Download - MODUL MATRIKULASI - tekniksipil.umy.ac.id
TEKNIKSIPIL
2021/2022
MODULMATRIKULASIMODULMATRIKULASIMODULMATRIKULASIFISIKAFISIKAFISIKA
AkreditasiUnggul
1
Modul Matrikulasi Fisika
BAB I
SISTEM SATUAN
cgs = centimeter-gram-second (detik)
mks = meter-kilogram-second (detik)
Sistem Satuan
Gaya Satuan Massa
Satuan Percepatan
Dinamis Kecil Dyne gr massa cm/det2 Dinamis Besar Newton kg massa m/det2
Statis Kecil Gram s.m.s.k cm/det2 Statis Besar Kilogram s.m.s.b m/det2
s.m.s.k = satuan massa statis kecil
s.m.s.b = satuan massa statis besar
I. Satuan Dasar dan Satuan Turunan
A. Simbol dan Dimensi Satuan
BESARAN SIMBOL DIMENSI
M-L-T F-L-T Besaran Dasar
Panjang Massa Waktu Gaya
L M T F
L M T
MLT-2
L
FL-1T2 T F
Besaran Geometri Luas Volume
A V
L2 L3
L2 L3
Sistem Satuan
Sistem Dinamis
Sistem Dinamis Kecil (cgs)
Sistem Dinamis Besar (mks)
Sistem Statis
Sistem Statis Kecil
Sistem Statis Besar
2
Modul Matrikulasi Fisika
BESARAN SIMBOL DIMENSI
M-L-T F-L-T Besaran Kinematik
Kecepatan Percepatan Debit Kecepatan Sudut Frekuensi Sirkulasi Gravitasi Kekentalan Kinematik
v a Q Ω F Г g v
LT-1 LT-2 L3T-1
T-1 T-1
L2T-1 LT-2 L2T-1
LT-1 LT-2 L3T-1
T-1 T-1
L2T-1 LT-2 L2T-1
Besaran Dinamis Rapat Massa Berat Jenis Kekentalan Dinamis Tekanan Tegangan Permukaan Modulus Elastisitas Daya Kerja, Energi
ρ γ μ p σ E P w
ML-3
ML-2T-2 ML-1T-1 ML-1T-2
MT-2 ML-1T-2 ML2T-3 ML2T-2
FL-4T2
FL-3 FL-2T FL-2 FL-1 FL-2
FLT-1 FL
B. Perbandingan Sistem Internasional dan Sistem Amerika
Besaran
Sistem Internasional
(SI)
Sistem Amerika
Besaran
Sistem Internasional
(SI)
Sistem Amerika
Satuan Satuan Satuan Satuan
Percepatan sudut rad/det2 rad/det2 Momen lembam (massa)
kg.m2 slug.kaki2
Percepatan linier m/det2 kaki/det2 Momen lembam (momen kedua dari luas)
m4 inci4
Luas m2 kaki2 Daya J/det kaki.lb/det Kerapatan (massa)
kg/m3 slug/kaki3 Tekanan N/m2 lb/kaki2
Energi N.m lb.kaki Modulus tampang m3 inci3
Gaya kg.m/det2 lb *) Berat jenis (kerapatan berat)
N/m3 lb/kaki3
Frekuensi det-1 det-1 Tegangan pascal Impuls, sudut N.m.det kaki.lb.det Waktu detik *) detik *) Impuls, linier N.det lb.det Kecepatan sudut rad/det rad/det Intensitas gaya N/m lb/kaki Kecepatan linier m/det kaki/det Panjang meter *) kaki *) Volume (cairan) Liter gallon Massa kilogram *) lb.det2/kaki Volume (padat) m3 kaki3 Momen gaya, momen puntir
N.m lb.kaki Usaha N.m kaki.lb
3
Modul Matrikulasi Fisika
II. Konversi Satuan
A. Hubungan antara berbagai satuan SI
1 joule (J) = 1 N.m = 1 watt.detik
1 hertz (Hz) = 1 siklus per detik
1 watt (W) = 1 joule per detik (J/dt)
1 pascal (Pa) = 1 newton per meter kuadrat (N/m2)
1 liter (L) = 0,001 meter kubik (m3)
B. Hubungan antara beberapa satuan metrik yang lazim digunakan dalam SI
1 hektar (ha) = 10.000 meter kuadrat (m2)
1 erg = 10-7 joule (J)
1 dyne = 10-5 newton (N)
1 kilowatt jam (kWh) = 3,6 megajoule (MJ)
1 centimeter (cm) = 10-2 meter (m)
1 gram (gr) = 10-3 kilogram (kg)
1 watt (W) = 10-7 erg per detik (erg/dt)
C. Beberapa satuan tambahan Sistem Amerika
1 inci (in.) = 1/12 kaki (ft.)
1 yard (yd.) = 3 kaki (ft.)
1 mil = 5280 kaki (ft.)
1 kip (k) = 1000 pon (lb)
1 ons (oz) = 1/16 pon (lb)
1 ton = 2000 pon (lb)
1 daya kuda mekanis (HP) = 550 pon kaki per detik (lb.ft/dt)
1 kilowatt (kW) = 737,562 pon.kaki per detik (lb.ft/dt)
1 pon per inci kuadrat (psi) = 144 pon per kaki kuadrat (lb/ft2)
1 mil per jam (mph) = 22/15 kaki per detik (ft/dt)
1 kaki kubik (cf) = 576/77 galon = 7,48052 galon (gal.)
D. Perbandingan satuan-satuan lain
Satuan Panjang
1 kilometer (km) …………………………. = 1000 m
1 hektometer (hm) ……………………… = 100 m
1 dekameter (dam) ……………………… = 10 m
1 meter (m) ………………………………. = 1 m
1 desimeter (dm) ………………………. = 0,1 m
1 centimeter (cm) ………………………. = 0,01 m
1 milimeter (mm) ………………………. = 0,001 m
1 mikron (μ) ……………………………….. = 0,000001 m
4
Modul Matrikulasi Fisika
Satuan Luas
1 kilometer persegi (km2) …………… = 1.000.000 m2
1 hektometer persegi / hektar (ha).. = 10.000 m2
1 dekameter persegi atau are (a) …. = 100 m2
1 meter persegi (m2) ………………….. = 10.000 cm2
1 desimeter persegi (dm2) …………… = 100 cm2
1 centimeter persegi (cm2) ………….. = 1 cm2
1 milimeter persegi (mm2) …………. = 0,01 cm2
Satuan Isi
1 hektoliter (hl) ………………………..… = 100.000 cm3
1 liter (l) ………………………………….…. = 1.000 cm3
1 meter kubik (m3) ……………………... = 1.000.000 cm3
1 desiliter (dl) ……………………………. = 100 cm3
1 centiliter(cl) ……………………….….. = 10 cm3
1 desimeter kubik (dm3) …………….. = 1.000 cm3
1 mililiter (ml) ………………..………….. = 1 cm3
1 milimeter kubik (mm3) ….…………. = 0,001 cm3
Satuan Berat
1 ton (t) …………………………………….. = 1.000.000 gr
1 kwintal (q) ……………………………… = 100.000 gr
1 kilogram (kg) …………………………… = 1.000 gr
1 hektogram (hg) ………..………………. = 100 gr
1 gram (gr) …………………………………. = 1 gr
1 desigram (dg) …………………………. = 0,1 gr
1 centigram (cg) …………………………. = 0,01 gr
1 miligram (mg) ……..………………….. = 0,001 gr
Satuan Tekanan
Atmosfir, 1 kg/cm2 (at) …….…………. = 1000 gr/cm2
Atmosfir, 760 mm air raksa (atm) … = 1033,2 gr/cm2
1 Bar ……………..…………………………… = 1101,97gr/cm2
1 milibar (mbar) ………..………………. = 1,0197 gr/cm2
Satuan Usaha
1 kilogram meter (kg.m) …….………… = 105 gr.cm
1 gram centimeter (gr.cm) …………… = 1 gr.cm
1 tenaga kuda jam (pkh)………………. = 27 x 109 gr.cm
1 Erg (erg) ………..………………………… = 1,0197 x 10-3 gr.cm
1 Joule (J) ………………………….………… = 1,0197 x 10-4 gr.cm
1 Watt jam (Wh)……………..……………. = 3,671 x 107 gr.cm
1 kilowatt (kW) ……..…………………… = 3,671 x 1010 gr.cm
5
Modul Matrikulasi Fisika
Satuan Daya
1 Daya kuda (pk) …….………………….. = 75 x 105 gr.cm/dt
1 Watt (W) …………………………………. = 1,0197 x 104 gr.cm/dt
1 kilowatt (kW) …………………………… = 1,0197 x 105 gr.cm/dt
Unit Faktor Konversi
1 meter kubik normal (m3 (n)) 1.054915 meter kubik (m3 (st))
1 meter kubik standar (m3 (st)) 35,31 kaki kubik standar (scf)
1 kaki kubik standar (scf) 0,0283 meter standar kubik (m3 (st))
100 standar kaki kubik (scf) 2,83 meter kubik (m3 (st))
1 kilowatt jam 3,6 megajoule (MJ)
1 kilowatt jam 3412 Btu/jam
1 satuan panas 29,3071 kilowatt jam (kWh)
1 satuan panas 105,06 megajoule (MJ)
1.000.000 therms 29,3071 gigawatt jam (GWh)
1 bar 14,5 inci persegi (psi)
1000 mbar 1 bar
68,9 mbar 1 inci persegi (psi)
m3 (st) – standard cubic meter natural gas : cubic meter natural gas at 101,325 Pa
6
Modul Matrikulasi Fisika
7
Modul Matrikulasi Fisika
Tanda Matematik
8
Modul Matrikulasi Fisika
BAB II TITIK BERAT SUATU PENAMPANG BENDA
➢ Titik Berat Penampang Bidang Datar
Berat suatu benda merupakan gaya tarik (gravitasi) bumi terhadap benda itu.
Gaya tarik (gravitasi) bumi ini tidak bekerja pada benda tersebut secara keseluruhan,
melainkan pada tiap-tiap unsur yang terkecil atau molekul-molekul benda tersebut.
Tiap-tiap molekul ditarik oleh bumi dan yang dimaksud dengan berat benda itu adalah
jumlah gaya dari tiap-tiap molekul benda tadi. Jadi pada hakekatnya berat benda itu
adalah resultan dari semua gaya molekul yang kecil-kecil dan sejajar. Berat dan letak
dari resultan tersebut dapat dicari dengan cara yang biasa digunakan untuk
menentukan resultan sistem gaya. Arah gravitasi bumi adalah vertikal ke bawah, jadi
arah resultannya juga ke bawah. Garis kerja resultan itu dapat berubah letaknya
tergantung pada perubahan letak benda. Akan tetapi, selalu ada satu titik sama yang
dilalui oleh garis kerja resultan tersebut. Titik ini disebut sebagai titik berat atau pusat
berat. Titik berat itu merupakan titik tangkap dari gaya resultan.
Sebuah benda sebenarnya terdiri
dari bagian-bagian yang sangat
kecil yang masing-masing
mempunyai berat.
Terhadap sumbu-sumbu X, Y, dan
Z, maka koordinat titik berat
sebuah benda ialah :
xo =∑ A.x
∑ A ; y
o=
∑ A.y
∑ A ; zo =
∑ A.z
∑ A
• Titik berat garis lurus
Letak titik berat (Z) suatu garis
lurus ialah di tengah-tengah garis
lurus itu.
• Titik berat garis patah beraturan
Letak titik berat (Z) suatu garis
patah beraturan ialah pada sumbu
Y dengan jarak yo dari titik M
(sumbu X), dimana :
yo =a.AF
𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹
9
Modul Matrikulasi Fisika
• Titik berat garis busur lingkaran
Letak titik berat (Z) suatu garis
busur lingkaran ialah pada sumbu
Y dengan jarak yo dari titik M
(sumbu X), dimana :
yo =R.tali busur AF
𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐹
• Titik berat luas segitiga
Letak titik berat (Z) suatu garis
busur lingkaran ialah pada sumbu
Y dengan jarak yo dari titik M
(sumbu X), dimana :
yo =1
3𝑡
• Titik berat luas jajaran genjang, belah ketupat, busur sangkar dan persegi
panjang
Letak titik berat (Z) luas bangun
tersebut ialah pada titik potong
dua buah diagonalnya dengan
jarak yo dari garis alasnya,
dimana:
yo =1
2𝑡
• Titik berat luas bangun yang dibatasi oleh garis patah teratur dan titik
pusat lingkaran bangun tersebut
Letak titik berat (Z) luas bangun
yang dibatasi oleh garis patah
beraturan ABCDEF dan titik pusat
M dari lingkaran luar ABCDEF
ialah pada sumbu Y dengan jarak
yo dari titik M, dimana:
yo =2
3
𝑎. 𝐴𝐹
𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹
10
Modul Matrikulasi Fisika
• Titik berat luas juring lingkaran/sektor lingkaran
Letak titik berat (Z) luas juring
lingkaran MAF ialah pada sumbu Y
dengan jarak yo dari titik M
(sumbu X), dimana:
yo =2
3
𝑅. 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐹
𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐹
• Titik berat luas tembereng lingkaran/segmen lingkaran
Letak titik berat (Z) luas
tembereng lingkaran ABD ialah
pada sumbu Y dengan jarak yo dari
titik M (sumbu X), dimana:
yo =(𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵)3
6(𝑅. 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵 − 𝐶𝑀. 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵)
• Titik berat luas bangun ruang prisma
Letak titik berat (Z) luas bangun
ruang prisma ABC.DEF ialah pada
titik tengah garis Z1Z2 yang
menghubungkan titik berat (=Z1)
bidang atas dengan titik berat
(=Z2) bidang alas.
• Titik berat luas bangun ruang silinder
Letak titik berat (Z) luas bangun
ruang silinder ABC.DEF ialah pada
titik tengah garis Z1Z2 yang
menghubungkan titik berat
(=Z1=pusat lingkaran atas) bidang
atas dengan titik berat (=Z2=pusat
lingkaran alas) bidang alas.
11
Modul Matrikulasi Fisika
• Titik berat luas bangun ruang limas
Letak titik berat (Z) luas bangun
ruang limas T.ABC ialah pada
bidang PQR yang berjarak 1/3
tinggi limas tersebut dari bidang
alasnya, dan mencari titik tangkap
resultante dari ketiga bidang sisi
limas T.ABC tersebut akan didapat
titik beratnya.
• Titik berat luas bangun ruang kerucut
Letak titik berat (Z) luas bangun
ruang kerucut ialah pada garis
sumbu kerucut TZ1 yang
menghubungkan titik puncak T
dengan titik berat (=Z1=pusat
lingkaran atas) bidang alasnya
pada jarak 1/3 garis sumbu TZ1
dari titik Z1.
Contoh Soal:
1. Diketahui sebuah bangun datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat
penampang dengan cara analitis.
12
Modul Matrikulasi Fisika
Penyelesaian :
Analitis : Untuk memudahkan dalam perhitungan maka penampang tersebut dibagi
menjadi dua bagian, sehingga luas penampang dan letak titik berat dari tiga-tiga
penampang dapat ditentukan. Letakkan sumbu koordinat pada sisi paling kiri dan paling
bawah pada gambar.
Perhitungan :
Bagian I : luas A1 = 2 m x 6 m = 12 m2
Bagian II : luas A2 = 4 m x 6 m = 24 m2
Jumlah ΣA = 36 m2
Ordinat masing-masing titik berat penampang :
X1 = 1 m, Y1 = 7 m
X2 = 3 m , Y2 = 2 m
Untuk menentukan titik berat Zo; dengan menggunakan statis momen luas terhadap
sumbu X dan terhadap sumbu Y.
X= A1.X1+A2.X2 ΣA
X = 12m2.1m+24m2. 3m 36 m2
X=12m3+72m3 36m2
X = 84 m3/ 36 m2
X = 2,333 m
13
Modul Matrikulasi Fisika
Y = A1Y1+A2.Y2 ΣA
Y = 12 m2.7m+24m2.2m 36 m2
Y = 84 m3 + 48m3 36 m2
Y = 132 m3/36 m2
Y = 3,667 m
Jadi letak titik berat Z0 (2,333:3,667) m.
2. Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. Tentukan
letak titik berat Zo dengan cara analitis.
Penyelesaian:
Penampang kita bagi menjadi tiga bagian yaitu I, II dan III. Perhitungan :
Luas A1 = 4 m x 4 m = 16 m2
Luas A2 = 8 m x 6 m = 48 m2
Luas A3 = ½. 3 m x 6 m = 9 m2
ΣF = Luas A1 + Luas A2 + Luas A3 = 73 m2
Y2
4 m 4 m 3 m
4 m
6 m
Y1
Y3
4m
6m
3m 4m 4m
X3
X2
X1
14
Modul Matrikulasi Fisika
Ordinat masing-masing titik berat penampang :
X1 = 2 m; Y1 = 8 m
X2 = 4 m; Y2 = 3 m
X3 = 9 m; Y3 = 2 m
Statis momen luas terhadap sumbu X adan sumbu Y adalah sebagai berikut :
X = A1.X1+A2.X2+A3.X3 ΣA
X = 16 m2.2m+48m2.4m+9 m2.9m 73 m2
X = 32 m3 + 192 m3 + 81 m3 73 m2
X = 305 m3 / 73 m2
X = 4,178 m
Y = F1.Y1+F2.Y2+F3.Y3 ΣF
Y = 16 m2.8 m + 48 m2.3m+9 m2. 2m 73 m2
Y = 128 m3 + 144 m3 + 18 m3 73 m2
Y = 290 m3/ 73 m2
Y = 3,973 m
Jadi titik berat penampang Zo (4,178:3,973) m.
15
Modul Matrikulasi Fisika
Soal Latihan
1. Diketahui sebuah bangunan berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah.Tentukan
letak titik berat Zo.
2. Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. Tentukan
letak titik berat Zo.
16
Modul Matrikulasi Fisika
BAB III
STATIKA, MOMEN, dan KOPEL
I. Gaya (Hukum Newton I, II, III)
Hukum Newton I (hukum kelembaman/inersia)
Apabila sebuah benda/titik materi dibiarkan pada dirinya sendiri, maka keadaan
diam atau keadaan gerak lurus beraturan dari benda/titik materi itu tidak akan
berubah.
Hukum Newton II
F = m . a
Percepatan sebuah benda/titik materi sama dengan resultante gaya-gaya yang
bekerja pada benda/titik materi itu, sedang arahnya sama dengan arah resultante gaya-
gaya itu.
Hukum Newton III
Apabila sebuah benda A melakukan tekanan (gaya) pada
sebuah benda B, maka benda B sebaliknya akan melakukan
tekanan (gaya) pada benda A yang sama besarnya tetapi
arahnya berlawanan dengan tekanan (gaya) yang diterima oleh
benda B tersebut (gaya aksi = gaya reaksi).
A. Pengertian gaya
Gaya adalah sesuatu yang menyebabkan perubahan gerak suatu benda, yakni
dari diam menjadi bergerak, dari bergerak menjadi diam, atau dari gerak lurus
menjadi gerak membelok, atau sebaliknya.
B. Menguraikan gaya & mencari resultante gaya
➢ Menguraikan satu gaya menjadi dua gaya yang membentuk sudut.
F1=F sin ∝
sin(∝+β) F2=F{cos∝-sin∝.ctg(∝+β)}
17
Modul Matrikulasi Fisika
➢ Resultante pada dua gaya yang membentuk sudut
R=√Rx2 + Ry
2
Rx = Ʃ Fx
= F1x + F2x
= F1 cos α1 + F2 cos α2
Ry = Ʃ Fy
= F1y + F2y
= F1 sin α1 + F2 sin α2
➢ Menguraikan satu gaya menjadi dua gaya sejajar
Resultante dua gaya sejajar
R = F1 + F2
untuk mencari x
R . x = F1 . 0 + F2 . a
➢ Resultante gaya pada beban terbagi merata
• Resultante gaya untuk beban terbagi rata
R = q . L (ton)
• Resultante gaya untuk beban segitiga
R = (q. L) / 2 (ton)
F1y
18
Modul Matrikulasi Fisika
C. Kesetimbangan
➢ Keseimbangan Partikel
Partikel dipengaruhi oleh gaya-gaya yang terletak pada
satu bidang datar. Syarat seimbang titik :
∑Fx = 0
∑Fy = 0
Tiga buah titik gaya yang bertitik tangkap sama berlaku : 𝑇1
𝑠𝑖𝑛 ∝=
𝑇2
𝑠𝑖𝑛𝛽=
𝑇3
𝑠𝑖𝑛𝛾
➢ Kesetimbangan Stabil
Kesetimbangan stabil terjadi karena adanya suatu kopel dengan gaya
berat G dan gaya tekan N yang berputar, sehingga kembali ke keadaan semula.
Papan digantung
Dimana letak titik berat (Z) terletak
vertikal di bawah titik gantung P
Benda di atas bidang datar
Dimana letak gaya berat G dan gaya
tekan N yang masing-masing
bertitik tangkap di Z (titik berat
balok) dan di A terletak satu garis
lurus.
➢ Kesetimbangan Labil
Kesetimbangan labil terjadi karena adanya suatu kopel dengan gaya
berat G dan gaya tekan N yang berputar, sehingga tidak kembali ke keadaan
semula.
Papan digantung
Dimana letak titik berat (Z) terletak
vertikal di atas titik gantung P
Benda di atas bidang datar
Dimana letak gaya berat G dan gaya
tekan N yang masing-masing
melalui rusuk B dari balok tersebut
terletak pada satu garis lurus.
19
Modul Matrikulasi Fisika
➢ Kesetimbangan Sembarang (Indifferent)
Kesetimbangan indifferent karena tidak terjadi kopel dengan gaya berat
G dan gaya tekan N pada satu garis lurus, sehingga akan kembali setimbang
pada kedudukan baru.
Papan digantung
Dimana letak titik berat (Z) terletak
berimpit titik gantung P
Benda di atas bidang datar
Dimana letak gaya berat G dan gaya
tekan N akan tetap pada satu garis lurus.
II. Momen
Momen gaya F terhadap sebuah titik 0 ialah hasil kali dari besar gaya F dengan
jarak dari titik 0 ke arah garis kerja gaya F tersebut.
M = F . a
M = Momen gaya
F = Gaya
a = Lengan momen gaya
➢ Momen gaya resultante dengan titik tangkap sama
Momen gaya resultante dari gaya-gaya F1 dan F2
terhadap titik 0 adalah sama dengan jumlah
aljabar dari momen-momen gaya-gaya F1 dan F2
terhadap titik 0.
➢ Momen gaya resultante dengan titik tangkap berlainan
20
Modul Matrikulasi Fisika
➢ Momen gaya resultante dengan titik tangkap sejajar
III. Kopel (Pasangan)
Kopel atau pasangan adalah susunan yang
mempunyai atau menyebabkan gerakan berputar
(rotasi).
• Momen kopel
Momen kopel ialah hasil kali dari salah satu
gaya kopel itu dengan jarak antara kedua garis
kerja gaya-gaya kopel itu.
M = r . F sin θ
• Memadu kopel pada bidang sejajar
Jumlah aljabar dari momen kopel-momen
kopel yang sebidang atau yang terletak pada
bidang-bidang sejajar dapat dihitung dengan
cara berikut :
21
Modul Matrikulasi Fisika
IV. Momen Inersia
Momen inersia adalah suatu sifat kekakuan yang ditimbulkan dari hasil perkalian
luas penampang dengan kuadrat jarak ke suatu garis lurus atau sumbu. Momen inersia
atau momen kelembaman ini dibutuhkan dalam perhitungan perhitungan lenturan,
puntiran dan tekukan. Momen inersia di dalam perhitungan diberi dengan harus I, jika
terhadap sumbu X maka diberi simbol Ix dan jika terhadap sumbu Y diberi simbol Iy.
Jadi momen inersia terhadap sumbu x : Δ Ix = Δ A.Y2
Begitu juga terhadap sumbu Y : ΔIy = Δ A. X2
Di mana : A = luas seluruh bidang .
Δ A = bagian kecil luas suatu bidang.
Apabila luas bidang (A) dibagi-bagi menjadi ΔA1, ΔA2, ΔA3 dan seterusnya
dan jarak masing-masing bagian ke sumbu X adalah Y1,Y2, Y3 dan seterusnya begitu pula
jarak masing-masing bagian ke sumbu Y adalah X1, X2, X3 dan seterusnya maka besar
momen insersia adalah sebagai berikut :
Terhadap sumbu X : Ix = ΔA1 . Y12 + ΔA2 . Y2
2 + ….. + ΔAn.Yn2
Terhadap sumbu Y : Iy = ΔA1 . X12 + ΔA2 . X2
2 + ….. + ΔAn.Xn2
Di mana Ix dan Iy dalam cm4
X dan Y dalam cm
ΔA dalam cm2
Karena jarak X maupun Y berpangkat maka hasil momen kelembaman selalu
posistif, pada perhitungan tekukan kita memasukkan arti jari-jari kelembaman (i).
I = A . i2 atau i = √I
A
di mana i = jari-jari kelembaman, i dalam satuan cm.
A
A
22
Modul Matrikulasi Fisika
Ada dua momen inersia :
a. Momen kelembaman linier yaitu momen kelambaman terhadap suatu garis lurus atau
sumbu.
Ix = ΔA . Y2
Iy = ΔA . X2
b. Momen kelembaman Poler yaitu momen kelembaman terhadap suatu titik
perpotongan dua garis lurus/sumbu (titik kutub O). Dengan kata lain bahwa
momen kelembaman Poler adalah jumlah momen kelembaman linier terhadap
sumbu X dan terhadap sumbu Y.
Ip = Ix + Iy.
A
A
A
A
23
Modul Matrikulasi Fisika
Dalil pergeseran sumbu Z/Y :
a dan b ialah jarak geser dari sumbu x ke x dan dari y ke y sehingga besar momen inersia /
kelembaman terhadap sumbu x/y menjadi :
Ix = I2,x + A b2
Iy = I2,y + A a2
I2,x dan I2,y disebut bilangan asal, sedang Aa2 dan Ab2 disebut bilangan koreksi (momen
koreksi). Dalam modul ini tidak dibahas tentang menemukan rumus-rumus momen
inersia/kelembaman sebab biasanya para teknisi bangunan cukup dengan menggunakan
rumus dalam perhitungan.
Momen inersia / kelembaman untuk beberapa penampang :
a. Momen kelembaman bentuk empat persegi panjang
Momen inersia terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat penampang z adalah
Izx atau Ix = 1/12.b.h3
Izy atau Iy = 1/12.h.b3
A
24
Modul Matrikulasi Fisika
Momen inersia terhadap sumbu x adalah :
Ix = Izx + Ab12
= 1/12 b.h3 + b.h.b12
= 1/12 bh3 + b.h(1/2h)2
= 1/12bh3 + ¼ bh3
Ix = 1/3 bh3
Momen inersia terhadap sumbu y adalah :
Iy = Izy + Aa12
=1/12.hb3 + Aa12
= 1/12 hb3 + b.h(1/2b)2
=1/12hb3 + 1/4hb3
Iy = 1/3hb3
b. Momen kelembaman bentuk segi tiga
Momen inersia terhadap sumbu x yang melalui titik berat penampang z.
Ix atau Izx = 1/36 b.h3
Momen inersia terhadap sumbu x yang melalui puncak segitiga adalah
Ix = ¼ b.h3
c. Momen Kelembaman bentuk lingkaran
Momen inersia / kelembaman terhadap sumbu x yang melalui titik berat/titik pusat
lingkaran adalah Ix = I2= 1/64π d4
Untuk perhitungan konstruksi bangunan 1/64 π ≈ 1/20 sehingga Ix = I2 = 1/20d4
25
Modul Matrikulasi Fisika
Untuk penampang lingkaran ini sering digunakan untuk poros berputar ataupun
konstruksi yang mengalami torsi. Untuk hal ini momen inersia yang digunakan dalam
perhitungan adalah momen inersia/kelembaman polar.
Ip = Ix +Iy sehingga
Ip = 1/20 d2 +1/20 d2
Ip = 1/10 d4 atau
Ip = 0,1 d4
d. Momen kelembaman bentuk cincin
Dianggap tidak berlubang : Ip1 = 0,1 D4
Lubangnya saja : Ip2 = 0,1 d4
Sehingga Ip = 0,1 D4-0,1d4
Ip = 0,1 (D4-d4)
Contoh 1:
Diketahui suatu penampang dberbentuk empat persegi panjang dengan b = 6 cm dan h =
12 cm (lihat gambar)
26
Modul Matrikulasi Fisika
Pertanyaan :
a). Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy
terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat
penampang.
b). Hitung momen kelembaman Ix terhadap sumbu
x yaitu melalui sisi alas penampang.
Penyelesaian :
Momen inersia terhadap sumbu x adalah : Ix
= 1/12.b.h3
= 1/12. 6 cm. (12 cm)3
= 864 cm4
Momen inersia terhadap sumbu y adalah : Iy
= 1/12.h.b3
= 1/12.12 cm (6 cm)3
= 216 cm4
Momen inersia terhadap sisi alas x adalah :
Ix = 1/3.b.h3
= 1/3.6 cm(12cm)3
= 3456 cm4
atau dapat dihitung dengan rumus /dalil
pergeseran :
Ix = Iz,x+A.b12
= 1/12. 6 cm. (12 cm)3 + 6 cm.12 cm (6 cm)2
= 8 64 cm4 + 2592 cm4
= 3456 cm4
27
Modul Matrikulasi Fisika
Contoh 2 :
Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di
bawah.
Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap
sumbu x/y yang melalui titik berat penampang.
Penyelesaian :
a. Menentukan letak titik berat penampang profil, maka penampang profil dibagi
menjadi dua bagian.
Perhitungan :
Bagian I : luas A1 = 12 cm x 4 cm = 48 cm2
Bagian II : luas A2 = 4c m x 12 cm = 48 cm2
Jumlah ΣA = 96 m2
4 cm 8 cm
4 cm
12 cm
28
Modul Matrikulasi Fisika
Ordinat masing-masing titik berat penampang :
X1 = 2 cm, Y1 = 10 cm
X2 = 6 cm , Y2 = 2 cm
Untuk menentukan titik berat Zo; dengan menggunakan statis momen luas terhadap
sumbu X dan terhadap sumbu Y.
X= A1.X1+A2.X2 ΣA
X = 48 cm2.2 cm+48 cm2. 6 cm 96 cm2
X=96 cm3+288 cm3 96m2
X = 384 cm3/ 96 cm2
X = 4 cm
Y = A1Y1+A2.Y2 ΣA
Y = 48 cm2.10 cm+48 cm2.2 cm 36 cm²
Y = 480 cm³ + 96 cm³ 36 cm2
Y = 576 cm3/96 cm2
Y = 6 cm
Jadi letak titik berat Z0 (4 : 6) cm.
Jarak titik berat penampang Z1 dan Z2 terhadap Zo:
Z1 adalah titik berat penampang A1
Z2 adalah titik berat penampang A2
b1 = 10 cm – 6 cm = 4 cm
b2 = 6 cm – 2 cm = 4 cm
a 1 = 2 cm
a 2 = 6 cm – 4 cm = 2 cm
Momen inersia terhadap sumbu x adalah : rumus : Ix = I2x + A.b2
I x1 = (1/12).4 cm.(12 cm)3+48 cm2 (4cm)2= 576 cm4+768 cm4 = 1344 cm4
I x2 = (1/12).12 cm (4 cm)3 + 48 cm2(4cm)2=64 cm4+768 cm4 = 832 cm4
Jadi Ix= Ix1 + I x2 = 2176 cm4
Momen inersia terhadap sumbu y adalah : rumus : Iy = I2y + A.a2
Iy1 = (1/12).12 cm(4 cm)3+48 cm2.(2 cm)2 = 64 cm4+192 cm4=256 cm4
Iy2 = (1/12).4 cm(12cm)3+48 cm2 .(2 cm)2=576 cm4+192 cm4=768 cm4
Jadi Iy = Iy1 + I y2 = 1024 cm4
29
Modul Matrikulasi Fisika
Contoh 3 :
Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di
bawah.
a) Hitung momen kelembaman Ix terhadap sumbu x
yang melalui titik berat penampang.
b) Hitung momen kelembaman polarnya.
Penyelesaian :
a) Ix = 1/20 d4
= 1/20.(12 cm)4
= 1036,8 cm4
b) Ip = 0,1 d4
= 0,1.(12 cm)4
= 2073,6 cm4
Soal Latihan
1. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di
bawah.
Hitunglah momen kelembaman Ix dan
Iy terhadap sumbu x/y yang melalui
titik berat penampang profil.
2. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah.
Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu x/y yang melalui titik berat
penampang profil.
5 cm
12cm
4 cm
4cm
2 cm
5 cm
R=6 cm
5 cm 5 cm 2cm
2 cm
6 cm
4cm
30
Modul Matrikulasi Fisika
31
Modul Matrikulasi Fisika
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH YOGYAKARTA
JURUSAN TEKNIK SIPIL | DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING
Jl. Brawijaya, Tamantirto, Kasihan, Bantul, Telp. 0274-387656 ext. 232, Fax. 0274-387646Website : http://tekniksipil.umy.ac.id