Curso preuniversitario Darwin MorochoPgina68

Darwin Morocho7

NMEROS NATURALES

El conjunto de nmeros naturales son aquellos , que no tienen parte decimal , se denota por , y est definido como

NMEROS ENTEROS

Se llama nmeros enteros a aquellos nmeros no tienenparte decimal incluyendo al cero

Ejemplo: 783 y 154 son nmeros enteros, mientras que 45,23 y 34/95 no

Nmeros Racionales

Se llama nmero racional a todo nmero que puede representarse como el cociente de dos nmeros enteros, con denominador distinto de cero

Ejemplos: , , , Hay ocasiones en que el resultado de un nmero racional nos da nmeros con decimales los cuales pueden ser: Decimal exacto: se trata de un nmero con parte decimal finita, es decir conocemos todos los nmeros despus de la coma o punto.Ejemplos: 0.2 , 3.3 , 0.123 102.43 3.12121 Decimal peridico puro: se trata de un nmero con parte decimal infinita, es decir NO se conocemos todos los nmeros despus de la coma o punto.Ejemplos: 0,333 ; 12,222 ; 1,333.0,32 32 32 ; 12,21 21 21 ; 1,362 362 362. Decimal peridico mixto: se trata de un nmero con parte decimal infinita, es decir NO se conocemos todos los nmeros despus de la coma o punto, pero se caracteriza porque lo periodicidad no comienza despus de la coma.Ejemplos: 0,32 11111 ; 12,2143333 ; 1,362 8888 ; 0,3 21 21 21 21 21 ; 12,214 3131 31 ; 1,362 123 123 123.

Conversin de un nmero decimal exacto a fraccin: en el numerador copiamos el nmero sin la coma, y en el denominador escribimos el 1 seguido de tantos ceros como nmeros haya despus de la coma en el nmero decimal exacto.

Ejemplo 1: Expresar 0,75 como fraccin

Paso 1: Escribe: Paso 2: luego escribe en el denominador dos ceros despus del 1 pues hay dos nmeros despus de la coma en 0,75

, as pues Ejemplo 2: Expresar 1,125 como fraccin

Paso 1: Escribe: Paso 2: luego escribe en el denominador tres ceros despus del 1 pues hay tres nmeros despus de la coma en 1,125

, as pues

Conversin de un nmero decimal peridico puro a fraccin: escribimos en el numerador el nmero sin la coma hasta su primer periodicidad luego restamos la parte entera, por ltimo en el denominador escribimos tantos nueves como nmeros tenga la periodicidad.

Ejemplo 1: expresar 0,33333 como fraccin

Paso1. Escribimos 3-0 en el numerador pues la periodicidad empieza despus de la coma y la parte entera es cero, despus note que el 3 se repite infinitamente

Paso2. Escribimos 9 en el denominador pues despus de la coma la periodicidad se repite de uno en uno

Es decir Ejemplo 2: expresar 12,67 67 67 como fraccin

Paso1. Escribimos 1267 en el numerador pues la periodicidad empieza despus de la coma, adems restamos la parte entera 12, despus note que el 67 se repite infinitamente

Paso2. Escribimos 99 en el denominador pues despus de la coma la periodicidad se repite de dos en dos

Es decir Conversin de un nmero decimal peridico mixto a fraccin: escribimos en el numerador el nmero sin la coma hasta su primer periodicidad luego restamos la parte del nmero justo antes de que empiece la periodicidad, por ltimo en el denominador escribimos tantos nueves como nmeros tenga la periodicidad seguido de tantos ceros como nmeros tenga despus de la coma y antes del periodo.

Ejemplo 1: exprese 12,345 67 67 67 como fraccin

Ejemplo 2: exprese 0,35 12 12 12 como fraccin:

Ejemplo 3: exprese 10,3 123 123 123 como fraccin:

Ejemplo 4: exprese 0,055555 como fraccin:

Ejemplo 5: exprese 0,051515151 como fraccin:

OPERACIONES CON NMEROS REALES

ADICIN.- se tienen dos posibilidades, segn sea el caso las posibilidades son las siguientes:CASO 1. Si se suman nmeros de igual signo Si se tienen dos o ms nmeros de igual signo se suman los nmeros y se conserva el signo.

Ejemplos: 3+5=8 , 4+7+1=12 , -1-3=-4 , -2-5-1=-8CASO 2. Si se suman nmeros de distinto signoSe conserva el signo del nmero mayor y luego se restan.

Ejemplos: 2-1=2 , 6-12=-6 , 1-5=-4 , -3+6=3 , -11+4=-7Propiedades de la adicin en los nmeros reales: Ley conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado:Ejemplos : 3+5=5+3 , -1-2=-2-1 , -1+4=4-1 , -4+3+2=3-4+2

Ley Asociativa (con respecto a la suma de tres o ms nmeros de signo positivo): Ejemplos: 2+3+1=2+(3+1) , 11+2+3=(11+2)+3 , 1+3+2+6=1+(3+2+6)NOTA: la propiedad asociativa no se cumple para la suma de tres o ms nmeros de signo negativos. Ley del Elemento neutro: todo nmero sumado 0 es igual al mismo nmero. Ejemplos: 2+0=2 , -4+0=4 , -4-0=-4 , -2+0=-2

MULTIPLICACIN O PRODUCTO DE NMEROS REALESLey de signos: la ley de signos es la que rige si el resultado de una multiplicacin de dos o ms trminos es positivo o negativo.CASO 1. Si se multiplican dos nmeros de mismos signos el resultado es un nmero positivo.

Ejemplos: , , ,

CASO 2. Si se multiplican dos nmeros de signos opuestos el resultado es un nmero negativo.

Ejemplos: , , ,

Propiedades del producto de los nmeros reales: Ley conmutativa: el orden de los multiplicandos no altera el resultado:Ejemplos : (-2)(3)=(3)(-2), (2)(8)=(8)(2) , (-10)(-3)=(-3)(-10)

Ley Asociativa : , Ley del Elemento neutro: todo nmero multiplicado por 1 es igual al mismo nmero.

Ejemplos: 2(1)=2 , , Ley cancelativa: todo nmero multiplicado por 0 es igual a 0.

Ejemplos: , , , Ley distributiva:

Ejemplos: ,

,

DIVISIN DE NMEROS REALESEn estudios ms avanzados se lleg a la conclusin que la divisin realmente es una multiplicacin, pero en nuestro estudio no lo tomaremos en cuenta. CASO 1. La divisin de dos nmeros de igual signo siempre es positiva

Ejemplos: , , CASO 2. La divisin de dos nmeros de distinto signo siempre es negativa

Ejemplos; , ,

Qu es una fraccin?Una fraccin es un nmero que indica parte de un entero o parte de un grupo. Una fraccin es una expresin matemtica usada para representar las partes de un todo.

En donde la parte de arriba de la fraccin se le conoce como numerador.

En donde la parte de abajo de la fraccin se le conoce como denominador.

El siguiente crculo est dividido en 8 partes iguales de las cuales 3 partes estn coloreadas.

El nmero de arriba de la fraccin, el numerador, nos dice cuntas de las partes iguales estn coloreadas. El nmero de abajo de la fraccin, el denominador, nos dice el nmero total de partes iguales que tiene la figura.

Esta figura muestra que partes del crculo estn coloreadas.Cmo se leen las fracciones? Para leer fracciones decimos primero el nmero del numerador y a continuacin el denominador de acuerdo con la siguiente tabla: 2.. Medios 3.. Tercios 4.. Cuartos 5 quintos 6.. Sextos 7.. Sptimos 8.. Octavos 9.. Novenos 10.. Dcimos

A partir de 10 al nombre del nmero se le aade la terminacin -avos :onceavos, doceavos, quinceavos, veinteavos, treintavos,.

Ejemplos:

Tres octavos cinco quinceavos Un medio ocho veintidosavos

Ejemplo 1: los 3/5 de 100 es

Ejemplo 2: los 9/2 de 20 es

Ejemplo 3: los 5/6 de 60 es

FRACCIONES EQUIVALENTES: dos o ms fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, por ejemplo , y son equivalentes.

El siguiente grafico nos nuestras las fracciones anteriores como fracciones equivalentes.

Dadas dos fracciones y se pueden determinar si estas son equivalentes siempre que

Simplificar una fraccin es encontrar una fraccin equivalente con un denominador menor. Tambin se llama obtener la fraccin irreducible. Para simplificar una fraccin, divide su numerador y denominador por el mismo nmero.

Ejemplos:

, ,

Ejercicio 1: observe como se ha simplificado la siguiente expresin

Ejercicio 2: observe como se ha simplificado la siguiente expresin NOTA: cualquier nmero entero terminado en 0 o en 5 es divisible para 5.Ejemplos: los nmeros 0, 10, 55, -20, 500, 305 son divisibles para 5.

NOTA: cualquier nmero entero par es divisible para 2.Ejemplos: los nmeros 0, 10, 20, -20, 500, -30 son divisibles para 2.

Cmo se comparan y ordenan las fracciones?Ordenar fracciones con igual denominadorDe dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

,

El smbolo > se lee mayor queEl smbolo < se lee menor que

Ordenar fracciones con igual numeradorDe dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.

,

Ordenar fracciones con numeradores y denominadores distintosEn primer lugar las tenemos que poner a comn denominador. , luego Es menor la que tiene menor numerador.

SUMA DE FRACCIONESCASO 1. Suma de fracciones homogneas: se dice que dos o ms fracciones son homogneas si tienen el mismo denominador. Entonces se conserva el denominador y se suman los denominadores.

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

Ejemplo 3: CASO 2. Suma de fracciones heterogneas: se dice que dos o ms fracciones son heterogneas si tienen diferente denominador. Entonces como denominador es el m.c.m de los denominadores de las fracciones.Calculamos su numerador de la siguiente manera: dividimos el m.c.m por el denominador original de cada fraccin. El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original, obteniendo el numerador de la fraccin equivalente.

Ejemplo 1: , donde 2 es el m.c.m entre 1 y 2.

Ejemplo 2: , donde 6 es el m.c.m entre 3 y 2.

Ejemplo 3: , donde 4 es el m.c.m entre 2 y 4.

Ejemplo 4:, donde 20 es el m.c.m entre 2 , 4 y 5..Calcular:

a) b) c) d) e) f) NUMERO MIXTOEl numero mixto consta de un entero y fracciones, es decir contiene un nmero exacto de unidades (parte entera), y adems de una o varias partes iguales de la unidad (parte decimal), ejemplo:

, en donde 1 es el nmero exacto de unidades o parte entera y es la parte decimal.

Pasar un nmero mixto a fraccin 1. Se deja elmismo denominador2 .Elnumeradores lasuma de la multiplicacindelenteropor el denominador ms el numeradordelnmero mixto.

Ejemplos: ; TEORIA DE EXPONENTES

La Teora de Exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. La operacin que permite la presencia del exponente es la potenciacin, la cual se define as:

POTENCIACIN

Es la operacin que consiste en repetir un nmero llamado base tantas veces como factor, como lo indique otro llamado exponente; al resultado de esta operacin se le denomina potencia, y se representa as:Potencia=(base)exponenteLabasede unapotenciaes elnmeroquemultiplicamos por s mismo.Elexponentede unapotenciaindica elnmerode veces quemultiplicamoslabase.

Ejemplos: , , , 1. Un numero elevado a la cero es igual a 1.

con Ejemplos: 50=1 , (-2)0=1 , (0.4)0=12. Un numero elevado a la 1 es igual a si mismo

Ejemplos: 11=1 , (-3)1=-3 , 51=1 (0.5)1 =0.5 3. Producto de potencias de igual base

Ejemplos: , , 4. Division de potencias de igual base

, con

Ejemplos: , ,

5. Potencia de una potencia

Ejemplos: , , 6. Producto de potencias de exponente igual

Ejemplos: , ,

7. Cociente de potencias de igual exponente

, con

Ejemplos: , , ,

Signo de una potencia de base enteraPara determinar elsignode lapotencia de un nmero enterotendremos en cuenta que:1. Laspotencias de exponente parson siemprepositivas.(+)par=+ , (-)par= + Ejemplos: 26= 64 , (2)6= 642. Laspotencias de exponente impartiene elmismo signode labase.(+)impar=+ , (-)impar= - Ejemplos: 23= 8 , (2)3= 8

Potencias de exponente negativoLapotenciade unnmero enteroconexponente negativoes igual alinverso del nmero elevado aexponente positivo.

con Ejemplo:

Potencias fraccionarias de exponente negativoUnapotencia fraccionariadeexponente negativoes igual a lainversa de la fraccinelevada a exponente positivo.

, con e . Ejemplo: , Potencias de exponente fraccionario

Ejemplos: ,

Potencias de exponente fraccionario y negativo

Ejemplo:

Ejemplos:1Escribe en forma de una sola potencia:133 34 3 =38257: 53=543(53)4=5124(5 2 3)4=3045(34)4=3166[(53)4]2= (512)2=5247(82)3=[( 23)2]3= (26)3=2188(93)2= [(32)3]2= (36)2=312925 24 2 =2101027: 26=211(22)4=2812(4 2 3)4=24413(25)4=22014[(23)4]0= (212)0= 20=115(272)5=[(33)2]5= (36)5=33016(43)2= [(22)3]2= (26)2=2122Realizar las siguientes operaciones con potencias:1(2)2 (2)3 (2)4= (2)9=5122(8) (2)2 (2)0(2) = (2)3 (2)2 (2)0 (2) = (2)6=643(2)2 (2)3 (2)4= (2)5=32422 23 24= 21=1/2522: 23= 21=1/2622: 23= 25= (1/2)5=1/32722: 23= 25=32822: 23=29[( 2 ) 2]3 (2)3 (2)4= (2)6 (2)3 (2)4=210[(2)6: (2)3]3 (2) (2)4= [(2)3]3 (2) (2)4= (2)9 (2) (2)4= (2)6=643Realizar las siguientes operaciones con potencias:1(3)1 (3)3 (3)4= (3)8=65612(27) (3) (3)2 (3)0= (3)3 (3) (3)2 (3)0= (3)6=7293(3)2 (3)3 (3)4=3432 34 34= 32= (1/3)2=1/9552: 53= 51=1/5652: 53= 55= (1/5)5=1/3125752: 53= 55=3125852: 53=59(3)1 [(3)3]2 (3)4= (3)1 (3)6 (3)=(3)310[(3)6: (3)3]3 (3)0 (3)4= [(3)3]3 (3)0 (3)4= (3)9 (3)0 (3)4= (3)5=2434Realiza las siguientes operaciones con potencias:1 23 456789101112RADICACIN

Laradicacinesla operacin inversa a la potenciacin. Y consiste en que dados dos nmeros, llamadosradicandoendice, hallar un tercero, llamadoraz, tal que, elevado alndice, sea igual al radicando.

Propiedades de la radicacin:

con

Ejercicios: 1. Calcula los valores de las siguientes potencias:1234

2. Extraer factores del radical:1 23. Introducir factores:124. Poner a comn ndice los radicales:

5. Realiza las sumas de radicales:1234

Ejercicios: Respuestas:1) 289/100 2) 1 3) 11/10 4) -8/27 5) 32/2436) 49/4 7) 64/15625 8 ) 512/1953125 9) -410) 10/3 11) 3/2 12) 64/12513) 63/55 14) -1/3

MONOMIOS Y POLINOMIOS

Trabajar enlgebraconsiste en manejarrelaciones numricasen las que una o ms cantidades sondesconocidas. Estas cantidades se llamanvariables,incgnitaso indeterminadas y se representan porletras.

Valor numricoEl valor numrico de una expresin algebraica es elnmeroque se obtiene alsustituir las letrasde la mismapor nmerosdeterminados yefectuar las operacionesindicadas en la expresin.

Un monomio es una expresin algebraica en la que las nicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x2y3z, , Partes de un monomio1 CoeficienteEl coeficiente del monomio es el nmero que aparece multiplicando a las variables.2 Parte literalLa parte literal est constituida por las letras y sus exponentes.

Monomios semejantesDos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplo 1: 2x2y3z es semejante a 5x2y3zEjemplo 2: x2 es semejante a 6x2

Ejemplo 3: es semejante a

Suma de MonomiosSlo podemossumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

Ejemplo 1: (NOTA: generalmente el coeficiente 1 no se escribe en un monomio)

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5: Producto de un nmero por un monomioEl producto de un nmero por un monomio es otromonomio semejantecuyocoeficientees el producto del coeficientede monomiopor el nmero.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3: Producto de monomiosEl producto de monomios es otromonomioque tiene porcoeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3: Cociente de monomiosEl cociente de monomios es otromonomioque tiene porcoeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

Ejemplo 3: Ejemplo 3:

Unpolinomioes una expresin algebraica de la forma:

P(x) = anxn+ an-1xn-1 + an-2xn-2+ ... + a1x1+ a0

Siendoan, an-1... a1, aonmeros, llamadoscoeficientes.n un nmero natural.x la variable o indeterminada.aoes el trmino independiente.

Grado de un polinomioElgradode un polinomio P(x) es elmayor exponenteal que se encuentra elevada la variablex.

Polinomio completoEs aquel que tiene todos los trminos desde el trmino independiente hasta el trmino de mayor grado

Polinomio ordenadoUn polinomio est ordenado si los monomios que lo forman estn escritos de mayor a menor grado.Polinomios igualesDos polinomios son iguales si verifican:Los dos polinomios tienen elmismo grado.Loscoeficientesde los trminos del mismo grado son iguales.

Valor numrico de un polinomioEs el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un nmero cualquiera.Ejemplo: sea el polinomio P(x) = 3x2 + x + 2, si x=2 entonces P(2)= 3 (2)2 +(2) +2 =16

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA

Una ecuacin es una igualdad donde por lo menos hay un nmero desconocido, llamado incgnita o variable, y que se cumple para determinado valor numrico de dicha incgnita.Se denominanecuaciones linealeso deprimer gradoa las igualdades algebraicas con incgnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).Las ecuaciones de primer grado con una incgnita son todas aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma: ax + b = 0Dondexes la variable,a yb son nmeros reales y a es diferente de cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.

Como procedimiento general para resolver ecuaciones de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:1.Se reducen los trminos semejantes, cuando es posible.2.Se hace la transposicin de trminos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incgnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.3.Se reducen trminos semejantes, hasta donde es posible.4.Se despeja la incgnita, dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Ejemplo: Resolver la ecuacin2x 3 = 53Debemos tener las letras a un lado y los nmeros al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el 3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de 3 es +3, porque la operacin inversa de la resta es la suma).Entonces hacemos:2x 3 + 3 = 53 + 3En el primer miembro 3 se elimina con +3 y tendremos:2x = 53 + 32x = 56Ahora tenemos el nmero 2 que est multiplicando a la variable o incgnitax, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ) a ambos lados de la ecuacin:2x = 56 Simplificamos y tendremos ahora:x = 56 / 2x = 28Entonces el valor de la incgnita o variable "x" es 28.

Ejemplos:1 Despejamos la incgnita:

2 Agrupamos los trminos semejantes y los independientes, y sumamos:

3 Quitamos parntesis: Agrupamos trminos y sumamos:

Despejamos la incgnita:

4Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mnimo comn mltiplo.

Quitamos parntesis, agrupamos y sumamos los trminos semejantes: Despejamos la incgnita:

5 Quitamos parntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los trminos semejantes:

6

7

8

9

10 11 12 13 Quitamos corchete: Quitamos parntesis: Quitamos denominadores: Quitamos parntesis:

Agrupamos trminos:

Sumamos: Dividimos los dos miembros por: 9

RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.Para nuestro estudio veremos: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas Sistemas de ecuaciones lineales con tres incgnitasMtodo de sustitucin1- Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.2- Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo una ecuacin con una sola incgnita.3- Se resuelve la ecuacin.4- El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita despejada.5- Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo:

1Despejamosuna de las incgnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incgnita que tenga el coeficiente ms bajo.

2Sustituimosen la otra ecuacin la variable x, por el valor anterior:

3Resolvemos la ecuacinobtenida:

4Sustituimos el valorobtenido en la variable despejada.

5Solucin Mtodo de igualacin1- Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.2- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con una incgnita.3- Se resuelve la ecuacin.4- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que apareca despejada la otra incgnita.5- Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo:

1Despejamos, por ejemplo, la incgnitaxde la primera y segunda ecuacin:

2Igualamosambas expresiones:

3Resolvemosla ecuacin:

4Sustituimosel valor dey, en una de las dosexpresionesen las que tenemosdespejada la x:

5Solucin: Mtodo de reduccin1- Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga.2- La restamos, y desaparece una de las incgnitas.3- Se resuelve la ecuacin resultante.4- El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.5- Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo:

Lo ms fcil es suprimir la y, de este modo no tendramos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuacin:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacin inicial.

Solucin:

Ejemplos:1Resuelve por sustitucin, igualacin, reduccin y grficamente el sistema:

Por sustitucin:

Despejamos x de la segunda ecuacin y luego reemplazamos en la primera.

Por igualacin:

Despejamos la misma variable de ambas ecuacin, en este caso hemos elegido la variable x.

Por reduccin:

2

3Halla las soluciones del sistema:

SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCGNITAS

Mtodo de GaussEste mtodo consiste en utilizar elmtodo de reduccinde manera queen cada ecuacin tengamos una incgnita menos que en la ecuacin precedente.1- Ponemos comoprimera ecuacinla que tenga el cmocoeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.2- Hacemosreduccin con la 1 y 2 ecuacin, paraeliminarel trmino enx de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:3- Hacemos lo mismo con la ecuacin1 y 3 ecuacin, paraeliminarel trmino enx.4- Tomamos las ecuaciones2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin y eliminarel trmino eny.5- Obtenemos el sistema equivalente escalonado.6- Encontrar las soluciones.

Ejemplo:

1- Ponemos comoprimera ecuacinla que tenga cmocoeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

2- Hacemosreduccin con la 1 y 2 ecuacin, paraeliminarel trmino enx de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:E'2= E2 3E1

3- Hacemos lo mismo con la ecuacin1 y 3 ecuacin, paraeliminarel trmino enx.E'3= E3 5E1

4- Tomamos las ecuaciones2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin y eliminarel trmino eny.E''3= E'3 2E'2

5- Obtenemos el sistema equivalenteescalonado.

6- Encontrar las soluciones.z = 1 y + 4 1 = 2y = 6x + 6 1 = 1x = 4

Hallar el valor de x e y en cada uno de los siguientes sistemas:

RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO MATEMTICO

Lenguaje coloquial a simblico:El Lenguaje Simbliconos permite escribir con smbolos matemticos las expresiones coloquiales, para luegoresolverlos problemas planteados.Lenguaje coloquial Lenguaje simblicoel doble de un nmero 2 xel triple de un nmero 3 xel consecutivo de un nmero x + 1el anterior de un nmero x -1 Palabras comnmente utilizadas en el planteamiento de problemas matemticosMas, adicin, agregar, aadir, aumentar+

Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar-

Multiplicacin, de, del, veces, producto, por, factor*

Divisin, cociente, razn, es a/

Igual, es, da , resulta, se obtiene ,equivale a=

Un numero cualquierax

Antecesor de un numero entero cualquierax-1

sucesor de un numero entero cualquieraX+1

Cuadrado de un numero cualquieraX2

El cubo de un numero cualquiera X3

Dos nmeros cualquieraX, y

Razn de dos nmeros x/y

Algunas expresiones El doble de un nmero, duplo , numero par, dos veces un nmero, mltiplo de 22x

El triple de un nmero, triplo, 3 veces, mltiplo de 33x

Cudruplo de un nmero, cuatro veces4x

Mitad de un numero

Tercera parte de un numero

Dos quintos de un numero

Nmero impar cualquiera2x+1

Semi-suma de dos nmeros

Semi-diferencia de dos nmeros

Nmeros enteros consecutivos cualquieraX, x+1, x+2, x+3

Nmeros pares enteros consecutivos2x, 2x+2, 2x+4

Nmeros impares enteros consecutivos2x+1,2x+3, 2x+5

Las dos terceras partes de un numero disminuido en 5 es igual a 12

Tres nmeros naturales consecutivos X, x+1, x+2

El cuadrado de un numero aumentado en 7X2+7

El producto de un numero positivo con su antecesor equivale a 30

Las tres quintas partes de un nmero ms la mitad de su consecutivo equivalen a tres

El doble de la diferencia de dos nmeros

El denominador de una fraccin es cinco unidades menor que su denominador

El cubo de un nmero ms el triple del cuadrado de dicho numero

El triple del consecutivo de un numero

La suma de tres nmeros consecutivos

La suma de tres nmeros impares consecutivos

1-Si a un nmero se le suma la mitad de 18 obtengo 30 , cual es el nmero ?

Solucin: primero identificamos el problema

es el numero

la mitad de 18

si a un nmero se le suma la mitad de 18 obtengo 30 Ahora resolvemos la ecuacin lineal

, entonces el nmero es 21.

2- Si a un nmero le resto el doble de 15 , obtengo 36 , cul es el nmero ?

Solucin: primero identificamos el problema

es el numero

30 el doble de 15

si a un nmero le resto el doble de 15 , obtengo 36 Ahora resolvemos la ecuacin lineal

, entonces el nmero es 66.

3.-La cifra de las decenas de un nmero de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho nmero le restamos 27 se obtiene el nmero que resulta al invertir el orden de sus cifras. Cul es ese nmero?

xcifra de las unidadesycifra de las decenas10x + ynmero10y + xnmero invertidoy = 2x(10y + x) 27 = 10x + y10 2x + x 27 = 10x + 2x20x + x 12x = 27x = 3 y = 6, entonces el Nmero es63

4.-Una Granja Tiene Pavos Y Cerdos, En Total Hay 58 Cabezas Y 168 Patas. Cuantos Cerdos Y Pavos Hay?

Sea x el nmero de pavos

Y el nmero de cerdos

Un pavo y un cerdo tienen una cabeza, entonces

Un pavo tiene 2 patas, y un cerdo 4 pastas entonces

Es decir tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

Resolvemos el sistema y obtenemos e Es decir hay 32 pavos y 26 cerdos.5.- Las edades actuales de Lucho y Hernn suman 48 aos. Lucho le dice a Hernn "Yo tengo el doble de la edad que tu tenas cuando yo tena 5 aos menos de la que tienes hoy " qu edad tiene Hernn?

Sea la edad de Lucho

la edad de Hernn

Las edades actuales de Lucho y Hernn suman 48 aos.

la edad de Hernn hace 5 aos

la edad de Lucho es el doble de la edad de Hernn cuando Lucho tena 5 aos menos de la que Hernn hoy

Es decir tenemos el siguiente sistema de ecuaciones , resolviendo el sistema se llega a y . Es decir la edad de Hernn es 22 aos

6.- Un padre saca de uno de los bolsillos de su pantaln, $ 120 y los reparte entre sus hijos Juanito y Anita. Al observar Anita que el reparto no ha sido equitativo le pide a su papa que del otro bolsillo le de $ 24 ms, para tener lo mismo que Juanito. Cunto tenia Anita al principio?

Sea el dinero que le dieron a Juanito

Sea el dinero inicial que le dieron a Anita

Luego , $ 120 repartido entre Juanito y Anita

, el dinero de Anita ms $24 es igual al dinero de Juanito

Es decir el dinero inicial de Anita fue $48.

7.-Dispongo de $ 80 y gasto los 3/5 de lo que no gasto. Cunto gasto?Solucin: identifiquemos el problema, el dinero gastado ms el dinero no gastado ser igual al dinero que tenas inicialmente.

Sea el dinero que no gasto

3/5 de lo que no gasto

Luego (lo que gastas + lo que no gastas) , despejando y resolviendo llegamos a , Es decir el dinero que no gasto es $50, pero el problema nos pide el dinero que gaste es decir

. Por tanto el dinero que gaste fue $30.

8.- Qu da del ao se lea en la hoja de un almanaque, cuando el nmero de hojas arrancadas excedi en 5 al doble del nmero de hojas que quedaban?

Un ao tiene 365 das

Sea el nmero de hojas arrancadas

el nmero de hojas restantes

el nmero de hojas arrancadas excedi en 5 al doble del nmero de hojas que quedaban

Por otro lado Es decir tenemos el siguiente sistema

, entonces Por tanto fue el da 245.RAZONES Y PROPOCICIONES

RAZONESLa razn de dos nmeros resulta de dividir ambos nmeros. Por ejemplo la razn de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer trmino es el antecedente y el segundo consecuente.

Ejemplo: 7 es a 6 , es decir 7:6 o 7/6PROPORCIONESConsiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:a/b=c/d a:b::c:d

Y se lee a es a como es a . Los puntos y se llaman extremos y los puntos y se llaman medios.

El smbolo : se lee es a y representa una divisin. El smbolo :: se lee como y representa una igualdad.PROPIEDADES. En toda proporcin el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

En toda proporcin un MEDIO es igual al producto delos extremos dividido por el otro MEDIO.

En toda proporcin un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.

Ejemplo 1:Ejemplo 2:

NOTA revise al final del libro la seccin de ejercicios resueltos de razones y proposiciones.

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llamaproductoal resultado de una multiplicacin. Tambin sabemos que los valores que se multiplican se llamanfactores.Se llamaproductos notablesa ciertasexpresiones algebraicasque se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlasa simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.Se les llamaproductos notables(tambinproductos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.Binomio al cuadrado:(a + b)2= a2+ 2ab + b2(a b)2= a2 2ab + b2

Ejemplos1.(x + 3)2= x2+ 2 x 3 + 32= x2+ 6 x + 92.(2x 3)2= (2x)2 2 2x 3 + 32= 4x2 12 x + 9

3. Suma por diferencia(a + b) (a b) = a2 b2

EJEMPLOS1.(2x + 5) (2x - 5) = (2x)2 52= 4x2 252.(2x + y) (2x y) = (2x)2 (y)2= 4x4 y6Binomio al cubo (a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3(a b)3= a3 3a2b + 3ab2 b3

Ejemplo (x + 3)3= x3+ 3 x2 3 + 3 x 32+ 33= x3+ 9x2+ 27x + 27

REGLAS DE TRES

Cuando comparamos dos cantidades, estas se denominan cantidades proporcionales y dependiendo del resultado de esta comparacin surgen los siguientes criterios: Cantidades directamente proporcionales: son aquellas cantidades que varan de la misma manera, es decir, si una de ellas aumenta la otra tambin lo har, o si una de ellas disminuye la otra tambin lo har.Ejemplo: ms personas, consumen ms comida. Cantidades inversamente proporcionales: son aquellas cantidades que varan de manera contara , es decir, si una de ellas aumenta la otra disminuir, o si una de ellas disminuye la otra aumentara Ejemplo: ms obreros, requieren menos das para completar una obra.

La regla de tres es un procedimiento para calcular el valor de una cantidad comparndola con otras tres o ms cantidades conocidas.Regla de tres simple directa: es aquella donde intervienen solo dos magitudes a comparar , y ademas son directaente proporcionales. Regla de tres simple inversa: es aquella donde intervienen solo dos magitudes a comparar , y ademas son inversamente proporcionales proporcionales. Regla de tres compuesta: cuando intervienen mas de dos magnitudes.DirectaInversa

Mas a mas Menos a menos Mas a menos Menos a mas

Ejemplo 1: si 4 libros custan $8 , cuanto costaran 7 libros?librosDolares

Datos 48

pregunta7x

Paso 1. Se coloca siempre el signo mas sobre la cantidad que se encuentra arriba de la variable x ( en este caso 8).Paso 2. Comparamos las magnitudes, es cedir 4 libros cuestan $8, entonces 7 libros costaran mas dolares. Paso 3. Usamos ley de signos de la comparacion, para este ejemplo ms por ms=ms (mas libros mas dolares).Paso 4. El signo resultante del paso anterior se coloca sobre la cantidad junto a la incognita x ( en este caso 7) y la cantidad sque se encuentra sobre 7 (en este caso 4) le asignamos el signo opuesto (en este caso -).Paso 5. Todas las cantidades marcadas con + van en el numerador, y todas las marcadas con van en el denominador.Paso 6. Operamos y obtenemos el resultado. librosDolares

4-8+

7+x

, entonces , es decir por 7 libros hay que pagar $ 14.Ejemplo 2: si 4 hombres hacen una obra en 12 dias , cuantos dias tardan en hacer la obra 7 hombres?hombresDias

Datos 412

pregunta7x

Paso 1. Se coloca siempre el signo mas sobre la cantidad que se encuentra arriba de la variable x ( en este caso 12).Paso 2. Comparamos las magnitudes, es cedir 4 hombres hacen una obra en 12 dias , entonces 7 hombres tardaran menos dias en hacer la misma obra. Paso 3. Usamos ley de signos de la comparacion, para este ejemplo ms por menos=menos (mas hombres menos dias).Paso 4. El signo resultante del paso anterior se coloca sobre la cantidad junto a la incognita x ( en este caso 7) y la cantidad sque se encuentra sobre 7 (en este caso 4) le asignamos el signo opuesto (en este caso +).Paso 5. Todas las cantidades marcadas con + van en el numerador, y todas las marcadas con van en el denominador.Paso 6. Operamos y obtenemos el resultado. hombresDias

4+12+

7-x

, entonces , es decir 7 hombres harian la obra en dias.Ejemplo 3: En 18 dias, 10 obreros han realizado las 2/3 partes de una obra. Se retiran 7 obreros. Cuntos dias demoraran los obreros restantes para terminar la obra?.Tengamos en cuenta que si ya se realizo las 2/3 de una obra, lo que falta para terminar seria 1/3 de la obra .Si se retiran 7 obreros nos quedarian 3 obreros para terminar la obra. Dias obreros Obra

18+10+2/3-

x3-1/3+

Menos obreros tardaran mas dias en terminar la obra, portanto la comparacion seria menos por mas=menos.Menos obra toma menos dias , por tanto la comparacion es menos por menos=mas.

, por tanto los tres obreros terminarian la obra en 30 dias.Ejemplo 4: Nueve albailes, en 21 das trabajando 8 horas cada da, han pintado un edificio. Cuntas horas diarias hubieran tenido que trabajar 4 albailes, para hacer lo mismo en 7 das?A) 55B) 54C) 53D) 52

Albanilesdiashoras

9+21+8+

4-7-x

Menos albaniles requeriran mas horas Menos dias requieren mas horas diarias

Por tanto la respuesta es b) 54.

Ejemplo 5: Una guarnicin de 400 soldados situados en un fuerte tiene vveres para 180 das si consumen 900 gramos por hombre y por da. Si recibe un refuerzo de 100 soldados pero no recibir vveres antes de 240 das. Cul deber ser la racin de un hombre por da para que los vveres puedan alcanzarles?A) 540g B) 720g C) 420g D) 450g E) 675gSoldadosdasgramos

400+180+900+

500-240-x

Ms soldados consumen menos gramos por da para que les alcance la comida Ms das deben consumir menos gramos para que les alcance la comida

, por tanto la respuesta es a) 540 g

Ejemplo 6: Cinco orfebres hacen 12 anillos en 15 das. Si se desean hacer 60 anillos en 25 das. Cuntos orfebres doblemente rpidos se deben contratar adems de los que se tienen?Orfebres anillosdas

5+12-15+

x60+25-

Mas anillos requerian mas orfebres Mas dias para realizar los 12 anillos requeriran menos orfebres.

, es decir se necesitan 15 obreros pare hacer 60 anillos en 25 dias, Se necesitan 15-5=10 orfebres ms, siempre que sean de rapidez normal, pero si son doblemente rpidos, slo necesitarn la mitad de orfebres 10/2 = 5.Respuesta:Se debe contratar a 5 orfebres.

Ejemplo 7: Un pozo de 8m de dimetro y 18m de profundidad fue hecho por 30 obreros en 28 das. Se requiere aumentar en 2m el radio del pozo y el trabajo ser hecho por 14 hombres. Cunto tiempo demorarn?A) 136 B) 135 C) 133 D) 130 E) 125

Primero calculemos el volumen del pozo inicial de 8m de dimetro y 18m de profundidad,

El volumen del segundo pozo que es 2m ms de radio y de la misma profundidad que el anterior VolumenObreros das

-30+28+

+14-x

Ms volumen requiere ms das

Menos obreros para cavar un pozo de volumen requieren ms das

Ejemplo 8: Un pintor demora 40 minutos en pintar una pared cuadrada de 4 m de lado. Cunto demora en pintar otra pared cuadrada de 6 m de lado?A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

Una pared cuadrada de 4 m de lado tiene una superficie (rea) de

Una pared cuadrada de 6 m de lado tiene una superficie (rea) de minutossuperficie

40+16-

x36+

Ms superficie por pintar requiere ms minutos

, es decir se requieren 90 minutos. Por tanto la respuesta es d) 90.

NOTA: revise al final del libro la seccin de ejercicios resueltos de regla de tres.

PORCENTAJES

Tanto por ciento o porcentaje: Un tanto por ciento o porcentaje es la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se expresa aadiendo a la cantidad el smbolo %.

Ejemplo: Se han preparado bolsas de caramelos, de modo que, de 25 caramelos que se echaban en las bolsas, 5 eran de mentas. - En una bolsa hay 25 caramelos de los que 5 son de mentas, se representa por la fraccin 5/25. - En dos bolsas hay 50 caramelos, de los que 10 son de mentas, se representa por la fraccin 10/50 - En tres bolsas hay 75 caramelos, de los cuales 15 son de mentas, se representa por la fraccin 15/75 - En cuatro bolsas hay 100 caramelos, de los cuales 20 son de mentas, se representa por la fraccin 20/100. Por lo tanto hay 20 camelos de menta en cada 100 caramelos En lugar de 20 en cada 100, se dice 20 por ciento, y se escribe 20%.

Clculo de porcentajes Para calcular un tanto por ciento o porcentaje de una cantidad, se multiplica la cantidad por la fraccin equivalente al porcentaje.a) Porcentajes, fracciones y nmeros decimales.Un porcentaje es equivalente a una fraccin de denominador 100 y tambin al nmero decimal correspondiente.

Porcentaje Fraccin Nmero decimal 40 % = 40/100 0, 40b) Clculo del porcentaje de una cantidad mediante el nmero decimal equivalente. Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica la cantidad por l nmero decimal equivalente al porcentaje.

Ejemplo: Una marca de margarina contiene 85% de grasa. Cuntos gramos de grasa hay en medio Kilo (500 g) de esta margarina?

Hay 425 gramos de grasas.

Ejemplo 1: En un curso hay 25 estudiantes, de los cuales el 60% son alumnas. Cuntas alumnas hay en ese curso?Podemos resolver este ejercicio usando regla de tres o usando el enunciado anterior. Usando el enunciado anterior Los 25 estudiantes representan el 100 %.

La fraccin equivalente al 60% es , entonces el 60% de 25 estudiantes es .Usando regla de tresPorcentajeEstudiantes

100-25+

60+X

Menos porcentaje, nos da menos estudiantes entonces la relacin de signos es menos por menos=mas.

.Por tanto 15 estudiantes son el 60% de 25.

Ejemplo 2: El 60% de los empleados de una empresa llegan al trabajo en autobs. Si el nmero total de empleaos es 1200. Cuntos llegan en autobs?Solucin: hay que calcular el 60% de 1200

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad se multiplica dicha cantidad por el tanto por ciento y se divide por cien. .

Ejemplo 3: En una votacin participan 300 persona. Qu tanto por ciento de los votos obtuvo un candidato que fue votado por 60 personas?Solucin, como buscamos el tanto por ciento, hacemos la siguiente operacin, multiplicamos 60 por 100 y dividimos por 300.

.

Ejemplo 4: El 40% de una cantidad es 7,21 . Cul es la cantidad total? Solucin: se multiplica 100 por 7,21 y se divide por 40.

.

Ejemplo 5: Si a 3,01 le aumentamos el 30%, en qu cantidad se convierte? Solucin: Se multiplica 30 por 7,01, se divide por 100 y el resultado se suma a 7,01

.

Ejemplo 6: El precio de unos zapatos se ha disminuido en un 20% vendindose actualmente en 40,39 . Cul era el precio primitivo? Solucin: si se paga completo seria el 100%, como se disminuyen en 20% sera 100 - 20 = 80%. Se multiplica 100 por 40,39 y se divide por 80:

.

Ejemplo 7: Juan compr un ordenador y un televisor por 2000 y los vendi por 2260 .Cunto le cost cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador gan el 10% y en la venta del televisor gan el 15%?

xprecio del ordenador.yprecio del televisor.precio de venta del ordenador.precio de venta del televisor.

800 precio del ordenador.1200 precio del televisor.

Ejemplo 8: En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el nmero total de personas que usan gafas es 11. Cuntos hombres y mujeres hay en la empresa?

xnmero de hombres. ynmero de mujeres. hombres con gafas. mujeres con gafas.

35nmero de hombres.25nmero de mujeres.

NOTA: Revis al final del libro la seccin de ejercicios resueltos de porcentajes.

- Repartos proporcionales: El hecho de repartir una cierta cantidad en parte proporcional a unos nmeros dados se denomina reparto proporcional

Cmo se resuelven problemas de repartos directamente proporcionales: Ejemplo: Se compra un lote de libros por 1800 . Luis se qued con 7 libros, Juan con 5 y Antonio con 6.Cunto debe pagar cada uno? Solucin. se reparte 1800 a 7, 5 y 6

Se resuelve de la forma siguiente: - Se suma los nmeros de libros comprados 7 + 5 + 6 = 18 Se multiplica lo que ha costado por los libros que compr cada uno y se divide por el total de libros.

- Como repartir un nmero en partes proporcionales a varias fracciones: Se reducen las fracciones a comn denominador y se hace el reparto en partes proporcionales a los numeradores

Ejemplo: Repartir 252,43 en partes proporcionales a 2/3 , 1/4 , 5/6 . Solucin: - Reduccin a comn denominador las fracciones: 2/3 , 1/4 , 5/6

m.c.m. = 12 - Anulamos los denominadores ( 12 ) y quedan los numeradores 8, 3, 10 y repartimos la cantidad a los numeradores como se realiz en la pregunta anterior.

Ejercicios:1.- Indica el porcentaje expresado por las siguientes fracciones: 2/100 , 15/100 ; 14/25 ; 3/30

2.- Expresa en forma de fraccin irreducible los siguientes porcentajes: 5 % ; 75% ; 4% ; 45%

3.- Aplica los siguientes porcentajes a la cantidad de 5400: a) 5% b) 8% c) 99% d) 0,005%

4.- Encuentra el nmero decimal equivalente a cada uno de los siguientes porcentajes. a) 9% b) 95% c) 1% d) 10%

5.- Calcula los siguientes porcentajes de 8200, utilizando el nmero decimal equivalente. a ) 3% b) 10% c) 99% d) 0,007%6.- Realizar los siguientes repartos proporcionales a) 700 en partes proporcionales a 1, 2 y 4 b) 30000 en partes proporcionales a 2, 5 y 8 c) 18000 en partes proporcionales a 2, 4 y 6

7.- Un padre quiere repartir 300,53 entre sus tres hijos en parte proporcionales a sus edades, que son 12, 16 y 22 aos. Cunto corresponde a cada uno?

8.-Tres albailes de igual categora han cobrado por hacer un trabajo 1226,06 . Un albail trabajo 15 das, otro 12 y el tercero 7 das. Qu cantidad corresponde a cada uno?

9.- Realizar los siguientes repartos. a) 1800 en partes proporcionales a 2/3 y 1/5 b) 6200 en partes proporcionales a 1/2, 1/3 y 1/5 c) 1200 en partes proporcionales a 1/6 , 1/3 y

REAS, PERMETROS Y VOLMENES

NombreDibujoPermetrorea

TringuloP = Suma de los ladosP = b + c + d

p = semipermero

CuadradoP = 4 aA = a2

RectnguloP = 2(b + a)A = b a

RomboP = 4 a

RomboideP = 2(b + c)A = b a

TrapecioP = B + c + b + d

TrapezoideP = a + b + c + dA = Suma de las reas de los dos tringulos

Polgonoregular

Circulo

FiguraEsquemareaVolumen

Cilindro

Esfera

Cono

CuboA = 6 a2V = a3

PrismaA = (perim. base h) + 2 area baseV = rea baseh

Pirmide

NOTA: revise al final del libro la seccin de ejercicios resultas de reas, volmenes y permetros.

ANLISIS COMBINATORIO

Factorial de un nmero:

El factorial de un nmero natural , que se simboliza como que es igual al producto de por cada uno de los nmeros inferiores a . Es decir:

Tambin se define .

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 5: Permutaciones:Se llama permutacin a la disposicin de un conjunto en un orden particular.

Ejemplo 1: de cuantas formas diferentes se pueden ordenar 3 libros en un estante?Sean A, B y C los libros 1ra forma ABC2da forma ACB3ra forma BAC4ta forma BCA5ta forma CAB6ta forma CBAEn total hay 6 formas de ordenar los libros A, B y C .

Usando la frmula de factorial de un nmero , en nuestro caso , luego . Es decir hubiera bastado con calcular el factorial de 3 para calcular de cuantas formas distintas se pueden ordenar los libros A, B y C .

Ejemplo 2: Cuantos nmeros de cuatro cifras pueden formarse a partir de los nmeros 2, 4, 6, 8?

En este caso n=4, luego , por tanto se pueden formar 24 nmeros de cuatro cifras. Variacin o arreglo: Se llamavariaciones ordinarias de k elementos tomados de n en n (k n)a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:Noentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

El nmero de variaciones de un subconjunto de k elementos tomados de un conjunto de n elementos se calcula por

Ejemplo 1: calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los nmeros 1, 2 y 3.Tendramos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,2).

Podramos haber usado la formula anterior tomando n=3 y k=2 , entonces .Ejemplo 2: un grupo de alumnos estudia 7 asignaturas. De cuntos modos se pueden hacer el horario para el lunes, si en este da de la semana hay cuatro materias diferentes?El nmero de modos es igual al nmero de variaciones de 4 elementos que se pueden obtener a partir de un conjunto de 7 elementos.

En este caso n=7 y k=4, luego Combinacin: Se llamacombinaciones de m elementos tomados de n en n (m n)a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

Se puede usar la formula .

Ejemplo 1: calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los nmeros 1, 2 y 3.Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3).

Ejemplo 2: En un aula de 6 estudiantes, el profesor para un trabajo en clase les pide que se organicen en grupos de 3. Cuntos grupos distintos de 3 estudiantes se pueden formar?Primero tenemos que tener en cuenta que no nos importar el orden de los estudiantes que conforman cada grupo pues los 3 forman el mismo grupo.

Ahora sea n=6 y k=3, entonces , es decir se pueden formar 20 grupos distintos.

NOTA: revise al final del libro la seccin de ejercicios resueltos de combinaciones y variaciones.

PROBABILIDADES

La probabilidad de un suceso es un nmero, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.La teora de probabilidades es un modelo matemtico que analiza fundamentalmente fenmenos que no se rigen a una regla uniforme. El estudio de probabilidades nos permite hacer observaciones de situaciones de las cuales no estamos seguros de lo que va a suceder, pero expresan ciertas caractersticas de prediccin.

Si tenemos un suceso o evento E de un total de n casos posibles puede presentarse en h de los casos, entonces la probabilidad que ocurra el evento o suceso estar dada por . Es decir

Ejemplo 1: encontrar la probabilidad de que al lanzar un lado se obtenga un lado par.Solucin: un dado tiene 6 lados, es decir hay 6 casos posibles.Los casos favorables son cuando caen caras con valor par (2, 4,6), entonces hay 3 casos favorables.

o .

Ejemplo 2: de una caja que contiene 6 lpices negros y 4 lpices rojos, se extrae uno de ellos al azar. Determinar la probabilidad de que el lpiz extrado sea de color rojo. Solucin: en la caja hay 10 lpices, es decir el nmero de casos posibles es 10.Adems hay cuatro lpices de color rojo, es decir el nmero de casos favorables es 4.

o .Ejemplo 4: se tiene un juego de barajas, y de una de ellas se extrae una al azar. Hallar la probabilidad de que la carta extrada sea una A.Solucin: en una baraja hay 52cartas. Es decir el nmero de casos posibles es 52.Adems hay cuatro cartas de A, es decir el nmero de casos favorables es 4.

.

Ejemplo 5: determinar la probabilidad de que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 bolas blancas, 3 rojas y 5 azules.Solucin: El total de bolas en la urna son 4+3+5=12. Es decir el nmero de casos posibles es 12.Adems hay cuatro bolas blancas, es decir el nmero de casos favorables es 4.

.

Ejemplo 6: Si se lanza una moneda tres veces al aire. Cul es la probabilidad de obtener cara por lo menos dos veces?Solucin: una moneda tiene dos caras C y SConsideremos todos los ordenamientos posibles en los tres lanzamientos.

El nmero de casos posibles son 8.Los casos favorables son aquellas variaciones en donde hay por lo menos dos C. Es decir el nmero de casos favorables cuando se lanza tres veces una moneda al aire esperando que por lo menos obtener dos C son 4.

Problemas de certezas

En qu se funda la certeza? Cundo podemos decir que estamos seguros de algo? Ante estas interrogantes, lo que debe quedar claro es que si no estamos seguros de algo, no podemos dar un paso en el conocimiento cientfico, ni podemos tomar decisiones relacionadas con los negocios o la vida misma.Desde el punto de vista probabilstico, debemos considerar la certeza como la condicin de evento seguro, es decir, de un evento de probabilidad igual a uno. En condiciones ideales, podemos construir modelos de certeza en esquemas hipotticos representados en un experimento aleatorio con objetos perfectos y circunstancias infalibles.SITUACIONES NEGATIVAS (CASOS DESFAVORABLES O EN CONTRA)Son las situaciones que son contrarias a lo que buscamos, de acuerdo a la pregunta.Para dar solucin a los problemas de certezas, generalmente primero se analiza las situaciones negativas y luego se le aaden los elementos necesarios hasta dar solucin al problema.

Ejemplo 1: Lenin estando con los ojos vendados ingresa su mano en un depsito donde hay solamente 8 bolas negras y 6 bolas blancas. Cuntas bolas, debe, sacar como mnimo para tener la certeza de haber extrado una bola negra?

* Si LENIN saca una bola, tendr la certeza de haber extrado una bola negra?NO . Porque puede ser blanca.* Si LENIN saca dos bolas, tendr la certeza de haber extrado una bola negra ?NO . Porque las dos pueden ser blancas.* Si LENIN saca tres bolas, tendr la certeza de haber extrado una bola negra?NO . Porque las tres pueden ser blancas.* Si LENIN saca cuatro bolas, tendr la certeza de haber extrado una bola negra?NO . Porque las cuatro pueden ser blancas.* Si LENIN saca cinco bolas, tendr la certeza de haber extrado una bola negra!NO . Porque las cinco pueden ser blancas.* Si LENIN saca seis bolas, tendr la certeza de haber extrado una bola negra!NO . Porque las seis pueden ser blancas.Si LENIN saca siete bolas, tendr la certeza de haber extrado una bola negra?SI . Porque ya habr extrado todas las bolas blancas y la otra bola ser con certeza de color negra.Entonces; cul sera la respuesta a la pregunta formulada por LENIN?RPTA : Siete bolas!

Ejemplo 2: En una caja hay 10 esferas amarillas, 12 blancas y 15 verdes. Cul es el mnimo nmero de esferas que se debe extraer al aza de modo que se obtengan 10 de un mismo color?

Queremos sacar 10 de un mismo color, el peor de los casos seria sacar primero 9 esferas de un color, despus otras nueve de otro color, despus otras nueve de otro color. Es decir hasta el momento hemos sacado 9 esferas amarillas, 9 blancas y 9 verdes (en total 27 extracciones), por tanto si sacamos otra esfera sin importar su color ya tendramos 10 esferas de un mismo color por tanto son necesarias 28 extracciones.

Ejemplo 3: En una caja hay 10 esferas blancas, 8 azules y 5 rojas. Cul es el mnimo nmero de esferas que se han de extraer al azar para tener seguridad de haber extrado, por lo menos, una de cada color?

Queremos extraer por lo menos una esfera de cada colorEl peor de los casos seria primero extraer primero las 10 esferas blancas y luego las 8 azules (hasta el momento 18 extracciones).Entonces ya solo nos quedan las 5 esferas rojas, es decir con una extraccin ms ya tenemos garantizado que tenemos por lo menos una esfera de cada color.Son necesarias 19 extracciones.

Ejemplo 4:Ejemplo 5 : Ejemplo 6:

Ejemplo 7: En una urna se tienen 9 dados blancos, 9 dados negros, 9 esferas negras. Cul es el menor nmero de objetos que se debe extraer, al azar y como mnimo, para tener la seguridad de que entre los extrados haya un par de dados y un par de esferas todos del mismo color?

Tenemos esferas de color negro, dados negros y dados blancos El peor de los casos seria primero sacar primero los 9 dados blancos, despus 9 dados negros (hasta el momento se han realizado 18 extracciones).Solo nos restan las 9 esferas negras, como queremos un par de dados y un par de esferas del mismo color, basta extraer 2 esferas negras.El total de extracciones necesarias son 9+9+2=20.

Ejemplo 8: Se tiene una bolsa de caramelos, donde n tienen sabor a limn, 5n sabor a fresa y 3n sabor a pia. Cul es la mnima cantidad de caramelos que se debe extraer de la bolsa para tener la certeza de haber extrado, al menos, n/2 caramelos de cada sabor?

n limn

5n fresa

3n pia

El peor de los casos seria sacar primero las 5n de fresa, luego las 3n de pia (hasta el momento 5n+3n extracciones).Como solo necesitamos n/2 caramelos de cada sabor solo necesitamos extraer n/2 de sabor limn.El nmero de extracciones mnimas para tener la certeza es 5n + 3n + n/2 =17n/2Es decir 17n/2 extracciones.

NOTA: Revis al final del libro la seccin de ejercicios resueltos de certezas.

PROBLEMAS DE EDADES

Usualmente los problemas de edades pueden considerarse como tema incluido en el planteo de ecuaciones.En un problema de edades se presentan los siguientes elementos: Las personas sobre las cuales estn referidas las edades en cuestin. Los tiempos, elemento fundamental. Las condiciones las cuales generan ecuaciones.Palabras fundamentales referente a los tiempos:Pasado: tenias, tuviste, hace. aos, fue.Presente: tengo, tienes, actual, es.Futuro: tendr, tendras, tendrs, dentro, despus aos, ser, el ao prximo.

Todo junto en una tabla PERSONASPASADOPRESENTEFUTURO

A

B

Ejemplo 1: donde x e y son las edades de las personas A y B respectivamente.PERSONASPASADO(hace 5 aos)PRESENTE(edad actual)FUTURO(ao prximo)

Ax-5xX+1

By-5yY+1

Ejemplo2: PERSONASPASADO(hace 8 aos)PRESENTE(edad actual)FUTURO(dentro de 10 aos)

AM-18M-10M

La diferencia de edades entre dos personas es constante en cualquier tiempo PERSONASPASADO(hace 5 aos)PRESENTE(edad actual)FUTURO(ao prximo)

Aprt

Bqsu

Se tiene que: p q = r s = t u

Ejercicio 1: Dentro de 40 aos la edad de Pedro ser el doble de su edad actual. Qu edad tiene Pedro?

Sea la edad actual de Pedro.

la edad de Pedro dentro de 40 aos.

Dentro de 40 aos la edad de Pedro ser el doble de su edad actual

Entonces , es decir la edad actual de Pedro es 40 aos.

Ejercicio 2: La edad de Lucy dentro de 30 aos ser el quntuplo de la edad que tuvo hace 10 aos. Su edad actual es?

Sea la edad actual de Lucy

la edad de Lucy dentro de 30 aos

la edad de Lucy hace 10 aos

dentro de 30 aos ser el quntuplo de la edad que tuvo hace 10 aos

, entonces la edad actual de Lucy es 20 aos.

Ejercicio 3: un padre tiene ahora 27 aos ms de la de su hijo. Hace 10 aos la edad del padre era 10 veces la edad del hijo. Hallar la edad actual del padre?

Sea la edad actual del hijo

la edad actual del padre

la edad del padre hace 10 aos

la edad del hijo hace 10 aos

Hace 10 aos la edad del padre era 10 veces la edad del hijo

, es decir la edad actual del hijo es 10 aos, entonces la edad del padre es 13 + 27 =4 0 aos.

CALENDARIOUn ao tiene 365 das o 52 semanas (febrero tiene 28 das). Excepto en los aos bisiestos que tienen 366 das (febrero tiene 29 das), este ao se repite cada 4 aos a excepcin del ultimo de cada siglo (2004, 2008, 2012, .) MesDas

enero31

febrero28 o 29

Marzo31

abril30

mayo31

junio30

julio31

agosto31

septiembre30

octubre31

Noviembre30

Diciembre31

NOTA: Revise al final del libro la seccin de ejercicios resueltos de edades y fechas y horas.

Reduccin a la unidad

Si se invierte el tiempo total para hacer un trabajo, se obtiene la parte del trabajo que se realiza en la unidad de tiempo (valor unitario). El tiempo que se emplea para hacer un trabajo se obtiene invirtiendo el valor unitario. El tiempo que se emplea en hacer una parte se obtiene dividiendo la parte que falta entre el valor unitario.

Ejemplos: Un trabajo se realiza en 10 das, entonces en un da se realiza parte del trabajo. Un grifo llena un tanque en 3 horas, entonces en una hora se llenara del tanque. Juan en 1 da hace de la obra, entonces toda la obra se realizara en 5 das.

Un grifo en 1 minuto llena de un tanque, entonces todo el tanque se llena en minutos.

, entonces los dos en una hora harn de la parte total.

, entonces los dos en una hora harn de la parte total.

Ejemplo 1: Luis hace una obra en 10 das, Jos hace la misma obra en 20 das. en cuntos das terminaran la obre Luis y Juan juntos?

Como Luis hace la obra en 10 das, entonces Luis hace en 1 da de la obra

Como Jos hace la obra en 20 das, entonces Jos hace en 1 da de la obra

Luis y Jos en un da harn de la obra, entonces la obra completa trabajando juntos la terminaran en das.

Ejemplo 2: un albail y su ayudante pueden hacer una obra en 24 das. Dicha obra el albail la puede hacer solo en 40 das. En cunto tiempo trabajando dolo lo har el ayudante?

Sea los das que tardara en hacer la obra solo el ayudante. Entonces en un da el ayudante har de la obra.

Adems el albail puede hacer la obra el solo en 40 das, es decir en un da realiza el de la obra.

Entonces como el albail y el ayudante pueden terminar la obra en 24 das, entonces en un da realizan de la obra.

Es decir Por tanto el ayudante solo, terminara la obra en 60 das.

NOTA: Revis al final del libro la seccin de ejercicios resueltos de reduccin a la unidad.

PROGRESIONES ARITMTICAS Y GEOMTRICAS

Progresin aritmticaUna progresin aritmtica es una sucesin de nmeros tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior ms un nmero fijo llamado diferencia que se representa por d.Ejemplo: 8, 3, -2, -7, -12, ... observe que 3 - 8 = -5 , -2 - 3 = -5 , -7 - (-2) = -5 , -12 - (-7) = -5 , entonces d = 5.

Trmino general de una progresin aritmtica1.Si conocemos el 1ertrmino.an= a1+ (n - 1) d8, 3, -2, -7, -12, ..an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = =-5n + 13

2.Si conocemos el valor que ocupa cualquierotro trminode la progresin.an= ak+ (n - k) da4= -7 y d= -5an= -7+ (n - 4) (-5)= -7 -5n +20 =-5n + 13

Interpolacin de trminos en una progresin aritmticaInterpolar medios diferenciales o aritmticos entre dos nmeros, es construir una progresin aritmtica que tenga por extremos los nmeros dados.Sean losextremos a y b, y el nmero demediosa interpolarm.

Interpolar tres medios aritmticos entre 8 y -12. , entonces 8,3 , -2 , -7, -12.

Suma de n trminos consecutivos de una progresin aritmtica

Calcular la suma de los primeros 5 trminos de la progresin: 8, 3, -2, -7, -12, ...

Progresin geomtricaUna progresin geomtrica es una sucesin en la que cada trmino se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razn.

Si tenemos la sucesin: 3, 6, 12, 24, 48, ...6/3 = 212/6 = 224/12 = 248/24 = 2r= 2.

Trmino general de una progresin geomtrica1.Si conocemos el 1ertrmino.an= a1 rn-13, 6, 12, 24, 48, ..an= 3 2n-1= 3 2n 2-1=(3/2) 2n2.Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro trmino de la progresin.an= ak rn-ka4= 24, k=4 y r=2.an= a4 rn-4an= 24 2n-4= (24/16) 2n=(3/2) 2n

Interpolacin de trminos en una progresin geomtricaInterpolar medios geomtricos o proporcionales entre dos nmeros, es construir una progresin geomtrica que tenga por extremos los nmeros dados.Sean losextremos a y b, y el nmero demediosa interpolarm.

Interpolar tres medios geomtricos entre 3 y 48.

3,6 , 12 , 24 ,48.

Suma de n trminos consecutivos de una progresin geomtrica

Calcular la suma de los primeros 5 trminos de la progresin: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los trminos de una progresin geomtrica decreciente

Calcular la suma de los trminos de la progresin geomtrica decreciente ilimitada:

Suceciones alfanumericas

Las sucesiones alfanumricas son uno de los ejercicios ms comunes en los examen psicotcnicos, en el cual se dan una serie de nmeros los cuales cumple una ley que no es general para todos los ejercicios de este tipo, ya que depende de la habilidad del estudiante, descubrir cul es la ley que rige esta serie.

Series simples: son aquellas en donde la secuencia de nmeros se puede observar que van en aumento o en decremento.Series alternadas: son aquellas en que la secuencia de los nmeros es saltando de uno en uno.

A continuacin podemos ver unos ejemplos resueltos con su debida explicacin:

distribuciones numricas

Son tambin arreglos numricos donde otra vez el objetivo es hallar una cantidaddesconocidaencontrando una relacin aritmtica nica, pero a diferencia de las analogasstas no presentan parntesis en la parte central y dicha cantidad a hallar no se encuentra necesariamente en el medio.

TEST DE DOMINIO

En esta prueba nos vamos a encontrar con una serie de fichas de Domin que guardan una cierta relacin entre s. La misin del opositor radicar en descubrir el sistema de ordenacin de esta serie y poner los valores que corresponden a la ficha en blanco. Ejemplo

Examine este grupo de fichas y piense cual ira a continuacin: No es difcil llegar a la conclusin de que si las fichas A, B, C, D, E, tienen el valor 6/2, la blanca F, poseer el mismo valor. Consejos prcticos: - Este test no hace en absoluto ninguna referencia al juego del domin tal como es habitualmente utilizado. Que no sepas jugar, no tiene ninguna importancia para la prueba. - El principio es identificar una o ms leyes y que las partes superiores o inferiores de la ficha del domin no estn siempre regidas por las mismas leyes. Ejemplo:

Las mitades superiores constituyen una serie de nmero que aumentan en una unidad: 1-2-3. Por otro lado, las mitades inferiores forman una serie de nmeros paren en orden decreciente de dos unidades: 6-4-2. La ley que regula la primera hilera tambin regula los dos primeros ejemplos de esta segunda hilera. La cifra situada inmediatamente despus del 6 es el 0; la cifra par colocada antes del dos tambin es el 0.

PROBLEMA 01: Las fichas de domin estn ordenadas en fila. Indique la alternativa que seala el nmero de puntos correspondientes a la ltima ficha para que exista una serie coherente. Las fichas estn marcadas del 0 al 6. ?

a) 0/1 b) 2/3 c) 3/3 d) 3/4 e) 4/4 Solucin Las fichas de domin las enumeramos de manera cclica del 0 al 6, del 7 al 13, del 14 al 20 y as sucesivamente

Se observa que: 4 + 4 = 8, en el domin, 8 equivale a 1 1 3 es equivalente a 8 3 = 5 5 + 5 = 10 es equivalente a 3 La ficha faltante contiene 3/3. Rpta: C

PROBLEMA 02: Cul de las cinco fichas mostradas deben ser invertidas para que la suma de los puntos de las fichas sea igual a la suma de los puntos de las partes inferiores?

a) ficha 1 b) ficha 2 c) ficha 3 d) ficha 4 e) ficha 5

Solucin Del ordenamiento inicial de las fichas se tiene:

Para que ambas filas resulten con igual suma se debe intercambiar una ficha tal que: La primera fila disminuya 2 y la segunda fila aumente 2, entonces:

Se debe invertir la ficha 3. Rpta:D

PROBLEMA 03: Se muestra una serie de fichas de domin, indicar en cada caso la ficha que contina

Observemos de manera vertical en columna ( ) solo la parte superior de cada ficha.

En La parte inferior observemos de manera horizontal en fila( ),estn intercambindose el 5.3 y 1 puntito

La ficha que falta es C)

PROBLEMA 04: La suma de los puntos de las partes superiores de estas fichas de domin no es igual a la suma de los puntos de las partes inferiores. Para que ambos sean iguales se deben invertir dos fichas, cules son?

A) a y c B) a y d C) b y e D) b y d E) c y e

Al ordenar las fichas tenemos:

Fjate que la suma de arriba es mayor que la de abajo ambos resultados sumamos y dividimos entre 2 .

Significa que los punto de arriba y abajo debern sumar 17 cada uno, esto implica que la suma puntos de arriba debe disminuir en 1.

Movemos la ficha A Y la B, en la ficha A los de abajo pierden 1 y en la ficha D ganan 2(-1+2 = 1). Rpta: B

PROBLEMA 05: Qu ficha continua?

Ordenando las fichas de domino

Observemos en siz-sag , entonces Rpta:ARazonamiento abstracto

ejercicios resueltos de RAZONES Y PROPOCICIONES

1.- En una fiesta hay 12 hombres, si la razn entre mujeres y hombres que hay en la fiesta es 2:3. Cuntas personas hay en la fiesta? a) 20 b) 8 c) 18 d) 16

, entonces el nmero de mujeres es 8, luego el total de personas son 12 + 8 =20Respuesta a) 20 personas

2.- Dos nmeros estn en la razn 2:3. Si el producto de ellos es 150. Cul es la suma de los nmeros? a) 5 b) 6 c) 15 d) 25

, entonces Generalmente en estos casos nos quedamos con y=15, entonces x=10. Luego x + y=10 + 15=25.Respuesta d) 25

3.- Dos nmeros son entre s como 7 es a 13. Si al menor se le suma 140, el valor del otro nmero debe multiplicarse por 5 para que el valor de la razn no se altere. Halle el mayor de los dos nmeros. a) 130 b) 65 c) 52 d) 78 e) 104

Sean el nmero menor

el nmero mayor

dos nmeros son entre s como 7 es a 13.

Si al menor se le suma 140, el valor del otro nmero debe multiplicarse por 5 para que el valor de la razn no se altereEs decir tenemos el siguiente sistema en el cual debemos encontrar el valor de y

Respuesta b) 65

4.- En una granja hay patos y gallinas en razn 9:10, si sacan 19 gallinas, la razn se invierte. Cuntas gallinas haba inicialmente? a) 10 b) 81 c) 90 d) 100

Sean el nmero de patos

el nmero de gallinas

En una granja hay patos y gallinas en razn 9:10

si sacan 19 gallinas, la razn se invierte

Es decir tenemos el siguiente sistema en el cual hay que encontrar el valor de

Respuesta d) 100

5.- Las edades de Valentina, Fernanda y Manuel estn respectivamente en la razn 5 ,3 y 6, Qu edad tiene Manuel, si la suma de las edades de Valentina y Fernanda es 56 aos? a) 35 b) 21 c) 42 d) 7

Vamos a usar un artificio matemtico llamado K que viene a ser el nmero de veces que multiplicada por su relacin nos da las edades de cada uno.

V = 5K edad de Valentina

F = 3K edad de Fernanda

M = 6K edad de Manuel

V + F = 56 la suma de las edades de Valentina y Fernanda de 56 aos5K + 3K = 56 8K = 56 K = 7 Entonces la edad de Manuel es M = 6K = 6(7) = 42 Respuesta c) 42 aos

6.- La relacin entre las edades de dos hermanas es, actualmente, 3/2. Se sabe que, dentro de 8 aos, dicha relacin ser 5/4. Cul es la edad actual de la hermana menor? a) 4 aos b) 6 aos c) 8 aos d) 10 aos e) 12 aos

Sean A y B las edades actuales de las dos hermanas respectivamente

La relacin entre las edades de dos hermanas es, actualmente, 3/2.

dentro de 8 aos, dicha relacin ser 5/4

Si nos fijamos en la relacin inicial podemos observar que la edad de la hermana menor es B.Resolvemos el sistema de ecuaciones

Respuesta b) 8 aos

7.-En un saln de clase el nmero de varones, es al nmero de mujeres como 3 es a 5. Si se considera al profesor y a una alumna menos la nueva relacin ser de 2/3, hallar cuantas alumnas hay en el saln.A) 15 B) 25 C) 35 D) 40

Sea el nmero de varones

el nmero de mujeres

clase el nmero de varones, es al nmero de mujeres como 3 es a 5

Si se considera al profesor y a una alumna menos la nueva relacin ser de 2/3

Tenemos un sistema lineal con dos incgnitas, puesto que necesitamos solo el nmero de mujeres en el saln basta encontrar el valor de m.

Resolvemos el sistema y encontraremos que m=25, entonces el nmero de mujeres en el saln es 25.

Respuesta b) 25.

8.- El sueldo de Santiago y el de Katherine estn en la relacin de 3 a 5, pero si Santiago ganase $640 ms, la relacin se invertira. Cul es el sueldo de Katherine?A) 645 B) 600 C) 500 D) 400

Sea el salario de Santiago

el salario de Katherine

El sueldo de Santiago y el de Katherine estn en la relacin de 3 a 5

si Santiago ganase $640 ms, la relacin se invertira

Respuesta b) 600

9.-En una fbrica embotelladora, se tienen 3 mquinas (A, B y C). Por cada 7 botellas que produce la mquina A, la mquina B produce 5 y, por cada 3 botellas que produce la mquina B, la mquina C produce 2. En un da, la mquina A produjo 4400 botellas ms que C. Cuntas botellas produjo la mquina B ese da? A) 2000 B) 4000 C) 6000 D) 3000 E) 8000

Por cada 7 botellas que produce la mquina A, la mquina B produce 5

por cada 3 botellas que produce la mquina B, la mquina C produce 2

Entonces con esto calculemos la relacin de A con C

, entonces , luego , es decir por cada 21 botellas que produce la maquina A , la maquina C produce 10.

Sea el nmero de botellas que produjo ese da la maquina C, es decir la razn es

, luego , entonces en ese da la maquina C produjo 4000 botellas.

Como por cada 3 botellas que produce la mquina B, la mquina C produce 2, entonces sea el nmero de botellas que produjo la maquina B en ese da entonces se tiene que , por ultimo Respuesta c) 6000

1.- Andrea, Braulio, Carlos, Dante y Esteban estn sentados formando una ronda, en el orden indicado. Andrea dice el nmero 53, Braulio el 52, Carlos el 51, Dante el 50, y as sucesivamente. Quin dice el numero 1? A) Andrea B) Carlos C) Braulio D) Esteban E) Dante

TRAMPA: Fjense que falta Esteban y como dice SUCESIVAMENTE, entonces ESTEBAN sera el siguiente automticamente. Usted debe ponerlo para encontrar la respuesta al final de su tabla. Hgalo ordenadamente y fjese que para cada uno baja 5 puntos.. As evita hacerlo todo ANDREA 53 48 43 38 33 28 23 18 13 8 - 3 BRAULIO 52 -47 - 42 CARLOS 51 46 41 36 31 26 21 16 11 6 1 DANTE 50 45 - 40 ESTEBAN 49 44 39 Respuesta = b

2.- Si en el producto indicado 27x36, cada factor aumenta en 4 unidades; Cunto aumenta el producto original? A) 320 B) 288 C) 328 D) 268 E) 220

Cada factor significa cada nmero que se multiplica. El producto original significa la multiplicacin inicial planteada. 27x36 = 972 (27+4)x(36+4) = 31x40 = 1240 Respuesta = 1240 972 = 268 Respuesta = d

3.- En la pizarra estn escritos todos los mltiplos de 5 que son mayores que 6 y menores que 135. Cuntos de esos nmeros son impares? A) 11 B) 10 C) 25 D) 12 E) 13

Primero debemos escribir los nmeros mltiplos de 5, luego marcamos solo los que cumplen la condicin de ser mayores que 6 y menores que 135, NO DICE MENOR IGUAL A 135 Adems deben ser IMPARES y son pares todos los terminados en 0... 5-10-15-20-25-30-35-40-45.-125-130-135 Vemos que solo los terminados en 5 son impares. 15-25-35-45-55-65-75-85-95-105-115-125 Respuesta = d

4.- Luca fue al mdico, ste le recet tomar 4 pastillas, una pastilla cada 6 horas, En qu tiempo podr terminar de tomar todas las pastillas? A) 28 horas B) 24 horas C) 20 horas D) 18 horas E) 32 horas

El razonamiento aqu es que Luca toma la primera pastilla de inmediato y las otras 3 a intervalos de 6 horas.3 x 6 = 18 horas.Respuesta = d

5.-En una habitacin hay 11 pelotas amarillas, 13 azules y 17 verdes. Si se le pide a un ciego sacar las pelotas, cul es el mnimo nmero de pelotas que debe extraer para que obtenga con total seguridad 11 pelotas del mismo color? a) 24 b) 11 c) 28 d) 31 e) 30

Debemos considerar el peor de los casos posibles. El razonamiento es que si sacara todas las pelotas del mismo color mnimo debera de sacar 11 pelotas, pero jams ser seguro que sean del mismo color

El peor de los casos seria sacar primero 10 verdes, 10 azules y 10 amarillas. Por tanto si sacamos una pelota ms sin importar su color ya tendr 11 del mismo color.

El nmero de extracciones fueron 10+10+10+1=31Es decir el mnimo nmero de pelotas que debe extraer para que obtenga con total seguridad 11 pelotas del mismo color es 31.Respuesta d)31

6.- Cuntos nmeros como mnimo se deben borrar del siguiente tablero para que, con los nmeros que queden, se cumpla que la suma de los nmeros de cada fila y de cada columna es un nmero par? 2 - 2 - 2 - 9 2 - 0 - 1 - 0 6 - 0 - 3 - 1 8 - 2 - 5 - 2

a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9

Las Reglas para nmeros pares son: 1.- Si sumas dos pares tendrs pares 2.- Si sumas dos impares tendrs pares Ahora hacemos cumplir la regla en cada fila, borrando la menor cantidad de nmeros por fila que daan la condicin de par. 2 - 2 - 2 - 2 - 0 - .. - 0 .. - 0 - 3 - 1 (borra 6 que solo es un nmero, dice mnimo) 8 - 2 - .. - 2 Ahora hacemos cumplir la regla en cada columna, borrando la menor cantidad de nmeros por fila que daan la condicin de par. 2 - 2 - 2 - 2 - 0 - .. - 0 6 - 0 - .. - 8 - 2 - .. - 2 Respuesta = d TRUCO: Luego de borrar el 3 y el 1 en la tercera fila, podemos darnos cuenta que si regresamos el 6 a su puesto (borrado anteriormente), la condicin se mantiene. As que lo ponemos a pesar de haberlo borrado antes y entonces nos quedan solo 5 nmeros borrados que es la respuesta. Si no se da cuenta de esta trampa jams responder bien. Tambin tome en cuenta que solo escribiendo ordenadamente los datos y no como acostumbran todos los jvenes, es que usted haya la respuesta correcta Una de las reglas fundamentales de las matemticas es ORDEN y LIMPIEZA

7.- se le pregunta la hora a un seor y este contesta: dentro de 20 minutos mi reloj marcar las 10 y 32. Si el reloj est adelantado de la hora real 5 minutos, qu hora fue hace 10 minutos exactamente? a) 10:10 min b) 10:07 min c) 10:12 min d) 09:50 min e) 09:57min

La hora tiene 60 minutos a + 20minutos = 10 horas 32 minutos a = 10horas 32minutos 20 minutos = 10horas 12 minutos reloj adelantado 5 minutos hora real => a 5minutos = 10 horas 12 minutos 5minutos = 10 horas 7 minutos Qu hora fue hace 10 minutos atrs? Fue: 10 horas 7 minutos 10 minutos = 9 horas 57 minutos. respuesta = e

8.- Se compran tres manzanas por $10 y se venden cinco manzanas por $20, Cuntas manzanas se deben vender para ganar $150?a) 125 b) 225 c) 300 d) 150 e) 100

Gasto : $ 10/3 por manzanaVenta: $ 20/5 por manzana GANANCIA = VENTA GASTO

Sea el nmero de manzanas que hay que vender para ganar $150

es el monto gastado en comprar x manzanas

es el monto de la venta de x manzanas

Entonces Respuesta = b

9.-Pienso en un nmero. Lo divido entre 7 lo elevo al cuadrado. Le agrego 41. Se le extrae la raz cuadrada. Finalmente le resto 6 dando como resultado 15 . Qu nmero pens? a) 150 b) 98 c) 105 d) 133 e) 140

Sea el nmero que estoy pensando

Respuesta e) 140

12.- En un establo hay vacas y aves. Si el nmero total de animales es de 28 y el nmero contado de patas es 94 Cuntas aves hay? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11

Sea el nmero de vacas

el nmero de aves

Las vacas y las aves tienen una sola cabeza por cada animal, es decir

Las vacas tiene cuatro patas, y las aves tienes 2 patas , es decir

Resolvemos el siguiente sistema

Respuesta b) 9 aves

13.- Una vaca atada con una soga de 3 metros de largo, se demora 5 das en comer el pasto que est a su alcance. Si la soga fuera de 6 metros. En cuntos das comer todo el pasto a su alcance?a) 10 b) 20 c) 30 d) 22

Este ejercicio se resuelve usando una regla de tres.Puesto que la vaca est atada a una soga solo podr comer el pasto de un terrero circular de 3 metros de radio. Es decir la cantidad de pasto que come la vaca est dada por el rea del terreno circular.

rea del terreno circular de 3 metros de radio:

Si la soga fuera de 6 metros entonces la vaca podr comer todo el pasto de un terreno circular de 6 metros de radio.

rea del terreno circular de 6 metros de radio:

Ahora formemos la regla de tresreadas

-5+

+x

Mas rea requiere ms das (+)(+)=+

Respuesta b) 20 das

14.- Para la preparacin de una ensalada que rinde 10 porciones se necesitan 5 kilos de zanahoria. Cuntos kilos de zanahoria se necesitarn para 4 porciones de la misma ensalada? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

Para este problema hay que usar una regla de tres simpleporcioneskilos

10-5+

4+x

Menos porciones, requieren menos kilos de zanahoria (-)(-)=+

Respuesta c) 2 kilos

15.- A es inversamente proporcional al cuadrado de T. Cuando A es 2, el valor de T es 3. Si T = 2, entonces el valor de A es:a) 8/9 b) 9/2 c) 9/4 d) 8/9 e) 9

Puesto que Aes inversamente proporcional al cuadrado de T se tiene que

, donde es el factor de proporcionalidad

Cuando A=2 T=3, es decir , entonces

A=? T=2, es decir , entonces Respuesta b) 9/2

18.- En un restaurante para preparar 5 porciones de una entrada de papas se necesita 1 libra de papa blanca. Cuntos kilos de papa blanca se necesitarn para preparar 30 porciones de la misma entrada?a) 2.5 kg b) 2.72kg c) 2.74 kg d) 6 kg

Puesto que la respuesta nos pide en kilos, debemos transformar 1 libra en kilogramos.librasKilogramos

2,2-1+

1+x

Menos libras, menos quilogramos (-)(-)=+

. Es decir 1 libra tiene kg

Ahora hacemos otra regla de tresporcionesKilogramos

55/11+

30+y

Mas porciones, requieren ms kilos de papas (+)(+)=+

Por tanto se necesitan 2.72 kg para preparar 30 porciones

Respuesta b) 2.72 kg

banco de preguntas reglas de tres1 Dos ruedas estn unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, cuntas vueltas habr dado la segunda? Rpta=100

2 Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 das por 792 . Cunto costar el hotel de 15 personas durante ocho das? Rpta=1320 3 Con 12 botes conteniendo cada uno 1/2 kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuntos botes de 2 kg de pintura sern necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. Rpta=104 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 das. Cuntos obreros sern necesarios para labrar otro campo anlogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco das? Rpta=215 Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depsito de 400 m de capacidad. Cuntas horas tardarn cuatro grifos en llenar 2 depsitos de 500 m cada uno? Rpta=37.5

Primer banco de preguntas1- En un establo hay vacas y aves. Si el nmero total de animales es de 28 y el nmero contado de patas es 94 Cuntas aves hay? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11

2- En una granja hay patos y gallinas en razn 9:10, si sacan 19 gallinas, la razn se invierte. Cuntas gallinas haba inicialmente? a) 10 b) 81 c) 90 d) 100

3- Dos nmeros son entre s como 7 es a 13. Si al menor se le suma 140, el valor del otro nmero debe multiplicarse por 5 para que el valor de la razn no se altere. Halle el mayor de los dos nmeros. a) 130 b) 65 c) 52 d) 78 e) 104

4- Se compran tres manzanas por $10 y se venden cinco manzanas por $20, Cuntas manzanas se deben vender para ganar $150?a) 125 b) 225 c) 300d) 150 e) 100

5- Se le pregunta la hora a un seor y este contesta: Dentro de 20 minutos mi reloj marcar las 10 y 32. Si el reloj est adelantado de la hora real 5 minutos, qu hora fue hace 10 minutos exactamente? a) 10:10 min b) 10:07 min c) 10:12 mind) 09:50 min e) 09:57min

6- Luca fue al mdico, ste le recet tomar 4 pastillas, una pastilla cada 6 horas, En qu tiempo podr terminar de tomar todas las pastillas? A) 28 horas B) 24 horasC) 20 horas D) 18 horas E) 32 horas

7- Si m - 4p = 3n y a = (m - p)/(n + p) , halle 2a a) 32 b) 6 c) 4 d) 8 e) 2

8- Cul es el mayor nmero natural, formado por dgitos distintos, tal que al multiplicar sus dgitos se obtiene como resultado 40? a) 5421 b) 5464 c) 8798d) 4654 e) 3221

9- Se tiene una coleccin de 7 tomos de libros de 700 pginas cada uno. Si cada tapa tiene un espesor de 0.25cm, y las hojas por cada tomo, un espesor de 4cm, Cunto recorrer una polilla que se encuentra en la primera pgina del primer tomo a la ltima pgina del ltimo tomo?A) 22 cmB) 31 cmC) 20 cmD) 19 cmE) 21cm

SEGUNDO BANCO DE PREGUNTAS1. Un padre saca de uno de los bolsillos de su pantaln, $ 120 y los reparte entre sus hijos Juanito y Anita. Al observar Anita que el reparto no ha sido equitativo le pide a supapa que del otro bolsillo le de $ 24 ms, para tener lo mismo que Juanito. Cunto tenia Anita alprincipio?a) $ 60b) $ 36c) $ 48d) $ 52e) $ 45

2. Dispongo de $ 80 y gasto los 3/5 de lo que no gasto. Cunto gasto?a) $ 42b) $ 32c) $ 36d) $ 30e) $ 35

3. Un joven recibe cierta cantidad de dlares como propina por sus buenas notas. El primer da gasto la mitad de lo que recibi, mas $ 10. El segundo da le regalo a su hermanita $ 15 y el tercer da se compr un polo de $ 25, notando entonces que solo le quedaban $ 5. Cunto recibi de su padre?a) $ 120b) $ 110c) $ 130d) $ 95e) $ 100

4. Qu da del ao se lea en la hoja de un almanaque, cuando el nmero de hojas arrancadas excedi en 5 al doble del nmero de hojas que quedaban?a) 200b) 300c) 244 d) 243e) 245

5. Qu hora es, si las horas transcurridas y las que faltan transcurrir, son (x^2+3) y (x+1), respectivamente?a) 4 a.mb) 5 a.mc) 7 a.md) 9 p.me) 7 p.m

6. La suma de dos nmeros es 84. El triple del menor excede en12 almayor aumentado en 24. Hallar el menor de dichos nmeros.a) 36b) 28c) 32d) 30 e) 39

7. Al aumentar en 2 cm, la longitud de cada lado de un cuadrado, el rea aumentada en 24 cm^2. Entonces la longitud inicial del lado, es:a) 5 cmb)4 cmc) 7 cmd) 6 cme) 9 cm8. Juan compra cierto nmero de libros por 120 dlares. Despus se entera que, en otro lugar, por el mismo dinero, si hubiera comprado 3 libros ms, cada uno hubiera costado 2 dlares menos. Cuntos libros compro?a) 10b) 9c) 12d) 11e) 13

9. Ana le dice a Juan: si me dieras 18 dlares, tendra el doble de dinero que tu", a lo que Juan responde: mejor dame solo 12 dlares y as tendr el triple de dinero que tu". Cunto tienen juntos?a) 30 dlaresb) 42 dlaresc) 78 dlaresd) 62 dlarese) 72 dlares

10.Dentro de12 aos, la edad de Jaime ser el triple de la edad que tena hace 8 aos. Qu edad tiene actualmente?a) 20b) 18c) 24d) 36e) 28

11. Hallar un nmero positivo tal que su cuadrado exceda a su triple en 108.a) 9b) 15c) 12d) 8e) 1612. La suma de loscuadradosde 2 pares positivos y consecutivos, es 340. Hallar el nmero impar intermedio entre ellos.a) 17b) 9c) 11d) 15e) 13

13. Los 3/7 de la capacidad de un estanque son 8136 litros. Calcular la capacidad del estanque en litros.a) 16984b) 18984c) 14984d) 12984e) 50000

14. En una fiesta se observa que: los 3/8 del nmero de asistentes ms 10 son mujeres y 7/8 del nmero de asistentes menos 44 son hombres. Cuntas mujeres asistieron?a) 51 b) 61 c) 62 d) 68 e) 78

15. Entre 48 personas deben pagar una deuda, pero resulta que 8 de ellas solo pueden pagar la mitad de lo que les corresponde, debiendo pagar el resto $ 9 ms, cada uno. Cuanto es la deuda totala) $ 90 b) $ 3600c) $ 4320d) $ 4820e) $ 4800

16. La suma de 2 nmeros positivos es 36. Si el cociente de sus recprocos es 8, Cul es la diferencia de estos nmeros?a) 32 b) 30 c) 26 d) 28 e) 24

17. En un corral, donde hay pollos y carneros, se cuenta en total 34 cabezas y 110 patas. Cuantos carneros hay?a) 13b) 22c) 20d) 19 e) 2118. Un joven estudiante que asiste a una fiesta, observa que cuando los 4/5 del nmero de hombres sale a bailar, 8 mujeres se quedan sin pareja. Adems cuan