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Geometra 1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Primer Ao
EL SATELITE SPUTNIK 1
Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera naveen rbita alrededor de la Tierra. Llamado as por la frase rusa "compaerode viaje por el mundo" (Sputnik Zemli), era un pequeo satlite que slomeda 58 cm de ancho. Completaba una rbita en torno a la Tierra una vezcada 96,2 minutos y transmita informacin sobre la atmsfera terrestre.
Tras un vuelo de 57 das, volvi a entrar en la atmsfera y se destruy.
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Geometra 2
IMPRESIONES Y FOTOCOPIADOV.L.E.B.
TELF.: 5400814 / 98503121
DPTO. DE PUBLICACIONES
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Geometra 3
TEMA: POLGONOS
Es la reunin de tres o ms segmentos consecutivos y coplanares, talque el extremo del primero coincide con el extremo del ltimo, limitando unaregin plana.
Interno)
Externo)
A
B
C
E
D
Diagonal
Zy
x
N de lados = N de vrtices = N de s internos.
ELEMENTOS:
Vrtice : A, B, C, D, E
Lados : EA,DE,CD,BC,AB
m internos : ,,,,m externos : x, y, z,
POLIGONO CONVEXOEs cuando tienen todos sus ngulos internos convexos. Es decir mayoresque cero y menores que 180.
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Geometra 4
POLIGONO NO CONVEXO O CONCAVO
Cuando algunos de sus ngulos internos son mayores de 180 y menoresque 360.
,, > 180
CLASIFICACIN DE LOS POLIGONOS CONVEXOS
1. Polgono Equingulo.-Cuando tienen todos sus ngulos internos (congruentes) iguales.
Ejm:
120
120120
120 120
120
2. Polgono Equiltero.-Cuando tienen todos sus lados (congruentes) iguales.Ejm:
a
a
a
aa
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Geometra 5
Pentgono no convexo equiltero
3. Polgono Regular.-
Cuando sus lados son (iguales) y sus ngulos son (iguales).Ejms:
a a
a
60
6060
108
108108
108108
Tringuloequiltero
cuadrado
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Geometra 6
110
100
100
x
60 30
150
120
PROPIEDADES
* Para todo polgono convexo.- Si n es el nmero de lados de un polgonoconvexo, se cumple que:
1ra Propiedad.- Suma de las medidas de los ngulos internos
S int = 180 (n - 2)
Ejm:
S int = 180 (5 - 2)= 180 (3)= 540
100 + 110 + 100 + 90 + x = 540x = 140
2da Propiedad.- Suma de las medidas de los ngulos externos.
S ext = 360
Ejm:
Se = 120 + 150 + 90= 360
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Geometra 7
A B
CD
A B
C
DE
F
3ra Propiedad.- Nmero total de diagonales.
( )
2
3nnDT
=
Ejm:
( )
2
344DT
=
2DT =
n = 4
4ta Propiedad.- Nmero de diagonales desde un solo vrtice.
D1 = (n 3)
Ejm:
D1 = (6 - 3)D1 = 3
Nota: Siendo las diagonales CF,BE,AD
5ta Propiedad.- Nmero de diagonales medias
( )2
1nnDn=
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Geometra 8
108A
B
C
DE
120
120
120
A B
C
DE
F
60
* PARA POLIGONOS REGULARES
6ta Propiedad.- Medida del interior ()
( )
n
2n180 =
Ejm:
( )
( )
=
=
=
108
5
3180
5
25180
7ma Propiedad.- Medida del exterior (B)
n
360B=
Ejm:
=
=
60B
6
360B
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Geometra 9
60
606060
60
120
8va Propiedad.- Medida del central ()
n
360=
Ejm:
=
=
60
6
360
9na Propiedad.- Suma de los ngulos centrales.
S cent = 360
* Del ejemplo anterior
60 + 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 360
DENOMINACION DE LOS POLIGONOS
Tringulo 3 ladosCuadriltero 4 ladosPentgono 5 ladosHexgono 6 ladosHeptgono 7 ladosOctgono 8 ladosNongono 9 ladosDecgono 10 ladosUndecgono 11 ladosDodecgono 12 ladosPentadecgono 15 ladosIcosgono 20 lados
Engono n lados
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Geometra 10
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) En un polgono convexo, la sumade las medidas de sus ngulosinteriores y exteriores es 1620.Calcular el nmero de diagonalesde dicho polgono.
Rpta.:
02) En un polgono, la diferencia
entre la suma de sus ngulosinteriores y exteriores es 180;entonces el doble del nmero delados es:
Rpta.:
03) Calcular el ngulo interno de unpolgono de regular convexo, cuyonmero de diagonales excede en
7 al nmero de diagonales de otropolgono convexo que tiene unlado menos.
Rpta.:
04) La suma de las medidas de losngulos internos y centrales deun polgono es igual a 2700.Calcular el nmero de
diagonales.Rpta.:
05) Si a la medida de un nguloexterno de un polgono regular sela incrementa en 30, se obtieneel ngulo externo de otropolgono, cuyo nmero de ladoses la mitad del original. Hallar elnmero de lados del polgono.
Rpta.:
06) Si el nmero de lados de unpolgono disminuye en 2,entonces el nmero de diagonalesdisminuye en 15. calculare elnmero de tringulos que seforman al trazar las diagonales apartir de un solo vrtice.
Rpta.:
07) La suma de las sumas de lasmedidas de los ngulos internosde dos polgonos es 900. Qupolgonos cumplen con dichacondicin?
Rpta.:
08) Calcular el nmero de lados deun polgono regular, donde al
aumentar en dos su nmero delados, la medida de su nguloexterno disminuye en 9.
Rpta.:
09) Si el nmero de diagonales de unpolgono convexo disminuye en5; entonces resulta un nuevopolgono convexo donde la sumade las medidas de sus ngulosinteriores es 720. calcular elnmero de diagonales delpolgono convexo inicial.
Rpta.:
10) En un cuadrado ABCD, seconstruye interiormente eltringulo equiltero AED. Calcularm AEB.
Rpta.:
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Geometra 11
11) En un polgono regular ABCDE
la m ACE = 144. Cuntasdiagonales medias tiene?
Rpta.:
12) Calcular el nmero de lados deun polgono convexo, si elnmero total de diagonales, msel nmero total de diagonales,ms el nmero de diagonales
trazadas desde un solo vrtice,ms el nmero de de tringulosque se forman al unir un puntoinferior con cada vrtice es iguala 88.
Rpta.:
13) En un polgono equiltero sesabe que desde 5 vrtices
consecutivos se pueden trazar 29diagonales. Calcular el permetrosi uno de sus lados mide 3.
Rpta.:
14) Se tiene un polgono de n lados,desde 5 puntos mediosconsecutivos se ha trazado 110diagonales que se puede trazar
desde 7 vrtices consecutivos.
Rpta.:
15) La diferencia entre el nmero dediagonales de cierto polgonoregular y el nmero de ngulosrectos a que equivale la suma delos ngulos internos es 8. calcularla medida del ngulo central.
Rpta.:
16) Calcular el nmero de lados de
aquel polgono en donde elmximo nmero de diagonaleses el doble de la suma delnmero de lados ms dos.
Rpta.:
17) Calcular la suma de las medidasde loas ngulos internos de unpolgono regular.
Si: 9 m ext = 5 DT.DT: Diagonales Totales
Rpta.:
18) la diferencia entre el nmero dediagonales y el nmero dengulos llanos a que equivale lasuma de las medidas de losngulos interiores de un polgonoes 119. calcular la suma de lasmedidas de los ngulos internosde dicho polgono.
Rpta.:
19) En un polgono convexo, ladiferencia de entre la suma de lasmediadas d sus ngulos internosy la suma de la medidas d susngulos externos es igual a1440. Calcular el nmero dediagonales de dicho polgono.
Rpta.:
20) La suma de las sumas de lasmedidas de los ngulos internosde dos polgonos es 900. Qupolgonos cumplen con dichacondicin?
Rpta.:
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Geometra 12
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) En un polgono de n ladosdesde 4 vrtices consecutivosse trazan 81 diagonales.Calcular n.
a) 12 b) 14c) 16 d) 24e) 20
02) En que polgono regular severifica que el cociente entrelas medidas del ngulo centrales igual al mximo nmero dediagonales del polgono de 7lados menos?
a) Pentgonob) Hexgonoc) Octgonod) Nongonoe) Dodecgono
03) Si en un polgono regular sunmero de lados aumenta en5, entonces las medidas de sungulo exterior disminuye en 6.calcular su nmero de lados.
a) 15 b) 12
c) 18 d) 20e) 25
04) La suma de las mediadas de13 ngulos interiores de unpentadecgono es 2200. hallarla medida del ngulo formadopor las bisectrices interiores delos otros ngulos.
a) 110 b) 80c) 90 d) 120e) 100
05) En un polgono regular aldisminuir en 6 el nmero desus lados, la medida de sungulo externo aumenta en80. Cuntos lados tienedicho polgono?
a) 10 b) 7c) 9 d) 12
e) 8
06) Calcular el nmero de diagonalesde un polgono, si la suma de lasmedidas de sus ngulos internos
es igual a2
9de la suma de sus
ngulos externos.
a) 19 b) 28c) 34 d) 37e) 44
07) Si a un polgono se le aumentaen 3 el nmero de lados, lasuma de sus ngulos interioresexcede en dos rectas a la deseis pentgonos. Calcular elnmero de lados del polgono.
a) 18 lados b) 15 ladosc) 13 lados d) 11 ladose) 17 lados
08) Dos polgonos regulares tienenngulos centrales que sediferencian en 9. Si uno deellos tiene la mitad del nmerode lados del otro. Calcular el
nmero de lados de los dospolgonos.
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Geometra 13
a) 10 y 20 b) 20 y 40
c) 30 y 60 d) 15 y 30e) 40 y 80
09) Cuantos lados tiene aquelpolgono equingulo, Si lasuma de las medidas de 7ngulo internos es 1134.
a) 25 b) 40
c) 35 d) 20e) 30
10) La suma y diferencia de lasmedidas de los ngulosexteriores e interiores de dospolgonos regulares es 100 y20. Cuanto mide el ngulocentral del polgono de mayor
nmero de lados.a) 20 b) 30c) 40 d) 36e) 50
11) Si los nmeros de lados de dospolgonos se diferencias en 5 ylos nmero de diagonales
totales de ambos polgonos sediferencia en 40. calcular lasuma de las medidas de losngulos interiores del polgonode mayor nmero de lados.
a) 1620 b) 540c) 900 d) 1800e) 2340
12) Cuantos lados tiene le polgono
convexo cuyo nmero dediagonales es igual al triple desu nmero de vrtices.
a) 8 b) 4c) 6 d) 5e) 9
13) Cuntos lados tiene aquel
polgono regular, si la suma delas medidas de sus ngulosinternos es 15/2 de la medidade un ngulo externo.
a) 5 b) 1c) 4 d) 7e) 2
14) Calcular la suma de lasmedidas de los ngulosinternos de un polgonoconvexo donde el cociente desu total de diagonales y sunmero de lados es 0
a) 150 b) 180c) 160 d) 100
e) 12015) El nmero de lados de un
polgono es igual a la mitad delnmero de diagonales; calcularla suma de sus ngulosinternos.
a) 800 b) 700
c) 900 d) 1000e) 650
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Geometra 14
TEMA: CUADRILTEROS
DEFINICION.-Es aquel polgono que tiene 4 lados, teniendo dos a dos un extremo comn.
A B
CD
B1
B4
B3
B21
2
34
ELEMENTOS.-
1) LADOS( )DAyCD,BC,ABSon los segmentos rectilneos que lo limitan. Los lados que no tienevrtice comn recibe el nombre de lados opuestos.
Ejm:AB yCD , son lados opuestos como BC yDA .
2) VERTICES: (A, B, C y D)
Son las intersecciones de dos lados consecutivos. En todo cuadriltero,el nmero de lados es igual al nmero de vrtices.
3) NGULOS INTERIORES (1,2,3 y4)Son los ngulos que se forman por dos lados consecutivos, la suma de
s interiores en un cuadriltero es = 360. Se cumple que:
1 +2 +3 +4 = 360
4) NGULOS EXTERIORES (B1, B2, B3 y B4)Son los ngulos formados en un vrtice por un lado y la prolongacindel lado consecutivo.Los ngulos exteriores son adyacentes a los interiores.La suma de sus ngulos exteriores en un cuadriltero es igual a 360
B1 + B2 + B3 + B4 = 360
5) DIAGONALES( )BDyACSon los segmentos de recta que unen dos vrtices no consecutivos.
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Geometra 15
CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS
Por la forma de su contorno
Convexos.- Son aquellos cuadrilteros en los que cualquier recta secante,determina 2 puntos de corte.
A
B
C
D
1
2
Cncava.- Son aquellos cuadrilteros en los que existe al menos unasecante que determina ms de dos puntos de corte.
1 4
32
CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS CONVEXOS
De acuerdo al paralelismo de sus lados los cuadrilteros se dividen en:Trapezoide, Trapecio y Paralelogramo.
A. Trapezoides.- Son aquellos cuadrilteros que no tienen lados opuestos,ningn lado paralelo al otro paralelo.
a. Simtrico.- Es aquel en el que una de sus diagonales es mediatrizde la otra.
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Geometra 16
A
B
D
C
Lnea de Simetra
m m
L
L : mediatrizde BD
Propiedades:
==
==
==
CDBBDA
CBDDBA
CDAD;BCAB
b. Asimtrico: Es aquel que no tiene ninguna simetra. Tambinllamado trapezoide irregular.
a
b
c
d
B. Trapecios.- Es el cuadriltero que solo tiene dos lados paralelosdenominados bases.
A
B C
D
M N
H
l m
ml
BASES:BC ;AD AD//MN//BC
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Geometra 17
B
b BA
D C
MN : Mediana del trapecio. Es el segmento que une los puntos medios de
los lados no paralelos. Se le conoce tambin como base media.CH : Altura del trapecio. Es la distancia entre sus dos bases.
CLASIFICACIN DE LOS TRAPECIOS
a. Escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.
a b
//
b. Issceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelo iguales.
Se cumple
ACBD
DC;BA
BCAD
=
==
=
Las diagonales
- Los ngulos opuestos son suplementarios + = 180
c. Rectngulo.- Es aquel trapecio donde uno sus lados no paralelos esperpendicular a sus bases.
B
A
D
C
a
b
+ = 180
-
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Geometra 18
PROPIEDADES DEL TRAPECIO
b
a
m
b
a
n
C. PARALELOGRAMOS.- Son aquellos cuadrilteros que tienen sus lados
opuestos paralelos y congruentes. Se cumple que los ngulos opuestosson de igual medida y dos ngulos consecutivos siempre suplementarios.
Adems sus diagonales se bisecan mutuamente.
0
A
B C
D H
m
n m
n
Se cumple: BC//ADyDC//AB
CDAB;BCAD ==
ODBOyOCAO ==
:CH altura
2
abm
+=
2
abn
=
-
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Geometra 19
- Los ngulos opuestos son iguales y los ngulos adyacentes a un
mismo lado son suplementarios.
CA;DB ==
180DC
180BA
=+
=+
a. Romboide.- Es el paralelogramo propiamente dicho.
A
B C
DH
a
b
a
b
F
( BF;BH : Alturas)
b. Rectngulo.- Es el paralelogramo que tiene sus cuatro ngulosiguales y rectos (equingulo) y sus lados opuestos iguales dos ados. Llamado tambin, cuadrilongo.
A B
C D
Se cumple:CDAB;BDAC
90DCBA
==
====
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Geometra 20
a a
a a
C
A
BD
CBCDABAD ===
BA
DC
= 45 CADCBDAB ===
- Las diagonales son iguales:
BCAD=
c. Rombo.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales ysus ngulos opuestos dos a dos. Es un paralelogramo equiltero.
- Las diagonales son perpendiculares entre si y bisectriz de sus ngulos.
d. Cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro ladosiguales y sus cuatro ngulos iguales y rectos (es un paralelogramoequingulo y equiltero)
- Sus diagonales son iguales. BCAD=
-
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Geometra 21
PROPIEDADES GENERALES
1. ngulo formado por 2 bisectrices.
x
A
B
C
D
2. ngulo formado por dos bisectrices interiores no consecutivos.
A
B
C
D
x
3. cuadriltero cncavo.
x
A C
B
D
2x
+=
2
x
=
++=x
-
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Geometra 22
4.
abx
5.
b
a
yx
2
bax
+=
2
abx
=
2
aby
=
-
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Geometra 23
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) En el grfico se muestra untrapecio, en el cual la medidade PQ = 4 y la medida de MN =10. sabiendo que M y N sonpuntos medios de AB y CDrespectivamente. Calcular lalongitud de BC.
A
B C
D
P QM N
Rpta.:
02) En un trapecio ABCD, la
medida del ngulo A mas la
medida del ngulo D es igual a200. determinar la medida delngulo formado por lainterseccin de las bisectricesinteriores que parten de los
vrtices B y C.Rpta.:
03) En el grfico adjunto se sabeque ABC es un tringuloequiltero y BCDE es uncuadrado. Calcular la medidade la base media del tringulo.Si se sabe que la suma de lospermetros de ambas figuras esigual a 28.
A
B
D
E
C
Rpta.:
04) En el grfico sgte: Se tiene que(AD // BC) y (DC // AB).
Adems la medida del ngulo
B es 90. si el permetro de la
figura es 80. calcular ladiferencia de sus lados BC yDC. Si sabemos que estn enla relacin de 1 a 3.
A
B C
DRpta.:
05) Si se sabe que ABCD y DEFGson cuadrados, calcular el valorde x.
-
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Geometra 24
A
B C
D
E F
G
x
Rpta.:
06) Calcular la medida del menorngulo que forman lasdiagonales de un trapecioissceles en el cual sumediana mide igual a la mitadde lo que mide una de susdiagonales.Rpta.:
07) En el grfico, calcular el valorde x, en funcin de y B.dado:
A D
B
C
x
ww
B
Rpta.:
08) En la figura BM = MA,
BC = HD, AD = 12 y CH = 3.calcular ML.
A
B C
D
2
LM
H
Rpta.:
09) Si sabemos que ABCD es unromboide. Calcular el valor de x.
A
B C
D
x
Rpta.:
10) Calcular el valor de x en elgrfico mostrado, si se sabe
que (BC // AD)
A B
CD
4
3a 3b
12
x
a b
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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Geometra 25
11) Si sabemos que ABCD es un
romboide y AB = 18. Calcularel valor de x.
A
B C
D
x
Rpta.:
12) En el grfico adjunto.Determinar el valor delsegmento AD, si sabemos que(BC // AD).
BA
CD
2
4
6
Rpta.:
13) En el grfico que se representala longitud del segmento AE.(ABCD rectngulo)
A
B C
D
E
7
3
Rpta.:
14) En el grfico adjunto,determinar la longitud delsegmento AC (BC // AD)
A
B C
D
2
5
11
Rpta.:
15) En un romboide ABCD se traza
la bisectriz DM (MEBC). SiAB = 6. Calcular la medida delsegmento que une los puntosmedios de AM y BD.
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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Geometra 26
16) Calcular la distancia entre los
puntos medios de BD y ACsi adems sabemos que
( BC // AD ).
B
A D
C
90 +
2
Rpta.:
17) En un trapecio ABCD, lamedida del ngulo A y lamedida del ngulo B, soniguales e iguales a 90 las
bisectrices interiores de losngulos C y D se interceptanen P. calcular AB si la distancia
desde el punto P aCD es 4.
Rpta.:
18) En un trapecio ABCD se tiene
que( )AD//BD la medida delngulo A y la medida delngulo D estn en la relacinde a 4 si adems sabemos que
ADBCAB =+ . Determinarel valor de la medida delngulo D dividido entre 4.
Rpta.:
19) En un trapecio ABCD, la
medida del ngulo A y elngulo D son iguales e igualesa 90. Si M e punto medio de
BC . Calcular la medida delngulo m ADM, si adems:
AD = 2K, AB = K a,CD = K +a.
Rpta.:
20) Si ABCD es un trapecio yadems AB = 8 y CD = 14.Determinar el valor de lamediana del trapecio.
A
B C
D
I
B
B
ww
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
27/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 27
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) En el grfico mostrado, calcularel valor de x.
x
3
7
2
a) 75 b) 72c) 90 d) 60e) 54
02) Si sabemos que ABCD es uncuadrado. Determinar el valordel segmento BD. Adems
BR = 2.B
A D
C
R
a) 6 b) 5c) 4 d) 3e) 2
03) Las bases de un trapecioissceles estn en la relacinde 5 a 7. si adems sabemosque el permetro es 38 y loslados no paralelos miden 7.Calcular el valor de la medianadel trapecio.
a) 14 b) 10c) 12 d) 16e) 18
04) Si ABCD y DMNQ soncuadrados, calcular el valor dex.
B C
D
NM
Q
x
A
a) 100 b) 110c) 120 d) 90e) 80
05) Calcular a + b + c en elsiguiente grfico.
A
B C
D
F
G E
a b c
a) 240 b) 170c) 190 d) 200e) 180
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
28/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 28
06) Si ABCD es un cuadrado
determinar el valor delsegmento DE. Si adems BP =5 m y PC = 12 m.
A
B C
D
E
P
a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21
07) La suma de las distancias de losvrtices A, B, C, D de uncuadrado ABCD a una rectaexterior no paralela a ningn lado
es 24. Calcular la distancia delpunto de interseccin de lasdiagonales a dicha recta.
a) 8 b) 10 c) 12d) 6 e) 14
08) Determinar el valor delsegmento AP. Si ademssabemos que PN = 9 y NC = 4
(ABCD es un paralelogramo)
A
B C
D
M N
P
2
a) 12 b) 13
c) 14 d) 15e) 16
09) Si el lado del hexgono regular
es. hallar el lado del tringuloequiltero ABC.
A
B
C
a)/2 b)
c) 3 /2 d) 2
e) 5 /2
10) Las bases de un trapecio estnen la relacin de 6 a 10.Calcular la relacin entre labase mayor del trapecio con surespectiva mediana.
a) 7/4 b) 3/2c) 5/2 d) 5/3
e) 5/4
11) En un cuadriltero ABCD. La
medida del ngulo 80A = y la
medida del ngulo 120C = .Cunto mide el mayor nguloque forman los bisectrices delos otros dos ngulos?
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
29/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 29
a) 100 b) 140
c) 160 d) 120e) 180
12) En un rombo ABCD se traza
BH perpendicular a AD tal
que HDAH= . Calcular la
medida del nguloC .
a) 60 b) 80c) 70 d) 40e) 50
13) En un trapecio ABCD se tiene
que la medida del ngulo B ,
es el doble de la medida delngulo D . Adems
BC = 4 AB = 5. Calcular la
medida del a base mayorAD .
a) 7 b) 8c) 10 d) 9
e) 6
14) En el grfico: ABCD es uncuadrado; AED es un tringuloequiltero. Calcular el valor dex.
B
A D
C
E
x
a) 145 b) 150c) 155 d) 160e) 140
15) En la figura ABCD es uncuadrado y AED y CFD sontringulos equilteros. Calcularel valor de x.
B
A D
C
Ex
F
a) 40 b) 15c) 50 d) 55e) 30
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
30/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 30
TEMA: CIRCUNFERENCIA - PROPIEDADES
DEFINICIN.-Es la figura geomtrica que est formado por todos los puntos de un mismoplano que se encuentran a una misma distancia de otro punto de ese mismoplano denominado centro.
A la distancia constante de estos puntos al centro de le denomina radio de lacircunferencia.Se denomina crculo a la regin interior del plano limitada por unacircunferencia.
AB
C
D E
F
G
H
I
T
R M
N
O
TangenteSecante
ELEMENTOS:
- CENTRO (O): Punto equidistante de todos los puntos de circunferencia.Dos o ms circunferencias con el mismo centro se dice que sonconcntricas.
- RADIO ( )OA : Segmento que une el centro de la circunferencia con unpunto cualquiera de la misma.
- CUERDA ( )BC : Segmento que une dos puntos de una mismacircunferencia.
- DIAMETRO ( )DE : Es la cuerda de mayor longitud que pasa por elcentro de la circunferencia dividindola en partes iguales.
- SECANTE ( )FG : Es toda recta en el plano de la circunferencia en dospuntos. Cabe notar que la secante contiene a la cuerda.
- TANGENTE ( )HI : Es toda recta en el plano de la circunferencia quetiene solo un punto comn con este (T), el cual recibe el nombre depunto de tangencia
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
31/160
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Geometra 31
- FLECHA ( )MN : Segmento levantado perpendicularmente del puntomedio de una cuerda al arco. La prolongacin de la flecha siempre pasapor el centro.
- ARCO ( )AN : Es la porcin de circunferencia limitada por los extremosde una cuerda. En particular, una semicircunferencia es un arco limitadopor los extremos de un dimetro.
PROPIEDADES:
1ra Propiedad.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al
radio trazado por el punto de contacto.
TL1 (Punto de Tangencia)
2da Propiedad.- El segmento que une el centro de una circunferencia esperpendicular a la cuerda. Esta divide a los arcos que subtiene en dos partescongruentes.
B
E
M
O
A
3ra
Propiedad.- En toda circunferencia, a arcos congruentes correspondencuerdas congruentes.
1LOT
Si ABOM
AM = MB
mEBmAE=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
32/160
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Geometra 32
A
B
O
C
D
a a
4ta Propiedad.- E n una misma circunferencia los arcos comprendidos entreparalelas son congruentes.
A B
C D N
M
5ta Propiedad.-
B
Posiciones Relativas de dos circunferencias.Dos circunferencias situadas en un mismo plano, con centros O y O y radiosR y r respectivamente, pueden tener las siguientes posiciones relativas:
a) Exteriores.- Cuando todos los puntos de una son exteriores a la otra. Ladistancia entre sus centros es mayor que la suma de los radios.
Si =CDAB
mCDmAB=
N//M
mBDmAC =
B=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
33/160
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Geometra 33
dO O
R r
b) Tangentes Exteriormente.- Cuando tiene un punto comn y los demspuntos de una son exteriores a la otra. En este caso, sus centros estn a
lados opuestos de la tangente comn y la distancia entre ellos es igual ala suma de los radios.
O OR r
P
Q
E
F
d
c) Secantes.- Cuando tienen dos puntos comunes. La distancia entre suscentros es menor que la suma de los radios, pero mayor que su diferencia.
dr
OO
B
A
R
d) Tangentes Interiormente.- Cuando tienen un punto comn y todos lospuntos de una de ellas son interiores a la otra. Sus centros estn almismo lado de la tangente comn y la distancia entre ello es igual a ladiferencia de los radios.
d> R + r
d = R + r
AB : CuerdaComn
AB'OO
R r< d< R + r
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
34/160
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Geometra 34
rO
R
Od
e) Interiores.- Cuando todos los puntos de una de ellas son interiores a la otra.La distancia entre sus centros es menor que la diferencia de los radios.
rOO
d
R
f) Concntricos.- Cuando tienen el mismo centro, esto es, la distanciaentre sus centros es cero.
AB
CD
OO
Por otro lado, para tres circunferencias es importante considerar el casode circunferencias tangentes exteriores dos a dos.
O O
O
rr r
r
rr
d = R - r
d = R - r
d = 0
AB = CD
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
35/160
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Geometra 35
g) Tangentes comunes interiores.
OO
A
BC
D
h) Tangentes comunes exteriores.
D
B
A
C
i) Si A, B y C son puntos de tangencia.
C
A
B
x
AB = CD
AB = CD
x = 90
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
36/160
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Geometra 36
j) Si M es punto medio de AB.
A B
x
r
R
M
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
1ra Propiedad.- Los dos segmentos tangentes a una circunferencia trazadosdesde un punto exterior a esta son congruentes y determinan nguloscongruentes con el segmento que une el punto exterior y el centro de lacircunferencia.
P
r
r
O
A
B
2da Propiedad.- Los segmentos tangentes comunes externos a doscircunferencias son congruentes.
A
B
C
D
O
x = 90
PBPA=
BDAC=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
37/160
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Geometra 37
TEOREMA DE PONCELET
En todo tringulo rectngulo la suma de los catetos es igual a la hipotenusams el dimetro de la circunferencia inscrita.
r
CB
A
a b
c
TEOREMA DE PITOT
Es aquel cuadriltero cuyos lados son tangentes a una misma circunferencia.Siendo la suma de sus lados opuestos iguales a la suma de los otros ladosopuestos.
ab
x
y
p = semiperimetro del cuadriltero.
a + b = c + 2r
a + b = x + y = p
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
38/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 38
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) De las sgts. proposiciones:I. Una cuerda es el segmento que
une dos puntos cualesquiera dela circunferencia.
II. El radio es el segmentoque une el centro con unpunto cualquiera de lacircunferencia.
III. Una recta tangente es aquellaque tiene un punto en comncon la circunferencia.
Rpta.:
02) En la figura T, A, B: puntosde tangencia. O centro.Calcular x + y.
B
6
y PAT
Rpta.:
03) En la figura: M, N y P: son
puntos de tangencia. AC = 15.Calcular AB + BC.
r
C
B
M N3
Rpta.:
04) En la figura O es centro.Calcular el valor de x. siadems sabemos que T espunto de tangencia tambin
AO = OB = BC.
CA B
T
x
0
Rpta.:
05) En l figura R, T y S son puntos
de tangencia AB = 13, BC = 14y AC = 15. Calcular AS.
T
B
A
R
S C
Rpta.:
06) En la figura mostrada. Hallarx. Si m TNB = 48 y NT //
AM.
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
39/160
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Geometra 39
M
B
N T
A rx
Rpta.:
07) En la figura mostradamAB = 80 y mBC = 60. Hallar(x - y)
O
yx
CA
B
DP
Rpta.:
08) Determinar el valor de AB. Sise sabe que EB = 3m yBF = 1m.
R
A
BE
F
Rpta.:
09) Calcular el permetro del tringulo
sombreado. Si PA = 8m.A
B
P
Rpta.:
10) Determinar la longitud delsegmento LM. Si se sabe quela medida del segmentoNB = 4.
A
B
OL
O1
2
MN
Rpta.:
11) Las longitudes de lacircunferencias concntricasson 31,40 cm y 18,.84 m. hallar
AB ( = 3,14).
A
B
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
40/160
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Geometra 40
12) En la figura, calcular la medida
del ngulo C O D.B
A
C
D
O
Rpta.:13) En la figura mostrada. Hallar
, si mQE = 30.
B
A
C
D
E
Q
14) P, Q y R son puntos detangencia m ABP = 36,calcular x.
Q
A
B
C
P
x
36
R
Rpta.:
15) En la figura. Calcular x.
x
rr
Rpta.:
16) En el grfico mostrado.Calcular el valor de.
Rpta.:
17) Si A, B, P son puntos detangencia. Calcular .
B
A
P
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
41/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 41
18) En la figura mostrada. Calcular x:
x2
Rpta.:
19) E la figura mostrada. Calcularel valor de x, si sabemos queO es centro.
x
0
Rpta.:
20) En la figura O es centro y
AO = EC, indicar la relacincorrecta, entre y.
CA
E
D
O
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
42/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 42
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) En la figura: M, N y P: puntosde tangencia AC = 15. Calcular
AB + BC.
r
C
B
M
N
P
8
A
a) 33 b) 30 c) 32d) 34 e) 31
02) En la figura: R, S T y P: puntosde tangencia: si AB = 6, BC = 8y CD = 10. Calcular AD.
B
A
C
DP
S
R T
a) 6 b) 9 c) 7d) 8 e) 10
03) En la figura (L1 // L2) A y B:puntos de tangencia. Calcularm POQ, adems O centro.
P
O
L1
L2Q
a) 70 b) 80 c) 90d) 100 e) 120
04) En la figura R y S: puntos detangencia. Calcular RS.
O
R
S P 2
6
a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 5
05) En la figura, la circunferenciaes tangente a los 3 lados. Si
m B = 40. calcular x.
A
B
C
x
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
43/160
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Geometra 43
a) 100 b) 110 c) 120
d) 130 e) 140
06) En la figura O es centro.Calcular x si m TOC = 2m TCO.
O C
T
x
a) 30 b) 40 c) 35d) 45 e) 50
07) En la figura: S, M y T: son puntosde tangencia. Calcular x.
x
20
S
r
T
M
a) 80 b) 70 c) 75d) 95 e) 85
08) En la figura: A, B son puntos detangencias. Calcular 2x.
20
x
A
B
a) 150 b) 170 c) 160
d) 180 e) 190
09) En la figura T, P y Q sonpuntos de tangencia. Calcular:m TOP + m BOC.
Nota: B, O,P no son colineales
O
Q
B
A CP
T
40
a) 230 b) 240 c) 220d) 260 e) 250
10) En la figura M, N, P, Q sonpuntos de tangencia,
AB + CD = 20, AD = 12,Calcular MC.
B
A
C
D
P
QN
M
a) 2 b) 6 c) 5d) 3 e) 4
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
44/160
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Geometra 44
11) Hallar AT, si AB = 7, BC = 8 y
AC = 9.
C
B
PA
TQ
a) 6 b) 5 c) 4d) 2 e) 3
12) Hallar x en el sgte. grfico.
40
x
A B
C
a) 70 b) 50 c) 40d) 60 e) 30
13) En la figura, Calcular x si P yS son centros.
P
40 x
S
Q
R
a) 90 b) 40 c) 80d) 50 e) 70
14) Si O es centro, T es punto de
tangencia y la m OAT = 20.Calcular la m PTA.
TP
A
O
a) 50 b) 90 c) 80d) 70 e) 60
15) En un tringulo ABC: AB = 8,BC = 10 y AC = 12. Si lacircunferencia inscrita
determina sobre AC el puntoM. Calcular AM.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
45/160
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Geometra 45
TEMA: CIRCUNFERENCIA NGULOS
a. ngulo Central.- Es aquel que tiene como vrtice el centro de lacircunferencia y como lados dos radios de la misma. Su medida es iguala la del arco interceptado.
xO
A
B
b. ngulo Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la circunferencia ysus lados son dos cuerdas. Su medida es igual a la mitad de la medidadel arco interceptado.
x
A
B
C
Propiedades:1) El ngulo inscrito es una semicircunferencia mide 90.
A
B
C
O
2) Todos los ngulos inscritos en un mismo son iguales.
A
B
C
DE 2
ABx =
2ABx =
=90B
=== CBA
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
46/160
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Geometra 46
c. ngulo Semi Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la
circunferencia y sus lados son una cuerda y una tangente. Su medida esigual a la mitad de la medida del arco interceptado.
x
A
T T
O
d. ngulo Interior.- Es aquel que tiene su vrtice dentro de lacircunferencia y sus lados son dos cuerdas que se cortan. Sui medida esigual a la semisuma de las medidas de los arcos interceptados.
x
CA
B D
m n
e. ngulo Exterior.- Es aquel formado por dos secantes; por una secante yuna tangente, o por dos tangentes a una circunferencia, que seintersecan en un punto fuera de la misma. Su medida es igual a lasemicircunferencia de las medidas de los arcos interceptados.
Caso I: ngulo formado por dos secantes.
x
AB
C
b
D
a
2
ABx =
2
nmx
+=
2
BDACx
=
2
bax
=
2
CDABx
+=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
47/160
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Geometra 47
Caso II: ngulo formado por una tangente y una secante.
x
B
C b
a A
Caso III: ngulo formado por dos tangentes.
x
A
B
Cba O
En este caso, el ngulo recibe el nombre de ngulo circunscrito yse cumple que:
< >
f. ngulo Ex Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la circunferencia ysus lados son una cuerda y la parte exterior de una secante. Su medida esigual a la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ngulo yentre los lados del ngulo opuesto por el vrtice.
A
C
x
BD
2
bax
=
2
ABACBx
=
2
bax
=
x180b ===+
=+
180xb
180x
2
ABCx =
2
ABACx
=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
48/160
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Geometra 48
Cabe sealar que el ngulo ex - inscrito es adyacente al ngulo inscrito,
por lo que su medida es igual al suplemento de este.
ARCO CAPAZ DE UN NGULO
Se llama arco capaz de un ngulo dado, al arco tal que los ngulos inscritosen el tengan la misma medida que el ngulo dado.ACE: arco capaz de los ngulos x
A
B
C
D
E2
xx
x
x
En la figura el arco de circunferencia ABCDE es el arco capaz de los ngulosx. El segmento AE que une los extremos del arco se denomina segmentocapaz.
PROPIEDADES:
1. De un ngulo exterior
x
2
AC180x =
x2360ACE =
x + y = 180
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
49/160
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Geometra 49
2. Si AB = CD; entonces: AB CDA C
B D
3. Si CD//AB ; entonces AC BD
Si AB//PQ ; entonces AT TB
A
C
B
D
T
P Q
4. En toda circunferencia
B
C
A
5. Si T es punto de tangencia.
AB
T
x
y
x = y
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
50/160
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Geometra 50
6. En las circunferencias secantes congruentes
A
B
NM
7. En toda semicircunferencia
O
x
EN TODO CUADRILTERO INSCRITO
a. Los ngulos opuestos son suplementarios
x
y
b. Un ngulo interior es congruente al opuesto exterior
y
x
mAMB = mANB
x = 90
x + y = 180
x =
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
51/160
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Geometra 51
c. Las diagonales con los lados opuestos forman ngulos congruentes.
y
x
Circunferencia inscrita en un tringulo
A
B
C
P
R
Q
ac
b
Circunferencia ex inscrita a un tringulo.
A
B
C
P
Q
rc: exradios relativo a AB
x + y
AP = AR = a
BP = BQ = b
CQ = CR = c
Siendo: a, b y c: los ladosr: radiosp: semiperimetro
2
cbap
++=
CP = CQ = p
2
CABCABp
++=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
52/160
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Geometra 52
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Si APB = 2x, hallar AB = x
B
A
P
O x2x
C1
C2
Rpta.:
02) Si AB = CF. Entonces hallarx.
xD
A
C
E
B
F70
Rpta.:
03) Hallar x, sabiendo que: RS ,TS , QS y S5 . Son lneas
tangentes.
R
TS
Q
B
B
A C P
x
Rpta.:
04) En la figura, calcular x.
x
70
Rpta.:
05) En la figura calcular x.
x
40
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
53/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 53
06) En la figura calcular x.
x
80
Rpta.:
07) En la figura, calcular x, si Oes centro.
a
3a
x
Rpta.:
08) En la figura, calcular x.
70
x
Rpta.:
09) En la figura, calcular x, si O
es centro.
x
0
a
2a
D
C
A
BRpta.:
10) En la figura mostrada. Calcularx si: m AB = 100
x
A
B
C
DP
3x
Rpta.:
11) Hallar x.
xP
54TB
A
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
54/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 54
12) O: centro, calcular x
70
x
O
Rpta.:
13) mAB + mCD = 200. calcular x
x
A B
CD
Rpta.:
14) mABC = 120, calcular: x.A
B D
C
E
x
40
Rpta.:
15) mAB = 2mCD, Calcular CD.
30
C
D
A
B
E
Rpta.:
16) Calcular .
A
B
P
Q
Rpta.:
17) Calcular
A
C
P
B
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
55/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 55
18) Calcular m AB
A
B
C
D50
20
a
Rpta.:
19) Calcular X
40
x
Rpta.:
20) En la figura calcular x si O
es centro.
x
D
C
B
Ax
O
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
56/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 56
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Hallar la medida del arco MPN, siMN = a y el Radio son iguales.
R N
M
P
a) 280 b) 230 c) 225d) 270 e) 300
02) Hallar r. Si ES = 3 y 3ST = SPT.
r
P
E T
S
a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 9
03) Hallar la m MTN, si T es puntode tangencia. Si la m MTQ = 22
r
P
T N
M
O
Q
a) 11 b) 22 c) 33d) 28 e) 35
04) En la figura, AE = 92 y BFD = 40.hallar la medida del m BMD.
B
D
CF
E
A
M
a) 30 b) 110 c) 50d) 52 e) 60
05) En la figura la m AQD +m BPC = 136. Hallar lamedida del arco AD.
A
B
CD
P
Q
a) 100 b) 110 c) 120d) 130 e) 136
06) Hallar la medida del ngulo
P Q R. Si P, Q y R son puntosde tangencia.
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
57/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 57
P R
Q
a) 90 b) 60 c) 45d) 75 e) 80
07) En un arco de circunferencia
AB, donde AB es el dimetro,se tiene que mCA B = 20. DPes paralela a AC . Hallar elngulo P D B.
D
C
BOA
P
a) 55 b) 60 c) 80d) 45 e) 90
08) Hallar la medida del ngulo
S M Q. Si S, T y P son puntos
de tangencia.
QM
P
S
T
40
a) 110 b) 120 c) 130d) 140 e) 150
09) Hallar la medida del ngulo queforma MS y NT. Si S, T, y Pson puntos de tangencia.
M
NP
T
S
a) 60 b) 90 c) 70d) 108 e) 80
10) Hallar la m S Q T, Si S, P y Tson puntos de tangencia.
Q
P
TS
54
a) 116 b) 90 c) 104d) 108 e) 120
11) Hallar la m A B C. Si E, F, H, L yT son puntos de tangencia.
Adems m ABC = m EFT =m THL.
A
B
C
T
F
E
H
L
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
58/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 58
a) 90 b) 80 c) 45
d) 60 e) 72
12) Hallar la medida del arco ST. Si + = 257. Si S, P, T sonpuntos de tangencia.
T
P
O
S
a) 77 b) 80 c) 103d) 75 e) 90
13) Calcular la medida del ngulo
S T P.
S
r
P
T
a) 135 b) 67 30 c) 45d) 120 e) 90
14) Desde un punto E exterior a una
circunferencia se trazan lasecante EMN y la tangente ES.Calcular la medida del nguloformado por las bisectrices de
los ngulos S E M y M SN.
a) 120 b) 80 c) 90d) 108 e) 100
15) Hallar la m PTS.
P
Q
S
T
R
53/2
a) 37 b) 53 c) 90d) 74 e) 16
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
59/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 59
TEMA: SEMEJANZA DE TRINGULOS
Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres ngulos interiorescongruentes (ngulos respectivamente de igual medida) y las longitudes desus lados homlogos son directamente proporcionales. Los lados homlogosson aquellos que se oponen a los ngulos congruentes.
A
a
B
b C
c
akck
P
Q
R
El ABC PQR .
Nota 1: m ABC = m PQR Nota 2: KRP
CA
QR
BC
PQ
AB===
m BCA = m QRPm CAB = m RPQ k = constante de proporcionalidad
CASO DE SEMEJANZADos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente deigual medida.
Caso I: ngulo Lado ngulo (ALA)
a ak
Ejm:
a 4a
8
x
2x
a4
a
8
x
=
/
/=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
60/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 60
Caso II: Lado ngulo Lado (LAL)
bkb
a ak
Caso III: Lado Lado Lado
bkb
a c ak ck
RAZN DE SEMEJANZA (r)Es aquel nmero real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes
homologas de dos tringulos semejantes.Ejm:
34
5
h2
h1
8 6
10
2h
h
5
10
4
8
3
6Razn
2
1 ======
SITUACIONES FRECUENTES DONDE SE PRESENTAN TRINGULOSSEMEJANTES
1. Si AC//MN ABC MBN
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
61/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 61
NM
A C
B
2. Si AC//MN ABC MBN
B
NM
A C
3. Si MBN ABC
B
CA
N
M
4. ABD ABC
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
62/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 62
C
B
A D
x
ba
5.
x
a
b
6. Cuadrado inscrito en un tringulo
x
x
x
xA
C
B
h
b
ba
abx
+=
Se cumple: x = nb
hb
hbx
+
=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
63/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 63
7. ABCD: Trapecio issceles AD//EF
x
b
a
A
C
y
B
D
E F
8. x = ab
ab
x
9. Cuadrado inscrito en un rombo.
x
x
D
d
D y d son diagonales.
ba
abyx
+==
dD
Ddx
+=
1. x = ab
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
64/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 64
ALGUNAS PROPIEDADES DE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
1. TEOREMA DE THALESSi:1 //2 // 3
a
b
m
n
Si:1 //2 // 3
ma
bn
2. CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN UN TRINGULO
NM
A C
B
b
a m
n
3. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES
a m
nb
n
m
b
a=
n
m
b
a=
Si: AC//MN
n
m
b
a=
nm
m
ba
a
+=+
n
m
b
a=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
65/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 65
4. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
a
b
nm
5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
ba
m n
6. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
ba
nm
n
m
b
a=
n
m
b
a=
n
b
m
a=
n
m
b
a=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
66/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 66
7. TEOREMA DEL INCENTRO
a
A C
B
b
c
D
8. PROPIEDAD
A B C D
B
BP
9. TEOREMA DE CEVA
b
a
x
Z C
y
ID
BI
b
ac=
+
CD
AD
BC
AB=
zyxcba =
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
67/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 67
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Calcular MN: Sabiendo que
AC = 10.
N M
A C
B
10
53
x
Rpta.:
02) Hallar el segmento TB, siCT = TB
8CA D
T
B6
Rpta.:
03) QT y RT , son lneas de
tangencia. Hallar el valor de R.
P
O 8 7a
Q
aT MR
Rpta.:
04) Si el BC 0 CD = 2. Hallar DE.
6
C
A
B
Dx
F
E
a
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
68/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 68
05) En el tringulo AB = 10,
BE = 5, ED = 3. Calcular BF .Si m BAE =
E
F10
5
3
x
DA
B
C
Rpta.:
06) Si AM = 4 y NC = 9. CalcularR. Si M y N son puntos detangencia.
C
B
A
M N
Rpta.:
07) Calcular ED, si AE = 6,
ME = 8, NE = 9. Hallar ED
D
E
CB
A
2B
NM
Rpta.:
08) ABCD: Cuadrado. AB = 6 cm.Calcular x.
N
M
B C
A D
6
6
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
69/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 69
09) En la figura: 8
3
AC
AD
= yRC = 2. Calcular AB.
A D
B
C
R
Rpta.:
10) En la figura mostrada. Calcularel valor de x.
x
A
B Ca
b D
Rpta.:
11) Si sabemos que 11
6
BC
AB
= yadems AC = 17. Calcular AD.
A
B
C
2
3
5
D
Rpta.:
12) En la figura mostrada EH, siABCD es un cuadrado:
AF =3
ADy AB = 4.
E
B C
A D
H
F
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
70/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 70
13) En la figura mostrada, calcular
EF, sabiendo que EFGA: Rombo.
A
B
C
E F
G12
24
Rpta.:
14) En la figura BE = EF = FG = GC.Calcular: JE + JF + HG.
A
CB
10
E F G
J
I
H
Rpta.:
15) En la figura mostrada. Calcular x.
B C
A D
M
4
9
Rpta.:
16) En la figura:2
1
EF
EH= .
Si AH = 4, calcular FC.
H
A
B
C
E
F
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
71/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 71
17) En la figura mostrada.
Calcular x.
A
8
Rpta.:
18) En la figura. Calcular EF.
A
B
E9
DC
F
105
B
Rpta.:
19) En la figura mostrada
CF // BE // AD 23
BEAB = .
Si GD = 6: calcular AG.
F
A G D
C
B E
Rpta.:
20) En la figura mostradaBM = MC, B es punto de
tangencia. Calcular BC, siAB = 8, BT = 4 y AC = 5.
CA
B
M
T
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
72/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 72
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) En la figura 1L // 2L // 3L . AB
0 5; EF = x + 2; BC = 7 yFG = 2x 2. Calcular x.
l1
l2
l3C
B
A E
F
G
a) 7 b) 6c) 5 d) 4e) 8
02) En un tringulo ABC, AB = 10;BC = 14 y AC = 12. Se traza
BD bisectriz interior
(D enAC ) calcular AD.
a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 7
03) En la figura. Calcular BD.
A
B
E
D
83
.
C
6
a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 7
04) En la figura mostrada. Calcular:DF/BD.
B
C
A
6
7
D
F
a) 7/6 b) 6/7
c)7
6 d)7
6
e) 12/7
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
73/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 73
05) En la figura 1L // 2L // 3L // 4L ,
AB = 5; CD = 7; EG = 15 yFH = 19. Calcular FG.
1
2
3C
B
A E
F
G
D4
H
L
L
L
L
a) 3 b) 4
c) 5 d) 6e) 7
06) En la figura. Calcular AD.
D
CB
A E
16
8
5
a) 10 b) 8
c) 9 d) 11e) 12
07) En la figura mostrada. Calcular x.
E
C
B
A
D
24
3
x
a) 7 b) 6c) 5 d) 4e) 3
08) En la figura mostrada CF // BE
// AD y5
3
AC
AB= . Si GD = 6.
Calcular AD.
B
C F
G DA
E
a) 11 b) 12c) 10 d) 10
e) 9
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
74/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 74
09) Del grfico PQ //AC , 5BP = 3AP;
BQ = 12; calcular QC.
A
B
C
P Q
a) 12 b) 20c) 22 d) 16e) 18
10) Si sabemos que 2AB = 5AD.Calcular x.
xA
B
CD
x +1
a) 3/2 b) 2/3
c) 1/3 d) 4/3e) 1
11) Del grfico, calcular CD:
A D
B
C
12
10
8
a) 20 b) 10c)15 d) 12e) 8
12) Del grfico AD = 3; DC = 2;calcular CE.
A D
B
C
B
B
E
a) 20 b) 12c) 18 d) 15e) 10
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
75/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 75
13) Del grfico. Calcular x.
523
B
B
x
a) 5/3 b) 10/7
c) 3 d) 3/5e) 10/3
14) Del grfico. Calcular DE. Si
1L // 2L // 3L .
1
2
3
C
B
A
E
F
D
xx + 2
x + 6 x + 3
L
L
L
a) 2 b) 5c) 3 d) 8e) 6
15) Del grfico calcular PQ.
x
3
2
C
DA
B
P
Q
a) 5/6 b) 6/5c) 5/7 d) 7/6e) 7/5
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
76/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 76
PROBLEMAS ADICIONALES DE POLGONOS
01) Se tiene dos polgonos regulares,si la suma total de las medidas desus ngulos interiores es 2340 ladiferencia del nmero dediagonales de ambos polgonoses 21. Calcular la meda delngulo interior del polgono demenor nmero de lados.Rpta.:
02) Cuntas diagonales se puedentrazar como mximo desde tresvrtices consecutivos en unpolgono no convexo, donde sumximo nmero de diagonalesmedias excede en 8 al mximonmero de diagonales?Rpta.:
03) Calcular el nmero de lados deun polgono equingulo sabiendoque la suma de las medidas de 7ngulos internos es igual a 1134.Rpta.:
04) En un polgono convexo se sabeque el cociente entre la suma delas medidas de sus ngulosinteriores y exteriores diagonalesde dicho polgono.Rpta.:
05) Calcular la suma de las medidasde los ngulos interiores de unpolgono convexo cuyo nmero dediagonales excede en 8 al nmerode diagonales de otro polgonoque tiene un lado menos.Rpta.:
06) La suma de las medidas de losngulos internos de dos polgonos
se diferencian en 360 y lasmedidas de sus ngulos centralesse diferencias en 6. calcular lasuma de sus nmeros de lados.Rpta.:
07) Se verifica que el cociente entrela medida del ngulo interior y lamedida del ngulo central, es
igual al mximo nmero dediagonales del polinomio de 7lados menos.
Rpta.:
08) Si el ngulo y el ngulo exteriorde un polgono regular y k.Cules son los valores enteroque pueden tomar k para que el
polgono exista?Rpta.:
09) El menor ngulo de un polgonoconvexo mide 120; los otrosforman con l una progresinaritmtica de razn 5. calcular elnmero de diagonales. sisabemos que el polgono esmenor que 15 lados.Rpta.:
10) En un polgono de n ladosdesde (n - 4) lados consecutivosse trazan (2n + 1) diagonalesmedias. Calcular n.Rpta.:
11) En un polgono regular ABC den lados m ACE = 140. Calcularel nmero de diagonales.Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
77/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 77
12) En un polgono, si su nmero de
diagonales aumentan en b esteresultado es igual al nmero dediagonales medias disminuido ena. Cunto mide el ngulocentral de dicho polgono?Rpta.:
13) Calcular el nmero de lados deaquel polgono en donde elmximo nmero de diagonales
es el doble de la suma delnmero de lados ms dos.Rpta.:
14) En cierto polgono al aumentar elnmero de lados en a, elnmero de diagonales aumentaen 6a. Cuntos polgonoscumplen estas condiciones?Rpta.:
15) En un polgono de n lados, lasuma del nmero de diagonalescon el doble del nmero dediagonales medias y el triple delnmero de vrtices es 1650.Calcular el nmero de diagonalesmedias.Rpta.:
16) Determinar la expresin paraencontrar el nmero dediagonales medias que sepueden trazar a partir de lospuntos medios desde k ladosconsecutivos en un polgono den vrtices.Rpta.:
17) La suma de las medidas de losngulo internos de dos polgonosse diferencian en 360 y las
medidas de sus ngulos
centrales se diferencian en 6.Calcular la suma de sus nmerosde lados.Rpta.:
18) Cuntos lados tiene le polgonoconvexo, donde el nmero dediagonales mas el nmero dediagonales medias, es igual alnmero de diagonales trazadas
desde 4 vrtices mas 4 veces elnmero de ngulos rectos a queequivale la suma de las medidasde sus ngulos internos menos 2?Rpta.:
19) Si en un polgono convexo, elnmero de lados aumenta en 3,el nmero de diagonales ms elnmero de ngulos rectos a que
equivale la suma de las medidasde sus ngulos internos excedeen 36 a la suma del nmero dediagonales, ms el nmero dengulos rectos que equivale lasuma de las medidas de susngulos internos del polgonoinicial. Cuntos lados tiene elpolgonos inicial?Rpta.:
20) Si los nmeros de lados de dospolgonos se diferencias en 5 ylos nmero de diagonales totalesde ambos polgonos sediferencian en 40. calcular lasuma de las medidas de losngulos interiores del polgono demayor nmero de lados.Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
78/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 78
PROBLEMAS DE NIVEL SUPERIOR
01) La diferencia entre el nmero dediagonales de cierto polgonoregular y el nmero de ngulosrectos a que equivale la suma delos ngulos internos es 8. Calcularla medida del ngulo central.
a) 45 b) 12 c) 36d) 60 e) 18
02) En un polgono, el nmero detringulos que se obtienen altrazar las diagonales de un solovrtice y el nmero de diagonalesque se pueden trazar del quintovrtice consecutivo estn en larelacin de 7 a 5. calcular lasuma de las medidas de losngulos internos.
a) 2880 b) 2520 c) 2340d) 2700 e) 3600
03) Calcular el nmero lados decierto polgono regular, en dondeal aumentar en 2 su nmero delados. La medida del nguloexterno disminuye en 9.
a) 6 b) 10 c) 12d) 8 e) 15
04) Si al nmero de diagonales decierto polgono se le disminuyeen 5 entonces resulta unpolgono donde la suma de susngulos internos es 720. calcularel nmero de diagonales delpolgono inicial.
a) 8 b) 9 c) 14d) 12 e) 15
05) Las medidas de cinco ngulosinternos de un polgono regularen suma es 700. calcular la sumade las medidas de sus ngulointernos.
a) 700 b) 1700 c) 1820d) 1900 e) 1260
06) Si la medida del ngulo de unpolgono convexo aumenta en 3.entonces el nmero dediagonales trazadas desde 6vrtices consecutivos excede en24 al nmero de diagonalestrazadas desde 6 vrticesconsecutivos del polgonoconvexo inicial. Calcular elnmero de lados del polgonoinicial.
a) 20 b) 18 c) 25d) 22 e) 21
07) Si el nmero de diagonales de unpolgono aumenta en m, estevalor es igual al nmero dediagonales medias disminuidasen n. Cunto mide el nguloexterno?
a) 360 / (2m + n)b) 360 / (m + n)c) 180 / 8m - n)d) 180 / (n - m)e) 270 / (m +n)
08) El menor ngulo de un polgonoconvexo mide 120. los otrosforman con l una progresinaritmtica de razn 5. calcular elnmero de diagonales medias.
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 79
a) 9 b) 27
c) 36 d) 28e) 32
09) Si el nmero de lados de unpolgono regular aumenta en 10,cada ngulo del nuevo polgonoes 3 mayo que cada ngulo deloriginal. Calcular el nmero delados del polgono original.
a) 20 b) 30c) 40 d) 60e) 50
10) Calcular el ngulo interior de unpolgono regular, sabiendo queexcede en 20 al ngulo interior deotro que tiene 3 lados menos.
a) 150 b) 130c) 110 d) 140e) 120
11) Calcular el nmero de diagonalestotales de un polgono convexode n lados, si al trazar lasdiagonales desde (n -4) vrticesconsecutivos estas hacen un totalde (2n + 1):
a) 20 b) 9c) 16 d) 17e) 10
12) En que polgono regular severifica, que el cociente entre lamedida del ngulo central esigual al nmero de diagonalestotales del polgono de 7 ladosmenos.
a) Pentgonob) Dodecgono
c) Octgono
d) Nongonoe) Hexgono
13) Si los nmeros de diagonalestotales de 2 polgonos sediferencian en 40. calcular lasuma de las medidas de losngulos interiores del polgono demayor nmero de lados sabiendoque tiene 5 lados ms que el otro.
a) 1600 b) 540c) 900 d) 2300e) 1800
14) La suma y la diferencia de lasmedidas de los ngulosexteriores e interiores de dospolgonos es 100 y 20
respectivamente. Calcular lasuma de las medidas de losngulos interiores del polgono demayor nmero de lados.
a) 1320 b) 1200c) 1000 d) 1260e) 1080
15) La suma de las medidas de 13ngulos interiores de unpentadecgono es 2200. hallar lamedida del ngulo formado porlas bisectrices interiores de losotros ngulos.
a) 100 b) 110c) 80 d) 120
e) 90
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo
Geometra 80
INDICE
Polgonos . 03
Cuadrilteros 14
Circunferenciapropiedades... 30
Circunferenciangulos.. 45
Semejanza 59
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao
Geometra 81
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Primer Ao
INDICE
rea de un Tringulo 82
rea de un Cuadriltero .. 94 rea de Superficies Circulares .104 Operaciones con reas ..119 Recta y Plano .... 130 rea de Slidos 139 Volumen de Slidos .....146 Miscelnea .154
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao
Geometra 82
TEMA: REA DE UN TRINGULO
Un tringulo es una figura geomtrica que posee tres lados, que pueden ser rectas, curvos omixtos.
El rea de un tringulo se obtiene dividiendo entre dos al producto de su base por su altura.
Demostracin:
A
C F E
B
h
Db
A = b h 2
xABC ?
Para realizar la demostracin de la frmula para hallar el rea del tringulo haremos uso de una
construccin auxiliar: por el vrtice C, trazaremos una paralela al segmento AB y por el vrtice
B, trazaremos una lnea paralela al segmento AC . El punto donde se cortan estas dos lneas(punto de interseccin) lo llamaremos E. Entonces se formar el cuadriltero ABEC. Asimismo,
trazaremos las alturas CD y FB , perpendiculares a los segmentos AB y CE ,respectivamente.
El rea del tringulo lo podremos hallar por una diferencia de reas:
AABC = AABEC ABCE (1)
Ahora, si analizamos el cuadriltero ABEC, notamos que, como todos sus lados son paralelosdos a dos, entonces el cuadriltero ABEC es un paralelogramo. En consecuencia, si la longitud
del segmento AB es b, por ser ABEC un paralelogramo, entonces la longitud del segmento
CE tambin es b.Adems, como sabemos que el rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando su base porsu altura, entonces:
AABEC = b x h (2)
Ahora, si analizamos los tringulos ABC y BCE, observamos que como los segmentos AB y
CE tienen la misma longitud b, y las alturas CD y BF tienen la misma longitud h,entonces los tringulos ABC y BCE son figuras equivalentes; y, como son figuras equivalentes,
por este motivo tendrn reas iguales.AABC = ABCE (3)
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao
Geometra 83
Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtendremos:
ABCABC
BCEABECABC
AhxbA
AAA
=
=
Pasando AABC al lado izquierdo de la igualdad
AABC + AABC = b x h
2AABC = b x h
Dividiendo cada trmino de la igualdad entre 2:
A = b h 2
xABC rea del Tringulo
Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del tringulo.
Esta frmula del rea del tringulo es aplicable a cualquier tipo de tringulo, el cual puede ser:
a) Tringulo EscalenoAquel que no tiene lados iguales, es decir, la longitudde sus lados es diferente.
ac
b
b) Tringulo IsscelesTiene dos lados iguales, y al tercero se le considera como la base del tringulo.
a a
bc) Tringulo Equiltero:
Es aquel en el cual sus tres lados son iguales.
60
60 60
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao
Geometra 84
NOTA:El rea del tringulo equiltero se puede hallar directamente si se conoce slo la longitud de su
lado slo la longitud de su altura, haciendo uso de las siguientes frmulas:
A= 3 4
l x2
A h= 3 3
x2
h
La demostracin la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer nociones bsica de una rama dela Ciencia Matemtica: la Trigonometra, curso que recin aprenderemos en Tercero de Secundaria.Por este motivo, consideraremos como vlidas a priori estas dos frmulas anteriores.
Conceptos Importantes1. Teorema de Pitgoras
Este teorema solamente se aplica a los tringulos rectngulos (aquellos que poseen unngulo de 90). En un tringulo rectngulo los lados que se interceptan en un ngulo de 90se llaman CATETOS y al tercer lado se le conoce como HIPOTENUSA.
Hipotenusa h C2
C1 Catetos
El teorema de Pitgoras se enuncia as: La suma de los cuadrados de los catetos es igualal cuadrado de la hipotenusa.
Es decir:22
221 hCC =+ Teorema de Pitgoras
Ejm.Si tenemos el siguiente tringulo rectngulo
h 3
4
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao
Geometra 85
La longitud de la hipotenusa la podremos hallar haciendo uso del Teorema de Pitgoras. En efecto:
5h25h25916h
34hCCh
2
222
22
21
2
===+=
+=+=
2. Semejanza de Tringulos ( )Se dice que 2 tringulos son semejantes si cumplen con alguna de lo siguientes 3 criterios:
a) Si al menos dos de sus 3 ngulos internos son iguales:
a
b
c
d
a bc d
b) Si dos lados del primer tringulo son proporcionales a dos lados del segundo, y losngulos formados por dichos lados son iguales.
a
b
cm
n
p
Si: a bm n
a pm b
c) Si los tres lados del primer tringulo son proporcionales a los tres lados del segundo.
a
b
c m
n
p
Si:
p
c
n
b
m
a==
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao
Geometra 86
3) Congruencia de Tringulos ( ) .-
Se dice que dos tringulos son CONGRUENTES (iguales), si cumplen con alguno de estos3 criterios.
a) Si tienen congruentes un lado y los ngulos adyacentes a l.
a
bcm
a
n
b = m
c = n
b) Si tienen congruentes dos lados y el ngulo comprendido entre ellos.
a
b
c ma c = m
b
c) Si los tres lados de cada tringulo son congruentes entre ellos.
a
b
c a
b
c
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao
Geometra 87
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. En el paralelogramo adjunto,
CBAB = y 6EC = m. Calcular elrea del tringulo sombreado.
A
B
C
D
E
F
G16 m.
10 m
Rpta.:
02. Si el segmento PQ tiene una longitudde 9 metros y la diferencia de lasalturas h1 h2 = 8 m. Calcular elrea de la regin sombreada.
1
2
h
hP Q
R
Rpta.:
03. Si O es el centro del cuadrado ABCD,el cual tiene un lado de longitud q,entonces el rea de la reginsombreada es
A B
E F
D C
O
qRpta.:
04. El permetro de un tringulo issceles
es 16m, si CBAB = . Calcular elrea del tringulo ABC si sabemos que
m4BM= .
A
B
CM
Rpta.:
05. Halar el rea de un rectngulo ABCD,
si se sabe que AC = 50 cm y AB =40 cm
A
B C
D
Rpta.:
06. Hallar el rea de un cuadrado si se sabe
que su lado es equivalente al valor delrea de un tringulo equiltero de 8 m. delado.
Rpta.:
07. En la figura, ABCD es un rectngulodividido en cuatro rectngulos de igual
rea. Si AD mide 24 cm y trazamos
DJ . Cunto mide MF ?
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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Geometra 88
A B
CD F
M
J
Rpta.:
08. Si el rea del cuadrado ABCD vale 40m2. Cul ser el rea de la figurasombreada?.
A
B
D
C
Rpta.:
09. La altura del rectngulo ABCD mideh y la base los 2/3 de la altura. Si
DCDE = , el rea de la reginsombreada.
A B
D C
E
Rpta.:
10. Se sabe que el siguiente tringulo
equiltero tiene un rea de 4 3 m2.Determinar en que relacin se encuentrasu base y su altura (en este mismoorden).
h
Rpta.:
11. La figura ABCD es un trapecioissceles. Adems, BCEF es uncuadrado. Hallar el rea de la reginsombreada.
A
B C
DEF
10 m
20 m
Rpta.:
12. En el siguiente tringulo rectngulo, se
pide hallar la longitud del segmento PQ .
P
Q
30 cm.
40 cm.
X
Rpta.:
13. Dado el siguiente trapecio ABCD, sepide determinar en que relacin seencuentran las reas de los tringulosABD y BCD. El rea del trapecio
ABCD es 85 cm2
.
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao
Geometra 89
A
B C
D20 cm.
14 cm.
Rpta.:
14. En el siguiente grfico, las figurasABCE y BCDE son paralelogramos. Si
el rea del tringulo BCE es 18 cm
2
.Calcular el rea del trapecio ABCD.
A
B C
DE
Rpta.:
15. En el siguiente trapecio ABCD, M es
punto medio de BC y N es puntomedio de AD. Si la longitud del
segmento AM es 10 cm. Calcular elrea del tringulo ABM. Si adems:
2
1
AD
BC=
A
B
C
D
M
N
6
Rpta.:
16. En el siguiente grfico, la figura ABCDes un paralelogramo. SI M es punto
medio de BC y N es punto medio
de CN . Hallar el rea de la regintriangular MNC, si el rea delparalelogramo es 100 m2.
A
B C
D
M
N
Rpta.:
Obs: Utilizar el teorema de los puntosmedios de un tringulo.
17. En un tringulo rectngulo ABC, recto
en B, desde el pie de la altura BH se
traza el segmento perpendicular HS
a AB . Si m12AHBH =+ y elrea del tringulo rectngulo ABH es16 m2, entonces el valor de segmento
AB ser:
A
B
CH
S
Rpta.:
18. En un tringulo rectngulo MNP, seconoce que su permetro es 20 cm. yque el rea de este tringulo es 5 cm2.
Hallar el valor de su hipotenusa.
Rpta.:
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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Geometra 90
19. Dado el siguiente rombo ABCD, donde
M es punto medio del lado BC y N espunto medio del lado CD . Si se sabeque el rea total del rombo es 16 m2.Hallar el rea sombreada.
D
C
A
B
M N
Rpta.:
20. Hallar el rea del trapecio MNPQ si sesabe que el rea del tringulorectngulo MNH es 8 m2 y que:
.m24MHxPQ 2=
Q H P
M N
Rpta.:
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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Geometra 91
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. El rea de la parte sombreada delrectngulo ABCD es:
A B
CD
a) Menor que la mitad del rea delrectngulo.
b) La mitad del rea del rectngulo.c) Mayor que la mitad del rea del
rectngulo.d) Un tercio del rea del rectngulo.e) Menor que un tercio del rea del
rectngulo.
02. Calcular el rea sombreada si: ABCDes un cuadrado cuyo lado tiene 10 cmde longitud.
A
B
D
C
a) 100 cm2 b) 50c) 40 d) 25
e) 7503. Calcular el rea del la regin
sombreada si MNPQ es un cuadrado yMRQ es un tringulo equiltero. Ellado del cuadrado MNPQ es 18 cm
M
N P
Q
R
a) 126 cm2 b) 216c) 162 d) 261e) N.A.
04. En un tringulo rectngulo la suma delas longitudes de sus catetos es 7 cm.Calcular el rea de la regin de dichorectngulo.
A B
C
5c
m.
Sugerencia: Usar la siguienteidentidad algebraica:
(a+b)2 = a2 + b2 + 2ab
a) 5 cm2 b) 6 cm2
c) 8 cm
2
d) 10 cm
2
e) N.A.
05. Dado el siguiente rombo MNPQ donde
A es punto medio del lado MN y B es
punto medio del lado .MP Se pidecalcular el rea de la seccinsombreada, si el rea del romboMNPQ es 64 cm2.
P
Q
A B
M
N
a) 40 cm2 b) 24 cm2
c) 16 cm2 d) 10 cm2e) N.A.
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao
Geometra 92
06. En la figura, las regiones ABCD y CEFGson cuadrados EDFH es un rectngulo .Si se sabe que el rea del rectnguloEDFH es 42 cm2 y el rea del cuadradoABCD es 169 cm2 (GH > GF). Calcular elrea del cuadriltero ABGH.
A
B C
D
G
E F
H
a) 175 cm2 b) 49 cm2
c) 600 cm2 d) 260 cm2
e) N.A.
07. En el siguiente grfico, la figura MNPQes un paralelogramo. Si A es punto
medio de MN y B es punto medio del
lado MQ . Calcular el rea de la
regin sombreada, si el rea delparalelogramo es 600 cm2.
A
B
P
QM
N
a) 700 cm2 b) 75 cm2
c) 80 cm2 d) 650 cm2
e) 525 cm2
08. En la siguiente figura, MNPQ es uncuadrado, cuyo lado tiene una longitudde 16 cm. Calcular el rea de la reginsombreada, si X es el centro cuadrado
y RS es paralelo a MQ y pasa porel punto X.
M
N P
Q
SRX
a) 96 cm2 b) 69 cm2
c) 44 cm2 d) 60 cm2
e) N.A.
09. En el siguiente paralelogramo ABCD,
M es el punto medio del lado AB , O esel punto medio de la altura BH y N es
el punto medio del lado CD .
Si AH = 6 cm. Hallar el rea deltringulo rectngulo MBO.
A
B C
DH
OM N 10 cm.
(Sugerencia: usar semejanza de tringulos)
a) 10 cm2 b) 6 cm2
c) 16 cm2 d) 12 cm2
e) N.A.
10. En el siguiente grfico, los 4 tringulos
pequeos son equivalentes. Hallar elrea del tringulo grande.
5 cm
4 cm
a) 40 cm2 b) 25 cm2
c) 30 cm2 d) 10 cm2
e) 20 cm2
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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Geometra 93
11. Hallar el rea del tringulo sombreadosi el rea del tringulo ABC es 90 cm2.
10
10
a) 25 cm2 b) 20 cm2
c) 15 cm2 d) 10 cm2e) N.A.
12. Si el siguiente cuadriltero estformado por 2 tringulos equilterosde igual rea. Hallar el rea total delcuadriltero.
8cm
a) 642cm3 b) 32 2cm3
c) 32 cm2 d) 64 cm2
e) N.A.
13. Hallar el rea del tringulo BOP si Oes el centro del cuadrado y PO es
paralelo a AD .
D
A B
C
P
O8 cm
a) 8 cm2 b) 18 cm2
c) 4 cm
2
d) 16 cm
2
e) N.A.
14. Colocar V o F segn corresponda.
a) Dos tringulos son congruentes sitienen 1 ngulo y 1 lado congruente.
b) El rea de un tringulo rectnguloes el semiproducto de sus catetos.
c) El teorema de Pitgoras se aplicaa cualquier tipo de tringulo.
a) VFV b) VVFc) FFF d) FFVe) FVF
15. Calcular el rea de la reginsombreada, si la base media deltrapecio mide 19 cm
10 cm
5 cm
a) 12 cm2 b) 8 cm2
c) 10 cm2
d) 6 cm2
e) N.A.
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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Geometra 94
TEMA: REA DE UN CUADRILTERO
Una vez conocidos estos teoremas importantsimos, estamos en condiciones de definir (y tambin dedemostrar) el rea de las principales figuras geomtricas. Empezaremos por los cuadrilteros.
Los cuadrilteros son figuras geomtricas que poseen cuatro lados. Los cuadrilteros pueden ser:
* Rectngulo. * Cuadrado * Rombo * Paralelogramo * Trapecio
A continuacin, pasaremos a detallar (y en algunos casos demostrar) el rea de cada uno de estoscuadrilteros.
1. rea del rectnguloUn rectngulo es una figura geomtrica que posee 4 lados paralelos dos a dos, e interceptados
bajo un ngulo de 90. Los lados paralelos tienen igual longitud. El rea de cualquier rectngulo seobtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.
A = B hXRECTNGULOH
B
Demostracin: AABCD = h x b?
B
A
C
DA
h
M
N P
Q
H
B
A1
b
Para realizar la demostracin de que el rea del rectngulo ABCD es A = h x b, haremos unaconstruccin auxiliar: dibujaremos un rectngulo MNPQ de altura H y base B, donde H = B = 1; esdecir, tenemos un rectngulo de lado unitario. Este rectngulo ser la unidad de rea, es decir A1 = 1.(Ntese que como la base y altura son iguales, este rectngulo recibe el nombre de cuadrado).
Sabemos, por el Cuarto Teorema, que las reas de 2 rectngulos son proporcionales al producto de su
base por su altura respectiva. Entonces:
BxH
bxh
A
A
1= . (1)
Pero sabemos que A1 es uno, y que H = B = 1.Entonces reemplazando estos valores en la ecuacin (1).
bxhA = : rea del rectngulo
Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del rectngulo.2. rea del Cuadrado
Un cuadrado es un tipo particular de rectngulo, donde la longitud del la base es igual a la longitudde la altura. El rea del cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de la base, oelevando al cuadrado la longitud de la altura. Es decir, multiplicando h x h b x b.
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
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Geometra 95
L D
L
Demostracin:Puesto que conocemos que el rea del rectngulo es:
A = h x b
Y como hemos dicho, en un cuadrado: h = b = L
2LLxLA == rea del Cuadrado
Obs.El rea del cuadrado tambin puede obtenerse as:
Donde D es la diagonal del cuadrado2
DA
2
=
3. rea del ParalelogramoUn paralelogramo es una figura de 4 lados, donde sus lados son paralelos dos a dos, pero donde elngulo de interseccin de los lados es distinto a 90.
El rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su
altura; es decir, igual que el rea del rectngulo, puesto que el paralelogramo es un tipo de rectnguloal cual se le han inclinado dos lados.
Demostracin:
hxbAABCD =
A
h
C
DE Fb
B
Primero, debemos notar que tanto los segmentos BCyAD tienen la misma longitud, as como los
segmentos .CDyAB Para demostrar que el rea del paralelogramo es A = b x h haremos una
construccin auxiliar: prolongaremos el segmento AB y trazaremos las perpendiculares BEyCF .Entonces se formarn los tringulos rectngulos ABE y CDF y el cuadriltero EBCF.Ahora, hallaremos el rea del paralelogramo ABCD mediante el uso de suma y diferencia de reas.
Entonces: AABCD = AEBCF + AABE ACDF (1)
Ahora, analicemos el cuadriltero EBCF: observamos que los segmentos CFyEB son paralelos y
sabamos que los segmentos ADyBC eran paralelos, y como el ngulo de interseccin de loslados es 90, entonces el cuadriltero EBCF es un rectngulo.
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1
96/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao
Geometra 96
Entonces: AEBCF = EBxBC = b x h (2)
Ahora, analicemos los tringulos rectngulos ABE y CDF: como los segmentos CDyAB soniguales y los ngulos interiores de los tringulos son iguales, entonces los dos tringulos sonidnticos, (figuras equivalentes), por lo que tendrn la misma rea.
Entonces: AABE = ACDF (3)
Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtendremos:
hxbAABCD = rea del Paralelogramo
Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del paralelogramo.
Notas:a. Un tringulo rectngulo es aquel que tiene un ngulo de 90 como ngulo interior.b. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PARALELOS si,
por ms que extendamos dichas rectas o segmentos, estas dos nunca, se cortarn. Un
ejemplo de rectas paralelas son las lneas horizontales de un cuaderno cuadriculado.c. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano sonPERPENDICULARES si dichas rectas o segmentos se cortan en un ngulo de 90. Unejemplo de rectas o segmentos se cortan en un ngulo de 90. Un ejemplo d