SEMINAR 12 - VEGHES OVIDIU

Decembrie 2012

Tema seminarului: Complement ortogonal. Cea mai buna aproximare a unui vector ntr-unsubspatiu. Operatori de proiectie ortogonala.3.2.1 Exercitiu Fie (V,K) spatiu euclidian. Doua submultimi A, B ale lui V se numesc

ortogonale daca x A, y B, x y si se noteaza cu A B. Multimea A = {y V | y A}se numeste complement ortogonal al unei multimi de vectori A. Sa se demonstreze ca:

(1) A B A B = {0};(2) span

K({ai|i I}) B ai B, i I;

(3) A A si A = (spanK(A));

(4) A = spanK

(

QV, QAQ

), A este subspatiu vectorial;

(5) A B B A;(6) Daca X si Y sunt subspatii vectoriale a lui V, atunci (X+Y) = X Y;(7) Daca dimKV N si X este subspatiu vectorial a lui V, atunci dimKX = dimKVdimKX;(8) Daca dimKV N si X si Y sunt subspatii vectoriale a lui V pentru care dimKX+dimKY =

dimKV si X Y atunci V = XY, Y = X si X = Y;(9) Daca dimKV N si X este subspatiu vectorial a lui V, atunci

(X)= X.

3.2.2 Exercitiu Fie V un spatiu euclidian real,W un subspatiu vectorial si x V. Consideramx W pentru care x x = minwW xw si x W, x x, w = 0, w W. Sa searate ca:(i) exista un singur vector din W ce satisface oricare din conditiile precedente;(ii) daca PrW : V V, PrW (x) = x = x, atunci PrW L (V,V) este un operator de proiectie

(numit operator de proiectie ortogonala pe subspatiul W);(iii) daca S L (V,V) este un operator de proiectie (S S = S), atunci el este o proiectie

ortogonala (pe ImS) daca si numai daca S este simetric1.3.2.3 Exercitiu Sunt adevarate proprietatile:

(1) PrW (x)2= x,PrW (x), (x,PrW (x))

[0,

2

], PrW (x) x, x V;

(2) PrW (x1 + x2) = PrW (x1) + PrW (x2), x1, x2 V siPrW (x) = PrW (x), x V, R;

(3) PrW (v) = v, v W si PrW (x1) , x2 = x1,PrW (x2), x1, x2 V;(4) PrV2 (PrV1 (x)) = PrV1 (x), x V, unde V1 V2 doua subspatii vectoriale a spatiului V;(5) PrV1 (PrV2 (x)) = PrV1 (x), x V, unde V1 V2 (teorema celor 3 perpendiculare).

3.2.4 Exercitiu n spatiul vectorial(R4,R

)se considera vectorul x = (5, 2,2, 2) si subspatiul

vectorial X = spanR ({(2, 1, 1,1) , (1, 1, 3, 0) , (1, 2, 8, 1)}). Sa se determine: i) proiectia ortogonalaa vectorului x pe subspatiul X; ii) distanta de la x la X; iii) complementul ortogonal X alspatiului X; iv) expresia operatorului de proiectie ortogonala pe X; v) expresia operatorului deproiectie ortogonala pe X; vi) cte o baza ortonormata pentru fiecare dintre subspatiile X siX, folosind procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt; vii) daca prin reuniunea vectorilor de lapunctul precedent se poate obtine tot o baza ortonormata, dar pentru R4.3.2.5 Exercitiu a) Sa se determine n proiectia vectorului x = (1, 1, 1, 1) pe subspatiul

X ={(x1, x2, x3, x4) R

4| {x1 + x2 + x3 + x4 = 0}.

b) Sa se determine complementul ortogonal X n(R4,R

)si o baza ortonornata a acestuia.

1S L (V,V) se numeste simetric daca S (x1) , x2 = x1, S (x2), x1, x2 V.

1

2 SEMINAR 12 - VEGHES OVIDIU

3.2.6 Exercitiu Sa se determine n(R5,R

)subspatiul X, unde

X =

{(x1, x2, x3, x4, x5) R

5|

{x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0x1 x2 x3 x4 + x5 = 0

}.

Sa se verifice ca X X = V. Sa se determine urmatoarele aplicatii PrX,PrX : V V, undePrX = pr

X

X, PrX = prXX . Sa se verifice ca

v PrX (v) , x = 0, x X si v PrX (v) = minxX

v x .

3.2.7 Exercitiu[Principiul minmax] Fie V un spatiu euclidian n N dimensional si T L (V,V). Sa se arate ca daca T este simetric si 1 . . . n valorile proprii corespunzatoare luiT , atunci

mindimX0=nk+1

(max

xX0,x=1T (x) , x

)= k, k = 1, . . . , n.

Tema recomandata:Capitolul 2: (sect.2-rezolvate): ex.17-20 (sect.3-propuse): ex.24-26,31.

Bibliografie

[1] R. Serban (coord.), L. Badin, M. Carpusca, G. Ciurea. Algebra liniara. Culegere de probleme. Ed.ASE, Bucuresti,1999.