Profesor Zorica Mladenović
1Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Praktični aspekti modeliranja
stacionarnih vremenskih serija
(Boks-Dženkinsova strategija modeliranja)
Zorica Mladenović
Autori metodologije
• Box and Jenkins, Time Series Analysis:
Forecasting and Control, 1976, II izdanje
• Britanski statističari:
o G.E.P. Box (1919-2013), započeo studije hemije
o G.M. Jenkins (1933-1982), dipl. matematičar
• Autori knjige V izdanja iz 2015:
Box, Jenkins, Reinsel and Ljung
1
2
Profesor Zorica Mladenović
2Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Osnove
• Cilj: izbor ARMA modela koji na zadovoljavajući
način opisuje kretanje konkretne vremenske serije.
• Polazna osnova: ARMA(p,q) model
• Uobičajeni naziv: izgradnja ARMA modela (ARMA
modeliranje)
• Boks: Svi modeli su pogrešni, samo su neki korisni.
qtqtttptpttt e...eeeX...XXX −−−−−− −−−−++++= 22112211
Osnove II
• Pristup se sastoji od tri faze:
– identifikacija modela
– ocena parametara modela i
– provera adekvatnosti modela.
• Iterativna procedura
3
5
Profesor Zorica Mladenović
3Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
I Faza identifikacije modela
• Potrebno je izabrati užu klasu ARMA modela za koju pretpostavljamo da predstavlja potencijalni generator skupa podataka.
• Ključno pitanje:
Koliki je red autoregresione i
komponente pokretnih proseka?
• Ključni princip:
Jednostavnost (ekonomičnost)
• Ključni metodološki okvir:
Analiza obične i parcijalne
autokorelacione funkcije
Model Obična
autokorelaciona funkcija
Parcijalna
autokorelaciona funkcija
AR(p)
Vrednosti opadaju tokom
vremena po
eksponencijalnoj,
eksponencijalno oscilatornoj
ili sinusoidnoj putanji
11≠ 0, 22≠ 0,..., pp=p
kk=0 za k>p.
MA(q)
r1≠ 0, r2≠ 0,..., rq≠ 0,
rk=0 za k>q.
Vrednosti opadaju tokom vremena
po eksponencijalnoj,
eksponencijalno oscilatornoj ili
sinusoidnoj putanji
ARMA(p,q)
Vrednosti opadaju tokom
vremena. Prvih q
koeficijenata je određeno
parametrima AR i MA
komponente, dok se za
docnje veće od q koeficijenti
ponašaju kao kod AR
modela.
Vrednosti opadaju tokom vremena.
Prvih p koeficijenata je određeno
parametrima AR i MA
komponente. Za docnje veće od p
koeficijenti slede putanju sličnu
kao kod MA modela.
6
7
Profesor Zorica Mladenović
4Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
II Faza ocene parametara modela
• Metod običnih najmanjih kvadrata se može
koristiti u oceni parametara AR modela.
• Za ocenu parametara MA i ARMA modela koristi
se metod nelinearnih najmanjih kvadrata koji se
zasniva na upotrebi metoda numeričke
optimizacije.
III Faza provere adekvatnosti modela
1. Da li je model saglasan sa podacima?
Da li su reziduali normalno raspodeljeni i
neautokorelisani?
2. Da li je izbor AR i MA komponente optimalan?
Da li je model istovremeno ekonomičan i dovoljno
precizan?
8
9
Profesor Zorica Mladenović
5Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
III-1. Analiza reziduala
• Normalnost
• Autokorelacija
Testiranje normalnosti reziduala
u ocenjenom modelu
• Uobičajena pretpostavka: slučajna greška ima
normalnu raspodelu, e~N(0,s2)
• Zbirno dejstvo velikog broja sporadičnih i
nesistematičnih faktora opravdano je modelirati
normalnom raspodelom. Otuda i pretpostavka.
10
11
Profesor Zorica Mladenović
6Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Šta ako slučajna greška nema
normalnu raspodelu?
• Ukoliko je samo ova pretpostavka narušena, tada se
dobijaju pouzdane ocene.
• Međutim,
– Testiranje hipoteza je nepouzdano.
– Vrednosti t-odnosa i F-odnosa su netačne.
– Verovatno postoji greška u specifikaciji modela.
• Zaključak:
– Postupak statističkog zaključivanja je pogrešan.
– Pretpostavka je vitalni deo specifikacije modela.
Provera validnosti pretpostavke da
slučajna greška ima normalnu raspodelu
• Neformalni (grafički) pristup
• Formalni pristup
12
13
Profesor Zorica Mladenović
7Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Neformalni (grafički) pristup
• Histogram
• Grafički prikaz učestalosti pojavljivanja podataka
(reziduala) u pojedinim grupnim intervalima
• x-osa: celokupni raspon vrednosti date
promenljive deli se na određeni broj
podintervala jednake širine
• y-osa: broj pojavljivanja podataka u
svakom od podintervala
Formalni pristup
• Primena različitih test-statistika
• Najpopularniji test normalnosti je
Žark-Bera (engl. Jarque-Bera) test
• Oznaka: JB
• Zasniva se na ocenama koeficijenata
kojima se opisuju svojstva raspodele
14
15
Profesor Zorica Mladenović
8Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Koeficijenti za deskripciju raspodele
• Empirijska raspodela često se opisuje na
osnovu dva koeficijenta: asimetrije i
spljoštenosti.
• Koeficijent asimetrije meri stepen u kojem
raspodela nije simetrična u odnosu na srednju
vrednost.
• Raspodela može biti
• Simetrična
• Asimetrična
– Ulevo (negativna)
– Udesno (pozitivna)
Koeficijent asimetrije (engl. skewness)
Oznaka koeficijenta: 3
Vrednost koeficijenta Tip raspodele
Nula Simetrična
Veća od nule Asimetrična udesno
Manja od nule Asimetrična ulevo
3
16
18
Profesor Zorica Mladenović
9Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Koeficijenti za deskripciju raspodele II
• Koeficijent spljoštenosti meri težinu (debljinu)
repova raspodele
Svojstva repova raspodele iskazuju se
u odnosu na normalnu raspodelu
• Repovi raspodele mogu biti
– Iste težine kao kod normalne raspodele
– Teži od repova normalne raspodele
– Lakši od repova normalne raspodele
Koeficijent spljoštenosti (engl. kurtosis)
Oznaka koeficijenta: 4
Vrednost koeficijenta Težina repova
Tri Odgovara normalnoj raspodeli
Veća od tri Veći deo jedinične verovatnoće je pod
repovima nego kod repova N raspodele
(prisustvo ekstremnih opservacija)
Manja od tri Manji deo jedinične verovatnoće je pod
repovima nego kod repova N raspodele
4
19
20
Profesor Zorica Mladenović
10Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Normalno spljoštena raspodela (plavi grafik)
i raspodela koja ima teže repove od normalne
-5.4 -3.6 -1.8 -0.0 1.8 3.6 5.4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
34
34 =
Koeficijent asimetrije Koeficijent spljoštenosti
Ocena Ocena
Nulta hipoteza: data raspodela je normalna, odnosno vrednosti
koeficijenata asimetrije i spljoštenosti su redom 0 i 3.
Alternativna hipoteza: data raspodela nije normalna.
Statistika:
Odgovarajuća kritična vrednost na nivou značajnosti 5% je 5.99.
raspodelu N za 03 = raspodelu N za 34 =
3
3
3s
ˆ
T
e
ˆ
t=
4
4
4s
ˆ
T
e
ˆ
t=
T
6,0N:ˆ
3
( )1,0N:)3ˆ(24
T4 −
T
24,3N:ˆ
4
( )1,0N:ˆ6
T3
2
24
2)34ˆ(2
3 :ˆ6
TJB
−+=
21
22
Profesor Zorica Mladenović
11Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Šta raditi u slučaju da raspodela
odstupa od normalne?
• Ne postoji jedinstveno rešenje zato što je
odstupanje od normalnosti posledica pogrešne
specifikacije modela.
• Često se modifikuje polazna specifikacija
uključivanjem promenljivih kojima se eksplicitno
modeliraju ekstremni događaji.
– Takve promenljive se nazivaju
veštačke promenljive.
Testiranje autokorelacije reziduala
u ocenjenom modelu
• Da li postoji autokorelacija na
određenoj, k-toj, docnji?
(H0: rk=0)
• Da li postoji autokorelacija na svim
docnjama do K-te?
(H0: r1= r2 =...= rK =0).
23
24
Profesor Zorica Mladenović
12Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Da li postoji autokorelacija na
određenoj, k-toj, docnji? (H0: rk=0)
Validnost nulte hipoteze H0: rk=0 protiv
alternativne H1: rk≠0 se testira tako što se
proverava da li ocena autokorelacionog
koeficijenta na docnji k serije reziduala,
pripada intervalu (-1.96/√T, 1.96/√T).
Da li postoji autokorelacija
na svim docnjama do K-te?
(H0: r1= r2 =...= rK =0).
• Validnost nulte hipoteze H0: r1= r1 =...= rK =0 se testira protiv alternativne da je bar jedan od prvih K autokorelacionih koeficijenata serije reziduala različit od nule.
• Boks-Pirsova i Boks-Ljungova statistika.
• Boks-Ljungova statistika:
=
−−−
+==K
iqpK
i :iT
ˆ)T(T)K(BLj)K(Q
1
22
2 r
25
26
Profesor Zorica Mladenović
13Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Šta raditi u slučaju da autokorelacija
postoji u rezidualima?
• To je znak da ARMA model nije dobro
postavljen, odnosno da odabir objašnjavajućih
promenljivih nije adekvatan.
• Neophodno je redefinisati izbor AR i MA
komponenti u skladu sa evidentiranim tipom
(redom) autokorelacije i potom oceniti novi
model.
III-2. Optimalan izbor parametara modela
(Informacioni kriterijum)
Informacioni kriterijum predstavlja zbir dva elementa
1. Element koji je funkcija neobjašnjenog
varijabiliteta modela
2. Element kojim se sankcioniše gubitak u broju
stepeni slobode zbog povećanja broja
parametara za ocenjivanje
g je nenegativna kaznena funkcija
s2 je ocena varijanse slučajne greške modela
T
qpgsln)q,p(IC
++= 2
27
28
Profesor Zorica Mladenović
14Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Informacioni kriterijum
• Sabirci u informacionoj funkciji različito
reaguju na povećanje p i q:
• Ocena varijanse sl. greške modela se smanjuje
• Kaznena komponenta se povećava
• Cilj: izbor kombinacije p i q koja minimizira
vrednost informacionog kriterijuma
T
qpgsln)q,p(IC
++= 2
Informacioni kriterijum (II)
Funkcija g Kaznena
komponenta
Naziv Oznaka
2 2(p+q)/T Akaikeov AIC
lnT (lnT)(p+q)/T Švarcov SC / SIC
2ln(lnT) 2(ln(lnT))*
(p+q)/T
Hana-Kvinov HQC / HQIC
29
30
Profesor Zorica Mladenović
15Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Dodatni kriterijumi u fazi
provere adekvatnosti modela
1. Namerno proširenje ARMA modela
2. Analiza preciznosti u prognoziranju
Dodatni kriterijumi u fazi
provere adekvatnosti modela:
namerno proširenje ARMA modela
Dodajemo AR i MA komponente da bismo
proverili da li je model ’otporan’ na proširenje
Modifikacija se realizuje korak po korak.
Nikada se istovremeno ne dodaju
AR i MA komponente istog reda.
31
32
Profesor Zorica Mladenović
16Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Dodatni kriterijumi u fazi provere
adekvatnosti modela: preciznost u predvidjanju
Pokazatelji preciznosti predvidjanja
33
34
Profesor Zorica Mladenović
17Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.
Dodatni kriterijumi u fazi provere
adekvatnosti modela: preciznost u predvidjanju II
35
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 1
1
Analiza vremenskih serija:
osnove nestacionarnosti
Zorica Mladenović
2
Modeliranje komponente
trenda u vremenskoj seriji
Dva tipa modela: trend-stacionarna i diferencno-stacionarna klasa modela
Detaljnije o diferencno-stacionarnoj klasi modela
Zašto je važno napraviti razliku između dveklase modela?
ARIMA modeli
1
2
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 2
Trend-stacionarna klasa modela
Vremenska serija je zbir determinističke
funkcije trenda i stacionarne
komponente.
Koristi se za opisivanje vremenskih serija
koje su stacionarne, ali oko putanje
najčešće linearnog trenda.
Deterministički proces
3
4
Trend-stacionarna klasa modela II
𝑋𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑡 + 𝑒𝑡 , t = 1,2,...
E 𝑒𝑡 = 0, var 𝑒𝑡 = 𝜎2, cov 𝑒𝑡 , 𝑒𝑡−𝑘 = 0⇒ E(𝑒𝑡𝑒𝑡−𝑘) = 0, k ≠ 0.
E(𝑋𝑡) = 𝛽0 + 𝛽1𝑡
var(𝑋𝑡) = var(𝑒𝑡) = 𝜎2, t = 1,2,...
cov(𝑋𝑡 , 𝑋𝑡−𝑘) = 𝐸 Xt − 𝐸 𝑋𝑡 Xt−k − 𝐸 𝑋𝑡−𝑘= 𝐸 Xt − 𝛽0 − 𝛽1𝑡
𝑒𝑡
Xt−k − 𝛽0 − 𝛽1 𝑡 − 𝑘
𝑒𝑡−𝑘= 0, t = 1,2,..., k = 1,2,...
3
4
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 3
5
Trend-stacionarna klasa modela III
-5
0
5
10
15
20
25
25 50 75 100
Xt=0.01+0.2t+e
-25
-20
-15
-10
-5
0
25 50 75 100
Xt=0.01-0.2t+e
-4
0
4
8
12
16
20
24
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Xt=0.01+0.2*t+et+0.7*e(t-1)
6
Trend-stacionarna klasa modela IV:
primer iz praktične analize
Period: 1866 – 2011. godina (146 godišnjih
opservacija, log vrednosti)
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
70 80 90 00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10
G o d i š n j a p r o i z v o d n j a p š e n i c e u S A D
5
6
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 4
7
Diferencno-stacionarna klasa modela
Δ𝑋𝑡 = 𝛽 + 𝑒𝑡 ili 𝑋𝑡= 𝛽 + 𝑋𝑡−1 + 𝑒𝑡 ,E(𝑒𝑡) = 0, var(𝑒𝑡) = 𝜎2, E(𝑒𝑡𝑒𝑡−𝑘) = 0, k ≠ 0.
𝛽 > 0, konstantni prirast
𝑋𝑡 = 𝛽 + ถ𝑋𝑡−1𝛽+𝑋𝑡−2+𝑒𝑡−1
+ 𝑒𝑡
𝑋𝑡 = 2𝛽 + 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑋𝑡−2 =. . . = 𝛽𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1+. . . +𝑒1t
+ 𝑋0
𝑋𝑡 = 𝑋0 + 𝛽𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1+. . . +𝑒1
𝑡 = 1, 𝑋1 = 𝑋0 + 𝛽 + 𝑒1,𝑡 = 2, 𝑋2 = 𝑋0 + 2𝛽 + 𝑒2 + 𝑒1, itd.
Deterministička komponenta svakog narednog članavremenske serije se uvećava za vrednost 𝛽
8
Diferencno-stacionarna klasa modela II
E(𝑋𝑡) = 𝑋0 + 𝛽𝑡var(𝑋𝑡) = var(𝑋0 + 𝛽𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1+. . . +𝑒1) = 𝑡𝜎2.
Primenom operatora prve diference eliminiše senestacionarnost:
Δ𝑋𝑡 = 𝛽 + 𝑒𝑡, E(Δ𝑋𝑡) = 𝛽, var(Δ𝑋𝑡) = var(𝑒𝑡) = 𝜎2.
7
8
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 5
9
Diferencno-stacionarna klasa modela III
𝑋𝑡 = 𝑋0 + 𝛽𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1+. . . +𝑒1𝑋𝑡−𝑘 = 𝑋0 + 𝛽(𝑡 − 𝑘) + 𝑒𝑡−𝑘 + 𝑒𝑡−𝑘−1+. . . +𝑒1
cov(𝑋𝑡, 𝑋𝑡−𝑘 )= 𝐸 𝑋𝑡 − 𝐸 𝑋𝑡 𝑋t−k − 𝐸 𝑋𝑡−𝑘
= E(𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1+. . . +𝑒𝑡−𝑘 + 𝑒𝑡−𝑘−1+. . . +𝑒1)(𝑒𝑡−𝑘 + 𝑒𝑡−𝑘−1+. . . +𝑒1)
=(t-k)𝜎2
𝜌 =cov(𝑋𝑡, 𝑋𝑡−𝑘 )var(𝑋𝑡)var(𝑋𝑡−𝑘)
= (t−k)𝜎2
𝑡𝜎2(t−k)𝜎2= (𝑡−𝑘)2
𝑡 (t−k)= 1 −𝑘
𝑡
10
Diferencno-stacionarna klasa modela IV
Vremenska serija nema stabilnu varijansu.⚫ Varijansa je linearna funkcija vremena
⚫ Sa protokom vremena varijansa se neograničeno povećava.
Kovarijansa svaka dva člana zavisi od trenutka vremena i sa protokom vremena se povećava.
Model možemo shvatiti kao AR(1) model sa autoregresionim parametrom 1: ⚫ Obična autokorelaciona funkcija uzima niz nenultih
vrednosti koje sporo opadaju počev od vrednosti bliske 1.
⚫ Parcijalna autokorelaciona funkcija poseduje nenultu
vrednost samo na prvoj docnji i ta vrednost je bliska 1.
9
10
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 6
11
Diferencno-stacionarna klasa modela V
Vremenska serija se transformiše u stacionarnu
primenom operatora prve diference.
Prva diferenca primenjena jednom:
Prva diferenca primenjena dva puta, druga diferenca:
ttt
X
ttttt eX,eXXeXX
t
+=+=−++= −−
11
1ttt XXX −−=
2t1tt1tttt2 XX2XXXXX −−− +−=−==
12
Diferencno-stacionarna klasa modela:
grafički prikaz generisanih podataka
0
50
100
150
200
250
50 100 150 200 250 300
Xt=0.7+Xt-1+e
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50 100 150 200 250 300
X-X(-1)=0.7+et
11
12
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 7
13 13
Diferencno-stacionarna klasa modela:
obična i parcijalna autokorelaciona funkcija
ACF
0 5 10 15 20
-0.5
0.0
0.5
1.0ACF
PACF
0 5 10 15 20
-0.5
0.0
0.5
1.0PACF
14
Diferencno-stacionarna klasa modela:
indeks osnovnih cena privrede Srbije (log vrednosti)
4.95
5.00
5.05
5.10
5.15
5.20
5.25
5.30
5.35
5.40
5.45
2002 2003 2004 2005 2006 2007
Indeks osnovnih cena (log)
-.010
-.005
.000
.005
.010
.015
.020
.025
2002 2003 2004 2005 2006 2007
Prva diferenca (osnovna inflacija)
13
14
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 8
15 15
Da li se izdvajanjem funkcije trenda menja
statistička priroda vremenske serije
diferencno-stacionarne klase modela?
-15
-10
-5
0
5
10
15
-50
0
50
100
150
200
250
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
Reziduali
Stvarno kretanje
Prilagodjeno kretanje prema funkciji linearnog trenda
16 16
Korelogrami serije reziduala sugerišu
njihovu nestacionarnost: izdvajanje komp.
trenda nije suštinska transformacija
ACF
0 5 10 15 20
-0.5
0.0
0.5
1.0ACF
PACF
0 5 10 15 20
-0.5
0.0
0.5
1.0PACF
15
16
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 9
17
Alternativni termini za diferencno-
stacionarnu klasa modela
Vremenska serija sa stohastičkim trendom
Integrisano-stacionarna vremenska serija
Vremenska serija sa jediničnim korenom
Slučajan hod
18
Alternativni termini II
Vremenska serija sa stohastičkim trendom
⚫ Na osnovu informacije o prethodnom kretanju
vremenske serije ne možemo predvideti njeno
kretanje u budućnosti. U suprotnom, kada bi trend
bio deterministički, tada bi i prognoza bila
pouzdana.
17
18
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 10
19
Alternativni termini III
Integrisano-stacionarna vremenska serija
⚫ Vremenska serija dobija se na osnovu zbira članova
procesa beli šum.
⚫ Operaciji sabiranja u diskretnom prostoru odgovara
postupak integraljenja neprekidnih veličina.
⚫ Reč je o integrisanom procesu prvog reda, gde red 1
pokazuje koliko puta treba diferencirati seriju da bi se
dobila njena stacionarna reprezentacija.
⚫ Ako je prva diferenca stacionarna, tada je vremenska
serija integrisana reda 1. Oznaka: Xt~I(1).
⚫ Za stacionarnu vremensku seriju kažemo da je integrisana
reda 0: Xt~I(0).
20
Alternativni termini IV
Vremenska serija sa jediničnim korenom
⚫ Reč je o AR(1) modelu kod koga je autoregresioni
parametar jednak vrednosti 1. Ponašanje ove v. serije na
dugi rok određuje rešenje sledeće karakteristične
jednačine:
⚫ Koren korespondirajuće karakteristične jednačine uzima
vrednost jedan. Otuda potiče naziv jedinični koren.
⚫ Broj jediničnih korena odgovara nivou integrisanosti v.
serije, tj. broju postupaka diferenciranja potrebnih za
stacionarnu reprezentaciju v. serije.
.1g01g
eX1X t1tt
==−
=− −
19
20
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 11
21
Rezime uvedenih termina
Ako vremenska serija ima d jediničnih korena, onda je ona
integrisana reda d, i treba je diferencirati d puta da bi se
obezbedila njena stacionarna reprezentacija.
S𝑒𝑟𝑖𝑗𝑎 ima 𝑑 jediničnih korena⇔ 𝑋𝑡~𝐼(𝑑) ⇔ Δ𝑑𝑋𝑡~𝐼(0)
22
Kako izgleda vremenska serija
sa dva jedinična korena?
( )
eXXeXXXX
)2(I~X1gg01g01g2g
eXX2X
eXX2X
t
)0(I~tX2
tetX2
tX21tXtX
1tt
)1(I~tX
t
1tX
2t1t
tX
1tt
t2122
t2t1tt
t2t1tt
+=+−=−
===−=+−
=+−
+−=
=
=−−
−
−
−−−
−−
−−
21
22
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 12
23
Kako izgleda vremenska serija
sa dva jedinična korena II?
0
100
200
300
400
500
25 50 75 100
Xt~I(2)
-2
0
2
4
6
8
10
25 50 75 100
Prva diferenca Xt ~ I(1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
25 50 75 100
Druga diferenca Xt ~ I(0)
24
Alternativni termini V
Slučajan hod (engl. random walk):
⚫ Klasičan slučajan hod
⚫ Slučajan hod sa konstantnim prirastom
23
24
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 13
25
Naziv Forma E(Xt)
Slučajan hod
klasični
Xt = Xt-1 + et
X0 =0
0
Slučajan hodsa konstantnim
prirastom
Xt = Xt-1+ β+et
X0 =0
β
26
Klasičan slučajan hod
𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 + 𝑒𝑡 , E(e𝑡) = 0, var(e𝑡) = 𝜎2, E(𝑒𝑡𝑒𝑡−𝑘) = 0, k ≠ 0.
𝑋𝑡 = ถ𝑋𝑡−1𝑋𝑡−2+𝑒𝑡−1
+ 𝑒𝑡
𝑋𝑡 = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑋𝑡−2 = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡−2 + 𝑋𝑡−3 =. . .𝑋𝑡 = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡−2+. . . +𝑒1
t
+ด𝑋00
𝑋𝑡 = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡−2+. . . +𝑒1𝑋1 = 𝑒1, var(𝑋1) = var( 𝑒1) = 𝜎2
𝑋2 = 𝑒2 + 𝑒1, var( 𝑋2) = var( 𝑒2 + 𝑒1) = 2𝜎2
. . .var(𝑋𝑡) = var(𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡−2+. . . +𝑒1) = 𝜎2 + 𝜎2+. . . +𝜎2
𝑡= 𝑡𝜎2.
25
26
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 14
27
Klasičan slučajan hod: grafički prikaz
-8
-4
0
4
8
12
50 100 150 200 250 300
Xt=Xt-1+et
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50 100 150 200 250 300
Xt-Xt-1= et
28
Slučajan hod u ekonomskim analizama:
analiza efikasnosti finansijskog tržišta
Koncept (slabe) efikasnosti finansijskog tržišta: prethodno kretanje stopa prinosa finansijskih instrumenata ne utiče na njihovo buduće kretanje.
Na efikasnom finansijskom tržištu cene u svakom trenutku inkorporiraju sve faktore na strani ponude i potražnje, pa se menjajusamo sa pojavom nove vesti.
Koncept efikasnog tržišta čini model slučajnog hoda relevantnim za opisivanje kretanja logaritma cena finansijskih instrumenata.
Ukoliko logaritam cena prati putanju slučajnog hoda, tada je odgovarajuća stopa prinosa (prva diferenca logaritma datih cena) beli šum.
Do promene cena dolazi slučajno, i to isključivo kao rezultat nove informacije.
tt1ttt1tt ePlnPlnPlnePlnPln ==−+= −−
27
28
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 15
29
Slučajan hod u ekonomskim analizama:
analiza deviznog tržišta
Teorija o paritetu kupovne snage: skup datih dobara treba da
košta približno isto u različitim ekonomijama, ako se izuzmu
transportni i drugi troškovi.
Slobodno rečeno, u uslovima fluktuirajućeg kursa, deprecijacija
valute aproksimativno je jednaka razlici između domaće i inostrane
inflacije. Valjanost ove teorije, uz sva ograničenja, može se
predstaviti na sledeći način:
Serija realni devizni kurs treba da oscilira relativno pravilno tokom
vremena da bi teorija o paritetu kupovne snage bila validna.
Ako serija realni devizni kurs ima karakteristike slučajnog hoda,
onda se data teorija ne može prihvatiti.
( ) 0PlnPlnEXln ,PEXP
kurs) devizni ln(realni
*ttt
*ttt =+−=
30
Slučajan hod u ekonomskim analizama:
analiza dostignutog stepena konvergencije
Teorija privrednog rasta: nivoi BDP per capita u dve
zemlje međusobno konvergiraju ako je njihova razlika
stacionarna vremenska serija sa nultom srednjom
vrednošću. U suprotnom, prisustvo j. korena sugeriše
odsustvo tendencije ka konvergenciji.
Monetarna ekonomija: za zemlje EMU (sa
jedinstvenom valutom) konvergencija stopa inflacija
značajna je kako bi jedinstvena monetarna politika ECB
bila delotvorna u na različitim tržištima. Prisustvo
jediničnog korena u razlici parova stopa inflacije
sugeriše da efikasnost monetarne politike nije
obezbeđena.
29
30
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 16
31
Zašto je važno napraviti
razliku između dve klase modela?
Postoje dva osnovna razloga koji čine relevantnom
podelu na stacionarne i nestacionarne veličine
⚫ Statistički
⚫ Ekonomski
32
Statistički razlozi
Primena standardne statističke procedure (zasnovana na metodu ONK) nepouzdana je u regresionoj analizi vremenskih serija sa jediničnim korenom.⚫ Ocene parametara regresionog modela su pristrasne i
nekonzistentne.
⚫ Ocene parametara nemaju normalnu raspodelu. To znači da statističko zaključivanje zasnovano na t-odnosu i F-testu značajnosti koeficijenta determinacije nije tačno.
⚫ Moguća je pojava besmislene regresije. Ovim pojmom označava se regresija sa visokim vrednostima koeficijenta determinacije i t-odnosa (po modulu) između vremenskih serija sa jediničnim korenom, ali koje su potpuno nezavisne.
31
32
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 17
33
Značajna istraživanja
Yule (1926)⚫ Empirijska analiza; Udeo broja brakova sklopljenih u Engleskoj
crkvi u odnosu na ukupan broj i mortalitet na 1000 osoba prema godišnjim podacima Engleske i Velsa u periodu: 1866-1911. (R2=0.91)
Granger and Newbold (1974)
⚫ Simulaciona analiza
Hendry (1980) ⚫ Empirijska analiza, Inflacija i kumulisana količina padavina u V.
Britaniji prema kvartalnim podacima u periodu: 1964-1975. (R2=0.99)
Phillips (1986)
⚫ TEORIJSKI DOKAZI
34
Jednostavan program za simulacije
(broj ponavljanja 1000, obim uzorka 150,
cilj: analiza vrednosti koef. determinacije)
workfile besmislena_reg u 1000
series r2
!nreps=1000
!nobs=150
for !repc=1 to !nreps
smpl @first @first
series y1=0
series x1=0
smpl @first+1 !nobs+20
'Dva nekorelisana bela šuma‘
series ay=nrnd
series ax =nrnd
'Dva nekorelisana slučajna hoda'
series y1=0.2+y1(-1)+ay
series x1=0.1+x1(-1)+ax
smpl @first+20 !nobs+20
equation eq1.ls y1 c x1
'Koeficijent determinacije R2’
r2(!repc)=@r2
next
smpl @first !nreps
33
34
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 18
35
Prosečna vrednost koef. determinacije
u nekim od simulacija
Simulacija Tip serija Prosečan
koef.det.
1. Dve nekorelisane stacionarne vremenske serije
Xt=0.6*Xt-1+axt ,Yt=0.7*Yt-1+ayt
0.02
2. Dve korelisane stacionarne vremenske serije
Xt=0.6*Xt-1+axt ,Yt=1+Xt+ayt
0.60
3. Dva nekorelisana slučajna hoda
Xt=Xt-1+axt ,Yt=Yt-1+ayt
0.23
4. Dva nekorelisana slučajna hoda sa konst. prirastom
Xt=0.1+Xt-1+axt ,Yt=0.2+Yt-1+ayt
0.49
4a. Dva nekorelisana slučajna hoda sa konst. prirastom
Xt=0.5+Xt-1+axt ,Yt=0.2+Yt-1+ayt
0.80
Simulacije 1. i 2. Histogrami
koeficijenata determinacije
Simulacija 1. Simulacija 2.
36
0
100
200
300
400
500
600
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75
35
36
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 19
Simulacije 4. i 4a. Histogrami
koeficijenta determinacije
Simulacija 4. Simulacija 4a.
37
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00
10
20
30
40
50
60
70
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
38
Ekonomski razlozi
Razlika između vremenske serija sa i bez jediničnog korena ima jasnu ekonomsku implikaciju:
⚫ Uticaj slučajnih šokova na nivo stacionarne vremenske serije slabi tokom vremena (AR(1), |1|<1)
𝑋𝑡 = 𝑒𝑡 + 1𝑒𝑡−1 + 12𝑒𝑡−2 + 1
3𝑒𝑡−3+…
⚫ Efekat šoka na nivo vremenske serije sa jediničnim korenom ima trajno dejstvo za neodređeni period vremena.
𝑋𝑡 = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡−2 + 𝑒𝑡−3 +⋯+ 𝑒1
37
38
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 20
39
Ekonomski razlozi II
Ova razlika posebno dolazi do izražaja u teoriji poslovnih ciklusa: ⚫ Tradicionalna teorija: BDP ispoljava tendenciju rasta na
dugi rok, dok su ciklična odstupanja u fazama recesije i prosperiteta neizbežna (BDP je trend-stacionarna vremenska serija).
⚫ Ako vremenska serija BDP sadrži jedinični koren, tada njeno odstupanje od dugoročnog trenda neće biti povremeno, kako naglašava tradicionalna teorija, već permanentno za neodređeni period vremena.
Prisustvo jediničnog korena sugeriše da negativni šokovi iz faze recesije mogu trajno redukovati nivo BDP.
40
Ekonomski razlozi: pionirski rad
Nelson and Plosser(1982), Journal of MonetaryEconomics
⚫ Jedan od prvih radova provere postojanja jediničnih korena u makroekonomskim veličinama
⚫ Realni i nominalni BDP privrede SAD posedujujedinični koren
⚫ Ukupno je posmatrano 14 vremenskih serija i u većini je detektovano prisustvo jediničnog korena
⚫ Godišnji podaci u periodu: 1860(1909) – 1970.
39
40
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 21
41
Opšta forma:
Autoregresioni modeli pokretnih proseka za
integrisane vremenske serije, ARIMA(p,d,q)
qtq2t21t1t
ptd
p2td
21td
1td
eeee
X...XXX
−−−
−−−
−−−+
+++=
• p red autoregresione komponente
• d nivo integrisanosti vremenske serije i
• q red komponente pokretnih proseka.
42
ARIMA(p,d,q) model: primeri
qtq2t21t1tpt2
p2t2
21t2
1t2
qtq2t21t1tptp2t21t1t
eeeeX...XXX
:)q,2,p( ARIMA
eeeeX...XXX
:)q,1,p( ARIMA
−−−−−−
−−−−−−
−−−++++=
−−−++++=
AR(p) MA(q) ARMA(p,q) Beli šum Slučajan hod
ARIMA(p,0,0) ARIMA(0,0,q) ARIMA(p,0,q) ARIMA(0,0,0) ARIMA(0,1,0)
41
42
Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021
Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 22
43
ARIMA(p,d,q) model:
konkretni primeri
Model Zapis
ARIMA(0,1,2)
ARIMA(1,1,0)
ARIMA(0,2,0)
ARIMA(2,2,1)
ARIMA(3,0,0)
( ) ( )21 0.4 1 0.3 0.1t tL X L L e− = + + +
10.5t t tX X e− = +
1 22t t t tX X X e− −= − +
( )( ) ( )221 0.2 0.5 1 1 0.7t tL L L X L e+ − − = −
( )2 31 0.1 0.3 0.2 t tL L L X e− − − =
44
Boks-Dženkinsova strategija
modeliranja i ARIMA(p,d,q) modeli
To su suštinski modeli od kojih se polazi
U odnosu na ARMA(p,q) modele modifikuje se prva
faza identifikacije modela.
Potrebno je pretpostaviti koliko je d, a ne samo p i q.
Metodološki okvir određivanja nivoa integrisanosti,
odnosno broja jediničnih korena (d)
⚫ Obična i parcijalna autokorelaciona funkcija
⚫ Testovi jediničnog korena
43
44