modeliranje sezonskih vremenskih serija -...

Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.

Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 1

Modeliranje sezonskih vremenskih serija

Zorica Mladenović

Struktura

1. Osnove

2. Ključni modeli

3. Modifikacija BJ strategije modeliranja

4. Primeri



1. Osnove I

• Sezonske vremenske serije:

– Vremenske serije poseduju pravilnosti u svom kretanju koje se ispoljavaju u intervalu do godine dana.

– Period od godinu dana u ovom kontekstu predstavlja tzv. period sezone (oznaka: s, s=4 kod kvartalnih i s=12 kod mesečnih podataka).

– Sezonska docnja: trenutak na rastojanju s, 2s, 3s, itd.

4

Kvartalni BDP privrede Srbije (2001:q1 – 2017:q3)

450,000

500,000

550,000

600,000

650,000

700,000

750,000

800,000

850,000

900,000

2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016

Bruto domaći proizvod Srbije

(u milionima dinara, stalne cene iz 2010.)



1. Osnove II

• Sezonske varijacije mogu biti determinističke ili stohastičke.

– Determinističke: uključujemo sezonske veštačke promenljive.

– Stohastička: koristimo posebnu klasu ARIMA modela, koji se nazivaju sezonski ARIMA modeli

• Aditivna sez. komponenta, ARIMA(p,d,q)+(P,D,Q)s

• Multiplikativna sez. komponenta, ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s

1. Osnove III

• Često se koristi operator sezonske diference pojedinačno ili zajedno sa operatorom obične diference:

( )

( )( ) ( )1

1 1

Pojedinačno:

1

U interakciji sa operatorom obične diference:

1 1 1

s

s t t t t s

s s s

s t t t t t t s t s

X L X X X

X L L X L L L X X X X X

−

+

− − − −

= − = −

= − − = − − + = − − +



1. Osnove IV

• Razlika između aditivne i multiplikativne sezonske komponente na primeru AR(1) modela i kvartalnih podataka (s=4)

• Svi parametri su po modulu strogo manji od jedan

( )

( )( )( )4

1 1

4

1 1 1 4 1 1

4 5

1 1 1 4 1 1 5 1 1 1 1

1 1

: 1

: 1

t t

t t t t t t

t t t t t t t

L L X e

A X X X e L L X e

M X X X X e L L L X e

− −

− − −

− − =

= + + − − =

= + − + − − + =

1. Osnove V• Razlika između aditivne i multiplikativne sezonske

komponente na primeru MA(1) modela i kvartalnih podataka (s=4)

• Svi parametri su po modulu strogo manji od jedan

( )

( )( )

4

1 1 1 4 1 1

4

1 1 1 4 1 1 5 1 1

: 1

: 1 1

t t t t t t

t t t t t t t

A X e e e X L L e

M X e e e e X L L e

− −

− − −

= − − = − −

= − − + = − −



1. Osnove VI• Obična autokorelaciona funkcija za modele sa MA

komponentama:

( )

( )

( )

1 1 1 4

2 2

1 1 1

2 2

1 1 1 1

2 2

1 1 1

:

1 , k=1

1 , k=3

1 , k=4

0, k ostalo

t t t t

k

A X e e e

− −= − −

− + + + +

= − + +

( )

( )( )

( )

1 1 1 4 1 1 5

2

1 1

2 2

1 1 1 1

2

1 1

:

1 , k=1

1 1 , k=3,5

1 , k=4

0, k ostalo

t t t t t

k

M X e e e e

− − −= − − +

− + + +

= − +

2. Ključni modeli I

Model Oblik I Oblik II

Sezonski AR(1)

Sezonski slučajan hod

Sezonski MA(1)

“Vazduhoplovni”model

( ) tts eXL =− 11

( ) tts eXL =−1

( ) ts

t eLX 11 −=

( )( )( )( ) t

s

ts

eLL

XLL

11 11

11

−−

=−−

tstt eXX += −1

tstttts eXXeX +== −

sttt eeX −−= 1

111111 −−−− +−−

=

ststtt

ts

eeee

X



2. Ključni modeli II

Model Obična autokorelaciona funkcija

SezonskiAR(1)

Opada po sezonskim docnjama s,2s,3s,... eksponencijalno ili eksponencijalno oscilatorno sa vrednostima:

Sezonski slučajan hod

Postepeno opada po sezonskim docnjama s,2s,3s,...sa vrednostima bliskim jedan

Sezonski MA(1) Jedina nenulta vrednost na docnji s:

“Vazduhoplovni“ model

Četiri nenulte vrednosti na docnjama 1, s-1,s,s+1

,...,, 3

1

2

11

( )211 1 +−

( )( )

( )( )21

2111

211

211

1111

1

11

+++−

+−

+−

:s,s

:s

:

12

Sezonski AR(1) model na kvartalnim podacima saparametrom 0.6 i obični korelogram

Korelogram

0 4 8 12 16

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00Korelogram

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015

-2

0

2

40.6t t tX X e−= +



13

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015

0

5

10

15

20

Korelogram

0 4 8 12 16

-0.5

0.0

0.5

1.0Korelogram

Sezonski slučajan hod (sezonski integrisana serija reda 1) na kvartalnim podacima i obični korelogram

14

Korelogram

0 4 8 12 16

-0.5

0.0

0.5

1.0Korelogram

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015

-2

0

2

4

Sezonski MA(1) model na kvartalnim podacima saparametrom -0.8 i obični korelogram

40.8t t tX e e −= +



15

Vazduhoplovni model na kvartalnim podacima i obični korelogram

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015

-2

0

2

Korelogram

1 4 7 10 13 16

-0.5

0.0

0.5

1.0Korelogram

4 1 4 50.4 0.5 0.2t t t t tX e e e e− − − = − + −

2. Ključni modeli III

• Prikazani modeli su specijalni slučajevi opšteg modela

• Sezonski multiplikativni ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s

• Vrednosti P, D i Q su retko veće od 1.

( )( )( ) ( )

( )( )

2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

1 1 1 1

1 1

Ddp s s Ps s

p P t

q s s Qs

q Q t

L L L L L L L L X

L L L L L L e

− − − − − − − − − − =

− − − − − − − −



2. Neki modeli: EVIEWS zapis

Model Oblik Zapis za s=4

Sezonski AR(1)

X AR(4)

AR(1) i AR(s) aditivno

X AR(1) AR(4)

AR(1) i AR(s) multiplikativno

X AR(1) SAR(4)

Sezonski MA(1) X MA(4)

MA(1) i MA(s) aditivno

X MA(1) MA(4)

MA(1) i MA(s) multiplikativno

X MA(1) SMA(4)

sttt eeX −−= 1

1 1 1t t t t sX e e e − −= − −

tstt eXX += −1

1 1 1 1 1 1t t t t s t sX e e e e − − − −= − − +

1 1 1t t t s tX X X e − −= + +

1 1 1 1 1 1t t t s t s tX X X X e − − − −= + − +

3. Modifikacija BJ strategije modeliranja

• Identifikacija:

1. Koliki je red obične (d) i sezonske integrisanosti (D)?

2. Da li je red sezonske autoregresione komponente (P) različit od nule?

3. Da li je red sezonske komponente pokretnih proseka (Q) različit od nule?

4. Da li je sezonska komponenta multiplikativna?



1. Koliko je d i D?

Metodološki okvir:

1.1. Analiza ocene varijanse pojedinih transformacija vremenske serije

1.2. Test jediničnog korena

1.3. Analiza korelograma

1. 1. Koliko je d i D?Analiza ocene varijanse pojedinih transformacija

• Transformacija sa najmanjom ocenom varijanse sugeriše nivo obične i sezonske integrisanosti

• Obazriva upotreba JE NEOPHODNA.Serija D d

0 0

0 1

1 0

1 1

ts X

tX

ts X

tX



1. 2. Koliko je d i D?

Test jediničnog korena

• Ishod testiranja primene ADF testa i mogući zaključci:

• Testovi sezonskog jediničnog korena

Broj j. korena D d

0 0 0

1 0 1

1 0

2 1 1

0 2

1. 3. Koliko je d i D?Analiza korelograma

Korelogram nivoa v.s.

Prvi zaključak

Korelogram Konačan zaključak

Sporo opada od

vrednosti 1

d=1 Prve diference

Sporo opada po sezonskim

docnjama, D=1

d=1D=1

Nema laganog opadanja po sez.docnjama, D=0

d=1D=0

Ne opada sporo od

vrednosti 1

d=0 Nivoa Sporo opada po sezonskim

docnjama, D=1

d=0D=1

Nema laganog opadanja po

sez.docnjama, D=0

d=0D=0



2.+3.+ 4. Ostala pitanja

Pitanja (za vremensku seriju koja je prethodno transformisana shodno izabranoj kombinaciji d i D)

Metodološki okvirAnaliza običnog korelograma

2. Da li je red sezonske autoregresione komponente različit od nule?

DA, ako su koeficijenti značajni na docnjama s,2s,3s,...

3. Da li je red sezonske komponente pokretnih proseka različit od nule?

DA, ako je značajan samo koeficijent na docnji s

4. Da li je sezonska komponenta multiplikativna?

DA, ako je “primetna” korelacija na docnjama oko sezonskih istog ili sličnog obima (s-1,s+1;s-2,s+2;2s-1,2s+1,itd.)

Primer I: Broj noćenja turista u CG(2001:m1-2009:m3, 99 mesečnih podataka)

Grafički prikaz podataka (log vrednosti) i relevantnih transformacija



Identifikacija 1.1:Analiza ocene varijanse pojedinih transformacija

• Ocene su dobijene prema transformaciji kojom se gubi najviše podataka (99-13=86)

Serija Ocena standardne devijacije

1.427860

0.852239

0.251094

0.228516

tX12

tX

tX12

tX

Identifikacija 1.2:Test jediničnog korena

• Postoji tačno jedan jedinični koren.

• Korišćena je ADF test-statistika. – ADF(12) u I iteraciji.

– ADF(11) u II iteraciji.

• KPSS sa redom 12 i 11 korektivnih elemenata daje identičan zaključak.



Identifikacija 1.3:Analiza ocene obične autokorelacione funkcije

Identifikacija 1:Zaključak: D=1, d=0



Identifikacija 2:Analiza ocene obične i parcijalne

autokorelacione funkcije diference reda 12 sugeriše model: ARIMA(3,0,0)x(0,1,0)12

Dependent Variable: D12X

Method: Least Squares

Sample (adjusted): 2002M04 2009M03

Included observations: 84 after adjustments

Convergence achieved after 3 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.095577 0.068294 1.399491 0.1655

AR(1) 0.635838 0.107954 5.889890 0.0000

AR(2) -0.238941 0.126404 -1.890291 0.0623

AR(3) 0.282252 0.107649 2.621961 0.0105

R-squared 0.385885 Mean dependent var 0.098356

Adjusted R-squared 0.362856 S.D. dependent var 0.251545

S.E. of regression 0.200786 Akaike info criterion -0.326705

Sum squared resid 3.225207 Schwarz criterion -0.210951

Log likelihood 17.72160 Hannan-Quinn criter. -0.280173

F-statistic 16.75627 Durbin-Watson stat 1.900921

Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots .79 -.08+.59i -.08-.59i

Ocenjeni modelARIMA(3,0,0)x(0,1,0)12

( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

. . . .s.g.

e.XL-1L.L.L.

modela ocenjenog zapis niAlternativ

).(.), JB.(.)), Q(.(.)Q(

). () . (- .) .t-odn. (

eX.X.X..X

tt12

ttttt

070110130110

09602802406401

070315360792224160091312

622891895401

2820239063600960

32

31221211212

+=−+−

===

++−+= −−−



Primer II: Indeks proizvodnje električne energije u Srbiji

(2001:m1-2014:m1, 157 mesečnih podataka)Grafički prikaz podataka i relevantnih transformacija

X

2005 2010

75

100

125

150 X DX

2005 2010

-40

-20

0

20DX

D12X

2005 2010

-20

0

20

D12X DD12X

2005 2010

-20

0

20

DD12X

Identifikacija 1.1:Analiza ocene varijanse pojedinih transformacija

• Ocene su dobijene prema transformaciji kojom se gubi najviše podataka (157-13=144)

Serija Ocena standardne devijacije

18.824

12.574

10.189

10.505

tX12

tX

tX12

tX



Identifikacija 1.2:Test jediničnog korena

• Postoji tačno jedan jedinični koren.

• Korišćena je ADF test-statistika. – ADF(12) u I iteraciji.

– ADF(11) u II iteraciji.

• KPSS test daje identičan zaključak (sa obe varijante broja korektivnih faktora).

Identifikacija 1.3:Analiza ocene obične autokorelacione funkcije

ACF-X

0 10 20 30

-0.5

0.0

0.5

1.0 ACF-X ACF-DX

0 10 20 30

-0.5

0.0

0.5

1.0ACF-DX

ACF-D12X

0 10 20 30

-0.5

0.0

0.5

1.0ACF-D12X ACF-DD12X

0 10 20 30

-0.5

0.0

0.5

1.0ACF-DD12X



Podaci grupisani po istim mesecima

X

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

80

90

100

110

120

130

140

150X

Podaci grupisani po istim mesecima II

D12X

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-20

-10

0

10

20

30D12X



Identifikacija 1:Zaključak: D=1, d=0

D12X

2005 2010

-25

0

25D12X

ACF-D12X

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.5

0.0

0.5

1.0ACF-D12X

Identifikacija 2:Analiza ocene obične autokorelacione funkcije diference

reda 12 sugeriše model: ARIMA(0,0,2)x(0,1,1)12






MA Backcast: OFF


C 1.943461 0.474546 4.095409 0.0001

MA(1) 0.502916 0.080788 6.225101 0.0000

MA(2) 0.306395 0.081197 3.773457 0.0002

SMA(12) -0.636135 0.068090 -9.342570 0.0000



S.E. of regression 7.638055 Akaike info criterion 6.931362

Sum squared resid 8225.924 Schwarz criterion 7.013478

Log likelihood -498.5237 Hannan-Quinn criter. 6.964729



Inverted MA Roots .96 .83-.48i .83+.48i .48+.83i

.48-.83i .00+.96i -.00-.96i -.25-.49i

-.25+.49i -.48+.83i -.48-.83i -.83-.48i

-.83+.48i -.96



Poredjenje sa ARIMA(0,0,2)+(0,1,1)12






MA Backcast: OFF


C 1.943461 0.474546 4.095409 0.0001

MA(1) 0.502916 0.080788 6.225101 0.0000

MA(2) 0.306395 0.081197 3.773457 0.0002

SMA(12) -0.636135 0.068090 -9.342570 0.0000








Inverted MA Roots .96 .83-.48i .83+.48i .48+.83i

.48-.83i .00+.96i -.00-.96i -.25-.49i

-.25+.49i -.48+.83i -.48-.83i -.83-.48i

-.83+.48i -.96






MA Backcast: OFF


C 1.911821 0.893905 2.138728 0.0342

MA(1) 0.505008 0.067076 7.528919 0.0000

MA(2) 0.317463 0.067696 4.689557 0.0000

MA(12) -0.456967 0.063873 -7.154291 0.0000








Inverted MA Roots .89 .76+.47i .76-.47i .41-.82i

.41+.82i -.05-.95i -.05+.95i -.51-.84i

-.51+.84i -.83+.48i -.83-.48i -.95

Poredjenje sa ARIMA(0,0,2)+(0,1,1)12 II

ACF-Reziduali iz aditivnog modela

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.5

0.0

0.5

1.0ACF-Reziduali iz aditivnog modela

ACF-Reziduali iz multiplikativnog modela

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.5

0.0

0.5

1.0ACF-Reziduali iz multiplikativnog modela



Ocenjeni modelARIMA(0,0,2)x(0,1,1)12

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )349773236104

64013105001941

349773236104

200320640310500941

122

1413122112

.- . . . odn.-t

eL.L.L..XL-1

modela ocenjenog zapis niAlternativ

4.93(0.09)JB ),26.60(0.19Q(24) ,3.97(0.91)Q(12)

.- . . . t-odn.

e.e.e.e.e.e.X

tt12

ttttttt

−+++=

===

−−−+++= −−−−−

modeliranje sezonskih vremenskih serija -...

Documents