Download - Maturski rad: Analitička geometrija u prostoru

8/16/2019 Maturski rad: Analitička geometrija u prostoru

1/31

BOSNA I HERCEGOVINA

FEDERACIJA BOSNE I HERCEGOVINE

HERCEGOVAČKO-NERETVANSKI KANTON

J.U. „SREDNJA ŠKOLA“

KONJICOPĆA GIMNAZIJA

MATURSKI RAD IZ MATEMATIKE

ANALITIČKA GEOMETRIJA U

PROSTORU

Mentor: Učenik:

Zerem Benjamin, prof. Mutapčija Safet, IVb

Konjic, april 2016.


2/31

1

SADRŽAJ

UVOD U ANALITIČKU GEOMETRIJU.................................................................................2

KRATAK PREGLED HISTORIJE ANALITIČKE GEOMETRIJE.........................................3

ANALITIČKA GEOMETRIJA..................................................................................................4

- VEKTOR POLOŢAJA TAČKE......................................................................................4

- RASTOJANJE IZMEĐU DVIJE TAČKE.......................................................................4

- RAVAN............................................................................................................................5

-

RAVAN.......................................................................................................................................................5 - NORMALNI OBLIK JEDNAČINE RAVNI..............................................................................................5 - OPŠTI OBLIK JEDNAČINE RAVNI.........................................................................................................6 - SKALARNI OBLIK JEDNAČINE RAVNI................................................................................................8 - SEGMENTNI OBLIK JEDNAČINE RAVNI.............................................................................................8- USLOV PARALELNOSTI I NORMALNOSTI DVIJE RAVNI...............................................................9

- UGAO IZMEĐU DVIJE RAVNI................................................................................................................9- PRAMEN RAVNI.......................................................................................................................................9

- RASTOJA NJE DATE TAČKE OD RAVNI............................................................................................10 - JEDNAČINA RAVNI KROD DATU TAČKU........................................................................................11- JEDNAČINA RAVNI KROZ TRI TAČKE.............................................................................................12

- PRAVA..........................................................................................................................13

- PRAVA......................................................................................................................................................13

- OPŠTI OBLIK JEDNAČINE PRAVE......................................................................................................13

- PARAMETARSKI OBLIK JEDNAČINE PRAVE..................................................................................14

- JEDNAČINA PRAVE KROZ DVIJE DATE TAČKE.............................................................................15

- UGAO IZMEĐU DVIJE PRAVE.............................................................................................................16

- RASTOJANJE TAČKE OD PRAVE........................................................................................................17

ZADACI....................................................................................................................................18

ZAKLJUČAK...........................................................................................................................27

LITERATURA..........................................................................................................................28


3/31

2

UVOD U ANALITIČKU GEOMETRIJU

Geometrija je grana matematike koja se bavi proučavanjem osobina i meĎusobnih odnosa prostornih oblika tj. geometrijskih ti jela, površina, linija i tačaka.

Geometrija se prvi put javila u drevnom Egiptu nakon čega su saznanja u 4-

5 stoljeću p.n.e prenesena u Grčku kada geometrija postaje zvanična nauka zahvaljujući Talesu, Pitagori,Anaksagori, Hipokratu, Euklidu i drugima. MeĎutim raspad antičkog robovlasničnog sistemadovodi do zastoja razvitka geometrije u Grčkoj mada se ona nastavlja razvijati u zemljamaAzije.

Analitička geometrija se prvi put javlja tek u prvoj polovini 17. stoljeća pojavommatematičara Descartes-a i Fermat-a koji se smatraju osnivačima analitičke geometrije. Analitička geometrija je deo matematike koji se bavi geometrijom u okviru koordinatnogsistema. Geometrijski oblici se predstavljaju u koordinatnom sistemu i pri tome im se

dodjeljuju odgovarajuće formule temeljene na velikom broju aksioma i teorema.

Osnovna ideja analitičke geometrije je da se svakoj tački koju sadrţi neka geometrijska figuradoda odgovarajuća tačka u koordinatnom sistemu pri čemu nastaju ureĎeni parovi koji mogusadrţiti dvije veličine x i y kada je predmet koji se prenosi u koordinatni sistemdvodimenzionalan ili x, y i z kada je predmet koji se prenosi u koordinatni sistem

trodimenzionalan.

Ovaj maturski rad obuhvata sljedeće teme :- Historijski razvoj analitičke geometrije - Ravan u koordinatnom sistemu

- Prava u koordinatnom sistemu


4/31

3

Kratak pregled historije analitičke geometrije

Analitička geometrija je dio matematike koji proučava pitanja u geometriji i analizi vezano za primjenu koordinatnog sistema u ravni i prostoru. Zahvaljujući analitičkoj geometriji moguće je geometrijske objekte iz prostora preni jeti u koordinatni sistem uz pomoć algerbarskih jednačina i obratno. Široku primjenu analitička geometrija je pronašla u tehnici, posebno umehanici, zatim u fizici i mnogim drugim naukama. Zvaničnom objavom djela „Geometrija“

poznatog matematičara Rene Dekarta (Gèomètrie, 1637 ) počela je aktivnija primjenaanalitičke geometrije u praksi. Dekart se vodio jednostavnim pricipom a to je da ureĎenom

paru realnih brojeva ( x, y ) pridruţi tačku u ravni i obratno, i na taj način postavio principkoordinatne metode. Ideja promjenljive veličine i ideja koordinata koje čine vezu izmeĎugeometrije i algebre su bile poznate matematici i prije Dekarta. Tako je historija zabiljeţilamanji rad autora Pjera de Ferma koji se odnosi na jednačine pravih i konusnih presjeka. Iako

je njegov rad objavljen kasnije već djelo „Geometrija“ tačnije 1697, rad je izgledao manje prikladan od Dekartovog zbog toga što je pisan Vijetovom simbolikom. Veliki matematičarLeonard Ojler 1748. godine objavljuje knjigu „Uvod u analizu beskonačnih veličina“(Introductio in analysin infinitorum, 1748. ) koja se smatra prvim udţbenikom analitičkegeometrije. Ojler i ostali analitičari 17-og stoljeća izgradili su analitičku geometrijutrodimenzionalog prostora na način da su već poznatom Dekartovom koordinatnom sistemuosim x i y dodali i z. Joseph-Louis Lagrange je Dekartov princip primjenio u mehanici na

način da je mehaničke veličine ( brzina, ubrzanje, sila.. ) označio vektorima te ih zbog lakšegizračunavanja smjestio u Dekartov koordinatni sistem. To je bilo od velike vaţnosti zarazvitak teorije vektora i njenu generalizaciju na bazi Dekartove koordinatne metode.

Slika 1

Rene Dekart

Slika 1

René Descartes

Slika 2

Pierre de Fermat

Slika 3

Leonhard Euler

https://bs.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://bs.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://bs.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://bs.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes


5/31

4

ANALITIČKA GEOMETRIJA

o Vektor položaja tačke

Poloţaj tačke A u prostoru o odnosu na Dekartov koordinatni sistem sa centrom u tački O jeodreĎen vektorom poloţaja ⃗ , koga zovemo vektor poloţaja tačke A. Neka je = ⃗ vektor poloţaja tačke A. Kako je odreĎen svojim koordinatama koje su algebarskevrijednosti projekcija vektora na koordinatne vektore, onda će i tačka A, kao završna tačkavektora ⃗ , biti odreĎena istim koordinatama. Ako je = ⃗ = ( x, y, z ) , tada su to ikoordinate tačke A i pišemo A( x,y,z ).

o Rastojanje izmeĎu dvije tačke

Rastojanje (d) izmeĎu tačaka A (x1, y1, z1) i B (x2, y2, z2) jednako je intezitetu vektora

⃗ i

dato je formulom d= DOKAZ:

Tačke A i B u prostoru su određene vektorima položaja ⃗ i ⃗ kao na slici 3.

U ovom slučaju ⃗ = 2 - 1. Tada je ⌊⃗ ⌋ = │2 – 1│= d, s obzirom da su tačke date sasvojim koordinatama slijedi da je

1 = ( x1, y1, z1 ) i

2 = ( x2, y2, z2 )

⇒

⃗ =

2 –

1 =

= ( x2 - x1, y2 – y1, z2 – z1 ) ⇒│ ⃗ │=

Slika 4


6/31

5

o RAVAN

1. Ravan

Ravan moţemo zadati pomoću jedne tačke koja pripada ravni i jednog vektora, kojegnazivamo vektor normale a obično označavamo sa ⃗. To je vektor koji je ortogonalan na svemoguće vektore koji pripadaju ravni. TakoĎer ravan čine i tri nekolinearne tačke. Ravan seobično označava malim slovima grčkog alfabeta a najčešće je to slovo π.

Postoji 5 aksioma koji govore o ravni a to su:

1. Svaka ravan sadrţi bar tri nekolinearne tačke. 2. Svake tri nekolinearne tačke pripadaju jednoj i samo jednoj ravni. 3. Postoje 4 tačke koje ne leţe u jednoj ravni. 4. Ako ravan sadrţi dvije različite tačke jedne prave onda ona sadrţi i tu pravu 5. Presjek dvije različite ravni je prava. ili prazan skup.

2. Normalni oblik jednačine ravni

Poloţaj ravni π u odnosu na prostorni koordinatni sistem najčešće se odreĎuje na način da sekroz koordinatni početak O povuče normala ⃗ = ⃗ , gdje je P podnoţje normale na ravan π.Označimo sa ⃗0 jedinični vektor normale n, a vektor poloţaja proizvolje tačke M koja pripadaravni π sa = ( x, y, z ). Projekcija vektora poloţaja r proizvoljne tačke M ravni π na vektor⃗

0 će biti p jer je ∆OMP pravougli kao na slici 5.

Prema ovome za svaku tačku na ravni π vrijedi: ⃗ ⃗ 0 = pDobijena jednačina na ravni napisana u vektorskom obliku zove se normalni oblik jednačine

ravni jer u njoj dolaze do izraţaja ⃗0 normale ⃗.U skalarnom obliku pomenuta jednačina glasi: x + y + z – p = 0

Slika 5


7/31

6

3. Opšti oblik jednačine ravni

Opšti oblik jednačine ravni glasi: Ax + By + Cz + D = 0 (*) ( D je slobodan član )Da bismo pokazali da jednačina (*) predstavlja ravan potrebno je da uvedemo nove veličine ato su: normalni vektor

⃗ = ( A, B, C ) ravni π takav da su mu A, B i C projekcije na

koordinatne ose i vektor poloţaja = ( x, y, z ) proizvoljne tačke M( x, y, z ), onda za takouvedene vektore pomenuta jednačina se moţe napisati u obliku: ⃗ ⃗ + D = 0 (**) što predstavlja jednačinu ravni.Ukoliko opštu jednačinu ravni (*), odnosno jednačina ( ** ) podjelimo sa │⃗│==√ , dobit ćemo tu jednačinu ravni napisanu u normalnom obliku:

= 0 ili ⃗⃗ ⃗ + ⃗ = 0 (***)TakoĎer vrijedi:

cos

= ⃗ , cosβ = ⃗ , cosγ = ⃗ , p = - ⃗ Predznak + ili – ispred⃗ │zavisi od znaka slobodnog člana D sa tim da je p uvijek veće od 0. Pogledajmo kako se ponaša ravan u Dekartovom koordinatnom sistemu u slučaju da su nekiod koeficijenata u opštoj jednačini ravni (*) jednaki nuli.

1. Jedan koeficijent je jednak nuli.

a) Za D = 0 dobije se jednačina ravni Ax + By + Cz = 0, koja prolazi kroz koordinatni početak jer koordinate početka O ( 0, 0, 0 ) zadovoljavaju navedenu jednačinu ( slika 6 ).

b) Za C = 0 dobije se jednačina ravni Ax + By + D = 0. U ovom slučaju je cosγ = ⃗ = 0 pa je vektor ⃗ normalan na osu OZ a ravan paralelna sa osom OZ ( slika 7 ).

c) Za B = 0 dobije se jednačina ravni Ax + Cz + D = 0 , koja je paralelna osi OY jer jecosβ=0 ( slika 8 ).

d) Za A = 0 dobije se jednačina ravni By + Cz + D = 0, koja je paralelna sa osom OX jer jecosα = 0 ( slika 9 ).

Slika 6 Slika 7


8/31

7

2. Dva koeficijenta su jednaka nuli.

a) Za D = C = 0 dobije se jednačina ravni Ax + By = 0, koja je normalna na ravan XOY i prolazi kroz koordinatni početak jer je cosγ = 0 i p = 0. Drugim riječima ova ravan prolazi kroz osu OZ ( slika 10 ).

Za druga dva slučaja kada je D = B = 0 i D = A = 0, dobit će se ravan koja prolazi krozosu OY odnoso OX jer je uz p = 0 u prvom slučaju cosβ=0, a u drugom cosα = 0.

b) Kada su dva koeficijenta uz tekuće koordinate jednaka nuli, tada se mogu pojaviti

slučajevi: Za B = C = 0 jednačina ( * ) svodi se na oblik Ax + D = 0. Pod tim uslovom jecosβ = cosγ = 0, te je vektor ⃗ kolinearan sa vektorom ⃗ , a ravan paralelna sakoordinatom ravni YOZ i si ječe osu OX u tački koor dinata ( ) ( slika 11).

3. Tri koeficijenta jednaka nuli

Ovaj slučaj se ne moţe desiti.

Slika 8 Slika 9

Slika 10 Slika 11


9/31

8

4. Skalarni oblik jednačine ravni

Iz pretpostavki da pravac vektora ⃗0 obrazuje sa koordinatnim osama x, y i z kosinuse uglovato jest ⃗0 = cos(α, β, γ ) i da vektor poloţaja ima koordinate ( x, y, z ) proizašle su sljedećeteoreme:

Teorema :

Jednačina ravni normalna na jedinični vektor ⃗0 i na odstojanju p > 0 od koordinatnog početka je: xcosα + ycosβ + zcosγ – p = 0Dokaz:

S obzirom da svaka jednačina oblika ⃗0 - p = 0 predstavlja jednačinu ravni slijedi da

⃗0 = x

cosα + y

cosβ + z

cosγ

⇒ x

cosα + y

cosβ + z

cosγ – p = 0

Ovaj oblik se naziva Heseov ili skalarni oblik jednačine ravni.

5. Segmentni oblik jednačine ravni

Ako ravan Ax + By + Cz + D = 0 nije paralelna ni sa jednom koordinatnom osom kao na slici

12 tada ona od koordinatnih osa odsjeca odsječke:

l = , m = , n = , pa se jednačina ravni moţe napisati u takozvanom segmentomobliku

Slika 11


10/31

9

6. Uslov paralelnosti i normalnosti dvije ravni

U slučaju da su ravni A1x + B1y + C1z + D1 = 0 i A2x + B2y + C2z + D2 = 0 paralelne tada suim normalni vektori ⃗1 = A B C i ⃗2 = A B C kolinearni, pa su imodgovarajuće koordinate proporcionalne, tj.

Ako su dvije ravni meĎusobno normalne tada su i njihovi normalni vektori ⃗1 = ABC i ⃗2 = A B C meĎusobno normalni pa im je skalarni proizvod jednak nuli tj.

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

7.

Ugao izmeĎu dvije ravniDvije ravni u opštem slučaju sijeku se i presjek im je prava. Tom prilikom obrazuju četri

prostorna ugla od kojih su dva i dva jednaka. Za ugao presjeka dvije ravni uzima se ugao koji

zaklapaju njihovi normalni vektori ⃗1 = A B C i ⃗2 = A B C . Prema definicijiugla koji čine dva vektora biće:

Cosφ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = ± Ako uzmemo znak + dobit ćemo ugao φ, a ako uzmemo znak – dobit ćemo njemusuplementan ugao ( 180º - φ ). Pod uglom dvije ravni podrazumijevat ćemo manji od ova dva.

8. Pramen ravni

Neka su dvije ravni date jednačinama opšteg vektorskog oblika: ⃗ ⃗ 1 – D1=0, ⃗ ⃗ 2 – D2=0 (1)Ako normalni vektori ⃗1 i ⃗2 nisu kolinearni tj. ravni nisu paralelne, one će se sjeći i krozliniju njihovog presjeka moţe se povući jedna tzv. porodica ravni. Pod pramenom ravni

podrazumijeva se skup ravni koje prolaze kroz liniju presjeka ravni.

Ako je M jedna proizvolja tačka na liniji presjeka ravni (1), tada će vektor poloţaja r ovetačke zadovoljavati jednačine (1), a isto tako zadovoljavat će jednačinu: ⃗ ⃗ 1 + D1+λ( ⃗ ⃗ 2 + D2 ) = 0 ( 2 ), gdje je λ proizvoljan realni skalar koji varira u intervaluλ { }. Prema tome, jednačina ( 2 ) predstavljat će jednačinu traţenog pramenaravni ( 1 ) i moţe se napisati i u obliku: ⃗ ( ⃗ 1 + λ ⃗ 2 ) + ( D1 + λ D2 ) = 0.Analitički oblik jednačine pramena ravni glasi:

A1x + B1y + Cz + D1 + λ

( A2x + B2y + Cz + D2 ) = 0


11/31

10

9. Rastojanje date tačke od ravni

Tačka M1 ( x1, y1, z1 ) ne leţi na ravni π, pa njene koordinate neće zadovoljavati jednačinuravni: ⃗0 = p.

Da bismo našli rastojanje tačke M1 od ravni π, povući ćemo kroz datu tačku M1 normalu na

ravan π i orijentisati je kao normalu ⃗ = ⃗ . Duţ orijentisane normale spuštene iz tačke M1na ravan π označit ćemo sa P. U tom slučaju ćemo imati:

⃗ 1 = │⃗ 1 ⃗0 = d ⃗0 p ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗0 =

1 = ⃗ + ⃗ 11 = ⃗ + d ⃗0 ⃗01 ⃗0 = ⃗ ⃗0 + d

1 ⃗0 = p + dPrema tome, rastojanje date tačke od date ravni glasi:d = ⃗ 1 ⃗ 0 – p

MeĎutim ako je jednačina ravni data u opštem obliku onda rastojanje d glasi:

d =

Ako tačka M1 i koordinatni početak O leţe na raznim stranama ravne π, kao na slici 12, onda

je d 0, a u protivnom slučaju je d 0.

Slika 12


12/31

11

10. Jednačina ravni kroz datu tačku

Neka je M1 ( x1, y1, z1 ) data tačka u ravni π ( M1 π ) sa vektorom poloţaja 1= iM proizvoljna tačka te ravni sa vektorom poloţaja = . Vektor ( – 1 ) leţi u ravni π i normalan je na vektor

⃗ =

, pa je njihov skalarni proizvod : (

⃗

–

⃗ 1)

⃗ = 0 ( * ).

I obratno ako vrijedi ( * ) tada tačka M leţi u ravni π. Dakle jednačina ravni koja prolazi kroztačku M1 u skalarnom obliku glasi:

A( x - x1 ) + B( y – y1 ) + C ( z – z1 ) = 0

MeĎutim navedenom jednačinom ravan nije potpuno odreĎena jer se dvije razmjere koeficijenata A, B i C mogu uzeti proizvoljno.

Slika 13


13/31

12

11. Jednačina ravni kroz tri tačke

Ako su date tri nekolinearne tačke T1 ( x1, y1, z1 ), T2 ( x2, y2, z2 ) i T3 ( x3, y3, z3 ) koje pripadaju ravni π a čiji su vektori poloţaja 1= , 2= i 3=.Te tri tačke u potpunosti odreĎuju jednu ravan. Ako uvedemo jednu proizvoljnu tačku T savektorom poloţaja = kao na sl. 14, tada dobijemo komplanarne1 vektore ( – 1 ),(2 – 1 ), ( 3 – 1 ) čiji je proizvod jednak nuli. Dakle vektorski oblik jednačine ravni kroz tritačke glasi:

( ⃗ – ⃗ 1 ) [⃗ – ⃗ ⃗ – ⃗ ] = 0Ili u skalarnom obliku:

Slika 14

1 Komplanarni vektori su oni koji leže na istoj ravni.


14/31

13

o PRAVA

1. Prava

Prava je jedan od osnovnih elemenata geometrije i ne definiše se već se njene osobine dajuaksiomima a to su:

1. Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj2. Svaka prava sadrţi najmanje dvije zajedničke tačke 3. Dvije tačke su uvijek kolinearne

Poloţaj prave u Dekartovom koordinatnom sistemu moguće je odrediti, kao što je bilomoguće odrediti i poloţaj ravni, sluţeći se pri tome različitim geometrijskim elementima,odnosno raznim geometrijskim veličinama. Odatle i mnoge mogućnosti analitičkih prikaza

jedne te iste prave.

2. Opšti oblik jednačine prave

Prava L u prostoru moţe biti odreĎena kao presjek bilo koje dvije ravni π1 i π2 koje prolazetom pravom. U tom slučaju na pravoj L leţe sve one tačke prostora koje leţe u obje ravni:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Pomenuti sistem jednačina odreĎuje pravu u prostoru. Pri tome mora biti ispunjen uslov danjihovi normalni vektori ⃗1 i ⃗2 nisu kolinearni. Ovaj sistem jednačina se zove opšta jednačina prave.

Slika 15


15/31

14

3. Parametarski oblik jednačine prave

Neka je u prostoru data neka prava L koja sadrţi tačku M1 ( x1, y1, z1 ) čiji je vektor poloţaja1. Pored toga neka je dat i neki vektor = ( p, q, s ) koji odreĎuje smjer te prave kao na slici16. Ako je sada M ( x, y, z ) bilo koja tačka te prave, vektora poloţaja

1, tada je vektor

⃗ ││ tj. ⃗ – ⃗ 1 = λ ⃗ ili

⃗ = ⃗ 1 + λ ⃗ ,što predstavlja vektorsku jednačinu prave u parametarskom obliku.

Slika 16


16/31

15

4. Jednačina prave kroz dvije date tačke

Neka je prava L u prostoru odreĎena kao spojnica dvije tačke M1 ( x1, y1, z1 ) i M2 ( x2, y2, z2 )kao na sl. 17.

1 2

U ovom slučaju će vektor ⃗1⃗2 = ⃗ 2 – 1 predstavljati vektor smjera ove prave, pa je tako problem analitičkog odreĎivanja prave koja prolazi kroz dvije tačke M1 i M2 sveden na slučajkoji smo imali u parametarskom obliku jednačine prave ( 3 ) pa prema tome, jednačina praveL prema relaciji, ⃗ = ⃗ 1 + λ ⃗ pomenutoj u 3. Parametarsk i oblik jednačine prave, ćeglasiti:

⃗ = ⃗ 1 + λ( ⃗ 2 – ⃗ 1).

Slika 17


17/31

16

Ovoj jednačini je ekvivalentan sistem skalarnih jednačina:

x = x1 + λ( x2 – x1 )

y = y1 + λ( y2 – y1 )

z= z1 + λ( z2 – z1 )Ako eliminišemo parametar λ dobit ćemo jednačinu: = =

5. Ugao izmeĎu dvije prave

Ako su date dvije prave L1 i L2 koje su definisane jednačinama :

= = , = = koje su orjentisane kao njihovi korespondentni vektori 2 :

a1 = i a2 = .Ugao izmeĎu tih pravi je ugao izmeĎu vektora 1 i 2 čiji je zajednički početak ukoordinatnom početku.

2 Vektori kojima se pravac podudara sa datom pravom.

Slika 18


18/31

17

Ako je (1, 2 ) = onda je :cos = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

formula za izračunavanje ugla, odnosno:

cos = 6. Rastojanje tačke od prave

Rastojanjem date tačke M2 od date prave L1 naziva se udaljenost te tačke od njene normalne projekcije M na datoj pravoj. Da bismo odredili ovu odaljenost d uzimamo da je = ⃗ vektor smjera date prave. Tada će rastojanje d biti visina paralelograma čije su stranicevektori = ⃗ i ⃗ , a površina tog paralelograma će biti: p = │⃗ │( 1 ).

Prema elementarnoj geometriji formula za površinu paralelograma je p = │ │ d ( 2 ). Izrelacija 1 i 2 dobijamo da je d =

⃗ ⃗ ⃗ ili pomoću vektora poloţaja r1 i r2 tačaka M1 i M2 biće:

d = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Slika 19


19/31

18

ZADACI

1. Napisati jednačinu u ravni α koja sadrži tačku A (2, 3, 0) i normalna je na vektor ⃗ , gdje je B (1, 1, -1) i C (0, 0, 3).

Rješenje:

Vektor normale ravni α je kolinearan vektoru BC⃗ = (-1, -1, 4) = - (1, 1, -4).Znači, moţemo uzeti da je vektor normale ravni α vektor

⃗ = (1, 1, -4)Jednačina ravni α koja sadrţi tačku A i normalna je na vektor ⃗ je 1(x - 2) + 1(y - 3) - 4(z -0) = 0, tj.

α : x + y – 4z – 5 = 0.

2. a) Napisati jednačinu u ravni α koja sadrži tačke A (-1, 6, 3), B (3, -2, -5) i C (0, 1, 0).

b) Ispitati da li tačke D(1, 1, 3) i E(1, 5, 0) pripadaju ravni α.

c) Odrediti realan parametar p tako da tačka F(1, p , 3) pripada ravni α.

Rješenje :

a) Kako tačke A, B i C pripadaju ravni α, vektor normale te ravni je normalan na vektore ⃗ = (4, -8, -8) i

⃗ = (1, -5, -3). Vektor normale ravni α je kolinearan sa vektorom

⃗ × ⃗ = ⃗ = (-16, 4, -12) = -4(4, -1, 3).Moţemo uzeti da je vektor normale ravni α

⃗ = (4, -1, 3).Jednačina ravni α koja sadrţi tačku A i ima vektor normale ⃗ je 4(x + 1) - 1(y - 6) + 3(z - 3)= 0, tj.

α : 4x – y + 3z + 1 = 0.


20/31

19

b) Uvrštavajući koordinate tačke D u jednačinu ravni α imamo da je

4 - 1 + 9 + 1 = 13 ≠ 0,

tako da tačka D ne pripada ravni α. Analogno, za tačku E imamoda je 4 - 5 + 0 + 1 = 0 i tačka E pripada ravni α.

c) Kako tačka F treba da pripada ravni α, koordinate tačke F treba da zadovoljavaju jednačinu

ravni, tj. treba da vaţi4 - p + 9 + 1 = 0,

Rješavanjem navedene jednačine dobijamo da je p = 14, tj. traţena tačka jeF(1, 14, 3).

3. Date su ravni β : 4x – y + 3z – 1= 0 i γ : x – 5y – z – 2 = 0 . Napisati jednačinu ravni αkoja sadrži koordinatni početak i presjek ravni β i γ.

Rješenje :

Prvo ćemo pronaći dvije tačke koje se nalaze u ravni β i ravni γ. Traţene tačke dobijamorješavanjem sistema

4x – y + 3z – 1 = 0

x – 5y – z – 2 = 0

Uzimajući npr. da je y = 0 i uvrštavanjem u sistem dobijamo da je x = 1 i z = 1, tj. jednazajednička tačka je

A(1, 0, 1).

Ako uzmemo da je y = 7, dobijamo drugu tačku

B(17, 7, 20).

Sad treba odrediti jednačinu ravni koja sadrţi tačke A, B i koordinatni početak O. Vektornormale ravni α je kolinearan vektorskom proizvodu vektora ⃗ = (1, 0, 1) i vektora⃗ = (17, 7, 20)⃗ × ⃗ = ⃗ = (7, 3, 7).Znači, vektor normale ravni α je

⃗ = (7, 3, 7) a traţena jednačina ravni

koja sadrţi koordinatni početak i presjek ravni β i γ je 7x + 3y + 7z = 0.


21/31

20

4. Napisati jednačinu ravni koja

a) sadrži tačku M (-2, 7, 3) i paralelna je sa ravni α: x – 4y + 5z – 1 = 0 .

b)

sadrži koordinatni početak i normalna je na ravni β: 2x – y + 5z + 3 = 0 i γ: x + 3y

– z – 7 = 0 .

c) sadrži tačke M (0, 0, 1) i N (3, 0, 0) i obrazuje ugao sa xOy ravni. Rješenje :

a) Kako traţena ravan δ treba da bude paralelna sa datom ravni α, vektori normala su imkolinearni, tako da moţemo uzeti da je⃗ = ⃗ = (1, -4, 5).

Jednačina ravni δ koja sadrţi tačku M (-2, 7, 3) i ima vektor normale ⃗ je :δ : x - 4y + 5z + 15 = 0.

b) Ravan ε je normalna na ravni β i γ, tako da je vektor normale ravni ε kolinearanvektorskom proizvodu vektora ⃗ = (2, -1, 5) i ⃗ = (1, 3, -1):

⃗ ×

⃗ =

⃗

= (-14, 7, 7) = -7(2, -1, -1).

Znači, vektor normale ravni ε je ⃗ = (2, -1, -1).Traţena jednačina ravni ε, sa vektorom normale ⃗ , koja sadrţi koordinatni početak je

ε: 2x – y – z = 0.

c) Neka je θ: Ax + By + Cz + D = 0 traţena ravan. Vektor normale ravni θ je ⃗ = (A, B,C). Kako tačka M (0, 0, 1) pripada traţenoj ravni θ, M zadovoljava njenu jednačinu tj. C + D = 0.

Analogno, uvrštavajući u jednačinu ravni θ tačku N (3, 0, 0), dobijamo da vaţi

3A + D = 0.


22/31

21

Odavde slijedi da je D = -3A i C = 3A tako da je ⃗ = (A, B, 3A). Ravan θ zaklapa ugao sa ravni xOy tako da je ugao izmeĎu odgovarajućih vektora normala jednak . Vektornormale xOy ravni je ⃗ = (0, 0, 1), znači,

cos = |⃗⃗ | · ⃗⃗ .Kako je ⃗ · ⃗ = (A, B, 3A) · (0, 0, 1) = 3A, |⃗ | = √ = √ , ⃗ = 1 i cos

= uvrštavanjem u gornju jednakost dobijamo da je B2 = 26A2 , tj.B = ± √ A

Dakle, C = 3A, D = -3A i B = ±

√ A. Uvrštavanjem u jednačinu ravni θ, dobijamo da je

traţena ravan

θ: Ax + ± √ Ay + 3Az – 3A = 0.Kako je vektor normale ravni ne nula vektor imamo da je A ≠ 0 i dobijamo dvije ravnikoje zadovoljavaju navedene uslove

θ 1: x + √ y + 3z – 3 = 0 i θ 2: x - √ y + 3z – 3 = 0.5.

Date su ravni α: 2x +p

y + z = 3 i β: 6x + 8y + 3z = 15. Odrediti realan parametarp

tako da

a) ravan α bude paralelna sa ravni β.

b) ravan α bude normalna na ravan β.

Rješenje :

a) S obzirom na to da ravan α treba da bude paralelna sa ravni β odgovarajući vektorinormala treba da budu kolinearni, tj. postoji m R \{0} tako da je⃗ = m · ⃗

(6, 8, 3) = m(2, p, 1) ⇔ (6, 8, 3) = (2m, mp, m). N osnovu definicije jednakosti dva vektora dobijamo sistem jednačina :

6 = 2m, 8 = mp, 3 = m

čijim rješavanjem dobijamo da je

p = .


23/31

22

b) S obzirom na to da ravan α treba da bude normalna na ravan β, vektori njihovih normalatreba da budu normalni, tj.

⃗

· ⃗ = 0, odnosno 12 + 8 p + 3 = 0.

Rješavajući navedenu jednačinu dobijamo da je

p = .6. Diskutovati meĎusobni položaj ravni α: 2x + 3y – z = 6 , β: ax – 3y + 2z = 5 i γ: 4x – 3y+ 3z = b u zavisnosti od vrijednosti realnih parametara a i b .

Rješenje :

Tri date ravni posmatramo kao sistem jednačina :

2x + 3y – z = 6

ax – 3y + 2z = 5

4x – 3y + 3z = b

Posmatrajmo determinantu datog sistema :

D = = 6(1 – a).Za a ≠ 1 i svako b R sistem jednačina ima jedinstveno rješenje tako da ravni α, β i γ imaju

jednu zajedničku tačku. Za a = 1 elementarnim transformacijama sistem svodimo na ekvivalentan sistem :

x – 3y + 2z = 5

9y – 5z = -4

0 = b – 16

Za b ≠ 16 sistem jednačina je nemoguć, tako da ravni nemaju zajedničkih tačaka. Pošto je a =1 imamo da je ⃗ = (2, 3, -1), ⃗ = (1, -3, 2) i ⃗ = (4, -3, 3),i parovi vektora ⃗ i ⃗ , ⃗ i ⃗ , ⃗ i ⃗ nisu kolinearni tako da se svake dvije ravni sijekuduţ prave i te tri prave su paralelne.

Za b = 16 sistem je jednostruko neodreĎen tako da se ove tri ravni sijeku duţ jedne prave i pripadaju jednom pramenu.


24/31

23

7. a) Napisati jednačinu prave koja sadrži tačku A(2, -1, 4) i ima vektor pravca ⃗ : (1, 4,-5).

b) Napisati jednačinu prave koja sadrži tačke A(1, 2,-1) i B(0, 1, 1).

c) Napisati jednačine koordinatnih osa.

Rješenje :

a) Kanonički oblik jednačine prave koja sadrţi datu tačku A(2, -1, 4) i ima dati vektor pravca: (1, 4, -5) je : p :

= = . b) Vektor pravca prave p je kolinearan vektoru ⃗ (-1, -1, 2). Kako npr. tačka A(1, 2, -1) pripada traţenoj pravi, dobijamo da je traţena jednačina prave :

p : = = .

c) Vektor pravca x-ose je = (1, 0, 0). Koordinatni početak pripada x-osi tako da je traţena jednačina : = = .Analogno, vektor pravca y-ose je = (0, 1, 0), a vektor pravca z-ose je ⃗ = (0, 0, 1). Kakokoordinatni početak pripada y-osi i z-osi jednačine y-ose i z-ose su redom :

=

=

i

=

=

.

8. a) Napisati jednačinu prave p koja sadrži tačku A i paralelna je vektoru ⃗ , gdje jeA(1, 1, 1), B(1, 2, 3) i C(5, 0, 2).

b) Odrediti realan parametar a , tako da tačka D(-3, a + 2, 2) pripada pravoj p odreĎenoj u zadatku pod a).


25/31

24

Rješenje :

a) Vektor pravca prave p je kolinearan vektoru BC⃗ = (4, -2, -1). Znači za vektor pravca prave p moţemo uzeti vektor:

= (4, -2, -1).Jednačina prave koja sadrţi tačku A(1, 1, 1) i ima vektor pravca = (4, -2, -1) je : p :

= = . b) Parametarski oblik jednačine prave p je :

p : x = 4t + 1, y = -2t + 1, z = -t + 1.

Kako tačka D treba da pripada pravoj p, njene koordinate moraju da zadovoljavaju jednačinu prave p, tj. treba da vaţi :

-3 = 4t + 1, a + 2 = -2t + 1, 2 = -t + 1.

Rješavanjem sistema dobijemo da je t = -1 i a = 1, pa je traţena tačka :

9. Data je tačka A(-1, -4, 4) i ravan : 2x + 5y – 3z = 4.a) Odrediti jednačinu prave n koja sadrži tačku A i normalna je na ravan α.

b) Odrediti presjek prave α i prave n.

c) Izračunati rastojanje tačke A od ravni α.

d) Odrediti tačku A1 simetričnu tački A u odnosu na ravan α.

Rješenje :

a) Uvrštavanjem koordinata tačke A(-1, -4, 4) u jednačinu ravni α jednostavno se provjeravada A ne pripada ravni α. Vektor pravca prave n je kolinearan vektoru normale ravni α, tj. ⃗ =⃗ = (2, 5, -3). Jednačina prave n koja sadrţi tačku A i ima vektor pravca ⃗ je :

n :

=

=

.


26/31

25

b) Neka je T(x, y, z) tačka koja pripada ravni α i pravoj n. Uvrštavanjem parametarskogoblika jednačine prave n

n : x = 2t – 1, y = 5t – 4, z = -3t + 4

u jednačinu ravni α, dobijamo : 2(2t – 1) + 5(5t - 4) – 3(-3t + 4) = 4.

Rješenje date jednačine je t = 1. Uvrštavanjem parametra t = 1 u parametarski oblik jednačine prave n dobijamo da je x = 1, y = 1 i z = 1. Znači traţena tačka je :

T(1, 1, 1).

c) Rastojanje tačke A od ravni α jednako je intenzitetu vektora ⃗ , tj.d(A, α) =

⃗ =

=

√ .

d) Kako tačka A1(a, b, c) treba da bude simetrična tački A i kako je T projekcija tačke A naravan α, imamo da je tačka T sredina duţi AA1. Koordinate tačke T zadovoljavaju :

1 = , 1 = , 1 = .

Rješavanjem navedenog sistema dobijemo : a = 3, b = 6 i c = -2, tako da je traţena tačka:A(3, 6, -2).

10. Date su prave p :

=

=

i q :

=

=

. Napisati jednačinu ravni α kojuodreĎuju prave p i q . Rješenje :

Vektori pravaca pravih p i q su = (1, 1, 0) i = (2, 2, 0), redom. Kako je = 2 i tačka P(0,2, 1) prave p ne pripada pravoj , prave p i q su paralelne. Da bi pronašli vektor normale ravniα treba pronaći još jedan vektor koji se nalazi u toj ravni a koji nije paralelan sa vektorom .Traţeni vektor je ⃗ = (2, 0, 1), gdje je P(0, 2; 1) p i Q(2, 2, 0) q. Vektor normale ravni αkolinearan je vektorskom proizvodu vektora i ⃗


27/31

26

× ⃗ = ⃗ = (-1, -1, -2).

Znači, vektor normale ravni α je : ⃗ = (1, 1, 2).Kako prava p pripada traţenoj ravni α i kako je P(0, 2, -1) tačka prave p, tačka P se nalazi i uravni α. Znači, traţena ravan sadrţi tačku P i ima vektor normale ⃗ , pa je njena jednačina :

α: x + y + 2z = 0.


28/31


29/31

28

LITERATURA

Knjige:

- prof. dr. sc. Nikica Uglešić ( 1985 ): Viša matematika I, Zagreb - dr Tatjana Grbić ( 2008 ): Zbirka rešenih zadataka iz matematike, Novi Sad

Web stranice:

- http://matematika.fkit.hr/staro/matematika_1/vjezbe/3%20-

%20vektori%20i%20analitika.pdf ( 09.01.2016 )

- http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/pred22.pdf ( 09.01.2016 )

- http://www.ttf.unizg.hr/b-news/news_upload_files/2009/vijest_09-11-

2009_4af83ac01d720/ANALITICKA%20GEOMETRIJA%20-%20teorija%20-

%202.dio.pdf ( 14.11.2015 )

- http://mapmf.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/Otkrice%20analiticke%20geometrije.pdf ( 15.02.2016 )

- http://alas.matf.bg.ac.rs/~vsrdjan/files/geometrija6.pdf (

- http://www.etf.ba/knjige/LAG/Mitrinovic%20Mihajlovic%20Vasic/4%20dio.pdf

(17.03.2016)

- http://www.matf.bg.ac.rs/p/files/34-Geometrija_Dragomir_Lopandic.pdf (17.03.2016)

Slike:

Slika 1 - www.matematika.ba ( 15.02.2016 )

Slika 2 - https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat ( 15.02.2016 )

Slika 3 - eulerarchive.maa.org ( 15.02.2016 )

http://matematika.fkit.hr/staro/matematika_1/vjezbe/3%20-%20vektori%20i%20analitika.pdfhttp://matematika.fkit.hr/staro/matematika_1/vjezbe/3%20-%20vektori%20i%20analitika.pdfhttp://matematika.fkit.hr/staro/matematika_1/vjezbe/3%20-%20vektori%20i%20analitika.pdfhttp://matematika.fkit.hr/staro/matematika_1/vjezbe/3%20-%20vektori%20i%20analitika.pdfhttp://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/pred22.pdfhttp://www.ttf.unizg.hr/b-news/news_upload_files/2009/vijest_09-11-2009_4af83ac01d720/ANALITICKA%20GEOMETRIJA%20-%20teorija%20-%202.dio.pdfhttp://www.ttf.unizg.hr/b-news/news_upload_files/2009/vijest_09-11-2009_4af83ac01d720/ANALITICKA%20GEOMETRIJA%20-%20teorija%20-%202.dio.pdfhttp://www.ttf.unizg.hr/b-news/news_upload_files/2009/vijest_09-11-2009_4af83ac01d720/ANALITICKA%20GEOMETRIJA%20-%20teorija%20-%202.dio.pdfhttp://www.ttf.unizg.hr/b-news/news_upload_files/2009/vijest_09-11-2009_4af83ac01d720/ANALITICKA%20GEOMETRIJA%20-%20teorija%20-%202.dio.pdfhttp://www.ttf.unizg.hr/b-news/news_upload_files/2009/vijest_09-11-2009_4af83ac01d720/ANALITICKA%20GEOMETRIJA%20-%20teorija%20-%202.dio.pdfhttp://mapmf.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/Otkrice%20analiticke%20geometrije.pdfhttp://mapmf.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/Otkrice%20analiticke%20geometrije.pdfhttp://mapmf.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/Otkrice%20analiticke%20geometrije.pdfhttp://mapmf.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/Otkrice%20analiticke%20geometrije.pdfhttp://alas.matf.bg.ac.rs/~vsrdjan/files/geometrija6.pdfhttp://www.etf.ba/knjige/LAG/Mitrinovic%20Mihajlovic%20Vasic/4%20dio.pdfhttp://www.matf.bg.ac.rs/p/files/34-Geometrija_Dragomir_Lopandic.pdfhttp://www.matematika.ba/https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttps://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttp://www.matematika.ba/http://www.matf.bg.ac.rs/p/files/34-Geometrija_Dragomir_Lopandic.pdfhttp://www.etf.ba/knjige/LAG/Mitrinovic%20Mihajlovic%20Vasic/4%20dio.pdfhttp://alas.matf.bg.ac.rs/~vsrdjan/files/geometrija6.pdfhttp://mapmf.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/Otkrice%20analiticke%20geometrije.pdfhttp://mapmf.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/Otkrice%20analiticke%20geometrije.pdfhttp://www.ttf.unizg.hr/b-news/news_upload_files/2009/vijest_09-11-2009_4af83ac01d720/ANALITICKA%20GEOMETRIJA%20-%20teorija%20-%202.dio.pdfhttp://www.ttf.unizg.hr/b-news/news_upload_files/2009/vijest_09-11-2009_4af83ac01d720/ANALITICKA%20GEOMETRIJA%20-%20teorija%20-%202.dio.pdfhttp://www.ttf.unizg.hr/b-news/news_upload_files/2009/vijest_09-11-2009_4af83ac01d720/ANALITICKA%20GEOMETRIJA%20-%20teorija%20-%202.dio.pdfhttp://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/pred22.pdfhttp://matematika.fkit.hr/staro/matematika_1/vjezbe/3%20-%20vektori%20i%20analitika.pdfhttp://matematika.fkit.hr/staro/matematika_1/vjezbe/3%20-%20vektori%20i%20analitika.pdf


30/31

29

Datum predaje maturskog rada: ___________________ M.P.

Mišljenje nastavnika-mentora o radu:

Ocjena maturskog rada: ____________ ( )

Datum odbrane maturskog rada: ______________

Komisija u sastavu: Potpis članova komisije:

1. Predsjednik: ____________________ ______________________________

2. Ispitivač: ____________________ ______________________________

3. Stalni član: ____________________ ______________________________

Pitanja na usmenom obrazloţenju rada:

1. _______________________________________________________________________

2. _______________________________________________________________________

3. _______________________________________________________________________

Ocjena usmenog obrazloţenja rada: ________________ ( )

Ocjena rada: ________________ ( ) M.P.


31/31

Download - Maturski rad: Analitička geometrija u prostoru

Top Related