![Page 1: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/1.jpg)
Teorema della divergenza
sii v un dominio regolare limitato
definito da una o più designazionicon funzioni c'CRIRsia su il suo bordo che è
una superficie regolare a tuttisia F c C A Pi dove 1 è
un aperto che contiene T
dvfdxdg.dz Finds
Wit
auf s'È TÈ TÈmentre Aft è il bordo di Torrentellocon il versore normale uscente da V
DIMOSTRAZIONE
![Page 2: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/2.jpg)
La dimostrazione segue dalle
seguenti formule sia f c C'CYR
È axdsdzi fbnndsn.fise
IÌ dxdg.de fnidssi
dxdydtsf.fm ds
su
III minoreÈ
treponema
a.sisu
SIFjdxdydz.SE I ds putasu
![Page 3: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/3.jpg)
sexy su
dxdydzs.IE n'sods pals
sommo e viene il te della tv
Le formule dimostriamo solo
nel caso di un dominio normale
rispetto a tutte le variabili
F g c kaqjszspcx.si
K un dominio in Pil siailDimostro
Ns c
I dxayd't.ffn.isÌ
su la sua
![Page 4: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/4.jpg)
paid
È dxdydzsfgdxdyfsfq.dzdi D
dxdyfflxisipcx.si flx.y.acx.siad
ora calcoliamo
finil terzo addendo so dato che rissoil versore normale è ORIZZONTALE su µ
parametrissa IV
I
![Page 5: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/5.jpg)
jinick
2 piu r
a i vi D
Eds I fini piu.hn dudrk il 1
fists fini ahh diediilµ
![Page 6: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/6.jpg)
fsisduSsffflumpcyvIfcqr.d4fdudihfyIjdxdydz
se.V è normale rispetto alla
né t Csp e K i 44,7 ex apriscambiando z e seguendo
il ragionamento di prima dimostro
anche
stjdxdg.dz GF mindssu
e lo stesso vale se v è normale rispettoalla y Quindi se v è normale
rispetto a tutte e tre le variabili
![Page 7: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/7.jpg)
ho dimostrato l µ e quindiil teorema della Divergenza
Formule di Gauss Ostrogsteri
Le formule 3 si possonoScrivere anche in ITL2se E un dominio di IpiE è definito da un numero
finito di designazioni con funzionic'CRIB sia se ne suo
bordo che è una CURVA regolarea tratti operano
ti E
se g ehi t.c.acx.ua9 è una curva regolare a tratta localmenteesperatabile
![Page 8: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/8.jpg)
Ren se ca b R è una
parometrisserrane che ha come
sostegno se qua D D
ri vettore tangente è È
e
Definiscoil vettore normale È
Proposizione Gauss Green
e fa g una funzione c'µ Rdove A è un aperto di 112
jjjga.y.gj.am
![Page 9: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/9.jpg)
qq.y.yj.mn
Qui 8Gt è una curva regolarea tratti parometrissate in modo
che il versore normale puntoverso l'esterno di E
si è il versore normale
dl è l'elemento di lunghess
Ren ca DI R qlcqbD.tt
ii vettore tangente è È
e
![Page 10: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/10.jpg)
il vettore normale È
quindi m
rete
de 141 di È dt
e in definitiva
fcx.D.in de flxltl.gl gilt at
Cort a riconosce la parossatrizzazioniche de l'orientamento della
normale esternaii
su una curva chiusa Izun orientamentoè un verso di
![Page 11: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/11.jpg)
percorrenza della curva in senso
orario o antiorariose in p vuol dire che mentali
secondo la figurasopra
nella regola ÌfÉ
della moda desta
p o
quindi nel disegno sopra l'overtones
SE è quello ANTIORARIO
È i
Ja
in blu I
![Page 12: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/12.jpg)
ora su Jen l'orientamento uscente
è ANTIORARIO
su se è ormai
Le formule Si dimostrano
ESATTAMENTE come in dimensione 3
è più facile
f dxdysffcxidn.dey7Gt
Supponiamo che E zia normale
E Ex ska Nx by spa
![Page 13: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/13.jpg)
ffcxidn.de7Gt
2 3 4
ma mi il vettore normale
è orizzontale quindi 0
Parametri siamot x sx
94 dit
I Di 1
![Page 14: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/14.jpg)
Xp I
tmall.ffcxlh.gl a diXo
flt.dk totseParametrissiamo
t x sx
94 pit
1n L
questo mi da la parometrizzazionedella NORMALE ENTRANTE
tmall.ae flx y nadestai
![Page 15: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/15.jpg)
f fit panda
quindi sommando
m'des fltpaddt f4aa.dk
Ma per il teorema fond del calcolointegrale
lady Ìn Ètax fcxpcxt fcx.am g fn.de
Due conseguenze interessanti
Teorema della dive in Raisia Fe c A Pi A chi
![Page 16: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/16.jpg)
un aperto E c A
I TÈ axdy.ff.si dese t
Teorema del motore nn È
e ride È SÉ ahy
Dimostra e
RICORDO che
f dxdg sffcx.hn dl
7Gt
tidy hn de
![Page 17: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/17.jpg)
uso con f Fa
TÈ as baidu.de
ricordo che è quindi
is e si Ia
G LÌ LÌquindi
TÈdxdy.IE E de
![Page 18: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/18.jpg)
ora uso con f s Fa
dxdy.GE Idestop
ma in vedi sopra
quando
feritequindi facendo la differenza
Keith des È H
![Page 19: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/19.jpg)
Teorema del Rotore in ITL32
Sia k un dominio regolare LIRcome prima definito tramite drag
di funzioni Cna an ii suo bordo
Insia 4 una parametrissazione
regolare µ µT Hain modo che y ok SEsia a sua volta una curva regolarea tratti in 112
sia F C'È acariCA
![Page 20: New dvfdxdgricerca.mat.uniroma3.it/users/procesi/Lezione31_3.pdf · 2020. 5. 11. · Teorema della divergenza sii v un dominio regolare limitato definito da una o più designazioni](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071507/61284d8d5b5236747706c115/html5/thumbnails/20.jpg)
definiamo rot E 0 n F
I b
aySi hai
rotfrnds.fi vdl
7Gt