� ��� S�a se rezolve ecuat�ia integral�aZ �
�f�t� cos�t dt �
�
�� � ����� � ���
� ��� Ar�atat�i c�a� dac�a f�t� este o solut�ie a ecuat�iei difernt�iale
d�x�t�
dt�� t�x�t� � �x�t�� � � IR
atunci transformata sa Fourier F ��� este o solut�ie a aceleia�si ecuat�ii� ��� S�a se determine transformata Fourier a trenului de impulsuri�
f�t� �n��Xk��
��t� kT �� T � �
unde ��t� t�� este funct�ia lui Dirac translatat�a �n t�� ��� S�a se determine transformata Fourier a distribut�iei regulate core�spunz�atoare funct�iei lui Heaviside �funct�ia treapt�a unitate� h
Indicat�ie Se scrie h�t� � �� �
��sgn t �si se folose�ste problema � �si faptul c�a
transformata Fourier a funct�iei g�t� � � este ������� ��� Fie funct�ia f integrabil�a pe IR a c�arei transformat�a Fourier este F
�si g�t� �
Z t
��
f�s� ds S�a se arate c�a transformata Fourier a funct�iei g este
G��� � �F ������� �F ���
i�
Indicat�ie Deoarece g�t� � f�t��h�t� se poate aplica teorema de convolut�ie�apoi problema precedent�a �si se va t�ine seama c�a F ������� � F �������
�
Solut�ie� Folosind problemele �� � �si teorema de simetrie avem
F
�sin t
t
���� � �p����� F
�sin� t
t�
���� � �q����
Prin urmare� din problema � rezult�aZ �
��
sin� t
t�sin t
tdt �
�
�
Z �
��q����p���� d� �
�
�
Z �
��q���� d� �
��
�
Cealalt�a egalitate se demonstreaz�a similar
� �� S�a se determine transformata Fourier a distribut�iei regulate cores�punz�atoare funct�iei f�t� � sgn t
Solut�ie� Consider�am distribut�ia corespunz�atoare funct�iei impare g�t� ��
t
Transformata sa Fourier va � �v Observat�ia ��
G��� � �i
Z �
��
sin�t
tdt �
��i�� � � �
i�� � � �
Din teorema de simetrie va rezulta c�a transformata Fourier a distribut�iei
f�t� � sgn t va � F ��� ��
i�
� Probleme propuse
� �� S�a se determine transformatele Fourier ale funct�iilor
a� f�t� � e�i�t��jt�t�j� � � �� �� t� � IR� b� g�t� �te��jtj
jtj� � � �
� �� S�a se determine transformatele Fourier ale funct�iilor
a� f�x� � x�ne�ax�
� a � �� n � IN� b� g�x� � e�ax��bx� a � �� b � IR
� ��� Pentru a� b � IR se consider�a funct�ia
f�x� �
��� a � x � b
�� �n rest
S�a se determine transformata sa Fourier F ���� apoi s�a se aplice funct�iei Ftransformata invers�a S�a se interpreteze rezultatul obt�inut� �� Utiliz and formula lui Parseval �v problema �� s�a se demonstrezeegalit�at�ile�
a�
Z �
�
t�dt
�t� � a���t� � b���
�
��a� b�� b�
Z �
�
sin�t sin �t
t�dt �
�
�minf�� �g
�
�si
�x� �i��� � ��
�
�� �
x
�i
����
�
��� � ix � � � � �
In �nal
f�t� �e�t
��t� ��
� �� �Formula lui Parseval� Se consider�a funct�ile f� g � IR� IR integrabile�si de p�atrat integrabil pe IR S�a se demonstreze formulaZ �
��f�x�g�x� dx�
�
��
Z �
��F ����G��� d�
unde F �si G sunt transformatele Fourier ale lui f � respectiv g
Solut�ie� Tin and seama de teoremele de convolut�ie �si simetrie rezult�a
F
�Z �
��
F �t � y�G�y� dy
���� � ���f����g����
de unde
F �f��t�g��t����� ��
��
Z �
��F ��� � y�G�y� dy
care antreneaz�a
F �f�t�g�t����� ��
��
Z �
��F �� � y�G�y� dy
Ultima relat�ie poate � scris�a sub forma
�
��
Z �
��F �� � y�G�y� dy �
Z �
��f�x�g�x�e�i�xdx
care pentru � � � reprezint�a relat�ia cerut�aObservat�ia �� Dac�a f � g atunci se obt�ineZ �
��jf�x�j�dx �
�
��
Z �
��jF �x�j�dx
deoarece F ���� este complex conjugatul lui F ���
� �� S�a se demonstreze c�a
a�
Z �
��
sin� t
t�dt �
��
�� b�
Z �
��
sin� t
t�dt �
��
�
�
Solut�ie� Avem
F ��� �
Z a
�a
���
jxj
a
�e�i�xdx � �
Z a
�
���
x
a
�cos�x dx
� �
Z a
�
sin�x
a�dx �
���� cosa��
a��
Pentru F calcul�am transformata invers�a �v Observat�ia ��
F���F ��x� ��
��
Z �
��F ���ei�xd� �
�
�
Z �
��
�� cos a�
a��ei�xd�
��
�
Z �
��
�� cosa�
a��cos�x d� �
�
a�
Z �
�
�� cos�x� � cos�x cos�a�
��d�
��
a�
Z �
�
�� cos�x� cos��x� a�� cos��x� a��
��d�
��
a�
Z �
�
��x sin�x� �x� a� sin��x� a� � �x� a� sin��x� a�
�d�
��
�a���xsgn�x� �x� a�sgn��x� a� � �x� a�sgn��x� a��
��
�a�jx� aj� jx� aj � �jxj� � qa�x�
In urma aplic�arii transform�arii inverse s�a obt�inut funct�ia init�ial�a deoareceF este integrabil�a pe IR �si veri�c�a condit�ia lui Dini
� �� S�a se rezolve ecuat�ia integral�aZ �
�f�t� cos�t dt �
�
�� � ����
Solut�ie� De�nim funct�ia f pe IR astfel �nc at s�a �e par�a Prin urmare rans�
formata sa Fourier va ��
�� � ���� Rezult�a
f�t� ��
�
Z �
��
ei�t
�� � ����d�� t � �
astfel c�a
f�t� � �iRes
�ei�t
�� � ����� i
�
Reziduul c�autat va � coe�cientul lui x�� din dezvoltarea �n jurul originii a
funct�ieieit�x�i�
x��x� �i�� Avem
eit�x�i� � e�t�� � it � � � � �
�
In �nal
F ��� ��e�aj�j
a
Observat�ia �� O solut�ie mai simpl�a este utilizarea teoremei de simetrieIntr�adev�ar� din problema precedent�a deducem
F �F �x����� � ��f����� F
��a
x� � a�
���� � ��e�aj�j
� �� S�a se calculeze transformata Fourier a semnalului dreptunghiular
pa�x� �
��� jxj � a
�� jxj � a
S�a se aplice apoi transformata Fourier invers�a �si s�a se interpreteze rezultatul
Solut�ie� Din de�nit�ie
F ��� �
Z a
�ae�i�xdx � �
Z a
�cos�x dx �
� sina�
�
Apoi
F���F ��x� ��
�
Z �
��F ���ei�xd� �
�
�
Z �
�
sin a� cos�x
�d�
��
�
Z �
�
sin ��a� x� � sin��a� x�
�d�
��
��sgn �a� x� � sgn �a� x�� �
����� jxj � a
�� jxj � a�� � jxj � a
Funct�ia ce s�a obt�inut difer�a de semnalul dreptunghiular �n punctele x � �a�deoarece �n aceste puncte nu este veri�cat�a o condit�ie suplimentar�a� cum ar� condit�ia lui Dini
Observat�ia � Pentru calculul transform�arii inverse s�a folosit egalitateacunoscut�a Z �
�
sin �u
�d� �
�
�sgnu
� �� Se consider�a semnalul triunghiular
qa�x� �
��� jxj
a� jxj � a
�� jxj a� a � �
S�a se calculeza transformata sa Fourier F ��� iar acesteia transformata in�vers�a S�a se interpreteze rezultatul
�
Seminarul �� Matematici speciale�
Transformata Fourier�
Gheorghe Opri�san
����������
� Probleme rezolvate
� �� S�a se calculeze transformata Fourier a funct�iei f�x� � e�ajxj� a � �
Solut�ie� Avem prin de�nit�ie
F ��� �
Z �
��e�ajxje�i�xdx
�
Z �
��e�ajxj�cos�x� i sin�x�dx
� �
Z �
�e�ax cos�x dx �
�a
�� � a�
� � S�a se calculeze transformata Fourier a funct�iei f�x� ��
x� � a�� a � �
Solut�ie� Dac�a folosim de�nit�ia obt�inem
F ��� �
Z �
��
e�i�x
x� � a�dx
Acest�a integral�a se poate calcula cu teorema reziduurilor �si obt�inem
F ��� �
�������iRes
�e�i�x
x� � a�� ia
�� � � �
���iRes
�e�i�x
x� � a���ia
�� � � �
Deci
F ��� �
����ea�
a� � � �
�e�a�
a� � � �
�