Download - PDF-syllabus Berekening Van Bouwkundige Constructies I

Berekening van Bouwkundige Constructies

I

Prof. Dr. ir. Rudy Van Impe

Vakgroep Bouwkundige Constructies TW14

Technologiepark 904 B 9052 Zwijnaarde

tel.: +32 (0)9 2645473 fax.: +32 (09) 2645838

email: [email protected]

ii

Woord vooraf

De doelstellingen van onderhavig werk zijn omvangrijk. Het kunnen bepalen en

begrijpen van de krachtwerkingen in en de vervormingen van een constructie onder een

gegeven belasting is immers een onmisbare schakel in de algemene vorming van een

burgerlijk bouwkundig ingenieur. Een grondige en gedetailleerde studie van het mechanische

gedrag van constructieve componenten en van hun integratie in bouwwerken is een

noodzakelijke precursor om de ordening in het bouwtechnisch denken van de creatieve

ontwerper ten volle te begrijpen en om zinvolle beslissingen met betrekking tot het veel

ruimere, complexe ontwerpgebeuren te kunnen maken. Precies daarom wordt het

constructieve gedrag van een aantal belangrijke draagsystemen onder een gegeven belasting

afzonderlijk besproken, zelfs al evolueert het eigenlijke ontwerpproces niet in deze sequentie.

Accenten worden geplaatst op berekeningsmethoden waarmee men de responsie van de

constructie verklaart, op belastingen, op constructieve componenten en hun interagerende rol.

Om de doelstellingen concreet gestalte te geven worden de volgende onderwerpen

behandeld:

In “Draagsystemen en belastingen” wordt een bouwwerk bestudeerd als een

constructie die de belastingen kanaliseert naar de grond. Daartoe zijn draagsystemen nodig die

bij wijze van algemene introductie kort worden beschreven. Tijdens de levensduur van het

bouwwerk zijn de belastingen, waarmee de bouwkundige ingenieur bij het ontwerp rekening

moet houden, van velerlei aard. Een classificatie van die inwerkingen wordt aangereikt om de

student in een vroeg stadium daarmee vertrouwd te maken.

Een bouwkundige constructie moet veilig, standzeker, bruikbaar en duurzaam zijn.

Om aan die “Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden” tegemoet te komen, worden

nationale en internationale voorschriften uitgevaardigd. Op Europees vlak heeft men de

laatste decennia getracht om een harmonisch geheel van normen, de zogeheten Eurocodes, uit

te werken. De methode die daarbij gevolgd wordt is ten dele deterministisch, ten dele

probabilistisch; ze wordt semi-probabilistisch genoemd. Die berekeningsfilosofie neemt in de

praktijk een prominente rol in.

Het statische evenwicht van een bouwkundige constructie moet te allen tijde verzekerd

kunnen worden. In “Evenwicht van de vervormbare constructie” wordt aangeleerd op welke

wijze het krachtenspel van een vervormbare constructie in evenwicht kan geanalyseerd

worden. Eén van de meest fundamentele principes om het evenwicht te bestuderen is het

beginsel van de virtuele arbeid. Het is onafhankelijk van de gebruikte materialen en kan ook

toegepast worden om kleine verplaatsingen te begroten.

In “Bijzondere aspecten van de balkentheorie” worden belangrijke thema’s die voor

de ontwerper van groot praktisch nut zijn, aangesneden. Er wordt dieper ingegaan op het

bestuderen van spanningsverdelingen in lijnvormende elementen die het gevolg zijn van

scheve en samengestelde buiging, van dwarskracht en van wringing.

Op druk belaste slanke staven kunnen falen door instabiliteit. Vele vormen van instabiliteit

doen zich in de praktijk voor. Om ze te bestuderen ontwikkelt men een niet-lineaire theorie

waarbij men de evenwichtsvergelijkingen op de vervormde stand van het lichaam betrekt. In

dit hoofdstuk wordt kennis gemaakt met de meest gekende en fundamentele vorm van

instabiel gedrag.

Bij het dimensioneren van een constructie-element is het noodzakelijk om het

maximale effect van bepaalde soort in een doorsnede van een elastische constructie te

iii

begroten. “Invloedslijnen” zijn daartoe een nuttig instrument en in het gelijknamige

hoofdstuk wordt uiteengezet hoe men ze voor statisch bepaalde en hyperstatische

spanningsresultanten en voor veralgemeende verplaatsingen berekent.

Wanneer balken en kolommen met elkaar verenigd worden, ontstaan draagsystemen

die uit de dagelijkse praktijk niet weg te denken zijn. Er bestaan zeer zeker talrijke

berekeningsmethoden om het krachtenspel in raamwerken of stijlen regelwerken te

analyseren, en er zijn ongetwijfeld nog meer, op die methoden geënte softwareprogramma’s

ontwikkeld om het te becijferen. Omwille van haar eenvoud, haar vermogen tot

inzichtverwerving en omwille van het feit dat haar principes in talloze vakliteratuur en

normdocumenten doorsijpelen, kan een diepgaande studie van de “Methode van Gehler” in

dit werk niet ontbreken.

“Driehoeksvakwerken” zijn vaak gebruikte constructiesystemen. Men treft ze aan in

gebouwen, bij civieltechnische toepassingen en in de bruggenbouw. Een betrekkelijk kort

hoofdstuk zet uiteen hoe ze samengesteld worden en op welke manier ze uitwendige

belastingen opnemen.

Vaak heeft een draagsysteem de algemene vorm van een boog. Ten gevolge van de

geometrische kromming van een boog treden door de aanwezige spanningen aspecten op de

voorgrond die men bij balken niet onderkent. In het afsluitende “Bogen en boogconstructies”

worden geëigende berekeningsmethoden behandeld om het constructieve gedrag van

boogtypen te begrijpen.

In het Engels taalgebruik betitelt men het vakgebied dat het voorwerp van deze

syllabus is als “Structural Analysis”. Ik weet dat de Nederlandse naamgeving “Berekening van Bouwkundige Constructies” subtieler, veelzeggender en beter is, maar ik besef ook dat

anderen, misschien deels uit onwetendheid, die mening niet delen. Het zij zo.

Er zijn onnoemlijk vele, goede boekwerken over “Structural Analysis”, maar ik wens

doelbewust er geen aantal van op te sommen. Ik beperk me tot de expliciete vermelding van

één enkel: “Berekening van Constructies – Bouwkunde en Civiele Techniek”, een drieledig

werk van de hand van mijn leermeester, em. Prof. ir. D. Vandepitte, dat in 1979 door de

Wetenschappelijke boekhandel, E Story-Scientia (Gent – Antwerpen – Brussel – Leuven)

uitgegeven werd. Er is bij mijn weten geen enkel verzamelwerk in dit genre dat zo volledig en

terzelfder tijd zo diepgaand en ontdaan van elke vorm van lichtvoetigheid ons vakgebied

bestrijkt. Ik ben hem veel dank verschuldigd.

Deze syllabus is de derde uitgave in het vernieuwde curriculum van de toekomstige

collega’s. Alhoewel hij met veel zorg werd samengesteld, ben ik mij ervan bewust dat

hardnekkige tik- en taalfoutjes mogelijk de tekst ontsieren, en wens ik hierbij de studenten

alvast te bedanken voor het signaleren van gebeurlijke “vliegenspatten”.

Rudy Van Impe

oktober 2010

Sleutelwoorden: constructieberekeningen, evenwicht, belastingen, grenstoestanden, Eurocodes, sterkte, stijfheid,

buiging, wringing, dwarskracht, balken, raamwerken, driehoeksvakwerken, bogen, boogconstructies.

1 Draagsystemen en Belastingen

1 Inleiding ……………………………………………………………………….. …. 1.1

2 Draagsystemen: elementen, entiteiten, aggregaten en hiërarchieën ……………….. 1.2

2.1 Primaire classificatie ………………………………………………………………. 1.2

2.1.1 Volgens de geometrie ..…………………………………………………………….. 1.2

2.1.2 Volgens de stijfheid ……………………………………………………………….. 1.4

2.1.3 Volgens het krachtentransfer ……………………………………………………… 1.4

2.1.4 Volgens de gebruikte materialen ………………………………………………….. 1.5

2.2 Primaire constructieve elementen …………………………………………………. 1.5

2.2.1 Balken en kolommen ……………………………………………………………… 1.5

2.2.2 Raamwerken ……………………………………………………………………… 1.5

2.2.3 Vakwerken…………………………………………………………………………. 1.6

2.2.4 Bogen………………………………………………………………………………. 1.6

2.2.5 Kabels……………………………………………………………………………… 1.7

2.2.6 Wanden, platen en schijven ……………………………………………………… 1.7

2.2.7 Ruimtelijke draagsystemen ………………………………………………………... 1.8

2.3 Primaire constructieve entiteiten en aggregaties ………………………………….. 1.8

3 Belastingen ……………………………………………………………………….. 1.10

3.1 Algemeen ………………………………………………………………………… 1.10

3.2 Statische belastingen …………………………………………………………….. 1.11

3.3 Dynamische belastingen ………………………………………………………… 1.14

3.4 Belastingen door imperfecties ……………………………………………………. 1.15

4 De studie van het krachtenspel…………………………………………………… 1.16

4.1 Algemene gedachtegang ………………………………………………………… 1.16

4.2 Modelleren van de constructie …………………………………………………… 1.17

4.3 Lastendaling ……………………………………………………………………… 1.19

2 Algemene Sterkte- en Stijfheidsvoorwaarden

1 Inleiding …………………………………………………………………………… 2.2

2 Doelstelling van de structurele Eurocodes ………………………………………… 2.2

Inhoud

Inhoud 0.2

Berekening van Bouwkundige Constructies I

3 Methode van de grenstoestanden ………………………………………………….. 2.4

3.1 Grenstoestanden …………………………………………………………………… 2.4

3.1.1 Uiterste grenstoestanden ………………………………………………………… 2.4

3.1.2 Grenstoestanden met betrekking tot de bruikbaarheid (functionaliteit, comfort,

uitzicht) of tot de duurzaamheid (Gebruikgrenstoestanden (GGT)) ……………… 2.6

3.2 Oorzaken van onzekerheid ………………………………………………………… 2.7

3.2.1 Blijvende, variabele en accidentele belastingen …………………………………….. 2.8

3.3 Wijze van rekening houden met de onzekerheden ………………………………… 2.9

3.4 Basisvoorwaarde …………………………………………………………………. 2.12

3.5 Belastingscombinaties …………………………………………………………… 2.13

3.5.1 Bezwijktoestanden ………………………………………………………………… 2.13

3.5.2 Gebruikgrenstoestanden met betrekking tot bruikbaarheid of duurzaamheid……. 2.15

3.5.3 Getalwaarden 0 , 1 , 2 ……………………………………………………….. 2.15

3.6 Sterktecoëfficiënt M …………………………………………………………….. 2.17

4 Methode van de toelaatbare spanningen …………………………………………. 2.17

5 Belasting door raamwerkimperfecties……………………………………………. 2.18

5.1 Raamwerkimperfecties…………………………………………………………… 2.18

5.2 Methode van de fictieve, horizontale krachten ………………………………….. 2.19

6 Eisen betreffende de stijfheid …………………………………………………….. 2.20

6.1 Algemeen ………………………………………………………………………… 2.20

6.2 Gebouwen ………………………………………………………………………... 2.21

6.1.1 Horizontale uitbuiging: h ………………………………………………………. 2.21

6.1.2 Verticale doorbuiging: v ……………………………………………………… 2.21

6.2.3 Trillingshinder …………………………………………………………………… 2.23

3 Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar on-derdelen

1 De studie van het krachtenspel in een constructie ………………………………… 3.2

1.1 Beschikbare betrekkingen …………………………………………………………. 3.2

1.2 Het standpunt van de waarnemer ………………………………………………….. 3.2

1.2.1 Algemene kanttekeningen …………………………………………………………. 3.2

1.2.2 De keuze van het assenkruis ………………………………………………………. 3.2

2 Mechanische spanningen, rekken en constitutieve betrekkingen …………………. 3.2

3 Spanningsresultanten bij balken: het driedimensionale geval …………………….. 3.6

4 Vlakke stavenconstructies …………………………………………………………. 3.7

5 Geometrisch niet-lineair gedrag ………………………………………………….. 3.10

6 Het beginsel van de virtuele arbeid ………………………………………………. 3.11

6.1 Formulering ………………………………………………………………………. 3.11

6.1.1 In de rationale mechanica bewijst men de volgende stelling …………………….. 3.11

6.1.2 Indien het stelsel van stoffelijke punten uit een samenstel van één of meerdere

onvervormbare of starre lichamen bestaat ……………………………………….. 3.12

6.1.3 Vervormbare media of continua …………………………………………………. 3.14

6.2 Virtuele verplaatsingen…………………………………………………………… 3.14

Inhoud 0.3


6.3 Virtuele arbeid bij virtuele rek …………………………………………………… 3.14

6.4 Virtuele arbeid bij virtuele kromming, eventueel in combinatie met virtuele rek .. 3.14

6.5 Virtuele arbeid bij een willekeurige virtuele vervorming,

per eenheid van volume ………………………………………………………….. 3.16

6.6 Analytische schrijfwijze van het beginsel ………………………………………... 3.16

6.7 Opmerkingen ……………………………………………………………………... 3.16

7 Berekening van verplaatsingen met behulp van het beginsel van de

virtuele arbeid ……………………………………………………………………. 3.16

7.1 Algemene werkwijze: bepaling van een lineaire verplaatsing …………………… 3.17

7.2 Bepaling van een hoekverdraaiing ……………………………………………….. 3.19

7.3 Verplaatsing ten opzichte van een vezel van het vervormde lichaam …………… 3.20

7.4 Wenteling ten opzichte van een vezel van het vervormde lichaam ……………… 3.21

7.5 Opmerkingen …………………………………………………………………….. 3.22

8 Elastische stavenstelsels met kleine rekken en verplaatsingen …………………... 3.22

8.1 De integralen en analogieën van Mohr: verplaatsing en hoekverdraaiing

ten opzichte van een koorde in een al dan niet prismatische ligger

op twee of meerdere steunpunten ………………………………………………… 3.22

8.1.1 Doorbuiging ten opzichte van een koorde van de elastische lijn ………………… 3.22

8.1.2 Hoekverdraaiing ten opzichte van een koorde …………………………………… 3.24

8.2 De stellingen van Greene: elastische draaiing en verplaatsing van een doorsnede

ten opzichte van een raaklijn aan de elastische lijn in een andere doorsnede ……. 3.26

8.2.1 Elastische draaiing van een doorsnede ten opzichte van een andere doorsnede …. 3.26

8.2.2 Elastische verticale verplaatsing van een doorsnede ten opzichte van de raaklijn

aan de elastica in een andere doorsnede ………………………………………….. 3.27

8.3 Berekening van de integralen ……………………………………………………. 3.29

8.4 Toepassingsvoorbeeld ……………………………………………………………. 3.29

8.5 Effect van een gelijkmatige temperatuursstijging ………………………………... 3.31

8.6 Effect van een temperatuursgradiënt …………………………………………….. 3.33

8.7 Effect van een kunstmatige staafverlenging of verkorting ………………………. 3.34

8.8 Hoekverdraaiing in een liggerscharnier ………………………………………….. 3.35

9 De stellingen van Betti en Maxwell ……………………………………………… 3.39

9.1 De wederkerigheidsstelling van Betti ……………………………………………. 3.39

9.2 De reciprociteitsstelling van Maxwell……………………………………………. 3.40

4 Bijzondere aspecten van de balkentheorie

1 Belangrijke kenmerken van vlakke balkdoorsneden ………………………………. 4.2

1.1 Algemeen ………………………………………………………………………….. 4.2

1.2 Zwaartepunt ……………………………………………………………………….. 4.3

1.3 Statisch moment …………………………………………………………………… 4.3

1.4 Traagheidsmoment en traagheidsproduct ………………………………………… 4.3

1.4.1 Definitie …………………………………………………………………………… 4.3

1.4.2 De stelling van Steiner …………………………………………………………… 4.3

1.4.3 Hoofdrichtingen …………………………………………………………………… 4.4

Inhoud 0.4


1.4.4 Doorsnedekenmerken van basisvormen …………………………………………… 4.5

1.5 Toepassingen ……………………………………………………………………… 4.6

1.5.1 Gedrongen doorsnede……………………………………………………………… 4.6

1.5.2 Dunwandig Z-profiel ……………………………………………………………… 4.7

2 Enkelvoudige buiging ……………………………………………………………... 4.8

2.1 Klassieke hypothesen ……………………………………………………………… 4.8

2.2 Gevolgen van de klassieke hypothesen …………………………………………… 4.8

2.3 Opmerking………………………………………………………………………... 4.10

3 Superpositiebeginsel……………………………………………………………… 4.10

4 Effecten van buigende momenten en normaalkracht ……………………………. 4.10

4.1 Scheve buiging of dubbele buiging ………………………………………………. 4.10

4.1.1 We onderstellen voorshands dat de balk uitsluitend aan overdwarse krachten ….. 4.10

4.1.2 Zijn y en z de hoofdtraagheidsassen …………………………………………….. 4.11

4.1.3 Belangrijke opmerking …………………………………………………………… 4.12

4.1.4 En wat met de verplaatsingen?…………………………………………………… 4.13

4.1.5 Bijzonder geval: gedwongen buiging in een vooropgegeven vlak ………………. 4.13

4.1.6 Toepassing ……………………………………………………………………….. 4.14

4.2 Langskracht gecombineerd met buiging …………………………………………. 4.15

4.2.1 Indien de doorsnede terzelfder tijd aan een normaalkracht N onderworpen is …... 4.15

4.2.2 Centrale kern van een dwarsdoorsnede …………………………………………... 4.16

5 Effecten van dwarskracht ………………………………………………………… 4.18

5.1 Formule van Jourawski …………………………………………………………... 4.18

5.1.1 Schuifspanningsverdeling ………………………………………………………... 4.18

5.1.2 Vormfactor van de dwarsdoorsnede……………………………………………… 4.20

5.2 Doorbuiging door dwarskrachten ………………………………………………… 4.21

5.3 Schuifspanningen in dunwandige profielen ……………………………………… 4.24

5.3.1 Een dunwandig profiel wordt door coplanaire krachten belast ………………….. 4.24

5.3.2 Schuifstroom en schuifspanningen in een enkelvoudig samenhangend,

dunwandig profiel ………………………………………………………………... 4.24

5.3.2.1 Toepassingen ……………………………………………………………………... 4.25

5.3.3 Schuifstroom en schuifspanningen bij scheve buiging met

vooropgegeven buigingsvlak……………………………………………………... 4.27

5.3.4 Schuifspanningen in meervoudig samenhangende, dunwandige profielen………. 4.29

5.4 Dwarskrachtenmiddelpunt of dwarskrachtencentrum …………………………… 4.31

5.5 Slotsom …………………………………………………………………………... 4.34

6 Zuivere wringing volgens de theorie van de Saint-Venant ………………………. 4.35

6.1 Onderstellingen …………………………………………………………………... 4.36

6.2 Vervormingen en spanningen ……………………………………………………. 4.37

6.3 Eigenschappen van de spanningsfunctie …………………………………………. 4.38

6.4 De stelling van Prandtl …………………………………………………………… 4.39

6.5 Wringend moment ………………………………………………………………. 4.39

6.6 Oplossing van wringproblemen in het elastisch stadium ………………………... 4.40

6.7 Staven met gedrongen doorsnede………………………………………………… 4.41

6.7.1 Massieve ronde doorsnede draaiend om een as door haar zwaartepunt ………… 4.42

Inhoud 0.5


6.7.2 Dikwandige buis …………………………………………………………………. 4.43

6.7.3 Staaf met langwerpige rechthoekige doorsnede ………………………………….. 4.43

6.7.3.1 Nauwkeurige formules …………………………………………………………… 4.43

6.7.3.2 Intuïtieve oplossing voor zeer langwerpige, rechthoekige doorsneden…………... 4.48

6.8 Dunwandige, enkelvoudig samenhangende profielen ……………………………. 4.49

6.8.1 Veelhoekige of gebogen plaat met constante dikte ………………………………. 4.49

6.8.1.1 Spanningsfunctie, torsiestijfheid, spanningen, weerstandsmoment ……………… 4.50

6.8.1.2 Welvingsfunctie ………………………………………………………………….. 4.50

6.8.2 Gewalste open profielen …………………………………………………………. 4.52

6.8.2.1 -oppervlak, torsiestijfheid, spanningen………………………………………….. 4.52

6.8.2.2 Welving van de staafdoorsneden………………………………………………..... 4.54

6.9 Dunwandige, meervoudig samenhangende profielen…………………………….. 4.55

6.9.1 Tweevoudig samenhangende doorsnede …………………………………………. 4.55

6.9.2 Meer dan tweevoudig samenhangende doorsnede ……………………………….. 4.57

6.10 Slotopmerkingen ………………………………………………………………… 4.58

Bijlage A: Enkelvoudige buiging ………………………………………………………….. 4.59

5 Elastische stabiliteit van drukstaven: Eulerknik 1 Probleemstelling ………………………………………………………………….. 5.2

2 Differentiaalvergelijking en randvoorwaarden …………………………………... 5.2

3 Klassieke randvoorwaarden ……………………………………………………… 5.4

4 Andere randvoorwaarden ………………………………………………………… 5.6

5 De begrippen kniklengte en elastische knikspanning …………………………… 5.7

6 Rekenvoorbeeld ………………………………………………………………….. 5.8

6 Invloedslijnen

1 Definitie …………………………………………………………………………… 6.2

2 Nut van invloedslijnen …………………………………………………………….. 6.3

3 Dimensies en eenheden ……………………………………………………………. 6.4

4 Eigenspanningen en opstelfouten ………………………………………………….. 6.4

5 Het begrip doorsnijding……………………………………………………………. 6.7

5.1 Definitie …………………………………………………………………………… 6.7

5.2 Implicatie met betrekking tot de graad van statische bepaaldheid ………………… 6.8

6 Invloedslijnen van statisch bepaalde spanningsresultanten ……………………….. 6.9

6.1 Werkwijze: oplegreactie, normaal- en dwarskracht, buigend moment ……………. 6.9

6.2 Kinematische beweging in de doorsnijding: v11 ………………………………… 6.11

6.3 Invloedslijnen voor statisch bepaalde spanningsresultanten zijn altijd

samenstellen van rechte lijnstukken ……………………………………………… 6.12

6.4 Eigenschappen van de bewegingspolen ………………………………………….. 6.14

6.5 Schalen voor invloedslijnen ……………………………………………………… 6.14

6.6 Toepassingsvoorbeelden …………………………………………………………. 6.16

6.6.1 Eenvoudig opgelegde ligger ……………………………………………………… 6.16

6.6.2 Parabolische driescharnierboog ………………………………………………….. 6.17

Inhoud 0.6


7 Invloedslijnen van elastische verplaatsingen …………………………………….. 6.23

7.1 Theorie …………………………………………………………………………… 6.23

7.2 Toepassingsvoorbeelden …………………………………………………………. 6.24

7.2.1 Neerwaartse verplaatsing van het midden van een isostatische ligger …………… 6.24

7.2.2 Hoekverdraaiing van de doorsnede A ……………………………………………. 6.25

8 Invloedslijnen van statisch onbepaalde spanningsresultanten …………………… 6.26

8.1 Rechtstreekse berekening ………………………………………………………… 6.27

8.1.1 Methode ………………………………………………………………………….. 6.28

8.1.2 Toepassing: tweezijdig ingeklemde, prismatische ligger ………………………… 6.29

8.2 Tweede werkwijze: totstandbrenging van een verplaatsing in de onvolledige

doorsnijding ……………………………………………………………………… 6.28

8.2.1 Methode ………………………………………………………………………….. 6.28

8.2.2 Discontinuïteit in de onvolledige doorsnijding ………………………………….. 6.30

8.2.3 Rekenvoorbeelden ……………………………………………………………….. 6.32

8.2.3.1 Doorgaande ligger ………………………………………………………………... 6.33

8.2.3.2 Portaal ……………………………………………………………………………. 6.33

8.2.3.3 Getuide kraagligger ……………………………………………………………… 6.35

9 Begroten van rekenwaarden - een toepassing ……………………………………. 6.36

7 Methode van Gehler voor Stijl- en Regelwerken

1 Inleiding …………………………………………………………………………… 7.2

2 Stijl- en regelwerken (raamwerken) ……………………………………………….. 7.2

2.1 Verband tussen de knoopmomenten en de knoop- en koorderotaties ……………... 7.2

2.2 Draaiingsevenwicht van een knoop ……………………………………………….. 7.5

2.3 Horizontaal evenwicht van een deel van het stijlen regelwerk …………………... 7.6

2.4 Gang van de bewerkingen: bepaling van buigende momenten- en

dwarskrachtenlijnen ……………………………………………………………….. 7.8

2.5 Inklemmings- of vasthoudkoppels ……………………………………………….. 7.10

2.6 Bijzondere gevallen………………………………………………………………. 7.10

2.6.1 De ondereinden van de kolommen liggen niet alle op hetzelfde peil ……………. 7.10

2.6.2 Een staaf is scharnierend verbonden met de buitenwereld of

met de rest van het raam …………………………………………………………. 7.11

2.6.3 Verende inklemming van een kolom …………………………………………….. 7.11

2.6.4 Raamwerk met niet gefundeerde stijlen …………………………………………. 7.12

2.6.5 De zijdelingse verschuiving van een spantregel wordt verhinderd ………………. 7.13

2.7 Toepassingsvoorbeeld: ingeklemd, eenbeukig raam ……………………………... 7.14

2.7.1 Gelijkmatige belasting van de ligger……………………………………………... 7.14

2.7.2 Horizontale kracht ter hoogte van de spantregel …………………………………. 7.16

2.8 Kanttekeningen betreffende de symmetrie ……………………………………….. 7.17

2.8.1 Symmetrische spanten …………………………………………………………… 7.17

3 Berekening van de normaalkrachten …………………………………………….. 7.18

3.1 Algemene werkwijze……………………………………………………………... 7.18

3.2 Toepassing………………………………………………………………………... 7.21

4 Rekenvoorbeeld…………………………………………………………………... 7.21

5 Verfijning van de methode ……………………………………………………….. 7.23

Inhoud 0.7


5.1 Invloed van de afmetingen van de knopen ……………………………………… 7.23

5.2 Invloed van de dwarskrachtvervorming ………………………………………….. 7.26

5.3 Invloed van de verwaarloosde vervormingen op de krachtenverdeling ………….. 7.28

5.4 Samenstel van niet-prismatische staven ………………………………………….. 7.29

5.4.1 Constitutieve betrekkingen ………………………………………………………. 7.29

5.4.2 Inklemmingsmomenten …………………………………………………………... 7.30

6 Systemen met schuine staven …………………………………………………….. 7.30

6.1 Algemene werkwijze……………………………………………………………... 7.30

6.2 Rekenvoorbeeld ………………………………………………………………….. 7.33

6.3 Andere toepassing: portaalbrug ………………………………………………….. 7.35

7 Stelsels met bekende knoopverplaatsingen ………………………………………. 7.36

8 Liggers op verende steunpunten ………………………………………………….. 7.36

8 Driehoeksvakwerken

1 Samenstelling en werking ………………………………………………………… 8.2

1.1 Samenstelling ……………………………………………………………………… 8.2

1.2 Grootte van de secundaire spanningen …………………………………………….. 8.4

1.3 Belang van de secundaire spanningen ……………………………………………... 8.6

1.4 Voorzorgen ter beperking van de buigspanningen ………………………………… 8.7

2 Krachtenverdeling in driehoeksvakwerken ……………………………………….. 8.9

2.1 Statisch bepaalde vakwerken ……………………………………………………… 8.9

2.1.1 Voorwaarden voor statische bepaaldheid………………………………………….. 8.9

2.1.2 Evenwicht van knopen …………………………………………………………… 8.10

2.1.3 Snedenmethode van Ritter ……………………………………………………….. 8.11

2.1.4 Met behulp van invloedslijnen …………………………………………………… 8.12

2.1.4.1 Neuville- of warrenligger ………………………………………………………. 8.12

2.1.4.2 Vakwerkboog met drie scharnieren ……………………………………………… 8.14

2.1.5 Benaderingsmethode voor ontwerpdoeleinden …………………………………... 8.17

2.2 Vakwerktypen ……………………………………………………………………. 8.18

2.2.1 Inleiding…………………………………………………………………………... 8.18

2.2.2 Monié- of Pratt- of N-ligger ……………………………………………………… 8.18

2.2.3 Howeligger ………………………………………………………………………. 8.19

2.2.4 Amerikaanse ligger ……………………………………………………………… 8.19

2.2.5 Neuville of warrenligger ………………………………………………………... 8.19

2.2.6 K-ligger …………………………………………………………………………... 8.20

2.2.7 Ligger met veranderlijke hoogte …………………………………………………. 8.20

2.2.8 Scharnierligger …………………………………………………………………… 8.21

2.2.9 Andreaskruisligger ……………………………………………………………….. 8.22

2.2.10 Ruitligger ………………………………………………………………………… 8.25

2.3 Over meerdere velden doorgaande vakwerkliggers ……………………………… 8.25

2.3.1 Staafkrachten veroorzaakt door een belasting……………………………………. 8.25

2.3.2 Ongelijkmatige zetting van de steunpunten ……………………………………... 8.27

2.3.3 Rekenvoorbeeld…………………………………………………………………... 8.28

3 Verplaatsingen van de knopen …………………………………………………… 8.30

Inhoud 0.8


3.1 Verplaatsing van één knoop van een statisch bepaald of onbepaald

driehoeksvakwerk ………………………………………………………………... 8.30

3.2 Verplaatsing van alle knopen …………………………………………………….. 8.30

3.3 Rekenvoorbeeld: zakking van knoop G van het in §2.1.1. behandelde vakwerk ... 8.32

9 Bogen en Boogconstructies

1 Volwandige bogen ………………………………………………………….……... 9.2

1.1 Onderstellingen en afspraken ……………………………………………………... 9.2

1.2 Formules van Bresse ……………………………………………………………… 9.3

1.3 Relatief belang van de normaalkrachtvervorming ………………………………... 9.5

1.4 Boogwerking…………………………………………………………………….… 9.6

1.5 Druklijn ……………………………………………………………………………. 9.7

1.6 Evenwichtsbelastingen …………………………………………………………….. 9.9

1.7 Driescharnierbogen ………………………………………………………………. 9.12

1.8 Tweescharnierbogen..…………………………………………………………….. 9.15

1.8.1 Statica …………………………………………………………………………….. 9.15

1.8.2 Berekening van de spanningsresultanten ………………………………………… 9.15

1.8.3 Berekening van de verplaatsingen………………………………………………... 9.17

1.8.4 Invloedslijn van X3 onder een mobiele verticale eenheidskracht ………………... 9.17

1.8.5 Andere invloedslijnen ……………………………………………………………. 9.18

1.9 Tweescharnierboog met geboorten verbonden door trekstang…………………… 9.19

1.10 Tweescharnierboog met trekband parallel met de verbindingslijn

van de geboorten …………………………………………………………………. 9.21

1.11 Tweezijdig ingeklemde bogen …………………………………………………… 9.22

1.11.1 Spanningsresultanten……………………………………………………………... 9.22

1.11.2 Invloedslijnen van de reactiekrachten voor een parabolische boog

met verwaarlozing van de normaalkrachtvervorming en met de aanname dat

I0 = Icos = constante ............................................................................................. 9.23

1.11.3 Invloedslijn van andere snedekrachten ………………………………………… 9.25

1.12 Spanningen in bogen ……………………………………………………………... 9.25

2 Boogconstructies ………………………………………………………………… 9.28

2.1 Algemeen ………………………………………………………………………… 9.28

2.2 Samenstel boog-balk-verticalen …………………………………………………. 9.29

2.2.1 Balk geplaatst boven de boog (fig. 33) ………………………………………… 9.29

2.2.2 Verstijfde buigingsboog ………………………………………………………….. 9.30

2.2.2.1 Algemeen ………………………………………………………………………... 9.30

2.2.2.2 Benaderingsmethode ……………………………………………………………. 9.31

3 “Further reading”: boogconstructies met verscheidene overspanningen ………… 9.37

3.1 Twee bogen rustend op een verschuifbaar tussensteunpunt……………………… 9.37

4 “Further reading”: driehoeksvakwerken als boogconstructies …………………… 9.38

4.1 Algemeen ………………………………………………………………………… 9.38

4.2 Driescharnierboog ………………………………………………………………... 9.39

4.2.1 Staafkrachten ……………………………………………………………………... 9.39

Inhoud 0.9


4.2.2 Knoopverplaatsingen……………………………………………………………... 9.39

4.3 Vakwerkboog met twee scharnieren ……………………………………………... 9.40

4.3.1 Staafkrachten teweeggebracht door een gegeven belasting (fig. 49)……………... 9.40

4.3.2 Staafkrachten teweeggebracht door een temperatuurstijging T ………………… 9.41

4.4 “Tweezijdig ingeklemde” vakwerkboog …………………………………………. 9.42

1

Draagsystemen en

belastingen

Draagsystemen en belastingen 1.2


1 Inleiding

Een bouwkundige constructie of bouwwerk kanaliseert als een fysische entiteit de erop

inwerkende belastingen - die resulteren uit het gebruik en de functie van het bouwwerk en,

vanzelfsprekend, tevens uit zijn aanwezigheid in en interactie met één of andere omgeving -

op een veilige manier naar de grond. Ze kan opgevat worden als een weldoordachte

organisatie van draagsystemen in de ruimte, waarbij de goede werking van het geheel van

fundamenteler belang is dan de interrelatie tussen haar componenten.

Er bestaan talrijke manieren om draagkrachtige elementen in de ruimte te positioneren

ten einde de belastingen op te nemen en er zijn talrijke interacties tussen de samenstellende

componenten mogelijk. Een balk kan bij voorbeeld eenvoudig opgelegd zijn op een kolom of

kan er stijf mee verbonden zijn1, met radicaal verschillende constructieve responsies als

gevolg. Hierna wordt een summier overzicht van draagsystemen gegeven.

2 Draagsystemen: elementen, entiteiten, aggregaten en hiërarchieën

2.1 Primaire classificatie

Deze sectie introduceert een methode om draagkrachtige elementen en systemen te

classificeren. Ze is gebaseerd op de vorm en op de stijfheidskenmerken van de constructie.

Vermits een dergelijk classificatieschema impliceert dat complexe constructies louter het

resultaat zouden zijn van additieve aggregaties van bouwcomponenten, is het inherent

simplistisch. Om over een bouwwerk te kunnen spreken is het immers betekenisvol dat de

relatie tussen de componenten onderling aan de constructie een krachtendragend attribuut

verleent. We menen nochtans dat de eenvoudige classificatie nuttig is en laten ons bij de

bespreking ervan leiden door het in figuur 1 afgebeelde schema.

2.1.1 Volgens de geometrie

Constructieve systemen kunnen ontstaan door lijnvormende en oppervlaktevormende

componenten.

Bij lijnvormende elementen (bijvoorbeeld een balk of een kolom) is één van de afmetingen

(de lengte) veel groter dan de overige twee (de overdwarse afmetingen van de doorsnede); bij

oppervlaktevormende elementen (bijvoorbeeld een plaat of een wand) zijn twee afmetingen,

de lengte en de breedte, vele malen groter dan de derde, de dikte.

Lijnvormende elementen kunnen verder onderscheiden worden naar gelang ze rechtlijnig of

gekromd zijn. Oppervlaktevormende elementen zijn ofwel planair ofwel ruimtelijk gekromd;

in het laatste geval spreekt men verder van enkelvoudig of dubbel gekromde, synclastische of

anticlastische oppervlakken.

1 In het eerste geval kunnen enkel verticale en mogelijks ook horizontale krachten van balkeind naar kolomkop

overgedragen worden; in het laatste geval zullen bovendien krachtenkoppels getransfereerd kunnen worden.



Figuur 1



2.1.2 Volgens de stijfheid

Een tweede fundamentele classificatie is geënt op de stijfheidskenmerken van de

constructieve elementen. Men spreekt van stijve of rigide en van soepele of flexibele

elementen. Tenzij hij onvoldoende gedimensioneerd is, zal een balk bijvoorbeeld geen met het

blote oog waarneembare vervormingen ondergaan wanneer men hem aan belastingen

onderwerpt; een balk is dientengevolge stijf (fig.2). Kabels daarentegen zijn vormaktief, dat

wil zeggen dat hun vorm drastisch wijzigt wanneer men ze belast. Vandaar dat kabels vaak

strak voorgespannen worden.

Figuur 2

2.1.3 Volgens het krachtentransfer

Een manier om onderscheid te maken tussen constructies is volgens de ruimtelijke

organisatie van het oplegsysteem en de relatie van de constructie tot de beschikbare

oplegpunten (fig. 3). Balken dragen de belastingen in één richting (de lengterichting van de

balk) naar de ondersteunende elementen (de kolommen of de wanden); platen kunnen

belastingen in één of twee richtingen dragen, afhankelijk van de ondersteuningsvoorwaarden.

Een vierkante plaat die langs twee tegenover elkaar staande zijden opgelegd is, draagt in één

enkele richting; wordt ze daarentegen langs de vier zijden opgelegd, dan geschiedt het

krachtentransfer in twee richtingen.

Figuur 3: in één of twee richtingen dragende elementen

Men moet evenwel voorzichtig zijn bij het maken van uitspraken omtrent een dergelijke

classificatie. Veel hangt immers ook af van de geometrie van het constructie-element: een

rechthoekige plaat waarvan de lengte ten minste tweemaal groter is dan de breedte en die



langs de volledige omtrek opgelegd is, zal een gelijkmatig verdeelde oppervlaktebelasting

toch in één richting naar de ondersteuning leiden, namelijk in de breedterichting2.

2.1.4 Volgens de gebruikte materialen

Een zeer voor de hand liggende classificatie van constructies ontstaat eenvoudigweg

door te verwijzen naar de materialen waarvan de constructie of het draagsysteem vervaardigd

is: hout, aluminium, staal, gewapend en voorgespannen beton, kunststof, composieten...

In onderhavige cursus zullen enkel algemeen geldende principes naar voor gebracht worden

zoals evenwicht, sterkte- en stijfheidseisen en standzekerheid van constructies, waardoor de

traditioneel harde begrenzingen van gewapend en voorgespannen betonconstructies, houten

constructies en staalconstructies vervagen.

2.2 Primaire constructieve elementen

2.2.1 Balken en kolommen

Draagsystemen die gevormd worden door horizontale, stijve elementen (balken) te

laten rusten bovenop verticale, rigide elementen (kolommen), komen vaak voor. De balken

ontvangen de langs hun lengte overdwars aangrijpende, verticale krachten en leiden ze naar de

ondersteunende verticale kolommen of pijlers. De kolommen, axiaal belast door de balken,

transfereren de krachten verder naar de fundering en de grond.

Vermits de balken zich lichtjes krommen onder de overdwarse belastingen, dragen ze de

krachten door buiging. Op de draagwerking van balken wordt verder ingegaan in het

hoofdstuk: "Bijzondere aspecten van de balkentheorie". Indien de

balken isostatisch op de kolomkoppen opgelegd zijn, en de

kolommen zelf niet onderworpen worden aan overdwarse

krachten tussen hun uiteinden, zijn de kolommen uitsluitend aan

axiale (druk)krachten onderhevig en niet aan buiging, wat hun

ontwerp vergemakkelijkt.

2.2.2 Raamwerken

Een raamwerk ontstaat door de samenvoeging van

balken en kolommen (fig. 4). De knopen, i.e. de stoffelijke

ontmoetingen tussen balk en kolom kunnen soepel, stijf of

halfstijf3 uitgevoerd worden. In de twee laatste gevallen kunnen

krachtenkoppels tussen beide constructie-elementen

getransfereerd worden, en zullen laatstgenoemde zowel door

2 Om dit ten volle te begrijpen moet de lezer zich verdiepen in de plaattheorie. Een in die materie introducerend

werk is dat van S. Timoshenko en S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells - International Student

Edition, McGraw-Hill, New York, 1959. 3 E: rigid or semi-rigid

Figuur 4: raamwerk



buiging als door axiale krachten belast worden. Maar er is nog een ander, een subtieler

verschil. De stijve knoopverbindingen zorgen ervoor dat het raamwerk, afgebeeld in figuur 5b,

niet plotsklaps zijdelings onstabiel wordt of schrankt wanneer het aan laterale krachten

onderhevig is, terwijl door het gemis van deze laterale stijfheid het systeem in figuur 5a

ontaardt in een mechanisme.

2.2.3 Vakwerken

Vakwerken zijn draagsystemen die gemaakt

worden door korte, rechte leden te verenigen in

triangulaire patronen (fig. 6). Het resulterende

systeem is doorgaans stijf als resultaat van de exacte

schikking van de individuele lijnvormige elementen

ten opzichte van elkaar.

2.2.4 Bogen

Een boog is een gekromd, lijnvormend

element dat de afstand tussen twee punten overspant

(fig. 7). De geometrie van funiculaire bogen is zo

geconcipieerd dat ze alleen onderhevig zijn aan

normaalkrachten, niet aan buigende momenten en

dwarskrachten, waardoor ze - weliswaar voor niet te

kleine overspanningen - zuiniger zijn dan balken die

een zelfde belasting moeten torsen. Er bestaan vele

Figuur 6: kolommen en liggers in

vakwerkvorm

Fig. 5a: raamwerk met soepele knopen verwordt tot een mechanisme

Valt omver

Fig. 5b: raamwerk met stijve knopen ondergaat kleine vervormingen

maar wordt niet instabiel, i.e. schrankt niet.



boogtypen die vaak gekarakteriseerd worden door de oplegvoorwaarden: tweezijdig

ingeklemde bogen, twee- of driescharnierbogen...

Figuur 7: boogbrug voor de HST te Antoing

2.2.5 Kabels

Kabels zijn flexibele elementen.

De vorm die ze onder een gegeven

belasting aannemen, hangt af van de aard

en de grootte van de belasting (fig. 2). Als

een kabel eenvoudig aan één van zijn

uiteinden getrokken wordt, neemt hij de

vorm van een rechte lijn aan die

samenvalt met de werklijn van de kracht.

Men spreekt in dat geval van een tui of

een trekkabel4.

Een kabel die tussen twee vaste punten

gespannen is, zal onder de inwerking van

zijn eigen gewicht de vorm van een kettinglijn aannemen. Toepassingen van kabels in de

bouwkunde en de civiele techniek zijn legio. Figuur 8 toont de bevestiging van de hangkabels

aan de boog bij de brug te Antoing.

2.2.6 Wanden, platen en schijven

Deze elementen behoren tot de rigide, oppervlaktevormende draagsystemen. Bij

massiefbouw rusten de horizontale, aan buiging onderworpen platen op massieve, verticale

muren of wanden.

Gewoonlijk heeft een wand een grote sterkte en stijfheid tegenover krachten die in zijn vlak

werkzaam zijn, maar is die sterkte en stijfheid heel wat geringer tegenover haaks op zijn vlak

inwerkende krachten. Vandaar dat men wanden op elkaar zal afstempelen, waardoor

4 E: guy or tie-rod

Figuur 8



horizontale krachten gemakkelijk opgenomen kunnen worden. De diafragma- of schijfwerking

van de vloerplaat speelt daarbij een prominente rol.

2.2.7 Ruimtelijke draagsystemen

Talrijke interessante constructiesystemen - zoals ruimtelijke vak- en raamwerken5,

schalen6 en schaalconstructies (cilinderschalen, bolkappen, koepels), kabelnetwerken

7,

flexibele membraanstructuren8 en tensegrities... - ontstaan wanneer de ontwerper het

klassieke, één- of tweedimensionaal denkproces verlaat en de krachtendragende functie van

het bouwwerk met een driedimensionale visie realiseert.

Vanzelfsprekend vergt zulks een uitgebreide ontwerpervaring en de ruggensteun van

gesofistikeerde berekeningsprogramma's. De geïnteresseerde lezer wordt verwezen naar het

opleidingsonderdeel "Ruimtelijke Constructies".

2.3 Primaire constructieve entiteiten en aggregaties

Terwijl veel van de basiselementen, die in voorgaande paragraaf aan bod kwamen,

inderdaad als geïsoleerde draagsystemen kunnen gebruikt worden, is het evident dat sommige

ervan gecombineerd moeten worden met andere indien het de bedoeling is om een constructie

te ontwerpen die een volume omsluit. Het is in dit opzicht dat draagsystemen van gebouwen

vaak verschillend zijn van deze die voor andere doeleinden aangewend worden zoals

bijvoorbeeld in de bruggenbouw.

Een constructieve entiteit is een discreet volumevormend element of verzameling van

constructieve elementen. Vier kolommen die een rigide, vlak oppervlak ter hoogte van de

hoeken ondersteunen, vormen een entiteit. Eenheden van dit type kunnen gestapeld en/of

naast elkaar geplaatst worden waarbij ze een verbonden reeks van volumetrische eenheden

vormen. Wanneer ze naast elkaar geplaatst worden, worden de kolommen typisch gedeeld

door naburige entiteiten. Primaire entiteiten zijn vaak een intermediaire stap tussen een reeks

van discrete elementen (e.g. balken en kolommen) en een volledig bouwcomplex. De wijze

waarop discrete elementen conceptueel geassembleerd en daarna geaggregeerd kunnen

worden, reflecteert vaak, maar niet altijd, de manier waarop bouwcomplexen in feite

geconstrueerd worden.

Voor gebruikelijke cellulaire entiteiten is het pedagogisch nuttig om een onderscheid

te maken tussen de horizontale overspanningsystemen, het verticale steunsysteem en het

lateraal steun- of verbandsysteem. De verticale ondersteuningssystemen zijn gewoonlijk

gevormd door dragende wanden of kolommen. Wanden ontvangen de belastingen langsheen

hun volle uitgestrektheid, bijvoorbeeld afkomstig van de platen die door hen gedragen

worden; kolommen ontvangen geconcentreerde krachten afkomstig van de uiteinden van de

balken die erop rusten.

5 E: space trusses and space frames

6 E: shells

7 E: cable nets

8 E: flexible membranes



Horizontaal agerende krachtwerkingen – bijvoorbeeld als gevolg van windkrachten of van

grondbevingen - moeten eveneens opgevangen kunnen worden. Om de structurele integriteit

te verzekeren plaatst men daartoe geschikte schranken/of windverbanden.

Bij systemen die in één richting dragen is vaak een hiërarchie aanwezig (fig. 9).

Bijvoorbeeld kan een dakconstructie als volgt opgevat zijn: een beplating rust op dicht bij

elkaar geplaatste kinderbalken of secundaire balken die op hun beurt ondersteund worden

door moerbalken of primaire balken (bijvoorbeeld vakwerkliggers). Krachten die op de

beplating inwerken (bijvoorbeeld sneeuwlast), worden overgedragen naar de kinderbalken die

ze doorgeven aan de moerbalken; laatstgenoemde brengen ze op hun beurt over naar het

verticaal ondersteuningssysteem.

Vanzelfsprekend zullen de belastingen en de inwendige spankrachten groter worden voor

constructieleden die tot dieper gelegen lagen van de hiërarchie behoren. Men zal zich hiervan

een idee vormen door een krachtendaling uit te voeren.

Hiërarchieën van virtueel om het even welk aantal lagen kunnen gebruikt worden,

maar een één-, twee- of drieledige opbouw is het meest gebruikelijk.

Figuur 9: constructieve hiërarchie



3 Belastingen

3.1 Algemeen

Een bouwwerk is tijdens haar levensduur onderworpen aan belastingen van allerlei

aard, waarvan de natuur en de grootte tijdens het ontwerpstadium goed gekend moeten zijn.

Men kan ze op verschillende manieren classificeren, namelijk volgens9

De natuur van de constructierespons: statische en dynamische belastingen.

Hun veranderlijkheid in de tijd: permanente (G), mobiele of veranderlijke (Q) en

accidentele belastingen (A)10

.

De spatiale verdeelbaarheid: vaste en vrije acties11

. Een vaste actie is daardoor

gekenschetst dat het maatgetal van haar grootte in ieder punt van de constructie in

functie van één enkele scalaire parameter uitgedrukt kan worden. Bij een vrije actie is

zulks niet het geval.

De herkomst: klimatologische acties, directe en onrechtstreekse belastingen,

belastingen door imperfecties of vormonvolmaaktheden.

In onderhavige cursus zullen we hoofdzakelijk aandacht besteden aan statische

belastingen; deze werken derwijze traag op de constructie in dat haar stoffelijke punten geen

noemenswaardige versnellingen ondergaan: bij statische belastingen mag men de

inertiekrachten geheel veronachtzamen. Dat is volkomen anders bij dynamische belastingen

waar de stoffelijke punten wel degelijk betekenisvolle versnellingen verkrijgen en de ermee

corresponderende traagheidskrachten in rekening moeten gebracht worden. Het schema,

geïllustreerd door figuur 10, gaat uit van een onderverdeling volgens statische en dynamische

belastingen ofschoon gelijkaardige schema's vanzelfsprekend gebouwd kunnen worden

vertrekkend van de andere classificatieschema's.

Figuur 10

9 De samensteller van onderhavige notities is zich er terdege van bewust dat een dergelijke classificatie nooit

wars van onvolmaakt- en onvolledigheden kan of zal zijn; de beschreven onderverdeling moet in die zin en met

het nodige voorbehoud gehanteerd worden 10

E: permanent, variable and acciddental loads 11

E: fixed and free actions

Statische acties

Nuttige lasten Permanente lasten Krachten door

zettingen

Bewoning Klimatologisch Eigen gewicht Vaste uitrusting thermische effecten

(sneeuw, water…) Afwerking residuele spanningen…

Dynamische acties

Oscillerend Impact

(uniform of irregulier)

Traagheidskrachten Windbelasting

(bv. aardbevingen)



3.2 Statische belastingen

Deze worden gewoonlijk verder onderverdeeld in het eigen gewicht en de nuttige

belasting12

en krachten die hun oorsprong vinden in zettingen en thermische effecten.

Alle constructiematerialen waarvan een draagsysteem vervaardigd is, bezitten een

massa en zullen in het gravitatieveld van de aarde het bouwwerk neerwaarts gerichte krachten

- het zogenaamde eigen gewicht - ondergaan. Het eigen gewicht van een constructieonderdeel

is een permanente, vaste belasting, dat wil zeggen: onveranderlijk in de tijd aanwezig en vrij

nauwkeurig gepositioneerd in de ruimte. Afwerkingslagen van vloeren, niet verplaatsbare

partities of scheidingswanden en vaste mechanische uitrusting behoren eveneens tot deze

categorie. Het eigen gewicht kan doorgaans vrij accuraat becijferd worden wanneer men de

nominale afmetingen van de constructie-elementen en de densiteit van de gebruikte materialen

kent13

. Densiteiten worden trouwens in de nationale en internationale regelgeving betreffende

de veiligheid en de bruikbaarheid van bouwwerken voorgeschreven14

15

. De soortelijke massa

is kennelijk sterk afhankelijk van het gebruikte constructiemateriaal: staal = 7850 kg/m3

,

beton = 2400 kg/m3, metselwerk = 1600 à 1800 kg/m

3.

Nuttige lasten in gebouwen resulteren bijvoorbeeld uit de aanwezigheid van de

bewoners die erin leven of werken of er gebruik van maken, van verplaatsbaar meubilair en

verplaatsbare partities, of nog van in industriële magazijnstellingen opgeslagen goederen. Ze

worden gekenmerkt door een spatiale en temporale variabiliteit en hun grootte is al evenmin

constant: het zijn veranderlijke, vrije acties. Nominale waarden van nuttige vloerlasten die

voor ontwerpdoeleinden gehanteerd worden, resulteren uit de opgedane ervaringen; ze zijn

bovendien afhankelijk van de bestemming van de bruikbare oppervlakte. Het is immers

logisch dat de nuttige lasten in archiefruimten anders zijn dan deze in woonhuizen,

vergaderlokalen, trappenhuizen en winkelgalerijen. De categorie waarin een gebouw

ondergebracht kan worden, speelt derhalve een niet onbelangrijke rol. We verwijzen de lezer

naar de Europese regelgeving ter zake14

; daar zijn ook nuttige gegevens vergaard omtrent

verkeersbelastingen in gebouwen die uiteraard functie zijn van het voertuiggewicht. De

tabellen I en II geven een idee omtrent de gebruikscategorie of bestemming van het bouwwerk

en de geassocieerde nuttige lasten.

12

E: dead loads and live loads 13

Er zijn natuurlijk altijd begrijpelijke uitzonderingen die de "accuraatheid" beknotten. Een damwand of een

diepwand van een bouwput keert een hoeveelheid grond die zijdelingse krachten op de wand uitoefent.

Genoemde krachten zijn afhankelijk van de densiteit van het discontinue medium dat het korrelvormige materiaal

in feite is. Een zelfde grondsoort kan los, matig of dicht gepakt zijn - afhankelijk van de verrichtingen op het

maaiveld of door trillingen bijvoorbeeld - waardoor de densiteit aan variaties onderhevig kan zijn. In deze

gevallen zal de ontwerper behoedzaam handelen door zowel een boven- als een benedengrens in de berekeningen

te hanteren.

De voorspanning (P) van betonnen constructies is eveneens een permanente belasting die o.a. door relaxatie van

het spanstaal een kruip van het beton door een zekere veranderlijkheid in de tijd gekenmerkt is. 14

EN 1991 - Eurocode 1: belastingen op constructies. 15

Op de structurele Eurocodes wordt nader ingegaan in hoofdstuk 2: "Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden". Ze

zijn ter consultatie in het Laboratorium voor Modelonderzoek beschikbaar op CD-rom (versie 2002).



Categorie A: gezinswoningen, residenties, trappen, balkons

Categorie B: kantoren

Categorie C: ruimten waar een menigte kan samenscholen (met uitzondering van de ruimten

die onder de categorieën A, B, D en E gedefinieerd worden)

C1: scholen, herbergen, restaurants, eetruimten, leeszalen, recepties …

C2: ruimten met vaste zitjes: kerk, theater, bioscoop, conferentiezaal, vergaderzaal,

wachtkamer …

C3: oppervlakten zonder obstakels voor een menigte in beweging (musea,

tentoonstellingszalen, en toegangszones in publieke en administratieve gebouwen en

hotels)

C4: zones waar mogelijk fysische activiteiten plaatsvinden: danslokalen, podia,

turnzalen…

C5: ruimten die overbevolkt kunnen zijn (gebouwen waar publieke happenings

georganiseerd worden zoals concert- en sporthallen met inbegrip van de terrassen,

toegangsruimten en stands).

Categorie D: winkelruimten, warenhuizen …

D1: oppervlakten in algemene kleinhandelszaken

D2: warenhuizen, kantoorarchiefruimten, magazijnen

Categorie E: oppervlakten specifiek voor goederenopslag, met inbegrip van de toegang-

ruimten.

Categorie F: verkeerszones en parkeerruimten voor lichte voertuigen

( 30 kN totaal gewicht en 8 zitjes, exclusief bestuurder).

Categorie G: verkeerszones en parkeerruimten voor zwaardere rijtuigen

(> 30 kN 160 kN totaal gewicht, op 2 assen).

Categorie H: daken die niet toegankelijk zijn tenzij voor het normale onderhoud, herstelling,

schoonmaak, verfwerk …

Categorie I: daken die voor een bezetting volgens de categorieën A - D toegankelijk zijn.

Categorie K: daken die voor bijzondere diensten (vb helikopter landing) toegankelijk zijn.

Tabel I: gebruikscategorieën (EN 1991-1-1)



ANB EN 1991-1-1 (Tabel 6.2, 6.4 & 6.10) NBN B03-103

Belaste oppervlakken qk

(kN/m²)

Qk 2)

(kN)

qk

(kN/m²)

Qk 3)

(kN)

Categorie A

algemeen

trappen

balkons

2

3

4

2

2

2

2

3

-

2

2

-

Categorie B1)

3 3 3 2

Categorie C1)

C1

C2

C3

C4

C5

3

4

5

5

5

4

4

4

7

4,5

3

4

5

5

5

2

2

2

2

2

Categorie D1)

D1

D2

5

5

4

7

5

5

2

2

Categorie E 7,5 7 5 2

Categorie F 2,5 20 2,5 10

Categorie G 5 90 5 15

Categorie H 6,7)

0,4 1,0 1-A/100 4)

2 5)

Opmerkingen: 1) De verdeelde belasting op balkons mag niet kleiner dan 4kN/m

2 zijn

2) belast oppervlak:

- Categorie A tot E: 0,05m x 0,05m

- Categorie F en G: 0,20m x 0,20m 5)

qk per horizontale oppervlakte A van het dak; niet in acht nemen voor

hellingen groter dan 60° 6)

qk hangt af van A : als A 60 m2 qk = 0,4 kN/m

2

als A < 60 m2 qk = 1 – A/100

In deze opgelegde belasting is 0,3 sk inbegrepen

3)

0,1 m x 0,1 m

4)

A = horizontale oppervlakte van

het dak

5)

1 m2

Tabel II: vergelijking van de nuttige belastingen volgens de Eurocode en de (verdwijnende)

Belgische norm

Merk op: Opdat vloeren een minimum lokale weerstand zouden hebben, wordt het nazicht

verricht met de geconcentreerde belasting Qk. Tenzij anders gespecificeerd, moet deze niet

met gelijkmatige verdeelde belastingen of andere variabele acties gecombineerd worden.



Temperatuursinvloeden zijn indirecte, veranderlijke, statische belastingen. Wanneer de

temperatuur van een balk toeneemt, verlengt hij een weinig. In de onderstelling dat de

uiteinden van de balk niet kunnen bewegen, wordt deze uitzetting met andere woorden

belemmerd en zijn de vezels van de balk aan drukspanningen onderhevig, die onbestaande

zouden zijn indien de uiteinden van de balk vrijelijk konden bewegen.

Kolommen dragen hun belastingen over

via de fundering naar het werkterrein van Hades.

Stel dat de voet van de middelste kolom van het

raamwerk met stijve knopen in figuur 11 één cm

meer zakt dan de voeting van zijn buren, dan

zullen bijkomende spankrachten in de

samenstellende onderdelen ontstaan. Dergelijke,

indirecte, differentiële zettingen zullen bijgevolg

vaak - maar niet altijd onrechtstreeks - het

krachtenspel beïnvloeden.

Klimatologische inwerkingen zijn

veranderlijke, vrije acties. Sneeuwbelasting op

daken14

hoort tot de categorie van de statische acties. De grootte is sterk afhankelijk van een

aantal factoren: hoogte boven de zeespiegel, breedtegraad, expositie of beschutting van het

dak, uitgestrektheid en inclinatie van de dakschilden, mogelijkheid van sneeuwophoping. In

onze contreien is de sneeuwbelasting matig en veel lager dan bijvoorbeeld in de noordelijker

gelegen Scandinavische landen of in de zuidelijkere alpineregios’s.

Accidentele belastingen kunnen, afhankelijk van hun herkomst, bij de statische of de

dynamische krachtwerkingen ondergebracht worden. Het eerstgenoemde geldt voor acties die

gepaard gaan met een brand. Over brandveilig ontwerpen en "Fire-safe engineering" kan veel

gezegd worden, maar dit thema valt helaas buiten het kader van de uitgave - anno 2004 - van

deze cursus.

3.3 Dynamische belastingen

Windbelasting, impact van een schip op een remming- of

geleidingswerk of een dukdalf, explosies, seismen zijn slechts

luttele voorbeelden van dynamische acties. In het

opleidingsonderdeel "Berekening van Bouwkundige Constructies II"

wordt een afzonderlijk hoofdstuk aan effecten van wind en

windhinder gewijd.

Aardbevingen zijn trillingsfenomenen die geassocieerd

zijn met schokgolven in de aardkorst. Wanneer bijvoorbeeld in

figuur 12 een star blok met massa M plotsklaps onderworpen

M F

V

a

Figuur 12

Figuur 11 : differentiële zetting



wordt aan een horizontale versnelling

a van zijn voeting, dan zal het lichaam weliswaar

ogenblikkelijk de opgelegde beweging volgen, maar tegelijkertijd ontstaat een

traagheidskracht

a.MF in tegengestelde zin. Om het evenwicht te verzekeren is ze

vergezeld van een schuifkracht

FV aan de voeting waartegen het lichaam weerstand

moet bieden. Reële constructies zijn niet star en bijgevolg is de schuifkracht niet de enige

bekommernis: de traagheidskrachten veroorzaken vervormingen en inwendige spankrachten

in de trillende constructie, die zorgvuldig bestudeerd moeten worden. Deze complexe materie

wordt ten gronde besproken in het opleidingsonderdeel "Dynamica van Constructies".

3.4 Belastingen door imperfecties

Geen enkele constructie is volmaakt: een balk is nooit perfect recht, een kolom staat

nooit perfect in het lood. Het tegendeel beweren zou impliceren dat de tuigen waarmee ze

gefabriceerd of gemonteerd werden en diegenen die de werktuigmachines ontwerpen en het

materieel bedienen alle en allen perfect zouden zijn: we zouden leven in een kommerloze,

volmaakte wereld die helaas ver weg is. Kleine, toevallige vormonvolmaaktheden, niet met

het ongewapende oog waarneembaar, zijn eigen aan het fabricage- en oprichtingsproces, en

zijn er de oorzaak van dat de constructie onderhevig is aan bijkomende belastingen met soms

verstrekkende gevolgen. Aan de laatste zinsnede zal in de loop van de colleges "Berekening van

Bouwkundige Constructies" voldoende aandacht geschonken worden. In onderstaande wordt

alvast een eenvoudig voorbeeld ter verduidelijking van het ontstaan van de bijkomende

krachtwerkingen aangereikt.

Beschouw een vrijstaande en aan zijn voeting ingeklemde kolom, die ter hoogte van de kop

aan een verticale kracht onderworpen is (fig. 13). Een volmaakt in het lood staande kolom zal

F

C = 0

Volmaakt

Rechte kolom h

C = F.

Scheve kolom

F

Figuur 13: Imperfecties



enkel een even grote reactiekracht ter plaatse van de fundering ondervinden. Wanneer de

hartlijn evenwel een kleine inclinatie vertoont, vergt het evenwicht dat terzelfder tijd een

reactiekoppel C = .h.F opgewekt wordt: de kolom is bijgevolg niet alleen onderworpen aan

axiale krachten maar ook aan buiging.

Belastingen door imperfecties vormen eigenlijk een bijzondere categorie. Ze zijn

statisch of dynamisch naar gelang de direct aangrijpende krachten statisch of dynamisch van

aard zijn. Ze kunnen zelfs door andere indirecte acties geactiveerd worden. Daarom ook

worden ze hier in een afzonderlijke rubriek vermeld.

4 De studie van het krachtenspel

4.1 Algemene gedachtengang

Het berekeningsproces omvat een aantal belangrijke stappen:

1. De omvang van de constructie die men wil bestuderen, moet eerst zorgvuldig gedefinieerd

worden. Indien het bouwwerk in meerdere elementen onderverdeeld wordt, is het

noodzakelijk om de randvoorwaarden van de elementen nauwkeurig te modelleren. In vele

gevallen is dit een eenvoudige kwestie (bijvoorbeeld bij een eenvoudig opgelegde balk

waar men aan het ene uiteinde een scharnierende ondersteuning en aan het andere een

roloplegging voorziet). In andere gevallen is de modellering moeilijker en zal het zelfs

aangewezen zijn om een uitgebreider draagsysteem te bestuderen (bijvoorbeeld een balk in

een raamwerk met stijve knoopverbindingen: men zal genoodzaakt zijn om het

krachtenspel in het raamwerk te analyseren ten einde de inwendige spanningsresultanten

van de balk te kennen).

2. De natuur en grootte van de belastingen die op de constructie inwerken, moeten bepaald

worden. Om in een vroeg stadium de krachten te kennen die op de fundering overgebracht

worden, is het nodig een zogeheten krachtendaling te verrichten. Daarbij vormt de

ontwerper zich een beeld van hoe belastingen door eigen gewicht en nuttige lasten naar de

samenstellende, draagkrachtige elementen van de constructie gevoerd worden. Tijdens dit

proces wordt het aandeel van de totale belasting dat ieder element of samenstel moet

torsen, duidelijk.

3. Na het bepalen van de krachten en het vastleggen van de randvoorwaarden, worden de

reactiekrachten, die de omgeving op het beschouwde element of samenstel uitoefenen ten

einde het evenwicht ervan te verzekeren, begroot en worden de inwendige spankrachten

(e.g. buigende momenten, dwarskrachten, normaalkrachten...) becijferd. Bij statisch

bepaalde systemen is zulks eenvoudig; bij statisch onbepaalde wat moeilijker. Een

constructie is statisch bepaald indien het mogelijk is om alle reactiekrachten en -koppels te

vinden uitsluitend en alleen door middel van de vergelijkingen van de statica; men hoeft

geen kennis te hebben van de reologie van de materialen waarvan de constructie

vervaardigd is, en evenmin spelen compatibiliteitsvoorwaarden of aansluitvoorwaarden



daarbij een rol. Om het krachtenspel in hyperstatische systemen te onderzoeken heeft men

de drie genoemde soorten betrekkingen nodig.

4. In een volgende fase wordt nagegaan of de constructie of onderdelen van de constructie

voldoende sterkte hebben om aan alle uitwendige (inclusief de reacties) en inwendige

krachten weerstand te bieden. Terzelfder tijd controleert men of de stijfheidsvoorwaarden

vervuld zijn. Het laatste impliceert bijvoorbeeld dat de berekende doorbuigingen van

balken of vloeren niet te groot mogen zijn.

Ontwerpen en berekenen zijn onvermijdelijk iteratieve bezigheden. Indien een

eenvoudig opgelegde balk een ontoereikende sterkte heeft, kan men hem forser maken,

waardoor het algemene krachtenspel ternauwernood zal veranderen (het iets groter eigen

gewicht van de balk is vaak verwaarloosbaar ten opzichte van de belastingen die hij moet

torsen). Indien de balk evenwel star verbonden is met naburige elementen kan, als gevolg

van de gewijzigde stijfheidskenmerken, de krachtenverdeling grondig gewijzigd worden,

waardoor de sterkte en stijfheid van andere componenten van de constructie opnieuw

moeten getoetst worden. Het is ook goed mogelijk dat de ontwerper een beoordelingsfout

gemaakt heeft, wat leidt tot onrealistische afmetingen van de draagkrachtige elementen en

waardoor de opvatting van de draagstructuur gewijzigd moet worden en het gepresteerde

werk voor een groot gedeelte nutteloos blijkt.

4.2 Modelleren van de constructie

Constructies worden ten behoeve van de berekening onderverdeeld in meer

eenvoudige samenstellen en elementen. Daarbij worden ze vrijgemaakt van naburige

onderdelen – gewoonlijk ter plaatse van hun verbindingen – en vervangt men de actie van

laatstgenoemde door een stel van gelijkwaardige krachten en krachtenkoppels. In een aantal

gevallen is "het vrijmaken" zeer eenvoudig, zelfs triviaal; vaak is het niet zo voor de hand

liggend.

Een balk die eenvoudig opgelegd is op draagkrachtige muren, kan afzonderlijk

bestudeerd worden, zoals figuur 14 duidelijk illustreert. De verticale reacties, uitgeoefend

door de muren, worden als uitwendige belastingen op de uiteinden van de vrijgemaakte balk

ingeleid. Hierbij is impliciet ondersteld dat de muren geen verzet bieden tegen de verdraaiing

van de uiteinden van de balk terwijl hij doorbuigt, wat hier van toepassing is. Een andere

a b

Figuur 14



situatie doet zich evenwel voor bij een balk die deel uitmaakt van een raam met stijve knopen.

Vermits de stijfheid van de kolommen verzet biedt tegen de verdraaiing van de balkuiteinden,

worden daar eveneens krachtenkoppels getransfereerd, en vermits buigende momenten vaak

vergezeld zijn van dwarskrachten, veroorzaken de buigende momenten in de kolom tevens

normaalkrachten in de balk. Het vrijmaken van de balk vergt derhalve dat men ter hoogte van

de verbindingen een verticale en een horizontale reactiecomponent invoert, tezamen met een

reactiekoppel. Men zou een belangrijke fout begaan indien men de balk vrijmaakte als in de

linkerhelft van figuur 14.

Uit bovenstaande discussie moge blijken dat een goede modellering rekening dient te

houden met de realistische natuur van de verbindingen tussen de verschillende componenten.

Voor analytische doeleinden worden ze gewoonlijk onderverdeeld in rolopleggingen,

scharnierende opleggingen en inklemmingen16

; bij balk - kolomverbindingen maakt men een

onderscheid tussen soepele, stijve en halfstijve verbindingen17

. Een halfstijve verbinding

brengt een krachtenkoppel over, maar tegelijkertijd ontstaat een relatieve hoekverdraaiing

tussen de uiteinden van de elementen die ze verenigt; bij een stijve verbinding is die relatieve

hoekverdraaiing nul.

In praktische situaties is het vaak niet altijd makkelijk om onmiddellijk te

differentiëren tussen scharnierende en stijve verbindingen. Een vuistregel is de volgende:

indien een lid met een ander verbonden is in een zone waarvan de afmetingen beduidend

kleiner zijn dan de overdwarse afmetingen van de verbonden elementen, kan men de

verbinding doorgaans als scharnierend beschouwen. De onderste helft van figuur 15 toont

twee mogelijkheden om een stalen balk te verbinden met een kolom. In het eerste geval is de

verbinding gemaakt door het lijf van de balk te verbinden met de flens van de kolom: deze

16

E: roller bearing, pin bearing, fixed or clamped bearing 17

E: pin-jointed or flexible connections, rigid and semi-rigid connections

Figuur 15



verbinding kan als een scharnier gemodelleerd worden. In het tweede zijn de beide flenzen

van de balk gelast aan de kolom, is de verbindingszone met andere woorden even uitgestrekt

dan de hoogte van de balk, en spreekt men dientengevolge van een stijve verbinding.

Ook bij betonnen ramen zijn soepele en stijve verbindingen mogelijk (fig. 16).

4.3 Lastendaling

Belastingen in een gebouw zijn gewoonlijk lijnen oppervlaktebelastingen.

Laatstgenoemde zijn bij onderstelling gelijkmatig gespreid over (een gedeelte van) het

vloeroppervlak.

De vloerconstructie kan bestaan uit lijnvormende en oppervlaktevormende,

draagkrachtige componenten. Het aandeel van de belastingen dat opgenomen wordt door de

genoemde componenten, hangt af van hun onderlinge schikking en stijfheden, van de

ondersteuningsvoorwaarden en stijfheid van de verbindingen en natuurlijk van de plaatsing

van de belastingen. Voor ontwerpdoeleinden is het verkieslijk om op een snelle manier een

redelijke schatting te kunnen maken van de belastingen die naar de verschillende

draagkrachtige onderdelen en naar de fundering overgebracht worden. Bij een dergelijke

lastendaling zal men zich van vereenvoudigende aannamen bedienen, waarvan de

voornaamste is dat men de dragende constructie-elementen als statisch bepaald beschouwt,

zelfs al is dat niet het geval.

Toepassingsvoorbeeld

Figuur 17 toont de plattegrond van een monolithische vloer in gewapend beton die door een

aantal balken ondersteund wordt. De balken rusten op hun beurt op massieve muren. In de

vloer is een uitsparing voor het trappenhuis voorzien en verder werden een aantal

scheidingswanden aangebracht. Er wordt gevraagd om de belasting op de balken en de muren

te begroten. Het eigen gewicht van de balken mag verwaarloosd worden.

Oplossing:

We maken gebruik van de volgende notities:

gv = eigen gewicht van de betonplaat, inclusief de afwerking N/m²

pp = eigen gewicht voor de scheidingswanden N/m

q = de nuttige belasting op het vloeroppervlak N/m².

Figuur 16



Bij onderstelling is de nuttige belasting over de volle uitgestrektheid van de vloer werkzaam.

We verdelen het vloeroppervlak in een aantal langwerpige, rechthoekige stroken, evenwijdig

met de balken, waarvan de lange zijden samenvallen met het midden van de overspanningen

tussen de balken. De mobiele en permanente belasting van een dergelijke moot wordt

rechtstreeks overgebracht naar de eronder liggende balk, of bij een randstrook naar de

aangrenzende balk. Dit is de vereenvoudigende hypothese waarvan sprake in bovenstaande

theorie: de betonplaat is immers niet op een statisch bepaalde wijze ondersteund, ze is

hyperstatisch en doorgaand over meerdere liggers. Partitie a rust op balk 2 en zijn

eigengewicht wordt als lijnlast rechtstreeks op die balk overgedragen. Het eigengewicht van

de scheidingswand b wordt als geconcentreerde belasting op de balken 2 en 3 overgebracht,

voor 3/4 op eerstgenoemde en voor 1/4 op laatstgenoemde.

De belastingsschema's van de verschillende balken zijn samengebracht in de figuur 18.

De belasting op de muren bestaat uit een aantal geconcentreerde krachten die gelijk zijn aan

de reactiekrachten van de balken doch met tegengestelde zin.

RA 9

2gv

9

2q RB

9

2gv

9

2q RC 9 gv 9 q

17

24p RD 9 gv 9 q

29

12p

RE 15

2gv

15

2q

1

8p RG 3 gv 3 qRF

15

2gv

15

2q

1

4p RH 3 gv 3 q

1

3m

2 a

b

3m

3

3m

4

2m 2m 2m

Figuur 17 Figuur 18

3

2gv

3

2q

3 gv 3 qp

9

8p

3

8p

3

2gv

3

2q

3

2gv

3

2q

RA 1 RB

2

RC RD

RE 3 RF

4

RG RH

3 gv 3 q 3 gv 3 q

2

Algemene Sterkte-

en

Stijfheidsvoorwaarden

Eurocode 1

Eurocode 2

Eurocode 3

Eurocode 4

Eurocode 5

Eurocode 6

Eurocode 9

Eurocode 8 Eurocode 7

ENV

EN

CPD

NTD

Eurocode 0

Interpretatieve

documenten

Algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden 2.2


1 Inleiding

Dit hoofdstuk bevat een aantal inlichtingen waarmee de ontwerper van gebouwen re-

kening dient te houden. Ze zijn aan nationale en internationale normen ontleend en worden ter

illustratie vermeld. De lezer wordt ontraden die gegevens zonder inzage van de oorspronkelij-

ke documenten in de praktijk te gebruiken.

Richtlijnen die specifiek voor bruggen, metro’s en tunnels gelden, worden in cursussen over

infrastructuurwerken behandeld.

2 Doelstelling van de structurele Eurocodes

Een constructie moet veilig, duurzaam, bruikbaar en functioneel zijn.

Internationale technische genootschappen, die zich met de wereld van het bouwen bezig

houden, hebben sedert meer dan 25 jaar grote inspanningen geleverd om een zekere mate van

grensoverschrijdende eenheid in de voorschriften ter bepaling van de veiligheid en de

bruikbaarheid van bouwwerken te bekomen. In het begin van de tachtiger jaren besloot de

Commissie van de Europese Gemeenschappen het aldus gepresteerde werk gestructureerd

samen te brengen om een geharmoniseerd geheel van technische regels voor het ontwerpen van

gebouwen en van civieltechnische bouwwerken te ontwikkelen. Die regels, Eurocodes

genoemd, zullen aanvankelijk naast de voorschriften die in de verschillende Europese landen

gangbaar zijn, gehanteerd worden. Naderhand (en wellicht binnen afzienbare tijd) zullen ze de

nationale normen volledig vervangen.

In 1989 heeft de Commissie van de Europese Gemeenschappen de vervaardiging van de

Eurocodes aan de CEN, het “Comité Européen de Normalisation”, overgedragen1. Het CEN

verenigt de normalisatie-instellingen van de landen van de Europese Unie en van de zes landen

1 In 1989 wordt de BouwproductenRichtlijn (CPD: Construction Products Directive) door de Europese Ge-

meenschap goedgekeurd. Als gevolg van deze richtlijn mogen bouwproducten nog slechts in de handel gebracht

worden - zowel in eigen land als in welk land van de Europese Unie dan ook - als ze "zodanige eigenschappen

bezitten dat de bouwwerken, waarin zij moeten worden verwerkt, gemonteerd, toegepast of geïnstalleerd,

indien behoorlijk ontworpen en uitgevoerd, kunnen voldoen aan de fundamentele voorschriften".

Het uitgangspunt van de Bouwproductenrichtlijn is dat bouwwerken moeten voldoen aan de zes fundamentele

voorschriften: mechanische weerstand en stabiliteit, brandveiligheid, hygiëne, gezondheid en milieu, veiligheid in

gebruik, geluidsisolatie, energiezuinigheid en thermische isolatie. De Eurocodes hebben evenwel enkel betrek-

king op "Mechanische weerstand en stabiliteit", "Mechanische weerstand bij brand" en op bepaalde aspecten van

"Gebruiksveiligheid". Door middel van Interpretatieve Documenten worden de zes fundamentele voorschrif-

ten (die betrekking hebben op bouwwerken) omgezet naar eisen voor de bouwproducten. De Europese Commis-

sie geeft vervolgens voor elke productfamilie opdrachten ("mandaten" genoemd) aan de Europese instellingen

voor het opstellen van geharmoniseerde productspecificaties."Geharmoniseerd" betekent hier "volgens de strikt

juridische context van de Bouwproductenrichtlijn", dus als basis voor het toekennen van het CE-merk. De Euro-

codes vormen een zeer belangrijke reeks normen om aan te tonen dat bouwwerken - gemaakt met bouwproducten

die beschikken over een CE-merk volgens de CPD - ook in hun geheel voldoen aan de fundamentele voorschrif-

ten. De Eurocodes maken de intrede van de eenheidsmarkt makkelijker door de scheidingen te verwijderen tussen

de verschillende ontwerpmethodes die gebruikt worden in de Europese Unie.



van de Europese Vrijhandelszone. Sommige landen van Centraal- en Oost-Europa zijn

aangesloten als buitengewone leden.

Negen Eurocodes worden in afzonderlijke delen gepubliceerd. De toepassing van de

Eurocodes, zowel in België als in andere Europese landen, verloopt in twee fasen:

Eerst hebben ze de status van een Europese voornorm, ENV genoemd, die

proefondervindelijk in plaats van de nationale normen mag - maar niet moet - gebezigd

worden. In dit stadium gaan de ENV's vergezeld van de Nationale Toepassing Documenten

NTD's2, die overgangsbepalingen bevatten en die nodig zijn met het oog op de aanwending

van de ENV's op een wijze die strookt met het reglementaire bestel in het betrokken land. In

het bijzonder kunnen in de ENV's tussen haken geplaatste getalwaarden, de zogenaamde

"Boxed Values", desnoods door andere getallen vervangen worden. Het NTD is dus geen

document dat zonder meer kan worden gebruikt; het kan alleen maar worden gebruikt in

combinatie met de ENV waaraan het gekoppeld is, en is enkel geldig in het land dat het

uitgevaardigd heeft.

Twee jaar na de uitvaardiging van elke ENV wordt ieder lid van de CEN verzocht zijn

bedenkingen betreffende de ENV te formuleren en desgewenst verbeteringen aan te vragen.

Vervolgens wordt elke ENV bijgewerkt om zo goed mogelijk rekening te houden met de

vergaarde opmerkingen. Dan wordt de ENV een EN, een Europese norm, en treedt ze in de

plaats van de nationale normen die handelen over hetzelfde domein en die op dat ogenblik

ongeldig worden. De competentie van de Lidstaten voor de veiligheid van de bouwwerken

wordt gerespecteerd door de EN te vergezellen van een Nationale Bijlage of AN.3

De onderstaande lijst van de Eurocodes toont dat ze onderscheidenlijk betrekking hebben

op de belasting van bouwwerken, beton, staal, staalbeton, hout, metselwerk, grond en

funderingen, bestandheid tegen aardbevingen en aluminium4.

EN 1990 Eurocode : Grondslag voor het ontwerp

EN 1991 Eurocode 1 : Belastingen op Constructies

EN 1992 Eurocode 2 : Betonconstructies

EN 1993 Eurocode 3 : Staalconstructies

EN 1994 Eurocode 4 : Gemengde staalbetonconstructies

EN 1995 Eurocode 5 : Houten constructies

EN 1996 Eurocode 6 : Gemetselde constructies

EN 1997 Eurocode 7 : Geotechnisch ontwerp

2 E: National Application Document, NAD.

3 De Nationale Bijlage kan de EN echter niet wijzigen zoals het NTD de ENV wijzigt: de AN moet zich tevreden

stellen met de bepaling van de parameters die op nationaal vlak werden bepaald ("Nationally Determined Para-

meters" of NDP), die worden beschouwd als behorende tot de nationale bevoegdheid. Deze NDP stemmen over-

een met de opengelaten keuzes in de EN, hetzij omdat het plaatselijke omstandigheden (klimaat, spoorwegen

enz.) betreft, hetzij omdat het gaat om de voornaamste veiligheidscoëfficiënten van de bouwwerken, wat tot de

nationale bevoegdheid behoort. In dat laatste geval laat de EN de keuze open, maar beveelt wel bepaalde waar-

den aan. 4 De meeste zijn onderverdeeld in meerdere rubrieken. Voor een overzicht wordt verwezen naar de website

www.bbri.be/antenne_norm/eurocodes.



EN 1998 Eurocode 8 : Ontwerp van constructies tegen aardbevingen

EN 1999 Eurocode 9 : Ontwerp van aluminium constructies

De Eurocodes zijn in de eerste plaats bestemd voor de ingenieurs belast met de bere-

kening van de stabiliteit, maar ze zijn (en worden) ook nuttig voor de andere bouwpartners:

De fabrikanten en verkopers van producten met een dragende functie (lateien, prefablig-

gers, metselwerkelementen en -blokken, damplanken,...) worden geconfronteerd met

openbare en particuliere opdrachtgevers die met de Eurocodes werken (eventueel via

een architect of ingenieur). Ze zullen hun fabricageproces en technische documentatie

moeten aanpassen aan de terminologie en classificatie van de producten die eigen zijn

aan de Eurocodes.

De architecten, ingenieurs en aannemers die onderling moeten kunnen communiceren,

moeten onvermijdelijk vertrouwd geraken met de Eurocodes.

Ten slotte gebruiken de aannemers materialen waarvan de benaming en karakteristieken

specifiek zijn volgens de Eurocodes. Bovendien bepalen die laatste regels voor de uit-

voering van de bouwdetails, de uitvoering en controle van de werken (bijvoorbeeld be-

tondekking van de wapening, plaatsing van wapening in metselwerk...).

3 Methode van de grenstoestanden

3.1 Grenstoestanden

Het doel van de activiteit van een ingenieur is het ontwerpen van bouwwerken derwijze

dat ze gedurende de verhoopte levensduur van de constructie en tijdens het gebruik ervan

geschikt en veilig zullen blijven. Ze mogen niet in een zogenaamde grenstoestand raken, waarin

ze om de ene of andere reden voor dat gebruik niet meer deugen. Men onderscheidt twee klassen

van grenstoestanden: bezwijktoestanden en gebruikgrenstoestanden.

3.1.1 Bezwijktoestanden of Uiterste Grenstoestanden (UGT)5

Het bouwwerk kan bezwijken doordat:

1) Het als een star lichaam zijn

evenwicht verliest (EQU in

Eurocodetaal).

Onderstel dat het scharnier A

in figuur 1 een eenzijdige ver-

binding voorstelt die wel een

opwaartse, maar geen neer-

waartse reactie kan leveren.

5 E: ultimate limit states (ULS)

p

F

A B

a b

Figuur 1



Indien F.b p.

a2

2 kan het statische evenwicht niet verzekerd worden.

2) Eén of meerdere kritieke doorsneden breken (STR in Eurocodeterminologie).

Indien het overgangsmoment F.b de sterktereserve tegen buiging overtreft, zal doorsnede

B in figuur 1 ongetwijfeld het begeven. Aardbevingen hebben vaak dergelijke, met groot

onheil gepaard gaande breuken, tot gevolg (fig. 2).

Figuur 2: uiterste grenstoestanden

3) Excessieve verplaatsingen de constructie dichter bij een bezwijktoestand brengen (e.g.

een te soepel raamwerk waar 2de orde-effecten belangrijke extra buiging bewerkstelligen)

(STR).

4) Het draaggestel geheel of ten dele in een mechanisme ontaardt door het verschijnen van een

aantal plastische scharnieren6 (STR).

5) Het evenwicht van de constructie of van een deel ervan instabiel wordt (STR).

Hierbij kunnen vele vormen van

instabiliteit zich voordoen:

algemene instabiliteit van het

dragende systeem, knik van

een drukstaaf (fig. 3) of van

een boog, kip van een ligger,

doorslag van een boog of van een schaal… Bijvoorbeeld toont de figuur 4 een stalen

watertoren die instortte toen hij in het bijzijn van tal van kijklustigen, verslaggevers en

notabelen voor de eerste keer - bij wijze van proef - met water gevuld werd. De narigheid

bleek te wijten te zijn aan het plooien van de dunne mantel van het trechtervormige

reservoir.

6) Materiaalmoeheid te wijten aan herhaalde belastingen progressieve scheurvorming in de hand

werkt. Dit verschijnsel kan tot plotse knapbreuken aanleiding geven (FAT).

6 Het begrip “plastisch scharnier” komt ter sprake in het opleidingsonderdeel “Metaalconstructies”. We verwijzen

naar een korte toelichting in de les.

Pcr

Figuur 3: knik van drukstaaf



7) De gondslag waarop ze rust onmogelijk reacties kan leveren die met alle rustende en

variabele belastingen evenwicht maken, waardoor het evenwichtsdraagvermogen

overschreden wordt, of dat het evenwicht wel net mogelijk is maar de vervormingen van de

grondslag veel te groot worden (GEO).

Het spreekt voor zich dat het nazicht van de bezwijktoestanden tot doel heeft dat de

veiligheid van de constructie en vooreerst deze van de personen die erin werken, leven of ervan

gebruik maken, gevrijwaard worden.

Het betrouwbaarheidsthema dat men

bewandelt, is semi-probabilistisch

gekleurd. Zij E een effect van de

belastingen (e.g. een buigend moment)

en R de buigsterkte, dan zullen beide ten

gevolge van tal van wisselvalligheden

(tijdsafhankelijke belastingen,

maattoleranties…) een statistisch

karakter vertonen.

Fig. 5 toont de probabiliteit-

densiteitfuncties van E en R. Daar waar

de krommen mekaar overlappen, mag men narigheden verwachten. Het risico om een

grenstoestand te bereiken, wordt door de gearceerde oppervlakte in figuur 5 aangegeven.

3.1.2 Grenstoestanden met betrekking tot de bruikbaarheid (functionaliteit, comfort, uitzicht)

of tot de duurzaamheid (Gebruikgrenstoestanden (GGT))7

Als oorzaken van dergelijke grenstoestanden vermelden we:

7 E: serviceability limit states (SLS)

p

Effect E van

de belastingen

Weerstand R

Ek Rk E,R

aanvaardbaar

risico

Figuur 5: betrouwbaarheidsthema

Figuur 4: instorting van een watertoren



1) Overdreven vervormingen in de constructie waardoor bepaalde onderdelen een ongewenst

uitzicht krijgen, niet langer degelijk bruikbaar zijn of abnormaal belast worden

(bijvoorbeeld een doorbuigend plat dak door een bemoeilijkte afvoer van regenwater) en

waardoor bijkomstige, niet-dragende constructiedelen in het gedrang komen.

2) Onaanvaardbare scheurvorming waardoor het uitzicht op negatieve wijze beïnvloed wordt,

mogelijk met schadelijke gevolgen voor de duurzaamheid van de constructie en gebeurlijk

met nefaste psychologische weerslag voor de gebruikers ervan (fig. 6)

Figuur 6: onaanvaardbare scheurvorming

3) plaatselijke beschadiging door afschilfering en corrosie.

4) hinderlijke trillingen veroorzaakt door voertuigen, door machines, windstoten… .

3.2 Oorzaken van onzekerheid

In de beoordeling van de kans op het bereiken van een grenstoestand schuilen vele

onzekerheden:

1) De eigenschappen van de materialen vertonen bij proefnemingen op monsters een zekere

spreiding …

2) … en kunnen bovendien in het bouwwerk anders dan bij de proefstukken zijn omdat een

aantal omstandigheden, onder meer de duur van de belasting, verschillend zijn.

3) De belastingen F zijn niet met zekerheid voorspelbaar …

4) … en ofschoon men er voorzichtig gekozen, zogenaamde karakteristieke waarden voor

aanneemt, is het niet uitgesloten dat ze in werkelijkheid toch eens ongunstiger zijn dan de

karakteristieke waarden of dat ze op onnauwkeurige wijze in de analyse betrokken worden

(grootte, spatiale en temporale verdeling) …

5) … terwijl het ook onwaarschijnlijk is dat ze ooit alle terzelfder tijd hun meest ongunstige

invloed zullen uitoefenen.



6) Onzekerheden bij de begroting van het effect E van de belastingen vloeien voort uit de

onvolmaaktheid van de berekening, het rekenmodel en de uitvoering

(vormonnauwkeurigheden). De lezer beseffe dat met "onvolmaaktheid" geenszins blunders

toegedekt worden.

3.2.1 Blijvende, variabele en accidentele belastingen

Het woord "belastingen" of “acties” moet in ruime zin begrepen worden; we hebben in

het hoofdstuk “Draagsystemen en belastingen” erop gewezen dat ze het gevolg van talrijke en sterk

uiteenlopende oorzaken kunnen zijn. Om de combinatieregels voor belastingen - cfr. infra - die

in de Eurocodes gehanteerd worden, goed te begrijpen, wordt de onderverdeling van acties in

tijd en ruimte in herinnering gebracht:

Variatie in de tijd

- Permanente of blijvende belastingen G: de variatie van dergelijke belastingen ten

opzichte van de gemiddelde waarde is gering. Nochtans kunnen er onzekerheden over

hun werkelijke waarde bestaan onder meer wegens variaties gedurende het verwerken

van de constructiematerialen. De blijvende belastingen omvatten voornamelijk: het eigen

gewicht van het draagsysteem, het gewicht van de niet-dragende onderdelen zoals

binnenwanden, uitrustingen, valse zolderingen, vers beton... , de belasting door

gronddruk, de belasting door voorspanning8, de krachten als gevolg van een waterpeil dat

vrijwel gelijk blijft of dat door een overloop beperkt is, de vervormingen die uit de

bouwwijze, krimp, uitzetting of kruip van de bouwstof voortvloeien, de belastingen

wegens de zetting van de grond, mijnverzakkingen inbegrepen.

- Variabele belastingen Q omvatten voornamelijk de nuttige lasten, de belasting tijdens

de opbouw onder andere door heftuigen of door opslag van bouwstoffen, de gronddruk

die van beweeglijke bovenbelasting voortkomt, de klimatologische inwerkingen ten

gevolge van sneeuw, wind, hagel, rijm, ijs... , de schommelingen van het waterpeil, het

veranderlijke gedeelte van de opgelegde of verhinderde vervormingen voortkomend van

temperatuur of vochtigheid.

- Accidentele of bijzondere belastingen A waaronder vermeldenswaard zijn: explosies

en impact door voertuigen, brand, onvoorziene bodem- en mijnverzakkingen,

aardverschuivingen en lawines, aardbevingen (in onze contreien als accidentele, in

aardbevingsgebieden als veranderlijke belastingen te beschouwen), overstromingen en

onvoorziene erosie, orkanen en windhozen.

Variatie in de ruimte

- Vaste acties: bijvoorbeeld eigen gewicht.

- Vrije belastingen: bijvoorbeeld nuttige lasten, wind, sneeuw... . Een belangrijk gegeven

hierbij is dat vrije belastingen spatiaal verdeelbaar zijn: dat wil zeggen dat ze naar gelang

8 De voorspanning P wordt in de combinatieregels van de Eurocodes afzonderlijk vermeld. Op dit aspect zal in

de cursus “Gewapend en Voorgespannen Beton” zeer zeker dieper ingegaan worden.



van de omstandigheid op de ene plaats wél en op een andere niet aanwezig kunnen zijn.

Bijgevolg zal de ontwerper bijzondere aandacht eraan moeten schenken dat dergelijke

acties al dan niet in rekening gebracht dienen te worden om een zo ongunstig mogelijk

effect te bekomen.

3.3 Wijze van rekening houden met de onzekerheden

Aan de hand van statistische gegevens is het mogelijk de onzekerheden te wijten aan

spreiding van de materiaaleigenschappen en in principe ook de onzekerheden betreffende de

waarde van de belastingen kwantitatief in de berekening te verwerken. De overige opgesomde

wisselvalligheden kunnen echter niet anders dan met empirische coëfficiënten opgevangen

worden.

De methode van de grenstoestanden is in haar geheel genomen ten dele probabilistisch

en ten dele deterministisch; zij wordt derhalve semi-probabilistisch genoemd.

Met de zes genoemde onzekerheden wordt als volgt rekening gehouden:

1) Men beproeft een voldoend aantal monsters n van het materiaal, meet telkens de

overwegende sterkteparameter f en berekent het rekenkundige gemiddelde f , de variantie s2

en de karakteristieke sterkte fk = f -s, waarvan men mag verwachten dat ze door een groot

percentage van andere stalen van het materiaal overschreden zal worden. Indien men dat

percentage op 95 % vastlegt, moet men blijkens de waarschijnlijkheidsleer = 1,64 nemen,

gesteld dat de sterktecijfers normaal verdeeld zijn volgens een kromme van Gauss.

2) Men bepaalt de rekenwaarde voor de sterkte fd door fk te delen door een sterktefactor M ,

groter dan één:

M

kd

ff

(1)

3) Uit statistische waarnemingen leidt men de karakteristieke waarde Fk van de beschouwde

belasting F af die 95 % kans heeft tijdens de normale levensduur van de constructie

(bijvoorbeeld 50 jaar) niet te zullen overtroffen worden of die gemiddeld één keer

gedurende een gegeven aantal jaren of gedurende de verwijzingsperiode voorkomt.

De verwijzingsperiode is de conventionele duur voor dewelke het nazicht van de

veiligheid of bruikbaarheid verricht wordt. Het betreft: de uitvoeringstermijn, de duur van

een uitvoeringsfase, de gebruikstermijn of de volledige levensduur van het bouwwerk. In

geval ze op de levensduur van het bouwwerk slaat, bedraagt de verwijzingsperiode bij wijze

van inlichting: 10 jaar voor tijdelijke constructies, 25 jaar voor industriële constructies, 50

jaar voor gebouwen, 100 jaar voor kunstwerken, 1 jaar voor bouwfasen.

Vaak neemt men in de praktijk voor Fk een nominale waarde van F, waarbij de laatste niet

met een bepaalde distributiefunctie overeenstemt, maar uit de opgedane ervaringen

resulteert. Op de gebruikers rust de verplichting de nominale F niet te overschrijden.

Wat de blijvende belastingen G betreft, definieert men een bovengrens Gksup met een

waarschijnlijkheid van 5 % om overschreden te worden en een benedengrens Gkinf die in



5% van de gevallen niet bereikt zal worden: Gksup = G + 1,64sG en Gkinf = G - 1,64sG

Gronddruk op keringen te wijten aan het volumegewicht van de gekeerde grond is een

voorbeeld van een blijvende actie met een niet onaanzienlijke variatiecoëfficiënt.

In het merendeel der berekeningen kan dit onderscheid vervallen en wordt elke blijvende

belasting G door één enkele waarde Gk voorgesteld, hetzij omdat er omtrent haar werkelijke

waarde weinig twijfel bestaat, hetzij omdat de variatiecoëfficiënt van G gedurende de

verwijzingsperiode niet groter dan 0,1 is. Het eigen gewicht van de constructie kan

bijvoorbeeld op basis van de nominale afmetingen en de gemiddelde materiaaldensiteiten

begroot worden en door één enkele waarde Gk voorgesteld worden.

Als de vermindering van de blijvende belasting (bijvoorbeeld een voorspankracht, een

tegengewicht) gevaarlijk zou kunnen zijn, moet men precies die karakteristieke waarde

nemen welke met een hoge waarschijnlijkheid blijvend overtroffen zal worden.

4)5) In de berekening worden combinaties van belastingen bekeken, waarbij de krachten met

hun rekenwaarde (design value) ingevoerd worden:

rFd F.F (2)

Deze rekenwaarden worden verkregen door vermenigvuldiging van de individuele

representatieve waarde Fr van de belastingen met de belastingsfactor F. Gewoonlijk is Fr =

Fk . Andere representatieve waarden van een variabele belasting worden als volgt

gedefinieerd:

De samenstelwaarde 0Qk (combination value) geldt voor zelden voorkomende

combinaties (van belastingen) en heeft als doel de gereduceerde probabiliteit van een

simultaan optreden van de meest ongunstige waarde van de verschillende belastingen

(fig. 7) in rekening te brengen.

De veel voorkomende waarde 1Qk (frequent value) speelt een rol bij het herhaaldelijk

optreden van veranderlijke belastingen. Zij wordt zodanig gekozen dat de totale

overschrijdingstijd ten opzichte van de verwijzingsperiode klein is of zodanig dat de

frequentie waarmee ze overschreden wordt, beperkt is. Zij wordt voor het nazicht van

gebouwen in het algemeen gelijk genomen aan de waarde die gedurende ongeveer 1 %

van de verwijzingsperiode overschreden kan worden.

De bijna blijvende belasting 2Qk (quasi-permanent value) is zodanig gekozen dat ze

gedurende minstens 50% van de referentietijd overschreden wordt.

Figuur 8 toont schematisch de karakteristieke, de veel voorkomende en de bijna blijvende

waarde van een tijdsafhankelijke variabele belasting met een herhalingstijd van

bijvoorbeeld 50 jaar; dat wil zeggen dat de amplitude van de belasting eenmaal om de 50

jaar overschreden zal worden.

De samenstelwaarden worden gebruikt om het nazicht van de uiterste grenstoestanden en

de zelden optredende irreversibele gebruikgrenstoestanden (scheurvorming, excessieve

vervorming die het scheuren van gedragen onderdelen met zich meebrengt) te exploreren.



De vaak aanwezige waarden en de bijna blijvende belastingen worden aangewend voor

het bestuderen van de uiterste grenstoestanden waar accidentele belastingen een rol spelen,

en voor het nazicht van reversibele gebruikgrenstoestanden (het bestuderen van het

vermoeiingsgevaar en trillingen). De quasi blijvende waarden worden ook gebruikt om de

effecten op langere termijn in gebruikstoestand (bijvoorbeeld kruipvervorming) te

bestuderen.

Figuur 7: tijdsafhankelijke acties gedurende de verwijzingsperiode T

Q Qk

1Qk

2Qk

1% van tref 50% van tref tijd tref

Figuur 8

6) Gewoonlijk worden geometrische gegevens door hun nominale waarden (ad = anom) in

rekening gebracht tenzij afwijkingen van die waarden een belangrijk nadelig effect met

betrekking tot de betrouwbaarheid van de constructie tot gevolg hebben. Dit kan gebeuren

F1

F2 F2,max

F1,max

tijd

tijd

T

T



doordat kleine vormonvolmaaktheden (scheefstand, ongewilde en met het blote oog

nauwelijks waarneembare uitbuiging van kolommen in onbelaste toestand) de constructie

dichter bij het bezwijken zouden brengen dan wanneer die vormfouten niet aanwezig waren.

In dit geval wordt de rekenwaarde van de geometrische afmetingen ingevoerd als: ad =

anom+a.

Opmerkingen:

De partiële veiligheidsfactoren M en F zijn afhankelijk van de materialen, de aard van

het bouwwerk, de belastingen en de beschouwde grenstoestand.

Men beseffe dat F.Fr geen algebraïsche som voorstelt want de belastingen die erin

voorkomen, verschillen in aard en verdeling.

3.4 Basisvoorwaarde

De gewenste veiligheid is voorhanden indien de rekenwaarde Ed van het effect van elke

in aanmerking te nemen combinatie van belastingen en voor elke mogelijke bezwijktoestand ten

hoogste gelijk is aan de overeenstemmende weerstand Rd van de constructie, zoals deze op basis

van de rekenwaarde van de sterkte van de materialen begroot is.

De basisvoorwaarde (STR/GEO) luidt dus:

Ed Rd met Ed = E(Fd , fdj , adn) en Rd = R(fdj , adn) (3)

We merken op dat zowel E als R allebei een buigend moment, een normaalkracht, een wringend

moment, een spanning... kunnen zijn.

Als de beschouwde grenstoestand met het verlies van het statische evenwicht of met

grote verplaatsingen van de constructie als een star lichaam gepaard gaat (EQU), wordt

voorwaarde (3) in lichtjes gewijzigde vorm geschreven:

Ed,dst Ed,st , Ed,dst = E(Fd,dst , adn) en Ed,st = E(Fd,st , adn) (4)

Ed,dst is een functie die de ongunstige belastingseffecten weergeeft, terwijl Ed,st de

stabiliserende belastingseffecten tot uiting brengt.

Voor de gebruikgrenstoestanden wordt de voorwaarde om een grenstoestand niet te

overschrijden doorgaans geschreven als:

Ed Cd , (5)

met Cd als aanvaardbare grenswaarde voor het bekeken effect (een doorbuiging, een rek, een

hoekverdraaiing, een scheurwijdte... ).



Omwille van de eenvoud wordt vaak - indien zulks mogelijk is - een lineaire berekening

opgezet, waarbij men eerst voor elke individuele actie afzonderlijk het meest nadelige effect

becijfert en men daarna Ed door superpositie als volgt kan berekenen:

Ed = F . E(Fr , akn) (6)

Merk op dat de materiaalsterkte niet tussenkomt vermits een lineaire benadering ipso facto

onbeperkt elastische bouwstoffen onderstelt.

3.5 Belastingscombinaties

Steeds zal men de meest ongunstige combinatie van belastingen opsporen. Bovendien is

het in aanmerking te nemen samenstel afhankelijk van de ontwerptoestand en de beschouwde

grenstoestand.

3.5.1 Bezwijktoestanden

Gedurende de bouw en het gebruik van de constructie kunnen verscheidene toestanden

onderscheiden worden tijdens welke de basisvoorwaarden (3), (4) en (5) vervuld moeten zijn.

Deze ontwerptoestanden kunnen zijn:

1) Blijvende toestanden (persistent situations) gedurende het gewone gebruik én,

voorbijgaande toestanden van korte duur (transient situations) waarvan het optreden

gedurende de bouw (een nog onvolledig draagsysteem) of gedurende het gewone gebruik

(herstellingen, verbouwingen) zeer waarschijnlijk is.

Deze toestanden zijn de zogeheten basisontwerptoestanden.

2) Bijzondere toestanden van korte duur (accidental situations) en met een kleine

waarschijnlijkheid van optreden gedurende of na een ongewoon gebruik of een ongeval.

Men spreekt hier van buitengewone of bijzondere ontwerpsituaties.

3) Bijzondere toestanden samengaand met seismen.

Voor elke ontwerptoestand zoekt men die samenstellen waaruit het ongunstigste effect

resulteert. Elk samenstel van belastingen omvat:

het geheel van de blijvende belastingen,

het gebeurlijk effect van de voorspanning,

één veranderlijke of een bijzondere belasting die als dominante of hoofdbelasting

genomen wordt en de overige veranderlijke “neven”belastingen. Wanneer het niet

vanzelfsprekend is welke veranderlijke actie dominant is - dwz welke de meest ongunstige

combinatie oplevert -, is het nodig alle mogelijke en verschillende veranderlijke

belastingen beurtelings als dominante te beschouwen om hieruit het meest ongunstige

samenstel te kunnen afleiden.

Volgende samenstellen worden onderscheiden:



1) Basissamenstel:

G k Q k Q kii

G Q Q. . . .

0i1

(Set B – STR)9 (7)

In dit geval wordt de karakteristieke waarde van de blijvende belastingen met één en-

kele factor vermenigvuldigd. Is de blijvende belasting met betrekking tot het bekeken effect

globaal genomen gunstig dan wel ongunstig, bedraagt G respectievelijk 1,00 en 1,35. We

merken evenwel op dat dit in het verleden reeds meermaals een punt van discussie is gebleken

en dat daarenboven in de Eurocodes specifieke uitzonderingen expliciet vermeld worden: in

gevallen waar de grenstoestand zeer gevoelig is aan variaties van een blijvende actie (bijvoor-

beeld bepaalde types van voorgespannen bouwwerken), moet men Gksup of Gkinf in rekening

brengen en deze respectievelijk met 1,35 of 1,00 vermenigvuldigen. Q 150, of 0,00 als de

variabele actie een ongunstige of gunstige uitwerking heeft.

Indien de bezwijktoestand met verlies aan statisch evenwicht van het als star onderstelde li-

chaam gepaard gaat, dan worden de factoren gewijzigd:

G.Gk = 1,10.Gksup of 0,90.Gkinf (Set A – EQU) (8)

Merk op dat het ongunstige gedeelte van de permanente actie altijd met een andere partiële

factor vermenigvuldigd wordt dan bij het gunstige gedeelte het geval is.

3) Bijzonder samenstel voor accidentele ontwerptoestanden:

1i

kii21k1dk Q. Q. A G (9a)

4) Bijzonder samenstel voor seismen:

1i

kii2Edk Q. A G (9b)

Bij het nazicht van het effect van bijzondere samenstellen worden alle partiële factoren

de waarde één toegekend. Gunstige variabele acties worden vanzelfsprekend niet in rekening

gebracht.

Kanttekeningen:

Er bestaan specifieke regels voor het toetsen van de deugdelijkheid van de constructie

bij aardbevingen of voor het bestuderen van het vermoeiingsgevaar.

9 Voor het geotechnisch ontwerp wordt tevens Set C voorgeschreven. We komen hierop terug in het kader van de

berekening van grondkerende constructies in “Berekening van Bouwkundige Constructies II”.



De factoren 1,35 en 1,5 zijn zo bepaald dat de waarschijnlijkheid van het werkelijk op-

treden van een bezwijktoestand gedurende het bestaan van een bouwwerk ongeveer 10-5

bedraagt: dit is de normale veiligheid voor de gevolgenklasse CC2. In gevallen waar het

bereiken van een bezwijktoestand bijzonder ernstige gevolgen zou hebben (gevolgen-

klasse CC3; bijvoorbeeld een opslagplaats voor giftige stoffen, een stuwdam, een kern-

centrale), is het wenselijk een verhoogde veiligheid in rekening te brengen terwijl tij-

dens een uitvoeringsstadium of voor minder belangrijke bouwwerken (gevolgenklasse

CC1; bijvoorbeeld een schuur of een tuinmuur of een golfbreker) een kleinere veilig-

heidsmarge aanvaardbaar is. De ANB van EN 1990 geeft de partiële factoren voor de

gevallen van de versterkte en de verminderde veiligheid.

De aangegeven getalwaarden voor de belastingscoëfficiënten zijn niet onbetwistbaar: de

(internationale) normen zijn immers bijna voortdurend aan wijziging onderhevig naar

gelang van de in de praktijk opgedane ervaringen en de vooruitgang van de wetenschap.

3.5.2 Gebruikgrenstoestanden met betrekking tot bruikbaarheid of duurzaamheid

Men bekijkt gebruikssamenstellen waarbij de hoofdbelasting (dominante actie) altijd

een variabele belasting is. Volgens de bekeken grenstoestand onderscheidt men:

1) Zelden aanwezige of karakteristieke combinaties:

G Q Qk k1 kii

0i

1. (10)

2) Vaak aanwezige combinaties van belastingen:

ik1 > i

2ik11k Q..QG (11)

3) Bijna steeds aanwezige combinaties van belastingen:

ik1i

2ik Q.G

(12)

Opmerkingen:

Alle partiële veiligheidsfactoren worden aan de eenheid gelijkgesteld. Het hoeft eigen-

lijk niet meer gezegd dat variabele belastingen met gunstig effect niet in acht genomen

worden.

Combinatie (10) wordt gebruikt om de ogenblikkelijke doorbuiging te berekenen, (11)

en (12) om de scheurvorming van betonnen constructies op toelaatbaarheid te beproe-

ven, (11) om het vermoeiingsgevaar te onderzoeken en (12) tenslotte om de kruipver-

vorming te toetsen.



3.5.3. Getalwaarden 0 , 1 , 2

De in tabel I verzamelde getalwaarden zijn ontleend aan de Nationale Bijlage A1 bij

EN 1990, daterend van september 2005, en zijn afhankelijk van de categorie waarin men de

nuttige belasting of gebruiksbelasting kan onderbrengen.

Belasting 0 1 2

Gebruiksbelasting in gebouwen

categorie A: huiselijke, residentiële ruimten

categorie B: kantoorruimten

categorie C: vergaderruimten (behalve deze van

A, B en D)

categorie D: winkelruimten

categorie E: opslagruimten

0,7

0,7

0,7

0,7

1,0

0,5

0,5

0,7

0,7

0,9

0,3

0,3

0,6

0,6

0,8

Verkeersbelasting in gebouwen

categorie F: voertuiggewicht 30 kN

categorie G: 30 kN < voertuiggewicht 160 kN

categorie H: daken

0,7

0,7

0

0,7

0,5

0

0,6

0,3

0

Sneeuwbelasting op gebouwen

0,51)

0,0

0

Windbelasting op gebouwen

0,61)

0,2

0

Temperatuursinvloeden (andere dan afkomstig

van brand) op gebouwen

0,61)

0,5

0

1) Wanneer een veranderlijke belasting van korte duur (minder dan 1 maand), bv.

opgelegde belasting, wind, sneeuw, temperatuur, in een combinatie wordt ge-

volgd door een andere belasting van korte duur, mag de waarde 0 = 0,3 wor-

den gebruikt voor deze tweede veranderlijke belasting wanneer deze sneeuw,

wind of een temperatuurverandering is.

Tabel I: waarden van de coëfficiënten



3.6 Sterktefactor M

De partiële veiligheidsfactor M is vanzelfsprekend afhankelijk van het gebruikte con-

structiemateriaal.

Staal: de voor de constructeur belangrijkste sterkte-eigenschap is ontegensprekelijk de

vloeigrens (of 0,2 % rekgrens voor hoogwaardiger staalsoorten)

M

ykyd

ff

. (13)

M = M0 = 1,0 indien men de sterkte van niet door boutgaten verzwakte doorsneden of

lokale instabiliteiten – e.g. plooien van dunwandige flenzen en lijfplaten door druk- of

schuifspanningen – controleert.

M = M1 = 1,1 indien effecten van algemene instabiliteit – e.g. Eulerknik van een druk-

staaf, schranken van een raamwerk – onderzoekt.10

M = 1,25 indien men de sterkte van de netto doorsnede ter plaatse van boutgaten onder-

zoekt, en ook wanneer men de stevigheid van las- en boutverbindingen nakijkt. Bij

voorgespannen boutverbindingen met overmaatse of sleufgaten neemt men een iets gro-

tere sterktefactor, namelijk 1,40.

Bouwwerken van gewapend of voorgespannen beton: voor wapeningsstaal neemt men

doorgaans M = 1,15 terwijl de karakteristieke cilindersterkte gedeeld wordt door een

factor die van de aard van de keuring afhankelijk is en die ongeveer 1,50 bedraagt. Voor

meer informatie ter zake verwijzen we uiteraard naar de cursus “Gewapend en Voorgespan-

nen Beton”.

4 Methode van de toelaatbare spanningen

Deze in onbruik geraakte methode bestaat erin de spanningen welke door zekere com-

binaties van gebruiksbelastingen opgewekt worden, te beperken tot toelaatbare spanningen,

die - afhankelijk van de beschouwde combinatie - fracties van de overwegende sterkteparame-

ter van het materiaal zijn: bijvoorbeeld 2/3 van de vloeigrens of 0,2% rekgrens van het staal,

een fractie van de druksterkte van beton of metselwerk… . Ze wordt hier vermeld omdat ze in

oudere normdocumenten gehanteerd en nog in een groot aantal landen toegepast wordt. Daar-

enboven gaat men na of aan de bruikbaarheidvoorwaarden betreffende doorbuiging en scheur-

10

Een verschillende getalwaarde van M0 en M1 leidt onvermijdelijk tot conflictsituaties. Een op druk belaste

staaf zal sneller uitknikken wanneer zijn lengte groter is. Naarmate de staaf korter wordt, daalt de fysische rele-

vantie van het knikken en voor zeer korte staven wordt de rekenwaarde van de sterkte eigenlijk bepaald door de

sterkte van zijn doorsneden, waarvoor M0 van toepassing is. Nochtans moeten op druk belaste staven – zelfs

korte – altijd op knikken getoetst worden en is men genoodzaakt de partiële veiligheidscoëfficiënt M1 toe te

passen wat tot een lagere weerstand leidt indien M1 = 1,1. Wellicht zal de getalwaarde van M1 in de nabije toe-

komst eveneens de waarde 1,0 toebedeeld worden en zal men op die manier bij stalen constructies ook niet langer

differentiëren tussen de sterkte van doorsneden en instabiliteit van staven.



vorming voldaan is. Deze voorwaarden zijn overigens dezelfde als in de methode van de

grenstoestanden.

De methode van de toelaatbare spanningen vergt enkel de kennis van de gebruikstoe-

stand terwijl men bij de methode van de grenstoestanden zowel de bezwijktoestand als de ge-

bruikstoestand onderzoekt. De eerstgenoemde methode is overigens een veilige werkwijze:

globaal genomen biedt ze voor statisch bepaalde constructies nagenoeg een zelfde veilig-

heidsmarge, maar levert ze een merkelijk hogere - doch niet bekende marge - voor statisch

onbepaalde draagsystemen. Zij is lang de algemeen gangbare ontwerpmethode van de bouw-

kundig ingenieurs geweest.

5 Belasting door raamwerkimperfecties

Men maakt onderscheid tussen algemene vormonvolmaaktheden, de zogeheten raam-

werkimperfecties11

(bijvoorbeeld uit het lood staande kolommen) en vormafwijkingen van

individuele constructiedelen12

(bijvoorbeeld het gemis van rechtheid van een drukstaaf). In-

lichtingen betreffende laatstgenoemde zullen bij de sterkteberekening van knikgevoelige, sa-

mengedrukte staven gegeven worden. Deze materie valt echter buiten het kader van onderha-

vig opleidingsonderdeel.

Het NTD van Eurocode 3, deel 1-1, bepaalt dat men het effect van geometrische on-

volmaaktheden slechts bij het beoordelen van de bezwijktoestand in rekening moet brengen.

Dit betekent ook dat men bij de berekening van de doorbuigingen en vervormingen in de ge-

bruikgrenstoestanden mag uitgaan van het draagsysteem zonder imperfecties, dit is alsof de

geometrie volmaakt zou zijn. Volgens hetzelfde document is het toegestaan om voor het na-

zicht van de uiterste grenstoestanden de raamwerkimperfecties niet in rekening te brengen

indien de eventueel aanwezige, horizontale belasting, welke bijvoorbeeld door de werking van

de wind veroorzaakt kan worden, aanleiding geeft tot horizontale verplaatsingen, die minstens

de voorgeschreven, aanvankelijke scheefstanden evenaren. De samensteller van voorliggende

tekst deelt dit standpunt niet.

5.1 Raamwerkimperfecties (fig. 9)

De algemene vormonvolmaaktheden zijn

verschillend voor gebouwen met een stalen of een

betonnen skelet.

Voor gebouwen met een betonnen skelet hanteert

men de empirische formule

d h

0

1

100

1

400 (14a)

indien 2de orde-effecten verwaarloosbaar zijn.

11

E: general imperfections 12

E: member imperfections

d

Hd

Hd

Figuur 9: scheefstand



h is de hoogte van het gebouw en wordt in meter uitgedrukt. Zijn de genoemde effecten

niet verwaarloosbaar, dan moeten ze wel degelijk in rekening gebracht worden en geldt:

d

1

200 . (14b)

Op voorwaarde dat de kolommen vanaf de begane grond tot bovenaan continu doorlopen

mag 0

met een factor nn

1

12/ , waarbij n het aantal kolommen voorstelt, gere-

duceerd worden. Zijn niet alle kolommen vanaf de fundering tot bovenaan doorgetrokken,

dan neemt men voor n het aantal kolommen die continu zijn.

Voor gebouwen met een staalskelet:

d kc ks . . 0 (15a)

met : 01

200 , kc nc

0 51

, , ks ns 0 2

1, waarbij : k en ksc 1 (15b)

De factoren kc en ks houden rekening met de geringe waarschijnlijkheid dat alle kolommen

over alle verdiepingen een zelfde maximale initiële scheefstand in één en dezelfde richting

vertonen.

nc is het aantal kolommen in het vlak van het raamwerk mits inachtneming van volgende

restricties:

- een kolom die een belasting van minder dan 50% van de gemiddelde kolombelasting

draagt, wordt niet meegeteld,

- een kolom die niet over de volle hoogte van het raamwerk reikt, wordt eveneens niet

meegeteld.

ns is het aantal verdiepingen. Hierbij worden deze verdiepingen waarvan de vloer niet ver-

bonden is met alle kolommen die nc bepalen, niet meegerekend.

5.2 Methode van de fictieve, horizontale krachten

Vaak wordt het effect van de algemene vormonvolmaaktheden door het invoeren van

equivalente krachten gesimuleerd. Men brengt de fictieve krachten aan ter hoogte van de

spantregels (fig. 10):

H Fd d (16)

Fd stelt de verticale rekenbelasting van een spantregel voor. Men dient er evenwel nauwlet-

tend op toe te zien dat men deze horizontale belastingen bij de bepaling van de horizontale

reacties, die bijvoorbeeld voor het nazicht van de funderingen moeten dienen, niet meerekent.

Om zulks te bewerkstelligen bestaan twee oplossingen: ofwel moeten de fictieve krachten van



de verkregen horizontale reactiecomponenten afgetrokken worden, ofwel dienen ter plaatse

van de kolomvoeten even grote doch tegengesteld gerichte fictieve krachten ingevoerd te wor-

den. Bijvoorbeeld zal men in figuur 10 een correctie doorvoeren en ter plaatse van beide

kolomvoeten een horizontale naar links gerichte kracht ( ) /H Hd d1 2

2 toevoegen. Men kan

deze werkwijze verklaren doordat de fictieve belasting enerzijds de scheefstand moet simule-

ren maar er anderzijds niet op gericht is om de werkelijke horizontale belasting op het raam te

verhogen.

Om in dit stadium te begrijpen waarom fictieve horizontale belastingen het effect van

een scheefstand kunnen verdisconteren, bekijken we een ingeklemde stijl (fig. 11) die boven-

aan met een verticale last F belast wordt. Indien de stijl een scheefstand heeft, ontstaat ter

plaatse van de voeting een inklemmingsmoment dat gelijk is aan F.h. Datzelfde inklem-

mingsmoment verkrijgt men ook bij een volmaakt verticale stijl, welke bovenaan met de ver-

ticale kracht F én met een horizontale kracht H = F belast wordt.

6 Eisen betreffende de stijfheid

6.1 Algemeen

Het doel van deze voorschriften, die op de gebruikgrenstoestanden betrekking hebben,

is meerledig:

Het beperken van trillingen die hinderlijk of gevaarlijk kunnen zijn,

Het vermijden van vervormingen van het dragende systeem die

- schade aan andere onderdelen berokkenen,

- het goed functioneren van werktuigen beletten,

- het comfort op niet tolereerbare wijze reduceren.

H2d

H1d

F2d

F1d

Figuur 10

h

C = F.h C = F.h

F F

F

Figuur 11



6.2. Gebouwen

57 % van alle schadegevallen in gebouwen zijn aan een te grote vervormbaarheid of

aan een ontoereikende stijfheid te wijten.

6.1.1 Horizontale uitbuiging: h

Ten einde het comfort van de bewoners te optimaliseren, scheurvorming in tussen-

wanden te voorkomen en de goede werking van de mechanische uitrusting te vrijwaren, zal

men trachten de horizontale uitbuiging h te beperken (fig. 12).

Voor meerverdiepinggebouwen eist men

per verdieping dat de volgende voorwaar-

de, waarin hi de verdiepingshoogte voor-

stelt, vervuld is.

hiih

300

(17a)

Bovendien moet gelden dat

h

ht

500 (17b)

waarin ht de volledige hoogte van het ge-

bouw voorstelt.

Voor éénverdiepingportalen zonder kraanbaanliggers en zonder scheidingswanden in metsel-

werk eist men

hh

150

(18)

Voor éénverdiepingsportalen met kraanbaanliggers of met scheidingswanden in metselwerk

vergt men een grotere laterale stijfheid:

h

h

300 (19)

6.1.2 Verticale doorbuiging: v

Te grote buigzaamheid van balken en vloeren - die weliswaar toereikende sterkte be-

zitten - heeft in talloze gevallen aanleiding gegeven tot het ontstaan van scheuren en barsten in

de erop rustende gemetselde wanden. Figuur 13 en tabel II verschaffen nuttige inlichtingen

inzake het beperken van de verticale doorbuiging. Deze verticale deflecties worden vooreerst

als volgt gedefinieerd:

Figuur 12

h

h1 h2

h2

h1

ht



max 1 2 0 (20)

max is de zakking in de eindtoestand en gemeten ten opzichte van de rechte die de

steunpunten verbindt.

0 stelt de tegenpijl van de balk in onbelaste toestand voor (toestand 0).

1 is de ogenblikkelijke verandering van de doorbuiging van de balk ten gevolge van

het aanbrengen van de permanente belasting (toestand 1).

2 is de toename van de doorbuiging onder invloed van de variabele belasting en van

de mogelijke tijdsafhankelijke verplaatsingen veroorzaakt door permanente lasten (toe-

stand 2).

Toepassingsdomein max 2

a) Daken: algemeen

b) Daken met een toegankelijkheid die van het

normale onderhoud verschilt

c) Vloeren en balken: algemeen

d) Vloeren die niet-flexibele of brosse scheidings-

wanden dragen

e) Vloeren waarop kolommen rechtstreeks steun

vinden

f) Indien max het uitzicht van het gebouw nadelig

beïnvloedt

g) Kraanbaanliggers

/300

/400

/400

/400

/600

/400

*

/500

/500

/500

/600

/800

-

*

Opmerkingen :

* door de fabrikant te specificeren

is de lengte van de overspanning of het dubbele bij cantilevers

Tabel II

De gegeven grenswaarden zijn indicatief. Meer gedetailleerde inlichtingen kunnen in de NBN

B03-003, daterend van 2003, gevonden worden.

0

1 2

1

2

0

max

Figuur 13



6.2.3 “Further reading”: Trillingshinder

Het verband tussen de trillingsamplitude van een periodiek bewegend, stoffelijk punt

van een constructie en de tijd wordt in figuur 14 voorgesteld.

Is de periodieke beweging

sinusoïdaal, dan geldt:

u uT

t max .sin .2

(21)

waarin de symbolen umax

en T respectievelijk de

amplitude en periode van

de schommelingen voor-

stellen. f = 1

T is de tril-

lingsfrequentie.

Wanneer de frequentie f0 van een inwerkende periodieke kracht nagenoeg met de ei-

genfrequentie f van het constructiedeel samenvalt, bestaat er resonantiegevaar, hetgeen tot

opslingering kan leiden (fig. 15).

u

us

f

f

0

niet gedempt

gedempt

1

opslingering

quasi

statische

responsie

Figuur 15

Bij resonantie kan de amplitude van de schommelingen slechts beperkt worden door het in-

voeren van structurele dempingmiddelen en door materiaaldemping.

Men zal in de richtlijnen eisen dat de laagste eigenfrequentie niet kleiner is dan een

grenswaarde fmin. Die laagste eigenfrequentie wordt berekend met inachtneming van het ei-

gen gewicht (permanente belasting) én van het vaak voorkomende deel van de nuttige belas-

u

umax

T

4 T 2T 3T

tijd

Figuur 14



ting. Het opleggen van een grenswaarde voor de laagste eigenfrequentie heeft uiteraard een

weerslag op de stijfheid van de constructie. Dat is begrijpelijk want hoe stijver de constructie

hoe groter de eigenfrequenties zullen worden. Het impliceert tevens dat de onmiddellijk op-

tredende doorbuigingen bij statische belastingen alsdan kleiner zijn. Vandaar dat men in

sommige landen vaak voorschriften die de doorbuigingen of de hellingen of de krommingen -

teweeggebracht door belastingen met een dynamisch karakter - beperken, zal aantreffen.

De minimumwaarden voor de eigenfrequentie van vloeren worden in tabel III aange-

geven.

Toepassingsdomein fmin

Kantoren

Danszalen, gymnasia, sportzalen

3 Hz

5 Hz

Horizontale trillingen van spektakelzalen met rit-

misch heen en weer wiegelend en zingend publiek 2,5 Hz

Tabel III

Een voorafgaande berekening van de laagste eigenfrequentie f1 van de constructie is een con-

ditio sine qua non voor het uitvoeren van praktische toepassingen aan de hand van deze tabel.

In dit verband verschaft figuur 16 een aantal nuttige inlichtingen betreffende balken met een-

voudige randvoorwaarden.

= 9,869 = 22,37

fEI

m1 22

.

= 3,516 = 15,418

Figuur 16

De in figuur 16 gebruikte symbolen zijn:

EI : de buigstijfheid van de ligger in Nm2

m : de massa per eenheid van lengte in kg/m

: de overspanning in m.



Men gaat gemakkelijk na dat f1, die door de formule in figuur 16 gegeven is - zoals het overi-

gens hoort -, in Hz uitgedrukt wordt.

Volgens de ISO-aanbevelingen wordt de toelaatbaarheid van horizontale en verticale

trillingen voor personen wel eens aan de schaal van Reiher-Meister getoetst: zie tabel IV. Een

stilstaande persoon op een trillende vloer ondervindt noch de amplitude noch de snelheid,

maar wel de versnelling van de beweging. Ook het trillingsgetal speelt hierbij een rol. Voor

harmonische trillingen is het verband tussen de bewegingsamplitude umax enerzijds en de ver-

snellingsamplitude amax anderzijds als volgt:

a u fmax max

. . 4 2 2 (22)

Frequentie (Hz) 3 5 10 20 30 50

umax (mm)

onwaarneembaar voor

mensen beneden

onaanvaardbaar bij langdurige

blootstelling boven

schade aan afwerkingen bij

0,017

0,150

0,440

0,010

0,080

0,220

0,005

0,040

0,075

0,0025

0,020

0,037

0,0015

0,012

0,015

0,001

0,007

0,008

Tabel IV

Een hoog en slank gebouw kan onder invloed van de windstoten ook aan torsietrillin-

gen onderhevig zijn. Een persoon die zich binnen het gebouw bevindt en die naar buiten kijkt,

zal torsieversnellingen vanaf een hoeksnelheid van 0,001 rad/s als hinderlijk ervaren.

Isaac Newton Leonardo Da Vinci

3 Evenwicht van de

vervormbare constructie

en van haar onderdelen

Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen 3.2


1 De studie van het krachtenspel in een constructie

1.1 Beschikbare betrekkingen

Om de krachtenverdeling in een draagsysteem te bestuderen beschikt men over:

1) Aansluit- of compatibiliteits-

voorwaarden die uitdrukken dat de

uiteinden van verschillende onderde-

len, die mekaar in een zelfde knoop

ontmoeten, niet strijdige verplaatsin-

gen ondergaan. In figuur 1 vergt de

compatibiliteit dat de verschuivingen

van de tui in knoop A gelijk zijn aan

de verschuivingen van de kraagligger

in diezelfde knoop A.

2) Constitutieve betrekkingen die in

zeer algemene betekenis het verband geven tussen verplaatsingen en krachten, in enge-

re zin het verband tussen spanningen en rekken.

3) Evenwichtsvergelijkingen van de statica. Het evenwicht kan uitgedrukt worden met

behulp van de axioma’s van Newton of met het beginsel van de virtuele arbeid. Dat

statisch evenwicht moet gelden voor knopen, voor samenstellende onderdelen en voor

de gehele constructie.

Om de krachtwerking in statisch bepaalde draagsystemen te bestuderen doet men uit-

sluitend een beroep op de evenwichtsbetrekkingen; de vervormingen en verplaatsingen volgen

uit de kennis van het materiaalgedrag. Om de spankrachten in statisch onbepaalde construc-

ties te onderzoeken, heeft men de drie opgesomde soorten betrekkingen nodig.

De aansluitvoorwaarden en de evenwichtsvergelijkingen behoren - op zekere schema-

tisaties na1 - tot het domein van de exacte wetenschappen, het opstellen van constitutieve of

gedragswetten is de taak van de beoefenaar van de toegepaste wetenschap: vaak worden hy-

pothesen inzake het materiaalgedrag - elastisch, visco-elastisch, plastisch, aleotroop... - inge-

voerd.

1.2 Het standpunt van de waarnemer

1.2.1 Algemene kanttekeningen

Krachtwerkingen in en vervormingen van een constructie zijn het gevolg van belastin-

gen van allerlei aard. Het krachtenspel is kennelijk onafhankelijk van de waarnemer. Het is de

1 Bijvoorbeeld zal men gemakshalve een balk als een lijn in de ruimte voorstellen, ofschoon de afmetingen van

zijn dwarsdoorsnede niet onooglijk klein zijn.

tui

gemeenschappelijke

knoop

A kraagligger

Figuur 1



taak van laatstgenoemde om de opgesomde effecten op een correcte wijze te interpreteren en

te kwantificeren. Daaruit volgt de noodzaak om specifieke tekenafspraken te maken én conse-

quent na te leven. Op zichzelf lijkt dit makkelijk, maar schijn bedriegt: als men de literatuur

consulteert, komt men snel tot het inzicht dat een uniformiteit in de tekenafspraken quasi on-

bestaande is, wat helaas tot verwarring en verkeerde interpretaties leidt. Vaak is het gebrek

aan eensluidende conventies het gevolg van een vastgeroest en bijna onoverkomelijk gewoon-

tengoed. Nemen wij als voorbeeld een mechanische spanning. De grondmechanicus en de be-

tonconstructeur zullen een drukspanning als een positieve grootheid beschouwen, terwijl de

staalbouwkundige dit voorrecht ongetwijfeld aan een trekspanning zal toekennen!

De in onderhavige collegenotities naar voor gebrachte tekenconventies zullen in het

kader van de opleidingsonderdelen “Berekening van Bouwkundige Constructies I en II” recht-

lijnig toegepast worden. We kunnen evenwel niet genoeg de nadruk vestigen op het relatieve

belang ervan en op het feit dat fysisch inzicht in de fenomenologie van doorslaggevender be-

tekenis is.

1.2.2 De keuze van het assenkruis

We hanteren doorgaans een rechts-

handig, orthonormaal assenstelsel

(fig. 2). Veralgemeende krachten

(krachten en krachtenkoppels) zijn

vectoriële grootheden. Beide heb-

ben componenten volgens de assen

van de triade. Voor een kracht

schrijven we:

F Fx .ex Fy .ey + Fz.ez

(1)

met ex , ey en ez

de eenheids-

vectoren volgens de assen.

Analoge uitdrukkingen gelden

voor de plaatsvector r

, de lineaire

verplaatsingsvector u

, en de hoekverdraaiing

:

r x .ex y .ey + z .ez

(2) , u u .ex v .ey + w .ez

(3) ,

x x y y z z.e .e + .e (4)

x

z

y

F

Fy

Fx

Fz

Figuur 2



2 Mechanische spanningen, rekken en constitutieve

betrekkingen2

We maken een elementair pa-

rallellepipedum met ribben

dx, dy en dz in het lichaam

vrij. De componenten van de

spanningen die werkzaam zijn

op de zijvlakken, worden met

hun positieve zin voorgesteld

in figuur 3. In sommige hand-

boeken over mechanica van

het continuüm worden nor-

maal- en schuifspanningen

door het symbool ij (i,j = x, y

of z) voorgesteld en volgt het

onderscheid tussen beide uit

het verschil in de subscripten:

is i j , dan bedoelt men een

schuifspanning. De schrijver

van onderhavige notities geeft

evenwel de voorkeur aan de

Figuur 3

notatie die in bovenstaande figuur gebruikt wordt.

De spanningscomponenten kunnen matricieel in een zogeheten “spanningsvector” gebundeld

worden:

{}t = {x , y , z , xy , yz , zx} (5)

Evenzo schrijven we de getransponeerde van de “rekvector”:

{}t = {x , y , z , xy , yz , zx } (6)

met:

x

u

x ,

y

v

y ,

z

w

z , (7a)

2

xy xy

u

y

v

x , 2

yz yz

v

z

w

y , 2

zx zx

u

z

w

x . (7b)

2 Er wordt ondersteld dat de lezer de nodige voorkennis in het opleidingsonderdeel “Mechanica van Materialen”

(W. Van Paepegem, J. Degrieck, Gent, 2002) verworven heeft.

y

yx

yz

zx

z

xy

zy

xz

yz

y

zy

xy

zx

z yx

xz

x

y

x

z

x



Ingeval de verplaatsingen en de verplaatsingsgradiënten klein zijn, mogen we inder-

daad zonder bezwaar de gelineariseerde uitdrukkingen (7) gebruiken. Mitsdien kunnen we de

volgende meetkundige betekenis aan de rekken en glijdingen toeschrijven: de rek x is de rela-

tieve lengteverandering van een lijnstuk dx, terwijl de glijding xy de vermindering van de

aanvankelijk rechte hoek tussen de orthogonale lijnstukken dx en dy voorstelt. Een analoge

interpretatie geldt voor y , z enerzijds en yz , zx anderzijds.

Tussen spanningen en rekken bestaan verbanden: de zogeheten constitutieve betrek-

kingen of gedragswetten. Indien het materiaal lineair elastisch, homogeen en isotroop is en

indien de rekken klein zijn, gelden de inmiddels klassiek geworden betrekkingen van Hooke.

Ze zijn het eenvoudigst te onthouden in flexibiliteitsgedaante3:

x

y

z

xy

yz

zx

x

y

z

xy

yz

zx

E

1

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 2 1 0 0

0 0 0 0 2 1 0

0 0 0 0 0 2 1

.( )

( )

( )

.

(8)

In verkorte notatie schrijven we: {} = [ D ]-1

. {}. (9a)

De inverse betrekkingen luiden dan: {} = [ D ] . {} (9b)

E en in (8) stellen respectievelijk de elasticiteitsmodulus of modulus van Young en de

dwarscontractiecoëfficiënt van Poisson voor.

De glijdings- of schuifmodulus wordt gegeven door: GE

2 1( )

. (10)

3 Een flexibiliteitsbetrekking geeft de uitdrukking van een veralgemeende verplaatsing als expliciete functie van

de veralgemeende krachten; bij een stijfheidsbetrekking is het net andersom.



3 Spanningsresultanten bij balken2: het driedimensionale geval

Een prismatische balk kan een willekeurige stand in de ruimte innemen. Het is derhal-

ve aangewezen om - naast het algemene cartesische kruis XYZ - een lokaal, staafgebonden

assenstelsel xyz, in hetwelk de spanningsresultanten gedefinieerd worden, in te voeren. De x-

as verbindt de zwaartepunten van de overdwarse doorsneden, de y- en de z-as vallen samen

met de hoofdtraagheidsassen4 van de doorsnede en daarbij nemen we de zin van laatstge-

noemde zodanig dat xyz een rechtshandig stelsel vormt.

Figuur 4 toont de positieve zin van de normaalkracht N, de dwars- of schuifkrachten

Vy en Vz, het wringmoment of torsiekoppel Mx (of T) en de buigende momenten My en Mz.

We merken op dat de zin van N en Mx samenvalt met de uitwendige normaal op de dwars-

doorsnede. De zin van de dwarskrachten en buigende momenten valt samen met de y- of z-as

indien de zin van de uitwendige normaal op de dwarsdoorsnede met de zin van de x-as over-

eenstemt. Is aan deze voorwaarde niet voldaan, dan worden die dwarskrachten en buigende

momenten positief gerekend als hun fysische zin tegengesteld is aan deze van de y- en z-as.

Figuur 4

4 Het begrip “hoofdtraagheidsas” zal ten gronde behandeld worden in het hoofdstuk “Bijzondere aspecten van de

balkentheorie”.

Mz My

Vy

Mz Vz N

Mx = T

x

Y

X

Z

y

Mx = T

N

z

Vz

Vy

My



Indien we de componenten van gebeurlijk op de ligger inwerkende gespreide belastin-

gen als px, py en pz noteren, dan gelden kennelijk de volgende betrekkingen:

zz

yy

x pdx

dV,p

dx

dV ,p

dx

dN (11)

zy

yz V

dx

dM, V

dx

dM (12)

4 Vlakke stavenconstructies

Draagsystemen kunnen vaak tot een samenstel van vlakke stelsels geschematiseerd

worden. Doorlopende liggers, driehoeksvakwerken, raamwerken met één of meerdere verdie-

pingen en beuken zijn slechts enkele voorbeelden van tweedimensionale constructies.

De spanningsresultanten in een op enkelvoudige buiging belaste balk zijn de dwars-

kracht en het buigend moment. We zullen in het tweedimensionale geval altijd impliciet on-

derstellen dat de krachtswerkingen en gegeneraliseerde verplaatsingen (i.e. zakkingen en

hoekverdraaiingen) in het xy-assenkruis beschreven worden (fig. 5). Voor de eenvoud noteren

we dan:

dwarskracht V ( = Vy )

buigend moment M ( = Mz )

verplaatsing v

rotatie = dv

dx ( = z )

kromming = d

dx

d v

dx

2

2

Figuur 5

Merk op dat - mits de dwarskrachtvervorming verwaarloosd wordt - de hoekverdraai-

ing van de hartlijn van de balk dezelfde is als deze van de overdwarse doorsnede. Noteer te-

vens dat de uitdrukking voor de kromming slechts geldt indien de verplaatsingen ten opzichte

van de afmetingen van de balk klein zijn (1ste-orde theorie).

In de vlakke balkentheorie maken we vaak gebruik van de gedragsvergelijking:

M

EI (13)

y

v

M V M x

V dx



Toepassingsvoorbeeld (fig. 6)

Een prismatische balk AB met lengte en buigstijfheid EI ( = EIz ) wordt gelijkmatig belast.

Bepaal de dwarskrachten- en buigende momentenlijnen evenals de hoekverdraaiingen en

doorbuigingen volgens de lineaire elasticiteitsleer.

Oplossing:

Steunpuntsreacties: YA = YB = p

2

Dwarskrachten: V(x) = - YA + p.x = - p

2 + p.x

Buigende momenten: M(x) = YA . x - p x. 2

2 =

p

2. x -

p x. 2

2

Hoekverdraaiing en doorbuigingen:

d

dx

d v

dx

M

EI

2

2

EIp x px

C 2 3

4 6 , EIv

p x pxCx D

3 4

12 24

De integratieconstanten C en D worden bepaald door gebruik te maken van de kinematische

randvoorwaarden: v(0) = v() = 0 D = 0 , C = 24

p 3 .

Hiermee wordt de uitdrukking van de hoekverdraaiing en de doorbuiging:

24

p

6

px

4

xpEI

332 en

24

xp

24

px

12

xpEIv

343 . Extremale waarden van de hoek-

verdraaiing treden op voor x = 0 en x = : 24EI

p 3

max

. Deze van de doorbuiging vindt

men kennelijk voor x

2:

384EI

5pv

4

max

.



Figuur 6

Opmerking: de uitwendige belasting - een vectoriële grootheid - in figuur 6 heeft een neer-

waarts gerichte drager waardoor py in feite gelijk is aan - p!

y

x

p

A

B

EI ,

V

M

2

p

8

p 2

v

384EI

5p 4

24EI

p 3

24EI

p 3

2

p



5 Geometrisch niet-lineair gedrag

Wanneer men het evenwicht van een belaste constructie bestudeert, mag men feitelijk

nooit uit het oog verliezen dat haar stoffelijke punten verplaatsingen hebben ondergaan en dat

bijgevolg de vervormde evenwichtsstand van de oorspronkelijke geometrie verschilt. Bij het

neerschrijven van de evenwichtsbetrekkingen zou men in principe de krachtarmen in de ver-

vormde stand in rekening moeten brengen. Vaak zijn de verplaatsingen evenwel zo klein dat

men zonder bezwaar beide geometrieën met elkaar mag “verwarren” en men geen noemens-

waardige fouten begaat door de bedoelde evenwichtsbetrekkingen aan de hand van een rede-

nering op de oorspronkelijke, onvervormde en onbelaste stand van het lichaam op te stellen.

Er zijn nochtans uitzonderingen: instabiliteitsproblemen kunnen met behulp van een

lineaire theorie niet bestudeerd worden en verdiscontering van het “P-” effect (cfr. Aanvul-

lingen bij de Methode van Gehler in “Berekening van Bouwkundige Constructies III”) vergt een

hogere-orde aanpak.

We illustreren het hierboven gezegde aan de hand van een eenvoudig mechanisch mo-

del (fig. 7). Een verticale stijl AB, gemaakt van een onvervormbaar materiaal, wordt in B door

een horizontale kracht F belast. De stijl rust in A op een scharnieroplegging en een rotatieveer

bewerkstelligt een elastische inklemming. Tijdens de verplaatsing van het systeem beschrijft

B een cirkelboog. We leggen de evenwichtsstand AB’ vast door middel van de veralgemeende

coördinaat . De veer oefent op het staafeind

A een tegenwerkend koppel C uit, waarvan we

aannemen dat de grootte recht evenredig is

met de wenteling van het staafeind. Zij de

veerconstante k [Nm/rad], dan wordt het te-

genwerkende koppel: C = k . ( )

2 .

Exacte, niet-lineaire berekening:

Het wentelingsevenwicht van AB’ vergt:

C F. .sin 0 of 2 F.

k

sin

(14)

Deze transcendente vergelijking bepaalt

de correcte stand van AB’. Merk op dat

we de verandering van de krachtarm van

F bij het uitschrijven van de evenwichts-

betrekking in rekening gebracht hebben.

Zijn de verplaatsingen klein, dan mogen

we gemakshalve AB’ met AB “verwar-

y

k

x

A

C

y

F

F

B

B’

Figuur 7



ren”. Bijgevolg is

2

, hetgeen betekent dat sin 1 en waardoor vergelijking (14)

als volgt kan herschreven worden:

C F. 0 of 2

F.

k

(15)

Wanneer men een lineaire berekening voert, doet men er goed aan de gevonden resul-

taten even aan de uitgangsonderstellingen te toetsen. Is in bovenstaand voorbeeld F.

k

1111. ,

dan geeft de lineaire theorie =

6 833,. Daarmee zijn de verplaatsingen allerminst “klein” en

maakt men een niet te verwaarlozen fout. De juiste oplossing is immers

4

, en de relatie-

ve fout bedraagt 41 % !

6 Het beginsel van de virtuele arbeid

6.1 Formulering

6.1.1 In de rationale mechanica bewijst men de volgende stelling:

Opdat een bepaalde stand van een stelsel van stoffelijke punten een statische even-

wichtsstand zou wezen, is het nodig én voldoende dat de totale virtuele arbeid van alle uit-

wendige belastingen en reactiekrachten Fi

en van de inwendige krachten Ri

die de stoffelij-

ke punten onderling op elkaar uitoefenen, nul is voor elke mogelijke combinatie van virtuele

verplaatsingen u i

vanuit die evenwichtsstand:

( ).F R ui i ii

0 (16)

Reactiekrachten ontstaan daar waar het stelsel met de buitenwereld of met een ander stelsel

verbonden is. Men onderstelt dat deze verbindingen tweezijdig, wrijvingsloos en onafhanke-

lijk van de tijd zijn. Figuur 8 toont een eenzijdige verbinding waarbij de roloplegging B een

opwaartse maar geen neerwaartse reactie op het rechter balkeind kan uitoefenen.



Figuur 8: eenzijdige verbinding

6.1.2 Indien het stelsel van stoffelijke punten uit een samenstel van één of meerdere onver-

vormbare of starre lichamen bestaat en indien de virtuele verplaatsingen deze in een stand

brengen die het resultaat is van een starre translatie en een starre rotatie - een zogenaamde

sleepbeweging waarbij de onderlinge afstand van de stoffelijke punten niet verandert -, dan is

de inwendige virtuele arbeid voor de samenstellende onderdelen nul en geldt:

F ui ii

. 0 (17)

Deze stelling wordt het beginsel van de virtuele arbeid voor onvervormbare lichamen ge-

noemd.

F

A B A B

F YB = 0

YB



Toepassingen (fig. 9):

a) Een starre staaf AB rust in A op een scharnier en in B op een rol. Een verticale kracht F

grijpt op een afstand /4 van het linkersteunpunt aan. Met het beginsel van de virtuele ar-

beid bepalen we de oplegreactie in B. Daartoe geven we aan de staaf een virtuele verplaat-

sing, die uit een denkbeeldige, kleine wenteling om A bestaat. Bijgevolg leveren de reac-

tiecomponenten in A geen bijdrage tot de virtuele arbeid en wordt (17):

F u F Yi ii

B

. . .

4

0 , waaruit: YBF

4

.

Figuur 9

b) Een samenstel ACB van starre, scharnierende stangen wordt met een verticale kracht F in C

belast. Bereken de horizontale reactiecomponent die door het scharnier in B op de stang

CB wordt uitgeoefend.

Zoals in figuur 9 door een stippellijn voorgesteld is, geven we aan het gestel een virtuele

verplaatsing, bestaande uit een sleepbeweging van de staven AC en CB. Krachtens de stel-

ling van de virtuele arbeid moet gelden dat F CD XB BB. . ' 0. De gelijkvormigheid van

de driehoeken ACM en CC’D vergt dat CD

DC

AM

MC f'

2 en wegens symmetrie is BB’=

2DC’. Ten slotte bekomt men XBF

f

4, een resultaat dat men makkelijk door middel

van de statica kan verifiëren.

F F

A B A B a

YB

F

f

A

/4

/4

C

D

C’

XB

B B’

M

/2 /2

b



6.1.3 We willen echter vervormbare media of continua, die bestaan uit een verzameling van

oneindig veel stoffelijke punten bestuderen en gebruiken derhalve betrekking (16), die we

enigszins anders formuleren:

Een vervormingstoestand van een continuüm is een toestand van statisch evenwicht enkel en

indien de totale virtuele arbeid van alle uitwendige belastingen en reactiekrachten Fi

en van

alle inwendige krachten Ri

, die de stoffelijke punten onderling op elkaar uitoefenen, nul is

voor elke mogelijke combinatie van virtuele verplaatsingen ui

vanuit die evenwichtsstand.

Opmerkingen:

Indien de virtuele verplaatsingen met de kinematische randvoorwaarden verenigbaar

zijn - dit wil zeggen als ze nihil zijn op die plaatsen waar het lichaam opgelegd en/of in-

geklemd is - , dan verrichten de uitwendige reactiekrachten gedurende een virtuele ver-

plaatsing van het lichaam klaarblijkelijk geen virtuele arbeid.

Het bewijs van (16) berust enkel op de axioma’s van Newton. Vermits er betreffende de

gedragswetten van de materialen waaruit het lichaam samengesteld is, geen onderstel-

lingen gemaakt worden, is de betrekking (16) geldig voor elastische, plastische, elasto-

plastische... materialen.

6.2 Virtuele verplaatsingen

Virtuele verplaatsingen zijn denkbeeldige, niet werkelijk aanwezige, lineaire en angu-

laire verplaatsingen. In tegenstelling tot wat in sommige tekstboeken beweerd wordt, is de

enige restrictie waaraan ze horen te voldoen, dat ze “zeer klein” moeten zijn. Daarmee bedoe-

len we dat ze ten opzichte van de afmetingen van de constructie zo klein moeten zijn dat de

krachtsarmen gedurende een virtuele beweging niet noemenswaardig veranderen.

De virtuele verplaatsingen zijn overigens volkomen willekeurig - men is vrij in de

keuze ervan - en ze brengen het lichaam in een virtuele vervormingstoestand, die geen even-

wichtsstand hoeft te zijn. Bij het tot stand brengen van een virtuele beweging en de daarmee

gepaard gaande virtuele vervormingen hoeft men met de verschillende stijfheden van de on-

derdelen van het lichaam geen rekening te houden.

Virtuele verplaatsingen zijn noch afhankelijk van de krachten die werken op, noch van

de spanningen die heersen in het lichaam. Tijdens een virtuele beweging worden deze krach-

ten en spanningen in grootte en richting onveranderlijk geacht. Daarom ook is er sprake van

virtuele arbeid en deze verschilt van de werkelijke arbeid die de belastingen verricht hebben

om het lichaam in de bestudeerde evenwichtstoestand te brengen.



6.3 Virtuele arbeid bij virtuele rek

Figuur 10 stelt een staaf voor die aan een trekkracht n onderworpen is. We wensen de

virtuele arbeid van de inwendige krachten, per eenheid van lengte van de staaf, bij een virtuele

rek te becijferen

We maken een moot dx van

de staaf vrij. Langs beide verticale

begrenzingen van het mootje zijn

spankrachten werkzaam. In dit geval

betreft het normaalkrachten n, die

voor dat mootje uitwendige krachten

zijn en die het mootje - indien de in-

nerlijke samenhang van het materiaal

hiertegen geen verzet bood - zouden

uiteenrijten. Bijgevolg bestaan in het

inwendige van het mootje krachten

Ri. Indien men een virtuele, axiale

verplaatsing u aan de linkerbegren-

zing en een verschuiving u + .dx aan de rechterbegrenzing teweegbrengt, dan luidt het be-

ginsel van de virtuele arbeid, toegepast op het elementaire deellichaam:

- n. u + n.( u+.dx) + R uii

i

. 0 of R ui

ii

. - n..dx (18)

Bijgevolg is de inwendige arbeid bij virtuele rek, per eenheid van lengte van de staaf, gelijk

aan -n. . Deze arbeid is negatief omdat de virtuele rek de naburige doorsneden van elkaar

verwijdert tegen de zin van de inwendige krachten Ri in, die de vervorming tegenwerken.

6.4 Virtuele arbeid bij virtuele kromming, eventueel in combinatie met

virtuele rek

Een staaf is aan beide uitein-

den door twee krachtenkoppels m

belast. We beschouwen weerom

twee naburige overdwarse doorsne-

den op een afstand dx van elkaar en

maken een elementair lichaam vrij

(fig. 11). De uitwendige belasting op

de moot bestaat uit de buigende

momenten m, waarvan het effect

door inwendige krachten Ri gecom-

penseerd wordt.

We nemen als virtuele verplaatsin-

gen de rotaties en +()’.dx,

n n

x dx

n n n n

u

u+.dx

Figuur 10



waarbij

' d

dx (virtuele kromming) en waarbij een virtuele hoekverdraaiing posi-

tief gerekend wordt in tegenwijzerzin, d.i. volgens de uit het vlak van de tekening tredende z-

as. Toepassing van (16) op het mootje dx geeft:

0u.Rdx..m.m ii

i

of R uii

i

. m dx. . (19)

Is een staaf tegelijkertijd aan buigende momenten en normaalkrachten onderworpen,

dan wordt de uitdrukking voor de inwendige virtuele arbeid, per eenheid van lengte:

R uii

i

. n m. . (20)

Een normaalkracht verricht immers geen arbeid bij een virtuele kromming en evenmin ver-

richt een buigend moment arbeid bij een virtuele rek.

6.5 Virtuele arbeid bij een willekeurige virtuele vervorming, per eenheid

van volume

Hetgeen voorafgaat kan men voor driedimensionale continua veralgemenen. Mits ge-

bruik van de notaties uit lid 2 schrijft men in dat geval:

R u dV dVii

it

V

t

V

. . . . . (21)

De gelijkwaardigheid van de twee schrijfwijzen in de rechterleden van (21) volgt uit de com-

mutativiteit van het scalair product.

6.6 Analytische schrijfwijze van het beginsel

Mits inachtneming van de leden 6.3 - 6.5 wordt het beginsel van de virtuele arbeid,

wiskundig door (16) vertolkt, als volgt geschreven:

F u dVi it

Vi

. . . (22a)

voor continua, en

F i u i n m dxi

. ( . . ).

(22b)

voor staven onderworpen aan samengestelde buiging.



6.7 Opmerkingen

Virtuele rekken en glijdingen bevatten geen termen die kwadratisch zijn in de verplaat-

singsgradiënten en worden steeds als volgt gedefinieerd:

x

u

x , 2

xy xy

u

y

v

x , .... (23)

Indien het virtuele verplaatsingenveld een starre beweging beschrijft - d.w.z. een starre

translatie en een starre rotatie of een zogenaamde sleepbeweging -, dan zijn er noch relatieve

lengteveranderingen noch gedaanteveranderingen. In dat geval zijn met andere woorden de

virtuele rekken en glijdingen nul. Uit het beginsel van de virtuele arbeid volgt dan dat de vir-

tuele arbeid van de uitwendige krachten nul is.

7 Berekening van verplaatsingen met behulp van het beginsel van de virtuele arbeid

7.1 Algemene werkwijze: bepaling van een lineaire verplaatsing

Een vlak lichaam L wordt ver-

vormd ten gevolge van een willekeu-

rige oorzaak (uitwendige belastingen,

thermische effecten, zetting van een

steunpunt...). Onderstel dat de ware

verplaatsingen ten opzichte van de

afmetingen van L zeer klein zijn. We

nemen bovendien aan dat alle plaatse-

lijke vervormingen bekend zijn. Zij

AB een koorde van het lichaam L,

AB de corresponderende stand in het

vervormde lichaam en p een gegeven

richting. De vraag die we wensen te

beantwoorden, luidt: bepaal de ver-

plaatsingscomponent a van een punt P

van L, volgens de gegeven richting p

en relatief ten opzichte van AB, tij-

dens de vervorming van het lichaam.

Anders gezegd: bepaal

a u rel p

. 1 .

u rel P P

" ' is de relatieve beweging. u A PQ

stelt een translatie en een rotatie voor.

Merk op dat de verplaatsingen in figuur 12 voor de aanschouwelijkheid opzettelijk groot gete-

kend werden. In werkelijkheid verschilt A weinig van A, B weinig van B’...



Beschouw thans een hulplichaam L1 dat grondig van L mag verschillen, maar dat wel

de punten A, B en P bevat (fig. 13). L1 draagt in P een kracht F = 1 volgens de richting p. Het

wordt door een scharnier in A en door een rol in B gesteund en is in die stand in statisch

evenwicht. Zij RA en RB de steunpuntreacties. Ten gevolge van de belasting F wordt in het

hulplichaam een spankrachtenverdeling, die voldoet aan de vergelijkingen van het statische

evenwicht, opgebouwd. De stijfheid van de onderdelen van L1 hoeven we niet te kennen.

Nadat de kracht F aangebracht is, vervolledigen we L1 door de eventueel ontbrekende

onderdelen van L aan het hulplichaam “vast te lassen”. Op dit ogenblik zijn deze onderdelen

kennelijk spanningsvrij. We passen het beginsel van de virtuele arbeid op het aldus vervolle-

digde lichaam L1 toe. Omdat geponeerd werd dat de verplaatsingen van L klein zijn, mogen

we de virtuele verplaatsingen en vervormingen van L1 zodanig kiezen dat ze gelijk zijn aan de

ware verplaatsingen en vervormingen van L.

Het beginsel luidt derhalve: F ii

u i R i u ii

. . 0 of F

i

ut

dV

L

. . .

1

!

Vermits u u star u rel

en vermits tijdens de sleepbeweging van een lichaam geen uit-

wendige virtuele arbeid geleverd wordt, bekomt men:



R AA R BB F PP

starre bew

R B B F uA B B rel

. ' . ' ' . ' ' . ' ' ' .

0 ( eging)

tdV

L

. .

1

of

R B B B F u rel

. ' ' ' . t

dV

L

. .

1

. Ten slotte is de term R B B B RB B B

. ' ' ' . ' ' ' .sin

van de 2de-orde in de gegeneraliseerde verplaatsingen: hij is immers het product van twee

kleine grootheden BB5 en sin . Vermits F = 1 volgt onmiddellijk het antwoord op de

gestelde vraag:

a F u relL

t dV n m ds

L

. . . ( . . ).

1 1

(24)

Opmerkingen:

Het tweede lid van (24) geldt algemeen voor vlakke draagsystemen. In deze gevallen

zijn {} de spanningen die in L1 door de kracht F = 1 opgewekt worden. {} zijn de

rekken en glijdingen van het gegeven lichaam L die men als virtuele vervormingen op

het bijgewerkte lichaam L1 overbrengt.

Het derde lid van (24) is van toepassing bij vlakke stavenstelsels in de onderstelling dat

de dwarskrachtvervorming verwaarloosd wordt. Alsdan zijn n en m de door de een-

heidsbelasting in L1 veroorzaakte normaalkrachten en buigende momenten. en zijn

respectievelijk de overlangse rek en de kromming van L die als veralgemeende virtuele

vervormingen op L1 overgebracht worden.

7.2 Bepaling van een hoekverdraaiing

We wensen de hoekverdraaiing in een punt P, relatief ten opzichte van de vervormde

stand van een koorde AB van het lichaam L, te begroten. Daartoe ontvouwen we een analoge

redenering als in § 7.1 en plaatsen we een uitwendig eenheidskoppel Mu = 1 in het punt P van

het hulplichaam L1 .

Men vindt deze wenteling door toepassing van het beginsel van de virtuele arbeid op

het hulplichaam (fig.14).

Vermits F ii

u i Mu.

. geldt:

t dV

L1

= ( . . ).n m ds

L

1

(25)

5 B”B’ is de verlenging van de koorde AB die tijdens de vervorming van het lichaam onstaat.



{} (respectievelijk n , m) zijn de spanningen (spanningsresultanten) die in L1 door het uit-

wendige eenheidskoppel Mu opgewekt worden.

7.3 Verplaatsing ten opzichte van een vezel van het vervormde lichaam

Ditmaal beschouwen we een vezel v die met het punt A van een lichaam L vast ver-

bonden is (fig. 15). Tijdens de verplaatsing en vervorming van L ondergaat deze vezel een

sleepbeweging en neemt hij de stand v’ aan. We bestuderen de relatieve verschuiving van een

punt P van L ten opzichte van de vezel. Meer bepaald zoeken we de component a van die rela-

tieve beweging, gemeten volgens een vaste richting p.

We passen de algemene werkwijze toe, met dien verstande dat we het hulplichaam

thans in A inklemmen en dat we L1 met een kracht F = 1, waarvan de werklijn met de richting

p evenwijdig is, belasten. Door toepassing van het virtuele arbeidsbeginsel op L1 vindt men

dadelijk:

a n m ds

L

( . . ).

1

(26)

B

L’ L

P=A=A’

B

L1

Mu = 1

P

B’

Figuur 14



waarbij n en m respectievelijk de normaalkrachten en buigende momenten in L1 zijn, opge-

wekt door de hulpkracht F = 1 volgens p.

7.4 Wenteling ten opzichte van een vezel van het vervormde lichaam

Net als in voorgaande paragraaf

neemt men een hulplichaam dat in A

ingeklemd wordt (fig. 16). In het punt P,

waar men de relatieve hoekverdraaiing

wenst te bepalen, brengt men nu evenwel

een uitwendig krachtenkoppel Mu = 1

aan. Merk op dat in de zin van Mu ge-

meten wordt. Het resultaat is:

( . . ).n m ds

L

1

(27)

met n en m de spanningsresultanten die

door het eenheidskoppel in L1 teweeggebracht worden en met en de rekken en krommin-

gen van L die men als virtuele vervormingen op L1 overbrengt.

v v’

A

A’ L L’

v P

L1

A

P

P’

Mu = 1

Figuur 16

p

v P’

A

P” L’

L

v

L1 F = 1

A

a p

P

A’

Figuur 15

P

v’



7.5 Opmerkingen

Op bovenstaande wijze werd de berekening van een veralgemeende verplaatsing (een

geometrisch probleem) herleid tot een statisch probleem, met name het bepalen van de

spankrachten in het hulplichaam.

Aangezien de vervormingen van L bekend moeten zijn, is een exacte kennis van de reo-

logie vereist. Er kan twijfel rijzen omtrent de materiaaleigenschappen maar de afleiding

van de verplaatsingen uit die vervormingen is correct.

Het beginsel van de virtuele arbeid voor virtuele verplaatsingen drukt enkel en alleen het

statische evenwicht van het hulplichaam L1 uit. Is L1 statisch onbepaald, dan moeten n,

m, {} … ten gevolge van F = 1 of M = 1 aan de voorwaarden van het statisch even-

wicht en aan geen andere voorwaarde beantwoorden! Iedere spankrachtenverdeling die

op de genoemde voorwaarden geen inbreuk pleegt, zal de correcte uitkomst opleveren.

8 Elastische stavenstelsels met kleine rekken en verplaatsingen

Het materiaal waarvan de constructiedelen gemaakt zijn, wordt thans lineair elastisch,

homogeen en isotroop ondersteld. Meer bepaald gelden de wetten van Hooke en worden de

veralgemeende gedragswetten - rekening houdend met de betekenis van de symbolen die in de

leden 2, 3 en 4 van dit hoofdstuk verklaard werd - als volgt opgetekend:

N

EA en =

d

dx

M

EI (28)

8.1 De integralen en analogieën van Mohr: verplaatsing en hoekverdraai-

ing ten opzichte van een koorde in een al dan niet prismatische ligger

op twee of meerdere steunpunten

8.1.1 Doorbuiging ten opzichte van een koorde van de elastische lijn

Figuur 17a toont een ligger die aan een niet nader gespecificeerde, uitwendige belas-

ting onderworpen is. Laatstgenoemde geeft aanleiding tot bij onderstelling bekende buigende

momenten M. Figuur 17b geeft het gereduceerd momentenvlak of krommingen M

EI. We

wensen de doorbuiging a in het punt P, ten opzichte van de koorde AB, te becijferen. Daartoe

nemen we een hulplichaam L1 , ondersteund door een scharnier in A, rustend op een rol in B

en belast met een verticale eenheidskracht F in P (fig. 17c). Zij de overspanning van AB.

Het buigende momentendiagram voor het hulplichaam is driehoekig (fig. 17d).

Krachtens het beginsel van de virtuele arbeid (24) dat op het hulplichaam toegepast

wordt, vindt men onmiddellijk:

a

1L

.dxEI

Mm.

1L

.dxm.

1L

.dxm. (29)



We benadrukken dat EI

M de

krommingen in L (en niet deze

in L1) voorstellen. Het teken van

a wordt bepaald door de zin die

we aan de eenheidskracht heb-

ben toegekend. Bijvoorbeeld is a

in de figuur negatief.

Men kan (29) als volgt interpre-

teren. Beschouw weerom het

hulplichaam waarop een ge-

spreide, fictieve last, die in elk

punt de amplitude q = EI

M bezit,

inwerkt (fig. 18a). De zin van q

is volgens de y-as gericht indien

het gereduceerd moment positief

is.

Figuur 17

Het buigend moment dat in P door

de fictieve last q.dx = EI

M.dx, in-

werkend op een afstand x rechts

van het scharnier A, teweegge-

bracht wordt, is gelijk aan

.u'x

.dx.EI

M

. Uit figuur 18b

blijkt deze laatste uitkomst gelijk

te zijn aan m.dx.EI

M, wat precies

de integrand in het rechterlid van

(29) is. Daaruit volgt de eerste

analogie van Mohr:

Figuur 18

“De verticale verplaatsing van een punt P, gelegen tussen de punten A en B van een al

dan niet doorgaande, al dan niet prismatische balk, en gemeten ten opzichte van de koorde

AB in de belaste en dientengevolge vervormde stand, is gelijk aan het buigend moment in het

punt P van een eenvoudig opgelegde hulpligger AB, die een fictieve, gespreide belasting

L A B

F = 1

A B

u u’

y

elastica

x

M

EI

L1

m

x

u.u'

a

b

c

d

P

a

m

x

q

A dx B

u u’

x

u'.x

x

u.u'

P

a

b



draagt, waarvan de amplitude in ieder punt gelijk is aan het plaatselijke, gereduceerde mo-

ment in het oorspronkelijke gestel.”

De punten A en B mogen,

maar hoeven niet met de ware

steunpunten samen te vallen. In

laatstbedoelde geval berekent men

met de integraal van Mohr (29) de

relatieve verplaatsing, zoals in

figuur 19 verduidelijkt wordt.

Merk op dat in het bijzon-

dere geval van figuur 19 het punt

P zich niet tussen A en B bevindt.

Het gevolg ervan is dat de analo-

gie van Mohr haar betekenis ver-

liest, en men zou een belachelijk

resultaat vinden, indien men ze

onbedachtzaam toepaste.

8.1.2 Hoekverdraaiing ten opzichte van een koorde

In dit geval zijn we geïnteresseerd in de hoekverdraaiing van de raaklijn aan de elasti-

sche lijn in P, gemeten ten opzichte van de koorde die de steunpunten A en B verbindt. We

rekenen bedoelde rotatie positief in tegenwijzerzin (fig. 20). Onderstel weerom dat alle plaat-

selijke krommingen bekend zijn.

We maken gebruik van een hulplichaam AB, ondersteund door een scharnier in A,

rustend op een rol in B en in het punt P thans met een linksdraaiend, uitwendig eenheidskop-

pel belast. Zij m de buigende momenten in het hulplichaam (fig. 20d). De hoekverdraaiing

wordt gevonden door toepassing van het beginsel van de virtuele arbeid op het hulplichaam:

1L

.dxEI

Mm.

1L

.dxm.

1L

.dxm. (30)

De zin volgens dewelke positief gerekend wordt, valt samen met de zin van het aangebrach-

te, uitwendige eenheidskoppel.

We bedienen ons van de volgende werkwijze om betrekking (30) te interpreteren en de

tweede analogie van Mohr af te leiden. Belast het hulplichaam met een gespreide, fictieve be-

y

elastica

A B P x

a

M

EI

m

A B P

F = 1

L

L1

u

u

x

Figuur 19



lasting, die in elk punt de amplitude q = EI

M bezit (fig. 21). De zin van q is volgens de y-as

gericht indien het gereduceerde moment positief is.

In het punt P van het

hulplichaam is de bijdrage tot

de dwarskracht, die door een

“belasting” q.dx = EI

M.dx, aan-

grijpend op een afstand x rechts

van A, teweeggebracht wordt,

gelijk aan

x.dx.

EI

M . Zoals

blijkt uit figuur 21b is deze uit-

slag - op het teken na - de inte-

grand van betrekking (30),

tenminste indien de fictieve last

tussen A en P inwerkt. De lezer

kan gemakkelijk nagaan dat

wanneer een elementaire, fictie-

ve belasting in een punt gelegen

tussen P en B aangrijpt, een

zelfde besluit kan getrokken

worden, weshalve we de 2de

analogie van Mohr als volgt

formuleren:

“De wenteling van de

raaklijn in een punt P, gelegen

tussen de punten A en B van een

al dan niet doorgaande, al dan

niet prismatische balk, en ge-

meten ten opzichte van de koor-

de AB in de belaste en dienten-

gevolge vervormde stand, is op

het teken na gelijk aan de

dwarskracht in het punt P van

een eenvoudig opgelegde

hulpligger AB, die een fictieve,

gespreide belasting draagt,

waarvan de amplitude in ieder

punt gelijk is aan het plaatselij-

ke, gereduceerde moment in het

oorspronkelijke gestel.”

y

elastica

A P B x

M

EI

A B

u u’

m

u

u'

L

Mu = 1

L1

P’

x

a

b

c

d

Figuur 20

qM

EI

A B x

m

x

u

x

Figuur 21

dx P

u u’

x



Deze analogie geldt evenzeer wanneer de punten A en B niet met de uitwendige verbin-

dingen samenvallen, en wanneer P in het interval AB gelegen is. In dit geval becijfert men

met (30) een relatieve hoekverdraaiing (dit is: relatief ten opzichte van de gewentelde stand

van de koorde). Als P evenwel buiten het interval AB valt, zoals in figuur 22 geïllustreerd

wordt, is de integraal van Mohr (30) evenzeer geldig, maar verliest de analogie haar beteke-

nis. Men bedient zich dan van een isostatisch hulplichaam met een uitkragend gedeelte, aan

het einde waarvan men een krachtenkoppel laat inwerken. De buigende momenten in het

hulpgestel zijn in figuur 22d voorgesteld.

8.2 De stellingen van Greene: elastische draaiing en verplaatsing van een

doorsnede ten opzichte van een raaklijn aan de elastische lijn in een

andere doorsnede

8.2.1 Elastische draaiing van een doorsnede ten opzichte van een andere door-

snede (fig. 23)

We wensen de hoekverdraaiing van de doorsnede P van een belaste ligger ten opzichte

van een doorsnede A te becijferen. Vermits de dwarskrachtvervorming verwaarloosd wordt, is

de hoek dezelfde als deze die door de raaklijnen aan de elastica in de punten A en P gevormd

wordt.

De raaklijn in A’ speelt de rol van referentievezel. We bedienen ons van een hulplichaam AP,

dat we in A inklemmen en aan het uiteinde P met een koppel Mu = 1 belasten (fig. 23c). Het

buigend momentenverloop m is rechthoekig en wordt in figuur 23d voorgesteld. Het virtuele

y

elastica

L

M

EI

A L1 B Mu = 1

m

1

A B P

A’ P’

B’

u

x

Figuur 22

a

b

c

d



arbeidsbeginsel, toegepast op het hulplichaam (cfr. §7.4), levert meteen de gezochte relatieve

hoekverdraaiing:

P

A

P

A

P

AAP .dx

EI

M.dxm..dxm. (31)

Gelet op het rechterlid van (31) luidt de eerste stelling van Greene: “De elastische draaiing

van een doorsnede van een balk ten opzichte van een andere doorsnede wordt gegeven door

de oppervlakte van het gereduceerd momentenvlak begrepen tussen beide doorsneden.”

8.2.2 Elastische verticale verplaatsing van een doorsnede ten opzichte van de

raaklijn aan de elastica in een andere doorsnede

Men vindt de verplaatsingscomponent a (fig. 24a) door de kraagligger L1 in het punt P

met een verticale kracht F = 1 te belasten en dan het beginsel van de virtuele arbeid toe te pas-

sen, waarbij men de ware vervormingen en verplaatsingen van L als virtuele op L1 overbrengt:

P

A

P

A

P

A

dx.EI

M).x(dx.

EI

M'.xdx..ma (32)

y

elastica

A P x

L

A’

A Mu = 1

m

1

x

Figuur 23

P’

v M

EI

L1

a

b

c

d

P



y

F = 1

A P

m

F.x’

x

x’

A P x

L

A’

P’

a

v

M

EI

L1

a

b

Figuur 24

c

d

Vandaar de 2de stelling van Greene: “Om de elastische doorbuiging van een doorsnede P ten

opzichte van de raaklijn aan de elastica in een andere doorsnede A te bepalen, neemt men het

statisch moment van het gereduceerde momentenvlak tussen A en P om het punt waar men de

verplaatsing wenst te kennen.”



8.3 Berekening van de integralen

In vele gevallen kan men de expliciete integratie van

0

.dxEI

M.m vermijden door ge-

bruik te maken van tabel I die geldt voor prismatische liggers met constante buigstijfheid.

Voor praktische toepassingen vermenigvuldigt men het in de hokjes ingeschreven resultaat

met de factor /EI .

Opm.: a b: K = b.(1-a)

a b: K = a.(1-b)

Tabel I: waarde van de integralen M'.M".dx1

8.4 Toepassingsvoorbeeld

Een prismatische ligger, scharnierend ondersteund in A en rustend op een rol in B, is

aan het eind van de uitkraging BC aan een kracht P onderworpen (fig. 25). Bepaal de verplaat-

sing van het punt D, de hoekverdraaiing ter plaatse van de rechterondersteuning en de relatie-

M’

M” M1 M1 M2 M1 M1

a

M3

M3

M3 M4

M3

M3

M3

M3

M3 b

31.MM3

1 )M(2M

6

M21

3 31.M.M6

a2 31.MM

3

1

31.MM6

1 )M2(M

6

M21

3 31.M.M6

a+1 31.MM

3

1

)M(2M6

M43

1

)2M(M6

M

)M(2M6

M

214

213

41

31

.MM6

a1

.MM6

a2

)M(M

3

M43

1

31.MM2

1

31.MM3

1

31.MM4

1

31.MM12

1

31.MM6

b2

)M(M2

M21

3 3131 .MM3

2 .MM

2

1

)M(M3

M21

3

)M(3M12

M21

3

)3M(M12

M21

3

31

2

.MM3

aa1

31

2

31

2

.MM12

aa+1

.MM12

a3a3

31

31

31

.MM5

1

.MM5

1

.MM15

8

32

31

.MM6

b1

.MM6

b2

31

2

.MM6K

a)(b

3

1

31

2

.MM3

bb1



ve wenteling en rotatie in C (beide gemeten ten opzichte van de raaklijn in B). De buigstijf-

heid van de ligger is EI.

Figuur 25

Doorbuiging a1 ten opzichte van koorde AB: 1ste analogie van Mohr (fig. 25c)

a1 = MDfictief P

EI

P

EI

P

EI

. . . . .3

2

1

32

2

3

2

2

2

3

5 3

9

Hoekverdraaiing van de raaklijn aan de elastica in B: 2de analogie van Mohr (fig. 25c)

EI

P

3

2.

2

3.

EI

PV

2fictiefB1

.

Het minteken wijst op een draaiing in de uurwijzerzin, zoals in fig. 25a aangegeven is.

y P

1

2

M 3

C x

-P

A D B

P

EI

m1 F = 1

x

m2

+1

Mu = 1

a1

a2

a3

D

A B C x

2

L1

L1

x

L a

b

c

d

e



Elastische draaiing van C ten opzichte van B: 1ste stelling van Greene

22

2

2

P

EI

P

EI

. (gearceerd gedeelte van gereduceerd momentenvlak in fig. 25b)

Verplaatsing van C ten opzichte van de raaklijn in B: 2de stelling van Greene

aP

EI

P

EI3

2

2

3

3

3

. . . (statisch moment van het gearceerde deel van het geredu-

ceerd momentenvlak om C in fig. 25b).

Absolute verplaatsing en rotatie van doorsnede C

Deze grootheden volgen uit meetkundige overwegingen (fig. 25a); ze worden respectie-

velijk volgens de y-as en in tegenwijzerzin positief gerekend:

a a aP

EI

P

EI

P

EI2 3 1 3

2 3

3

4 3

3 . .

3 1 2

2 2

2

3 2

2

P

EI

P

EI

P

EI

Men vindt deze veralgemeende verplaatsingen ook door toepassing van de integralen

van Mohr. Daartoe combinere men figuur 25b respectievelijk met figuur 25d of met fi-

guur 25e en make men voorts gebruik van tabel I.

8.5 Effect van een gelijkmatige temperatuursstijging

De vervormingen van een draaggestel, die men als virtuele rekken en krommingen op

het hulplichaam overbrengt, mogen ook van een andere dan mechanische aard zijn. We bezi-

gen in onderstaande het beginsel van de virtuele arbeid om de krachtwerking in een statisch

onbepaald raamwerk ACDB met hoogte h en overspanning , dat aan een gelijkmatige tempe-

ratuursstijging T onderworpen wordt, te bestuderen (fig. 26). t is de lineaire uitzettingscoëf-

ficiënt, uitgedrukt in m

m C.. EIk (EAk) en EI (EA) zijn de buigstijfheden (rekstijfheden) van

de kolommen en de spantregel.

Wegens de bij onderstelling aangenomen oneindig grote stijfheid van de knoopverbin-

dingen in C en D is het systeem eenmaal statisch onbepaald. Door de temperatuursverandering

zullen derhalve in het gestel spankrachten ontstaan. De vergelijkingen van de statica luiden:

Horizontaal evenwicht: XA XB XB XA X 0

Verticaal evenwicht: YA YB 0

Wentelingsevenwicht om A: YB. 0

De verticale reactiekrachten in A en B zijn klaarblijkelijk gelijk aan nul, terwijl we de

horizontale steunpuntsreactie in A als onafhankelijke statisch onbepaalde grootheid hanteren.

We stellen ze door de kenletter X voor.



Om het buigend momentendiagram te bepalen, stellen we ons rechts van het raam en

onder de spantregel op. Vanuit die stand interpreteren we de begrippen “links”, “rechts”, “on-

der” en “boven”. In de onderstelling dat X een positieve grootheid is, wordt in figuur 26 een

passend teken aan de buigende momenten (gearceerd in volle trek) en aan de normaalkrachten

(gearceerd in onderbroken trek) toegekend.

De krommingen in het ge-

stel bestaan louter uit een

mechanische bijdrage

M

EI terwijl de rekken

de som van een mechani-

sche en een thermische

component zijn:

N

EAth .

Beschouwt men een moot

met lengte x, dan leidt een

temperatuursverhoging T

tot een verlenging: x = t

. T . x.

Hieruit volgt:

thx

xth T

.

Om de statisch onbepaalde

grootheid X te zoeken,

drukken we uit dat de hori-

zontale verplaatsing van B

nul is. Daartoe maken we

gebruik van een hulpli-

chaam L1 met een schar-

nier in A en een rol in B dat we met een horizontale eenheidskracht in B belasten. De span-

krachten n en m in het hulpsysteem worden in de onderste helft van figuur 26 afgebeeld. Door

toepassing van het virtuele arbeidsbeginsel op het hulplichaam, waarbij men weerom de ware

rekken en krommingen van L als virtuele vervormingen overbrengt, vindt men:

D

B kt

D

C

C

A kB dx.

EI

M.mdx)].T.

EA

N.(n

EI

M.m[dx.

EI

M.m0u

1

31

1

3. .

.. . . .( . ). . .

..h

X h

EIkh h

Xh

EI

X

EAt T h

X h

EIkh

NCD = -X

NAC = NBD = 0

- X.h + X.h

C D

“Berecon-

XA = X XB = - X observer”

+ h

+ h - h

nCD = 1

nAC = nBD = 0

1 1

A B

Figuur 26

- X.h x x

A B

YA YB

L1

L

C D



Hieruit volgt de getalwaarde van X: X t T

h

EIk

h

EI EA

. .

2 3

3

2 .

Indien men zulks wenst kunnen thans meteen de M-, V- en N-lijnen bepaald worden.

Ten slotte merken we op dat het tot expressie brengen van een kinematische randvoorwaarde

of geometrische aansluitvoorwaarde of compatibiliteitsbetrekking de sleutel vormt voor het

begroten van het krachtenspel in een statisch onbepaalde draagconstructie. Deze kanttekening

beperkt zich niet tot onderhavige toepassing maar heeft algemene geldigheid!

8.6 Effect van een temperatuursgradiënt

Over de hoogte h van een prismatische balk AB (buigstijfheid EI), die een lengte

overspant, heerst een temperatuursgradiënt (fig. 27). We wensen de daardoor veroorzaakte

klimming van het midden van de ligger te bepalen.

Beschouw een mootje dx. De

onderrandvezel wordt verlengd

met t T dx. . , de bovenrand

wordt t T T dx.( ). langer.

Bijgevolg draait de rechterbe-

grenzing ten opzichte van de

linkerdoorsnede van de moot

dx over de kleine hoek:

d tht T

hdx

..

.

Mitsdien bedraagt de kromming: mech th 0d th

dx

t T

h

.. Omdat het stel-

sel statisch bepaald is en niet aan uitwendige krachten onderworpen wordt, zijn er geen

krommingen van mechanische aard.

Om de verplaatsing in het midden van de regel te becijferen, passen we de eerste ana-

logie van Mohr toe: a is het fictief buigend moment onder de fictieve, gelijkmatig gespreide

neerwaartse belasting t T

h

., hetzij: a

t T

h .

. 2

8 .

De gevonden, positieve uitkomst strookt met de verwachting: onder de temperatuursgradiënt

verkrijgt de balk een concave kromming waardoor de doorsnede in het midden van de over-

spanning een opwaarts gerichte verplaatsing ondergaat.

y t.(T+T).dx

A B x dth

t.T.dx

t T

h

.

T+T

T dx

x

F = 1

Figuur 27



8.7 Effect van een kunstmatige staafverlenging of verkorting

De spantregel van het gestel ACB met stijve knoop C wordt kunstmatig met één 1cm

verlengd. De ontwerper maakt vaak van dergelijke ingrepen gebruik om het krachtenspel in

hyperstatische of statisch onbepaalde constructies naar believen aan te passen.

In het onderhavige voorbeeld is de kolom even hoog als de ligger lang is. Hun rek- en buig-

stijfheid zijn dezelfde en worden respectievelijk met EA en EI aangeduid. Zij de lengte van

de staven (fig. 28). Ten gevolge van de staafverlenging ontstaan in het stelsel buigende mo-

menten en normaalkrachten, die we wegens de statische onbepaaldheid niet meteen kunnen

begroten. Neem de horizontale reactiecomponent in B als onafhankelijke onbekende:

XB = -X.

a

b

c

NAC = -X m = +

m = - A + X C A C XA

YA

X B B 1

YB

nAC

nAC nAC

NCB = - X

n = + 1

n = + 1

Figuur 28

De vergelijkingen van de statica leveren: XA = X , YA = - YB = -X. In de onderstelling dat X

een positieve grootheid is, worden de M- en N- lijnen makkelijk gevonden.

Beschouw een ongerept, statisch bepaald hulpsysteem dat met een horizontale een-

heidskracht in B belast wordt (fig. 28b). Indien we aan het hulpsysteem virtuele verplaatsin-

gen en vervormingen -die gelijk zijn aan de ware rekken, krommingen en verplaatsingen- op-

leggen, zal de horizontale verplaatsingscomponent uB van B gelijk zijn aan nul. Dit is immers

de te respecteren kinematische randvoorwaarde. We passen het beginsel van de virtuele arbeid



(22b) op het hulpsysteem toe, waarbij we indachtig zijn dat de kunstmatige staafverlenging

eigenlijk een discontinuïteit in de spantregel teweegbrengt (fig. 28c):

.EI

X)..(

3

1.

EI

X.

3.

EA

X.2dx).

EI

M.m

EA

N.n(.nu.1

ACBACB

,

of, wegens uB = 0 en nAC = 1:

EI3

2

EA

2X

3

8.8 Hoekverdraaiing in een liggerscharnier

Figuur 29 toont een doorgaande ligger met een inwendig scharnier in het punt D. Ten

gevolge van de uitwendige belasting ontstaat een relatieve hoekverdraaiing, een knikhoek, in

D. Door het aanbrengen van een volgens de z-as georiënteerd eenheidskoppel, net links van

het punt D van het hulplichaam, kan men de hoekverdraaiing van de linkerraaklijn bereke-

nen. Ten einde de rotatie r van de rechterraaklijn te becijferen, plaatst men een eenheidskop-

pel, dat weerom volgens de z-as werkzaam is, net rechts van B.

De knikhoek wordt dan gegeven door: = - r en dit is de hoek, gemeten in tegenwijzerzin,

waarover de rechterraaklijn moet wentelen om samen te vallen met de linkerraaklijn. Men kan

beide bewerkingen evenwel combineren en het hulplichaam van meet af aan belasten met

twee eenheidskoppels, een eerste links van D in tegenwijzerzin en een tweede rechts van D in

wijzerzin (fig. 29b).

Figuur 29

Het beginsel van de virtuele arbeid, toegepast op L1, geeft: mM

EIdx

L

. .

1

A B D C

r

D

’

L

L1

2

3

m 1

A B 3 C

1 2

x

a

b

1 1



We merken op dat het hulplichaam minstens statisch bepaald moet zijn: het moet een

draagkrachtig gestel wezen. Derhalve nemen we als hulpsysteem niet een eenvoudig opgeleg-

de balk BC met een bijkomend scharnier in D.

Toepassing: statisch onbepaalde, over drie velden doorgaande ligger (fig. 30)

Een balk met drie overspanningen draagt in het linkerveld een gelijkmatig gespreide

belasting 2p, de centrale overspanning wordt in het midden met een puntlast F = p belast. De

buigstijfheid is EI. Bepaal het buigend momentendiagram.

2p F = p A B C D

/2 /2

M

p2

4

p2

4

M1 M2

1 1

m

1

1 1

1

m

L1

L2

a

b

c

d

Figuur 30

Het stelsel is tweevoudig statisch onbepaald. We nemen de voorshands onbekende

buigende momenten in B en C als hyperstatische grootheden en noemen ze respectievelijk M1

en M2. Zodoende kan men het buigend momentendiagram opstellen zoals in figuur 30b weer-



gegeven is. Om M1 en M2 te bepalen bedienen we ons van twee hulplichamen. Laatstge-

noemde hebben dezelfde geometrie als de doorgaande ligger, behalve dat voor L1 een inwen-

dig scharnier ter plaatse van het intermediaire steunpunt B ingevoerd werd, terwijl bij lichaam

L2 het scharnier in C aangebracht werd.

Belast L1 nu met twee tegengestelde eenheidskoppels in B. In figuur 30c is een statisch

mogelijke buigende momentenverdeling m getekend6. Indien we op dit hulplichaam de ware

vervormingen M

EI van de ligger als virtuele krommingen overbrengen, dan zal de uitwendige

virtuele arbeid nul zijn: in het punt B van het ongerepte systeem kan immers geen relatieve

hoekverdraaiing optreden. Mitsdien is mM

EIdx

L

. .

1

0 , of explicieter:

01

3 41

1

31

1

4 41

1

62 1

487 32 8

2

1

2

1 22

1 2

EI

pM

pM M

EIp M M. . . . . . . .( ). ( )

Een analoge gedachtegang bij hulplichaam L2 leidt tot:

01

4 41

1

62 1

1

31

483 8 32

2

1 2 22

1 2

EI

pM M M

EIp M M. . . .( ). . . ( )

Hieruit volgt:

128 32 281 22M M p

8 32 31 22M M p

Ten slotte worden de overgangsmomenten gegeven door:

M p p12 225

120

5

24 en M p2

21

24 .

Ze zijn - zoals men ten andere zou verwachten - negatief. De buigende momenten en dwars-

krachtenlijnen zijn nu volkomen bepaald (fig. 31). Tevens kan men de steunpuntsreacties als

volgt begroten:

Y pA 19

24 , Y pB

45

24 , Y pC

9

24 , Y pD

1

24 .

6 In de laatste alinea van lid 7.5 werd erop gewezen dat m enkel en alleen de voorwaarden van het statisch even-

wicht moet vervullen. De toepassing die hier behandeld wordt, maakt gebruik van een enkelvoudig statisch onbe-

paald hulplichaam zodat we bij de bepaling van m eigenlijk een hyperstatische grootheid vrij mogen kiezen.



24

2

M

p

- 5

- 1

3

A B C D

3,5

24V

p

29

8

- 1

-16

-19

Figuur 31



9 De stellingen van Betti en Maxwell

Onderstaande heeft betrekking op constructies die van lineair elastische, homogene en

isotrope materialen gemaakt zijn en waarvoor de wetten van Hooke gelden. Bovendien heerst

er in de verbindingen geen wrijving en is met andere woorden energiedissipatie door warmte-

verliezen uitgesloten. Ten slotte zijn de verplaatsingen die door de uitwendige belastingen

veroorzaakt worden, dermate klein dat primo ze de krachtarmen niet wijzigen en secundo men

de vervormde met de onvervormde geometrie mag “identificeren”.

9.1 De wederkerigheidsstelling van Betti

Een lichaam L wordt beurtelings aan twee krachtenstellen onderworpen (fig. 32):

het stel F 1i

, met aangrijpingspunten i,

het stel F j

2 , werkend in de punten j.

In deze context moet het begrip “kracht” ruim geïn-

terpreteerd worden: ook krachtenkoppels worden

ermee bedoeld. Het lichaam is onder de inwerking

van dit of gene krachtenstel in evenwicht.

F 1i

veroorzaakt: de spanningen {}1 , de rekken

{}1 en onder meer de veralgemeende verplaatsin-

gen u 2j,1

van de aangrijpingspunten j van krach-

tenstel 2. Op analoge wijze wekt F j

2 de spanningen {}2, de vervormingen {}2 en in het

bijzonder de verplaatsingen u 1i,2

van de aangrijpingspunten van krachtenstel 1 op.

Vermits L bij aanwezigheid van stel 1 in evenwicht is, kunnen we het beginsel van de

virtuele arbeid (22a) toepassen:

F 1i . u i 1t .

Li.dV

(i)

Gelet op de uitgangsonderstellingen mag men voor de virtuele verschuivingen en vervormin-

gen de volgende, bijzondere keuze maken: en 1i,2i uu

en {}={}2. Bovendien hanteren

we de constitutieve wet (9b): D . of t t D t . . Derhalve wordt (i):

L u 2j,1

F 2j

F 1i

Figuur 32

j

u 1i,2

i



F 1i . u 1i,2 1t .

Li.dV = 1

t . D t

L

dV

2 2. . (ii)

Hetzelfde lichaam is ook onder het krachtenstel 2 in statisch evenwicht en bijgevolg

heeft men:

F . u . .dV = . dV2j j 2t

Lj

t

L

2 . (iii)

Kies 2j,1j uu

en {}={}1, zodat (iii) als volgt kan herschreven worden:

F . u . dV = . D dV2j 2j,1j

1t

L1t

L

2 2. . . (iv)

Vermits [D] een symmetrische matrix is, zijn de rechterleden van (ii) en (iv) gelijk,

waarmee meteen ook de wederkerigheidsstelling van Betti bewezen is:

F 1i . u 1i,2 F 2j. u 2j,1ji

(33)

In woorden: de arbeid, verricht door een willekeurig stel krachten gedurende de inwerking

van een willekeurig tweede stel, is gelijk aan de arbeid, verricht door het tweede stel tijdens de

inwerking van het eerste.

9.2 De reciprociteitsstelling van Maxwell

De stelling van Maxwell is een bijzonder geval van deze van Betti. Beide in §9.1 be-

doelde krachtenstellen herleiden zich hier elk tot één enkele veralgemeende kracht, zodat de

sommen in (33) verdwijnen:

F 1. u 1,2 F 2. u 2,1

(34)

In woorden: indien twee veralgemeende krachten beurtelings op een elastische draagconstruc-

tie aangebracht worden, is de arbeid, verricht door de eerste kracht gedurende de inwerking

van de tweede, gelijk aan de arbeid, geleverd door de tweede kracht tijdens het aanbrengen

van de eerste.

Het scalair product in (34) kan als volgt herschreven worden:

F1.a12 F2.a21 (35)



a12 is de projectie van de veralgemeende verplaatsing van het aangrijpingspunt van F 1

- die

ontstaat ten gevolge van F 2

- op de werklijn van en positief gerekend volgens F 1

. Aan de

notatie a21 wordt een analoge betekenis gehecht.

De stelling van Maxwell wordt in onderstaande figuren toegelicht.

Figuur 33:

twee krachten

Figuur 34:

een kracht en een

krachtenkoppel

Memotechnisch hulpmiddel:

F 1

1

2 F 2

2

F1 . a12 = F2 . a21

1

u 1,2

u 2,1

a21

a12

M1 1

u 2,1

2 2

M1 . 12 = F2 . a21

1 12

F

2

a21

oorzaak1 . gevolg2 = oorzaak2 . gevolg1

The advantage of being a beam

4

Bijzondere aspecten van

de balkentheorie

Bijzondere aspecten van de balkentheorie 4.2


1 Belangrijke kenmerken van vlakke balkdoorsneden

1.1 Algemeen

Wanneer men een rechte, prismatische balk met een vlak snijdt dat haaks op zijn leng-

terichting staat, ontstaat een vlakke figuur die men de dwarsdoorsnede of overdwarse door-

snede1 noemt. Deze kan talrijke vormen aannemen: massief en gedrongen (rechthoekig, cir-

kelvormig, polygonaal...), dunwandig enkelvoudig samenhangend (I's, H's, U's, C's, T's...) of

meervoudig samenhangend (ringvormig, kokervormig...). Figuur 1 toont een aantal, in de

bouwkunde zeer gebruikelijke doorsnedevormen.

1.2 Zwaartepunt

Om de ligging van het zwaartepunt te bepalen

beschrijft men de doorsnede in een rechthoekig assen-

kruis Oyz2, waarvan de oorsprong willekeurig gekozen

kan worden (fig. 2). Het zwaartepunt G van de dwars-

doorsnede wordt gedefinieerd door zijn coördinaten yG

en zG:

A

dAz

z,A

dAy

y AG

AG

(1)

A is het oppervlak van de dwarsdoorsnede3.

1 E: cross-section

2 De x-richting wordt gewoonlijk evenwijdig aan de langsvezels van de balk genomen.

3 E: cross-sectional area

y

z

dA

A

O

y

z

G

z'

y'

Figuur 2

Figuur 1: courante doorsnedevormen



1.3 Statisch moment

De grootheden

A A

yz dAzSendAyS (2)

in de rechterleden van (1) zijn de statische momenten4 van het dwarsoppervlak, respectievelijk

om de z-as en om de y-as. Wanneer de oorsprong van het assenkruis samenvalt met het zwaar-

tepunt van de dwarsdoorsnede is het statisch moment om een willekeurige as door G altijd

gelijk aan nul. Deze eigenschap volgt onmiddellijk uit de definitie van het zwaartepunt vol-

gens de betrekkingen (1).

1.4 Traagheidsmoment en traagheidsproduct

1.4.1 Definitie

De traagheidsgrootheden worden bepaald door onderstaande gelijkheden:

,dAyzI,dAyI,dAzIA A

yz2

zA

2y (3)

Iy en Iz zijn de traagheidsmomenten5 van de overdwarse doorsnede respectievelijk om de y- en

de z-as; Iyz is het traagheidsproduct of centrifugaalmoment.

1.4.2 De stelling van Steiner

Beschouw twee assenkruisen Oyz en Gy'z', het eerste met de oorsprong in een wille-

keurig punt O, het tweede met oorsprong in het zwaartepunt G van de dwarsdoorsnede. De y'-

en de z'-as zijn respectievelijk evenwijdig met de y- en de z-as (fig. 2).

De stelling van Steiner legt een verband tussen het traagheidsmoment om de y'-as (z'-as) en

dat om de y-as (z’-as):

2G'yy zAII (4)

Het bewijs van deze belangrijke eigenschap volgt dadelijk uit de eerste gelijkheid van (3),

wanneer men daarin de substitutie z = z' + zG verricht en verder rekening houdt met de in lid

1.3 geformuleerde eigenschap.

4 E : first moment of area.

5 In de Engelse vakliteratuur gebruikt men zowel de benaming "moment of inertia" als "second moment of area"

om dezelfde grootheid te benoemen. Vermits in de huidige context nergens sprake is van massa, lijkt de tweede

naamgeving volgens de samensteller van onderhavige notities beter, ofschoon een tegenhanger in het Nederland-

se taalgebruik onbestaande is.



Een soortgelijke transformatiematieformule geldt voor de traagheidsproducten:

GG'z'yyz zyAII . (5)

Wanneer de oorsprong O’ van het assenkruis x’y’ niet samenvalt met het zwaartepunt G, zijn

de betrekkingen iets ingewikkelder. Ze worden hierna ten behoeve van de volledigheid gege-

ven:

2'O'y'O'y

A

2'O

A

2y zASz2IdA)'zz(dAzI , en (6)

2'O'z'O'z

A

2'O

2z yASy2I)'yy(dAyI . (7)

'O'O'z'O'y'O'z'yA

'O'OA

yz zyASzSyIdA)'zz()'yy(dAzyI (8)

1.4.3 Hoofdrichtingen

We plaatsen de oorsprong van het assenkruis in het zwaartepunt G van de dwarsdoor-

snede. Kiest men de oriëntatie van de orthogonale tweetand yz arbitrair, dan is het traagheids-

product Iyz doorgaans verschillend van nul. Er bestaat echter een bijzondere stand van het as-

senkruis waarvoor het centifugaalmoment toch nul

wordt.

Om deze stand op te sporen bedienen we ons van

een tweede kruis Gy'z' door G, bepaald door de

hoek waarover de y-as moet wentelen in de te-

genwijzerzin om samen te vallen met de y'-as; i.e.

cos11 'yy , waarbij 'yy 1en1

de een-

heidsvectoren volgens respectievelijk de y- en de

y'-as voorstellen (fig. 3).

Het verband tussen de traagheidsgrootheden in bei-

de assenkruisen volgt uit de definitie (3) en de bekende rotatie- of transformatieformules uit

de analytische meetkunde sinycosz'zensinzcosy'y :

dAsinycossinyz2coszdA'zIA A

22222'y

2zyz

2y sinII2sincosI

2sinI2cos2

II

2

IIyz

yzzy (9a)

dAsinzcossinyz2cosydA'yIA A

22222'z

2yyz

2z sinII2sincosI

dA

y' z'

G

z

y

A

Figuur 3

y z'

z y'



2sinI2cos2

II

2

IIyz

yzzy (9b)

dAcossinycossinz2cosyzdA'z'yIA A

22'z'y

2

2sinII2cosI zyyz

(9c)

Uit de laatste gelijkheid volgt dat het traagheidsproduct nul wordt voor een bijzondere waarde

van de hoek , gegeven door:

yz

yz

II

I22tg

(10)

De y'- en de z'-richting die met deze bijzondere hoek corresponderen, zijn de hoofdrichtingen

en de bijkomende traagheidsmomenten worden de hoofdtraagheidsmomenten6 genoemd.

1.4.4 Doorsnedekenmerken van basisvormen

De figuur 4 verzamelt doorsnedekenmerken - die tot de parate kennis horen - van twee

vlakke figuren. Fabrikanten van stalen profielen of voorgespannen betonbalken stellen uitge-

breide catalogi7 ter beschikking, waar de gebruiker de gewenste grootheden kan aflezen.

6 Eng. : principal moments of inertia, of, principal second moments of area.

7 Bijvoorbeeld de catalogus van staalprofielen: Profil Arbed, Sales programme - Structural Shapes, edition 3-

2001 (ter consultatie in zelfstudiecel LMO). Zie ook de website: www.europrofil.be

Figuur 4

z

12

bhI

3

y

h y

12

hbI

3

z

b

z

4

rII

4

zy

y

r



1.5 Toepassingen

1.5.1 Gedrongen doorsnede

Bepaal de ligging van het zwaartepunt en

de hoofdtraagheidsmomenten van de profieldoor-

snede, afgebeeld in figuur 5. De afmetingen zijn in

mm.

Oplossing:

We delen de doorsnede op in elementaire geome-

trische figuren.

Rechthoek 1: := A

1b d

:= Sz1

1

2b2 d

:= S

y1b d

h

1

2d

:= I

z1 1

3 d b 3

:= I

y1 b d

h

1

2 d

2 1

12 b d 3

:= I yz1

1

2

h

1

2 d b 2 d

Rechthoek 3:

:= A3

( )h d c

:= Sz3

1

2( )h d c2

:= S

y3

1

2( )h d 2 c

:= I

z3 1

3 ( ) h d c 3

:= I

y3 ( ) h d c

1

2 h

1

2 d

2 1

12 c ( ) h d 3

:= I

yz3 1

4 ( ) h d 2 c 2

Driehoek 2:

:= A2

1

2e2

:= Sz2

1

2e2

c

1

3e

:= S

y2

1

2e2

h d

1

3e

:= Tz2

e2

c

e

3

2

2

e4

36 := T

y2

e2

h d

e

3

2

2

e4

36

I

yz2 1

8 ( ) h d 4 1

8 ( ) h d e 4 1

3 ( ) c h d e ( ) ( ) h d 3 ( ) h d e 3 :=

1

2

1

2 ( ) c h d e 2 1

2 c 2 ( ) ( ) h d 2 ( ) h d e 2

z

50

20

15

70

y 20

Figuur 5

15

z

b

1 d

2

h e

3

y c

e



Ligging van het zwaartepunt:

b = 50 mm, h = 70 mm, c = 20 mm, d = 20 mm, e = 15 mm

A = 2112,5 mm2, Sz = 37812,5 mm

3, Sy = 90062,5 mm

3, yG = 17,9 mm, zG = 42,6 mm

Traagheidsmomenten en traagheidsproduct:

Iy = 4695885,4 mm4, Iz = 1038385,4 mm

4, Iyz = 1877265,6 mm

4

Traagheidsgrootheden betrokken op assenkruis door G:

IyG = 856238,6mm4, IzG = 361564,0mm

4, IyGzG = 265200,2 mm

4

Hoofdrichtingen en hoofdtraagheidsmomenten:

= -0,410118 IY = 971540,1 mm4 IZ = 246262,8 mm4.

1.5.2 Dunwandig Z-profiel

a) Bepaal de ligging van het zwaartepunt en de hoofdtraagheidsmomenten van de doorsnede

van het dunwandige, puntsymmetrische Z-profiel in

figuur 6 (afmetingen in mm). De inwendige afron-

dingsstraal aan de hoeken is r = t = 2 mm en de uit-

wendige is r + t = 4 mm.

b) Indien men de afronding van de hoeken van het Z-

profiel veronachtzaamt en de oppervlakte geconcen-

treerd denkt op de hartlijn van de flenzen, de

flenstippen en het lijf, bekomt men een lijnvormige,

polygonale sectie. Bereken de ligging van het zwaar-

tepunt en de hoofdtraagheidsmomenten van deze ge-

idealiseerde, polygonale doorsnede. Bepaal tevens

de relatieve fout wanneer je vergelijkt met de exacte

oplossing uit lid a). Welke conclusie trek je daaruit?

60

15

140 2

Figuur 6



2 Enkelvoudige buiging 8 9

2.1 Klassieke hypothesen

De theorie voor enkelvoudige buiging van prismatische balken gaat uit van de vol-

gende, vereenvoudigende onderstellingen10

:

De balk is opgevat als een bos van parallelle vezels.

De doorsnede heeft een symmetrievlak waarin de uitwendige belastingen gelegen zijn.

Er grijpen geen overlangse krachten aan op de balk die bijgevolg vrij van normaalkrach-

ten is.

Het materiaal gehoorzaamt aan de wet van Hooke: x = E.x, waarin x de overlangse

spanning en x de overeenstemmende stuik of rek is. Het effect van de spanningen y en

z (die het gevolg van overdwarse krachten kunnen zijn) op de overlangse rek x wordt

daarbij verwaarloosd.

De krachten onderwerpen de balk aan buiging, waarbij een vlakke dwarsdoorsnede die

haaks op de parallelle vezels staat vóór de vervorming, vlak blijft en loodrecht op die

vezels blijft staan tijdens het doorbuigen van de balk. Dit is de hypothese van Jacob

Bernouilli11

die eigenlijk de dwarskrachtvervorming veronachtzaamt.

Men spreekt van zuivere buiging12

indien de staaf enkel en alleen aan buigende mo-

menten onderworpen wordt, van enkelvoudige buiging13

als de buigende momenten van

dwarskrachten vergezeld zijn.

2.2 Gevolgen van de klassieke hypothesen

Mits inachtneming van bovenstaande hypothesen verlopen de spanningen en de rekken

lineair over de hoogte van de doorsnede, en wanneer men ze betrekt op een assenstelsel met

de oorsprong in het zwaartepunt G van de doorsnede, de y-as samenvallend met de symme-

trieas (die bijgevolg een hoofdtraagheidsas is), de x-as volgens de langsvezels en de z-as zo-

danig dat het assenkruis orthonormaal is (fig. 7), dan geldt14

:

z

xz

xy

E,y

(11)

yI

M,

EI

M1

z

zx

z

zz

z

(12)

8 S. Timoshenko, Strength of Materials: Part I - Elementary, Van Nostrand Reinhold Co, New York, 1955.

9 J. Degrieck, W. Van Papegem, Mechanica van Materialen, Gent, 2002.

10 Ze leiden tot eenvoudige formules, waarvan het praktisch nut buiten kijf staat.

11 Jacob Bernoulli (1654-1705) nam aan dat vlakke doorsneden vlak blijven, doch voerde er de verkeerde hypo-

these aan toe dat de neutrale lijn zou samenvallen met de onderrand van de balk. De theorie van de buiging zoals

wij die thans kennen, is afkomstig van Parent (1666-1716). 12

E: Pure bending. 13

E: Simple bending. 14

Voor een opfrissing van de elementaire buigingstheorie wordt verwezen naar Bijlage A, aan het eind van dit

hoofdstuk.



z

1 is de kromming van de balk - in het xy-vlak - terwijl hij doorbuigt, Iz het traagheidsmo-

ment van de doorsnede om de z-as.

De betrekking (12) is de basisbetrekking van de balkentheorie waarmee men de overlangse

normaalspanningen becijfert die door het buigend moment Mz opgewekt worden. Ze zijn nul

voor y = 0; dat wil zeggen ter hoogte van de z-as. Daarom wordt de z-as ook de neutrale lijn

genoemd. Ze staat kennelijk loodrecht op het belastingsvlak xy.

De spanning is extremaal ter hoogte van de bovenste en onderste randvezels:

b

z

z

z

bzb

h

I

M

I

hM ,

o

z

z

z

ozo

h

I

M

I

hM

In de onderstelling dat hb > ho treden in absolute waarde de grootste randvezelspanningen op

ter hoogte van de bovenrand en wordt de grootheid

b

zz

h

IW (13)

het weerstandsmoment van de doorsnede genoemd.

Noteert men met het symbool v de overdwarse verplaatsing volgens y van de hartlijn

van de balk, dan levert differentiaalmeetkunde de volgende uitdrukking voor de kromming:

y

y

z

-

y x

Mz G x

x +

zijaanzicht

ruimtelijke impressie

Figuur 7: normaalspanningsverdeling ten gevolge van buiging om de z-as

z

G

hb

ho

dA



23

2

2

2

1

1/

z

dx

dv

dx

vd

(14)

Wanneer de verplaatsingen v en de hoekverdraaiingen dv/dx klein zijn – wat in een lineaire

theorie altijd aangenomen wordt -, mag de tweede term in de noemer van het rechter lid van

(14) verwaarloosd worden en vereenvoudigt de uitdrukking tot:

2

21

dx

vd

z

(15)

2.3 Opmerking

Een gevolg van het verwaarlozen van de dwarskrachtvervorming is dat de glijding xy

gelijk is aan nul. Een lijnstuk gelegen in de doorsnede en gealigneerd volgens y blijft gedu-

rende de doorbuiging van de balk haaks op de vervormde hartlijn, wat uiteraard een uitvloei-

sel van de hypothese van Bernoulli is. Daaruit mag men evenwel niet concluderen dat de

schuifspanningen xy = G.xy nul zouden zijn. Men zal ze door middel van evenwichtsbe-

schouwingen moeten bepalen (cfr. lid 5).

3 Superpositiebeginsel

Wanneer een lichaam onderworpen is aan verschillende krachtsverwerkingen (F, M,

T...) mag men het effect (, , v, ...) van elk van die belastingen, waarbij ze afzonderlijk op

het lichaam inwerken, optellen of superponeren indien een aantal geldigheidsvoorwaarden

vervuld zijn:

De (veralgemeende) verplaatsingen zijn klein.

De materialen zijn lineair elastisch en kunnen met andere woorden door de wetten van

Hooke worden beschreven.

Er is geen energiedissipatie in de verbindingen door wrijving.

4 Effecten van buigende momenten en normaalkracht

4.1 Scheve buiging of dubbele buiging

4.1.1 We onderstellen voorshands dat de balk in figuur 7 uitsluitend aan overdwarse krach-

ten onderworpen is die in het Gxz-vlak gelegen zijn. De z-as die loodrecht op de symmetrieas

y staat, is evenzeer een hoofdas. Naar analogie van het gezegde in de leden 2.1 en 2.2 geven

ze aanleiding tot

de buigende momenten My,



de dwarskrachten Vz,

de verplaatsingen w15

en de hoekverdraaiingen dx

dw,

de kromming y

yy2

2

y EI

M

dx

wd1

,16

(16)

de rekken y

xz

en de spanningen z

I

M

y

yx . (17)

4.1.2 Zijn y en z de hoofd-

traagheidsassen en is de door-

snede onderworpen aan de bui-

gende momenten My en Mz

(fig. 8), dan is de uitdrukking

van de overlangse normaal-

spanningen blijkens de super-

positietheorie en de betrekkin-

gen (12) en (17):

yI

Mz

I

M

z

z

y

yx (18)

Men vindt makkelijk de ligging

van de neutrale lijn in de we-

tenschap dat x er nul is:

15

Er zijn geen verplaatsingen v volgens de y-as. Het bewijs volgt uit het ongerijmde: indien er niet-triviale ver-

plaatsingen haaks op de hoofdtraagheidsas z ontstaan, zijn ze het gevolg van krommingen 2

2

z dx

vd1

. Blijkens

het superpositiebeginsel is de uitdrukking van de overlangse rek:yz

xzy

en wordt de overlangse nor-

maalspanning gegeven door :

yzx

zyE . Het resulterend moment van die overlangse normaalspan-

ningen om de z-as moet gelijk zijn aan het buigend moment Mz:

z z

z

A

2

A zxz

EIdAyz

EdAy

EdAyM

Vermits Mz gelijk is aan nul over de volledige uitgestrektheid van de balk, is de kromming

z

1

eveneens nul, wat

strijdig is met de onderstelling.

16

De lezer wordt verzocht even na te denken over het teken in het derde en vierde lid van de gelijkheid.

y

Mt

My

belastingsvlak

z x Mz G

neutrale lijn

Figuur 8



yI

I

M

Mzof0y

I

Mz

I

M

z

y

y

z

z

z

y

y (19)

Het vlak door G loodrecht op de neutrale lijn noemt men het buigingsvlak. Indien de

verhouding Mz/My niet constant is langs de uitgestrektheid van de balk zal de stand van de

neutrale lijn en van het buigingsvlak veranderlijk zijn.

Tenzij Iy = Iz blijkt uit de voorgaande vergelijking dat de neutrale lijn niet evenwij-

dig is met de drager van de momentenvector (fig. 8). Laatstgenoemde sluit immers een hoek

met de y-as in, gegeven door y

z

M

Mtan , terwijl de neutrale lijn de richtingscoëfficiënt

z

y

y

z

I

I

M

Mtan bezit. Ze staat bijgevolg meestal niet loodrecht op het belastingsvlak, dat de

resulterende dwarskracht bevat. Vandaar de benaming "scheve buiging"17

: een stel van copla-

naire krachten doet de balk ook verplaatsingen haaks op hun vlak ondergaan. Een treffende

illustratie daarvan wordt in lid 4.1.6 gegeven.

De neutrale lijn verdeelt de dwarsdoorsnede in twee gebieden: één waar trekspannin-

gen heersen en een tweede waar drukspanningen aanwezig zijn.

4.1.3 Belangrijke opmerking

De lezer moet er zich van bewust zijn dat de betrekking (18) in die vorm alleen mag

toegepast worden wanneer de y- en de z-as de hoofdtraagheidsassen zijn. Zijn ze dit niet dan

verkrijgt men een bruikbare uitdrukking van de overlangse buignormaalspanningen als volgt:

De hartlijn van de balk verkrijgt een (ruimtelijke) kromming. Indien men de krommin-

gen in het xy-vlak en in het xz-vlak respectievelijk voorstelt door z en y , dan is de

uitdrukking van de normaalspanning in een vezel:

yz

xz

Ey

E

(20)

Bijgevolg kan de uitdrukking van het buigend moment volgens y en volgens z onmid-

dellijk opgesteld worden:

AA A y

2

zxz dAyz

EdAy

EdAyM =

y

yz

z

zEIEI

,

A

2

A A yzxy dAz

EdAyz

EdAzM

y

y

z

yz EIEI

,

waaruit :

zy2yz

zyzzy

yzy2yz

yzyyz

z III

MIIMEen

III

IMIME

(21)

17

E: Nonsymmetric bending, double bending.



Substitutie van (21) in (20) levert:

zIII

MIIMy

III

IMIM

zy2yz

zyzzy

zy2yz

yzyyzx

(22)

4.1.4 En wat met de verplaatsingen?

Uit het bovenstaande weten we dat de krommingen door (21) gegeven worden. De be-

rekening van de verplaatsingen v en w wordt nu zeer eenvoudig vermits het verband tussen de

krommingen en die verplaatsingen gegeven worden door:

z

2

2 1

dx

vd

en

y2

2 1

dx

wd

(23)

(23) combinerend met (21) levert:

)III(E

MIIM

dx

wden

)III(E

IMIM

dx

vd

zy2yz

zyzzy

2

2

zy2yz

yzyyz

2

2

(24)

Een tweevoudige integratie naar x, waarbij rekening gehouden wordt met de kinematische

randvoorwaarden zal de gevraagde uitkomst opleveren.

4.1.5. Bijzonder geval: gedwongen buiging in een vooropgegeven vlak

De verbogen hartlijn van de balk beschrijft bij onderstelling een vlakke kromme, gele-

gen in het buigingsvlak Gy, waarbij y geen hoofdas is. De z-as is bijgevolg de neutrale lijn.

We wensen de stand van het belastingsvlak dat deze buiging vergezelt, te bepalen. Vermits y

= wordt de uitdrukking (20) van de spanningen z

xy

E

, en zijn de buigende momen-

ten om de z- en de y-as respectievelijk:

z

yzy

z

zz

EIM,

EIM

(25)

De hoek die de resulterende momentenvector Mt insluit met de y-as wordt gegeven door

yz

z

y

z

I

I

M

Mtg . Aangezien het belastingsvlak loodrecht op de momentenvector Mt staat,

sluit het belastingsvlak, en dus de werklijn van de totale dwarskracht Vt, de hoek 2

met de y-as in.



Besluit : Slechts indien het belastingsvlak een hoek met de y-as insluit gegeven door

z

yz

I

Itg beschrijft de uitgebogen stand van de staafas een vlakke kromme in het

xy-vlak en slechts dan mag men de normaalspanningsverdeling becijferen met:

yI

M

z

zx .

4.1.6 Toepassing

Het puntsymmetrische Z-profiel in figuur 6 wordt als een 4 m lange dakgording ge-

bruikt. Het is aan zijn beide uitenden eenvoudig opgelegd en is onderworpen aan een neer-

waarts gerichte, gelijkmatig gespreide belasting p = 750 N/m, werkend in het vlak van de lijf-

plaat. Men vraagt:

de buignormaalspanningen op de dwarsdoorsnede in het midden van de overspanning,

de verplaatsingen van het zwaartepunt van die dwarsdoorsnede.

Oplossing:

We verrichten de berekeningen in de on-

derstelling dat het materiaal van de dwarsdoor-

snede geconcentreerd is op de hartlijn van de

plaatvormige stroken, waarmee ze is samenge-

steld. We plaatsen de oorsprong van het assen-

kruis in het zwaartepunt van de geïdealiseerde

doorsnede en leggen de y-as verticaal en de z-as

horizontaal (fig. 9). Na enig rekenwerk vindt men

de traagheidsgrootheden:

:= Iz 1758742.666 mm 4

:= Iy 448533.334 mm 4 := Iyz 665608.000 mm 4

De normaalspanningen worden begroot met (22),

rekening houdend met het feit dat My = 0:

zIII

MIy

III

IM

zy2yz

zyz

zy2yz

yzx

Het grootste buigend moment doet zich voor in

het midden van de overspanning: 8

pM

2

z

:= Mz .1500000000107 N mm

en de ermee corresponderende spanningen zijn

ter hoogte van de bovenflens:

:=

x1 33.21 N

mm 2

:=

x2 134.24 N

mm 2

:=

x3 60.45 N

mm 2

en ter hoogte van de onderflens:

y

2 1

3

z

6

4 5

Figuur 9

58

14

138



:=

x4 33.21 N

mm 2

:=

x5 134.24 N

mm 2

:=

x6 60.45 N

mm 2

Ten slotte worden de grootste verplaatsingen gegeven door

)III(E

I.

384

p5wen

)III(E

I

384

p5v

zy2yz

yz4

max

zy2yz

y4

max

of

:= v max 15.4 mm en

:= w

max 22.9 mm

Men stelt vast dat de doorsnede niet alleen zakt, maar zich terzelfder tijd verplaatst naar rechts

onder de verticale belasting! Dit is het gevolg van de scheve buiging.

Het vermoeden rijst dat de spanningen in de balk en de verplaatsingen kleiner zullen zijn in-

dien men de verplaatsing van de balk uit het vlak van de lijfplaat verhindert. Dit vermoeden

wordt gestaafd door een berekening te verrichten in overeenstemming met § 4.1.5. Men vindt

drukspanningen ter hoogte van de bovenflens:

:=

x1 58.85 N

mm 2

:=

x2 58.85 N

mm 2

:=

x3 46.91 N

mm 2

en even grote trekspanningen ter hoogte van de onderflens.

De maximale doorbuiging is ook heel wat geringer: z

4

maxIE

1

384

p5v

= -6,77 mm.

Langsheen de volle uitgestrektheid van de staaf is daartoe een gespreide lijnlast

z

yzyz

I

Ipp 283,8 N/m nodig en de verbindingsmiddelen die zulks realiseren

18 zullen te-

gen een even grote - maar tegengesteld gerichte - belasting bestand moeten zijn.

4.2 Langskracht gecombineerd met buiging

4.2.1 Indien de doorsnede terzelfder tijd aan een normaalkracht N onderworpen is, worden

de spanningen die het gevolg zijn van de normaalkracht, opgeteld bij deze die aan buiging toe

te schrijven zijn,

zI

My

I

M

A

N

y

y

z

zx (26)

indien y en z de hoofdassen zijn, of,

zIII

MIIMy

III

IMIM

A

N

zyyz

zyzzy

zyyz

yzyyzx

(27)

18

In de praktijk zal men daartoe bijvoorbeeld koppelstaven gebruiken die de som van de krachten -pz opnemen.



indien zulks niet het geval is. Ten

gevolge van het effect van de nor-

maalkracht gaat de neutrale lijn niet

langer door de oorsprong G van het

assenkruis.

In figuur 10 wordt de superpositie in

het geval van samengestelde buiging

aanschouwelijk voorgesteld.

4.2.2 Centrale kern van een

dwarsdoorsnede

De buigende momenten My en

Mz kunnen ook het gevolg zijn van

een excentrische normaalkracht; dit is

één waarvan de werklijn niet door het

zwaartepunt gaat. In figuur 11 treft de

werklijn van de normaalkracht N de

doorsnede in een punt P met coördi-

naten ey en ez (de excentriciteiten van de normaalkracht).

Kennelijk geldt: zyyz eNMeneNM . ( )

Voert men deze uitdrukkingen in (26), dan ver-

krijgt men:

zI

eNy

I

eN

A

N

y

z

z

yx

(28)

Men kan zich nu de vraag stellen in welk gebied

het aangrijpingspunt van de normaalkracht mag

gelegen zijn opdat de doorsnede enkel aan trek-

spanningen of enkel aan drukspanningen - afhan-

kelijk van het teken van N - onderhevig zal zijn.

In dat geval mag de neutrale lijn met vergelij-

king:

1zi

ey

i

e

2y

z2z

y (29) (26)

de doorsnede niet snijden; ze mag er ten hoogste

aan raken. A

Iien

A

Ii

yy

zz zijn de gyratiestralen van de doorsnede. Het hierboven

vermelde gebied wordt de centrale kern of kortweg kern van de doorsnede genoemd.

y

P ez

ey

N

z G

x

Figuur 11

Figuur 10: combinatie van de effecten van N en M



Om de kern van een doorsnede met convexe, polygonale buitenbegrenzing te zoeken,

kiest men een omloopzin en laat de neutrale lijn achtereenvolgens samenvallen met de zijden

van de polygoon. Op dat moment is de vergelijking van de neutrale lijn evenwel bekend en

kan ze onder de gedaante

1zbya (30)

geschreven worden. Indien men de coëfficiënten a en b identificeert met respectievelijk 2zy i/e en 2

yz i/e , verkrijgt men twee direct bruikbare betrekkingen die de coördinaten ey en

ez van het kernpunt, dat met de gekozen neutrale lijn overeenstemt, bepalen. Men vervolledigt

de kern door alle kernpunten, in de volgorde waarin men ze gevonden heeft, te verbinden.

De kern van een doorsnede waarvan de buitenomtrek een kromme is met vergelijking

f(y,z) = 0 wordt gevonden door de vergelijking van de raaklijn aan de kromme te bepalen, ze

te schrijven in de gedaante (30) en te vergen dat die vergelijking identiek is als (29)19

.

Voor een rechthoekige doorsnede is de kern een ruit waarvan de coördinaten van de

hoekpunten 6/b,0en0,6/h zijn. De centrale kern van een cirkel met straal r is een

cirkel met straal 4/r .

Indien de werklijn van de normaalkracht de doorsnede treft in een punt van de rand

van de kern, zal de neutrale lijn de doorsnede nog net raken; valt het aangrijpingspunt van de

normaalkracht buiten de kern, dan snijdt de neutrale lijn de doorsnede en heeft de spanning

niet overal hetzelfde teken. In een gemetselde kolom veroorzaakt een drukkracht met aangrij-

pingspunt buiten de centrale kern trekspanningen in een deel van de sectie, hetgeen ontoelaat-

baar geacht wordt omdat metselwerk slechts geringe trekspanningen kan weerstaan.

Opgave: Bepaal de centrale kern van de gedrongen doorsnede in figuur 5 en van het Z-

profiel in figuur 9.

19

Stilzwijgend wordt aangenomen dat de raaklijn de doorsnede elders niet snijdt. Doet ze dat wel, dan zijn voor

de hand liggende aanpassingen aan de voorgestelde methode nodig.



5 Effecten van dwarskracht

5.1 Formule van Jourawski 5.1.1 Schuifspanningsverdeling

Een prismatische balk is onderworpen aan enkelvoudige buiging om de hoofdas z (fig.

12). Op de einddoorsneden van een elementaire moot dx wekken de buigende momenten Mz

en Mz + dMz overlangse normaalspanningen op, die men met de formules van de klassieke

buigingstheorie kan becijferen: zzx I/yM . Mz en x worden in de figuur met hun

conventionele, positieve zin weergegeven. Bij onderstelling is dMz een negatieve aangroei

(omdat we het effect van een positieve dwarskracht Vy willen onderzoeken). Men brengt een

denkbeeldig snijvlak aan, evenwijdig met het xz-vlak en op een afstand y0 daarvan gelegen en

bestudeert het evenwicht volgens x van het bovenste gedeelte van de liggermoot. De resultan-

te van de normaalspanningen,

1Az

z

1A 1Az

z

z

zz dAyI

dMdAy

I

MdAy

I

dMM

moet gecompenseerd worden door een even grote schuifkracht q dx, werkend in het snij-

vlak.20

Bijgevolg geldt:

z

y

z

1A,zz

I

SV

I

S

dx

dMq

(31)

Vy is de plaatselijke dwarskracht, 1A,zSS is het statisch moment, om de z-as, van het ge-

deelte van de dwarsdoorsnede boven het snijvlak.

20

Merk op dat de schuifkracht q.dx in de figuur getekend werd in overeenstemming met de tekenafspraak: de

uitwendige normaal op het snijvlak is tegengesteld aan y, bijgevolg is een positieve q tegengesteld aan x.

y y

Mz

x x

z z

Mz + dMz q.dx x + dx

y0 x + dx y0

x

dx x

Figuur 12

A1



De schuifstroom q heeft de dimensie kracht/lengte . Indien men hem gelijkmatig uitge-

smeerd denkt over de plaatselijke breedte e van de balk (fig. 13), overeenstemmend met de

coördinaat y0, leidt de betrekking (31) tot de inmiddels vereeuwigde formule van Jourawski

voor de schuifspanningen yx:

eI

SV

e

q

z

yyx

(32)

Wegens de wederkerigheidsstelling van de schuifspanningen,

zijn in de einddoorsneden van de moot en ter hoogte van de

coördinaat y0 even grote schuifspanningen xy werkzaam: ze

zijn het grootst ter hoogte van de neutrale as; in het geval van

figuur 12 is dit de z-as, en worden nul aan de boven- en de on-

derrandvezels van de dwarsdoorsnede. Het laatste is volstrekt

logisch: er is immers impliciet ondersteld dat geen overlangse

krachten op de balk werkzaam zijn. In het bijzonder zijn er geen overlangse krachten in het

boven- en ondervlak van de balk; zijn er bijgevolg geen schuifspanningen yx en wegens de

wederkerigheidsstelling ook geen schuifspanningen xy.

Voor een rechthoekige doorsnede met breedte b en hoogte h rekent men eenvoudig na

dat de schuifspanningen gegeven worden door:

,y4

h

bh

V6

2

y2

h

y2

hb

12

bhb

V20

2

3

y0

03

yxy

en stelt men bijgevolg vast dat de schuifspanningen parabolisch veranderen over de hoogte

van de dwarsdoorsnede. De som van de schuifspanningen over de volledige hoogte is gelijk

aan

y

33

3

y2

h

2

hxy V

12

h

4

h

h

V6dyb

,

zoals het hoort.21

De schuifspanning is in absolute waarde maximaal ter hoogte van vezels die

de neutrale as z = 0 treffen, is daar gelijk aan bh

V

2

3 ymax en is plaatselijk dus anderhalve

keer groter dan de gemiddelde schuifspanning.

21

Vy is immers een spanningsresultante: ze is de resultante van de schuifspanningen. De vaststelling geldt bijge-

volg ook voor willekeurige dwarsdoorsnedevormen.

xy

yx

y0

q G

Figuur 13

e



Opmerkingen:

a) In het voorgaande is stilzwijgend aangenomen

dat de dwarskracht constant is. Is zulks niet het

geval dan worden de schuifspanningen die op de

achterste einddoorsnede van de moot werkzaam

zijn, gegeven door z

yxy

Ie

SV

; en deze op de

voorste door

z

yyxyxy

Ie

SdVVd

.

Hun resultanten Vy en Vy + dVy onderwerpen

de balkmoot dx derhalve aan een nettokracht

dVy volgens y, die evenwicht maakt met de

plaatselijke, externe belasting pdx (fig. 14)! De-

ze slotsom is geheel in overeenstemming met de

algemene evenwichtsprincipes uit de balkenthe-

orie.

b) In een doorsnede is de component van de

schuifspanning loodrecht op een onbelaste vrije

rand altijd gelijk aan nul. Mitsdien is de totale

schuifspanning in de doorsnede nabij een vrije

rand evenwijdig met die rand. De schuifspan-

ningsverdeling over de plaatselijke breedte van

het denkbeeldige snijvlak in figuur 15 zal er ongeveer uitzien zoals daar getekend is.

De juiste verdeling kan men met de balkentheorie niet bepalen, maar wat volstrekt ze-

ker is, is dat de som van hun verticale componenten gegeven wordt door het rechterlid

van (31).

5.1.2 Vormfactor van de dwarsdoorsnede

Schuifspanningen xy zijn vergezeld van glijdingen G/xyxy 22

. Uit lid 5.1.1

blijkt dat de glijdingen maximaal zijn ter hoogte van de staafas: GIe

SV

G zo

maxymaxmax

.

Men betrekt ze op de gemiddelde glijding door het introduceren van het begrip vormfactor :

GIe

SV

GA

V

zo

maxyymax

, waaruit:

zo

max

Ie

AS

(33)

eo is de breedte van de balk voor y = 0, A het totale dwarsoppervlak en Smax het statisch mo-

ment van het gedeelte van de staafdoorsnede boven de neutrale lijn.

22

In de buigingstheorie bedient men zich van de vereenvoudigende aanname dat de glijdingen nul zijn om prak-

tisch bruikbare formules voor de normaalspanningen op te stellen. Dit pijnpunt wordt thans rechtgezet.

y

e

Figuur 15

p.dx

Vy

Vy+dVy

Figuur 14



is een factor, groter dan één, die afhangt van de vorm van de dwarsdoorsnede en die men

met de formule van Jourawski kan becijferen. Voor een rechthoekige doorsnede is 2

3 (cf.

lid 5.1.1); voor een cirkelvormige is 3

4 . Voor I-profielen belast in het vlak van het lijf is

"A2A3

"AA2

"A2

A3

(A: totale profieldoorsnede; A”: doorsnede van het lijf)

23.

5.2 Doorbuiging door dwarskrachten

Om uitsluitend het effect van de glij-

dingen op de doorbuigingslijn te onderzoeken,

past men het superpositiebeginsel toe en neemt

men aan dat alle overlangse rekken en stuiken

door buigende momenten nul zijn en dat de

staafdoorsneden evenwijdig en verticaal blijven

en eenvoudig glijden ten aanzien van elkaar

(fig. 16).

Een oorspronkelijk horizontaal elementje dx

van de staafas tussen twee naburige doorsneden

neemt dus de helling aan, en de uitsluitend

aan de dwarskracht te wijten doorbuiging v1 beantwoordt aan:

dx

dM

GAGA

V

dx

dv zy1

(34)

en, indien de staaf prismatisch is of een traag verlopende doorsnede heeft, ook aan

GA

p

dx

dV

GAdx

vd y

2

12

(p: neerwaartse belasting per lengte-eenheid).

De doorbuigingen v voortvloeiend uit de elastische rekken en glijdingen tezamen zijn bepaald

door de randvoorwaarden en door de differentiaalvergelijking

GA

p

EI

M

dx

vd

EI

M

dx

vd

z

z

2

12

z

z

2

2 (35)

Als men rekening wil houden met de vervormingen door dwarskrachten mag men nog gebruik

maken van de analogieën van Mohr en van de stellingen van Greene, mits men in de formule-

ring het gereduceerd moment z

z

EI

M overal vervangt door het laatste lid van (35).

23

De lezer zal ongetwijfeld opmerken dat men ook een vormfactor kan definiëren voor een dwarskracht volgens

de andere hoofdas, en dat beide vormfactoren niet noodzakelijk dezelfde waarde hebben.

y

dv1

x

dx

Figuur 16

Vy

Vy



Uit (34) blijkt dat BdxVGA

vx

0y1

. Voor een tweezijdig opgelegde ligger is de inte-

gratieconstante B = 0 en is dus

x

0y1 dxV

GAv (36)

Voorbeeld: gelijkmatige belasting p op een prismatische, eenvoudig opgelegde ligger

In het midden is GA8

pven

8

pdxV

2

1

22/

0y

. De aan de buigende momenten te wij-

ten doorbuiging is z

4

2EI

p

384

5v

De verhouding van de uitwijkingen door dwarskracht en

door buiging is: 2

z

2

z

2

1

A5

I)1(96

GA5

EI48

v

v

. Voor een rechthoekige doorsnede met

hoogte h is 12/hA/I 2z en met = 0,3 is

2

2

1 h12,3

v

v

.

Als h = 0,1 is v1 slechts 3,1 % van v2.

Opmerkingen:

Uit het voorbeeld blijkt dat v1 v2. Daarom wordt zelden rekening gehouden met de ver-

vorming door dwarskrachten; in het bijzonder zal men in praktische gevallen deze ver-

vorming veronachtzamen wanneer h/ < 1/6. Voor I-profielen (met bijvoorbeeld = 3),

die tamelijk kort zijn ten opzichte van hun hoogte, kan v1 evenwel een niet-

verwaarloosbare fractie van v2 worden.

In een gegeven staafdoorsnede nemen de schuifspanning xy en de glijding xy af naarma-

te men de onder- of de bovenrand van de doorsnede nadert. Blijkens de elasticiteitstheorie

is de glijding x

v

y

uxy

. Voor een vaste balkdoorsnede (x = cst) wordt in de balken-

theorie aangenomen dat alle langsvezels dezelfde verticale verplaatsing ondergaan24

. Bij-

gevolg mag men partiële differentiatie x

v

vervangen door een gewone afgeleide

xd

vd en

wordt de tweede term in de uitdrukking van xy voor een vaste balkdoorsnede een constan-

te. De overlangse verplaatsingen

)x(fdx

dvydy)y,x(u

y

oxy (37)

24

Met de rek van de langsvezels van de staaf gaat een dwarscontractie gepaard. Dientengevolge is de elastische

verplaatsing haaks op de staafas niet precies dezelfde voor alle punten van dezelfde dwarsdoorsnede. De ver-

schillen tussen de verplaatsingen zijn echter een orde van grootte kleiner dan de doorbuigingen van de staafas. In

deze zin is het verantwoord te spreken van de doorbuiging van een staaf ter plaatse van een gegeven doorsnede.



bestaan uit drie bijdragen:

o De translatie f(x), dezelfde voor alle vezels, die het gevolg zou kunnen zijn van het ef-

fect van normaalkrachten en die hier niet echt van belang is.

o De overlangse verplaatsingen volgens de klassieke balkentheorie dx

dvy door het

wentelen van de dwarsdoorsneden als gevolg van de buiging.

o De niet-lineaire functie y

0

dy van y die er verantwoordelijk voor is dat vlakke door-

sneden niet vlak blijven en die de welving van de doorsnede beschrijft. Bij een recht-

hoekige doorsnede is de welving:

3y

y

o

22

3

y

h

y4

h

y3

GA2

hVdyy

4

h

bh.G

V6. De onderstaande figuur 17 toont de

welving voor een rechthoekige, betonnen balkdoorsnede met hoogte h = 40 cm, b = 20

cm die aan een dwarskracht Vy = 700 kN onderworpen is. G = 9130,4 N/mm2. De

grootste welfverplaatsing bedraagt amper 0,2 mm.

Bij het berekenen van de doorbuigingen door dwarskrachten hebben we stilzwijgend

aangenomen dat de welving, waarvan de amplitude evenredig is met Vy, onbelemmerd

kan ontstaan. Meestal wordt de welving in de praktijk bemoeilijkt25

en dan zijn de aan

de dwarskrachten toe te schrijven doorbuigingen kleiner, vaak zowat 20 % kleiner, dan

de met (36) berekende. Een kleine overschatting van het geringe aandeel v1 van de

schuifspanningen in de totale doorbuiging v2 + v1 is doorgaans aanneembaar.

25

Ter hoogte van een inklemming kan de welving zich zelfs helemaal niet voordoen.

u [mm]

y/h

Figuur 17



5.3 Schuifspanningen in dunwandige profielen

5.3.1 Een dunwandig profiel als dat in figuur 18

wordt door coplanaire krachten belast op buiging om

een hoofdtraagheidsas, bijvoorbeeld de z-as. Het to-

tale moment van de uitwendige krachten die aan een

kant van de doorsnede werken - inclusief de reactie-

krachten - om de neutrale lijn is het buigend moment

in de doorsnede Mz. Het veroorzaakt buignormaal-

spanningen gegeven door yI

M

z

zx .

5.3.2 Schuifstroom en schuifspanningen in

een enkelvoudig samenhangend, dun-

wandig profiel

Een enkelvoudig samenhangend profiel heeft

geen inwendige begrenzing. Een enkele, doorlopende

lijn vormt er de gehele omtrek van. Het kanaalprofiel

in figuur 18 is er een voorbeeld van. Krachten wer-

kend in het met Gy evenwijdig vlak26

veroorzaken in

een doorsnede met abscis x een buigend moment Mz,

voorgesteld door een vector haaks op Gy, en een dwarskracht Vy. Een kromlijnige coördinaat

s, die vertrekt vanaf een vrije rand van de staafdoorsnede, legt ondubbelzinnig de stand van

een punt op de hartlijn van de staafdoorsnede vast. De schuifspanningen die de dwarskracht

Vy veroorzaakt in de staafdoorsnede, meer bepaald in de punten A en B, raken aan de begren-

zing van de doorsnede, zoals blijkt uit de wederkerigheidseigenschap van de schuifspannin-

gen. Aangezien de wand dun is, ligt het voor de hand aan te nemen dat de schuifspanningen

tussen A en B de richting hebben van de hartlijn van de wand, ook bij langzaam verlopende

dikte. We nemen aan dat constant is langs AB en we noemen q(s)= t de schuifstroom ter

plaatse van AB. q is een schuifkracht per eenheid van lengte van de hartlijn en wordt bijvoor-

beeld uitgedrukt in N/cm. q en worden positief geacht wanneer hun zin samenvalt met de

positieve zin van s. De schuifstroom q en de schuifspanning worden gevonden door een ge-

lijkaardige gedachtengang als in lid 5.1.1:

z

zy

z

zy

It

)s(SV

t

)s(q)s(en

I

)s(SV)s(q

(38)

s

oz ydA)s(S is het statisch moment, om de neutrale lijn Gz, van het deel van de staafdoor-

snede begrepen tussen de vrije rand s = 0 en het vlakje, haaks op het middelvlak van de staaf,

26

De betekenis hiervan zal duidelijk worden wanneer de lezer de paragraaf over het dwarskrachtmiddelpunt be-

studeerd heeft. Voorlopig kan men de woorden "met" en "evenwijdig" weglaten.

y

b

t1

s = e

z h

G

A

B

s

s = 0

Figuur 18

t



corresponderend met de coördinaat s. t is de plaatselijke wanddikte. (38) is geheel in overeen-

stemming met (31), vermits S = Sz,A1 in (31) eigenlijk hetzelfde is als

s

0

e

0

e

s

dAydAydAy en daar G het zwaartepunt voorstelt, is de eerste term in het rech-

terlid van voorgaande gelijkheid nul en is Sz,A1 op het teken na het in deze paragraaf bere-

kende statisch moment.

Bij gegeven x zijn Vy en Iz constanten, en zijn Sz , q en functies van s.

(38) geldt in de onderstelling dat de rand s = 0 onbelast is. Wanneer er langs die rand van het

vrijgemaakte lichaam een schuifstroom q0 bestaat, om welke reden ook, is de schuifstroom in

de staafdoorsnede ook q0 voor s = 0, en geldt:

z

zy0

I

)s(SVq)s(q

z

zy0

It

)s(SV

t

q

t

)s(q)s(en

(39)

5.3.2.1 Toepassingen

a) Kanaalprofiel (fig. 19)

De dikten t van het lijf en t1 van de flenzen van

het kanaalprofiel zijn constant.

Voor de onderflens geldt:

2

hst

I

V)s(S

I

V)s(q 1

z

yz

z

y ,

2

hs

I

V)s(

z

y ,

2

hbt

I

V)b(q 1

z

y .

Voor het lijf, waarvoor we stellen s = b + s', is:

2

's

2

h'st

2

hbt

I

V)s(q 1

z

y en

)'sh(t'shbttI2

V)s( 1

z

y

.

Ter hoogte van de neutrale lijn is:

4

htbt

2

h

I

Vqq 1

z

ymax

4

htbt

2

h

tI

V1

z

ymax .

Men vindt gemakkelijk dat q in de bovenflens afneemt van z

1y

I2

hbtV

rechts tot nul links.

De variatie van q(s) is weergegeven in de figuur 19 op de constante factor Vy/Iz na. Men

merkt op dat q als functie van s niet discontinu verandert in de hoeken (waar de dikte veran-

Figuur 19

2

hbt1

2

hbt1

4

htbt

2

h1

t1 t

h

s’

b

Vb

Vo

V

2

hbt1



dert), omdat Sz daar niet plots verandert als functie van s, maar dat daar wel discontinu ver-

andert: z

1y

I2

hbtV)b(q

in de onderhoek, zowel in het lijf als in de flens, maar

z

y

I2

hbV)b(

in de flens en

z

1y

It2

hbtV)b(

in het lijf.

De resultante van de schuifstroom in het lijf is

12

ht

2

hbt

I

V

6

ht

4

ht

2

hbt

I

V'ds)'s(qds)s(qV

32

1z

y332

1z

yh

0

hb

b .

Zij is gelijk aan Vy , daar de uitdrukking tussen haakjes precies Iz is, en moet trouwens gelijk

zijn aan Vy, daar de schuifstroom in de flenzen overal horizontaal werkt.

De resultante van de schuifstroom in de onderflens is:

b

o z

21y

oI4

hbtVds)s(qV (40)

De schuifkracht in de bovenflens is even groot, maar gericht in de andere zin.

b) I-profiel (fig. 20)

De dwarskracht ligt bij onderstelling in het vlak van het lijf. Voor de linkerhelft van de onder-

flens gaat men uit van de vrije rand s = 0, en voor de rechterhelft gaat men uit van de vrije

rand s' = 0 om de formules (38) toe te passen. Zo vindt men gemakkelijk de schuifstroomver-

deling afgebeeld in de figuur 20.

De schuifstroom q3 onderaan in het lijf is gelijk aan de som van de schuifstromen q1

en q2 in de onderflens onmiddellijk links en rechts van het lijf, omdat het statisch moment Sz,

waarmee men q3 berekent, de som is van de twee statische momenten waarmee men q1 en q2

berekent (fig. 21). Dit is eigenlijk maar waar voor zover men aanneemt dat de ontmoetingszo-

ne van het lijf en de flens een verwaarloosbare oppervlakte heeft, hetgeen in overeenstemming

is met onze onderstelling nopens de dunwandigheid van het profiel. In de ontmoetingszone

zelf is de schuifspanningsverdeling ingewikkeld.

Algemener kan men stellen dat waar meerdere dunne wanden samenkomen, de schuif-

stroom in één daarvan de som is van de schuifstromen in de overige.



5.3.3 Schuifstroom en schuifspanningen bij scheve buiging met vooropgegeven

buigingsvlak

We illustreren de gedachtengang voor

een puntsymmetrisch Z-profiel met constante

dikte t, afgebeeld in figuur 22. We zoeken de

schuifstroomverdeling en de dwarskracht Vt, die

deze schuifstroom teweegbrengt, als ondersteld

wordt dat de neutrale lijn Gz evenwijdig is met

de flenzen, of nog: dat de staaf doorbuigt in het

vlak Gy van het lijf. De z-as is thans kennelijk

geen hoofdas. Uit lid 4.1.5 is bekend dat het

belastingsvlak een hoek = - /2 insluit met

de y-as gegeven door z

yz

I

Itg . Vermits x is

dat geval nog steeds gelijk is aan yI

M

z

z

moet er weinig aan de in lid 5.3.2 uiteengezette

theorie gewijzigd worden. Alleen vergete men

niet dat Mz = Mt . sin en Vy = Vt.sin niet de

totale momentenvector (haaks op het belas-

tingsvlak) en de totale dwarskracht (gelegen in het belastingsvlak) voorstellen.

Indien we de resultante van de schuifstromen qij door Vij voorstellen, vinden we gemakkelijk:

bt1h/4

bt1h/2

t1

h bt1h/2 + th2/8

s s’

bt1h/2

bt1h/4 b/2 b/2

t

Figuur 20

q3

q1 q2

Figuur 21

y

2 1

3

z G

6

4 5

Figuur 22

b

c

h

Mt



Verstijvingslip 6-4 (s vanaf vrije rand):

:= q64

s t

1

2h c

1

2s V

y

Iz

:= V64

1

12

t Vy

c2 ( )4 c 3 h

Iz

:= V64

.006649447293Vy

Onderflens 4-5 (s1 vanaf ontmoeting verstijvingslip – onderflens):

:= q45

c t

1

2h

1

2c

1

2s

1t h V

y

Iz

:= V45

1

4

t Vy

b ( ) h b 2 c h 2 c2

Iz

:= V45

.1892283655Vy

Lijf 5-2 (s2 vanaf onderkant lijf):

:= q52

c t

1

2h

1

2c

1

2b t h s

2t

1

2h

1

2s

2V

y

Iz

:= V52

1

12

t h Vy

( ) h2 6 c h 6 c2 6 h b

Iz

:= V52

1.013298895Vy

Bovenflens 2-1 (s3 vanaf bovenkant lijf):

:= q21

c t

1

2h

1

2c

1

2b t h

1

2s

3t h V

y

Iz

:= V21

1

4

t Vy

b ( ) h b 2 c h 2 c2

Iz

:= V21

.1892283655Vy

Verstijvingslip 1-3 (s4 vanaf ontmoeting bovenflens – verstijvingslip):

:= q13

c t

1

2h

1

2c s

4t

1

2h

1

2s

4V

y

Iz

:= V13

1

12

t Vy

c2 ( )4 c 3 h

Iz

:= V13

.006649447295Vy

De cijferwaarden werden bekomen voor een profiel waarvan de afmetingen in figuur 9 gege-

ven zijn. De resultante van de schuifstromen volgens y: VRy = -V64 + V52 - V13

:= VRy

1

12

t Vy

( ) 8 c3 12 c2 h h3 6 c h2 6 h2 b

Iz

= V y



is, zoals het hoort, gelijk aan de component volgens y van de totale dwarskracht.

De resultante van de schuifstromen volgens z: VRz = -V45 - V21 is gelijk aan

:= VRz

1

2

t Vy

b ( ) h b 2 c h 2 c2

Iz

= .3784567310 V y

De totale dwarskracht Vt sluit met de y-as de hoek in gegeven door tg = -0,3785. Dit

strookt volkomen met de verwachting vermits die hoek volgens lid 4.1.5 ook gegeven wordt

door 3785,07,1758742/665608I

Itg

z

yz .

5.3.4 Schuifspanningen in meervoudig samenhangende, dunwandige profielen

Een tweevoudig samenhangend profiel heeft een uitwendige en één inwendige begren-

zing. Als de staaf een symmetrievlak heeft en de belasting werkt in dat vlak is de schuifstroom

nul in elk snijpunt van de staafdoorsnede met haar symmetrieas. Mits we de oorsprong van de

kromlijnige coördinaat s plaatsen in zo'n punt zijn

de formules (38) voor q(s) en (s) dan toepasbaar.

In alle andere gevallen leggen we de oor-

sprong s = 0 in een in beginsel willekeurig punt 0

van het profiel (fig. 23). We noemen de schuif-

stroom op die plaats q0.

Bij buiging om de neutrale lijn Gz27

is de schuif-

stroom elders blijkens (39) gelijk aan

z

zyo

I

)s(SVq)s(q

. Hiermee is q(s) bekend op

de onbekende constante q0 na. Met de schuif-

spanningen z

zy0

I)s(t

)s(SV

)s(t

q)s(

gaan de glij-

dingen s

u)s(

gepaard

28 en de welvingsver-

plaatsingen u(s) = 0

s

0

uds)s( . u0 is de ver-

plaatsing volgens x van het middelvlak van de

plaatwand voor s = 0. Daar er geen verplaatsing kan zijn van het punt B van de hartlijn, net

links van het vlakje 0 – 0, ten opzichte van het punt A, net rechts van het vlakje 0 – 0, is

27

In het betoog hoeft Gz geen hoofdas te zijn. De stand van het belastingsvlak ten opzichte van de y-as is dan

echter bepaald door z

yz

I

Itg ten opzichte van de y-as.

28 We laten de bijdrage dv/dx die toe te schrijven is aan de buiging terzijde; cfr. de opmerking in lid 5.2.

y' 20 40

y 1 1

80

z G

4 2

z' 0 s

0

Figuur 23 (afmetingen in mm)

2

2



0dsuu AB

ds)s(t

)s(S

IG

V

)s(t

ds

G

qds)s(

G

1 z

z

yo , of

z

y

z

0I

V

)s(t

ds

ds)s(t

)s(S

q

(41)

De kringintegralen in (41) worden becijferd langsheen de hartlijn van de plaatvelden die de

holte omsluiten. Eventuele uitsteeksels zoals in figuur 23 worden in rekening gebracht via de

uitdrukking van het statisch moment Sz(s). Bijvoorbeeld brengt men bij de bepaling van het

statisch moment horend bij het snijvlakje 1-1 het gearceerde oppervlak in rekening. Eens q0

door middel van (41) begroot, is de schuifstroom- en schuifspanningsverdeling ondubbelzin-

nig bekend.

Een n + 1 -voudig samenhangend profiel heeft n inwendige begrenzingen. Om de

schuifspanningen door dwarskracht te begroten, gaat men als volgt te werk. Men kiest als on-

bekenden de schuifstromen qi (i = 1…n) in n oordeelkundig gekozen punten van de hartlijn

van de profieldoorsnede, dat wil zeggen: indien men op die plaatsen de profielwand openlegt

onstaat een enkelvoudig samenhangende doorsnede. Vervolgens bedient men zich van men n

continuïteitsbetrekkingen 0dsuu AB , één voor iedere holte, om de grootheden qi te

bepalen. Tenslotte bestudeert men de schuifstroomverdeling met de formule (39).

De gedachtengang wordt geïllustreerd voor het driecellig profiel in figuur 24. Men

neemt de schuifstromen in de punten 0, 1 en 2 als onbekenden en kiest voor elk van de cellen

een omloopzin, bijvoorbeeld de tegenwijzerzin.

De uitdrukking van de schuifstroom voor de verschillende wandgedeelten, in de figuur met

pijltjes voorgesteld en positief volgens die aangeduide zin genomen, wordt gegeven door de

volgende uitdrukkingen:

0-3: z

zyo

I

)s(SVq)s(q

(b) 0-5:

z

zyo

I

)s(SVq)s(q

(c)

3-6: z

zy1o

I

)s(SVqq)s(q

(a) 3-1:

z

zy1

I

)s(SVq)s(q

(d)

1-6: z

zy1

I

)s(SVq)s(q

(f) 6-7:

z

zyo

I

)s(SVq)s(q

(g)

2-7: z

zy2

I

)s(SVq)s(q

(i) 5-2:

z

zy2

I

)s(SVq)s(q

(h)

7-8-5: z

zy2o

I

)s(SVqq)s(q

(e)



Het statisch moment moet telkenmale berekend worden voor de in de deelfiguren aangeduide

fractie van het totale dwarsoppervlak. Bij de berekening van de kringintegralen houdt men er

overigens rekening mee dat de overeengekomen zin van q(s) plaatselijk verschillend kan zijn

van omloopzin voor een cel!

5.4 Dwarskrachtenmiddelpunt of dwarskrachtencentrum29

De schuifspanningsverdeling die in §5.3.3 voor buiging om de z-as bestudeerd werd, is

statisch gelijkwaardig met een dwarskracht Vt1 in de doorsnede. Omgekeerd betekent het ook

dat de ligging van de werklijn van die dwarskracht ondubbelzinnig door de schuifspannings-

verdeling vastgelegd wordt. We berekenen in figuur 25 de bijdrage tot het moment om G en

volgens x van de schuifstromen q: e

0z

z

ye

0x dsh)s(S

I

VdshqM . h is de loodrechte

afstand, gemeten vanaf het zwaartepunt G tot het middelvlak van de profieldoorsnede en bij

afspraak is h positief wanneer het vectorieel product

dsxh volgens x gericht is. In de figuur

is h voor alle punten van het middelvlak een positieve grootheid. h.ds is tweemaal de opper-

vlakte van de gearceerde driehoek. Anderzijds ontbinden we de dwarskracht Vt1 in zijn com-

ponenten Vy en Vz op de plaats waar de drager van Vt1 de z-as ontmoet en noemen zE de or-

29

E: Shear centre.

4 0

1 a 0 0

b c

4 y

d 0

1 3 0 5

4 q0 5

1 e

z q1

1 G 8 2

f 2

6 7

3

4 0

h

g 2

2

6 i

Figuur 24

q2



dinaat van dat punt30

. De bijdrage van de

dwarskracht tot het moment om G is kennelijk

– Vy . zE. Bijgevolg is de stand van de werklijn

w1 van Vt1 ondubbelzinnig bepaald door

e

0z

zE dsh)s(S

I

1z (42)

en luidt haar vergelijking:

yI

Izz

z

yzE (43)

Een dwarskracht waarvan de werklijn evenwij-

dig is met w1, bepaald door (43), maar er niet

mee samenvalt, kan niet statisch gelijkwaardig met de berekende schuifstromen zijn en zal het

profiel naast afschuiving ook op wringing belasten.

De redenering hernemend voor buiging om de y-as, met een dwarskracht Vt2 (fig. 25),

geeft de schuifstromen die statisch gelijkwaardig met Vt2 zijn enkel en indien haar werklijn

w2 de y-as treft in een punt met abscis

e

0y

yF dsh)s(S

I

1y (44)

De vergelijking van die werklijn luidt derhalve:

)yy(I

Iz F

yz

y (45)

Een dwarskracht waarvan de werklijn evenwijdig is met w2, bepaald door (45), maar er niet

mee samenvalt zal het profiel, naast de afschuiving, ook op wringing belasten.

Het snijpunt D van de werklijnen w1 en w2 is ondubbelzinnig bepaald door (43) en

(45). Dit bijzondere punt D wordt het dwarskrachtenmiddelpunt of dwarskrachtencentrum

van de doorsnede genoemd. Het is enkel afhankelijk van de vorm en afmetingen van de door-

snede.

Een willekeurige dwarskracht die door D gaat, kan vectorieel ontbonden worden vol-

gens de richtingen w1 en w2, met componenten Vt1 en Vt2 respectievelijk. Vt1 en Vt2 geven

aanleiding tot statisch gelijkwaardige schuifspanningsverdelingen die men met de theorie van

30

De component Vz van Vt1 werd in de figuur niet getekend omdat we hem eigenlijk niet nodig hebben bij de

redenering die we aan het voeren zijn.

q

s = e y

z

s s = 0

Figuur 25

Vy

h

E

Vt1

G

F

Vt2

D



Jourawski kan bestuderen en die niet aan wringing van de staafdoorsnede toe te schrijven zijn.

Omgekeerd is de som van die schuifspanningsverdelingen statisch gelijkwaardig met Vt. In

alle andere gevallen waar de werklijn van Vt het dwarskrachtencentrum niet bevat, gaat de

afschuiving met wringing gepaard.

Bij een dwarsdoorsnede met twee symmetrieassen valt het dwarskrachtenmiddelpunt

samen met het zwaartepunt. D valt ook samen met G bij een puntsymmetrische doorsnede. Is

er een symmetrieas, dan ligt D op de symmetrieas. Bestaat de doorsnede uit een aantal concur-

rente benen, dan valt het dwarskrachtencentrum samen met het gemeenschappelijke hoekpunt.

Voor het kanaalprofiel uit lid 5.3.2.1 hebben we de schuifkracht in het lijf

12

ht

2

hbt

I

VV

32

1z

y en in de flenzen

z

21y

oI4

hbtVV

gevonden. Om de stand

van de werklijn van Vy te bepalen die tot deze schuifkrachten aanleiding gegeven heeft,

berekenen we het moment van de schuifkrachten volgens x om een willekeurig centrum,

bijvoorbeeld het snijpunt van het lijf met de z-as door G (fig. 26)31

: en eisen dat dit moment

precies gelijk is aan het moment van Vy om hetzelfde

punt, of yz Ve . ez is de loodrechte afstand van het

centrum tot de werklijn van de dwarskracht, positief ge-

meten volgens de z-richting. Hieruit volgt:

z

221

zI4

hbte

.

Het dwarskrachtmiddelpunt ligt bijgevolg op de z-as op

een afstand z

221

I4

hbte

, rechts van het middelvlak

van het lijf.

In lid 5.3.4 werd uiteengezet hoe men de

schuifspanningen in één- of meercellige kokers kan

bepalen. Het bepalen van de ligging van het

dwarskrachtcentrum gaat niet met bijkomende

moeilijkheden gepaard.

31

Vanzelfsprekend hadden we als centrum het zwaartepunt G kunnen nemen om de formule (42) toe te passen.

De hier gevolgde werkwijze geeft hetzelfde eindresultaat.

t1

t

y

h z

G

b

b

Figuur 26

Vb

Vo

V

e

Vy



5.5 Slotsom

Om de schuifspanningsverdeling die overeenstemt met een willekeurige dwarskracht

Vt - gaande door het dwarskrachtencentrum - in dunwandige, enkelvoudig samenhangende

profielen te bestuderen, kan men als volgt te werk gaan:

Ofwel projecteert men de dwarskracht volgens de hoofdassen en noemt de projecties

Vy en Vz. Vervolgens bedient men zich van de betrekking (38) om de schuifspannin-

gen afkomstig van Vy te becijferen en van de gelijkwaardige y

yz

I

)s(SV)s(q

en

y

yz

I)s(t

)s(SV)s(

om de schuifspanningen die statisch equivalent met Vz zijn te be-

cijferen. Tot slot sommeert men de gevonden bijdragen. Merk op dat de statische mo-

menten S en de traagheidsgrootheden om de hoofdassen berekend moeten worden.

Ofwel ontbindt men de dwarskracht Vt vectorieel in twee componenten, bijvoorbeeld

de componenten Vt1 en Vt2 die respectievelijk buiging om de z-as en om de y-as, die

geen hoofdassen moeten zijn, bewerkstelligen. Vervolgens bestudeert men de schuif-

spanningsverdeling, corresponderend met Vt1, volgens (38) en de schuifspanningen

afkomstig van Vt2 volgens y

yz

I

)s(SV)s(q

en

y

yz

I)s(t

)s(SV)s(

en sommeert

men de gevonden bijdragen.

Ofwel gebruikt de volgende betrekking van de schuifstroom, die opgesteld kan worden

door zich te bedienen van (22):

)s(SIII

VIIV)s(S

III

IVIV)s(q y

zy2yz

yyzzzz

zy2yz

yzzyy

(46)

Om de schuifspanningsverdeling in dunwandige, meervoudig samenhangende profie-

len te bestuderen, bewandelt men gelijkaardige wegen nadat de statische onbepaaldheid werd

opgeheven.

Toepassing:

Het dunwandige kokerprofiel in figuur 23 is onderworpen aan de dwarskracht Vt = Vy = 24

kN. De lezer wordt gevraagd om het dwarskrachtencentrum en de schuifspanningen te bepa-

len.



6 Zuivere wringing volgens de theorie van de Saint-Venant

6.1 Onderstellingen

We bestuderen een prisma-

tische staaf waarvan de dwarsdoor-

snede in figuur 27 getekend is. De

x-as treedt uit het vlak van de teke-

ning. We bedienen ons van de vol-

gende uitgangsonderstellingen (fig

27):

1) Het materiaal is elastisch en

de spanningen gehoor-

zamen aan de wetten van

Hooke.

2) De dwarsdoorsnede met de

willekeurige abscis x draait

in haar geheel om de x-as

over de kleine hoek .x en

neemt daarbij de gewentelde stand in streeplijn in. De hoekverdraaiing per eenheid van

lengte van de staaf of specifieke torsiehoek , uitgedrukt in radialen per meter, is bij

onderstelling constant. Ten gevolge van de wenteling ondergaat een punt P met coör-

dinaten (y,z) de verplaatsingen:

v = - .x.z en w = .x.y (47)

3) Er werken geen overlangse noch overdwarse krachten op de staaf. In het bijzonder

nemen we aan dat de dwarsdoorsneden vrij zijn van overlangse normaalspanningen

x.32

Mede daarom is er sprake van zuivere wringing.

6.2 Vervormingen en spanningen

Met de verplaatsingen (47) stemmen de rekken 0y

vy

en 0

z

wz

overeen.

Omdat x = 0 volgens het voorschrift 3), moet bijgevolg ook gelden dat 0x

ux

of u =

u(y,z) is een functie van y en z, en dus van de vorm en afmetingen van de doorsnede, maar

32

D. Vandepitte maakt de laatste onderstelling niet, stelt door middel van de elasticiteitstheorie de uitdrukking

van x op en komt tot de bevinding dat x toch nul is. Bron: Berekening van Constructies – Bouwkunde en Civie-

le Techniek -, Boekdeel 1, blz. 126.

z

P’

r..x

w

P

.x

r

O

x

s

R

y

v

xs

xn

A

xy

xz

s

n

A

Figuur 27



onafhankelijk van x. Anders gezegd: de welving33

van alle doorsneden is dezelfde. We schrij-

ven u in de volgende gedaante:

u = . (y,z) (48)

en noemen (y,z) de welvingsfunctie.

Omdat x = y = z = 0 zijn ook de spanningen y = z = 0. Dat volgt dadelijk uit de wetten

van Hooke.

De glijding 0xxy

w

z

vyz

. Dit zit eigenlijk al besloten in de on-

derstelling 2) vermits daar impliciet gezegd wordt dat de projectie van de dwarsdoorsnede op

het yz-vlak geen enkele vervorming ondergaat; in het bijzonder blijft een rechte hoek tussen

twee lijnstukken gelegen in de dwarsdoorsnede recht.

De glijdingen

z

yx

v

y

uxy en

y

zx

w

z

uxz (49)

stemmen overeen met de schuifspanningen

z

yGxy en

y

zGxz (50)

Spanningen moeten alle evenwichtsvoorwaarden vervullen. De voorwaarde van het inwendig

evenwicht volgens x, 0zyx

xzxyx

34, leidt tot:

0zy 2

2

2

2

(51)

Derhalve is de welvingsfunctie een harmonische functie en is de som van de krommingen van

de gewelfde doorsnede in twee onderling loodrechte richtingen nul in alle punten van het li-

chaam.

Zij R een kromme die men in een gekozen zin s kan doorlopen, en A een punt van die

kromme (fig. 27). We ontbinden de schuifspanningsvector A in de componenten xs en xn ,

respectievelijk volgens de raaklijn en volgens de normaal op laatstgenoemde en spreken af dat

de positieve zin van n volgt uit xsn eee

:

33

E: warping. 34

Het nul zijn van het tweede lid wijst erop dat er geen massakrachten op het lichaam inwerken, wat impliciet in

het voorschrift 3) vervat zit.



ds

dz)y

z(G

ds

dy)z

y(Gsincos xzxyxs

(52)

ds

dy)y

z(G

ds

dz)z

y(Gcossin xzxyxn

(53)

De schuifspanningsvector is rakend aan elke in- en uitwendige begrenzing van de dwarsdoor-

snede; dat volgt uit de wederkerigheidseigenschap van de schuifspanningen en uit het voor-

schrift 3) in lid 6.1. We laten in gedachte de kromme R samenvallen met de buitenomtrek en

drukken uit dat xn = 0, of

0dy)yz

(dz)zy

(

. (54)

Er kan nu steeds een zulkdanige (y, z) worden gevonden dat men kan stellen

z)z

y(Gxy

en

y)y

z(Gxz

(55)

(y,z) heet de spanningsfunctie voor wringing35

.

Substitutie van (55) in (54) levert: 0ddyy

dzz

. Hieruit besluiten we dat

de spanningsfunctie = constant langsheen de volledige buitenbegrenzing van de dwarsdoor-

snede (fig. 28). Een analoog besluit kan getrokken wor-

den voor een inwendige begrenzing: = K. Meer alge-

meen: als er n holten zijn in het staafprofiel geldt op

grond van de randvoorwaarden ook (y,z) = Ki (i = 1, 2,

… , n) langs de omtrek van elke holte.36

Die constanten

kunnen we nochtans niet meer naar believen kiezen.

Vermits de spanningsfunctie op een additieve constante

na bepaald is en alleen via haar partiële afgeleiden in de

formules voor de spanningen tussenkomt, is het praktisch

om de constante waarde van voor de buitenrand van de

dwarsdoorsnede gelijk aan nul te stellen.

De spanningsfunctie moet nog een belangrijke voorwaarde vervullen. Uit de betrek-

kingen (55) volgt immers:

1

yzG

zen1

zyG

y

2

2

22

2

2

wat na samen-

telling leidt tot de differentiaalvergelijking van de spanningsfunctie:

35

Men gaat eenvoudig na dat de spanningsfunctie ook de voorwaarde van het inwendig evenwicht volgens x niet

schendt. 36

Vanzelfsprekend bestaat de spanningsfunctie binnen de holte niet; er is immers daar geen profielmateriaal

aanwezig dat haar bestaan zou wettigen.

= 0

A

= K1

= K2

Figuur 28



G2

zy 2

2

2

2

(56)

6.3 Eigenschappen van de spanningsfunctie

Door in een willekeurig punt A (fig. 27) partieel af te leiden naar z vindt men blij-

kens (55) de projectie xy, op de y-as, van de schuifspanningsvector A, die plaatselijk in de

dwarsdoorsnede werkt op het staafgedeelte achter het vlak van de getekende doorsnede. An-

ders gezegd: door in een willekeurig punt A partieel af te leiden naar z vindt men de projec-

tie van de schuifspanningsvector A volgens de halfrechte die men bekomt door z over 90° te

wentelen in de wijzerzin. Door partieel af te leiden naar y vindt men de projectie -xz van de

totale schuifspanning A op de halfrechte verkregen door de positieve y-as eveneens 90° te

draaien in de uurwijzerzin. Daar de richting van de y-as of van de z-as willekeurig werd geko-

zen geldt de geformuleerde eigenschap algemeen: de partiële afgeleide van naar e is gelijk

aan de orthogonale projectie xr van A op de halfrechte r die ten opzichte van de e-as over

90° is gedraaid naar rechts. Bijgevolg geldt:

xsn

en xn

s

(57)

Indien de kromme R in figuur 27 samenviel met de projectie op het yz-vlak van een

hoogtelijn van het oppervlak met ordinaten (y,z), dan zou 0s

. Bijgevolg zou de projectie

van de totale schuifspanning A op n nul zijn: een hoogtelijn (y,z) = cte

raakt in ieder punt

aan de plaatselijke totale schuifspanning en de hoogtelijnen zijn de zogenaamde schuifspan-

ningslijnen. Daarenboven is n

xsA

en de plaatselijke helling van het -oppervlak

geeft de grootte van de totale schuifspanning.

6.4 De stelling van Prandtl

Men beschouwt een willekeurige

gesloten kromme R die nergens de dwars-

doorsnede verlaat37

en die bij onderstelling

in de tegenwijzerzin wordt doorlopen (fig.

29). De schuifspanningscomponenten xs ,

rakend aan de kromme, zijn gegeven door

(50). Met de stelling van Prandtl berekent

men de kringintegraal van xs langs R:

37

Dit impliceert dat de kromme ook nergers een eventuele holte kruist.

z

n A

AR

R s

O y

Figuur 29

xs



RR

xs dz)yz

(dy)zy

(Gds RRR

dzyG2)yz(dGdG

of

RR

xs AG2ds (58)

AR is de oppervlakte die door R omsloten wordt. Indien de kromme doorlopen wordt in de

wijzerzin, verandert vanzelfsprekend het teken van xs , wat tot uiting komt doordat AR van

teken wisselt.

Gelet op de eigenschappen van de spanningsfunctie kan men de stelling van Prandtl ook

schrijven onder de gedaante

RR

AG2dsn

(59)

De stelling van Prandtl geldt in het bijzonder voor een kromme R die samenvalt met

de buitenomtrek van de dwarsdoorsnede of met de rand van een inwendige holte. In een der-

gelijk geval is de schuifspanningscomponent xs eigenlijk de totale schuifspanningsvector

voor ieder punt van R.

6.5 Wringend moment

Daar x overal nul is in de staaf zijn er geen buigende momenten en kunnen er bijge-

volg ook geen dwarskrachten bestaan in de doorsneden. Aangezien V = 0, is het resulterend

moment van de schuifspanningen om elke met x evenwijdige as hetzelfde. Dat moment is het

wringend moment Mx. We berekenen het om de x-as en rekenen het positief in de zin van de

verdraaiing (fig. 27):

A Axyxzx dzdy

zz

yydzdy)zy(M . (60)

Beide termen xyxz zeny leveren dezelfde bijdrage. We berekenen de tweede voor een

tweevoudig samenhangend profiel (fig. 30):

dydzdydz

zzdzdy

zz

A

dydzzzzz DCBA

A

CB dydzdyKzz A

1 dydzAK .

A1 is de oppervlakte van de holte. Op een gelijkaardige manier toont men aan dat de eerste

bijdrage dezelfde uitkomst oplevert. Ten slotte vindt men:



Ai

iix dzdyAK2M (61)

Het wringend moment is gelijk aan

tweemaal de inhoud van het lichaam begrensd

door de staafdoorsnede, door het -oppervlak

(met ordinaat nul langs de buitenrand van het

profiel) en, over de gehele uitgestrektheid van

iedere mogelijk aanwezige holte, door een plat

vlak met constante ordinaat gelijk aan de -

ordinaat aan de omtrek van die holte. De ont-

bondenen van de schuifspanningen in twee wil-

lekeurige loodrechte richtingen hebben elk

2

Mx als resulterend moment.

6.6 Oplossing van wringproblemen in het elastisch stadium

Voor een staaf met gegeven profiel en specifieke torsiehoek is de spanningsfunctie

bepaald door de differentiaalvergelijking (56), met de randvoorwaarden:

langs de buitenbegrenzing van het profiel: = 0

langs de omtrek van elke mogelijk aanwezige holte i met oppervlakte Ai:

)onbekendK(K ii en ii

AG2dsn

.

Het vinden van een gesloten analytische oplossing van voor een willekeurige door-

snede is uiteraard moeilijk. Numeriek kan men ze bepalen door middel van variationele me-

thoden, geschilderd in een eindige elementenwereld38

.

Wanneer de functie bekend is geeft (59) het wringend moment Mx, (53) de span-

ningsverdeling, en integratie van (53) de welvingsfunctie (y,z) en de welving u(y,z) =

.(y,z) van de doorsneden. De gevonden spanningsverdeling is exact voor de gehele staaf

indien het wringend moment aan beide staafeinden wordt ingeleid overeenkomstig die verde-

ling, zoniet wordt dat spanningsbeeld verstoord aan de einden van de staaf, maar gelden de

berekende spanningen krachtens het beginsel van de Saint-Venant nog "ver genoeg" van de

uiteinden, met name op een afstand van de orde van grootte van de grootste dwarsafmeting;

die afstand wordt echter groter naarmate de delen van het profiel dunner zijn.

Bij zuivere wringing is Mx evenredig met de specifieke torsiehoek . De evenredig-

heidsfactor

38

De lezer zal ongetwijfeld interessante informatie daaromtrent kunnen garen door lezing van het standaardwerk

van O.C. Zienckiewicz: The Finite Element Method, 3rd edition, McGraw-Hill Book Company, London, 1979.

z

A

= 0 B

A1

= K

O y

C

D

Figuur 30



Aiiit

xt dzdyAK

2GIof

MGI (62)

heet de wringstijfheid of torsiestijfheid, uitgedrukt in bijvoorbeeld kNcm2. It wordt wringcon-

stante of torsieconstante genoemd en heeft de dimensie (lengte)4. Het weerstandsmoment te-

genover wringing wordt gedefinieerd als de grootheid waardoor men Mx moet delen om de

grootste totale schuifspanning max in de doorsnede te vinden:

momentweerstands

Mxmax (63)

In de praktijk past de ingenieur hoofdzakelijk de formules (62) en (63) toe ter berekening van

en max , en heeft hij daarom vooral behoefte aan de kennis van de wringconstante It en van

het weerstandsmoment. Beide grootheden zijn kenmerken van de staafdoorsnede.

Opmerkingen:

1) De spanningsfunctie is onafhankelijk van de positie van de oorsprong van het assen-

kruis. We hebben de oorsprong van yz laten samenvallen met het punt D waar de draai-

ingsas het vlak doorboort. Stel dat we de oorsprong plaatsen in een willekeurig ander

punt. Dan worden de uitdrukkingen van de verplaatsingen, de glijdingen en de spannin-

gen lichtjes anders:

v = - .x.(z – zD) en w = .x.(y – yD) (47’)

)zz(

yx

v

y

uDxy en

)yy(

zx

w

z

uDxz (49’)

)zz(

yG Dxy en

)yy(

zG Dxz (50’)

z

))zz(y

(G Dxy

en

y))yy(

z(G Dxz

(55’)

Desalniettemin wordt nog steeds bepaald door de differentiaalvergelijking (56) en de-

zelfde randvoorwaarden die alle onafhankelijk van de coördinaten van D zijn. Bijgevolg

zijn ook de schuifspanningen en de glijdingen onafhankelijk van de ligging van de

draaiingsas.

Uiteraard zijn de verplaatsingen wél functie van de coördinaten van D. Dat blijkt uit

(47’) waar de draaiing van de doorsnede om een punt dat niet met de oorsprong van het

assenkruis (vaak het zwaartepunt G) samenvalt, aanleiding geeft tot de bijkomende

translaties .x.zD volgens y en -.x.yD volgens z. De welvingsverplaatsingen bij draai-

ing om een as door D worden gegeven door (55’): z

))zz(y

(G D

en

y))yy(

z(G D

; bij draaiing om een as door de oorsprong worden ze gege-



ven door z

)zy

'(G

en

y)y

z

'(G

. Hieruit blijkt dat

z.yy.z' DD .

2) Als de staafdoorsnede enkelvoudig samenhangend is en de vergelijking f(y,z) = 0 van

haar omtrek voldoet aan )constante(Kz

f

y

fo2

2

2

2

is de spanningsfunctie

)z,y(fK

G2)z,y(

o

. Deze functie vervult inderdaad alle voorwaarden: zij is nul

langs de rand van het profiel, en zij voldoet aan (55).

6.7 Staven met gedrongen doorsnede

6.7.1 Massieve ronde doorsnede draaiiend om een as door haar zwaartepunt

Eigenlijk hebben we de functie niet nodig om

de spanningen te bepalen39

. De schuifspanning xs ra-

kend aan een cirkel met straal r is wegens de axiale

symmetrie primo een constante en secundo tevens de

totale schuifspanningsvector en wordt bepaald door de

stelling van Prandtl: 2..r.xs = 2G.r2 waaruit xs =

G.r. Hij verandert bijgevolg lineair in radiale richting.

Het wringend moment is:

G2

Rddrr.GdrdrrM

42

0

R

0

32

0

R

0xsx

Uit (62) volgt : 2

RIen

2

RGGI

4

t

4

t

. Voor

een ronde as is It gelijk aan het polaire traagheidsmo-

ment van de doorsnede om haar middelpunt. Dat geldt

ook voor een ringvormige doorsnede, maar geldt niet

voor andere doorsneden.

De maximale schuifspanning doet zich voor aan de

omtrek van de doorsnede en is daar gelijk aan:

3

xmax

R

M2

. Bijgevolg is het weerstandsmoment

2

R3.

Ontbinding van xs in componenten volgens de y- en de z-richting levert de componenten xy

= -G.z en xz = G.y. Derhalve volgt uit (50) 0zy

en blijkt dat een constante is

39

Men vindt ze overigens makkelijk mits in acht name van de opmerking 2) in lid 6.6: het -oppervlak is een

omwentelingsparaboloïde die gaat door de omtrek van de staafdoorsnede en die in het middelpunt de hoogte

GR2/2 heeft (fig. 31).

z

R

y

O

Mx

Figuur 31

xs

2

RG 2



(die we trouwens nul mogen stellen): de cirkelvormige doorsnede welft niet bij zuivere ver-

wringing. Met het ringvormige profiel is het cirkelvormige het enige dat vlak blijft bij wrin-

ging.

6.7.2 Dikwandige buis

De redenering uit lid 6.7.1 hernemend komt men makkelijk tot het inzicht dat de tor-

sieconstante gegeven wordt door 2

)RR(I

4i

4u

t

en dat de specifieke torsiehoek gelijk is

aan G)RR(

M2

4i

4u

x

. De spanningen worden gegeven door xs =

)RR(

M2

4i

4u

x

.r .

Ru en Ri stellen respectievelijk de buitenstraal en de binnenstraal van de ring voor.

6.7.3 Staaf met langwerpige rechthoekige doorsnede

6.7.3.1 Nauwkeurige formules

Voor een rechthoekige doorsnede met hoogte h en breedte b (b h) is de spannings-

functie symmetrisch ten opzichte van de y- en de z-as door het zwaartepunt (fig. 36). De uit-

drukking:

:= ( ) , y z

m 1

n 1

A m n

cos

( ) 2 m 1 y

b

cos

( ) 2 n 1 z

h (64)

voldoet hieraan en wordt tevens nul voor y = b/2 , y = - b/2 en voor z = h/2 en z = - h/2; ze is

met andere woorden nul langs de volledige omtrek van de rechthoek. De spanningen

zxy

of

:= xy

m 1

n 1

A m n

cos

( ) 2 m 1 y

b

sin

( ) 2 n 1 z

h ( ) 2 n 1

h (65)

zijn nul langsheen de lange zijden terwijl de spanningen y

xz

:= xz

m 1

n 1

A m n

sin

( ) 2 m 1 y

b ( ) 2 m 1

cos

( ) 2 n 1 z

h

b (66)

verdwijnen langsheen de korte zijden.

Om de getallen Amn te bepalen, kan men gebruik maken van het beginsel van de vir-

tuele arbeid, toegepast op een staafmoot ter lengte één die ter hoogte van de eindvlakken aan

de wringkoppels Mx onderworpen is. De wringkoppels veroorzaken een draaiing = 1. van

de doorsneden ten opzichte van elkaar:



xxA

xzxzxyxy M1MdA)(1 , of,

t

At

A GI

dA2

GIdA)yG

1

yzG

1

z( , of nog,

dAG2dA)yyzz

(AA

De goniometrische functies die in (64) gebruikt worden hebben de volgende interessante or-

thonormale eigenschappen:

pq00 2

dxxq

sinxp

sindxxq

cosxp

cos

,

waarbij het Kronecker symbool pq nul of één is naar gelang p verschilt van of gelijk is aan q.

Substitutie van de dubbele reeks en uitwerking van de integralen leidt tot

4

bh

h

1n2

b

1m2AA

22

mn1m 1n

mn

1m 1n2mn bh

)1n2()1m2(

ncosmcos.4AG2

Vermits deze voorwaarde vervuld moet zijn voor willekeurige variaties Amn verkrijgt men

een stelsel van ontkoppelde algebraïsche vergelijkingen in Amn. De oplossing levert:

:= A

m n 32 G ( ) cos m ( ) cos n

( ) 2 m 1 4 ( ) 2 n 1

( ) 2 m 1 2

b 2 ( ) 2 n 1 2

h 2 (67)

We voeren de notatie = h/b in. is een maat voor de slankheid van de rechthoekige door-

snede: = 1 stemt overeen met een vierkant terwijl een langwerpige doorsnede gekenmerkt

wordt door een grote waarde van . De vorm van het spanningsoppervlak wordt geïllustreerd

in de figuren 32 en 33 voor = 1 en = 20 respectievelijk. Daar is nog gebruik gemaakt van

de dimensieloze coördinaten = y/b en = z/h. Voor langwerpige doorsneden evolueert het

oppervlak naar een parabolische cilinder.



In figuur 34 zijn de schuifspanningen - op de constante G.b na – getekend. De spanningen

zijn het grootst in het midden van de lange zijden (daar is de helling van het -oppervlak gro-

ter dan aan de einden van de lange symmetrieas) en worden nul ter plaatse van de hoeken. In

de vier hoeken van de doorsnede valt het raakvlak aan het (y,z)-oppervlak immers samen met

de doorsnede zelf. In de omgeving van de hoeken zijn de spanningen bijgevolg gering. Voor

een smalle rechthoek is de schuifspanning xz over het grootste deel van de lange randen vrij-

wel constant, behalve in een nauwe strook tegen de korte zijden, waar ze snel tot nul naderen.

Voor een smalle rechthoek deinen de schuifspanningen xy snel uit naarmate men zich van de

korte rand verwijdert. Dat blijkt zeer duidelijk uit de grafiek in de rechter benedenhoek van

figuur 34.

= y/b = z/h

= z/h = y/b

/Gb2

/Gb2

Figuur 32: = 1

Figuur 33: = 20



xz (y = b/2) xz (y = b/2)

xy (z = h/2) xy (z = h/2)

xy (y = 0) xy (y = 0)

= 1 = 20

Figuur 34 : verloop van de schuifspanningen



Het wringend moment is A

x dzdy2M of

:= M

x n 1

m 1

256 G

b h

( ) 2 m 1 2 6 ( ) 2 n 1 2

( ) 2 m 1 2

b 2 ( ) 2 n 1 2

h 2 (68)

Zoals in het voorgaande stellen we h = .b en vinden voor de torsieconstante

:= It b

3h

n 1

m 1

256

( ) 2 m 1 2 6 ( ) 2 n 1 2

( ) 2 m 1 2 ( ) 2 n 1 2

2 (69)

De figuur 35 illustreert de veranderlijkheid

van de wringconstante in functie van de ver-

houding van de hoogte tot de breedte van de

rechthoek. It/b3h neemt snel toe met vanaf

een waarde 0,1406 voor een vierkante door-

snede en nadert asymptotisch de grenswaarde

1/3 voor een in theorie oneindig smalle recht-

hoek. Voor een langwerpige doorsnede met

h/b > 10 begaat men een geringe fout door de

torsieconstante gelijk te nemen aan 1/3. b3h.

Benaderingen

De volgende benaderingen blijken praktisch voldoening te schenken:

)bh(h12

b1

h

b36,3

3

16

16

hbI

4

43

t

(70)

)bh(h

b6,01

hb

M3

2

xmax

(71)

weerstandsmoment: )bh()b6,0h(3

hb 22

(72)

Bij verhoudingen b

h, die 10 overtreffen, mag men in deze formules – zoals blijkt uit boven-

staande bespreking - h

b gelijk stellen aan nul, waardoor er komt:

10

b

h

3

hbmoment weerstands

I

bM

hb

M3

3

hbI

2

t

x

2

xmax

3

t (73)

Figuur 35

It /b3h

= h/b



6.7.3.2 Intuïtieve oplossing voor zeer langwerpige, rechthoekige doorsneden

We nemen een ogenblik aan dat de rechthoekige doorsnede in figuur 36 oneindig lang

is. Dan is het -oppervlak kennelijk een cilindrisch oppervlak met beschrijvenden evenwijdig

met de z-as en met een vergelijking van de vorm = f(y) en vergt (56) dat

G2dy

d

2

2

, zo-

dat = - Gy2

+ Ay + B. De randvoorwaarden = 0 voor 2

by en voor

2

by bepalen

de integratieconstanten A = 0 en B = Gb2/4 en we vinden

2

2

y4

bG (74)

Het ligt voor de hand dat het zo bepaalde -oppervlak ook wel bruikbaar zal zijn voor een zeer

langwerpige rechthoekige doorsnede, behalve nabij haar uiteinden, waar het ware -oppervlak

immers aansluit op de korte zijden van de rechthoek (figuren 36 en 33). Het uitgestrekte, cen-

trale gedeelte gedeelte van het -oppervlak is een parabolische cilinder met hoogte 4

bG

2

.

Aannemend dat het oppervlak cilindrisch blijft tot aan de uiteinden van de doorsnede, vinden

wij voor de inhoud van het lichaam tussen doorsnede en oppervlak:

A

2/b

2/b

32

6

hbGb

4

bG

3

2hdyhdzdy , voor het wringend moment:

3

hbGM

3

x

, en voor de wringconstante : 3

hb

G

MI

3x

t

.

De schuifspanningscomponent evenwijdig met de lange zijden van de rechthoek is

b z

h

y

Figuur 36

xy

xz



yG2y

xz

en de schuifspanning langs die zijden zelf is

hb

M3bG

2

xmax .

Dat deze uitkomsten precies de formules (73) zijn, toont dat de vervanging van het ware -

oppervlak door de parabolische cilinder een zeer behoorlijke benadering is. Derhalve is

zxy

overal nagenoeg gelijk aan nul en verandert xz lineair over de breedte b, uitgeno-

men aan de einden van de doorsnede (fig. 36). Het resulterende moment van de xz-

spanningen alleen is 2

M

hb

M3

6

hb

3

b2

22

bh x

2

x2

max

. De andere helft van het wrin-

gend moment stamt, overeenkomstig lid 6.5, van de xy-spanningen. Dat deze een even grote

bijdrage kunnen leveren tot Mx, ofschoon zij geringer zijn dan max en slechts bestaan in twee

beperkte gebieden, is te verklaren door de grote krachtarm (haast gelijk aan h) van het koppel

gevormd door hun resultanten in die gebieden.

De gelijkheden (50) z

)zy

(G

en

y)y

z(G

leveren in het onderhavige

geval yz

enzy

. Uit de tweede volgt: = yz + F(y). Invoering hiervan in de eerste

toont dat F(y) een constante is, die trouwens geen praktische betekenis heeft. Ten slotte is

yzGhb

M3yzuenyz

3

x

(75)

waaruit volgt dat de vlakke doorsnede van een staaf met langwerpig rechthoekig profiel bij

zuivere wringing de vorm van een hyperbolische paraboloïde of zadeloppervlak aanneemt.

6.8 Dunwandige, enkelvoudig samenhan-

gende profielen

In dit gedeelte ontwikkelen we benaderingsop-

lossingen met behulp van de intuïtieve werkwijze uit-

eengezet in 6.7.3.2.

6.8.1 Veelhoekige of gebogen plaat met con-

stante dikte

Men voelt wel aan dat de doorsnede van het -

oppervlak nauwelijks wordt beïnvloed door de recht-

heid of de kromheid van de hartlijn van een profiel

zoals in figuur 37.

Figuur 37



6.8.1.1 Spanningsfunctie, torsiestijfheid, spanningen, weerstandsmoment (fig. 38)

We voeren een kromlijnige coördinaat s in langs het middelvlak van de staafdoorsne-

de, bijvoorbeeld vertrekkend vanaf een vrije rand. Een tweede coördinaat n wordt plaatselijk

gerekend volgens de loodlijn op het middelvlak en wel zo dat xsn eee

. Naar analogie

met de bevindingen uit lid 6.7.3 kunnen we schrijven:

3

etI

3

etGds

3

tGMn

4

tG)s,n(

3

t

3e

0

3

x2

2

(76)

max

txnmaxxs

t

Imomentweerstands0tGnG2 (77)

Voor profielen waarvan de ontwikkelde lengte e klei-

ner is dan tien keer de wanddikte, maar niet kleiner

dan tweemaal die dikte, kan men een verbeterde

waarde van de torsieconstante bekomen door voor elk

vrij uiteinde 0,105 t4 in mindering te brengen.

Het -oppervlak heeft de vorm van een heuvelrug,

waarvan de kruin samenvalt met de hartlijn van het

profiel en de hoogte verandert evenredig met het vier-

kant van de wanddikte. De schuifspanning xs veran-

dert van teken over de dikte t en is nul ter plaatse van

de hartlijn. De schuifstroom, q =

2/t

2/txs dn , is nul.

De formules gelden voor zuivere wringing om een

willekeurige draaiingsas.

6.8.1.2 Welvingsfunctie

Stel dat de staafdoorsneden draaien om de x-as

over de kleine hoek .x. De verplaatsing van het punt

B tijdens de draaiing en gemeten volgens s is h..x, waarbij h de loodrechte afstand is vanaf

het snijpunt van de draaiingsas met het yz-vlak. In de figuur valt het snijpunt samen met het

zwaartepunt G. h is bij afspraak een positieve grootheid indien het vectorieel product

dsGB

een vector volgens de positieve x-as oplevert; in de figuur is h voor alle punten van het mid-

delvlak een positieve grootheid. In gedachten construeren we een assenkruis Gy’z’ met de y’-

as in de zin van n en een z’-as in de zin van s, en noemen g de coördinaat van B volgens

z’.We schrijven de uitdrukking van de schuifspanning xs voor het punt B, wetende dat de

verplaatsingen van B volgens n en s respectievelijk zijn: -g..x en h..x:

h

sGxs ,

of, daar xs nul is op de hartlijn :

B ds

z

y

s s = 0

Figuur 38

h O G

s = e

s

n



s

00 hds)s(ofh

s (78)

0 is de waarde van in het punt van de hartlijn dat als oorsprong fungeert voor de s-

coördinaat; we hebben als oorsprong een eindpunt van de hartlijn gekozen, maar hoefden niet

juist dat punt te nemen.

Voor het punt B stelt de positieve grootheid hds voor: tweemaal de oppervlakte van de gear-

ceerde elementaire driehoek in de figuur 38. De bijdrage tot s

hds0

van een gebied waar de

voerstraal uit O bij toenemende s draait tegen (respectievelijk in) de uurwijzerzin om O is po-

sitief (respectievelijk negatief).

De welvingsverplaatsingen langs de hartlijn zijn

s

00 hds)s()s(u .

(78) geeft enkel de waarden van de welvingsfunctie (s) langs de hartlijn. Van de schuifspan-

ningscomponent xn weten we dat hij ten naaste bij nul is; voor een willekeurig punt van de n-

as geldt bijgevolg:

ng)s()s,n(ofgn

of0gn

G xn

(79)

met (s) gegeven door (76). g is constant voor de punten op de n-as door B en de gemiddelde

waarde van (n,s) over de wanddikte t is (s).

Toepassing: Een opengesneden buis met constante dikte t = 10 mm en straal R = 150 mm is

onderhevig aan zuivere wringing om de as van de buis (O G). De buis is 5 m lang en is ge-

maakt van staal S235. E = 21 000 kN/cm2, = 0,3 , fy = 235 kN/cm

2 (fig. 39).

3

Rt2

t

Imomentweerstands;

3

Rt2dst

3

1I

2R2

0

t3

3t

(80)

2

xmax3

x

t

xxs

Rt2

M3tGn

Rt

M3n

I

M2nG2

(81)

Volgens het vloeicriterium van Hencky, Hüber en von Mises zal het staal beginnen vloeien als

de vergelijkingsspanning 3max de vloeispanning van 23,5 kN/cm2 evenaart. Dat gebeurt

bij een wringkoppel van kNm26,43

Rt2M max

2

x

. De overeenstemmende specifieke

torsiehoek radialen/m168,0tE

).1(2

tG

maxmax

en de hoekverdraaiing van de uitein-

den van de buis ten opzichte van elkaar, namelijk 5 = 0,84 radialen = 48°, is zeer groot.



Hier is h constant: h = R en

(s) = 0 - hs = 0 - Rs . Voor het

punt 1 is 1 = 0 - 2R2 en u1 = u0 -

2R2 . Bij Mx = 4,26 kNm is de

welvingsverplaatsing van de rand 1

met betrekking tot de rand 0: u1 - u0

= -2R2 = - 23,7 mm. Bij wringing

in de aangegeven zin schuift de rand 1

langs de rand 0 in de zin van de nega-

tieve x-as, en de verschuiving is bijna

2,5 maal de wanddikte; ze is onaf-

hankelijk van de lengte van de buis.

Men merkt hoe torsieslap een open-

gesneden buis wel is. Ter vergelij-

king: indien de buis niet opengesne-

den ware, is de wringconstante vol-

gens lid 6.7.2:

t2

t2

233

4i

4u

1t I675153It

R3

3

tR2tR2

2

)RR(I

en bedraagt de maxi-

male spanning xs = 45t675

R

I

tM

I675

RM

)RR(

RM2 max

t

x

t

x

4i

4u

ux1max

. Het gesloten

profiel is derhalve ongeveer 700 keer torsiestijver dan het opengelegde. De hoekverdraaiing

van de uiteinden van de buis ten opzichte van elkaar zal geringer zijn dan 0,1° en de maxima-

le spanning zal amper 23,5/45 0,5 kN/cm2 bedragen. Dat de specifieke torsiehoek, teweeg-

gebracht door een gegeven wringend koppel, zo veel groter is voor een open gesneden cilinder

komt doordat de relatieve welvingsverplaatsing u1 – u0 zich nergens kan voordoen bij een

gesloten buis. Een en ander verklaart waarom dunwandige, enkelvoudig samenhangende pro-

fielen eigenlijk niet zo best geschikt zijn om belangrijke wringkoppels op te nemen en waar-

om gesloten profielen daartoe betere diensten bewijzen.

6.8.2 Gewalste open profielen

6.8.2.1 -oppervlak, torsiestijfheid, spanningen

De meeste gewalste profielen (hoekstalen, kanaalprofielen, T- en I-profielen) hebben

een doorsnede, die uit langwerpige rechthoeken samengesteld is. Over bijna de gehele lengte

van elke rechthoek is het -oppervlak nog een parabolische cilinder. Bij de verschillende pa-

rabolische cilinders behoort echter één waarde van en derhalve hebben zij blijkens (76)

hoogten, die evenredig zijn met het vierkant van de respectievelijke wanddikten. De inhoud

van het gehele lichaam tussen de staafdoorsnede en het -oppervlak is

i

i3i

A

ht6

Gdydx

.

z max

R s

t 0 y

O Mx 1

Figuur 39



Derhalve:

i

i3i

xt

ii

3ix ht

3

1

G

MIenht

3

GM (82)

Dit kan men ook uitdrukken door te zeggen, bij voor-

beeld voor het in de figuur 40 weergegeven profiel,

dat het wringend moment Mx in de gehele doorsnede

de som is van de wringende momenten

1311x ht

3

GM

, 2

322x ht

3

GM

en

3333x ht

3

GM

, opgenomen door de afzonderlijke

rechthoeken, of nog dat de sterkte van het samenstel

van rechthoeken de som is van de sterkten van de

rechthoekige profielen afzonderlijk. Bij buiging geldt

die uitspraak niet: de buigsterkte van een I-profiel

belast in het vlak van zijn lijf is immers veel groter

dan de som van de buigsterkten van het lijf en van de

twee flenzen afzonderlijk. Als een van de onderdelen een lichtjes veranderlijke dikte heeft

vervangt men de desbetreffende term ds)s(tdoorhtie

0

3i

3i

. Voor elke rechthoek afzonder-

lijk geldt maxi = G.ti . De hoogste schuifspanning ontstaat bijgevolg in het dikste onderdeel

van het profiel :

max

ii

3i

max

t

ii

3i

maxxmaxmax

t3

ht

t

Imoment weerstandsen

ht

tM3tG

(83)

waarin tmax de dikte van de dikste wand voorstelt.

Met de ingewikkelde overgangen tussen de paraboli-

sche cilinders aan de ontmoetingen van de verschil-

lende rechthoeken stemmen verstoringen overeen van

het eenvoudige spanningsbeeld, dat beschreven is in

§6.7.3. Zo valt het raakvlak aan het -oppervlak sa-

men met de staafdoorsnede in een inspringende en

ook in een uitspringende rechte hoek (bij voorbeeld in

Q en P in de figuur 41, aangezien het daar de randen

van de twee belendende rechthoeken bevat. De door-

snede PQ van het -oppervlak moet plaatselijk heel

wat steiler zijn dan de parabolische doorsneden van

de cilindrische gedeelten van het oppervlak. Zoniet

zou haar top, die voorzeker dichter bij Q ligt dan bij

P, niet dezelfde hoogte kunnen bereiken. Derhalve

zijn er spanningsconcentraties in de doorsnede PQ, vooral nabij de inspringende hoek Q, met

schuifspanningen die aanmerkelijk hoger zijn dan buiten het storingsgebied. Men matigt de

h1

t1

h2 t2

t3

h3

Figuur 40

Q

P

Q

P

Figuur 41



steilte van het -oppervlak en de spanningsconcentratie door de inspringende hoeken af te

ronden.

De afrondingen tussen de samenstellende rechthoeken vergroten de stijfheid van het profiel in

een mate, die aan de hand van wringproeven wordt bepaald. It is bij gewalste profielen, hoek-

stalen uitgezonderd, dan ook wat groter dan i

i3i

ht3

1, en wel gemiddeld ongeveer 1,1 maal

groter bij kanaalprofielen en T-profielen; 1,25 maal groter bij normale I-profielen en 1,3 maal

groter bij breedflenzige I-profielen.40

6.8.2.2 Welving van de staafdoorsneden

Bij wijze van voorbeeld passen we (78) toe voor

het symmetrisch, gelijkflenzig kanaalprofiel dat ook ter

sprake kwam bij de studie van de schuifspanningen

door dwarskracht (fig. 42). We onderstellen dat de

draaiingsas door het midden van het lijf gaat en dat Mx

een positieve grootheid is. De waarde van h in de be-

trekking (78) is: ht/2 voor de bovenflens, 0 voor het lijf,

ht/2 voor de onderflens.

Bijgevolg:

s2/h t0 tussen 0 en 1;

b2/h t0 tussen 1 en 2;

's2/hb2/h tt0 tussen 2 en 3.

De welvingsfunctie is constant langs de hartlijn van het

lijf. De welvingsverplaatsingen ten opzichte van het lijf

zijn b2/h)(uu t0 , het-

geen geeft

sb2/huu t tussen 0 en 1;

0uu tussen 1 en 2;

's2/huu t tussen 1 en 3.

De welvingsfunctie - is voor de beide flenzen gra-

fisch voorgesteld in de figuur 43. Bij wringing in de af-

gesproken zin verplaatst de tip 0 van de onderflens zich

in de zin van de x-as ten aanzien van het lijf, en de tip 3

van de bovenflens verschuift in de andere zin. De

dwarsdoorsnede blijft niet vlak.

Wanneer men de torsieas elders plaatst, hoger of lager in

het lijf of buiten het lijf, vindt men andere welvingsver-

plaatsingen.

40

Bij het raadplegen van catalogi van profielstaalproducenten is het in deze context zinvol om enige waakzaam-

heid aan de dag te leggen in verband met het toegeleverde cijfermateriaal.

y

b

t1 s’

3 2

z O ht A

B

s A

0 1

Figuur 42

t

B

Figuur 43



6.9 Dunwandige, meervoudig samenhangende profielen

6.9.1 Tweevoudig samenhangende doorsnede (fig. 44)

In een tweevoudig samenhangend profiel ne-

men we = 0 op de buitenrand en is = K op de bin-

nenrand. De wanddikte kan best lichtjes veranderlijk

zijn langs de uitgestrektheid van de doorsnede maar is

bij onderstelling gering ten opzichte van de hoogte en

breedte van die staafdoorsnede. We nemen opnieuw

een kromlijnige coördinaat s die vanaf een willekeurig

punt van het middelvlak vertrekt. Plaatselijk staat de

n-as loodrecht op de s-as volgens de inmiddels ge-

bruikelijke afspraak.Wegens de dunheid van de wand

is het begrijpelijk dat de hoogtelijnen van het -

oppervlak dezelfde vorm hebben als de randcontouren

van de staafdoorsnede. Bijgevolg is n

xs

in de

sectie 1-1 overal ten naaste bij evenwijdig met de

raaklijn aan het middelvlak en is die schuifspanning

tevens de totale schuifspanning. De schuifstroom

K0Kdn)s(q2

)s(t

2

)s(txs

is constant langs de tweevoudig samenhangende doorsnede.

Wegens de dunheid van de wand mogen we verder onderstellen dat de helling van het -

oppervlak overal weinig afwijkt van de gemiddelde helling. Dit komt erop neer dat de totale

schuifspanning constant is over de wanddikte: q = xs.t. Blijkens (61) is Mx = 2K.A’, waarin

A’ geen uitstaans heeft met de eigenlijke materiaaldoorsnede, en gewoon de oppervlakte van

de figuur omsloten door het middelvlak voorstelt. Bijgevolg is:

'A2

Mt.q x

xs (84)

De schuifspanning is het grootst waar de wand het dunst is: min

x

minmax

t'A2

M

t

q

.

We passen nu de stelling van Prandtl (58) toe, waarbij we de hartlijn van de wand als kromme

R nemen, 'AG2)s(t

dsqds

RRxs en bepalen hiermee de specifieke torsiehoek en de

wringconstante:

A’ z

n

y

q(s) G

= K

Figuur 44

= 0

1 1



R

2

x

)s(t

ds

'AG4

M en

R

2

t

)s(t

ds

'A4I (85)

Men kan de welving van de staafdoorsnede berekenen door uit te gaan van de definitie

van de glijding )s(t'A2G

M

Gh

s

xxsxs

en van de inmiddels bekende uitdruk-

king van de specifieke torsiehoek t

x

IG

M

. Men bekomt h

)s(t'A2

I

s

t

, en door inte-

gratie

s

0

s

0

t1 dsh

)s(t

ds

'A2

I)s( (86)

1 is de welvingsfunctie van de hartlijn van de staafdoorsnede ter plaatse van de sectie 1-1, de

laatste integraal in het rechterlid van (86) is niets anders dan tweemaal de oppervlakte be-

schreven door de voerstraal die het draaiingscentrum met een punt van het middelvlak ver-

bindt tijdens het doorlopen van de tak 1-s.

Opmerkingen:

1) Indien het tweevoudig samenhangend profiel i langwerpige uitsteeksels heeft, kan men

daar desgewenst mee rekening houden. Vermits de specifieke torsiehoek constant is, geldt

volgens de formules (85) en (82):

R

2

1x

)s(t

ds

'AG4

M =

i

i3i

2x

3

htG

M waaruit

i

i3i

R

2

x

i

i3i

R

2

2x1x

3

ht

)s(t

ds

'A4G

M

3

ht

)s(t

ds

'A4G

MM.

Mx1 en Mx2 zijn de gedeelten van het totaal wringend moment die opgenomen worden

door de het profiel ontdaan van de uitsteeksels en de uitsteeksels respectievelijk. In een

praktische omstandigheid heeft de tweede term in de noemer van de laatste breuk slechts

een gering gewicht.

2) In lid 6.8.1. kwamen we tot de bevinding dat een cirkelvormige buis een veel groter wrin-

gend moment kan opnemen dan wanneer men ze overlangs openrijt. Algemeen is een

tweevoudig samenhangende doorsnede beter bestand tegen wringing dan een enkelvoudig

samenhangend. Dat is begrijpelijk omdat de schuifspanningen in het eerstgenoemde overal

in dezelfde zin om de kokerholte werken en dat de momentenarm van de spankrachten der-

halve van dezelfde orde van grootte is als deze van de dwarsafmetingen van de koker, ter-

wijl de schuifspanningen in het enkelvoudig samenhangend profiel van zin veranderen over

de wanddikte en de momentenarm van de spankrachten slechts van de orde van grootte van

de dikte is.



6.9.2 Meer dan tweevoudig samenhangende doorsnede

Het profiel in figuur 45 is

viervoudig samenhangend. Langs

iedere inwendige begrenzing is =

Ki en langs de buitenrand is = 0.

We leggen een lus om elke holte en

laten de punten van de lus samen-

vallen met het middelvlak van de

profielwand. Bovendien kiezen we

een omloopzin s voor iedere lus i

en rekenen de schuifstromen qij in

de wandgedeelten ij positief wan-

neer hun zin met de doorloopzin

overeenstemt.

Naar analogie met de uiteenzetting

in lid 6.9.1 ontwikkelen we de uit-

drukking van de schuifstroom:

ji

2/ijt

2/ijtij KKdn

nq

(87)

Hierbij is de n-as gericht van cel i naar cel j - of naar de buitenkant van het profiel waar j = 0

gesteld wordt - als de omloopzin de tegenwijzerzin is.We passen de stelling van Prandtl toe

voor iedere holte i:

iR

jiR

xs 'A.G2)s(t

ds)KK(ds (88)

Het wringend moment wordt berekend zoals in lid 6.9.1:

i

'iix AK2M (89)

Men kan (88) schrijven voor elke cel en heeft aldus n vergelijkingen, die samen met (89) een

stelsel vormen van n+1 lineaire vergelijkingen met de n+1 onbekenden Ki (i = 1,…,n) en .

Bij gegeven Mx kan men dit stelsel oplossen naar de specifieke torsiehoek en naar de con-

stanten Ki en dan overal de schuifstroom en de schuifspanningen berekenen met (88).

n B

Snede B-B

q13

n 3 K3

1

A 2 A K2

B

K1 K2

Snede A-A

Figuur 45

q10

3



6.10 Slotopmerkingen

We hebben spanningstoestanden bestudeerd louter afstammend van schuifspanningen.

Dit mag de lezer niet in de waan brengen dat er nergens in het lichaam trek- of druknormaal-

spanningen aanwezig zouden zijn. Het tegendeel is waar en zulks wordt onmiddellijk gestaafd

door de eigenschappen van de cirkel van Mohr:

In de mantel van de massieve ronde as van figuur 31 zijn constante normaalspannin-

gen werkzaam volgens richtingen die schroeflijnvormig over het oppervlak gewikkeld

zijn en die met de beschrijvenden hoeken van 45° insluiten. De normaalspanningen

zijn in absolute waarde even groot als de gevonden schuifspanning; de trekspanningen

stemmen overeen met de schroeflijnen die in de zin van Mx om het oppervlak gewon-

den zijn en de drukspanningen heersen langs de helices die tegen die zin draaien.

Hetzelfde geldt voor de buitenkant van de opengesneden buis in figuur 39 maar aan

de binnenkant zijn de trek- en drukrichtingen net andersom. Vanzelfsprekend zijn er

begrijpelijke verstoringen van dit eenvoudige spanningsbeeld in een nauwe strook,

grenzend aan de open gelegde rand.

Over de volledige dikte van de linker zijwand van het in figuur 44 afgebeelde koker-

profiel werken trekspanningen en drukspanningen. Om hun richting te vinden con-

strueert men in gedachten een lokaal xns-assenkruis. Wanneer men het xs-vlak om de

n-as laat wentelen over een hoek van 45° stemt de gewentelde stand van de x-richting

overeen met de richting van de drukspanningen en de gedraaide stand van s met de

trekrichting.

Er werd reeds op gewezen dat de berekende schuifspanningsverdeling maar tot stand kan ko-

men indien het wringkoppel overeenkomstig die verdeling in het profiel geleid wordt. Zulks in

de praktijk bewerkstelligen is niet altijd voor de hand liggend. Indien de krachtsinleiding niet

in overeenstemming is, komt de berekende schuifspanningsverdeling volgens de Saint-Venant

pas tot stand op een afstand van de plaats waar het wringkoppel ingeleid wordt van de orde

van grootte van de grootste dwarsafmeting van de doorsnede. Maar er is meer: ten gevolge

van de verstoring van het reguliere wringspanningenpatroon moet men zich tevens vragen

stellen omtrent één van de uitgangshypothesen, namelijk dat de vorm van de projectie van de

dwarsdoorsnede gedurende het draaien om de overlangse as niet verandert. Om de vormvast-

heid van dunwandige kokers te vrijwaren zal men bijvoorbeeld verstijvingmiddelen aanbren-

gen ter hoogte van de opleggingen en daar waar zware, excentrische lasten ingeleid worden.

Die verstijvingsmiddelen kunnen bestaan uit schotten of diafragma’s, of uit gekruiste trek-

stangen en drukschoren die de overstaande hoeken van de koker verbinden.



Bijlage A: Enkelvoudige buiging

In figuur A1 is een eenvoudige, prismatische balk getekend die op buiging belast

wordt. We nemen aan dat de uitgangsonderstellingen, vermeld in lid 2.1, van toepassing zijn.

Beschouw twee doorsneden AB en A’B’ die haaks op de balkas staan en die een korte afstand

dx van elkaar verwijderd

zijn. Alle langsvezels tus-

sen AB en A’B’ hebben in

de onbelaste stand van de

balk vanzelfsprekend de-

zelfde lengte dx. Ten ge-

volge van de overdwarse

belasting buigt de balk

door in het symmetrievlak

– er is immers geen enkele

reden waarom langsvlak-

ken evenwijdig met het

symmetrievlak tijdens de

doorbuiging niet evenwij-

dig met dat vlak zouden

blijven - en met name wen-

telen de doorneden AB en A’B’ ten opzichte van elkaar over een kleine hoek d. Daarbij be-

schrijven vezels zoals o.a. AA’ en BB’ een elementair cirkelboogje met krommingsmiddel-

punt O terwijl ze toch de vervormde stand van de doorsneden AB en A’B’ onder een rechte

hoek ontmoeten. Sommige vezels worden tijdens de doorbuiging korter en andere langer dan

hun aanvankelijke lengte dx. Er is bijgevolg een vezel, in de figuur aangeduid als CD, die zijn

oorspronkelijke lengte behoudt. We noemen die vezel de neutrale vezel en de bijhorende

kromtestraal duiden we aan met het symbool z. Bijgevolg geldt dx = dz . Een vezel EF

op een afstand y boven de neutrale verkrijgt de lengte d)y( z en daarmee gaat de stuik

zz

zzx

y

d

dd)y(

gepaard. Krachtens de wet van Hooke heerst in de vezel

EF een (druk)spanning z

xxy

EE .

De integraal van de normaalspanningen over de dwarsdoorsnede A levert de normaal-

kracht N die krachtens één van de uitgangsonderstellingen gelijk aan nul moet zijn:

0dAy0dAyE

dANAAzA

x

. Een neutrale vezel CD die aanvankelijk in

het symmetrievlak gelegen bevat bijgevolg het zwaartepunt van de overdwarse doorsneden en

valt met andere woorden samen met de hartlijn van de balk. Uit z

xy

E leren we verder

dat de buignormaalspanningen lineair over de hoogte van een willekeurige dwarsdoorsnede

veranderen; ze bereiken een extremale waarde ter hoogte van de onder- en bovenrandvezels

d

Symmetrievlak

A A’

Snede XX

X

X B B’ dx

z

O

A A’

B B’

y C D

E F

Neutrale vezel

Figuur A1



van de balk en worden nul waar y = 0. De z-as door het zwaartepunt van de dwarsdoorneden

wordt daarom ook wel de neutrale lijn of de neutrale as genoemd (fig. A2).

We berekenen

nu het moment van de

elementaire krachtjes

spanningen dAx ,

die op de doorsnede

inwerken, om de z-as.

Deze spanningsresul-

tante is kennelijk ge-

lijk aan het buigend

moment Mz dat de

bedoelde dwarsdoor-

snede belast:

z

z

A

2

zAxz

EIdAy

EdAyM

. Hieruit volgen ten slotte de belangrijke basisbe-

trekkingen van de enkelvoudige buigingstheorie voor prismatische liggers:

z

zz

z EI

M1

yI

M

z

zx

z is de kromming die de balk onder de inwerking van het buigend moment Mz verkrijgt. Uit

bovenstaande blijkt dat aan de holle zijde van de gekromde balk drukspanningen werken, ter-

wijl aan de bolle kant trekspanningen werkzaam zijn.

Figuur A2

y

x

z

Z

dA

y < 0 x

Mz

Neutrale as

5

Elastische stabiliteit van

drukstaven: Eulerknik

Elastische instabiliteit van drukstaven: Eulerknik


5.2

1 Probleemstelling

Een prismatische, volmaakt rechte staaf AB met buigstijfheid EI en lengte wordt in

langszin door twee even grote krachten P, aangrijpend ter plaatse van zijn begrenzingen met

de omgeving, samengedrukt en is in die stand in evenwicht (fig. 1). In praktische omstandig-

heden is de staaf bevestigd aan andere of verbonden met de fundering. We schematiseren het

effect van die verbindingen in de figuur door middel van translatie- en rotatieveertjes met de

daar aangeduide stijfheden. We veronachtzamen de normaalkrachtvervorming en beperken

ons tot de studie van de vervorming van de staafas in het vlak van de tekening.

De vraag die we wensen te beantwoorden, luidt: “Zijn er, voor bijzondere waarden van

P, behalve de rechte stand van de staaf, nog andere, niet-triviale evenwichtsvormen mogelijk

die gekenmerkt zijn door van nul verschillende overdwarse uitwijkingen v van de hartlijn?”

2 Differentiaalvergelijking en randvoorwaarden

In de vervormde stand oefenen de veertjes op de staafeinden reactiekrachten en reac-

tiekoppels uit:

M0 = c0 . 0, Y0 = - k0 . v0, M1 = - c1. 1, Y1 = - k1 . v1 (1)

Ze vormen de dynamische randvoorwaarden1 voor de staaf. We schrijven de uitdrukking van

het buigend moment in een doorsnede gekenmerkt door de abscis x, en redeneren daarbij aan

de hand van de vervormde stand van de staaf. We ontwikkelen derhalve een geometrisch niet-

1 Dynamische randvoorwaarden hebben betrekking op de (veralgemeende) krachten aan de staafeinden; ze zijn

complementair - maar niet supplementair - aan de kinematische randvoorwaarden.

Y1

M1

P

Y0

M0

P v(x) v1

c0 v0 c1

P P

k0 k1

x

Figuur 1

1

dx

0

dx



5.3

lineaire theorie (cfr. Evenwicht van de vervormbare constructie en van haar onderdelen, geometrisch

niet-lineair gedrag).

)vv(PMx.YEI)x(M 000 (2)

Mits de normaalkrachtvervorming verwaarloosd

wordt, zal een lijnelement dx na vervorming nog

steeds dezelfde lengte hebben (fig. 2). De kromming

wordt gegeven door dx

d met

dx

dvarcsin . We

zullen onderstellen dat de overdwarse uitwijkingen v

niet te groot zijn, zodat de uitdrukking van de krom-

ming 2

22

2

2

dx

vd

dx

dv1/

dx

vd

dx

d

leidt tot de klas-

sieke betrekking uit de balkentheorie, 2

2

dx

vdEIEIM , die we in onderstaande zonder be-

zwaar kunnen hanteren. Derhalve geldt:

)vv(PMx.Ydx

vdEI 0002

2

(3)

We leiden beide leden tweemaal af naar x en bekomen de homogene differentiaalvergelijking

voor de uitwijkingen v, namelijk 2

2

4

4

dx

vdP

dx

vdEI , die we herschrijven in de gedaante:

0dx

vd

EI

P

dx

vd

2

2

4

4

(4)

De algemene oplossing van het eigenwaardeprobleem (4) wordt gegeven door:

DxCx

EI

PsinBx

EI

PcosA)x(v (5a)

waarbij A, B, C en D dimensieloze constanten zijn, die afhankelijk zijn van de voor de staaf

vigerende kinematische en dynamische randvoorwaarden. We introduceren het begrip stabili-

teitsparameter EI

P en herschrijven (5a) in de gedaante:

DxC

xsinB

xcosA)x(v (5b)

dx

v + dv

v

dx

Figuur 2



5.4

Met de uitdrukking van v vindt men:

De buigende momenten:

)

x.sin(B)

x.cos(A

EIM 2

(6)

De dwarskrachten:

)

x.cos(B)

x.sin(A

EIV 3

2 (7)

De verplaatsingen van de staafeinden:

DAv0 (8a)

DCsinBcosAv1 (8b)

CB0 (8c) CcosBsinA1 (8d)

De dynamische randvoorwaarden (1):

CBcAEI

02

(9a)

)DA(kCEI

02

2

(9b)

sinBcosAEI2

= CcosBsinAc1 (9c)

DCsinBcosAkCEI

12

2

(9d)

Men bekomt de uitdrukkingen (9b) en (9d) door uit te

drukken dat de plaatselijke dwarskracht de som is van de

projectie van P en van Y volgens de loodrechte op de

vervormde stand van de hartlijn, en door daarbij de teken-

afspraak voor dwarskracht te eerbiedigen. Bijvoorbeeld is

in figuur 3 de reactievector op het staafeind voorgesteld

door P en Y1. De reactievector heeft een component, de

dwarskracht V1, volgens de loodrechte op de plaatselijke

raaklijn aan de staafas, gegeven door: V1 = Y1 . cos1 + P . sin1 Y1 + P. 1.

3 Klassieke randvoorwaarden

De staaf heeft een scharnierende ondersteuning aan het linkeruiteinde en een rolopleg-

ging aan het rechteruiteinde. We bedienen ons van de volgende voor de hand liggende kine-

matische en dynamische randvoorwaarden: v0 = v1 = 0 en M0 = M1 = 0 (vermits c0 en c1 in

dit geval nul zijn). De betrekkingen (8a, 8b en 9a, 9c) luiden nu:

0DA ,

0DCsinBcosA ,

V1

P

1

Y1

Figuur 3



5.5

0AEI2

,

0sinBcosAEI2

De triviale oplossing A = B = C = D = 0 stemt overeen met de grondvorm v(x) = 0, waarin we

niet geïnteresseerd zijn. Niet-triviaal is

x

sin.B)x(v cr met B 0 en

nEI

Pcrcr (n is een natuurlijk getal).

Het eigenwaardeprobleem heeft bijgevolg oneindig talrijke eigenmodes of knikvormen

xnsin.A)x(v n

, geassocieerd met de eigenwaarden of kritieke belastingen

2

22

n,crEIn

P

. Een afbeelding van de eerste vier knikvormen wordt in onderstaande fi-

guur 4 gegeven.

Voor de praktijk is uiteraard de laagste eigenwaarde - overeenstemmend met n = 1 -

van belang en luidt de klassieke knikformule van Euler:

0

3

6

9

12

15

18

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x/

P/P

cr1

Figuur 4: eigenmodes van drukstaaf met klassieke randvoorwaarden



5.6

2

2

crEI

P

(10)

De bijhorende knikvorm is een halve golf:

xsin.A)x(v 1

. Merk op dat de amplitude van

de knikvorm onbepaald is. Dit is een kenmerk van eigenwaardeproblemen. In een praktische

situatie zullen de overdwarse uitwijkingen van de staaf zeer groot worden – in beginsel onein-

dig groot – wanneer de drukkracht de kritieke kniklast benadert.

4 Andere randvoorwaarden

Het is een goede oefening om de stabiliteitsgrens en de knikvorm te bepalen voor

randverbindingen die afwijken van de klassieke, scharnierende ondersteuningen. Men vertrekt

daarbij onveranderlijk van de differentiaalvergelijking (4) en de probleemspecifieke kinemati-

sche en dynamische randvoorwaarden. Figuur 5 geeft de resultaten voor een paar praktische

varianten. Merk op dat men nooit op een zelfde plaats tegelijkertijd kinematische én dynami-

sche randvoorwaarden van dezelfde aard oplegt: ofwel is een (veralgemeende) verplaatsing,

bijvoorbeeld een hoekverdraaiing, gelijk aan nul en zegt men niets over de corresponderende

(veralgemeende) kracht, bijvoorbeeld het reactiekoppel; ofwel stelt men een voorwaarde aan

de kracht, maar zwijgt men over de corresponderende verplaatsing.

Voor een staaf met uitsluitend dynamische randvoorwaarden wordt het eigenwaarde-

probleem herleid tot de oplossing van het stelsel homogene vergelijkingen (9a – 9d).

PEI

cr k 2

242

; P

EIcr k

4

2

2

2

;

P

EIcr k 2 04 0 7

2

2, ; ,

P

EIcr k

2

2 ;

Figuur 5



5.7

5 De begrippen kniklengte en elastische knikspanning

In vele handboeken betreffende het knikken van staven wordt de kniklengte k inge-

voerd. Deze is gedefinieerd als

PEI

crk

2

2 (11)

waarbij Pcr de waarde van de drukkracht is die de staaf met overigens willekeurige randvoor-

waarden doet uitknikken. Kent men de kniklengte, dan kan de kritieke belasting meteen met

behulp van de formule (11) becijferd worden. Vaak - maar niet altijd - is de kniklengte gelijk

aan de afstand tussen twee opeenvolgende buigpunten in de knikvorm of eigenmode. Dit is

het geval voor de Eulerstaaf met klassieke randvoorwaarden en ook voor de varianten in fi-

guur 5. In laatstgenoemde zijn de kniklengten ten andere bijgeschreven.

Met de kritieke belasting (11) stemt de elastische knikspanning

2

2

2k

22

2k

2

2k

2

2k

2

crE

i

Ei

E

A

IE

A

EI

(12)

overeen. A is het oppervlak van de staafdoorsnede en A

Ii de traagheidsstraal. Men be-

trekt ze op de kniklengte door introductie van de geometrische slankheid

i

k . Hoe groter de slankheid hoe kleiner de elastische knikspanning.

Begrijpelijkerwijze zal men voor stalen profielen slankheden groter dan

bijvoorbeeld 200 mijden en groter dan 250 niet toelaten.

Korte drukstaven bezwijken niet door elastisch knikken maar door

vloeien van de staafdoorsnede: als bovengrens van de drukspanning door

normaalkracht = P/A hanteert men de vloeispanning fy.

Knik van drukstaven (fig. 6) is een bijzonder te duchten instabili-

teitsverschijnsel en specifieke rekenregels voor betonnen en stalen druk-

staven die aan knik onderhevig zijn zullen in de cursussen “Gewapend en

Voorgespannen Beton” en “Berekening van Bouwkundige Constructies III” ten

gronde behandeld worden.

Opmerking:

Het traagheidsmoment I in de voorgaande behandeling heeft betrekking op de as van de staaf-

doorsnede om dewelke de doorsneden draaien tijdens het knikken. Een geïndustrialiseerd I-

profiel, normaal of breedflenzig, heeft een zogenaamde sterke as en een zwakke as. De sterke

Figuur 6



5.8

as door het zwaartepunt is evenwijdig met de flenzen en het corresponderende traagheidsmo-

ment is het grootst; de zwakke as door het zwaartepunt valt samen met het middelvlak van de

lijfplaat en het overeenstemmende traagheidsmoment is het kleinst. Daaruit mag men niet

meteen concluderen dat knik om de zwakke as altijd het meest te duchten zal zijn. Onderstel

een ranke, verticale kolom waarvan de top en de voet geen verplaatsing in een horizontaal

vlak kunnen ondergaan. Het doet zich in de praktijk vaak voor dat knik om de zwakke as ver-

hinderd wordt doordat de kolom op verschillende plaatsen langs de hoogte gestabiliseerd

wordt door liggers die met het lijf van de kolom verbonden zijn en die de verplaatsing van de

hartlijn van de kolom haaks op het vlak van zijn lijfplaat plaatselijk volkomen verhinderen.

De kniklengte in het vlak van kolom en bedoelde liggers wordt op die manier zeer sterk gere-

duceerd. Indien de aangegeven verbindingen loodrecht op dat vlak niet aanwezig zijn, is de

kniklengte bij knik om de sterke as ongetwijfeld veel groter (bijvoorbeeld gelijk aan de volle-

dige hoogte van de kolom), waardoor de overeenstemmende kritieke belasting kleiner kan

zijn.

6 Rekenvoorbeeld

Een kolom met buigstijfheid EIk en hoogte h is aan zijn voeting ingeklemd en draagt

ter hoogte van de top een drukbelasting. De ontwerper acht de kniklengte = 2h te groot en

wenst ze te reduceren tot 0,6h. Daartoe verbindt hij de top van de kolom met een ligger ter

lengte en buigstijfheid EI en die overigens scharnierend met de buitenwereld verbonden is.

De balk-kolomverbinding wordt stijf uitgevoerd. Bepaal de benodigde stijfheidsverhouding

kEI

hEI

in de onderstelling dat de normaalkrachtvervorming van kolom en ligger ver-

waarloosd mogen worden.

Oplossing:

In de grondtoestand is de ligger spanningsvrij. De kritieke belasting van de kolom is volgens

(11) 2

k2

2

2k

k2

crh

EI.

h

EIP

met

6,0

1 en de stabiliteitsparameter bedraagt

6,0h

EI

P

k

cr . We bedienen ons van de kinematische randvoorwaarden v0 = 0, v1 = 0,

0 = 0 waarmee de betrekkingen (8a – 8c) worden:

AD0DA (i)

BC0CB (ii)

)sin(-

1-)cos(AB0hDhCsinhBcoshA

(iii)

De stijve verbinding met de ligger kan gesimuleerd worden door een rotatieveer met de stijf-

heid h

EI3

EI3c k1

en derhalve is de dynamische randvoorwaarde (9c) van toepassing:



5.9

CcosBsinAh

EI3sinBcosAh

h

EI k

2

k2

2

of

CcosBsinA3sinBcosA . Mits in acht ne-

ming van (i) – (iii) leidt ze tot:

))cos(2)sin(2(3

))sin((cos

Indien men de substitutie 6,0

1 verricht, verkrijgt men het gevraagde: 099,1 .

6

Invloedslijnen

Hoe groot zijn M, V, v, … in deze vaste doorsnede?

F

Invloedslijnen 6.2


1 Definitie

De invloedslijn van een mechanische grootheid (e.g. een buigend moment, dwars-

kracht, normaalkracht, steunpuntsreactie, mechanische spanning... ) of van een kinematische

grootheid (e.g. verplaatsing, hoekverdraaiing...) op een bepaalde plaats in een elastisch stelsel

is een lijn waarvan elke ordinaat op een zekere schaal de waarde van de grootheid geeft als

een beweeglijke eenheidsbelasting ter plaatse van die ordinaat aangrijpt.

Met “belasting” bedoelt men een kracht (mogelijk een krachtenkoppel) met vaste richting en

zin.

We illustreren het begrip aan de hand van een kromme cantilever AB die hetzij aan

een beweeglijke, verticale en neerwaarts gerichte éénheidskracht F = 1 N, hetzij aan een mo-

biele, horizontale kracht Q = 1 N, hetzij aan een in tegenwijzerzin draaiend, beweeglijk krach-

tenkoppel K = 1 Nm onderworpen wordt (fig. 1). We wensen de invloedslijn van het reactie-

koppel in A, positief gerekend in tegenwijzerzin, voor genoemde beweeglijke belastingen te

berekenen.

y F

Q

y

CA

A

B

x

x

iC

A

Q

iCA

F

i = x

K

y

CA

A

B

x

i = -1

iCA

K

x

Figuur 1

i = y +

In deze gevallen vindt men vlot de invloedslijn door een rechtstreekse berekening: ten

gevolge van P = 1 N: iCA = x ; ten gevolge van Q = 1 N: iCA = y ; ten gevolge van K = 1 Nm:

iCA = -1. De ordinaten bij de in figuur 1 getekende invloedslijnen geven de waarde van het

Invloedslijnen 6.3


inklemmingskoppel aan indien de eenheidskracht (of het krachtenkoppel) in het punt met

abscis x of met ordinaat y geplaatst wordt. Ten einde zowel het gezochte effect als de beweeg-

lijke krachtswerking te identificeren, werden hierbij sub- en superscripten in de notatie aan-

gewend.

Afspraak : Indien wij de aard van de belasting niet expliciet definiëren, dan bedoelen we al-

tijd een mobiele, verticale en neerwaarts gerichte eenheidskracht.

2 Nut van invloedslijnen

a) Door superpositie kan men het effect

van een willekeurig stel belastingen van

een bepaalde aard direct begroten (fig. 2).

De waarde van het inklemmingskoppel,

onder de inwerking van de krachten F1,

F2, F3 én van de gelijkmatig gespreide

belasting q over het gedeelte CD, wordt

onmiddellijk gegeven door:

C i F i F i F q i x dxAC

D

1 1 2 2 3 3. . . . ( ).

De integraal in de laatste term van het

rechterlid is gelijk aan het gearceerde op-

pervlak in figuur 2. Is de amplitude van q

veranderlijk, dan plaatst men q onder het integraalteken.

b) Invloedslijnen zijn vooral nuttig indien men het maximale effect van beweeglijke belastin-

gen - alsook hun positie waarmee dit extremum correspondeert - wenst te kennen.

Figuur 3 toont de invloedslijn van de bovenrandvezelspanning C in het punt C van de

isostatisch opgelegde en op buiging belaste ligger AB, die gelijke uitkragingen aan beide zij-

den bezit. Indien de puntlast zich links van C bevindt, is het buigend moment in de midden-

sectie: 2

F.xMC . Met behulp van de formules van de sterkteleer worden de buignormaal-

spanningen berekend: W

M=.a

I

M . I is het traagheidsmoment en W het weerstands-

moment van de overdwarse doorsnede om de z-as. Tenslotte worden de invloedsordinaten

gegeven door:

2W

x

Fi C

C

(fig. 3b). Men overtuige zich ervan dat de i-lijn spiegelsymmetrisch is ten

opzichte van de verticale door het punt C.

Indien men het effect van een beweeglijke, gespreide belasting q - die evenwel onbe-

perkt spatiaal verdeelbaar is – bekijkt, dan vindt men de grootste trekspanning in C indien

men q tussen D en A en tussen B en E laat inwerken:

q

y F3

F2

F1

CA

i1 i2 i3

Figuur 2

B

D

C x

A

iCA

x

Invloedslijnen 6.4


max,C 2 21

2 4 2

2

8. . . . . .

.i qdx

D

A

Wq

q

W

. Als q over de centrale overspanning geplaatst

wordt, komt de uiterste waarde van de drukspanning in het punt C voor en bedraagt dan

q

W

.2

8.

y F

C D A B E i

C

4W

4W

4W

M

verloop van

Figuur 3

x

/2 /2 /2 /2

a

a

b

c

3 Dimensies en eenheden

Zoals in onderstaande verduidelijkt wordt, is de dimensie (en corresponderende een-

heid) van invloedsordinaten gelijk aan deze van de grootheid waarvan men de invloedslijn

zoekt, gedeeld door de dimensie (en geassocieerde eenheid) van de beweeglijke krachtswer-

king.

Een mobiele kracht

Invloedswaarden van M: [iM] = Nm/N = m

V,N,R : [iN,V,R] = N/N = [-]

: [i] = N/Nm2= 1/m

2

u, v, w: [iu,v,w] = m/N

: [i] = rad/N

Invloedslijnen 6.5


Een beweeglijk koppel: bovenvermelde eenheden worden nog gedeeld door de eenheid m.

4. Eigenspanningen en opstelfouten

Zelfs bij afwezigheid van massakrach-

ten, uitwendige belastingen en verbindingen

met de buitenwereld kunnen er in een lichaam

spanningen bestaan: men spreekt van eigen-

spanningen. Residuele las- en walsspanningen

zijn courante voorbeelden bij stalen construc-

tieonderdelen.

Concorderende steunpunten brengen

geen bijkomende spankrachten in het overigens

onbelaste lichaam teweeg. Discordanties of

opstelfouten doen zulks wel (fig. 4).

De steunpunten van de over twee velden door-

gaande ligger in het bovenste deel van de figuur

bevinden zich niet op hetzelfde peil. Bijgevolg

zal de balk zich tijdens de plaatsing krommen en onder spanning gebracht worden.

De spantregel van het raam met stijve knopen in de onderste helft van de figuur is ietwat te

lang - of de steunpunten liggen te dicht bij elkaar - zodat de constructie van meet af aan met

eigenspanningen behept is.

Zijn er opstelfouten, dan wordt hun effect slechts éénmaal in rekening gebracht zoals

bijvoorbeeld bij de studie van de constructie onder permanente belastingen. Om het effect van

beweeglijke belastingen te bestuderen, bekijkt men het draaggestel zonder discordanties! Bij

het toepassen van het superpositiebeginsel moet men derhalve zeer waakzaam zijn ten einde

foutieve interpretaties te vermijden.

Voorbeeld : een ligger met discorderende steunpunten (fig. 5)

We beschrijven een prismatische ligger ABC met opstelfout v0 (fig. 5a). Eerst plaatsen

we een gelijkmatig gespreide belasting p in de linkeroverspanning en noteren we de statisch

onbepaalde oplegreactie in B als YB . In de rechterhelft van figuur 5b zijn de buigende mo-

mentenlijnen, die bij de gelijkmatige last en bij YB behoren, opgetekend. Om YB te bepalen,

maken we van de integralen van Mohr gebruik: we bezigen een hulplichaam AC dat in B met

een verticale, neerwaarts gerichte eenheidskracht belast wordt, sporen de buigende momenten-

lijn op en drukken uit dat de verplaatsing van B gelijk moet zijn aan v0 (fig. 5c) .

v0 =1

3.p

4.2

.2

EI

1

3.p

8.2

.EI

1

3.

Y

2.2

.2

EI

5p

48EI

Y .

6EI

2 2B

4B

3

of :

Figuur 4

Invloedslijnen 6.6


3

0B

6EIv

8

5pY

Indien de gespreide belasting op de rechteroverspanning inwerkt (fig. 5d) , noteren we met als

YBr de oplegreactie, die wegens symmetrieoverwegingen dezelfde waarde heeft als YB .

A EI B v0 C

a

p2/8

p

b

YB

c A C

p

d

YBr = YB - .YBr/2

p

A C

e

YB

Figuur 5

p2/4

m = /2

- .YB/2

F = 1 L1

p2/4 p

2/8

p2/2

- .YB/2

In figuur 5e wordt de prismatische ligger aan een uniforme last, die werkzaam is over

het veld AC, onderworpen. Op het eerste zicht ontstaat deze configuratie uit de som van deze

in figuren 5b en 5d. Indien het superpositiebeginsel klakkeloos toegepast wordt, dan wordt de

opstelfout ten onrechte tweemaal in rekening gebracht zodat voor de steunpuntsreactie

Y Y Y5p

4

12EIv

B B Br0

3

een foutief resultaat bekomen wordt.

Invloedslijnen 6.7


De correcte waarde is: Y5p

4

6EIv

B0

3

. Door gebruik te maken van de integralen

van Mohr wordt deze uitkomst makkelijk geverifieerd: combineer daartoe de in figuren 5c en

5e afgebeelde buigende momentendiagrammen.

5 Het begrip doorsnijding

5.1 Definitie

Een (onvolledige) doorsnijding aanbrengen in een draagkrachtig systeem naar een me-

chanische grootheid - een buigend moment, een normaal- of dwarskracht, een oplegreactie... -

is het stelsel wijzigen, zodat de vermelde grootheid - en alleen deze - op de gekozen plaats

onbestaande wordt.

Voorbeelden : doorsnijdingen in een tweescharnierboog (fig. 6)

A

B C

a : M = 0 b : N = 0 c : V = 0

d : XB = 0 e : YB = 0

A

f : M = N = V = 0

A A A

Figuur 6

Een doorsnijding in de sectie A aanbrengen naar M impliceert het invoeren van een

wrijvingsloos scharnier ter plaatse van A: dientengevolge wordt het buigend moment er

nul, terwijl de overdracht van N en V niet geschaad wordt (fig. 6a).

Invloedslijnen 6.8


Door het invoeren van een wrijvingsloze schuif, waarvan de as rakend is aan de boog in

het punt A van de hartlijn, maakt men een doorsnijding naar de normaalkracht N: M en

V worden wel overgedragen (fig. 6b).

Doorsnijden naar de dwarskracht V vergt het invoeren van een haaks op de aslijn geori-

ënteerde, wrijvingsloze schuif. Beide uiteinden kunnen dan vrij bewegen volgens een

richting loodrecht op de hartlijn. Een relatieve translatie volgens deze hartlijn is uitge-

sloten en evenmin kan er ter plaatse van A een relatieve hoekverdraaiing optreden (fig.

6c).

Ten einde hetzij de horizontale reactiecomponent XB (fig. 6d) hetzij de verticale YB

(fig. 6e) teniet te doen, vervangt men het scharnier in het linkersteunpunt B door een

wrijvingsloze rol met respectievelijk een horizontale of een verticale glijbaan.

Bovenstaande doorsnijdingen zijn onvolledig: de gedeeltelijke overdracht van interne

of externe krachtswerkingen blijft immers mogelijk. Een volledige doorsnijding aanbrengen

impliceert het letterlijk doen opheffen van alle bestaande spanningsresultanten (fig. 6f).

5.2 Implicatie met betrekking tot de graad van statische bepaaldheid

a

b

c

isostatisch mechanisme

statisch bepaald ten dele mechanisme

éénmaal statisch onbepaald isostatisch

Figuur 7

Een onvolledige doorsnijding maakt van een statisch bepaalde draagconstructie een

mechanisme dat door één vrijheidsgraad gekenmerkt wordt en dat geen uitwendige belastin-

gen torsen kan (fig. 7a,b).

Een onvolledige doorsnijding naar een statisch onbepaalde, mechanische grootheid

vermindert de graad van statische onbepaaldheid met één eenheid, maar stelt de constructie

niet in de onmogelijkheid om belastingen te dragen (fig. 7c).

Invloedslijnen 6.9


De evenwichtstoestand van een aanvankelijk belast, statisch bepaald of onbepaald stel-

sel ondergaat wegens een onvolledige doorsnijding geen verandering indien men tevens op

dezelfde plaats een uitwendige belasting van dezelfde grootte en aard als de spanningsresul-

tante die opgeheven werd door de doorsnijding, doet aangrijpen (fig. 8).

6 Invloedslijnen van statisch bepaalde spanningsresultanten

6.1 Werkwijze: oplegreactie, normaal- en dwarskracht, buigend moment

De onderstaande methode is algemeen geldig. We lichten ze toe aan de hand van een

portaal met schuine kolommen (fig. 9). Meer bepaald zoeken we de invloedslijn van de hori-

zontale oplegreactie - de spatkracht X1 - die door een beweeglijke puntlast F2 met verticale

werklijn en met neerwaarts gerichte zin teweeggebracht wordt.

Door de aanwezigheid van het scharnier in de ontmoeting van de linkerstijl met de spantregel

is het gestel statisch bepaald (fig. 9a). De werkwijze is als volgt:

Breng een doorsnijding naar de spatkracht X1 aan en vervang daartoe het vaste schar-

nier in het punt 1 door een roloplegging. Het aldus ontstane mechanisme heeft één vrij-

heidsgraad. Het evenwicht blijft nochtans gehandhaafd indien een uitwendige horizonta-

A B A B

YB VA

A

VA

y

A MA MA

z x

Figuur 8 MA MA

Invloedslijnen 6.10


le kracht X1 die gelijk is aan de in toestand a heersende grootheid, op het gemodificeer-

de stelsel ingevoerd wordt.

Geef aan het systeem in toestand b virtuele verplaatsingen die:

1) met de randvoorwaarden kinematisch verenigbaar zijn en

2) de samenstellende staven een starre sleepbeweging opdringen.

Dientengevolge neemt het stelsel in

toestand b de virtuele positie in stip-

pellijn aan. Daarbij evolueert het aan-

grijpingspunt van de beweeglijke last

naar de stand 2’ en komt de rol in 1’

terecht. v21 is de verplaatsing van 2

geprojecteerd op de werklijn van F2 en

positief volgens de zin van F2. In de

figuur is v21 positief. v11 is de virtuele

verplaatsing van 1 geprojecteerd op de

werklijn van de spatkracht X1 en posi-

tief gerekend volgens de positieve zin

van X1. In figuur 9 is deze verschui-

ving negatief.

Het beginsel van de virtuele arbeid luidt: X1 . v11 + F2 . v21 = 0 of Xv

vF1

21

112 . .

Stellen we F2 = 1 N en gebruiken we als notatie iX1 om de geassocieerde invloedswaar-

de van de spatkracht te benoemen, dan bekomt men:

iv

vX121

11

(1)

Uit het voorgaande formuleren we de volgende regel:

“Om de invloedslijn van een statisch bepaalde R , M , N , V ... te vinden, brengt men

een doorsnijding naar die grootheid aan. Men geeft aan het verkregen mechanisme een virtue-

le beweging die met de verbindingen verenigbaar is en die de samenstellende onderdelen aan

geen virtuele vervormingen onderwerpt. De kinematische verplaatsingen van de aangrijpings-

punten van de beweeglijke kracht, geprojecteerd op de vaste richting en positief gerekend in

de zin van de mobiele kracht, zijn op een zekere schaal de invloedswaarden voor de genoemde

grootheid. De schaal is - op het teken na - de kinematische beweging ter plaatse van de onvol-

ledige doorsnijding.”

F2

y

a

F2

v21

b

X1

v11

Figuur 9

x

2

2’

1’ 1

2

1

Invloedslijnen 6.11


6.2 Kinematische beweging in de doorsnijding: v11

De discontinuïteit v11 hangt nauw samen met de natuur van de grootheid waarvan men

de invloedslijn wenst te kennen.

V1 M1 M1

N1 N1

N1 N1

v11 V1

V1

V1

v11

M1 M1

v11

a : normaalkracht b : dwarskracht c : buigend moment

v11

X1 X1

v11

Y1

Y1 d : spatkracht

e : verticale

reactie

Figuur 10

Voor een normaalkracht is die discontinuïteit de volgens de staafas gemeten, relatieve

verwijdering of toenadering van de staafeinden die de onvolledige doorsnijding begren-

zen (fig. 10a).

Bij een dwarskracht meet men de discontinuïteit volgens de loodlijn op de hartlijn van

de staaf (fig. 10b).

Wanneer men de invloedslijn van een buigend moment wenst te kennen, is het de rela-

tieve hoekverdraaiing ter plaatse van het ingevoerde liggerscharnier (fig. 10c).

Het is de horizontale, respectievelijk verticale verplaatsing naar gelang men de invloeds-

lijn van een horizontale, respectievelijk verticale reactiecomponent zoekt (figuren 10d

en 10e).

In beginsel is men volkomen vrij wat betreft de keuze van de zin van de kinematische

bewegingen. Uit praktische overwegingen zal men evenwel ernaar streven om de virtuele ar-

beid die tijdens een virtuele verplaatsing van het gestel door de statisch bepaalde spankracht

verricht wordt, negatief te nemen. Primo wordt in dat geval het teken van de invloedslijn door

het teken van de kinematische verplaatsingen, v21 , van de aangrijpingspunten van de mobiele

kracht volkomen bepaald, secundo hoeft men zich om het minteken in (1) verder niet te be-

kommeren en tertio mag men schrijven:

Invloedslijnen 6.12


11

211X

v

vi (2)

De lezer gaat na dat alle in figuur 10 gegeven voorbeelden met deze richtlijn, die overigens

gerieflijk doch niet bindend is, in overeenstemming zijn.

6.3 Invloedslijnen voor statisch bepaalde spanningsresultanten zijn altijd samenstellen van rechte lijnstukken

Uit de kinematica van vlakke stelsels weten we dat de kleine, ogenblikkelijke bewe-

ging van een star lichaam - de hoger gedefinieerde virtuele verplaatsingen zijn van die aard -

herleid kan worden tot een zuivere rotatie om een bijzonder punt: de snelheidspool of bewe-

gingspool of ogenblikkelijke pool. Mitsdien is deze pool het enige, ware of denkbeeldige punt

van het lichaam dat tijdens de beweging in rust blijft.

We herinneren even aan de bewijsvoe-

ring uit de rationale mechanica (fig. 11). Zij L

een lichaam dat een sleepbeweging, bestaande

uit een kleine translatie (uA , vA) en een wen-

teling gekenschetst door de kleine hoek ,

ondergaat. A is een referentiepunt en Q een

willekeurig stoffelijk punt van L waarvan de

positie ten opzichte van A door de coördina-

ten r

en bepaald wordt. De verplaatsingen

van Q zijn als volgt:

u u .r.sin .yA A u (3)

v v .r.cos v .xA A (4)

We vinden de cartesische coördinaten van de

pool P - xP en yP - door uit te drukken dat de

verplaatsingen u en v nul zijn. Het resultaat is:

AP

v-=x en

A

Pu

y .

Als bijzondere gevallen vermelden we:

uA = vA = 0 de pool valt met het punt A samen.

= 0 het lichaam ondergaat een zuivere translatie: de pool is het punt op oneindig

van de rechte die loodrecht op AA’ staat.

uA = vA = = 0 het lichaam is in rust.

y

vA+.rcos+rsin Q”

Q’

vA

L’

L

Q

A’

A

uA uA-.rsin+rcos

x

r

Figuur 11

Invloedslijnen 6.13


Om de in de hoofding van onderhavige deelparagraaf geformuleerde stelling te staven,

beschrijven we de beweging van een gedeelte AB van het mechanisme tijdens de wenteling

om zijn pool P (fig. 12).

P

P’

F = 1 N

y

Q’

v21

B

A r

x

x

A’ B’

v21 Figuur 12

Q

We nemen een horizontale x-as door P en leggen de positie van het overigens wille-

keurige aangrijpingspunt Q van de beweeglijke en verticale kracht F = 1 N door middel van de

plaatsvector r

en de hoek vast. Ten gevolge van de kleine draaiing over de hoek om P

neemt Q de stand Q’ in en wordt de projectie v21 van de kinematische verplaatsing van dat

aangrijpingspunt op de werklijn van F gegeven door: v QQ r x21 '.cos . .cos . .

v21 is met andere woorden een lineaire functie van x, zelfs indien het beschouwde onderdeel

kromlijnig is. De tak van de gezochte invloedslijn, behorend bij het gedeelte AB, is derhalve

recht, hetgeen meteen de aangevoerde stelling bewijst.

6.4 Eigenschappen van de bewegingspolen

Uit de vlakke kinematica onthouden we tevens een paar interessante eigenschappen

van de ogenblikkelijke snelheidspolen. Ze verschaffen ons een belangrijk hulpmiddel om be-

doelde polen in een concrete situatie op te sporen.

Invloedslijnen 6.14


De loodlijn op de bewegingsvector van een willekeurig stoffelijk punt van een deelli-

chaam gaat door de pool, hetgeen eigenlijk reeds uit de bovenstaande bewijsvoering

volgt.

Indien een eerste lichaam ten opzichte van een tweede lichaam een relatieve beweging

uitvoert, dan bestaat er een specifiek punt P12 dat tot lichaam 1 behoort en dat met be-

trekking tot lichaam 2 in relatieve rust verkeert. Op dezelfde wijze bestaat er een stoffe-

lijk punt P21 van lichaam 2 dat ten opzichte van lichaam 1 in relatieve rust is, of dat an-

ders gezegd de beweging van lichaam 1 volgt.

Men kan aantonen dat P12 = P21. Dit bijzondere punt wordt aangegeven als de relatieve

pool bij de beweging van lichaam 1 met betrekking tot de beweging van 2. Zijn er min-

stens twee geometrisch niet samenvallende, relatieve bewegingspolen, dan voeren beide

lichamen een gezamenlijke ogenblikkelijke beweging uit.

We beschrijven drie ten opzichte van elkaar bewegende lichamen 1, 2 en 3. P12 is de

pool van de relatieve beweging van 1 ten opzichte van 2. Op analoge wijze is P23 de re-

latieve pool bij de beweging van lichaam 2 met betrekking tot lichaam 3 en P31 deze

van lichaam 3 ten opzichte van lichaam 1. Een belangrijke eigenschap is dat P12, P23 en

P31 collineair zijn. De eigenschap geldt evenzeer wanneer lichaam 1 in absolute rust is.

In dat geval zijn P12 en P13 - in respectievelijke volgorde – natuurlijk de absolute polen

P2 en P3 van de lichamen 2 en 3.

6.5 Schalen voor invloedslijnen

De in onderstaande beschreven werkwijze ter bepaling van de invloedslijnen is een

grafische methode. Het is gerieflijk - maar niet onontbeerlijk - om de v21-as met de fysische

zin van de inwerkende mobiele kracht te laten samenvallen.

In de grafische methode worden de invloedsordinaten op een zekere schaal getekend. Alge-

meen is de schaal au voor een grootheid a de lengte van het lijnstuk dat de grafische voorstel-

ling van die grootheid is, wanneer ze de eenheidswaarde aanneemt. Tussen a en haar grafische

voorstelling a geldt dan het volgende verband:

aa

ua

(5)

Met betrekking tot invloedslijnen herschrijven we (5) als:

ii

u

v

v

v

v .ui

(2)21

11 11v

21

21

(6)

Anderzijds wensen we dat de grafische voorstelling van v21 dadelijk voor deze van i gebruikt

kan worden: v i21 . Mits gebruik van uitdrukking (6) bekomen we aldus:

Invloedslijnen 6.15


ui v .u v11 v21 11 (7)

Een bijzonder geval vormt de schaal voor de invloedslijn van een krachtenkoppel (e.g.

een buigend moment). In dat geval is v11 de absolute waarde van de knikhoek ter plaatse

van de onvolledige doorsnijding (fig. 13). Vermits de kinematische bewegingen klein zijn,

wordt v11 in het fysische vlak bekomen door een lijnstuk met eenheidslengte horizontaal

vanaf de punt van de knik uit te zetten:

ab = 1. v11 (8)

Overeenkomstig moet men in de tekening de lengteschaal ux horizontaal uitzetten om de gra-

fische voorstelling a b' ' van het lijnstuk ab te vinden:

a b ab u u uv v i' ' . .( )

21 21

7

v11 (9)

Hiermee wordt meteen een handige regel bekomen om de schaal voor de invloedslijn van een

krachtenkoppel rechtstreeks in de figuur af te lezen.

nullijn nullijn

Figuur 13

a

b

v21 v21 v11

1 v11

a’

ux

b’

werkelijkheid afbeelding

Invloedslijnen 6.16


6.6 Toepassingsvoorbeelden

6.6.1 Eenvoudig opgelegde ligger

Een balk vertoont uitkragingen over twee steunpunten (fig. 14a). We bepalen achter-

eenvolgens de invloedslijn van de oplegreactie YA, van het buigend moment MC en van de

dwarskracht VC in het midden van de overspanning.

A C B

F = 1

a

A P B

uiY

A b

v21

1 2

1’ 2’ c

v21

1 2

1’ d

uiV

C

2’

v21

Figuur 14

D P1 A C P2 B E

D P1 A C P12 P2 B E

2

ux

u iM

C

Invloedslijnen 6.17


Steunpuntreactie YA. Een doorsnijding naar de oplegreactie in A maakt van de balk

een mechanisme, maar deelt de balk niet in verschillende deellichamen op. Er is slechts

één enkel lichaam, met name de volledige ligger, waaraan we een kinematische bewe-

ging, in casu een wenteling om de absolute pool, toekennen. Laatstgenoemde pool ligt

enerzijds op de loodlijn op de verticale werklijn van de bewegingsvector van het punt A,

en anderzijds op de rechte die haaks op de rolbaan in B staat. De pool valt dus met dat

punt B samen. We kiezen de virtuele verplaatsingen derwijze dat v11 negatief is, wat er-

op neerkomt dat we aan het balkje een kleine draaiing in tegenwijzerzin om het punt B

opdringen. De invloedsordinaten alsook de schaal ui YA_ zijn in figuur 14b aangegeven.

Buigend moment MC. De invoering van een scharnier in het midden van de centrale

overspanning herleidt het gestel tot een mechanisme dat uit twee deellichamen DC en

CE bestaat (fig. 14c). A is de absolute pool van DC en het punt C is de relatieve pool bij

de beweging van DC ten opzichte van CE. Gelet op de eigenschappen van de ogenblik-

kelijke pool vindt men de absolute pool van CE in het punt B. De kinematische bewe-

ging van beide takken vertoont een knik met punt naar beneden. Bijgevolg is de virtuele

arbeid, die door het buigend moment in C verricht wordt, negatief. Derhalve worden de

invloedsordinaten door (2) gegeven en is een tekenomslag niet nodig. De schaal voor de

invloedslijn wordt onmiddellijk gevonden door een lijnstuk ux horizontaal uit te zetten.

Dwarskracht VC. Door het aanbrengen van een wrijvingsloze schuif met verticale as in

het midden van de centrale overspanning ontaardt het draagkrachtige, isostatische sys-

teem in een mechanisme. We beschrijven twee gedeelten, DC en CE, die uitsluitend een

translatiebeweging ten opzichte van mekaar kunnen ondergaan: hun relatieve pool is

immers het punt op oneindig van de rechte DE. Geeft men aan het linkerdeellichaam een

wenteling in uurwijzerzin om zijn absolute pool A, dan verkrijgt het rechterdeel een

even grote, eveneens in wijzerzin georiënteerde draaiing om de pool B. De sprong ter

plaatse van de schuif is tegelijkertijd de schaal voor de invloedslijn van de dwarskracht.

Men gaat makkelijk na dat de bewerkstelligde sprong met een negatieve virtuele dwars-

krachtenarbeid samengaat en dat dientengevolge de in figuur 14d aangeduide tekens cor-

rect zijn.

6.6.2 Parabolische driescharnierboog

Een boog met drie scharnieren is statisch bepaald. De boog heeft een overspanning

en een pijl f (fig. 15). We zoeken achtereenvolgens de invloedslijn van de spatkracht XA, van

de verticale oplegreactie YA, van het buigend moment, van de normaal- en de dwarskracht in

het punt D dat op een afstand /4 van het linkersteunpunt gelegen is, en doen zulks voor een

mobiele, verticaal neerwaarts gerichte en voor een horizontale, naar rechts werkende een-

heidsbelasting. De raaklijn aan de hartlijn van de boog in D maakt met de horizontale de hoek

.

Invloedslijnen 6.18


Spatkracht XA (fig. 15a). Men vervangt het scharnier door een rol met horizontale glij-

baan. Het ontstane mechanisme bestaat uit twee gedeelten: AB (lichaam 1) en BC (li-

chaam 2). De absolute pool van 2 is kennelijk het vaste scharnierpunt C. De relatieve

pool van 1 ten opzichte van 2 valt met het inwendige scharnier in de sleutel van de boog

samen. Men vindt de absolute pool van 1 als het snijpunt van de verbindingsrechte

P P2 12 en van de verticale door A. Aan het aldus ontstane mechanisme geeft men een

kinematische verplaatsing, die met de uitwendige verbindingen verenigbaar is. De pro-

jecties u21 en v21 van die verplaatsingen, respectievelijk op een horizontale en op een

verticale as, zijn - op een schaalfactor na - de gezochte invloedsordinaten.

We lichten de gang van de bewerkingen toe voor de invloedslijn bij verticale belastin-

gen. Kies vooreerst een assenstelsel x, v21 en projecteer de absolute polen op de x-as:

P’1 en P’2. Teken de rechte 1’ - met overigens volkomen willekeurige helling - door

P’1. Een verticale door de relatieve pool P12 ontmoet de rechte 1’ in het punt P’12.

Vermits P12 tevens een punt van 2 is, zijn de verticale componenten van de kinemati-

B D

f

A C

y

P1

"

P12

2f

1 2

1’ 2’

P2

"

ui h u21

1’ 2’

P12'

Figuur 15a: invloedslijn spatkracht

P12

"

P2

x

a

v21

P1

A M

P1'

P2'

Invloedslijnen 6.19


sche beweging van 2 nu ondubbelzinnig bepaald: ze worden door de verbindingsrechte

P’12P’2 voorgesteld. Men gaat op gelijkaardige wijze te werk om de horizontale projec-

ties u21 te tekenen.

De schaal bij horizontale, mobiele eenheidsbelastingen wordt rechtstreeks in de figuur

afgelezen en met de notatie ui h aangeduid.

Voor verticale krachten is het vinden van de schaal iets ingewikkelder omdat de kine-

matische beweging ter plekke van de onvolledige doorsnijding een horizontale bewe-

gingsgrootheid is, terwijl in de figuur verticale verplaatsingscomponenten getekend zijn.

Uit de theorie weten we evenwel dat lichaam 1 een draaiing over een kleine hoek om

zijn pool P1 uitvoert. De ermee corresponderende, verticale verplaatsingscomponent van

het punt B is: 2

.AM.vB

.

De horizontale verplaatsing van A wordt gegeven door: v f11 2 . .

Elimineert men , dan komt er: 21v

B11

u.

a.f4v.f4v

. Hierbij is a de grafische voor-

stelling van vB.

Luidens (7) wordt de schaal voor de invloedslijn: uf a

i v 4 .

.

Men gaat nog makkelijk

na dat het teken van de invloedsordinaten in figuur 15a correct is.

Oplegreactie YA (fig. 15b). Het vaste scharnier in A wordt door een rol met verticale

glijbaan vervangen. Aan de twee aldus ontstane deellichamen geven we een kinemati-

sche beweging die op de randvoorwaarden geen inbreuk pleegt.

1 2 1”

2”

P1, P2

x

Figuur 15b: invloedslijn verticale oplegreactie

y

b P12 P12

"

A C,P1,P2 P P1 2" ",

u 21

2’

1’

ui v

v21

P’12

M

Invloedslijnen 6.20


De relatieve pool P12 valt met de top van de boog samen. Vermits de absolute pool van

2 in het scharnier C gelegen is en deze van 1 met het snijpunt van de horizontale door A

(loodrecht op de rolbaan) met de verbindingslijn P2P12 overeenstemt, valt P1 met P2

samen. In de figuur worden de verticale en horizontale verplaatsingscomponenten van

de virtuele beweging getekend. Mits men de gepaste schaalfactoren bepaalt, vormen zij

tevens de invloedsordinaten.

Voor mobiele, verticale belastingen leest men de schaal rechtstreeks in figuur 15b af: ze

is gelijk aan het lijnstuk ui v .

Bij horizontale belastingen kan men bijvoorbeeld de grafische voorstelling van de hori-

zontale verplaatsing van de top van de boog - het lijnstuk b - aflezen en opmerken dat

de beweging van 1 in feite een wenteling over een niet gespecificeerde hoek om P1 is.

Hieruit volgt:

..APv 111 , f.MP.u

bb 12

u21

, of b.f

u.vu u2111i�h

Buigend moment MD (fig. 15c). Een onvolledige doorsnijding naar deze spanningsre-

sultante vergt het invoeren van een scharnier in D, waardoor drie deellichamen ontstaan.

A en C zijn respectievelijk de absolute polen van 1 en van 3. De relatieve pool P12 valt

met het punt D samen en deze van de beweging van 2 ten opzichte van 3 ligt in de top

van de boog. Ten slotte vindt men de absolute pool van 2 als snijpunt van de rechten

P1P12 met P3P23.

P’1 P’2 P’3

1 3 3” 1”

BP23 P”23

y

ui h

u x

P2

P”2

AP1 CP3

DP12 2

2”

2”

P”1,P”3

P”12

u 21

P’23

3’

1’ 2’ ui v u x

P’12 v21

Figuur 15c: invloedslijn buigend moment

x

Invloedslijnen 6.21


Nadat men aan de onderdelen van het mechanisme een kinematische verplaatsing gege-

ven heeft, met projecties u_

21 en v_

21 , bepaalt men de schalen op de wijze die voor de

invloedslijn van een buigend moment gebruikelijk is.

Normaalkracht ND (fig. 15d). Men insereert een wrijvingsloze schuif, waarvan de as

raakt aan de parabool in het punt D. Door die onvolledige doorsnijding naar de nor-

maalkracht wordt het draagkrachtig gestel een mechanisme met één vrijheidsgraad.Men

onderkent drie onderdelen: AD, DB en BC. De absolute pool van 1 en van 3 valt respec-

tievelijk met het vaste scharnier in A en in C samen.De relatieve pool P23 ligt in het

topscharnier B terwijl de relatieve pool P12 het punt op oneindig van de normaal op de

boog in D is. Men tekent een rechte P3P23 en een met de genoemde normaal evenwijdi-

ge lijn door P1. Gelet op de eigenschappen van de ogenblikkelijke snelheidspolen be-

paalt hun snijpunt de positie van de absolute pool P2.

Na het bepalen van de polen is het pad geëffend voor het tekenen van de projecties van

de kinematische beweging. Het bepalen van de schalen vergt enige behoedzaamheid:

v11 - de kinematische beweging in de onvolledige doorsnijding D, geprojecteerd op de

werklijn van de normaalkracht - heeft een verticale component a en een horizontale

component b, waarvan de grafische voorstelling in de figuur gegeven is. Vermits de

raaklijn in D aan de booghartlijn met de horizontale de hoek insluit, geldt kennelijk:

1 3 1” 3”

P2 y

P”2

AP1

BP23

CP3

D

2 2”

P”23

P”1,P”3

P12

u21 P’23

2’

3’

a

1’

P’2 P’1 P’3

x

v21

Figuur 15d: invloedslijn normaalkracht

b

Invloedslijnen 6.22


va b

11 sin cos

, of , v

a

u

b

uv u11

21 21 sin cos

waaruit respectievelijk volgt dat

ui va

i hb

sin cos

en dat u .

Dwarskracht VD (fig. 15e). Ditmaal ontaardt het stelsel in een mechanisme door het

aanbrengen van een wrijvingsloze schuif met hartlijn volgens de normaal in D. De rela-

tieve polen P12 en P23 vallen respectievelijk samen met het punt op oneindig van de

raaklijn in D en met de sleutel C. De absolute snelheidspolen P1 en P3 zijn respectieve-

lijk het punt A en het rechtersteunpunt C. Tot slot vindt men de absolute pool P2 in het

snijpunt van de verbindingsrechte P3P23 met de door P1 getrokken rechte die evenwij-

dig is aan de raaklijn in D. In het specifiek beschouwde geval valt P2 met P23 samen.

Voor het tekenen van de invloedsordinaten bewandelt men een gelijkaardige weg als in

voorgaande uiteengezet werd.

P’1 P’2 3’ P’3

y

P12

CP23P2

D 2

1 3 3” 1”

2” P”2

b

AP1 CP3 P”1

P”3

2’

1’ a

x

u21

v21

Figuur 15e: invloedslijn dwarskracht

Bij verticale belasting wordt de schaal voor de invloedsordinaten gegeven door

ua

i v cos

(de hoek wordt in figuur 15a getoond). Bij horizontale belastingen is ze

gelijk aan ui hb

sin

.

Invloedslijnen 6.23


7 Invloedslijnen van elastische verplaatsingen

7.1 Theorie

Beschouw een tweescharnierboog die aan een beweeglijke, horizontale eenheidsbelas-

ting F2 = 1 N onderworpen is (fig. 16). Men wenst de component v12 van de lineaire ver-

plaatsing van een vaste doorsnede 1 volgens een gegeven richting r1 te bepalen, wanneer het

aangrijpingspunt van F2 verschillende posities inneemt.

De rechtstreekse bepaling van de

gevraagde invloedsordinaten zou

erin bestaan de grootheid v12 voor

elke positie F2 te becijferen. Het ligt

voor de hand dat zulks het bestude-

ren van oneindig talrijke belastings-

gevallen vergt. Men kan deze om-

slachtige werkwijze omzeilen door

de wederkerigheidsstelling van

Maxwell te bezigen. Daartoe laat

men ter plaatse van doorsnede 1 op

het gestel een eenheidskracht F1 = 1

N volgens de vaste richting r1 inwer-

ken. Deze belasting veroorzaakt de

verschuivingsvector 21u

van het

aangrijpingspunt van F2, waarvan we

de projectie op de werklijn van F2 door v21 voorstellen. Wegens de stelling van Maxwell kan

men schrijven: F1. v12 = F2 . v21. Vermits beide krachtwerkingen eenheidsbelastingen zijn,

geldt ook:

i v vv12

12 21 (10)

Hieruit volgt de regel: “De invloedslijn van een verplaatsingscomponent van een doorsnede in

een elastisch systeem ten gevolge van een mobiele eenheidskracht F2 wordt gegeven door de

elastische verplaatsingen van het draaggestel - volgens de werklijn van F2 gemeten - die het

gevolg zijn van een vaste eenheidsbelasting F1 die in 1 werkzaam is en waarvan de zin sa-

menvalt met de zin volgens dewelke men de invloedsordinaten positief rekent.”

Figuur 16

y 1 u

12 2

F2

v12

x

r1

u

21

F1 1

y

2

v21

x

Figuur 16

Invloedslijnen 6.24


Opmerkingen:

De geschetste werkwijze vergt het onderzoek van slechts één enkel belastingsgeval.

Deze regel is uiteraard ook van toepassing voor de invloedslijn van de hoekverdraaiing

12, welke door de mobiele kracht F2 = 1 N teweeggebracht wordt. In dat geval is F1

een eenheidskoppel, wentelend in de zin volgens dewelke men 12 positief rekent.

In formulevorm geldt hier: i v12

21 .

7.2 Toepassingsvoorbeelden

7.2.1 Neerwaartse verplaatsing van het midden van een isostatische ligger

(fig. 17a).

Men bekomt de invloedsordinaten door het bepalen van de elastica onder een neer-

waarts gerichte eenheidskracht, aangrijpend in het midden van de overspanning (fig. 17b).

Omdat de positieve zin van de y-as opwaarts is, moeten we nog een tekenomslag verrichten.

Figuur 17c geeft een grafische voorstelling van de M-lijn die door de eenheidsbelas-

ting F1 = 1N veroorzaakt wordt. De invloedsordinaten in het interval [0 , /2 worden met be-

hulp van de eerste analogie van Mohr becijferd.

3

x

2

x

2

x

2

x

24EI

1vi 2112v

2x

3

x2

2

x

EI8 3

33

De invloedslijn is spiegelsymmetrisch ten opzichte van het midden van de overspanning. Ter

controle berekenen we de zakking ten gevolge van een gelijkmatig gespreide belasting:

xd3

x2

2

x

EI8

p2pdx.i2v

3

32

0

3

v

2

0

2

0312

4x2

4

2x

EI4

4p

5

384

4p

EI

7.2.2 Hoekverdraaiing van de doorsnede A (fig. 17d)

We rekenen de invloedsordinaten positief in tegenwijzerzin. Dientengevolge voeren

we ter plaatse van A een uitwendig krachtenkoppel overeenkomstig de genoemde zin in en

bepalen we het bijbehorend buigend momentendiagram (fig. 17e). Omdat we v21 positief re-

kenen volgens de zin van de beweeglijke kracht, is de elastica op het teken na de gezochte

invloedslijn. Door middel van de eerste analogie van Mohr vindt men:

3

'x.

2

'x.

'x'x

2.

3

1

EI

1vi 2112

3

32 'x'x

EI6

Invloedslijnen 6.25


y P2 = 1

EI , A B

x

x

P1 = 1

v21

M

2

x

4

x

K = 1

x’

M

- 1

x'

x

a

b

c

d

e

Figuur 17

Invloedslijnen 6.26


8 Invloedslijnen van statisch onbepaalde spanningsresultanten

8.1 Rechtstreekse berekening

8.1.1 Methode

Figuur 18 toont een zogeheten vierendeelligger met gekromde bovenrand. De stijlen

zijn zowel met de onderregel als met de boog stijf verbonden. Men wenst de invloedslijn van

het buigend moment in het punt A van de bovenrand te bepalen wanneer een mobiele, vertica-

le eenheidsbelasting ter plaatse van de onderrand aangrijpt.

Men kan bedoelde invloedslijn becijferen door de eenheidskracht achtereenvolgens in

de knopen van de onderrand - dat wil zeggen daar waar de stijlen de onderrand ontmoeten - te

plaatsen. Vervolgens bestudeert men telkens de krachtenverdeling in het systeem en in het

bijzonder het buigend moment in A en stelt men de invloedslijn door collectie van het cijfer-

materiaal samen. Een mogelijke verfijning bestaat er nog in een aantal tussen de knopen van

de onderrand gelegen punten als gebeurlijke aangrijpingspunten te laten fungeren.

A

F = 1

Figuur 18

Het nadeel van de methode is dat ze bewerkelijk is, zeker indien het draagsysteem

veelvoudig statisch onbepaald is en de berekeningen handmatig verricht worden. Daartegen-

over staat evenwel dat men alle gewenste invloedslijnen van andere spanningresultanten als

toespijs consumeert.

8.1.2 Toepassing: tweezijdig ingeklemde, prismatische ligger

We wensen de invloedslijn van het inklemmingsmoment in 1, dat door een mobiele,

verticale eenheidskracht teweeggebracht wordt, te becijferen (fig. 19). De overspanning en de

buigstijfheid worden respectievelijk door en EI aangegeven. Het stelsel is tweevoudig sta-

tisch onbepaald. Plaats F = 1 in een willekeurig punt, gekenmerkt door de abscis x. Zij M1 en

M2 de voorshands onbekende inklemmingskoppels, dan kan men het overeenkomstige bui-

gend momentendiagram vervolledigen. Met behulp van de analogieën van Mohr drukken we

uit dat de hoekverdraaiingen in 1 en 2 nul zijn.

0)]3

'x0.(

2.

'xx.F

3

1.

2.M

3

2.

2.M[

EI

1V 21

f11

Invloedslijnen 6.27


0)]3

x0.(

2.

'xx.F

3

2.

2.M

3

1.

2.M[

EI

1V 21

f22

of :

21 2 2

M M Fxx

x .'.( ' )

en M M F

xxx

1 2 22 .

'.( )

,

waaruit volgt:

3 2 2 2 2 2 31 2 2

2

2M F

xxx x F

x xx x F

x x

.

'.( ' ) .

( ).( ) .

( )

1 2

M1

F = 1 M2

x x’

M

'xx

M2

-M1

x

Figuur 19

Mits invoering van de dimensieloze coördinaat x

wordt de invloedslijn ten slotte gegeven

door: iM

FM1

1 21 ( ) . . Ze is afgebeeld in figuur 20.

inv

loed

sord

ina

at

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figuur 20

Invloedslijnen 6.28


De lezer kan nagaan dat

0

21

0

221M

12d.)1(dx.i . Dit is een overigens voor de hand

liggend resultaat.

8.2 Tweede werkwijze: totstandbrenging van een verplaatsing in de on-volledige doorsnijding

8.2.1 Methode (fig. 21)

We lichten een tweede werkwijze toe aan de hand van een portaal met scharnierende

kolomvoeten. De methode geldt echter voor om het even welk hyperstatisch stelsel op voor-

waarde dat het superpositiebeginsel van toepassing is.

Men vraagt de invloedslijn van de spatkracht F1 of horizontale component van de reac-

tiekracht in het scharnier 1, die door een beweeglijke verticale eenheidskracht F2 = 1N opge-

wekt wordt (toestand a in fig. 21). De te volgen stappen zijn:

Breng een onvolledige doorsnijding naar de spatkracht aan: daartoe vervangt men het

linkerscharnier door een roloplegging. Het impliceert dat de graad van statische onbe-

paaldheid met één eenheid vermindert.

In de gewijzigde toestand b laat men de uitwendige belasting (de eenheidskracht) op het

stelsel inwerken. Daardoor vervormt de constructie. De verplaatsing in de onvolledige

doorsnijding, gemeten volgens de positieve zin van F1, wordt als v12 aangegeven en is

in figuur 21b algebraïsch negatief.

v11

F2 F2

F1 a b

1

2

1’

v12

v22

v21

2’

1” F1

c

Figuur 21

Invloedslijnen 6.29


Omdat deze verplaatsing zich in werkelijkheid evenwel niet kan voordoen, bestudeert

men toestand c, waar F1 zo gekozen wordt dat:

v11 + v12 = 0 (11)

Indien men de toestanden b en c superponeert, wordt de aanvankelijke situatie a ui-

teraard hersteld. Zij v21 de verplaatsing van het aangrijpingspunt van de mobiele

krachtwerking F2, gemeten volgens haar positieve zin (in fig. 21c is v21 dus negatief).

Toepassing van de stelling van Maxwell op het gewijzigde draagsysteem leert ons dat:

F v F v1 12 2 21. . , of, 21

1

212 v

F

Fv

Na substitutie in (11) bekomt men volgende uitdrukking voor de gevraagde invloedslijn:

iF

F

v

vF1

1

2

21

11

(12)

Opmerkingen:

De uitdrukking (12) van de invloedslijn vertoont veel analogie met deze van een statisch

bepaalde krachtswerking. Thans zijn v21 en v11 geen virtuele verplaatsingen van een

ondraagkrachtig mechanisme maar elastische verplaatsingen van een draagkrachtig stel-

sel. In het huidige geval vergt de totstandkoming van v21 en v11 wel degelijk het inwer-

ken van een belasting.

De teller van (12 ) is - in tegenstelling tot de noemer - afhankelijk van de plaats van de

mobiele belasting.

In dit geval worden de invloedsordinaten gegeven onder de vorm van een verhouding

van twee elastische “verplaatsingen”, die beide door de belasting F1 in de toestand c

veroorzaakt worden. Het betekent dat men de grootte van F1 naar believen kan kiezen

tenminste indien het systeem zich lineair gedraagt, wat hier impliciet ondersteld wordt.

Uit het voorgaande distilleren we de volgende regel: “ Om de invloedslijn van een sta-

tisch onbepaalde reactie, buigend moment, dwarskracht, wringmoment... te bepalen, brengt

men een doorsnijding naar die spanningsresultante aan. Tegelijkertijd doet men op dezelfde

plaats een uitwendige belasting van dezelfde aard als de spanningsresultante die opgeheven

werd, aangrijpen. De elastische verplaatsingen van het bijgewerkte draaggestel en in het bij-

zonder die van de stoffelijke punten van het elastische systeem waar een beweeglijke belasting

kan inwerken, geprojecteerd op de vaste richting van die belasting, zijn op een zekere schaal

de gevraagde invloedswaarden. Deze schaal is - op het teken na - de verplaatsing in de onvol-

ledige doorsnijding. ”

Invloedslijnen 6.30


8.2.2 Discontinuïteit in de onvolledige doorsnijding

Indien v11 negatief is - dat wil zeggen indien de verplaatsing in de onvolledige door-

snijding een tegengestelde zin heeft als deze van een positieve spanningsresultante F1 -, dan is

het teken van de invloedsordinaten gelijk aan dat van de elastische verplaatsingen v21. Deze

voorwaarde kan bewerkstelligd worden door aan F1 een negatieve waarde toe te kennen. Ge-

makshalve kiest men daartoe F1 = - 1 N.

v11

Figuur 22

1 1 1

v11

v11

v11

v11

1 1

1

1

normaalkracht : N = - 1 dwarskracht : V = - 1

buigend moment : M = - 1 oplegreactie : Y = - 1

spatkracht : X = - 1

1

In figuur 22 wordt verduidelijkt hoe men voor verschillende spanningsresultanten te werk kan

gaan. Alsdan hoeft men zich verder niet te bekommeren om het minteken in (12) en mag men

eenvoudigweg schrijven:

iv

vF1

21

11

(13)

Invloedslijnen 6.31


8.2.3 Rekenvoorbeelden

8.2.3.1 Doorgaande ligger

We beschrijven een over twee velden doorgaande balk ABC (fig. 23) en wensen de

invloedslijn van het buigend moment ter plaatse van het centrale steunpunt te kennen. Daartoe

brengen we in B een scharnier aan en belasten het gemodificeerde gestel met twee tegenge-

stelde eenheidskoppels die links en rechts van B een buigend moment ter grootte van -1 op-

wekken.

Figuur 23

Met de notaties van figuur 23 vindt men achtereenvolgens:

vEI EI EI11

1

1

1

1

2

3 2

2

3 2 31 . . ( )

v vEI

x x

EI21

3 231

6 6 6 ( ) ( )

in het veld AB en

v vEI

x x

EI21 11

1 1 1

3

1

1

2

11 1

31

6 6 6 ( ) ( )

in het veld BC.

, en 1 zijn dimensieloze coördinaten, gedefinieerd als:

I

I

1

1

,

x en

1

11

x

.

Ten slotte geldt voor de linkeroverspanning:

A B C

, I 1, I1

v 1 1 v1

A B C

x x1

M

-1 -1

-x/ -x1/1

F = 1

Invloedslijnen 6.32


iv

v

EI

EI

M1

21

11

23

1

1

36

31

2 1

( )

( )( )

.( )

,

en analoog voor de rechteroverspanning:

iv

vM

1

21

11

11 1

3

2 1

( ).( )

8.2.3.2 Portaal

We bestuderen het in figuur 24a geschetste portaal en zoeken meer bepaald de in-

vloedslijn van de spatkracht die door het scharnier 1 op de constructie uitgeoefend wordt.

Volgens de uiteengezette werkwijze vervangen we het scharnier door een rol en brengen we

een naar links werkende eenheidkracht ter plaatse van de rol aan. We houden enkel rekening

met de vervorming door buiging en verwaarlozen deze die het gevolg van de eindige rek- en

afschuifstijfheid is.

x x

1

1

c d

m1

m2

m3

m4

a b

F=1 x

y EI

EI EI

Figuur 24

Invloedslijnen 6.33


De buigende momentenverdeling is in figuur 24b geschetst. De schaal van de invloeds-

lijn wordt met de integralen van Mohr bepaald:

vEI EI11

31 1

32

1

3 32 4 ( . . . . . . ) ( )

We benutten eveneens de eigenschappen van Mohr om de verplaatsingen v21 te becijferen.

Daartoe maken we een onderscheid naar gelang de puntlast op de schuine stijl inwerkt (fig.

24c) dan wel over de spantregel evolueert (fig. 24d). In de onderstaande berekeningen wordt

de dimensieloze coördinaat =x/ gebruikt.

x (fig. 24c): m1 = ./2 ; m2 = .(1-).

vEI EI21

331 1

3 22

1

61 2

1

2 2 124 2 3 2 2

[ . . . . ( ) . . . . . ] [( ) ]

iv

v 21

11

1

4 2 44 2 3 2 2

3

( )[( ) ]

x (fig. 24d): m3 = (1-/2). ; m4 =(2-).(-1).

vEI21

1 1

31

22

1

21

2

1

22 1 [ .( ) . . .( ) . . .( )( ) . . ]

=3

122 2 2 3 15 2 2 6

EI[ ( ) ( ) )] ;

i

1

4 2 42 2 2 3 15 2 2 6

( )[ ( ) ( ) )]

Figuur 25 toont de gezochte invloedslijn.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

i

Figuur 25

Invloedslijnen 6.34


8.2.3.3 Getuide kraagligger

Een kraagligger ABC wordt met behulp van een tui BD ondersteund (fig. 26). De

rekstijfheid van de kabel en de buigstijfheid van de balk zijn respectievelijk EA en EI. De balk

heeft een oneindig grote rekstijfheid. Tussen I, A en bestaat het volgende ver-

band: I A 2. Men wenst de invloedslijn van de normaalkracht in de tui bij een mobiele,

neerwaarts gerichte eenheidsbelasting te bepalen.

2 x

A 45 B C

D

N = 1

1 1

v

2

M x ( )22

2

Figuur 26

Het oorspronkelijke systeem is enkelvoudig statisch onbepaald. Overeenkomstig de

theorie brengt men een (volledige) doorsnijding naar de normaalkracht aan en voert men daar

twee tegengesteld gerichte eenheidskrachten in. Omdat een tui in principe geen drukkrachten

kan weerstaan is het wellicht didactisch aangewezen om de eenheidskrachten derwijze te ori-

ënteren dat ze een overlapping veroorzaken. Derhalve maken we geen gebruik van de uitdruk-

king (13) maar hanteren we betrekking (12).

vEA EI EA EA EA11 2

2 2 1

3

2 2 2 2 2 2 2 2

3

2

33 2 2

.

. . . .( )

,

2 2

2

2

2

.

EA EA ,

v v

xx x x x

EA21 2

22

2

2 2 3

. . . .

als x 0 2, ,

Invloedslijnen 6.35


v vEA

x21

4 2

32

( ).

2

EA als x 2 3 , .

Voor x = 2 wordt de invloedswaarde: iEA

4 2

3

.

3

3 2 2 2

2 2

3 2 2

EA

( ).

.

9 Begroten van rekenwaarden - een toepassing

Een prismatische, over twee gelijke velden doorgaande ligger ABC, die deel uitmaakt

van een dakconstructie en die een constante buigstijfheid EI bezit, is aan het effect van vol-

gende krachtswerkingen onderworpen (fig. 27):

het gelijkmatig gespreide eigen gewicht pk = 1 0,kN

m

de volgens het lastenboek voorgeschreven gebruiksbelasting (categorie A) met constante

amplitude qk = 3 0,kN

m

de uniforme sneeuwbelasting sk = 1 5,kN

m

de opwaartse windzuiging wk = 2 0,kN

m.

De overspanning bedraagt 5 m en de buigstijfheid EI is 1830 kNm2. We onderstellen dat

indien “sneeuw” en “wind” zich voordoen, ze over de ganse uitgestrektheid van AC met con-

stante amplitude aanwezig zijn.

EI , D EI ,

….. ….. w

….. ….. s

….. ….. q p

A B C x x’

Figuur 27

In de onderstelling dat het systeem zich lineair elastisch gedraagt (in dit leerstadium

kan een eigenlijke bezwijkanalyse immers nog niet aan bod komen) wordt gevraagd om - re-

kening houdende met de sterkte voor blijvende ontwerptoestanden - de rekenwaarde van de

steunpuntsreactie YB, het overgangsmoment MB en het veldmoment MD te becijferen. Bepaal

tevens de rekenwaarde van de ogenblikkelijke verplaatsing - dwz in gebruiksvoorwaarden - in

het midden van de linkeroverspanning.

Invloedslijnen 6.36


Om het extremale effect te becijferen maken we gebruik van de invloedslijnen van

vermelde mechanische grootheden. We voeren ook de dimensieloze coördinaten x

en

''

x

in. Tot slot hanteren we de symbolen i dx.

0

en ' . ' i dx

0

om de invloedsopper-

vlakken over de velden AB en BC aan te geven.

Steunpuntsreactie YB

Veld AB: .8

5= ,)3.(

2

1i 3

BY

Veld BC: .8

5=', )''3.(

2

1i 3

BY

Figuur 28.a toont dat de invloedslijn symmetrisch is. Men bekomt de extremale effecten

met een schikking van de belastingen zoals in figuren 28b en 28c weergegeven is.

Figuur 28a: steunpuntsreactie

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x/l

inv

loe

ds

ord

ina

at

wk pk

A B C

Figuur 28b Figuur 28c

sk

qk

pk

A B C

Invloedslijnen 6.37


kN6,434

25).5,1.75,03.5,11.35,1(

4

5).s.5,0.5,1q.5,1p.35,1(Y kkkmaxB

kN5,124

25).2.5,11.0,1(

4

5).w.5,1p.0,1(Y kkminB

De verbindingsmiddelen waarmee de ligger aan de dakspanten bevestigd wordt, moeten

deze laatste optilkracht kunnen weerstaan.

Overgangsmoment MB

Veld AB: iMB

4 16

32

( ) ;

Veld BC: iMB

4 16

3( ' ' ) ' ;

2

De invloedslijn is symmetrisch ten opzichte van het middensteunpunt. Men vindt de ex-

tremale rekenwaarden van het buigend moment in B met dezelfde belastingencombinaties

als in deze in de figuren 28b en 28c.

kNm8,218

25).5,1.75,03.5,11.35,1(

8).s.5,0.5,1q.5,1p.35,1(M

2

kkkminB

kNm25,68

25).2.5,11.0,1(

8).w.5,1p.0,1(M

2

kkmaxB

Figuur 29: overgangsmoment

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x/l

invlo

edso

rdin

aat*

4/l

/

Veldmoment MD (fig. 30a)

Veld AB:

1,

2

1 als )54(

8i ;

2

1,0 als )3(

8i 3

DM3

DM

;

Invloedslijnen 6.38


3

32

2

Veld BC: iMB

8 32

3( ' ' ) ' ;

2

Het maximale veldmoment wordt bekomen door de belastingen volgens figuur 30b te

schikken, terwijl een combinatie zoals in figuur 30c een algebraïsch mimimale waarde op-

levert.

16.s.5,0.5,1

32

3.q.5,1

16.p.35,1M

2

k

2

k

2

kmaxD

kNm41,1416

25.5,1.5,0.5,1

32

75.3.5,1

16

25.1.35,1

16.w.5,1

32.q.7,0.5,1

16.p.0,1M

2

k

2

k

2

kminD

kNm58,516

25.2.5,1

32

25.3.7,0.5,1

16

25.1.0,1

Figuur 30a : Veldmoment

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x/l

inv

loed

sord

inaat*

4/l

l

Invloedslijnen 6.39


Verplaatsing vD (fig. 31)

Veld AB : iEIvD

33

1929 13 0

1

2.( ) , als

iEIvD

32 3

1924 33 48 19

1

21.( ) , als

EI36864

336'

4

Veld BC: iEIvD

3

3

64.( ' ' )

'4

256EI

Figuur 31 : Verplaatsing

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x/l

invlo

ed

so

rdin

aa

t*6

4E

I/l^

3

EI)

36864

192s5,0

36864

336.q

36864

192.p(v

4

kkkminD

wk

qk

pk

A D B C

Figuur 30c

sk

qk

pk

A D B C

Figuur 30b

Invloedslijnen 6.40


EI

)36864

192.5,1.5,0

36864

336.3

36864

192.1(

4

m 016,01830

62503646,0

EI)

36864

192.w

256

1.q.7,0

36864

192.p(v

4

kkkmaxD

EI

)36864

192.2

256

137,0

36864

192.1(

4

m 005,01830

62501341,0

7

Methode van Gehler

voor

Stijl- en Regelwerken

Methode van Gehler voor stijlen regelwerken 7.2


1 Inleiding

De methode van Gehler1 is zeer geschikt voor de berekening van vlakke stavenstelsels

en raamwerken. Het is een verplaatsingenmethode: men hanteert als onbekenden de hoekver-

draaiingen van de knopen en van de koorden van de elastische lijnen. In de onderhavige theo-

rie worden ze beide positief gerekend volgens de z-as die loodrecht staat op het vlak van het

stavenstelsel en die tezamen met de x- en de y-as een rechtshandig cartesisch assenkruis

vormt.

2 Stijl- en regelwerken (raamwerken)

2.1 Verband tussen de knoopmomenten en de knoop- en koorderotaties

We beschrijven een prismatische staaf met buigstijfheid EI en lengte , aan zijn uitein-

den ondersteund door een scharnieroplegging en een rol respectievelijk (fig. 1a). Bij onder-

stelling is de staaf ter plaatse van die uiteinden onderworpen aan de voor hem uitwendige

krachtenkoppels M' en Mr

' en zijn er geen krachten werkzaam tussen de knopen in. Hieruit

volgt onmiddellijk dat de buigende momentenlijn recht is (fig. 1b).

We sporen in eerste instantie de verbanden op tussen M '

en M r'

enerzijds en de

hoekverdraaiingen en r anderzijds: we noemen deze verbanden de veralgemeende consti-

tutieve betrekkingen.

1 E: Slope-deflection method.

M

0

y y

r

x x

EI ,

M r'

M '

R’ R’r

M'

M r

0

p

p

M r

Figuur 1

a b

c d

r

M r'

R

0

R r

0

R

R r

M



Blijkens de tweede analogie van Mohr geldt (fig. 1b):

= M

EI

M M

EI

r ' ' '

. . .2 2

1

3

=

M

EI

M

EI

r ' '

. .3 6 (1a)

r = M

EI

M M

EI

r ' ' '

. . .2 2

2

3 =

M

EI

M

EI

r ' '

. .6 3

(1b)

De gevonden verbanden zijn flexibiliteitsbetrekkingen. Door ze te inverteren bekomt men de

gevraagde stijfheidsbetrekkingen. Daarbij voert men de parameter K =2EI

in die een maat is

voor de relatieve buigstijfheid van de staaf:

K3EI6

MM2'r

' en rr

''r K3

EI6MM2

,

waaruit :

)2.(KM r'

en )2.(KM r'r (2b)

Beschouw thans dezelfde balk, ditmaal onderworpen aan een gespreide belasting p en

zodanige krachtenkoppels M0

en Mr0

dat de rotaties van de uiteinden ten opzichte van de

koorde verhinderd worden (toestand c). Merk op dat de fysische zin van Mr0

, die met de in

toestand c afgebeelde belastingssituatie overeenstemt, andersom zal zijn. Het betekent nog dat

het maatgetal van Mr0

een negatieve waarde zal krijgen. Ter wille van de algemeenheid rede-

neren we evenwel verder met de voor dat krachtenkoppel aangegeven zin.

Men bekomt toestand d, waarbij de ligger belast is met een gespreide belasting p en

zijn uiteinden de hoekverdraaiingen en r ondergaan, door superpositie van de toestanden a

en c

)2.(KMMMM r0'0

(3a)

)2.(KMMMM r0r

'r

0rr (3b)

In de meest algemene omstandigheid ondergaan de staafeinden A en B - benevens een

rotatie - een verschuiving, waardoor de koorde van de elastische lijn wentelt over de hoek

(fig. 2). Zij en r de absolute verdraaiingen van de staafeinden en en r de relatieve rota-

ties, gemeten vanaf de gewentelde stand van de koorde van de elastische lijn. Alle rotatiehoe-

ken worden positief gerekend in tegenwijzerzin: dit is volgens de z-as.

Er geldt: = - en r = r - (4)



Substitutie van (4) in (3) leidt tot het gezochte

verband tussen de knoopmomenten en de knoop-

en koorderotaties - het woord “knoop” wordt ver-

der in de tekst verduidelijkt -:

)32.(KMM r0

(5a)

)32.(KMM r0rr (5b)

Bijzondere gevallen:

Het linkereind van de staaf is scharnierend bevestigd aan de omgeving. In dit geval stelt

men M 0 , elimineert men door middel van (5a): 2

3

2K2

M r0

en ver-

vangt men (5b) door:

).(2

K3

2

MMM r

00rr

(6a)

Het rechtereind is scharnierend bevestigd aan de rest van het stavenstel. Op gelijkaardige

wijze ontwikkelt men de onderstaande gewijzigde constitutieve betrekkingen:

Mr 0

2

3

2K2

M0r

r

).(2

K3

2

MMM

0r0

(6b)

Merk toch op dat M0

en Mr0

in (6a) en (6b) de momenten van volkomen inklemming zijn,

bepaald aan de hand van een schema als afgebeeld in figuur 1c.

Opmerkingen:

De superpositie geldt ook voor de reactiekrachten, de inwendige spankrachten en de ver-

plaatsingen: R = R 0 + R ... .

De normaalkrachten dwarskrachtvervormingen van de regels en stijlen worden bij de ba-

sisbehandeling van de methode van Gehler verwaarloosd. Dit heeft verregaande, vereen-

voudigende gevolgen, zoals we later zullen aangeven.

We zullen stavenstelsels met stijve knopen bestuderen. Een knoop is de stoffelijke begren-

zing van het ontmoetingspunt van de hartlijnen van twee of meerdere staven. Indien de

knoop waarlijk een oneindige stijfheid bezit, betekent zulks dat de hoekverdraaiing van alle

staafeinden die de vermelde knoop gemeenschappelijk hebben, dezelfde waarde heeft; na-

melijk deze van de knoop (fig. 3).

r r

A B

A’

B’

Figuur 2



Mu

Figuur 3

De krachtenkoppels M en Mr , de zogeheten Gehlermomenten, zijn in feite de momen-

ten, uitgeoefend door de linker- en de rechterknoop op de uiteinden van de staaf tussen die

knopen. De vlotte toepassing van de methode van

Gehler vergt dat wij een afspraak maken betref-

fende de positieve zin van deze momenten. Een

voor de hand liggende afspraak luidt als volgt: het

Gehlermoment, uitgeoefend door een knoop op

het belendende staafeind is positief indien zijn zin

samenvalt met de z-as. Wegens de derde wet van

Newton is het bedoelde krachtenkoppel bijgevolg

ook positief wanneer het betrokken staafeind de

knoop in wijzerzin tracht te draaien (fig. 4). De

tekenafspraak geldt klaarblijkelijk alleen voor de

momenten ter plaatse van de staafbegrenzingen,

en niet voor doorsneden tussen de knopen in. Ten

einde verwarring met het buigend moment te

voorkomen, bezigen we het symbool M om een

Gehlermoment aan de duiden. Men kan evenwel vlot de tekenovergang tussen het Gehler-

moment en het buigend moment aan de staafeinden bewerkstelligen. De lezer gaat immers

makkelijk na dat de volgende omrekeningsregels van toepassing zijn:

M = M en M r = M r (7)

2.2 Draaiingsevenwicht van een knoop

In figuur 5 ontmoeten een aantal staven mekaar in de gemeenschappelijke knoop A.

Zij Mu het eventueel op de knoop aangrijpende, uitwendige krachtenkoppel dat we positief

rekenen in tegenwijzerzin en M i de Gehlermomenten die door de staven op de knoop worden

overgebracht. Indien men de beschouwde knoop uit het raamwerk vrijmaakt, dan moet aan het

wentelingsevenwicht van A worden voldaan:

knoop

staafeind

M 0

Figuur 4



i

iu 0MM (8)

Dit is een eerste basisbetrekking die voortdurend bij de methode

van Gehler wordt gehanteerd. Merk op dat men evenveel betrek-

kingen van de gedaante (8) kan opstellen als er a priori onbeken-

de knooprotaties zijn.

2.3 Horizontaal evenwicht van een deel van het

stijlen regelwerk

Ofschoon men de betrekking (8) kan neerschrijven voor elke knoop van het raam, is

dit niet voldoende om het krachtenspel en de vervormingen te bestuderen indien er tevens a

priori onbekende koorderotaties zijn. De bedoeling van deze paragraaf is het opstellen van

evenveel extra vergelijkingen als er voorshands onbekende ’s zijn.

A A A A

2 2

H1

H2

p p

H1

H2

H3

H4

H3

H4

3 3

1 1

V M

N

gewentelde koordestand

Figuur 6

Beschouw een regulier raamwerk met m beuken en n verdiepingen (fig. 6) dat een ove-

rigens willekeurige belasting torst2. Door de belasting vervormen de regels en de stijlen. In het

bijzonder neemt de koorde van de stijlen een gewentelde stand in. Omdat men aanvankelijk de

normaalkrachtvervorming van de stijlen verwaarloost, ondergaan de knopen van een zelfde

2 De figuur mag de lezer niet verkeerdelijk in de waan brengen dat de regels en stijlen recht blijven: alleen de

gewentelde koordestand is getekend.

A

Mu M 2

M1

M 3

Figuur 5



balklaag geen verticale verplaatsing en is de koorderotatie van alle liggers nul. Ook de nor-

maalkrachtvervorming van de regels wordt veronachtzaamd en bijaldien verschuiven de kno-

pen van een balklaag evenveel in horizontale richting. Het betekent dat alle stijlen die deel

uitmaken van een bepaalde verdieping wentelen over een zelfde hoek; anders gezegd: per ver-

dieping is er slechts één onbekende koorderotatie. Merk op dat de koorderotaties in figuur 6

alle negatief zijn in de context van de bij de aanhef van dit hoofdstuk ingevoerde tekenafspra-

ken.

We maken thans een gedeelte van het raamwerk vrij door het aanbrengen van een

denkbeeldig snijvlak AA, bijvoorbeeld net boven de eerste balklaag. Op dat ogenblik moeten

we natuurlijk de inwendige spankrachten N, V en M ter plaatse van de volledige doorsnijding

invoeren. Het horizontale evenwicht van het vrijgemaakte deel, boven het snijvlak AA, moet

uiteraard vervuld zijn. Dit vergt dat:

0VH (9)

De eerste som heeft uiteraard betrekking op alle horizontale belastingen die boven het snijvlak

AA aangrijpen, de tweede slaat op de dwarskrachten in de doorsnijding van de stijlen van de

beschouwde verdieping.

Vervolgens drukt men V uit in functie van de

Gehlerkoppels voor een stijl en van de op die

staaf werkende uitwendige belastingen. In figuur

7 wordt daartoe een willekeurige stijl BC uit de

constructie vrijgemaakt. Het draaiingsevenwicht

om C geeft:

hV M M mr CH

0 , waaruit:

VM M

h

m

h

r CH

(10)

mCH

stelt de bijdrage tot het moment om C

voor die toe te schrijven is aan de tussen de

staafeinden aangrijpende belasting H. Die bijdra-

ge wordt positief gerekend volgens de tegenwij-

zerzin (of met andere woorden volgens de z-as).

Stelt men h

mR

HC

, dan wordt (10) lichtjes gewijzigd:

VM M

hR

r

(11)

Nr

M r

Vr

h H H

V M

N

R

C C

B B

Figuur 7



R is niets anders dan de isostatische component van de steunpuntsreactie bij een stijl die on-

deraan scharnierend ondersteund is, bovenaan rust tegen een rol en die overigens dezelfde

uitwendige belasting torst als de oorspronkelijke raamwerkstaaf (fig. 7). Substitueert men (11)

in de vergelijking (9), die het horizontale verschuivingsevenwicht van het boven het snijvlak

AA vrijgemaakte lichaam tot expressie brengt, dan wordt de tweede basisbetrekking van de

methode van Gehler:

1

hM M H Rr

(12)

De eerste en de derde som in (12) hebben betrekking op alle stijlen die door het denkbeeldige

snijvlak getroffen worden, de tweede slaat op alle boven het snijvlak inwerkende horizontale

belastingen.

2.4 Gang van de bewerkingen: bepaling van buigende momenten- en

dwarskrachtenlijnen

We redeneren aan de hand van het regelmatige raamwerk met ingeklemde kolommen,

afgebeeld in figuur 8. Er zijn m beuken en n verdiepingen. We gaan als volgt te werk:

n

.

.

.

1

1 . . . m

A A

snijvlak : HTE

k : wentelings-

evenwicht

n

.

.

.

1

Figuur 8

Identificeer het aantal onbekenden: er zijn n.(m+1) a priori onbekende knooprotaties en,

vermits men de normaalkrachtvervorming verwaarloost, n onbekende koorderotaties van

de stijlen, namelijk één per verdieping. De koorderotatie van de regels is nul omwille van

de gemaakte onderstelling betreffende hun rekstijfheid. In totaal zijn er bijgevolg n.(m+2)

onbekende veralgemeende verplaatsingen.



Bereken de gebeurlijke inklemmingskoppels M0 en Mr

0 . Voor een aantal vaak voorko-

mende gevallen worden ze als bijlage in §2.5 gegeven.

Schrijf het wentelingsevenwicht (8) van elke “vrije” knoop, dat wil zeggen: van deze die

noch ingeklemd, noch scharnierend verbonden zijn met de buitenwereld. Dit levert meteen

n.(m+1) vergelijkingen. Bezig de constitutieve wetten (5) om de onbekende rotaties en

in te voeren.

Vul het stelsel aan met n vergelijkingen van het type (12) die het translatie-evenwicht van

delen van de constructie uitdrukken, door achtereenvolgens een snijvlak aan te brengen net

boven de fundering, boven de eerste, de tweede, ..., de (n-1)de balklaag. Opnieuw gebruikt

men de gedragswetten (5) om die supplementaire vergelijkingen te vertalen naar de onbe-

kende hoekverdraaiingen.

Het lineaire stelsel van n.(m+2) algebraïsche vergelijkingen met evenveel onbekenden

wordt opgelost. Men kent bijgevolg op dat moment de veralgemeende verplaatsingen van

de knopen en van de koorde van de elastische lijnen.

Merk op dat (12) impliciet slechts één onbekende koorderotatie bevat en dat men in be-

ginsel deze koordewenteling expliciet als een functie van de hoekverdraaiingen van de

staafuiteinden die door het snijvlak worden ontmoet, zou kunnen neerschrijven. Indien men

dit verkiest, kan men bijgevolg alle koorderotaties uit het oorspronkelijke stelsel vergelij-

kingen elimineren en een stelsel van n.(m+1) vergelijkingen behouden met n.(m+1) onbe-

kende knooprotaties .

Na oplossing van het stelsel in de veralgemeende verplaatsingen worden de Gehlermomen-

ten met behulp van (5) becijferd en vindt men de buigende momenten aan de staafuiteinden

door toepassing van (7). Wanneer deze bekend zijn, is het zeer eenvoudig om de buigende

momenten- en de dwarskrachtenlijn, die bij een gegeven staaf horen, te bepalen. Men kan

bijvoorbeeld die staaf uit de constructie vrijmaken (fig. 9) en de vergelijkingen van de sta-

tica, met name het verschuivingsevenwicht volgens een loodrechte op de staafas tezamen

met het wentelingsevenwicht om een punt van de staaf, toepassen om de dwarskrachten

aan de uiteinden van de staaf te berekenen. Desgewenst becijfert men tot slot de elastica

van deze staaf.

M Mr

F1

F2

Figuur 9: vrijgemaakte staaf



2.5 Inklemmings- of vasthoudkoppels

Mp

02

12 ; M

r

p02

12

MFab

02

2 ; M

r

Fa b02

2

Mp

02

30 ; M

r

p02

20

Mp

0 52

96 ; M

r

p0 52

96

Mb b K

0 2 3

2

( )

Mr

a a K0 2 3

2

( )

De figuur 10 is bedoeld als bijlage en geeft de vasthoudkoppels voor een - weliswaar beperkt -

aantal specifieke belastingssituaties.

2.6 Bijzondere gevallen

2.6.1 De ondereinden van de kolommen liggen niet alle op hetzelfde peil

(fig. 11)

In dit geval plaatst men de factor 1

h in (12) achter het sommatieteken. De lezer zal te-

recht opmerken dat in figuur 11 de koorderotatie 1 1 en dat dientengevolge het aantal

p

F

a b

p

M0

Mr0

p

M0

Mr0

K

M0

Mr0

Figuur 10

M0

Mr0

M0

Mr0

a b



onbekenden toeneemt.

Vermits evenwel de

horizontale verschui-

ving van de knopen A,

B en C dezelfde waar-

de heeft - de normaal-

krachtvervorming van

de regel veronachtza-

men betekent dat de

regel ABC tijdens de

vervorming van het

gestel dezelfde lengte

behoudt -, impliceert

zulks dat 1 geen

onafhankelijke onbe-

kende is. Men kan

immers eenvoudig

inzien dat er tussen beide koorderotaties van de eerste balklaag het verband 1 = h

h'.1 van

kracht is.

2.6.2 Een staaf is scharnierend verbonden met de buitenwereld of met de rest

van het raam

De enige wijziging die moet worden doorgevoerd in

het betoog van lid 2.4, is dat de constitutieve betrekkingen (5)

voor de betrokken staaf vervangen worden hetzij door (6a)

voor een staaf met scharnierend linkereind, hetzij door (6b)

indien het rechtereind scharnierend vastgemaakt is. We her-

inneren er evenwel aan dat de vasthoudkoppels nog steeds

bepaald worden door te redeneren op een staaf die aan beide

uiteinden ingeklemd is.

2.6.3 Verende inklemming van een kolom (fig. 12)

Het kan gebeuren dat het onderste uiteinde van een

stijl elastisch ingeklemd is. Het staafeind kan bijgevolg wen-

telen en men moet in beginsel met de hoekverdraaiing van de

betrokken knoop rekening houden. Zij k de rotatiestijfheid

van de veer, dan geldt:

K = k. of .kM (13)

k

K

raaklijn

elastica

Figuur 12

h

h’

A B C

uA uB uC

2 2 2

1 1

’1

D

D

Figuur 11



Mitsdien kan men, in navolging van een staaf met een scharnierend uiteinde, a priori elimi-

neren en een gewijzigde constitutieve betrekking opstellen:

)32.(KM.kM r0

, of,

1

23

0

K kM K

r[ .( )] (14)

Substitutie van (14) in de uitdrukking van Mr (5b) geeft die gewijzigde gedragsvergelijking:

])kK(3)k2K3.[(kK2

KM.

kK2

KMM r

00rr

(15)

De gang van bewerkingen bestaat erin de methode als uiteengezet in lid 2.4 toe te passen, met

dien verstande dat men als constitutieve betrekking (15) gebruikt in plaats van (5b).

De lezer ontwikkelt makkelijk analoge uitdrukkingen voor het geval het boveneind van

een staaf verend ingeklemd is.

2.6.4 Raamwerk met niet gefundeerde stijlen (fig. 13)

Fu Fu

’3

’2

’1

”3

”2

”1

A

B

C

vA

vB

vC

’ ”

V3

V2

V1

V3r

V2r

V1r

A

B

C

Figuur 13

vrijgemaakte stijl

In deze omstandigheid mag men niet meteen poneren dat de koorderotaties van de lig-

gers die op de bedoelde stijl of stijlen aansluiten, nul zijn. Het ondereind van de stijl ABC in

figuur 13 bijvoorbeeld kan wel degelijk een verticale verschuiving ondergaan, waardoor ook



een hoekverdraaiing van de koorde van de met ABC verbonden regels optreedt. De figuur

toont evenwel dat er slechts één - in plaats van zes - extra onafhankelijke -waarde in acht

moet genomen worden. De verticale verschuiving van de knopen A, B en C is immers dezelf-

de en men heeft onmiddellijk:

321 ''' , 321 """ en 11 "".''. . (16)

Het betekent dat men slechts één supplementaire vergelijking moet opstellen om het probleem

een oplossing te geven. Die extra betrekking komt als volgt tot stand. Men maakt de stijl ABC

vrij uit het raamwerk en men drukt het verticale verschuivingsevenwicht van het vrijgemaakte

lichaam uit:

0FVVVVVV ur3r2r1321 (17)

Fu is de verticale belasting die werkzaam is langs de stijl ABC. De dwarskrachten in (17)

worden uitgedrukt in functie van de Gehlermomenten en, mits toepassing van de gedragswet-

ten (5), in functie van de knoop- en koorderotaties van de beschouwde spantregels.

2.6.5 De zijdelingse verschuiving van een spantregel wordt verhinderd

In figuur 14 is de laterale ver-

schuiving van de knopen A, B en C

verhinderd door de aanwezigheid van

de scharnieroplegging C. Dientenge-

volge is er een bijkomende, onbekende

horizontale reactiekracht X waarmee

rekening moet gehouden worden bij het

uitschrijven van het translatie-

evenwicht (12) van de boven de snij-

vlakken 11 en 22 vrijgemaakte licha-

men. Er is bijgevolg een supplementai-

re vergelijking nodig om de krachten-

verdeling te bestuderen. Die vergelij-

king wordt gevonden door uit te druk-

ken dat de horizontale verplaatsing van

knoop A nul is. Zij in figuur 14 h1 en

h2 de hoogten van de eerste twee ver-

diepingen en 1 en 2 de koordewen-

telingen van hun stijlen, dan moet gelden dat 0hh 2211 . Men gebruikt evenveel

vergelijkingen van dit type als er onbekenden X zijn.

1 1

2 2

3 3

A B

C X

Figuur 14



2.7 Toepassingsvoorbeeld: ingeklemd, eenbeukig raam

De buigstijfheid van de kolommen is EkIk, deze van de spantregel EbIb. Zij h de hoog-

te en de breedte van het raam. We voeren nog de dimensieloze parameter in die een maat

is voor de relatieve stijfheidsverhouding van balk en kolom: kk

bb

k

b

IE2

h.

IE2

K

K

2.7.1 Gelijkmatige belasting van de ligger (fig. 15)

-

p

A D

B C - EbIb ,

stijve knoop

C

M CB

M CD

(fysische zin)

raaklijn

elastica

Figuur 15

EkIk

h

Wegens de symmetrische belasting is er geen koorderotatie van de kolommen

( )0CDAB . Om dezelfde reden is de rotatie van knoop B op het teken na gelijk aan

deze van knoop C: CB . De inklemmingskoppels zijn: 12

pMM

20r

0 . Om de

Gehlerkoppels ondubbelzinnig aan te duiden gebruiken we twee kenletters als indices: de eer-

ste duidt de knoop aan waarop het koppel werkzaam is, de twee tezamen kenschetsen de staaf

die op de bedoelde knoop aansluit. We schrijven het draaiingsevenwicht van knoop B neer om

het probleem op te lossen.

)32.(K)32.(K12

p0MM

0

AB

0

ABk

0

BCCBb

2

BABC

, of ,

Bk

2

BkBBb

2

).2.(K12

p2.K)2.(K

12

p0

Weshalve: 12

p.

)2.(K

1 2

kB

.

Buigende momenten

12

p.

2

1.KMM

2

BkABAB

,

6

p.

2

12.KMM

2

BkBABA

,



6

p.

2

1

12

p.

2

2

12

p.

212

p.K

12

pMM

2222

Bb

2

BCBC

,

6

p.

2

1

12

p.

2

2

12

p.

212

p.K

12

pMM

2222

Cb

2

CBCB

.

Het buigend moment in het midden van de spantregel is:

24

p.

2

32

8

p

6

p.

2

1M

222

mid

Dwarskrachten

De dwarskracht in de stijl AB is constant : h4

p.

2

1

h

MMV

2BAAB

AB

; deze in

de stijl CD is in absolute waarde even groot, maar tegengesteld van teken. Dat hoort zo

vermits er geen horizontale kracht ter hoogte van de spantregel werkzaam is.

Grensgevallen

a) = 0. In dat geval zijn de stijlen zeer buigstijf ten opzichte

van de ligger en is die ligger als het ware aan zijn uiteinden

ingeklemd: Mp

BC

2

12, wat in overeenstemming met de

hoger ontwikkelde formules is.

b) = . De kolommen zijn derwijze buigslap dat ze de

hoekverdraaiing van de knopen van de spantregel niet ver-

hinderen. Het is net alsof laatstgenoemde scharnierend on-

dersteund is, en het buigend moment in het midden van de

overspanning blijkt -zoals het hoort- gelijk te zijn aan p2

8.

Opmerkingen

De inwendige krachtenverdeling is afhankelijk van de stijfheidsverhouding, niet van de

absolute stijfheden EI van de onderdelen. Dit geldt algemeen voor elastische stelsels zon-

der discordanties. Uiteraard hangen de rotaties en de doorbuigingen wel af van de absolute

stijfheden. Indien er discordanties of opstelfouten optreden, dan wordt de krachtenverde-

ling wel afhankelijk van de absolute stijfheden EI.

We stellen vast dat de elastica van de stijlen bij eindige stijfheden een buigpunt (M = 0)

vertoont op een vaste hoogte h

3 boven de fundering. De ligging van de buigpunten in de

= 0

=



elastica van de spantregel is veranderlijk: begrijpelijkerwijze naderen ze toe tot de knopen

B en C naarmate de stijfheidsparameter groter wordt.

2.7.2 Horizontale kracht ter hoogte van de spantregel (fig. 16)

Vermits de regel bij onderstelling

een oneindig grote rekstijfheid heeft, zul-

len de knopen B en C eenzelfde horizon-

tale verschuiving ondergaan. Mitsdien

geldt voor de rotatie van de stijlkoorden:

AB = CD (in de figuur in wijzerzin en

derhalve negatief volgens de gemaakte

tekenconventie). Men komt ook tot het

inzicht dat de uitbuigingslijn van de ko-

lommen hetzelfde patroon vertoont en dat

de uitbuiging van de spantregel keer-

symmetrisch is ten opzichte van het mid-

den van de overspanning. Bijgevolg kan

men a priori stellen: B = C (negatief in de figuur). Er zijn met andere woorden twee basis-

onbekenden. We vinden ze door het neerschrijven van het draaiingsevenwicht van de knoop B

en van het translatie-evenwicht van de vrijgemaakte spantregel. De momenten van volkomen

inklemming zijn daarbij nul.

)32.(K)2.(K0MM ABBkCBbBABC

ABkBkb .K3).K2K3( (i)

H)2(h

K6H

h

)MM(20HVV ABB

kBAABDCAB

(ii)

Uit (i) volgt: BAB3

23

, en na substitutie van deze uitdrukking in (ii) verkrijgt men:

H.h

)61(K2H.

3

463.

h

K6H)

3

232(

h

K60 B

kB

kBB

k

Ten slotte:

)61(K2

hH

kB

, hH.

)61(K6

23

kAB

hH.)61(2

3

)61(K2

hH3.KMM

kbBCBC

hH.)61(2

3MM BABA

2

hH.

61

31

)61(K2

hH)23(

)61(K2

hH.KMM

kkkABAB

VAB VDC

B B’ EbIb , C C’ H

A D

EkIk

h AB

B’

B

B

AB

Figuur 16

B



2

H

2

H.

61

313

h

MMVV

BAABDCAB

De laatste uitkomst was eigenlijk voorspelbaar.

Grensgevallen

= : de ligger is zeer buigstijf ten opzichte van de ko-

lommen en de top van laatstgenoemde is als het ware

gevat in een horizontaal verschuifbare inklemming. De

elastica van de kolommen zal bijgevolg een buigpunt op

halve hoogte vertonen. Vermits de dwarskracht in een

stijl gelijk is aan 2

H , is het inklemmingsmoment aan

de voet 4

Hh .

= 0: de ligger is zeer buigslap en de hoekverdraaiing

van de top van de kolommen wordt ternauwernood ver-

hinderd zodat MBA = 0 en 2

hHMAB , wat in over-

eenstemming met de hoger ontwikkelde formules is.

2.8 Kanttekeningen betreffende de symmetrie

We hebben in voorgaande oefening gebruik gemaakt van symmetrieoverwegingen om

het aantal onafhankelijke onbekenden van meet af aan te reduceren. Strikt genomen hoefde

zulks niet, maar het is wel een handig hulpmiddel om het rekenwerk in te perken.

2.8.1 Symmetrische spanten

Zijn deze spanten symmetrisch belast, dan zijn de koorderotaties nul. We herinneren

eraan dat zulks niettemin een uitvloeisel is van één der basishypothesen van de methode van

Gehler, namelijk het verwaarlozen van de normaalkrachtvervorming.

Men komt ook tot het inzicht dat de hoekverdraaiing van een knoop links van de verticale

symmetrieas gelijk doch tegengesteld van teken is als de rotatie van zijn spiegelbeeld. Zijn er

een even aantal beuken, dan zijn de rotaties van de knopen op de centrale stijl nul.

Bij een keersymmetrische belasting van een symmetrisch raam is de hoekverdraaiing

van een knoop links van de symmetrieas dezelfde als deze van zijn spiegelbeeld. Zijn er een

oneven aantal beuken, dan vertonen de centrale spantregels een keersymmetrische elastica.

Een belasting waarbij enkel horizontale krachten aangrijpen ter hoogte van de regels is een

keersymmetrische belasting wanneer men de staven een oneindig grote rekstijfheid toebe-

denkt!

=

= 0



3 Berekening van de normaalkrachten

3.1 Algemene werkwijze

De buigende momentenverdeling in een raamwerk met een gegeven belasting kan met

de methode van Gehler gemakkelijk bepaald worden. Uit het buigend momentenverloop over

een individuele staaf kan makkelijk de dwarskrachtenlijn afgeleid worden.

De wijze waarop de normaalkrachten berekend worden is afhankelijk van de graad

van kinematische onbepaaldheid m. Deze is gelijk aan het aantal kinematische vrijheidsgra-

den van het gewijzigde draagstel dat men bekomt door het invoeren van scharnieren ter plaat-

se van alle knopen (ook ter plaatse van inklemmingen met de omgeving). Wanneer men die

scharnieren invoert, kan men op verschillende mogelijkheden stuiten.

a) Het gewijzigde systeem ontaardt in een

mechanisme, waarbij de graad van ki-

nematische onbepaaldheid m groter is

dan of gelijk is aan één (m 1). In het

voorbeeld van figuur 17 is m = 2. De le-

zer kan nagaan dat dit aantal overeen-

stemt met het aantal onafhankelijke

koorderotaties in het oorspronkelijke ge-

stel.

b) De invoering van de scharnieren leidt tot een isostatische structuur met m = 0 (fig. 18).

Figuur 19

m = 2

m = 1

c) Het hyperstatische raam blijft na invoering van de scharnieren nog hyperstatisch. De graad

van kinematische onbepaaldheid is negatief ( m < 0 ) en in absolute waarde is ze gelijk aan

de graad van statische onbepaaldheid (fig. 19).

Figuur 17

m = 2

Figuur 18

m = 0

m = 0



d) Vanzelfsprekend kunnen hybridi-

sche situaties zich voordoen

waarbij een gedeelte van het raam

ontaardt in een mechanisme,

waarbij een ander gedeelte sta-

tisch bepaald wordt en waarbij er

hyperstatische deelstructuren

aanwezig zijn (fig. 20).

In de gevallen a) en b) leidt de volgende aanpak in de meeste gevallen tot de kennis

van de normaalkrachten. We illustreren de gedachtegang aan de hand van het gestel, afgebeeld

in figuur 21 en onderstellen dat de buigende momenten- en dwarskrachtenverdeling reeds be-

kend zijn.3

ABN

BAN

BCN

A B C

D E

F

M AB

VAB

VBA

M BA

M BC

VBC

A B

M AD

M BE

VAD

VBE

N AD

N BE

Figuur 21

N V

V N

AB AD

AB AD

N AB

0

0

en N AD

BCNen BEN

BEBABC

BEBABC

0NVV

0VNN

Men maakt een knoop vrij waar slechts twee staven mekaar ontmoeten, in de figuur is

dat bijvoorbeeld knoop A. Vervolgens schrijft men het horizontale en verticale verschuivings-

evenwicht neer voor die knoop. Deze vergelijkingen zijn in de figuur bijgeschreven en leveren

3 Gebruik van de indices: we herhalen dat bijvoorbeeld VAB de dwarskracht ter hoogte van staafeind A van de

staaf AB is.

mechanisme

hyperstatisch

isostatisch

Figuur 20



meteen als resultaat dat de normaalkrachten in de staven AB en AD bekend zijn. Maakt men

aansluitend knoop B, waar de staven AB, BC en BE samenkomen, vrij dan zal men uit het

translatie-evenwicht van die knoop meteen de staafnormaalkrachten NBC en NBE kunnen af-

leiden: NBA is immers op dat ogenblik perfect bekend. Men gaat op dezelfde wijze te werk

voor de andere knopen van het staafwerk.

In geval c) stuit de voorgaande aanpak altijd op een onbepaaldheid. Om ze op te heffen

moet men de 2n evenwichtsvergelijkingen - 2 lineaire projectievergelijkingen voor ieder van

de n knopen, het wentelingsevenwicht leert niets nieuws - aanvullen met m bijkomende

voorwaarden die de kinematische verenigbaarheid van de lengteveranderingen van de staven

door normaalkrachtvervorming uitdrukken. Dit is de achilleshiel van de methode van Gehler:

ze poneert van meet af aan dat de normaalkrachtvervorming verwaarloosd wordt en hier moet

er terdege rekening mee gehouden worden om tot een oplossing van het vraagstuk te komen.

3.2 Toepassing

We illustreren de werkwijze aan de hand van een eenvoudig gestel. De drie staven in

figuur 22 hebben dezelfde lengte , dezelfde buigstijfheid EI en hun rekstijfheid is EA. Staven

AB en BC zijn respectievelijk horizontaal en verticaal, staaf BD vertoont een helling van 45°.

In het midden van AB is een verticale puntlast Q werkzaam. Zij KEI

2

.

Buigende momenten

BBA 2.K8

QM

, BBDBC 2.KMM

K48

Q6.K

8

Q0MMM BBBDBCBA

12

Q

24

Q

8

QMBA

,

24

QMM BDBC

,

A B

Q

C

D

NBA

VBA

M BA

NBC

VBC

BCM

M BD

VBD

NBD

B

B’

BC

AB

B”

Figuur 22



48

Q7

48

Q

8

QMAB

,

48

QMM DBCB

.

Dwarskrachten

16

Q9

2

Q

48

Q3

2

QMMV

BAABAB

16

Q7

2

Q

48

Q3

2

QMMV

BAABBA

16

Q

48

Q

24

QMMV

DBBDBD

,

16

QMMV

CBBCBC

Normaalkrachten

032

2Q

16

Q

2

2NN

2

2V

2

2NVN BDBABDBDBCBA (i)

032

2Q

16

Q7

2

2NN

2

2V

2

2NVN BDBCBDBDBABC (ii)

We hebben m = 1 bijkomende vergelijking nodig. We verkrijgen ze door uit te drukken

dat de verlenging EA

.NABAB

van de staaf AB en de verlenging

EA

.NBCBC

van

de staaf BC de stand B’ van B na vervorming van het systeem bepalen (fig. 22) en dat de

projectie van BB’, namelijk BB”, op de staaf BD op het teken na de verlenging

EA

.NBDBD

van die staaf is - i.e. de kinematische verenigbaarheid - :

BDBCAB2

2

2

2 of BDBCAB N

2

2N

2

2N (iii)

De oplossing van het stelsel van drie vergelijkingen is Q107,0NAB , Q357,0NBC

en Q177,0NBD .

4 Rekenvoorbeeld

Men vraagt de buigende momentenlijnen, de dwarskrachten- en normaalkrachtenver-

deling voor het in figuur 23 afgebeelde raam waarop een uitwendig koppel M ter plaatse van

de knoop C inwerkt. Bovendien wenst men de horizontale verschuiving van C te kennen. De

relatieve stijfheidsparameter K is dezelfde voor alle staven en het raam is even hoog als het

breed is. De basisonbekenden zijn de hoekverdraaiingen B , C en AB = CD = .

Buigende momenten

Wentelingsevenwicht knoop B: 34.K0MM CBBCBA

Wentelingsevenwicht knoop C: M34.K0MMM BCCDCB

Translatie-evenwicht van het vrijgemaakte lichaam:



h

1233.K0VV CB

CDAB

De oplossing van deze drie vergelijkingen is K42

MB ,

K42

M13C ,

K42

M3 ,

waarmee we onmiddellijk de Gehlerkoppels en de buigende momenten bepalen:

M42

11MM BABA , M

42

10MM ABAB ,

M42

11MM BCBC , M

42

25MM CBCB ,

M42

17MM CDCD , M

42

4MM DCDC .

Dwarskrachten (betrekking (11))

h2

M

h

MMV

BAABAB

,

h2

M

h

MMV

DCCDCD

,

)h(h7

M6

7

M6MMV

CBBCBC

Normaalkrachten door verschuivingsevenwicht van de vrijgemaakte knopen B en C

h2

M

h2

M

h7

M6

h7

M6

M

A D

B C

h

11

42M

25

42M

M42

10 M

42

4

M42

11 M

42

17

M

V

6

7

M

h

M

h2

Figuur 23

N



h7

M6N0VN BABCBA ,

h2

MN0VN BCBABC ,

h7

M6N0VN CDCBCD

Zijdelingse verplaatsing van knoop B

Figuur 24 toont de vervorming van het

spant. De horizontale verschuiving van

de knopen B en C wordt gegeven door

K42

Mh3.h'BBu ABB

5 Verfijning van de methode

5.1. Invloed van de afmetingen van de knopen

Natuurlijk heeft el-

ke staaf een eindige hoogte

of breedte in het vlak van

het stijlen regelwerk.

Desondanks hebben we in

het bovenstaande gerede-

neerd alsof de staven lijn-

vormige elementen waren

en alsof de knopen ook

geen uitgestrektheid had-

den. In deze en volgende

paragraaf zullen we reke-

ning houden met de

dwarsafmetingen van de

aansluitende staven door

aan de beschouwde staaf een niet-constante buigstijfheid en afschuifstijfheid toe te schrijven,

maar we zullen de beschouwde staaf toch blijven behandelen alsof ze louter lijnvormig was.

We nemen verder aan dat het materiaal binnen de uitgestrektheid van een knoop in het geheel

niet vervormt (fig. 25a). Beide onderstellingen zijn vereenvoudigingen van de werkelijkheid.

Onze benadering wordt onnauwkeuriger naarmate het stavenstel overgaat in een wand met

openingen en naarmate de openingen kleiner zijn ten opzichte van de mazen van het assen-

AB

B

C

Figuur 24

B B’

b’ b h’

h

a b

knoop Figuur 25



schema. Als de openingen verdwijnen wordt de vervorming van de constructie immers juist

bepaald door de vervorming van de “knopen”.

De hier uiteengezette berekening is bruikbaar, mits h

b niet te klein is, voor een in zijn

vlak aan horizontale belasting onderhevige wand met een reeks boven elkaar aangebrachte

openingen (fig. 25b). Dergelijke wanden fungeren vaak als wind- en stabiliteitsverbanden in

gebouwen. De twee door lateien verbonden delen van de wand worden geschematiseerd tot

staven en aan de lateien met schemalengte b’ wordt over de lengte b een oneindige stijfheid en

over de lengte b’ - b een eindige stijfheid toegekend. Het is raadzaam om tevens rekening te

houden met de dwarskrachtvervorming van beide delen van de wand omdat b de afstand tus-

sen de knopen kan overtreffen, en ook met die van de lateien, indien hun hoogte groter is dan

zowat 5

b'b.

Wegens de afmetingen van de

knopen behoudt een prismatische staaf

zijn traagheidsmoment I niet tot in de

schemapunten (fig. 26a). We mogen bij

benadering het traagheidsmoment I

toeschrijven aan het staafgedeelte tus-

sen de binnenkanten van de twee ko-

lommen en aannemen dat de buigstijf-

heid van de staaf oneindig is daarbui-

ten. (fig. 26b). De bijbehorende gere-

duceerde momenten M

EI of krommin-

gen bij belasting door knoopmomen-

ten M'

en Mr' zijn voorgesteld door

een getrokken lijn in de figuur 26d. Het

-diagram verschilt van dat overeen-

stemmend met de figuur 1.c door het

wegvallen van twee trapezia met breed-

ten en ’ gelijk aan de afstand van

het dagvlak tot de hartlijn van de be-

trokken kolom. Blijkens een analogie

van Mohr worden de rotaties en r in

het schema van figuur 26b nu gegeven door:

' '1 d.'M).1(

EIdx.

EI

'M).x(

1 en

' '1

r d'.M.EI

dx.EI

'Mx

1 ,

met 'r

' M.M).1('M .

a

I = I I =

b

c

d

M’ M’r

’

x

M

M’ M’r

M

EIdx

'.

x - x

x

Figuur 26



Uitwerking leidt tot

EI6M).'2'3231(M).'331(2 '

r3232'332 (18a)

r'r

332'3232 EI6M).''3'31(2M).'2'3231(

(18b)

We lossen M en Mr' ' op uit deze betrekkingen, maken gebruik van (7) en van (4), substitue-

ren in (5) en verkrijgen aldus de volgende verbeterde formules voor rMenM :

r32323320

)'2'3231()''3'31(2D

KMM

)''21(3 22 (19a)

r33232320

rr )'331(2)'2'3231(D

KMM

)'21(3 22 (19b)

met 4)'1(D (20)

Bij de berekening van 0r

0MenM voor een recht-

streeks belaste staaf moet de variatie van I eveneens in aan-

merking worden genomen. Daartoe kunnen de formules (27a

en 27b) dienen, waarin men I = stelt in de intervallen 0 < x

< en - ’ < x < ; en tevens = r = 0 stelt. De invloed

van de toeneming van de buigstijfheid van de staven nabij

hun uiteinden kan belangrijk zijn bij niet te kleine waarden

van en ’, onder meer voor kolommen van gebouwen,

waarvoor vaak niet veel meer dan drie meter bedraagt en

waarvoor en ’ groter zijn dan voor de spantregels. Na de

becijfering van de coëfficiënten van , r en , die in (19)

de factoren 2K , K en 3K uit (5) vervangen, brengt de inacht-

neming van het onderhavige effect van de afmetingen der

knopen geen enkele complicatie met zich mee.

De berekende momentenlijnen A’B’, B”C’ (fig. 27),

enz., zijn theoretisch in deze zin dat de reactiekracht en het

koppel die een kolom bijvoorbeeld uitoefent op een ligger, in

werkelijkheid niet aangrijpen in het schemapunt, maar op de

ene of andere wijze verdeeld zijn over de breedte AC van de kolom. Bij de ware verdeling

behoort een verbindingskromme A’B’”C’. Indien het effect van de kolom op de ligger bestond

uit twee in de dagvlakken A en C van de kolom geconcentreerde krachten, zou de rechte A’C’

een deel van de ware momentenlijn zijn. De ordinaten van A’B’”C’ zijn plaatselijk groter dan

die van A’C’.

A C

B

M

C’

A’

B”’ B”

B’

Figuur 27



Binnen de kolom varieert de werkzame hoogte van de balk ongeveer zoals weergege-

ven door de lijn ABC en is zij groter dan in de dag. Derhalve is het wel verantwoord de bo-

venwapening in een ligger van gewapend beton af te stemmen op de ordinaten van de punten

A’ en C’ van de theoretische momentenlijn in de dag van de kolom en geen rekening te hou-

den met hogere, binnen de kolom vallende ordinaten. Deze afknotting van de momentenlijnen

kan voor de balken en vooral voor de kolommen leiden tot een relatief sterke reductie van het

grootste op te nemen moment.

5.2 Invloed van de dwarskrachtvervorming

De schuifspanning door dwarskracht is het grootst ter hoogte van de neutrale lijn bij

enkelvoudig samenhangende profielen. Ze wordt gegeven door de formule van Jourawsky:

A

V

I.t

)0(S.Vmax - waarin de dimensieloze parameter een van de vorm van de door-

snede afhankelijke vormfactor voorstelt - en veroorzaakt er de plaatselijke glijding

GA

V

dx

dvmax

1 of toeneming van de helling van de vervormde hartlijn door dwars-

kracht. Voor een staaf met lengte wentelt de koorde door dwarskrachtvervorming over een

bedrag

001 dxV

GA

1dv

1 4 en verminderen de hoekverdraaiingen en r van de eind-

doorsneden, berekend in de onderstelling dat de dwarskrachtvervorming verwaarloosd mag

worden, ten opzichte van die koorde met eenzelfde bedrag:

dxVGA

1dx

EI

Mx1

00

en dxVGA

1dx

EI

Mx

00r

(21)

GA is de schuifstijfheid GAv indien impliciet ondersteld wordt dat de doorsneden zich vrij

kunnen welven. In de praktijk wordt de welving bijna altijd enigszins belemmerd. Er bestaat

geen algemeen gangbare methode om daarmee rekening te houden. Men bekomt een redelijke

benadering door te stellen:

8,0

AAv voor gedrongen doorsneden zoals de rechthoek - waar-

voor = 3/2 - en de cirkel - waarvoor = 4/3 -,

95,0

AAv voor T-doorsneden en Av = Aw

voor I-profielen. Voor een I-profiel is Av op weinig na gelijk aan de doorsnede Aw van de

lijfplaat omdat het lijf de hele dwarskracht opneemt en omdat de schuifspanning in het lijf

nergens sterk verschilt van haar gemiddelde waarde V/Aw.

De eerste term in de rechterleden van (21) is de hoekverdraaiing van de raaklijn aan de elasti-

sche lijn indien men de dwarskrachtvervorming verwaarloost of de schuifstijfheid een onein-

dig grote waarde toemeet. Bijgevolg kan men schrijven:

4 Zie Bijzondere aspecten van de balkentheorie: effecten van dwarskracht.



0 v

vGA, dxGA

V1 en

0 vvGA,rr dx

GA

V1 (22)

Het buigend moment M en de dwarskracht V in een doorsnede met abscis x (fig. 28) kunnen

eenvoudig bepaald worden. Men verkrijgt de gezochte constitutieve betrekkingen na substitu-

tie van M en V in (21) door

)x(mx

.M)x

1.(MM r

en dx

)x(dm)MM.(

1V r

, (23)

door uitwerking van de integralen en omwerken van de flexibiliteitsgedaante naar een stijf-

heidsgedaante. Wanneer de koorde

van de elastische lijn tevens een

wenteling kan ondergaan zal men

de overgang van relatieve hoekver-

draaiingen naar absolute rotaties

bewerkstelligen met behulp van de

betrekking = - .

Wenst men rechtstreeks de

inklemmingsmomenten te bepalen,

dan vervangt men in (21) M door

0M en rM door 0rM , en stelt men

0r .

We berekenen de bijdrage van de dwarskrachten nader voor een staaf uit een stijlen

regelwerk die prismatisch is, de schuifstijfheid GAv en de buigstijfheid EI heeft en die geen

belasting tussen de knopen in torst: m(x) = 0.

Dan geldt M

x1M

x)x(M r

en

rMM

V

en worden de verbanden (21):

v

rr

GA

MMM

EI6M

EI3

en

v

rrr

GA

MMM

EI3M

EI6

(24)

of, mits invoering van de parameter vGA

1.

EI6

:

rM).1(M).2(EI6

en rr M).2(M).1(EI6

(25)

De factor vertegenwoordigt het relatieve belang van de dwarskrachtvervorming. Dat belang

is uit praktisch oogpunt verwaarloosbaar indien 5 %. Bij een rechthoekige balk met breed-

te b, hoogte h en lengte doet zich zulks voor indien

y

p

x

x EI, GAv,

M

m(x)

M

M

M r

M r

Figuur 28



%5h

.2,1

2

3.8,0

bh.

2

E.

1.12

hb.E.6

GA

1.

EI62

3

v

of indien

5

1h

. Dit is meteen de

verantwoording voor de in lid 5.1 aangegeven grenswaarde voor de verhouding van de hoogte

van een balk en zijn lengte tussen de dagvlakken.

5.3 Invloed van de verwaarloosde vervormingen op de krachtenverdeling

We hebben de methode van Gehler toegepast voor de berekening van op buiging be-

laste, reguliere raamwerken. Daarbij werd de normaalkrachtvervorming verwaarloosd. Dit is

een benadering van de werkelijkheid die praktisch gesproken meestal voldoend nauwkeurige

resultaten oplevert. In sommige gevallen telt het raamwerk echter vele verdiepingen en zal de

samendrukbaarheid van de kolommen de uitbuiging aan de top en de krachtenverdeling wel

merkelijk beïnvloeden. In dat geval kan het raadzaam zijn op een iteratieve wijze correcties

aan te brengen om rekening te houden met de normaalkrachtvervorming.

We illustreren de te volgen werk-

wijze aan de hand van het in figuur 29 ge-

tekende raamspant.

Met de methode van Gehler worden op

de gebruikelijke wijze de M- en V- ver-

delingen becijferd en uit het evenwicht

van de vrij te maken knopen berekent

men de normaalkrachten in alle staven.

Daaruit kunnen de lengteveranderingen

N

EA begroot worden. Met be-

trekking tot de figuur kan men de sa-

mendrukking 13, 35, 24 en 46

van de kolommen en de verlenging 12 en 34 van de spantregels bepalen.

We passen de methode van Gehler een tweede maal toe. De onbekende knooprotaties zijn

zoals voorheen 1, 2, 3, 4. Per verdieping is er één onafhankelijke koorderotatie, bij-

voorbeeld 13 van de stijl 13 en 35 van de stijl 35. De overige koorderotaties zijn functie

van de onafhankelijke en van de lengteveranderingen van de staven:

Liggers : 12

46243513

12

2112

vv

34

4635

34

4334

vv

u1 u2

1 2

v1

3 4

5 6

13

24 12

34 v3

v2

v4

u3 u4

35 46

Figuur 29



Kolommen : 24

341213

24

343121

24

4224

)u(uuu

46

343

46

446

uu

De geziene methodiek kan gehanteerd worden, weliswaar rekening houdend met de beken-

de koorderotaties van de liggers en de bekende correcties op de koorderotaties van de ko-

lommen. Met de berekende, nieuwe - en - waarden becijferen we een eerste verbetering

voor de buigende momenten, dwarskrachten en normaalkrachten.

We herhalen de hierboven geschetste cyclus zo dikwijls tot convergentie bereikt wordt, wat

zich uit door het feit dat de verschillen tussen twee opeenvolgende iteraties verwaarloos-

baar klein worden.

5.4 Samenstel van niet-prismatische staven

5.4.1 Constitutieve betrekkingen

De methode van Gehler kan vanzelfsprekend ook aangewend worden om de span-

krachtenverdeling in systemen van

niet-prismatische staven te bestude-

ren. De aanpak verschilt van degene

die we tot nog toe hebben gezien

enkel doordat de constitutieve be-

trekkingen aangepast moeten wor-

den. Wanneer we de verbanden tus-

sen de knoopmomenten en de

knoop- en koorderotaties met behulp

van de analogieën van Mohr in een

direct bruikbare vorm willen bren-

gen, moeten we rekening houden

met de veranderlijkheid van de

buigstijfheid (fig. 30). De te gebrui-

ken formules zijn:

)x(mx

.M)x

1.(M)x(M r

(26)

0r

00

2

0

dx.)x(EI

)x(m.x

1

M.dx.)x(EI

x1.

x

M.dx.)x(EI

x1

dx.x

1.)x(EI

)x(M

(27a)

0r

0

2

00r dx.

)x(EI

)x(m.x

M.dx.)x(EI

x

M.dx.)x(EI

x.

x1

dx.x

.)x(EI

)x(M (27b)

y

p

x

M

m(x)

M

M

M r

M r

Figuur 30



Met behulp van de laatste twee vergelijkingen drukken we rMenM uit als functie van ,

r en het isostatische balkmoment m(x) en bekomen de gewenste constitutieve betrekkingen.

5.4.2 Inklemmingsmomenten

De inklemmingsmomenten zijn anders dan bij een prismatische staaf. Men kan ze be-

rekenen door in de betrekkingen (27a) en (27b) te stellen: = r = 0 en MM0 ,

r0

rMM . Onderstel een symmetrische ligger

onderworpen aan een gelijkmatige belasting p

(fig. 31). Indien de ligger prismatisch is, zijn de

inklemmingsmomenten gelijk aan:

12

pMM

20r

0

. Blijkens een stelling van

Greene is de positie van de nullijn van de elasti-

sche kromming zo dat de som van de negatieve

ordinaten van de kromming in absolute waarde

gelijk is aan de som van de positieve ordinaten.

Als de ligger niet prismatisch is en het traag-

heidsmoment naar de steunpunten toeneemt,

vermindert - bij gelijkblijvende nullijn - het ge-

wicht van de negatieve ordinaten, zodat de op-

pervlakken mekaar niet langer compenseren. Dit

kan niet en de nullijn moet bijgevolg verschui-

ven naar boven toe. In het geval van figuur 31

zijn de inklemmingsmomenten derhalve groter

en de veldmomenten kleiner dan bij een prisma-

tische ligger: “grotere traagheidsmomenten trek-

ken als het ware de buigende momenten aan!”

6 Systemen met schuine staven

6.1 Algemene werkwijze

Het berekenen van de krachtenverdeling in systemen met schuine staven is zeer mak-

kelijk met de methode van Gehler indien de knopen niet kunnen verschuiven. In dat geval is

de graad van kinematische onbepaaldheid nul of negatief en moeten we enkel rotaties van

knopen, maar geen koordewentelingen, als basisonbekenden hanteren. De lezer beseffe dat

zulks het gevolg is van de hypothese dat aan de staven een onveranderlijke lengte wordt toe-

geschreven. Bijgevolg mogen we ons beperken tot het neerschrijven van het draaiingseven-

wicht van de vrije knopen (8), hoeven we het verschuivingsevenwicht van onderdelen van de

prismatische balk

I0 niet-prismatische balk

I I

nullijn b

nullijn a

nullijn bij eenvoudige oplegging

=

EI0 EI0

I0

a

b

Figuur 31



constructie (9) niet in rekening te brengen, en bedienen we ons van de constitutieve betrek-

kingen (5), waarin alle koorderotaties nul gesteld worden, om de oplossing te vinden.

De geschetste werkwijze faalt indien de

graad van kinematische onbepaaldheid positief

is en men a priori verschuivingen van de knopen

en inherente koorderotaties kan verwachten. Een

algemeen strak stramien of recept van te volgen

bewerkingen kan niet aangereikt worden. Wel

zullen we trachten om de algemene gedachten-

gang, die tot de oplossing leidt, te schetsen en

daarbij bedienen we ons van het gestel in figuur

32. Om de afbeelding niet te overladen is de be-

lasting niet getekend.

De eerste stap bestaat uit het identifice-

ren van de graad van kinematische onbepaald-

heid m. Daartoe voeren we ter plaatse van elke

knoop een wrijvingsloos gewricht in. In het

voorbeeld is m = 2 en derhalve zijn er evenveel

onafhankelijke koorderotaties. Indien men im-

mers de knopen E en B op hun plaats houdt, be-

knot men iedere bewegingsvrijheid van het ont-

stane mechanisme. We kiezen als onafhankelijke koorderotaties de absolute wenteling van BC

en de wenteling van EF relatief ten opzichte van BC. De overige koorderotaties kunnen nu in

functie van de onafhankelijke uitgedrukt worden.

In het gedachtenmodel is de absolute pool P1 van BC het snijpunt van de verbindings-

rechten AB en DC. Tijdens een kinematische beweging van BC wentelt deze koorde om de

pool over een hoek : BC .

Uit de horizontale verschuiving van knoop C leiden we de waarde van DC af :

BC1

DCDCBC1 .DC

CPDC..CP'CC

Op analoge wijze: BC1

ABABBC1 .AB

BPAB..BP'BB

Vervolgens bekijken we de relatieve beweging van EF ten opzichte van ABCD, meer

bepaald ten opzichte van BC (fig. 33). Men vindt de relatieve pool van EF als snijpunt van de

verbindingsrechten EB en FC. In die relatieve beweging wentelt EF om de pool P2 over de

hoek =EFrel en uit de figuur kan men de volgende verbanden afleiden:

A

C C’

E

F

P1

B

B’

D

P2

AB DC

Figuur 32



relEF

2relCF

relEF2

relCF CF

FP.FP.CF'FF

relEF

2relBE

relEF2

relBE

BE

EP.EP.BE'EE

Samenvattend worden de absolute koorderotaties

van de staven BE, EF en CF door de onderstaande

betrekkingen gegeven:

BE BC BErel

EF BC EFrel

CF BC CFrel

Om de krachtenverdeling in de oorspronke-

lijke constructie - geen scharnierende gewrichten

in de knopen - met de methode van Gehler te be-

studeren, hanteren we zes a priori onbekende en onafhankelijke gegeneraliseerde verplaatsin-

gen: B C E F BC EFrelen, , , , . Het uitdrukken van het rotatie-evenwicht van de kno-

pen B, C, E en F levert vier bruikbare vergelijkingen. De benodigde bijkomende vergelijkin-

gen kan men samenstellen door onderdelen van de constructie vrij te maken.

Men kan bijvoorbeeld een denkbeeldig snijvlak net boven de fundering aanbrengen en het

horizontale verschuivingsevenwicht van het gedeelte dat zich boven dat snijvlak bevindt,

uitdrukken. Brengt men een denkbeeldig snijvlak net boven de regel BC aan, dan kan men

op analoge wijze het horizontale translatie-evenwicht van BEFC uitdrukken. Deze werk-

wijze stuit op de moeilijkheid dat één of meerdere normaalkrachten in de staven die het

snijvlak ontmoeten, in de vergelijkingen zullen optreden terwijl men die doorsnedegroot-

heden op dat ogenblik nog niet kent. Door het toepassen van de uiteengezette werkwijze in

lid 3 kan men de normaalkrachten evenwel schrijven als functie van de dwarskrachten en

van de rechtstreeks op de knopen aangrijpende belasting. Vermits de genoemde dwars-

krachten in functie van de Gehlerkoppels en de staafbelasting kunnen geschreven worden

(dx

dMV ), en de Gehlerkoppels op hun beurt functie zijn van de knoop- en koorderota-

ties is het vraagstuk principieel opgelost: uit het stelsel van zes vergelijkingen met zes on-

bekenden leidt men de gegeneraliseerde verplaatsingen af. Eens deze bepaald zijn, is het

makkelijk om de buigende momenten, de dwarskrachten en de normaalkrachten in het ge-

stel te becijferen.

Een gelijkwaardige, maar sierlijker methode wordt uiteengezet aan de hand van fig. 34. We

omzeilen het meenemen van de normaalkrachten in de evenwichtsvergelijkingen door het

schrijven van een momentenvergelijking om de pool van de ogenblikkelijke beweging.

In de linkerhelft van figuur 34 is een denkbeeldig snijvlak net onder de regel BC aange-

bracht en wordt het deellichaam boven dat snijvlak vrijgemaakt. Daar waar het de staven

E’ F

F’

E

B C

P2

A D

BErel

CFrel

Figuur 33



AB en CD treft, voert men de spankrachten NBA, VBA, BAM en NCD, VCD, CDM in.

Wanneer men een momentenvergelijking om het centrum P1 schrijft, spelen de genoemde

normaalkrachten geen enkele rol!

In de rechterhelft van figuur 34 maakt men de spantregel EF vrij. Een momentenvergelij-

king om het centrum P2 bevat de normaalkrachten NEB en NFC niet! P1

F F

E E

VEB VFC

NFC

VBA VCD

P2

B C

M BA

M FC

M EB

M CD

NEB

NBA

NCD

Figuur 34

De werkwijze verloopt verder op dezelfde manier als aan het eind van de eerst uiteengezette

redenering.

6.2 Rekenvoorbeeld

Alle staven van het raamwerk

in figuur 35 hebben hetzelfde traag-

heidsmoment. We stellen K K1 2 1 ,

6

4K3 ,

5

4K4 ,

9

4K5 . De punt-

last Q = 20 kN grijpt aan in het midden

van BC:

0CB

0BC MkNm10

8

4x20M .

Invoering van scharnieren in A, B, C,

D en F zet het systeem om in een me-

chanisme met vrijheidsgraad m = 1.

Eén vasthoudkracht, bijvoorbeeld een

horizontale kracht in C, is immers voldoende om alle knopen onbeweegbaar te maken. We

D E 4m

B 2 C

2 m 2 m

A

45

4 m

F

5 m

P

20 kN

1

6 m

9m

3

4

5

Figuur 35



werken met de onbekenden B , C , F en 2. De koordeverdraaiingen van de andere staven

zijn:

2AB

PB221 , 2354223

9

4

EF

CD,0,

3

2

CD

PC .

Behalve van het draaiingseven-

wicht van de knopen B, C en E

maken we volgens de in 6.1 ge-

schetste, algemene methode ook

gebruik van hun translatie-

evenwicht (fig. 36):

0VV2

N

2

V53

11 (i)

We elimineren N1 door gebruik

te maken van het verticaal even-

wicht van knoop B:

211 V2

N

2

V , zodat (i) wordt: 0VVV2.V 5321 (ii).

We schrijven de uitdrukkingen voor alle knoopmomenten en voor de dwarskrachten die voor-

komen in (ii):

,)32(10M,)232(M,)23(M 2CBBC2BBA2BAB

,)22(3

2M,)2(

3

2M,)32(10M 2CCD2CDC2CBCB

,)9

4(

3

2M,)2(

5

4M,)2(

5

4M 2FFEECFCFCCF

)22(4

3)MM(

4

1V 2BBAAB1

)2(4

310)MM(

4

1

2

QV 2CBCBBC2 ,

)43(9

1)MM(

6

1V 2CCDDC3 , )

9

4(

27

2M

9

1V 2FFE5 .

De evenwichtsvergelijkingen zijn:

0MM BCBA of 10)12(34 2CB ,

0MMM CFCDCB of 103

5

5

4

15

742FCB ,

M MFC FE 0 of 027

8

15

34

5

42FC ,

0VVV2.V 5321 of 010486

4192

27

2

12

5)12(

4

32FCB .

F F

N4 V5r

V2 V4 V4r N5

B N2 C

V2r V3

N3 V1

N1

Figuur 36



Hieruit berekent men de veralgemeende verplaatsingen: B 4 3466, , C 4 0938, ,

7912,1F , 2 2 6497 , , en de knoopmomenten (in kNm)

409,0M409,0M117,5M991,8M262,6M

108,14M549,2M549,2M895,6M

FEFCCFCDDC

CBBCBAAB

6.3 Andere toepassing: portaalbrug

De graad van

kinematische onbe-

paaldheid in de afge-

beelde portaalcon-

structie (fig. 37) is

gelijk aan één. We

kiezen als onafhanke-

lijke koordeverdraai-

ing de wenteling BC

van de koorde BC.

Om de overige koor-

derotaties uit te druk-

ken in functie van de

onafhankelijke, voe-

ren we scharnierende

gewrichten in ter

plaatse van B en C en

geven aan het aldus

ontstane mechanisme

een kinematisch mo-

gelijke beweging.

Daarbij wentelt BC

om de absolute pool

P. Uit de figuur volgt onmiddellijk

BB PB BC' , CC PC BC' , B B BB C C CC' " '.cos , ' " '.cos ,

BCABAB

PB

AB

'BB , BCCD

CD

PC

CD

'CC ,

BCEBEB

cos.PB

EB

"B'B

, BCCF

CF

cos.PC

CF

"C'C

.

Om de drie basisonbekenden B, C en BC te bepalen, schrijven we het draaiingsevenwicht

van de knopen B en C en het wentelingsevenwicht om P van de vrijgemaakte spantregel (fig.

37b). De laatste vergelijking bevat geen termen die afkomstig zijn van de normaalkrachten in

de schuine stijlen; de normaalkrachten NBE en NCF leveren evenmin een bijdrage, vermits ze

a

b

VBE Fu VCF

NBE NCF

NBA

P

E’ E B B” F F’

AB CD

A D

P

BC BC

C C”

C’ CF

VBA VCD

NCD

M BE

M BA

MCD

MCF

Figuur 37

B’



nul zijn wanneer geen horizontale belasting op de moten EB en CF inwerkt - wat hier impli-

ciet ondersteld wordt -. Wel brengt men de rechtstreeks op BC aangrijpende, uitwendige be-

lasting Fu in rekening.

7 Stelsels met bekende knoopverplaatsingen

In sommige gevallen zijn de verschuivingen van de knopen a priori bepaald. Dat is

bijvoorbeeld zo wanneer men het effect van vooropgegeven zettingen van de steunpunten

wenst te bestuderen. De koorderotaties zijn dan van meet af aan bekend en de enige basis-

variabelen zijn de knooprotaties. Om ze te bepalen zal men enkel het wentelingsevenwicht

van knopen tot expressie brengen en hoeft men geen translatie-evenwicht van een deel van de

constructie neer te schrijven.

In figuur 38 is een

over vier velden door-

gaande ligger afgebeeld.

Men wenst de buigende

momenten in het systeem

te bepalen wanneer de

steunpunten B en E een zetting over een voorgeschreven bedrag: B = BB’ en E = EE’ on-

dergaan.

De koorderotaties zijn volkomen bepaald: 0,BC

'BB,

AB

'BBCDBCAB ,

DE

'EEDE .

Indien we het draaiingsevenwicht van de knopen B, C en D uitdrukken, leidt het stelsel van

drie vergelijkingen met drie onbekenden - B, C en D - dadelijk tot de oplossing van het

vraagstuk.

8 Liggers op verende steunpunten

Liggers op veren komen vaak in de praktijk voor: een funderingssloof op palen, een

ligger op samendrukbare kolommen, een doorgaande kinderbalk rustend op torsieslappe

moerbalken en tuiliggers5 zijn slechts enkele voorbeelden. In het algemeen zal men rekening

dienen te houden met de invloed van de vervorming van de steunpunten wanneer die vervor-

ming niet klein is in vergelijking met de eigen doorbuiging van de ligger. Elk verend steun-

punt oefent bij onderstelling enkel een verticale reactiekracht uit op de ligger, en de reactie-

kracht Y is evenredig met de indrukking van de veer (fig. 39): 6

5 Indien de tuien van gevlochten strengen gemaakt zijn, moet de hier gegeven theorie met omzichtigheid worden

toegepast. Men dient immers een aantal niet-lineaire effecten in rekening te brengen: doorhang onder eigen ge-

wicht, Poisson effect bij getrokken strengen…

6 Het minteken vloeit voort uit de keuze van het assenkruis en uit de impliciete onderstelling dat we verplaatsin-

gen van de hartlijn van de ligger positief rekenen naar boven toe.

A B C D E

AB BC

E’

B’ Figuur 38

DE



Y = - k . v (28)

De evenredigheidsfactor k heet de veerconstante en heeft de dimensie van kracht per lengte. k

is een maat voor de stijfheid van het verend steunpunt.

In tegenstelling tot het gezegde in lid 7 zijn de verplaatsingen van de steunpunten en

derhalve de koorderotaties niet a priori gekend. We zullen, naast het neerschrijven van het

wentelingsevenwicht van knopen, evenveel bijkomende vergelijkingen moeten opstellen als er

onafhankelijke koordewentelingen zijn. Hierna wordt uiteengezet hoe men daartoe te werk

gaat.

De figuur 40 toont een doorgaande ligger die verend ondersteund is. Door de belasting

ondergaan de steunpunten A, B en C de verplaatsingen vA, vB en vC.

Het verticaal evenwicht van de vrijgemaakte knoop B vergt: 0YVV BBABC , wat gelet

op (28) B

BABCB

k

VVv

(i) levert. Op dezelfde wijze bekomt men voor steunpunt C:

C

CBCDC

k

VVv

(ii). Trekt men de vergelijking (i) lidsgewijs af van (ii), dan komt er:

y (v)

x

v < 0

k

Y = - k.v Figuur 39

vC

vB

vA

B

VBA VBC

YB YB

Figuur 40

BC

AB

A B C D



B

BABC

C

CBCDBC

k

VV

k

VVvv

of

B

BABC

C

CBCDBCBC

k

VV

k

VV

(29)

De dwarskrachten die in de vergelijking optreden, zijn natuurlijk lineaire functies van de Ge-

hlerkoppels en, gelet op de constitutieve betrekkingen, van de veralgemeende verplaatsingen

en . Vanzelfsprekend kan men voor iedere overspanning een vergelijking van het type

(29) opstellen, met andere woorden beschikt men over evenveel bijkomende vergelijkingen

als er onbekende koordewentelingen zijn. De verdere uitwerking volgens de basisbehandeling

van de methode van Gehler gaat niet met bijkomende moeilijkheden gepaard.

Opgave:

Een balk van gewapend beton ( E = 3000kN/cm2

) rust op vijf palen die elk 2,50 meter van

elkaar verwijderd zijn. Tijdens een belastingsproef zakt de paalkop 2 mm onder een belasting

van 400 kN. De doorsnede van de balk is een 100 cm hoge en 50 cm brede rechthoek. De balk

wordt belast met vijf gelijke, neerwaarts gerichte krachten van 100 kN, drie ter hoogte van de

tussensteunen, en twee in het midden van de tweede en de derde overspanning respectievelijk.

De buigende momentenverdeling werd bestudeerd

a) in de onderstelling dat de paalkoppen star zijn

b) door rekening te houden met de eindige stijfheid van de palen.

De resultaten uit a) en b) zijn samengevat in de figuur 41. Men komt tot de bevinding dat de

vervormbaarheid van de steunpunten de krachtenverdeling in stijve balken, waarvan de opleg-

gingen zich dicht bij elkaar bevinden, grondig wijzigt.

Verende steunpunten

54,8 54,8

72,9

126,7 126,7

-13,4 -13,4

Starre steunpunten 40,2 40,2

Figuur 41: vergelijking van de buigende momenten (kNm)

- 35,7

In de bruggenbouw…

… en elders

8

Driehoeksvakwerken

Driehoeksvakwerken 8.2


Driehoeksvakwerken zijn vaak gebruikte constructiesystemen. Men treft ze aan in de

civiele techniek als hoofdliggers van vakwerkbruggen of als verstijvingsliggers bij hangbrug-

gen, en in de gebouwenindustrie als kapspanten, als windverbanden of nog als verticale ver-

stijvingselementen tegen horizontale krachtswerkingen… .

1 Samenstelling en werking

1.1 Samenstelling

Een rechthoekig raam van starre, scharnierend verbonden stangen (fig. 1) is kennelijk

een mechanisme dat onder een geringe horizontale kracht - een windzucht bijvoorbeeld - om-

ver valt. Indien men evenwel een schuine schoor toevoegt, dan ontstaat een triangulair, draag-

krachtig gestel. Het is derhalve niet verwonderlijk dat bij tweedimensionale vakwerken het

basisschema - precies omwille van die vormvastheid - doorgaans bestaat uit een systematische

aaneenrijging van driehoeken (fig. 2). Men heet de staven die de parallelle boven- en onder-

rand van een vakwerk vormen de randstaven en de staven die deze evenwijdige randen ver-

binden, namelijk de verticalen en diagonalen, de wandstaven. Terloops vermelden we dat de

tetraëder bij ruimtelijke vakwerken de tegenhanger van de driehoekige module bij vlakke

vakwerken is. Driedimensionale of spatiale vakwerken worden in het onderhavige hoofdstuk

niet besproken.

De berekening van vlakke vakwerkconstructies

berust op twee belangrijke hypothesen:

de samenstellende, rechte staven zijn in de

knopen scharnierend met elkaar verbonden,

de uitwendige belasting wordt geacht aan te

grijpen ter plaatse van die knopen.

Het gevolg ervan is dat de staven uitsluitend aan

normaalkrachten onderworpen zijn en geen bui-

gende momenten noch dwarskrachten hoeven te

weerstaan. Maken we de staaf EF in figuur 2 vrij,

dan volgt uit het translatie-evenwicht dat de kno-

pen E en F op de uiteinden van die staaf twee even

mechanisme vormvast

schoorstaaf

F A F A

B B

Figuur 1

F1 F2

E

F

E E

F F

Q

Q

Q

Q

Figuur 2



grote krachten Q, met parallelle werklijnen maar tegengesteld van zin, uitoefenen (fig. 2,

linksonder). Het wentelingsevenwicht van de staaf vergt dat genoemde krachten Q volgens de

hartlijn van EF georiënteerd moeten zijn (fig. 2, rechtsonder). Derhalve is de staaf op trek of

op druk, maar niet op buiging belast. We haasten ons om eraan toe te voegen dat het betoog

struikelt indien men het eigen gewicht van de staaf in rekening brengt. In de praktijk van de

vakwerkbouw is het evenwel zo dat de buigende momenten in een staaf als gevolg van zijn

eigen gewicht slechts aanleiding geven tot spanningen die van ondergeschikt belang zijn ten

opzichte deze die door de uitwendige belastingen worden opgewekt.

Vroeger heeft men getracht om een volmaakt, wrijvingsloos scharnier uit te voeren

door middel van een pen-oogverbinding (fig. 3). Een dergelijke verbinding heeft vele nadelen:

aanzienlijke kostprijs vanwege de bewerkelijkheid,

door de hoge contactspanningen ontstaan blijvende

vervormingen in het materiaal, waardoor speling

ontstaat die bij dynamische belasting lawaai (ramme-

len) veroorzaakt,

mettertijd gaat de verbinding vastroesten: het oor-

spronkelijke doel gaat teloor.

In de praktijk maakt men een dergelijke scharnierende

koppeling niet: de staven zijn aan elkaar of aan knoopplaten gelast of gebout (fig. 4).

Bij bestaande, oudere vakwerkbruggen ziet men ook wel de zogeheten klinkververbindingen;

bij recentere constructies worden deze nog zelden toegepast. Het lassen en/of het bouten leidt

evenwel tot een stijve knoopverbinding, zodat de staven in werkelijkheid niet alleen aan nor-

maalkrachten, maar ook aan buigende momenten en dwarskrachten onderworpen worden.

Men spreekt derhalve in de vakwerkbouw van primaire en secundaire spanningen: de pri-

maire zijn het gevolg van N, de secundaire van M en V.

Figuur 3

N

Figuur 4: verticale vakwerkverbanden in gebouwen



1.2 Grootte van de secundaire spanningen

Men kan zich een idee vormen van de grootte van de secundaire spanningen door het

analyseren van een driehoekige maas, die met stalen profielen samengesteld wordt (fig. 5).

Alle staven van de gelijkbenige driehoek ABC (basiszijde , basishoeken ) hebben eenzelfde

dwarsdoorsnede A en traagheidsmoment I. Het eenvoudige vakwerk is ter plaatse van de kno-

pen A en B onderworpen aan twee even grote maar tegengesteld gerichte krachten F.

Indien de stangen in de knopen waarlijk scharnierend met elkaar bevestigd zijn, zijn de waar-

de van de normaalkracht en van de primaire normaalspanning in de stang AB respectievelijk

gelijk aan F en A

Fp , en zijn de schuine staven spanningsvrij. Zij

EA

F de verlenging

van AB. Wegens symmetrie verplaatst het punt C zich langs een verticale en wentelen de

stangen AC en BC over een kleine hoek terwijl hun lengte onveranderd blijft (fig. 6). Het

laatste impliceert dat de projecties AA” en CC” van de lijnstukken AA’ en CC’ op de rechte

AC gelijk zijn: "CCcos2

"AA

.

60° 60°

60°

120°

Figuur 5

F F F F

C

C

A B A B

F = 1 F = 1

A’ A B B’

A’’

A’ A

A’’

C C

C’’

C’ C’’

C’

90-

Figuur 6



De hoekverdraaiing kan gemakkelijk berekend worden:

cos2

sin

cos

2sin

2

cos2

gcot"CCsinA'A

CA

"C'C"A'A

2

tg.

Indien de staven door middel van laswerk met mekaar verbonden worden zijn de knopen stijf.

Hierna wordt de spanningsverdeling berekend met de methode van Gehler mits inachtneming

van de normaalkrachtvervorming (fig. 6). Uit symmetrieoverwegingen volgt dat de hoekver-

draaiingen van de knopen A en B in grootte gelijk zijn maar een tegengesteld teken hebben;

de wenteling van knoop C is nul. Het draaiingsevenwicht van knoop A vergt dat

0MM ACAB (i)1, waarin

AAABBAABABEI2

.K2KM

(ii), en

tg

32

cosEI432KM AACCAACAC

(iii).

Mits inachtneming van (ii) en (iii) wordt (i):

0tg

32

cosEI4EI2AA

of 0

tg

cos6)1cos4(

EI2A

en daaruit

leidt men de hoekverdraaiing van de knoop A af:

)cos41(tg

cos6A

(iv). Na terug-

substitutie van (iv) in de constitutieve betrekkingen (ii) en (iii) vindt men de Gehlerkoppels:

)cos41(tg

cosEI12M

2AB

tg

3

)cos41(tg

cos6cosEI4MCA

cos41

3cos12cos6

tg

cosEI4

2

)cos21.()cos41(tg

cosEI12

2

De grootste buigende momenten treden op ter plaatse van knoop C, en bijgevolg zijn de se-

cundaire spanningen s daar ook het grootst. Zij h’ de hoogte van de staven in het vlak van

het vakwerk dan wordt s gegeven door:

2

'hE

)cos41(tg

)cos21(cos12s

(1)

Deze betrekking is exact voor profielen met cirkelvormige, vierkante, rechthoekige of koker-

vormige doorsnede, voor IPN, IPE en HE profielen en voor kanaalprofielen die om de sterke

1 Zoals we al vaker gedaan hebben, bezigen we twee kenletters voor de Gehlerkoppels: de twee tezamen duiden

de staaf aan, de eerste duidt het staafeind aan waarop het koppel betrekking heeft.



as verbogen worden. Ze is benaderend voor kanaalprofielen die op buiging om de zwakke as

werken, en voor hoekstalen.

De grootste primaire normaalspanning doet zich voor in de staaf AB:

E

A

Fp , en de

verhouding van de grootste secundaire tot de grootste primaire spanning is

'h

)cos41(tg

)cos21(cos6

p

s

(2)

Stel dat elke zijde van de gelijkzijdige driehoek een = 10m lang profiel IPE 450 is,

geplaatst met zijn lijfplaat in het vlak van de driehoek. Dan is 052,0p

s

. Indien we de IPE-

profielen opstellen met hun lijfplaat loodrecht op - in plaats van in - het vlak van de driehoek

neemt p

s

af tot 0,022.

Voor een gelijkbenige driehoek met = 10m en basishoeken = 30° en weer bestaande uit pro-

fielstaven IPE 450 is 24,0p

s

indien het lijf samenvalt met het vlak van de driehoek, en

105,0p

s

indien het lijf haaks op dat vlak gericht is.

1.3 Belang van de secundaire spanningen s

a b c

fy fy

2

3fy

2

3fy

2

3fy

Figuur 7

Voor taaie materialen als staal is het gebruikelijk s , in het bijzonder de buigende

momenten, niet te becijferen en de krachtenverdeling te bestuderen in de onderstelling van

volmaakte scharnieren. Uit de bovenstaande voorbeelden blijkt immers dat de secundaire

spanningen zeer gering zijn: in de behandelde gevallen bedraagt de maximale buigspanning

2,2 % à 24 % van de primaire normaalspanning. Stel dat een ontwerper de primaire spanning

in de gebruikstoestand van een vakwerk beperkt heeft tot yf3

2 (fig. 7a), dat hij de secundaire

niet heeft berekend en dat de som van de primaire en secundaire spanningen en van de moge-

lijk vooraf bestaande eigenspanningen ergens in een rand van een staafeind onverhoopt op-



loopt tot de vloeispanning fy (fig. 7b). Het is zelfs mogelijk dat een deel van de betrokken

doorsnede vloeit (fig. 7c), maar dan neemt de buigstijfheid van de staaf plaatselijk af en ver-

minderen de buigende momenten. Aangezien de ware normaalkracht amper verschilt van de

berekende primaire normaalkracht kan de gemiddelde spanning in de doorsnede yf3

2 niet

overtreffen in de gebruikstoestand en blijft het vloeien van de doorsnede beperkt. Heel anders

dan bij een volwandige ligger spelen de buigende momenten in een driehoeksvakwerk geen

wezenlijke rol bij het opnemen van de uitwendige belastingen, die in evenwicht worden ge-

houden door de normaalkrachten in de staven.

Men brengt s wel in rekening wanneer

niet-ductiele materialen - hout, (beton ?2) - gebruikt worden,

de vakwerken onderhevig zijn aan talrijke zware belastingsschommelingen wat tot de

gevreesde vermoeiingsbreuken kan leiden.

In dit geval kan s begroot worden met de methode van Gehler zoals hoger aangegeven werd

of met de verplaatsingenmethode3.

In de overgrote meerderheid der gevallen, onder meer voor bruggen, mag de ontwerper

zich ertoe beperken, maar mag hij ook niet verzuimen, om kwalitatieve voorzorgen te nemen

ten einde de secundaire spanningen binnen redelijke perken te houden. Benevens ter voorko-

ming van voortijdig vloeien en van een vermoeiingsbreuk is dat nodig omdat de buigende

momenten, die het grootst zijn in de staafeinden, ook inwerken op de verbindingen van de

staven en omdat die verbindingen eveneens alleen op belasting in de richting van de staven

berekend worden.

1.4 Voorzorgen ter beperking van de buigspanningen

Indien de hierna opgesomde voorzorgen nageleefd worden, kan men het ontwerp base-

ren op de primaire krachtenverdeling. Bij een degelijk ontwerp zal %25p

s

zijn.

2 Men heeft in het verleden wel eens betonnen driehoeksvakwerken gemaakt, maar die luttele pogingen hebben

weinig navolging gekregen omdat het vele bekistingswerk al gauw tot te dure vakwerken leidde die bovendien

veel te log oogden. 3 De verplaatsingenmethode voor staafconstructies is de moeder van alle eindige elementenmethodes: ze vormt

een wezenlijk onderdeel van de leerstof van Berekening van Bouwkundige Constructies II

goed concept slecht concept

Figuur 8



Belangrijke krachten zoals oplegreacties en zware belastingen zal men laten aangrijpen

in de knopen (fig. 8). Dakgordingen laat men bij voorkeur rusten op de knopen van kapspan-

ten die men op hun beurt nooit oplegt halverwege de uiteinden van een vakwerkstaaf. Ander

voorbeeld: men zal dwarsdragers bevestigen ter plaatse van de knopen van de hoofdliggers,

zodat deze vrij zijn van noemenswaardige buiging. Door het eigen gewicht van de hoofdlig-

gers zullen altijd buigspanningen optreden, maar vanuit praktisch standpunt zijn laatstge-

noemde onbeduidend in vergelijking met de primaire normaalspanningen.

De schemalijnen - hartlijnen van de staven - lopen samen in een punt. Op die manier worden

excentriteiten van de krachtlijnen (fig. 9) zo goed mogelijk vermeden en zullen slechts onbe-

langrijke krachtenkoppels ter plaatse van de schetsplaten moeten overgedragen worden.

Uit de hierboven gevoerde redenering volgt dat de verhouding p

s

toeneemt als de

slankheidsmaat stangen de van lengte

kvlakhet vakwerin stangen de van hoogte'h

groter wordt. Bijgevolg zal

men de hoogte van de staven in dat vlak (in figuur 10 loodrecht op het blad) zo klein mogelijk

nemen. Hierdoor vermeerdert de buigzaamheid van de staven in het vlak en zullen de secun-

daire spanningen geringer zijn. Let wel dat deze richtlijn een beperking inhoudt voor staven

die aan druk onderhevig zijn. Het knikgevaar in het vakwerkvlak neemt immers toe als de

buigstijfheid EI van de staaf - om de zwaarteas van zijn doorsnede haaks op het vakwerkvlak -

te klein wordt genomen. Hou er ook rekening mee dat randstaven doorgaans een grotere nor-

maalkracht te verwerken krijgen dan wandstaven en bijgevolg forser gebouwd zijn. Het impli-

ceert dat de randstaven een grotere buigstijfheid hebben, waardoor ze de draaiing van de

wandstaven meer belemmeren dan omgekeerd het geval is: de grootste secundaire spanningen

zullen optreden in de wandstaven.

Figuur 9 : Excentrische

aansluiting

te mijden

h’

h’

vakwerkvlak

Figuur 10



Scherpe hoeken (<45), die ten andere tot grotere afmetingen van de schetsplaten

leiden, zullen bij voorkeur gemeden worden: p

s

neemt toe als daalt. Het naleven van deze

richtlijn is evenwel soms moeilijk bij kapspanten.

2 Krachtenverdeling in driehoeksvakwerken

De primaire krachtenverdeling in driehoeksvakwerken wordt gebruikelijk bestudeerd

door te vertrekken van de volgende basishypothesen:

De knopen zijn perfect scharnierende gewrichten. Er zijn echter uitzonderingen: een

ruitligger is op basis hiervan een ondraagkrachtig mechanisme (cfr. infra).

De krachten op het gestel worden ter plaatse van de knopen ingeleid.

De systeemvervorming mag verwaarloosd worden, dat wil zeggen dat men met geome-

trisch niet-lineaire effecten geen rekening hoeft te houden. Onderstel bijvoorbeeld dat

de volledige doorsnede van een 10 meter lang profiel vervaardigd van staal S355 net

vloeit: met de normaalspanning 2y

cm

kN36f stemt een rek overeen

0017,021000

36

E

fy en een verlenging cm7,1. . Het is begrijpelijk dat

dergelijke geringe lengteveranderingen de vorm van driehoekige mazen met een kant-

lengte van 10 meter nauwelijks beïnvloeden!

2.1 Statisch bepaalde vakwerken

2.1.1 Voorwaarden voor statische bepaaldheid

Zij n het aantal knopen, k het

aantal staven en het aantal verbin-

dingen met de buitenwereld, dan is

het aantal onbekenden: k (staafkrach-

ten) + (reactiecomponenten). Ver-

mits elke vrijgemaakte knoop van het

vakwerk in evenwicht moet zijn, be-

schikt men per knoop over twee ver-

gelijkingen die respectievelijk het

horizontale en het verticale verschui-

vingsevenwicht tot expressie brengen.

Vandaar dat de nodige voorwaarde

voor statische bepaaldheid luidt:

k + = 2n (3)

A

C D E

F G

B

a

b

Figuur 11



Het is een nodige voorwaarde, geen voldoende. Het vakwerk moet tevens vormvast zijn, dit

wil zeggen: het mag niet ten dele of als geheel ontaarden in een mechanisme! Zulks wordt

geïllustreerd aan de hand van het volgende schema. In figuur 11a is het aantal staven k = 13,

zijn er = 3 reactiecomponenten, bedraagt het aantal knopen n = 8 en is aan de voorwaarde 13

+ 3 = 2.8 voldaan. Tot deze slotsom komt men ook bij het schema in figuur 11b. Toch is deze

variant een mechanisme met vormvaste delen ACDFA en EBG die onderling met een paar

evenwijdige scharnierende stangen DE en FG verbonden zijn. De geringste belasting zal het

gestel ten gronde richten.

De oplosmethoden zijn talrijk: men kan de krachtenverdeling bestuderen door het

evenwicht van alle knopen uit te drukken, door gebruik te maken van de snedenmethode van

Ritter, door de theorie van de invloedslijnen toe te passen… . Een grafische werkwijze is de

epure van Cremona die we enkel omwille van haar historisch belang vermelden.

Men zegt dat een vakwerk uitwendig statisch bepaald is indien de reactiecomponen-

ten, uitgeoefend door de verbindingen met de omgeving, bepaald kunnen worden door uitslui-

tend de vergelijkingen van de statica aan te wenden. Men hoeft alsdan geen onderstellingen te

maken nopens de reologie van de materialen, waarvan de constructie gemaakt is! Uitwendig

statisch bepaalde driehoeksvakwerken kunnen inwendig statisch onbepaald zijn. Een voor-

beeld is de andreaskruisligger die in onderstaande behandeld wordt: daar is het aantal verge-

lijkingen van de statica ontoereikend om de staafkrachten te bepalen, of, 2n < k + .

2.1.2 Evenwicht van knopen

We illustreren de methode aan de hand van het in figuur 12 afgebeelde vakwerk. De

knopen zijn aangeduid met een kenletter, de staven met een rangnummer.

Reacties

Het vakwerk is isostatisch opgelegd. Er zijn enkel verticale steunpuntsreacties in on-

derhavig voorbeeld.

Verticaal evenwicht: YA + YB = 60 kN

Wentelingsevenwicht om B: YA . 12 = 20 . 9 + 40 . 6 of YA = 35 kN en RB = 25 kN

Staafkrachten

We maken een knoop vrij waar slechts twee staven samenkomen waarvan de nor-

maalkracht nog niet gekend is, bijvoorbeeld knoop A en schrijven de evenwichtsver-

gelijkingen voor die knoop.

Verticaal evenwicht: 235N02

2N35 11 kN.

Horizontaal evenwicht: 35N0N2

2N 10101 kN.

We maken vervolgens knoop F vrij – op dit ogenblik is de normaalkracht in de staaf

10 een gekende grootheid – en uit de evenwichtsvergelijkingen volgt onmiddel-

lijk: N5 20 11 35 kN ; N N10 kN .



Als laatste illustratie van de methode wordt knoop C vrijgemaakt. Het verticaal even-

wicht geeft 02

2N2035 6 waaruit kN 215N6 , en het horizontaal ver-

schuivingsevenwicht vergt dat 0N1535 2 of kN 50N2 .

Het achtereenvolgens vrijmaken van de overige knopen op de aangegeven oordeelkun-

dige wijze leidt tot de kennis van alle staafkrachten.

2.1.3 Snedenmethode van Ritter

De voorgaande methode is uiteraard bewerke-

lijk indien het aantal knopen groot is en men alle

staafkrachten en reactiecomponenten wenst te bepa-

len. In sommige gevallen is men slechts geïnteres-

seerd in een beperkt aantal staafkrachten en kan men

deze met de snedenmethode van Ritter berekenen. De

gedachtengang is als volgt:

De reacties worden bepaald op de gebruikelijke wijze.

Vervolgens brengt men een denkbeeldig snijvlak aan dat niet meer dan drie, niet-

concurrente staven treft, waarvan de staafkrachten nog niet bekend zijn. Het snijvlak

verdeelt het vakwerk in twee delen.

Men bestudeert het evenwicht van één dergelijk onderdeel. A priori zijn er drie onbe-

kende krachten op dit gedeelte van het staafwerk werkzaam: de normaalkrachten in de

stangen die door het snijvlak getroffen werden. Ze worden bepaald door het verticaal

C 2 E 3 D

3m 1 5 6 7 8 9 4 A F H B

10 11 G 12 13

YA YB

N2

N5

N1

A N1 N6

35 kN N10 N10 20 kN N11

20 kN 40 kN

3m 3m 3m 3m

N5

C

F

Figuur 12

N 3

N 12

N 8

D

H

25 kN

B G

Figuur 13



en horizontaal verschuivingsevenwicht en het wentelingsevenwicht van de vrijge-

maakte vakwerkhelft uit te drukken.

Ter illustratie hernemen we het in lid 2.1.2. behandelde vakwerk en zoeken we met de

methode van Ritter de normaalkrachten in de staven ED, DG en GH (fig.12). Een snijvlak

door de genoemde stangen verdeelt het vakwerk in twee helften en we maken het rechterge-

deelte vrij (fig. 13).

Moment om D: 3 12 3 25 0 12 25. .N N kN

Moment om G: 3 3 6 25 0 3 50. .N N kN

Verticaal evenwicht: 25 82

20 8 25 2 N N kN

Opmerking: Afhankelijk van de situatie kan het wenselijk zijn om ook de vergelijking van

het horizontaal evenwicht aan te wenden.

2.1.4 Met behulp van invloedslijnen

We illustreren aan de hand van onderstaande voorbeelden hoe men de invloedslijn van

de normaalkracht in vakwerkstaven opspoort.

2.1.4.1 Neuville- of warrenligger (fig. 14)

a) Normaalkracht in de randstaaf a

Een doorsnijding naar de normaalkracht in de randstaaf CD maakt het vakwerk hypo-

statisch. Aan het gewijzigde gestel met de “vormvaste” delen 1 en 2 geven we een kleine ki-

nematische beweging. In die ogenblikkelijke beweging valt de relatieve pool P12 samen met

hun gemeenschappelijke knoop. De absolute pool van 2 valt samen met het scharnier B, deze

van 1 ligt enerzijds op de rechte P2P12 , anderzijds op de verticale door A (cf. “Berekening van

Bouwkundige Constructies I - Invloedslijnen: eigenschappen van de bewegingspolen”) en valt bijgevolg

samen met het steunpunt A. In de figuur beschrijft deellichaam 1 een kleine draaiing in te-

genwijzerzin om zijn absolute pool P1. We noteren de verticale projectie van de verplaatsin-

gen van zijn stoffelijke punten als v21 en rekenen v21 positief in neerwaartse zin. De grafi-

sche voorstelling van de beweging van 1 is de rechte 1’. Tekent men de ophaallijn door P12 en

bepaalt men het snijpunt met 1’, dan ligt grafische voorstelling van de verticale, ogenblikke-

lijke verplaatsingscomponenten van 2 eveneens vast. Uit de figuur blijkt dat lichaam 2 een

wenteling in wijzerzin om de pool P2 uitvoert en dat de afstand tussen de punten C en D toe-

neemt. Anders gezegd hebben we ter plaatse van de onvolledige doorsnijding een gaping ge-

creëerd en is het teken van de invloedsordinaten hetzelfde als dat van v21

.



Om de schaal te bepalen bekijken we de relatieve beweging van 1 ten opzichte van 2:

het is een wenteling in tegenwijzerzin om de pool P12. De relatieve, verticale verplaatsing van

het punt A in die relatieve beweging wordt voorgesteld door het lijnstuk p :

1221v

APu

pp . Hierin is een a priori onbekende, kleine hoek. Anderzijds is in die-

zelfde beweging de horizontale verplaatsing van C ten opzichte van D: 11v = . h . Eli-

minatie van uit beide betrekkingen levert de schaal: pAP

huvu

1221v11i .

b) Normaalkracht in de wandstaaf b (fig. 15)

Een doorsnijding naar de staafkracht Nb heeft tot gevolg dat het draagkrachtig systeem

ontaardt in een mechanisme met de vormvaste delen 1 en 2, verbonden door de stangen DE

(lichaam 3) en FG (lichaam 4).

P’12

1’ 2’

P’1 P’2

h

A B G

C D

1 2

P1 P2

P12 G

p

x

v

21

a

Figuur 14

b



Polen:

B is de absolute pool van 2. P12 ligt enerzijds op de verbinding FG en anderzijds op de

rechte DE . Het is derhalve het punt op oneindig van de horizontalen, en zulks impli-

ceert dat 1 en 2 een zuivere translatiebeweging ten opzichte van elkaar uitvoeren. De ab-

solute pool van 1 ligt op de verticale door A en op de rechte P2P12 en valt bijgevolg sa-

men met het punt A.

Verticale component van de kinematische beweging:

Teken door P’1 en P’2 twee evenwijdige lijnstukken 1’ en 2’. De verticalen door F en

door G snijden de takken 1’ en 2’ in P’14 en P’24 waardoor de grafische voorstelling 4’

van de verticale verplaatsingscomponenten van de stoffelijke punten van FG vastligt.

Schaal en teken:

Bekijk de relatieve beweging van 4 ten opzichte van 1. Het is een wenteling om F in

wijzerzin waaruit blijkt dat G zich verwijdert van D (gaping) en dat we geen tekenom-

slag hoeven te verrichten. Zij de relatieve wentelingshoek dan geldt v r11 . , ter-

wijl de verticale verplaatsing van G ten opzichte van D gelijk is aan p FG . . Hieruit

volgt onmiddellijk: p.cosp.FG

rui

2.1.4.2.Vakwerkboog met drie scharnieren (fig. 16)

a) Normaalkracht in de randstaaf a

Na het inbrengen van een wrijvingsloze schuif ontaardt de driescharnierboog in een

mechanisme met drie vormvaste delen. De absolute pool van 1 en 2 valt respectievelijk samen

met de linker- en rechtergeboorte van de boog, deze van 3 vindt men makkelijk door toepas-

1’

4’

2’

P’24

P’1

D E

P1 A P2 B

P12, P24 G P14 F

_

v21

P’2

P’14

1 r b

4

2

3

_

p

Figuur 15

x



sing van de eigenschappen van de bewegingspolen. We laten deel 1 een wenteling om zijn

pool in tegenwijzerzin uitvoeren en stellen de verticale verplaatsing van zijn stoffelijke punten

door het lijnstuk 1’ grafisch voor. Dit lijnstuk bevat noodzakelijkerwijze de projectie P’13 van

de relatieve pool P13. Indien we de absolute pool van 3 projecteren op de nullijn is de bewe-

ging van 3 volkomen bepaald - lijnstuk 3’ - evenals deze van 2 - verbindingsrechte van de

projectie P’23 met de projectie P’2. Men komt makkelijk tot het inzicht dat gedurende de ge-

tekende kinematische beweging ter plaatse van de onvolledige doorsnijding een gaping ont-

staat, zodat het teken van de invloedslijn niet hoeft omgeslagen te worden. De schaal wordt

gevonden door het bekijken van de relatieve beweging van 1 ten opzichte van 3. In werkelijk-

heid bestaat die uit een draaiing over een kleine hoek om P13 en kunnen we de gaping

schrijven als p = .h . Gedurende dezelfde relatieve beweging verplaatst het punt E zich

neerwaarts over de afstand a = .s zodat a.s

hp . Vermits de grafische voorstelling van a in

de figuur kan afgelezen worden, is de schaal van de invloedslijn:

a.s

hui .

b) Normaalkracht in de wandstaaf b (fig. 17)

Een doorsnijding naar de normaalkracht in de staaf b verandert het systeem in een me-

chanisme met vormvaste delen 1, 2 en 3. De twee laatste zijn verbonden met scharnierende

stangen EF en GH.

Polen:

s

E F

1 3 2

P3

P23

P13

P1 P2

a

1’ 3’

2’

P’1 P’2 P’3

v

21

h

a

P’13

P’23

Figuur 16



De absolute polen van 1 en 2 vallen samen met de scharnierende steunpunten ter plaatse

van de geboorten van de vakwerkboog, de gemeenschappelijke knoop van 2 en 3 is de

relatieve pool van 2 ten opzichte van 3. Het snijpunt van de rechten EF en GH bepaalt

de relatieve snelheidspool P13 . Men vindt de absolute pool van 3 als snijpunt van P1P13

en P2P23 .

Verticale component van de kinematische beweging:

Men geeft aan deellichaam 1 een kleine rotatie in tegenwijzerzin. Daarbij worden de

verticale verplaatsingen van zijn stoffelijke punten voorgesteld door het lijnstuk 1' ,

gaande door P’1, de projectie op een horizontale van de absolute pool van 1.

Vermits P13 tot lichaam 1 behoort, vindt men meteen de projectie P13' als snijpunt van

de rechte 1' en de verticale door P13. De verbindingsrechte P P13 3' ' - P’3 is de projectie

van de absolute pool van 3 - bepaalt de verticale verplaatsing van stoffelijke punten van

deellichaam 3. Op analoge wijze vindt men de grafische voorstelling 2’ van de bewe-

ging van lichaam 2: projecteer de relatieve pool P23 op 3', de absolute pool P2 op een

horizontale referentielijn, en teken hun verbindingsrechte.

Schaal en teken:

De relatieve beweging van 1 ten opzichte van 3 is een rotatie in wijzerzin om de rela-

tieve pool P13 over een kleine hoek . Bijgevolg verwijderen de punten E en H zich

tijdens die relatieve beweging van elkaar en heeft men een gaping tot stand gebracht.

P23 P13

P3

P2 P1

P’13

Figuur 17

2’

P’2 P’3

P’23

_

v21

P’1

1’

3’

E F

b

3

2

s H G

1

p



Het teken van de invloedslijn wordt dus correct gegeven door het teken van de vertica-

le verplaatsingen v21 .

Zij s de loodrechte afstand van P13 tot de rechte door E en H, dan wordt bovenge-

noemde gaping gegeven door 11v = .s. In dezelfde relatieve beweging klimt het punt

E ten opzichte van P13 over een afstand p = . EP13 , die in de figuur door het lijnstuk

p voorgesteld wordt. Hieruit volgt: pcospEP

sv

1311 en pcosv11 .

2.1.5 Benaderingsmethode voor ontwerpdoeleinden

Een vakwerkligger kan als een balk beschouwd worden. Ten gevolge van de belasting

worden in een doorsnede buigende momenten en dwarskrachten - de zogeheten balkmomenten

en balkdwarskrachten - opgewekt en deze spankrachten M en V moeten door de staven van

het vakwerk opgenomen worden. Om op de vraag “Hoe vertaal je buigende momenten en

dwarskrachten naar normaalkrachten in de vakwerkstaven?” te antwoorden beschouwen we

enerzijds een vakwerkligger met parallele randen die aan een gelijkmatig gespreide belasting

onderworpen is, en anderzijds een balk met identieke overspanning en randvoorwaarden en

die eenzelfde belasting torst (fig. 18).

V

M

Na

Nc

x

p

p

p

p

RA

RA

Nb 90-

Het stel (V,M) maakt

evenwicht met (p, RA)

Het stel (Na, Nb, Nc)

maakt evenwicht met (p, RA)

(Na, Nb, Nc) en (V,M)

zijn statisch gelijkwaardig Figuur 18

h

x



De staafkrachten Na, Nb en Nc in een vakwerkdoorsnede op een afstand x van het lin-

kersteunpunt moeten statisch gelijkwaardig zijn met het buigend moment M en de dwars-

kracht V in een balkdoorsnede op eenzelfde afstand x en daaruit volgt dat

h

MNN ba (4)

NcV

cos

(5)

Hieruit besluiten we meteen dat de buigende momenten in essentie door de randstaven en de

dwarskrachten door de wandstaven (diagonalen en stijlen) opgenomen worden. Vermits bij

isostatisch opgelegde vakwerkliggers met parallelle randen het grootste balkmoment optreedt

in de middenzone zullen de randstaven daar het zwaarst belast zijn. Terzelfder tijd bereikt de

balkdwarskracht bij genoemde constructies haar extreme waarde nabij de opleggingen en bij-

gevolg zijn de wandstaven in die zones zwaarder belast dan elders.

2.2 Vakwerktypen

2.2.1 Inleiding

Bij grote overspanningen zijn vakwerkliggers doorgaans zuiniger dan volwandige lig-

gers en bieden ze een grotere stijfheid wegens de grotere constructiehoogte. De kostprijs per

kilogram staal is echter hoger wegens de aanzienlijker bewerkingskosten.

De hoogte van een vakwerk kan niet rechtstreeks berekend worden. Bij het ontwerp

bedient men zich van de volgende, op ervaring gesteunde regels:

h = 1/6 à 1/16 van de grootste overspanning voor spoorbruggen,

h = 1/8 à 1/24 van de maximale spanwijdte voor wegbruggen.

De kleinste waarden gelden voor over meerdere steunen doorgaande vakwerkliggers, de

grootste voor statisch bepaalde.

In het hierna gegeven overzicht wordt impliciet aangenomen dat de verticale, neer-

waarts gerichte belasting aangrijpt ter plaatse van de knopen van de onderrand.

2.2.2 Monié- of Pratt- of N-ligger (1858, fig. 19)

De helling van de diagonalen bedraagt meest-

al ongeveer 45. In de onderstelling dat de uitwendi-

ge krachten aangrijpen ter plaatse van de knopen van

de onderrand zijn de meeste diagonalen op trek be-

last, tenzij misschien in een nauwe strook in het

midden van de overspanning waar ook drukdiagonalen kunnen voorkomen.

Figuur 19



2.2.3 Howeligger (fig. 20)

In tegenstelling tot het vorige schema staan

de meeste diagonalen - de langste staven - hier onder

druk: dit type vindt derhalve in de vakwerkstaalbouw

weinig toepassing omwille van het knikgevaar. Bij

houten vakwerkspanten zal men de howeligger wel

aantreffen omdat het slankheidsaspect er van minder

doorslaggevende aard is

2.2.4 Amerikaanse ligger (fig. 21)

De N-ligger leidt vaak tot een te dure en te zware rijvloerconstructie. Onderstel een

overspanning van 100m en een constructiehoogte die m1010

h

bedraagt. Bij een

helling van de diagonalen gelijk aan = 45 wordt

de veldbreedte al gauw tien meter: dit is tevens de

afstand tussen de dwarsdragers en ook de overspan-

ning van de langsliggers die onredelijk zwaar ge-

bouwd moeten zijn. Vandaar dat men supplementaire

ophangstaven (AB) en schoren (AC) plaatst.

2.2.5 Neuville of warrenligger (1846, fig. 22)

De neuvilleligger is economisch één van de voordeligste vakwerkliggers en biedt bo-

vendien een rustig uiterlijk. De diagonale wandstaven zijn in de buurt van de steunpunten al-

ternerend aan trek en druk onderworpen.

Men halveert de velden makkelijk door het plaatsen van bijkomende hangstaven. Des-

gewenst is een verdere onderverdeling dadelijk mogelijk. Om de kniklengte van de boven-

randstaven in het vlak van de vakwerkligger te halveren, brengt men bijkomende stijlen aan

(in figuur 23 aangeduid in met een kruisje).

Figuur 20

Figuur 23

Figuur 22

A

B C

Figuur 21



2.2.6 K-ligger

Dat de in figuur 24 afgebeelde K-ligger geen mechanisme is kan op overtuigende wijze

als volgt aangetoond worden. Vertrekkend van één der

centrale, vormvaste driehoeken ABC voegt men met be-

hulp van twee stangen opeenvolgend een bovenrandknoop

D, waardoor een vormvast trapezium ABCD ontstaat, en

een onderrandknoop E toe. Vervolgens voegt men aan de

resulterende vormvaste rechthoek ABED met behulp van

twee stangen de centrale knoop F toe waarmee het gestel

ABEFD ook vormvast is. Op die manier kan men het

vakwerk links en rechts van het midden verder vervolledigen en onstaat de statisch bepaalde

K-ligger.

2.2.7 Ligger met veranderlijke hoogte (fig. 25)

Bij een vakwerk met parallelle randen is de normaalkracht in de randstaven klein nabij

de opleggingen. De balkmomenten zijn in deze zones inderdaad gering en h

MN . Daaruit

volgt dat men op het materiaal kan besparen door de constructiehoogte naar de steunpunten

toe te verminderen. Dit heeft tot gevolg dat:

De staven, voornamelijk de wandstaven, korter worden, en bijgevolg een kleinere

kniklengte bezitten

Nwandstaven vermindert. Dit is intuïtief duidelijk: de dwarskrachten worden thans ook

voor een (klein) gedeelte opgenomen door de schuin verlopende randstaven.4

Daartegenover staat het nadeel dat de bewerkingskosten vanwege de ingewikkelder vormge-

geving van de knopen hoger uitvallen.

4 Een strengere bewijsvoering wordt door prof. D. Vandepitte gegeven in zijn standaardwerk: “Berekening van

Constructies - Bouwkunde en Civiele Techniek, Boekdeel 2”, E. Story-Scientia, Gent, 1980, blz. 247.

A D

C F

B E

Figuur 24

Figuur 25



2.2.8 Scharnierligger (fig. 26)

De over drie velden doorgaande warrenligger is statisch onbepaald. De statische onbe-

paaldheid wordt opgeheven, wanneer men de twee met een kruisje aangeduide bovenrandsta-

ven weglaat en een zogeheten scharnierligger construeert. Men bepaalt de vijf reactiecompo-

nenten door de drie vergelijkingen van de vlakke statica - verticaal en horizontaal verschui-

vingsevenwicht en wentelingsevenwicht - aan te vullen met twee vergelijkingen die uitdruk-

ken dat het balkmoment in C en in D nul is.

Een scharnierligger heeft het voordeel dat de krachtenverdeling ongevoelig is voor dif-

ferentiële zettingen. In figuur 27 zijn een paar mogelijke schema’s die verband houden met de

plaats van de “scharnieren” en die enkel de onderrand van het vakwerk weergeven, samenge-

bracht. Merk op dat schikking c “beter” is dan schikking d: bij een ongeval of een plaatselijke

zwakheid in de linkeroverspanning lijdt het eerste een geringere schade - de ravage is beperkt

tot twee overspanningen -, terwijl het laatste door het genoemde gebrek geheel ten gronde ge-

richt wordt.

inhangligger

C D

kraagligger kraagligger

Figuur 26

a

b

c

d

Figuur 27



2.2.9 Andreaskruisligger

a) Algemeen

Een andreaskruisligger onstaat door het inbrengen van gekruiste diagonalen in ieder

van de ongeveer vierkantige mazen of velden. Het vakwerk dat in figuur 28 afgebeeld wordt,

is uitwendig statisch bepaald maar inwendig is het hyperstatisch.

De graad van statische onbepaaldheid is precies gelijk aan het aantal velden: neem in ieder

veld een diagonaal weg en er ontstaat een isostatische constructie.

Wanneer men de diagonalen ter plaatse van hun kruising verbindt, wordt de kniklengte

gehalveerd. Het “koppelen” introduceert kennelijk een bijkomende knoop E, maar dit heeft

evenwel geen invloed op de graad van statische onbepaaldheid, noch op de staafkrachten.

Bijvoorbeeld vergt het evenwicht van knoop E: Nc Nc en Nd Nd .

b) Nauwkeurige berekening van de staafkrachten

Ter illustratie van de werkwijze wordt een andreaskruisligger met vier velden bestu-

deerd. Het vakwerk is onderworpen aan een gegeven uitwendige belasting (toestand a, fig.

29).

Kiest men als hyperstatische onbekenden de staafkrachten in de naar rechtsboven hellende

diagonalen N1 ... N4, dan kan men de lengteverandering van deze diagonalen formeel schrij-

ven als

1 2 3 4

F1 F3

F2

Figuur 29: toestand a

Nc N d

N d

Nc

E E

Figuur 28



)4,...,1i(EA

Ni

i

ii (6)

De normaalkrachten en corresponderende ware rekken in de k overige staven, kunnen als

volgt uitgedrukt worden:

Nk fie F F F reacties N N ( , , , , ... )1 2 3 1 4 , k

kk

EA

N (ware rekken) (7)

Beschouw thans een hulplichaam L1 dat dezelfde geometrie heeft als het andreaskruis,

maar waarin de “overtollige” staven weggelaten werden (toestand b, fig. 30). Dit hulplichaam

wordt beurtelings belast met twee tegengesteld gerichte eenheidskrachten aan de uiteinden en

volgens de richting van een weggelaten diagonaal. Men bepaalt de staafkrachten in het isosta-

tische hulplichaam: nik .

Indien we de ware verplaatsingen en de ware rekken van het ongerepte andrieskruis als virtue-

le verplaatsingen en virtuele vervormingen op dit hulplichaam overbrengen, verrichten de

uitwendige eenheidsbelastingen in toestand b de virtuele arbeid: 1. i . Het statische even-

wicht van L1 vergt bijgevolg:

1. i =

1Lk

k

kik

1Lkkik

1L

.EA

N.n..nds..n (i = 1 ... 4) ,of ,

ii

i .EA

N =

1Lk

k

kik .

EA

N.n (i=1,...,4) (8)

Men past het geschetste principe nog driemaal toe, namelijk bij hulptoestanden die ontstaan

door het verschuiven van het stelsel van eenheidsbelastingen naar links of naar rechts over

telkens een veldlengte. Op deze wijze bekomt men een stelsel van vier lineaire vergelijkingen

met vier onbekenden. Daarin stelt het symbool Nk de normaalkrachten in de k staven van het

statisch onbepaalde vakwerk ( k 1 2 3 4, , , ) voor; nik zijn de staafkrachten teweeggebracht in

toestanden zoals toestand b in figuur 30 en EAk is de rekstijfheid die van staaf tot staaf ver-

schillend kan zijn.

1

1 Figuur 30: hulplichaam b



c) Rekenvoorbeeld (fig. 31): De maaswijdte van onderstaand andreaskruis is 300 cm,

de doorsnede A van alle staven bedraagt 5cm2 en de elasticiteitsmodulus E is 21000 kN/cm

2.

Gevraagd wordt de staafkrachten te bepalen als een verticale kracht van 50 kN ter plaatse van

de centrale onderrandknoop aangrijpt.

De berekeningen zijn samengebracht in de onderstaande tabel. Na nummering van de

staven kiest men als hyperstatische onbekenden de normaalkrachten in de diagonalen 1 en 2.

Met de methode van Ritter of met de methode van het knopenevenwicht worden de overige

staafkrachten uitgedrukt als functie van N1, N2 en de uitwendige belasting (kolom 3 in de ta-

bel). Men bestudeert vervolgens twee toestanden van het isostatische hulplichaam waarbij

beurtelings een paar eenheidskrachten aangebracht wordt ter plaatse van de uiteinden van de

weggelaten staven (fig. 31, toestanden b en c). De gevonden staafkrachten voor die hulptoe-

standen zijn verzameld in kolom 4 en kolom 6. Op dat ogenblik kan elke term van het rechter-

lid van (8) becijferd worden (kolommen 5 en 7, ter wille van de aanschouwelijkheid van de

getallen worden beide leden van (8) met een factor 1000 vermenigvuldigd). Uit het stelsel van

twee vergelijkingen met twee onbekenden worden N1 en N2 berekend, waarna men de overige

staafkrachten (kolom 8) bepaalt met de gegevens van kolom 3.

Staaf L Nk n1k 1000.n1k.rek.lk n2k 1000.n2k.rek.lk Nk

[-] [cm] [kN] [-] [-] [kN]

3 300.0 -25.0 -0.71 . N1 .00 . N2 0.71 -50.5 -1.43 . N1 0.00 . N2 0.00 0.0 0.00 . N1 0.00 . N2 -13.7

4 300.0 -25.0 -0.71 . N1 .00 . N2 0.71 -50.5 -1.43 . N1 0.00 . N2 0.00 0.0 0.00 . N1 0.00 . N2 -13.7

5 300.0 0.0 0.00 . N1 -.71 . N2 0.00 0.0 0.00 . N1 0.00 . N2 0.71 0.0 0.00 . N1 -1.43 . N2 -13.7

6 300.0 0.0 0.00 . N1 -.71 . N2 0.00 0.0 0.00 . N1 0.00 . N2 0.71 0.0 0.00 . N1 -1.43 . N2 -13.7

7 300.0 0.0 -0.71 . N1 .00 . N2 0.71 0.0 -1.43 . N1 0.00 . N2 0.00 0.0 0.00 . N1 0.00 . N2 11.3

8 300.0 25.0 0.00 . N1 -.71 . N2 0.00 0.0 0.00 . N1 0.00 . N2 0.71 50.5 0.00 . N1 -1.43 . N2 11.3

9 424.3 35.4 1.00 . N1 .00 . N2 -1.00 -142.9 -4.04 . N1 0.00 . N2 0.00 0.0 0.00 . N1 0.00 . N2 19.3

10 300.0 25.0 -0.71 . N1 -.71 . N2 0.71 50.5 -1.43 . N1 -1.43 . N2 0.71 50.5 -1.43 . N1 -1.43 . N2 22.7

11 424.3 -35.4 0.00 . N1 1.00 . N2 0.00 0.0 0.00 . N1 0.00 . N2 -1.00 142.9 0.00 . N1 -4.04 . N2 -16.0

som: -193.4 -9.75 . N1 -1.43 . N2 som: 243.9 -1.43 . N1 -9.75 . N2

Stelsel (8): 4.04057 N1 = -193.36 - 9.755 N1 - 1.429 N2 Waaruit: N1 = -16.0 kN

4.04057 N2 = 243.87 - 1.429 N1 - 9.755 N2 N2 = 19.3 kN

4 5 3 10 6

1 9 2 11

7 8

50 kN

1 1

1 1

n1k n2k

a b c

Figuur 31



2.2.10 Ruitligger (fig. 32)

Bij een ruitligger leidt de onderstelling dat de

knopen volmaakt scharnierende gewrichten zijn tot

een kinematisch onbepaald gestel. In het voorbeeld

is 2n = 22, k = 18 en = 3 zodat 22 > 18 + 3: het

systeem is hypostatisch. Ten einde de kinematische

onbepaaldheid op te heffen zou het volstaan één stijl

- aangeduid met een kruisje - toe te voegen, maar

dan verliest de ruitligger zijn identiteit! Bijgevolg

moet men rekenen op de buigstijfheid van de rand-

staven om de belasting te kunnen opnemen. Gewoonlijk onderstelt men daarbij nog steeds dat

de wandstaven scharnierend aansluiten op de randstaven.

2.3 Over meerdere velden doorgaande vakwerkliggers

Indien dergelijke constructies inwendig statisch bepaald zijn, zijn ze uitwendig statisch

onbepaald5. Een direct gevolg is dat een ongelijke zetting van de steunpunten de krachtverde-

ling zal beïnvloeden. Zijn de zettingen beperkt, dan is door de hyperstaticiteit een plastische

redistributie van de spankrachten6 mogelijk en wordt het nadeel ontkracht. Indien evenwel

een gegronde vrees voor grotere differentiële zettingen bestaat - bijvoorbeeld in gebieden waar

mijnverzakkingen te duchten zijn - dan neemt men bij voorkeur een uitwendig statisch be-

paalde draagconstructie. Het effect van ongelijke zettingen is des te belangrijker naarmate de

overspanningen korter zijn omdat de vakwerkligger zich bij een gegeven zetting meer moet

krommen.

Een doorgaande ligger heeft het voordeel dat de absolute waarde van het balkmoment

kleiner is dan bij een isostatisch opgelegde. Bovendien is eerstgenoemde bij gelijke construc-

tiehoogte stijver.

2.3.1 Staafkrachten veroorzaakt door een belasting (fig. 33)

De in onderstaande op een neuvilleligger met veranderlijke hoogte ontvouwde redene-

ring is bruikbaar voor andere schema’s. Bij onderstelling is de vakwerkligger inwendig sta-

tisch bepaald.

Het systeem L is tweevoudig statisch onbepaald. Indien men als hyperstatische onbe-

kenden de staafkrachten N1 en N2 kiest, kunnen de overige normaalkrachten en de correspon-

derende staafverlengingen makkelijk formeel als volgt uitgedrukt worden:

5 De scharnierligger die ter sprake kwam in lid 2.2.8, is eveneens doorgaand over meer dan twee steunpunten en

desalniettemin een statisch bepaalde constructie. 6 Bij het herlezen van de tekst wordt het me duidelijk dat de lezer mogelijk de inhoud van deze zinsnede niet ten

volle begrijpt. Plastische herverdeling betekent dat door het vloeien van staafdoorsneden in een hyperstatische

constructie de uitwendige krachten op een andere manier dan deze volgend uit de elasticiteitstheorie naar de

steunpunten geleid worden. Het effect komt beslist ter sprake in de cursussen handelend over “Staalconstructie-

berekeningen”.

Figuur 32: ruitligger



Nk f ie (belasting, N1, N2) en kk

kk .

EA

N (9)

Het statisch bepaalde hulpsysteem L1, waarvan de geometrie slechts verschilt van deze

van het doorgaande vakwerk door het weglaten van de staven 1 en 2, wordt onderworpen aan

twee tegengesteld gerichte eenheidskrachten, beurtelings aangrijpend ter plaatse van de kno-

pen die de uiteinden van de weggelaten staven vormen: toestand b en c in figuur 33. De

staafkrachten n k1 in toestand b en n k2 in toestand c kunnen met behulp van de vergelijkingen

van de statica makkelijk becijferd worden. We passen het beginsel van de virtuele arbeid toe

op de toestanden b en c, waarbij we de ware vervormingen en verplaatsingen van L als virtue-

le vervormingen en verplaatsingen op L1 overbrengen, zodat de aangrijpingspunten van de

eenheidskrachten een verwijdering of een toenadering ondergaan die gelijk is aan de ware

lengteverandering van de staven 1 en 2 respectievelijk. De evenwichtsvergelijkingen luiden:

k

kk

kk11

1

11 .

EA

N.n.

EA

N.1 ( k 1 2, ) (10a)

k

kk

kk22

2

22 .

EA

N.n.

EA

N.1 ( k 1 2, ). (10b)

Deze twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden leveren meteen de grootheden N1 en

N2 en bijgevolg is de spankrachtenverdeling in de hyperstatische constructie volledig bekend.

L

N1 N2

a: statisch onbepaald systeem

A B C D

L1 1 E F 1

b : staafkrachten n1k

L1 1 G H 1

c : staafkrachten n2k

a

h

b

h

b

h

a

h

Figuur 33: tweevoudig statisch onbepaalde neuvilleligger met veranderlijke hoogte



2.3.2 Ongelijkmatige zetting van de steunpunten (fig. 34)

Indien de zetting lineair varieert langsheen de onderrand, zoals in toestand 1, dan zijn

er geen spankrachten in het gestel omdat het vakwerk een sleepbeweging als een star lichaam

ondergaat. Daarbij wordt wel abstractie gemaakt van 2de-orde effecten, en nemen we met an-

dere woorden aan dat de zettingen klein zijn. We bestuderen derhalve meteen een toestand 2

waar de sleepbeweging geëlimineerd werd.

Kies de staafkrachten N1 en N2 als hyperstatische onbekenden. Zoals in §2.3.1. schrijft

men formeel de uitdrukking van de overige normaalkrachten als:

Nk f ie (N1,N2) en kk

kk .

EA

N (11)

Vervolgens bestudeert men een statisch bepaald hulpsysteem L1, onderworpen aan twee te-

gengesteld gerichte eenheidskrachten, aangrijpend in E en F en met werklijn volgens EF. In

figuur 33b wordt deze toestand afgebeeld en zijn de oplegreacties aangegeven. Zij n1k de

staafkrachten in het hulplichaam ten gevolge van de eenheidsbelasting. Indien men aan het

hulplichaam virtuele verplaatsingen en rekken geeft die gelijk zijn aan de ware vervormingen

van L, dan verwijderen de punten E en F zich tijdens die beweging relatief ten opzichte van

elkaar over de afstand 11

11 .

EA

N . Terzelfder tijd verrichten de reacties in B en C de ar-

beid Bv)b

1

a

1(h Cv

b

h en luidt het beginsel van de virtuele arbeid:

a b c N1 N2

h

v’A v’B v’C v’D

vB vC

1

2

L

Figuur 34: effect van de zettingen van de steunpunten



11

1 .EA

N.1 Bv).

b

1

a

1.(h Cv.

b

h

kk

k

kk1 .

EA

N.n , of ,

k

kk

kk1 .

EA

N.n 1

1

1 .EA

N Bv).

b

1

a

1.(h Cv.

b

h ( k 1 2, ) (12a)

Op volkomen analoge wijze bestudeert men de krachtenverdeling in het hulplichaam

onder de inwerking van twee tegengesteld gerichte eenheidskrachten die aangrijpen ter plaatse

van de knopen G en H. Men vindt:

k

kk

kk2 .

EA

N.n 2

2

2 .EA

N Cv).

c

1

b

1.(h Bv.

b

h ( k 1 2, ) (12b)

Opmerking:

Uit de structuur van de vergelijkingen (12) leert men dat bij gegeven zettingen vB en vC de

staafkrachten groter zijn naarmate

de overspanningen korter worden: de ligger moet zich sterker krommen om het zet-

tingsverschil op te vangen;

de hoogte h toeneemt, wat betekent dat de constructie stijver wordt;

stijvere materialen, bijvoorbeeld gekenmerkt door een grotere elasticiteitsmodulus, ge-

bruikt worden

Het oplossen van het stelsel (12) levert dadelijk de waarde van N1 en N2 .

2.3.3 Rekenvoorbeeld:

De onderstaande neuvilleligger met parallelle boven- en onderrand telt drie velden met

gelijke overspanning. De steunpunten B en C zijn onderhevig aan een zakking van respectie-

velijk 2 cm en 1 cm. Bepaal de staafkrachten ten gevolge van die zettingen in de onderstelling

dat het vakwerk gemaakt is van staal met elasticiteitsmodulus E = 21000 kN/cm2 en dat alle

staven dezelfde dwarsdoorsnede A = 5 cm2 hebben.

Geometrie: a = 400 cm , h = 100 3 cm , gelijkzijdige mazen.

De op volgende bladzijde getabuleerde berekeningen werden verricht volgens de in § 2.3.2.

uiteengezette theorie.

4 1 11 2 18

h 3 5 7 8 10 12 14 15 17 19 21 22

6 9 13 16 20 23

A B C D

a a a

Figuur 35



Zetting van de steunpunten bij een doorgaande neuvilleligger

Staaf Nk n1k 1000.n1k.rek.

k

n2k 1000.n2k.rek.

k

Nk

[-] [cm] [kN] [-] [-] [kN]

3 200 0.50 . N1 0.00 . N2 -0.50 -0.476 . N1 0.000 . N2 0.00 0 . N1 0 . N2 -72.24

4 200 0.50 . N1 0.00 . N2 -0.50 -0.476 . N1 0.000 . N2 0.00 0 . N1 0 . N2 -72.24

5 200 -0.50 . N1 0.00 . N2 0.50 -0.476 . N1 0.000 . N2 0.00 0 . N1 0 . N2 72.24

6 200 -0.25 . N1 0.00 . N2 0.25 -0.119 . N1 0.000 . N2 0.00 0 . N1 0 . N2 36.12

7 200 0.50 . N1 0.00 . N2 -0.50 -0.476 . N1 0.000 . N2 0.00 0 . N1 0 . N2 -72.24

8 200 -0.50 . N1 0.00 . N2 0.50 -0.476 . N1 0.000 . N2 0.00 0 . N1 0 . N2 72.24

9 200 -0.75 . N1 0.00 . N2 0.75 -1.071 . N1 0.000 . N2 0.00 0 . N1 0 . N2 108.36

10 200 -0.50 . N1 0.50 . N2 0.50 -0.476 . N1 0.476 . N2 -0.50 0.476 . N1 -0.476 . N2 66.54

11 200 0.50 . N1 0.50 . N2 -0.50 -0.476 . N1 -0.476 . N2 -0.50 -0.476 . N1 -0.476 . N2 -77.95

12 200 0.50 . N1 -0.50 . N2 -0.50 -0.476 . N1 0.476 . N2 0.50 0.476 . N1 -0.476 . N2 -66.54

13 200 -0.75 . N1 -0.25 . N2 0.75 -1.071 . N1 -0.357 . N2 0.25 -0.357 . N1 -0.119 . N2 111.21

14 200 -0.50 . N1 0.50 . N2 0.50 -0.476 . N1 0.476 . N2 -0.50 0.476 . N1 -0.476 . N2 66.54

15 200 0.50 . N1 -0.50 . N2 -0.50 -0.476 . N1 0.476 . N2 0.50 0.476 . N1 -0.476 . N2 -66.54

16 200 -0.25 . N1 -0.75 . N2 0.25 -0.119 . N1 -0.357 . N2 0.75 -0.357 . N1 -1.071 . N2 44.68

17 200 0.00 . N1 -0.50 . N2 0.00 0.000 . N1 0.000 . N2 0.50 0 . N1 -0.476 . N2 5.71

18 200 0.00 . N1 0.50 . N2 0.00 0.000 . N1 0.000 . N2 -0.50 0 . N1 -0.476 . N2 -5.71

19 200 0.00 . N1 0.50 . N2 0.00 0.000 . N1 0.000 . N2 -0.50 0 . N1 -0.476 . N2 -5.71

20 200 0.00 . N1 -0.75 . N2 0.00 0.000 . N1 0.000 . N2 0.75 0 . N1 -1.071 . N2 8.56

21 200 0.00 . N1 -0.50 . N2 0.00 0.000 . N1 0.000 . N2 0.50 0 . N1 -0.476 . N2 5.71

22 200 0.00 . N1 0.50 . N2 0.00 0.000 . N1 0.000 . N2 -0.50 0 . N1 -0.476 . N2 -5.71

23 200 0.00 . N1 -0.25 . N2 0.00 0.000 . N1 0.000 . N2 0.25 0 . N1 -0.119 . N2 2.85

som: -7.143 . N1 0.714 . N2 som: 0.714 . N1 -7.143 . N2

Stelsel vergelijkingen (12): -7.143 N1 + 0.714 N2 - 1.9048 N1 = 1732.05 – 433.01 N1 = -144.5 kN

0.7143 N1 - 7.143 N2 - 1.9048 N2 = 866.03 - 866.03 N2 = -11.41 kN



3 Verplaatsingen van de knopen

3.1 Verplaatsing van één knoop van een statisch bepaald of onbepaald driehoeksvakwerk

Indien alle staafkrachten Nk

van het vakwerk L (fig. 36a) bekend

zijn, kunnen de corresponderende

gemiddelde verlengingen,

kk

kk

N

EA . berekend worden.

We wensen de verplaatsing van knoop

A, volgens de vooropgegeven richting

p1 te begroten en passen daarom de

algemene werkwijze van de virtuele

arbeid toe (fig. 36b):

Belast een hulplichaam L1 met

een eenheidsbelasting P = 1

met richting en zin volgens p1.

Bereken nk in alle staven van

het hulplichaam.

Kies als virtuele rekken de ware rekken van de staven van L: k

kkk

EA

N .

De gezochte verplaatsing is:

a = k

kk

kk

1Lkk .

EA

N.nds..n (13)

Opmerking:

a is de component van de verplaatsing volgens de werklijn van P = 1. Om de “totale” ver-

plaatsingsvector te kennen, moet men ten minste over twee componenten beschikken. In dat

geval zal men het beginsel tweemaal toepassen: men zoekt de componenten volgens de rich-

tingen p1 en p2 en past de constructie volgens figuur 36c toe. Indien p1 en p2 niet orthogonaal

zijn, mag men niet onbehoedzaam de regel van het parallellogram gebruiken!

3.2 Verplaatsing van alle knopen

De voorgaande methode is zeer bewerkelijk indien men de verplaatsingscomponenten

van alle knopen wenst te kennen. In onderstaande wordt een analytische werkwijze, die tot het

gevraagde resultaat zal leiden, uiteengezet. De vroeger gebruikte epure van Williot is een gra-

fische variant die enkel nog omwille van haar historisch belang vermeld wordt.

p1

L

F1

F2 p1

P = 1

L1

p2

foutief

a

b

c

A

Figuur 36



We onderstellen opnieuw dat de staafkrachten

bekend zijn. Is het vakwerk statisch onbepaald, dan

laten we (na berekening van die staafkrachten) een

aantal zorgvuldig gekozen “overtollige” staven weg,

zodat de voorwaarde 2n = k + vervuld is en het ge-

wijzigde gestel toch vormvast blijft.

Beschouw een willekeurige staaf AB (fig. 37) en no-

teer de coördinaten van begin- en eindknoop in onbe-

laste toestand als (x1, y1) en (x2, y2). De oorspronke-

lijke lengte van de staaf is dan:

22 1

22 1

2 ( ) ( )x x y y (i)

Na belasting van het oorspronkelijke vakwerk nemen de knopen de nieuwe stand A’ en B’ in

met coördinaten van A’ (x1+u1, y1+v1) en van B’ (x2+u2, y2+v2) en is de lengte van de staaf

toegenomen tot :

( ) ( ) ( ) 22 2 1 1

22 2 1 1

2x u x u y v y v

of

2 2 2 . = ( ) ( )x x y y2 12

2 12 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1( ).( ) ( ).( )x x u u y y v v

( ) ( )u u v v2 12

2 12 (ii)

In de onderstelling dat de verplaatsingen en de rekken klein zijn mag men zonder bezwaar de

kwadratische termen uit de uitdrukking van (ii) weren en bekomt men:

2 2 . = ( ) ( )x x y y2 12

2 12 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1( ).( ) ( ).( )x x u u y y v v (iii)

Het verschil (iii)-(i) kan als volgt geschreven worden

2 . 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1( ).( ) ( ).( )x x u u y y v v

Indien men de constitutieve wet N

EA. gebruikt, wordt deze gelijkheid:

N

EA.

12 1 2 1 2 1 2 1

.[( ).( ) ( ).( )]x x u u y y v v (14)

Men stelt de betrekking (14) op voor elke staaf, waarmee men een stelsel van k vergelijkingen

met 2n onbekenden bekomt. Het aantal k is voldoende om het stelsel op te lossen indien men

tevens rekening houdt met de kinematische randvoorwaarden die bijvoorbeeld uitdrukken

y

x

A

B A’

B’

Figuur 37



dat de verplaatsingen u en v ter plaatse van een scharnierende ondersteuning en de component

v ter plaatse van een rol met horizontale glijbaan nul zijn.

3.3 Rekenvoorbeeld: zakking van knoop G van het in §2.1.2 behandelde

vakwerk (fig. 38)

De normaalkrachten

Nk zijn gegeven in de vijfde

kolom van onderstaande ta-

bel, de bijhorende staafver-

lengingen in kolom zes. We

nemen het oorspronkelijke

vakwerk als hulplichaam,

belasten het met een verticale

eenheidskracht in G en bere-

kenen de staafkrachten nk

(zevende kolom). Tot slot

vindt men de gevraagde verplaatsing door de bijdragen nk k k. . te sommeren. De stijfheid

van de staven is gekenschetst door de elasticiteitsmodulus E = 21000 kN/cm2 en de secties:

A = 5cm2 voor staven 1,2,3,4,10,11,12,13 en A = 3cm

2 voor staven 5,6,7,8,9.

Staaf nr. (cm) A (cm2) E (kN/cm2) N (kN) . (cm) n (-) n.. (cm)

1 424,26407 5 21000 -49,49747 -0,2 -0,707107 0,1414214

2 300 5 21000 -50 -0,142857 -1 0,1428571

3 300 5 21000 -50 -0,142857 -1 0,1428571

4 424,26407 5 21000 -35,35534 -0,142857 -0,707107 0,1010153

5 300 3 21000 20 0,0952381 0 0

6 424,26407 3 21000 21,213203 0,1428571 0,7071068 0,1010153

7 300 3 21000 0 0 0 0

8 424,26407 3 21000 35,355339 0,2380952 0,7071068 0,1683588

9 300 3 21000 0 0 0 0

10 300 5 21000 35 0,1 0,5 0,05

11 300 5 21000 35 0,1 0,5 0,05

12 300 5 21000 25 0,0714286 0,5 0,0357143

13 300 5 21000 25 0,0714286 0,5 0,0357143

a (cm) = 0,9689535

C 2 E 3 D

1 5 6 7 8 9 4

A F H B

10 11 G 12 13

1

L1

Figuur 38

9

Bogen en

Boogconstructies

Bogen en boogconstructies 9.2


1 Volwandige bogen

1.1 Onderstellingen en afspraken

We bestuderen

vlakke bogen met een

symmetrische doorsnede

(fig.1a). De belasting

grijpt aan in het symme-

trievlak zodat de vervorm-

de hartlijn van de boog

geheel in dat symmetrie-

vlak gelegen is. We bestu-

deren de boog als lijnvor-

mend element in de ruimte

en bepalen de vorm van de

hartlijn door haar ordina-

ten y(x) (fig. 1b). In een

willekeurig punt, bijvoor-

beeld gekenschetst door de

kromlijnige coördinaat s

die vertrekt in de oor-

sprong en langs de hartlijn evolueert, is dx

dyarctan de hoek tussen de positieve x-as en de

halfrechte die raakt aan de onvervormde hartlijn.

Het materiaal is bij onderstelling lineair elastisch en we houden rekening met de ver-

vorming door buigende momenten, door normaalkrachten en door een gelijkmatige tempera-

tuurstijging. Het effect van de dwarskrachtvervorming wordt veronachtzaamd. We onderstel-

len dat de geometrische kromtestraal

d

dsr van de onvervormde hartlijn niet te klein is ten

opzichte van de hoogte van de boogdoorsnede, en dus niet zoals in figuur 1c, zodat de nor-

maalspanningsverdeling over de hoogte van een dwarsdoorsnede lineair is en gegeven wordt

door de gewone formules van de samengestelde buiging.1 2

1 Bij sterk gekromde bogen die aan buiging in hun vlak onderworpen zijn, valt de neutrale lijn niet samen met de

zwaarteas loodrecht op het vlak van de boog en bovendien is de spanningsverdeling over de dwarsdoorsnede

niet lineair veranderlijk. Tevens veroorzaakt een normaalkracht die in het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede

aangrijpt toch een elastische verdraaiing van die doorsnede. Wij verwijzen de geïnteresseerde lezer naar Ti-

moshenko and Gere, Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1954, blz. 362-375. 2 Praktisch gesproken is de betekenis van “niet te klein” vervuld zodra r groter is dan 20 keer de hoogte van de

doorsnede.

belasting in

symmetrievlak

r h

s

x

y

y(x)

Figuur 1

a c

b



1.2 Formules van Bresse

Beschouw een boogelement, gevat

tussen twee doorsneden 1 en 2 (fig. 2). Ten

gevolge van de mechanische en thermische

belasting vervormt de boog en ontstaan er

buigende momenten M, normaalkrachten N

en dwarskrachten V in de doorsneden. De

formules van Bresse leggen een verband tus-

sen de verplaatsingen u1, v1, 1 en u2, v2, 2

van doorsnede 1 en 2. Mits verwaarlozing

van de dwarskrachtvervorming luiden ze:

2 1 2s

1s

ds.I

M

E

1 (1)

u2 u y y1 2 1 1 ( ). ( ).x x t T2 1 ds.I

M).yy(

E

1dx.

A

N

E

1 2s

1s2

2x

1x

(2)

v2 v x x1 2 1 1 ( ). ( ). .y y t T2 1 ds.I

M).xx(

E

1dy

A

N

E

1 2s

1s2

2y

1y

(3)

Hierin is t de lineaire thermische uit-

zettingscoëfficiënt van het materiaal en

T de temperatuurverandering.

De onderstreepte termen in de rechter-

leden van (1), (2) en (3) komen tot

stand door de verplaatsing van het

segment 1-2 als een star lichaam. De

overige zijn het gevolg van de span-

krachten N en M en van de thermische

rekken in het lichaam. Men verklaart

ze makkelijk met het beginsel van de

virtuele arbeid.

Effect van de verplaatsing als star lichaam

Het effect van u1 en v1 is een zuivere translatie en behoeft geen verdere toelichting. Het

“kwispeleffect” te wijten aan de hoekverdraaiing 1 van doorsnede 1 vergt een verdui-

delijking (fig. 3). Met de daar gehanteerde notaties vindt men:

u r2 1 cos( ) cos r sin sin cos .( cos ) 1 11

r.sin 1 (1 klein ) ( )y y2 1 1

1

x2 - x1

v2

y2 - y1

x

y

u2

1

2

Figuur 3

r

r

2

u1

x

y

M,N,V,T

v1

1 2

v2

u2

Figuur 2

1



v r2 1 sin( ) sin r cos sin 1 sin .( cos ) 1 1

r.cos 1 (1 klein ) ( ).x x2 1 1

2 1

Effect van M, N, T

Indien de kromtestraal van de onvervormde hartlijn groot is met betrekking tot de hoog-

te van de dwarsdoorsnede, mag men de klassieke formules van de samengestelde bui-

ging voor de rek van de zwaartepuntvezel en voor de elastische kromming toepas-

sen:

TEA

Nt en

EI

M (4)

Beschouw een hulplichaam, inge-

klemd in 1 dat we in 2 achtereenvol-

gens belasten met een eenheidskracht

volgens de x-as, een eenheidskracht

volgens de y-as en een eenheidskop-

pel (fig. 4). We passen de stelling van

de virtuele arbeid toe op het hulpli-

chaam en kiezen als virtuele vervor-

mingen de ware rekken en krommin-

gen van het boogelement. De ver-

plaatsingen van 2 worden dan alge-

meen gegeven door de betrekking:

a n ds m ds . . . . 1

2

1

2

.

a) Krachtenkoppel in doorsnede 2: n = 0 , m = 1 (fig. 4c).

2

12 ds.

EI

M

b) Eenheidsbelasting X = 1 ter plaatse van 2: n = cos , m = ( )y y2 (fig. 4a).

2

12

2

1t2 ds

EI

M).yy(ds.cos).T

EA

N(u

2

12

2

1t12 ds

EI

M).yy(dx

EA

NT).xx(

c) Eenheidsbelasting Y = 1 ter plaatse van 2: n = sin , m = ( )x x2 (fig. 4.b).

1

y

2 y2 - y

X = 1

1

x2 - x

2

Y = 1

K = 1

1

2

Figuur 4

a

b

c

x



2

12

2

1t2 ds

EI

M).xx(ds.sin).T

EA

N(v

2

12

2

1t12 ds

EI

M).xx(dy

EA

NT).yy(

Indien men de gevonden partiële bijdragen sommeert, vindt men onmiddellijk de formu-

les van Bresse weer.

Opmerkingen:

Er werd rekening gehouden met de verbanden ds =

sin

dy

cos

dx.

De formules van Bresse zijn gelineariseerde betrekkingen. Er werd immers ondersteld

dat sin en cos 1. Men bekomt nauwkeuriger uitdrukkingen wanneer men meer

termen in de reeksen ...!5!3

sin53

en ...!4!2

1cos42

behoudt, maar

zulks leidt ongetwijfeld tot berekeningen van een hogere orde.

1.3 Relatief belang van de normaalkrachtvervorming

In vele gevallen mag men de normaalkrachtvervorming verwaarlozen ten opzichte van

de vervorming door buiging. Daardoor zijn de formules van Bresse wat eenvoudiger:

2s

1s12 ds

I

M

E

1 (1’)

2s

1s2t1211212 ds

I

M)yy(

E

1T).xx().yy(uu (2’)

dsI

M)xx(

E

1T).yy().xx(vv

2s

1s2t1211212 (3’)

Er zijn evenwel uitzonderingen waar men de normaalkrachtvervorming niet mag ver-

waarlozen:

Bij een flauw gekromde boogas is y2 - y van een zelfde

grootteorde als de hoogte h van de boogdoorsneden en

is cos 1. Dit is het geval bij ondiepe bogen of “shal-

low arches”. Het buigend moment M in een doorsnede

komt tot stand doordat de werklijn van de kracht, uitge-

oefend door bijvoorbeeld het gedeelte van de boog

rechts van de doorsnede op het linkerdeel, de doorsnede

x

y

N

e

Figuur 5



treft op een afstand e - de excentriciteit - van haar zwaartepunt: M = - N. e (fig. 5).

Hierbij rekenen we de excentriciteit positief volgens de plaatselijke y-as die haaks op de

hartlijn staat.

Zij i de traagheidsstraal: A

Ii . Voor een rechthoekige doorsnede is

12

hi , bij de

meeste gedrongen secties is steeds ih

2

. We vergelijken de integranden in (2) die toe te

schrijven zijn aan M en N respectievelijk:

dx.A

Ncos.Ai

dx.e.N)yy(

dx.A

N

dsI

M)yy( 222

=

cos

1

i

e

i

yy2 .

De eerste en de derde factor van het product in het rechterlid zijn bij ondiepe bogen bij

benadering gelijk aan één, en bijgevolg is het niet a priori zeker dat de vervorming door

buiging veel belangrijker zal zijn dan de normaalkrachtvervorming.

Als de belasting ongeveer een evenwichtsbelasting voor een gegeven boog is. In dat ge-

val valt de druklijn ten naaste bij samen met de hartlijn van de boog (e 0), zijn er geen

buigende momenten en wordt de vervorming van de boog eigenlijk uitsluitend bepaald

door effecten van normaalkracht. Op de begrippen evenwichtsbelasting en druklijn

wordt in onderstaande teruggekomen.

1.4 Boogwerking

We beschouwen enerzijds een isostatische opgelegde kromme ligger, waarvan de hart-

lijn een parabool

2

2xxf4y

beschrijft ( = overspanning, f = toog) en die in het mid-

den van de overspanning een puntlast F draagt, en anderzijds een boog met dezelfde geometrie

en belasting maar waarbij beide steunpunten onwrikbare scharnieren zijn (fig. 6).

kromme ligger tweescharnierboog

Figuur 6

F F

f

X Xr

Y Yr

1 2

3



Het extremale buigend moment in de balk, 4

.F , doet zich voor in het midden van de over-

spanning. We berekenen het buigend moment in de boog in de onderstelling dat

I cst Icos 03 en bedienen ons daarbij van de formules van Bresse (1’-3’).

Statica

0FYY r , HXX0XX rr ,

2

FYY0

2FY r

Hieruit blijkt dat de horizontale reactie X = H de enige onbekende is. De horizontale

kracht H is de zogeheten spatkracht. De tweescharnierboog is een eenmaal statisch onbe-

paald systeem.

Hou rekening met de kinematische randvoorwaarden en druk met formule (2’) van Bresse

uit dat u2 = u1 = 0.

dsEI

M)yy(

0

)yy(u0u2

1 "0

21

"

12

"0

12

=

2

1 cos

dx.

EI

My dxM

xx

f4.

EI

2 3

1

2

0

(symmetrie)

De uitdrukking van het buigend moment in het gedeelte 1-3 wordt gegeven door:

yHx2

FyXxYM

2xx

f4Hx

2

Fen daarmee wordt boven-

staande compatibiliteitsbetrekking:

dxx

xf4

Hx2

Fxx

f40

2

0

22

23 .f.H

15

1.F

384

5 .

Hieruit volgt: F.f

.128

25H

en

3,18

FF

128

7F

128

25

4

FHf

4

FM3

.

Het blijkt dat het extremale buigend moment in de boog ongeveer 4,5 maal kleiner is dan

dat in de kromme ligger. Dit is een gevolg van het bestaan van een horizontale reactiecom-

ponent of spatkracht die aan beide ondersteuningen in de boog geleid wordt. Bij de krom-

me ligger is die spatkracht onbestaande.

3 Deze aanname vereenvoudigt de berekeningen aanzienlijk en was daardoor in het verleden bijzonder attractief

bij de bogenontwerpers. Dat oudere bogen vaak door een veranderlijke hoogte van de dwarsdoorsnede geken-

merkt zijn, is er deels een gevolg van.



De boogwerking berust op het feit dat een verticale belasting horizontale reactiecom-

ponenten opwekt, waardoor de buigende momenten fors lager uitvallen dan wanneer die hori-

zontale spatkracht niet bestond. Opdat de boogwerking tot stand zou kunnen komen is het no-

dig dat de fundering de spatkrachten kan opnemen. Dit is afhankelijk van de bodemgesteld-

heid. Het funderingsontwerp zal moeilijker en kostelijker zijn bij een weinig draagkrachtige

bodem dan wanneer men de geboorten kan afstempelen op een gave rots. In het laatste geval

zal men ernaar streven om de hartlijn bij de booggeboorten haaks op de rotsflank te plaatsen.

1.5 Druklijn

Beschouw een deel van een boog of gewelf (fig. 7) die we met behulp van een aantal

denkbeeldige voegen i - haaks op de hartlijn - onderverdelen in moten. We noteren met F1, F2

… de uitwendige krachten die op de moten werkzaam zijn. De kracht F0 die uitgeoefend

wordt door het in de figuur weggenomen deel, ontmoet de eerste moot in het krachtpunt K0.

De werklijn van de resultante van F0 en F1, namelijk R1, snijdt de denkbeeldige voeg 1 in het

krachtpunt K1, deze van de resultante van R1 en F2, namelijk R2, snijdt de denkbeeldige voeg

2 in het krachtpunt K2 enz.

De druklijn is de meetkundige plaats van de krachtpunten Ki. Haar nut is dat ze het

krachtenspel in de boog aanschouwelijk maakt. Bijvoorbeeld kan men op basis van de druk-

lijn meteen zeggen in welke zones het krachtpunt buiten de centrale kern van de doorsnede

valt en waar een druknormaalkracht bijgevolg ook trekspanningen zal opwekken. Dergelijke

F1

F2 F0

K1

F3

krachtenveelhoek

Figuur 7

K0

K2

F4 K3

K4

F0

F1

F2

F3

F4

R1

R2

R3

R4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

druklijn

parabool

- y/

x/

Figuur 8



gegevens zijn bijzonder nuttig bij bogen, vervaardigd van steenachtige materialen die weinig

tegen trekspanningen bestand zijn.

In figuur 8 is de druklijn getekend voor de in bovenstaande behandelde tweescharnier-

boog die in het midden van de overspanning een puntlast draagt en waarbij f = 0,5 .

1.6 Evenwichtsbelastingen

Men zegt van een belasting op een gegeven boog dat het een evenwichtsbelasting is,

indien ze in de boog enkel normaalkrachten en geen buigende momenten teweegbrengt. Ge-

woonlijk wordt het begrip geïllustreerd in de onderstelling dat de rekstijfheid EA van de boog

oneindig groot is, zodat de normaalkrachtvervorming verwaarloosd kan worden. Deze hypo-

these is trouwens in onderstaande de enige reden om de normaalkrachtvervorming niet in re-

kening te brengen.

Beschouw een kromme staaf waarvan de hartlijn een parabool van de tweede graad

met overspanning en pijl f beschrijft en die

onderworpen is aan een gelijkmatig gesprei-

de belasting p per eenheid van horizontale

afmeting (toestand a, fig. 9). Het traag-

heidsmoment I(x) van de boogdoorsneden is

willekeurig. Het buigend moment M’ in de

kromme staaf is eveneens een parabool van

de tweede graad, 2

pxx.

2

p'M

2

, waarvan

het extremum zich voordoet in het midden

van de overspanning: 8

p

2x'M

2

.

Ten gevolge van de inwendige spannings-

verdeling verschuift de roloplegging naar

rechts over een afstand u’2.

Indien we de kromme staaf belasten

met een naar links gerichte horizontale

kracht ter hoogte van de rol (toestand b in

figuur 9) is de buigende momentenverdeling

M” = -H.y, eveneens parabolisch met als

extremum in het midden van de overspan-

ning f.H2

x"M

. Kennelijk verschuift doorsnede 2 nu over een afstand u2" naar

links.

Bij superpositie van de effecten van p en H is de resulterende momentenverdeling M =

M’ + M” alweer een parabool van de 2de graad en bedraagt de waarde in het midden van de

p

f

1 2’ 2

u’2

M’

x

u”2

f 1 x 2” 2 H

M”

x

-

a

b

Figuur 9

+



overspanning fH8

p

2M

2

. Indien we

f8

pH

2 kiezen, wordt duidelijk dat de parabo-

len in toestand a en b identiek zijn op het teken na en zal het buigend moment nul worden

voor alle boogdoorsneden. Krachtens de formules van Bresse (1’)-(3’) zijn de verplaatsingen

u v 0 over de gehele lengte van de kromme staaf. In het bijzonder is

u v1 1 1 0 en u v2 2 2 0 . Bijgevolg mogen we voor die uitwendige belasting

zonder bezwaar de roloplegging door een onwrikbaar scharnier vervangen zonder de span-

krachtenverdeling te wijzigen: de buigende momenten in de boog zijn nul en de spatkracht

bedraagt f8

pH

2 . Dit besluit blijft onverminderd gelden voor een tweezijdig ingeklemde of

een eenzijdig ingeklemde, eenzijdig scharnierend opgelegde boog. Men zegt dat de uniforme

belasting per eenheid van horizontale afmeting p een evenwichtsbelasting is voor een parabo-

lische boog.

De eigenschap, M = 0, is het gevolg van het feit dat de vorm van M’ in toestand a en van M”

in toestand b dezelfde is als de vorm van de hartlijn van de boog en van de bij onderstelling

oneindig grote rekstijfheid EA; daarbij zijn M’ en M” buigende momentenverdelingen in de

“afgeleide” kromme staaf met één vaste geboorte en de andere vrij beweegbaar in horizontale

richting.

Andere voorbeelden:

a) Geknakte boog (fig. 10)

De krachten F1 en F2 geven in de geknakte

ligger aanleiding tot een stuksgewijze line-

air variërende buigende momentenverdeling

M’ met ordinaten a en b ter hoogte van hun

aangrijpingspunten. Indien we de ligger be-

lasten met een horizontale kracht H ter

hoogte van de rechtersteun is het buigend

moment M” eveneens stuksgewijze lineair

met amplitudes H.c en H.d ter hoogte van

doorsneden 1 en 2 respectievelijk.

De geknakte boog zal onder de gezamenlij-

ke inwerking van F1, F2 en H vrij zijn van

buigende momenten als voldaan is aan de

gelijkheid d

b

c

a . In die omstandigheid

wordt de spatkracht gegeven door d

bH

onafhankelijk van de aard van de onder-

steuningen in A en B (onwrikbaar scharnier

of inklemming).

F2

F1 2

1 c d

a

M’

a + b

x

c d H b

M”

x

- H.c - H.d

Figuur 10



b) Cirkelboog onder radiale druk p

Beschouw eerst de “afgeleide” lig-

ger met dezelfde radiale belasting

(fig. 11). Men vindt de steunpunts-

reactie YB uit symmetrieoverwe-

gingen:

2

B dssinpY

2dsinrp

p r cos .

Het buigend moment M’ in een doorsnede, gekenschetst door de hoek , wordt gegeven

door:

d)(sinpr)cosrcosr(Yd'CC.pr)cosrcosr.(YM 2

BB'

= pr2.(cos

2 - cos.cos) - pr

2 + pr

2cos ( - ) = pr

2.(-1 + cos

2 + sin.sin)

= pr2 sin (sin - sin)

Een horizontale kracht H, naar links gericht en aangrijpend ter plaatse van de rol, brengt

in dezelfde doorsnede een buigend moment M” teweeg:

.Hy.HM" r.(sin - sin)

Vermits de vorm van M’ en van M” op het teken na dezelfde is, zal de cirkelboog met

onwrikbaar steunpunt in B onder de inwerking van de uniforme radiale belasting p vrij

zijn van buigende momenten, i.e. M M M" ' 0 , en wordt de spatkracht gegeven

door H = pr.sin. Men kan overigens aantonen dat de normaalkracht constant is en ge-

lijk aan - pr.

p

r

C’

C

YB

A B

Figuur 11



1.7 Driescharnierbogen

De spanningsresultanten M, N en V zijn

bij driescharnierbogen statisch bepaald en de

enige juiste druklijn gaat door de drie scharnie-

ren. Om de verplaatsingen te berekenen, kiezen

we een assenstelsel als in figuur 12: x1 = y1 = 0,

x2 = ’, y2 = f, x3 = , y3 = 0, en dienen we bij-

gevolg de kinematische randvoorwaarden u1 =

v1 = u3 = v3 = 0 in acht te nemen.

De formules van Bresse (2) en (3) voor de booggedeelten 1-2 en 2-3 leveren:

2

1

2

1t112 ds.

I

M).yf(

E

1dx.

A

N

E

1T.)0'().0f(uu (i)

dsI

M)x'(

E

1dy

A

N

E

1T)0f()0'(vv

2

1

2

1t112 (ii)

en

dsI

M)y0(

E

1dx

A

N

E

1T)'().f0(u0u

3

2

3

2tr223 (iii)

dsI

M)x(

E

1dy

A

N

E

1T).f0().'(v0v

3

2

3

2tr223 (iv)

Substitutie van (i) en (ii) in (iii) en (iv) geeft twee vergelijkingen met twee onbekenden: de

hoekverdraaiing 1 van doorsnede 1 en de rotatie 2r van de rechterraaklijn aan de hartlijn in

2. Na oplossing van dit stelsel naar 1 en 2r gevolgd door een terugsubstitutie van 1 in (i) en

(ii) kan men de verschuivingen u2 en v2 van het scharnier 2 berekenen. Hierna kan men met

behulp van de formules van Bresse de verplaatsingen u(s) , v(s) en (s) in ieder punt van de

hartlijn begroten.

In het scharnier 2 ontstaat een relatieve hoekverdraaiing, een knikhoek, gegeven door

2 2 2 r met 2

112 ds

I

M

E

1 . Het is de hoek waarover de linkerraaklijn aan de

elastica moet draaien in de tegenwijzerzin om samen te vallen met de rechterraaklijn. Men

vervormd 2

1 1

y onvervormd 2r

y f

1 3 x

Figuur 13

2 2

f

1

f

1

1 3 x,u

2

f

’ ’’

y,v

Figuur 12



bekomt de knikhoek op een meer directe wijze door het beginsel van de virtuele arbeid toe te

passen op een hulplichaam - met dezelfde geometrie als de driescharnierboog - dat met twee

tegengestelde eenheidskoppels in 2 belast wordt (fig. 13). Laatstgenoemde brengen de span-

ningsresultanten n = f

cos en m =

f

y in het hulplichaam teweeg. Indien men als virtuele

rekken en krommingen de ware rekken en krommingen van de driescharnierboog op het hul-

plichaam overbrengt luidt het beginsel:

3

1t

3

12 ds.

EI

M.

f

yds).T

EA

N.(

f

cos.1 )ds.

EI

M.ydx.

EA

NT.(

f

1 3

1

3

1t .

Opmerkingen:

Indien een driescharnierboog alleen aan een thermische uitzetting t.T wordt onder-

worpen, is M N 0. In een statisch bepaald gestel ontstaan namelijk geen spankrach-

ten door een gelijkmatige temperatuursverandering.

Het berekenen van de integralen is analytisch niet altijd mogelijk. Men becijfert ze dan

numeriek met de regel van Simpson of met de trapeziumregel (fig. 14) waarbij integra-

len vervangen worden door een som: f x dx f x Hi ia

b

( ) ( ) . Hierbij is Hi een ge-

wichtsfunctie. De Gauss-kwadratuur bewandelt een zelfde weg. Het aantal, de positie en

de ponderatiecoëfficiënt van de bemonsteringspunten (“sampling points”) is hier even-

wel afhankelijk van de graad van de te integreren veelterm. Men bewijst dat men met n

integratiepunten een polynoom van de graad 2n-1 exact integreert. In onderstaande tabel

wordt de positie en de gewichtscoëfficiënt van de integratiepunten gegeven indien de

graad van de polynoom n 10 is. De toepassing ervan vergt wel de overgang van een

willekeurig interval x a b[ , ] naar een standaardinterval [-1,+1] via de transformatie:

2x a b

b a

( )

x x

f(x) f(x)

xi x

f(xi)

Regel van Simpson Trapeziumregel

Figuur 14



Posities en ponderatiecoëfficiënten van de kwadratuurformule van Gauss

f x dx H f aij

n

j( ) ( ) 11

1

a H n = 1 0.00000 00000 00000 2.00000 00000 00000

n = 2

0.57735 02691 89626 1.0000 00000 00000

n = 3

0.77459 66692 41483 0.55555 55555 55556

0.00000 00000 00000 0.88888 88888 88889

n = 4

0.86113 63115 94053 0.34785 48451 37454

0.33998 10435 84856 0.65214 51548 62546

n = 5

0.90617 98459 38664 0.23692 68850 56189

0.53846 93101 05683 0.47862 86704 99366

0.00000 00000 00000 0.56888 88888 88889

n = 6

0.93246 95142 03152 0.17132 44923 79170

0.66120 93864 66265 0.36076 15730 48139

0.23861 91860 83197 0.46791 39345 72691

n = 7

0.94910 79123 42759 0.12948 49661 68870

0.74153 11855 99394 0.27970 53914 89277

0.40584 51513 77397 0.38183 00505 05119

0.00000 00000 00000 0.41795 91836 73469

n = 8

0.96028 98564 97536 0.10122 85362 90376

0.79666 64774 13627 0.22238 10344 53374

0.52553 24099 16329 0.31370 66458 77887

0.18343 46424 95650 0.36268 37833 78362

n = 9

0.96816 02395 07626 0.08127 43883 61574

0.83603 11073 26636 0.18064 81606 94857

0.61337 14327 00590 0.26061 06964 02935

0.32425 34234 03809 0.31234 70770 40003

0.00000 00000 00000 0.33023 93550 01260

n = 10

0.97390 65285 17172 0.06667 13443 08688

0.86506 33666 88985 0.14945 13491 50581

0.67940 95682 99024 0.21908 93625 15982

0.43339 53941 29247 0.26926 67193 09996

0.14887 43389 81631 0.29552 42247 14753



1.8 Tweescharnierbogen

1.8.1 Statica

Een tweescharnierboog is eenmaal

statisch onbepaald (fig. 15). Om het sta-

tisch evenwicht onder een gegeven stel van

belastingen uit te drukken, kan men één

van de drie, hierna opgesomde, gelijkwaar-

dige mogelijkheden gebruiken:4

1) Twee projectievergelijkingen en één momentenvergelijking om een willekeurig punt.

of (niet “en”)

2) Een projectievergelijking en twee momentenvergelijkingen om centra, waarvan de ver-

bindingslijn niet haaks staat op de rechte waarop we hebben geprojecteerd.5

of (niet “en”)

3) Drie momentenvergelijkingen om centra die niet collineair zijn.6

We bedienen ons van keuzemogelijkheid 2):

Y3 + M Fii

1 = 0 : wentelingsevenwicht in tegenwijzerzin om centrum 1

-Y1 + M Fii

3 = 0 : wentelingsevenwicht in tegenwijzerzin om centrum 3

X1 + X3 +i

ixF = 0 : projectie op de x-as

Hieruit blijkt dat de verticale reactiecomponenten Y1 en Y3 bekend zijn, evenals de som van

de horizontale reacties X1 + X3 ; de onderlinge waarde van de horizontale reacties is echter

niet bekend. Om die statische onbepaaldheid op te heffen, zullen we in onderstaande gebruik

maken van de kinematische randvoorwaarde u3 - u1 = 0 die uitdrukt dat de afstand tussen de

geboorten niet verandert als de belasting aangebracht wordt.

1.8.2 Berekening van de spanningsresultanten

We noteren de van belang zijnde spanningsresultanten in het oorspronkelijke gestel als

M(s) en N(s). s is als gewoonlijk een langs de hartlijn ingevoerde, kromlijnige coördinaat (fig.

16). Men verandert niets aan de krachtswerking in het hyperstatisch systeem indien men het

scharnier in 3 vervangt door een roloplegging - waardoor het zogeheten hoofdsysteem ontstaat

4 Vanzelfsprekend kan men oneindig talrijke evenwichtsvergelijkingen neerschrijven: er zijn immers oneindig

talrijke richtingen waarop men kan projecteren en er zijn oneindig talrijke centra om dewelke men een momen-

tenvergelijking kan uitdrukken. In die oneindige verzameling zijn er evenwel slechts drie vergelijkingen onaf-

hankelijk. 5 Staat de projectierichting haaks om de verbindingsrechte van de momentencentra dan is de bijhorende even-

wichtsvergelijking een lineaire combinatie van de twee momentenvergelijkingen. 6 Zijn de centra collineair dan is één van de vergelijkingen een lineaire combinatie van de twee overige.

1 3

Y1 Y3

X1 X3 x

y

Figuur 15



- én men terzelfder tijd een horizontale kracht ter hoogte van de rol laat inwerken, waarvan de

grootte en zin corresponderen met de steunpuntsreactie X3.

De krachtwerking in het oor-

spronkelijk gestel volgt kenne-

lijk uit de superpositie van twee

toestanden:

De buigende momenten en

normaalkrachten M0(s) en

N0(s) in het hoofdsysteem

onder dezelfde uitwendige

belasting als deze van de

tweescharnierboog.

De buigende momenten- en

normaalkrachtenverdeling in

het hoofdsysteem, veroor-

zaakt door kracht X3. In de-

ze toestand geldt:

Y1 = Y3 = 0 en X1 = - X3

zodat M = 3X .y en N =

3X .cos.

Superpositie geeft: M(s) = M0(s) + X3.y en N(s) = N0(s) + X3.cos, waarna we de onbeken-

de X3 bepalen door uit te drukken dat u3 - u1 = 0:

u3 - u1 = 0 = - (y3 - y1).1 + (x3 - x1).t T 3

1

3

13 ds

I

M)yy(

E

1dx

A

N

E

1, of

3

1

3

1

303

0t ds.y

I

X

I

M.y

E

1dx.

A

cosX

A

N

E

1T.0 , of nog

3

1

3

1

2

3

1

3

1t

00

3

xdA

cosds

I

y

TEdxA

Nds

I

My

X

(5)

De tweede term van zowel teller als noemer is vaak verwaarloosbaar. Met de gevonden waar-

de van X3 zijn de spankrachten M(s) en N(s) in de boog ondubbelzinnig bepaald. Indien de

belasting op de boog uitsluitend een thermische aard heeft, zijn de isostatische spanningsresul-

tanten identiek gelijk aan nul: M0 N0 0, maar uit (5) blijkt dat X3 0, zodat een tempera-

tuursverandering toch spankrachten in de boog teweegbrengt, wat bij een driescharnierboog

niet het geval is.

a

b

c

1 3 x

y

1 3 x

y

Figuur 16

X1 1 3 X3

y

x



1.8.3 Berekening van de verplaatsingen

Uit de derde formule van Bresse volgt meteen de waarde van de rotatie 1 :

3

1t

0

1

0

3113 dy.A

N

E

1T).yy(.0vv

3

1

dsI

M)x(

E

1 , of

3

11 dy.

A

N

.E

1

3

1

dsI

M)x(

.E

1

.

De formules (1), (2) en (3) van Bresse kunnen nu gebruikt worden om de verplaatsingen u(s),

v(s) en (s) van een willekeurige doorsnede te begroten.

1.8.4 Invloedslijn van X3 onder een mobiele verticale eenheidskracht

We zoeken de invloedslijn in de onderstelling dat de normaalkrachtvervorming ver-

waarloosd mag worden. Vermits er thans geen sprake is van een temperatuursverandering -

T = 0 - geeft (5) meteen:

3

1

2

3

1

0

3

dsI

y

dsI

My

X (5’)

Hierin is M0 het buigend moment in een wil-

lekeurige doorsnede met abscis x van het

statisch bepaalde hoofdsysteem, onder de

inwerking van de beweeglijke eenheidsbelas-

ting waarvan we de stand bepalen door de

(veranderlijke) abscis t = . De uitdrukking

van M0 is:

tx)x(t

txxt

M0

We ontwikkelen hierna formules voor het

geval dat de hartlijn van de boog een para-

bool van de tweede graad beschrijft:

)x.(xf4

y2

. We zoeken de invloedsor-

dinaten in de onderstelling dat I.cos = I0 = constant, vervangen I

ds in (5’) door

0I

dx en wer-

ken de integralen analytisch uit. Na enig rekenwerk vindt men:

1 3 x

2

toog f

y

Figuur 17

F = 1

t =



:= X3

5

8

l ( ) 3 2 2 1

f (6)

Deze invloedslijn is afgebeeld in figuur 18. Bij gelijkmatig verdeelde belasting p over de vol-

ledige boog geeft (6) het verwachte resultaat: f8

pdxpiX

23

13X3

.

1.8.5 Andere invloedslijnen

Vermits de hyperstatische grootheid X3 thans bepaald is, kan men de invloedslijn voor

om het even welke spanningsresultante of kinematische grootheid direct bepalen. Bijvoor-

beeld is de uitdrukking van de invloedslijn van het buigend moment in de top van de twee-

scharnierboog gegeven door:

:= Mtop

X3

f1

2t t

1

2l

X3

f1

2t

1

2l otherwise

en is de overeenstemmende invloedslijn

(7)

Ze wordt grafisch afgebeeld in figuur 19 en is, net zoals deze van de spatkracht, spiegelsym-

metrisch ten opzichte van het midden van de overspanning. Men gaat eenvoudig na dat het

oppervlak begrepen tussen de invloedslijn en de as der abscissen gelijk is aan nul: een derge-

lijke uniforme belasting is immers een evenwichtsbelasting.

Figuur 18

fX3



Figuur 19

topM



1.9 Tweescharnierboog met geboorten verbonden door trekstang

Indien de omstandigheden in situ te ongunstig uitvallen om belangrijke horizontale re-

actiekrachten naar de funderingsbodem te leiden, maakt men de boog uitwendig statisch be-

paald door een scharnieren een roloplegging. De spatkracht komt tot stand wanneer men de

geboorten onderling verbindt met een trekstang (fig. 20). Het oplegtoestel 1 moet dan enkel

weerstand bieden tegen de uitwendige horizontale krachten op de boog, die doorgaans veel

geringer zijn dan de spatkracht. Inwendig is het afgeleide systeem éénmaal statisch onbepaald.

Zij M(s), N(s) en H het bui-

gend moment, de normaalkracht - in

de doornede die bepaald wordt door

de kromlijnige coördinaat s – en de

normaalkracht in de trekstang, onder

inwerking van een gegeven uitwendi-

ge belasting. We hanteren H als onaf-

hankelijke statisch onbepaalde groot-

heid en kiezen een hoofdsysteem dat

uit het oorspronkelijke ontstaat door

een doorsnijding naar de trekkracht

aan te brengen. M0(s) en N0(s) zijn de

spankrachten in het statisch bepaalde

hoofdsysteem onder de gegeven uit-

wendige (toestand a). Indien we op

het overigens onbelaste hoofdsysteem

ter plaatse van de lippen van de on-

volledige doorsnijding twee even gro-

te, maar tegengesteld gerichte uitwen-

dige krachten H laten inwerken (toe-

stand b) verkrijgen we de volgende

spanningsresultanten: y.HM , cos.HN . De spanningstoestand in het ongerepte ge-

stel volgt kennelijk uit de superpositie van toestand a en toestand b of:

yH)s(M)s(M 0 , cosH)s(N)s(N 0 (8)

We bepalen de hyperstatische onbekende H met behulp van een compatibiliteitsbetrekking: de

horizontale afstandswijziging tussen de punten 1 en 3 van de boog moet dezelfde zijn als de-

ze tussen de punten 1 en 3 van de trekstang.

Voor de boog geldt

3

1t13 dx

A

N

E

1Tuu ds

I

M)y

"

y(E

1 3

10

3 t TE

N

Adx

1

1

3

3

1

dsI

My

E

1

en voor de trekstang

x

y

1 E’, A’, ’t 3

trekstang (+wartel)

EA, EI, t

1 y 3

1 3

a

b

Figuur 20

x

H H x

y

y



'A'E

HT'uu t13

.

Hierin vertegenwoordigt een gebeurlijke kunstmatige ingreep op de lengte van de trek-

stang met behulp van een wartel, is ’t de thermische uitzettingscoëfficiënt en E’A’ de

rekstijfheid van het trekbandmateriaal. De verenigbaarheid van de verplaatsingen vergt dat

( ) ( )u u boog u u trekband3 1 3 1 of

dsI

My

E

1dx

A

N

E

1T

3

1

3

1t

'A'E

HT't (9)

Indien we (8) in (9) substitueren, bekomen we

dsI

yHMy

E

1dx

A

cosHN

E

1T 0

3

1

3

1

0t

'A'E

HT't ,

waaruit:

'A'Eds

I

y

E

1dx

A

cos

E

1

dsI

My

E

1dx

A

N

E

1T'T

H3

1

23

1

03

1

3

1

0tt

. (10)

Opmerkingen:

Indien we bij een gegeven geometrie en belasting een tweescharnierboog vergelijken

met een boog met trekstang, waarbij = 0, stellen we vast dat de normaalkracht in de

trekker altijd kleiner is dan de spatkracht in de tweescharnierboog:

Hboog + stang < H tweescharnierboog met zelfde geometrie

Dit is het gevolg van de rekbaarheid van de trekstang, waardoor de roloplegging altijd

een kleine verschuiving kan ondergaan.

Een verkorting van de trekstang door middel van een spanwartel doet H toenemen. Door

middel van een spanwartel kan men de krachtenverdeling voor een bepaalde belastings-

toestand – bijvoorbeeld het eigen gewicht van de constructie tezamen met de rustende

belasting – op de verzuchtingen van de ontwerper afstemmen.



1.10 Tweescharnierboog met trekband parallel met de verbindingslijn van de geboorten

In sommige gevallen leidt een trekstang

tussen de geboorten tot een verlies van nuttige

ruimte. Men kan dit inperken door de trekstang

hoger te plaatsen en de boog toch te laten rusten

op twee scharnieren (fig. 21). Het gestel is

tweevoudig statisch onbepaald: éénmaal uit-

wendig en éénmaal inwendig. Zij M(s) en N(s)

de spankrachten in het oorspronkelijk systeem.

We kiezen een statisch bepaald hoofdsysteem

HS door het invoeren van twee doorsnijdingen:

één naar de trekkracht H’ en een tweede naar de

horizontale component X3 van de steunpuntre-

actie geleverd door het scharnier ter plaatse van

de rechtergeboorte.

We bestuderen twee toestanden van het HS,

namelijk:

het effect van de uitwendige belasting die

de spanningsresultanten M0(s) en N0(s)

teweegbrengt (toestand a),

het effect van twee krachten H’ ter plaatse van de doorsnijding in de trekstang en van de

horizontale kracht X3 aangrijpend op de rechtergeboorte (toestand b).

De spanningsresultanten M(s) en N(s) volgen uit de superpositie van de overeenkomstige

grootheden in de twee hulptoestanden. We schrijven bijgevolg voor de delen 1 - 4 en 3 - 5:

yX)s(M)s(M 30 , cosX)s(N)s(N 30 , (11)

en voor het gedeelte 4-2-5:

)'fy('HyX)s(M)s(M 30 , cos)'HX()s(N)s(N 30 (12)

Om de hyperstatische onbekenden te bepalen drukken we uit dat u3 - u1 = 0 en dat

(u5 - u4)boog = (u5 - u4)trekband . We verkrijgen de volgende vergelijkingen:

0dsI

My

E

1dx

A

N

E

1T

3

1

3

1t (13)

1 3

4 5

EA, EI,

t E’A’

’t, H’ X3 f’

’

Figuur 21

a

X3

H’ H’ 4 5

b f’ 1 3

2

y

x



5

4

5

4t ds

I

M)'fy(

E

1dx

A

N

E

1T' '

'A'E

''HT'' t

(14)

' in (14) stelt een eventueel kunstmatige ingreep op de lengte van de trekstang voor. Indien

we (11) en (12) in (13) en (14) substitueren, bekomen we twee vergelijkingen in de onbekende

grootheden X3 en H’.

Opmerking: Met behulp van een spanwartel is het mogelijk om de horizontale reacties van

de boogsteunpunten te regelen. Bijvoorbeeld kan men a priori de vraag stellen hoe groot

bij een gegeven belastingscombinatie moet zijn, opdat de spatkracht -X3 een voorgeschreven

waarde H zou verkrijgen.

1.11 Tweezijdig ingeklemde bogen

1.11.1 Spanningsresultanten

Het in figuur 22a afgebeelde

stelsel is drievoudig statisch onbepaald.

We kiezen een statisch bepaald hoofd-

systeem, door het aanbrengen van een

volledige doorsnijding ter plaatse van

de rechtergeboorte.

Zij M0(s) en N0(s) de spankrachten in

het hoofdsysteem onder de uitwendige

belasting (toestand b). We bestuderen

vervolgens (toestand c) het effect van de

hyperstatische onbekenden:

)x(YyXM)s('M 333

sinYcosX)s('N 33

Men vindt de uitdrukkingen van bui-

gend moment en normaalkracht in het

oorspronkelijke, ongerepte systeem

door superpositie:

)x(YyXM)s(M)s('M)s(M)s(M 33300 (15)

sinYcosX)s(N)s('N)s(N)s(N 3300 (16)

Ze bevatten elk de drie hyperstatische onbekenden zodat we drie vergelijkingen nodig hebben

om deze te bepalen. Daartoe maken we gebruik van de voor de hand liggende kinematische

randvoorwaarden:

3

113 0ds

EI

M0 (17)

Figuur 22

s

1 3

x

y

a

b

c

y

y

x

s

s

Y3

M3

X3

Y3

M3

X3



3

1

3

1t13 0ds

EI

M.yTdx

EA

N0uu (18)

3

1

3

113 0ds

EI

M)x(dy

EA

N0vv (19)

Substitutie van (15) en (16) in (17)-(19) leidt tot drie vergelijkingen in de statisch onbepaalde

grootheden X3, Y3, M3. De determinant van het aldus gevormde stelsel bezit van nul verschil-

lende niet-diagonaalelementen: de vergelijkingen zijn met andere woorden onderling gekop-

peld.7

1.11.2 Invloedslijnen van de reactiekrachten voor een parabolische boog met

verwaarlozing van de normaalkrachtvervorming en met de aanname dat

I0 = Icos = constante.

Om de invloedslijnen te becijferen hebben we

uitdrukking van het isostatisch buigend moment

M0(s) nodig:

M0(s) = -(t-x) als x t

= 0 als x > t

Na enig rekenwerk met het symbolisch algebrapak-

ket Maple luiden ze:

:= X3

15

4

2 l ( ) 2 2 1

f := Y

3 2 3 3 2

:= M

3

5

24 l 4 3 l

3

22 l

(20)

De dimensieloze coördinaat legt de stand van de beweeglijke kracht vast (fig. 23). De in-

vloedslijnen worden grafisch in de figuren 24, 25 en 26 voorgesteld.

7 De ontwerpers van weleer ervoeren zulks als een nadeel, want rekentuig zoals wij dat thans kennen, bestond

toentertijd helaas niet. Vandaar dat men een grote spitsvondigheid etaleerde om via de methode van het elas-

tisch centrum en een oordeelkundig gekozen assenstelsel de vergelijkingen te ontkoppelen. Vandaag wordt de

koppeling niet langer als een nadeel gezien. Indien de lezer graag meer verneemt over de methode van het elas-

tisch centrum kan hij altijd bij de samensteller van onderhavige syllabus terecht.

y

1 3

f

Figuur 23

x

t = F = 1



Figuur 24: invloedslijn horizontale reactie

X3.f/

Figuur 25: invloedslijn reactiekoppel

M3/

Figuur 26: invloedslijn verticale oplegreactie

Y3



1.11.3 Invloedslijn van andere snedekrachten

De betrekkingen (15) en (16) kunnen gebruikt worden om invloedslijnen voor buigen-

de momenten en normaalkrachten in om het even welke boogdoorsnede, gekenmerkt door de

kromlijnige coördinaat s, op te sporen. Daartoe deelt men beide leden van de gelijkheden (15)

en (16) door de amplitude F van de veranderlijke kracht en schrijft men:

)x(iyiiF

)s(M

F

)s(Mi

3Y3X3M0

)s(M (21)

sinicosiF

)s(N

F

)s(Ni

3Y3X0

)s(N (22)

F

)s(M0 en F

)s(N0 zijn niets anders dan de invloedslijnen van het buigend moment en de

normaalkracht in de boogdoorsnede s van het isostatische hoofdsysteem.

1.12 Spanningen in bogen

Gewoonlijk zijn de dwarskrachten in een boog klein ten aanzien van de normaalkrach-

ten en de buigende momenten, en zijn de schuifspanningen in volwandige bogen dan ook ge-

ring. Mits de kromtestraal van de boogas niet te klein is ten opzichte van de hoogte van de

doorsnede mogen de overlangse normaalspanningen berekend worden met de gewone formule

yI

M

A

N van de samengestelde buiging. In onderstaande onderstellen we het buigend

moment positief.

z M

G

dA

dA dA

2.dA.sin d/2 .dA.d

.dA .dA

d

r

ds = r.d

G G’ A A’

y < 0

Figuur 27

x

y



We bekijken een segment ds = r.d van de boog. In dat segment heeft een elementaire

vezel AA' de doorsnede dA; hij is gelegen op de diepte y onder de hartlijn. De trekkrachten

. dA , die in de vezel bestaan in de punten A en A', hebben plaatselijk de middelpuntzoe-

kende resultante: ds.dAIr

My

Ar

N

r

ds.dAd.dA.

2

dsin.dA2

, waarin r de krom-

testraal van de boogas is. De middelpuntzoekende resultante, werkend op een volledig seg-

ment met lengte ds, is derhalve:

A A

ds).dA.yr.I

M

r

N(ds.dA).

r.I

y.M

r.A

N( (23)

Vermits G het zwaartepunt van de dwarsdoorsne-

de is, verdwijnt de laatste term in het rechterlid.

De vectorsom voor het gehele segment is bijge-

volg ds.r

Nen is normaal negatief en dus middel-

puntvliedend omdat N bij bogen in de regel een

drukkracht is. Zij wordt in evenwicht gehouden

door de radiale component van de plaatselijke

uitwendige belasting en door het verschil tussen

de dwarskrachten in de dwarsdoorsneden aan de begrenzing van het segment (fig. 28).

Het tweede gedeelte van de plaatselijke middelpunt-

zoekende kracht is evenredig met y en verandert van

zin ter hoogte van de z-as. Dat gedeelte onderwerpt het

materiaal van een boog met rechthoekige doorsnede

met breedte b en hoogte h (fig. 29) aan de loodrecht op

het vlak Gxz werkende trekkracht

hr2

M3

8

h

r12

bh

Mbdyb

Ir

My 2

3

2

h

0

per eenheid van lengte

van de boogas of aan de trekspanning Ar2

M3

bhr2

M3

wanneer M > 0, en aan een even grote drukspanning

wanneer M < 0. Deze spanning, ter grootte -rA2

eN3 (M

= - N.e, e: excentriciteit van de normaalkracht), is veel

kleiner dan die welke volgt uit de overlangse normaal-

kracht, namelijk A

N, die zelf doorgaans gering is in verhouding tot de buigspanningen

I

My ,

en men hoeft er zich verder niet om te bekommeren voor een volle, rechthoekige doorsnede.

y

M > 0

z x G h

b

Figuur 29

p

V N

rds. Vr

Figuur 28



Op de bodem van een stalen of betonnen boogsegment met kokerprofiel (fig. 30) en

met lengte 1 ter hoogte van de boogas, werkt per eenheid van breedte de radiale kracht

r

t

I

Ma

A

N o

, die in feite slechts middelzoekend is wanneer

A

N

I

Ma . Op het deksel van de

koker werkt per eenheid van breedte de radiale kracht r

t

I

Mc

A

N b

, die middelpuntvliedend

is wanneer 0M . Deze radiale krachten, tezamen met de radiale component van de recht-

streeks op deksel en bodem aangrijpende, uitwendige belasting, doen in de koker overdwarse

buigspanningen ontstaan, die men zeker moet becijferen en waarvoor men een betonnen koker

desnoods moet wapenen wanneer de koker breed is en zijn elementen dun zijn en wanneer r

betrekkelijk klein is. Bij de berekening van de overdwars in de koker werkende buigende

momenten bedient men zich van en schema zoals dat in de rechterhelft van de figuur 30 en

past men bijvoorbeeld de methode van Gehler toe. De gevonden steunpuntreacties Y1 en Y2

zijn in feite fictief en worden als krachten in het vlak van elke lijfplaat overgebracht: daardoor

neemt men aan dat het geheel van de genoemde radiale krachten in evenwicht wordt gehouden

door een kracht in het vlak van elke lijfplaat van de koker.

Een en ander geldt eveneens voor andere profielvormen, zoals I-profielen en cirkel-

vormige kokers. Met de vectorsom van de middelpuntzoekende krachten en van de radiale

component van de uitwendige belasting maken evenwicht: in de dwarsdoorsnede werkende

krachten, die gelijk zijn aan het verschil tussen de schuifstromen in de beide secties, welke het

boogsegment begrenzen.

In het bovenstaande hebben we geen rekening gehouden met de invloed van de radiale

vervorming van de dwarsdoorsnede op de normaalspanningsverdeling. Die invloed mag bui-

ten beschouwing blijven voor betonnen kokerdoorsneden en, wegens de grootte van de krom-

testraal r, zelfs voor stalen bogen met I-profiel of kokerprofiel. Figuur 31 illustreert het ge-

noemde effect wanneer het buigend moment negatief is: door de overdwarse buiging gaat het

materiaal van de flenzen dichter naar de horizontale zwaarteas en zijn een vermindering van

het traagheidsmoment en een aanvreten van de buigsterkte in het vlak van de boog immanent.

Tevens zullen de overlangse trekspanning in de tip van de bovenflens en de absolute waarde

van de overlangse drukspanning in de tip van de onderflens verminderen.

tb

c

M > 0

a

to

pb

po

Y1 Y2

Figuur 30

a b



2 Boogconstructies

2.1 Algemeen

Volwandige bogen, vervaardigd

van staal, van gewapend beton of van

hout, kunnen bijvoorbeeld dienen als

spanten voor een dakconstructie. Boog-

werking als beschreven in lid 1.4 van

onderhavig hoofstuk ontstaat eveneens in

draagsystemen die de algemene vorm

hebben van een boog en waarvan de ge-

boorten onverschuifbaar of nagenoeg onverschuifbaar zijn, maar die samengesteld zijn uit

driehoeken of die bestaan uit een boog, een horizontale staaf en koppelingen tussen beide. Het

laatste geval doet zich voor bij bruggen: de eigenlijke boog draagt immers een rijvloer die

steunt op of hangt aan de boog; in het vlak van de boog bevindt zich ter hoogte van de vloer

meestal een langsbalk die door stijlen of hangers en mogelijk ook door schuine staven ver-

bonden is met de boog (fig. 32). In deze paragraaf behandelen we de elastische krachtenverde-

ling in een aantal van die boogconstructies.

Het samenstel van een boog en een ander buigstijf constructiedeel bezit meer stijfheid

bij vervorming in het vlak van de boog dan de boog alleen. Daardoor vermindert het gevaar

voor algemene knik in dat vlak.

eigenlijke boog hanger

rijvloerconstructie Figuur 32

M M

A

A

pb

po

Snede AA vervorming dwarsdoor-

snede door overdwarse

buiging Figuur 31



2.2 Samenstel boog-balk-vertikalen

2.2.1 Balk geplaatst boven de boog (fig. 33)

Een ontwerper kan

geneigd zijn om de balk te

beschouwen als een door-

gaande ligger op mesopleg-

gingen. Op die grondslag

kunnen de momentenverde-

ling in de balk en de opleg-

krachten die hij uitoefent op

de stijlen, berekend worden.

Indien men vervolgens aan-

neemt dat die krachten de

belasting van de boog vor-

men, vindt men met de theo-

rie uit lid 1 de spanningsre-

sultanten welke door ge-

noemde krachten in de boog

veroorzaakt worden. Deze

werkwijze weerspiegelt in

twee opzichten het werkelijke gedrag van het stelsel niet:

De boog is vervormbaar en de stijlen fungeren niet als verticaal onbeweegbare steun-

punten voor de balk.

De stijlen bezitten een zekere buigstijfheid en oefenen ook momenten uit op de balk en

op de boog.

De geschetste rekenwijze kan slechts min of meer betrouwbare uitkomsten leveren

indien de buigstijfheid van de boog veel groter is dan die van de balk, bijvoorbeeld tien

maal groter, zodat de zakkingen van de boog gering zijn en ze de momentenverdeling in

de balk niet al te sterk beïnvloeden,

en indien de stijlen bovendien zeer buigzaam zijn of op één

na scharnierend verbonden zijn aan de boog en aan de lig-

ger.

Is geen van beide voorwaarden vervuld, dan moet het sa-

menstel worden berekend als een vierendeelboog (genoemd naar

de Vlaamse ingenieur Jules Arthur Vierendeel 1852 - †1940)

waarbij de buigstijfheid van de stijlen en gebeurlijk de afmetingen

van de knopen (fig. 34) niet wordt veronachtzaamd.

R4 R3 R5

R2 R6

R1 R7

?

Figuur 33

Figuur 34



Is de tweede voorwaarde vervuld, dan kan het systeem worden behandeld als een ver-

stijfde buigingsboog en mag de in 2.2.2 uiteen te zetten methode toegepast worden met gerin-

ge, voor de hand liggende aanpassingen.

2.2.2 Verstijfde buigingsboog

2.2.2.1 Algemeen

Een verstijfde buigingsboog is een boogligger waarvan de geboorten verbonden zijn

door een trekbalk. De trekker en de boog bezitten een niet-verwaarloosbare buigstijfheid en

zijn verenigd door twee stijve knopen en door buigzame hangers (fig. 37). De belangrijke be-

lastingen, meestal ingeleid door de dwarsdragers van een brugvloer, grijpen aan op de trek-

balk.

De krachtenverdeling in het samenstel hangt in hoge mate af van de verhouding van de

buigstijfheid van boog en trekker. We spreken van het grensgeval van een buigingsboog als de

de stijfheid van de trekband verwaarloosbaar is ten aanzien van die van de boog.

Het tegenovergestelde grensgeval is dat van een boog waarvan de stijfheid in het verticale

vlak maar net voldoende is om knikken tussen de knooppunten in te voorkomen. Zo'n boog

wordt verstijfd door een forse trekbalk, zo niet zou de boog in zijn geheel reeds knikken in

zijn vlak onder een evenwichtsbelasting en zou hij zeker geen veranderlijke belastingen kun-

nen verdragen. Een dergelijke boog wordt staafboog genoemd en het samenstel slappe boog -

hangers - stijve trekbalk heet verstijfde staafboog. Een verstijfde staafboog kan bezwaarlijk

mooier worden genoemd dan een verstijfde buigingsboog, maar is een economischer liggerty-

pe omdat een buigingsboog de montage van meer staal of het storten van meer beton op grote

hoogte vergt dan een staafboog.

Daar de blijvende belasting in de praktijk ten naaste bij gelijkmatig verdeeld is langs

de horizontale is het logisch aan de hartlijn van de boog de vorm te geven van een parabool

van de tweede graad of van een veelhoek ingeschreven in zo'n parabool en met hoekpunten

boven de hangers. Een verstijfde buigingsboog wordt statisch bepaald opgelegd, op een vast

en op een beweegbaar oplegtoestel. Afgezien van wind- of remkrachten oefent hij geen hori-

zontale krachten uit op zijn steunpunten.

Figuur 36

W wervelstraat van

von Karman

Figuur 35

sterke as in

boogvlak

zwakke as



De hangers kunnen strengen of roeden of profielstaven zijn. In het laatstgenoemde ge-

val wordt een profiel met zeer verschillende hoofdtraagheidsmomenten, bijvoorbeeld een IPE,

gekozen en wordt de sterke as van het hangerprofiel geplaatst in het vlak van de boogligger

(fig. 35); de buigstijfheid van de hangers om die as helpt zich verzetten tegen knik van de

boog loodrecht op zijn vlak.

Ingeval elke hanger bestaat uit evenwijdige draden is zijn rekstijfheid goed bekend; in-

geval hij een streng is of uit enkele strengen bestaat is er altijd onzekerheid omtrent de grootte

van de elasticiteitsmodulus. Bij enkele boogconstructies en ook bij hangbruggen heeft men

trillingen van lange hangkabels en zelfs van zeer slanke buisvormige stijlen waargenomen. De

trillingen doen zich voor loodrecht op de windrichting, worden veroorzaakt door wervels van

von Karman (fig. 36) en kunnen vermoeiingsbreuken teweeg brengen. Men kan ze voorkomen

door ervoor te zorgen dat de kritieke windsnelheid hoger ligt dan de maximale te verwachten

windsnelheid. Wanneer trillingen toch optreden bij hangkabels kan men ze bestrijden met

eenvoudige voorzieningen die trillingsenergie opslorpen door inwendige wrijving.

2.2.2.2 Benaderingsmethode

Deze eenvoudige berekening is nuttig omdat zij de ontwerper in staat stelt redelijke

afmetingen te kiezen voor de doorsneden van de onderdelen van de constructie. Voor een

boogligger van enig belang moet daarna een nauwkeuriger berekening worden verricht. We

nemen aan dat alleen verticale uitwendige krachten aangrijpen. Aangezien ook de hangers

uitsluitend verticale krachten uitoefenen op de boog en op de balk, vloeit hieruit voort dat de

horizontale component H van de totale kracht in de boogdoorsneden constant is over de

spanwijdte en gelijk aan de trekkracht in de balk.

Symbolen met ' en met " hebben respectievelijk betrekking op de boog en op de balk (fig. 37).

E’I’

EA =

E”I”

A’

A”

q’

q”

< 0

x

y

q’

q”

y

x

v’

v”

V’ M’

H

H

y

Figuur 37

a

b

V” M”



a) Buigende momenten

De benadering berust op de onderstelling dat de hangers continu gespreid zijn over de

hele lengte van de boogligger en rekloos zijn. Daaruit volgt aanstonds, voor een willekeurige

gegeven belastingsverdeling, dat de verticale verplaatsingen v van de bovenrand en van de

onderrand ter plaatse van elke loodlijn even groot zijn.

Uit de formule van Bresse (3), toegepast op een elementair segment ds, volgt:

dv dx Tdy t dxEI

dsMdy

EA

N

. Mits in acht neming van het feit dat we

thermische effecten hier uitdrukkelijk niet aanmerking nemen, dat we de normaalkrachtver-

vorming als gebruikelijk verwaarlozen en dat de laatste term in het rechterlid van de voor-

gaande gelijkheid een orde van grootte kleiner is dan de overige, bekomt men dxdv zo-

dat de constitutieve betrekking ds

d

'I'E

'M kan geschreven worden als:

cos.dx

vdcos.

dx

d

'I'E

'M

2

2

(i)

Voor de balk geldt uiteraard

2

2

dx

vd

"I"E

"M (ii)

(i) en (ii) geven het verband tussen de krommingen in een punt van de boog en van de verstij-

vingsligger:

"I"E

"M

'cos'I'E

'M

(24)

Het draaiingsevenwicht om A" van heel het liggergedeelte links van A'A" (fig. 37b)

vergt:

MyH"M'M (25)

M is het moment om A” in wijzerzin van

alle uitwendige krachten – inclusief de

verticale oplegreactie ter plaatse van het

linker steunpunt – die aangrijpen op het

samenstel links van A’A”, dat wil zeg-

gen: het statisch bepaald buigend mo-

ment in een eenvoudig opgelegde “ver-

vangingsbalk” met dezelfde overspan-

ning als de boogligger en onderworpen aan zijn totale belasting q' + q" (fig. 38). M is dus zeer

eenvoudig te becijferen. H is de kracht veroorzaakt door de beschouwde belastingen q' en q".

In figuur 37 is V' niet de dwarskracht in de boog, maar de verticale ontbondene van de totale

kracht die werkt op de doorsnede A'. Uit (24) en (25) vloeit voort:

q’ + q”

A”

Figuur 38



"I"E'cos'I'E

HyM

"I"E'cos'I'E

"M'M

"I"E

"M

'cos'I'E

'M

of

)HyM("I"E'cos'I'E

"I"E"Men)HyM(

"I"E'cos'I'E

'cos'I'E'M

(26)

Voor H nemen we bij benadering

de spatkracht H in een twee-

scharnierboog met dezelfde geo-

metrie als de verstijfde boog en

onderworpen is aan de totale be-

lasting q' + q" (fig. 39). Methoden

om die spatkracht te bepalen wor-

den in lid 1.8 aangereikt.

Als we HH aannemen, geeft

(26) alle buigende momenten M'

en M".

b) Hangerkrachten

We noemen n de trekkracht, per

eenheid van lengte, in de uitgesmeerd

gedachte hangers, en N die in één van

de echte hangstaven (fig. 40). De neer-

waartse belasting van de balk is netto q"

- n per eenheid van lengte. Derhalve

geldt 2

2

dx

"Md

dx

"dVn"q .

Voor de “vervangingsbalk” (fig. 38) mogen we schrijven: 2

2

dx

Md"q'q . Gesteld dat

'cos'I'E

"I"E

constant of nagenoeg constant is langs de overspanning levert tweevoudige aflei-

ding van (26) naar x :

2

2

dx

yd.H"q'q

"I"E'cos'I'E

"I"En"q , of,

'q

dx

ydH

"I"E'cos'I'E

"I"E"q

"I"E'cos'I'E

'cos'I'En

2

2

(27)

Met (27) kunnen we n en N = s.n berekenen.

Voor een parabolische boog met vergelijking )x(xf4

y2

is 22

2 f8

dx

yd

en

q”

q’

f

H

H

q” q’

’ ”

A

A

a

b

Figuur 39

s N n

q”

Figuur 40



'q

fH8"I"E"q'cos'I'E

"I"E'cos'I'E

sN

2 (28)

Wanneer q' en q" constant zijn voor 0 < x < is f8

)"q'q(H

2 en geeft (28): N =

s.q". De hangers brengen de belasting q" rechtstreeks over op de boog, waarvoor de totale be-

lasting q' + q" een evenwichtsbelasting is, en schijnbaar ontstaat er buiging noch in de boog,

noch in de trekband. In werkelijkheid zijn de opwaartse

kracht n = q" op de balk en de neerwaartse kracht n = q"

op de boog niet gelijkmatig gespreid, maar geconcen-

treerd ter plaatse van de hangers. Derhalve is de toestand

van de balk in feite zoals die in de figuur 41 geschetst is,

en ontstaan er buigende momenten, in absolute waarde

gelijk aan 12

s"q 2

ter plaatse van de hangers en in absolute

waarde gelijk aan 24

s"q 2

halverwege tussen de hangers.

Het discrete karakter van de hangstaven veroorzaakt ook

buigende momenten in de boog, tenzij de parabolische

hartlijn wordt vervangen door een ingeschreven, veel-

hoekige lijn, althans indien q' = 0 of q' << q”.

Wanneer alleen een puntlast Q aangrijpt op de onderrand ter plaatse van de hanger i,

denken we Q vervangen door een gelijkmatige belasting q" = Q/s, die aangrijpt over de lengte

2

s links en over de lengte

2

srechts van die hanger (gelijkaardig als we N in figuur 40 over de

“spacing” uitgesmeerd hadden). In (28) stellen we verder q" = 0 voor de andere hangers en q'

= 0 voor alle hangers:

)ij(Hsf8

"I"E'cos'I'E

"I"EN

2j

(29)

en

Hsf8

"I"E'cos'I'E

"I"EQ

"I"E'cos'I'E

'cos'I'EN

2i

(30)

s

sq” sq” sq” sq”

q”

q”

Figuur 41



c) Rekenvoorbeeld

De verstijfde buigingsboog in figuur 42 overspant een ruimte van 28 meter en telt 6

hangers met een tussenafstand van 4 m en die elk een rekstijfheid van 565000 kN hebben. De

pijl van de boog is 5,6 m, zijn buigstijfheid is veranderlijk: E’I’cos = E’I’0 = 625000 kNm2.

Voor de verstijvingsligger geldt: E”I” = 1250000 kNm2. We berekenen volgens de uiteenge-

zette theorie de buigende momentenverdeling in de constructie voor twee belastingsgevallen:

een puntlast Q = 150 kN aangrijpend ter plaatse van de tweede hangstaaf,

een gelijkmatig gespreide belasting q” = 50 kN/m2 in de linkerhelft van de overspan-

ning.

E’I’0 = 625000 kNm

2

5,6 m hangers : EA = 565000 kN

E”I” = 1250000 kNm2

28 m

1) Q = 150 kN

2) q” = 50 kN/m2

Figuur 42

De resultaten worden voorgesteld in de figuren 43 en 44. Terzelfder tijd worden de

“exacte” uitkomsten gegeven die verkregen werden met een computerberekening. Daaruit

volgt dat de benaderende methode vrij goede resultaten oplevert, wat gelet op het vrij geringe

aantal hangstaven eerder verwonderlijk is.8

8 Merk op dat het teken van het buigend moment in die figuren in associatie is met de keuze van het assenstelsel

zoals dat vroeger gebruikelijk was, namelijk met een neerwaarts gerichte y-as. Om de figuur in overeenstem-

ming te brengen met de meer voor de hand liggende keuze, zoals die in het onderhavige cursusmateriaal gehan-

teerd wordt, namelijk een opwaarts gerichte y-as, verricht men een eenvoudige tekenomslag.



Figuur 44 : q = 50 kN/m

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 5 10 15 20 25 30

abscis x [m]

Bu

ige

nd

mo

me

nt

[kN

m]

ligger-exact

ligger-approx.

boog-exact

boog-approx.

Figuur 43 : Q = 150 kN

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 5 10 15 20 25 30

abscis x [m]

Bu

ige

nd

mo

me

nt

[kN

m]

ligger-exact

ligger-approx.

boog-exact

boog-approx.



3 “Further reading”: boogconstructies met verscheidene over-spanningen

Indien de tussensteunpunten onwrikbaar zijn is er geen wisselwerking tussen de ver-

schillende overspanningen en worden ze onafhankelijk van elkaar berekend.

3.1 Twee bogen rustend op een verschuifbaar tussensteunpunt

2

2

2 1

1

f

3 4 5

3 4 5

3 4 5

1

1

y 1

x

f’

1

f

1

f

1

f

< 0

a

b

c

Figuur 45

Twee opeenvolgende overspanningen van een boogbrug oefenen op de gemeenschap-

pelijke pijler niet altijd gelijke horizontale krachten uit, zeker niet als de spanwijdten ongelijk

zijn. De pijler moet het verschil tussen de beide spatkrachten opnemen, hetgeen forse afme-

tingen vergt, vooral indien de booggeboorten hoog geplaatst zijn. Men kan met een lichtere

pijler volstaan door de twee bogen te ondersteunen door een gemeenschappelijk, vrij ver-

schuifbaar oplegtoestel (fig. 45a). Bij een willekeurige verticale belasting is de spatkracht dan

automatisch gelijk voor beide overspanningen. Tegenover de gunstiger belasting van de pijler

staat het nadeel dat er grotere buigende momenten optreden in de bovenbouw.

Indien elke boog scharnierende geboorten heeft, is het stelsel enkelvoudig statisch on-

bepaald. We maken het statisch bepaald door aanbrenging van een scharnier in of nabij de top

van de langste boog. De gegeven uitwendige belasting (fig. 45b) doet de driescharnierboog 1-

2-3 een gemakkelijk berekenbare horizontale kracht H0 uitoefenen op de tweescharnierboog

4-5 en veroorzaakt buigende momenten M0 en normaalkrachten N0 die dus eenvoudig te be-

palen zijn. Twee tegengestelde momenten ter grootte 1, werkend links en rechts van het



scharnier 2 (fig. 45c), rekken de boog 4-5 uit met de horizontale kracht f

1 en brengen overal

buigende momenten f

ym en normaalkrachten

f

cosn

teweeg.

Voor het ongeschonden stelsel geldt cosf

MNN,y

f

MMM 2

02

0 . Het buigend mo-

ment M2 in de doorsnede 2 is bepaald door het feit dat er geen relatieve draaiing 2 ontstaat

ter plaatse van die doorsnede:

0ds

A

cosN

I

yM

Ef

1ds

A

cos

I

y

Ef

Mds

EA

Nn

EI

Mm 00

22

2

22

waaruit

dsA

cos

I

y

dsA

cosN

I

yM

.fM22

00

2 (31)

De integralen worden natuurlijk berekend voor de beide overspanningen.

4 “Further reading”: driehoeksvakwerken als boogconstructies

4.1 Algemeen

De constructiehoogte van een uit driehoeken samengestelde boog meestal zo groot dat

het knikgevaar in het vlak onbestaande is.

De gebruikelijke berekening van

driehoeksvakwerken, bogen zowel als

liggers, berust op de onderstelling dat de

in feite stijve knopen werken als scharnie-

rende verbindingen tussen de staven en

dat de staven dientengevolge alleen on-

derhevig zijn aan normaalkrachten, niet

aan buigende momenten en dwarskrachten. De hoogte van de staafdoorsneden in het vlak van

de boog mag klein zijn en moet zelfs zo gering worden gekozen als verantwoord is met het

oog op knik van de staven tussen de knopen in. Bij vakwerkbogen komt men gemakkelijk tot

schema's waarin zekere hoeken tussen staven zeer scherp zijn, zoals in figuur 46. In zulke ge-

vallen kunnen in werkelijkheid tamelijk hoge, secundaire buigspanningen ontstaan die niet

Figuur 46



meteen gevaarlijk zijn bij overwegend statisch belaste, stalen constructies, maar die men wel

moet vermijden bij aan echte vermoeiing blootgestelde constructies.

4.2 Driescharnierboog

In figuur 46 is een voorbeeld van een driescharnierboog geschetst.

4.2.1 Staafkrachten

De boog is uitwendig statisch bepaald. Door middel van momentenvergelijkingen be-

rekenen we gemakkelijk de krachten overgebracht door de drie scharnieren. Als het staven-

schema ook inwendig isostatisch is, wat het geval is voor de boog in figuur 47, kunnen we dan

alle staafkrachten vinden bijvoorbeeld met de methode van Ritter of met de methode van het

evenwicht van de knopen.

4.2.2 Knoopverplaatsingen

Wanneer de staafkrachten bekend zijn voor een gegeven belastingstoestand kunnen we

bijvoorbeeld een knoopverplaatsing bepalen met het beginsel van de virtuele arbeid en alle

knoopverplaatsingen met de werkwijze, uiteengezet in het hoofdstuk “Driehoeksvakwerken”.

y 2’

2 T

f

1 3 x

’ ”

3

1

Figuur 47

Een temperatuurstijging T brengt op zichzelf geen staafkrachten, maar wel knoop-

verplaatsingen teweeg (fig. 47). Alle afmetingen van de delen 1-2 en 2-3 worden 1 + t.T

maal groter, maar de vorm van die delen verandert niet. Met behulp van de formules van

Bresse vindt men:

T..f'.v t12 , 31t323 ".'.T..f".v0v 13 ."

'

(i)

0T.'..fu t12 , T..).(fT."..fu0u t31t323 (ii)

Combineert men de resultaten (i) en (ii), dan luidt de draaiing van de vakwerkhelften



Tf

"t1

en T

f

't3

, (32)

en deze geeft, na terugsubstitutie in (i) en (ii), de twee ontbondenen van de thermische ver-

schuiving van het scharnier 2:

Tff

"'venT)."'(u t2t2

(33)

waarin de symbolen de betekenis hebben aangegeven in figuur 47, en t de thermische uitzet-

tingscoëfficiënt is.

4.3 Vakwerkboog met twee scharnieren

Als het driehoeksvakwerk inwendig

statisch bepaald is, zoals in de figuur 48, is het

stelsel met zijn uitwendige verbindingen een-

voudig statisch onbepaald. Het gezegde aan

het eind van lid 4.1 omtrent het aanwezig zijn

van scherpe hoeken kan in sommige gevallen

pleiten voor vervanging van het schema uit de

figuur 48 door dat geschetst in de figuur 49.

4.3.1 Staafkrachten teweeggebracht door een gegeven belasting (fig. 49)

u5’ u5”

5’ N1 5”

1

1 “overlapping” a = u5’ - u5”

h

f

’ ”

Figuur 49

De belasting doet in de staven de normaalkrachten N ontstaan, en in het bijzonder de

kracht N1 in de staaf 1, die we nu doorknippen om een driescharnierboog te verkrijgen, die zal

dienen als hoofdsysteem. Met behulp van de snedenmethode bepalen we

Figuur 48



alle staafkrachten N0 opgewekt in het hoofdsysteem door de gegeven belasting, en

alle staafkrachten n opgewekt in het hoofdsysteem door twee tegengestelde krachten ter

grootte 1 - die aangrijpen op de twee delen van de doorgesneden staaf 1 - waarop de

twee onderste scharnieren reageren door op elke geboorte de binnenwaartse kracht f

h

uit te oefenen.

Dan geldt voor een willekeurige staaf van de ongerepte constructie: N N N n 0 1. (34)

We bedienen ons van het beginsel van de virtuele arbeid, a n m ds ( . . ). waarin

0, om uit te drukken dat virtuele rekken EA

N , gegeven aan alle staven van het hoofdsys-

teem, geen aanleiding geven tot een relatieve verplaatsing a van de twee randen van de door-

snijding in de staaf 1:

0

A

nN

A

nN

E

1

A

Nn

E

1ds

EA

Nndsnuua

2

10

"5'5

(35)

waaruit

A

n

A

nN

N2

0

1

(36)

Hierin stellen A en de doorsnede en de lengte van de betrokken staaf voor. De sommen

worden becijferd voor alle staven van het vakwerk. Na berekening van N1 geeft (35) de staaf-

krachten N in alle staven.

4.3.2 Staafkrachten teweeggebracht door een temperatuurstijging T

De hoekverdraaiing van het linkerdeel van het hoofdsysteem, veroorzaakt door de

temperatuurverandering, wordt gegeven door Tf

"t1

. Die van het rechterdeel is

Tf

't3

, en de relatieve rotatie van de twee delen is T

fT

f

"'tt

. Er gaat een

gaping ter grootte Tf

ht

in de doorgesneden staaf 1 mee gepaard. Die gaping wordt ge-

compenseerd door de overlapping teweeggebracht in de staaf 1 van het hoofdsysteem door een

daar ingevoerde normaalkracht N1. De overlapping wordt gegeven door de tweede term van

het voorlaatste lid van (35). Derhalve:



A

nf

ThENenT

f

h

A

n

E

N

2

t1t

21

(37)

De andere staafkrachten in de tweescharnierboog zijn gelijk aan N1.n.

4.4 “Tweezijdig ingeklemde” vakwerkboog

2

N2 = 1

3

N3 = 1 N1 = N2 = 0

1

b

N1 = 1

N2 = N3 = 0

Figuur 50

N1 = N3 = 0

a

c

d

F

Het stelsel afgebeeld in figuur 50 is drievoudig statisch onbepaald, steeds in de onder-

stelling dat alle staven eindigen in scharnieren. We zetten het om in een hoofdsysteem, met

name een driescharnierboog, door doorsnijding van de staven 1, 2 en 3. Door middel van de

methode van het knopenevenwicht bepalen we alle staafkrachten N0 , n1 , n2 en n3 , onder-

scheidenlijk opgewekt in het hoofdsysteem door het gegeven lasstelsel F, en door twee tegen-

gestelde krachten ter grootte 1 die achtereenvolgens werken in de doorgesneden staven 1 (fig.

50b), 2 (fig. 50c) en 3 (fig. 50d). In het belaste, ongeschonden driehoeksvakwerk zijn de

staafkrachten gelijk aan

N N N n N n N n 0 1 1 2 2 3 3. . . (38)

We passen het beginsel van de virtuele arbeid driemaal toe om uit te drukken dat het opdrin-

gen van de virtuele rekken EA

N aan de staven van het hoofdsysteem geen overlappingen

a1 , a2 , a3 doet ontstaan ter plaatse van de drie doorsnijdingen:



0A

Nn

A

nnN

A

nnN

A

nN

E

1

A

Nn

E

1a 0131

321

2

21

11

1

0A

Nn

A

nnN

A

nN

A

nnN

E

1

A

Nn

E

1a 0232

3

22

212

12

2

(39)

0A

Nn

A

nN

A

nnN

A

nnN

E

1

A

Nn

E

1a 03

23

323

213

13

3

Oplossing van het stelsel (39) naar N1 , N2 , N3 , en invoering in (38) leveren alle staafkrach-

ten.

Download - PDF-syllabus Berekening Van Bouwkundige Constructies I

Top Related