SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES 2x2 Y 3x3

METODO GANVSS- JORDANmatriz identidad 1 0 0 1

1 0 0 2x2 0 1 0 1 0 1 3x 3

2x + 4y= 20 3x + y = 10 2 4 20 3 1 10

Ejercicio :

1 2 10 1 0 2 ! ! 0 5 20 1 1 4

0 5 20 5 1 2 10 x 3 3 6 30

1 2 10 2 0 1 4 x2

0 2 8 1 2 10

3 1 10

0 5 20

1 0 2

2(2)+4(4)=20 4+16=20 20=20 3(2)+4=10 6+4=10 10=10

5x+6y+3z=1 3y+4z=2 3x+y+2z=3 5 6 3 1 0 3 4 2 3 1 2 3 a) 5 6 3 1 5 6 3 1 1 5 5 5 x3 3 13 5

Ejercicio :

5

18 2 3 5 5 5 3 1 2 3 1 5 12 5

0

b) 0 3 4 2 3 c) 4 2 3 3 6 x 5 6 24 12 0 5 15 15 6 3 1 1 5 5 5 3 1 0 1 5 0 1

5 3 13

d)

0 1 x 13 5

4 3

13 55 26 5 15 15 13 1 12 0 5 5 5 11 62 0 0 3 15 11 3 62 0 0 1 55 4 x 3 4 248 0 0 3 165 4 2 0 1 3 3 46 0 1 0 55 0

1 0 0

6

3

1 5 5 4 2 1 12 5 5

1 0 1 0 1 4 3 0 0 11 3

3 5 2 3 62 15

2 3

e) 0 0 1 x 1 62 55 3 1 0 1 5 24 1 0 0 55 0 0 1 29 1 0 0 55 46 f) 0 1 0 55 0 0 1 62 55 62 55

g) 29 46 62 5 6 3 ! 1 55 55 55 29 276 186 !1 11 55 55 46 62 3 4 ! 2 55 55 138 248 !2 55 55 2!2

h) 62 24 46 3 2 ! 3 55 55 55 87 46 124 !3 55 55 55 3!3

Ejercicio: d) 138 e) 2=2 f) 3 24 g) 8762 55 46 55 2 55! 3 55 46 55 124 55 !3 55 248 55 !2

1 0 0 29 55 0 1 0 46 55 0 0 1 62 55

a) 5 29

55 55 55 6 46 3 62

b) 29 276 186 ! 1 11 55 55 c) 3 4662 55 55! 2

h) 3=3

Ejercicio :

2x+3y+4w=29 3x+5y-4w=-6 4x+7y+2w=9

3 2 3 4 29 1 2 3 5 4 6 ! 0 1 2 4 7 2 9 0 1 a.2 3 4 29 2 1 3 4 2

29 1 0 32 163 1 0 0 3 2 2 0 1 20 99 ! 0 1 0 1 10 99 ! 2 10 49 0 0 10 50 0 0 1 5 4 e. 0 1 20 99 x 1 0 1 20 99 0 1 10 49 0 0 10 50 f. 0 0 10 50 10 0 0 1 5 x 20 0 0 20 100

29 2 2 x3 b. 87 9 3 6 2 2 3 5 4 6 99 1 0 10 2 2

c. 2 3 x 4 6 1 4 0 d. 1 1 2 99 10 2 12 1 20 99 3 x 2 29 3 30 2 2 29 3 2 2 2 0 32 163 7 1 2 4 82 10

29 2 589

0 1 20 99 0 1 0 1 g. 0 0 1 5 x 32 0 0 32 60 1 0 32 163 1 0 0 3

49

0

2(3)+3(1)+4(5)=29 6+3+20=29 2-=29 3(3)+5(1)-4(5)=-6 9+5-20=-6 -6=-6 4(3)+7(1)-2(5)=9 12+7-10=9 9=9

0 1 1

CONCEPTO DE MATRIZ: Todo conjunto de elementos ordenados en renglones y columnas se llama matriz. Los elementos son en la mayora de os casos nmeros, pero tambin pueden ser funciones incgnitas o cualquier otro smbolo. Una matriz se simboliza con una letra mayscula y su cuadro representativo con las siguientes formas:1 2 3 A= 4 5 0 1 B = 2 3

C = ? 2 3A 1 (m x n) (1 x 3)

(m x n) (2 x 3)

(m x n) (3 x 1)

ORDEN DE UNA MATRIZ: Las lneas horizontales de una matriz se llaman renglones o filas las lneas verticales se llaman columnas, como una matriz se forma por una M renglones y n columnas el orden de la matriz se representa (m, n) y se le m por n. MATRIZ CUADDRADA: una matriz es en general rectangular sea M es diferente de n, sin embargo cuando el numero de renglones es igual al numero de filas se dice que es una matriz cuadrada. DIAGONAL PRINCIPAL: la diagonal principal de la matriz se define nicamente en el caso de una matriz cuadrada. Es el conjunto de elementos aij de la matriz talque i=j la diagonal de la matriz, ejemplo:1 3 B! 0 1 2 3 4 4 1 0 1 2 3 4 3 2

{1 4 2 2 }

Es el conjunto: 1, 4, 2,2 MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada, cuyos electos son todos = a 0 ecepto los elementos de la diagonal principal0 0 0 4 0 0 0 2 0 0 0 2

1 0 B! 0 0

Uno o mas elementos de la diagonal principal pueden ser = as la matriz 1 0 A! 0 0

MATRIZ ESCALAR: Una matriz escolar es una diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal tienen el mismo valor.2 0 B! 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2

2 0 C! 0 2

P!2 P!2 MATRIZ DE UNIDAD: una matriz unidad tambin llamada identidad es una matriz escalar en la cual = 1 y se representa siempre por I 1 0 ! 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 I 3 ! 0 1 0 0 0 1

I 44

P =1

1 0 I2 ! 0 1

Colocando algunas veces. IGUALDAD DE MATRICES: Dos matices A ! aij

? Ay

B ! bij son = cuando

?A

aij ! bij sea cuando los elementos que ocupan la misma posicin en las dos

matrices son = en consecuencia dos matrices que no son del mismo orden no pueden ser = ejemplo las matrices. 1 3 1 3 1 4 y x 4 y ser = cuando x = -1

TRANSCRIPCION DE UNA MATRIZ: La transpuesta de una matriz a A ! ? ij A ad d del orden (M,n) la transpuesta de una matriz se simboliza por A , Ad, At

Ejemplo de transpuesta:2 5 3 A! 1 0 8 2 1 d d Ad 5 0 3 8

2 3 1 2 3 4 1 5 12 = 1 5 12 2 12 8 2 12 8

SUMA DE MATRICES O CRITERIO DE CONFORMABILIDAD: La condicin para poder sumar dos matices A y B es que tengan el mismo orden. orden es otra matriz C ! ? ij A esta operacin puede extenderse mas de dos matrices c con la condicin de que todas sean del mismo orden, ejemplo: 2 4 6 5 8 1 3 5 + 12 2 + 9 3 0 7 0 0 7 7

La regla de la suma de la matriz de dos matrices es: A ! aij y B ! bij del mismo

? A

?A

PRODUCTO DE MATRICES: La condicin para poder multiplicar dos matrices A y B en este orden es el numero de columnas de la matriz A sea igual al numero de renglones de la matriz B entonces si A es de orden (m,n) B tiene que ser de orden (n,p) para poder efectuar el producto A x B este es el criterio de conformabilidad para la operacin de multiplicacin de dos matrices, ejemplo: Producto de un matriz rengln por columna. (n,p) 3 13 12 1 ? 1A ! 2 32 Ejercicio

2 1 4 Si tiene la matiz k ! 3 2 0 4 3 1 d d obtener el resultado de la operacin k 2 3k k d 2 1 4 6 3 12 33 2 0 ! 9 6 0 4 3 1 12 9 3 2 1 4 2 1 4 23 9 36 3 2 0 ! 3 2 0 ! 4 3 1 4 3 1

22 13 44 !4 3 16 ! 23 12 13 14 ! 2 3 4 ! 9

42 43 44 !8 12 16 ! 36

Calcular 2 F 2 A 5 3 2 4 2 0 A! 1 3 1 12 1 4 2 1 9 23 16 12 46 32 24 2 1 3 f ! 3 2 0 3 2 0 ! 12 7 12 ! 24 14 24 4 2 0 ! 4 3 1 4 3 1 21 13 17 42 26 34 1 3 1 48 31 27 5 0 0 43 31 27 28 12 24 0 5 0 ! 28 7 28 43 29 33 0 0 5 43 29 28

4 3 16 ! 23 2 2 12 ! 16 8 0 4 ! 12 6 6 0 ! 12 3 4 0 ! 7 12 0 0 ! 12

8 9 16 !

2 1 3 A ! 4 2 0 1 3 1

2 1 4 F= 3 2 0 4 3 1

Calcular A 2 F 5

9 3 6 18 6 2 1 4 2 1 3 2 1 3 3 !0 4 2 0 4 2 0 ! 0 0 12 0 24 3 2 0 ! 1 3 1 1 3 1 13 10 4 26 20 8 4 3 1 8 19 10 5 0 0 43 31 27 3 2 24 0 5 0 ! 28 7 28 30 17 9 0 0 5 43 29 28

443!3 229 !9 603! 3

880 ! 0 440 !0 12 0 0 ! 12

2 12 1 ! 13 1 6 3 ! 10 3 0 1 ! 4

MATRIZ INVERSA METODO DE GAUSS JORDAN 3 2 1 2 0 0 ! 1

1 4 1 3 2 2 0 0 1 0 4 4 2 6 4 1 0 0 3 11 10 1 1 0 ! 0 2 4 3 1 0 ! 0 1 2 3 2 4 6 20 18 0 0 1 0 2 6 3 0 1 0 0 2 3 2 1 1 0 0 4 3 0 1 0 4 0 0 1 3 4 7 2 3 2 1 2 2 1 1 2

1

26 4 1 0 0 2 1 3 2 1 2 v 3 0 0 3 2 0

3 9 6 3 11 10

0 0 1 0

0 2 4

3 1 0 2

1 3 2

1 2 v 6

0 0 6 2 0

0 1 2

3 4 v 3

1 2

0 3 2

6 18 12 6 20 18 6 0 2 6 2 3 0 2 4 2 0 1 2 3 2 v 2

0 0 0 1

0 3 6 1 3 2 1 2

0 0

0

0 1 1 0

1 0 4

1 2 3 2 3

11 3 0 4 2 3 0 0 2 1 1 2 2 3 1 4 2 v 2 3 1 2 3 1 4 2 3 1 2 1 2 1 0

0

0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 2

0 2 4 0 2 6

0 0 2

0 0 2

3 1 1 2

3 4

0 0 1 0 0 4 3 4 v4 1 12 2 2 0

3 2 11 3 1 0 4 4 2 1 7 1 0 0 2 4 2

Ejercicio 1 0 1 0 1 9 ! 0 1 2 8 1 3 9 1 3

3 9 3 1 0 1 9 8 3 0 1 ! 1 0 3

9 3 1 0 9 1 3 1 9 9 v 8 0

0

8 1 3

8 8 0 3 9 8 3 0 1 8 1 9

1 8 1 3 9 1 3 8 3 0 1 3 3 v 9 3 8 0 1 9 9 3 1 1 0 9 9 1 0 1 1 0

5 10 1= 1 2 2= 5 -40 3= 5 35 =55 1=29 2= -46 3=62

+

(-6) 72

3 -27

-

(-6) 48

1 3 -21

-

(-1)

12

2 3 -18

-

6 -36

3 (-1) -9

X= Y= Z=

4

+ (4)(7) 28

(-2)

(2)(7) -14

(-1) (-1)(7) -7

1= 3 21 2= 3 -4 3= 4 24 =7 1=29 2= -30 3=55

-

(-2) 2

1 (-1) 6

-

(-3) -21

2 (-1) -5

+2

2 10 X= Y= Z=

3 3 21

=22

-3

+4

-3

+4

1=

1= 29

1= 522-144-348=30

2=

2=

2= 96-290+204=10

3=

3=

3=174-153+29=50

EJERCICIOS.1 [ =

1=

EJERCICIO 2

16

1

44

54 24 22 56

44

3

128