Revisão de conceitos Matemáticos
Matemática e Fundamentos de Informática
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ConjuntosTeoria dos conjuntos✴Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos).
✴Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc.
✴Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive.
✴Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade o número de elementos que contém.
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ConjuntosRepresentação
✴Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto em maiúscula (A, B, C, ...). ✴Já os elementos do conjunto são representados por letras minúsculas. ✴A representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:✴A = {v,x,y,z}✴Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z
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ConjuntosEspecificando conjuntos
A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:P = {6,28,496}Usa-se o sinal ... para indicar um conjunto com infinitos elementos:N = {1,2,3,4,5,...}Subconjuntos são representados com chaves dentro de chaves:T = {{1,6},{5,8}}
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ConjuntosEspecificando conjuntos
Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:A = {x | P(x)}P é uma função que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:
O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, A = {2,4}.
A = {x ∈, x2 − 6x = −8}
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Notações matemáticas
• Valido para todo x pertencente ao conjunto A
• Usado para especificar a existência de um elemento de um conjunto com alguma propriedade, isto é para todo x pertencente a A vale uma determinada propriedade.
• ex: Se A for o conjunto formado por todos os estados Brasileiros então para todo x pertencente a A vale a propriedade: , x tem capital.
1.2 Símbolos Lógicos
∀x ∈A
∀x ∈A6
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Notações matemáticas
• Existe um elemento x em A .
• Usado para especificar alguma propriedade , isto é , existe algum elemento em x no conjunto A para o qual vale determinada propriedade.
1.2 Símbolos Lógicos
∃x ∈A
∃x ∈A Que possuem uma estatua do Cristo Redentor
A( cidades Brasileiras)7
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Conjuntos numéricos
✴Existem diversos conjuntos numéricos, que tem consideração especial em matemática. Os principais conjuntos numéricos são listados a seguir:
✴ Conjunto dos números naturais
✴ Conjunto dos números inteiros
✴ Conjunto dos números racionais
✴ Conjunto dos números irracionais
✴ Conjunto dos números reais
✴ Conjunto dos números complexos
✴ Conjunto dos números imaginários
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Conjunto dos números naturais
Os números naturais são usados para contar.
O símbolo usualmente representa este conjunto.
= {0,1,2,..}* = {1,2,3,..}
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Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b.
O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
= {...,−2,−1,0,1,2,..}
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Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais são todos os números que podem ser representados por frações (e são expressos tanto na forma fracionária quanto na forma decimal - por exemplo 3/4 e 0,75).
Eles aparecem como soluções de equações como a + bx = c.
O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
= {ab:a,b ∈,b ∉0}
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Conjunto dos números racionais
Propriedades dos números Racionais:
‣ Soma e produto de números Racionais:
ab+cd=ad + bcbd
ab* cd=acbd
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Conjunto dos números irracionais
O conjunto dos números irracionais contém todos os números que não podem ser representados por frações do tipo p/q, onde p e q são números inteiros, com q diferente de zero.
Estes números podem, no entanto, ser associados a pontos numa reta, a reta real.
ex: 2
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Conjunto dos números reais
• O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.
• Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real.
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Conjunto dos números complexos
• conjunto dos números complexos inclui os números, que resultam de qualquer radiciação possível, tendo uma parte imaginária e uma parte real.
• O símbolo usualmente representa este conjunto.
• Cada numero complexo é a soma dos números reais e dos imaginários: r + s j .
• Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos.
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Conjunto Vazio
Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.
∅
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Relações entre conjuntos
x ∈A
Cidades Paraenses
x = Castanhal
A
xyzd
x pertence ao conjunto A
Relação de inclusãoSe x é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto A e podemos escrever . Se x não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever x ∉A
Exemplos
−16 ∈c ∈{a,b,c,d,e, f }c ∉{a,e,i,o,u}49∉
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Relações entre conjuntos
A ⊂ B xyzd
X= Castanhaly=Belémz= Santa Izabeld= Mojug= Rio de JaneiroF= São Paulo
gf
B ( Cidades Brasileiras)
A ( Cidades Paraenses)
A está contido em B
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Operações com conjuntos
UniãoA união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Matematicamente:
A = {a,e,i}B = {o,u}A B = {a,e,i,o,u}
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Operações com conjuntos
União
Vale ressaltar o seguinte:•união de um conjunto , qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto
• Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja,
A ∅ = A
A (B C) = (A B)C = (A C) B
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Operações com conjuntos
A intersecção de dois conjuntos A e B , é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos.Exemplos:
Intersecção
A = {1,2,3}B = {3,4,5}A B = {3}
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Operações com conjuntos
Exemplos:
Intersecção
B ( Cidades Brasileiras que começam com a letra S!!)
A ( Cidades Paraenses)
Belém
Castanhal
Ananindeua
Santa Izabel
Santo Antonio
do Tauá
São Paulo
Santos
São Caetano
A! B
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Operações com conjuntos
Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a AExemplos:
Diferença
A = {1,2,3}B = {3,4,5}A − B = {1,2}
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Exercício
• Considere os seguintes conjuntos a seguir
• A={-3,-1,0,5,7,8,20}
• B=
• C=
• Determine o resultado das seguintes operações:
B C(A C) B(B C) − A
{x ∈, tal que x ≥ 3}
{x ∈*, tal que x ≥ -1}
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Produto Cartesiano✴Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. ✴O símbolo do produto cartesiano é X.✴O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:
A × B = {(x, y) : x ∈A, y ∈B}
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Produto Cartesiano
✴O produto cartesiano é não-comutativo:
A × B ≠ B × AQuem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.
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Par ordenado✴Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma
ordem definida;
✴existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo
elemento (ou segunda coordenada).
✴Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado —
simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada
ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros
elementos são iguais e os segundos elementos são iguais.
✴Ou seja, (a,b) ≠ (b,a)
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Relações
•Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B.•Relações são, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B.
• Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 × X2 × ... × Xn), e a relação especifíca que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.
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Relações•Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados
cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento
pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B.
•Representa-se a relação binária por .
•O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B
é chamado de contradomínio da relação.
R :A→ B
Relações - relação de A em B definida por elementos de B que sejam o dobro dos elementos de A.
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Especificando relaçõesA imagem à direita mostra uma maneira comum de se
especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados.
As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:
Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo:
A = { 1,2,3 }B = { 1,2,3,4,5,6 }
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Representação gráfica✴Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. ✴Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. ✴O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.✴Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. ✴Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente.
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Representação gráfica
Relações/funções - exemplo de gráfico, que pode ser descrito pela relação
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Função✴Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. ✴A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).✴Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio).
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Intervalos
✴Outro elemento que devemos analisar são os intervalos.
✴É a partir da definição dos intervalos que podemos analisar as funções , eles nos definirão o escopo a partir do qual devemos analisar as funções
✴Existem varias representações de intervalos , vamos analisar a seguir algumas...
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Intervalos
[a,b] = {x ∈ tais que x ≥ a e x ≤ b}
A B
[a,b[= {x ∈ tais que x ≥ a e x < b}
A B
]a,b] = {x ∈ tais que x > a e x ≤ b}
A B
]a,b[= {x ∈ tais que x > a e x < b}
A B
A [a,+∞[= {x ∈ tais que x ≥ a }
]a,+∞[= {x ∈ tais que x > a }
A
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Intervalos
]− ∞,b] = {x ∈ tais que x ≤ b }
B
]− ∞,b[= {x ∈ tais que x < b }
B
* = \ {0} = {x ∈ tais que x ≠ b }
0
+ = [0,+∞[= {x ∈ tais que x ≥ 0 }
0
+
* =]0,+∞[= {x ∈ tais que x > 0 }
0
− =]− ∞,0] = {x ∈ tais que x ≤ 0 }
0
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Exercício
• Desenhe na reta real os seguinte intervalos:
a) [0,2] U ]-2,1[
b) [0,2] - ]-2,1[
c) [0,2] ]-2,1[
d) .
e)
+ −
[−1,+∞[ { [2,15[ [-3,0[ }
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Referencias[1] F. U. Coelho, Curso básico de Calculo, vol. 1, 1 ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2005.[2] G. Iezzi, Fundamentos da matemática elementar 8: Limites, derivadas , noções de integral, vol. 8, 6 ed. São Paulo: Atual, 2005.[3] wikimedia, "Matemática Elementar: Conjuntos," wikimedia, Ed.: wiki livros, 2007- http://pt.wikibooks.org/wiki/Conjuntos_Numéricos
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