FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA AERONÁUTICA
INGENIERÍA AERONÁUTICA: MATEMÁTICA III Página 1
MATEMÁTICA III
SÍLABO
I. DATOS GENERALES:
1.1 ASIGNATURA : MATEMÁTICA III
1.2 CÓDIGO : 3301-33201
1.3 PRE-REQUISITO : 3301-33108
1.4 HORAS SEMANALES : 6 HORAS
1.4.1 TEORÍA : 4 HORAS
1.4.2 PRÁCTICA : 2 HORAS
1.5 N° DE CRÉDITOS : 5 CRÉDITOS
1.6 CICLO : III CICLO
1.7 TIPO DE CURSO : OBLIGATORIO
1.8 DURACIÓN DEL CURSO : 18 SEMANAS EN TOTAL
1.9 CURSO REGULAR : 17 SEMANAS
1.10 EXAMEN SUSTITUTORIO
: 1 SEMANA
II. DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA:
La asignatura de Matemática III es de naturaleza teórica-práctica y constituye una de
las bases para que el alumno desde un comienzo tenga el conocimiento necesario de
la parte matemática.
En otras palabras, el propósito del curso consiste en orientar y proporcionar al alumno
los conocimientos fundamentales para que pueda hacer investigación y a la vez,
desarrollar sus capacidades intelectuales y creativas.
Es parte fundamental del curso que el alumno se motive desde el comienzo de la
carera, por medio de la trasmisión de conocimientos y experiencia de la vida real, para
que investigue y se sienta inmerso en el contenido del currículo y perfil de la carrera,
tanto en los aspectos cognitivo y fundamento matemático.
El curso comprende seis (06) unidades de aprendizaje:
I. Funciones vectoriales de variable real. II. Funciones de varias variables.
III. Derivadas parciales. IV. Elementos de la teoría de campos. V. Integrales múltiples. Integrales de línea VI. Ecuaciones diferenciales.
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III. COMPETENCIA
Conoce los principios, teorías y modelos en las que se fundamenta el cálculo de varias variables y las ecuaciones diferenciales, aplica los conocimientos adquiridos a diversos problemas de ingeniería.
Como actitud, logra el pensamiento y razonamiento lógico al aplicar el cálculo de varias variables y modelar matemáticamente problemas de ingeniería.
Como destreza, plantea y resuelve diversos problemas de ingeniería aplicando el cálculo de varias variables y las ecuaciones diferenciales.
IV. CAPACIDADES
1. Calcula el dominio y rango de funciones vectoriales. Calcula curvatura y torsión así como longitud de arco. Determina el triedro móvil en cada punto de una curva.
2. Identifica las superficies cuádricas. Grafica superficies cilíndricas. Determina
el dominio de funciones de varias variables. Calcula límites de funciones de varias variables y determina su continuidad.
3. Calcula derivadas parciales. Calcula derivadas parciales de orden superior.
Calcula el diferencial y lo aplica a cálculos aproximados. Calcula derivadas direccionales y las interpreta geométrica y físicamente. Deriva con la regla de la cadena y calcula el diferencial de una función aplicándolo a cálculos aproximados. Determina planos tangentes a una superficie. Optimiza empleando el cálculo de varias variables.
4. Calcula el gradiente, la divergencia y el rotacional. Y los aplica a problemas de
ingeniería.
5. Calcula integrales iteradas e integrales múltiples. Calcula el Jacobiano de una transformación Realiza cambio de coordenadas en integración múltiple. Aplica las integrales múltiples a diversos problemas de ingeniería. Calcula integrales de línea aplicándolas al cálculo del trabajo. Aplica el teorema de Green en el plano. Calcula integrales de superficie
6. Resuelve ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Plantea
modelos matemáticos de situaciones reales, asocia su ecuación diferencial y la resuelve.
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V. METODOLOGÍA:
Al inicio del curso, el profesor hará la presentación introductoria del mismo y explicará el sílabo, enfatizando que promoverá la práctica, talleres, investigación y el diálogo constante con los alumnos para ayudar a que fijen y profundicen mejor los conceptos, los métodos y conocimientos que vayan adquiriendo.
Se resaltará la importancia de la participación espontánea de los alumnos en las clases teóricas y prácticas del curso y que como estudiantes universitarios, no sólo deben limitarse a conocer lo tratado en clase, sino que deben investigar sobre los diferentes temas tratados.
En esencia, la asignatura se desarrollará con los siguientes lineamientos metodológicos:
a) El profesor del curso, en cada clase presentará: el fundamento teórico
de los diferentes temas, siguiendo el orden que se señala en el programa analítico. Además desarrollará talleres de problemas y propiciará y estimulará la intervención de los alumnos en la clase. Dejará temas y trabajos prácticos (problemas) de diferentes niveles de complejidad, para que los alumnos investiguen y /o desarrollen en grupo o en forma personal.
b) En caso que los alumnos encuentren dificultad para resolver cualquier
problema relacionado con la asignatura, podrán acudir a realizar la respectiva consulta al profesor responsable de la asignatura.
c) Es requisito, que el alumno en todos los trabajos prácticos (problemas),
monografías, presentaciones, etc. haga uso intensivo de la Tecnología de la Información. (Ofimática para Ingenieros, Internet, Intranet, Red de la EAPIA y Correo Electrónico).
VI. EVALUACIÓN:
El Reglamento vigente de la UAP, exige la asistencia obligatoria a clases y que el profesor pase la lista de asistencia en cada clase que dicta, registrando las inasistencias, en el registro proporcionado por la Universidad. Los alumnos no podrán sobrepasar el 30% de inasistencias justificadas a las horas lectivas teóricas, ni el 20% a las prácticas para tener derecho a evaluación.
Dada la naturaleza del curso respecto a que imparte conocimientos pero además es de suma importancia la transmisión directa de la experiencia del profesor y que los alumnos participen activamente en el aula, se reitera que es de vital importancia la asistencia a clases.
La justificación de las inasistencias sólo será aceptada con el informe que pueda elevar, el Coordinador, al profesor del curso con copia al Encargado Académico de la Carrera.
Debe quedar perfectamente entendido que sólo cuando el alumno asiste a clases, gana el derecho de ser evaluado y que en todo momento estará presente la normatividad expresada en el Reglamento de la UAP.
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Para ser evaluado, el alumno debe estar al día en el pago de las cuotas, según el cronograma de pagos establecido por la Oficina de Cuentas Corrientes, información proporcionada a los alumnos al momento de matricularse.
La Modalidad de Evaluación será la siguiente:
- Trabajo Académico (TA), El Sistema de Evaluación Permanente de la UAP,
contempla las siguientes modalidades de Trabajo Académico: Participación en clase. Prácticas calificadas. Seminarios de discusión. Trabajos de investigación, experimentación u observación. Trabajos de producción. Elaboración de proyectos. Exposiciones. Trabajos de aplicación. Resolución de casos y problemas.
- Examen Parcial (EP), que consiste de una evaluación teórico - práctico de
conocimiento y donde el alumno dará sus respuestas por escrito.
- Examen Final (EF), que consiste en la evaluación teórico - práctico de conocimiento de todo el curso y donde el alumno dará sus respuestas por escrito.
La ponderación de notas que el profesor debe mantener es la siguiente:
Descripción Ponderación Porcentaje
Examen Parcial Peso 3 30%
Examen Final Peso 3 30%
Trabajo Académico Peso 4 40%
- Examen Sustitutorio (ES), que consiste en la evaluación teórico - práctico de conocimiento de todo el curso y donde el alumno dará sus respuestas por escrito.
La nota obtenida en el examen Sustitutorio, reemplazará la nota más baja que el alumno haya obtenido en su Primer Examen Parcial o en el Examen Final y de proceder el reemplazo, se recalculará la nueva nota final.
Las calificaciones de los exámenes se regirán por el sistema vigesimal.
Para aprobar una asignatura se requiere calificación mínima de 11,00 puntos.
Al establecer el promedio final, el residuo igual o superior a cinco décimas (0,5) como un punto, deberá ser considerado a favor del alumno.
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VII. PROGRAMACION DE UNIDADES TEMÁTICAS
UNIDAD 1: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL.
CAPACIDAD 1: Calcula el dominio y rango de funciones vectoriales. Calcula
curvatura y torsión así como longitud de arco. Determina el triedro móvil en cada punto de una curva.
Semana 01:
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce el concepto de función vectorial. Dominio y rango
Conoce las operaciones con funciones vectoriales: suma, producto por un escalar, producto escalar y producto vectorial
Calcula el dominio y grafica el rango de funciones vectoriales Efectúa operaciones con funciones vectoriales.
Participa activamente en clase
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo. Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje. Reflexiona sobre la importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1987
Semana 02:
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce derivadas e integrales de funciones vectoriales
Conoce curvatura, torsión y longitud de arco.
Conoce vectores tangente unitario, normal y binormal
Conoce: planos normal, osculador y rectificante.
Calcula derivadas e integrales de funciones vectoriales
Calcula curvatura, torsión y longitud de arco.
Calcula vectores tangente, normal y binormal.
Calcula planos: normal, osculador y rectificante .
Participa activamente en clase
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo. Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje. Reflexiona sobre la importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
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Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1987
UNIDAD 2: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
CAPACIDAD 2: Identifica las superficies cuádricas. Grafica superficies cilíndricas. Determina el dominio de funciones de varias variables. Calcula límites de funciones de varias variables y determina su continuidad.
Semana 03
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Reconoce las superficies cuádricas e identifica sus respectivas ecuaciones. Determina sus graficas
Conoce las superficies
cilíndricas. Reconoce sus respectivas ecuaciones.
Conoce límites y continuidad de funciones vectoriales.
Grafica las superficies cuádricas identificando sus respectivas ecuaciones.
Grafica las superficies cilíndricas y las grafica. Calcula límites y determina la continuidad de una función de varias variables.
Participa activamente en clase.
Desarrolla un espíritu
crítico y constructivo. Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje. Reflexiona sobre la importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1987
UNIDAD 3: DERIVADAS PARCIALES.
CAPACIDAD 3: Calcula derivadas parciales y direccionales. Emplea la regla de
la cadena para funciones de varias variables. Calcula derivadas direccionales y las interpreta geométrica y físicamente. Deriva con la regla de la cadena. Calcula el diferencial y lo aplica a diversos problemas. Optimiza empleando el cálculo de varias variables.
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Semana 04
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce las derivadas parciales.
Define derivadas de orden superior
Determina derivadas direccionales
Conoce la regla de la cadena
Práctica calificada Nº1
Calcula derivadas parciales de primer orden y orden superior. Calcula derivadas direccionales. Las interpreta geométrica y físicamente
Calcula derivadas empleando la regla de la cadena.
Participa activamente en clase
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo. Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje. Reflexiona sobre la importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1987
Semana 05
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce el concepto de diferencial y su aplicación a cálculos aproximados.
Define el plano tangente Conoce el concepto de extremos relativos. Determina máximos y mínimos empleando el criterio de la segunda derivada.
Calcula el diferencial y lo aplica a cálculos aproximados.
Calcula planos tangentes a una superficie
Calcula máximos y mínimos empleando el criterio de la segunda derivada
Optimiza diversos problemas empleando extremos condicionados
Participa activamente en clase
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la
importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
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Semana 06
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce diversas aplicaciones de extremos relativos. Máximos y mínimos empleando el criterio de la segunda derivada.
Reconoce los extremos condicionados.
Conoce el multiplicador de Lagrange.
Aplica el cálculo de extremos relativos a diversos problemas.
Optimiza diversos
problemas empleando el multiplicador de Lagrange para extremos condicionados
Participa activamente en clase
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra
interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la
importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1987
UNIDAD 4: ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CAMPOS.
CAPACIDAD 4: Calcula el gradiente, la divergencia y el rotacional. Y los aplica a problemas de ingeniería.
Semana 07
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce el gradiente.
Conoce la divergencia.
Conoce el rotacional.
Conoce los campos
conservativos
Determina el gradiente y aplica sus propiedades a problemas físicos y geométricos
Determina e interpreta la divergencia
Determina e interpreta el rotacional.
Reconoce los campos conservativos.
Participa activamente en clase.
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la
importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
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Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1987
UNIDAD 5: INTEGRALES MÚLTIPLES.
CAPACIDAD 5: Calcula integrales iteradas e integrales múltiples, Realiza
cambio de coordenadas en integración múltiple. Aplica las integrales múltiples a diversos problemas de ingeniería.
Semana 08
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce iteradas.
Conoce dobles.
las
las
integrales
integrales
Calcula integrales iteradas
Calcula integrales dobles sobre diversos tipos de regiones.
Participa activamente en clase.
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1987
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Semana 09
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce las integrales triples.
Determina diversas transformaciones.
Conoce el Jacobiano de una transformación.
Realiza cambio de variables en integración múltiple.
Examen Parcial
Calcula integrales triples.
Ejecuta diversas
transformaciones.
Calcula el Jacobiano de una transformación.
Elije adecuadamente un
cambio de variable en integrales múltiples y las calcula
Participa activamente en clase.
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra
interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la
importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1987
Semana 10
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce las integrales de Calcula integrales de Participa activamente en línea línea y las aplica al clase.. Conoce el teorema de cálculo de trabajo. Desarrolla un espíritu Green en el plano. Aplica el teorema de crítico y constructivo.
Green para calcular Muestra interés, integrales de línea.
disposición y auto gestiona su aprendizaje. Reflexiona sobre la importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
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Semana 11
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce las integrales de Superficie.
Conoce el teorema de la divergencia
Conoce el teorema de Stokes
Calcula integrales de superficie.
Aplica el teorema de la divergencia.
Aplica el teorema de Stokes
Participa activamente en los casos prácticos y talleres.
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1987
UNIDAD 6: ECUACIONES DIFERENCIALES.
CAPACIDAD 6: Resuelve ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
Plantea modelos matemáticos de situaciones reales, asocia su ecuación diferencial y la resuelve.
Semana 12
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce el concepto de ecuación diferencial, su orden y grado.
Conoce el concepto de solución de una ecuación diferencial.
Reconoce
las ecuaciones de variables separables
Reconoce el orden y el grado de una ecuación diferencial
Determina si una función
es solución de una ecuación diferencial dada.
Resuelve ecuaciones de variables separables
Plantea modelos que conducen a ecuaciones de variables separables
Participa activamente en clase.
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la
importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
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Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Simmons, George. ECUACIONES DIFERENCIALES Con aplicaciones y
notas históricas. Ed. McGraw -Hill 1993.
Semana 13
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce los cambios de variable.
Reconoce las ecuaciones homogéneas.
Identifica las ecuaciones reducibles a homogéneas
Resuelve ecuaciones efectuando cambios de variable.
Identifica y resuelve
ecuaciones homogéneas.
Resuelve ecuaciones no
homogéneas reduciéndolas a homogéneas mediante un adecuado cambio de variable.
Participa activamente en clase.
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la
importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Simmons, George. ECUACIONES DIFERENCIALES Con aplicaciones y
notas históricas. Ed. McGraw -Hill 1993.
Semana 14
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce las ecuaciones exactas.
Conoce los factores integrantes
Práctica calificada Nº 2
. Identifica y resuelve ecuaciones exactas.
Plantea modelos que conducen a ecuaciones exactas.
Calcula factores integrantes para ecuaciones no exactas.
Participa activamente en clase.
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
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Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Simmons, George. ECUACIONES DIFERENCIALES Con aplicaciones y
notas históricas. Ed. McGraw -Hill 1993.
Semana 15
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce las ecuaciones lineales de primer grado y de primer orden.
Conoce la ecuación de Bernoulli
Resuelve ecuaciones lineales de primer orden y de primer grado.
Plantea modelos que
conducen a ecuaciones lineales
Reconoce y resuelve una ecuación de Bernoulli
Participa activamente en clase.
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la
importancia de los temas realizando preguntas y buscando información.
Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Simmons, George. ECUACIONES DIFERENCIALES Con aplicaciones y
notas históricas. Ed. McGraw -Hill 1993.
Semana 16
Tipo de sesión: Exposición dialogada Nº de horas: 6
.CONTENIDOS CONCEPTUAL PROCEDIMIENTAL ACTITUDINAL
Conoce las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Clasifica la solución por su raíz característica
Conoce las ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden.
Resuelve ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden para raíces reales y diferentes, reales e iguales y para raíces complejas
Resuelve ecuaciones
lineales no homogéneas de segundo orden por el método de coeficientes indeterminados.
Participa activamente en clase.
Desarrolla un espíritu crítico y constructivo.
Muestra interés, disposición y auto gestiona su aprendizaje.
Reflexiona sobre la
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Fuentes de Referencia:
- Apuntes del docente.
- Simmons, George. ECUACIONES DIFERENCIALES Con aplicaciones y
notas históricas. Ed. McGraw -Hill 1993.
Semana 17:
• Examen Final
SEMANA 18:
• Examen Sustitutorio
VIII. METODOLOGÍA.
- Exposición dialogada. - Método de lectura guiada. - Método de resolución de problemas o pedagogía de la problematización. - Dinámica de grupo.
IX. MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS.
- Pizarra, mota, plumones. - Separatas del curso. - Multimedia.
X. BIBLIOGRAFÍA.
1. Edwards y Penney. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1987.
2. Hasser, N.; La Salle, J.;Sullivan, J. Análisis Matemático (tomo II) Ed. Trillas
3. Apostol, Tom. El Cálculo (tomos I y II). 2009.
4. B. P. DEMIDOVICH, 5000 Problemas de Análisis Matemático, Ed. Paraninfo, 2003
5. W.H. FLEMING, Funciones de Varias Variables, Ed. Cecsa, 1969.
6. Edwards y Penney. Ecuaciones Diferenciales Elementales. Ed. Prentice-Hall-
Hispanoamericana.1986.
7. Simmons, George. ECUACIONES DIFERENCIALES Con aplicaciones y notas
históricas. Ed. McGraw -Hill 1993.
8. Simmons George F., Krantz Steven G. Ecuaciones Diferenciales. Teoría
Técnica y Práctica. Ed. McGraw Año: 2007.
Pueblo Libre, Marzo 2015.