terme a6.
a) b)
a)
No és una progressió, perquè
b)
En una progressió geomètrica, a2 = 2 i . Calcula an i a5.
Substituïm r = en la primera equació:
Comprovem que s’acompleix la 2a equació: .
Si r = − en la primera equació: 21
241 1= ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −a a→1
2
41
24
1
8
1
2
3
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ =
21
241 1= ⋅ =a a→
1
2
r r2
1
2
2
1
4
1
2= = = ±→2a : 1a
⎯⎯⎯→a a r
a a r
2 1
4 13
21
2
= ⋅ =
= ⋅ =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
a412
=020
→ →a ann= ⋅ = ⋅ = =−3 3 3 3 27 3 46 7651
65( ) ( ) ,
a r a r rnn= ⋅ = ⋅ = =−3 3 3 3 31
2→ → →
2
5
2
3�
a
a3
2
2
3=
a
a2
1
2
5=
3 3 3 9 9 3, , , , …23
415
845
, , , …
019
4
4
4
4
4
4
4
41= = = = = r
9
3
24
9�
−−=−−=−−=−−
= =2
1
4
2
8
4
16
82 r
14
7
28
14
56
28
112
562= = = = = r
5
1
25
5
125
25
625
1255= = = = = r
018
SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 213
214
Comprovem que s’acompleix la 2a equació:
Per tant, hi ha dues solucions: i
Donada la successió: 2; 3; 4,5; 6,75; 10,125; …
a) Comprova que és una progressió geomètrica. Troba’n la raó.b) Calcula’n el terme general.c) Troba la suma dels 10 primers termes.
a) → Si que ho és..
b) an = 2 ⋅ 1,5n−1
c)
Troba la suma dels 7 primers termes de la progressió:
a2 = a1 ⋅ r → = 3 ⋅ r → r = → an = 3 ⋅ ( )n−1
a7 = 3 ⋅ ( )6 = 3 ⋅ 33 = 81
Una ameba es reprodueix per bipartició cada 5 minuts. Quantes n’hi haurà al cap de 10 hores?
En 10 hores = 10 ⋅ 60 = 600 minuts s’hauran produït: 600/5 = 120biparticions. Es tracta d’una progressió geomètrica en què a1 = 1 i r = 2. Per tant: a120 = 1 ⋅ 2120−1 = 6,646 ⋅ 1035.
Calcula el terme general i la suma dels termes infinits de les progressionsgeomètriques següents.
a) a1 = 5 i r = b) a1 = 2 i r =
a)
b) a Sn
n
= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−
= =−
21
10
2
11
10
2
9
10
20
9
1
→
a Sn
n
= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−
= =−
51
2
5
11
2
5
1
2
101
→
110
12
024
023
S7
7 33 3 1
3 1
3 3 3 1
3 1187 55=
⋅ −
−=
⋅ ⋅ −
−=
( ) ( ),
3
333 3
3, 3 3 , , 9 , …9 3022
S10
102 1 5 1
1 5 1
113 33
0 5226 66=
⋅ −−
= =( , )
,
,
,,
3
2
4 5
3
6 75
4 5
10 125
6 751 5= = = =
, ,
,
,
,,
021
a a5
5 1
541
24
1
16
1
44
1= ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ = = − ⋅ −−
i ( )22
41
16
1
4
5 1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − ⋅ = −−
( )
an
n
= − ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
( )41
2
1
an
n
= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
41
2
1
( ) ( )− ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =4
1
24
1
8
1
2
3
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 214
Troba, si és possible, la suma dels termes infinits d’aquestes progressions:
a) b)
a)
No en podem calcular la suma perquè no és una progressió geomètrica.
b) a2 = a1 ⋅ r → 3 = 3 ⋅ r → r =La raó és més gran que la unitat; per tant, no en podem calcular la suma(és infinita).
En una progressió geomètrica, S = 20 i a1 = 5, quant val la raó?
Troba el producte dels 4 primers termes d’una progressió geomètrica amb a1 = 3 i r = 5.
a4 = a1 ⋅ r 3 → a4 = 3 ⋅ 53 = 375 → P4 = = (1.125)2 = 1.265.625
En una progressió geomètrica, a4 = 12 i r = 3, troba el producte dels 10 primers termes.
a4 = a1 ⋅ r 3 → 12 = a1 ⋅ 33 → a1 =
a10 = a1 ⋅ r 9 → a10 = ⋅ 39 = 4 ⋅ 37 = 8.748
P10 = = (3.888)5 = 8,884 ⋅ 1017
Tenim una progressió geomètrica el terme general de la qual és an = 4 ⋅ 2n−1, calcula P6.
Troba la raó d’una progressió geomètrica amb a1 = 1 i P5 = 1.024.
Calcula el capital obtingut si hem invertit 200 € al 2 % anual durant 10 anys.
C10 = 200 ⋅ = 200 ⋅ 1,22 = 243,80 €12
100
10
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
031
1 024 1 024 220 10. .= = =r r r→ →a5 = r 4
⎯⎯→P a5 551 024 1= = ⋅. ( )
030
a P65
664 2 128 4 128= ⋅ = = ⋅ =→ ( ) 134.217.728
029
4
98 748
10
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟.
4
9
12
27
4
9=
028
( )3 375 4⋅
027
Sa
r rr r r r=
−=−
− = − = − = =1
120
5
11
5
201
1
41
1
4
3
4→ → → → →
026
33
a
a
a
a2
1
3
2
2
5
2
3= =�
3, 3 3 , , 9 , …9 323
415
845
, , , …
025
215
7SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 215
216
Calcula el capital que obtindríem si invertíssim 50 cèntims d’euro al 5 % anualdurant un segle. Quin seria el capital si el rèdit fos de l’1 %?
C100 = 0,50 ⋅ = 65,75 €
Quin capital produiria 3.000 € en 3 anys amb un interès compost de l’1 % mensual?
3.000 = C ⋅ → 3.000 = C ⋅ 1,43 → C = 2.097,90 €
Determina el capital que, amb un interès compost del 10 % anual, produeix133,10 € en 3 anys.
133,10 = C ⋅ → 133,10 = C ⋅ 1,331 → C= 100 €
ACTIVITATS
Escriu els termes següents d’aquestes successions.
a) 5, 6, 7, 8, 9, … c) 7, 14, 21, 28, 35, …
b) 30, 20, 10, 0, −10, … d) 1, 5, 25, 125, …
Quin criteri de formació segueix cadascuna?
a) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... → Augmenta d’1 en 1.
b) 30, 20, 10, 0, −10, −20, −30, −40, ... → Disminueix de 10 en 10.
c) 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ... → Augmenta de 7 en 7.
d) 1, 5, 25, 125, 625, 3.125, 15.625, ... → Augmenta multiplicant per 5.
Donada la successió: 1, 8, 27, 64, …
a) Quin n’és el terme sisè? b) I el criteri de formació?
a) 63 = 216 b) an = n3
La successió 1, 4, 9, 16, 25, … té com a terme general an = n 2. Troba el terme general de les successions.
a) 2, 8, 18, 32, 50, … c) 4, 9, 16, 25, …
b) 3, 6, 11, 18, 27, … d) 16, 25, 36, 49, …
a) an = 2n2 c) an = (n + 1)2
b) an = n2 + 2 d) an = (n + 3)2
037●●
036●●
035●
110
100
3
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
034
11
100
36
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
033
15
100
100
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
032
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 216
217
7
La successió 2, 4, 6, 8, 10, ... té com a terme general an = 2n. Determina el terme general de les successions.
a) −1, 1, 3, 5, 7, … c) −2, −4, −6, −8, …
b) 6, 8, 10, 12, … d) 6, 12, 18, 24, 30, …
a) an = 2n − 3 c) an = −2n
b) an = 2n + 4 d) an = 6n
Troba els 5 primers termes de la successió el terme general de la qual és:
a) an = 2n d) an = 2 + 4(n + 1) f) an = n2 + 3n − 2
b) an = (−3)n+2 e) an = 2 ⋅ g) an =
c) an = 5 − 3n
a) an = 2n → 2, 4, 8, 16, 32, …
b) an = (−3)n+2 → (−3)3, (−3)4, (−3)5, (−3)6, (−3)7, … == −27, 81, −243, 729, −2.187, …
c) an = 5 − 3n → 2, −1, −4, −7, −10, …
d) an = 2 + 4 ⋅ (n + 1) → 10, 14, 18, 22, 26, …
e) an = 2 ⋅ →
f) an = n2 + 3n − 2 → 2, 8, 16, 26, 38, …
g) an = →
Escriu els 5 primers termes de les successions següents:
a) El primer terme és 5 i cada terme l’obtenim sumant 2 a l’anterior.
b) El primer terme és 2 i cadascun dels següents l’obtenim multiplicant
per l’anterior.
c) El primer terme és 3, el segon, 4 i els següents són la suma dels dosanteriors.
d) El primer terme és 8 i els següents són cadascun la meitat de l’anterior.
a) 5, 7, 9, 11, 13
b)
c) 3, 4, 7, 11, 18
d) 8 4 2 11
2, , , ,
2 11
2
1
4
1
8, , , ,
12
040●
45
4
6
9
7
16
8
25, , , , , …
n
n
+ 32
22
3
2
9
2
27
2
81, , , , , …
1
3
1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−n
nn+ 3
2
13
1⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−n
039●
038●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 217
FES-HO AIXÍ
COM DETERMINEM EL TERME GENERAL D’ALGUNES SUCCESSIONS DE FRACCIONS?
Troba el terme general de la successió següent.
PRIMER. Busquem el criteri de formació dels numeradors i en determinem el termegeneral.
4, 9, 16, 25, … ⎯⎯→ El primer terme és el quadrat de 2.
El segon és el quadrat de 3.
El tercer, el quadrat de 4...
Terme general ⎯→ (n + 1)2
SEGON. Busquem el criteri de formació dels denominadors i en determinem el termegeneral.
1, 3, 5, 7, … ⎯⎯→ Successió de nombres senars.
Terme general ⎯→ 2n − 1
TERCER. El terme general de la successió serà el quocient entre els dos termesgenerals.
Terme general ⎯→( )n
n
+−1
2 1
2
41
93
165
257
, , , , …
218
Progressions
La successió 1, 2, 3, 4, 5... té com a terme general an = n. La successió 2, 4, 8, 16... té com a terme general an = 2n. Troba el terme general d’aquestes successions.
a) c)
b) d)
a) b) c) d)
Troba els 5 primers termes de les successions recurrents següents.
a) a1 = 1, a2 = 3, an = an−2 − an−1
b) b1 = 2, b2 = 4, bn =
c) c1 = −1, c2 = 0, c3 = 1, cn = cn−1 + cn−2 + cn−3
d) d1 = 2, dn = dn−1 + n
a) 1, 3, −2, 5, −7 c) −1, 0, 1, 0, 1
b) d) 2, 4, 7, 11, 162 4 21
2
1
4, , , ,
bb
n
n
−
−
1
2
043●
an
n
n=
−2 1
2an n=
1
2a
n
nn =
+ 3a
nn =
1
12
34
78
1516
, , , , …452
63
74
, , , , …
12
14
18
116
, , , , …112
13
14
, , , , …
042●●
041
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 218
219
7
Troba la regla de formació d’aquestes successions recurrents.
a) 3, 4, 7, 11, 18, 29, … c) 1, 2, 3, 6, 11, 20, …
b) d) −5, 1, 6, 5, −1, −6, …
a) a1 = 3, a2 = 4, an = an−1 + an−2
b) a1 = 1, a2 = 3, an =
c) a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, an = an−1 + an−2 + an−3
d) a1 = −5, a2 = 1, an = an−1 − an−2
Troba la diferència i el terme general d’aquestes progressions aritmètiques.
a) 10, 7, 4, 1, … c) 7, 2, −3, −8, …
b) d) 16, 8, 0, −8, …
a) d = 7 − 10 = −3 → an = 10 − 3 ⋅ (n − 1) = 13 − 3n
b) d =
c) d = 2 − 7 = −5 → an = 7 − 5 ⋅ (n − 1) = 12 − 5n
d) d = 8 − 16 = −8 → an = 16 − 8 ⋅ (n − 1) = 24 − 8n
Amb les dades de les progressions aritmètiques següents:
a) a1 = 13 i a2 = 5, calcula d, a8 i an.b) b1 = 4,5 i b2 = 6, calcula d, b10 i bn.c) c2 = 13 i d = −5, calcula c1, c8 i cn.d) h1 = 8 i h3 = 3, calcula d, h10 i hn.
a) 5 = 13 + (2 − 1) ⋅ d → d = −8 → a8 = 13 + (8 − 1) ⋅ (−8) = −43 an = 13 + (n − 1) ⋅ (−8)
b) 6 = 4,5 + (2 − 1) ⋅ d → d = 1,5 → b10 = 4,5 + (10 − 1) ⋅ 1,5 = 18 bn = 4,5 + (n − 1) ⋅ 1,5
c) 13 = c1 + (2 − 1) ⋅ (−5) → c1 = 18 → c8 = 18 + (8 − 1) ⋅ (−5) = −17cn = 18 + (n − 1) ⋅ (−5)
d) 3 = 8 + (3 − 1) ⋅ d → d = −2,5 → h10 = 8 + (10 − 1) ⋅ (−2,5) = −14,5 hn = 8 + (n − 1) ⋅ (−2,5)
Donada la successió 2, 4, 6, 8, 10…
a) És una progressió aritmètica? c) Calcula’n el terme 30.b) Troba’n el terme general.
a) Sí, és una progressió aritmètica; d = 4 − 2 = 6 − 4 = 8 − 6 = 10 − 8 = 2.
b) an = 2 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n
c) a30 = 2 ⋅ 30 = 60
047●
046●
2 2 2 2 2 2 1 2− = = + ⋅ − =→ a n nn ( )
2 2 2 3 2 4 2, , , , …
045●
a
an
n
−
−
1
2
1 3 3 113
13
1, , , , , , , …
044●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 219
220
Donada la successió :
a) Comprova que és una progressió aritmètica.b) Troba’n el terme general.
a)
b)
Tenint en compte que els termes d’una progressió aritmètica els podemobtenir amb la calculadora, mitjançant el sumand constant:
d a1 …
troba els 10 primers termes de les progressions aritmètiques.
a) a1 = 8 i d = 5 c) c1 = −10 i d = 3
b) b1 = 3 i d = −5 d) h1 = −12 i d = −8
a) 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53
b) 3, −2, −7, −12, −17, −22, −27, −32, −37, −42
c) −10, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, 17
d) −12, −20, −28, −36, −44, −52, −60, −68, −76, −84
En una progressió aritmètica, a10 = 32 i d = 5. Esbrina el valor del terme a25.
a25 = a10 + (25 − 10) ⋅ d → a25 = 32 + 15 ⋅ 5 = 32 + 75 = 107
En una progressió aritmètica,
a) Troba a1 i d.
b) Determina’n el terme general.
a)
b)
En una progressió aritmètica, a8 = 12 i a12 = 32. Calcula la diferència i el terme general.
a n nn = − + ⋅ − = − +23 5 1 28 5( )
a a d1 8 7 12 35 23= − ⋅ = − = −
a a d da a
12 812 84
4
32 12
45= + =
−=
−=→
052●●
a nn = − + − ⋅1
61
1
3( )
d a a a a= − = − = = − ⋅ = − ⋅ = −4 3 1 35
6
1
2
1
32
1
3
1
22
1
3
1
6→
a a3 412
56
= =i .051●●
050●
=====++
049●
a nn n
n = + − ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
− −=
−5
31
1
3
5 1
3
6
3( )
( )
4
3
5
31
4
3
2
31
1
3
2
3
1
3− = − = − = − = − = d
53
43
123
0, , , , , …048●
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 220
221
7
En una progressió aritmètica, a1 = 7 i d = 6. Esbrina quin lloc hi ocupa unterme que val 79.
a1 = 7, d = 6 → an = 7 + (n − 1) ⋅ 6 → 79 = 7 + 6 ⋅ (n − 1) → → 72 = 6 ⋅ (n − 1) → 12 = n − 1 → n = 13
Troba el terme de les progressions aritmètiques següents.
a) 1,73; 1,77; 1,81; 1,85, … c)
b) 5, 2, −1, −4, −7, … d)
a) a1 = 1,73; d = 0,04 → an = 1,73 + (n − 1) ⋅ 0,04 = 1,69 + 0,04n
b) a1 = 5, d = −3 → an = 5 − 3 ⋅ (n − 1) = 8 − 3n
c) a1 = , d = → an = + ⋅ (n − 1) = n
d) a1 = , d = → an = + ⋅ (n − 1) =
Troba el terme general d’una progressió aritmètica en què a4 = 13 i a2 + a11 = 41.
a4 = a2 + 2d = 13 → a2 = 13 − 2d
Substituïm per trobar d:
a2 + a11 = 41 → a2 + a2 + (11 − 2) ⋅ d = 41 → 2a2 + 9d = 41 →→ 2 ⋅ (13 − 2d) + 9d = 41 → 26 − 4d + 9d = 41 →→ 5d = 41 − 26 = 15 → d = 3
Substituint tenim que:
a2 = 13 − 2d → a2 = 13 − 2 ⋅ 3 = 13 − 6 = 7
Com que a2 = a1 + d → 7 = a1 + 3 → a1 = 4.
El terme general serà: an = 4 + (n − 1) ⋅ 3 = 1 + 3n.
En una progressió aritmètica de 8 termes, el primer i l’últim sumen 21. El tercer terme és 6. Escriu la progressió.
� → a1 = 6 − 2d
a1 + a8 = 21 → a1 + a1 + (8 − 1) ⋅ d = 21 → → 2a1 + 7d = 21 → 2 ⋅ (6 − 2d) + 7d = 21 → → 12 − 4d + 7d = 21 → 3d = 21 − 12 → 3d = 9 → d = 3
Aïllem: a1 = 6 − 2d = 6 − 2 ⋅ 3 = 0.
Per tant, an = (n − 1) ⋅ 3 = 3n − 3 → 0, 3, 6, 9, ...
a1 + a8 = 21a3 = a1 + 2d = 6
056●●●
055●●●
− +1 2
a
n
a
2
a
1
a
2
a
1
a
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 3 5 7a a a a
, , , , …
12
132
2, , , , …
054●●
053●●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 221
Interpola 6 termes entre 1 i 3 perquè formin una progressió aritmètica.
a1 = 1, a8 = 3, d = (3 − 1) : (8 − 1) =
Els 6 termes són: .
Interpola 5 termes entre els nombres i perquè formin una progressióaritmètica.
a1 = , a7 = ,
Els 5 termes són: .
Aquestes successions són progressions aritmètiques. Completa-hi els termes que falten.
a) �, , �, , �, � c) �, , �, �, , �
b) �; 1,5; �; 2,5; � d) �, �, �, , �,
a) d =−
−=
5
6
1
2
4 2
1
6
1
3
1
2
2
3
5
61
7
6→ , , , , ,
83
53
12
14
56
12
060●●●
29
84
41
42
135
84
47
21
241
84, , , ,
d =+
−=
7
2
2
7
7 1
53
84
7
2−
7
2
72
−72
059●●
9
7
11
7
13
7
15
7
17
7
19
7, , , , ,
2
7
058●●
057 FES-HO AIXÍ
COM INTERPOLEM TERMES QUE FORMEN UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA?
Interpola tres termes entre 1 i 9 perquè formin una progressió aritmètica.
PRIMER. Calculem a1 i d.
La progressió que volem fer serà de la forma: 1, a2, a3, a4, 9.
Per tant, a1 = 1 i a5 = 9.
Com que ha de ser una progressió aritmètica:
an = a1 + (n − 1)d 9 = 1 + (5 − 1)d
9 = 1 + 4d → d = = 2
SEGON. Trobem els termes intermitjos.a2 = 1 + (2 − 1) ⋅ 2 = 3a3 = 1 + (3 − 1) ⋅ 2 = 5a4 = 1 + (4 − 1) ⋅ 2 = 7
Els tres termes que hi hem d’interpolar seran 3, 5 i 7.
8
4
n = 5⎯⎯→
222
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 222
223
7
b) d = (2,5 − 1,5) : (4 − 2) = 0,5 → 1; 1,5; 2; 2,5; 3
c)
d)
an = 4n + 1 és el terme general d’una progressió aritmètica. Calcula a25
i la suma dels 20 primers termes.
a25 = 4 ⋅ 25 + 1 = 101 → a1 = 4 ⋅ 1 + 1 = 5
S20 = ⋅ 20 = ⋅ 20 = 860
En una progressió aritmètica, a8 = 40 i d = 7. Troba’n el primer terme i la suma dels 10 primers.
a8 = a1 + 7 ⋅ d → 40 = a1 + 7 ⋅ 7 → a1 = −9a10 = a1 + 9d → a10 = −9 + 9 ⋅ 7 = 54
S10 = ⋅ 10 → S10 = ⋅ 10 = 225
Calcula la suma dels 10 primers termes d’una progressió aritmètica si el tercer terme és 24 i el desè és 66.
a3 = 24, a10 = a3 + 7d → 66 = 24 + 7d → 42 = 7d → d = 6
a3 = a1 + 2d → 24 = a1 + 2 ⋅ 6 → a1 = 12
S10 = ⋅ n = ⋅ 10 = 390
Fes la suma dels 100 primers nombres parells.
a1 = 2 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d → an = 2 + 2 ⋅ (n − 1) = 2n → → a100 = 2 + 2 ⋅ 99 = 200
S100 = ⋅ n = ⋅ 100 = 10.100
Calcula la suma dels múltiples de 3 compresos entre 200 i 301.
a1 = 201, an = 300 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d → 300 = 201 + (n − 1) ⋅ 3 →
→ = n − 1 → n − 1 = 33 → n = 34
S34 = ⋅ n = ⋅ 34 = 8.517201 300
2
+a a1 34
2
+
300 201
3
−
065●●
2 200
2
+a a1 100
2
+
064●
12 66
2
+a a1 10
2
+
063●
− +9 54
2
a a1 10
2
+
062●
5 81
2
+a a1 20
2
+
061●
d =−
−=
8
3
5
3
6 4
1
2
1
6
2
3
7
6
5
3
13
6
8
3→ , , , , ,
d =−
−=
1
2
1
4
5 2
1
12
1
6
1
4
1
3
5
12
1
2
7
12→ , , , , ,
SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 223
224
Troba la suma dels 15 primers termes d’una progressió aritmètica en quèa1 = 7 i a4 = 40.
a4 = a1 + 3d → 40 = 7 + 3d → d = 11
a15 = a1 + 14d → a15 = 7 + 14 ⋅ 11 = 161
S15 = ⋅ n → S15 = ⋅ 15 = 1.260
Troba la suma dels n primers nombres naturals.
an = n → Sn = ⋅ n = ⋅ n =
Quants nombres senars consecutius a partir d’1 sumen 2.916?
Els nombres senars formen una successió el terme general de la qual és an = 2n − 1.
Sn = ⋅ n → 2.916 = ⋅ n → 2.916 = n2 → n = 54
Per tant, es tracta dels 54 primers nombres senars.
Calcula la suma i l’últim terme d’una progressió aritmètica de diferència 4 si saps que té 12 termes i el primer val 7.
a12 = 7 + (12 − 1) ⋅ 4 = 51, S127 51 12
2348=
+ ⋅=
( )
069●●
1 2 1
2
+ −na an1
2
+
1 + 3 + 5 + 7 +9+
11 +13+
15+
17+19+21+23+
25+
27+
29+
31 +33 + 35 +
37 +39+
41+43+45+
47+
49
+ 51 + 53…=
2.916068
●●●
n n2
2
+1
2
+ na an1
2
+
067●●●
7 161
2
+a a1 15
2
+
066●
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 224
225
7
Calcula la suma dels termes d’una progressió aritmètica limitada el primer termede la qual és 4, l’últim és 40 i la diferència és 3.
40 = 4 + (n − 1) ⋅ 3 → n = 13,
La suma dels 5 primers termes d’una progressió aritmètica és 2,5. La suma dels8 primers termes és 5,2. Escriu la progressió.
S5 = ⋅ n = 2,5 → (a1 + a5) ⋅ 5 = 5
S8 = ⋅ n = 5,2 → (a1 + a8) ⋅ 8 = 10,4
� → a8 − a5 = 3d = 0,3 → d = 0,1
Substituïm en la 1a equació:
a1 + a5 = 1 → 2a1 + 4d = 1 → 2a1 + 0,4 = 1 → 2a1 = 0,6 → a1 = 0,3
La progressió és 0,3; 0,4; 0,5; 0,6, …
Calcula la diferència o la raó de les progressions següents i troba’n el termegeneral.
a) 3, 6, 12, 24, … c) 1, 1, 1, 1, … e) 16, 8, 0, −8, …
b) 10, 7, 4, 1, … d) 16, 8, 4, 2, 1, … f) 3, 9, 15, 21, …
a) r = 6 : 3 = 2; an = 3 ⋅ 2n−1
b) d = 7 − 10 = −3; an = 10 + (n − 1) ⋅ (−3)
c) r = 1; an = 1
d) r = ; an = 16 ⋅
e) d = 8 − 16 = −8; an = 16 + (n − 1) ⋅ (−8) = (n − 3) ⋅ (−8)
f) d = 9 − 3 = 6; an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 = 3n
En una progressió geomètrica, a1 = 4 i a2 = 3. Troba’n el terme general i a20.
3 = 4r → r = → an = 4 ⋅ a20 = 4 ⋅
En una progressió geomètrica, a1 = 6 y a3 = 30. Troba’n a4 i el terme general.
a3 = a1 ⋅ r 2 → 30 = 6r2 → r = ±
Hi ha dues solucions: an = 6 ⋅ (± )n−1 → a4 = 6 ⋅ (± )3 = ±30 555
5
074●
3
4
19⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
4
1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−n3
4
073●
1
2
1
2
1 5⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
− −n n8
16
1
20 5= = ,
072●
a1 + a5 = 1a1 + a8 = 1,3
a a1 8
2
+
a a1 5
2
+
071●●●
S134 40 13
2286=
+ ⋅=
( )
070●●●
SOLUCIONARI
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 225
226
Calcula.
a) El terme general d’una progressió geomètrica en què a1 = 3 i r = 5.
b) El terme 7.
a) an = 3 ⋅ 5n−1
b) a7 = 3 ⋅ 56 = 46.875
Donada la successió
a) Comprova que és una progressió geomètrica.
b) Calcula’n el terme 10.
a)
b)
Troba els termes que falten als forats de les progressions geomètriquessegüents.
a) 1; 0,1; �; 0,001; �
b) �, , , �, , �
c) �, , �, , �
d) �, , �, �,
a) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001
b)
c)
d)
El terme general de la progressió 3, 6, 12, 24, ... és:
a) an = 3 + (n − 1) ⋅ 3b) an = 3 ⋅ 3n−1
c) an = 3 ⋅ 2n−1
d) No es pot calcular.
c) an = 3 ⋅ 2n−1
078●
1
4
3
2
9
2 2
27
2 4
81
43 3 3, , , ,
⋅ ⋅
2
3
1
3
1
6
1
12
1
24, , , ,
3
2
1
2
1
6
1
18
1
54
1
162, , , , ,
814
32
112
13
154
16
12
077●●
a10
9
10
2
3
1
3
2
3
2
59 049= ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
.
2
9
2
3
2
27
2
9
2
81
2
27
1
3: : := = = = r
23
29
227
281
, , , , …076●
075●
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 226
227
7
En una progressió geomètrica de termes positius, a2 = 60 i a4 = 2.400. Troba’n:
a) Els 5 primers termes.b) El terme general.c) Els 10 primers termes.
a)
b)
c)
En una progressió geomètrica, a2 = 10 i a5 = 10.000. Calcula ri els 10 primers termes de la progressió. Quin n’és el terme general?
10.000 = 10 ⋅ r 3 → r = 10, an = 10n−1
Els 10 primers termes són: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000,10.000.000, 100.000.000, 1.000.000.000.
Un terme d’una progressió geomètrica val 3.720.087. Si el primer terme és 7 i la raó és 3, de quin terme parlem?
3.720.087 = 7 ⋅ 3n−1 → 3n−1 = 531.441 → n − 1 = 12 → n = 13
Dos termes consecutius d’una progressió geomètrica valen 3 i 4.
Esbrina quin lloc ocupen si a1 = .
an = ⋅ r n−1 = 3
an+1 = ⋅ r n = 4
Substituïm en la 1a equació:
→
(: 3)
→ n − 1 = 2 → n = 3
Són els termes 3r i 4t.
En una progressió geomètrica, el primer terme és 5 i la raó és 3. Calcula la suma dels 8 primers termes.
a1 = 5, r = 3
Sa r
rSn
n
=⋅ −−
=⋅ −−
=18
81
1
5 3 1
3 116 400
( ) ( ).→
083●
327
16
4
3
48
27
16
9
4
3
1
= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟
−n
→ ⎟⎟⎟⎟
−n 1
27
16
2716
082●●●
081●●
080●
3 10 60 120 10 2 400 2 800 10 96 000
192 000 10
, , , . , . , . ,
. ,, . . , . . , . .3 840 000 7 680 000 10 153 600 000
ann= ⋅ −3 10 2 10 1( )
3 10 60 120 10 2 400 2 800 10, , , . , .
2 400 60 40 2 102. ·= → = =r r
079●
Dividint obtenim: = r.4
3
SOLUCIONARI
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
F
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:06 Página 227
En una progressió geomètrica, el segon terme és 2 i el quart és . Troba la suma dels 6 primers termes.
a2 = 2, a4 = → a4 = a2 ⋅ r 2 → = 2 ⋅ r 2 → r = ±
a2 = a1 ⋅ r → 2 = a1 ⋅ → a1 = ±4
085
S6
6
41
21
1
21
=
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
= =
− ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
63
8
41
21
6
6
o S
( )⎥⎥
− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
= −1
21
21
8
±⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
2
1
4
1
2= ±
1
2
1
2
12
084●
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM LA SUMA DELS INFINITS TERMES D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA?
Calcula la suma dels infinits termes d’aquestes progressions geomètriques.
a) a1 = 3 i r = 2 c) c1 = −2 i r =
b) b1 = −1 i r = 2 d) d1 = i r = −2
PRIMER. Calculem la raó de la progressió.
SEGON. Analitzem els diferents casos.
• Si r > 1, la suma sempre és +� o −�.
a) r = 2 > 1. La successió és:3, 6, 12, 24, 48, …
La suma de tots els termes és +�.
b) r = 2 > 1. La successió és:−1, −2, −4, −8, −16, −32, −64, …
La suma de tots els termes és −�.
• Si −1 < r < 1, apliquem la fórmula S = .
c) −1 < r = < 1. Apliquem la fórmula:
S =
• Si r < −1, no ho podem calcular.
d) r = −2 < −1. La successió és:
, −1, 2, −4, 8, −16, 32, …
No podem calcular la suma dels infinits termes.
1
2
c
r1
1
2
11
3
2
2
3
3−
=−
−=
−= −
1
3
a
r1
1 −
12
13
228
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 228
229
7
Tenim una progressió geomètrica en què a1 = 2 i r = 0,1. Calcula.
a) La suma dels 6 primers termes.b) La suma dels infinits termes.
a)
b) 2,2�
En una progressió geomètrica, a1 = −1 i r = 7. Calcula.
a) La suma dels 10 primers termes.b) La suma dels infinits termes.
a)
b) La suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica de raó més granque 1 és infinit.
Troba la suma dels infinits termes de la progressió 16, 12, 9, , …
a2 = a1 ⋅ r → 12 = 16 ⋅ r → r =
S = → S = = 64
Donades les successions següents, calcula, en els casos en què sigui possible,la suma dels infinits termes.
a) r S= =
−
=1
2
10
11
2
20→
089●●
16
1 3 4− /
a
r1
1−
12
16
3
4=
274
088●
S10
101 7 1
7 1
282 475 248
647 079 208=
− ⋅ −−
= =( ) . .
. .
087●
S =−
= =2
1 0 1
2
0 9, ,
S6
62 0 1 1
0 1 1
1 999998
0 92 22222=
⋅ −−
=−−
=( , )
,
,
,,
086●
SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 229
230
b) No és possible, ja que 3 > 1.
c)
d) No és possible.
e) No és possible, és una successió aritmètica i no geomètrica.
f) No és possible, és una successió aritmètica i no geomètrica.
g) r = 1, i, per tant, no és possible.
h)
La suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica és
i la raó és . Troba els 4 primers termes de la successió.
S = → 15 = 5a1 → a1 = 3
a2 = a1 ⋅ r = 3 ⋅
El sisè terme d’una progressió geomètrica és 18 i el quart és 6.
a) Troba’n el terme general.b) Calcula el producte dels 10 primers termes.
a) a6 = a4 ⋅ r 2 → 18 = 6 ⋅ r 2 → r = ±
Per a r = + → a4 = a1 ⋅ r 3 → 6 = a1 ⋅ ( )3 → a1 =
an =
Per a r = − → 6 = a1 ⋅ (− )3 → a1 =
an =
b) a10 = = 2 ⋅ 34 = 162
P10 = = (±187,06)5 = ±2,29 ⋅ 1011( )a a1 1010
5
2 3
3162⋅ = ± ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
2
33
2
3310 5⋅ ± = ⋅( )
− ⋅ − −2 3
33 1( )n
6
3 3
2 3
3−=−
33
2 3
33
2
331⋅ = ⋅−( ) ( )n n
6
3 3
2 3
3=33
3
091●●
1
5
3
5
3
25
3
1253 4= = =, ,a a
a
r
a a1 1 1
1
15
4 11
5
15
4
5
4−=
−=→ →
15
154
090●●●
r S= =−
=1
10
10
11
10
100
9→
r =−< −
3
21 →
r S= − =−
− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
= −1
3
1
11
3
3
4→
r = =
3
21
2
3 →
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 230
231
7
El vuitè terme d’una progressió geomètrica és 1.458 i la raó és 3.
a) Troba’n el terme general.b) Calcula el producte dels 8 primers termes de la progressió.
a) a8 = a1 ⋅ r 7 → 1.458 = a1 ⋅ 37 → a1 =
(: 729)
b) P8 = = 9724 = 8,926 ⋅ 1011
El cinquè terme d’una progressió geomètrica és 160 i el segon és 20.
a) Troba’n el sisè terme.b) Calcula el producte dels 7 primers termes d’aquesta progressió.
a) a5 = a2 ⋅ r 3 → 160 = 20 ⋅ r 3 → r = = 2a2 = a1 ⋅ r ⎯→ 20 = a1 ⋅ 2 → a1 = 10a7 = a1 ⋅ r 6 → a7 = 10 ⋅ 26 = 640
b) P7 = = 807 = 2,097 ⋅ 1013
El nombre d’usuaris d’un poliesportiu els caps de setmana era, al començament,de 150 persones, però va augmentar en 30 persones cada cap de setmana a partir de llavors.
a) Quants usuaris va tenir el cap de setmana 12?b) I en les 10 primeres setmanes?
És una progressió aritmètica amb d = 30.
a) a12 = 150 + 11 ⋅ 30 = 480 usuaris
b) usuaris
La Teresa ha comprat un cavall i el vol ferrar. Per això li ha de posar 20 cargols, i el primer val 1 cèntim d’euro, i la resta valen 1 cèntim d’euro més que l’anterior. Quant paga en total per ferrar-lo?
Es tracta d’una progressió aritmètica amb a1 = 1 i d = 1.
a20 = 1 + 19 ⋅ 1 = 20 cèntims
S20 = ⋅ 20 =
= 210 cèntims = 2,10 €
a a1 20
220
1 20
2
+⋅ =
+
095●●
S10150 420 10
22 850=
+ ⋅=
( ).
094●●
( ) ( )a a1 77 710 640⋅ = ⋅
83
093●●
( ) .a a P1 88
8
82
31 458⋅ = ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟→
1 458
2 187
2
3
2
33 1.
.= = ⋅ −→ an
n
092●●
SOLUCIONARI
F
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 231
232
Quant pagaria la Teresa si el preu del primer cargol fos el mateix, però cadascun dels següents li costés el doble que l’anterior?
Es tracta d’una progressió geomètrica de raó r = 2 i a1 = 1.
S20 = → S20 = = 1.048.575 cèntims = 10.485,75 €
En un aparcament cobren 0,25 € per la primera hora d’estacionament i el doble que l’anterior per cadascuna de les següents. Quant pagarem per tenir-hi el vehicle aparcat 8 hores?
És la suma dels 8 primers termes d’una progressió geomètrica
amb r = 2 i a1 = 0,25 → €
Un arbre de creixement ràpid multiplica la seva altura per 1,2 cada any. Si al començament de l’any feia 0,75 cm, quina altura tindrà al cap de 10 anys? Quant haurà crescut en aquests 10 anys?
És una progressió geomètrica amb r = 1,2 i a1 = 0,75.
a10 = 0,75 ⋅ 1,29 = 3,87 m mesurarà al cap de 10 anys; per tant, hauràcrescut: 3,87 − 0,75 = 3,12 m.
Deixem caure una pilota d’una altura d’1 metre i en cadascun dels bots que fa puja a una altura igual a la meitat del bot anterior. A quina altura arribaràen el cinquè bot?
És una progressió geomètrica amb r = 0,5 i a1 = 1. El cinquè botés el terme 6è de la progressió: a6 = 1 ⋅ 0,55 = 0,03125 m.
Llancem una pilota que fa bots al llarg d’un passadís, tal com veiem a la figura.
Si en el sisè bot xoca amb la paret i s’atura, quina distància haurà recorregut?
És una progressió geomètrica amb r = i a1 = 1.
La suma dels 7 primers termes és: m.S7
8
12
31
2
31
2=
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−
= ,8883
2
3
100●●
099●●
098●●
S8
80 25 2 1
2 163 75=
⋅ −−
=, ( )
,
097●●
1 2 1
2 1
20⋅ −−
( )a r
r1
20 1
1
⋅ −−
( )
096●●
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 232
233
7
Calcula la profunditat d’un pou si s’han pagat 20 €per l’excavació del primer metre i, per cadascun dels altres, 5 € més que l’anterior, si el cost total és de 1.350 €.
És una progressió aritmètica amb d = 5 i a1 = 20.
La solució negativa de n no la considerem, ja que una mesura de longitudnegativa no és possible.
Una granota és a la vora d’una bassa circular de 7 m de radi i vol arribar al centre saltant. El primer salt que fa és de 3 metres i, després, avança en cadascun la meitat que en l’anterior. Aconseguirà arribar al centre?
És una progressió geomètrica amb r = 0,5 i a1 = 3. La distància màximaque recorrerà és la suma dels infinits termes.
, i per tant no arribarà al centre de la bassa.
Durant els 4 primers mesos de vida, un nadó ha anat guanyant cada mes un20 % del pes. Si quan va néixer pesava 2.900 grams, quin ha estat el seu pes al final del quart mes?
És una progressió geomètrica de raó r = 1,2 i a1 = 2.900.
a4 = a1 ⋅ r 3 → a4 = 2.900 ⋅ (1,2)3 = 5.011,2 grams
Una escala té tots els esglaons iguals menys el primer, que fa 20 cm. Si pugem 100 esglaons, haurem ascendit a una altura de 1.505 m. Quina és l’altura de cada esglaó?
h = altura d’un dels 99 esglaons iguals
1.505 − 20 = 99 ⋅ h → h = = 15 cm
Podem considerar que els 99 esglaons formen una progressió aritmètica de diferència d = 0.
1 485
99
.
104●●
103●●
S =−
=3
1 0 56
,m
102●●
1 3501
2
20 20 1 51 1.( ( ) ) ( ( ) )
= =+ + − ⋅ ⋅
=+ + − ⋅
Sa a n d n n
n⋅⋅=
=+
+ − = =
n
n nn n n
25 35
25 35 2 700 0 20
22→ →. m
101●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 13:43 Página 233
234
Una biòloga estudia l’evolució d’una poblacióde mosques.
a) Si el nombre inicial de mosques és de 50 i cada 10 dies la població de mosques es quadriplica, troba el terme general de la progressió formadapel nombre de mosques cada 10 dies.
b) Quantes mosques hi haurà al cap de 50 dies?c) Si el preu de l’aliment per a mosques el primer dia és d’1 €, i cada dia
augmenta 2 cèntims més, troba el terme general de la progressió.d) Determina el valor de l’aliment el dia 20.e) Calcula el valor de l’aliment en els 40 primers dies.
a) És una progressió geomètrica amb r = 4 i a1 = 50. Per tant, an = 50 ⋅ 4n−1.
b) a5 = 50 ⋅ 44 = 12.800 mosques
c) d = 0,02 i a1 =1, en què an = 1 + (n − 1) ⋅ 0,02.
d) a20 =1 + (20 − 1) ⋅ 0,02 = 1,38 €
e) €
Dipositem 5.000 € al 4 % anual el 31 de desembre en una empresa financera. Si no en retirem els diners durant 6 anys, quin capital tindrem al final de cada any?
Primer any: €
Segon any: €
Tercer any: €
Quart any: €
Cinquè any: €
Sisè any: €C6
6
5 000 14
1006 326 60= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. . ,
C5
5
5 000 14
1006 083 26= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. . ,
C4
4
5 000 14
1005 849 29= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. . ,
C3
3
5 000 14
1005 624 32= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. . ,
C2
2
5 000 14
1005 408= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. .
C1 5 000 14
1005 200= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. .
106●●
S401 1 78 40
255 60=
+ ⋅=
( , ),
105●●●
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 234
Calcula el capital que, invertit a un interès compost del 5 %, produeix en 4 anysun capital final de 1.500 €.
€
Si un capital de 5.00 € es converteix en 6.000 € en una situació d’interès compost al cap de 2 anys, quin és l’interès a què s’ha invertit el capital inicial?
L’interès serà del 9,5 %.
109
→ →r
1000 095= ,
6 000 5 000 1100
6
51
100 1
2
. .= ⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
r r r→ →000
6
51= − →
108●●
1 500 15
100
1 500
15
100
4
..
= ⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+⎛
⎝⎜
C C→
⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=4
1 234 05. ,
107●●
FES-HO AIXÍ
COM RESOLEM UN PROBLEMA D’INTERÈS COMPOST AMB AUGMENTS DE CAPITAL?
Una família fa un pla d’estalvis durant 4 anys amb un ingrés, al començamentde cada any, de 3.000 € a un 5 % anual d’interès compost. Quants diners tin-drà quan acabi el pla?
PRIMER. Calculem l’interès de cada aportació.
– El primer any ingressa 3.000 €, que estaran 4 anys al banc.N’obté:
3.000 ⋅ 1,054€
– El segon any ingressa 3.000 €, que estaran 3 anys al banc.N’obté:
3.000 ⋅ 1,053€
– El tercer any ingressa 3.000 €, que estaran 2 anys al banc.N’obté:
3.000 ⋅ 1,052€
– El quart any ingressa 3.000 €, que estaran 1 any al banc.N’obté:
3.000 ⋅ 1,05 €
SEGON. Sumem les quantitats obtingudes.
3.000 ⋅ 1,05 + 3.000 ⋅ 1,052 + 3.000 ⋅ 1,053 + 3.000 ⋅ 1,054
Així obtenim la suma dels termes d’una progressió geomètrica en què:
a1 = 3.000 ⋅ 1,05 a4 = 3.000 ⋅ 1,054 r = 1,05
S = 13.576,90 €a r a
r4 1
5
1
3 000 3 000
1
⋅ −−
=⋅ − ⋅
−=
. .1,05 1,05
1,05
235
7SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 235
236
La Rosa rep una gratificació al principi de cada trimestre de 1.000 €. Si els diners els diposita en una entitat bancària al 4 % d’interès compost,quants diners tindrà al final de cada any?
Com que la gratificació la rep al principi del trimestre, la quantitatcorresponent al primer trimestre es converteix en 1.000 ⋅ 1,04,
al segon , al tercer i al quart .
Calculem la suma dels termes d’una progressió geomètrica,
amb a1 = i r = .
€
En un examen, les preguntes estaven ordenades en funció de la dificultat. La primera valia 2 punts, i cadascuna de les següents, 3 punts més que l’anterior. Si en total comptem 40 punts, quantes preguntes tenia l’examen?
És una progressió aritmètica amb d = 3 i a1 = 2.
No considerem la solució negativa de n perquè un nombre negatiu depreguntes és impossible.
El nombre 0 pot ser el primer terme d’una progressió geomètrica? I d’una progressió aritmètica?
Si el primer terme d’una progressió geomètrica és 0, tots els termes seran 0,ja que la resta de termes es calculen multiplicant el primer per la raó elevada a una potència determinada. D’altra banda, el primer terme d’unaprogressió aritmètica pot ser 0.
112●●
401 1
2
2 2 1 3
21 1= =
+ + − ⋅ ⋅=
+ + − ⋅ ⋅=
=
Sa a n n n n
n( ( ) ) ( ( ) )
33
23 80 0 5
22n n
n n n+
+ − = =→ → preguntes
111●●●
S4
5
4
1
4
1
4
1 000 1 000
1
=⋅ − ⋅
−
=. .1,04 1,04
1,04
1.050,225 1.009,85
0,00994.080,21
−=
1,041
41.000 · 1,041
4
1.000 · 1,041
41.000 · 1,042
41.000 · 1,043
4
110●●●
Progressions
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 236
237
7
Tenim una progressió geomètrica amb a1 � 0 i r � 0, i una progressió aritmètica amb a1 = 0. Si sumem, terme a terme, aquestes dues progressions obtenim: 1, 1, 2, … Quina és la suma dels 10 primers termes?
La successió geomètrica és an i l’aritmètica és bn (con b1 = 0).
La suma és an + bn.
a1 + b1 = 1, i com que b1 = 0, aleshores a1 = 1.
Per tant, tindrem que: an = r n−1 i bn = (n − 1) ⋅ d.
→ r 2 − 2r = 0 → r = 0 y r = 2
Com que r no pot ser 0, r = 2 i d = −1.
La suma dels 10 primers termes és la suma dels 10 termes de cada una de les successions.
La suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica (n > 1) és 153 i la diferència és 2. Si a1 és un nombre enter,quants valors possibles hi ha per a n?
La diferència és d = 2.
El valor de n ha de ser enter i, per tant, serà divisor de 153.
Div (153) = {1, 3, 9, 17, 51, 153}
Busquem els valors que seveixen com a solució:
• n = 3 → a1 + 3 − 1 = 51 → a1 = 49, a2 = 51, a3 = 53 i la suma fins a a3 es 153.
• n = 9 → a1 + 9 − 1 = 17 → a1 = 9, a2 = 11, a3 = 13… i la suma fins a a9 es 153.
• n = 17 → a1 + 17 − 1 = 9 → a1 = −7, a2 = −5, a3 = −3… i la suma fins a a17 es 153.
• n = 51 → a1 + 51 − 1 = 3 → a1 = −47, a2 = −45, a3 = −43… i la suma fins a a51 es 153.
• n = 153 → a1 + 153 − 1 = 1 → a1 = −151, a2 = −149, a3 = −147… i la suma fins a a153 es 153.
La suma és Sa a n a a n d n
nn=
+ ⋅=
+ + − ⋅ ⋅( ) ( ( ) )1 1 1
2
1
2==
=+ ⋅ − ⋅
= + − ⋅ =( )( )
( )2 2 1
21 1531
1a n n
a n n
114●●●
′ =⋅ −
−=
′′ =+ − ⋅
=
⎫
⎬
⎪S
S
10
9
10
1 2 1
2 1511
0 1 10
25
( )
( )( )
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= ′ + ′′ =→ S S S10 10 10 516
a b r d
a b r d
d r1 1
2 22
1
2 2
1+ = + =+ = + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= − ⎫⎬⎪⎪⎭⎪
→
⎪⎪ + ⋅ − =r r2 2 1 2( ) →
113●●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 237
238
Expressa de forma fraccionària el nombre periòdic 0,5�. Per fer-ho, escriu-lo de la forma: 0,5 + 0,05 + 0,005 + … i troba la suma de la progressió.
És una progressió geomètrica, de terme general:
→ 0,5� = S =
Calcula la fracció generatriu de 2,8� fent servir la suma de la progressió.
Com que 2,8� = 2,8888… = 2 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008…
Suma d’una progressió geomètricaamb a1 = 0,8 i r = 0,1
2,8� .
Dividim el costat AC d’un triangle rectangle ABC en 8 parts iguals. Per fer-ho, aixequem des dels punts de divisió paral·leles al costat BC. Si BC fa 10 cm, calcula la suma de les longituds dels altres 7 segments.
La distància de A a cada divisió n de AC és i, per semblança
de triangles, el costat paral·lel a BC que passa per aquesta divisió serà:
,
Per tant, formen una progressió aritmètica de diferència
d = i a1 = .
Així, la suma és: .S10
5
410 10
2
5
410 5=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ==
225
4
5
4
5
4
nAC AC
x
xn n
810
10
8
5
4
→
→→
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= =
nAC
8
117●●●
= +−
= + =20 8
1 0 12
8
9
26
9
,
,
116●●●
0 5
11
10
5
9
,
−
=an
n
= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
0 51
10
1
,
115●●●
Progressions
A
B
10 c
m
C
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 238
239
7
A LA VIDA QUOTIDIANA
En Julià Gasol, el propietari d’una gasolinera de Vilapoble, ha tingut una idea per premiar la fidelitat dels camioners que habitualment van a la seva gasolinera.
Aquests punts es podran canviar per menús enuna cafeteria o per un magnífic creuer.
En Marià té un camió de tipus mitjà amb undipòsit de 350 litres, i l’omple normalment cadasetmana. Com que el litre de gasoil acostuma acostar una mica menys d’1 €, omplir el dipòsitcada setmana li costa uns 350 €.
Si segueix amb la mateixa despesa, podriaobtenir un menú gratis? I el creuer?
El seu amic Antoni, que té un camió més gran que el seu, li diu que creu que no tindràproblemes per aconseguir el creuer. Si la freqüència amb què omple el dipòsit és un cop a la setmana, quants litres de gasoilnecessitarà setmanalment?
Suposem que no es donen fraccions de punts. Els punts obtinguts formenuna progressió aritmètica amb terme general an = 3n.
La suma dels punts en n repostatges és: .Sn n n n
n =+ ⋅
=+( )3 3
2
3 3
2
2
118●●●
SOLUCIONARI
Durant aquest mes els donarem punts per cada 100 € de gasolina...
La primera vegada que vinguinels donarem 1 punt per cada 100 €; la segona, 2 punts per cada 100 €; la tercera, 3 punts per cada 100 €;
la quarta, 4 punts... i així successivament..
100 PUNTSMenú gratis
1.000 PUNTSUn creuerper a duespersones.
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 239
240
Si omple el dipòsit quatre cops al mes, punts,
i per tant, no aconseguirà ni el menú ni el creuer.
Per aconseguir els 1.000 punts del creuer:
Per tant, en Marià necessita omplir el dipòsit 18 cops.
El seu amic Antoni segueix una progressió aritmètica amb an = xn. en què x són els litres (en centenars) que posa:
L’Antoni ha de posar cada cop 10.000 litres de combustible.
Segons un informe d’una revista econòmica, el millor pla de pensions que hi ha al mercat és el Bancverd.
En aquest pla de pensions es fan ingressos periòdics de diners:mensualment, trimestralment, anualment... Els diners inicials que s’hi ingressen i els que s’hi van afegint cada any reporten un 4,45 % anual i l’únic problema és que, també cada any, cobren un 0,99 % de comissió de gestió.
Si tinc 40 anys i he decidit ingressar 2.000 €a l’any, quants diners rebré quan en faci 65?
119●●●
→ →1 0004 4
210 1004
2
. = =⋅ + ⋅
= =Sx x
x x
Sx xn n xn xn
n =+ ⋅
=+( )
2 2
2
→
→ →nn
n
=− ± +
=− ±
= =3 9 12 000
6
3 109 58
6
106 58
617 76
. ,,
,
== − = −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
112 58
6118 76
,,
1 0003 3
23 3 1 000 0
22. .= =
++ − =S
n nn nn → →
S4
23 4 3 4
230=
⋅ + ⋅=
Progressions
PLA DE PENSIONS BANCVERDE
■ Amb les comissions més baixesdel mercat
0 Comissióde subscripció
0 Comissióde reemborsament
0 Comissióde dipòsit
0 ,99 Comissióde gestió
■ Alt potencial de rendibilitat 4,45 %
Anualassegurat
A veure... Si ingresso 2.000 € a l’any tindré aquests 2.000 € més el 4,45 % del total, i hi he de restar el 0,99 %
del total.El segon any ingresso 2.000 € més,
que he d’afegir als diners del primer any,i em donen el 4,45 % del total, però també hi he de restar
altre cop el 0,99 %...
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 240
241
7
Per a un any li correspon:
Per a dos anys li correspon:
En aquesta progressió geomètrica, per a t anys li correspon:
Per tant, la suma de les aportacions dels 24 anys que li falten per arribar als 65 és:
S24 =
€= =2.478,47455989
0,0341594572.556,04
2 000 14 45
1001
0 99
100.
, ,⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜1
4 45
1001
0 99
100
24, , ⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟
24
1
14 45
100
, ⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟−
=
10 99
1001
,
2 000 14 45
1001
0 99
100.
, ,⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞t
⎠⎠⎟⎟⎟⎟
t
2 000 14 45
1001
0 99
100
2
., ,
⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠⎟⎟⎟⎟
2
= ⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞2 000 1
4 45
1001
0 99
100.
, ,⎠⎠⎟⎟⎟⎟
2 000 2 0004 45
1002 000 2 000
4 45
100. .
,. .
,+ ⋅ − + ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =
0 99
100
,
SOLUCIONARI
831106 _ 0208-0241.qxd 11/9/07 15:07 Página 241
242
Llocs geomètrics.Figures planes8
PARAL·LELOGRAMSI TRIANGLES
POLÍGONSQUALSEVOL
LONGITUD DE LACIRCUMFERÈNCIA
ÀREA DE FIGURESCIRCULARS
ANGLESEN POLÍGONS
ANGLES EN LACIRCUMFERÈNCIA
ANGLESEN FIGURES PLANES
PERÍMETRESI ÀREES DE POLÍGONS
POLÍGONSREGULARS
LONGITUDD’UN ARC
ÀREADEL CERCLE
PERÍMETRES I ÀREES DE FIGURES CIRCULARS
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 242
La riquesa dels savis
Aquella va ser la gota que va fer vessar el got: la seva mare li retreiaque, tot i ser tan savi, no fos ric. El comentari no era nou, però a Tales de Milet li va doldre especialment. Es va tancar a casa i va començar a tramar un pla.
Els seus estudis sobre els astres li van permetre predir un any perfecte per al cultiu. Així doncs, va reunir tots els diners de què disposava i fins i tot el que, en secret, va poder demanar i va aconseguir totes les premses d’oli de Milet i la veïna Quios.
La seva predicció sobre el clima va ser encertada, i els seus veïns es fregaven les mans de pensar en els beneficis de la collita de l’oliva. Però quan van anar a premsar les olives, els somriures se’ls van convertir en ganyotes, perquè van haver de pagar el que va estipular Tales.
Quan va haver complert la seva petita venjança, que li va permetre, a més, convertir-se en ric, es va vendre les premses i les terres i es va dedicar als seus estudis de filosofia i matemàtiques. Abans, però, els va dir als seus veïns: «Preneu per a vosaltres els consells que doneu als altres.»
Un dels postulats de Tales és que un angle inscrit en una semicircumferència és sempre un angle recte.
Com faries un triangle rectangle amb una hipotenusa de 4 cm?
Amb un compàs tracem una circumferència de radi 2 cm i hi assenyalem un dels diàmetres,que farà 4 cm, i que és la hipotenusa. Després, agafem qualsevol punt de lacircumferència (que no pertanyi al diàmetre), A, i unim el punt amb els extrems del diàmetreper formar el triangle rectangle.
A
2 cm
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 243
244
EXERCICIS
Dibuixa a la llibreta el lloc geomètric dels punts que compleixen aquestescondicions
a) Equidisten dels extrems d’un segment de 6 cm de longitud.b) Equidisten dels costats d’un angle de 90°.c) Són a 2 cm del punt P.
a) El lloc geomètric és la mediatriu d’un segment de longitud 6 cm.
b) El lloc geomètric és la bisectriu d’un angle de 90°.
c) El lloc geomètric és una circumferència de 2 cm de radi i centre P.
Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten d’una recta.
Els punts que equidisten d’una recta són dues rectes paral·leles que estan ala mateixa distància de la recta inicial.
Defineix les rectes vermelles com a lloc geomètric.
a)
b)
a) És el lloc geomètric dels punts que equidisten una distànciade la recta r.
b) És el lloc geomètric dels punts que estan a una distància dde r i que estan alineats amb el punt P i hi formen una recta
Dibuixa una circumferència circumscrita a aquests triangles.
a) b)
a) b)
004
d
2
003
002
001
Llocs geomètrics. Figures planes
dr
r
dP
d
2
d
2
A
C
A B
C
B
A
C
B
C
B
A
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 244
245
8
Dibuixa un triangle equilàter i determina’n el baricentre i el circumcentre. Què hi observes? Passa el mateix en qualsevol triangle equilàter?
El baricentre i el circumcentre coincideixen en qualsevol triangle equilàter, ja que les mediatrius coincideixen amb les mitjanes.
Defineix el baricentre com un lloc geomètric.
El baricentre és el lloc geomètric dels punts que estan a doble distància delsvèrtexs que dels seus costats oposats.
Dibuixa la circumferència inscrita d’aquests triangles.
a) b)
a) b)
Dibuixa un triangle equilàter i determina’n l’ortocentre i l’incentre. Què hi observes? Passa el mateix en qualsevol triangle equilàter?
L’ortocentre i l’incentre coincideixen en qualsevol triangle equilàter, perquè les bisectrius coincideixen amb les altures.
Defineix la circumferència inscrita com un lloc geomètric.
La circumferència és el lloc geomètric de tots els punts la distància dels quals a l’incentre és igual que la distància de l’incentre a qualsevol dels costats del triangle
Calcula el valor de la hipotenusa d’un triangle rectangle amb uns catets de 32 cm i 24 cm.
a = + = =32 24 1 600 402 2 . cm
010
009
008
007
006
005
SOLUCIONARI
C
A B
C
A
B
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 245
246
Avalua si les mides següents determinen els costats d’un triangle rectangle.
a) 8 cm, 5 cm i 4 cm b) 10 cm, 8 cm i 6 cm
a) No és rectangle, perquè 82 ≠ 52 + 42.
b) Sí que és rectangle, perquè 102 = 82 + 62.
Calcula el tercer costat d’un triangle rectangle si en sabem els altres doscostats: 28 cm i 21 cm.
Si suposem que els costats coneguts són els catets:
I si suposem que els costats coneguts són la hipotenusa i un catet:
Sense fer operacions, raona per què el triangle de costats 35, 77 i 85 no pot serrectangle.
No pot ser rectangle perquè com que 35 i 77 són múltiples de 7, la sumadels seus quadrats serà múltiple de 7. Com que 85 no és múltiple de 7, el seu quadrat tampoc no ho serà, i per tant, no s’acompleix el teorema de Pitàgores.
Calcula el valor de a en aquest triangle equilàter i el quadrat.
a) b)
a)
b)
Determina el costat d’un quadrat la diagonal del qual fa 8 cm.
Calcula el costat d’un triangle equilàter d’altura 28 cm.016
d 2 2 2 2 22 64 2 32 5 66= + = = = =l l l l l→ → , cm
015
a = + = =6 6 72 8 492 2 , cm
a = − = =4 2 12 3 462 2 , cm
014
013
a = − = =28 21 343 18 522 2 , cm
a = + = =28 21 1 225 352 2 . cm
012
011
ll
ll
l
2 2
2
22
2
282
7844
4 3 136
= +⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
=
→ →
→ . ++ = =
=
l l l
l
2 2 23 3 1363 136
332 33
→ → →
→
..
, cm
Llocs geomètrics. Figures planes
4 cma 6 cma
h=
28 c
m
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 246
247
8
Calcula l’àrea dels polígons següents.
a) Un trapezi amb bases de 12 cm i 8 cm i altura de 5 cm.
b) Un rombe amb diagonals de 12 cm i 9 cm.
a) b)
Calcula l’àrea de la figura.
Àrea total = Àrea rectangle + Àrea triangle 1 + Àrea triangle 2
Àrea rectangle = 26 ⋅ 2 = 52 cm2
Àrea triangle 1 =
Àrea triangle 2 =
Àrea total = 52 + 16 + 30 = 98 cm2
Calcula l’àrea d’un rectangle de 3 cm d’altura i 5 cm de diagonal.
Àrea = 4 ⋅ 3 = 12 cm2
Calcula l’àrea de cadascun dels tres triangles.
Els triangles laterals són iguals:
L’àrea del triangle central és: A =
Calcula l’apotema d’un heptàgon regular de 6 cm de costat i 130,8 cm2 d’àrea.
Calcula l’àrea d’un quadrat de 7 cm de costat aplicant la fórmula de l’àrea d’un polígon regular.
A = → A = → A = = 49 cm2
287
2⋅
2
42
ll⋅
2
P a⋅2
022
AP a
aA
P=
⋅=
⋅=
⋅⋅
=2
2 2 130 8
6 76 23→ ,, cm
021
12 10
260
⋅= cm2.
A =⋅=
12 5
230 cm2
020
Base cm= − = =5 3 16 42 2
019
10 6
230
⋅= cm2
16 2
216
⋅= cm2
018
A =⋅=
12 9
254 cm2A =
+ ⋅=
( )12 8 5
250 cm2
017
SOLUCIONARI
10 cm
2 cm
6 cm
26 cm4 cm
10 cm
12 cm
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 247
248
Determina l’àrea d’un hexàgon regular de 6 cm de costat.
L’apotema és l’altura d’un triangle equilàter de 6 cm de costat que podemdividir en dos triangles rectangles.
Calcula l’àrea de la figura següent. Fixa’t que l’interior és un hexàgon regular.
L’àrea és el doble de l’àrea de l’hexàgon de 2 cm de costat.
L’apotema és l’altura d’un triangle equilàter de 2 cm de costat.
L’àrea de la figura és: 2 ⋅ 10,38 = 20,76 cm2.
Determina l’altura i el perímetre d’un triangle equilàter de 2 dm2 d’àrea
L’altura respecte del costat és:
h = 0,87 ⋅ 2,14 = 1,86 dm
P = 3 ⋅ 2,14 = 6,42 dm
Calcula l’àrea d’un cercle el diàmetre del qual fa 6 cm.
r = → r = = 3 cm
L = 2�r → L = 2� ⋅ 3 = 18,84 cm
A = �r 2 → A = � ⋅ 32 = 28,26 cm2
Dues circumferències concèntriques tenen radis de 5 i 3 cm, respectivament.Calcula l’àrea de la corona que originen. Calcula també l’àrea dels cercles que generen.
Àrea corona = � ⋅ (R2 − r 2) = � ⋅ (52 − 32) = � ⋅ 16 = 50,24 cm2
Àrea cercle gran = �r 2 = � ⋅ 52 = � ⋅ 25 = 78,5 cm2
Àrea cercle petit = �r 2 = � ⋅ 32 = � ⋅ 9 = 26,26 cm2
027
6
2
d
2
026
A = =⋅
= =20 87
2
4
0 872 14
l ll
,
,,→ dm
h = −⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =l
ll l.2
2
2
2
3
40 87,
025
A =⋅
=12 1 73
210 38
,, cm2
a = − = =2 1 3 1 732 2 , cm
024
A =⋅
=36 5 2
293 6
,, cm2
a = − = =6 3 27 5 22 2 , cm
023
Llocs geomètrics. Figures planes
2 cm 2 cm
2 cm 2 cm
2 cm
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 248
Calcula l’àrea del segment circular associat a un sector de 120º i radi 20 cm.
ASegment = ASector − ATriangle
ASector =
r 2 = h2 + → h = = 17,3 cm
ATriangle =
ASegment = 418,67 − 173 = 245,67 cm2
Quina relació hi ha entre els radis de dues circumferències si la corona circularque generen és la meitat de l’àrea del cercle més gran?
L’àrea de la circumferència més gran és el doble de la més petita, i, per tant, el
radi de la circumferència més gran serà el de la més petita multiplicat per
ACTIVITATS
Relaciona aquests elements.
a) Baricentre 1) Altures
b) Incentre 2) Mediatrius
c) Circumcentre 3) Mitjanes
d) Ortocentre 4) Bisectrius
a) → 3) c) → 2)
b) → 4) d) → 1)
Dibuixa uns quants triangles rectangles i assenyala’n l’ortocentre. On està situat?
Està situat al vèrtex de l’angle recte.
031●
030●
2 .
029
b h⋅=
⋅=
2
20 17 3
2173
,cm2
20 10 3002 2− =r
2
2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
π ⋅ ⋅=
20 120
360418 67
2 °
°, cm2
028
249
8SOLUCIONARI
C CC
BA
B
ABAH
HH
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 249
250
Dibuixa tres punts que no estiquin alineats i traça una circumferència que hi passi.
Tracem els segments que els uneixen i les seves mediatrius. El punt de tall és el centre de la circumferència.
Dibuixa un triangle rectangle i traça’n les mediatrius. Assenyala’n el circumcentre. Què hi observes?
El circumcentre està situat en el punt mitjà de la hipotenusa.
En un triangle rectangle i isòsceles la hipotenusa fa 10 cm. Si tracem una circumferència circumscrita, quin n’és el radi?
Com que l’incentre està en el punt mitjà de la hipotenusa, el diàmetre serà aquesta hipotenusa i, per tant, el radi fa 5 cm.
En un triangle equilàter de perímetre 36 cm tracem la circumferènciacircumscrita. Sabem que la mitjana fa 10,39 cm. Quin és el radi de la circumferència?
Com que en un triangle equilàter coincideixen les rectes i els punts notables,el radi és la distància del baricentre al centre: r = 10,39 ⋅ 2 : 3 = 6,93 cm.
En un triangle rectangle, el baricentre, l’ortocentre, el circumcentre i l’incentresón punts situats:
a) A l’exterior del triangle. c) Sobre un costat.b) A l’interior del triangle.
L’incentre i el baricentre són punts interiors, mentre que l’ortocentre i el circumcentre estan situats sobre un costat.
Assenyala el circumcentre i l’ortocentre d’un triangle rectangle i isòsceles. El segment que uneix aquests dos punts del triangle és:
a) Mitjana b) Mediatriu c) Altura d) Bisectriu
Es verifica en un triangle escalè, això?
El segment coincideix amb una mitjana, una mediatriu, una altura i una bisectriu. Si el triangle és escalè, no es verifica.
037●●
036●●
035●●
034●●
033●●
032●●
Llocs geomètrics. Figures planes
A B
C
O
A
C
O
H
BA
B
C
O
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 250
251
8
En un triangle rectangle i isòsceles:
a) L’altura corresponent a la hipotenusa és més gran que un catet?b) La mitjana corresponent a la hipotenusa és més gran o més petita
que un catet?
a) No, perquè l’altura forma dos triangles rectangles la hipotenusa dels qualsés el catet del triangle inicial. La hipotenusa és el costat més gran.
b) La mitjana coincideix amb l’altura i és més petita que un catet, per lamateixa raó que hem explicat a l’apartat a).
La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 12 cm i un dels catets en fa 6. Calcula la longitud de l’altre catet.
Calcula la longitud del costat que falta en cada triangle rectangle(a és la hipotenusa).
a) a = 34 cm, b = 30 cm b) b = 28 cm, c = 21 cm
a)
b)
Calcula la longitud de la hipotenusa d’un triangle si saps que els catets esdiferencien en 2 cm i que el petit fa 6 cm.
Els catets fan 6 cm i 6 + 2 = 8 cm, i la hipotenusa mesura:
Determina si els triangles següents són rectangles. En cas afirmatiu, indica la mida de la hipotenusa i els catets.
a) Triangle amb costats de 5 cm, 12 cm i 13 cm.
b) Triangle amb costats de 6 cm, 8 cm i 12 cm.
c) Triangle amb costats de 5 cm, 6 cm i cm.
d) Triangle amb costats de 7 cm, 24 cm i 25 cm.
a) → Rectangle, d’hipotenusa 13 cm i catets de 12 cm i 5 cm.
b) → No és rectangle.
c) → Rectangle, d’hipotenusa cm i catetsde 6 cm i 5 cm.
d) → Rectangle, d’hipotenusa 25 cm i catetsde 24 cm i 7 cm.25 24 7 6252 2= + =
6161 5 62 2= +
12 8 6 100 102 2≠ + = =
13 12 5 1692 2= + =
61
042●
a = + = =36 64 100 10 cm
041●●
a = + = =784 441 1 225 35. cm
c = − = =1 156 900 256 16. cm
040●
b = − = =144 36 108 10 39, cm
039●
038●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 251
252
Calcula la longitud dels segments indicats.
a) b)
a)
b)
Sabem que els costats iguals d’un triangle isòsceles fan 7 cm i l’altre, 4 cm.Calcula’n l’altura.
72 = h2 + 22
h2 = 72 − 22
h2 = 49 − 4
h = 6,71 cm
Calcula l’altura d’un triangle equilàter de perímetre 30 cm.
El costat és: 30 : 3 = 10 cm, L’altura és: L’àrea mesura: 10 ⋅ 8,66 : 2 = 43,3 cm2.
Calcula la longitud de la base d’un triangle isòsceles si els costats iguals fan 17 cm i l’altura, 8 cm.
La meitat de la base forma un triangle equilàter amb l’altura i un dels costats. Si apliquem el teorema de Pitàgores, tenim que:
bb
217 8 225 15 302 2= − = = =cm cm→
046●●
100 25 75 8 66− = = , cm
045●●
h = 45
044●
FE = + =18 16 34→FB FC FD= + = = + = = + =4 4 8 1 8 3 9 9 18→ → →
EB EC ED= + = = + = = + =1 4 5 1 5 6 1 6 7→ →
043●●
Llocs geomètrics. Figures planes
2 cm
4 cm
2 cm
1 cm
3 cm
2 cmA
A F
E
E?
?
DD
B B
CC
1 cm
1 cm
1 cm
7 cm 7 cm
h
4 cm
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 252
Calcula la longitd dels costats iguals d’un triangle isòsceles el costat desigualdel qual fa 42 cm i l’altura, 20 cm.
La meitat de la base forma un triangle equilàter amb l’altura i undels costats. Apliquem el teorema de Pitàgores:
Determina la longitud del costat d’un triangle equilàter amb una altura de 6 cm.
La meitat de la base forma un triangle equilàter amb l’altura i un dels costats. Apliquem el teorema de Pitàgores:
049
h cc
c c c2 2
2
2 2
2
3
436
3
448 6 93= −
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = = = =→ → , cm
048●●
l = + = =21 20 841 292 2 cm
047●●
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM L’ALTURA D’UN TRIANGLE QUALSEVOL
SI EN CONEIXEM ELS COSTATS?
Calcula l’altura d’un triangle amb uns costats de 5 cm, 8 cm i 10 cm.
PRIMER. Dibuixem el triangle i n’anomenem cadascun dels elements.
L’altura divideix la base en dues parts:
• AH, la longitud de la qual anomenem x.
• HB, la longitud de la qual serà 10 − x.
SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores als dos triangles rectangles que obtenim.
En AHC : 52 = x2 + h2 → h2 = 52 − x2
En HBC : 82 = (10 − x)2 + h2 → h2 = 82 − (10 − x)2
TERCER. Igualem totes dues expressions i fem l’equació.
25 − x2 = 64 − (100 + x2 − 20x)
25 − x2 = 64 − 100 − x2 + 20x20x = 61 → x = 3,05 cm
QUART. Calculem h.
h x h2 2 2 2 25 5 3 05 3 96= − = − =→ , , cm
h xh x
x x2 2 2
2 2 22 2 25
8 105 8 10= −
= − −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = − −( )
(→ ))2
253
8SOLUCIONARI
5 cm 8 cm
C
A H B
x 10 − x
h
10 cmG F
831106 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 13:51 Página 253
254
Calcula l’altura d’un triangle els costats del qual fan:
a) AB = 4 cm BC = 7 cm CA = 9 cmb) AB = 6 cm BC = 10 cm CA = 14 cmc) AB = 5 cm BC = 11 cm CA = 15 cm
a)
16 − x2 = 49 − 81 + 18x − x2
18x = 48 → x = 2,67 cm
b)
36 − x2 = 100 − 196 + 28x − x2
28x = 132 → x = 4,71 cm
c)
25 − x2 = 121 − 225 + 30x − x2
30x = 129 → x = 4,3 cm
Calcula la distància d’un punt, P, a un altre punt, A, perquè es verifiqui que la longitud del segment CP és igual que la del segment DP als gràfics.
a) b)
a) Si CP = PD = d
4 + x2 = 9 + 49 − 14x + x2
14x = 54 → x = 3,86 cm
b) Si CP = PD = d
4 + x2 = 9 + 36 − 12x + x2
12x = 41 → x = 3,42 cm
d x d2 2 22 4 18 49 3 96= + = + =→ , , cm
d xd x
x x2 2 2
2 2 22 2 2 22
3 62 3 6= +
= + −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ = + −( )
( )→
d x d2 2 24 16 18 49 5 56= + = + =→ , , cm
d xd x
x x2 2 2
2 2 22 2 2 24
3 74 3 7= +
= + −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ = + −( )
( )→
051●●●
h x h2 2 25 25 18 49 2 55= − = − =→ , , cm
h xh x
x2 2 2
2 2 22 2 25
11 155 11 15= −
= − −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = −( )
(→ −− x)2
h x h2 2 26 36 22 22 3 71= − = − =→ , , cm
h xh x
x2 2 2
2 2 22 2 26
10 146 10 14= −
= − −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = −( )
(→ −− x)2
h x h2 2 24 16 7 11 2 98= − = − =→ , , cm
h xh x
x x2 2 2
2 2 22 2 2 24
7 94 7 9= −
= − −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = − −( )
( )→
050●●
Llocs geomètrics. Figures planes
7 cm
4 cm
C
A
P
D
B 6 cm
2 cm3 cm 3 cm
C
A
P
D
B
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 254
255
8
Calcula la longitud de x a les figures.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Fixa’t en la figura i calcula.
a) El costat del rombe.b) La longitud del catet AB, del catet AC i de la hipotenusa BC.
a)
b)
Calcula el perímetre de les figures següents:
a) b)
a)
P = 28 + 25 + 18 + 26,93 = 97,93 cm
b)
P = 17,46 + 14 + 28 + 12 + 18,44 + 8,6 + 5 + 28 + 16 = 147,5 cm
c = + = =14 12 340 18 442 2 , cm
b = + = =5 7 74 8 62 2 , cm
a = + = =16 7 305 17 462 2 , cm
x = + = =25 10 725 26 932 2 , cm
054●●
BC AC AB AC= + = + =2 2 2 224 18 30→ cm
ABd
d= + = + =2
12
212 18 cm
ACD
D= + = + =2
16
216 24 cm
c = + = + = =8 6 64 36 100 102 2 cm
053●●
x = − = − = =117 9 117 81 36 62
2 cm
x = + = =8 5 89 9 432 2 , cm
10100
250 7 072 2 2 2= + = = =x x x x→ → , cm
x = + = =4 4 32 5 662 2 , cm
052●
SOLUCIONARI
117 cm
4 cmx
x
5 cm
10 cm x
9 cm
8 cm
x
G F
12 cm
GF
16 c
m
C
c
A B
25 cm
28 cm 18 cm
12 cm
5 cm16 cm
14 cm
7 cm
28 cma
c
b
x
831106 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 13:51 Página 255
256
Fixa’t en la figura següent.
Si els costats del rectangle fan 15 cm i 20 cm, quant fa el radi de la circumferència?
El radi és la meitat de la diagonal:
Fixa’t en les set peces del tangram xinès.
Calcula l’àrea de cadascuna de les peces.
Primer trobem la diagonal del quadrat:
ATriangle gran =
ATriangle mitjà = = 12,5 cm2
ATriangle petit =
AQuadrat =
ARomboide = b ⋅ h = → ARomboide = 5 ⋅ 2,5 = 12,5 cm2
Comprovem que la suma de les àrees de totes les peces és igual a l’àrea total del quadrat, 102 cm2:
2 ⋅ 25 + 12,5 + 2 ⋅ 6,25 + 12,5 + 12,5 == 50 + 12,5 + 12,5 + 12,5 + 12,5 = 100 cm2
Tria la resposta correcta en cada cas.
a) L’àrea d’un rombe amb diagonals de 2 cm i 4 cm és:I) 4 cm2 III) 6 cm2
II) 2 cm2 IV) 12 cm2
b) L’àrea d’un trapezi amb bases de 10 cm i 8 cm i altura de 6 cm és:I) 240 cm2 III) 108 cm2
II) 54 cm2 IV) 60 cm2
c) L’àrea d’un triangle equilàter el costat del qual fa 10 cm és:I) 86,6 cm2 III) 43,3 cm2
II) 50 cm2 IV) 100 cm2
a) → I) 4 cm2 b) → II) 54 cm2 c) → I) 86,6 cm2
057●
c c
2 4⋅
d
4
10 2
4
100 2
16
2 2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟=
⋅= 112 5, cm2
d d
4 4
2
10 2
4
10 2
4
2
100 2
16 26 25
⋅=
⋅=
⋅⋅
= , cm2
5 5
2
⋅
5 2 5 2
2
25 2
225
⋅=
⋅= cm2
d d= + = =c c c2 2 2 10 2→ cm
056●●●
r =+
= =400 225
2
625
212 5, cm
055●●
Llocs geomètrics. Figures planes
20 cm
15 cmG
5 cm
5 cm
2,5 cm2,
5 cm
831106 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 13:51 Página 256
257
8
L’àrea d’un triangle isòsceles és 24 m2 i el costat desigual fa 6 m. Calcula la longitud dels altres costats.
L’àrea d’un triangle rectangle és 12 cm2 i un dels costats fa 6 cm. Calcula lalongitud de la hipotenusa.
L’altre catet fa:12 ⋅ 2 : 6 = 4 cm
La hipotenusa fa:
Calcula l’àrea d’un triangle equilàter de 90 cm de perímetre.
El costat fa: 90 : 3 = 30 cm
L’altura mesura:
Àrea =
Si l’àrea d’un triangle equilàter és 30 cm2, calcula la longitud del costat.
Si el costat és x, l’altura serà: h =
Àrea = 30 = → x = 8,32 cm
Calcula l’àrea d’un triangle rectangle de 13 cm d’hipotenusa si un dels catets fa 5 cm.
L’altre catet és:L’àrea és: (5 ⋅ 12) : 2 = 30 cm2.
Determina l’àrea d’un quadrat si saps que la diagonal fa 7,07 cm.
Si considerem el quadrat com un rombe, l’àrea mesura: (7,07 ⋅ 7,07) : 2 = 25 cm2.
Calcula l’àrea d’aquest rectangle.
La meitat de la base és: . Per tant, l’àrea és de:10 ⋅ 8 = 80 cm2.
Calcula l’àrea d’un rectangle la base del qual fa 10 cm i la diagonal, cm.
L’altura és: . L’àrea mesura: 10 ⋅ 4 = 40 cm2.116 100 4− = cm
116065●●
41 16 5− = cm
064●●
063●●
169 25 144 12− = = cm
062●●
xx
x⋅
=
3
2
2
3
4
2
xx x
− =2
3
2.
061●●
25 98 30
2789 7
,,
⋅= cm2
30 15 675 25 982 2− = = , cm.
060●●
36 16 52 7 21+ = = , cm.
059●●
Ab h h
h=⋅
=⋅
=⋅=
= + = +2
246
2
24 2
68
3 8 9 642 2 2 2
→ →
→ →
m
l l ll = =73 8,54 m
058●●
SOLUCIONARI
4 cm41 cm
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 257
258
Determina l’àrea d’un triangle de 7 cm de base i 24 cm de perímetre.
7 + 7 + 2h = 24 → 2h = 10 → h = 5 cm
Àrea = 5 ⋅ 7 = 35 cm2
Calcula l’àrea de la zona enfosquida.
A = 6 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 + 11 ⋅ 8 + 9 ⋅ 4 = 48 + 36 + 88 + 36 = 208 cm2
068
067●●
066●●
Llocs geomètrics. Figures planes
4 cm
6 cm
9 cm
4 cm 11 cm
8 cmF
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI ISÒSCELES SI EN DESCONEIXEM L’ALTURA?
Calcula l’àrea d’aquest trapezi isòsceles.
PRIMER. Calculem la base del triangle rectangle que determina l’altura.
Com que el trapezi és isòsceles, les altures determinen dos triangles rectanglesiguals les bases dels quals són la meitat de la diferència de les bases del trapezi.
SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores en el triangle rectangle que determinal’altura.
1,52 + h2 = 2,52
h2 = 2,52 − 1,52 = 4
TERCER. Calculem l’àrea del trapezi.
AB b h
=+ ⋅
=+ ⋅
=( ) ( )
2
8 5 2
213 2cm
h = =4 2 cm
AE FBAB CD
= =−
=−
=2
8 5
21,5 cm
5 cmD C
A 8 cm
2,5 cm
B
5 cmD
hh
C
A 8 cm
2,5 cm2,5 cm
1,5 1,5
BE F
D
h
A
2,5 cm
1,5
E
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 258
259
8
Càlcula l’àrea d’aquests trapezis isòsceles.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Determina l’àrea de:
a) Un hexàgon regular de 2 cm de costat.b) Un octàgon regular de 48 cm de perímetre.
a) L’apotema és:
b) El costat fa 6 cm.
6 18 4 24
4 246
27 24
2 2 2= + = =
= + =
=⋅
x x x
a
AP a
→ ,
, ,
cm
cm
22
48 7 24
2173 76=
⋅=
,, cm2
a
AP a
= − = =
=⋅=
⋅=
2 1 3 1 73
2
12 1 73
210 38
2 2 ,,
,
cm
cm2
070●●
b
AB b h
= − ⋅ =
=+ ⋅
=+ ⋅
=
14 2 4 6
2
14 6 3
230
m
m2( ) ( )
AEB AB= − = == = + ⋅ =
4 13 3 5 4 81 2 197 2 2 19 11 3
2 2, , , ,, ,
m88
2
11 38 7 4 13
237 95
m
m2AB b h
=+ ⋅
=+ ⋅
=( ) ( , ) ,
,
h DE
A
= = ( ) − −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =164
24 16
2148 12 17
2 2
, m
==+ ⋅
=+ ⋅
=( ) ( ) ,
,B b h
2
24 16 12 17
2243 4 m2
h DE
AB b
= = −−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
=+ ⋅
310 6
25 2 242
2
,
( )
cm
hh
2
10 6 2 24
217 92=
+ ⋅=
( ) ,, cm2
069●●
SOLUCIONARI
6 cm 7 m
16 m
24 m 14 m
4 m3 m
3 cm 3,5 m4,13 m
10 cm
164 m
6 cm x
x
x
D C
EA F B
a
a
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 259
260
Calcula la longitud del segment vermell d’aquesta figura.
Si tracem la mediatriu del segment, la distància al vèrtex és la meitat del radi, 3 cm, i forma un triangle equilàter amb un costat de l’hexàgon i la meitat del segment. Per tant, la meitat
del segment és:i el segment fa 10,4 cm.
Determina l’àrea de les superfícies pintades.
a) Quadrat gran − Quadrat petit − 2 ⋅ Triangles
A =
b) Si tracem els triangles equilàters que formen l’hexàgon, la zona pintada és la meitat de cada triangle, i per tant serà la meitat de l’àrea de l’hexàgon. Com que l’hexàgon té una apotema de 3,46 cm, la seva àrea és 41,57 cm2 i l’àrea pintada fa 20,78 cm2.
c) Si tracem els triangles equilàters que formen l’hexàgon, la zona pintada és un triangle sencer i la meitat dels altres dos. Per tant, equival a dos triangles, és a dir, la tercera part de l’hexàgon. Com que l’hexàgon té una apotema de 2,6 cm, la seva àrea és 23,4 cm2
i l’àrea pintada fa 7,8 cm2.
d)L’àrea total és l’àrea dels triangles:
x =A = Triangle gran + Triangle petit =
= 5,54 ⋅ 5,54 : 2 + 5,54 ⋅ 1,15 : 2 = 18,53 cm2
Determina l’àrea d’un cercle circumscrit a un triangle rectangle amb catets de 6 cm i 8 cm.
La hipotenusa fa 10 cm i coincideix amb el diàmetre. Per tant, el radi és de 5 cm i l’àrea mesura 25π = 78,5 cm2.
Calcula l’àrea de la corona circular limitada per les circumferències circumscritai inscrita d’un quadrat de 8 cm de costat.
El radi de la circumferència interior és la meitat del costat, 4 cm, i el de l’exterior
és la meitat de la diagonal ( ): 5,66 cm. Àrea = π ⋅ (32 − 16) = 50,24 cm2
64 64 128 11 31+ = = , cm
074●●
073●●
9 7 67 1 33 1 15− = =, , , cm.
5 2 5 25 2 5
26 252 2− − ⋅
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =,
,, cm2
072●●
36 9 27 5 2− = = , cm,
071●●●
6 cm
Llocs geomètrics. Figures planes
4 cm 3 cm5 cm
3 cm
a) b) c) d)
G
5,54 cm
x
3 cm 5,54 cm
831106 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 13:51 Página 260
261
8
Calcula l’àrea d’un sector circular de 60º d’amplitud i una circumferència de longitud 12π cm com a radi.
Si la circumferència és 12π cm, el radi fa 6 cm. Com que el sector
és una sisena part del cercle, la seva àrea mesura:
Determina l’àrea d’un cercle el diàmetre del qual és igual que el perímetre d’un quadrat de 7 cm de costat.
El diàmetre és 28 cm, el radi és 14 cm i l’àrea mesura: 196π = 615,44 cm2.
En una circumferència de 5 cm de radi s’inscriu un triangle rectangle isòsceles.Calcula l’àrea compresa entre el cercle i el triangle.
La base del triangle coincideix amb el diàmetre, i l’altura amb el radi. Per tant, l’àrea del triangle és: 10 ⋅ 5 : 2 = 25 cm2. L’àrea compresa entre el cercle i el triangle és: 25π − 25 = 53,5 cm2.
Determina l’àrea de la zona pintada si saps que el diàmetre de la circumferènciafa 10 cm.
a) 25π − 2 ⋅ 6,25π = 39,25 cm2
b) És la meitat del cercle: 25π : 2 = 39,25 cm2.
c) L’àrea de l’hexàgon de costat 5 cm és: . L’àrea
compresa fa: 25π − 64,95 = 13,55 cm2.
Calcula l’àrea de les figures següents.
a) És un semicercle al qual traiem i sumem la mateixa superfície. Per tant,serà equivalent a l’àrea del semicercle: A = 36π = 113,04 cm2.
b) És un semicercle més un quart de cercle (és a dir, tres quarts de cercle)més un triangle equilàter.
A = 0,75 ⋅ 4π + 2 ⋅ 1,73 : 2 = 11,15 cm2
079●●●
30 4 33
264 95
⋅=
,, cm2
078●●
077●●
076●●
36
618 84
π= , .cm2
075●●
SOLUCIONARI
10 cm
b)a) c)
10 cm10 cm
4 cm
a)
12 cm
b)
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 261
Calcula l’àrea de les figures següents.
a) La figura és un rectangle menys un quadrat: A = 7 ⋅ 5 − 3 ⋅ 3 = 26 cm2.
b) A la figura base s’hi suma i se’n treu la mateixa superfície. Per tant, l’àrea és la de la superfície base: A = 10 ⋅ 4 = 40 cm2.
c) La figura és un quadrat més un triangle equilàter menys un cercle:
h = = 4,33 → A = 5 ⋅ 5 + (5 ⋅ 4,33) : 2 − 4π = 23,27 cm2.
d) A la figura base s’hi suma i se’n treu la mateixa superfície. Per tant, l’àrea és la de la superfície base: A = 2,5 ⋅ 2,5 = 6,25 cm2.
081
5 2 52 2− ,
080●●●
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI CIRCULAR?
Calcula l’àrea d’aquesta part de corona circular limitada per dos radis(trapezi circular).
PRIMER. Calcula l’àrea dels sectors circulars.
En aquest cas tenen una amplitud de 30º, i els radis fan 20 cm i 8 cm, respecti-vament.
SEGON. Restem les àrees de tots dos sectors.
L’àrea del trapezi circular és 87,92 cm2, aproximadament.
A A1 22104 67 16 75 87 92− = − =, , , cm
A2
228 30
36016 75=
⋅ ⋅=
π, cm
A1
2220 30
360104 67=
⋅ ⋅=
π, cm
262
Llocs geomètrics. Figures planes
a) c)
5 cm
7 cm
5 cm
5 cm
2 cm
b) d)
10 cm 2,5 cm
2,5 cm4 cm
3 cm
8 cm
20 cm
30°F
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 262
10 m
6 m
263
8
Calcula l’àrea del trapezi circular generat per la corona circular de l’activitatanterior i de 120º d’amplitud.
Aplicant una regla de tres tenim que:
Calcula l’àrea d’un trapezi circular de 120 cm i 6 cm de radis i 270º d’amplitud.
ASector gran =
ASector petit =
ATrapezi = 339,12 − 84,78 = 254,34 cm2
Fixa’t en la margarida i calcula l’àrea de cada pètal de la part groga,de la blanca i de l’àrea total.
L’àrea de cada sector de la part blanca serà:
A = = 6,28 cm2
L’àrea de cada sector de la part groga serà:
A' = = 18,84 cm2
L’àrea total serà:
AT = 6 ⋅ (A + A') = 6 ⋅ (6,28 + 18,84) = 6 ⋅ 25,12 = 150,72 cm2
Fixa’t en aquesta torre i l’ombra que fa.
Quina distància hi ha des del punt més alt de la torre fins a l’extrem de l’ombra?
d2 = 1502 + 2002 → d2 = 62.500 →→ d = 250 m
Una escala de 10 m de longitud està recolzada sobre una paret. El peu de l’escala dista 6 m de la paret. A quina altura arriba l’escala sobre la paret?
102 = h2 + 62 → h2 = 100 − 36 = 64 → → h = 8 m
086●●
085●●
π ⋅ − ⋅=
⋅ − ⋅( ) , ( )8 4 45
360
3 14 64 16 45
360
2 2
π ⋅ ⋅4 45
360
2
084●●
π ⋅ ⋅=
6 270
36084 78
2
, cm2
π ⋅ ⋅=
12 270
360339 12
2
, cm2
083●●
30 87 92
12087 92 4 351 68
°
°
→→
→,
, ,A
A⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= ⋅ = cm2
082●●
SOLUCIONARI
4 cm45°
GG
10 m
6 m
h
200 m
150
m
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 263
264
Als costats d’un camp rectangular s’hi han plantat 32 arbres separats 5 m entreells. Quina és l’àrea del camp? Quant fa el costat?
Com que hi ha 32 arbres i es completa el perímetre del quadrat, hi haurà 32 separacions de 5 m, és a dir:
P = 32 ⋅ 5 = 160 m → 4c = 160 → c = 40 m
L’àrea és: A = c2 → A = 402 = 1.600 m2.
Aquest senyal de trànsit indica l’obligatorietat d’aturar-se. Calcula’n l’àrea si l’altura és 90 cm i el costat fa 37 cm.
L’apotema és la meitat de l’altura: 45 cm. El perímetre és:37 ⋅ 8 = 296 cm.
Cadascun dels 50 pisos d’un edifici té la plantad’aquesta figura. El costat de l’hexàgon fa 30 m. Si al terra hi ha una moqueta que costa 20 €/m2,calcula el que s’ha pagat en total per la moqueta de l’edifici.
L’apotema és: a =
AHexàgon =
AQuadrat = 302 = 900 m2
ATriangle =
L’àrea d’un pis és: 2.340 + 900 + 390 = 3.630 m2.
La moqueta d’un pis costa: 3.630 ⋅ 20 = 72.600 €.
La moqueta de tot l’edifici valdrà: 50 ⋅ 72.600 = 3.630.000 €.
En Màrius té un jardí en forma de romboide. Un dels costats fa 45 m. A més, hi ha un camí i en coneixem les mides. Calcula el perímetre del jardí i l’àrea.
Perímetre: P = 2 ⋅ (x + y) + 2 ⋅ 45 == 2 ⋅ (15,4 + 46,4) + 2 ⋅ 45 = 213,6 m
Àrea: A = b ⋅ a = (x + y) ⋅ 38 == (15,4 + 46,4) ⋅ 38 = 2.348,4 m2
y = − =60 38 46 42 2 , m
x = − =41 38 15 42 2 , m
090●●●
1
230 30
3
2390⋅ ⋅ ⋅ = m2
P aA
⋅=
⋅ ⋅=
2
6 30 26
22 340→ . m2
30 15 675 262 2− = = m.
089●●●
A =⋅
=296 45
26 660. cm2
088●●
087●●
Llocs geomètrics. Figures planes
30 m
6 dam
4,1 dam
38 m
4,5
dam
60 m
45 m
38 m
y
x
41 cm
G
831106 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 13:51 Página 264
265
8
Hem col·locat una vidirera triangular. Calcula l’àrea de la part de la vidriera de color vermell si saps que la finestra és un triangle euilàter d’1 m de costat.
Cada triangle vermell fa 1/8 m de costat i és equilàter.Per tant, la seva altura serà:
At =
Com que hi ha 27 triangles vermells, l’àrea total serà:
A = 27 ⋅ 0,007 = 0,189 m2
Llancem en una pista circular 1 kg de sorra per metre quadrat. Quin radi té la pista si hi han llançat 4.710 kg de sorra en total?
Trobem, primer, el nombre de metres quadrats que té la pista:
4.710 : 15 = 314 m2
A = �r 2 → 314 = �r 2 → r 2 = 100 → r = 10 m
En una altra pista circular de 30 m de diàmetre hi volen llançar 30 kg de sorra per metre quadrat.
a) Quantes tones de sorra fan falta?b) Si una carreta mecànica carrega 157 sacs de 5 kg cadascun,
quants desplaçaments haurà de fer?
D = 30 m → r = 15 m → A = � ⋅ 152 = 706,5 m2
a) Es necessiten 30 kg/m2 ⋅ 706,5 m2 = 21.195 kg � 21,2 t de sorra.
b) En cada viatge transporta: 5 ⋅ 157 = 785 kg.
Per tant, haura de fer: = 27 viatges.
Volem fer un cercle amb lloses en un jardíquadrat, tal com indica la figura.
a) Quant fa l’àrea enllosada?b) Quina àrea ha quedat amb gespa?
a) ACercle = �r 2 → A = � ⋅ 52 = 78,5 m2
b) AQuadrat = 102 = 100 m2
AGespa = AQuadrat − ACercle = 100 − 78,5 = 21,5 m2
094●●
21 195
785
.
093●●
092●●
b h⋅=
⋅=
2
1 8 0 11
20 007
/m2,
,
h =⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
1
8
1
16
1
64
1
256
32 2
1160 11= , m
091●●●
SOLUCIONARI
1 m
10 m
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 265
266
Un pastisser ha cobert de sucre la part superior de 200 rosquilles com la de la figura. Si ha fet servir 5 kg de sucre, quants grams de sucre fan falta per cobrir cada cm2 de rosquilla?
Trobem l’àrea de la part superior (plana) de cada rosquilla:
A = � ⋅ (R2 − r 2) → A = � ⋅ (8,52 − 2,52) = 66� = 207,24 cm2
Com que hi ha 200 rosquilles, l’àrea total que s’ha de cobrir és:200 ⋅ 207,24 = 41.448 cm2
Si ha fet servir 5 kg de sucre, per cada cm2 caldran:5.000 g : 41.448 cm2 = 0,12 g
Construïm la muntura d’un monocle amb 10 cm de filferro. Quina és l’àrea de la lent que s’encaixa a la muntura?
L = 2�r → 10 = 2�r → r = 1,6 cm
A = �r 2 → A = � ⋅ 1,62 = 8 cm2
Calcula l’àrea que es pot gravar (a la fotografia de color blau) d’un disccompacte. Quin percentatge de l’àrea total del disc s’aprofita per gravar?
A = � ⋅ (62 − 22) = � ⋅ 32 = 100,5 cm2
Àrea aprofitada= ⋅100= 88,9%
Un jardiner ha plantat una zona de gespa en forma de corona circular. La longitd del segment més gran que podem traçar-hi és de 15 m. Quina àrea de gespa ha plantat el jardiner?
L’àrea que es demana és la de la corona circular:
A = � ⋅ (R2 − r 2)
Com que el segment fa 15 m, apliquem el teorema de Pitàgores:
R2 = r 2 + → R2 − r 2 = 7,52
Si substituïm, tenim que:A = � ⋅ (R2 − r 2) = � ⋅ 7,52 = 176,63 m2
15
2
2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
098●●●
100 5
113
,
097●●
096●●
095●●●
Llocs geomètrics. Figures planes
R
7,5r
6 cm
5 cmG
F
GF
6 cm
2 cm
GF
GF
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 266
267
8SOLUCIONARI
A B C1.500 m 3.200 m
Aquesta és la bandera del Brasil. Mesura i calcula quin percentatge de l’àrea total suposa l’àrea de cada color.
ACercle = � ⋅ 62 = 113 mm2
ARombe = D ⋅ d = 27 ⋅ 18 = 486 mm2
ARectangle = 37 ⋅ 24 = 888 mm2
Blau = ⋅ 100 = 12,7 % Groc =
Verd =
El telefèric de la ciutat A surt de la base d’una muntanya i arriba fins al cim. Des d’aquest punt es dirigeix a la ciutat B o a la ciutat C.
a) Quina distància recorre el telefèric de la ciutat A a la C?
b) I de A a B?
a) Distància (A-Cim) =
Distància (Cim-C) == 3.298,48 m
Distància (A-C) = 1.700 + 3.298,48 = 4.998,48 m
b) Distància (A-B) = 1.700 + 800 = 2.500 m
Un pintor decora una tanca amb una d’aquestes figures. Si cobra el metrequadrat de tanca pintada a 32 €, quant cobrarà per cadascuna?
Figura 1: la figura per formar la tanca es repeteix quatre vegades i la seva àreacoincideix amb la del semicercle de radi 2 m, que és: A = π ⋅ 4 : 2 = 6,28 m2.
Com que són 4 figures, l’àrea farà 25,12 m2 i el preu serà de:
⋅ 32 = 0,08 € = 8 cèntims
Figura 2: són 8 pètals que podem inscriure en un quadrat de 5 m de costat, ique són simètrics per la diagonal del quadrat. L’àrea de cada meitat és lad’un sector circular de 90º i radi 5 m a la qual es resta l’àrea d’un triangle
de base i altura 5 m: .
L’àrea del pètal és 14,25 m2 i la unió dels 8 pètals fa 114 m2,
amb un preu de ⋅ 32 = 0,36 € = 36 cèntims.114
10 000.
25
4
5 5
27 125
π−
⋅= , m2
25 12
10 000
,
.
101●●●
10 240 000 640 000 10 880 000. . . . .+ = =
2 250 000 640 000 2 890 000 1 700. . . . . .+ = = m
100●●
888 486
888100 45 3
−⋅ = , %
486 113
888100 42
−⋅ = %
113
888
099●●
4 m10 m
800 m
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 267
268
Tracem les mitjanes d’un triangle qualsevol i es formen 6 triangles que tenencom a vèrtex comú el baricentre. Justifica que tots tenen la mateixa àrea. A partir d’aquest resultat, demostra que el baricentre dista de cada vèrtex el doble que del punt mitjà del costat oposat.
Les bases dels triangles A i B mesuren igual (per la definició de mitjana), i com que la seva altura és igual, les àrees coincideixen.És a dir,SA = SB, SC = SD, SE = SF.
Considerem el triangle total. Pel mateix raonament:SA + SB + SC = SD + SE + SF.
Com SC = SD → SA + SB = SE + SF 2SA = 2SE → SA = SE.
Per tant, SA = SB = SE = SF. Si repetim el raonament amb qualsevol mitjana,trobem que són iguals a SC i SD: SA = SB = SC = SD = SE = SF.
Com que i a més, SB = SC = SD, deduïm que:
→ →
Què és més gran, l’àrea del triangle rectangle ABCo la suma de les àrees de L1 i L2?
(Les circumferències que veus tenen com a diàmetre cadascun dels costats del triangle.)
Si A1 i A2 són les àrees dels semicercles complets corresponentsa L1 i L2, es àrees dels tres semicercles són:
A1 = A2 = A3 =
Pel teorema de Pitàgores:
A1 + A2 = = = = = A3
Com que l’àrea que li falta al triangle per ser igual que el semicercle més granés la que li falta a L1 i L2, les àrees de L1 i L2 són iguals a la del triangle.
πr 32
2
π(r 12 + r 2
2)
2
πr 22
2
πr 12
2
πr 32
2
πr 22
2
πr 12
2
103●●●
bb h
h
b1
2 2
2 2=
⋅⋅
=22 2
1 2b h b h⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅2
2 21 2b h b h⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅
S Sb h
C D+ =⋅2
2S
b hB =
⋅1
2
SA = SB; SE = SF⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
102●●●
Llocs geomètrics. Figures planes
C
A B
L1L2
F
A B
E D
C
D
ChB
b2
b1
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 268
269
8
Compara les àrees de la zona ratllada i de la zona blanca.
Si r és el radi del quart de cercle més gran,r/2 és la dels dos semicercles més petits. Les seves àrees són:
Com que l’àrea del quart de cercle és la mateixa que la suma de les àreesdels semicercles, la seva intersecció, que és la zona ratllada, és igual a lazona blanca, que és exterior als semicercles.
Els segments traçats en aquests quadrats són diagonals o unixen vèrtexs del quadrat amb punts mitjos de costats oposats. Quina fracció de l’àrea del quadrat està enfosquida?
Suposem el triangle ABC . L’àrea enfosquida és un dels 6 triangles que es formen en tallar les seves medianes. Com jas’ha vist a l’activitat 102, són iguals, són una sisema part
de la meitat del quadrat i la seva fracció és .
Es formen 4 triangles iguals, 4 trapezis iguals i 1 quadrat. Per semblança de triangles, el catet més gran dels trianglescoincideix amb el costat del quadrat, i el catet més petit dels triangles coincideix amb la base més gran delstrapezis. Per tant, si unim un trapezi amb un triangle, formem un quadrat idèntic a l’enfosquit, i així el quadrat total equival a 5 quadrats com l’enfosquit,
i la fracció és .
Per la mateixa raó que en l’apartat anterior, el triangle és la tercera part del trapezi i la quarta part del quadrat.
Per tant, la seva fracció és .
Com en la segona solució, tenim l’equivalent
a 2 quadrats centrals, i la fracció és .
Com en la primera solució, l’àrea c i l’àrea a són trianglesformats per la unió de les mitjanes.
Per tant, la seva àrea és del total, i la superfície enfosquida
és el doble que l’àrea a, i la seva fracció és .1
6
1
12
2
5
1
20
1
5
1
12
105●●●
Ar
A A
rr
A A1
2
2 3
2
2
2 34
22 8
=⋅
= =⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟=
⋅+
ππ
π → ==⋅=
π rA
2
14
104●●●
SOLUCIONARI
D C
A B
D C
A
ba c
B
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 269
270
Llocs geomètrics. Figures planes
A LA VIDA QUOTIDIANA
Aquest és el plànol d’una parcel·la en què es constuirà un edifici d’oficines.La parcel·la té forma de triangle equilàter de 1.300 m de costat i tres carreteresla voregen.
El contractista i l’arquitecte de l’obra han coincidit en la ubicació de l’edifici.
Si tenim en compte que l’edifici que es construirà tindrà forma quadrada i unasuperfície de 484 m2, i que el metre lineal de la via de sortida costarà 1.150 €,quin serà el cost de les tres vies que s’han de construir?
106●●●
G F
1.300 m
Jo crec que l’edificihauria de ser a la
mateixa distància de les tres carreteres... D’aquesta manera el
soroll i la contaminacióserien menors.
Hi estic d’acord... Però llavors hauràs
de fer un pressupost del cost de les tres vies
de sortida que haurem de construir.
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 270
271
8
Dibuixem el quadrat inscrit en un cercle, amb centre a l’incentre, i dibuixem l’hexàgon que formen les rectes que tallen el cercle.
El radi del cercle és la meitat de la diagonal del quadrat.
L’apotema de l’hexàgon és:
Per semblança de triangles, tenim que:
La distància del quadrat al lateral és la distància que hi ha del baricentreal lateral menys OD.
La distància del baricentre al lateral és la tercera part de l’altura.
La distància del quadrat a la base és la tercera part de l’altura menys la meitatdel costat del quadrat:
La suma de les distàncies és:
2 ⋅ 362,57 + 364,28 = 1.089,42 m.
Per tant, el cost serà de:
1.089,42 ⋅ 1.150 = 1.252.833 €.
1 125 83
3
22
2364 28
. ,,− = m.
Distància lateral m= − =1 125 83
312 71 362 57
. ,, ,
h = − =1 300 650 1 125 832 2. . , m
OD
OC
OB
OAOD= =
⋅=→ 11 15 56
13 4712 71
,
,, m
OA = − =242 60 5 13 47, , m
r =+
=484 484
215 56, m
d = =484 22 m
SOLUCIONARI
CD
A B
O
831106 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 13:51 Página 271
272
Volem col·locar un repetidor al cim d’una muntanya per assegurar lescomunicacions de quatre localitats que hi ha a la zona.
Les quatre localitats estan situades als vèrtexs d’un rectangle i les distànciesentre elles són:
Tal com pots veure al mapa, les distàncies entre la muntanya i els poblesd’Argant i Bern són fàcils de mesurar. Són les següents:
Les distàncies del pic del Bou als altres dos pobles, en canvi, no es podenmesurar fàcilment perquè hi ha un llac al mig..
Sabem, pels mesuratges que s’han fet d’altres repetidors similars, que el senyal és acceptable fins a una distància no superior a 90 km del repetidor.
107●●●
Llocs geomètrics. Figures planes
Argant - Bern 100 km
Bern - Cabrers 60 km
Argant - Pic del Bou 50 km
Bern - Pic del Bou 80 km
Argant Bern
Diders Cabrers
Pico de Buey
60 km
100 km
Pic del Bou
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 272
273
8
Serà acceptable el senyal als pobles de Cabrers i Diders?
2.500 − x2 = 6.400 − 10.000 + 200x − x2
200x = 6.100 → x = 30,5 km
Com que les distàncies són inferiors a 90 km, el senyal serà acceptable.
PD = − + =( , ) , ,60 39 62 30 5 36 682 2 km
PC = − + − =( , ) ( , ) ,60 39 62 100 30 5 72 422 2 km
h x h2 2 250 2 500 930 25 39 62= − = − =→ . , , km
h xh x
x2 2 2
2 2 22 2 250
80 10050 80= −
= − −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = −( )
→ (( )100 2− x
SOLUCIONARI
831106 _ 0242-0273.qxd 11/9/07 13:17 Página 273
TIPUSELEMENTS ÀREES
274
Cossosgeomètrics9
PRISMES I PIRÀMIDES
ELEMENTS FÓRMULA D’EULER
POLIEDRES
VOLUMSDE PRISMES I PIRÀMIDES
PRINCIPIDE CAVALIERI
VOLUMSDE CILINDRES,
CONS I ESFERES
VOLUMS
FIGURES ESFÈRIQUES ÀREES
COSSOS DE REVOLUCIÓ
COORDENADESGEOGRÀFIQUES
L’ESFERA TERRESTRE
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 274
El llegat d’Arquimedes
A Sicília, preocupat perquè l’ideal del seu fill Marc fos l’esperit guerrer i les conquestes de Juli Cèsar, Ciceró mirava de raonar amb ell i li deia:
–Molt a prop d’aquí, a Siracusa, va viure l’enginyer bèl·lic més gran de tots els temps. Ell sol va ser capaç d’aturar l’exèrcit romà durant més de tres anys.
Marc es va interessar molt pel tema i el seu pare li va explicar la història d’Arquimedes i li va prometre que l’endemà anirien a veure’n la tomba.
L’endemà, davant de la tomba on Marc esperava veure les gestes d’Arquimedes, només hi va trobar una esfera escrita en un cilindre.
Llavors Ciceró li va dir al seu fill:
–Tot i els seus èxits en enginyeria militar, no en va deixar cap d’escrit, però sí molts de matemàtiques i mecànica. Ell pensava que el seu millor tresor era haver descobert que el volum de l’esfera és dos terços del volum del cilindre que la conté.
Aquestes figures es generen per rotació de figures planes. De quines figures es tracta? Coneixes cap altre cos que es generi així?
El cilindre es genera per la rotació d’un rectangle sobre l’eix que en contéun dels costats.
L’esfera es genera per la rotació d’unsemicercle sobre l’eix que en conté el diàmetre.
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 275
276
EXERCICIS
Determina el nom dels poliedres i el nombre de cares i arestes que tenen.
a) b)
a) Hexaedre: 6 cares i 10 arestes.
b) Hexaedre: 6 cares i 12 arestes.
Fes el desenvolupament pla dels poliedres de l’exercici anterior. Indica els passos que segueixes.
a) b)
Dibuixa dos heptaedres que tinguin un nombre d’arestes i de vèrtexs diferent.(Fixa’t en els exemples anteriors.)
Aquest poliedre és un cub truncat (cada vèrtex del cub ha estat tallat formant un triangle equilàter).
El poliedre és còncau o convex? Comprova si es compleix la fórmula d’Euler.
És convex. Cares = 14. Arestes = 36. Vèrtexs = 24.Sí que s’acompleix la fórmula d’Euler → 14 + 24 = 36 + 2.
004
003
002
001
Cossos geomètrics
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 276
277
9
Indica el poliedre regular que es pot formar amb:
a) Triangles equilàters. b) Quadrats.
Quantes cares coincideixen en cada vèrtex?
a) Tetraedre (3), octaedre (4) i icosaedre (5). b) Cub (3).
Podries formar un poliedre regular fent servir només hexàgons regulars? I fent servir polígons regulars de més de sis costats?
No és possible formar poliedres regulars amb poliedres de més de 6 costats,ja que la mesura dels angles poliedres seria més gran de 360°.
Classifica aquests prismes i anomena’n els elements principals.
a) b)
Ortoedre Prisma hexagonal oblic
Calcula l’àrea d’un cub de 9 cm d’aresta.
L’àrea és la suma de l’àrea de les seves 6 cares. Per tant A = 6 ⋅ 92 = 486 cm2.
Calcula l’àrea d’un prisma triangular, és a dir: la base és un triangle equilàter,regular de 5 cm d’aresta bàsica i 16,5 cm d’altura.
Trobem, primer, l’àrea de la base:
AL = 3 ⋅ ACara → AL = 3 ⋅ 5 ⋅ 16,5 = 247,5 cm2
AT = AL + 2 ⋅ AB → AT = 247,5 + 2 ⋅ 10,8 = 269,1 cm2
Calcula l’àrea d’un prisma hexagonal regular de 8 cm d’aresta bàsica i 10 cm d’altura.
Calculem, primer, l’àrea de la base:
AL = 6 ⋅ ACara = 6 ⋅ 8 ⋅ 10 = 480 cm2
AT = AL + 2 ⋅ AB → AT = 480 + 2 ⋅ 165,6 = 811,2 cm2
AP a
ABase Base26,9
165,6 cm=⋅
=⋅ ⋅
=2
6 8
2→
a = − = − =8 64 162 24 6,9 cm
010
A b h AB B= ⋅ = ⋅ ⋅ =1
2
1
25→ 4,3 10,8 cm2
h = − =52 22,5 4,3 cm
009
008
007
006
005
SOLUCIONARI
Base
Aresta lateralG
GBaseA
ltura
Altu
raAresta lateralG
Cara lateralG
Aresta bàsicaG
Cara lateralG
Aresta bàsicaG
5 cm
h
8 cm
a
4 cm
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 277
278
Classifica aquestes piràmides i anomena’n els elements principals.
a) b)
Piràmide triangular recta Piràmide hexagonal obliqua
Calcula l’àrea total d’una piràmide hexagonal regular de 6 cm d’aresta bàsica i 12 cm d’apotema de les cares laterals.
Trobem l’àrea de la base hexagonal:
62 = a2 + 32 → a = = 5,2 cm
AL = 6 ⋅ ACara → AL = 6 ⋅ 36 = 216 cm2
AT = AL + AB → AT = 216 + 93,6 = 309,6 cm2
Amb qualsevol triangle com a base podem fer una piràmide recta. És possible fer-ho amb qualsevol quadrilàter?
Amb un triangle sí que és possible, perquè el vèrtex estarà en la rectaperpendicular al triangle que passa per la intersecció de les mediatrius(circumcentre). Amb un quadrilàter no és possible, ja que les mediatrius no han de tallar-se necessàriament en un punt.
Dibuixa el desenvolupament pla i calcula l’àrea dels cossos de revolució següents.
a) Un cilindre de 3 cm de radi de la base i 5 cm d’altura.b) Un con de 4 cm de radi i 6 cm de generatriu.
a)
AL = 2πrh → AL = 2π ⋅ 3 ⋅ 5 = 94,2 cm2
AB = πr 2 → AB = π ⋅ 32 = 28,26 cm2
AT = AL + 2 ⋅ AB →→ AT = 94,2 + 2 ⋅ 28,26 = 150,72 cm2
b)
AL = πrg → AL = π ⋅ 4 ⋅ 6 = 75,36 cm2
AB = πr 2 → AB = π ⋅ 42 = 50,24 cm2
AT = AL + AB → AT = 75,36 + 50,24 == 125,6 cm2
014
013
A b h ACara Cara21 1
cm= ⋅ = ⋅ ⋅ =2 2
6 12 36→
AP a
AB B=⋅
=⋅ ⋅
=2
6 6
2→ 5,2
93,6 cm2
36 9 27− =
012
011
Cossos geomètrics
Base
Aresta lateralGApotemaA
ltura
F Cara lateral
F
Base FArestabàsica
F
VèrtexG VèrtexG
Cara lateralG
GAresta bàsica
Aresta lateralG
AlturaG
G
3 cm
6 cma
5
4 cm6 cm
G
G
3 cm
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 278
279
9
Quina altura té un cilindre de 75,36 cm2 d’àrea lateral i 4 cm de radi de la base?
AL = 2πrh → 75,36 = 2π ⋅ 4 ⋅ h →
Un con té la mateixa base que un cilindre i la seva àrea és la meitat. Quin tindrà més altura?
Com que tenen el mateix radi i la meitat d’àrea:
πr (h + r) = πr (g + r) → h = gL’altura del cilindre ha de ser igual que la generatriu del con, i com quel’altura del con és sempre menor que la seva generatriu, l’altura del cilindreés més gran que la del con.
En una esfera de 20 cm de radi, calcula l’àrea del fus esfèric de 40°i un casquet esfèric de 10 cm d’altura.
AFus = → AFus = = 558,2 cm2
ACasquet = 2πrh ⎯→ ACasquet = 2π ⋅ 20 ⋅ 10 = 1.256 cm2
En una taronja de 15 cm de diàmetre, quina àrea de pell li correspon a cadascun dels 12 grills?
Cada grill és un fus esfèric de d’amplitud.
AFus = → AFus = → AFus = 58,9 cm2
Calcula l’altura d’una zona esfèrica perquè la seva àrea sigui la mateixa que la d’un fus esfèric de 10º d’amplitud, si el radi de l’esfera associada és de 15 cm. I si el radi fos de 30 cm? El resultat depèn del radi de l’esfera?
AFus = → AFus = → AFus = 78,5 cm2
AZona = 2πr 2h → AZona = 2π ⋅ 152 ⋅ h = 1.413 ⋅ hPer tant, 78,5 = 1.413 ⋅ h → h = 0,06 cm.
Si el radi és r = 30 cm, tenim que:
AFus = = 314 cm2
314 = 2π ⋅ 302 ⋅ h → h = = 0,06 cm
que és la mateixa altura de la zona, cosa que podíem haver deduït plantejantla igualtat i simplificant:
= 2πr 2h → h =
expressió en què no intervé el radi, r.
2
360
⋅ n4
360
2πr n⋅
314
5 652.
4 30 10
360
2π ⋅ ⋅
4 15 10
360
2π ⋅ ⋅4
360
2πr n⋅
h
15 cm
019
4 30
360
2π ⋅ ⋅7,54
360
2πr n⋅
360
1230= °
018
4 20 40
360
2π ⋅ ⋅4
360
2πr n⋅
017
016
h = =75,36
25,12cm3
015
SOLUCIONARI
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 279
280
Calcula el volum d’un prisma hexagonal regular l’aresta de la base del qual fa 3 cm i l’altura, 4 cm.
Trobem l’àrea de la base:
32 = a2 + 1,52 → a = = 2,6 cm
V = AB ⋅ h → V = 23,4 ⋅ 4 = 93,6 cm3
Calcula el volum del cilindre circumscrit en el prisma de l’exercici anterior.
El radi del cilindre coincideix amb el costat de l’hexàgon (3 cm).
V = πr 2h = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 113,04 cm3
Determina la longitud de l’aresta d’un cub el volum del qual és igual al d’un ortoedre amb arestes de 3, 4 i 5 cm, respectivament.
VOrtoedre = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 cm3 VCub = l3 → 60 = l3 → l = 3,91 cm
Si els volums de dos cilindres són iguals i els radis són un el doble que l’altre,quina relació hi ha entre les seves altures?
πr 2h = πr'2h' πr 2h = π ⋅ 4 ⋅ r 2h' → h = 4h'
L’altura del cilindre amb radi més petit és el quàdruple que la de l’altre cilindre.
Calcula el volum de les figures següents.
a) b)
a)
b)
Calcula el volum comprès entre el cub i el conde la figura.
VCub = 103 = 1.000 cm3
VCon = πr 2h → VCon = π ⋅ 52 ⋅ 10 = 261,7 cm3
VCub − VCon = 1.000 − 261,7 = 738,3 cm3
1
3
1
3
10 cm
025
V r h V= = ⋅ ⋅ =1
3
1
34 3 50 242 2 3π π→ , cm
V A h V= ⋅ = ⋅ ⋅ =1
3
1
33 7 212 3
Base cm→
4 cm
5 cm
3 cm
7 cm
024
r' = 2r⎯⎯⎯⎯⎯→
023
022
021
AP a
AB B=⋅
=⋅ ⋅
=2
6 3
2→ 2,6
23,4 cm2
9 − 2,25
020
Cossos geomètrics
1,5 cm
3 cm
a
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 280
Tenim un con de radi r i altura h. Com augmenta més de volum, si augmentem 1 cm el radi o si augmentem 1 cm l’altura?
Si augmentem 1 cm el radi:
El volum augmenta: .
Si augmentem 1 cm l’altura:
El volum augmenta: .
És més gran l’augment en el cas del radi quan
Calcula el volum d’una esfera el diàmetre de la qual és de 10 cm.
Si el volum d’una esfera és 22 dm3, quin n’és el radi?
Determina el volum de les esferes circumscrita i inscrita en un cilindre d’1 m d’altura i de diàmetre.Quina és la diferència entre els radis de totes dues esferes?
L’esfera inscrita té de radi la meitat del diàmetre del cilindre: 0,5 m.
El radi de l’esfera circumscrita és la meitat de la diagonal del cilindre, que calculem amb el teorema de Pitàgores.
Aquesta diagonal fa: m.
La diferència entre els radis és: 2
2
1
2
2 1
2
1
2− =
−=
−=
1,410,205 m.
r V r= = = ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
2
2
4
3
4
3 23
3
m1,41
1,47 m→ π π 33
1 1 22 2+ =
V r= = ⋅ =4
3
4
33 3 3π π 0,5 0,52 m
1 m
GF
1 m 029
V r r r= = = =4
322
4
3
22
4
3
3 3
3π π
π→ → 1,74 dm
028
V r= = ⋅ =4
3
4
35 523 333 3 3π π , cm
10 cm
027
hr
r>
+
2
2 1.
1
32 1
1
32 1
2 12 2
2
( )( ) ( ) ( )π πr h r r h r hr
r+ ⋅ > + ⋅ > >
+→ →
1
32( )πr
V r h r h r= ⋅ + = ⋅ +1
31
1
3
1
32 2 2( )( ) ( ) ( ).π π π
1
32 1( )( )π r h+ ⋅
V r h r r h r h= + ⋅ = + + ⋅ = ⋅ +1
31
1
32 1
1
32 2 2( ) ( )( ) ( ) ( )π π π
11
32 1( )( )π r h+ ⋅
026
281
9SOLUCIONARI
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 281
282
Busca en un atles una ciutat que tingui latitud nord i longitud oest, i una altra que tingui latitud sud i longitud est.
Latitud nord i longitud oest: Nova York.
Latitud sud i longitud est: Sidney.
Les coordenades de la ciutat A són 20° E 30° N, i les de la ciutat Bsón 50° O 25° S. Quants graus de longitud i latitud separen les ciutats A i B?
La diferència en latitud és: 25° + 30° = 55°.
La diferència en longitud és: 20° + 50° = 70°.
Els punts A i B són en el mateix paral·lel, quina relació hi ha entre les seves latituds?
Tindrien cap relació si estiguessin en el mateix meridià?
Si són en el mateix paral·lel, tenen la mateixa latitud.
I si són en el mateix meridià, tenen la mateixa longitud, però no en sabem res de la latitud.
ACTIVITATS
Dibuixa el desenvolupament d’aquests poliedres.
a) c)
b) d)
a)
b) d)
c)
033●●
AB
032
031
030
Cossos geomètrics
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 282
283
9
Els poliedres següents són regulars? Raona la resposta.
No són regulars, perquè la seves cares no són iguals ni en forma ni en mida.
Comprova si aquests poliedres compleixen la fórmula d’Euler.
a) c) e) g)
b) d) h) f)
Classifica’ls en còncaus i convexos.
a) Cares = 10 Vèrtexs = 7 Arestes = 15 → 10 + 7 = 15 + 2 Convex.
b) Cares = 9 Vèrtexs = 9 Arestes = 16 → 9 + 9 = 16 + 2 Còncau.
c) Cares = 12 Vèrtexs = 10 Arestes = 20 → 12 + 10 = 20 + 2 Convex.
d) Cares = 9 Vèrtexs = 9 Arestes = 16 → 9 + 9 = 16 + 2 Còncau.
e) Cares = 8 Vèrtexs = 8 Arestes = 14 → 8 + 8 = 14 + 2 Convex.
f) Cares = 4 Vèrtexs = 4 Arestes = 6 → 4 + 4 = 6 + 2 Convex.
g) Cares = 9 Vèrtexs = 9 Arestes = 16 → 9 + 9 = 16 + 2 Convex.
h) Cares = 11 Vèrtexs = 16 Arestes = 24 → 11 + 16 � 24 + 2 Còncau.
En aquesta taula hi ha representats els poliedres regulars. Completa-la i comprova que tots compleixen la fórmula d’Euler.
036●●
035●●
034●●
a) b) c)
SOLUCIONARI
C V A C + V − ATetraedre 4 4 6 2Cub 6 8 12 2Octaedre 8 6 12 2Dodecaedre 12 20 30 2Icosaedre 20 12 30 2
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 283
284
Dibuixa una piràmide pentagonal. Compta’n les arestes, els vèrtexs i les cares i comprova que es compleix la fórmula d’Euler.
Cares = 6, vèrtexs = 6, arestes = 10.
Sí que es compleix la fórmula d’Euler → 6 + 6 == 10 + 2.
Determina el polígon que forma la base d’un prisma en cada cas.
a) Si té 10 vèrtexs.b) Si té 9 arestes.c) Si té 9 cares.
a) Pentàgon. b) Triangle. c) Heptàgon.
Determina el polígon que forma la base d’una piràmide en cada cas.
a) Si té 10 vèrtexs.b) Si té 12 arestes.c) Si té 9 cares.
a) Enneàgon. b) Hexàgon. c) Octàgon.
Tenim un tetraedre i un octaedre, amb la mateixa longitud d’aresta, i els enganxem per una cara per formar un altre poliedre. Compleix la fórmula d’Euler, aquest poliedre?
Cares = 10, vèrtex = 7, arestes = 15.
Sí que la compleix: 10 + 7 = 15 + 2.
Les tres arestes d’un ortoedre fan 5, 6 i 4 cm, respectivament. Calcula’n la diagonal.
d = diagonal de la base = →
→ d = = 7,8 cm
D = diagonal l’ortoedre = →
→ D = = 8,8 cm
Calcula la diagonal d’un cub l’aresta del qual fa 3 cm.
d = diagonal de la base = cm
D = diagonal del cub = = 5,2 cm3 18 9 18 272 2+ = + =( )
3 32 2+
042●●
16 61 77+ =
42 2+ d
36 25 61+ =
6 52 2+
041●
040●●
039●
038●
037●
Cossos geomètrics
d
D
F
DE
A B
C
6 cm
4 cm
5 cm
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 284
285
9
La diagonal d’un cub fa m. Quant fa l’aresta? I la diagonal d’una cara?
d2 = l2 + l2 = 2l2
D2 = d2 + l2 = 3l2 → ( )2 = 3l2 → l2 = 9 → l = 3 m
d2 = 2l2 → d = l → d = 3 = 4,2 m
L’apotema d’una piràmide quadrangular regular fa 12 cm i l’aresta bàsica, 10 cm. Quant fa d’altura?
a2 122 = h2 + 52 →
→ h2 = 144 − 25 = 119 → h = 10,9 cm
L’apotema d’una piràmide hexagonal regular fa 10 cm i l’aresta bàsica, 10 cm. Quant farà d’altura?
Trobem l’apotema, a', de la base:
102 = a'2 + 52 → a' = cm
Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle de color de la piràmide:
a2 = h2 + a'2 → 102 = h2 + ( )2 →
→ h2 = 100 − 75 → h = = 5 cm
Calcula la longitud dels segments marcats en els cossos geomètrics següents.
a) b)
a) Trobem la diagonal de la base, que és un quadrat de costat l = 6 cm.
d 2 = 62 + 62 = 2 ⋅ 62 → d = 6 cm
Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle de color:
→ h2 = 36 − 18 → h = = 3 cm
Per tant, el segment mesura 2h = 2 = 6 = 8,5 cm.
b) El segment marcat és la diagonal d’un quadrat de costat l = 8 cm.
d = + = ⋅ = =8 8 2 8 8 22 2 2 11,3 cm
218
218
l2 2
2
2 2
2
26
6 2
2= +
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟h
dh→ →→
2
8 cm
8 cm
6 cm
046●●
25
75
75
045●
= +⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟h2
2
2
l →
044●
22
27
27043●●●
SOLUCIONARI
Dd
l
l = 10 cm
h12 cm
5 cm
a=10 cm
h
10 cm
a'
a'
G
G
G
l
h
l
2
Gd
2
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 285
Quan tallem un con per un pla paral·lel a la base, obtenim un altre con i un tronc de con. Calcula l’altura del tronc del con.
L’altura és:
Dibuixa un tronc de piràmide de base quadrada. Els costats de les bases fan 8 cm i 11 cm, i l’altura, 4 cm. Calcula l’altura de la cara lateral.
Apliquem el teorema de Pitàgores en l’espai:
a
Calcula l’aresta lateral, x, del tronc de piràmide i l’altura, h, de la piràmide.
Per semblança de triangles, agafem H = h + 4,8:
→ h = 14,4 cm →→ H = 14,4 + 4,8 = 19,2 cm
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
h ⎯⎯⎯→ 6h + 4,8 → 8
x =−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + =
8 6
2
8 6
2
2 2
24,8 25,,04 cm= 5
050●●●
= =18,25 4,27 cm
= + =−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + =b h2 2
2
211 8
24
049●●●
h = − − = =8 5 3 602 2( ) 7,75 cm
048●●
047 FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM L’ALTURA DE LA CARA LATERAL D’UN TRONC DE PIRÀMIDE?
Calcula la longitud de l’altura de la cara laterald’aquest tronc de piràmide.
Tronc de piràmide: és un poliedre amb dues cares paral·leles, anomenades bases,i diverses cares laterals que són trapezis isòsceles. Es formen quan es talla una pi-ràmide per un pla paral·lel a la base.
PRIMER. Definim el triangle rectangle ABC.
AB = 7 − 4 = 3 cm
AC = h = 4 cm
SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores.
(BC)2 = (AB)2 + (AC)2 BC = + =3 4 52 2 cm
286
Cossos geomètrics
4 cm
4 cm7 cm
G
G
G
4 cm
4 cm
G
G
BA
C
3 cm
8 cm
5 cm
h
x
8 cm
6 cm
F
4,8 cm
8 cm
11 cm
h a
F
b
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 286
287
9
Calcula l’àrea total d’un prisma triangular recte d’altura 3 cm i la base del qualés un triangle equilàter de 2 cm de costat.
Calculem l’àrea de la base:
22 = a2 + 12 →
Calculem l’àrea d’una cara lateral (rectangle):
ACara = 2 ⋅ 3 = 6 cm2 → AL = 3 ⋅ AC = 3 ⋅ 6 = 18 cm2
AT = AL + 2 ⋅ AB → AT = 18 + 2 = 21,5 cm2
Calcula l’àrea d’un ortoedre d’altura 5 cm la base del qual és un rectangle de 3 × 4 cm.
Calculem l’àrea de cada classe de cara lateral:
A➀ = 3 ⋅ 5 = 15 cm2 A➁ = 4 ⋅ 5 = 20 cm2
ABase = 4 ⋅ 3 = 12 cm2
AT = 2 ⋅ A➀ + 2 ⋅ A➁ + 2 ⋅ ABase
AT = 2 ⋅ 15 + 2 ⋅ 20 + 2 ⋅ 12 = 30 + 40 + 24 = 94 cm2
La llargada d’un ortoedre és el doble que l’amplada, i l’amplada és el doble
que l’altura. Si la diagonal val cm, calcula’n l’àrea total.
Altura = xAmplada = 2xLlargada = 2 ⋅ 2x = 4xLa diagonal de la base, d', és:
d' =
La diagonal de l’ortoedre, d, és:
d 2 = d' 2 + x2 21 = 20x2 + x2 → → 21 = 21x2 → x = 1 cm
Per tant, les seves dimensions són 4 cm, 2 cm i 1 cm:AT = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 16 + 8 + 4 = 28 cm2
→ →( ) ( )21 202 2 2 2= +x x
( ) ( )4 2 202 2 2x x x+ = cm
21
053●●
052●
3
A b a AB B= ⋅ = ⋅ ⋅ =1
2
1
22 3 3→ cm2
a = − =4 1 3 cm
051●
SOLUCIONARI
a2 cm
1 cm
x21
cm
2x4x
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 287
288
Determina l’àrea total d’una piràmide triangular recta amb arestes laterals de 6 cm, i amb un triangle equilàter de 4 cm de costat com a base.
Trobem l’apotema d’una cara lateral:
a 5,66 cm
ACara = b ⋅ a → AC = ⋅ 4 ⋅ 5,66 = 11,32 cm2
AL = 3 ⋅ AC → AL = 3 ⋅ 11,32 = 34 cm2
Calculem l’àrea de la base:
h 3,5 cm
AB = b ⋅ h = ⋅ 4 ⋅ 3,5 = 7 cm2
AT = AL + AB → AT = 34 + 7 = 41 cm2
Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un tetraedre regular l’aresta del qual fa 2 cm.
Calculem l’àrea d’un cara:
ACara = b ⋅ h → AC
AT = 4 ⋅ AC = = 6,93 cm2
Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un octaedre regular l’aresta del qual fa 4 cm.
Calculem l’àrea d’una cara:
ACara
AT = 8 ⋅ ACara → AT = 8 ⋅ 55,4 cm2
Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un icosaedre regular l’aresta del qual fa 6 cm.
L’àrea total de l’icosaedre és: AT = 20 ⋅ ACara.
ACara = b ⋅ h → ACara = ⋅ 6 ⋅ 5,2 = 15,6 cm2
ATotal = 20 ⋅ 15,6 = 312 cm2
1
2
1
2
h h= − = − = =6 3 36 9 272 2 → 5,2 cm
057●●
4 3 32 3= =
= ⋅ ⋅ =1
24 12 4 3 cm2
h = − =4 2 122 2 cm
056●●
4 3
= ⋅ ⋅ =1
22 3 3 cm21
2
h = − =2 1 32 2 cm
055●●
1
2
1
2
= − = =4 2 122 2
1
2
1
2
= − = =6 2 322 2
054●
Cossos geomètrics
2 cm
2 cm
6 cm
4 cm
a
h
h
1 cm
2 cm
h4 cm
2 cm
h6 cm
3 cm
G
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 288
289
9
Calcula l’aresta de:
a) Un tetraedre d’àrea total cm2.
b) Un icosaedre les cares del qual fan cm2.
c) Un octaedre d’àrea total cm2.
a) AT = 4 ⋅ ACara → = 4 ⋅ AC → AC = cm2
l2 = 16 → l = 4 cm
b)
l2 = 4 → l = 2 cm
c) AT = 8 ⋅ ACara → 18 = 8 ⋅ AC
→ l2 = 9 → l = 3 cm
Calcula l’àrea dels cossos i figures esfèriques següents.
a) c) e) g)
b) d) f) h)
059●
ACara = ⋅ ⋅ =1
2
3
2
9 3
4
3
4
2
ll l→ →
h = − =ll l22
4
3
2
→ AC =9 3
42cm3
→ →2 33
22= ⋅l
A b hCara = ⋅ = ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅
1
23
1
2 22 3
32
2
→ →l ll
ll22
4→
→ →4 33
4
2
=l
A h ACCara = ⋅ = ⋅ =1
2
1
2
3
2
3
4
2
l ll l→ →
h = −⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =l
l l l2
2 2
2
3
4
3
2
4 316 3
18 3
3
16 3
058●●
SOLUCIONARI
hl
hl
6 cm
9 cm
G
4 cm
40°
4 cm
6 cm
G
6 cm
3 cm
5 cm
G 3 cm
3 cm
G
5 cm
3 cmG
5 cm
4 cm
3 cm
l
2
l
2
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 289
290
a) AT = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) + 2 ⋅ (4 ⋅ 5) + 2 ⋅ (3 ⋅ 5) = 24 + 40 + 30 = 94 cm2
b) AT = 2πr 2 + 2πrh → AT = 2π ⋅ 32 + 2π ⋅ 3 ⋅ 5 → → AT = 56,52 + 94,2 = 150,72 cm2
c) AEsfera = 4πr 2 → AEsfera = 4π ⋅ 32 = 113,04 cm2
d) ACasquet = 2πrh → ACasquet = 2π ⋅ 5 ⋅ 3 = 94,2 cm2
e) Calculem l’apotema d’una cara lateral:
ACara = b ⋅ a → AC = ⋅ 3 ⋅ 5,8 = 8,7 cm2
AL = 6 ⋅ AC → AL = 6 ⋅ 8,7 = 52,2 cm2
Després, determinem l’àrea de la base:
a' =
AT = AL + AB → AT = 52,2 + 23,4 = 75,6 cm2
f) Calculem l’àrea lateral:AL = πrg → AL = π ⋅ 4 ⋅ 6 = 75,36 cm2
AB = πr 2 → AB = π ⋅ 42 = 50,24 cm2
AT = AL + AB → AT = 75,36 + 50,24 = 125,6 cm2
g) AFus 22,33 cm2
h) AZona = 2πrh → AZona= 2π ⋅ 9 ⋅ 6 = 339,12 cm2
Calcula l’àrea de:
a) Un cub amb una cara la diagonal de la qual fa 10 cm.b) Un cilindre de 20 cm de diàmetre de la base i 12 cm d’altura.c) Un con de 4 cm de radi i 6 cm d’altura.d) Una esfera de 12 cm de diàmetre.e) Un fus esfèric de 80° i radi de 20 cm.f) Un casquet esfèric de 10 cm de radi i 9 cm d’altura.g) Una zona esfèrica de 8 cm d’altura i 12 cm de radi.h) Una piràmide hexagonal regular de 3 cm d’altura i 3 cm de costat de la base.
a) d2 = l2 + l2 → 102 = 2l2 → l = cmACara = l2 → AC = 50 cm2
ACub = 6 ⋅ AC → ACub = 6 ⋅ 50 = 300 cm2
b) AL = 2πrh → AL = 2π ⋅ 10 ⋅ 12 = 753,6 cm2
AB = πr 2 → AB = π ⋅ 102 = 314 cm2
AT = AL + 2 ⋅ AB → AT = 753,6 + 2 ⋅ 314 = 1.381,6 cm2
50
060●
=⋅
=⋅ ⋅
=4
360
4 4 40
360
2 2π πr nA
°
°
°Fus→
AP a
AB B=⋅
=⋅ ⋅
='
2
6 3
22→ 2,6
23,4 cm
32 2− = =1,5 6,75 2,6 cm
1
2
1
2
a = − = =62 21,5 33,75 5,8 cm
Cossos geomètrics
6 cm
3 cm
1,5 cm
1,5 cm
a
a'
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 290
291
9
c) AL = πrg → AL = π ⋅ 4 ⋅ = 90,56 cm2
AB = πr 2 → AB = π ⋅ 42 = 50,24 cm2
AT = AL + AB → AT = 90,56 + 50,24 = 104,8 cm2
d) AEsfera = 4πr 2 → AEsfera = 4π ⋅ 62 = 452,2 cm2
e) AFus = → AFus = = 1.116,4 cm2
f) ACasquet = 2πrh → ACasquet = 2π ⋅ 10 ⋅ 9 = 565,2 cm2
g) AZona = 2πrh → AZona = 2π ⋅ 12 ⋅ 8 = 602,9 cm2
h) Calculem, primer, l’aresta lateral i l’apotema de la cara lateral:
L’apotema de la base és:
AT = 35,76 + 23,4 = 59,16 cm2
L’àrea lateral d’una piràmide recta de base quadrada i, per tant, regular, és 80 cm2 i el perímetre de la base fa 32 cm. Calcula l’apotema de la piràmide.
Dos cilindres tenen la mateixa superfície lateral i els radis fan 6 m i 8 m.Calcula’n l’altura si saps que es diferencien de 3 m. Calcula també la superfície lateral i total de cada cilindre.
2 ⋅ π ⋅ 6 ⋅ (x + 3) = 2π ⋅ 8 ⋅ x → 12,56x = 113,04 → x = 9 m
El cilindre de radi 6 m té una altura de 12 m, i el cilindre de radi 8 m té una altura de 9 m.
Cilindre de radi 6 m:Àrea lateral = 2π ⋅ 6 ⋅ 12 = 452,16 m2
Àrea base = π ⋅ 62 = 113,04 m2
Àrea total = 452,16 + 2 ⋅ 113,04 = 678,24 m2
Cilindre de radi 8 m: Àrea lateral = 2π ⋅ 8 ⋅ 9 = 452,16 m2
Àrea base = π ⋅ 82 = 200,96 m2
Àrea total = 452,16 + 2 ⋅ 200,96 = 854,08 m2
062●●
AP a a
aL =⋅
=⋅
=2
8032
25→ → cm
061●●
AP a
Base2,6
23,4 cm=⋅=
⋅=
2
18
22
a = + =32 21,5 2,6 cm
AL = ⋅ =6 25,96 35,76 cm
ACara3,97
5,96 cm=⋅
=3
22
Apotema 1,5 cm= − =18 3 972 ,
Aresta 4,24 cm= + =3 32 2
4 20 80
360
2π ⋅ ⋅ °
°
4
360
2πr n⋅°
4 62 2+
SOLUCIONARI
3cm
3 cm
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 291
292
Un cilindre té una altura igual que el diàmetre de la base i l’àrea és de 470 cm2. Calcula el radi de la base.
Altura: 2x, radi: x.
Àrea lateral = 2x ⋅ π ⋅ x = 6,28x2
Àrea base = π ⋅ x2 = 3,14x2
Àrea total = 6,28x2+ 2 ⋅ 3,14x2= 12,56x2 = 470 → x = 6,12 cm
Calcula l’altura d’un cilindre si l’àrea d’una de les bases és igual a la superfície lateral, i cadascuna d’elles fa 154 cm2. Calcula’n l’àrea total.
Radi: x, altura: y.
Àrea base = π ⋅ x2 = 154 → x = 7 cm
Àrea lateral = 14 ⋅ π ⋅ y = 154 → y = 3,5 cm
Radi: 7 cm, altura: 3,5 cm.
Determina la superfície lateral d’un con l’altura del qual coincideix amb eldiàmetre de la base, si la longitud de la circumferència de la base fa 18,85 cm.
2πr = 18,85 cm → r = 3 cm, h = 3 ⋅ 2 = 6 cm
066
g A rgL= + = = = ⋅ ⋅ =6 3 6 71 3 14 3 6 71 63 212 2 , , , ,cm cm→ π 22
065●●
064●●
063●●
Cossos geomètrics
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRONC DE PIRÀMIDE I D’UN TRONC DE CON?
Calcula l’àrea lateral d’aquestes figures.
a) b)
a) L’àrea lateral d’un tronc de piràmide és:
ALateral
912 cm2
b) L’àrea lateral d’un tronc de con és:
ALateral = π(r + r' )g = π(12 + 10) ⋅ 15 == 1.036,2 cm2
=⋅ +
⋅ =4 24 14
212
( )
=⋅ +
⋅ =n c c
a( )'
2
24 cm
14 cm 12 cm
12 cm
10 cm
15 cm
G
G
al'
l
2πr'
2πr
g
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 292
293
9
Calcula l’àrea total d’aquestes figures.
a) c)
b) d)
a) Àrea lateral = π ⋅ (6 + 3) ⋅ 8 = 226,08 cm2
Àrea base 1 = π ⋅ 62 = 113,04 cm2
Àrea base 2 = π ⋅ 32 = 28,26 cm2
Àrea total = 226,08 + 113,04 + 28,26 = 367,38 cm2
b) Àrea lateral 950 cm2
c) La generatriu és: .
Àrea lateral = π ⋅ (10 + 12) ⋅ 14,14 = 976,79 cm2
Àrea base 1 = π ⋅ 122 = 452,16 cm2
Àrea base 2 = π ⋅ 102 = 314 cm2
Àrea total = 976,79 + 452,16 + 314 = 1.742,95 cm2
d) Àrea lateral 240 cm2
Àrea base 1 = 81 cm2
Àrea base 2 = 36 cm2
Àrea total = 240 + 81 + 36 = 357 cm2
El radi d’una esfera fa 3 cm. Calcula’n l’àrea total.
A = 4π ⋅ 32 = 113,04 cm2
El cercle màxim d’una esfera té una àrea de 78,54 cm2.Determina’n el radi i l’àrea total.
Cercle = π ⋅ x2 = 78,54 cm2 → x = 5 cm
A = 4π ⋅ 52 = 314 cm2
069●●
068●
= ⋅+
⋅ =46 9
28
g = + = =14 2 2002 2 14,14 cm
= ⋅+
⋅ =516 22
210
8 cm
9 cm
6 cm
10 cm
22 cm
16 cm
G
14 cm
10 cmG
G
G12 cm
8 cm
6 cm
3 cmG
067●●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 293
294
Calcula l’àrea total dels cossos geomètrics següents.
a) c) e)
b) d)
a) Calculem l’àrea d’un quadrat de costat l = 3 cm → A = l2 = 9 cm2.
Hi ha 6 creus i cada creu consta de 5 quadrats → A = 6 ⋅ 5 ⋅ 9 = 270 cm2.
Hi ha 8 forats i cada forat està format per 3 quadrats → → A = 8 ⋅ 3 ⋅ 9 = 216 cm2
Per tant, l’àrea total serà:AT = 270 + 216 = 486 cm2
que és igual a l’àrea d’un cub d’aresta: 3 ⋅ 3 = 9 cm → → ACara = 92 = 81 cm2 → AT = 6 ⋅ AC → AT = 6 ⋅ 81 = 486 cm2
b) La superfície total és la suma de l’àrea de les 5 cares del cub i les 4 cares laterals de la piràmide.
ACub = 5 ⋅ 62 = 5 ⋅ 36 = 180 cm2
AL Piràmide = 4 ⋅ ACara
Per trobar l’àrea d’una cara, en calculem l’apotema, a:
ACara = b ⋅ a → AC = ⋅ 6 ⋅ 3,6 = 10,8 cm2
AL Piràmide = 4 ⋅ 10,8 = 43,2 cm2
Per tant, AT = 180 + 43,2 = 223,2 cm2.
c) L’àrea del cilindre és:
A = 2πrh + πr 2 = 2π ⋅ 6 ⋅ 7 + π ⋅ 62 = 376,8 cm2
I la de la semiesfera és:
A = → A = 2π ⋅ 62 = 226,1 cm2
AT = 376,8 + 226,1 = 602,9 cm2
4
2
2πr
1
2
1
2
a h a a2 2
2
2 2
22 3 13= +
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + = =
l → → 3,6 cm
070●●
Cossos geomètrics
7 cm
6 cm
G 4 cm 8 cm
6 cm
2 cm 3 cm
5 cm
3 cm
ah
l
2
G
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 294
295
9
d) Calculem l’àrea del semicilindre:
AL = + 2rh − rh = π ⋅ 1,5 ⋅ 5 + 1,5 ⋅ 5 = 31,05 cm2
ABases = 2 ⋅ → AB = π ⋅ 1,52 = 7,07 cm2
AT = 31,05 + 7,07 = 38,12 cm2
Per calcular l’àrea del semicon hem de trobar què mesura la generatriu:
AL = → AL = = 12,29 cm2
ABase = → AB = = 3,53 cm2
AT = 12,29 + 3,53 = 15,82 cm2
e) Determinem què mesura el costat del triangle de la cantonada:
c2 = 42 + 42 = 32 → c = = 5,66 cm
ACara completa = 82 = 64 cm2
ATall = b ⋅ h = ⋅ 4 ⋅ 4 = 8 cm2
ACara retallada = 64 − 8 = 56 cm2
L’àrea lateral del cub és:
AL = 3 ⋅ ACara+ 3 ⋅ ACara retallada → AL = 3 ⋅ 64 + 3 ⋅ 56 = 192 + 168 = 360 cm2
Finalment, calculem l’àrea del triangle de la cantonada del cub:
h = → h = 4,9 cm
ACantonada = c ⋅ h → ACantonada = ⋅ 5,66 ⋅ 4,9 = 13,9 cm2
AT = 360 + 13,9 = 373,9 cm2
Calcula el volum d’una piràmide quadrangular recta de 10 cm d’aresta i 5 cm d’altura.
AB = c2 → AB = 102 = 100 cm2
V = AB ⋅ h → V = ⋅ 100 ⋅ 5 = 166,7 cm31
3
1
3
071●
1
2
1
2
5 66 2 83 242 2, ,− =
1
2
1
2
32
3,14 1,52⋅2
πr 2
2
3,14 1,5 5,22⋅ ⋅2
πrg2
g = + = + =5 252 21,5 2,25 5,22 cm
πr 2
2
2
2
πrh
SOLUCIONARI
1,5 cm
5 cmg
4 cm
4 cm
5,66 cm
2,83 cm
c
h
h
c
831106 _ 0274-0309.qxd 20/9/07 13:59 Página 295
296
Calcula el volum d’un prisma triangular recte de 8 cm d’altura la base del qualés un triangle equilàter de 4 cm de costat.
Trobem l’àrea de la base:
h = cm
AB = b ⋅ h → AB = = 6,9 cm2
V = AB ⋅ h → V = 6,9 ⋅ 8 = 55,2 cm3
Calcula el volum d’una piràmide triangular recta amb arestes laterals de 8 cm, i amb un triangle equilàter de 7 cm de costat com a base.
Trobem l’àrea de la base:
h' = 6,1 cm
AB = b ⋅ h' → AB = ⋅ 7 ⋅ 6,1 = 21,4 cm2
Per calcular l’altura de la piràmide apliquem el teorema de Pitàgores al triangle de color i tenim en compte que, com que és equilàter, el radi és:
r = h' → r = ⋅ 6,1 = 4,1 cm
82 = h2 + r 2 → h = = 6,9 cm
V = AB ⋅ h → V = ⋅ 21,4 ⋅ 6,9 = 49,2 cm3
Calcula el volum d’un cilindre de 12 cm de diàmetre i el triple del diàmetred’altura.
V = πr 2h → V = π ⋅ 62 ⋅ 36 = 4.069,4 cm3
074●●
1
3
1
3
64 −16,81
2
3
2
3
1
2
1
2
72 2− = =3,5 36,75
073●●
1
24 12⋅ ⋅
1
2
4 2 122 2− =
072●●
Cossos geomètrics
4 cm
2 cm4 cm
8 cm
h
3,5 cm7 cm
h
r
h'7 cm
8 cm
h = 3 ⋅ 12 = 36 cm
6 cm
G
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 296
297
9
Calcula el volum d’aquests cossos geomètrics.
a) b)
a) L’aresta és: .
V = 2,893 = 25,66 cm3
b) L’aresta és: .
L’altura és: .
V = 9,23 ⋅ 8 ⋅ 7,54 = 556,75 cm3
076
h = −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =8
8
32
2
56,88 7,54 cm
82
3
22
2
= −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =a
a aa→ 9,23 cm
5 32 2 2= + + = =a a a a a→ 2,89 cm
G 8 cm5 cm
075●●●
SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM EL VOLUM D’UN TRONC DE PIRÀMIDE I D’UN TRONC DE CON?
Calcula el volum d’aquestes figures.
a) b)
El volum d’un tronc de piràmide o d’un tronc de con el podem calcular amb la fórmula:
a) S1 = 62 = 36 cm2
S2 = 42 = 16 cm2
b) S1 = πr 2 = π ⋅ 52 = 78,5 cm2
S2 = πr' 2 = π ⋅ 32 = 28,26 cm2
V = ⋅ + + ⋅ =9
3461 58( ) ,78,5 28,26 78,5 28,26 cm3
V = ⋅ + + ⋅ =9
336 16 36 16 228 3( ) cm
Vh
S S S S= + + ⋅3
1 2 1 2( )h
r
r'S2
S1
GS2
S1
h
9 cm
3 cm
5 cm
G
4 cm
6 cm9 cm
G
6 cm9 cm
G
G
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 297
298
Calcula el volum d’aquestes figures.
a) b)
a) Apliquem el teorema de Pitàgores en l’espai i trobem l’altura
de la cara lateral:
Apliquem una altra vegada el teorema de Pitàgores i trobem l’altura del tronc
de piràmide: . El volum és:
b) Apliquem el teorema de Pitàgores i trobem l’altura:
. El volum és:
A l’interior d’un cub de 12 cm d’aresta construïm una piràmide la base de la qual és una cara del cub i el vèrtex, el centre de la cara oposada. Calcula l’àrea i el volum d’aquesta piràmide.
L’apotema és: .
Àrea lateral
Àrea base = 122 = 144 cm2. Àrea total = 144 + 322,08 = 366,08 cm2
Volum
Calcula el volum d’un con:
a) De 5 cm de radi i 8 cm d’altura.b) De 5 cm de radi i 8 cm de generatriu.
a) V = πr 2h → V = π ⋅ 52 ⋅ 8 = 209,3 cm3
b) Calculem l’altura del con:
V = πr 2h → V = π ⋅ 52 ⋅ 6,24 = 163,28 cm31
3
1
3
h = − = − =8 5 64 252 2 6,24 cm
1
3
1
3
079●
=⋅
=12 12
3576
23cm
= ⋅⋅
=412
2213,42
322,08 cm
a = + = =12 6 1802 2 13,42 cm
12 cm
078●●
V = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =4,9
189,76 cm3
33 4 3 42 2 2 2( )π π π π
h = − − = =5 4 3 242 2( ) 4,9 cm
V = ⋅ + + ⋅ =8,27
763,6 cm3
12 7 12 72 2 2 2 3( )
h = − = =8,64 2,5 68,4 8,27 cm2 2
hCara 74,75 8,64 cm.= −−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =9
12 7
22
2
7 cm
12 cm
9 cm
077●●
5 cm
3 cm
4 cm
G
Cossos geomètrics
8 cm
5 cm
h
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 298
299
9
Calcula el volum d’una esfera el diàmetre de la qual fa 20 cm.
V = πr 3 → V = π ⋅ 103 = 4.186,7 cm3
Un cub i una esfera tenen una àrea de 216 cm2. Quin té més volum?
ACub = 6 ⋅ ACara = 6c2 → 216 = 6c2 → c = = 6 cm
AEsfera = 4πr 2 → 216 = 4πr 2 → r = = 4,15 cm
VCub = c3 → VCub = 63 = 216 cm3
VEsfera = πr 3 → VEsfera = π ⋅ 4,153 = 299,2 cm3
L’esfera té més volum.
Calcula el volum dels cossos geomètrics següents.
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
a) VPiràmide = AB ⋅ h → VPiràmide = ⋅ 22 ⋅ 2 = = 2,7 cm3
VOrtoedre = a ⋅ b ⋅ c → VOrtoedre = 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 cm3
VT = VPiràmide + VOrtoedre = 2,7 + 16 = 18,7 cm3
8
3
1
3
1
3
7 cm
6 cm
G3 cm
8 cm4 cm4 cm
4 cm
6 cm
4 cm
5 cm
3 cm
2 cm
2 cm
2 cm
4 cm
082●●●
4
3
4
3
17 2,
36
081●●●
4
3
4
3
080●●
3 cm
4 cm
4 cm
G
G
SOLUCIONARI
831106 _ 0274-0309.qxd 20/9/07 13:59 Página 299
300
b) VCon = πr 2h → VCon = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 37,68 cm3
VCilindre = πr 2h → VCilindre = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 113,04 cm3
VT = 37,68 + 113,04 = 150,72 cm3
c) VCon = π ⋅ 42 ⋅ 4 = 67 cm3
VCilindre = πr 2h → VCilindre = π ⋅ 42 ⋅ 8 = 401,92 cm3
VT = VCilindre − VCon = 401,92 − 67 = 334,92 cm3
d) VCub = c3 → VCub = 93 = 729 cm3
VForat = 33 = 27 cm3
VT = VCub − 8 ⋅ VForat = 729 − 8 ⋅ 27 = 513 cm3
e) VSemicilindre = πr 2h → VSemicilindre = π ⋅ 1,52 ⋅ 5 = 17,66 cm3
VSemicon = πr 2h → VSemicon = π ⋅ 1,52 ⋅ 5 = 5,89 cm3
VT = 17,66 + 5,89 = 23,55 cm3
f) VPiràmide = AB ⋅ h = ⋅ 62 ⋅ 2 = 24 cm3
VCub = c3 = 63 = 216 cm3
VT = VCub − VPiràmide = 216 − 24 = 192 cm3
g) Trobem el costat del triangle equilàter:
c2 = 42 + 42 = 32 →
VCub = l3 = 83 = 512 cm3
Determinem el volum del pic que s’ha biselat del cub (és una piràmide triangular):
ABase = ⋅ 4 ⋅ 4 = 8 cm2
VPic = ABase ⋅ h → VPic = ⋅ 8 ⋅ 4 = 10,7 cm3
h) VSemiesfera = πr 3 = ⋅ π ⋅ 63 = 452,16 cm3
VCilindre = πr 2h = π ⋅ 62 ⋅ 7 = 791,28 cm3
VT = 452,16 + 791,28 = 1.243,44 cm3
1
2
4
3⋅
1
2
4
3⋅
1
3
1
3
1
2
c = =32 4 2 cm
1
3
1
3
1
6
1
6
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
Cossos geomètrics
4 cm
4 cm
c
4 cm
4 cm
4 cm
831106 _ 0274-0309.qxd 20/9/07 13:59 Página 300
301
9
Observa la situació de les ciutats A i B i contesta.
a) La ciutat B és en el mateix paral·lel que la ciutat A.Quina és la latitud de B? Quines relacions hi ha entre les latituds de A i B?
b) Les ciutats A i E són en el mateix meridià. Quina relació hi ha entre les seves longituds?
a) Les latituds són iguals.
b) Les longituds són iguals.
Un ascensor té les mides següents: 100 × 100 × 250 cm. S’hi pot introduir una vara que faci 288 cm?
La longitud de la vara més gran que es pot posar a l’ascensor és la diagonal d’aquest mateix ascensor.
Per tant, la vara no es podrà introduir a l’ascensor.
Volem pintar una habitació rectangular (inclòs el sostre) de 4 × 6 m i 3 m d’altura. Cadascun dels pots que farem servir té pintura per pintar 30 m2.
a) Quants pots haurem de comprar si fem cas del que diu el fabricant?
b) Si al final hem fet servir 4 pots, per a quants metres quadrats hem fet servir cada pot?
L’àrea lateral és: (4 + 4 + 6 + 6) ⋅ 3 = 60 m2. L’àrea del sostre és: 6 ⋅ 4 = 24 m2. L’àrea total és: 60 + 24 = 84 m2.
a) El nombre de pots és: 84 : 30 = 2,8. Per tant, necessitem 3 pots.
b) Si hem gastat 4 pots sencers, amb cada pot podem pintar: 84 : 4 = 21 m2.
La piràmide de Kefren té les mides que es veuen a la figura.
Quina és l’altura de la piràmide?
Si formem un triangle rectangle amb l’apotema, l’altura i mig costat, l’altura serà:
h = − = =179,37 107,625 20.590,46 143,49 m2 2
086●●
085●●
d = + + = = <100 100 250 82 500 2882 2 2 . 287,22 cm cm
084●●
A B
E
083●●
179,37 m
215,25 m
G
SOLUCIONARI
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 301
302
Calcula l’àrea total de la torre cúbica de 10 m d’aresta que té una teulada en forma piramidal l’altura de la qual és 12 m.
L’àrea total de la part cúbica és:
ACub = 4 ⋅ 102 = 400 m2
Per trobar l’àrea lateral de la piràmide, calculem primer què mesura l’altura d’una de les seves cares.
ACara = b ⋅ a → ACara = ⋅ 10 ⋅ 13 = 65 m2
AL Piràmide = 4 ⋅ 65 = 260 m2; AT Piràmide = AL + AB = 400 + 260 = 660 m2
AT = 400 + 660 = 1.060 m2
Un cub i una esfera tenen el mateix volum, 125 cm3. Quina té l’àrea més petita? Si haguessis de construir un dipòsit cúbic o esfèric, amb quina forma faria falta menys material?
VCub = c3 → 125 = c3 → c = 5 cm
ACub = 6 ⋅ AC = 6l2 → ACub = 6 ⋅ 52 = 150 cm2
VEsfera = πr 3 → 125 = πr 3 →
AEsfera = 4πr 2 → AEsfera = 4 ⋅ π ⋅ 3,12 = 120,7 cm2
L’àrea de l’esfera és menor que la del cub. Per tant, escolliria la forma esfèrica.
La Géode és un gegantesc cinema amb forma d’esfera. Calcula’n l’àrea si sapsque el seu volum és de 24.416.640 dm3.
V = πr 3 → 24.416.640 = πr 3 →
A = 4πr 2 → A = 4π ⋅ 1802 = 406.944 dm2
r =⋅
=3 24 416 640
41803
. .
πdm
4
3
4
3
089●●
r =⋅
=3 125
43
π3,1 cm
4
3
4
3
088●●
1
2
1
2
a h a2 2
2
2 2
212 5 13= +
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + =
l → m
087●●
Cossos geomètrics
12 m
10 m
G
ah
l
2
831106 _ 0274-0309.qxd 20/9/07 13:59 Página 302
303
9
Calcula el volum de la piscina.
Si considerem la piscina com un prisma de base trapezoidal, l’àrea de la base
és: ABase = . I el volum és: V = 60 ⋅ 4 = 240 m3.
En un dipòsit cúbic ple d’aigua que té una aresta de 3 m hi introduïm els cossos següents.
a) Quin percentatge de la quantitat inicial d’aigua hi ha al cub després d’introduir-hi una esfera d’1,5 m de radi?
b) Quin percentatge queda de la quantitat inicial d’aigua si hi introduïm un cilindre de 3 m de diàmetre i altura?
c) I si hi introduïm un con de 3 m de diàmetre i la mateixa altura?
a) VCub = c3 → VCubo = 33 = 27 m3
VEsfera = πr 3 → VEsfera = ⋅ π ⋅ 1,53 = 14,13 m3
VCub − VEsfera = 27 − 14,13 = 12,87 m3
El tant per cent el trobem amb una regla de tres:
Queda el 47,7 % del volum inicial.
b) VCilindre = πr 2h → VCilindre 21,2 m3
VCub − VCilindre = 27 − 21,2 = 5,8 m3
c) VCon = πr 2h → VCon 7,1 m3
VCub − VCon = 27 − 7,1 = 19,9 m3
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ x1 990
27
.%73,7Si de 2272 m3 ⎯⎯→ 19,9 m3
Si de 100 m3 ⎯⎯→ x m3
= ⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =
1
3
3
23
2
π1
3
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ x580
2721,5 %Si de 2272 m3 ⎯⎯→ 5,8 m3
Si de 100 m3 ⎯⎯→ x m3
= ⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =π
3
23
2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ x1 287
27
.%47,7Si de 2272 m3 ⎯⎯→ 12,87 m3
Si de 100 m3 ⎯⎯→ x m3
4
3
4
3
091●●●
4 2
220 60 2+⋅ = m
090●●
3 m
3 m
3 m
SOLUCIONARI
831106 _ 0274-0309.qxd 20/9/07 13:59 Página 303
304
Una empresa ven suc en envasos amb forma d’ortoedre que tenen unes midesd’11 ×6×15 cm. Decideixen canviar aquests envasos per uns amb les característiques següents:
– Disminueix un 10 % l’àrea de la base.– Augmenta un 10 % l’altura.
a) El volum de l’envàs nou és més gran o més petit que el de l’antic?b) Si es manté el mateix preu, és més rendible per al client
l’envàs nou?c) El preu del bric és 1,40 €. Quant guanya l’empresa si envasa 99.000 litres
de suc al mes? I quant guanyava abans?
a) V = 11 ⋅ 6 ⋅ 15 = 990 cm3
AB = 11 ⋅ 6 = 66 cm2 → AB' = 0,9 ⋅ 66 = 59,4 cm2
h' = 1,1 ⋅ h → h' = 110 % ⋅ 15 = 16,5 cmV ' = AB' ⋅ h' → V ' = 59,4 ⋅ 16,5 = 980,1 cm3
Per tant, el volum de l’envàs nou és més petit que el de l’antic.
b) No, perquè pel mateix preu té menys suc.
c) V ' = 980,1 cm3 = 0,98 dm3 = 0,98 ¬99.000 ¬ : 0,98 ¬ = 101.020,4 envasos
Actualment guanya: 101.020 ⋅ 1,40 €/envàs = 141.428 €.
V = 990 cm3 = 0,99 dm3 = 0,99 ¬99.000 ¬ : 0,99 ¬ = 100.000 envasos
Abans guanyava: 100.000 ⋅ 1,40 €/envàs = 140.000 €.
Una formiga es troba en un vèrtex d’un octoedre i decideixrecórrer totes les arestes sensepassar dues vegades per la mateixaaresta. Indica un camí possible.
Curiosament, la formiga no podria fer el mateix en un cub. Comprova-ho.
Si considerem els quatre laterals de l’octaedre, cada punt final és el punt inicial del lateral següent.
Amb el cub no es pot fer perquè cada vèrtex és la intersecció de tres arestes (i no de quatre) i, quan l’intentarecórrer, la segona vegada que la formiga arribi a un vèrtex no en podrà sortir.
093●●●
092●●
Cossos geomètrics
3.o
4.o
5.o
1.o
Inici
Final
2.o
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 304
305
9
Imagina que envoltem amb una corda l’equador de la Terra.
a) Si sabem que el radi de la Terra fa 3.378 km, quina longitud tindrà la corda?
b) Amb una corda un metre més llarga fem una circumferència. Quina és la diferència entre els radis de totes dues?
c) Fem el mateix amb una bola que té 18 mm de radi. Quina és ara la diferència entre els radis de totes dues circumferències?
a) Longitud = 2πr = 2π ⋅ 6.378 = 40.074,15588 km → 40.074.155,88 m
b) 40.074.156,88 = 2πrr = 6.378.000,16
6.378.000,16 − 6.378.000 = 0,16 m = 16 cm → La diferència són 16 cm.
c) La distància no varia, independentment de la longitud del radi.
L’any 1638 el gran matemàtic Galileu va proposar el problema següent.«Si enrotllem un full de paper en els dos sentits possibles, obtenim doscilindres diferents.»Aquests cilindres tenen el mateix volum?
Considerem que els costats mesuren a i b.
El volum del cilindre d’altura a és:
El volum del cilindre d’altura b és:
Per tant, només tenen el mateix volum si el full és quadrat.
ra
V r ba
ba b
= = = =2 4 4
22
2
2
ππ π
π π→
rb
V r ab
ab a
= = = =2 4 4
22
2
2
ππ π
π π→
095●●●
2 1 21
20 16 16π π
πr r d d+ = + = = =( ) ,→ m cm
r = 6.378 km
G
094●●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 305
306
Si tenim una esfera inscrita en un cilindre, calcula quina és la diferència entre l’esfera i el cilindre en funció del radi de l’esfera.
Volum cilindre = πr 2 ⋅ (2r) = 2πr 3
Volum esfera =
Per tant, el volum de l’esfera és del volum del cilindre.
La diferència és:
En un llibre de matemàtiques hi hem trobat aquest problema:
«Si el costat d’un octaedre és c, el seu volum és: V = c3 ⋅ 0,4714».
Investiga com obtenim aquest fórmula.
El volum de l’octaedre és el de dues piràmides amb base un quadrat de costat i aresta c.
L’apotema lateral és:
L’altura de la piràmide és:
A LA VIDA QUOTIDIANA
Christo Javacheff i la seva donaJeanne són dos dels artistesactuals més populars.
Les seves obres mésrepresentatives consisteixen a embolicar amb roba objectes i monuments.
Les seves primeres obres esreduïen a empaquetar ampolles, llaunes i capses amb roba o plàstic. A poca poc, però, van anar augmentant la producció. El 1982 van embolicar 11 illesde la badia de Florida. Per fer-ho van fer servir 603.000 m2 de roba rosa. El 1985 van empaquetar el pont Neuf sobre el riu Sena, a la ciutat de París. El1995 van embolicar també amb roba l’immens edifici del Reichstag, a Berlín.
098●●●
V VOctaedre Piràmide 0,4714= ⋅ = =22
33 3c c
V A hPiràmide Base= ⋅ = ⋅ =1
3
1
3
2
2
2
62 3c c c
h =⎛
⎝⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
3
2 2
2
2
2 2
cc
c .
a = −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =c
cc2
2
2
3
2.
097●●●
2
33πr .
2
3
4
33πr
096●●●
Cossos geomètrics
831106 _ 0274-0309.qxd 20/9/07 13:59 Página 306
307
9
Entre els seus futurs projectes hi ha embolicar la Puerta de Alcalá de Madrid i l’estàtua de Colom de Barcelona.
Això és un croquis de la Puerta de Alcalá amb les mides que fa.
Quants metres quadrats de roba necessitaran, aproximadament, per embolicarcompletament aquest monument sense tapar les arcades?
La figura està formada per un prisma rectangular principal de dimensions 42 × 10,5 × (23 − 6,75) m, més un prisma rectangular superior de 12 × 10,5 × 4 m, més un prisma rectangular en forma de teulada amb un triangle de base 12 m i altura 6,75 m − 4 m i una altura del prisma de 10,5 m, menys l’espai de les tres portes de 3,5 × 10,5 × 6,75 m, menys l’espai de les tres portes centrals que estan formades per un prisma rectangular de 5,4 × 10,5 × (10,8 − 2,7) m i mig cilindre de radi 2,7 m i altura 10, 5 m.
VPrincipal = 42 ⋅ 10,5 ⋅ 16,25 = 7.166,25 m3
VSuperior = 12 ⋅ 10,5 ⋅ 4 = 504 m3
VPorta lateral = 3,5 ⋅ 10,5 ⋅ 6,75 = 248,06 m3
VPorta principal = 5,4 ⋅ 10,5 ⋅ 8,1 + π ⋅ 2,72 = 459,27 + 22,89 = 482,16 m3
VTotal = 7.166,25 + 504 + 173,25 − 2 ⋅ 248,06 − 3 ⋅ 482,16 = 5.900,9 m3
VTeulada2,75
10,5 173,25 m=⋅
⋅ =12
23
SOLUCIONARI
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 307
308
El producte més venut de la fàbrica de dolços LA LLAMINERA són unes galetes circulars de 6 cm de diàmetre i una gruixària de 5 mm.
Les galetes es comercialitzen en paquets de 40 unitats, embolicades en paper de cel·lofana,i es venen en capses amb forma d’ortoedre quecontenen quatre paquets en cadascuna.
Les capses van embolicades amb el mateix paperde cel·lofana que els paquets.
La producció de galetes diària s’estima en unes 10.000 unitats, i el departament financer està avaluant la conveniència que la forma de la capsa sigui un ortoedre.
Creus que si la capsa tingués una altra forma se’n podria aprofitar millor l’espai?Quina quantitat de cartró s’estalviarien diàriament?
LA LLAMINERA
099●●●
Quants metres quadratsde cartró necessitem
al dia? I de paper de cel·lofana?
Jo crec que la qüestió és quin percentatge del volum de la capsa ocupen les galetes.
Cossos geomètrics
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 308
309
9
Un paquet té forma de cilindre, de 3 cm de radi i una altura de 0,5 ⋅ 40 = 20 cm.
El paper de cel·lofana per a un paquet és igual a la seva àrea:
APaquet = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h) = 2π ⋅ 3(3 + 20) = 433,32 cm2
L’àrea de la caixa és: ACaixa = 2 ⋅ 12 ⋅ 12 + 12 ⋅ 4 ⋅ 20 = 1.248 cm2.
El material necessari per fabricar cada caixa és:
ACel·lofana = 4 ⋅ 433,32 + 1.248 = 2.981,28 cm2
ACartró = 1.248 cm2
El nombre de caixes diàries és 10.000 : 40 = 250. Per tant, el total de material emprat és:
TotalCel·lofana = 250 ⋅ 2.981,28 cm2 = 745.320 cm2 = 74,32 m2
TotalCartró = 250 ⋅ 1.248 cm2 = 312.000 cm2 = 31,2 m2
Si les col·loquem de la manera següent, tenim que:
L’àrea lateral és la mateixa, però l’àrea de la base és menor. Per tant, s’estalvia cartró.
La base del romboide és dues vegades el diàmetre de la galeta, 12 cm, i l’altura és:
Altura = 3 +3 + h, en què h és l’altura d’un triangle equilàter de costat igualal diàmetre de la galeta, 12 cm.
h = 6 + 10,39 = 16,39 cm
ABase = 24 ⋅ 16,39 = 393,36 cm2
EstalviCartró = 2 ⋅ (AQuadrat − ARomboide) = 2 ⋅ (242 − 393,36) = 365,28 cm2
Total estalvi = 250 ⋅ 365,28 = 91.320 cm2 = 9,132 m2
L’estalvi diari de cartró seria de 9,132 m2.
h = − =12 62 2 10,39 cm
SOLUCIONARI
h
3 cm
3 cm
831106 _ 0274-0309.qxd 11/9/07 13:33 Página 309
310
Movimentsi semblances10
GIR
TRANSLACIÓ
SIMETRIACENTRAL
SIMETRIAAXIAL
TRANSFORMACIONSGEOMÈTRIQUES
MOVIMENTS
ELEMENTSCOMPONENTS
I MÒDUL
VECTORS
SEMBLANCES
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 310
El carro del Sol
Explica la llegenda que a Alexandria, a l’època en què es construïa el famós Far, un grup d’homes va derrotar el Sol.
Apol·lo, qui altres anomenen Ra, va ordenar als seus serfs que li portessin els set homes més savis de tots els temps, perquè volia la saviesa del món per a ell.
Els serfs van començar la feina i van trobar els set primers. Va ser fàcil, perquè tots set eren a l’Hades i se’ls coneixia com els Set Savis.
El vuitè el van buscar entre els vius i entre els morts, a la terra i al cel, però no apareixia. Cansats de tant buscar, ho van preguntar a l’Oracle:
–El seu nom és Euclides i es troba a la biblioteca d’Alexandria.
Dalt del carro d’Apol·lo van volar fins a la biblioteca i hi van trobar un grup d’homes. El més ancià, que estudiava dos quadrats de mida diferent i n’anotava les semblances i les diferències, va ser capturat pels serfs d’Apol·lo.
–Euclides és nostre!
En aquell instant, la resta d’homes els van envoltar mentre deien:
–Jo sóc Euclides! Jo sóc Euclides!
Els enviats, davant la impossibilitat de reconèixer qui era realment Euclides, se’n van anar i van dir a Apol·lo que el vuitè savi no existia, que era un i eren tots. Després d’això, Apol·lo va alliberar els Set Savis i quan li van preguntar per què ho feia va contestar que nohi ha murs que continguin la saviesa i el coneixement.
En què s’assemblen i es diferencien dos quadrats de mida diferent?
Els dos quadrats s’assemblenen el fet que tenen la mateixaforma i es diferencien en elfet que són de mida diferent.
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 311
312
EXERCICIS
Donades les parelles de punts següents, calcula en cada cas les coordenadesdel vector AB� i troba’n el mòdul.
a) A(1, 3) B(−4, 5)b) A(4, 0) B(−1, −5)c) A(−1, −3) B(5, −7)
a) AB�= (−4 − 1, 5 − 3) = (−5, 2) → |AB� | =
b) AB�= (−1 − 4, −5 − 0) = (−5, −5) → |AB� | =
c) AB�= (5 + 1, −7 + 3) = (6, −4) → |AB� | =
Donats el punt A(2, 4) i el vector AB�(−3, 5), determina el punt B, extrem de AB� .
→ B(−1, 9)
Escriu tres vectors amb mòdul 4. En pots escriure un amb mòdul −2?
AB� (4, 0); CD� (0, 4) i EF� ( , )
No hi ha cap vector el mòdul del qual sigui −2, ja que el mòdul, que representa una mesura de longitud, no pot ser negatiu.
Quines de les figures següents són el resultat d’aplicar un moviment a la figura?
Les figures dels apartats a) i b).
Indica si les afirmacions següents són certes.
a) Una transformació és un moviment.b) Un moviment conserva sempre la forma.c) Una transformació manté la mida de les figures.
És certa l’afirmació de l’apartat b).
Dibuixa una lletra E i aplica-li diferents transformacions geomètriques.
E E E FFF
006
005
a) c)b) d)
004
88
003
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
A(2, 4); B(x, y) → −3 = x − 2 → x = −15 = y − 4 → y = 9
002
6 4 522 2+ − =( )
( ) ( )− + − =5 5 502 2
( )− + =5 2 292 2
001
E
Moviments i semblances
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 312
313
10
Troba la figura traslladada de la figura F per mitjà del vector v�.
Quan apliquem el vector de translació v�= AB� = (11 − 7, 3 − 6) = (4, −3) als vèrtexs de la figura F, tenim que:
A(1, 6) A' (5, 3)
B(4, 5) ⎯⎯⎯⎯→ B' (8, 2)
C(3, 3) ⎯⎯⎯⎯→ C' (7, 0)
D(2, 4) ⎯⎯⎯⎯→ D' (6, 1)
Un quadrat té com a vèrtexs els punts A(−1, 1), B(1, 1), C (1, −1)i D(−1, −1).
a) Determina’n el traslladat A'B'C'D' per mitjà de la translació del vector v�(4, −2).
b) Comprova gràficament que els punts A', B', C ' i D' també formen un quadrat.
a) A(−1, 1) A' (3, −1)B(1, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ B' (5, −1)C(1, −1) ⎯⎯⎯⎯→ C' (5, −3)D(−1, −1) ⎯⎯⎯⎯→ D' (3, −3)
b)
Determina la translació que transforma el punt A(−1, 4) en A'(5, 2).
v�= (5 − (−1), 2 − 4) = (6, −2)
Troba la figura transformada de la figura Fmitjançant un gir de centre O i angle 90°.
010
009
v� (4, −2)⎯⎯⎯⎯⎯→
008
v� (4, −3)⎯⎯⎯⎯⎯→
007
F
6
4
2
Y
X
v�
SOLUCIONARI
F
A
CD
B
F'
A'
C'
D'
B'
v�
A' B'
D' C'
2 4 6 8 10
6
4
2
Y
X2 4 6 8 10
−1
−3
Y
X
1 3 5
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 313
314
Un triangle té com a vèrtexs els punts A(3, 0), B(−1, 4) i C (2, 5). Troba’n la transformada per un gir de centre (2, −1) i angle 180°.
En quina figura es transforma el quadrat ABCD mitjançant un gir G(A; 90°)? I mitjançant un gir G(A; −90°)?
En tots dos casos es transforma en un quadrat.
Troba la figura transformada de la figura F per mitjà d’una simetria central de centre O.
Dibuixa un quadrat de vèrtexs:A(1, 1) B(−1, 1) C(−1, −1) D(1, −1)
i calcula’n el simètric respecte a l’origen de coordenades i respecte del punt A(1, 1).
Respecte de l’origen és A' = (1, 1), B' = (3, 1),
el mateix quadrat. C' = (3, 3) i D' = (1, 3)
014
OF
F'
013
012
011
A
BC
B'C'
A'
Moviments i semblances
A B
C
D'
C'
A'
D
+90°
B'
D'C'
A'B'A
B
C
D' C'
A'
D
B'
A B
B'
D
C'
A' D'−90°
C
−1
−3
−5
1
Y
X
−3
−3 3
3
Y
X
−3
−3 3
3
Y
X
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 314
315
10
Ha desaparegut la meitat d’aquesta figura i sabem que és simètrica al punt O. Reconstrueix-la.
Troba la figura transformada de la figura F per mitjà d’una simetria d’eix e.
Assenyala tots els eixos de simetria que tinguin les figures següents.
Un triangle té els vèrtexs A(2, −1), B(4, 5) i C (−3, 6). Troba’n el transformat mitjançant una simetria respecte a l’eix d’abscisses.
Transforma aquest hexàgon per mitjà d’una homotècia de centre el vèrtex A i raó 3.
019
018
017
e FF'016
015
CB
A
D
CF
BA
E
O
SOLUCIONARI
F
C'
A'
B'
−3
−5
−1−3−5 3 5
5
3
Y
X
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 315
316
Determina si un triangle de costats de 3, 4 i 5 cm és semblant a un altre de costats 1,5; 2 i 2,5 cm.
Són semblants, de raó 2.
Troba els punts i les rectes dobles d’una homotècia.
L’únic punt doble d’una homotècia és el centre de l’homotècia, O.
Les rectes dobles són les rectes que es transformen en elles mateixes, és a dir, les rectes que passen pel centre de l’homotècia.
Troba les longituds que no coneixem.
Si saps que la raó ;calcula AB i OB.
cm
cm
Divideix un segment AB de 5 cm en 7 parts iguals.024
1,69,7
15,52= =OB
OB→
1,6 = =AB
AB5
8→
1,6 = = =OA
OA
AB
A B
OB
OB' ' ' 'B'A'
r
sO
B
A
4,7 cm 5 cm
OAOA'
= 1,6023
3
52
x
yx y= = = =
2,25
1,5cm 7,5 cm→ ;
x
y
1,5 cm 5 cm
3 cm
2,25 cm
022
021
3 4
2
52
1,5 2,5= = = = k
020
BA
Moviments i semblances
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 316
Divideix gràficament el segment AB de 20 cm de longitud en:
a) 3 parts iguals.b) 7 parts iguals.c) 2 parts en què la segona sigui la meitat que la primera.d) 4 parts, en què cada part sigui el doble que l’anterior.
a) d)
b)
c)
Divideix gràficament el segment AB, de 16 cm de longitud, en partsproporcionals a dos segments de longituds 2 cm i 3 cm.
En Raül ha de tallar un llistó de 30 cm en 7 parts iguals. Només disposa d’un tros que fa 21 cm. Com el pot dividir?
Dividim el tros de 21 cm en 7 parts iguals, de 3 cm cada una, i apliquem el teorema de Tales. Unim els dos llistons per un extrem i després unim amb un segment els altres dos extrems.Després, tracem paral·leles al segment perles divisions del llistó de 21 cm. Els punts de tall amb el llistó de 30 cm són els llocs per on hem de tallar.
027
026
025
317
10SOLUCIONARI
BA
BA
BA
B
B
A
A 16 cm
2 cm
3 cm
d
d2d
4d
8d
d2
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 317
318
Troba les dimensions reals d’aquest camp de futbol.
Llargada:4 cm ⋅ 3.000 = 12.000 cm = 120 m
Amplada:2,5 cm ⋅ 3.000 = 7.500 cm = 75 m
A quina escala s’ha dibuixat un mapa en què la distància entre dues poblacions és 4,5 cm si la distància real és de 54 km?
Escala 1 : 1.200.000
Dos pobles A i B estan separats entre ells per 50 km. A quina distància es troben en un mapa a escala 1 : 800.000?
5.000.000 cm : 800.000 = 6,25 cm
ACTIVITATS
Donades les parelles de punts, calcula les coordenades del vector AB�i el seu mòdul.
a) A(−1, 3), B(4, 5) c) A(4, −1), B(2, −6)b) A(−2, 0), B(1, −3) d) A(−3, −3), B(−1, −2)
a) AB� = (4 − (−1), 5 − 3) = (5, 2) → ⏐AB�⏐ =
b) AB� = (1 − (−2), −3 − 0) = (3, −3) → ⏐AB�⏐ =
c) AB� = (2 − 4, −6 − (−1)) = (−2, −5) → ⏐AB�⏐ =
d) AB� = (−1 − (−3), −2 − (−3)) = (2, 1) → ⏐AB�⏐ =
Determina les coordenades de A en el vector AB� i representa’l gràficament.
a) AB� (2, 3) i B(−3, 4)b) AB� (−1, 0) i B(2, 5)
a) A = (−5, 1) b) A = (3, 5)
032●
5
29
18
29
031●
030
54 5 400 000km
4,5 cm
cm
4,5 cm1.200.000= =
. .
029
028
1 : 3.000
Moviments i semblances
?
A
BB A
31 5
5
3
1
Y
X−1−3−5
5
3
1
Y
X
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 318
319
10
Troba les coordenades de B en el vector AB� i representa’l.
a) AB� (2, −2) i A (−3, 3)b) AB� (−2, −3) i A (2, −1)
c) AB� (3, 0) i
a) B = (−1, 1) b) B = (0, −4) c)
034
B = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟5
5
2,
A 252
, −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
033●
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM LES COORDENADES D’UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADES?
Calcula les coordenades d’aquests vectors.
Considerem el vector com la diagonal d’un rectangle i en calculem les dimensionsdels costats.
PRIMER. La primera coordenada del vector és la dimensió de la llargada del rectan-gle que determina.
La considerem positiva si el desplaçament és cap a la dreta, i negativa, si és cap al’esquerra.
a) AA' ⎯→ 3 unitats cap a la dreta ⎯→ 3
b) CC' → 3 unitats cap a l’esquerra → −3
SEGON. La segona és la dimensió de l’altura del rectangle. La considerem positiva siel desplaçament és cap amunt, i negativa si és cap avall.
a) A'B ⎯→ 2 unitats cap amunt → 2
b) C'D → 1 unitat cap avall ⎯⎯→ −1
Així doncs, les coordenades dels vectors són AB�(3, 2) i CD�(−3, −1).
5
3
1
1 3 5
Y
X
A
BD
CC'
A'
SOLUCIONARI
A
B
A
B
A B
−1−3−5
5
3
1
Y
X
1 3
−1
−3
Y
X
1 3 5
−1
−3
−5
Y
X
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 319
320
Determina les coordenades dels extrems del vector AB� i troba’n les coordenades i el mòdul.
a) b)
a) AB� = (5, 1) − (1, 6) = (4, −5)
|AB�| =
b) AB� = (6, 5) − (1, 2) = (5, 3)
|AB�| =
Dibuixa el vector d’extrems A(−2, 2) i B(3, 0) i calcula’n les coordenades i el mòdul.
AB� = (3 − (−2), 0 − 2) = (5, −2)
|AB�| =
El vector BA� és l’oposat a AB�.
Escriu tres vectors amb mòdul 9. En podries escriure més? Quants?
Per exemple, (0, 9), (−9, 0) i (9,0). Es poden escriure infinits vectors. Per a cada punt d’origen són tots els vectors que acaben a la circumferènciade radi 9 el centre de la qual és aquest punt.
Observa el dibuix i indica si les figures següents s’han obtingutper mitjà d’un moviment o no. Raona la resposta.
Les figures 1 i 2 conserven la forma i la mida, i, per tant, s’han obtingutmitjançant un moviment. Les figures 3 i 4 no. La figura 3 no conserva ni la forma ni la mida, i la figura 4 conserva la forma però no la mida.
038●
037●●●
5 2 292 2+ − =( )
036●●
5 3 25 9 342 2+ = + =
4 5 16 25 412 2+ − = + =( )
035●
A
B5
3
1
1 3 5
Y
X
5
3
1
1 3 5
Y
X
A
B
A
B
Moviments i semblances
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
−1−3 1 3
3
1
Y
X
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 320
321
10
Dibuixa, a partir de les figures, altres figures en què es conservi:
a) La mida.
b) La forma.
c) La mida i la forma.
d) Ni la mida ni la forma.
a)
b)
c)
d)
Troba la figura transformada de la figura F per mitjà d’una translació de vector v�.
a) c)
b) d)
040●
039●
F
v�
F'
F
v�
F'
F
v�
F'
F
F'
v�
SOLUCIONARI
2 8 10
2
Y
X
2 4 6 8 10
4
2
Y
X
2 4 6 8 10
4
2
Y
X
2 4 6 8 10
6
4
2
Y
X
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 321
Completa la taula següent.
Quin és el vector de la translació que porta el punt A(2, −3)al punt A'(−1, 7)?
v� = (−3, 10)
Calcula les coordenades del punt transformat del punt B(4, −2)
mitjançant una translació del vector v� .
Determina gràficament els vectors de les translacions que transformen la figura F en F' i F", respectivament. Troba’n també les coordenades.
Agafem el vèrtex superior esquerre de les tres figures:
Ho comprovem transformant el vèrtex dret de la figura F:
C(−1, 2) C' (5, 4)
C(−1, 2) C" (7, 1)
que corresponen a les coordenades dels pics de F ' i F".
w� (8, −1)⎯⎯⎯⎯⎯→
v� (6, 2)⎯⎯⎯⎯⎯→
→ v� = (2 − (−4), 6 − 4) = (6, 2)
→ w� = (4 − (−4), 3 − 4) = (8, −1)
En F ⎯→ A(−4, 4)
En F ' ⎯→ A'(2, 6)
En F" → A"(4, 3)
���
���
044●●
B' =−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
21
5
8
3,
15
23
, −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
043●
042●
041●●
F
C
F'C'
C"
F"
Y
X
5
3
1
−4 −2 1 3 5 7
322
Moviments i semblances
C(10, 7) w�(−3, −5) C'(7, 2)D(1, 5) s�(4, −4) D'(5, 1)E(0, 3) t�(3, −2) E '(3, 1)
Punt Vector de translació Punt traslladatA(1, 3) v�(1, −2) A'(2, 1)
B(−2, −4) u�(2, 7) B'(0, 3)
v�
w�
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 322
323
10
Troba la figura F que ha donat lloc a la figura F', en aplicar-hi una translació de vector v�(−2,−3). Abans de fer-ho, determina quines seran les coordenades dels vèrtexs de la figura F.
A(x1, y1) A'(−6, 4)
B(x2, y2) B'(−4, 3)
C(x3, y3) C'(−4, 1)
D(x4, y4) D'(−8, 1)
E(x5, y5) E '(−7, 2)
G(x6, y6) G'(−8, 3)
Troba la figura transformada de la figura F mitjançant la translació de vector v�. Anomena-la F'.Després, troba la figura transformadade F' per la translació de vector w�.Anomena-la F".
a) Pots passar directament de F a F"amb una translació? Si creus que sí,dibuixa el vector d’aquesta translació i escriu-ne les coordenades.
b) Escriu les coordenades de v� i w� i suma’n les abscisses i ordenades. Quina relació té el resultat amb el de l’apartat a)?
v� = (8, 2) − (5, 5) = (3, −3)
Els punts de F es convertiran en:
A(1, 5) A'(4, 2)B(4, 5) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B'(7, 2)C(2, 4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ C'(5, 1)D(1, 4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ D'(4, 1)
w� = (10, 1) − (12, 3) = (−2, −2)
Els punts de F ' es convertiran en:
A'(4, 2) A"(2, 0)B'(7, 2) ⎯⎯⎯⎯⎯→ B"(5, 0)C'(5, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ C"(3, −1)D'(4, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ D"(2, −1)
w�(−2, −2)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
v�(3, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
046●●●
x6 − 2 = −8 → x6 = −6y6 − 3 = 3 ⎯→ y6 = 6⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
x5 − 2 = −7 → x5 = −5y5 − 3 = 2 ⎯→ y5 = 5⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
x4 − 2 = −8 → x4 = −6y4 − 3 = 1 ⎯→ y4 = 4⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
x3 − 2 = −4 → x3 = −2y3 − 3 = 1 ⎯→ y3 = 4⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
x2 − 2 = −4 → x2 = −2y2 − 3 = 3 ⎯→ y2 = 6⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
x1 − 2 = −6 → x1 = −4y1 − 3 = 4 ⎯→ y1 = 7⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
045●●
SOLUCIONARI
F'
F
B'
C'D'E'
G'
A'
Fv�
w�
Y
X
5
3
1
1 3 5 7 9 11
FA B
D Cv�
F'
F"
w�
−2−4−6−8 1 3
5
3
1
Y
X
1 7 9 11
5
3
1
Y
X
831106 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 14:05 Página 323
324
a) Sí, perquè mantenen la forma i la mida. Ho comprovem amb la transformació d’un punt de F en F" i ho apliquem als altres tres punts de F.
A(1, 5) A"(2, 0)
→ t�(1, −5)
Si apliquem el vector t� als altres tres punts de F:
B(4, 5) B"(5, 0)C(2, 4) ⎯⎯⎯⎯→ C"(3, −1)D(1, 4) ⎯⎯⎯⎯→ D"(2, −1)
veiem que coincideixen amb els punts obtinguts mitjançant els dos moviments.
b) v� + w� = (3, −3) + (−2, −2) = (1, −5)
És el vector t� obtingut a l’apartat a).
Considera el punt P(0, 5). Si fem una translació de vector v�(3, 4) i, seguidament, una altra de w�(−2, −1):
a) Quin és el punt que obtenim?b) Si després de fer les dues translacions obtinguéssim el punt Q(2,−2),
de quin punt hauríem partit?
a) P' = (0 + 3 − 2, 5 + 4 − 1) = (1, 8)
b) R = (2 − 3 + 2, −2 − 4 + 1) = (1, −5)
Troba la figura transformada de F pel gir de centre O i l’angle indicat.
a) Angle 90°. c) Angle −120° (120° en el sentit de les agulles del rellotge).b) Angle 45°. d) Angle 180°.
a) c)
b) d)
048●
047●●
t�(1, −5)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1 + x = 2 → x = 15 + y = 0 → y = −5
t�(x, y)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
Moviments i semblances
F F
F
O
O
O
F'
F'
F'
180°
−120°
90°
OF
F'45°
w�
v�
F"
F'
F
1 5 7 9 11
5
3
1
Y
X
t�
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 324
325
10
Troba la figura F', transformada de F per un gir de centre l’origen de coordenades i angle 90°. Quines són les coordenades dels vèrtexs de F ?I les dels vèrtex transformats? Quina relació observes en els resultats?
A(1, 1) ⎯→ A'(−1, 1)B(2, 4) ⎯→ B'(−4, 2)C(3, 3) ⎯→ C'(−3, 3)D(4, 3) ⎯→ D'(−3, 4)E(4, 2) ⎯→ E'(−2, 4)G(5, 1) ⎯→ G'(−1, 5)
El transformat d’un punt P(x, y), per un gir de centre l’origen i angle de 90°, és P'(−y, x).
Determina el centre i el gir de l’angleque transforma F en F'.
El centre O és el de la figura.
L’angle de gir és de −120° aproximadament.
Troba la figura F que ha donat lloc a la figura F' en aplicar-li un gir de centrel’origen i angle 90°.
Si apliquem un gir de 90º als vèrtexs de F, es compleix que:
A(x1, y1) ⎯→ A'(−6, 3) → x1 = 3, y1 = 6B(x2, y2) → B'(−5, 5) → x2 = 5, y2 = 5C(x3, y3) ⎯→ C'(−4, 4) → x3 = 4, y3 = 4D(x4, y4) → D'(−3, 5) → x4 = 5, y4 = 3E(x5, y5) ⎯→ E '(−3, 1) → x5 = 1, y5 = 3G(x6, y6) → G'(−5, 1) → x6 = 1, y6 = 5
Completa aquesta taula, referida a diferents girs amb centre l’origen de coordenades.
052●●
051●●
F
O
F'050●●
049●●
F
AA'
F'B'
C'D' E'
G'
BC D
E
G
FG
G'
A
B
C
B'C'
D
D'
E
E'
F'A'
90°
SOLUCIONARI
C(1, 2) 180° C'(−1, −2)D(−3, −4) 180° D'(3, 4)
E(0, 3) 90° E '(−3, 0)
Punt Angle Punttransformat
A(1, 0) 90° A'(0, 1)B(3, 0) 90° B'(0, 3)
−4 −2 1 3 5 7
5
3
Y
X
Y
X
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 325
326
Troba la figura F', transformada de la figura F mitjançant un gir de centre O i angle 90°. Després, troba la figura F", transformada de F'per un gir de centre O i angle 60°.a) Troba la transformada de F per un gir de centre O i angle 150°
(90° + 60°). Què hi observes?b) Segons el resultat anterior, a quin moviment equivalen dos girs
consecutius amb el mateix centre?c) I dos girs consecutius de 270°?
a) La figura transformada pel gir de 150°és igual a la que resulta si apliquem un gir de 90º i després un altre de 60°
b) Equivalen a un gir amb el mateix centre i d’amplitud la suma de les amplituds.
c) Equivalen a un gir de 540°.
Troba la figura transformada de F per una simetria central de centre O.
a) Les coordenades dels vèrtexs de F' seran:
A(−2, 2) ⎯→ A'(2, −2)B(−4, 0) ⎯→ B'(4, 0)C(−5, 1) ⎯→ C'(5, −1)D(−5, 2) ⎯→ D'(5, −2)
b) Les coordenades dels vèrtexs de F' seran:A(−3, 3) ⎯→ A'(3, −3)B(−3, −1) ⎯→ B'(3, 1)C(−4, −1) ⎯→ C'(4, 1)D(−4, 0) ⎯→ D'(4, 0)E(−6, 1) ⎯→ E'(6, −1)G(−5, 1) ⎯→ G'(5, −1)
c) Les coordenades dels vèrtexs de F' seran:A(0, 2) ⎯⎯→ A'(0, −2)B(1, 1) ⎯⎯→ B'(−1, −1)C(3, 2) ⎯⎯→ C'(−3, −2)D(2, 0) ⎯⎯→ D'(−2, 0)E(3, −1) ⎯→ E'(−3, 1)G(1, −1) ⎯→ G'(−1, 1)
d) Les coordenades dels vèrtexs de F' seran:A(−2, 3) ⎯→ A'(2, −3)B(−1, 3) ⎯→ B'(1, −3)C(0, 2) ⎯⎯→ C'(0, −2)D(−1, 1) ⎯→ D'(1, −1)E(−2, 0) ⎯→ E'(2, 0)G(−3, 1) ⎯→ G'(3, −1)
054●
FO
F'90°60°
F"
053●●●
Moviments i semblances
A
OB
C B'
C'
D
D'
F
F'A'
AB
C
B'C'
DD'E
G
E'G'
FF'
A'
G'
A
BC
B' C'
DD'
E
E'
FG
F'
A'
G'
G
A B
C
B'
C'
D
D'E
E'F
F'
A'
O
O
O
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 326
327
10
Determina la figura transformada de F per mitjà de:a) Una simetria de centre l’origen.b) Una simetria d’eix l’eix d’ordenades.Quina relació hi ha entre les coordenades dels vèrtexs de F i els dels seustransformats?
a)
A(−4, 4) ⎯→ A'(4, −4)B(−2, 3) ⎯→ B'(2, −3)C(−2, 1) ⎯→ C'(2, −1)D(−6, 1) ⎯→ D'(6, −1)E(−5, 2) ⎯→ E'(5, −2)G(−6, 3) ⎯→ G'(6, −3)
P(x, y) es transforma en P'(−x, y) quan hi apliquem una simetria d’eix Y.
b)A(−4, 4) ⎯→ A'(4, 4)B(−2, 3) ⎯→ B'(3, 2)C(−2, 1) ⎯→ C'(1, 2)D(−6, 1) ⎯→ D'(1, 6)E(−5, 2) ⎯→ E'(5, 2)G(−6, 3) ⎯→ G'(3, 6)
P(x, y) es transforma en P'(y, x) quan hi apliquem una simetria amb centre a l’origen.
Determina el centre de simetria que transforma F en F' i F' en F",i l’eix de simetria que fa les mateixes transformacions.
La simetria respecte de l’eix e transforma F en F'.
I la simetria respecte del punt P transforma F en F".
F
P
e
F'
F"
056●●
Y
F
A
D
B
C
G
EF'
A'
C'
G'
D'
B'
E'
F
A
D
B
C
G
E
F'
A'
D'
B'
C'
G'
E'
Y
X
055●
SOLUCIONARI
31 5−4−6 −2
5
3
1
−2
−4
31 5−4−6 −2
5
3
1
X
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 327
328
Completa la taula, referida a una simetria de centre l’origen de coordenades.
Completa la taula, referida a diferents simetries.
Apliquem a aquesta figura les composicions de moviments següents.
a) Una traslació de vector v� i un gir de 180°.b) Una simetría de centre O i un gir de 90°.c) Una simetría respecte de la recta r i una traslació de vector v�.
060●●
059
058●●
057●●
Moviments i semblances
B(1, −2) B'(−1, 2)C(−3, 0) C'(3, 0)D(0, 2) D'(0, −2)
Punt Punt transformatA(1, 0) A'(−1, 0)
C(2, −1) Abscisses C'(2, 1)D(5, 0) Abscisses D'(5, 0)
Punt Eixde simetria
Punttraslladat
A(1, 3) Ordenades A'(−1, 3)B(0, 3) Ordenades B'(0, 3)
FES-HO AIXÍ
COM FEM UNA COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS?
Transforma el triangle ABC mitjançant un gir de cen-tre O i angle 90º, i trasllada’n el transformat amb elvector v�.
PRIMER. Fem el primer moviment. En aquest cas, el girde 90º.
SEGON. Sobre la figura que en resulta, A'B'C', fem el se-gon moviment. En aquest cas, la translació.
La figura de la composició de moviments, un gir i unatranslació, és el triangle A"B"C".
A
B
C
A'
B'
C'
A"
B"C"
O
v�
O
C
D
B
A
r
v�
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 328
329
10
a)
b)
c)
Dibuixa una figura i aplica-li dues simetries centrals consecutives del mateixcentre. Quina relació hi ha entre la figura original i l’última figura que obtens?
La figura original i l’última figuraobtinguda són la mateixa.
Les figures T i T' són homotètiques. Troba el centre i la raó de l’homotècia.
r = =1,8
1,21,5
062●
061●●●
rv�
O
C
DB
A
E
O
C
DB
A
E
v�
F
F'
T
1,8 cm
1,2 cm
T'
F"
SOLUCIONARI
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 329
330
Calcula la longitud dels costats d’un triangle semblant a un altre els costats delqual fan 7, 11 i 13 cm, si la raó de semblança és k = 3.
Els costats seran ; i .
Els sis costats d’un hexàgon fan 13, 14, 15, 17, 19 i 20 cm. Un costat d’un altre hexàgon semblant fa 80 cm. Si la raó de semblança és un nombre enter, quant fan la resta de costats?
Perquè la raó de semblança sigui un nombre enter, el costat de 80 cmcorrespondrà amb el de 20 cm, ja que és l’únic divisor. La raó és 4 i els costats mesuraran 52, 56, 60, 68, 76 i 80 cm, respectivament.
Dibuixa un rectangle de 8 × 6 cm i afegeix-li 3 cm en cada costat. Has obtingut un rectangle semblant? Per què?
No són rectangles semblants perquè els costats no són proporcionals.
Calcula la raó de semblança d’aquests polígons. Quina relació tenen els perímetres?
La raó és: 5,1 : 3 = 1,7.
L’altura del segon triangle és: 1,4 ⋅ 1,7 = 2,38 cm.
La raó dels perímetres és: 14,96 : 8,8 = 1,7.
Calcula les longituds que no coneixem.
a) b)
a) b)2 4 8
3xx= =
, → 1,254
3
2= =
xx→ 1,5
3 cmx
2 cm
4,8 cm
3 cm x
4 cm
2 cm
067●
3 cm
5,1 cm
1,4 cm F
066●●
065●●
064●●
13
3= 4,33 cm
11
3= 3,66 cm
7
3= 2,33 cm
063●
8 3
Moviments i semblances
3
6
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 330
331
10
A la figura següent, la raó .
Calcula OA', AB i BC.
⎯→ = 2,875 cm
→ AB = 2,24 cm
→ BC = 3,6 cm
Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 14 cm, en 10 parts iguals.
Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 10 cm, en parts proporcionals a dos segments de mides 2 cm i 6 cm. Calcula numèricament les longituds dels segments trobats i compara-les amb la solució gràfica.
La longitud d’un cotxe a la realitat és de 4,2 m. Quina en serà la longitud en una maqueta a escala 1 : 200? I a escala 1 : 400?
En l’escala 1 : 200 mesurarà: 420 : 200 = 2,1 cm. I en l’escala 1 : 400 mesurarà: 420 : 400 = 1,05 cm.
071●
10
8 2 6= = = =
x yx y→ 2,5 cm 7,5 cm;
070●●
069●
0,84,5
= =BC
B C
BC
' '
0,82,8
= =AB
A B
AB
' '
OA'0,82,3
= =OA
OA OA' '
OBOB'
= 0,8068●
SOLUCIONARI
2,3 cmA B
A'
B'2,8 cm4,5 cm
A B14 cm
2,5A B7,5
2
6
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 331
332
Si tenim una maqueta del cotxe anterior que fa 7,5 cm, a quina escala està feta?
420 : 7,5 = 56. L’escala és 1 : 56.
En un mapa apareix aquesta escala gràfica.
a) Quina n’és l’escala numèrica?b) Quina distància real separa dos punts que en el mapa disten 8 cm?
a) 1 : 8.000
b) 8 ⋅ 8.000 = 64.000 cm = 640 m
Fes l’escala gràfica corresponent a les escales numèriques 1 : 350 i 1 : 6.000.
1 : 350 1 : 6.000
Tenim dos mapes que representen una regió. L’escala del primer és 1 : 400.000 i la del segon, 1 : 1.000.000.
a) Quin dels dos mapes és més gran?
b) Si dues poblacions són a 20 km de distància en la realitat, quina distànciales separa en cadascun dels mapes?
c) En el primer mapa, dues ciutats, A i B, estan separades per 2,3 cm. A quina distància es troben realment?
d) A quina distància seran dues ciutats en el segon mapa?
a) És més gran el primer mapa, perquè té una escala menor.
b) En el primer mapa: 2.000.000 cm : 400.000 = 5 cm.
En el segon mapa: 2.000.000 cm : 1.000.000 = 2 cm.
c) 2,3 cm ⋅ 400.000 = 920.000 cm = 9,2 km
d) 920.000 cm : 1.000.000 = 0,92 cm = 9,2 mm
075●●
0 60 120 180 240 m0 3,5 7 10,5 14 m
074●●
0 80 160 240 320 m
073●●
072●●
Moviments i semblances
A
BC
P
Q
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 332
333
10
Tenim un mapa a escala 1 : 150.000.
a) Si en fem una fotocòpia al 80 %, quina serà l’escala nova? b) I si la fem al 120 %?c) Una distància real de 15 km, quina longitud tindrà en cadascun
dels tres mapes?
a) . Escala 1 : 187.500.
b) . Escala 1 : 125.000.
c) 15 km = 1.500.000 cm
.
.
.
Volem fer un armari en miniatura semblant a un altre que té unes dimensions de 180 × 110 × 45 cm, de manera que tingui una altura de 13,5 cm. Calcula’n l’amplada i la profunditat.
La raó de semblança és: 180 : 13,5 = 13,33. L’amplada és: 110 : 13,33 = 8,25 cm La profunditat és: 45 : 13,33 = 3,375 cm.
Determina les dimensions que tindrà una casa rectangular en un pla a escala 1 : 50, si en la realitat la seva base és la meitat de l’altura i l’àrea és 144 m2.
Base: x. Altura: 2x → 2x ⋅ x = 144 → x = 8,49 Base: 8,49 m. Altura: 16,97 m.
En el plànol a escala 1 : 50, les dimensions són:Base: 8,49 m : 50 = 17 cm Altura: 17 cm ⋅ 2 = 34 cm
Una cèl·lula humana té un diàmetre aproximat de 3,5 milionèsimes de metre i, amb un microscopi electrònic, la veiem amb un diàmetre d’1,75 cm. Calcula quants augments té el microscopi.
0,0 m 0,0 cm1,75
0,00035au000035 0035 5 000= =→ . ggments
079●●
078●●
077●●
1 500 000
125 00012 125
. .
..= cm en l escala 1 :’ 0000
1 500 000
187 5008 187 5
. .
..= cm en l escala 1 :’ 000
1 500 000
150 00010
. .
.= cm en l escala 1 : 150.’ 0000
150 000
120
100
.= 125.000
150 000
80
100
.= 187.500
076●●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 333
334
Es farà una desviació en una carretera de manera que el traçat sigui una líniarecta respecte a dues poblacions, A i B. Calcula en quin punt de la carreteras’haurà de fer la desviació perquè el trajecte cap a totes dues poblacions sigui el mínim.
La desviació s’ha de fer en el punt en què es formin dos triangles semblants.
Calcula l’altura x d’una muntanya si des de l’extrem de la seva ombra podemmesurar la distància al cim, la qual és de 2.325 m, i en aquest moment un bastó d’1 m fa una ombra de 1,1 m.
Com que els triangles són semblants, la hipotenusa del triangle format
pel bastó és: . Fem una regla de tres:
és l’altura de la muntanya.
Un ocell és sobre la brancad’un arbre (punt A) situat a la vora d’un riu, i vol passar a un altre arbre de la vora oposada (punt B)i aprofitar per beure aiguasense aturar el vol. Cap a quin punt del riu s’ha de dirigir per fer el recorregutmés curt?
S’ha de dirigir cap al punt en què els dos triangles que es formen amb la seva trajectòria, el riu i les altures dels punts siguin semblants. És el punt on l’ocell veu reflectit el punt B a l’aigua.
082●●●
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪= =→ x
2 3251 560
..
1,49m1,49 → 2.325
1 ⎯⎯→ x
1+ =1,21 1,49 m
081●●●
3 12
612 18 02
x
xx x x=
−− + = =→ → 10,24
080●●●
3 kmx
6 km
12 km
2.325 km
1,1 m
1 m
x = ?
Moviments i semblances
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 334
335
10
Per sumar gràficament els vectors v� i w�, col·loquem l’origen de w�a l’extrem de v� i el vector suma té com a origen el de v� i com a extrem el de w�.
Per multiplicar un vector per un nombre positiudibuixem un vector, de la mateixa direcció i sentitque l’original, el mòdul del qual sigui el del vectororiginal multiplicat pel nombre.
Si el nombre és negatiu, fem el mateix procés però canviant el sentit.
Basant-te en això i fixant-te en la figura, escriu els vectors , , , , , ,
i en funció de p�= i q�= .
= q�
= −p�
= q�
= p�+ q�
= + = p�+ q�+ p�= 2 ⋅ p�+ q�
= 2 ⋅ = 2 ⋅ p�+ 2 ⋅ q�
= + = −p�+ q�
= −p�
Escriu el perímetre p, l’altura h i l’àrea adels triangles petits en funció del perímetre P, l’altura H l’àrea A deltriangle gran.
Els costats i l’altura de cada triangle petit són un terç dels del triangle més gran.
ah
HA
=⋅=
⋅=
baseBASE
23 3
2 9
pP
=3
hH
=3
084●●●
�OD
�ED�FE�AC
�EO�EB
�OA�EO�EA
�EO
�FO
�BC
�AB
�ED�EF�OD�AC
�EB�EA�EO�FO�BC�AB
v�
w�
v�
w�v�+
w�
083●●●
3v�
−3v�
SOLUCIONARI
O
E D
F C
BA
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 335
336
A LA VIDA QUOTIDIANA
En els aeroports es controlen els moviments dels avions percoordinar-ne els aterratges i els enlairaments.
Aquesta feina la fan els controladors aeris, quemitjançant el radar situen la posició dels avions i n’estableixen la trajectòria, posició i velocitat amb què s’aproximen a les pistes d’aterratge.
A la pantalla d’un radar s’hi observa, en un moment determinat, la posició de quatre avions que segueixen trajectòries rectilínies.
Després d’uns minuts, la posició dels avions ha canviat i des de la torre de control han
d’informar de la nova posició, la trajectòria i la velocitat de cadascun
dels avions.
Descriu la trajectòria dels quatre avions i compara’n les velocitats.
A(2, −1) ⎯→ A'(1, 3). Trajectòria (−1, 4); mòdul .
B(0, 3) ⎯⎯→ B'(3, 4). Trajectòria (3, 1); mòdul .
C(−2, 0) ⎯→ C'(−6, 0). Trajectòria (−4, 0); mòdul 4.
D(−2, −4) → D'(−4, −2). Trajectòria (−2, 2); mòdul .
La velocitat més alta és la de l’avió vermell, seguida de la velocitat dels avionsblau cel, blau fosc i blanc.
8
10
17
085●●●
Moviments i semblances
A'B'
C'
D'
D
C
B
AX
Y
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 336
337
10
Al restaurant EL TIBERI el seu famós xef barreja productes tradicionals amb un toc imaginatiu d’alta cuina. Per això està molt valorat per públic i crítics.
L’amo del restaurant, Julià Guisat, en vista de la reforma que es farà del local, ha ideat una manera de potenciar la figura del xef en el restaurant.
En el primer disseny que ha fetha col·locat l’octàgon al centre de la sala rectangular i desprésl’ha envoltat amb diferentsrajoles grogues, fins a cobrircompletament la sala.
És possible fer-ho? Com ha de col·locar les corones per aconseguir-ho?
Sí que és possible. Una manera de fer-ho és la següent:
086●●●
SOLUCIONARI
Vull cobrir el terra amb una gran rajola en forma d’octàgon
que porti el teu retrat. La resta la cobrirem amb rajoles que formin una espècie de corona
al teu voltant.
831106 _ 0310-0337.qxd 11/9/07 13:31 Página 337
338
Funcions11
CONCEPTE DE FUNCIÓ
ENUNCIAT TAULA FÓRMULA GRÀFICA
EXPRESSIONS D’UNA FUNCIÓ
CONTINUÏTAT
DOMINI I RECORREGUT
PUNTS DE TALL
CREIXEMENT I DECREIXEMENT
MÀXIMS I MÍNIMS
SIMETRIES
PERIODICITAT
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 338
L’epidèmia de grip
Salamanca, 1918. Dues infermeres, una d’elles visiblement esgotada, feien el canvi de torn a l’hospital. La infermera que sortia, la Carme, li donava unes pautes a la inexperta infermera que l’havia de rellevar.
–No t’involucris personalment amb el pacient, no en vulguis saber ni el nom, perquè probablement d’aquí a pocs dies serà mort. –La grip causava estralls entre la població–. Observa els símptomes i si veus que el malalt té els peus blaus... no t’hi entretinguis i resa per la seva ànima.
Tres anys després, l’Anna, que havia acabat la seva feina com a voluntària, llegia al diari local les xifres oficials de morts per grip en els últims anys.
Els ulls se li van omplir de llàgrimes quan va recordar la seva amiga Carme, que formava part de la llista de víctimes corresponent a 1918.
El nombre de morts a causa d’aquesta epidèmia es va xifrar entre 20 i 40 milions a tot el món.
L’altre diari de la ciutat, en lloc d’una taula, va presentar la informació amb una gràfica.
Series capaç de construir i interpretar aquesta gràfica? Quin tipus de gràfica faràs servir?
En aquest cas, fem servir una gràfica de punts i els unim per apreciar millorl’evolució de les morts per grip durantaquells anys.
1915191619171918191919201921
6.4817.0217.479
147.114
21.235
17.8255.837
Morts anuals
per grip a Espanya
El DiariEl Diari
160.000140.000120.000100.00080.00060.00040.00020.000
1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 339
340
EXERCICIS
Digues, raonant la resposta, si la relació entre els parells de magnituds següents és una funció o no.
a) El pes d’una persona i la seva altura.b) El pes d’un barril i la quantitat de líquid que conté.c) La longitud del costat d’un polígon regular i el seu perímetre.d) La qualificació d’un examen i el nombre d’hores dedicades a estudiar.e) El nombre d’obrers i el temps que tarden a acabar una feina.
a) No, perquè a un valor d’altura li poden correspondre diversos valors de pes, i a la inversa.
b) Sí, perquè el pes del barril està en funció del líquid que conté.
c) Sí, perquè per a cada valor de costat tindrem un valor de perímetre.
d) No és necessàriament una funció, perquè pot passar que l’examen surtimalament.
e) Sí, perquè quan augmenta el nombre d’obrers disminueix el temps que es triga a acabar la feina.
Donats els nombres 3, 5, 7 i 9, calcula per a cadascun el nombre o nombresque els corresponen amb les relacions següents, i indica quines són funcions.
a) El doble més 2. c) La quarta potència.b) Sumar-li una unitat d) L’arrel quadrada.
i dividir el resultat entre 2.
a) 3 → 2 ⋅ 3 + 2 = 8 7 → 2 ⋅ 7 + 2 = 16
5 → 2 ⋅ 5 + 2 = 12 9 → 2 ⋅ 9 + 2 = 20
b) 3 → = 2 7 → = 4
5 → = 3 9 → = 5
c) 3 → 34 = 81 7 → 74 = 2.401
5 → 54 = 625 9 → 94 = 6.561
d) 3 → ± 7 → ±
5 → ± 9 → ±Són funcions les relacions dels apartats a), b) i c).
Escriu dues relacions que siguin funcions i dues més que no ho siguin.
Exemple de relacions que siguin funcions:• El cost d’una trucada telefònica i la seva durada.• El temps de descàrrega d’un arxiu a Internet i la seva mida.
Exemple de relacions que no siguin funcions:• El nombre d’alumnes en una aula i el nombre d’aprovats.• Els anys d’una persona i el seu pes.
003
9 3= ±5
73
9 1
2
+5 1
2
+
7 1
2
+3 1
2
+
002
001
Funcions
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 340
341
11
Expressa, per mitjà d’un enunciat, les funcions següents.
a) y = 2x − 1b) y = −x + 3
a) Funció que associa a cada nombre el seu doble menys 1.
b) Funció que associa a cada nombre el seu oposat més 3.
Troba l’expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre:
a) El seu triple.b) El seu quadrat.c) El seu doble més 5.d) La seva meitat.
a) y = 3x b) y = x2 c) y = 2x + 5 d) y =
Donada la funció que associa a cada nombre la seva quarta part més 3:
a) Escriu-ne l’expressió algebraica.b) Calcula f (8), f (−4) i f (10).
a) y = f (x) = + 3
b) f (8) = + 3 = 5 f(−4) = + 3 = 2
f(10) =
Pensa en una funció de la qual no puguis trobar l’expressió algebraica.
La funció que associa el DNI d’una persona i la seva alçada en centímetres.
Troba una taula de valors per a les funcions següents. Expressa-les amb un enunciat i fes-ne la representació gràfica.
a) y = x + 2 e) y = −3x − 1b) y = 2x + 3 f) y = x 2 + 1c) y = x 2 g) y = 4x − 4d) y = x 2 + x h) y = −x
a) Funció que associa a cada nombre aquest nombre més 2.
008
007
10
43
10 12
4
22
4
11
2+ =
+= =
−4
4
8
0
x
4
006
x
2
005
004
SOLUCIONARI
xy
−2
0
−1
1
0
2
1
3
2
4
y = x + 22
1
Y
X
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 341
342
b) Funció que associa a cada nombre el seu doble més 3.
c) Funció que associa a cada nombre el seu quadrat.
d) Funció que associa a cada nombre el seu quadrat més el nombre mateix.
e) Funció que associa a cada nombre el triple del seu oposat menys 1.
f) Funció que associa a cada nombre el seu quadrat més 1.
g) Funció que associa a cada nombre el seu quadruple menys 4.
h) Funció que associa a cada nombre el seu oposat.
Funcions
xy
−2
−1
−1
1
0
3
1
5
2
7
xy
−2
4
−1
1
0
0
1
1
2
4
xy
−2
2
−1
0
0
0
1
2
2
6
xy
−2
5
−1
2
0
−1
1
−4
2
−7
xy
−2
5
−1
2
0
1
1
2
2
5
xy
−2
−12
−1
−8
0
−4
1
0
2
4
xy
−2
2
−1
1
0
0
1
−1
2
−2
y = x2
Y
X
y = 2x + 3Y
X
Y
X
y = x2 + x
Y
X
y = −3x − 1
Y
X
y = x2 + 1
Y
X
y = 4x − 4
y = −x
Y
X
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
21
1
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 342
343
11
Un punt pertany a una gràfica d’una funció si les seves coordenades enverifiquen l’equació. (−1, 2) i (0, −1) pertanyen a y = −2x?
(−1, 2) → 2 = −2 ⋅ (−1) → Sí que hi pertany.
(0, −1) → −1 � −2 ⋅ 0 ⎯→ No hi pertany.
El preu d’una entrada és 15,75 €. Expressa aquesta funció amb una equació, una taula i una gràfica.
y = 15,75x
Raona com serien les variables que relacionen les gràfiques següents.
La primera gràfica és escalonada, ja que la variable x és contínua i la variable y és discreta.
La segona gràfica és discreta, perquè està formada per punts aïllats.
Un venedor de mobles té un sou fix de 480 € i, per cada moble que ven cobra10 € de comissió. Dibuixa la gràfica que expressa el guany en funció delnombre de mobles venuts.
És una funció discontínua, ja que la variable del nombre de mobles és discreta i no contínua, ja que només pot agafar valors enters.
Posa un exemple de funció la gràfica de la qual sigui discreta, i un altre ambuna gràfica esglaonada.
• Exemple de gràfica discreta: nombre de gols marcats en una jornada de lliga respecte del nombre de jornada.
• Exemple de gràfica escalonada: el cost d’una trucada de telèfon respectede la seva durada (tarifa per minuts).
013
012
011
010
009
SOLUCIONARI
xy
0
0
1
15,75
2
31,50
3
47,25
y = 15,75x
3
31,5015,75
21
Y
X
Y
X
Y
X
540
520
500
480
531
Y
X
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 343
344
Estudia la continuïtat de la funció amb la gràfica següent. Indica, si els té, els punts de discontinuïtat.
La funció té dos punts de discontinuïtat, a x = −3 i a x = 3, en els quals presenta un salt.
Donades les funcions y = −x + 3 i y = x2:
a) Forma les taules de valors.b) Representa les funcions.c) Estudia’n la continuïtat.
y = −x + 3
La funció f (x) = −x + 3 és contínua.
y = x2
La funció f (x) = x2 és contínua.
Dibuixa les gràfiques d’aquestes funcions.
a) A cada nombre natural li fem correspondre el seu doble menys 2.b) A cada nombre enter li fem correspondre el seu doble menys 2.c) A cada nombre real li fem correspondre el seu doble menys 2.
a) b) c)
Estudia la continuïtat de la funció que a cada nombre real li fem correspondre el nombre 4.
És una funció contínua, ja que es pot dibuixar amb un sol traç.
017
016
015
014
Funcions
xy
−2
5
−1
4
0
3
1
2
2
1
xy
−2
4
−1
1
0
0
1
1
2
4 y = x2
Y
Y
X
X
Y
X
y = −x + 3
4
2
−2−2
−4
3
97531
531
Y
X
97531
−3−5−7
531−2
Y
X
5
3
1
5 731−2−4−6
Y
X
97531
−3−5−7
531−2
Y
X
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 344
Determina el domini i el recorregut de la funció.
Dom f = [−5, 5]
Im f = [−5, 5]
Donada la funció que associa a cada nombre real el seu triple menys 6, troba:
a) L’expressió algebraica.b) El domini, recorregut i gràfica.
a) y = 3x − 6
b) Dom f = �; Im f = �
Donada la funció que associa a cada nombre real el seu invers més 3:a) Escriu-ne l’expressió algebraica.b) Troba’n el domini i el recorregut.c) Quina és la imatge de 2?
(Recorda que no es pot dividir entre 0.)
a)
b) Dom f = � − {0}; Im f = � − {3}
c) f (2) =
Representa la funció que a cada nombre real li fa correspondre −1 si el nombre és negatiu i +1 si és positiu.
a) Quina és la imatge de 2? I de −2?b) Dibuixa’n la gràfica.c) Determina’n el domini i el recorregut.
a) f (2) = 1; f (−2) = −1
b)
c) Dom f = � − {0}, perquè 0 no és un nombre positiu ni negatiu; Im f = {−1, 1}, perquè només té dos valors: 1 i −1.
021
1
23 3 5+ = ,
yx
= +1
3
020
019
018
345
11SOLUCIONARI
Y
X
y = 3x − 6
Y
X
5
3
1
−3
−5
531−2−4
3
1
−231−2
1
3 51−2−4−6
Y
X
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 345
346
Representa les funcions següents i troba els punts de tall amb els eixos.
a) y = 3x − 6 b) y = x + 1 c) y = −2x d) y = x 2 − 2
a) Punt de tall amb l’eix X:
y = 0 → 3x − 6 = 0 → x = 2 → (2, 0)
Punt de tall amb l’eix Y:
x = 0 → y = 3 ⋅ 0 − 6 = −6 → (0, −6)
b) Punt de tall amb l’eix X:
y = 0 → x + 1 = 0 → x = −1 → (−1, 0)
Punt de tall amb l’eix Y:
x = 0 → y = 0 + 1 = 1 → (0, 1)
c) Punt de tall amb l’eix X:
y = 0 → −2x = 0 → x = 0 → (0, 0)
Punt de tall amb l’eix Y:
x = 0 → y = −2 ⋅ 0 = 0 → y = 0 → (0, 0)
d) Punts de tall amb l’eix X:
y = 0 → x2 − 2 = 0 → x = ±
Punt de tall amb l’eix Y:
x = 0 → y = 02 − 2 = −2 → (0, −2)
La funció y = x 2 − 5x + 6, en quins punts talla els eixos?
Punts de tall amb l’eix X:
y = 0 → x2 − 5x + 6 = 0 → x =
Els punts de tall són (3, 0) i (2, 0).
Punt de tall amb l’eix Y:
x = 0 → y = 0 − 5 ⋅ 0 + 6 = 6 → (0, 6)
Representa la funció y = 3. Què hi observes? En quins punts talla els eixos?
És una recta paral·lela a l’eix X, que talla l’eix Y en el punt (0, 3).
024
32
=± −
=±5 25 24
2
5 1
2
023
( , )( , )+−
2 02 0
2
022
Funcions
y = x + 1
y = −2x
y = x2 − 2
Y
Y
Y
X
X
X
y = 3x − 6
Y
y = 3
Y
X
X
3
1
−231−2
3
1
−231−2
3
1
−231−2
3
1
3−2
1
−231−2
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 346
347
11
Donada la funció , digues en quins punts talla els eixos.
Punts de tall amb l’eix X:
y = 0 → = 0 → No té solució, no el talla.
Punts de tall amb l’eix Y:
x = 0 → y = → No està definit, no el talla.
La funció y = 5x, en quin punt talla l’eix Y?I la funció y = 5x + 1?I la funció y = 5x − 2?
Amb els resultats anteriors, en quin punt creus que tallarà l’eix Yla funció y = 5x − 7?
Punts de tall amb l’eix Y:
x = 0 → y = 5 ⋅ 0 = 0 ⎯⎯⎯→ (0, 0)
x = 0 → y = 5 ⋅ 0 + 1 = 1 ⎯→ (0, 1)
x = 0 → y = 5 ⋅ 0 − 2 = −2 → (0, −2)
La funció y = 5x − 7 tallarà l’eix Y en el punt (0, −7).
Quants punts de tall pot tenir una funció amb l’eix Y? I amb l’eix X?
Amb l’eix Y una funció només pot tallar un cop, ja que si no 0 tindria mésd’una imatge.
Amb l’eix X pot tallar infinites vegades.
Observa els preus (en euros) del quilogram de patates en el període 2003-2007.Representa les dades en una gràfica i analitza’n el creixement i decreixement.
És creixent en (2003, 2004) i (2006, 2007).
És decreixent en (2004, 2006).
Dibuixa la gràfica d’una funció que sigui creixent en els intervals (0, 3) i (6, 8) i decreixent en (3, 6) i (8, 10).
029
028
027
026
8
0
8
0
yx
= 2025
SOLUCIONARI
Y
X
3
5
3
1
6 8
y = f (x)
Y
X
Any
Preu2003
0,51
2004
0,65
2005
0,57
2006
0,49
2007
0,64
03 04
0,70
0,40
0,10
05 06 07
Y
X
yx
=23
1
−231−2
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 347
348
La taula següent mostra les vendes de cotxes durant els cinc primers mesos de l’any. Sense representar les dades, analitza’n el creixement i decreixement.
És decreixent en tot el domini presentat a la taula (des de gener fins a maig).
Representa gràficament la funció , i analitza’n el creixement
i decreixement. És constant en cap tram?
És decreixent en les dues branques, i és una hipèrbola.
No és constant en cap tram.
Determina els màxims i mínims de la funció.
La funció té mínims en els punts d’abscissa x = − 3, −1 i 2.A x = −1 hi ha un mínim absolut, i els altres dos són relatius.
La funció té màxims en els punts d’abscissa x = −4, −2, 1 i 4.A x = −2 hi ha un màxim absolut, i els altrestres són relatius.
Dibuixa una funció que tingui màxims en x = −2 i x = 3i mínims en x = 1 i x = 2.
Dibuixa una funció de període 2 i una altra de període 4.
Amb període 2: Amb període 4:
034
033
032
yx
= 1031
030
Funcions
Mes
VendesE
2.000
F
1.875
M
1.690
A
1.600
M
1.540
−4
−4
4
22
4 X
Y
−2
−4 −2 4
2
2 −2 4
2
2 86 10
3
1
−231−2
Y
X
yx
=1
Y
X
Y
X
Y
X
5
3
1
−23 5 71−2−4−6−8
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 348
349
11
Dibuixa la gràfica de la funció que fa l’angle format per les agulles del rellotge desde les 00.00 hores fins a les 02.00 hores. Quins són els màxims i els mínims?
Suposem que agafem l’angle agut que formen, els màxims se situenaproximadament a les 0:30 h (0 h 30 min 44 s) i a la 1:35 h (1 h 38 min 11 s), i el mínim a la 1:05 h.
Representa gràficament la funció donada mitjançant aquesta taula de valors. És una funció simètrica?
És una funció simètrica respecte de l’eix Y.
Analitza les simetries d’aquestes funcions.a) y = 4 b) y = x 4 c) y = x 3
a) � f (−x) = f (x) → Funció parella
b) � f (−x) = f (x) → Funció parella
c) �Pot ser simètrica respecte de l’eix X una funció? Raona la resposta.
No, perquè cada valor de X tindria dos imatges i no seria una funció.
ACTIVITATSDe les relacions següents, assenyala’n les que representen una funció. Raona la resposta.a) Un nombre positiu i la seva arrel quadrada.b) Un nombre positiu i la seva arrel cúbica.c) Un nombre positiu i el seu valor absolut.d) El nombre de costats de la base d’una piràmide i el seu nombre total d’arestes.
a) És correspondència. Un nombre positiu té una arrel positiva i una de negativa.
b) És funció. Un nombre només té una arrel cúbica.
c) És funció. Cada nombre negatiu té un valor absolut, que és el mateix nombre canviat de signe.
d) És funció. El nombre d’arestes és el doble que el nombre de costats, i a cada nombre de costats correspon un únic nombre d’arestes.
039●
038
f (−x) � f (x) ⎯→ Funció no parellaf (−x) = −f (x) → Funció imparella
f (x) = x3
f (−x) = (−x)3 = −x3
f (x) = x4
f (−x) = (−x)4 = x4
f (x) = 4f (−x) = 4
037
036
035
SOLUCIONARI
180
90
xy
…
…
−2
7
−1
4
0
3
1
4
2
7
…
…
6
4
2
2
X
Y
X
Y
32 m
44 s
65 m
in 27
s98
min
11 s
130 m
in 54
s
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 349
Escriu tres exemples de funcions i assenyala quina és cada variable.
Velocitat d’un cotxe i temps que triga a recórrer 100 km.
Divisors d’un nombre entrer; variable x: nombre enter, y: divisors.
Altura d’un núvol i temps que triga a caure una gota de pluja.
Indica quines són funcions i quines no ho són.
a) c)
b) d)
a) No és funció.
b) Sí que és funció.
c) No és funció.
d) Sí que és funció.
042●
041
040●
FES-HO AIXÍ
COM IDENTIFIQUEM UNA FUNCIÓ PER MITJÀ DE LA SEVA REPRESENTACIÓ GRÀFICA?
Indica si aquestes gràfiques són funcions o no.
a) b)
PRIMER. Determinem si a algun valor de x li correspon més d’un valor de y.
a) b)
SEGON. Si és així, la gràfica no correspon a una funció. En cas contrari, sí que cor-respon a una funció.
Per tant, b) és una funció i a) no ho és.
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
350
Funcions
Y Y
X X
Y
X
Y
X
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 350
351
11
Escriu l’expressió algebraica de la relació que hi ha entre les magnitudssegüents.a) El radi d’una circumferència i la seva longitud.b) El radi d’una esfera i el seu volum.c) L’àrea d’un cercle i el seu radi.
a) y = 2πx b) y = c) y = πx2
Donada la funció que associa a cada nombre l’invers de la suma d’aquestnombre més 5:a) Determina’n l’expressió algebraica.b) Existeix valor de la funció per a x = −2?
a)
b) Sí,
La relació existent entre el nombre de vèrtexs d’una piràmide i el seu nombred’arestes:a) És una funció? Fes una taula de valors i representa’ls gràficament.b) És possible establir una expressió algebraica que representi la funció?
a) Sí que és una funció.
b) y = 2(x −1), per a x ≥ 4.
Expressa, de totes les maneres possibles, les funcions següents.
a) y = x + 5 b) y = −3x + 1 c) y = x 2 + x + 1 d)
Es recomana practicar en comú l’expressió d’una funció de diverses formes amb elsexemples d’aquesta activitat, que engloben els tipus de funcions més habituals.
yx=5
046●●
045●●
y =1
3
yx
=+1
5
044●
4
33πx
043●
SOLUCIONARI
Vèrtexs
Arestes4
6
5
8
6
10
7
12
8
14
9
16
…
…
d)a)
b)
c)
Y
X
Y
XVèrtexs
Are
stes
15131197531
1 3 5 7 9
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 351
352
Una bossa de patates fregides val 1,50 €. Expressa algebraicament la funció Nombre de bosses–Preu,fes una taula de valors i dibuixa’n la gràfica.
y = 1,50x
Fes una taula de valors amb la llargada i l’amplada dels rectangles d’àrea 36 m2.Expressa de forma algebraica i representa la funció Llargada–Amplada.
Estudia la continuïtat d’aquestes funcions. Tenen punts de discontinuïtat?
a) b)
a) No, perquè té dos salts en els punts d’abscissa x = −1 i x = 4.
b) No, perquè té un salt a x = 0.
En Lluís està malalt i li prenenla temperatura 4 vegades al diadurant 3 dies. Obtenen elspunts de la gràfica següent.Podem unir els punts? Serà unafunció contínua o discontínua?
Sí, podem unir el punts. Les variables són contínues i la gràfica també ho és.
050●
049●
yx
=36
048●●
047●●
Funcions
xy
0
0
1
1,50
2
3
3
4,50
4,503
1,50
1 2 3
Y
X
18
642
Y
X
Llargada
Amplada18
2
12
3
9
4
6
6
4
9
3
12
2
18
Y
X−5 −3 −1
−2
2
1 3 5
2
2 4−4 −2
−2
Y
X
40
39
38
37
36
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
Tem
pera
tura
(°C
)
Temps (h)
Y
X
2 4 6 18
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 352
Determina el domini i el recorregut d’aquestes funcions.
a) b)
a) Domini = [−1, 8] − (1, 2) – (5, 6) = [−1, 1] + [2, 5] + [6, 8]
Recorregut = [0, 3] + {5}
b) Domini = [−1, 7] − (2, 3) = [−1, 2] + [3, 7]
Recorregut = [0, 5]
Calcula el domini d’aquestes funcions.
a) y = x 2 + 1 c)
b) d)
a) R c) [−1, +�)
b) R − {5} d) [2, +�)
x − 2yx
=−5
5
x + 1
053●●
052
051●
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM EL DOMINI D’UNA FUNCIÓ AMB LA SEVA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA?
Troba el domini de les funcions.
a) y = 2x − 3 b) c)
PRIMER. Analitzem el tipus d’expressió.
a) y = 2x − 3 ⎯→ És una expressió polinòmica.
b) → És una expressió que té la variable x en el denominador.
c) ⎯→ És una expressió que té la variable x sota una arrel.
SEGON. Calculem el domini depenent del tipus d’expressió.
a) Aquestes expressions estan definides per a tots els nombres reals: Dom f = R.
b) Un quocient no està definit quan el denominador és 0, per tant, la funció noestà definida en x = 1: Dom f = R − {1}.
c) Les arrels només estan definides per a nombres positius; per tant, la funció estàdefinida quan x és més gran o igual que 1: Dom f = [1, +�).
y x= − 1
yx
x=
++
3 2
1
y x= −1yx
x= +
+3 2
1
353
11SOLUCIONARI
4
2 4 6 8
Y
X
4
2
2 4 6 8
Y
X
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 353
354
Estudia la continuïtat de la funció y = x 3
i troba’n el domini i el recorregut.
És una funció contínua amb domini R i recorregut R.
Estudia la continuïtat de la funció i troba’n el domini i el recorregut.
→ �La función es continua en � − {0}.
Donada la funció :a) Fes una taula de valors. c) Dibuixa’n la gràfica.b) Estudia’n la continuïtat. d) Determina’n el domini i recorregut.
a) c)
b) És contínua en tot el seu domini.
d) Dom f = [−4, +�)Im f = [0, +�)
Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions.a) y = 4x − 1 c) y = x 2 − 3 e) y = x 3 − 8b) y = 5 d) y = (x − 3)2 f) y = −3
a) y = 4x − 1 → Eix Y → x = 0 → y = 4 ⋅ 0 − 1 = −1 → P(0, −1)
Eix X → y = 0 → 0 = 4x − 1 →
b) y = 5 → Eix Y → x = 0 → y = 5 → P(0, 5)Eix X → y � 0, no té punt de tall amb aquest eix.
c) y = x2 − 3 → Eix Y → x = 0 → y = 0 − 3 = −3 → P(0, −3)
Eix X → y = 0 → x2 − 3 = 0 → x = ± → Q( , 0) i Q ' (− , 0)
d) y = (x − 3)2 → Eix Y → x = 0 → y = (0 − 3)2 = 9 → P(0, 9)Eix X → y = 0 → 0 = (x − 3)2 → x = 3 → Q(3, 0)
e) y = x3 − 8 → Eix Y → x = 0 → y = −8 → P(0, −8)Eix X → y = 0 → x3 − 8 = 0 → x = 2 → Q(2, 0)
f) y = −3 → Eix Y → x = 0 → y = −3 → P(0, −3)Eix X → y � 0, no té punt de tall amb aquest eix.
333
x Q=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
4
1
40→ ,
057●
f x x( ) = + 4056●●●
Dom f = � − {1}Im f = � − {0}y
x=
−2
1
yx
=−2
1055
●●●
054●●
Funcions
Y
X
yx
=−2
1
x 1
5
0
2
2
6
−4
0y
Y
X
y x= + 4
y = x3
Y
X
1
1
1
1
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 354
355
11
Analitza el creixement d’aquesta funció.
La funció és creixent en [−1, 2] i en [5, 8]; és decreixent en [3, 4], i és constant en (4, 5).
Observa la gràfica corresponent a aquesta funció.
a) Assenyala’n el domini i el recorregut.
b) És una funció contínua?c) Estudia’n el creixement
i decreixement.d) Assenyala’n els màxims
i mínims, si en té.
a) Dom f = [0, 10]; Im f = [0, 7]
b) És contínua en tot el domini.
c) És creixent en [0, 1] ∪ [2, 4] ∪ [5, 6] ∪ [8, 10].És decreixent en [1, 2] ∪ [4, 5] ∪ [6, 8].
d) Té màxims a x = 1, x = 4 i x = 6.Té mínims a x = 2, x = 5 i x = 8.
Completa les gràfiques següents perquè resulti una funció simètrica respecte de l’eix Y.
a) b)
a) b)
060●●
059●
058●●
SOLUCIONARI
5
4
3
2
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
X
Y
7654321
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
X X
Y Y
X X
Y Y
3
1
−2
31−2
3
1
−2
31−2
3
1
−231−2
3
1
−231−2
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 355
356
Una funció pot ser simètrica respecte de l’eix Y i respecte de l’origen? Si creus que sí, posa’n un exemple.
Només no és la funció y = 0, ja que verifica: f (−x) = −f (−x).
Indica quines de les gràfiques següents corresponen a funcions periòdiques.
a) c)
b) d)
Són periòdiques les funcions dels apartats a) i c) i no ho són les funcions dels apartats b) i d).
Estudia les característiques de les funcions que relacionen:
a) La longitud del costat d’un hexàgon regular amb la seva àrea.
b) La longitud del costat d’un quadrat amb la seva diagonal.
c) Un nombre real i el seu cub.
d) Un nombre real i el triple de la seva arrel quadrada.
a)
És una funció contínua i creixent en tot el domini → Dom f = �
b) La funció és ; és contínua i creixent → Dom f = �
c) y = x3 → Dom f = �; Im f = �
És contínua, creixent, no té màxims ni mínims i és simètrica respecte de l’origen.
d) y = → Dom f = �+ = [0, +�)
Im f = �+ = [0, +�)
És contínua, creixent i no té màxims ni mínims.
3 x
d = =2 22l l
AP a
=⋅=
⋅ ⋅=
2
63
2 3 3
2
2l l
l
2
063●●
062●●
061●●●
Funcions
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 356
357
11
Estudia les característiques de les funcions següents.
a) y = −3x c) y = x 2 + 2x + 1 e) y = (x − 1)2
b) y = 2x − 5 d) f) y = x 3 − 3
a) y = −3x → Dom f = �; Im f = �
És contínua, decreixent, no té màxims ni mínims ni presenta simetries.
b) y = 2x − 5 → Dom f = �; Im f = �
És contínua, creixent, no té màxims ni mínims ni presenta simetries.
c) y = x2 + 2x + 1 → Dom f = �; Im f = �
És contínua, decreixent des de −� fins a −1, creixent des de −1 fins a +�, i té un mínim a x = −1. No és simètrica respecte de l’eix Yni respecte de l’origen de coordenades.
d) → Dom f = � − {0}; Im f = � − {−2}
És contínua i decreixent, no presenta simetries respecte de l’eix Y, i és simètrica respecte de l’origen de coordenades.
e) y = (x − 1)2 → Dom f = �; Im f = �
És contínua, decreixent des de −� fins a 1, creixent des d’1 fins a +�, i té un mínim a x = 1. No és simètrica respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen de coordenades.
f) y = x3 − 3 → Dom f = �; Im f = �
És contínua i creixent i no presenta simetries respecte de l’eix Yni respecte de l’origen de coordenades.
Analitza aquestes funcions.
a) y = ⏐x⏐ (valor absolut de x) b) y =
a) y = ⏐x⏐ = �Dom f = �; Im f = [0, +�)
És contínua.
Decreix a (−�, 0) i creix a (0, +�).
Té un mínim absolut a x = 0.
És simètrica respecte de l’eix Y.
b) y = �Dom f = �; Im f = [0, +�)
És contínua.
Decreix a (−�, 0) i creix a (0, +�).
Té un mínim absolut a x = 0. No presenta simetries.
−x si x ≤ 0x2 si x > 0
−x si x < 0x si x > 0
−x si x ≤ 0x 2 si x > 0
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
065●●●
yx
= −2
2
yx
= −22
064●●
SOLUCIONARI
Y
Y
X
X
y = ⏐x⏐
y = x2y = −x
3
1
−231−2
3
1
−231−2
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 357
Representa una funció que:– Dom f = R– Passa pels punts (5, 0) i (7, 0).– Té punts mínims a (0, 1)
i (6, −3).
– Té un màxim a (3, 5).
Representa una funció amb aquestes característiques.– Dom f = R– Passa pels punts (−3, 0) i (0, 2).– És creixent fins a x = −2,
constant en l’interval (−2, 4) i decreixent a partir de x = 4.
068●●
067●●
066 FES-HO AIXÍ
COM REPRESENTEM UNA FUNCIÓ SI EN SABEM ALGUNES DE LES CARACTERÍSTIQUES?
Representa una funció amb aquestes dades.– Dom f = R– Passa pels punts (−2, 0), (2, 0) y (4, 0).– Té un màxim a (3, −2).– Té un mínim a (0, 2).
PRIMER. Representem els punts per on passa la funció.
SEGON. Dibuixem els punts en què hi ha màximsi mínims.
Sobre els mínims, representem un arc amb lapart còncava cap a baix. I sobre els màxims, unarc amb a part còncava cap a dalt.
TERCER. Seguint les indicacions de lesfletxes que assenyalen la direcció de lagràfica i els punts per on passa, repre-sentem la funció.
2
−2−2
2 4
Y
X
2
−2
−2
2 4
Y
X
358
Funcions
Y
X
5
3
1
−23 5 71−2−4
Y
X
3
1
−2
−4
3 5 7 91−2−4
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 358
359
11
Dibuixa una funció periòdica, amb domini l’interval (−5, 5) i recorregut (−2, 2). Hi ha més d’una solució?
Hi ha infinites solucions.
Representa la gràfica d’una funció simètrica respecte l’eix Y i que sempre sigui creixent. És possible?
No és possible, perquè si és creixent entre els valors positius, serà decreixenten els negatius, i a la inversa, ja que és simètrica respecte de l’eix Y.
Si a > b > 0, aleshores f (a) > f (b), ja que és creixent i simètrica respecte de l’eix Y. Amb tot, la condició f (−a) > f (−b) és impossible perquè, com que −b > −a, és una funció creixent.
En un institut han mesurat la longitud de l’ombra de l’edifici principal cadahora, al llarg d’un dia d’hivern (a partir de les 18.00 hores era de nit) i hanobtingut aquesta taula:
a) Fes la representació gràfica.b) És una funció contínua o discontínua?c) Estudia les característiques de la funció.
a)
b) És contínua.
c) És decreixent des que surt el sol fins a les 13:00 hores, quan passa a ser creixent fins que es pon el sol. Té un mínim a les 13:00 hores. El domini és el conjunt representat per les hores de sol.
071●●
070●●●
069●●
SOLUCIONARI
X
Y
Hora
Longitud8
23
9
18
10
14
11
10
12
4
13
2
14
6
15
10
16
16
17
21
Y
X
2321191715131197531
5 9 13 171
3
1
−23 51−2−4
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 359
360
Un tren fa el trajecte entre dues ciutats, A i B. Surt a les 07.00 hores i es dirigeix a B a velocitat constant. Hi arriba en 40 minuts. Després, s’atura durant 20 minuts i surt de B cap a A. Hi arriba en 50 minuts. S’atura 10 minuts i, a l’hora en punt, torna a sortir en direcció a B.
a) Representa la funció Temps–Distància a la ciutat A.b) Fes un estudi complet de la funció.
a)
b) La funció és contínua en tot el domini.
És creixent als intervals (0, 40), (120, 160)…
És contant als intervals (40, 60), (110, 120), (160, 180)…
És decreixent als intervals (60, 110), (180, 230)...
c) Sí, és una funció periòdica, amb període T = 120 minuts.
En una gràfica es mostra la superfície d’edificació d’habitatges (en milions de m2)concedida en cada mes de l’any.
a) Analitza’n la continuïtat.b) En quins punts talla els eixos?c) Estudia’n el creixement.d) Assenyala’n màxims i mínims
i indica si són absoluts o relatius.e) Quins mesos es van superar els 12 milions de metres quadrats?
Entre quins dos mesos es va registrar el creixement més important?
a) És una funció contínua.
b) No talla l’eix X i talla l’eix Y a (G; 8,5).
c) És creixent de gener a febrer, de març a abril, de juny a juliol i d’agost a octubre. És decreixent de febrer a març, d’abril a juny, de juliol a agost i d’octubre a desembre.
d) Màxims relatius: febrer, abril, juliol i octubre. Màxim absolut: octubre.Mínims relatius: març, juny i agost. Mínim absolut: gener.
e) Es van superar els 12 milions a l’octubre, novembre i desembre. El creixement més gran es va enregistrar als mesos d’agost i setembre.
073●●
072●●
Funcions
20 60 100 140 180 220
Dis
tànc
ia
Temps (min)
13
12
11
10
9
G F M A MG J JL AG S O N D
X
Y
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 360
En un entrenament per a una carrera de 5.000 m un atleta ha registrat aquests temps.
a) Representa les dades en una gràfica.b) Si continua amb la mateixa velocitat,
quant temps tardarà a recórrer 5.000 m?
c) Escriu l’expressió algebraica que relaciona l’espai recorregut amb el temps que hi ha dedicat.
a) b) t = 3.000 : 6,5 = 461,54 s = 7 min 41,54 s
c) y = 6,5x
Quina gràfica correspon a l’acció d’omplir cada recipient?
a) És un con. A mesura que creix el volum, l’altura creix cada cop més depressa. La gràfica és:
b) La part inferior és un cilindre, i el volum és proporcional a l’altura; després és un con, i per tant, a mesura que augmenta el volum el creixement de l’altura s’accelera. La gràfica és:
075●●●
074●●
361
SOLUCIONARI
Temps (s)
Espai (m)0
0
10
65
20
130
30
195
40
260
50
325
…
…
Alt
ura
Volum
Alt
ura
Volum
Alt
ura
Volum
Alt
ura
Volum
1 2
2
3
3
4
Alt
ura
Volum
Alt
ura
Volum
11
Y
X
13
11
9
7
5
3
1
3 5 7 9 111
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 361
362
c) És una esfera. L’altura creix més depressa al principi i en acabar d’omplir el volum de l’esfera, coincidint amb els pols. La gràfica és:
d) És un con invertit. El creixement de l’altura es ralentitza a mesura que tenim un volum més gran. La gràfica és:
Si una funció és contínua:a) Quants màxims, com a mínim, haurà de tenir la funció si talla exactament
4 vegades l’eix X?b) Y no és constant en cap interval. Quin és el nombre més gran de vegades
que pot tallar l’eix X si té 3 mínims?
a) Els quatre punts de tall amb l’eix X delimiten tres intervals en què, com que la funció és contínua, hi ha d’haver, almenys, un màxim o un mínim. El menor nombre de màxims s’aconsegueix amb dos mínims i un màxim entre ells.
b) Com que presenta 3 mínims, té com a molts 4 màxims i, com que és una funció contínua, cada mínim se situarà entre 2 punts màxims.Cada màxim pot generar dos punts de tall amb l’eix X, i, per tant, tindràcom a màxim 8 punts de tall amb l’eix X.
Una funció parella pot valer −7 a x = 0? I una funció imparella?
No, perquè si és una funció imparella serà simètrica respecte de l’origen i, per tant, també hauria de passar pel punt (0, 7), cosa que no és possibleperquè, aleshores, el 0 tindria més d’una imatge.
Totes les funcions imparelles que tallen l’eix Y ho fan al punt (0, 0).
077●●●
076●●●
Funcions
Alt
ura
Volum
Alt
ura
Volum
X
Y
X
Y
1
4
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 362
363
11
D’una funció, en sabem que tots els elements del seu conjunt Imatge sónpositius i, a més:
f (x + y) = f (x) ⋅ f (y)
Si , quant val f (5)? I f (0)?
A LA VIDA QUOTIDIANA
La Marta va decidir invertir els estalvis l’any 2002. Va haver d’escollir entre dosproductes financers: un dipòsit a termini fix o un fons d’inversió.
El dipòsit a termini fix tenia una durada de 5 anys. Un cop passat aquest temps, el banc li havia de tornar el capital ingressat més el 15 % d’interessos. Si retirava els diners abans, el banc li oferia un interès del 3 % cada any.
D’altra banda, el fons d’inversió no tenia una rendibilitat fixa, i l’interès podiavariar en funció dels índexs borsaris.
Finalment, la Marta es va decidir pel fons d’inversió i en va comprar 1.519 participacions.
079●●●
f f f( )5 151
3
1
3= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= =
15
152 32.768
42
3
1
3
1
3
1
3=⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜f f f⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
f f1
3
1
3
⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
21
34 2→ f
42
3
2
30
2
3=⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
f f f⎠⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ = ⋅ =f f f( ) ( ) ( )0 4 0 0 1→
f23
4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
078●●●
SOLUCIONARI
FONSD’INVERSIÓ
PARTICIPACIÓ:15,80 €
ALTARENDIBILITAT
DIPÒSIT
A TERMINI FIX
DURADA:
5 ANYS
RENDIBILITAT:
15%
3% ANUAL
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 363
364
Ahir va rebre la informació sobre la rendibilitat del seu fons en els últims 5 anys. Hi apareixia aquesta gràfica.
En vista de la gràfica, hauria estat millor haver invertit en el dipòsit a termini fix?
En quins moments, des de l’any 2002, el dipòsit a termini fix li hauria ofert més rendibilitat?
L’elecció depèn del moment en què es treguin els diners.
Per exemple, durant tot l’any 2002, i en gairebé tots els mesos dels anys2003 i 2004, hauria estat més rendible el dipòsit a termini fix.
L’Institut General de Mitjans de Comunicació (IGMC) ha fet públiques les dades recollides en la seva última enquesta feta als oients.
En aquesta gràfica apareix el nombre d’oients (en milions) de les dues emissoresde ràdio amb més audiència del país.
080●●●
Funcions
22
21
20
19
18
17
16
15
99 00 01 02 03 04 05 06 Any
Pre
u pe
r pa
rtic
ipac
ió (
€)
3
2
1
4 8 12 16 20 24
Ràdio-Ràdio
Emissora-Ràdio
Hores
Nre
. d’
oien
ts (
mili
ons)
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 364
365
11
Aquestes són les programacions diàries de les dues cadenes.
Quines conclusions extreus de l’estudi de la gràfica i de les programacions?
Com modificaries la programació de les cadenes per augmentar-ne l’audiència?
Observem que l’audiència més gran s’obté amb l’emissió de programesesportius o informatius, mentre que les audiències menors corresponen a programes culturals i d’humor. Fóra aconsellable que les cadenesaugmentessin els programes amb aquests tipus de contingut per augmentarl’audiència.
SOLUCIONARI
RÀDIO – RÀDIO
0 – 4 h Cultural
4 – 7 h Música
7 – 10 h Informatius
10 – 14 h Entrevistes
14 – 15 h Informatius
15 – 16 h Esports
16 – 20 h Humor
20 – 22 h Informatius
22 – 24 h Esports
EMISSORA – RÀDIO0 – 4 h Entrevistes4 – 7 h Humor
7 – 10 h Musical10 – 12 h Informatius12 – 14 h Esports14 – 16 h Cultural16 – 19 h Esports19 – 20 h Informatius20 – 22 h Musical22 – 24 h Cine
831106 _ 0338-0365.qxd 11/9/07 13:40 Página 365
366
Funcionsde proporcionalitat12
FUNCIONSLINEALS
PENDENTD’UNA RECTA
REPRESENTACIÓGRÀFICA
FUNCIONS DE PROPORCIONALITAT INVERSA
REPRESENTACIÓGRÀFICA
FUNCIONSDE PROPORCIONALITAT
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 366
El càlcul té dos pares
Quan va sentir que s’obria la porta, Leibniz va aixecar la vista del paper on escrivia i, sense ni saludar a qui havia entrat, es va començar a queixar, molt alterat:
–Tothom sap que la trajectòria de la meva vida és impecable. Com és possible que dubtin de mi? He donat proves d’honestedat i talent suficients per a això i encara per a més.
La respiració agitada de Leibniz va fer que el seu interlocutor, Bernoulli, el calmés assegurant-li que ningú, enlloc del món, tret d’Anglaterra, dubtava d’ell.
–Jo no coneixia la feina del mestre Newton, fins i tot li vaig escriure per explicar-li els meus progressos. Però no he plagiat la feina de ningú –va assegurar Leibniz.
–He vingut a comunicar-te una bona notícia: la comissió ha acabat les investigacions i la seva conclusió és que totes dues teories han estat desenvolupades de manera independent. A més, segons la meva opinió el teu sistema és molt millor, sobretot per la notació que fas servir.
La teoria desenvolupada per Leibniz i per Newton és de capital importància per a l’estudi de moltes propietats relatives a les funcions. Leibniz va ser el primer de fer servir el terme funcióper designar la relació entre dues magnituds.
Sabries escriure la funció que relaciona cada nombre amb el seu doble menys tres unitats?
La funció que relacionacada nombre amb el seudoble menys tres unitats és:
f(x) = 2x – 3
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 367
368
EXERCICIS
Indica si les funcions són lineals i, si ho són, determina’n el pendent i elcreixement o decreixement.
a) y = 3x − 4 c) e)
b) y = 5x d) f) y = x 2
a) No és lineal. c) És lineal i creixent. e) No és lineal.b) És lineal i creixent. d) No és lineal. f) No és lineal.
Posa dos exemples de funció lineal creixent i dos més de decreixent.
Funció lineal creixent: y = 3x; y = 4x.Funció lineal decreixent: y = −5x; y = −x.
Troba una taula de valors i representa les funcions lineals següents:
a) y = 0,5x b) y = −2x c) y = 4x d) y = x e) y = −0,5x f) y = 10x
a) d)
b) e)
c) f)
Una funció de proporcionalitat directa passa pel punt P(−5, 10).a) Calcula’n el pendent. c) Com és la funció, b) Determina’n l’expressió algebraica. creixent o decreixent?
a) m = 10 : (−5) = −2 b) y = −2x c) És decreixent.
004
003
002
y x= +13
2
yx
= 4y x= 3
4
001
Funcions de proporcionalitat
xy
0
0
1
0,5
2
1
3
1,5
xy
0
0
1
1
2
2
3
3
xy
0
0
1
−2
2
−4
3
−6
xy
0
0
1
−0,5
2
−1
3
−1,5
xy
0
0
1
4
2
8
3
12
xy
0
0
1
10
2
20
3
30
y = 0,5x0,5
y = −2x
y = 4x y = 10x
1 2
2010
y = −0,5x
1 2 3
Y
Y
Y Y
Y
X
X
X X
X
X
Y
y = x
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 368
369
12
Indica si aquestes funcions són afins i determina’n el pendent i l’ordenada.
a) y = 3x − 4 b) y = c) y = x 2 − 5 d) y =
a) És afí: m = 3, n = −4. c) No és afí.
b) És afí: m = − , n = 3. d) No és afí.
Representa la funció afí y = 2x + nper a n = 1, n = 2, n = −1 i n = 0.Com són les rectes que has dibuixat?
Són rectes paral·leles.
Troba una taula de valors i representa aquestes funcions afins:a) y = 2x + 3 c) y = −3x + 1 e) y = 5x − 5b) y = −x + 4 d) y = x + 3 f) y = 0,5x + 3
a) d)
b) e)
c) f)
007
006
2
5
21
x+− +2
53x
005
SOLUCIONARI
xy
0
3
1
5
2
7
3
9
xy
0
3
1
4
2
5
3
6
xy
0
4
1
3
2
2
3
1
xy
0
−5
1
0
2
5
3
10
y = 2x + 3
y = −x + 4y = 5x − 5
y = x + 3
y = 2x + 1y = 2x
Y
Y Y
Y
X
X X
X
xy
0
1
1
−2
2
−5
3
−8
xy
0
3
1
3,5
2
4
3
4,5
y = −3x + 1
y = 0,5x + 3
Y Y
XX
Y
X
y =
2x −
1
y =
2x +
2
−2−21 3 5
3
5
7
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 369
370
Una recta que passa per tres quadrants és una funció lineal o afí? Raona la resposta.
És afí, perquè per tal que passi per tres quadrants cal que no passi perl’origen.
Determina dos punts pels quals passin les funcions següents i representa-les.a) y = −3x c) y = −2x + 4 e) y = 4x − 2 g) y = −0,4xb) y = −6x + 7 d) y = −4x f) y = −x + 3 h) y = x − 2
a) x = 0 → y = 0 e) x = 0 → y = −2x = 1 → y = −3 x = 1 → y = 2
b) x = 0 → y = 7 f) x = 0 → y = 3x = 1 → y = 1 x = 3 → y = 0
c) x = 0 → y = 4 g) x = 0 → y = 0x = 2 → y = 0 x = 1 → y = −0,4
d) x = 0 ⎯→ y = 0 h) x = 0 → y = −2x = −1 → y = 4 x = 2 → y = 0
Estudia la recta que passa per (0, 2) i (1, 2).
És una recta paral·lela a l’eix X.La seva expressió algebraica és y = 2.
010
009
008
Funcions de proporcionalitat
y = −3x
y = −6x + 7
y = −2x + 4
y = −0,4x
y = −x + 3
y = 4x − 2
Y
Y
Y Y
Y
Y
X
X
X X
X
X
y = −4x
y = x − 2Y Y
X X
y = 2
−1−3−5 531
(0, 2) (1, 2)
Y
X
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 370
371
12
Representa, en uns mateixos eixos, les funcions i explica’n les diferències.
a) y = 2xb) y = 2x − 3c) y = 2x + 1
Són rectes paral·leles que es diferencien en el valor de l’ordenada a l’origen.
Troba l’equació de la recta que passa pels punts següents:
a) A(1, 6) i B(3, 9) d) A(2, 4) i B(3, 1)b) A(−1, 0) i B(0, 4) e) A(−1, −2) i B(2, 5)c) A(−3, 6) i B(2, −4)
a) m = → 6 = ⋅ 1 + n → 6 − = n → n =
y =
b) m = = 4 → 0 = 4 ⋅ (−1) + n → n = 4
y = 4x + 4
c) m = = −2 → 6 = −2 ⋅ (−3) + n → n = 0
y = −2x
d) m = = −3 → 4 = −3 ⋅ 2 + n → n = 10
y = −3x + 10
e) m = → −2 = ⋅ (−1) + n → n = −2 +
y =
Comprova si les rectes anteriors passen pel punt de coordenades (1, 1). N’hi ha cap que correspongui a una funció afí?
a) 1 � . No hi pertany. d) 1 � −3 + 10 = 7. No hi pertany.
b) 1 � 4 + 4 = 8. No hi pertany. e) 1 � . No hi pertany.
c) 1 � −2. No hi pertany.
Són funcions afins, excepte la de l’apartat c), que és lineal.
7
3
1
3
8
3+ =
3
2
9
26+ =
013
7
3
1
3x +
7
3
1
3=
7
3
5 2
2 1
7
3
− −− −
=( )
( )
1 4
3 2
−−
− −− −
=−4 6
2 3
10
5( )
4 0
0 1
−− −( )
3
2
9
2x +
9
2
3
2
3
2
9 6
3 1
3
2
−−
=
012
011
SOLUCIONARI
Y
X
y =
2x −
3
y =
2xy =
2x +
1
−2−2
−4
−6
5
3
1
1 3
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 371
372
Troba l’equació de la recta d’aquesta gràfica:
Com que passa per (4, 1) i (0, −2) → m = 0,75.
Com que passa per (0, −2) →→ −2 = 0,75 ⋅ 0 + n → n = −2
L’equació de la recta és: y = 0,75x − 2.
Calcula l’equació de la recta que té el mateix pendent que la recta que passapels punts A(3, 5) i B(−1, 4) i que passa, a la vegada, per C(5, 0).
m = . Com que passa per (5, 0) → 0 = 0,25 ⋅ 5 + n →
→ n = −1,25. L’equació de la recta és: y = 0,25x − 1,25 → .
Determina la posició relativa d’aquests parells de rectes:a) y = x + 2 b) y = 6x c) y = 2x + 3 d) y = x − 9
y = −x + 2 y = 6x − 5 y = 2x − 11 y = −x + 9
a)→ Són secants.
Sumem les dues equacions:
2y = 4 → y = 2 → 2 = x + 2 → x = 0 → P(0, 2)
b)⎯→ Són paral·leles.
c)⎯→ Són paral·leles.
d)→ Són secants.
Sumem les dues equacions:
2y = 0 → y = 0 → 0 = x − 9 → x = 9 → P(9, 0)
Troba el punt de tall de les rectes. a) y = x + 8 b) y = 3x + 1
y = 2x y = 6x + 2
a)
Es tallen en el punt P(8, 16).
b)
Es tallen en el punt P −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
30,
y x
y xx x x x y
= += +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ = + = − =−3 1
6 23 1 6 2 3 1
1
3→ → → → == 0
y x
y xx x x y
= +=
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ = = =+
2
8
8
28 2 8 16→ → →
017
y x
y x
m
m
= −= − +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− 9
9
1
1
'
'
y x
y x
m
m
= += −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 3
2 11
2
2
'
'
y x
y x
m
m
== −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−6
6 5
6
6
5 '
'
y x
y x
m
m
= += − +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− 2
2
1
1
'
'
016
yx
=− 5
4
4 5
1 3
1
40 25
−− −
=−−
= ,
015
014
Funcions de proporcionalitat
Y
X
A1
1 3 4
−2B
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 372
Calcula les coordenades dels vèrtexs d’un triangle que té els costats a les rectes:
r : y = −x + 5 s: y = x + 7 t : y = 2x − 9
Els vèrtexs són la solució dels tres sistemes d’equacions:
. Solució: (−1, 6).
. Solució: .
. Solució: (16, 23).
Escriu tres rectes secants i tres de paral·leles a les rectes següents:
a) y = −x + 4 c) y = −6x − 1b) y = 3x − 7 d) y = 4
a) y = −x + 4
Rectes secants: y = 3x − 1 y = x − 4 y = 2x + 3
Rectes paral·leles: y = −x + 1 y = −x − 1 y = −x + 2
b) y = 3x − 7Rectes secants: y = x − 7 y = −x + 1 y = 2x − 1Rectes paral·leles: y = 3x − 1 y = 3x + 1 y = 3x + 2
c) y = −6x − 1Rectes secants: y = x + 1 y = 6x − 5 y = −x + 3Rectes paral·leles: y = −6x + 1 y = −6x − 2 y = −6x
d) y = 4
Rectes secants: y = x − 1 y = x y = x + 1
Rectes paral·leles: y = 0 y = −1 y = 2
Representa les rectes següents:
a) y = −7 d) y = 2b) y = 0 e) y = −2c) y = 1 f) y = 3
020
019
y x
y xx x x y
= −= +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = + = =−2 9
72 9 7 16 23→ → →
14
3
1
3,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
− + = − = =x x x y5 2 914
3
1
3→ →y x
y x
= − += −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5
2 9→
y x
y xx x x y
= − += +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + = + = − =−
5
75 7 1 6→ → →
018
373
12SOLUCIONARI
y = 3y = 2y = 1
y = 0
y = −2
y = −7
Y
X−2−4
−6
−4
1
1 3 5
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 373
374
Representa gràficament aquestes rectes:
a) x = −3b) x = 0c) x = 4d) x = −2
Determina la posició relativa de les rectes y = 3, x = −2. Calcula’n el punt de tall en el cas que siguin secants.
Són rectes secants, perpendiculars, que es tallen en el punt P(−2, 3).
Troba l’equació de la recta:
a) Paral·lela a l’eix X i que passa per P(1, 3).b) Paral·lela a l’eix Y i que passa per P(−1, 4).
a) És paral·lela a l’eix X → m = 0 → y = n.Passa per P(1, 3) → 3 = 0 ⋅ 1 + n → n = 3.Per tant, és la recta y = 3.
b) És paral·lela a l’eix Y → x = k.Passa per P(−1, 4) → x = −1.Per tant, és la recta x = −1.
Representa aquestes funcions:
a) b)
a)
b)
yx
= 2y
x= −1
024
023
022
021
Funcions de proporcionalitat
x =
4
x =
0
x =−
2
x =−
3
Y
X
−4
−2−1−5 1 3 5
Y
X−3−5
1 3 5
5432
−1−2−3−4−5
Y
X
−3−5
3 5
54321
−1−2−3−4−5
yx
=−1
yx
=2
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 374
x … −5 −1 −0,5 … 0,5 1 5 …
y … −1 −5 −10 … 10 5 2 …
x … −4 −2 −1 … 1 2 4 …
y … −2 −4 −8 … 8 4 2 …
375
12
Construeix una taula de valors i representa les següents funcions:
a) x ⋅ y = 8 b) x ⋅ y − 5 = 0
a)
b)
Completa la gràfica i estudia’n les propietats.
Propietats:
• Funció discontínua (hipèrbola)
• Funció creixent
• Assímpota vertical x = 0
• Assímptota horitzontal: y = 0
Indica quines de les funcions següents són de proporcionalitat directa, inversa o no corresponen a cap d’elles:
a) y = 3x − 5 b) y = x ⋅ x c)
La funció c) és de proporcionalitat inversa. Les altres dues no són de proporcionalitat.
yx
= 5
027
026
025
SOLUCIONARI
4
2
−2
−4
−2 2 4−4
Y
X
6
4
2
−2
−4
−6
−2 2 4 6−4−6
Y
X
5
−5
5−5
Y
X
831106 _ 0366-0395.qxd 20/9/07 14:17 Página 375
376
Fes la representació gràfica de les funcions següents en els mateixos eixos de coordenades.
a) Per a valors positius de la x, quina és la funció que està per sobre de les altres?b) I per a valors negatius?
L’àrea d’un rectangle és de 120 m2. Escriu l’expressió algebraica de la funció que relaciona les dues magnituds i representa-la.
Expressió algebraica:
Una funció de proporcionalitat inversa, pot tallar l’eix d’ordenades? I l’eix d’abscisses? Pot passar per l’origen? Raona la resposta.
Cap funció de proporcionalitat inversa no pot tallar ni l’eix d’ordenades ni l’eixd’abscisses i tampoc no pot passar per l’origen de coordenades.
En una parada del mercat hem vist l’oferta següent: «Una bossa de 10 kg de tomàquets val 16 €.»
a) Si ho considerem una funció, quines variables estem relacionant?b) Expressa la funció de totes les formes possibles.c) Quin tipus de funció és?d) Quant val una bossa de 7 kg?
a) Relacionem el nombre de quilos de tomàquets (variable independent) amb el preu (variable dependent).
b) � → y = = 1,6 → y = 1,6x
c) És una funció lineal.
d) y = 1,6 ⋅ 7 = 11,20 €
16 1
10
⋅10 kg ⎯ 16 €
01 kg ⎯ y €
031
030
029
yx
yx
yx
= = =2 4 10, ,028
Funcions de proporcionalitat
8
4
−4
−8
−2 2 6−6
Y
X
yx
=10
yx
=4
yx
=2
G
G
F
60
50
40
30
20
10
010 20 30 40 50 60
Y
X
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 376
377
12
La temperatura en un lloc de l’Antàrtida a les 12 h és de 5 °C, i cada hora baixa 4 °C. Expressa la funció de totes les maneres possibles.
y = 5 − 4x, en què x és el nombred’hores transcorregudes des de les 12 hi y la temperatura (en °C).
L’equació que ens dóna l’interès d’un dipòsit bancari és y = 3 ⋅ t. Si el capital invertit és 150 €, troba l’equació que relaciona el capital amb el temps, i representa-la.
Capital = Capital invertit + Interès → C = 150 + 3t
Calcula gràficament el punt de tall de les rectes següents:
y = 2x − 3y = −2x + 1
Estudia’n també les propietats.
Són rectes afins que es tallen al punt (−1, 1).
La recta y = 2x – 3 és creixent, amb pendent 2.
La recta y = −2x + 1 és decreixent, amb pendent −2.
Per celebrar la festa de final de curs, un grup d’amics lloga un local, i han de triar entre dos. Les ofertes que els fan són:
CAMELOT: 1.000 € i 5 € per assistent.MORGANA: 200 € i 10 € per assistent.
La capacitat màxima a tots dos locals és de 300 persones. Quin dels dos triaries?
L’equació del cost respecte els assistents és:
Camelot: y = 1.000 + 5xMorgana: y = 200 +10x
Si el nombre d’assistents és més petiti que 160, és preferible escollir Morgana. Però si és més gran que 160, és millor Camelot.
035
034
033
032
SOLUCIONARI
X
Y
Y
X
X
Y
y = 5 − 4x
Cap
ital
(€
)
Temps
Assistents (persones)
Din
ers
(€)
150
(−1, 1)
50 100 150
500
1.000
1.500(160, 1.800)
y = 1.000 + 5x (Camelot)
y = 200 + 10x (Morgana)
−2 1 3 5
1
3
5
−2
−4
y = −2x + 1 y = 2x − 3
831106 _ 0366-0395.qxd 20/9/07 14:17 Página 377
378
La companyia DIRECTEACASA fa propaganda repartint fulls al carrer. El cap de personal sap que una sola persona reparteix 1.000 fulls en un dia i vol repartir 50.000 fulls.
a) Quant trigarien dues persones a repartir ho tot? I deu? Fes una taula que indiqui la relació entre el nombre de persones i els dies que triguen a repartir els 50.000 fulls.
b) Escriu l’expressió algebraica d’aquesta funció i representa-la gràficament.
a) Dues persones trigarien 25 dies i 10 persones trigarien 5 dies.
b) y = 50/x
Un tren surt de Retort amb destinació a Vilera a una velocitat de 90 km/h. En aquest moment surt un altre tren de Vilera a Retort a 100 km/h.
Si la distància entre les dues poblacions és de 344 km, a quina distància de totes dues creus que es creuaran els trens?
L’equació del trajecte dels trens en funció dels temps és:
Sortida de Retort: y = 90xSortida de Vilera: y = 344 – 100x
El punt de tall de les dues rectes és (1 h 48 min, 163 km).
Per tant, es creuen a 163 km de Retort.
ACTIVITATS
Una funció lineal passa pel punt de coordenades (2, 8). Determina’n el pendenti l’equació. És creixent o decreixent?
y = mx → 8 = m ⋅ 2 → m = 4 → y = 4x → És creixent.
038●●
037
036
Funcions de proporcionalitat
x (persones) 1 2 5 10 20 25 50 …
y (dies) 50 25 10 5 2,5 2 1 …
40
30
20
10
0100 20 30 40
Y
Die
s
PersonesX
X
Y
Temps (hores)
Dis
tànc
ia (
km)
y = 90
x (Reto
rt)
y = 344 − 100x
(Vilera)100
200
300
1 2 3
(1 h 48 min, 163 km)
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 378
379
12
Aquesta és la gràfica d’una funció de proporcionalitat directa. Dibuixa’n els eixos si el punt A té d’abscissa x = 3.
a) Quina és l’ordenada del punt A?b) I l’expressió algebraica de la funció?
a) Ens desplacem tres unitats des del punt A a l’esquerra i després es traçauna recta vertical que tallarà la funció en l’origen de coordenades. L’ordenada del punt és y = 6.
b) La funció és y = 2x i la seva representació gràfica és la següent:
Classifica les funcions següents en lineals i afins. Com ho fas?
Són lineals les funcions s i t. Són afins les funcions r i u. Les funcions lineals són rectes que passen per l’origen de coordenades.
Classifica les funcions següents:
a) b) y = −0,25x c) d) y = 1,7x
Són lineals les funcions de a), b) i d). És afí la funció de l’apartat c).
A les funcions següents, assenyala quin és el valor del pendent i de l’ordenada a l’origen.
a) y = −3x + 6 b) y = 10x c) y = −2x − 5 d) y = −9x
a) Pendent: −3. Ordenada a l’origen: 6.
b) Pendent: 10. Ordenada a l’origen: 0.
c) Pendent: −2. Ordenada a l’origen: −5.
d) Pendent: −9. Ordenada a l’origen: 0.
042●
y x= +12
5y x= − 13
041●
040●
039●
SOLUCIONARI
r
us
Y
X
t
Y
X
A
−2−4 −1 2 4
7654321
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 379
380
Classifica les funcions en creixents i decreixents sense representar-les.
Com ho fas?
a) y = 12x − 3 c) y = 0,25x − 3 e)
b) d) y = −7x − 4 f) y = 0,7x + 0,65
Són creixents les funcions dels apartats a), b), c) i f), perquè tenen pendents positius.
Són decreixents les funcions dels apartats d) i e), perquè tenen pendents negatius.
Determina el signe del pendent i el de l’ordenada a l’origen d’aquestes funcions:
Recta r: m > 0 i n > 0 Recta t: m < 0 i n > 0
Recta s: m > 0 i n < 0 Recta u: m < 0 i n < 0
El signe del pendent el deduïm per la inclinació de la recta, i el de l’ordenadaa l’origen pel punt de tall amb l’eix Y.
Representa les funcions següents:
a) y = x + 2b) y = 2,5xc) y = −2x − 3
Dibuixa en uns eixos de coordenades:a) Una funció lineal de pendent negatiu.b) Una funció afí de pendent positiu i ordenada a l’origen negativa.c) Una funció afí de pendent negatiu i ordenada a l’origen positiva.
a) Recta r.b) Recta s.
c) Recta t.
046●●
045●
044●●
y x= +16
23
y x= −125
043●
Funcions de proporcionalitat
ru
s
Y
X
t
X
Y
a)
b)c)2
1
Y
X
tr
s
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 380
381
12
Calcula les expressions algebraiques de les funcions representades per aquestes rectes:
a) Passa per (0, −3) i (6, 0) → m = .
Com que passa per (0, −3) → −3 = 0 + n → n = −3.
L’equació de la recta és: .
b) Passa per (0, 0) i (1, 4) → m = 4.
Com que passa per (0, 0) → 0 = 0 + n → n = 0.
L’equació de la recta és: y = 4x.
c) Passa per (0, 2) i (2, 0) → m = −1.
Com que passa per (0, 2) → 2 = 0 + n → n = 2.
L’equació de la recta és: y = −x + 2.
d) Passa per (0, 8) i (−4, 0) → m = 2.
Com que passa per (0, 8) → 8 = 0 + n → n = 8.
L’equació de la recta és: y = 2x + 8.
Quina és la representació de ?
a) c)
b) d)
Com que la funció té pendent negatiu és decreixent i com que, a més, passa per (0, −1), la solució és la de l’apartat b).
y x= − −12
1048●
yx
= −2
3
1
2
047●
SOLUCIONARI
X
Y
d) c)
b)
a)1
1
X
Y
11
1
1
1
1
1
1
X
Y
X
Y
X
Y
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 381
382
Digues quins punts pertanyen a la funció y = 3x − 6:
A(1, 3) D(11, 27)B(−1, −9) E(−4, −6)C(1, −9) F(5, 9)
A(1, 3) ⎯⎯→ y = 3 ⋅ 1 − 6 = −3 � 3
B(−1, −9) → y = 3 ⋅ (−1) − 6 = −9
C(1, −9) ⎯⎯→ y = 3 − 6 = −3 � −9
D(11, 27) ⎯→ y = 3 ⋅ 11 − 6 = 33 − 6 = 27
E(−4, −6) ⎯→ y = 3 ⋅ (−4) − 6 = −18 � −6
F(5, 9) ⎯⎯⎯→ y = 3 ⋅ 5 − 6 = 15 − 6 = 9
Pertanyen a la funció els punts B, D i F.
Escriu quatre punts que pertanyin a cadascuna d’aquestes rectes:
a) y = 2x − 5b) y = −3x − 2
c)
d) y = 0,25x − 3
a) Per a x = 0 ⎯→ y = 2 ⋅ 0 − 5 = −5 → (0, −5)
Per a x = 1 ⎯→ y = 2 ⋅ 1 − 5 = −3 → (1, −3)
Per a x = −1 → y = 2 ⋅ (−1) − 5 = −7 → (−1, −7)
Per a x = 2 ⎯→ y = 2 ⋅ 2 − 5 = −1 → (2, −1)
b) Per a x = 0 ⎯→ y = −3 ⋅ 0 − 2 = −2 → (0, −2)
Per a x = 1 ⎯→ y = −3 ⋅ 1 − 2 = −5 → (1, −5)
Per a x = −1 → y = −3 ⋅ (−1) − 2 = 1 → (−1, 1)
Per a x = 2 ⎯→ y = −3 ⋅ 2 − 2 = −8 → (2, −8)
c) Per a x = 0 ⎯→ y = →
Per a x = 1 ⎯→ y = = −2 → (1, −2)
Per a x = −1 → y = = −1 → (−1, −1)
Per a x = 2 ⎯→ y = →
d) Per a x = 0 ⎯→ y = −3 → (0, −3)
Per a x = 1 ⎯→ y = 0,25 ⋅ 1 − 3 = −2,75 → (1; −2,75)
Per a x = −1 → y = 0,25 ⋅ (−1) − 3 = −3,25 → (−1; −3,25)
Per a x = 2 ⎯→ y = 0,25 ⋅ 2 − 3 = −2,5 → (2; −2,5)
25
2,−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟− ⋅ − = −
1
22
3
2
5
2
− ⋅ − −1
21
3
2( )
− ⋅ −1
21
3
2
03
2,−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟−
3
2
y x= − −12
32
050●●
049●●
Funcions de proporcionalitat
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 382
383
12
Determina si aquestes funcions són lineals o afins, i si són creixents o decreixents:
a) y + 6x = 4 d) x = 3yb) 5x + y = 0 e) y − 3x = 0c) x − 5y = 0 f) 2x − y = 5
a) y = −6x + 4 → Funció afí: m = −6, i decreixent.
b) y = −5x ⎯⎯→ Funció lineal: m = −5, i decreixent.
c) y = ⎯⎯⎯→ Funció lineal: m = , i creixent.
d) y = ⎯⎯⎯→ Funció lineal: m = , i creixent.
e) y = 3x ⎯⎯⎯→ Funció lineal: m = 3, i creixent.
f) y = 2x − 5 ⎯→ Funció afín: m = 2, i creixent.
Determina l’equació i el tipus de funció a partir de la descripció.
a) La gràfica passa per l’origen i pel punt de coordenades (3, −4).b) El pendent és m = −4 i passa per (1, 5).c) L’ordenada és n = 2 i passa per (2, 6).
a) −4 = m ⋅ 3 → m = −
Funció y = − x. És lineal.
b) y = mx + n → 5 = −4 ⋅ 1 + n → n = 9Funció y = −4x + 9. És afí.
c) 6 = m ⋅ 2 + 2 → 4 = 2m → m = 2Funció y = 2x + 2. És afí.
Donats els punts A(0, −3) i B(3, 5):a) Calcula el pendent i l’ordenada a l’origen de la recta que hi passa.b) Quina és l’equació d’aquesta recta?c) Representa gràficament la funció.
a) c)
Com que passa per (0, −3), l’ordenada a l’origen és −3.
b) y x= −8
33
m =+−
=5 3
3 0
8
3
053●
4
3
4
3
052●●
1
3
x
3
1
5
x
5
051●●
SOLUCIONARI
Y
X
B(3, 5)
A(0, −3)
y x= −8
33
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 383
384
Troba l’equació de la recta que passa per cada parell de punts i indica de quin tipus de funció es tracta.
a) (1, 5) i (−3, −15) d) (2, 4) i (4, 6) b) (0, 2) i (1, 4) e) (−1, 4) i (3, −12)c) (1, −1) i (−2, −6) f) (−1, 2) i (5, −2)
a) = 5 → y = 5x + n
Substituïm el punt A(1, 5):
5 = 5 ⋅ 1 + n → n = 0 → y = 5x → Funció lineal
b) = 2 → y = 2x + n
Substituïm el punt A(0, 2):
2 = 2 ⋅ 0 + n → n = 2 → y = 2x + 2 → Funció afí
c) → y = x + n
Substituïm el punt A(1, −1):
−1 = ⋅ 1 + n → n = − → y = x − → Funció afí
d) = 1 → y = x + n
Substituïm el punt A(2, 4):
4 = 2 + n → n = 2 → y = x + 2 → Funció afí
e) = −4 → y = −4x + n
Substituïm el punt A(−1, 4):
4 = −4 ⋅ (−1) + n → 4 = 4 + n → n = 0 → y = −4x → Funció lineal
f) → y = − x + n
Substituïm el punt A(−1, 2):
2 = − ⋅ (−1) + n → n = → y = − x + → Funció afí
Determina l’equació de la recta el pendent de la qual és m = 1 i passa per l’origen.
L’equació és y = x.
Troba l’equació d’una recta:a) Que tingui pendent m = −3 i l’ordenada a l’origen sigui −1,5.b) Que passi per A(2, 4) i tingui el mateix pendent que y = −3x − 5.c) Que tingui el mateix pendent que 3x + 2y = 6 i passi per B(−2, 3).
056●●
055●
4
3
2
3
4
3
2
3
2
3m =
− −− −
=−= −
2 2
5 1
4
6
2
3( )
m =− −− −
=−12 4
3 1
16
4( )
m =−−
6 4
4 2
8
3
5
3
8
3
5
3
5
3m =
− − −− −
=−−=
6 1
2 1
5
3
5
3
( )
m =−−
4 2
1 0
m =− −− −
=−−
15 5
3 1
20
4
054●
Funcions de proporcionalitat
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 384
385
12
a) y = −3x − 1,5
b) y = −3x + n → 4 = −3 ⋅ 2 + n → n = 10 → y = −3x + 10
c) 2y = 6 − 3x → y = 3 − x → m = −
y = − x + n → 3 = − ⋅ (−2) + n → 3 = 3 + n → n = 0 → y = − x
Donada la recta de l’equació 2(x − 5) = 5(y − 3):a) Calcula su pendiente. b) Determina si pasa por el punto A(2, 7).
a) b) 2 ⋅ (2 − 5) = −6 � 5 ⋅ (7 − 3) = 20. No passa per A.
Troba l’equació de la recta que passa pel punt A(−1, 5) l’ordenada a l’origen de la qual és −4.
Passa pels punts (−1, 5) i (0, −4) →
→ . L’equació de la recta és: y = −9x − 4.
Calcula el pendent de la recta que passa per l’origen i pel punt B(1, 5).
Passa pels punts (1, 5) i (0, 0) → .
Escriu les equacions dels eixos de coordenades.
L’equació de l’eix d’abscisses és y = 0 i la de l’eix d’ordenades és x = 0.
061
060●●
m =−−
=5 0
1 05
059●
m =− −
+= −
4 5
0 19
058●
m = =2
50 4,
057●●
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM COMPROVEM SI TRES PUNTS ESTAN ALINEATS?
Comprova si els punts A(−1, 2), B(1, 4) i C(3, 6) estan alineats.
Tres punts estan alineats si estan a la mateixa recta.
PRIMER. Trobem la recta que passa per dos punts.
Triem dos punts: A(−1, 2) i B(1, 4).
y = 1 ⋅ x + n 2 = −1 + n → n = 3
La recta que passa per A i B és y = x + 3.
SEGON. Comprovem si el tercer punt pertany a la recta.
y = x + 3 6 = 3 + 3
Veiem que C pertany a la recta que passa per A i B.
Per tant, els tres punts estan alineats.
C(3, 6)⎯⎯⎯→
A(−1, 2)⎯⎯⎯→
mb a
b a=
−−
=−
− −=2 2
1 1
4 2
1 11
( )
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 385
386
Esbrina si els punts , i estan alineats.
La recta que passa per A i B és: , I com que passa per A:
.
L’equació de la recta és: . Mirem si C pertany a la recta:
. Per tant, els tres punts estan alineats.
Donats els punts A(2,−1), i C(6, k), calcula k perquè estiguin alineats.
La recta que passa per A i B és: . I com que passa per A:
. L’equació de la recta és: ,
i perquè passi per C → .
Troba la recta que passa per A(2, 3) i B(1, −3). Troba el valor de p perquèel punt C(p, −5) pertanyi a la recta.
m = = 6 → y = 6x + n
Substituïm el punt A(2, 3): 3 = 6 ⋅ 2 + n → n = 3 − 12 = −9 → y = 6x − 9.
Substituïm el punt C(p, −5): −5 = 6p − 9 → 4 = 6p → p = .
Els punts A(2, 3), B(3, 4) i C (5, 7), pertanyen a la mateixa recta? Determina-hosense representar-los. Explica com ho fas.
Agafem dos dels punts, A i B, i trobem l’equació de la recta que els uneix:
m = = 1 → y = x + n → 3 = 2 + n → n = 1 → y = x + 1
Després comprovem si el punt C(5, 7) pertany o no a la recta:
y = 5 + 1 = 6 � 7 → Els tres punts no pertanyen a la mateixa recta.
Determina, sense representar-les, si els parells de rectes següents són secantso paral·leles:a) y = −4x + 2 y = 4x + 1 c) y = 2x + 3 y = −2x − 11b) y = −3x y = −3x + 6 d) y = 1,5x y = −1,5x
Comprovem si les dues rectes tenen el mateix pendent o no:
a) m = −4, m' = 4 → Són secants.b) m = −3, m' = −3 → Són paral·leles.c) m = 2, m' = −2 → Són secants.d) m = 1,5; m' = −1,5 → Són secants.
066●
4 3
3 2
−−
065●●
2
3
− −−
3 3
1 2
064●●
k = ⋅ − =1
36
5
3
1
3
y x= −1
3
5
3− = ⋅ + = −1
1
32
5
3n n→
m =+
− −=
2
31
3 2
1
3
B − −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟3
23
,063●●
23
12
2
34
3
4= ⋅ −
y x= −2
3
3
4
− = + = −1
12
2
3
3
4n n→
m =− +
− −
=
5
4
1
12
3
41
2
3
C 4,2312
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟B − −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
34
54
,A 1, −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
112
062●●
Funcions de proporcionalitat
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 386
Troba, de forma algebraica i gràfica, el punt de tall de cada parell de rectes.a) y = x + 2; y = −x + 1b) y = −3x; y = 3x + 6c) y = 2x; y = −2x + 4d) y = 3x; y = 2x − 5
a) x + 2 = −x + 1 → 2x = −1 →
→ x = − → y = − + 2 =
b) −3x = 3x + 6 → → −6x = 6 → x = −1
y = −3 ⋅ (−1) = 3
P(−1, 3)
c) 2x = −2x + 4 → → 4x = 4 → x = 1
y = 2 ⋅ 1 = 2
P(1, 2)
d) 3x = 2x − 5 → x = −5
y = 3 ⋅ (−5) = −15
P(−5, −15)
Escriu una equació de tres rectes paral·leles i tres de secants a les rectes següents.a) y = 9x − 6 c) y = −11x + 13b) y = −7x d) y = x
Les rectes paral·leles tindran el mateix pendent (m) i diferent ordenada a l’origen (n). Les rectes secants tindran pendent diferent.
a) Rectes paral·leles: y = 9x y = 9x − 1 y = 9x + 3Rectes secants: y = x y = x + 5 y = −x + 1
b) Rectes paral·leles: y = −7x + 1 y = −7x − 1 y = −7x + 3Rectes secants: y = x y = 2x − 3 y = 7x
c) Rectes paral·leles: y = −11x y = −11x + 1 y = −11x − 1 Rectes secants: y = x y = x − 1 y = 3x + 5
d) Rectes paral·leles: y = x + 3 y = x − 4 y = x + 1 Rectes secants: y = 3x + 2 y = −2x + 5 y = 8x − 3
068●●
P −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
2
3
2,
3
2
1
2
1
2
067●
387
12SOLUCIONARI
X
X
X
X
y = −x + 1
y = x + 2
y = 3x + 6 y = −3x
y = −2x + 4
y = 3x−10
105
y = 2x − 5
y = 2x
Y
Y
Y
Y
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 387
388
Determina una recta que sigui paral·lela a la recta de la figura i passi pel punt A.
El pendent és: . Com que passa per A(3, 1):
L’equació de la recta és: .
Donada la recta r : 2x − 3y = 12, calcula.a) La recta s, paral·lela a r, i que passa per B(−3, 2).b) La recta t, que tingui la mateixa ordenada a l’origen que r i passi
pel punt A(2, −7).c) La recta z, paral·lela a t, que passa per l’origen de coordenades.
a) Com que és paral·lela a r, és de la forma 2x − 3y = c, i com que passaper (−3, 2) → −6 − 6 = c → c = −12. La recta és: 2x − 3y = −12.
b) L’ordenada a l’origen és −4, i com que passa per (0, −4) i (2, 7):
. L’equació de la recta és: y = 6,5x − 4.
c) Com que és paral·lela a t i passa per l’origen de cordenades, y = 6,5x.
Fes una taula de valors per a la funció i estudia’n les característiques.
Representa-la en uns eixos de coordenades.
Funció discontínua i decreixent.
yx
= 4071●●
m =+−
=7 4
2 06 5,
070●●
y x= −1
2
1
2
11
23
1
20 5= ⋅ + = − = −n n→ ,
m =−+
= =2 0
0 4
1
20 5,
069●●
Funcions de proporcionalitat
Y
A
3
1
−1−3
−2
X31
x … −4 −2 −1 −1/2 −1/4 … 1/4 1/2 1 2 4 8 …
y … −1 −2 −4 −8 −16 … 16 8 4 2 1 172 …
Y
X−2−4−6 2 4 6
6
4
2
−2
−4
−6
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 388
x −3 −1 4 7 11
y −1/3 −1 1/4 1/7 1/11
389
12
La taula següent correspon a una funció de proporcionalitat inversa:
a) Completa la taula.b) Escriu l’expressió algebraica de f (x).c) Representa la funció.
a) c)
b)
Representa les funcions y = 2x i i calcula’n gràficament i analíticamentels punts de tall.
Les gràfiques són les següents:
No es tallen en cap punt, com es veu a la representació gràfica. Si resolem el sistema:
És incompatible.
La Pilar vol comprar patates fregides a granel per al seu aniversari. Una bossa de 200 grams li costa 2 €.a) Estudia i representa gràficament la funció que relaciona els grams comprats
i el preu.b) Quant costarà comprar-ne mig quilo?
a) y = ⋅ x =
en què x = pes (g)y = preu (€)
b) y = = 5 €500
100
x
100
2
200
074●
yx
yx
yx
x x
=
=−
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
=
−=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭/ /
2
2
2
2 2→
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
− =→ →2 2 sistema incompatible
yx
= 2073●●
yx
=1
072●
SOLUCIONARI
Y
X−3 1 2 3 4
4321
−1−2−3−4
Y
X−3 1 2 3 4
4321
−1−2−3−4
100
321
300 500
Y (€)
X (g)
yx
=100
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 389
Habitants (x) 100 200 400 1.000 2.000 5.000 10.000 …
Aigua: m3 (y) 200 100 50 20 10 4 2 …
390
Una motocicleta es desplaça a una velocitat constant de 35 km/h.
a) Escriu l’equació de la funció que relaciona el temps amb l’espai recorregut.b) De quin tipus és? Fes-ne la gràfica.c) Quant temps tarda a recórrer 245 km?
a) e = 35t, en què t = temps (h)e = espai (km)
b) És una funció lineal.
c) Per a e = 245 → 245 = 35t → t = 7 h
Un poble té 20.000 m3 d’aigua per al consum diari.
a) Expressa per mitjà d’una taula la quantitat d’aigua diària que pot gastar cadahabitant si el nombre d’habitants és de 100, 200…
b) Escriu l’equació de la funció que relaciona el nombre d’habitants del pobleamb l’aigua que pot gastar al dia.
c) Quin tipus de funció és?d) Representa-la gràficament.
a)
b)
c)
La taula següent relaciona la pressió que exerceix l’aigua al mar i la profunditat a què ens trobem.Estudia la funció que relaciona totes dues magnituds i representa-la. Quina pressió exerciràl’aigua a la fossa de les Mariannes, que té una profunditatd’11.033 m?
077●●
yx
=2 000.
076●●
075●●
Funcions de proporcionalitat
1 2 3 4 5
e = 35t
175
105
35
t (h)
e (km)
Profunditat (m)
Pressió (atm)
1
0,096
2
0,192
3
0,288
10
0,96
50.000 150.0000
100
75
50
25
0
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 390
391
12
y = 0,096x, en què x = profunditat (m)y = pressió (atm)
Per a x = 11.033 m → y = 0,096 ⋅ 11.033 = 1.059,17 atm
A nivell del mar, l’aigua bull a 100 °C, però cada increment de 100 m a l’altitudsuposa una dècima de grau menys per arribar al punt d’ebullició.
a) Calcula el punt d’ebullició al cim de l’Aneto (3.404) i de l’Everest (8.844).b) Indica l’expressió algebraica de la funció Temperatura d’ebullició – Altitud.
a) A l’Aneto bull a: 100 − (3.404 : 100) ⋅ 0,1 = 95,596 °C. A l’Everest bull a: 100 − (8.850 : 100) ⋅ 0,1 = 91,596 °C.
b) y = 100 −
Un corredor surt del quilòmetre 2 d’una marató amb una velocitat de 9 km/h.
a) Completa la taula.
b) Escriu l’expressió algebraica de la funció Distància – Temps i representa-lagràficament.
a)
b) y = 9x + 2
079●●
x
1 000.
078●●
SOLUCIONARI
1
0,096
Profunditat (m)P
ress
ió (
atm
)
y = 0,096x
Temps (hores)
Distància (al km 0)
0
2
1
11
2
20
3
29
4
38
…
…
Temps (h)
Dis
tànc
ia (
km)
Y
X
y = 9x + 2
1 2 3 4 5 6
(2, 20)
(1, 11)
30252015105
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 391
392
La gràfica següent reflecteix la temperatura atmosfèrica en funció de l’altitud (en km).
a) Escriu l’expressió algebraica de la funció Altitud – Temperatura.
b) Quina n’és l’ordenada a l’origen? Quin significat té?c) Quina temperatura hi haurà a 9 km d’altitud?
a) Com que passa per (0, 12) y (2, −2) → m = −7. I com que passa per (0, 12) → 12 = 0 + n →
→ n = 12. L’equació de la recta és: y = −7x + 12.
b) L’ordenada a l’origen és 12, i això vol dir que a nivell del mar la temperatura de l’aire és de 12 °C.
c) Hi haurà −51 °C.
El cost fix a la factura mensual de l’aigua és de 10 € al mes. S’hi ha d’afegir el preu per metre cúbic, que depèn del consum.
– Consums inferiors a 80 m3: 0,90 €.– Consums entre 80 m3 i 120 m3: 1,50 €.– Consums superiors a 120 m3: 2 €.
Representa sobre els mateixos eixos les funcions Consum – Preu per a cadascundels tres trams de consum.
Per a consums de x < 80 m3: y = 10 + 0,90x.
Per a x = 80 → y = 10 + 72 = 82 €.
Per a consums de 80 m3 < x < 120 m3: y = 82 + (x − 80) ⋅ 1,50.
Per a x = 120 m3 →→ y = 82 + 40 ⋅ 1,50 = 142 €.
Per a consums de x > 120 m3: y = 142 + (x − 120) ⋅ 2.
L’Elena ha fet la gràfica del preu final d’un article en funció del preu inicial,després d’aplicar-li un 25 % de descompte.a) Quina de les gràfiques següents és la més adequada per representar aquesta
funció? Per què?b) Calcula l’equació de les rectes.
082●●●
081●●●
080●
Funcions de proporcionalitat
Y
X
Tem
pera
tura
(°C
)
Altitud (km)
10
6
2
1 3 5−2
−6
20 80 120
160
8040
Consum (m3)
Pre
u (€
)
Y
X6 842
2
4
6
1
Y
X6 842
2
4
6
2
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 392
393
12
a) La gràfica més adequada és la , ja que el preu final és més baix quel’original. Allò que valia 4, ara en val 3. El punt (4, 3) no és a la gràfica .
b) : y = 0,75x.
: y = 1,25x.
Hem trobat l’afirmació següent:
Investiga si és certa i fes-la servir per trobar la recta que passa pels punts (3, 0) i (0, 5).
Com que passa per (a, 0) i (0, b),
el pendent és , i, per tant,
l’equació és: .
Com que passa per (0, b), tenim que n = b, i l’equació és:
Per tant, l’equació és correcta.
L’equació de la recta que passa per (3, 0) i (0, 5) és: .
Completa el raonament següent:r i s són dues rectes perpendiculars.
El pendent de r és .
I el pendent de s és , perquè
com que s és decreixent, el seu pendent serà …
El triangle ABC és … perquè A$ és …
Com que AD és una … del triangle ABC, els triangles ABD i ADC són … i els seus costats són …
Així doncs, i m1 ⋅ m2 = …
Quina relació hi ha entre els pendents de dues rectes perpendiculars?
Siguin r i s dues rectes perpendiculars. El pendent de r és .
El pendent de s és , perquè com que s és decreixent,
el pendent serà negatiu. El triangle ABC és rectangle perquè A$ és un angle
recte. Com que AD és una altura del triangle ABC, els triangles ABC i ABCsón semblants i els seus costats són proporcionals.
Així, i . Per tant, .mm
12
1=−
m mAD
BD
AD
DC1 2 1⋅ = ⋅
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
AD
BD
DC
AD=
− =AD
DCm2
AD
BDm= 1
ADBD
DCAD
=
− =ADDC
m 2
ADBD
m= 1
084●●●
x y
3 51+ =
yb
ax b
y
b ax
x
a
y
b=−
+ =−
+ + =→ →11 1
yb
ax n=
−+
mb
a=−
083●●●
2
1
2
1
SOLUCIONARI
Si (a, 0) i (b, 0) són els punts de tall d’una recta amb eixos, en què a =/ 0 i b =/ 0, llavorsl’equació d’aquesta recta és:+ = 1
yb
xa
Y
X
A
s
B CD
r
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 393
394
A LA VIDA QUOTIDIANA
Per fer un experiment de química amb els seus alumnes, el professor Potassi ha de comprar mercuri. Per això va a dos laboratoris de productes químics a informar-se dels preus, i li donen la informació següent.
El professor Potassi, quan arriba a classe, comenta amb els alumnes aquesta informació i els pregunta com poden decidir quina de les dues ofertes serà la més econòmica.
Al final opten per dibuixar sobre els mateixos eixos les gràfiques que representen els laboratoris i fan un estudi dels costos fins a un màxim d’1 quilo de mercuri.
Quins resultats creus que han obtingut? A partir de quina quantitat interessa un laboratori o un altre?
Els interessa comprar al Laboratori Sulfurós per a quantitats de centenes parells fins a 600 g, i al Laboratori Liti per a la resta de quantitats.
085●●●
Funcions de proporcionalitat
Cada gram de mercuri val 4 cèntims. El mercuri va envasat
en uns tubs d’assaig amb una capacitatmàxima de 200 g. El preu de cada
tub d’assaig és de 5 €.
Cada gram de mercuri val 5 cèntims. El mercuri va envasat
en uns tubs d’assaig amb una capacitatmàxima de 100 g. El preu de cada tub
d’assaig és de 2 €.
SulfurósLiti
Capacitat (g)
70
60
50
40
30
20
10
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000
Pre
u (€
)
LABORATORI SULFURÓS LABORATORI LITI
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 394
Aquestes vacances, la Desi i la seva família hanviatjat a un poble de la muntanya. En el viatged’anada van travessar carreteres molt estretes i amb molt pendent. En una d’elles el germà de la Desi va veure aquest senyal i va preguntarquè significava.
La Desi li va explicar que havia estudiat a matemàtiques que el pendent d’una rectamarcava el grau d’inclinació que tenia. Llavors va deduir que 12 % devia significar que, per cada 100 metres que s’avança en horitzontal,es pugen 12 metres en vertical.
Com que no estava segura del que havia explicat al seu germà, quan va arribar a casa va consultar el codi de circulació. Hi va veure que, en trànsit, el pendent té un significat diferent.
Un pendent del 12 % a la carretera significa que per cada 100 metres querecorres a la carretera es pugen 12 metres en vertical.
Quin dels dos pendents, a la carretera o en matemàtiques, indica més inclinació?
Quina inclinació hauria d’indicar un senyal de trànsit que marqués un pendentmatemàtic del 12 %?
El pendent de carretera indica més pendent, ja que en fer-ho sobre 100 m recorreguts, que és la hipotenusa del triangle, la base o el catet és menor que 100 m. Per això, a igual pendent s’indica el mateix desnivell i, en horitzontal, es recorren menys metres.
Un pendent de trànsit del 12 % equival a un triangle d’hipotenusa 100 m i catet altura 12 m.
x =
El pendent en matemàtiques és:
.m = =12
99 280 121 12 1
,, , %→
9.856 m= 99 28,100 122 2− =
086●●●
100 m
x
12 m
395
12SOLUCIONARI
RECORDEU
CARRETERAPendent del 12 %
G
F
100 mG
F12 m
MATEMÀTIQUESPendent del 12 %
G F100 m
831106 _ 0366-0395.qxd 11/9/07 13:41 Página 395
396
Estadística13
POBLACIÓ I MOSTRA
QUALITATIVES
ABSOLUTES I RELATIVES ACUMULADES
CONTÍNUES
FREQÜÈNCIES
QUANTITATIVES
DISCRETES
VARIABLES ESTADÍSTIQUES
MITJANA MEDIANA MODA
MESURES DE CENTRALITZACIÓ
RECORREGUTI DESVIACIÓ MITJANA
VARIÀNCIAI DESVIACIÓ TÍPICA
COEFICIENTDE VARIACIÓ
MESURES DE DISPERSIÓ
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 396
Déu salvi la reina!
Sidney Herbert, que ocupava el càrrec de secretari d’Estat per a la Guerra, havia pres la decisió més arriscada de la seva carrera política en encarregar a la seva amiga Florence Nightingale l’organització del cos d’infermeres de campanya, amb l’objectiu de millorar els hospitals en la guerra de Crimea. Era l’any 1854 i el seu futur polític estava en mans d’aquella dama.
Quan es preparava per anar a la zona de conflicte, el país sencer es va estremir per l’aniquilació de la Brigada Lleugera, després d’una càrrega suïcida contra les bateries russes. L’acció es va difondre no com un desastre, sinó com la prova del valor i l’honor dels anglesos.
Nightingale va començar a aplicar mesures higièniques,i va anar recollint dades i organitzant-les per mitjà de gràfics per facilitar-ne la lectura.
L’informe, que es va enviar al secretari de la Guerra, sol·licitava ajuda per posar fi a les traves que trobava entre els comandaments de l’exèrcit i acabava amb una nota manuscrita que deia:
Representa les dades de la nota amb un gràfic adequat.
“Al gener, de les 3.168 baixes, 2.761 es
van deure a malalties contagioses. 83 van
ser per ferides de guerra i 324, per altres
causes...
Senyor, no permeteu que l’honor d’Anglaterra
sigui enterrat en una sala d’hospital.”
Déu salvi la reina!
Per representar les dades podríem fer servir un diagrama de barres o de sectors, tot i que éspreferible el de sectors:
Contagi
Contagi
Combat
Combat
Altres
Altres causes
2.400
1.800
1.200
600
DIAGRAMA DE BARRES DIAGRAMA DE SECTORS
Causes
Bai
xes
(per
sone
s)
F
F
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 397
398
EXERCICIS
Volem fer un estudi estadístic del número que calcen els alumnes de 3r d’ESOd’un institut.
a) Quina seria la població?
b) Tria una mostra. Quina grandària té?
a) La població és el conjunt d’alumnes de 3r d’ESO de l’institut.
b) Una mostra és, per exemple, els alumnes d’una de les classes. La mida de la mostra és el nombre d’alumnes de la classe.
Assenyala en quin cas és més convenient estudiar la població o una mostra.
a) La longitud dels cargols que produeix una màquina ininterrompudament.
b) L’alçada de tots els turistes en un any.
c) El pes d’un grup de cinc amics.
a) Una mostra, no podem mesurar tots els cargols.
b) Una mostra, perquè hi ha molts turistes.
c) La població, perquè és un grup petit.
Aquest és el titular d’un diari:
«EL PES MITJÀ DELS CATALANS ÉS 69 KG»
a) Com creus que s’arriba a aquesta conclusió? S’ha estudiat tota la població?b) Quines característiques ha de tenir la mostra? Tots els individus
de la mostra podrien tenir la mateixa edat? Si tots fossin dones, la mostraseria correcta?
a) S’ha agafat una mostra representativa dels diferents grups en què es pot dividir la població, se’ls ha enquestat i s’ha calculat la mitjana. Fóra molt car i pràcticament impossible preguntar tots els espanyols.
b) La mostra ha de ser representativa de les diverses edats i sexes, que han d’estar en la mateixa proporció en què apareixen en la població.
Pensa i escriu un exemple de població per fer un estudi estadístic. Quina mostra podríem agafar? Indica quins són els individus i la grandària de la mostra.
Població: tots els joves d’una ciutat determinada inscrits en equips de futbol.
Mostra: tots els joves d’un institut que juguen a futbol en algun equip.
Individus: cada un dels joves de la mostra anterior.
Mida de la mostra: nombre de joves de la mostra anterior.
004
003
002
001
Estadística
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 398
399
13
Determina si les variables estadístiques són qualitatives o quantitatives.
a) Any de naixement.b) Color dels cabells.c) Professió d’una persona.d) Perímetre toràcic.e) Estat civil.f) Perímetre de la cintura.g) Nombre de vegades que s’ha viatjat en avió.
Són qualitatives b), c) i e).
Són quantitatives a), d) f) i g).
Classifica aquestes variables en qualitatives o quantitatives i, en aquest cas,digues si són discretes o contínues.
a) Província de residència.b) Nombre de veïns d’un edifici.c) Professió del pare.d) Consum de gasolina per cada 100 km.
Són quantitatives b) i d).
Són qualitatives a) i c).
És discreta b), i és contínua d).
Si una variable estadística quantitativa pot prendre infinits valors, és discreta o contínua?
En principi, no ha de ser necessàriament discreta ni contínua. En canvi, sí que podem afirmar que si una variable és contínua pot prendre infinitsvalors.
Si la variable és discreta, el nombre de valors que pot agafar en cada tram és finit, però la variable pot agafar infinits valors. Per exemple, si preguntemquin és el nombre natural preferit, en principi hi ha infinites respostes, que són tots els nombres naturals, tot i que la variable és discreta.
Les alçades (en cm) de 28 joves són:
155 178 170 165 173 168 160 166 176 169 158 170 179 161 164 156 170 171 167 151 163 158 164 174 176 164 154 157
Forma una taula amb intervals, fes el recompte de dades i troba les marques de classe de cada interval.
008
007
006
005
SOLUCIONARI
Interval[150, 160)[160, 170)[170, 180)
Marca de classe155165175
Recompte7
1110
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 399
400
El color dels cabells (M = morè, R = ros, P = pèl-roig) de 30 persones és:
M R P M M M M R R P P M M M MM M P R R R P M M M M R M M M
Fes una taula de freqüències.
Per què els intervals de les taules són tancats per un costat i oberts per l’altre?
Si fossin oberts per tots dos costats, hi hauria un punt que no estaria en capinterval, i si els dos fossin tancats hi hauria un punt que estaria en dosintervals. Aquestes dues situacions no són correctes.
El nombre d’hores diàries que treballenamb l’ordinador 30 persones és:
a) De quin tipus és la variable estadística?b) Fes la taula de freqüències.
a) La variable és quantitativa discreta.
b)
Els resultats d’un test d’intel·ligència fet a 20 persones ha estat:
100 80 92 101 65 72 121 68 75 93101 100 102 97 89 73 121 114 113 94
Fes la taula de freqüències prenent intervals d’amplitud 10.
012
3 4 0 5 53 4 5 0 22 5 3 2 01 2 2 1 20 3 1 2 11 2 1 4 3
011
010
009
Estadística
Color fi hi Fi Hi
Morè 18 0,6 18 0,6Ros 7 0,23 25 0,83Pèl-roig 5 0,17Total 30 1
30 1
Hores diàries fi hi
0 4 0,131 6 0,22 8 0,273 5 0,174 3 0,15 4 0,13
Total 30 1
Edat fi hi
[65, 75) 4 0,2[75, 85) 2 0,1[85, 95) 4 0,2[95, 105) 6 0,3[105, 115) 2 0,1[115, 125) 2 0,1
Total 20 1
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 400
401
13
Què passa si la suma de les fi no és igual que el nombre total de dades?
Si passa això és perquè no hem comptabilitzat alguna de les dades o ens hem equivocat en el càlcul.
Els pesos (en kg) de 24 persones són:
68,5 34,2 47,5 39,2 47,3 79,246,5 58,3 62,5 58,7 80 63,458,6 50,2 60,5 70,8 30,5 42,759,4 39,3 48,6 56,8 72 60
a) Agrupa’ls en intervals d’amplitud 20 i fes la taula de freqüències.b) Quantes persones pesen menys de 50 kg?c) Calcula el tant per cent sobre el total que representa l’interval de més
freqüència absoluta.
a)
b) Si ens fixem en la columna de les freqüències absolutes acumulades, Fi,veiem que 9 persones pesen menys de 50 kg.
c) L’interval amb més freqüència és fi = 6 i hi = 0,25 → 25 %.
El nombre d’hores diàries d’estudi de 30 alumnes és:
3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 20 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3
Fes la taula de freqüències. Què signifiquen les freqüències acumulades?
Les freqüències acumulades representen el nombre d’alumnes o la proporció d’alumnes que estudien com a màxim un determinat nombre d’hores.
015
014
013
SOLUCIONARI
Interval fi
[30, 40)[40, 50)[50, 60)[60, 70)[70, 80)[80, 90)
456531
24
Fi
49
15202324
hi
4/24 = 0,175/24 = 0,216/24 = 0,255/24 = 0,213/24 = 0,121/24 = 0,04
Hi
0,170,380,630,840,96
1
Hores diàries fi hi
0 3 0,11 8 0,272 7 0,233 6 0,24 3 0,15 3 0,1
Total 30 1
Fi
31118242730
Hi
0,10,370,60,80,9
1
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 401
402
Explica com completaries una taula de freqüències en què coneixes només les freqüències absolutes acumulades.
La primera freqüència absoluta acumulada coincideix amb la primerafreqüència absoluta. La resta de freqüències absolutes es calculen per ladiferència de freqüències absolutes acumulades consecutives.
f1 = F1 fi = Fi − Fi −1
La mida mostral és l’última freqüència absoluta acumulada i, a partir d’aquí,obtenim les freqüències relatives.
En un edifici de 16 veïns, el nombre de televisors per habitatge és:0 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 2 3 0 3 2
a) Fes la taula de freqüències. Quin tipus de variable és? Raona la resposta.b) Fes el diagrama de barres i el polígon de freqüències de les dades.c) Fes el mateix amb les freqüències acumulades.
a) És una variable quantitativa discreta.
b) c)
En una aparcament públic hi ha 25 cotxes vermells, 19 de grocs, 39 deplatejats, 50 de blancs, 27 de verds, 30 de blaus i 10 de negres.
a) Fes la taula de freqüències.b) Pots trobar les freqüències acumulades?c) Fes el diagrama de barres.
a)
018
017
016
Estadística
Televisors fi hi
0 2 0,1251 6 0,3752 5 0,31253 3 0,1875
Total 16 1
Fi
28
1316
Hi
0,1250,50,8125
1
fi
25193950273010
Color del cotxeVermellGrocPlatejatBlancVerdBlauNegre
hi
25/200 = 0,12519/200 = 0,09539/200 = 0,19550/200 = 0,2527/200 = 0,13530/200 = 0,1510/200 = 0,05
0 1 2 3
6
5
4
3
2
1
FREQÜÈNCIES ABSOLUTES
Televisors
Veïn
s
0 1 2 3
161412108642
FREQÜÈNCIES ACUMULADES
Televisors
Veïn
s
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 402
b) No es poden trobar les freqüències acumulades, perquè és una variablequalitativa.
c)
Fes els gràfics de l’exercici anterior amb les freqüències relatives. Què hi observes?
És la mateixa gràfica, però ha canviat l’escala de freqüències.
La longitud (en cm) de 18 grills és:
1,8 1,9 2 2,4 2,6 2,81,7 1,9 2,3 1,6 2,1 32,3 2,7 2,9 1,5 1,8 2,6
a) Fes la taula de freqüències prenent intervals.b) Representa les dades mitjançant un histograma i un polígon
de freqüències.c) Fes un diagrama de sectors. Quin gràfic et sembla més adequat?
a) c)
b)
020
019
403
13SOLUCIONARI
V G P B Verd Blau N
50
4030
2010
fi
V G P B Verd Blau N
0,25
0,200,15
0,100,5
hi
Interval fi
[1,5; 2)[2; 2,5)[2,5; 3)
756
1,5 2 2,5 3
7654321
fi
[2,5; 3) [1,5; 2)
[2; 2,5)
És preferible l’histograma, ja que les dades corresponen a una variable quantitativa
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 403
404
Representa aquestes dades: en una classe de 50 alumnes, 12 han suspès,30 han tret un suficient, un 12% ha obtingut un notable i la resta, un excel·lent.
Fes la taula de freqüències que correspon a aquest gràfic:
Les altures (en cm) de 24 alumnes de 3r d’ESO són:
158 160 168 156 166 158 160 168168 158 156 164 162 166 164 168162 158 156 166 160 168 160 160
a) Agrupa-les en intervals.b) Calcula’n la mitjana, la mediana i la moda.
a) b) x� = = 162,7
Me = 162,5
Mo = 1652,5
Interpreta les mesures de centralització del nombre de suspensos de 15 alumnes.
4 1 0 4 1 4 1 2 3 0 2 4 0 3 1
024
3 905
24
.
023
022
021
Estadística
Notes fi
SuspensSuficientNotableExcel·lent
123062
50
Suspens
Excel·lent
Notable
Suficient
5040302010
10 20 30 40 50 60
Y
X
Variable fi hi
[0, 10) 15 0,075[10, 20) 30 0,15[20, 30) 45 0,225[30, 40) 50 0,25[40, 50) 35 0,175[50, 60) 25 0,125
Total 200 1
Interval fi
[155, 160)[160, 165)[165, 170)
27292824
xi
157,5162,5167,5
fi ⋅ xi
1.102,51.462,51.340,53.905,5
Suspensos fi hi
0 3 0,21 4 0,272 2 0,133 2 0,134 4 0,27
15 1
Fi
379
1115
Hi
0,20,470,600,73
1
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 404
405
13
x� =
Cada alumne té 2 suspensos de mitjana.
Hi ha dues modes: Mo = 1 i Mo = 4.
Com que Me = 2, la meitat dels alumnes ha suspès com a màxim2 assignatures.
Afegeix un valor que no faci variar la mediana.
18 8 7 9 12 15 21 12
La mitjana actual és 12 i, independentment del valor que afegim, seguirà sent 12, ja que ara són nombres parells i, si afegim un nombre més seranimparells, algun dels dos valors 12 seguirà sent el valor central.
Calcula els quartils d’aquest conjunt de dades que expressen els dies de baixalaboral de 10 treballadors.
0 2 3 4 2 1 1 0 0 3
10 ⋅ 0,25 = 2,5 → Q1 = 0
10 ⋅ 0,5 = 5 → Q2 = Me = = 1,5
10 ⋅ 0,75 = 7,5 → Q3 = 3
Interpreta els quartils que has calculat a l’exercici anterior.
Els treballadors que no han estat de baixa són, almenys, el 25 %; la meitat dels treballadors ha estat com a màxim 1 dia de baixa, i el 75 % dels treballadors ha estat com a màxim 3 dies de baixa.
S’han convocat unes oposicions en què hi ha 50 places i s’hi han presentat200 persones. Els resultats són els següents:
Amb quina nota s’aconsegueix una plaça?
Les 50 places es corresponen amb el quartil tercer, ja que 150 persones no les aconsegueixen: el 75 %. En aquest cas es correspon amb una nota de 7.
028
027
1 2
2
+
026
025
0 3 1 4 2 2 3 2 4 4
15
30
152
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =
SOLUCIONARI
Baixes fi Fi
0 3 31 2 52 2 73 2 94 1 10
Total 10
NotesOpositors fi
36
425
534
642
750
824
913
103
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 405
406
Calcula el centil 10, el primer quartil i el centil 90 de la taula següent.
a)
b)
c)
Determina gràficament els centils i el quartil anterior i interpreta’ls.
Hi ha un 10 % de dades que són menors o iguals a 20; també que un 25 %són menors o iguals que 20 i que un 90 % de les dades són menors o iguals a 60.
Es va dur a terme una prova de matemàtiques a dos grups de 3r d’ESO i es van obtenir els resultats següents:
Si es considera apte a partir de 5, quants estan suspesos? A quin centilcorrespon? Si es vol considerar aptes un mínim del 80 % dels alumnes, quina serà la nota de tall?
Nre. suspesos = 7 + 8 + 9 + 10 = 34
Com que són 50 alumnes → 68 % → C68
Les longituds (en mm) d’una mostra de cargols són les següents:
Calcula’n les mesures de dispersió fent servir les marques de classe.
032
5080
10040 680⋅ = =→ C
xi
fi
17
28
39
410
54
64
72
83
91
102
031
Dades (xi)
Freq
uènc
ies
acum
ulad
es (
F i)
3530252015105
28,8
10 20 30 40 50 60
F
8 F
3,2 F
030
3290
1006090⋅ = =28,8 → C
321
48 201⋅ = =→ Q
3210
1002010⋅ = =3,2 → C
xi
fi
102
207
305
409
505
604
029
Estadística
Interval fi
[13, 14)[14, 15)[15, 16)[16, 17)
8723
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 406
407
13
x� = = 14,5
DM = = 0,8 σ2 = = 1,1 σ = 1,05
Les notes obtingudes per un alumne en cinc exàmens han estat: 3, 8, 5, 7 i 4, i les d’un altre alumne: 2, 9, 4, 5 i 7.
En quin alumne és més gran la dispersió?
Per al primer alumne:
R = 8 − 3 = 5
x� = = 5,4 DM = = 1,68
σ = = 1,85 CV = = 0,34
Per al segon alumne:
R = 9 − 2 = 7
x� = = 5,4 DM = = 2,08
σ = = 2,42 CV = = 0,45
Per tant, la dispersió és més gran en el segon alumne.
Pregunta a 5 companys l’edat i l’alçada que tenen. Compara la dispersió de les dues variables.
Els resultats variaran segons la mostra.
034
2 42
5 4
,
,
29 2
5
,
10 4
5
,27
5
1 85
5 4
,
,
17 2
5
,
8 4
5
,27
5
033
22
20
16
20
290
20
SOLUCIONARI
Intervalo[13, 14)[14, 15)[15, 16)[16, 17)
xi
13,514,515,516,5
fi
8723
20
fi ⋅ xi
108,5101,531,549,5
290,5
1012
8026
16
802
1222
⏐xi − x�⏐ fi ⋅ ⏐xi − x�⏐ fi ⋅ (xi − x�)2
xi
34578
fi
111115
fi ⋅ xi
34578
27
2,41,40,41,62,6
2,41,40,41,62,68,4
5,761,960,162,566,76
17,266
⏐xi − x�⏐ fi ⋅ ⏐xi − x�⏐ fi ⋅ (xi − x�)2
xi
24579
fi
111115
fi ⋅ xi
24579
27
3,41,40,41,63,6
3,41,40,41,63,6
10,4
11,561,960,162,56
12,9629,20
⏐xi − x�⏐ fi ⋅ ⏐xi − x�⏐ fi ⋅ (xi − x�)2
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 407
408
Calcula amb la calculadora la mitjana aritmètica i la desviació típica de les dades la taula:
Després d’introduir les dades a través del quadre d’estadístiques, obtindrem el següent:
S’observa que n = 30 són les dades que hem introduït.
Ara només hem de prémer les tecles:
→
→
→
Calcula els mateixos paràmetres sense utilitzar la calculadora.
Fem unataula
I calculem: Mitjana:
Desviació típica:
Els resultats són els mateixos? Per què?
La mitjana és la mateixa, però com que la desviació típica es calculamitjançant diferents arrodoniments de les diverses operacions que es fan(restes, quadrats i arrels) fan que surti aquesta petita diferència.
ACTIVITATS
Volem fer un estudi del nombre d’hores que els alumnes dediquen a la lectura.
a) Tria una mostra per fer l’estudi.b) Quina grandària té la nostra mostra?c) Quina és la població?
038●
037
σ = = =357,87
11,929 3,45383830
x = =358
3011,93333
036
035 xi
fi
76
92
119
134
153
176
Estadística
xi fi xifi ⏐xi − x⏐ ⏐xi − x⏐2 fi⏐xi − x⏐2
7 6 42 4,93 24,34 146,039 2 18 2,93 8,60 17,2111 9 99 0,93 0,87 7,8413 4 52 1,07 1,14 4,5515 3 45 3,07 9,40 28,2117 6 102 5,07 25,67 154,03∑ = 30 358 357,87
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 408
409
13
a) Per exemple, els alumnes de la classe.
b) El nombre d’alumnes de la classe.
c) Tots els alumnes de l’institut.
Indica el tipus de variable estadística que estudiem i digues, en cada cas, siseria millor estudiar la mostra o la població.
a) El programa preferit dels membres de la teva família.b) El número de calçat dels alumnes d’un IES.c) La temperatura mitjana diària a la teva comarca.d) L’edat dels habitants d’un país.e) El sexe dels habitants del teu poble.f) Els diners gastats a la setmana pels g) Els efectes a l’ésser humà d’un medicament nou.h) El color dels cabells dels teus companys de classe.
a) Qualitativa. Població. e) Qualitativa. Mostra.
b) Quantitativa discreta. Mostra. f) Quantitativa discreta. Població.
c) Quantitativa contínua. Població. g) Qualitativa. Mostra.
d) Quantitativa discreta. Mostra. h) Qualitativa. Població.
De les variables següents, quines són discretes?
a) Nombre de mascotes.b) Número de calçat.c) Perímetre cranial.d) Ingressos diaris en un fruiteria.e) Quilograms de carn consumits al menjador d’un IES durant la setmana.
Són discretes a) i b).
Són contínues c), d) i e).
Quan vam preguntar a 20 persones sobre el nombre de vegades que havien anata l’estranger, el resultat va ser:
3 5 4 4 2 3 3 3 5 2 6 1 2 3 3 6 5 4 4 3
a) Organitza les dades fent-ne el recompte.b) Fes la taula de freqüències.
a) Ordenem les dades: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6.
b)
041●
040●
039●
SOLUCIONARI
xi
123456
fi
137432
20
Fi
14
11151820
hi
1/20 = 0,053/20 = 0,157/20 = 0,354/20 = 0,203/20 = 0,152/20 = 0,10
1
%5
1535201510
100
0,050,200,550,750,90
1
Hi
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 409
410
El número que calcen 20 alumnes en una classe d’educació física és:
37 40 39 37 3838 38 41 42 3743 40 38 38 3840 37 37 38 38
Representa el diagrama de barres i el polígon de freqüències per a les freqüències absolutes i per a les freqüències absolutes acumulades.
Aquestes són les alçades (en cm) de 27 joves:
155 178 170 165 173 168 160 166 176169 158 170 179 161 164 156 170 171167 151 163 158 164 174 176 164 154
a) Fes servir intervals d’amplitud 5 per formar la taula de freqüències.b) Representa les dades en un histograma, fent servir les freqüències absolutes
i les freqüències absolutes acumulades.
a)
b)
043●
042●
Estadística
Interval[150, 155)[155, 160)[160, 165)[165, 170)[170, 175)[175, 180)
xi
152,5157,5162,5167,5172,5177,5
fi
246564
27
Fi
26
12172327
hi
2/27 = 0,0744/27 = 0,1486/27 = 0,2225/27 = 0,1856/27 = 0,2224/27 = 0,148
1
0,0740,2220,4440,6290,851
1
Hi
37 38 39 40 41 42 43
10
8
6
4
2
FREQÜÈNCIES ABSOLUTES
Talles
Alu
mne
s
150 155 160 165 170 175 180
6
5
4
3
2
1
FREQÜÈNCIES ABSOLUTES
Alçada (cm)
Jove
s
150 155 160 165 170 175 180
26
22
18
14
10
6
2
FREQÜÈNCIES ACUMULADES
Alçada (cm)
Jove
s
37 38 39 40 41 42 43
2018161412108642
FREQÜÈNCIES ACUMULADES
Talles
Alu
mne
s
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 410
411
13
Dels 30 assistents a un sopar, el 20 % va menjar vedella; el 40 %, xai, i la resta, peix. Indica la variable estadística i organitza els resultats en una taula de freqüències. Després, representa les dades en un gràfic de sectors.
El nombre de vegades que es va llogar cada mes la pista de tenis d’un poliesportiu el representem en aquest gràfic:
a) Troba les freqüències relatives i acumulades.b) En quin percentatge de mesos es va llogar la pista més de 80 vegades?c) Representa el polígon de freqüències absolutes acumulades.
a)
b) Es va llogar més de 80 vegades al gener, maig, juny, juliol, octubre i desembre, és a dir, el 50 % dels mesos.
c)
045●●●
044●●
SOLUCIONARI
Menjar fi hi
Vedella 6 0,2Xai 12 0,4Peix 12 0,4
30 1
Xai (12)
Vedella (6)
Peix (12)
G F M A M J J A S O N D
100
70
120 126
60 62 66 69
97 10078
90
140120100
80604020
fi
Mes fi
GenFebMarçAbrMaigJunyJulAgSetOctNovDes
10060706297
1201007866
1266990
Fi
100160230292389509609687753879948
1.038
hi
0,0960,0580,0670,0600,0930,1160,0960,0750,0630,1210,0660,087
Hi
0,0960,1540,2210,2810,3740,4900,5860,6610,7240,8450,911
1
G F M A M J J A S O N D
1.000
500
100
Fi
831106 _ 0396-0425.qxd 20/9/07 14:14 Página 411
412
Troba les mesures de centralització d’aquesta sèrie de dades:
3 2 4 9 8 7 3 2 4 5 1 8 6 1 51 0 2 4 1 2 5 6 5 4 7 1 3 0 58 6 3 4 0 9 2 5 7 4 0 2 1 5 6
Mitjana: x� = = 3,91
Mediana: Me = 4
Moda: Mo = 5
Torna a fer l’activitat anterior amb intervals d’amplitud 2. Obtens els mateixosresultats? Per què creus que passa, això?
Mitjana: x� = = 4,42
Mediana: Me = [4, 6)
Moda: Mo = [4, 6)
Els resultats són diferents. Això passa perquè quan agrupem suposem que les dades estan a la marca de classe i, per això, les operacions varien.
Determina la mediana d’aquestes dades:
a) b)
a) Com que N = 5 + 3 + 4 + 2 + 4 + 6 = 24, la mediana correspondrà al valor xi que ocupi les posicions 12-13. En aquest cas:
x12 = 3 y x13 = 4 → Me = = 3,5
b) Com que N = 1 + 3 + 5 + 2 = 11 i F3 = 9 > →
→ Me = marca de classe de l’interval [20, 30) = 25
Troba la mitja, la mediana, la moda, els quartils i el centil 30 de les dadesd’aquesta taula:
a) Si cada valor de la taula el multipliquem per 3, quina serà la mitjana? I la mediana? I la moda?
b) Si a tots els valors de la variable els restem o els dividim entre un mateixnombre, quina serà la nova mitjana?
c) Calcula gràficament els paràmetres de posició.
049●●
11
2
3 4
2
+
048●
199
45
047●●
176
45
046●
Estadística
Variable xi fi
[0, 2) 1 10[2, 4) 3 10[4, 6) 5 13[6, 8) 7 7[8, 10) 9 5
Fi
1020334045
xi
fi
15
23
34
42
54
66
[0, 10)1
[10, 20)3
[20, 30)5
[30, 40)2fi
Var.
xi
fi
266
287
304
323
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9fi 4 6 6 4 6 7 4 3 3 2Fi 4 10 16 20 26 33 37 40 43 45
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 412
413
13
x� =
Com que N = 20, la mediana correspondrà al valor xi que ocupi les posicions 10-11. En aquest cas, Me = 28, Q1 = 26 i Q3 = 30.
El valor més repetit és Mo = 28.
a) x� = =
= = 3 ⋅ x�anterior
En aquest cas, x�nova = 3 ⋅ 28,4 = 85,2.
Per tant, Me = 3 ⋅ 28 = 84, Q1 = 78, Q3 = 90 i Mo = 84.
b) Si a tots els valors els restem el mateix nombre, x�nova = x� − nombre. Si tots els valors els dividim entre el mateix nombre, x�nova = x� : nombre.
c)
Les dades 10, 17, a, 19, 21, b, 25 tenen de mitjana, mediana i moda 19.Quant valen a i b?
x� = = 19
92 + a + b = 7 ⋅ 19 = 133 → a + b = 41
10 - 17 - a - - 21 - b - 25
Com que a ha de ser 19 (moda) → 19 + b = 41 → b = 22.
Considera el conjunt de dades següent:23 17 19 x y 16
Si saps que la mitjana és 20 i la moda és 23, quins són els valors x i y?
20 = → 120 = 75 + x + y → x + y = 45
Si la moda és Mo = 23, x o y (o tots dos) han de ser iguals a 23.
Si fossin x = y = 23 → x + y = 23 + 23 = 46 � 45.
Per tant, x = 23 → y = 45 − 23 = 22.
23 + 17 + 19 + x + y + 16
6
051●●●
19
10 + 17 + a + 19 + 21 + b + 25
7
050●●●
Dades (xi)
Freq
uènc
ies
acum
ulad
es (
F i)
20
15
10
65
Q3
Q2
C30
Q1
26 28 30 32
3 26 6 28 7 30 4 32 3
20
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅( )
( ) ( ) ( ) ( )3 26 6 3 28 7 3 30 4 3 32 3
20
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
26 6 28 7 30 4 32 3
20
568
2028 4
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = ,
SOLUCIONARI
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 413
414
Aquestes són les dades d’una enquesta sobre el nombre de ràdios a les llars catalanes:
a) Quantes ràdios tenen la quarta part de les llars?b) I el 75%? I el 85%?c) Quin significat té la mediana?
a)
El 25 % de les llars te 1 ràdio o cap.
b)
El 75 % de les llars té 2 ràdios o menys.
c) La mediana és un valor que té tantes dades més grans que ella com menors que ella.
Resol amb la calculadora aquesta activitat.
Durant un mes, vuit dependents han venut els aparells d’aire condicionat següents.
8 11 5 14 8 11 16 11
Calcula la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació de les dades.
Ordenem les dades: 5 - 8 - 8 - 11 - 11 - 11 - 14 - 16.
x� = = = 10,5
σ2 = =
= =
= = 10,75 → σ =
Les edats (en anys) dels 30 primers visitants al planetari han estat:
Troba’n les mesures estadístiques.
20 7 10 13 4 7 8 11 16 14 8 10 16 18 123 6 9 9 4 13 5 10 17 10 18 5 7 10 20
054●●
10,75 3,283,28
10,50,312= = =→ CV86
8
30,25 + 12,5 + 0,75 + 12,25 + 30,25
8
(5 − 10,5)2 ⋅ 1 + ... + (16 − 10,5)2 ⋅ 1
8
84
85 ⋅ 1 + 8 ⋅ 2 + 11 ⋅ 3 + 14 ⋅ 1 + 16 ⋅ 1
8
053●
16 58185
100285. ⋅ = =14.093,85 → C
16 581
411
.= =4.145,25 → Q
052●●●
Estadística
Nre. de llarsNre. de ràdios 0
4321
8.3432
6.2423
1.0024
562
Xi
0
1
2
3
4
fi
432
8.343
6.242
1.002
562
16.581
Fi
432
8.775
15.017
16.019
16.581
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 414
Ordenem les dades: 3 - 4 - 4 - 5 - 5 - 6 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 10 - 10 - 10 - 10 - 11 - 12 - 13 - 13 - 14 - 16 - 16 - 17 - 18 - 18 - 20 - 20
x� = = = 10,7
Me = 10 Mo = 10 R = 17
σ2 = =
σ2 = 23,29 → σ = = 4,83 → CV = = 0,451
Les notes de l’Albert en 5 exàmens són 4, 6, 6, 7 i 5, i les de l’Anna són 43,62, 60, 50 i 55. Quin dels dos és més regular en el rendiment acadèmic?
En el cas de l’Albert, les mesures estadístiques són:
x� =
σ2 =
CV =
En el cas de l’Anna, les mesures estadístiques són:
x� =
σ2 =
CV =
Per tant, el rendiment acadèmic de l’Anna és més regular.
6 9
540 13
,,=
238
547 6 6 9= =, ,→ σ
270
554=
1 02
5 60 18
,
,,=
5 2
51 04 1 02
,, ,= =→ σ
28
55 6= ,
056●●
055
4 83
10 7
,
,23 29,
(3 − 10,7)2 ⋅ 1 + ... + (20 − 10,7)2 ⋅ 2
30
320
303 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 + ... + 20 ⋅ 2
30
415
13SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM COMPAREM LA DISPERSIÓ DE DUES VARIABLES ESTADÍSTIQUES?
El pes mitjà d’una mostra de nadons és x = 2,85 kg i la desviació típica ésσ = 1 kg. El pes mitjà de les mares és x = 62 kg, amb una desviació típica deσ= 15 kg. En quines de les distribucions és més gran la dispersió?
PRIMER. Calculem els coeficients de variació.
SEGON. Comparem els coeficients.
0,35 > 0,24 → La dispersió és més gran en els pesos dels nadons que en elsde les mares, encara que pugui semblar el contrari si n’observem les desviacionstípiques: 1 < 15.
CVmares 0,24= = =15
6224 %CVnadons
2,850,35= = =
135 %
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 415
416
Troba la mitjana, la mediana, la moda i la desviació típica de les dadessegüents.
x� =
Me = [47, 53)
Mo = [47, 53)
σ2 =
Les notes que han tret 40 alumnes en música han estat:
6 4 1 7 3 6 6 2 5 2 4 9 5 10 8 2 6 10 5 75 3 7 8 4 6 0 5 8 7 6 9 7 2 5 6 8 7 3 6
Calcula la mitjana i la desviació típica de les dades tenint en compte primer la variable com a discreta i, després, agrupant les dades en els intervals [0, 5),[5, 7), [7, 9), [9, 10]. Quines diferències hi veus?
058●●
1 240
1868 89 8 3
., ,= =→ σ
960
1853 33= ,
057●●
Estadística
56144
Pes Nre. d’alumnes[41, 47)[47, 53)[53, 59)[59, 65)[65, 71)
Pes[41, 47)[47, 53)[53, 59)[59, 65)[65, 71)
xi
4450566268
fi
56142
18
Fi
511121618
fi ⋅ xi
22030056
248136960
87,1111,117,11
75,11215,11
435,5666,677,11
300,44430,22
1.240,22
(xi − x�)2 fi ⋅ (xi − x�)2
Aula de música
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 416
Ordenem, primer, les dades:
0 - 1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 3 - 4 - 4 - 4 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 -6 - 6 - 6 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 10
x� = = 5,5
σ2 = = 5,8
σ = = 2,4 → CV = = 0,06
Agrupem les dades en intervals:
x� = = = 5,8
σ2 = = 5,86
σ = = 2,42 → CV = = 0,06
Podem observar que la mitjana i la desviació típica varien.
Els preus del lloguer mensual de l’habitatge es recullen a la taula següent.
a) Quina és la mitjana dels lloguers?
b) Digues quin és el preu més habitual.
c) Troba la mediana. Què significa?
d) Calcula la variància i la desviació típica. Per a què serveixen aquests nombres?
059●●
2 42
40
,5 86,
(2,5 − 5,8)2 ⋅ 12 + ... + (9,5 − 5,8)2 ⋅ 4
40
232
402,5 ⋅ 12 + 6 ⋅ 14 + 8 ⋅ 10 + 9,5 ⋅ 4
40
2 4
40
,5 8,
(0 − 5,5)2 ⋅ 1 + ... + (10 − 5,5)2 ⋅ 2
40
1+ 2 ⋅ 4+ 3 ⋅ 3+ 4 ⋅ 3+ 5 ⋅ 6+ 6 ⋅ 8+ 7 ⋅ 6+ 8 ⋅ 4+ 9 ⋅ 2+ 10 ⋅ 2
40
417
13SOLUCIONARI
Interval[0, 5)[5, 7)[7, 9)[9, 10]
Marca de classe2,56,58,59,5
fi
1214104
13334035301620
Preu (€) Nre. d’habitatges240270300330360390420
Preu (€)240270300330360390420
fi
13334035301620
187
Fi
134686
121151167187
fi ⋅ xi
3.1208.910
12.00011.55010.8006.2408.400
61.020
57.600,0072.900,00
692,2213,61
1.135,014.056,408.777,79
748.800,002.405.700,00
27.688,98476,52
34.050,1664.902,33
175.555,72302.673,71
(xi − x�)2 fi ⋅ (xi − x�)2
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 417
418
a) x� = = 326,31 €
b) El preu més comú és la moda: Mo = 300 €.
c) La mediana és Me = 330 €, que és el preu per sota del qual estan situatsla meitat dels lloguers.
d) σ2 = €
Aquests nombres serveixen per veure la dispersió de les dades; en aquestcas, per comprovar si hi ha molta diferència entre uns lloguers i uns altres,és a dir, si el preu del lloguer és homogeni.
A partir d’aquests gràfics, determina’n la taula de freqüències i troba la mitjana, la mediana, la moda i la desviació típica de les dades.
a)
x� = = 5,26
Com que N = 27, la mediana correspondrà al valor que ocupa la posició 14 → Me = 5. La moda és Mo = 5.
σ2 = = 6,41
σ = = 2,53
b)x� = = 12,25
Me = 12,5
Mo = 12,5
σ2 = = 1,27
σ = = 1,131 27,
(10,5 − 12,25)2 ⋅ 5 + ... + (14,5 − 12,25)2 ⋅ 1
24
10,5 ⋅ 5 + ... + 14,5 ⋅ 1
24
6 41,
(1 − 5,26)2 ⋅ 2 + ... + (10 − 5,26)2 ⋅ 1
27
1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 + ... + 10 ⋅ 1
27
060●●
302 673 71
187
. ,= =1.618,58 40,23→ σ
61 020
187
.
Estadística
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7654321
Y
X
X
10 11 12 13 14 15
10
8
6
4
2
Y
xi
fi
12
23
32
43
56
62
73
82
93
101
Interval fi
[10, 11)[11, 12)[12, 13)[13, 14)[14, 15)
53
1051
xi
10,511,512,513,514,5
a)
b)
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 418
Compara el rendiment de dos alumnes que fan 5 proves i obtenen els resultats següents:
Joan: mitjana = 5, desviació típica = 1,87.
Anna: mitjana = 5, desviació típica = 4,18.
Amb la mateixa mitjana, en Joan és més constant en els resultats, ja que témenys desviació típica.
A la primera avaluació, dels alumnes d’una classe, el 10 % ho va aprovar tot, el 20 % va suspendre una assignatura, el 50 % en va suspendre dues, i la resta en va suspendre més de dues.
Fes una taula de freqüències amb les dades. Hi ha algun tipus de freqüènciaque respongui a la pregunta de quants alumnes van suspendre menys de duesassignatures? Raona la resposta.
Els alumnes que van suspendre menys de dues assignatures el representa la freqüència absoluta acumulada en 1, que són 9 alumnes.
063●
062●●●
061 FES-HO AIXÍ
COM INTERPRETEM LA MITJANA I LA DESVIACIÓ TÍPICA CONJUNTAMENT?
Un equip de bàsquet necessita un aler. S’han seleccionat dos jugadors que, enúltims cinc partits, han anotat els punts següents. Quin d’ells triaries?
PRIMER. Calculem la mitjana i la desviació típica.
SEGON. Analitzem els resultats anteriors.
Com que les mitjanes són iguals, si l’entrenador vol un jugador regular triarà el ju-gador A (desviació típica baixa significa dades semblants); tot i això, si vol un juga-dor que pugui actuar de revulsiu, triarà el B, ja que alterna partits molt bons ambaltres de pitjors (desviació típica elevada indica dades molt diferents).
x BB
B
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14σ 7,56
Jugador
x AA
A
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14σ 1,09
Jugador
419
13SOLUCIONARI
Jugador AJugador B
1625
1410
138
136
1421
JoanAnna
20
61
59
78
57
Suspesos fi hi
0 3 0,11 6 0,22 15 0,5
Més de 2 6 0,2Total 30 1
Fi
39
2430
Hi
0,10,30,81
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 419
420
Un corredor s’entrena de dilluns a divendres recorrent les distànciessegüents: 2, 5, 5, 7 i 3 km,respectivament. Si el dissabte també s’entrena:
a) Quants quilòmetres ha de recórrerperquè la mitjana sigui la mateixa?
b) I perquè la mediana no variï?c) I perquè la moda romangui constant?
x� = . Mediana: 5. Moda: 5.
a) Dissabte ha de recórrer 4,4 km.
b) Qualsevol distància més gran o igual que 5 km.
c) Qualsevol distància que no sigui 2, 3 o 7 km.
Els resultats d’una prova de càlcul mental (CM) i una de psicomotricitat (P) que hem fet als 28 alumnes d’una classe són els següents:
a) En quina prova s’han obtingut millors resultats (mitjana més alta)?
b) En quina va ser més gran la dispersió? (Fes servir el coeficient de variació.)
a) Trobem les mitjanes respectives:
x�CM = =
x�CM = = 34,64
x�P = =
x�P = = 38,57
A la prova de psicomotricitat es van obtenir millors resultats.
b) σ2CM = =
σCM2 = = 132,02 → σCM = 11,49
CV = → CV = = 0,332
σ2P = =
σP2 = = 165,82 → σP = 12,87 → CV = = 0,334
La dispersió va ser pràcticament la mateixa en les dues proves.
12 87
38 57
,
,
4 642 86
28
. ,
(15 − 38,57)2 ⋅ 1 + ... + (65 − 38,57)2 ⋅ 1
28
11 49
34 64
,
,
σx
3 696 44
28
. ,
(15 − 34,64)2 ⋅ 2 + ... + (65 − 34,64)2 ⋅ 1
24
1 080
28
.
15 ⋅ 1 + 25 ⋅ 7 + 35 ⋅ 9 + 45 ⋅ 5 + 55 ⋅ 4 + 65 ⋅ 2
28
970
28
15 ⋅ 2 + 25 ⋅ 8 + 35 ⋅ 11 + 45 ⋅ 4 + 55 ⋅ 2 + 65 ⋅ 1
28
065●●
2 5 5 7 3
5
+ + + += 4,4
064●●
Estadística
Puntuació CM[10, 20)[20, 30)[30, 40)[40, 50)[50, 60)[60, 70)
28
11421
P179542
831106 _ 0396-0425.qxd 20/9/07 14:14 Página 420
421
13
Dels 50 alumnes que van respondre a una prova de 12 preguntes, el 10 % va contestar correctament a 3; el 50 %, a 7; el 30 % a 10, i la resta, al total de la prova. Calcula la mitjana, la mediana i la moda de les dades. Troba’n també la desviació típica.
Primer elaborem la taula de freqüències:
x� = = 8
La mediana correspondrà al valor mitjà dels valors 25è i 26è, ja que N = 50. En aquest cas, és Me = 7. El valor amb fi més gran és Mo = 7.
σ2 = = 5,8 → σ = 2,4
Els diplomats en informàtica de gestió tenen un salari mitjà, en la seva primerafeina, de 1.280 €, amb una desviació típica de 380 €.D’altra banda, els diplomats en informàtica de sistemes tenen un salari mitjà de 1.160 €, amb una desviació típica de 350 €.Si a un diplomat en informàtica de gestió li ofereixen un sou de 1.400 €, i a un diplomat en informàtica de sistemes, un sou de 1.340 €:a) Quins dels dos rep una oferta millor?b) Raona per què és millor una oferta
que l’altra.
La resposta sembla obvia, ja que 1.400 > 1.340 i per tant, aparentment, la millor oferta seria la del diplomat en informàtica de gestió.
Però per comparar-ho tenint en compte la població a què pertany cada individuhem de considerar la mitjana salarial i la dispersió de sou dins de cada grup.
Informàtica de gestió: guanya 1.400 € i presenta una desviació de 120 €per sobre de la mitjana del seu grup (1.280 €).
Comparem aquesta desviació (120 €) amb la dispersió que presenta
el seu grup: σ = 380, . Com més gran sigui aquest nombre,
més allunyat estarà de la mitjana salarial.
Informàtica de sistemes: guanya 1.340 € i presenta una desviació de 180 €per sobre de la mitjana del seu grup (1.160 €).
Comparem la desviació (120 €) amb la dispersió que presenta el seu grup:
σ = 340, .
D’aquesta manera veiem que, realment, la millor oferta és la que rep el diplomat en informàtica de sistemes, perquè 0,52 > 0,31 i, per tant,l’oferta que li fan s’allunya més de la mitjana salarial del seu grup.
180
3400 52= ,
120
3800 31= ,
067●●●
(3 − 8)2 ⋅ 5 + ... + (12 − 8)2 ⋅ 5
50
3 ⋅ 5 + 7 ⋅ 25 + 10 ⋅ 15 + 12 ⋅ 5
50
066●●
SOLUCIONARI
xi
371012
fi
10 % ⋅ 50 = 550 % ⋅ 50 = 2530 % ⋅ 50 = 1510 % ⋅ 50 = 5
1.280 € 1.160 €
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 421
422
Un conjunt de dades, compost de nombres enters positius i diferents entre si, té 47 com a mitjana. Si una de les dades és 97 i la suma de totes les dades és 329, quin és el nombre més gran que pot tenir?
és el nombre de dades.
Com que una dada és 97, fem que la resta siguin els menors valors possibles: 1, 2, 3, 4 i 5.
El setè nombre és: 329 − (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 97) = 217. Així, 217 és el nombre més gran possible.
Donat el conjunt de dades:14 12 26 16 x
calcula x perquè la mediana i la mitjana de les dades siguin iguals.
Si x val més que 16, la mediana ha de ser 16, i com que volem que la mitjanasigui 16, la suma dels cinc termes ha de ser 80 i, per tant, x = 80 − (12 + 14 + 16 + 26) = 12. Com que 12 no és més gran que 16,això no és possible.
Si x val 15, la mediana serà 15, i com que volem que la mitjana sigui 15, la suma dels cinc termes ha de ser 75, i per tant, x = 75 − (12 + 14 + 16 + 26) = 7, que no és possible.
Si x val menys que 14, la mediana ha de ser 14, i com que volem que la mitjana sigui 14, la suma dels cinc termes ha de ser 70, i per tant, x = 70 − (12 + 14 + 16 + 26) = 2. Com que 2 és més petit que 14, la solució és x = 2.
Si en un conjunt de cinc dades la mitjana és 10 i la mediana és 12, quin és el valor més petit que pot prendre el recorregut?
Com que la mediana és 12, hi ha d’haver dos valors més grans o iguals que 12 i uns altres dos menors o iguals que 12, i perquè el recorregut siguimínim, els dos valors han de ser els menors possibles (ja que la mediana és més gran que la mitjana), per la qual cosa tindran valor 12.
La suma dels cinc termes ha de ser 50 i tres dels termes sumen 36, per tant,els altres dos han de sumar 14. Perquè el recorregut sigui mínim, el valormés petit ha de ser al més gran possible, i això passa quan els dos valorsmenors són iguals, i, per tant, agafaran valor 7.
Els valors seran 7, 7, 12, 12, 12, 12 i el recorregut és 5.
Quan escrivim en ordre creixent la mitjana, la mediana i la moda del conjunt de dades 10, 2, 5, 2, 4, 2, x, obtenim una progressió aritmètica. Calcula totsels valors possibles de x.
071●●●
070●●●
069●●●
xN
N= = = =47329 329
477→
068●●●
Estadística
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 422
La moda en qualsevol dels casos és 2.
Si x és més petit que 2, la mediana serà 2. Per tant, perquè estiguin en progressió aritmètica la mitjana també hauria de ser 2, cosa que no éspossible.
Si x agafa el valor 3, la mediana és 3, i per tant, perquè estiguin en progressióaritmètica la mitjana hauria de prendre valor 2, 5 o 4, i això és impossible.
Si x agafa valor més gran o igual que 4, la mediana és 4, i com que la mitjanapren valors més grans que 4, per estar en progressió aritmètica la mitjana ha de ser 6. Per tant, la suma dels termes és 36: x = 36 − (2 + 2 + 2 + 4 + 5 + 10) = 11.
Després d’ordenar un conjunt de set dades, prenem les quatre primeres i la sevamitjana és 5; però si prenem les quatre últimes, la mitjana és 8.
Si la mitjana de tots els nombres és , quina en serà la mediana?
= x1 + x2 + x3 + x4 + x4 + x5 + x6 + x7 == 46 + x4 → x4 = 12
La mediana és 12.
A LA VIDA QUOTIDIANA
El Departament d’Educació està valorant el rendiment dels alumnes enmatemàtiques. Per fer-ho, ha elaborat un informe en què es mostren elsresultats dels alumnes de secundària en matemàtiques durant el curs passat.
Un resum de l’informe es mostra mitjançant aquests gràfics:
073●●●
x x x xx x x x
1 2 3 4
4 5 6 7
2038
58+ + + =+ + + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→
x x x x x x x x= + + + + + + =46
7461 2 3 4 5 6 7→
467
072●●●
423
13SOLUCIONARI
INS
35
30
25
20
15
105
%
SUF BE NOT. EXC.
INS.
SUF.
BE
NOT. + EXC.
15 %25 %
35 %
25 %
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 423
424
Per fer el diagrama de sectors han agrupat les notes més altes, NOTABLE
i EXCEL·LENT, i s’han inclòs els percentatges d’alumnes que han obtingut cada nota.
L’informe indica que el nombre d’estudiants que han tret SUFICIENT ésde 28.413. En vista dels gràfics i els percentatges, calcula el nombre totald’alumnes avaluats i quants han obtingut la qualificació d’EXCEL·LENT.
Si el 35 % del total són 28.413 → Total = alumnes
Nombre de béns i insuficients → alumnes
Nombre de notables → alumnes
Nombre d’excel·lents → alumnes
El nombre d’espectadors d’una cadena de televisió determina el cost de la publicitat que s’hi emet. Per això se’n fan públics regularment els índexs d’audiència.
La cadenes de televisió amb més índex d’audiència han presentat els seus resultats dels quatre primers mesos de l’any. Aquests són els gràficsque apareixen en diferents mitjans de comunicació.
Totes dues cadenes han tingut un gran creixement, però els responsables de TV Miro insisteixen que el seu creixement ha estat més gran.
074●●●
81 180
1005 4 059
..⋅ =
81 180
10010 8 118
..⋅ =
81 180
10025 20 295
..⋅ =
2 841 300
3581 180
. ..=
Estadística
290
250
210Gen. Febr. Març Abr.
TV MIROMilers
400350300250200150100
500 Gen. Febr. Març Abr.
CANAL FREE
Milers
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 424
425
13
Quants espectadors ha guanyat cada cadena? Quina representació reflecteixmillor la situació?
Les escales de les dues gràfiques són diferents, i per això sembla que el creixement de TV Miro és més gran. Però l’augment d’espectadors de CANAL FREE és, aproximadament, de 40.000, mentre que l’augmentd’audiència de l’altra cadena és menor: uns 30.000 telespectadors més.
El creixement s’aprecia millor a la gràfica de TV MIRO i, tot i que les duesrepresentacions són vàlides, per poder comparar la informació hem de fer servir la mateixa escala.
SOLUCIONARI
Tal com mostren els gràfics publicats en els diferents mitjans de comunicació,
hem experimentat un creixement superior al de Canal Free.
831106 _ 0396-0425.qxd 11/9/07 13:51 Página 425
426
Probabilitat14
ESDEVENIMENTSELEMENTALS
ESDEVENIMENTSCOMPATIBLES
ESDEVENIMENTSINCOMPATIBLES
ESDEVENIMENTS
LLEI DELS GRANSNOMBRES
REGLADE LAPLACE
OPERACIONS AMBESDEVENIMENTS
PROBABILITAT
DIAGRAMES D’ARBRE
EXPERIMENTSALEATORIS
PROBABILITAT DE LA UNIÓ
PROBABILITAT DEL COMPLEMENTARI
ESPAI MOSTRAL
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 426
Escac i mat!
Des que va creuar el canal, perseguit per la intransigència política i religiosa de l’Europa continental, se’l podia trobar en aquell cafè: l’Slaufhter’s Coffee House era per a Abraham de Moivre com una segona llar.
Era un centre de reunió d’intel·lectuals, on es podien defensar les idees sense cap més arma que la raó.
Els dos personatges que acabaven d’entrar al local, Newton i Halley, amics d’Abraham de Moivre, el van buscar amb la mirada i el van trobar en una de les taules del fons, jugant a escacs. El seu contrincant, visiblement nerviós, movia la mà d’una peça a una altra sense decidir-se a moure’n cap. De seguida que ho va haver fet, Abraham va cantartriomfal: Escac i mat!, i es va aixecar per acostar-se als seus amics.
–No n’aprendrà mai, encara pensa que en els escacs hi intervé l’atzar i que algun dia guanyarà.
–Monsieur De Moivre –va contestar Halley–, jugueu amb l’avantatge dels vostres coneixements de probabilitat i d’aquest joc apassionant. El vostrecontrincant tenia set possibles moviments, però nomésdesprés de dos d’ells podíeu fer escac i mat.
–Tot i això, ho ha fet i jo he guanyat –va respondre De Moivre mentre es guardava a la butxaca les monedesque havia apostat en la partida.
Quina era la probabilitat de fer escac i mat? I de no fer-ne?
Hi ha 2 possibilitats entre 7 de guanyar.Per tant, la probabilitat de fer escac
i mat és .
Hi ha 5 possibilitats entre 7 que desprésdel moviment no pugui fer escac i mat.Per tant, la probabilitat de no poder
fer-lo és .57
27
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 427
428
EXERCICIS
Classifica els experiments següents en aleatoris o deterministes:
a) Extreure una carta d’una baralla.b) Pesar un litre de mercuri.c) Preguntar als teus companys un nombre.d) Llançar tres monedes i anotar el nombre de cares.e) Restar dos nombres coneguts.
Els experiments de a), c) i d) són aleatoris, i els de b) i e) són deterministes.
En una bossa hi ha 10 boles de 3 colors diferents. Escriu un experiment aleatorii un altre de determinista.
Aleatori: treure una bola de la bossa.
Determinista: trobar el pes de les tres boles.
Proposa dos experiments aleatoris. Determina’n els esdeveniments elementals i dos esdeveniments compostos.
• Experiment 1: preguntar un nombre de l’1 al 10.
Esdeveniments elementals: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}.
Edeveniment compost: obtenir un nombre parell.
• Experiment 2: encertar la travessa.
Esdeveniments elementals: {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10},{11}, {12}, {13}, {14}.
Esdeveniment compost: encertar les apostes necessàries per obtenir el premi.
Escriu els possibles resultats que podem obtenir en l’experiment aleatori de llançar dues monedes a l’aire.
Si anomenem c = cara, x = creu, els resultats possibles seran: (c, c), (c, x),(x, c) i (x, x).
Llancem una moneda i un dau de sis cares. Quin és l’espai mostral? Fes servirun diagrama d’arbre.
E = {cara 1, cara 2, cara 3,cara 4, cara 5, cara 6,creu 1, creu 2, creu 3,creu 4, creu 5, creu 6}
005
004
003
002
001
Probabilitat
1
cara
creu
23456
123456
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 428
429
14
Determina dos esdeveniments compatibles i dos més d’incompatibles a l’exercici anterior.
Compatibles: creu i múltiple de 3, creu i parell.
Incompatibles: creu i parell, creu i més petit que 3.
Hi ha cap esdeveniment incompatible amb tota la resta? I compatible?
Un esdeveniment incompatible amb tots els altres és l’esdevenimentimpossible, i el compatible amb tots és l’esdeveniment segur.
Donats els esdeveniments següents: A = {1, 2, 3} i B = {1, 3, 5} calcula’n la unió i la intersecció.
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
A ∩ B = {1, 3}
Traiem una carta de la baralla espanyola. Expressa en forma d’unions iinterseccions els esdeveniments següents:
a) «Que surti un nombre més petit que 5 i més gran que 2.»b) «Que surti una figura i sigui bastons.»c) «Que no surti un as.»
a) {Sortir nombre més petit que 5} ∩ {Sortir nombre més gran que 2}
b) {Sortir figura} ∩ {Sortir bastos}
c) {Sortir nombre més gran o igual que 2} ∪ {Sortir figura}Una altra manera de fer-ho és fer servir l’esdeveniment complementari: si A = {sortir as} → A = {No sortir as}
Extraiem una carta de la baralla. Troba la unió i la intersecció dels parellsd’esdeveniments següents:
a) A = «Treure oros» i B = «Treure copes»b) C = «Treure as» i D = «No treure as»c) F = «Treure bastons» i G = «Treure as»
a) A ∪ B = {Treure oros o copes} → A ∩ B = ∅b) C ∪ D = E → A ∩ B = ∅c) F ∪ G = {Treure bastos o as} → A ∩ B = {Treure as de bastos}
Pot coincidir la unió de dos esdeveniments amb un d’ells? Si és així, pot coincidir amb la intersecció?
La unió de dos esdeveniments coincideix amb un dels esdeveniments quan un està inclòs en l’altre; en aquest cas, la unió dels dos esdevenimentsés l’esdeveniment més gran, i la intersecció és el més petit.
011
010
009
008
007
006
SOLUCIONARI
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 429
430
Quan llancem un dau de 8 cares considerem els esdeveniments següents.
A = {2, 4, 5, 8} i B = {1, 2, 3, 7}
Calcula.
a) A ∪ B d) A ∪ Bb) A ∩ B e)c) f) A ∩ B
Què observes en els resultats c) i d)? I en els resultats e) i f)?
a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}
b) A ∩ B = {2}
c) A,∩,B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
d) A = {1, 3, 6, 7} B = {4, 5, 6, 8} → A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
e) A,∪,B = {6}
f) A ∩ B = {6}
Es compleix que A,∩,B = A ∪ B y A,∪,B = A ∩ B.
Considera l’experiment de llançar una moneda. Calcula l’espai mostral i tots els esdeveniments que puguis classificant-los en elementals i compostos. Troba el complementari de cada esdeveniment.
E = {cara, creu}
Si un esdeveniment A està contingut en un altre, B, què passa amb els seus complementaris?
El complementari de A conté el complementari de B.
Llancem 2 daus i sumem els punts que surten. Determina:
a) Un esdeveniment segur. b) Un esdeveniment impossible.Quina serà la probabilitat d’aquests dos esdeveniments?
a) Esdeveniment segur: «Treure més d’un punt». Probabilitat 1.
b) Esdeveniment impossible: «Treure més de 12 punts». Probabilitat 0.
En una urna hi ha 5 boles blanques i 4 boles vermelles. Escriu:
a) Un esdeveniment impossible. b) Un esdeveniment segur.
a) Esdeveniment impossible: «Treure bola verda».
b) Esdeveniment segur: «No treure bola blava».
016
015
014
013
A ∩ BA ∪ B
012
Probabilitat
ComplementariE
{creu}{cara}
∅
Esdeveniment∅
{cara}{creu}
E
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 430
431
14
A l’experiment de llançar una moneda:
a) Calcula l’espai mostral.b) Digues un esdeveniment segur i un d’impossible.c) Quina probabilitat li assignaries al esdeveniment «Sortir cara»? Raona la resposta.
a) E = {cara, creu}
b) Esdeveniment segur: «Sortir cara o creu». Esdeveniment impossible:«Sortir as d’oros».
c) Si la moneda no està trucada, hi haurà la mateixa possibilitat de sortir cara
que de sortir creu, i per tant P(Sortir cara) .
A què és igual la unió d’un esdeveniment segur i un d’impossible? I la intersecció? Calcula les seves probabilitats.
La unió és l’esdeveniment segur i la intersecció és l’esdeveniment impossible.
P(esdeveniment segur) = 1 P(esdeveniment impossible) = 0
Quan llancem un dau, calcula la probabilitat d’obtenir:
a) Múltiple de 5. f) Parell i divisor de 4.b) Divisor de 2. g) Múltiple de 7.c) Nombre primer. h) Més petit que 10.d) Nombre 3. i) Nombre senar.e) Divisor de 6.
a) P(múltiple de 5) =
b) P(divisor de 2) =
c) P(nombre primer) =
d) P(nombre 3) =
e) P(divisor de 6) =
f) P(parell i divisor de 4) =
g) P(múltiple de 7) =
h) P(més petit que 10) =
i) P(nombre senar) =3
6
1
2=
6
61=
0
60=
2
6
1
3=
4
6
2
3=
1
6
3
6
1
2=
2
6
1
3=
1
6
019
018
=1
2
017
SOLUCIONARI
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 431
432
Extraiem una carta d’una baralla espanyola. Quina és la probabilitat de treure un cavall? I una figura? I oros? I una sota que no sigui de copes?
P(cavall)
P(figura)
P(oros)
P(sota no de copes)
En una capsa hi ha 5 boles grogues i 7 de vermelles. Quina és la probabilitat de treure una bola groga? I una de vermella?
P(bola groga) P(bola vermella)
Pensa en un experiment els esdeveniments del qual siguin equiprobables, però en què sigui impossible aplicar la regla de Laplace.
Per exemple, en escollir un punt d’un interval de la recta real no es potaplicar la regla de Laplace perquè el nombre de casos possibles és infinit.
S’ha llançat una moneda 85 vegades i s’han obtingut 43 cares. Quina és la freqüència relativa de l’esdeveniment «Surt creu»?
a) b) 42 c) d) 0,42
Si les cares són 43, les creus seran 42. La freqüència és c) .
Es llança un dau de 4 cares i s’anoten les vegades que no surt la cara 1.
a) Fes la taula de freqüències relatives.b) Cap a quin valor tendeix?c) Quina probabilitat hi assignaries?
a)
b) Tendeix cap a 0,25.
c) P(no sortir cara 1) =1
4
024
42
85
4285
4385
023
022
=7
12=
5
12
021
=3
40
= =10
40
1
4
= =12
40
3
10
= =4
40
1
10
020
Probabilitat
Llançamentsfi
hi
207
0,35
4011
0,28
6015
0,25
8018
0,23
10027
0,27
Llançamentsfi
207
4011
6015
8018
10027
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 432
En una bossa hi ha boles numerades de l’1 al 5. N’extraiem 5.000 vegades unabola, anotem el resultat i la tornem a la bossa. Aquests han estat els resultats.
Calcula la probabilitat d’obtenir múltiple de 2.
Si a la bossa hi ha 100 boles, quantes són de cada classe? Justifica la resposta.
P(treure parell)
Com que la probabilitat s’aproxima amb les freqüències relatives, aplicant la regla de Laplace quan el nombre de casos possibles és 100, tenim que: 1-24, 2-16, 3-14, 4-26, 5-20.
Una màquina fabrica cargols. Com ho faries per calcular la probabilitat que, si escollim un cargol a l’atzar, sigui defectuós?
Agafaria una mostra de cargols a l’atzar, comptaria els defectuosos i dividiria el nombre de cargols defectuosos entre la mida de la mostra.
Es llancen 2 daus i se sumen els punts. Troba la probabilitat que la suma sigui:
a) 3 b) Més gran que 10. c) 7 d) 4 o 5
Quan llancem 2 daus es poden donar 36 combinacions possibles:
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)}
a) Hi ha 2 combinacions que sumen 3: (1, 2) i (2, 1).
b) Hi ha 3 combinacions que donen que la suma és més gran que 10: (5, 6), (6, 5) i (6, 6).
P(suma més gran que 10)
c) Hi ha 6 combinacions que sumin 7: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4) i (4, 3).
d) Hi ha 7 combinacions que sumen 4 o 5: (2, 2), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3) i (3, 2).
P( )suma 4 o 5 =7
36
P( )suma 7 = =6
36
1
6
= =3
36
1
12
P( )suma 3 = =2
36
1
18
027
026
=+
=800 1 300
5 0000 42
.
.,
025
433
14SOLUCIONARI
Bolafi
11.200
2800
3700
41.300
51.000
Bola fi hi
1 1.200 0,242 800 0,163 700 0,144 1.300 0,265 1.000 0,20
Total 5.000 1
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 433
434
Extraiem una carta d’una baralla espanyola. Troba la probabilitat que sigui:
a) Espases. c) Sota o oros.b) Espases i rei. d) Diferent d’una figura.
a) P(espases) c) P(sota o oros)
b) P(espases i rei) d) P(no figura)
Una urna té 4 boles blanques, 2 de vermelles i 5 de negres. Calcula laprobabilitat de treure una bola:
a) Blanca. b) Vermella. c) Blanca o negra.
a) P(blanca) c) P(blanca o negra)
b) P(vermella)
Si en un experiment aleatori P(B) = 0,2 i, a més, P(A ∪ B) = P(A),A i B són incompatibles? I complementaris?
Com que P(A ∪ B) = P(A), tenim que: P(A ∩ B) = P(B) = 0,2; per tant, A i B no són incompatibles ni complementaris.
El resultat d’una enquesta política a peu de carrer durant una hora, ha estat el següent: Quina és la probabilitat que si escollim una dona, hagi votat a l’esquerra?
Completem la taula, amb els següents càlculs:
a) Homes − esquerra = Total (17) − Homes − dreta (8) = 9
b) Esquerra = Homes − esquerra (9) + dones − esquerra (7) = 16
c) Total − dreta = Total (30) − Total − esquerra ( 16 = 14
d) Dones − dreta = Total − dreta (14) − Homes − dreta ( 8) = 6
e) Dones − Total = Dones − dreta (6) + Dones − esquerra (7) = 13
I per tant, queda la taula següent:
A partir d’aquí, podem calcular
P(dona − esquerra) =7
30
031
030
=2
11
=9
11=
4
11
029
=−
= =40 12
40
28
40
7
10=
1
40
=+
=3 10
40
13
40= =
10
40
1
4
028
Homes Dones TotalDreta 8Esquerra 7Total 17 30
Probabilitat
Homes Dones TotalDreta 8 6 (d) 14 (c)Esquerra 9 (a) 7 16 (b)Total 17 13 (e) 30
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 434
435
14
Completa la taula de contingència:
De manera anàloga, podem calcular:
Per què la suma dels totals en la taula de contingència de probabilitats és sempre igual a 1?
El total, en horitzontal o en vertical, ens dóna l’esdeveniment segur i, per tant,la seva probabilitat és 1.
Llancem enlaire un dau i a continuació un altre.
a) Fes un diagrama d’arbre per representar l’experiment aleatori compost.b) Calcula la probabilitat que surtin dos nombres imparells.
a) Si solament estudiem el cas que surti un nombre parell o imparell, el diagrama en arbre serà el següent:
b) La probabilitat que surtin dos nombres imparells serà:
P(imparell, imparell)
Un joc amb la baralla consisteix a treure dues cartes sense devolució i guanya el que tregui dues copes. Quina probabilitat hi ha de guanyar?
Fem el diagrama amb les probabilitats
I per tant, P(copa, copa) = ⋅ = =10
40
9
39
9
1560,0577
035
= ⋅ =1
2
1
2
1
4
034
033
032
SOLUCIONARI
A A TotalB 0,15B 0,24Total 0,37
A A TotalB 0,13 0,15 0,28B 0,24 0,48 0,72Total 0,37 0,67 1
1/2
1/2
parellparell
imparell
parellimparell
imparell
9/39
10/4030/39
10/39
30/39
copacopa
no copa
copa30/40 no copano copa
1/2
1/2
1/2
1/2
831106 _ 0426-0456.qxd 20/9/07 14:20 Página 435
436
En el joc anterior, és més fàcil guanyar si la primera carta que traiem la podemtornar?
Fem també el diagrama en aquesta nova situació
La probabilitat serà P(copa, copa) , i per tant ésmés fàcil guanyar.
ACTIVITATS
Classifica els experiments següents en deterministes o aleatoris.
a) Extreure una carta de la baralla espanyola.b) Mesurar la hipotenusa d’un triangle rectangle amb catets de 3 i 4 cm.c) Llançar 3 monedes i anotar el nombre de cares.d) Llançar una xinxeta i apuntar la posició de caiguda.e) Pitjar un botó que encén una bombeta en un circuit elèctric.f) Triar a l’atzar una fitxa de dòmino.g) Mesurar l’altura de la classe.h) Llançar una pedra al buit i mesurar-ne l’acceleració.i) Esbrinar el resultat d’un partit abans que es jugui.
Són aleatoris a), c) d), f) i i).Són deterministes b), e) g) i h).
Escriu dos experiments aleatoris i dos més que no ho siguin. Justifica la resposta.
Aleatoris: el pes d’un alumne i el número que sortirà a la loteria.
No aleatoris: l’edat d’un alumne de 1r d’Educació Infantil i els anys en què s’assoleix la majoria d’edat a Espanya.
Escriu l’espai mostral dels experiments aleatoris següents.
a) Extreure una carta de la baralla espanyola.b) Llançar una xinxeta i apuntar la posició de caiguda.c) Treure una bola d’una urna amb 5 boles vermelles, 3 de blaves i 2 de verdes.d) Llançar dos daus i restar-ne les cares superiors.e) Llançar dos daus i multiplicar-ne les cares superiors.f) Agafar les espases de la baralla espanyola i extreure una carta d’aquest grup.g) Triar a l’atzar un país de la Unió Europea.
039●
038●
037●
= ⋅ = =10
40
10
40
1
160,0625
036
Probabilitat
10/40
10/4030/40
10/40
30/40
copacopa
no copa
copa30/40 no copano copa
831106 _ 0426-0456.qxd 20/9/07 14:20 Página 436
437
14
a) E = {as, dos, ..., rei d’oros, as, dos, ..., rei de copes, as, dos, ..., reid’espases, as, dos, ..., rei de bastos}
b) E = {cap amunt, cap avall}c) E = {vermella, blava, verda}d) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}e) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}f) E = {as, dos, tres, quatre, cinc, sis, set, sota, cavall, rei}g) E = {Alemanya, Àustria, Bèlgica, Bulgària, Xipre, Dinamarca, Eslovàquia,
Eslovènia, Espanya, Estònia, Finlàndia, França, Grècia, Hongria,Irlanda, Itàlia, Letònia, Lituània, Luxemburg, Malta, Països Baixos,Polònia, Portugal, Regne Unit, República Txeca, Romania, Suècia}
Llancem 2 daus, un de vermell i un altre de blau. Quin és l’espai mostrald’aquest experiment?
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)}
Llancem dos daus i multipliquem el nombre de punts obtingut en cada un.Quants resultats podem obtenir? Descriu l’espai mostral i indica dos esdeveniments que no siguin elementals.
Hi ha 18 resultats diferents.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}
Esdeveniments elementals: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {8}, {9}, {10}, {12}, {15},{16}, {18}, {20}, {24}, {25}, {30}, {36}
Esdeveniments no elementals: «Parell», «Més petit que 20».
Triem una fitxa de dòmino a l’atzar. Determina:a) L’espai mostral.b) A = «Triar una fitxa els nombres de la qual sumin 6» c) B = «Triar una fitxa els nombre multiplicats de la qual donin 12».Els esdeveniments A i B, són compatibles o incompatibles?
a) El joc del dòmino no distingeix entre (a, b) i (b, a). E = {(0, 0), ..., (6, 6)}b) A = {(6, 0), (1, 5), (2, 4), (3, 3)} c) B = {(2, 6), (3, 4)}A ∩ B = ∅→ Són incompatibles.
Considera el llançament de 3 monedes. Escriu els esdeveniments següents: A = «Obtenir almenys una cara» i B = «Obtenir una sola cara». Calcula:a) A ∪ B b) A ∩ B c) A d) B
A = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C} B = {C++, +C+, ++C}
a) A ∪ B = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C} = Ab) A ∩ B = {C++, +C+, ++C} = Bc) = {+++}d) = {CCC, CC+, C+C, +CC, +++}B
A
043●●
042●
041●
040●
SOLUCIONARI
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 437
438
De les 28 fitxes del dòmino, n’extraiem una a l’atzar i sumem els punts. Escriu els esdeveniments.
a) A = «Obtenir múltiple de 5» b) B = «Obtenir nombre parell»
Calcula: A ∪ B, A ∩ B, A y B, A ∪ A, B ∩ B.
a) A = {5, 10} b) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 8, 10, 12}
A ∩ B = {10}
= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12}
= {0, 1, 3, 5, 7, 9, 11}
A ∪ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
∩ B = ∅
En un bombo hi ha 15 boles numerades de l’1 al 15 i n’extraiem una. Escriu els elements que formen els esdeveniments.
a) Múltiple de 3. d) Més gran que 3 i més petit que 8.b) Múltiple de 2. e) Nombre senar.c) Més gran que 4.
Escriu un esdeveniment compatible i un altre d’incompatible amb cadascund’ells, i també l’esdeveniment contrari.
a) A = {3, 6, 9, 12, 15}
Esdeveniment compatible ⎯→ «Treure més gran que 12»
Esdeveniment incompatible → «Treure més petit que 3»
= «No múltiplo de 3» = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14}
b) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Esdeveniment compatible ⎯→ «Treure múltiple de 3»
Esdeveniment incompatible → «Treure més petit que 2»
= «No par» = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
c) C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Esdeveniment compatible ⎯→ «Treure múltiple de 7»
Esdeveniment incompatible → «Treure més petit que 3»
= «Menor o igual que 4» = {1, 2, 3, 4}
d) D = {4, 5, 6, 7}
Esdeveniment compatible ⎯→ «Treure múltiple de 5»
Esdeveniment incompatible → «Treure més gran que 12»
= {1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
e) E = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
Esdeveniment compatible ⎯→ «Treure múltiple de 7»
Esdeveniment incompatible → «Treure parell més gran que 10»
= «No imparell» = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}E
D
C
B
A
045●●
BA
BA
044●●
Probabilitat
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 438
439
14
Quan llancem un dau de 6 cares, A = {2, 4} i B = {1, 2, 3}. Calcula.
a) A ∩B c) Són compatibles A i B?b) A ∪B d) Troba el contrari dels esdeveniments A, B, A ∩B i A ∪B
Entre els esdeveniments anteriors, troba una parella d’esdevenimentscompatibles, una d’incompatibles i una altra de contraris.
a) A ∩ B = {2}
b) A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
c) A ∩ B �∅→ Són compatibles
d) = {1, 3, 5, 6} = {4, 5, 6} A,∩,B = {1, 3, 4, 5, 6}A,∪,B = {5, 6}
A i B són compatibles → A ∩ B �∅A ∩ B i són incompatibles → (A ∩ B) ∩ = ∅A i són contraris.
Llancem un dau de 6 cares i considerem els esdeveniments A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 5} i C = {3, 4}. Calcula.
a) A d) A ∪ B g)
b) B e) A ∩ B h) A ∩ Bc) C f) B ∪ C i) A ∪ B
a) = {2, 4} f) B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5}
b) = {3, 6} g) A,∪,B = ∅c) = {1, 2, 5, 6} h) ∩ = ∅d) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E i) ∪ = {2, 3, 4, 6}
e) A ∩ B = {1, 5}
Traiem dues cartes d’una baralla espanyola. Un esdeveniment impossible és:
a) «Treure dos oros»b) «Treure dos cavalls de copes»c) «Treure dues cartes de pal diferent»d) «Treure dues figures iguals del mateix pal»
Hi ha dos esdeveniments impossibles: b) «Treure dos cavalls de copes» i d) «Treure dues figures iguals del mateix pal». Per tant, les dues cartes no poden ser iguals.
Ordena de més gran a més petit grau de probabilitat d’obtenir els esdevenimentssegüents quan llancem un dau.
a) «Nombre parell» c) «Nombre més petit que 7»b) «Nombre igual o més gran que 5» d) «Nombre més gran que 7»
P(d) = 0 < P(b) < P(a) < P(c) = 1
049●
048●
BA
BAC
B
A
A ∪ B
047●●
A
BB
BA
046●
SOLUCIONARI
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 439
440
D’una baralla de 40 cartes n’extraiem una. Calcula les probabilitats dels esdeveniments següents.
a) A = «Obtenir oros»
b) B = «Obtenir el rei d’oros»
c) C = «Obtenir espases o copes»
a) P(A) =
b) P(B) =
c) P(C) =
Llancem un dau a l’aire i sumem els punts de totes les cares menys de la de dalt. Troba l’espai mostral i la probabilitat d’obtenir un nombre múltiple de 3.
E = {15, 16, 17, 18, 19, 20} P(múltiple de 3) = = 0,3)
En el joc del parxís s’ha trucat el dau perquè la probabilitat que surti 5 sigui cinc vegades la probabilitat que surti qualsevol altra cara. Quina afirmació és certa?
a) P(cara 5) c) P(cara 5)
b) P(cara 5) d) P(cara 1)
Com que la suma de les pobabilitats és 1, si x és la probabilitat que surti qualsevol de les cares diferents de 5, i 5x la de 5: x + x + x + x + x + 5x = 1 → x = 0,1 i 5x = 0,5.
Per tant, la solució és b) P(cara 5) = .
En el cas del dau anterior, la probabilitat que surti cara senar és:
a) c)
b) d)
P(senar) = P({1, 3, 5}) = P(1) + P(3) + P(5) = 0,7. La solució és d) .7
10
710
310
76
12
053●●
1
2
= 16
= 12
= 56
= 23
052●●
2
6
1
3=
051●●
20
400 5= ,
1
400 025= ,
10
400 25= ,
050●
Probabilitat
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 440
441
14
Quan llancem una xinxeta, pot caure amb la punta cap amunt o cap avall.
a) És un experiment aleatori o determinista?
b) Quins són els esdeveniments elementals?
c) Aquests esdeveniments són equiprobables?
a) És aleatori.
b) Els esdeveniments elementals són «Punta cap amunt» i «Punta cap avall».
c) No són equiprobables, ja que és més probables que caigui amb la puntacap avall.
Per comprovar si els esdeveniments elementals de l’activitat anterior sónequiprobables, fes l’experiment 100 vegades (agafa 10 xinxetes i llança-les10 vegades). La freqüència relativa de l’esdeveniment «Punta cap amunt» és més gran?Compara el teu resultat amb el que han obtingut els teus companys i feu una taula ajuntant tots els resultats.
És més gran la freqüència relativa de l’esdeveniment «Punta cap amunt».
En un bombo hi ha 10 boles numerades del 0 al 9. Repetim 100 vegadesl’experiment de treure una bola i reemplaçar-la. Els resultats són:
Donats els esdeveniments següents: A = «Múltiple de 3», B = «Nombre senar»i C = «Divisor de 6», calcula:iii
a) La freqüència relativa de A, B i C.b) La freqüència relativa de A ∪ B, A ∩ B i A ∪ C.
Quina probabilitat li assignaries a cada esdeveniment?
A = {3, 6, 9} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {1, 2, 3, 6}
a) Freqüència de A = 12 + 12 + 11 = 35
Freqüència de B = 13 + 12 + 10 + 6 + 11 = 52
Freqüència de C = 13 + 11 + 12 + 12 = 48
b) Freqüència de A ∪ B = 13 + 11 + 12 + 10 + 12 + 6 + 11 = 75
Freqüència de A ∩ B = 12 + 11 = 23
Freqüència de A ∪ C = 13 + 11 + 12 +12 + 11 = 59
P A C( ) ,∪ = =59
1000 59P A B( ) ,∩ = =
23
1000 23P A B( ) ,∪ = =
75
1000 75
P C( ) ,= =48
1000 48P B( ) ,= =
52
1000 52P A( ) ,= =
35
1000 35
056●●
055●
054●
SOLUCIONARI
Bolafi
07
113
211
312
48
510
612
76
810
911
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 441
442
Llancem 100 vegades un dau tetraèdric i anotem el nombre de la cara oculta, i obtenim:
Troba la freqüència relativa de l’esdeveniment:
a) Múltiple de 3.
b) Múltiple de 2.
c) Cara més gran que 1.
d) Cara més petita que 1.
Quina probabilitat assignaries a cadascun dels esdeveniments anteriors?
a) Freqüència 30 → P = 0,3)
b) Freqüència 22 + 20 = 42 → P =
c) Freqüència 22 + 30 + 20 = 72 → P =
d) Freqüència 0 → P = 0
Llancem 4 monedes iguals.
a) Quina és la probabilitat d’obtenir 4 cares?b) I de no obtenir-ne cap?c) Quin esdeveniment és més probable, obtenir 2 cares o obtenir,
com a mínim 3 creus?
Hi ha 16 esdeveniments elementals equiprobables.
a) P(4 cares) =
b) P(0 cares) = P(4 creus) =
c) «Obtenir 2 cares» = {CC++, C+C+, C++C,+CC+, +C+C, ++CC}
P(2 cares) =
«Obtenir almenys 3 creuss» = {+++C, ++C+, +C++, C+++, ++++}
P(almenys 3 creus) = . La probabilitat d’obtenir 2 cares
és més gran que la d’obtenir almenys 3 creus.
5
160 3125= ,
6
160 375= ,
1
160 0625= ,
1
160 0625= ,
058●●
72
100= 0,72
42
1000 42= ,
30
100=
057●●
Probabilitat
Carafi
128
222
330
420
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 442
Un examen tipus test consta de 5 preguntes, cadascuna de les quals té tres possibles respostes.
a) Calcula la probabilitat d’encertar 3 preguntes si contestes a l’atzar.
b) Si per aprovar l’examen s’han de contestar com a mínim 3 preguntescorrectament, troba la probabilitat d’aprovar i de suspendre.
P(encertar una pregunta) =
P(no encertar una pregunta) =
a) «Encertar 3 preguntes» = {AAANN, AANAN, AANNA, ANAAN, ANANA,ANNAA, NAAAN, NAANA, NANAA, NNAAA}
P(esdeveniment elemental)
P(encertar 3 preguntas)
b) «Encertar 4 preguntas» = {AAAAN, AAANA, AANAA, ANAAA, NAAAA}
P(esdeveniment elemental)
P(encertar 4 preguntas)
«Encertar 5 preguntas» = {AAAAA}
P(encertar 5 preguntas)
P(aprovar) =
P(suspendre) = 1 − P(aprovar) =
Fem un estudi amb 100 persones sobre si es consideren destres o esquerranes a l’hora d’escriure i hem obtingut la taula següent. Completa-la i calcula la probabilitat que si escollim un home sigui esquerrà.
Primer posem el total, que és 100, i completem la taula, que quedarà així:
I a partir d’aquí, P(home esquerrà) = =9
1000,09
060●●●
151
243
192
243− =
1 10 40
243
51
243
+ +=
=1
243
= ⋅ =52
243
10
243
=2
243
= ⋅ =104
243
40
243
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1
3
1
3
1
3
2
3
2
3
4
243
2
3
1
3
059●●●
443
14SOLUCIONARI
Homes Dones TotalDretà 34 26 60Esquerrà 9 31 40Total 43 57 100
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 443
444
Quants resultats són possibles en el llançament de tres daus? Fes un diagramad’arbre i calcula la probabilitat d’obtenir al menys un sis.
Si pensem l’experiment aleatori de llançar un dau, tenim l’espai mostral
següent: E = {6, no 6} amb les probabilitats següents:
i , el diagrama d’arbre amb 3 llançaments serà:
I la probabilitat d’obtenir almenys un 6 la podem obtenir mitjançantl’esdeveniment contrari:
A = {obtenir almenys un 6} → A = {cap 6} = {no 6, no 6, no 6}, la probabilitat del qual és
→
En una urna tenim 7 boles blanques i 4 de negres, i traiem tres boles. Calcula la probabilitat que les tres siguin blanques si cada vegada es torna la bola que es treu a la urna.
Fem el diagrama d’arbre tenint en compte únicament la probabilitat de l’esdeveniment que hem de calcular:
Per tant: P(blanca, blanca, blanca) = ⋅ ⋅ = =7
11
7
11
7
11
343
1 331.0,2577
062●●●
P A P A( ) ( )= − = =191
2160,4213P A( ) = ⋅ ⋅ =
5
6
5
6
5
6
125
216
P( )no 65
6=
P( )61
6=
061●●●
Probabilitat
1/6
1/6
1/6
5/6
5/6
1/6
5/6
66
6no 6
6no 6
no 6
66
no 6
6
5/6
no 6
no 6
no 6
7/11
7/11
7/11
4/11
BlancaBlanca
BlancaNegra
Blanca4/11 NegraNegra
BlancaBlanca
Negra
Blanca
4/11
Negra
Negra
Negra
1/6
5/6
1/6
5/6
1/6
5/6
831106 _ 0426-0456.qxd 20/9/07 14:20 Página 444
En l’exercici anterior, calcula la probabilitat que siguin del mateix color en els dos casos: que la bola que es treu es torni a l’urna i que no es torni.
Tornem a fer el diagrama amb les seves probabilitats en els dos casos.
a) Amb devolució de la bola:
L’esdeveniment {del mateix color} és un esdeveniment compost que té la probabilitat següent:
P(A) = P(B, B, B) + P(N, N, N) =
=
b) Sense devolució: les probabilitats són diferents. Fem el diagrama:
P(A) = P(B, B, B) + P(N, N, N) =
=
La probabilitat d’un esdeveniment és 0,2. Quina és la probabilitat de l’esdeveniment contrari?
P(A) = 1 − 0,2 = 0,8
Si en un dau P(1) = P(2) = P(3) = 0,14 i P (4) = P(5) = P(6) = x,quin és el valor de x?
3
73 1
4
21+ = =x x→
065●●
064●
7
11
6
10
5
9
4
11
3
10
2
9
234
9900 236⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = ,
7
11
4
11
343
1 331
643 3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
. 11 331
409
1 331. .= = 0,3073
063●●●
445
14SOLUCIONARI
7/11
7/117/
114/11
4/11
7/11
4/11
BlancaBlanca
BlancaNegra
BlancaNegra
Negra
BlancaBlanca
Negra
Blanca
4/11
Negra
Negra
Negra
5/9
6/10
7/11
4/9
BlancaBlanca
BlancaNegra
Blanca4/10 NegraNegra
7/10
7/9
2/9
BlancaBlanca
Negra
Blanca3/10
4/11
Negra
Negra
Negra
7/11
4/11
7/11
4/11
7/11
4/11
831106 _ 0426-0456.qxd 20/9/07 14:20 Página 445
446
En una dau trucat, la probabilitat que surti cadascuna de les cares és:
Si saps que P(4) = 2P(5), quant valen a i b?
a = 2b → 0,1 + 0,1 + 0,1 + 2b + b + 0,4 = 1 → b = 0,1 i a = 0,2
Extraiem una carta de la baralla espanyola. Troba la probabilitat de:
a) Obtenir un cavall.b) No sortir una figura.c) No sortir ni oros ni bastons.d) Treure rei d’oros o d’espases.
a) P(cavall) =
b) P(figura) =
c) P(no oros ni bastos) =
d) P(rei d’oros o d’espases) =
Triem a l’atzar un número de l’1 al 30. Tenim els esdeveniments A = «Obtenir un nombre parell més petit o igual que 14», B = «Obtenir un múltiple de 3 més petit o igual que 10» i C = «Obtenir un múltiple de 10». Calcula la probabilitat de:
a) A ∪ B c) A ∪ B e) B ∩ Cb) A ∪ C d) C ∪ B f) A ∩ B
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} B = {3, 6, 9} C = {10, 20, 30}
a) A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14}
P(A ∪ B) = 0,3
b) A ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 30}
P(A ∪ C) = 0,3
c) A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}
P(A ∪ B) =28
300 93= ,
068●●
2
40
1
200 05= = ,
20
40
1
20 5= = ,
12
40
3
100 3 1 0 3 0 7= = = − =, ( , ,→ P no figura)
4
40
1
100 1= = ,
067●●
066●●
Probabilitat
Carafi
10,1
20,1
30,1
4a
5b
60,4
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 446
447
14
d) C ∪ B = B ∪ C = {3, 6, 9, 10, 20, 30}
P(C ∪ B) =
e) B ∩ C = ∅ → P(B ∩ C) = 0
f) A ∩ B = {3, 9} → P(A ∩ B) =
En una urna hi ha 100 boles numerades de l’1 al 100. Traiem una bola el nombre de la qual sigui n i definim els esdeveniments.
A = «n és múltiple de 5»B = «n és múltiple de 3»C = «n és divisible per 2»D = «n és divisible per 10»E = «n és divisible per 1»
a) Quants esdeveniments elementals componen cada esdeveniment? Quina és la probabilitat de cadascun?
b) Hi ha dos esdeveniments incompatibles?
c) Hi ha dos esdeveniments compatibles? I contraris?
d) Troba la probabilitat de A ∩ B, B ∪ C i D.
a) A = 20 ⎯→ P(A) = 0,2
B = 33 ⎯→ P(B) = 0,33
C = 50 ⎯→ P(C) = 0,5
D = 10 ⎯→ P(D) = 0,1
E = 100 → P(E) = 1
b) No n’hi ha.
c) Totes les parelles són compatibles. No hi ha esdeveniments contraris.
d) P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) = 0,2 ⋅ 0,33 = 0,6
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) − P(B ∩ C) = 0,33 + 0,5 − 0,165 = 0,665
P(D) = 0,1
Considera un joc en què llances dos daus i guanyes si la suma dels punts és 11 o 7.
a) Descriu l’espai mostral d’aquest experiment.b) Calcula la probabilitat de guanyar.
a) E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)}
b) P(7 u 11) =8
36
4
9=
070●●●
069●●
2
300 06= ,
6
300 2= ,
SOLUCIONARI
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 447
448
En un dinar hi ha 28 homes i 32 dones.Han menjat carn 16 homes i 20 dones, i la resta, peix. Si triem una persona a l’atzar, calcula la probabilitatd’aquests esdeveniments.
a) Que sigui home.b) Que hagi menjat peix.c) Que sigui home i hagi menjat peix.
a) P(home) = c) P(home i peix) =
b) P(peix) =
En una llar d’infants hi ha 20 nens i 16 nenes. La meitat dels nens i tres quartes parts de les nenes són morens i la resta són rossos. Quina és la probabilitat que si en triem un a l’atzar sigui nen o tingui els cabells morens?
Nens → morens = 10, rossos = 10
Nenes → morenes = ⋅ 16 = 12, rosses = 4
P(nen o morè) = P(nen) + P(morè) − P(nen i morè)
P(nen o morè) =
En una ciutat llegeixen el diari A el 30 % dels habitants, el diari B, el 20 % dels habitants i el 7 % llegeixen tots dos diaris.
a) Quina probabilitat hi ha que si triem algú a l’atzar llegeixi algun dels dos diaris?
b) I que no en llegeixi cap? I que en llegeixi un?
a) P(llegeix A o B) = P(llegeix A) + P (llegeix B) −− P(llegeix A i B)
P(llegeix A o B) = 0,3 + 0,2 − 0,07 = 0,43
b) P(no llegeix A ni B) = 1 − P(llegeix A o B)P(no llegeix A ni B) = 1 − 0,43 = 0,57
P(en llegeix només un) = 1 − [P(llegeix A i B) + P(cap)]P(en llegeix només un) = 1 − [0,07 + 0,57] = 1 − 0,64 = 0,36
073●●●
20
36
22
36
10
36
32
360 89+ − = = ,
3
4
072●●
24
60
2
50 4= = ,
12
60
1
50 2= = ,
28
60
7
150 46= = ,
071●●
Probabilitat
CarnHomesDonesTotal
Peix Total16 12 2820 12 3236 24 60
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 448
449
14
En Lluís i en Joan han de recollir l’habitació que comparteixen. En Lluís posa en una bossa 3 boles vermelles, 2 de verdes i 1 de blava, i li proposa al seu germà que en tregui una. Si és vermella, recull en Joan, i si és blava, ell.
a) Quina és la probabilitat de cada bola?b) És just el que proposa en Lluís?c) En Joan no accepta el tracte i proposa que si surt vermella, reculli ell,
i si surt blava o verda, ho faci en Lluís. És just aquest tracte? Per què?
a) P(vermella) = P(blava) =
b) No, perquè és el triple de probable que li toqui a en Joan.
c) Sí, perquè P(blava o verda) = 0,5 = P(vermella).
Si tinc 3 claus que obren els 3 panys d’una porta, però no sé quina obracadascuna, quina és la probabilitat que encerti amb la combinació a la primera oportunitat? I si tingués 3 claus i només 2 panys? (Una de les claus no obre cap pany.)
Si tinc tres claus, E = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.
La combinació adecuada és només una de les sis:
P(encertar a la primera) =
Si tinc dos claus: E = {12, 13, 21, 23, 31, 32}.
La combinació adecuada és només una de les sis:
P(encertar a la primera) =
La Paula va a una botiga 2 vegadesper setmana, i en Robert treballa en aquesta botiga 4 dies persetmana. Si el divendres és l’únicdia que no hi va cap dels dos, quina és la probabilitat que coincideixin dos dies? (La botiga tanca el diumenge.)
Com que en Robert treballa quatre dels cinc dies possibles (dilluns, dimarts,dimecres, dijous i dissabte), només hi ha un dia que no treballa, i, per tant,almenys coincideixen un dia. L’esdeveniment «Coincidir un dia» es dónaquan el dia en què en Robert no treballa és un dels dos en què la Paula
treballa, i la probabilitat és: (casos favorables = 2 dies,
casos posibles = 5 dies).
Com que l’esdeveniment «Coincidir dos dies» és el contrari de «Coincidir un dia», la probabilitat és: 1 − 0,4 = 0,6.
2
50 4= ,
076●●●
1
6
1
6
075●●●
1
60 16= ,
3
6
1
20 5= = ,
074●●
SOLUCIONARI
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 449
450
A l’Oest, tres vaquers han de fer una acció arriscada, tallen amb longitudsdiferents tres palets, els tapen de manera que sembli que tenen la mateixaaltura i cada vaquer en tria un. El que l’agafa més curt perd. Per què no discuteixen mai qui tria primer?
A = «Vaquer primer agafa el pal més curt»
B = «Vaquer segon agafa el pal més curt»
C = «Vaquer tercer agafa el pal més curt»
Són incompatibles, i per això cada esdeveniment està inclòs en el complementari dels altres.
P(A) =
P(A ∩ B) = P(B) =
P(A ∩ B ∩ C) = P(C) =
Per tant, els tres vaquers tenen la mateixa probabilitat d’agafar el pal més curt.
Nadal és millor que Federer en terra batuda i la probabilitat que té de guanyar-li un set és 3/5. Si el cansament els afecta tots dos igual, explica per què Nadal prefereix jugar al millor de 5 sets que al millor de 3 sets.
Fem el diagrama d’arbre amb la freqüència de victòries per a cada cas.
078●●●
1
3
1
3
1
3
077●●●
Probabilitat
Guanya Nadal 27/125
Guanya Nadal 18/125
Guanya Nadal 18/25
Guanya Federer 12/125
Guanya Nadal 18/25
Guanya Federer 12/125
Guanya Federer 12/125
Guanya Federer 8/125
N3/5 de 9/25N
3/5 de 3/5
N3/5
F2/5
F2/5 de 3/5
N3/5 de 2/5
F2/5 de 2/5
F2/5 de 9/25
N3/5 de 6/25
F2/5 de 6/25
N3/5 de 6/25
F2/5 de 6/25
N3/5 de 4/25
F2/5 de 4/25
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 450
451
14
S’observa que la probabilitat que guanyi Nadal és:
Per tant, Nadal té més probabilitat de guanyar en 5 sets.
P( )Nadal =
+ + + + + + + +243 162 162 162 108 162 108 108 1622108 108 108 162 108 108 108 108
3 1252
++ + + + + + + +
=
=
...
.,
295
3 1250 73=
P( )Nadal 0,65= + + + = =27
125
18
125
18
125
18
125
81
125
SOLUCIONARI
N → Guanya Nadal 243/3.125N3/5 de 27/125N
3/5 de 9/25
F2/5 de 9/25
N3/5 de 6/25
F2/5 de 6/25
N3/5 de 6/25
F2/5 de 6/25
F2/5
N3/5 de 4/25
F2/5 de 4/25
N3/5 de 3/5
N3/5
F2/5 de 3/5
N3/5 de 2/5
F2/5 de 2/5
F ⎯→ Guanya Nadal 162/3.125
N → Guanya Nadal 162/3.125
F ⎯→ Guanya Nadal 108/3.125
N → Guanya Nadal 162/3.125
F ⎯→ Guanya Nadal 108/3.125
N → Guanya Nadal 108/3.125
F ⎯→ Guanya Federer
N → Guanya Nadal 162/3.125
F ⎯→ Guanya Nadal 108/3.125
N → Guanya Nadal 108/3.125
F ⎯→ Guanya Federer
N → Guanya Nadal 108/3.125
F ⎯→ Guanya Federer
N → Guanya Federer
F ⎯→ Guanya Federer
N → Guanya Nadal 108/3.125
F ⎯→ Guanya Nadal 108/3.125
N → Guanya Nadal 108/3.125
F ⎯→ Guanya Federer
N → Guanya Nadal 108/3.125
F ⎯→ Guanya Federer
N → Guanya Federer
F ⎯→ Guanya Federer
N → Guanya Nadal 108/3.125
F ⎯→ Guanya Federer
N → Guanya Federer
F ⎯→ Guanya Federer
N → Guanya Federer
F ⎯→ Guanya Federer
N → Guanya Federer
F ⎯→ Guanya Federer
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 451
452
Tinc a la butxaca dues monedes de 20 cèntims, dues de 10 cèntims i dues de 5 cèntims. Si trec dues monedes a l’atzar, quina és la probabilitatd’obtenir una quantitat superior o igual a 20 cèntims?
Fem el diagrama d’arbre que representa l’extracció de les monedes:
La probabilitat de treure almenas 20 cèntims amb dues monedes és:
En una classe de 23 alumnes, el tutor revisa les fitxes dels alumnes i comprova que dos d’ells fan els anys el mateix dia del mateix mes. Quan ho comenta al professor de matemàtiques, aquest li diu que això és més habitual que el contrari, és a dir, que no hi hagi cap coincidència.Comprova si el professor de matemàtiques té raó.
Quan són dos alumnes, la probabilitat que no hagin nascut en la mateixa data
és . La probabilitat que tres alumnes no hagin nascut en la mateixa
data és: .
La probabilitat de Quatre alumnes és: .
Així, la probabilitat que en 23 alumnes no hi hagi coincidències de dates
de naixement és: .
Per tant, la probabilitat que existeixi una coincidencia és 0,54, i per tant ésmés probable.
342 343 363 364
3650 46
22
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
...,
362
365
363 364
365
362 363 364
3652 3de
⋅=
⋅ ⋅
363
365
364
365
363 364
3652de =
⋅
364
365
080●●●
P( )> =+ + + + +
= =202 4 4 4 2 4
30
20
30
2
3cts.
079●●●
Probabilitat
20 cts.1/5 de 2/6
10 cts.2/5 de 2/6
5 cts.2/5 de 2/6
20 cts.2/5 de 2/6
10 cts.1/5 de 2/6
5 cts.2/5 de 2/6
20 cts.2/5 de 2/6
10 cts.2/5 de 2/6
20 cts.2/6
10 cts.2/6
5 cts.2/6
5 cts.1/5 de 2/6
40 cts. → 2/30
TotalSegona monedaPrimera moneda
30 cts. → 4/30
25 cts. → 4/30
30 cts. → 4/30
20 cts. → 2/30
15 cts. → 4/30
25 cts. → 4/30
15 cts. → 4/30
10 cts. → 2/30
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 452
453
14
A LA VIDA QUOTIDIANA
Amb motiu de la setmana cultural de l’institut, s’ha celebrat un campionat de dards. Després d’unes quantes eliminatòries, hem quedat com a finalistes l’Anna, en Bernat, la Camil·la i jo.
Des de fa temps he anat apuntant les partides que hem jugat i qui les ha guanyades.
La final consisteix en una lliga en què jugarem tots contra tots. Cada victòria atorgarà 1 punt al guanyador i 0 punts al perdedor.
Al final de la lliga guanyarà el concursant amb la puntuació més alta.
Segons les dades anotades, quina probabilitat tinc de guanyar el campionat? I de perdre’l?
Si considerem que guanyar és tenir més punts en solitari, sense empats, l’única manera de fer-ho és guanyar les tres partides, ja que si només se’n guanyen dues, en les altres quatre partides de la lliga semprehi haurà un jugador que en guanyi almenys dues, i per tant empataria.
La probabilitat de guanyar les tres partides, si fem el diagrama d’arbre, és:
La probabilitat de guanyar el campionat és .
De la mateixa manera que la victòria, si considerem que perdre és aconseguirel menor nombre de punts, l’única opció possible és perdre totes les partides,ja que si guanyem una de les cinc partides que queden és impossible quetots en guanyin dos.
La probabilitat de perdre les tres partides, si fem el diagrama d’arbre, és:
La probabilitat de perdre el campionat és: .63
2 7280 02
.,=
35
1860 18= ,
081●●●
SOLUCIONARI
Guanyades per mi
Partides jugades Guanyades per l’Anna
Partides jugades Guanyades per en Bernat
Anna 36 22Bernat 44 35Camil·la 31 12
Bernat 27 16
Camil·la 29 13
Camil·la 32 9
Jo contra…
L’Anna contra...
Bernat contra…
Guanyar a Anna Guanyar a Bernat Guanyar a Camil·la22/36 = 11/18 35/44 de 11/18 = 35/72 12/31 de 35/72 = 35/186
Perdre amb Anna Perdre amb Bernat Perdre amb Camil·la14/36 = 7/18 9/44 de 7/18 = 7/88 9/31 de 7/88 = 63/2.728
Partides jugades
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 453
454
La Direcció General de Trànsit (DGT) portarà a terme una campanya per reduir la sinistralitat a les carreteres.
Un elevat nombre d’accidents amb víctimes mortals és degut a dos factors:
• No fer servir el cinturó de seguretat.• No respectar la distància de seguretat.
Per determinar la incidència d’aquestes infraccions, s’han fet múltiples controlsde trànsit. Aquestes són les dades recollides:
Els conductors que no portaven el cinturó se’ls va sancionar amb la pèrdua de 2 punts, i els que no respectaven la distància de seguretat, amb 3 punts. En vista d’aquestes dades, la DGT planteja fer controls persuasius. Quants vehicles aproximadament s’han d’inspeccionar en cada control per no sobrepassar els 10 conductors sancionats amb la penalització màxima, és a dir, la pèrdua de 5 punts?
La freqüència de conductors que no porten cinturó i no respecten la distància
de seguretat és: . Per tant, per no superar els 10 conductors
que són sancionats amb 5 punts, hem d’inspeccionar menys de 125 vehicles.
x x⋅ < <2
2510 125→
40
500
2
25=
082●●●
Probabilitat
En cada control, els agents han inspeccionat 500 vehicles:• Una mitjana de 60 conductors no portava
el cinturó.• D’aquests 60 conductors, 40 no respectaven
la distància de seguretat.• I 410 circulaven correctament.
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 454
Es prohibeix, llevat d’excepció prevista per la llei, qualsevol forma de repro-ducció, distribució, comunicació pública i transformació d’aquesta obrasense l’autorització dels titulars de la propietat intel·lectual. La infracciódels drets esmentats pot constituir delicte contra la propietat intel·lectual(articles 270 i següents del Codi Penal).
© 2007 by Grup Promotor/Santillana Educación, S. L.Frederic Mompou, 11 (Vila Olímpica) 08005 BarcelonaImprès per
ISBN: 978-84-7918-133-8CP: 831106Dipòsit:
Direcció d’art: José Crespo
Projecte gràfic:Portada: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTAInteriors: Manuel García, Rosa Barriga
Il·lustració: Grafitti s.c., José María Valera
Cap de projecte: Rosa MarínCoordinació d’il·lustració: Carlos AguileraCap de desenvolupament de projecte: Javier TejedaDesenvolupament gràfic: José Luis García, Raúl de Andrés
Direcció tècnica: Ángel García Encinar
Coordinació tècnica: Félix RotellaConfecció i muntatge: Luis González, Fernando Calonge, Marisa Valbuena
Correcció: Marta Rubio, Gerardo Z. GarcíaDocumentació i selecció fotogràfica: Nieves Marinas
Fotografies: A. Toril; D. López; F. de Madariaga; GOYENECHEA; J. Jaime; J. M.ª Escudero; J. V. Resino; M. G. Vicente; M. Montes; ORONOZ; Prats i Camps; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto;COMSTOCK; EFE/EPA/Justin Lane, Andreu Dalmau; EFE/M. Hernández de León; EFE/EPA PHOTO/Wolfgang Kumm; EFE/SIPA-PRESS/Peter Stumpf; FOAT; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; PHOTODISC; STOCKBYTE; Airman Joe Hendricks, U. S. Navy; EL MUSEO CANARIO, LAS PALMAS DE GRAN CANARIA; M. Vives; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARXIU SANTILLANA
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 455
831106 _ 0426-0456.qxd 11/9/07 13:48 Página 456