BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Berdasarkan pengamatan penulis, sejak SD pelajaran Matematika telah
menjadi momok bagi sebagian besar siswa. Salah satu materi pelajaran
Matematika yang ditakuti oleh siswa SMA adalah kalkulus. Kalkulus terbagi
menjadi empat bagian, yaitu limit, turunan atau diferensial, deret takterhingga dan
integral.
Operasi pengintegralan merupakan invers dari operasi pendiferensialan atau
disebut juga operasi anti-turunan (Wirodikromo, 2007: 3). Materi integral dapat
ditemukan pada pelajaran Matematika kelas XII semester ganjil. Materi integral
terdiri dari integral tak tentu, integral tertentu, integral trigonometri, luas daerah,
dan volume. Integral dapat diaplikasikan dalam bidang sains, ekonomi dan teknik,
serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan
aljabar elementer. Integral juga dapat digunakan untuk mencari luas daerah serta
volume suatu benda.
Dalam karya tulis ilmiah ini, penulis membahas tentang luas daerah yang
dibatasi oleh dua kurva. Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva,
dapat metode integral dapat digunakan. Namun menurut pengamatan penulis,
metode integral ini rumit dan sulit untuk dipahami karena harus menggambarkan
daerah dari kurva dan menentukan batas-batas integral untuk daerah yang akan
dihitung luasnya. Karena melalui proses menggambarkan kurva dan menentukan
batas-batas integral untuk daerah yang akan dihitung luasnya, penghitungan luas
daerah akan memakan waktu yang cukup lama. Untuk mempermudah siswa
dalam menghitung luas daerah, rumus dapat digunakan. Dengan
menggunakan rumus , siswa dapat menghitung luas daerah yang dibatasi
oleh dua kurva tanpa menggambarkan kurva dan menentukan batas-batas integral
1
untuk daerah yang akan dihitung luasnya. Oleh karena itu penulis tertarik untuk
membuktikan kebenaran rumus secara matematis dengan integral melalui
karya tulis ilmiah berjudul “Pembuktian Rumus untuk Menghitung Luas
Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva”.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang diambil untuk karya tulis ilmiah berjudul
“Pembuktian Rumus untuk Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi oleh
Dua Kurva” adalah sebagai berikut.
1.2.1 Bagaimanakah pembuktian rumus untuk menghitung luas daerah
yang dibatasi oleh kurva dan garis ?
1.2.2 Bagaimanakah pembuktian rumus untuk menghitung luas daerah
yang dibatasi oleh kurva dan kurva ?
1.2.3 Bagaimana cara menggunakan rumus untuk menghitung luas daerah
pada soal?
1.3 Tujuan Pembahasan Masalah
Tujuan pembahasan untuk karya tulis ilmiah berjudul “Pembuktian Rumus
untuk Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva” yaitu:
1.3.1 untuk membuktikan rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva
dan garis .
1.3.2 untuk membuktikan rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva
dan kurva .
2
1.3.3 untuk mengetahui cara menggunakan rumus luas daerah yang
dibatasi oleh dua kurva pada soal.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penyusunan karya tulis ilmiah ini adalah sebagai berikut.
1.4.1 Bagi Siswa
Siswa dapat menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva secara
cepat tanpa menggunakan integral serta bisa menerapkannya pada soal.
1.4.2 Bagi Guru
Guru dapat menginformasikan tentang bahwa luas daerah yang dibatasi oleh
dua kurva dapat dihitung tanpa harus menggambar daerahnya kepada siswa
dan membuktikan serta menerapkannya pada soal.
1.5 Definisi Operasional
Definisi operasional dari karya tulis ilmiah berjudul “Pembuktian Rumus
untuk Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva” dibuat
guna menghindari adanya kesalahpahaman dalam menafsirkan judul karya tulis
ilmiah ini. Definisi operasional dari karya tulis ilmiah berjudul “Pembuktian
Rumus untuk Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva”
adalah sebagai berikut.
1.5.1 Pembuktian
Pembuktian berarti proses, cara, perbuatan membuktikan; usaha
menunjukkan benar atau salahnya si terdakwa dalam sidang pengadilan (Sugono,
2008: 218).
1.5.2 Rumus
3
Rumus berarti ringkasan (hukum, patokan, dsb dalam ilmu kimia,
Matematika, dsb) yang dilambangkan oleh huruf, angka, atau tanda (Sugono,
2008: 1190).
1.5.3 Untuk
Untuk merupakan kata depan untuk meyatakan bagi, bagian, dan sebab atau
alasan.
1.5.3 Menghitung
Menghitung berarti mencari jumlahnya (sisanya, pendapatannya) dng
menjumlahkan, mengurangi, atau membilang untuk mengetahui berapa jumlahnya
(banyaknya) (Sugono, 2008: 504).
1.5.4 Luas
Luas berarti lapang; lebar (Sugono, 2008: 844).
1.5.5 Daerah
Daerah berarti bagian permukaan bumi dalam kaitanya dengan keadaan
alam, dsb yang khusus; selingkungan tempat yang dipakai untuk tujuan khusus;
kawasan (Sugono, 2008: 283).
1.5.6 Yang
Yang berarti kata untuk menyatakan bahwa kata atau kalimat yang
berikutnya diutamakan atau dibedakan dari yang lain; kata yang menyatakan
bahwa bagian dari kalimat yang berikutnya menjelaskan kata yang di depan
(Sugono, 2008: 1566).
1.5.7 Dibatasi
Dibatasi berarti diberi batas.
1.5.7 Oleh
Oleh berarti kata penghubung untuk menandai pelaku (Sugono, 2008: 980).
1.5.8 Dua
Dua berarti bilangan yang dilambangkan dengan angka 2 (Arab) atau II
(Romawi); urutan ke dua sesudah pertama dan sebelum ke tiga (Sugono, 2008:
343).
1.5.9 Kurva
4
Kurva berarti garis lengkung; grafik yang menggambarkan variabel (misal
yang memperlihatkan perkembangan yang dipengaruhi oleh keadaan); garis yang
terdiri atas persambungan titik-titik (Sugono, 2008: 763).
Dari pengertian-pengertian di atas, definisi operasional dari karya tulis ilmiah
yang berjudul “Pembuktian Rumus untuk Menghitung Luas Daerah yang
Dibatasi oleh Dua Kurva” adalah proses atau cara membuktikan rumus
untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva.
5
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Luas Daerah
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, luas berarti lapang atau lebar
(Sugono, 2008: 844), dan daerah berarti bagian permukaan bumi dalam katannya
dengan keadaan alam, dan sebagainya yang khusus atau selingkungan tempat
yang dipakai untuk tujuan khusus (Sugono, 2008: 283). Dalam Matematika, luas
suatu bidang datar dapat dihitung menggunakan rumus-rumus tertentu. Misalnya
luas persegi persegi panjang dapat dihitung dengan cara mengalikan panjang dan
lebarnya, luas segitiga dengan mengalikan alas dan tinggi kemuadian dibagi dua,
dan lain-lain.
Secara umum, luas suatu bidang datar dapat dihitung menggunakan integral
tertentu (Nugroho, 2012: 151). Contohnya jika diketahui kurva dan kurva
seperti yang terlihat pada gambar 2.1 di bawah ini, luas daerah yang dibatasi
oleh kedua kurva tersebut dapat dihitung dengan menggunakan integral tertentu
sesuai dengan rumus:
Gambar 2.1 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva
6
2.2 Aplikasi Penghitungan Luas Daerah dengan Integral
Rumus luas daerah dengan menggunakan integral
dapat diaplikasikan dalam soal-soal penghitungan luas daerah yang dibatasi oleh
dua kurva. Berikut adalah uraian dari aplikasi penghitungan luas daerah dengan
menggunakan integral.
2.2.1 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Sumbu X
Jika diketahui sebuah kurva parabola seperti pada gambar di
bawah ini:
Gambar 2.2 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Sumbu X
maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan sumbu x
adalah sebagai berikut.
7
Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu X adalah
satuan luas.
2.2.2 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Garis
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan garis
adalah:
Gambar 2.3 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Garis
8
Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan garis
adalah satuan luas.
2.2.3 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva Parabola
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan
adalah sebagai berikut.
Gambar 2.4 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva f(x) dan Kurva g(x)
9
Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan
adalah satuan luas.
10
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode penelitian digunakan sebagai alat untuk menganalisis objek penelitian
dalam karya tulis ilmiah ini. Metode penelitian yang digunakan dalam karya tulis
ilmiah ini meliputi: (1) rancangan penelitian, (2) metode pengumpulan data, (3)
metode analisis data, dan (4) prosedur penelitian.
3.1 Rancangan Penelitian
Pada karya tulis ilmiah ini penulis membahas tentang pembuktian rumus luas
daerah yang dibatasi oleh dua kurva. Untuk melakukan pembuktian terhadap
rumus ini penuulis menggunakan pendekatan deskriptif kuantitatif.
3.2 Metode Pengumpulan Data
Untuk melakukan pembuktian terhadap rumus metode penelitian yang
digunakan penulis adalah metode kepustakaan. Metode kepustakaan adalah
metode yang dilakukan dengan mempelajari dan mengumpulkan data dari pustaka
baik berupa buku maupun informasi dari berbagai sumber (Iyha, 2012). Penulis
memilaih metode kepustakaan sebab dalam penyusunan karya tulis ilmiah ini
penulis mencari dan mengumpulkan data yang berasal dari buku dan internet.
3.3 Metode Analisis Data
Untuk melakukan pembuktian terhadap rumus , penulis menggunakan
pendekatan deskriptif kuantitatif. Metode kuantitatif merupakan pendekatan yang
menyangkut pendugaan parameter, pengujian hipotesis, pembentukan selang
kepercayaan, dan hubungan antara dua sifat (peubah) atau lebih bagi parameter-
parameter yang mempunyai sebaran (distribusi normal) tertentu yang diketahui
(Syamrilaode, 2012).
11
3.4 Prosedur Penelitian
Dalam penulisan karya tulis ilmiah yang berjudul “Pembuktian Rumus Luas
Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva”, penulis melakukan langkah-
langkah sebagai berikut:
3.4.1 mencari topik yang akan dibahas dalam karya tulis ilmiah yaitu pembuktian
rumus untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva;
3.4.2 mencari sumber referensi yang dapat digunakan dalam karya tulis ilmiah
yang berjudul “Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh
Dua Kurva”;
3.4.3 mengkonsultasikan topik yang akan dibahas dalam karya tulis ilmiah ini
dengan guru pembimbing;
3.4.4 membuat latar belakang masalah dan rumusan masalah untuk karya ilmiah
yang berjudul “Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh
Dua Kurva”;
3.4.5 mencari tinjauan pustaka yang tepat untuk karya ilmiah yang berjudul
“Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva”
baik dari buku maupun dari internet agar rumusan masalah yang telah
dibuat dapat terjawab dan dipertanggungjawabkan;
3.4.6 membahas masalah berdasarkan tinjauan pustaka yang ada untuk
menjawab rumusan masalah yang sudah dibuat;
3.4.7 menuangkan hasil pembahasan masalah ke dalam karya ilmiah yang
berjudul “Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua
Kurva”;
3.4.8 menunjukkan karya tulis ilmiah kepada guru pembimbing guna
mendapatkan kritik dan saran untuk perbaikan karya tulis ilmiah ini;
12
3.4.9 merevisi hasil karya tulis ilmiah yng berjudul “Pembuktian Rumus Luas
Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva”;
3.4.10 menyusun kembali karya tulis ilmiah yang berjudul “Pembuktian Rumus
Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva” yang telah direvisi
menjadi karangan yang utuh dan sempurna.
13
BAB IV
PEMBAHASAN
Berdasarkan penelitian yang telah penulis lakukan, pembuktian rumus luas
daerah yang dibatasi oleh dua kurva adalah sebagai berikut.
4.1 Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva
dan Garis
Gambar 4.1 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Garis
Diketahui sebuah kurva dan garis yang
berpotongan pada dua titik yaitu dan seperti pada gambar.
14
Misalkan , , dan sehingga persamaan
dapat diubah menjadi .
Teorema Vietta mengatakan bahwa pada persamaan yang akar-
akarnya yaitu dan , nilai dan nilai maka nilai
dan dapat dicari.
Maka:
15
Jadi
Sedangkan nilai dari dapat dicari sebagai berikut
Sehingga
Rumus dapat digunakan jika batas-batas dari daerah yang akan
dihitung luasnya adalah perpotongan antara kurva dan garis
dan nilai D>0.
16
4.2 Pembuktian Rumus Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva
dan Kurva
Dengan cara yang sama penulis dapat membuktikan rumus luas daerah
yang dibatasi oleh kurva dan kurva .
Gambar 4.2 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva f(x) dan Kurva g(x)
Diketahui kurva dan kurva
yang berpotongan pada dua titik yaitu dan seperti pada gambar maka:
Misalkan , , dan maka
bisa diubah menjadi .
17
Teorema Vietta mengatakan bahwa pada persamaan yang akar-
akarnya yaitu dan , nilai dan nilai , maka nilai
dan nilai sehingga
18
Rumus dapat digunakan jika batas-batas dari daerah yang akan
dihitung luasnya adalah perpotongan antara kedua kurva, yaitu kurva
dan kurva dan nilai D>0.
4.3 Penggunaan Rumus Luas Daerah pada Soal
4.3.1 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Sumbu X
Jika diketahui sebuah kurva parabola seperti pada gambar di
bawah ini:
Gambar 4.3 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva dan Sumbu X
Maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan sumbu x
adalah sebagai berikut:
Menyamakan persamaan kurva dengan garis
19
Dari persamaan berikut dapat diketahui bahwa nilai a=1, b=0, dan c=-4. Dari data
tersebut, nilai diskriminan dari persamaan di atas adalah sebagai berikut:
Maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan sumbu x
adalah sebagai berikut:
4.3.2 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Garis
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan garis
adalah:
Gambar 4.4 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva Parabola dan Garis
Menyamakan persamaan kurva dengan garis
20
Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa a=1, b=-3, c=0. Maka nilai
diskriminan dari persamaan di atas dapat dicari.
Maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan garis
adalah:
4.3.3 Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva Parabola
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan
adalah sebagai berikut.
Gambar 4.5 Grafik Luas Daerah yang Dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x)
Menyamakan persamaan kurva f(x) dengan g(x)
21
Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa a=2, b=0, c=-2. Maka nilai
diskriminan dari persamaan di atas dapat dicari.
Maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola dan
adalah sebagai berikut.
Dari beberapa penyelesaian soal penghitungan luas daerah menggunakan
rumus di atas dapat disimpulkan bahwa langkah-langkah penyelesaian soal
penghitungan luas daerah menggunakan rumus adalah sebagai berikut.
1) Menyamakan kedua persamaan kurva sehingga membentuk persamaan
.
2) Menentukan nilai a, b, dan c dari persamaan tersebut.
3) Menghitung nilai diskriminan dari persamaan tersebut dengan rumus
.
4) Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut dengan
rumus .
BAB V
KESIMPULAN
22
Berdasarkan hasil penelitian penulis tentang pembuktian rumus luas daerah
yang dibatasi oleh dua kurva, penulis dapat mengambil kesimpulan dan
saran sebagai berikut.
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian penulis tentang pembuktian rumus luas daerah
yang dibatasi oleh dua kurva, penulis dapat menarik kesimpulan sebagai
berikut.
5.1.1 Pembuktian rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva
dan garis : terbukti.
5.1.2 Pembuktian rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva
dan kurva : terbukti.
5.1.3 Langkah-langkah penyelesaian soal penghitungan luas daerah menggunakan
rumus adalah sebagai berikut:
1) menyamakan kedua persamaan kurva sehingga membentuk persamaan
2) menentukan nilai a, b, dan c dari persamaan tersebut
3) menghitung nilai diskriminan dari persamaan tersebut dengan rumus
4) menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut dengan
rumus
5.2 Saran
Setelah melakukan penelitian tentang tentang pembuktian rumus luas daerah
yang dibatasi oleh dua kurva maka penulis dapat memberikan beberapa
23
saran yang bisa menjadi masukan dan pengetahuan baik bagi guru maupun bagi
siswa. Adapun beberapa saran tersebut adalah sebagai berikut.
5.2.1 Bagi Guru
Guru dapat mempermudah siswa dalam mempelajari materi integral,
terutama dalam hal menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dengan
menggunakan rumus .
5.2.2 Bagi Siswa
Siswa dapat menggunakan rumus untuk menghitung luas daerah
yang dibatasi oleh dua kurva untuk mempersingkat waktu pengerjaan soal.
24
DAFTAR PUSTAKA
Ayres Jr., Frank dan Elliot Mendelson. 2006. Schaum’s Outlines: Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Iyha. 2012. Cara Menulis Makalah [online], (http://carapedia.com/menulis_makalah_info2121.html, diakses tanggal 10 Oktober 2012).
Nugroho, Didit Budi. 2012. Kalkulus Integral dan Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Sugono, Dendy. 2008. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
Syamrilaode, 2012. Pengertian Metode Kuantitatif [online], (http://id.shvoong.com/writing-and-speaking/presenting/2131804-pengertian-metode-kuantitatif/, diakses tanggal 10 Oktober 2012).
Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 3 IPA untuk Kelas XII. Jakarta: Penerbit Erlangga.
25