SISTEMAS DE ECUACIONES DE 2X2
Profesor de Matemáticas:I.Q. Ignacio Rosales Ortiz
BREVE INTRODUCCIÓN
Se tratarán los diversos métodos para la resolución de un sistema de ecuaciones de 2x2.
Espero que te sean de utilidad y que sea una herramienta para afrontar este tipo de problemas.
Los métodos a tratar son:
Para comenzar a ver los métodos propuestos, partamos de un problema:
Una señora compra10 kilos de huevo y 4 kilos de jitomate y paga $62.00. Otra señora compra 3 kilos de huevo y 5 kilos de jitomate y paga $30.00. ¿Cuánto cuesta 1 kilo de jitomate? ¿Cuánto cuesta 1 kilo de huevo?
PASOS:
1. Traduzcamos este problema que se encuentra en lenguaje común a lenguaje algebraico; quedándonos de la siguiente manera:
2.
10x + 4y = 62
3x + 5y = 30
Donde:
x = huevo
y = jitomateNOTA:
Este problema lo vamos a ocupar en todos los métodos, pero solo en su traducción algebraica.
2. Elegimos el método de los propuestos, para resolver este problema.
Comenzaremos con el siguiente método:
MÉTODOPOR
IGUALACIÓN
PROCEDIMIENTO:PASO 1: Para resolver el sistema de ecuaciones
de 2x2, por este método, debemos comenzar por elegir cuál incógnita vamos a DESPEJAR en ambas ecuaciones (tiene que ser la misma en las dos ecuaciones). Del ejemplo, elegiremos la incógnita “x” (la elección es personal); quedándonos de la siguiente manera:
MÉTODO POR IGUALACIÓN
Retomando lo anterior:Como elegimos despejar
“x”, entonces empezaremos a realizar
las operaciones para lograrlo.
Necesitamos un número contrario para poder
eliminar a otro número. Por ejemplo: para un 4,
necesitamos un – 4 y así, tendremos 0. En este
caso es, “4y”, necesitamos “- 4y”, para poder eliminarlo (se debe poner en ambos lados de
la ecuación para no desequilibrarla.
Quedándonos así:
Ahora, lo que tenemos que hacer es despejar la “x”, pero tenemos un número que es 10, éste está multiplicando; para poder despejar, aplicamos su operación inversa que es, la división. Para el 10,
será 1/10 y así “eliminamos”. Nos queda de la siguiente forma:
Retomando lo anterior:
Continuamos:
¡ YA TENEMOS EL PRIMER DESPEJE!
Ahora, tomamos la ecuación 2 y hacemos las mismas operaciones para lograr el despeje de la incógnita:
Empecemos a despejar:
Realizamos las operaciones para lograr el despeje,
utilizando las leyes de los signos y las
operaciones inversas (recordando que, de la suma, es la resta y de la multiplicación, es la
división):
¡AHORA TENEMOS
EL SEGUNDO DESPEJE!
PASO 2: Una vez despejadas la incógnita elegida de cada ecuación, entonces IGUALAMOS ambas ecuaciones:
De laecuación 2
De laecuación 1 Tenemos entonces lo
siguiente:
Retomando lo anterior:
PASO 3: Una vez igualadas las ecuaciones, DESPEJAMOS, la incógnita:
Empezamos a despejar, comenzamos con el número 10, como está dividiendo, su operación inversa es la multiplicación (recordando que, se
tiene que poner en ambas partes de la igualdad).
Retomando lo anterior:
Eliminemos para despejar:
Quedándonos de la siguiente manera:
Ahora, hagamos lo
mismo para el número 3
(como está dividiendo su
operación inversa es la
multiplicación).Eliminamos y
nos queda así:
Retomando lo anterior:
Realizamos la multiplicación. Quedándonos de la siguiente
forma:
Resolviendo las multiplicaciones
(aplicamos leyes de los
signos). Continuamos
con los despejes y eliminamos. Dándonos
como resultado:
¡ENCONTRAMOSEL
PRIMER VALOR!
Retomando lo anterior, proseguimos con las operaciones:
PASO 4: Una vez encontrada la primera incógnita, entonces SUSTITUIMOS el valor en alguna de las dos ecuaciones despejadas, ya sea de la ecuación 1 o 2 (es elección personal). Elegiremos la ecuación 2:
De laecuación 2
Como el valor de la variable dependiente es:
Sustituyendo el valor tenemos que:
Retomando lo anterior:
¡ENCONTRAMOSEL
SEGUNDO VALOR!
¿ Y eso es todo? ¿cómo saber si estoy
bien en mis resultados?
PASO 5: Solo nos resta COMPROBRAR nuestros resultados, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de “x” y el valor de “y” (si se igualan eso quiere decir que está correcta). Tomemos la ecuación 1:
¡EUREKA!¡ESTAMOS
BIEN!¡Y POR FIN
TERMINAMOS!
MÉTODOPOR
SUSTITUCIÓN
MÉTODO POR SUSTITUCIÓN
PROCEDIMIENTO:PASO 1: Elegimos alguna de las dos ecuaciones y decidimos cuál es la incógnita que vamos a despejar:
En este caso, elegimos la ecuación 1 y despejamos la
incógnita “y” (es elección personal, se pudo haber escogido
la “x”).
Ahora veamos este otro método. Para poder resolver por este método, hacemos lo siguiente:
PASO 2: Quedándonos de la siguiente manera:
Empezamos a despejar.
¡ENCONTRAMOSEL
VALORDE“y”!
PASO 3: En este paso lo que haremos es SUSTITUIR el valor encontrado en la otra ecuación (en este caso es en la ecuación 2), quedándonos de la siguiente manera:
Sustituimos el valor de “y”, es decir, el de la
ecuación despejada.
Realizamos las operaciones.
Multiplicamos y aplicamos las
leyes de los signos
Retomando lo anterior:
Realizamos las operaciones.
Aplicando las leyes de los signos y las
operaciones inversas para
poder despejar.
Retomando lo anterior:
Seguimos realizando las operaciones
correspondientes. En este caso
convertimos los entero en su
fracción equivalente, como
están partidos por la mitad, entonces los
convertimos en medios y así es más fácil sumar o restar los numeradores, ya que contamos con
el mismo denominador.
Retomando lo anterior:
¡ENCONTRAMOSEL
PRIMER VALOR!
Introducimos su inverso,
aplicamos las leyes de lo
signos y eliminamos.
PASO 4: Ahora, en este paso lo que haremos es
SUSTITUIR el valor encontrado en alguna de las dos ecuaciones (en este caso lo haremos en la ecuación 1), quedándonos de la siguiente manera:
Una vez sustituido el valor de “x” en
la ecuación; realizamos las operaciones
correspondientes, en este caso,
multiplicamos.
Aplicamos las operaciones
inversas y las leyes de los signos para
poder despejar.
Solo nos resta comprobar los
resultados
¡ENCONTRAMOSEL
SEGUNDO VALOR!
Retomando lo anterior, proseguimos:
Hemos encontrado el precio correspondiente al kilo de huevo y al kilo de jitomate.
PASO 5: Teniendo ya como resultado los dos valores, entonces elegimos una ecuación y sustituimos los valores para COMPROBAR los resultados. Elegiremos la ecuación 1:
¡EUREKA!¡ESTAMOS
BIEN!¡Y POR FIN
TERMINAMOS!
MÉTODOGRÁFICO
MÉTODO GRÁFICO
Para este método se requiere hacer lo siguiente:
PROCEDIMIENTO
PASO 1: En ambas ecuaciones, despejamos la variable dependiente, “y”. Así pues: Empezaremos a
despejar el término
independiente, “pasándolo” al otro lado de la
igualdad.
Así queda despejada la primera ecuación, que nos servirá para nuestros pasos siguientes.
Ahora despejemos la otra ecuación.
Retomando lo anterior, proseguimos:
Introducimos su inverso al 4 y eliminamos.
Así, ya tenemos despejadas ambas ecuaciones que, nos servirán para el próximo paso.
Introducimos su inverso al 3x, que
es -3x y eliminamos.
Introducimos su operación inversa al 5 y eliminamos.
PASO 2: Ya una vez teniendo despejadas las ecuaciones, TABULAMOS. Le damos valores a “x” (digamos de -3 a + 3).
De la ecuación
x y
-3
-2
-1
0
1
2
3
Empezamos a sustituir y hacer las operaciones
correspondientes. Teniendo lo siguiente:
Y así hacemos con todos los valores de “x”; sustituyendo
por -2, -1, 0, 1, 2 y 3. Hacemos las operaciones,
encontramos el valor correspondiente al valor
sustituido y se COMPLETA LA TABLA. Tenemos:
Multiplicamos: menos por menos es + y 10 por 3 es
30; y tenemos:
Este valor lo
colocamos en la tabla.
Ahora, haremos lo mismo con la ecuación
Empezamos a sustituir, para ir rellenando
la tabla. Teniendo lo siguiente: x y
-3
-2
-1
0
1
2
3
Este valor lo
colocamos en la tabla.
Y así hacemos con todos los valores de “x”; sustituyendo por -2, -1, 0, 1, 2 y 3.
Hasta COMPLETAR LA TABLA.
Multiplicamos: menos por
menos es más y 3 por 3 es 9.
Así, pues, tenemos:
De la tabla, sacamos las coordenadas.
Así, pues, tenemos:
Así, pues, tenemos:
Hacemos lo mismo con esta otra
tabla:
PASO 3: Ahora que ya tenemos las dos tablas, hay que GRAFICAR (para esto utilizamos un plano cartesiano), quedándonos de la siguiente manera:
Se unen los puntos de la ecuación 1con una recta.
Se unen los puntos de la ecuación 2con una recta.
Cuando no se unen las rectas;
entonces se alargan las rectas hasta que logren cruzarse ambas (extrapolamos).
Cuando se unen, llegamos al resultado.
(5,3)
Ubicamos las
parejas de
coordenadas
PASO 4: Nos resta COMPROBAR nuestro resultado:
(5,3)
Hay que recordar que, un punto en el plano cartesiano está dado por:
P (x,y)
Por tanto, de acuerdo con lo anterior tenemos:
x = 5
y = 3
Para comprobar, vamos a tomar la ecuación 2 y verifiquemos:
3x + 5y = 30
3(5) + 5(3) = 30
15 + 15 = 30
30 = 30
¡EUREKA!¡ESTAMOS
BIEN!¡Y POR FIN
TERMINAMOS!
MÉTODODE SUMAY RESTA
MÉTODO POR SUMA Y RESTA
Este método también se llama “POR ELIMINACIÓN”.
Para este método se requiere hacer lo siguiente:
PROCEDIMIENTO PASO 1: Tomamos ambas ecuaciones:
Elegimos que incógnita eliminar, ya sea “x”, o “y” (es elección personal).
1
2
En este caso elegiremos a “x”.NOTA:
Para poder eliminar un número, necesitamos su contrario para lograrlo; por ejemplo: Si tengo “5”, necesito un “– 5” para que nos de “0”.
En nuestro problema, tenemos que tener un mismo número, en su acepción positiva y negativa. En este caso, para lograrlo, necesitamos hacer lo siguiente:
Los números que acompañan a “x”, son: 10 y 3, en ambas ecuaciones; entonces lo que haremos es tomar el 10 de la ecuación 1 y lo vamos a multiplicar a toda la ecuación 2.
Y el 3 de la ecuación 2 y vamos a multiplicar a toda la ecuación 1 (es decir, multiplicamos cruzado los valores, nada más procurando que quede un positivo y
otro negativo). Nos resta por elegir, cuál de los dos será el negativo. Elegiremos el 10,
quedándonos como – 10. Así pues, tenemos lo siguiente:
Quedándonos de la siguiente manera:
Multiplicamos el 3 por cada
uno de los términos de la
ecuación.
Hacemos lo mismo con la otra ecuación, pero
ahora con – 10.
Realizamos las multiplicaciones
correspondientes a cada ecuación,
las vamos a colocar en la parte
inferior.
PASO 2: Realizamos las operaciones:
Retomando la última operación, tenemos:
Ahora, aplicamos las operaciones
aditivas o sustractivas,
dependiendo de la situación. Es en
este, donde eliminamos la “x” y
despejamos la variable que nos
queda. Aquí, no se nos olvide aplicar las leyes de los signos para la
suma y la multiplicación, y las
operaciones inversas para poder realizar el despeje.
¡ENCONTRAMOSEL
PRIMER VALOR!
PASO 3: SUSTITUIMOS el valor encontrado en alguna de las dos ecuaciones originales, para poder encontrar la otra incógnita. Escogemos la ecuación 2, teniendo lo siguiente:
2Realizamos la
sustitución y las operaciones
correspondientes. Despejaremos la otra incógnita y obtendremos el
otro valor.
Retomando la última operación, tenemos:
¡ENCONTRAMOSEL
SEGUNDO VALOR!
PASO 4: Nos resta por COMPROBAR en alguna de las dos ecuaciones, los valores encontrados; tomemos la ecuación 1 y verifiquemos:
10x + 4y = 62
10 (5) + 4 (3) = 62
50 + 12 = 62
62 = 62
¡EUREKA!¡ESTAMOS
BIEN!¡Y POR FIN
TERMINAMOS!
MÉTODO POR
DETERMINANTES
MÉTODO POR DETERMINANTES
También se como conoce como “Regla de Cramer”.
Veremos a continuación este otro método para darle solución a un sistema de ecuaciones de 2x2.
Para este, primero veremos las formas generales que lo representa, para después solamente tomarlos y sustituir.
Relativamente, este es menos “tedioso” que los otros.
Veámoslo:
FORMAS GENERALES
Partamos de la forma general para un sistema de ecuaciones de 2x2:
Donde: “x” y “y”, son las incógnitas y “a”, “b”, “c”, “d”, “r” y “s”, son
número reales.
Así, pues, tenemos lo siguiente:No vamos a detenernos en cómo se llegan
a las formas generales, solamente las mencionaremos.
Necesitamos tener el DETERMINANTE GENERAL, éste es el siguiente:
Para resolverlo, solamente se multiplica cruzado, dándonos como resultado lo siguiente:
Lo único que le falta es que, esta operación se resta, así pues,
queda como se muestra:
Ahora, necesitamos sacar el determinante de la variable “x”, ésta se saca de la siguiente forma:
Y el determinante de la variable “y”, ésta se saca de la siguiente forma:
Podemos simplificarlo de la siguiente forma:
Ahora, nos resta regresar a nuestro problema, tomar ambas ecuaciones y sustituir para encontrar sus valores:
Los valores correspondientes a cada letra son:
a = 10
b = 4
c = 3
d = 5
r = 62
s = 30
Así, pues, tenemos lo siguiente:
PROCEDIMIENTO
PASO 1: Calculamos el determinante general, quedándonos de la siguiente manera:
PASO 2: Ahora, calculemos el determinante “x”:
PASO 3: Ahora, calculemos el determinante “y”:
PASO 4: Una vez teniendo ya los resultados, los SUSTITUYO en las formas generales para “x” y para “y”:
PASO 5: Solo nos resta COMPROBRAR nuestros resultados, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de “x” y el valor de “y” (si se igualan eso quiere decir que está correcta). Tomemos la ecuación 1:
¡EUREKA!¡ESTAMOS
BIEN!¡Y POR FIN
TERMINAMOS!