Download - Metode I Dio Zadaci 2014_(1)

EKONOMSKO MATEMATIKI

MODELI I METODEZadaci za vjebe 2014.Prvi dioPROBLEM 1:

Za proizvodnju tri proizvoda A, B i C koriste se tri maine i jedna sirovina. Kapaciteti maina i vrijednost obrade na maini (u asovima), utroci sirovina, trokovi i prodajna cijena po jedinici proizvoda dati su u tabeli:

MAINEPROIZVODIKAPACITETI

ABC

M1355550

M2523425

S3421000

TROKOVI478

PC91315

Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu, objasniti znaenje varijabli iz modela ako je cilj maksimiziranje prodajne cijene datih proizvoda.b) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj minimiziranje trokova poslovanja.

c) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) primjenom ...

PROBLEM 2:

Na maini iji je mjeseni kapacitet 500 asova vri se dorada sirovina A, B i C. Za jedan as rada maine doradi se 1/5 jedinice sirovine A, 1 jedinica sirovine B i 2 jedinice sirovine C. Planirano je da se svakog mjeseca u proizvodnji pogona isporui najmanje 180 jedinica svih proizvoda zajedno. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu, objasniti znaenje varijabli iz modela ako je cilj maksimiziranje koliine proizvoda A, B i C.b) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj maksimalno koritenje kapaciteta.

c) Pronai optimalno rjeenje modela primjenom ...

PROBLEM 3:

Preduzee P izrauje tri proizvoda A, B i C na maini iji je mjeseni kapacitet 800 asova. Za jedan as rada maine izradi se 1/4 jednog proizvoda A, 1/2 proizvoda B i 1 jedinica proizvoda C. Raspoloivi kapacitet treba u potpunosti iskoristiti. Trite zahtjeva da se proizvoda A i B zajedno izradi za 40 jedinica vie nego proizvoda C. Prodajna cijena proizvoda A je 100 n.j., proizvoda B 150 n.j. i proizvoda C 40 n.j. Planirano je da se realizacijom proizvoda ostvari najmanje 30000 n.j. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela ako je cilj maksimiziranje koliine proizvoda C.b) Pronai optimalno rjeenje modela primjenom ...PROBLEM 4:

Preduzee proizvodi proizvode A1 i A2 pod sledeim uslovima:

Izvori energijeProizodiKapacitet

A1A2

Strug4020160

Sirovina2624

Materijal84

Radna snaga42

Kapacitet struga treba iskoristiti u potpunosti, dok oznaka kod materijala i radne snage znai da ove izvore uvijek imamo na raspolaganju u dovoljnim koliinama. Treba uzeti u obzir da se proizvod A1 ne moe plasirati na dan vie od 15 t, a proizvod A2 ne vie od 3 t. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.b) Odrediti koje koliine proizvoda A1 i A2 treba preduzee da proizvodi ako eli da proizvodi uz maksimalnu dobit. Prodajne cijene su 20000 n.j., odnosno 50000 n.j. respektivno, opti trokovi su 10000 n.j., a direktni trokovi iznose 1000 n.j.PROBLEM 5:

Pogon jednog preduzea koristi tri maine za proizvodnju dvije vrste dijelova za svoj finalni proizvod. Mainski se vri radna operacija to znai da svaki komad treba odraditi samo na jednoj maini. Tehniki koeficijenti (mainski sati po komadu) i kapacitet (u mainskim satima) dati su u tabeli:

MaineDijeloviKapacitet

D1D2

M121100

M232200

M345250

Po komadu proizvoda troi se redom 3 kg i 5 kg sirovine kojih na raspolaganju imamo najvie 500 kg. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.b) Odrediti optimalan program proizvodnje tako da utroena koliina date sirovine bude minimalna.

PROBLEM 6:

Proizvod se sastoji od jednog dijela D1 i jednog dijela D2. Za proizvodnju ovih dijelova stoje na raspolaganju automati A1, A2 i A3 koji mogu svaki dio u fazi proizvoditi kao finalni proizvod. Norme izrade pojedinih dijelova prikazuje sledea tabela:AutomatiDijeloviKapacitet

D1D2

A12412720

A2128708

A3249720

Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.b) Koliko proizvoda P se moe zajednikim radom svih automata maksimalno proizvoditi ako treba proizvesti jednak broj dijelova, tj. mora vaiti odnos 1:1.

PROBLEM 7: Preduzee pravi optimalan plan proizvodnje M1 i M2. U planiranom razdoblju raspoloivo je 200 t materijala M1 i 180 t materijala M2. Iz ovih materijala se izrauju tri proizvoda P1, P2 i P3. Utroak materijala po jedinici proizvoda (t) dat je u narednoj tabeli:

MaineProizvodiKoliina (t)

P1P2P3

M1485200

M2297180

Navedeni proizvodi se ne izrauju iz obje vrste materijala to znai to znai da ni u jedan proizvod ne ulaze oba materijala. Proizvoda P1 treba izraditi najvie 80 komada (bez obzira iz koje vrste materijala), P2 najvie 22 komada, a proizvoda P3 najvie 60 komada. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.b) Pronai optimalno rjeenje modela ako je cilj minimiziranje utroenog materijala M1 i M2.

PROBLEM 8:

U preduzeu se izrauju tri tipa stolica A, B i C. Maksimalna mogua proizvodnja iznosi 150 komada. Za isti mjesec planirana je maksimalna zarada od prodaje ovih stolica u iznosu od 120 n.j. Jedna stolica tipa A ostvaruje gubitak od 3 n.j., a jedna stolica tipa B i C daje zaradu od 1 n.j. Jedna vrsta maina je ogranienog kapaciteta koji iznosi 500 asova. Za izradu jedne stolice tipa A, B i C angauje se 0,004%, 0,002% i 0,006% respektivno kapaciteta te maine. Na izradi istih stolica rade i druge maine M tako da se za jedan as rada izradi 1/2, 1/4 i 1/5 komada stolica A, B i C respektivno. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.b) Pronai optimalno rjeenje ako je cilj maksimizirati iskoritenost kapaciteta druge grupe maina M.

PROBLEM 9:

Za proizvodnju jedne legure fabrika hemijske proizvodnje koristi sirovine S1, S2 i S3. Legura mora da sadri najmanje 25% sastojaka A, najvie 40% sastojaka B i najvie 40% sastojaka C. Uee ovih sastojaka u sirovinama dato je u tabeli:

Sastojak% uea sirovine

S1S2S3

A303020

B454030

C203050

Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli.b) Nabavna cijena sirovine S1, S2 i S3 iznosi 8 n.j./kg, 10 n.j./kg, 10 n.j./kg respektivno. Odrediti optimalnu strukture legure.PROBLEM 10:

Preduzee planira proizvodnju proizvoda A i B. Izrada ovih proizvoda vri se na maini M1 iji raspoloivi mjeseni fond sati iznosi 250 asova i grupi maina M2 sa mjesenim fondom od 550 asova. Na grupi maina M1 za jedan as rada mogu se izraditi dva komada proizvoda A i jedan komad proizvoda B. Na M2 jedan komad proizvoda A se moe proizvesti za jedan as, a proizvoda B za tri asa. Odlueno je da se mora mjeseno proizvoditi najmanje 10 komada proizvoda A pod uslovom da se proizvod B uopte ne proizvodi. Ako se, meutim, proizvodi proizvod B onda se na svakih pet njegovih proizvoda treba proizvesti tri komada proizvoda A. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.b) Pronai optimalno rjeenje modela ako je potrebno maksimalno iskoristiti raspoloivi fond vremena rada maina M1 i M2.

PROBLEM 11:

Jedna pivara ima dvije proizvodne linije za punjenje boca piva od 0,33 l i 0,5 l. Na liniji jedan za minut se moe napuniti 180 boca od 0,33 l i 120 boca od 0,5 l. Linija 2, s obzirom na zastarjelost opreme, ima manji uinak tako da moe puniti 120 boca u minuti od 0,33 l i 60 boca od 0,5 l. Ovje linije rade u dvije smjene po 8 asova. S obzirom na to da pivara eli da koristi obje proizvodne linije odlueno je da odnos punjenih boca na liniji jedan i dva bude 2:1. Zbog stalnog poveanja cijena piva statistiki je utvren odnos izmeu cijena i to 2 n.j. za 0,33 l i 3 n.j. za 0,5 l. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.b) Odrediti optimalni dnevni plan proizvodnje punjenja boca piva tako da se ostvari maksimalna dobit.

PROBLEM 12:

Studenti jednog fakulteta: 600 mukaraca i 300 djevojaka prihvatili su obavezu da e obaviti berbu jabuka jedne zemljoradnike zadruge. Rukovodilac zadruge iz iskustva zna da su za ovakvu vrstu posla najpogodnije brigade po 6 osoba. Ovakve brigade mogu biti razliitih sastava i od toga zavisi i njihova produktivnost:

Redni brojBrste brigadaVrijeme berbe jednog drveta (min)

1.6 mukaraca15

2.6 djevojaka10

3.2 mukarca i 4 djevojke12

4.3 mukarca i 3 djevojke9

Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.b) Koliko treba da se organizuje od koje vrste brigada ako se svako mora razvrstati u neku brigadu, a cilj je to krae vrijeme trajanja berbe.

PROBLEM 13:

Asortiman jednog preduzea sastoji se iz dva proizvoda A i B. Na obradi do sada pomenutih proizvoda radilo je osam radnika, pri emu je potrrebno angaovati po jednog radnika za svaki komad pojedinih proizvoda. Potrebno je zaposliti svu raspoloivu radnu snagu, a ako je mogue zaposliti jo i vie. Na zalihama imamo prosjeno dnevno 6 kg sirovine S. Za proizvod A troi se 3 kg sirovine S po komadu. Dorada proizvoda A i B odvija se na maini M. Za jedan komad proizvoda A i B maine se angauju po 2 asa, odnosno 1 as respektivno. Slobodni kapacitet je 4 asa dnevno. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.b) Odrediti dnevni plan proizvodnje ako je cilj maksimiziranje proizvoda A i B.

PROBLEM 14:

Agroindustrijska kompanija ima mogunost da na 500 ha zasije penicu, kukuruz i eernu repu. Za proizvodnju jedne tone penice, kukuruza i eerne repe potrebno je zasijati 1/2, 1/4, 1/2 ha povrine respektivno. Kompleks raspolae sa 800000 n.j. za koje namjerava da nabavi sjeme ubriva i pokrije ostale trokove proizvodnje. Za proizvdnju 1 tone penice, kukuruza, eerne repe potrebno je 300 n.j., 500 n.j., 600 n.j. respektivno. Analizom je utvreno da kapacitet, trokovi i radna snaga ne predstavljaju usko grlo. Zbog zahtjeva trita odlueno je ako se penica i kukuruz ne zasiju proizodie se najmanje 50 tona eerne repe, a ako se proizvodi i penica i kukuruz onda e se na svaku tonu njihove zajednike proizvodnje proizvoditi 0,5 tona eerne repe. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.b) Pronai optimalni optimalni obim proizvodnje ako je cilj maksimiziranje dobiti. Statistiki je utvreno da se dobit od proizvodnje penice kukuruza i eerne repe odnose kao 3:4:2.

PROBLEM 15:

Jedno preduzee proizvodi tri proizvoda A, B i C. Na maini iji je dnevni kapacitet 8 asova vri se obrada svakog od ova tri proizvoda tako da je za jedan proizvod A potreban 1 as rada te maine, za 1/2 asa se izradi jedan proizvod B i za 1 as rada maine izradi se 1/2 jedinice proizvoda C. Sva tri proizvoda se izrauju iz iste vrste sirovine koje treba utroiti najvie 10 kg u toku jednog dana. Iz 1 kg sirovine izradi se 3/5 dijela proizvoda A, 3 jedinice proizvoda B i 1 jedinica proizvoda C. Ovi specijalni proizvodi kao zatita u cilju ispunjenja odreenih standarda zahtjevaju i specijalna vlakna u svom sastavu od tano 10 kg. 1 kg vlakna dovoljan je za pripremu 2 jedinice, 1 jedinicu, 2 jedinice proizvoda A, B i C respektivno. Ukupni trokovi koji e se ostvariti u izradi ovih proizvoda su za proizvod A 65 n.j., B 90 n.j. i C 70 n.j. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela ako je cilj minimiziranje ukupnih trokova.b) Pronai optimalno rjeenje modela primjenom ...

c) Analizirati optimalno rjeenje.PROBLEM 16:

Preduzee P se bavi montaom proizvoda X. Ovaj proizvod se montira iz dva dijela A i B. Svaki od ova dva dijela izrauje se u cjelosti na mainama M1 i M2, odnosno i jedan i drugi dio se izrauju jednofaznom obradom na maini M1 ili M2. Za jedan as rada maine M1 izrade se 3 komada dijela A i 5 komada dijela B. S druge strane, 1 komad dijela A izradi se za pola sata rada maine M2, a 1 komad B za 1/4 sata rada te iste maine. Raspoloivi kapacitet maine M1 je 300 asova, a M2 315 asova. Uz svaki proizvod X ugradi se po jedan dio A i jedan dio B zbog ega se zahtjeva da se izradi jednak broj komada ovih dijelova. Potrebno je:

c) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela ako je cilj maksimiziranje koliine proizvoda X, odnosno dijelova A i B.

d) Nai optimalno rjeenje problema primjenom ...

e) Analizirati optimalno rjeenje.

PROBLEM 17:

Preduzee u planiranom periodu od jedne godine proizvodi dvije vrste proizvoda na jednoj maini uz upotrebu dvije vrste sirovina. Vrijeme izrade jedinice oba proizvoda na maini je po 5 asova, a ukupni godinji kapacitet maine je 30000 asova. Za proizvodnju jedinice proizvoda A potrebno je 20 kg prve i 3 kg druge sirovine, a za proizvodnju proizvoda B 4 kg prve i 20 kg druge sirovine. Godinje se mora potroiti najmanje 40000 kg prve i najmanje 27000 kg druge sirovine. Profit od prodaje proizvoda A je 80 n.j., a od proizvoda B 50 n.j. po komadu. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu, objasniti znaenje varijabli iz modela i odrediti optimalan godinji asortiman proizvoda, tj. plan koji obezbjeuje maksimalan ukupan profit uz uslov da ukupno mora biti proizvedeno tano 3000 jedinica obje vrste.

b) Pronai optimalno rjeenje modela primjenom ...

c) Analizirati optimalno rjeenje.

PROBLEM 18:

Fabrika namjetaja je sklopila ugovor kojim se obavezuje da opremi poslovni prostor povrine 250 m2 stolovima i stolicama. Fabrika raspolae sa drvenim stolovima teine 40 kg i cijene 90 n.j. po komadu, plastinim stolovima teine 30 kg i cijene 70 n.j. po komadu, drvenim i plastinim stolicama teine 20 kg i 10 kg i cijene 66 n.j. i 40 n.j. po komadu respektivno. Svaki sto zauzima po 2 m2 prostora, a svaka stolica po 1 m2 prostora. Ugovorom je predvieno da isporueni namjetaj treba da bude teak bar 3000 kg. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu, objasniti znaenje varijabli iz modela i odrediti sa koliko stolova i stolica i koje vrste e fabrika opremiti poslovni prostor da bi njihova ukupna cijena bila minimalna i ako se zahtijeva da ukupan broj stolova bude jednak ukupnom broju stolica, a povrina poslovnog prostora ne mora biti u potpunosti popunjena.

b) Pronai optimalno rjeenje modela primjenom ...


GRAFIKA METODA

- problem maksimuma -PROBLEM 19:

Pretpostavimo da preduzee proizvodi dva proizvoda, A i B, koji u procesu proizvodnje prolaze kroz dva razliita pogona. U tabeli su dati podaci koji pokazuju potrebno vrijeme u asovima za proizvodnju jedinice proizvoda A i B, kao i ukupan fond asova pojedinih pogona u odreenom periodu. Drugim rijeima, za proizvodnju jedne jedinice proizvoda A utroen je 1 as u prvom i 5 asova u drugom pogonu. Za proizvodnju jedne jedinice B utroeno je 3 asa, odnosno 2 asa u prvom i drugom pogonu respektivno. Raspoloivi fond asova prvog i drugog pogona iznosi 18, odnosno 25 asova respektivno. U planu poslovanja predviena je dobit po jedinici proizvoda koja za proizvod A iznosi 5 n.j., a za proizvod B 6 n.j.Potrebno vrijeme (u asovima) za jedinicu proizvodaUkupno raspoloivi fond asova

PogonAB

I1318

II5225

Dobit po jedinici proizvoda56-

Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu, objasniti znaenje varijabli iz modela i odrediti optimalno rjeenje modela ako je cilj maksimiziranje dobiti.

b) Pronai optimalno rjeenje modela primjenom grafike metode.


PROBLEM 20:

Unutranji transport izmeu radnih kontrolnih mjesta u pogonima jednog preduzea obavlja 60 radnika pomou dvodjelnih runih kolica. Istraivanja su pokazala da ovakav oblik unutranjeg transporta nije pogodan s obzirom na znaajnije poveanje koliine proizvoda koji se transportuju. Zbog toga su rukovodni organi odluili da investiraju 800000 n.j. za nabavku motornih kolica i akumulatorskih elektrokolica. Proizvoa motornih kolica je naveo da jedna kolica posluuju 4 radnika. Cijena jednih motornih kolica je 50000 n.j. dok joj je godinji kapacitet 100000 t. Iz ponude proizvoaa akumulatorskih elektrokolica utvreno je da cijena jednih kolica iznosi 40000 n.j., dok im je godinji kapacitet 200000 t. Jedna elektrokolica posluuju 3 radnika. S obzirom na to da u preduzeu postoje radnici koji su ve obueni za usluivanje motornih kolica odlueno je da se nabavi tano 20 komada motornih kolica (akumulatorska elektrokolica se, u tom sluaju, ne bi nabavljala). Meutim, ako bi se nabavljala i akumulatorska elektrokolica, onda bi se na svaka nabavljena akumulatorska elektro kolica smanjila nabavka motornih kolica u odnosu 1:2. Potrebno je:

d) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

e) Odrediti koliko kojih kolica preduzee treba da nabavi ako se zna da se ne moraju rasporediti svi radnici na posluivanje novih kolica, nego neki radnici mogu raditi i na stari nain i ako je cilj postizanje to vee godinje proizvodnje.

f) Pronai optimalno rjeenje modela primjenom grafike metode.

g) Analizirati optimalno rjeenje.

RAZNI ZADACI

PROBLEM 21:Jedno industrijsko preduzee proizvodi tri proizvoda A, B i C. Kapacitet osnovnog postrojenja iznosi 1600 asova. Za jedan as rada postrojenja izradi se jedinica proizvoda A, odnosno dvije jedinice proizvoda B. Jedinica proizvoda C izradi se za dva asa rada postrojenja. Kapacitet ovih postrojenja je usko grlo zbog ega ga treba koristiti u cjelosti. Prodaja ovih proizvoda je vezana tako da treba isporuiti najmanje 400 jedinica proizvoda C ako se ne bude isporuivao i proizvod A. Ukoliko se bude isporuivao i proizvod A, tada se na svaku jedinicu proizvoda A trebaju isporuiti tri jedinice proizvoda C. Dobit po jedinici proizvoda A, B i C iznosi 10 n.j., 6 n.j. i 4 n.j. respektivno. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela ako je cilj maksimiziranje dobiti.

PROBLEM 22:

U pogonu se izrauju tri proizvoda A, B i C na maini iji je maksimalni dnevni kapacitet 108 asova. Za jedan as rada ovih kapaciteta izradi se 1/3, 1/4 i 1/2 komada proizvoda A, B i C respektivno. Proizvodi A i B se sue u suari iji dnevni kapacitet treba u cjelosti iskoristiti (angaovati), a iznosi 24 asa. Za jedan as rada suare osui se 1/2 proizvoda A i 1/3 proizvoda B. Varijabilni trokovi po komadu B iznose 3 n.j., a po komadu C 1 n.j. S druge strane, zbir varijabilnih trokova izrade proizvoda B i C ne moe biti vei od zbira ukupnih fiksnih i varijabilnih trokova izrade proizvoda A. Jedinini varijabilni trokovi za proizvod A iznose 4 n.j., a fiksni trokovi su 10 n.j. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela ako je cilj maksimizirati ukupnu koliinu sva tri proizvoda.

PROBLEM 23:

Preduzee P raspolae sa 1000 n.j. koje planira uloiti u tri projekta P1, P2 i P3. Ukupni iznos sredstava treba utroiti. U projekte P1 i P2 treba najmanje utroiti (uloiti) za 50 n.j. vie nego za projekat P3. Takoe, poznato je da se u projekat P2 ne mora ulagati. U tom sluaju treba uloiti najmanje 200 n.j. u projekat P1. Ako se ulae u P2, tada se na svake 2 n.j. ulaganja u taj projekat treba uloiti 1 n.j. u projekat P1. Ulaganje 1 n.j. u projekte P1, P2 i P3 uslovie porast proizvodnje za 2%, 3% i 4% respektivno. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela ako je cilj maksimalni porast proizvodnje.

PROBLEM 24:

U predizbornoj kampanji politika stranka eli da emituje bar 130 propagandnih poruka na tri najjae televizije (T1, T2 i T3). Jedna poruka prikazana na televiziji T1 traje pola minuta, na T2 15 sekundi, a na T3 najmanje 1 minuta. Odlueno je da se na televiziji T1 emituje najmanje 40 minuta, na T2 najvie 50 minuta, a na T3 najmanje 30 minuta poruka. Emitovanje propagandnih poruka se plaa po utroenom vremenu i to: na T1 100 n.j. po minuti, na T2 120 n.j. po minuti i na T3 110 n.j. po minuti. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu, objasniti znaenje varijabli iz modela i odrediti koliinu minuta na kojoj televiziji treba stranka da se oglaava da bi ukupna cijena oglaavanja bila minimalna.

b) Pronai optimalno rjeenje problema polazei od rjeenje prema kome analiziramo samo realne varijable.


PROBLEM 25:

Jedno preduzee eli da napravi plan reklamiranja na lokalnoj i nacionalnoj televiziji u narednoj godini. Predvieno je da se emituju dvije vrste reklamnih spotova: spotovi kojim se promovie preduzee i spotovi kojima se reklamiraju proizvodi preduzea. Spotovi namjenjeni promociji preduzea na lokalnoj i nacionalnoj televiziji traju 2 i 4 minuta respektivno. Spot namjenjen reklamiranju proizvoda na lokalnoj televiziji traje 2 minuta, a na nacionalnoj televiziji 6 minuta. Odlueno je da se na lokalnoj televiziji emituje najmanje 6 sati i 40 minuta reklama, a na nacionalnoj televiziji tano 5 sati. Cijena emitovanja jednog spota za promovisanje preduzea na lokalnoj televiziji iznosi 9 n.j., a na nacionalnoj iznosi 12 n.j., a cijena emitovanja spota za reklamiranje proizvoda iznosi 12 n.j. na loklanoj televiziji, odnosno 8 n.j. na nacionalnoj televiziji. Potrebno je:a) Formirati matematiki model minimizacije ukupne cijene emitovanja reklamnih spotova ako je potrebno da ukupan broj emitovanih spotova za reklamiranje proizvoda bude najmanje za 10 vei od ukupnog broja emitovanih spotova za promociju preduzea i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela polazei od rjeenja prema kome promociju treba vriti tako da se emituju reklamni spotovi za promovisanje preduzea na lokalnoj televiziji, prozvodi na lokalnoj televiziji i proizvodi na nacionalnoj televiziji.c) Analizirati optimalno rjeenje. Uraditi jednu iteraciju i ako je potrebno samo postaviti bazu za narednu.

d) Zapisati dualni model modela pod a).

PROBLEM 26:

Preduzee eli da proiri vlastite kapcitete. Odluili su da montiraju izvjestan broj maina koje su jednake ili sline postojeim. Raspoloivi postojei kapacitet svih maina M1 je 12000 radnih sati, a maina M2 20000 radnih sati. Da bi se proizvela jedinica proizvoda A potrebno je 2 asa rada maina M1 i 2,5 asa rada maina M2. Za proizvodnju jedinice proizvoda B potrebno je po 2 sata rada maina M1 i M2. Preduzee eli da nabavi izvjestan broj novih maina M1 i M2. Raspoloivi godinji fond sati rada maine M1 je 800 sati, a maine M2 600 sati. Nabavna vrijednost jedne maine M1 je 250000 n.j., a maine M2 200000 n.j. Amortizacija se rauna po stopi od 10% od nabavne vrijednosti. Preduzee moe investirati najvie 2.500.000 n.j. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Odrediti broj maina M1 i M2 kojima treba proirenje postojeih kapaciteta i koliinu proizvoda A i B koja se dobije na osnovu postojeeg kapaciteta ako je ostvarena dobit po jedinici proizvoda ista prije i poslije namjeravane investicije i iznosi po 60 n.j. po jedinici proizvoda A i 80 n.j. po jedinici proizvoda B, te pronai optimalno rjeenje polazei od rjeenja prema kome treba proizvesti proizvod B pri emu je neiskoriten kapacitet maine M2 i gdje je potrebno nabaviti nove maine M1. Uraditi jednu iteraciju.


PROBLEM 27:

Prodajno-servisni centar namjerava da otvori pogon za automehaniarske i autolakirerske radove kako bi zaposlio 40 novih radnika: 20 automehaniara i 20 autolakirera. Utvren je nedostatak tano 8 garnitura alata i pribora za automehaniare i 6 garnitura za autolakirer. Na osnovu ponuda dva proizvoaa A i B i konsultacija sa tehnikom slubom o kvalitetu ponuenih garnitura, utvreno je da garnitura alata za automehaniare proizvoaa A kota 100 n.., a prosjeno godinje se pokvari 10% garnitura, garnitura alata za autolakirer proizvoaa A kota 800 n.j., a prosjeno godinje se pokvari 20% garnitura. Garnitura alata za automehaniare proizvoaa B kota 200 .., a godinje se nije pokvarila ni jedna garnitura, dok garnitura alata za autolakirer proizvoaa B kota 1000 n.., a prosjeno godinje se pokvari 16% garnitura. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Odrediti strukturu nabavke neophodnih garnitura alata tako da se obezbijedi minimalan godinji kvar alata, ako prodajno-servisni centar za nabavku garnitura moe izdvojiti 8000 n.., te pronai optimalno rjeenje primenom simpleks tabele.

c) Analizirati dobijeno rjeenje (u iteraciji koju ste uradili).

PROBLEM 28:

Uprava fabrike sokova hoe da u ovoj godini lansira novu grupu proizvoda sokove od dunja. Za tu svrhu je otkupljeno 2000 litara kae od dunja. Ova kaa ne moe da se iskoristi za neku od ve postojeih vrsta sokova i zbog toga mora u potpunosti da se iskoristi za nove proizvode. Sokovi od dunja e biti u pakovanjima od 1 litre i proizvodie se u tri varijante:

Dunja*** - koja sadri 50% kae i 50% vode, Dunja** - koja sadri 40% kae, 10% eera i 50 % vode i Dunja* - koja sadri 25% kae, 25% eera i 50% vode.

Na osnovu analize trita procijenjeno je da do kraja godine moe da se proda najvie 6000 litara svih sokova od Dunja, a da e Dunja*** zbog visoke cijene moi da se proda najvie 1000 litara. Poto uprava eli da odri imid proizvoaa kvalitetnih sokova, odlueno je da se sok Dunja* proizvede najvie 2000 litara. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Odrediti koliko litara soka Dunja***, Dunja** i Dunja* treba proizvesti da bi ukupan profit koji se ostvaruje prodajom ovih sokova bio maksimalan. Profit po jednom pakovanju soka Dunja*** je 15 n.j., Dunja** je 12 n.j. i Dunja* je 9 n.j.

c) Nai optimalno rjeenje modela primjenom grafike metode.

d) Analizirati optimalno rjeenje.

GRAFIKA METODA

- problem minimuma (problem otpadaka) -

PROBLEM 29:

U cilju pripreme procesa proizvodnje, pogon metalopreraivakog preduzea sjee trake irine 50 mm i 20 mm iz valjka lima irine 120 mm. Pogon se opredijelio za varijante sjeenja traka bez otpadanja po irini. Potrebe proizvodnje uslovljavaju da se u periodu pripreme procesa proizvodnje mora isjei najmanje 3000 mm trake irine 50 mm i najmanje 6000 mm trake irine 20 mm. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Po kojoj varijanti sjei trake iz valjka lima i koju duinu lima, pod uslovom da se ovim sjeenjem obezbjeuje minimalan utroak materijala? Odrediti ukupnu duinu valjka lima ijim sjeenjem obezbjeujemo zahtjeve u planskom periodu uz minimalan utroak materijala?c) Pronai optimalno rjeenje primjenom grafike metode.

d) Analizirati optimalno rjeenje.PROBLEM 30: Preduzee P proizvodi 3 proizvoda (A, B i C). Trite moe apsorbovati najvie 250 jedinica sva tri proizvoda zajedno. U procesu proizvodnje su instalisani kapaciteti od 1000 asova osnovne maine M. Za 1 sat rada te maine proizvede se 1/4 jedinice proizvoda A, 1/6 jedinica proizvoda B i 1/5 jedinica proizvoda C. Kapacitet maine M mora biti maksimalno iskoriten. Tehnoloki uslovi proizvodnje nameu meuzavisnost u proizvodnji proizvoda A i B na jednoj strani i proizvoda C na drugoj strani, u sledeem smislu. Ako se ne bude izraivalo proizvoda C, tada se mora izraditi najmanje 200 jedinica proizvoda A i B zajedno. Ako se bude izraivao i proizvod C, tada e se na svaku jedinicu proizvoda C izraditi 4 jedinice proizvoda A i B zajedno. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj maksimiziranje koliine proizvoda C i objasniti znaenje svih varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) koristei grafiku metodu.


PROBLEM 31: Preduzee P raspolae sa dva postrojenja (I i II), na kojima se izrauju dva razliita proizvoda (A i B). Normativ angaovanja tih postrojenja u izradi proizvoda je razliit, na to ukazuju podaci u narednoj tabeli:PostrojenjaKoliina proizvoda koja se izradi za 1 sat rada postrojenjaRaspoloivi kapacitet postrojenja dnevno

AB

I1/21/460 sati

II1/31/542 sata

Ni jedan proizvod ne prolazi kroz oba postrojenja da bi bio finaliziran ve se u potpunosti zavrava na jednom postrojenju. Dnevna proizvodnja proizvoda A, bez obzira na kojim postrojenjima se radi, je tano 25 odgovarajuih jedinica, a proizvoda B tano 10 jedinica. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj maksimiziranje iskoritenja kapaciteta postrojenja i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) koritenjem grafike metode.


SIMPLEKS TABELA

- problem maksimuma -

PROBLEM 32: Nakon integracije 3 preduzea gaziranih sokova u jedno preduzee, postavio se problem efikasnog programa proizvodnje sa aspekta stepena strunosti raspoloive radne snage. Prosjeno potreban broj radnika po proizvedenoj boci gaziranog soka dat je u sledeoj tabeli:Stepen strunostiProsjeno potreban broj radnika po jednoj bociRaspoloivi broj radnika

Preduzee 1Preduzee 2Preduzee 3

III121140

IV01050

V012100

Dobit po boci u n.j.303238-

Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Odrediti optimalnu raspodjelu proizvodnje gaziranih sokova po preduzeima tako da ukupna dobit za sva preduzea bude maksimalna.c) Pronai optimalno rjeenje primjenom simpleks tabele.d) Analizirati optimalno rjeenje.

PROBLEM 33: U jednoj koli restoran za ake moe da radi u jednoj smjeni samo na odmorima (4 mala po 5 minuta i 1 veliki od 15 minuta). U restoranu se prodaju sendvii, mlijeko u aama i zemike. Predvieno je da u restoranu rade 1 prodavac i 1 blagajnik. Prodavac prosjeno u minuti uslui 2 kupca sendvia i po etiri kupca mlijeka i zemiki, dok blagajnik moe usluiti 6 kupaca bez obzira na predmet kupovine. Utvreno je da se moe prodati tano 100 zemiki ako se ne prodaje mlijeko, a ako se prodaje i mlijeko onda se na svaku prodatu au mlijeka mora prodati i jedna zemika. Potrebno je:a) Utvrditi strukturu prometa kolskog restorana pod uslovom da se ostvari maksimalna dobit ako se ostvaruje dobit prodajom jednog sedvia od 25 n.j., mlijeka u aama od 20 n.j. i jedne zemike od 10 n.j.

b) Pronai optimalno rjeenje primjenom simpleks tabele.


SIMPLEKS TABELA

- problem minimuma -

PROBLEM 34: Radna jedinica Unutranji radovi jednog graevinskog preduzea postavlja tapete u novim stambenim objektima. Na tritu je mogue nabaviti tapete irine od 100 cm. Prema zahtjevima operativne pripreme potrebno je sjei tapete te irine da bi se dobile manje irine i to od 40 cm, 50 cm i 60 cm. Prema godinjem planu rada treba obezbjediti najmanje 1400 cm, 1600 cm i 800 cm irine 40 cm, 50 cm i 60 cm respektivno. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu, te pronai sve varijante sjeenja tapeta ija je irina 100 cm ako je cilj minimiziranje otpadaka ispod 20 cm.

b) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) primenom simpleks tabele.c) Analizirati optimalno rjeenje.PROBLEM 35: Investicionim programom za uvoenje integralnog informacionog sistema (IIS) u jednom preduzeu predvieno je zapoljavanje izvjesnog broja specijalista za raunare koji e rukovoditi IIS-om i pripremati nove kadrove. Predvieno je da se zaposle dipl. ininjeri elektrotehnike i dipl. ekonomisti. Trokovi specijalizacije jednog ininjera iznose 200000 n.j., a jednog ekonomiste 800000 n.j. Ovi strunjaci treba da kontroliu pripremu podataka za obradu i izlazne podatke najvie 120 radnih dana. Na obraunavanju kadrova strunjaci moraju raditi tano 90 radnih dana. Na ovim poslovima jedan strunjak mora provesti sledei broj radnih dana:IninjerEkonomista

Kontrola podataka22

Obuka kadrova13

Potrebni kadrovi za IIS moraju se obezbijediti zapoljavanjem strunjaka sa biroa za nezaposlene i preuzimanjem strunjaka iz srodnih preduzea. Odlueno je da se na poslovima IIS zaposli najmanje 10 strunjaka sa biroa (bez obzira da li je ininjer ili ekonomista), pod uslovom da se ne preuzme nijedan strunjak iz srodnih preduzea. Ako se budu preuzimali i strunjaci iz srodnih preduzea, onda e se za svakog takvog strunjaka broj zaposlenih strunjaka sa biroa smanjiti za jednog.


b) Odrediti broj diplomiranih ininjera i diplomiranih ekonomista koji e se za IIS preuzeti iz srodnih preduzea i zaposliti sa biroa tako da trokovi specijalizacije budu minimalni.c) Da li je iz aspekta minimalnih trokova specijalizacije isto: preuzimati strunjake iz srodnih preduzea ili zapoljavati one sa biroa?d) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) primjenom simpleks metode.

e) Analizirati optimalno rjeenje.PROBLEM 36: U preduzeu treba da se izrade 3 proizvoda A, B i C u koliinama od tano 200 kom., 100 kom. i 250 kom. respektivno. Od nekoliko grupa maina na kojima e se izraivati ovi proizvodi, 3 grupe maina su usko grlo, te se prema njihovom raspoloivom fondu vremena treba istraiti plan proizvodnje. Raspoloivi fond vremena iznosi 3000 sati za grupu maina M1, 4000 sati za grupu M2 i 6000 sati za grupu M3. Za izradu svakog proizvoda mogu da se primijene po dva razliita tehnoloka postupka. Normativi vremena izrade ovih proizvoda u sat./kom. i trokovi izrade u din./kom. dati su u sledeoj tabeli:

ProizvodABC

Tehnoloki postupakIIIIIIIII

Grupa maina M148442

Grupa maina M2464212

Grupa maina M346820148

Trokovi izrade din./kom.200240250200300230


b) Istraiti takav plan proizvodnje kome odgovaraju minimalni ukupni trokovi izrade.

c) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) primjenom simpleks tabele.

d) Analizirati optimalno rjeenje.

DUALNI ALGORITAM

PROBLEM 37: Statistikim istraivanjem utvreno je da se u jednom rudniku zbog neadekvatne starosne strukture brigada ne postie oekivana produktivnost. Zbog toga se pristupilo reorganizaciji postojeih brigada. Iz iskustva drugih rudnika zna se da je najpogodnije da brigada broji po 8 lanova. Statistikka analiza je pokazala da brigade koje ine svi radnici mlai od 40 godina ili svi stariji od 40 godina iskopaju tonu uglja prosjeno za 20 minuta. Brigada koju ine 4 radnika mlaa i 4 radnika starija od 40 godina iskopa tonu uglja prosjeno za 15 minuta, a brigada u sastavu 6 radnika mlaih i 2 radnika starija od 40 godina iskopa tonu uglja prosjeno za 17 minuta. Potrebno je:f) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

g) Utvrditi koliko kojih brigada trba da se organizuje da bi bilo to krae vrijeme iskopavanja tone uglja ako je zaposleno 320 radnika mlaih i 240 radnika starijih od 40 godina. Pri formiranju brigada voditi rauna da u brigade budu ukljueni svi raspoloivi radnici.h) Izraunati optimalno rjeenje primenom simpleks tabele.i) Analizirati optimalno rjeenje.

PROBLEM 38:

Metalopreraivako preduzee proizvodi proizvode A, B, C i D iz limova L1, L2 i L3. Istraivanjem trita utvreno je da se u toku mjeseca mora proizvesti najmanje 400 jedinica proizvoda A, najmanje 600 jedinica proizvoda B, najmanje 400 jedinica proizvoda C i najmanje 360 jedinica proizvoda D. Plasman proizvoda A, B, C i D je obezbijeen u sluaju poveanog obima proizvodnje bilo kog proizvoda u odnosu na minimalnu mjesenu proizvodnju. Broj jedinica proizvoda koji se moe dobiti iz table lima odreene dimenzije prikazan je sledeom tabelom:ABCD

L11222

L23112

L31211

Trokovi nabavke table lima L1, L2 i L3 iznose 1400 n.j., 800 n.j. i 1500 n.j. respektivno. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Odrediti optimalan plan mjesene nabavke limova L1, L2 i L3 uz minimalne ukupne trokove nabavke. Odrediti optimalan broj jedinica proizvoda A, B, C i D u mjesenoj proizvodnji.c) Pronai optimalno rjeenje problema primjenom simpleks tabele.d) Analizirati optimalno rjeenje.DANTZIGOV ALGORITAM

PROBLEM 39: Preduzee P planira da izvri proirenje proizvodnih kapaciteta u tri postrojenja (P1, P2 i P3). Za tu namjenu e utroiti najvie 150 odgovarajuih n.j. Odlueno je da se u prvo i drugo postrojenje uloi najmanje 50% od ukupno raspoloivih sredstava, a u drugo i tree ne vie od 70%. Efekti ulaganja se mjere poveanjem dobiti po jedinici uloenih sredstava i iznose: po jedinici uloenih sredstava u postrojenj P1 - 0,3 n.j., P2 - 0,5 n.j. i P3 - 0,7 n.j. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) polazei od rjeenja prema kome e se ulagati u proirenje kapaciteta ova tri postrojenja.c) Analizirati optimalno rjeenje.

PROBLEM 40: Direktor preduzea pravi plan prekvalifikacije radnika struke A, B, C, i D. Nakon prekvalifikacije radnici struka A, B i D radie na proizvodnji proizvoda X koga ne treba vie od 100 jedinica. Jedan radnik struke A, B i D izradie 4, 1 i 2 jedinica proizvoda X respektivno. Razlika izmeu broja radnika struka A i B, s jedne strane i radnika struka C i D, s druge strane, ne moe biti vea od 10. Trokovi obuke radnika C i D zajedno ne mogu biti vei od 45 n.j. Trokovi obuke 1 radnika struke C su 1 n.j., a radnika D 3 n.j. Procjenjeno je da e se nakom prekvalifikacije poveati doprinos radnika navedenih struka proizvodnom rezultatu preduzea i to: jednog radnika struke A - 2 jedinice, struke B - 4 jedinice, sruke C - 5 jedinica i struke D - 4 jedinice. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj maksimiziranje porasta doprinosa radnika proizvodnom uspjehu preduzea i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje problema polazei od rjeenja prema kome nee biti izraena maksimalna koliina proizvoda X, jer se predvia prekvalifikacija radnika samo struka B i C.c) Analizirati optimalno rjeenje.

PRIMJER 41: U jednom pogonu fabrike F izrauju se 4 proizvoda (A, B, C i D). Za izradu proizvoda A i C koristi se kapacitet maina M1, a proizvoda B i D kapacitet maina M2. Za jedan sat rada maina M1, odnosno M2, izrade se koliine proizvoda A, B, C i D kako slijedi:MaineProizvodiKapacitet maina

ABCD

M11/21/4800 asova

M211/6900 asova

Na svaku jedinicu proizvoda A i C zajedno treba izraditi najmanje dvije jedinice proizvoda B i D zajedno. Prodajna cijena jedinice proizvoda A, B, C i D iznosi 10, 12, 14 i 8 n.j. respektivno. Varijabilni trokovi izrade jedinice proizvoda A, B, C i D su 2 n.j., 4 n.j., 5 n.j. i 2 n.j. respektivno. Fiksni trokovi proizvodnje su 15 n.j. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj maksimiranje dobiti.b) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) polazei od rjeenja prema kome e se izraivati proizvodi A, B i C.c) Analizirati optimalno rjeenje.d) Ispitati da li e se promjeniti optimalno rjeenje ako se povea kapacitet maina M1 za 10%, a smanji kapacitet maina M2 za 5%.

METOD RASPOREDA

PROBLEM 42:

Na raspisan konkurs jednog preduzea za popunu jednog radnog mjesta javilo se 6 kandidata. Operacije koje se obavljaju na tim radnim mjestima su relativno sline tako da svaki kandidat moe da radi na svakom mjestu. Na jednom radnom mjestu moe se zaposliti 1 radni izvrilac. Efekti rada pojedinih radnika prilikom testiranja, mjereni otpatkom u osnovnom materijalu, su razliiti na to ukazuju sledei podaci:K1K2K3K4K5K6

P1201518161816

P2141920212021

P3212019141920

P4131619201916

Potrebno je:

a) Pronai optimalno rjeenje opisanog problema.b) Analizirati optimalno rjeenje.c) Komentarisati da li ima vei broj optimalnih rjeenja - ako ih ima vie, zapiite jo jedno.

PROBLEM 43:U jednom preduzeu treba u objektu mehanike prerade rasporediti tri grupe alatnih maina M1, M2 i M3. Potrebne povrine za sve tri grupe maina su jednake. Svaka grupa maina moe se rasporediti na bilo koju povrinu F1, F2 ili F3. Procjene udaljenosti tih povrina od skladita sirovina S, skladita strugotina O, skladita dijelova D, kao i od radionice sledee obrade R, date su matricom:

215287

A =2870105m

451449

976329

Procjenom intenziteta transporta u tonama po danu izmeu pojedinih grupa maina kao i izmeu njih i navedenih skladita, odnosno radionica sledee obrade, dat je u matrici B:1,10,300,8

B =1,50,40,50,6t/dan

2,30,60,51,2

Potrebno je utvrditi najpovoljniji raspored grupa maina M1, M2 i M3 na povrinama F1, F2 i F3 da bi ukupan transport u tm/dan bio najmanji.

PROBLEM 44:

Izmeu Beograda i Banja Luke uspostavljene su nove autobuske linije koje saobraaju svakodnevno u oba pravca. Predvieno je da iz Beograda autobusi polaze u 6 sati, 8 sati, 12 sati i 16 sati, a iz Banja Luke u 4 sata, 10 sati, 14 sati i 18 sati. Poznato je da vrijeme putovanja izmeu Beograda i Banja Luke iznosi 7 sati. Kako treba rasporediti posade autobusa (voza i kondukter) prema mjestima stalnog boravka ako je cilj da odsustva posada van stalnog mjesta boravka budu to manja?

TRANSPORTNI MODELI I METODE

PROBLEM 45:

Tri rudnika R1, R2 i R3 snabdjevaju ugljem 4 grada A, B, C i D. Dnevna proizvodnja uglja u rudnicima je 350 tona, 520 tona i 630 tona respektivno. Dnevna tranja za ugljem u gradovima je 240 tona, 420 tona, 530 tona i 310 tona respektivno. Na osnovu udaljenosti izmeu pojedinih rudnika i gradova i vaee tarife prevoznika transportni trokovi po toni proizvedenog uglja na relaciji i j iznose:C11=2C12=6C13=7C14=2

C21=5C22=1C23=5C24=8

C31=9C32=6C33=0C34=4

a) Metodom sjeverozapadnog ugla odrediti poetno bazino rjeenje.b) Koritenjem modifikovane metode odrediti optimalni program trnsporta uglja iz rudnika u gradove za koji e ukupni transportni trokovi biti minimalni.c) Analizirati optimalni plan.

PROBLEM 46:

Jedno poljoprivredno prduzee planira da zasije 3 kulture (K1, K2 i K3) na povrinama od 2000 ha, 500 ha i 2500 ha respektivno. Raspoloive oranine povrine su podjeljene po kvalitetu zemljita u 3 kategorije Z1, Z2 i Z3 i iznose 1500 ha, 3500 ha i 1000 ha respektivno. Prinosi koji se ostvare razliiti su u zavisnosti od toga na kojoj vrsti zemlje se uzgaja pojedina kultura i iznose (u tonama):

Z1Z2Z3

K1273540

K2-2520

K3402127

Kultura K2 se ne smije sijati na zemlji Z1. Zemlja Z1 je takvog kvaliteta da ne smije ostati neobraen niti jedan ha.a) Pronai poetno bazino mogue rjeenje primjenom metode jedininih koeficijenata.b) Pronai optimalno rjeenje primjenom modifikovane metode.c) Analizirati optimalno rjeenje.PROBLEM 47:

Iz dva ugljenkopa R1 i R2 vri se isporuka uglja u 4 potroaka centra (C1, C2, C3 i C4). Dnevne mogunosti isporuke iz R1 i R2 su po 60 tona. Potranja pojedinih potroaa je C1 = 20 t, C2 = 40 t, C3 = 60 t i C4 = 30 t. Zarada po toni uglja koji se transportuje na pojedinim relacijama iznose: R1 C1 = 2 n.j.R2 C3 = 6 n.j.

R1 C3 = 5 n.j.R2 C4 = 3 n.j.

R1 C4 = 4 n.j.

Na relacijama R1 C2, R2 C1 i R2 C2 ostvaruje se gubitak od 3 n.j., 1 n.j. i 2 n.j. respektivno. Potrebno je:d) Pronai optimalni plan isporuke uglja koritenjem dijagonalne i modifikovane metode.

e) Izraunati interval unutar kojeg se moe kretati jedinina zarada na relaciji R2 C4, a da se ne promjeni optimalno rjeenje.

f) Analizirati optimalno rjeenje.

PROBLEM 48:

Iz tri rudnika (P1, P2 i P3) vri se isporuka uglja u tri potroaka centra (C1, C2 i C3). Maksimalna proizvodnja rudnika je: P1 = 1000 tona, P2 = 1500 tona i P3 = 1800 tona dnevno. Dnevne potrebe potroakih centara C1, C2 i C3 su 800 tona, 1200 tona i 400 tona respektivno. Prema sporazumu rudnika i potroaa na sledeim relacijama e se isporuiti svakodnevno sledee koliine:P1 C3 = 1000 tona

P2 C1 = 800 tona

P2 C3 = 400 tona

P3 C2 = 1200 tona

Ukoliko se transport bude vrio na sledeim relacijama: P1 C1, P1 C2, P2 C2, P3 C1 i P3 C3 doi e do smanjenja ukupne zarade za 6 n.j., 4 n.j., 4 n.j., 2 n.j. i 2 n.j. po jednoj toni uglja respektivno. Vrijednost realnih dualnih varijabli koje se odnose na rudnike su: 0, 2 i 2, a koje se odnose na potroake centre: 10, 10 i 8 respektivno. Potrebno je:

a) Pronai optimalno rjeenje polazei od sporazuma rudnika i potroaa.b) Analizirati optimalno rjeenje.

c) Ispitati da li e se promjeniti optimalno rjeenje ako se zarada po jednoj toni uglja koja se isporuuje na relaciji P3 C1 povea za 2 n.j.

d) Ako u sluaju pod c) ima vie optimalnih rjeenja pronaite jo 2.

PROBLEM 49:

Potrebno je utvrditi optimalnu lokaciju pekara tako da ukupni trokovi proizvodnje i transporta budu minimalni. Predloene su 4 lokacije pekara sa prosjenim trokovima prerade 1 kg brana od 350 n.j., 360 n.j., 320 n.j. i 310 n.j. respektivno. Postoje i 3 mlina M1, M2 i M3 koji branom snabdjevaju pekare i njihov kapacitet je 1600 kg, 1400 kg i 2500 kg dnevno respektivno. Predvia se da e pekare dnevno preraivati 700 kg, 2000 kg i 3000 kg respektivno. Razdaljine u kilometrima od pojedinih mlinova do pekara date su tabelom:P1P2P3P4

M18-212

M2161379

M31841120

Transport brana bi obavljalo transportno preduzee koje je dostavilo svoje tarife po kg prevezene robe:0 5 km = 5 n.j.

6 10 km = 8 n.j.

11 15 km = 11 n.j.

16 20 km = 15 n.j.

Transportno preduzee je obavijestilo da ne moe ni na koji nain izvriti trnsport od mlina M1 do lokacije P2 to su zainteresovani mlinovi i pekare prihvatili.

Potrebno je odrediti optimalne lokacije pekara kao i njihove kapacitete pod uslovom da se ostvare minimalni ukupni trokovi transporta i prerade brana.

RAZNI ZADACI

PROBLEM 50:

Preduzee za proizvodnju proizvoda iroke potronje eli da sastavi plan proizvodnje, odnosno eli da odredi optimalan asortiman. Postoji mogunostda se proizvedu dva proizvode dva proizvoda P1 i P2. Proizvodi se obrauju na maini iji je kapacitet 16 asova. Za jedan as rada maine obradi se 1/2 proizvoda P1 i jedinica proizvoda P2. Za proizvodnju oba proizvoda potrebna je sirovina S i to u koliinama po jedan kilogram po jedinici proizvoda. Raspoloiva koliina sirovine S je 10 kilograma. Proizvodnja P1 zahtjeva i nabavku druge sirovin T u koliini od 7 jedinica iz ije se jedinice izradi jedinica ovog proizvoda. Dok se proizvod P1 moe prodati u neogranienim koliinama, dotle za proizvod P2 postoji tranja samo u visini od 6 jedinica. Proporcionalni trokovi izose 1 n.j., odnosno 2 n.j. respektivno. Fiksni trokovi iznose 1 n.j. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj minimiziranje ukupnih trokova i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje pod a) primjenom grafike metode.


PROBLEM 51:

U preduzeu trikotae proizvode se tri vrste dempera A, B i C. Za proizvodnju se koristi vuneno predivo u koliinama 4 jedinice, 8 jedinica i 5 jedinica po komadu, respektivno. Nabavna sluba preduzea obezbjedila je 1800 jedinica prediva. Predivo se prvo predaje pogonu P1 (za pletenje) iz kojeg prelazi u pogon P2 (radi ivenja). U toku probne proizvodnje pogoni su radili po 30 asova na svakoj vrsti proizvoda i proizveden je sledei broj komada dempera: Vrsta proizvoda

PogonABC

P115530

P230510

Kapaciteti su, redom, 620 asova i 900 asova. Kapacitet pogona P1 se koristi u potpunosti. Kupci su dostavili porudbine za 115 komada, 218 komada, 64 komada, 39 komada, 232 komada, 109 komada i 23 komada svih proizvoda zajedno. Nije obavezno da se porudbinama u potpunosti udovolji, ali vee koliine i nije mogue plasirati na tritu. Potrebno je:

c) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj maksimiziranje ukupnog prihoda i objasniti znaenje varijabli iz modela.

d) Pronai optimalni program proizvodnje koristei grafiku metodu.

e) Analizirati optimalno rjeenje.

PROBLEM 52:

Preduzee X treba da proizvodi dava proizvoda (A i B) u svoja dva pogona (P i R). Prema investicionom programu, dnevni kapacitet maina u pogonu P iznosi 80 asova i on ne mora biti koriten u potpunosti. Meutim, kapacitet maina u pogonu R, od 180 asova rada dnevno, mora biti koriten u poptunosti. Svaka maina u pogonu P radie 10 asova dnevno, a u pogonu R 8 asova dnevno. Amortizacija jedne maine u pogonu P iznosi 90 n.j., a u pogonu R 60 n.j. dnevno. Jedinica proizvoda A moe se proizvesti u pogonu P za 1 as rada, a u pogonu R za dva asa rada, dok se jedinica proizvoda B moe proizvesti u pogonu P za dva asa rada, a u pogonu R za tri asa rada maina. Na svake tri jedinice proizvoda A mora se proizvesti najmanje jedna jedinica proizvoda B. Po jedinici proizvoda A ostvarie se dobit od 15 n.j., a po jedinici proizvoda B 9 n.j. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai jedno od bazino moguih rjeenja primjenom simpleks tabele (uraditi dvije iteracije).

c) Analizirati dobijeno rjeenje (u iteraciji koju ste uradili).

PROBLEM 53:

Proizvod A se montira iz dva dijela D1 i D2 (to znai da se mora proizvesti jednak broj dijelova D1 i D2). Svaki od ovih dijelova moe se proizvesti kao finalni proizvod jednofaznom obradom na nekoj od raspoloivih maina S1 i S2. Na maini S1 moe se za jedan sat rada proizvesti 3 jedinice dijela D1 i 5 jedinica dijela D2. Na maini S2 mogu se za jedan sat proizvesti 2 jedinice dijela D1 i 4 jedinice dijela D2. Raspoloivi mjeseni fond sati rada maina je 300 sati, odnosno 350 sati respektivno. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj maksimiziranje koritenja kapaciteta obje maine i objasniti znaenje varijabli iz modela. Potrebno je odrediti koliko se kojih dijelova D1 i D2, odnosno proizvoda A, moe maksimalno proizvesti zajednikim radom maina S1 i S2.b) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) polazei od rjeenja prema kome e se proizvoditi proizvod A od dijela D2 na mainama S1 i S2 i dijela D1 na maini S1.


PROBLEM 54:

Jedno preduzee namjerava da rekonstruie, modernizuje ili intezivira koritenje vlastitih pogona. Za ocjenu efekata ulaganja koritena je stopa neposredne rentabilnosti:

gdje su: - stopa neposredne rentabilnosti, - prirataj dobiti u -tom pogonu, - obim uloenih sredstava u -ti pogon.U investicionom programu ocijenjeno je da stope neposredne rentabilnosti ulaganja u razliitim pogonima iznose:POGONIIIIII

(u %)304050

Za realizaciju namjeravane investicije preduzee moe obezbjediti najvie 200 miliona maraka. Stepen otpisanosti opreme u prvom i drugom pogonu je vrlo visok (preko 80%), pa je odlueno da se u njih investira najmanje 90% ukupnih sredstava. Poto trei pogon ima instaliranu opremu novije proizvodnje, odlueno je da se investira samo u trajna obrtna sredstva i to najvie 15% od ukupnih sredstava. S obzirom na zavisnost proizvodnje pogona I i pogona III, odlueno je da se na svake 4 marke uloene u pogon I uloi 1 marka u pogon III. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Odrediti optimalan raspored sredstava tako da ukupno poveanje dobiti bude maksimalno.

c) Pronai optimalno rjeenje koristei simpleks tabelu (uraditi dvije iteracije).

d) Analizirati dobijeno rjeenje.

PROBLEM 55:

U jednom pogonu izrauju se tri proizvoda: A, B i C na osnovnim postrojenjima iji je maksimalni dnevni kapacitet 108 sati. Za jedan sat rada ovih kapaciteta izradi se 1/3, 1/4 i 1/12 komada A, B i C, respektivno. Proizvodi A i B se sue u suari, iji dnevni kapacitet treba u cijelosti angaovati, a iznosi 24 sata. Za jedan sat rada suare osui se 1/2 proizvoda A i 1/3 proizvoda B. Varijabilni trokovi izrade proizvoda B i C ne mogu biti vei od 30 n.j. Varijabilni trokovi po komadu B iznose 3 n.j., a po komadu C 1 n.j. S druge strane, zbir varijabilnih trokova izrade proizvoda B i C ne moe biti vei od zbira ukupnih fiksnih i ukupnih varijabilnih trokova izrade proizvoda A. Jedinini varijabilni trokovi za proizvod A iznose 4 n.j., a fiksni trokovi su 10 n.j. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj maksimiziranju ukupne koliine sva tri proizvoda i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) primjenom grafike metode.c) Analizirati optimalno rjeenje.PROBLEM 56.Preduzee proizvodi dva razliita tipa opasaa A i B. A je boljeg kvaliteta od B. Preduzee raspolae sa 200 radnih asova za proizvodnju tih opasaa. Proizvodnja jednog opasaa trai angaovanje 0,4 radna asa za tip A, dok se za 1 radni as izradi 5 opasaa tipa B. Nabavka koe dozvoljava dnevnu proizvodnju najvie 800 opasaa bez obzira na tip, a oba opasaa sadre istu koliinu koe. Dnevno je na raspolaganju najvie 500 kopi za tip A, a potrebno je dnevno minimalno 200 kopi za tip B. Prodajom tipa A ostvaruje se 20 n.j. dobiti, a prodajom tipa B 15 n.j. dobiti. Potrebno je: a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) primjenom grafike metode ako je potrebno utvrditi koliko preduzee treba da proizvede dnevno svakog tipa opasaa A i B da bi se ostvarila maksimalna dnevna dobit.c) Analizirati optimalno rjeenje.PROBLEM 57:

Industrijsko preduzee P planira nabavku tri nove maine (M1, M2 i M3). Na mainama M1 i M2 treba izraditi u toku godine najmanje 15 t proizvoda R. Na proizvodnju 1 t proizvoda R treba utroiti 1/4 godinjeg kapaciteta maine M1 i 1/2 kapaciteta maine M2. Nabavna vrijednost sve tri maine iznosi tano 55000 n.j. Nabavne vrijednosti po jednoj maini M1, M2 i M3 iznose 12000 n.j., 7000 n.j. i 1000 n.j. respektivno. Maine M1 i M2 se koriste, takoe, za doradu sirovine T od koje se izrauje druga vrsta proizvoda. U toku godine dana treba pripremiti najvie 18 t sirovine T. Ukljuivanjem maina M1 i M2 u proizvodni proces doi e do porasta ukupne dobiti i to po jednojmaini M1 za 1 n.j., a M2 za 2 n.j. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj maksimiziranje dobiti koja e se ostvariti ukljuivanjem maina M1 i M2 u proizvodnju i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela koristei grafiku metodu.


PROBLEM 58:

Fabrika namjetaja je sklopila ugovor kojim se obavezuje da opremi poslovni prostor povrine 250 m2 stolovima i stolicama. Fabrika raspolae sa drvenim stolovima teine 40 kg i cijene 90 n.j. po komadu, plastinim stolovima teine 30 kg i cijene 70 n.j. po komadu, drvenim i plastinim stolicama teine 20 kg i 10 kg i cijene 66 n.j. i 40 n.j. po komadu respektivno. Svaki sto zauzima po 2 m2 prostora, a svaka stolica po 1 m2 prostora. Ugovorom je predvieno da isporueni namjetaj treba da bude teak bar 3000 kg. Potrebno je:

a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu, objasniti znaenje varijabli iz modela i odrediti sa koliko stolova i stolica i koje vrste e fabrika opremiti poslovni prostor da bi njihova ukupna cijena bila minimalna i ako se zahtijeva da ukupan broj stolova bude jednak ukupnom broju stolica. Povrina poslovnog prostora ne mora biti u potpunosti popunjena.

b) Pronai optimalno rjeenje modela polazei od rjeenja prema kome bazu ini izravnavajua varijabla iz prvog ogranienja, broje drvenih stolica i broj drvenih stolova koje preduzee treba da nabavi.


PROBLEM 59:

Jedna koksara moe da koristi mjeavinu etiri vrste uglja po dvije tehnoloke operacije T1 i T2. Ugalj se dobija u ogranienim koliinama iz pojedinih rudnika Ri (i = 1, 2, 3 i 4) kapaciteta 200 tona, 500 tona, 800 tona i 100 tona mjeseno, respektivno. Pojedine tehnoloke operacije zahtjevaju: Tehnoloka operacija

SirovinaT1T2

R146

R262

R334

R424

Kao rezultat hemijskih procesa izvrenih po prvoj tehnolokoj operaciji dobijamo 20 m2 gasa i 10 tona koksa, a po drugoj tehnolokoj operaciji 30 m2 i 6 t koksa. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj utvrditi pri kojoj kombinaciji tehnikih operacija moemo postii maksimalnu proizvodnju koksa, ako uzmemo u obzir da je mjesena proizvodnja kontinuelna, odnosno non-stop tokom dana, a da je trajanje tehnolokog procesa T1-10 asova i T2-15 asova. Napomena: uzeti mjesec kao 30 dana, s tim da se ne moraju svi dani koristiti za rad. Objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) primenom grafike metode.c) Analizirati optimalno rjeenje.PROBLEM 60:

Preduzee proizvodi dva proizvoda A i B. Proizvodi A i B se izrauju na maini M1 iji je kapacitet 160 asova. Za jedan sat rada maine proizvede se 1/40 proizvoda A i 1/20 proizvoda B. Kapacitet maine mora biti maksimalno iskoriten. Za proizvode A i B koristi se domaa sirovina. Od jednog kilograma domae sirovine izradi se 1/2 proizvoda A i 1/6 proizvoda B. Raspoloiva koliina sirovine je 24 tone. Trite moe apsorbovati najvie 15 komada proizvoda A. Plasman proizvoda B je ogranien i iznosi najvie 3 komada. Proporcionalni trokovi proizvodnje su 1 n.j. po jedinici proizvoda A i B, fiksni trokovi iznose 10 n.j. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj minimiziranje ukupnih trokova i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalno rjeenje modela pod a) koristei grafiku metodu.c) Analizirati optimalno rjeenje.PROBLEM 61:

U jednom programu fabrike "F" izrauju se tri proizvoda (P1, P2 i P3). Trite ne moe da apsorbuje vie od 1500 komada sva tri proizvoda zajedno. Proizvodi P1 i P2 se izrauju na maini M1, tako da se za jedan as rada ove maine izradi 1/2 i 2 komada proizvoda P1 i P2 respektivno. S druge strane, proizvodi P2 i P3 obrauju se na maini M2, tako da se komad proizvoda P2 proizvede za 1/2 sata, a proizvod P3 za jedan sat. Kapacitet maine M1 je 800 sati, a maine M2 1000 sati. Potrebno je:a) Zapisati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu ako je cilj maksimiziranje iskoritenog kapaciteta maina M1 i M2 zajedno i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Pronai optimalan program izrade sva tri proizvoda polazei od rjeenja prema kome tritu nee biti isporuena maksimalna koliina od 1500 komada, jer e se proizvoditi samo proizvodi P1 i P2.c) Analizirati optimalno rjeenje.PROBLEM 62:

Dvije nijanse narandaste boje prave se mjeavinom crvene i ute boje i laka. Jedna kutija prve nijanse teka je 5 kg, a dobije se mjeanjem 1 kg crvene boje, 3 kg ute boje i 1 kg laka, a kutija drgue nijanse teka je 5,2 kg, a pravi se mjeanjem po 2 kg crvene i ute boje i 1,2 kg laka. Cijena jedne kutije prve nijanse je 7 n.j., a druge nijanse 8 n.j. Na raspolaganju je 6 kg crvene boje, 10 kg ute boje i 4 kg laka. Potrebno je:a) Formirati model linearnog programiranja koji odgovara opisanom problemu i objasniti znaenje varijabli iz modela.

b) Odrediti koliko kutija koje nijanse treba napraviti tako da njihov ukupni prihod od prodaje bude maksimalan koristei grafiku metodu.


d) ta e se desiti sa optimalnim rjeenjem ako se postavi uslov da mora biti raspoloivo najmanje 4 kg laka?

Download - Metode I Dio Zadaci 2014_(1)

Top Related