Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
1
4. Tek Rastlantı Değişkenleri
Bu bölümde, rastgele değişkenin ayrık, sürekli ya da karma olduğu genel durum elde
değerlendirilecektir. Her üç rastgele değişkeni tanımlamada kullanılan birikimli dağılım
fonksiyonu (cumulative distribution function, CDF) tanıtılacaktır. Aynı zamanda sürekli rastgele
değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability density function, PDF) da
tanıtılacaktır. Bir rastgele değişken içeren olayların olasılıkları, PDF’lerin integralleri alınarak
ifade edilecektir.
4.1. Birikimli Dağılım Fonksiyonu
Bir ayrık rastgele değişkenin olasılık yığın fonksiyonu (PMF), X b formunda tanımlanmıştı.
X b formundaki olaylar için birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) alternatif olarak
kullanılmaktadır. CDF, sadece ayrık rastgele değişkenler ile sınırlı değildir, aynı zamanda tüm
rastgele değişkenler için kullanılabilmektedir.
S örnek uzayına sahip rastgele bir deneyi ele alalım. X rastgele değişkeni örnek uzay S’ten R’ye
bir fonksiyondur.
: , bA s X s b b
Bir X rastgele değişkeninin CDF’i, X x olayının olasılığı olarak aşağıdaki gibi
tanımlanmaktadır:
, XF x P X x x
X’in , x aralığında değer alma olasılığıdır. Esas örnek uzay cinsinden CDF, :s X s x
olayının olasılığıdır. X x olayı ve olasılığı x değiştikçe değişir, diğer bir ifade ile XF x x
değişkeninin bir fonksiyonudur.
Örnek: Bir madeni paranın 3 kez atılması deneyi ele alınsın. Tura sayısı X olsun. X0, 1, 2, 3
olabilir.
1 3 3 1
0 , 1 , 2 , 38 8 8 8
P X P X P X P X
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
2
Örnek: İki zar atma deneyi. X, iki zar üzerindeki sayıların toplamı olsun. Bu durumda, x= 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 olabilir.
1 1 0
12 2 1,1 236
33 3 1,1 , 1,2 , 2,1 2 336
4 4 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 1,3 , 3,1
6 2 3 4 3 436
105 5 2 3 4 5 4 536
12 12 2 3
X
X X
X X X
X
X X X X X
X X X X X X X
X X X
F P X P
F P X P p
F P X P p p
F P X P
p p p F p
F P X p p p p F p
F P X p p p
12 11 12 1X X XF p
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
X X
X X X
X X X X
P a X b F b F a
P a X b F b F a p b
P a X b F b F a p a p b
[ ] ( ) ( )
[ ] ( )
[ ] 1 ( )
X X X
X X
X
P a X b F b F a p a
P X b F b F b
P X x F x
35 15 5 25[6 11] (11) (6) 6
36 36 36 36
35 15 20[6 11] (11) (6)
36 36 36
21 6 3 6 12[4 7] (7) (4) 4 7
36 36 36 36 36
21 6 6 9[4 7] (7) (4) 7
36 36 36 36
X X X
X X
X X X X
X X X
P X F F p
P X F F
P X F F p p
P X F F p
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
3
Örnek: Zar atma deneyinde iX s i olarak tanımlanırsa, 1 1X s , 2 2X s ,…, 6 6X s
6x ise,
1 2 3 4 5 6
(5) 6
( ) , , , , , 1
X X
X
F p
F x P X x P s s s s s s
5 6x ise,
1 2 3 4 5( ) , , , , 5 6XF x P X x P s s s s s
4 5x ise,
1 2 3 4( ) , , , 4 6XF x P X x P s s s s
3 4x ise,
1 2 3( ) , , 3 6XF x P X x P s s s
2 3x ise,
1 2( ) , 2 6XF x P X x P s s
1 2x ise,
1( ) 1 6XF x P X x P s
1x ise,
( ) 0XF x P X x P
█
CDF’in Bazı Özellikleri
0 ( ) 1XF x
lim ( ) 1Xx
F x
lim ( ) 0Xx
F x
( )XF x , x ’in azalmayan bir fonksiyonudur, yani, eğer a b ise o zaman ( ) ( )X XF a F b ’dir.
( )XF x sağdan sürekli ise, yani, 0
0 ( ) lim ( ) ( )X X Xh
h F b F b h F b
Bu 5 özellik, genel olarak, x ’dan ’a arttığında, XF x ’in 0’dan 1’e büyüyen ve
azalmayan bir fonksiyon olduğunu gösterir.
[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 1 ( )X X X X XP a X b F b F a P X b F b F b P X x F x
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
4
a X b X a a X b olduğundan,
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X X X XP a X b F a F a F b F a F b F a
Eğer bir CDF, aralığın bitiş noktalarında sürekli ise bitiş noktaları sıfır olasılığa sahiptir.
█
Örnek: Hilesiz bir madeni paranın 3 kez atılması deneyinde tura sayısı X olsun. CDF’yi
kullanarak aşağıdaki olayların olasılığını bulunuz.
a) 1 2A X
b) 0.5 2.5B X
c) 1 2C X
Çözüm:
a) [1 2] (2) (1) 7 / 8 1/ 2 3/ 8X XP X F F
b) CDF, x = 0.5 ve x = 2.5 noktalarında süreklidir.
[0.5 2.5] (2.5) (0.5) 7 / 8 1/ 8 6 / 8X XP X F F
c) {1 2} { 2} {1 2}' dir.X X X
{1 2} { 2} {1 2}' dir.
{1 2] [ 2] (2) 1
{1 2] (2) 1 P[ 2]
(2) 1 (2) 2 2 1 4 / 8 1/ 8 3 / 8
X X
X X
X X X X X X
X X X
P X P X F F
P X F F X
F F F F F F
█
4.1.1. Rastgele Değişkenlerin 3 Farklı Türü
Ayrık rastgele değişkenler, sağdan sürekli ve x’in merdiven fonksiyonu şeklinde CDF’ye sahiptir.
x0, x1, x2, … gibi noktalarda atlamalar oluşur.
Birim basamak
k
X X k X k k
x x k
F x p x p x u x x
Sürekli rastgele değişkenler, CDF’si her yerde sürekli olan rastgele değişkenlerdir. Bunun
yanında, negatif olmayan f x fonksiyonunun integrali olarak yazılabilir.
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
5
x
XF x f t dt
Sürekli rastgele değişkenlerde; bütün x değerleri için 0P X x .
Karma türden rastgele değişkenler; x0, x1, x2, … gibi noktalarda atlamalara sahiptir fakat aynı
zamanda x değerlerinin en az bir aralığında sürekli olarak artan CDF’e sahiptir.
1 21 , 0 1XF x p F x p F x p
burada 1F x , ayrık bir rastgele değişkenin CDF’si, 2F x ise sürekli bir rastgele değişkenin
CDF’sidir.
4.1.2. CDF’in Limit Özellikleri
lim ( ) 1 özelliğinden lim ( ) lim [ ] lim{ } [ ] 1x Xx n n n
F x F n P X n P X n P S
lim ( ) 0 özelliğinden lim ( ) lim [ ] lim{ } [ ] 0x Xx n n n
F x F n P X n P X n P
0
0
0, ( ) lim ( ) 1
lim ( 1/ ) lim [ 1/ ] lim{ 1/ } [{ }] ( )
x x xh
X Xn n n
h F b F b h F b X x n
F x n P X x n P X x n P X x F x
[ ] ( ) 1
lim ( ) ( 1/ ) lim [ 1/ ] lim{ 1/ } [ ]
x x
X Xn n n
P x b F b F b b n X b
F b F b n P b n X b P b n X b P X b
4.2. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF), CDF’in türevine eşittir.
( )X
X
dF xf x
dx
PDF, x noktasındaki olasılığın yoğunluğunu temsil eder. X’in, x etrafında (yakınlarında) küçük
bir aralıkta x X x h olma olasılığı
( ) ( )
( ) ( ) X XXX
F x h F xP F x h F xx X
hx hh
CDF’in x’e göre türevi varsa, o zaman h çok küçük olduğunda
( )Xx X x hP f x h
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
6
CDF’in x’e göre türevi varsa, x’in azalmayan bir fonksiyonu olduğunda ( ) 0Xf x olur.
Bir aralığın olasılığı, ( )Xf x ’in o aralık altında kalan alan olarak ifade edilir.
( )X
b
a
P f x dxa X b
X’in CDF’si, PDF’nin integrali ile elde edilebilir:
( )
t
XXF x f t dt
PDF, sürekli rastgele değişkenlerin davranışlarını tamamıyla belirler.
PDF’in altında kalan alan toplamsal olarak 1’e eşittir.
1Xf t dt
Geçerli bir PDF negatif olmayan, parçalı sürekli bir fonksiyondur ve sonlu bir integrale
sahiptir.
g x dx C
Örnek:
32 , 0 2
4
0,X
x x xf x
diğer
a) ( )Xf x ’in PDF olduğunu gösteriniz.
b) CDF’i bulunuz.
c) 3 2 , 1 2 , 0 7 4 , 1 2 9 2P x P x P x P x olasılıklarını bulunuz.
Çözüm:
a) 2 2 2 32 2
2 2
0 00 0 0
3 3 3 3 82 2 | | 4 1
4 4 4 3 4 3
xx x dx xdx x dx x
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
7
b) 2 3
0
3 3 12
4 4 4
x
XF t t xx xdt 2 3
0, 0
3 1, 0 2
4 4
1, 2
X
x
F x x x x
x
c)
2 3
2 3
2 3
3 3 1 3 273 2 3 2
4 2 4 2 32
3 1 1 1 271 2 1 1 2 1
4 2 4 2 32
3 7 1 70 7 4 7 4 0 0 0,96
4 4 4 4
5 271 2 9 2 9 2 1 2 1
32 32
X
X X
X X
P x F
P x P x
P x F F
P x F F
Örnek: 2 4 , 0 6
0,X
k x xf x
diğer
a) k = ?
b) CDF’i bulunuz.
Çözüm:
a)
6 6 6
2
0 00
2 4 1 | 4 |
0 0
1 36 24 1 1 60
Xk f x
k x dx kx kx k k k
b) 2
0 0
1 12 4 4
60 60
x x
X T tF x f t dt dt x x 2
0, 0
14 , 0 6
60
1, 6
X
x
F x x x x
x
Örnek:
3, 0 2
8
12 5
12
0,
X
xx
f x x
diğer
a) ( )Xf x ’in PDF olduğunu gösteriniz.
b) CDF’i bulunuz.
c) 1 4 5 2 , 1P x P x olasılıklarını bulunuz.
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
8
Çözüm:
a) 2 5 2 2 5
0 20 2
3 1 3 1| | 1
8 12 8 2 10
2X X
x xf x f x dx xdx dx
b)
2
2
2
2
0
3 3, 0 2
8 16
3 3 3 1 3 12 2 , 2 5
16 4 4
2
0 0
1
12 4 12
30 2
16
3 12 2 5
4 2
5
1
x
X
x
X X
X
F x dt
F F x dt
x
F x
t x x
x x
x
x x
x
x
c)
23 1 5 3 1
1 4 5 2 5 2 1 4 2 0,784 12 2 16 4
1 1 1 1 1 0 1 1 13 16
X XP x F F
P x P x x P x P x P x
█
PDF, x’in bütün gerçek değerleri için tanımlanmak zorudadır. Eğer X bazı bölgelerde (gerçek
sayı doğrusunda) değerler almazsa, o bölgede ( ) 0Xf x olarak tanımlanır.
Örnek: Düzgün rastgele değişkenin PDF’si şu şekilde verilmektedir:
1
0 ve X
a x bf x b a
x a x b
Buna göre CDF,
0
1
X
x a
x aF x a x b
b a
x b
Örnek: Eksponansiyel rastgele değişken
Bir haberleşme sisteminde mesajların iletilme zamanı, X, eksponansiyel dağılıma sahiptir:
, 0xP X x e x
PDF ve CDF bulunuz.
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
9
Çözüm:
0 01
1 0
0 0
0
X x
X
X x
xF x P X x
e x
xdF xf x
e xdx
Örnek: Laplacian rastgele değişken
, x
Xf x c e x
c sabitini ve P X v olasılığını bulunuz.
Çözüm:
| |
0
| |
0
21 2
[| | ] 2 12 2
2
x x
v vx x v
v
cce dx ce dx c
P X v e dx e dx e
4.2.1. Ayrık Rastgele Değişkenlerin Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
CDF’nin sürekli olmadığı noktalarda CDF’nin türevi yoktur. Delta fonksiyonu ve birim basamak
fonksiyonu arasındaki ilişkiyi kullanarak PDF’nin tanımlanması gerçekleştirilebilir. Birim
basamak fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:
0 0
1 0
xu x
x
Delta fonksiyonu aşağıdaki eşitlik ile birim basamak fonksiyonu ile ilişkilidir.
x
u x t dt
buradan,
0
0 0
x x x
u x x t dt t x dt
Bu ifadeyi ayrık rastgele değişkenin CDF’sine yerleştirirsek;
x
X X k k X k k
k k
x
X k k
k
F x p x u x x p x t x dt
p x t x dt
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
10
Buna göre, ayrık bir rastgele değişkenin PDF’si:
X X X k k
k
df x F x p x x x
dx
Örnek: Bir madeni paranın 3 kez atılması deneyinde tura sayısı X olsun. X’in PDF’sini bulunuz.
PDF’yi integre ederek 1 2 ve 2 3P X P X olasılıklarını bulunuz.
Çözüm:
1 3 3 1( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3)
8 8 8 8
1 3 3 1( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3)
8 8 8 8
X
X
F x u x u x u x u x
f x x x x x
2
1
1,2 1 noktasındaki delta integralden çıkarılır,
2 noktasındaki delta integrale dahil edilir.
31 2
8X
P x
P X f x dx
3
2
32,3 2 3
8XP x P X f x dx
4.2.2. Koşullu CDF ve PDF
C olayının bilindiği ve 0P C olduğunu varsayalım. X’in, C bilindiği durumdaki koşullu
CDF’si:
[{ } ]( | ) , [ ] 0
[ ]X
P X x CF x C P C
P C
X’in, C bilindiği durumdaki koşullu PDF’si:
( | ) ( | )X X
df x C F x C
dx
Bir makinenin kullanım ömrü X, sürekli bir CDF’ye sahiptir. C X t (t zamanında makine
hâlâ çalışıyor) olayı için koşullu CDF ve PDF ifadelerini bulunuz.
[{ } { }]( | ) [ | ]
[ ]X
P X x X tF x X t P X x X t
P X t
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
11
x t olduğunda, pay kısmındaki iki olayın kesişimi boş kümedir. x t olduğunda ise
t X x şeklindedir.
0
( | ) ( ) ( )
1 ( )
X X X
X
x t
F x X t F x F tx t
F t
Koşullu CDF’nin x’e göre türevi alınırsa:
( )( | )
1 ( )
XX
X
f xf x X t x t
F t
█
Örnek uzayın, S, ayrık B1, B2,…, Bn olaylarından oluştuğunu varsayalım. ( | )X iF x B , koşullu CDF
(Bi bilindiğinde X’in koşullu CDF’si) olsun. Toplam olasılık teoreminden, X’in CDF’sini koşullu
CDF’ler cinsinden bulabiliriz:
1 1
( ) [ ] | |n n
X i i X i i
i i
F x P X x P X x B P B F x B P B
Türevi alınırsa,
1
( ) ( ) |n
X X X i i
i
df x F x f x B P B
dx
Örnek: İkili bir iletim sistemi, a v gerilim sinyali ileterek “0” bitini gönderiyor ve a v
gerilim sinyali ileterek ise “1” bitini gönderiyor. Alınan sinyal Gaussian gürültülü olarak elde
ediliyor ve aşağıdaki gibidir:
Y X N
X iletilen sinyal, N ise Nf x PDF’sine sahip bir gürültü gerilimidir. 1 1 0P p P
olduğunu varsayalım. Y’nin PDF’sini bulunuz.
Çözüm:
0 1"0" iletilmesi olayı, "1" iletilmesi olayıB B olsun. buna göre 0 1 ve B B örnek uzayda ayrık
iki olaydır.
0 0 1 1( ) | | [ | ](1 ) [ | ]Y Y YF x F x B B F x B B P Y x X v p P Y x X v p
Y X N olduğundan,
| olayı, ve ' ye denktir.
| olayı, ' ye denktir.
Y x X v v N x N x v
Y x X v N x v
Buna göre koşullu CDF’ler;
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
12
0
1
| [ ] ( )
| [ ] ( )
Y N
Y N
F x B P N x v F x v
F x B P N x v F x v
CDF ifadesi;
( ) ( )(1 ) ( )Y N NF x F x v p F x v p
Y’nin PDF ifadesi;
( ) ( ) ( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )Y Y N N N N
d d df x F x F x v p F x v p f x v p f x v p
dx dx dx
Gaussian rastgele değişkenin PDF ifadesi; 2 2/2
2
1( )
2
x
Nf x e x
Koşullu PDF ifadeleri;
2 2
2 2
( ) /2
02
( ) /2
12
1| ( )
2
1| ( )
2
x v
Y N
x v
Y N
f x B f x v e
f x B f x v e
Buna göre alınan sinyal Y’nin PDF’si aşağıdaki gibi olur: 2 2 2 2( ) /2 ( ) /2
2 2
1 1( ) (1 )
2 2
x v x v
Yf x e p e p
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
13
4.3. X’in Beklenen Değeri
Sürekli rastgele değişkenler için bir dizi deneyler gerçekleştirdiğimizi varsayalım. X’in belirli bir
değerinde, sürekli rastgele değişkenler 0P X x olasılığa sahip olduğundan, gerçek sayı
doğrusunu küçük aralıklara bölüp, gözlemlerin k kx X x aralığındaki sayısını kN n
belirleriz. n büyüdükçe bağıl sıklık k kf n N n n , X kf x ’ya (yani aralığın olasılığına)
yaklaşacaktır.
Örnek ortalaması bağıl sıklıklar cinsinden hesaplanır ve n ise
( )n k k k X k
k k
X x f n x f x
’yı azalttığımızda, eşitliğin sağ tarafı integrale yaklaşır. Bir X rastgele değişkeninin beklenen
değeri ya da ortalaması:
XE X t f t dt
Eğer yukarıdaki integral kesinlikle yakınsak ise E X tanımlıdır, yani
XE X t f t dt
Eğer Xf x ’i gerçek düzlemde (sayı doğrusu üzerinde) yığının dağılımı olarak kabul edersek,
E X bu dağılımın yığınının merkezini temsil eder.
Daha önce, ayrık rastgele değişkenler için E X ’i incelemiştik, fakat buradaki E X tanımı,
eğer ayrık rastgele değişkenin PDF’sini delta fonksiyonları kullanarak ifade edersek, ayrık
rastgele değişkenler için de uygulanabilir:
[ ] X k k X k k
k k k
X k k
k
E X t p x t x dt p x t t x dt
p x x
Örnek: Düzgün bir rastgele değişkenin ortalaması:
1
[ ]2
b
a
a bE X b a tdt
Yani beklenen değer tam olarak ,a b aralığının orta noktasıdır.
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
14
Örnek: Eksponansiyel rastgele değişkenin ortalaması:
Bir benzin istasyonunda müşterilerin gelişi arasındaki zaman X, eksponansiyel dağılıma sahiptir.
Varışlar arası ortalama zamanı bulunuz.
, 0x
Xf x e x
Çözüm: 0
tE X t e dt
Kısmi integrasyon , , t tudv uv vdu u t du d et dv ev
0 0
0 0
1 1| lim 0 | lim
t tt t t
t t
e eE X te e dt te
4.3.1. Y = g(X)’in Beklenen Değeri
y g X ’in beklenen değerini bulalım. E Y ifadesi doğrudan X’in PDF’si cinsinden
bulunabilir:
XE Y g x f x dx
y eksenini h uzunluğunda aralıklara bölelim ve
aralıkları k indeksi ile belirtelim ve k. aralığın
merkezindeki değer yk olsun. Y’nin beklenen değeri
aşağıdaki yaklaşık toplam ile verilebilir:
k Y k
k
E Y y f y h
g X ’in kesinlikle artan bir fonksiyon olduğu
varsayılsın. y eksenindeki k. aralığa denk gelen hk
genişliğinde bir aralık x ekseninde olsun. xk, k.
aralıktaki değer olsun, öyle ki kg X y ise
Y k X k kf y h f x h olur.
k X k k
k
E Y g x f x h
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
15
Örnek: cosY a t ve , ve a t sabitler ise 0, 2 aralığında düzgün rastgele bir
değişkendir. Buna göre ?E Y , 2 ?E Y
Çözüm: 2 2
00[ ] [ cos( )] cos( ) sin( ) sin( 2 ) sin( ) 0
2
dE Y E a t a t a t a t a t
2 2 2 2 22
2 2 2
0
ortalama güç
cos ( ) cos(2 2 ) cos(2 )2 2 2 2 2 2
a a a a d aE Y E a t E t t
Örnek: Cg X I X , X C olayı için belirteç (indicator) fonksiyonu olsun. C, gerçek sayı
doğrusu üzerindeki aralıkların birleşimi ya da herhangi bir aralıktır.
0
1
x Cg X
x C
X X
C
E Y g X f x dx f x dx P X C
Belirteç fonksiyonunun beklenen değeri, olayın olasılığına eşittir.
█
c, bir sabit olmak üzere,
1 1 1 1
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) [ ]
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
X X
X X
n n n n
k k X k X k
k k k k
E c c f x dx c f x dx c
E cX cxf x dx c x f x dx cE X
E Y E g X g x f x dx g x f x dx E g X
Bir rastgele değişkenin fonksiyonlarının toplamının beklenen değeri, her bir fonksiyonun
beklenen değerlerinin toplamına eşittir.
█
Örnek: 2
0 1 2
n
nY g X a a X a X a X olsun. ka sabittir.
2
0 1 2
2
0 1 2
n
n
n
n
E Y E a E a X E a X E a X
a a E X a E X a E X
E X c E X c Rastgele bir değişkenin ortalaması bir sabit eklenerek kaydırılabilir.
4.3.2. X’in Varyansı
Bir X rastgele değişkenin varyansı,
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
16
2 22
1 2
VAR X E X E X E X E X
STD X VAR X
Örnek: Düzgün bir rastgele değişkenin varyansı:
,a b aralığında düzgün dağılımlı X rastgele değişkeninin varyansını bulunuz.
Çözüm:
2
232 22
22
1,
2 2 2
1 1|
3 12
b
a
b a b a
a ba b
a b a b a bE X VAR X x dx y x dy dx
b a
b ayVAR X y dy
b a b a
█
2
VAR[ ] 0
VAR[ ] VAR[ ]
VAR[ ] VAR[ ]
c
X c X
cX c X
X rastgele değişkeninin n. momenti aşağıdaki gibi tanımlanır:
n n
XE X x f x dx
Ortalama ve varyans ilk iki moment ile tanımlanmaktadır: 22 ve E X E X E X
4.4. Bazı Önemli Sürekli Rastgele Değişkenler
4.4.1. Düzgün Rastgele Değişken
Gerçek sayı doğrusu üzerindeki bir aralıkta bütün değerlerin eşit olasılıkla meydana geldiği
durumlarda kullanılır. ,a b aralığında U rastgele değişkeninin PDF’si:
1
0 ve U
a x bf x b a
x a x b
,a b aralığında U rastgele değişkeninin CDF’si:
0
1
U
x a
x aF x a x b
b a
x b
2
, 2 12
b aa bE X VAR X
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
17
4.4.2. Eksponansiyel Rastgele Değişken
Olayların oluşları arasındaki zamanı modellemede, ürünlerin ve sistemlerin kullanım ömrünü
modellemede eksponansiyel rastgele değişkenler kullanılır. λ parametresine sahip bir X
eksponansiyel rastgele değişkenin PDF’si:
0 0
0X x
xf x
e x
CDF’si
0 0
1 0X x
xF x
e x
2
1 1, E X VAR X
4.4.3. Gaussian Rastgele Değişkeni
2
2
1exp ,
22X
xf x x
Gaussian rastgele değişkenin CDF’si:
2
2
1exp
22
x xP X x dx
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
18
t x m değişken dönüşümü yapılırsa,
21
exp22
x m
X
t xF x dt
burada x , 0 ve 1 olan bir Gaussian rastgele değişkenin CDF’sidir.
21
exp22
xt
x dt
211 exp
22
1
x
tQ x x dt
Q x Q x
Örnek: Gaussian PDF’sinin integralinin 1’e eşit olduğunu gösteriniz.
Çözüm: PDF integralinin karesi,
2 22 2 2
2/2/2 /2 /21 1 1
2 22
x yx x ye dx e dx e dy e dxdy
cos ve sin olsun. Bu durumda, d cos ve d cos .x r y r x dr y r d
Kartezyen koordinatlardan polar koordinatlara geçilirse,
2 2 22
/2 /2 /2
0 0 0 0
11
2 r r re rdrd re dr e
█
Gaussian rastgele değişkeni haberleşme sistemlerinde önemli bir role sahiptir. İletilen sinyaller,
elektronların termal hareketinden kaynaklanan gürültü gerilimleri tarafından bozulurlar. Bu
gerilimler Gaussian PDF’sine sahiptir.
█
Örnek: Bir haberleşme sistemi giriş olarak pozitif bir V gerilimini kabul eder ve çıkış gerilimi
Y V N ’dir. Burada 210 ve N ise 0 ve 2m olan bir Gaussian rastgele
değişkendir. 60 10P Y olasılığını veren V değerini bulunuz.
Çözüm: 0P Y olasılığı N cinsinden yazılırsa.
60 0 10V V
P Y P V N P N V Q
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
19
Tablodan 4.7535V
olduğu görülmektedir. Buna göre,
2104.7535 950,6
2
VV
olarak bulunur.
Örnek: Bir Gaussian rastgele değişkeninin ortalaması 21 ve varyansı 4m ’tür.
3 ?P X ve 3 ?P X
Çözüm: 3 1
3 1 0.158662
x mP X Q Q Q
3 13 2 0.15866
2
Tabloda 2 olmadığından, 2 1 2 1 0.02275 0.97725
x mP X Q Q Q
Q Q Q
█
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
20
█
Örnek: Bir radar alıcısı, sinyal+gürültüye eşit olan V s N gerilimini gözlemektedir. s
sinyalinin sabit ve gürültünün (N) rastgele Gaussian değişkeni olduğu varsayılsın. Gürültünün
ortalaması 2 20 ve varyansı 4 mvm ’dir. Eğer V gerilimi 2 volttan büyük ise radarın hedefi
sezdiği varsayılsın. Hedef radardan belirli bir miktarda uzaklıkta iken, s sinyali 3 volttur. Buna
göre, radarın hedefi sezme olasılığı nedir?
Çözüm: V gerilimin ortalaması: , 3 0
3
sabit m
E V E s N E s E N
V’nin varyansı:
4
Sabitin varyansı 0 olduğundan 'in varyansına bağlıdır.
VAR V VAR s N
N
2 3
2 0.5 1 0.5 1 0.31 0.692
v mP V Q Q Q Q
Örnek: Hedef radara yaklaştıkça, sinyal daha güçlü olacaktır. Gürültünün varyansı sabit kalırsa,
hedefi 0.98 olasılıkla sezebilmek için gerekli olan s gerilimi kaç volttur?
Çözüm: Bu olasılık 2
olur. Burada ortalama değere eşitleniyor.2
sQ s
Bu ifadenin içi negatif olacağından,
2 21 0.98 0.02
2 2
s sQ Q
Tablodan 2
2.05 6.1 2
ss V
bulunur.
4.4.4. Gamma Rastgele Değişkeni
Sırada bekleyen müşterilere hizmet etmek için gerekli olan zamanı modellemede, cihazların ve
sistemlerin kullanım ömrünü modellemede kullanılmaktadır. Gamma rastgele değişkeni 0 ve
0 gibi iki parametreye sahiptir ve PDF’si:
1
0
x
X
x ef x x
burada z Gamma fonksiyonudur ve 1
0
0z xz x e dx z
olarak tanımlanır.
0.5 1 , 0 1 !, negatif olmayan tam sayız z z z m m m
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
21
1 olduğunda eksponansiyel rastgele değişkenin PDF’i elde edilir.
Örnek: Bir Gamma rastgele değişkenin PDF’sinin integralinin 1 olduğunu gösteriniz.
Çözüm: 1
1
0 0 0
( )( )
( ) ( )
xx
X
x ef x dx dx x e dx
y x dy dx dönüşümü kullanılırsa,
1
0
( )
1( )
yy e dy
4.4.5. Beta Rastgele Değişkeni
Bera rastgele değişkeninin PDF’si:
11 1 , 0 1
ba
Xf x c x x x
1
11
0
1, 1
baB a b x x dxc
,
a bB a b
a b
2,
1
a abE X VAR X
a b a b a b
1a b olduğunda düzgün rastgele değişkenin PDF’i elde edilir.
4.5. Bir Rastgele Değişkenin Fonksiyonları
X rastgele bir değişken olsun ve g(x) gerçek sayı doğrusunda tanımlı gerçek değerli bir fonksiyon
olsun. Y g X tanımlansın, yani X rastgele değişken varsayılan değerinde g(x) fonksiyonunun
hesaplanması ile Y belirlenir. O zaman, Y’de rastgele bir değişkendir. Y’yi kapsayan C olayının
olasılığı, denk B olayının olasılığına eşittir,
P Y C P g X C P X B
Örnek: N bağımsız konuşmacı grubundaki aktif konuşmacıların sayısı X olsun. Konuşmacının
aktif olma olasılığı p olsun. X, N ve p parametrelerine sahip Binom dağılımlıdır. Ses iletim
sisteminin bir zamanda M ses sinyaline kadar iletim yapabildiğini varsayalım. X, M’i aşarsa X-M
adet rastgele seçilen sinyaller çıkartılıyor. Y çıkarılan sinyallerin sayısı olsun: Y=(X-M)
0,1, ,YY S N M kümesinden değerler alır. X M olduğunda 0Y olacak ve
0
0 0,1, , ' 'M
j
j
P Y P X M p X in PMF si
, 0M kP Y k P X M k p k N M
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
22
Örnek: Rastgele Y değişkeni aşağıdaki gibi tanımlanıyor:
Y aX b
a sıfır olmayan bir sabittir. X’in CDF’si XF x ise YF y ’yi bulunuz.
Çözüm: Y y olayı: A aX b y oluştuğunda meydana gelir.
Eğer 0a ise A X y b a olur ve
, 0Y X
y b y bF y P X F a
a a
Eğer 0a ise A X y b a olur ve
1 , 0Y X
y b y bF y P X F a
a a
YF y ifadelerinin y’ye göre türevi alınarak Yf y bulunur.
1
, 0Y X
y bf y f a
a a
1
, 0Y X
y bf y f a
a a
Bu iki sonuç kompakt bir şekilde aşağıdaki gibi yazılabilir.
1
Y X
y bf y f
a a
Örnek: X, Gaussian PDF’sine sahip, ortalaması m ve standart sapması olan rastgele bir
değişken olsun.
2
2
1exp ,
22X
x mf x x
ve Y aX b olduğuna göre ?Yf y
Çözüm: X’in Gaussian PDF’sini bir önceki örneğin sonucunda yerine yazarsak,
2
2
1exp ,
2 2X
y b a mf x x
a a
Y değişkeni de Gaussian dağılımlıdır. Ortalaması b a m ve standart sapması a ’dır. Bu
yüzden, bir Gaussian rastgele değişkeninin lineer bir fonksiyonu yine bir Gaussian rastgele
değişkenidir.
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
23
Örnek: Rastgele Y değişkeni 2Y X şeklinde tanımlanıyor. X sürekli bir rastgele değişkendir.
YF y ve Yf y ’yi bulunuz.
Çözüm:
Y y olayı 2X y olduğunda ya da
, 0y X y y için oluşur.
0 0
0Y
X X
yF y
F y F y y
y’ ye göre türev alınırsa,
2 2
, 02 2
X X
Y
X X
f y f yf y
y y
f y f yy
y y
Örnek: 0m ve 1 olan X rastgele değişkeni Gaussian rastgele değişkenidir. 2Y X ise
Yf y ’yi bulunuz.
Çözüm:
2
2
1exp ,
22X
x mf x x
0m ve 1 21
exp22
X
xf x
olur. Bir önceki örnekte bulunan sonuç kullanılarak,
2
2 21 1 1 1, 0
2 2 2 2 2 2 2
yX X y y
Y
f y f y ef y e e y
y y y y y
█
Y g X şeklinde yukarıda gösterilen nonlineer bir fonksiyon ele alınsın.
olayı Y YC C y Y y dy ve YB onun denk olayı olsun. Şekilde belirtilen y için, x1, x2,
x3 şeklinde 3 çözüm vardır ve YB olayı her bir çözüme karşılık gelen bir bölüme sahiptir.
1 1 1 2 2 2 3 3 3yB x X x dx x dx X x x X x dx
YC olayının olasılığı yaklaşık olarak Y YP C f y dy ’dir. Burada dy , y Y y dy
aralığının uzunluğudur. YB olayının olasılığı yaklaşık olarak:
1 1 2 2 3 3y X X XP B f x dx f x dx f x dx
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
24
YC ve YB denk olaylar olduğundan, olasılıkları eşit olmak zorundadır. Y YP C P B ’den:
( )( ) ( )
| / |k k
XY X
k kx x x x
f x dxf y f x
dy dx dy
Örnek: Bir önceki örnekte 2Y X olarak tanımlanmıştı. 0y için 2Y X eşitliği iki adet
çözüme sahiptir 0 1 ve x y x y . Bu yüzden Y’nin PDF’si iki terime sahiptir. 2dy dx x
ise,
1
0 1
0
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
X X
Y
X k X X X X
f y f yf y
y y
dxf x f x f x f y f y
dy x x y y
4.6. Markov ve Chebyshev Eşitsizlikleri
Sadece negatif olmayan değerler alan bir X rastgele değişkeni için Markov eşistsizliği,
0 0[ ] ( ) ( )
,
( )
0
a
X X Xa
P
E X x f x
E XX a a
a
dx xf x dx x f x dx
İntegralin 0 değerinden başlamasının nedeni, X’in sadece negatif olmayan değerler aldığının
varsayılmasıdır.
0’dan a’ya olan integral çıkarılırsa,
[ ] ( )Xa
E X x f x dx
x yerine a gibi daha küçük sabit bir değer yazılırsa,
[ ] ( ) ( )X Xa a
E X a f x dx a f x dx a P X a
Örnek: Bir direnç üzerinde ölçülen gerilim düzgün bir rastgele değişkendir ve aralığı 0,5 V’tur.
Direnç üzerinde ölçülen gerilimin 4V’tan büyük olma olasılığı 0.2’dir.
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
25
Markov eşitsizliğini kullanarak bu olasılık için bir üst sınır bulalım.
0 52.5
2 2
2.54 0.625
4 4
a bE X
E XP X
Bulunan sonuç gerçek değerden çok uzaktır! Fakat bulunan değer üst sınırdır. Yani gerçek değer
olan 0.2 bulunan üst sınırın altındadır. Not: Bir sınır en kötü durum senaryosunu değerlendirir.
█
Ortalaması E X m ve varyansı 2VAR X olan bir X rastgele değişkeni için Chebyshev
eşistsizliği,
2
2, 0P X m a a
a
2
X m sadece negatif olmayan değerler alan bir rastgele değişkendir. Markov eşitsizliğini
uygularsak,
22
2 2
2 2
XE X m
P X m aa a
burada 2 2X m a ile X m a denk olaylardır.
Örnek: Çok kullanıcılı bir bilgisayar sisteminde ortalama cevap zamanı ve standart sapma
sırasıyla 15 s ve 3 s olarak bilinmektedir. Cevap zamanının ortalamadan 5 s daha fazla olma
olasılığını bulunuz. 2
2
915 5 0.36
25
XP Xa
Chebyshev eşistsizliği, (kesin, belirli rastgele değişkenler için) gerçek değere yakın sonuçlar
vermeyebilir. Fakat verilen rastgele değişkenin dağılımı hakkında ortalaması ve varyansı dışında
bilgi yoksa her şeye rağmen bu eşitsizlik faydalıdır.
4.7. Dönüşüm Metotları
4.7.1. Karakteristik Fonksiyon
Bir X rastgele değişkeninin karakteristik fonksiyonu,
( ) ( ) , 1 İmajiner kısımj X j x
X XE e f x e dx j
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
26
Yukarıdaki eşitliğin sağ tarafına bakıldığında karakteristik fonksiyon X’in bir fonksiyonunun j Xe ’in beklenen değeri olarak görülmektedir. Aynı zamanda, karakteristik fonksiyon Xf x
PDF’sinin Fourier dönüşümüne eşittir.
Eğer ( )X ’i Fourier dönüşümü olarak göz önüne alırsak, o zaman X’in PDF’si,
( ) Ters Fourier dönüş1
2ümüj X
X Xf ex d
Buna göre, her PDF ve karakteristik fonksiyon bir özgün Fourier dönüşüm çifti oluşturmaktadır.
Örnek: parametreli, eksponansiyel dağılımlı rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu,
( )
0 0( ) x j x j x
X e e dx e dxj
█
X eğer ayrık bir rastgele değişken ise;
( ) kj x
X X k
k
p x e
X eğer tam sayı değerli ayrık bir rastgele değişken ise;
( ) j k
X X
k
p k e
Tamsayı değerli ayrık rastgele değişkenlerin karakteristik fonksiyonu
dizisinin Fourier dönüşümüXp k ’nın 2 periyotlu periyodik bir fonksiyonudur.
2 2 2 ve 1j k j k j k j ke e e e
2
0
1, 0, ,( 1) , 2
2
j k
X Xk d kp e
Örnek: Bir geometrik rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu,
0 0
( )1
kk j k j
X jk k
pp q e p q e
q e
█
Xf x ve ( )X bir dönüşüm çifti olduğundan, X’in momentlerini ( )X ’dan bulabiliriz.
Buna göre, X’in momentleri:
0
1 nn
Xn n
dE X
j d
j xe ’i güç serisi olarak açarsak,
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
27
2
2 2
( ) 12!
( ) ( )( ) 1 [ ]
2! !
X X
n n
X
j Xf x j X dx
j E X j E Xj E X
n
Elde edilen eşitliğin türevi alınıp 0 durumu değerlendirilirse,
0
0
( ) | [ ]
defa türev alınırsa,
( ) | [ ]
n
Xn
nn n
Xn
djE X
d
n
dj E X
d
elde edilir.
Örnek: Eksponansiyel dağılımlı bir rastgele değişkenin ortalamasını bulunuz.
( )X
j
olduğu hatırlanırsa, bu ifadenin türevi alındığında,
2
(0) 1( ) X
X
jE X
jj
Eğer 2. Türev alınırsa,
2
3 2 2
22
2 2
(0)2 2( )
2 1 1
XX E X
jj
VAR X E X E X
4.7.2. Olasılık Üreten Fonksiyon
Rastgele değişkenlerin negatif olmadığı problemlerde, z-dönüşümü ya da Laplace dönüşümünü
kullanmak genellikle daha uygundur. Negatif olmayan tamsayı değerli N rastgele değişkeninin
olasılık üreten fonksiyonu:
0
0 1 2
0
PMF'nin dönüşümü
0 1 2
N k
N N
k
k
N N N N N
k
G z E z p k z z
G z p k z p z p z p z
N’nin karakteristik fonksiyonu: ( )N
j
NG e . Momentler için yapıldığı gibi türev alınırsa,
N’in PMF’si:
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
28
0 0
1| | !
!
k k
N N z N z Nk k
d dp k G z G z k p k
k dz dz
İlk iki türevi alınırsa ve z = 1 için hesaplanırsa; X’in ilk iki momenti bulunur:
1
1 1
0 0
22
1 120 0
2
| |
| 1 | 1
1
k
N z N z N
k k
k
N z N z N
k k
dG z p k k z k p k E N
dz
dG z p k k k z k k p k
dz
E N N E N E N
Böylelikle X’in ortalaması ve varyansı:
2
1 ve 1 1 1N N N NE N G VAR N G G G
Örnek: parametreli Poisson rastgele değişkenin olasılık üreten fonksiyonunu bulunuz.
1
0 0! !
kkzk z
N
k k
zG z e z e e e e
k k
NG z ’nin ilk iki türevi
( 1)
2 ( 1)
( )
( )
z
N
z
N
G z e
G z e
Buna göre, ortalama ve varyans:
2 2
[ ]
VAR[ ]
E N
N
4.7.3. Moment Üreten Fonksiyon (MGF)
0
PDF'in Laplace Dön.
( ) ( )sX sx
X XM s E e f x e dx Nonnegative
MGF daha çok sürekli rastgele değişkenler için kullanılır. Bununla birlikte; PDF’sinde impuls
olan karma veya ayrık rastgele değişkenlere de uygulanabilir.
s j olursa, sonuç Fourier dönüşümüdür:
PDF'in Fourier Dön.
( ) ( )j X j x
X XM j E e f x e dx
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
29
( ) sx
XM s E e ’deki sxe güç serisine açılırsa
2 2 3 31 1( ) 1
2 3
sx
XM s E e E X s E X s E X s
Moment teoremine bağlı olarak;
0( ) |n
n
X sn
dE X M s
ds
Örnek: Gamma PDF’sinin Laplace dönüşümü:
1
1 ( )
0 0
1
0
( ) ( ) ve ( ) olursa( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
x sxs x
X
y
x e eM s dx x e dx y s x dy s dx
y e dys s
X’in ilk iki momenti:
0 01
22
0 02 2 2
22
2
| |( ) ( )
1 1| |
( ) ( )
s s
s s
dE X
ds s s
dE X
ds s s
VAR X E X E X
Örnek: 0
0 0
x
X
e xf x
x
ise ?XM s
00 0
|s x s xx sx
XM s e e dx e dx es s
20 0 0
2
2
32 20 0
2 2 2
1| | |
2 2| |
2 1 1
X
Xs s s
X
s s
dM s dm E X
ds ds s s
d M sE X
ds s
VAR X
4.8. Örnekler
Örnek 1: Bir bilgi kaynağı 1, 2,3, 4XS olarak tanımlanan ikili çiftleri aşağıdaki PMF’ler ile
üretmektedir.
i. 1 , bütün 'lark Xp p k k S
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
30
ii. 1 2, 2,3,4k kp p k
iii. 1 2 , 2,3,4k
k kp p k
a) Bu 3 rastgele değişkenin CDF’lerini çiziniz.
b) CDF’yi kullanarak 1 , 2.5 , 0.5 2 , 1 4X X X X olaylarının olasılıklarını
bulunuz.
Örnek 2: Bir zar atılıyor. X olayı zarın gelen yüzündeki noktaların tam çift sayısı ve Y olayı ise
zarın gelen yüzündeki tam veya kısmi çift sayısıdır. X ve Y’nin CDF’sini bulup, çiziniz.
Örnek 3: Bir kutuda 8 adet 1 $ ve 2 adet 5 $’lık banknotlar bulunmaktadır:
X: Yerine koymadan 2 adet banknot çekildiğindeki toplam miktar
Y: Yerine koyarak 2 adet banknot çekildiğindeki toplam miktar
a) Rastgele değişkenlerin CDF’lerini çiziniz.
b) CDF’yi kullanarak her iki olay için 2$ , 7$ , 6$X X X olasılıklarını bulunuz.
Örnek 4: Y: Bir madeni paranın üç defa atılmasındaki tura sayısı ile yazı sayısı arasındaki fark
olarak tanımlandığına göre,
a) Y rastgele değişkeninin CDF’sini çiziniz.
b) P Y y ’yi, Y’nin CDF’si cinsinden ifade ediniz.
Örnek 5: 2 birim yarıçaplı bir dairesel hedeften oluşan dartta herhangi bir noktaya isabet etme
olasılığı daire içerisindeki bütün noktalar için eşittir. R: orijinden isabet yerine uzaklık olarak
tanımlansın. Buna göre,
a) S örnek uzayını ve R’nin örnek uzayını belirleyiniz.
b) S’den SR’ye eşleşmeyi gösteriniz.
c) Dairenin merkezinden 0.25 birim yarıçaplı alan kırmızı alandır. “A olayı: Dart kırmızı
alana isabet ediyor” şeklinde tanımlandığında S’deki denk olayı ve P[A]’yı bulunuz.
d) R’nin CDF’sini bulup, çiziniz.
Örnek 6: X rastgele değişkeni [-1,2] aralığında düzgün dağılımlıdır. Buna göre,
a) X’in CDF’sini bulup, çiziniz.
b) CDF’yi kullanarak 0 , 0.5 1 , 0.5X X X olaylarının olasılıklarını bulunuz.
Örnek 7: X rastgele değişkeninin CDF’si:
2
0 0
11 0
4
X x
x
F xe x
a) CDF’yi çiziniz.
b) 2 ? 0 ? 0 ? 2 6 ? 10 ?P X P X P X P X P X
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
31
Örnek 8: X rastgele değişkeninin CDF’si aşağıdaki şekilde verilmektedir.
a) X ne tür bir rastgele değişkendir?
b)
1 ? 1 ? 1 0.75 ?
0.5 0 ? 0.5 0.5 ? 0.5 0.5 ?
P X P X P X
P X P X P X
Örnek 9: 0 ve 0 için Weibull rastgele değişkeni Y’nin CDF’si
0 0
1 0X x
xF x
e x
a) 0.5, 1 ve 2 için CDF’yi çiziniz.
b) 1 ve P j X j P X j olasılıklarını bulunuz.
Örnek 10: Bir X rastgele değişkeninin PDF’si:
21 1 1
0X
c x xf x
diğer
a) c = ? ve PDF’yi çiziniz.
b) X’in CDF’sini çiziniz.
c) 0 ? 0 0.5 ? 0.5 0.25 ?P X P X P X
Örnek 11: Artarda iki olayın tanımlanması için gerekli T zamanı aşağıda verilen sürekli değişken
PDF’sine sahiptir.
0 5
10 5 10
0
T
Ct t
f t C t t
diğer
a) C=?
b) İki olayın 3 s veya daha sürede tamamlanma olasılığını bulunuz.
c) İki olayın 6 s veya daha sürede tamamlanma olasılığını bulunuz.
Örnek 12: Bir X rastgele değişkeninin PDF’si:
Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI
32
0 1
2 1 2
0
X
x x
f x x x
diğer
A olayı, “X>1” olayı olarak tanımlanmaktadır. Rastgele değişkenin koşullu olasılığını bulunuz.
Örnek 13: 5. sorudaki R rastgele değişkeninin PDF’sini bulup, çiziniz. Dartın kırmızı alan
dışında kalma olasılığını PDF’yi kullanarak bulunuz.
Örnek 14: Bir X gerilimi 3, 2, ,3,4 kümesinde düzgün dağılımlıdır.
a) X rastgele değişkeninin PDF ve CDF’sini bulunuz.
b) 22 3Y X rastgele değişkeninin PDF ve CDF’sini bulunuz.
c) cos 8W X rastgele değişkeninin PDF ve CDF’sini bulunuz.
Örnek 15: 10. Sorudaki X’in ortalaması ve varyansını bulunuz.
Örnek 16: Eksponansiyel rastgele değişkenin varyansını bulunuz.