Download - Presentacion semana1 introduccion
1. Teoría de Conjuntos
• Conjunto es una colección o listado de
objetos con características bien definidas
que lo hacen pertenecer a un grupo
determinado
• A los conjuntos se les representa con lo
letras Mayúsculas, A, B, C y a los
elementos con letras minúsculas, a, b, c
Ejemplo
• El conjunto A cuyos elementos son los
números en el lanzamiento de un dado
𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Conjunto Elementos
Por extensión o forma tabular
• Un conjunto es determinado por extensión
o forma tabular cuando se da una lista que
comprende a todos los elementos del
conjunto y solo ellos.
Ejemplo
Carlos
𝐴 = 𝑐, 𝑎, 𝑟, 𝑙, 𝑜, 𝑠
¿Qué pasa cuando se repite
mas de una letra?• Ejemplo 2
• En este caso solo se colocan las letras
una vez cuando se forma el conjunto.
Correspondencia
𝐴 = 𝑐, 𝑜, 𝑟, 𝑒, 𝑠, 𝑝, 𝑛, 𝑑, 𝑖, 𝑎
Por comprensión o forma
constructiva• Un conjunto es determinado por
comprensión cuando en todos los
elementos del conjunto y solo en ellos se
cumple una propiedad.
• Ejemplo
𝐶 = 𝑥|𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
Cuadro Comparativo
Por Extensión Por Comprensión
A = {c, a, r, l, o, s} A = {x|x es una letra de un nombre
de persona}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {x|x es un numero natural
menor que 10}
C = {c, o, r, e, s, p, n, d, i, a} C = {x|x es una letra de la palabra
correspondencia}
Conjunto Finito
• Un conjunto es finito si consta de un cierto
número de elementos distintos, es decir, si
al contar los diferentes elementos del
conjunto el proceso de contar puede
terminar. De lo contario es infinito.
Cuadro Comparativo de
conjuntos finitos e infinitos
Conjunto Finito Conjunto Infinito
A = {x|x es un departamento de
Honduras}
M = {x|x son los números reales}
B = {x|x es un municipio de San
Pedro Sula}
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..}
C = {x|x es una letra del
abecedario}
R = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …}
Igualdad de conjuntos
• Se dice que dos conjuntos A y B son
iguales cuando ambos tienen los mismos
elemento, es decir, si cada elemento de A
pertenece a B, y así sucesivamente
• Ejemplo
𝐴 = 𝐵
𝐴 = 𝑥|𝑥 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐵 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ………
Conjunto Vacio
• Es un conjunto que carece de elementos,
suele llamarse conjunto nulo y se le
denota por los símbolos {} o ø
• Ejemplos
𝐴 = 𝑥|𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 14 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 , A = {}
𝐵 = 𝑥|𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 28 𝑜𝑟𝑎𝑠 , B = {}
Conjunto Unitario
• Es todo conjunto que esta formado por un
solo y único elemento.
• Ejemplos
𝐴 = −13
𝐵 = 𝐿𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐵𝑢𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑎 = {𝑆𝑜𝑓𝑖𝑎}
Conjunto Universal
• Es el conjunto que tiene todos los
conjuntos del universo, es un término
relativo y se le denota con la letra U
𝐴 = 𝑥|𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐵 = 𝑥|𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
𝐶 = 𝑥 𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐷 = {𝑥|𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠}
𝑈 = {𝑥|𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠}
Conjunto Potencia
• Ejemplo
𝑆𝑒 𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 2𝑁
𝑁 = 1, 3, 9
2𝑁 = 1 , 3 , 9 , 1,3 , 1,9 , 3,9 , 1,3,9 , ∅
1 2 3 4 5 6 7 8
23 = 8
Conjuntos Disjuntos
• Si dos conjuntos A y B no tienen ningún
elemento en común, entonces A y B son
disjuntos
Cuadro Comparativo Conjuntos
Disjuntos y No Disjuntos
Conjunto Disjunto Conjunto No Disjunto
𝐴 ≠ 𝐵 𝐴 = {𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑎, 𝐾𝑎𝑟𝑙𝑎, 𝐿𝑢𝑖𝑠𝑎}𝐵 = {𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠, 𝐴𝑙𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜, 𝐿𝑢𝑖𝑠}
𝑅 = 𝑋 𝑅 = {𝑥|𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠}𝑋 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……………… }
𝐻 ≠ 𝑋 𝐻 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, … . }𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … . }
𝐶 = 𝐷 𝐶 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, , 𝑖. . ……… . }𝐷 = {𝑥|𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑏𝑒𝑐𝑒𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜}
La Unión
• La unión de dos conjuntos A y B, da como
resultado un nuevo conjunto C que posee
los elementos de A y B, se denota
• Dados los conjuntos
A = {1, 5, 9, 11} y B = {2, 4, 6, 8, 10}
encontrar
𝐴 ∪ 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11}
La Intersección
• La intersección de dos conjuntos A y B, da
como resultado un nuevo conjunto, que
posee los elementos que tienen en común
ambos elementos
• Dados los conjuntos
F = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y G = {1,3,5,10,12}
Encontrar 𝐴 ∩ 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3, 5}
La Diferencia
• La diferencia de dos conjuntos A y B, da
como resultado un nuevo conjunto, que
posee los elementos de A, pero quitando
de A los que son comunes entre A y B
• Dado los conjuntos
K = {2,4,6,8,10,12,14,16,18} y
L = {1,2,3,4,5,6,7,8}, encuentre, K-L
𝐾 − 𝐿 = {10, 12, 14, 16, 18}
El Complemento
• Es un nuevo conjunto que tiene todos los
elementos que le hacen falta a A para ser
igual al universo. Se denota como
• Dado U = {a,e,i,o,u} y A = {e,u}
Encontrar
𝐴𝑐
𝐴𝑐
𝐴𝑐 = {𝑎, 𝑖, 𝑜}
Resolver por el Diagrama de
Venn• En un grupo de 165 estudiantes, 8
estudiaran cálculo, psicología y
computación. 33 estudiaran cálculo y
computación. 20 cálculo y psicología. 24
estudiaran psicología y computación.
• 79 están en cálculos, 83 en psicología y
63 en computación.
• ¿Cuántos estudiantes no estudiaran
ningún curso?
4.1 Resolución Sistema
Ecuaciones con dos variables• Resolver sistemas de ecuaciones lineales
mediante graficación
• Resolver sistemas de ecuaciones lineales
mediante sustitución.
• Resolver sistemas de ecuaciones lineales
mediante el método de la suma
• Con frecuencia es necesario determinar
una solución común a dos o mas
ecuaciones lineales. A este conjunto se le
llama sistema de ecuaciones lineales.
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 1 𝑦 = 3𝑥 + 5 2 𝑦 = 2𝑥 + 4
Resolver sistemas mediante
graficación• Cuando graficamos dos rectas puede
presentarse tres posibilidades.
Un sistema de ecuaciones consistente es
aquel que tiene solución. Cuando dos
rectas se intersecan exactamente en un
punto.
Un sistemas de ecuaciones inconsistente
es aquel que no tiene solución, las rectas
no se intersecan, son paralelas.
Un sistemas de ecuaciones dependiente
es aquel que tienen un numero infinito de
soluciones, también es un sistema
consistente, ya que tiene solución.
Resolver sin graficar
• Sin graficar las ecuaciones, determine si
el siguiente sistema de ecuaciones es
consistente, inconsistente o dependiente
3𝑥 − 4𝑦 = 8
−6𝑥 + 8𝑦 = −16
3𝑥 − 4𝑦 = 8 −4𝑦 = −3𝑥 + 8
𝑦 =3
4𝑥 − 2
−6𝑥 + 8𝑦 = −16 8𝑦 = 6𝑥 − 16
𝑦 =3
4𝑥 − 2
Resuelva Gráficamente
• Resuelva gráficamente el siguiente
sistema de ecuación
• m1 = 1; Intersección (0, 2)
• m2 = -1; Intersección (0, 4)
𝑦 = 𝑥 + 2
𝑦 = −𝑥 + 4
Resolver Ecuaciones mediante
método sustitución• Despeje una variable en cualquier
ecuación. De preferencia con coeficiente 1
• Sustituya la variable en la otra ecuación,
con esto se obtendrá una ecuación con
una sola variable
• Resuelva la ecuación obtenida en el
paso 2.
• Sustituya la variable en la ecuación del
paso 1, con el valor determinado en el
paso 3
• Compruebe su solución en todas las
ecuaciones del sistema
Ecuaciones mediante método
de la suma (eliminación)• En caso necesario reescriba cada
ecuación en la forma general. Es decir, de
modo que los términos con variables
queden al lado izquierdo del signo igual y
la constante al lado derecho
• Si es necesario, multiplique una o ambas
ecuaciones por una constante, para que al
sumarlas, puedan eliminarse
• Sume los lados respectivos de las
ecuaciones. Con esto obtendrá una sola
ecuación con una variable.
• Despeje la variable obtenida en paso
anterior.
• Sustituya la variable en cualquiera de las
ecuaciones originales con el valor
determinado en el paso 4
• Compruebe su solución
4.2 Resolución sistemas
ecuaciones con tres variables• Resolver sistemas de ecuaciones con tres
variables
• Reconocer sistemas inconsistentes y
dependientes
Resolver por Sustitución
• Resolver utilizando el método de la suma
𝑥 = 11) 2𝑥 − 𝑦 = 4
−3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 1
2)2𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 2
3𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = −4 5𝑎 − 2𝑏 − 3𝑐 = 5
Reconocer sistemas
inconsistentes y dependientes• Al resolver un sistema de ecuaciones
lineales con tres variables, si se obtiene
una proposición falsa como 4 = 0, significa
que el sistemas es inconsistente, por lo
tanto no tiene solución.
• Si se obtiene una proposición verdadera
como 0 = 0, significa que el sistema es
dependiente y tiene un numero infinito de
soluciones