matematici speciale - seminarul 1 - transformata fourier.pdf

6

Upload: istrate-claudiu

Post on 08-Apr-2016

74 views

Category:

Documents


10 download

TRANSCRIPT

Page 1: Matematici Speciale - Seminarul 1 - Transformata Fourier.pdf

� ��� S�a se rezolve ecuat�ia integral�aZ �

�f�t� cos�t dt �

�� � ����� � ���

� ��� Ar�atat�i c�a� dac�a f�t� este o solut�ie a ecuat�iei difernt�iale

d�x�t�

dt�� t�x�t� � �x�t�� � � IR

atunci transformata sa Fourier F ��� este o solut�ie a aceleia�si ecuat�ii� ��� S�a se determine transformata Fourier a trenului de impulsuri�

f�t� �n��Xk��

��t� kT �� T � �

unde ��t� t�� este funct�ia lui Dirac translatat�a �n t�� ��� S�a se determine transformata Fourier a distribut�iei regulate core�spunz�atoare funct�iei lui Heaviside �funct�ia treapt�a unitate� h

Indicat�ie Se scrie h�t� � �� �

��sgn t �si se folose�ste problema � �si faptul c�a

transformata Fourier a funct�iei g�t� � � este ������� ��� Fie funct�ia f integrabil�a pe IR a c�arei transformat�a Fourier este F

�si g�t� �

Z t

��

f�s� ds S�a se arate c�a transformata Fourier a funct�iei g este

G��� � �F ������� �F ���

i�

Indicat�ie Deoarece g�t� � f�t��h�t� se poate aplica teorema de convolut�ie�apoi problema precedent�a �si se va t�ine seama c�a F ������� � F �������

Page 2: Matematici Speciale - Seminarul 1 - Transformata Fourier.pdf

Solut�ie� Folosind problemele �� � �si teorema de simetrie avem

F

�sin t

t

���� � �p����� F

�sin� t

t�

���� � �q����

Prin urmare� din problema � rezult�aZ �

��

sin� t

t�sin t

tdt �

Z �

��q����p���� d� �

Z �

��q���� d� �

��

Cealalt�a egalitate se demonstreaz�a similar

� �� S�a se determine transformata Fourier a distribut�iei regulate cores�punz�atoare funct�iei f�t� � sgn t

Solut�ie� Consider�am distribut�ia corespunz�atoare funct�iei impare g�t� ��

t

Transformata sa Fourier va � �v Observat�ia ��

G��� � �i

Z �

��

sin�t

tdt �

��i�� � � �

i�� � � �

Din teorema de simetrie va rezulta c�a transformata Fourier a distribut�iei

f�t� � sgn t va � F ��� ��

i�

� Probleme propuse

� �� S�a se determine transformatele Fourier ale funct�iilor

a� f�t� � e�i�t��jt�t�j� � � �� �� t� � IR� b� g�t� �te��jtj

jtj� � � �

� �� S�a se determine transformatele Fourier ale funct�iilor

a� f�x� � x�ne�ax�

� a � �� n � IN� b� g�x� � e�ax��bx� a � �� b � IR

� ��� Pentru a� b � IR se consider�a funct�ia

f�x� �

��� a � x � b

�� �n rest

S�a se determine transformata sa Fourier F ���� apoi s�a se aplice funct�iei Ftransformata invers�a S�a se interpreteze rezultatul obt�inut� �� Utiliz and formula lui Parseval �v problema �� s�a se demonstrezeegalit�at�ile�

a�

Z �

t�dt

�t� � a���t� � b���

��a� b�� b�

Z �

sin�t sin �t

t�dt �

�minf�� �g

Page 3: Matematici Speciale - Seminarul 1 - Transformata Fourier.pdf

�si

�x� �i��� � ��

�� �

x

�i

����

��� � ix � � � � �

In �nal

f�t� �e�t

��t� ��

� �� �Formula lui Parseval� Se consider�a funct�ile f� g � IR� IR integrabile�si de p�atrat integrabil pe IR S�a se demonstreze formulaZ �

��f�x�g�x� dx�

��

Z �

��F ����G��� d�

unde F �si G sunt transformatele Fourier ale lui f � respectiv g

Solut�ie� Tin and seama de teoremele de convolut�ie �si simetrie rezult�a

F

�Z �

��

F �t � y�G�y� dy

���� � ���f����g����

de unde

F �f��t�g��t����� ��

��

Z �

��F ��� � y�G�y� dy

care antreneaz�a

F �f�t�g�t����� ��

��

Z �

��F �� � y�G�y� dy

Ultima relat�ie poate � scris�a sub forma

��

Z �

��F �� � y�G�y� dy �

Z �

��f�x�g�x�e�i�xdx

care pentru � � � reprezint�a relat�ia cerut�aObservat�ia �� Dac�a f � g atunci se obt�ineZ �

��jf�x�j�dx �

��

Z �

��jF �x�j�dx

deoarece F ���� este complex conjugatul lui F ���

� �� S�a se demonstreze c�a

a�

Z �

��

sin� t

t�dt �

��

�� b�

Z �

��

sin� t

t�dt �

��

Page 4: Matematici Speciale - Seminarul 1 - Transformata Fourier.pdf

Solut�ie� Avem

F ��� �

Z a

�a

���

jxj

a

�e�i�xdx � �

Z a

���

x

a

�cos�x dx

� �

Z a

sin�x

a�dx �

���� cosa��

a��

Pentru F calcul�am transformata invers�a �v Observat�ia ��

F���F ��x� ��

��

Z �

��F ���ei�xd� �

Z �

��

�� cos a�

a��ei�xd�

��

Z �

��

�� cosa�

a��cos�x d� �

a�

Z �

�� cos�x� � cos�x cos�a�

��d�

��

a�

Z �

�� cos�x� cos��x� a�� cos��x� a��

��d�

��

a�

Z �

��x sin�x� �x� a� sin��x� a� � �x� a� sin��x� a�

�d�

��

�a���xsgn�x� �x� a�sgn��x� a� � �x� a�sgn��x� a��

��

�a�jx� aj� jx� aj � �jxj� � qa�x�

In urma aplic�arii transform�arii inverse s�a obt�inut funct�ia init�ial�a deoareceF este integrabil�a pe IR �si veri�c�a condit�ia lui Dini

� �� S�a se rezolve ecuat�ia integral�aZ �

�f�t� cos�t dt �

�� � ����

Solut�ie� De�nim funct�ia f pe IR astfel �nc at s�a �e par�a Prin urmare rans�

formata sa Fourier va ��

�� � ���� Rezult�a

f�t� ��

Z �

��

ei�t

�� � ����d�� t � �

astfel c�a

f�t� � �iRes

�ei�t

�� � ����� i

Reziduul c�autat va � coe�cientul lui x�� din dezvoltarea �n jurul originii a

funct�ieieit�x�i�

x��x� �i�� Avem

eit�x�i� � e�t�� � it � � � � �

Page 5: Matematici Speciale - Seminarul 1 - Transformata Fourier.pdf

In �nal

F ��� ��e�aj�j

a

Observat�ia �� O solut�ie mai simpl�a este utilizarea teoremei de simetrieIntr�adev�ar� din problema precedent�a deducem

F �F �x����� � ��f����� F

��a

x� � a�

���� � ��e�aj�j

� �� S�a se calculeze transformata Fourier a semnalului dreptunghiular

pa�x� �

��� jxj � a

�� jxj � a

S�a se aplice apoi transformata Fourier invers�a �si s�a se interpreteze rezultatul

Solut�ie� Din de�nit�ie

F ��� �

Z a

�ae�i�xdx � �

Z a

�cos�x dx �

� sina�

Apoi

F���F ��x� ��

Z �

��F ���ei�xd� �

Z �

sin a� cos�x

�d�

��

Z �

sin ��a� x� � sin��a� x�

�d�

��

��sgn �a� x� � sgn �a� x�� �

����� jxj � a

�� jxj � a�� � jxj � a

Funct�ia ce s�a obt�inut difer�a de semnalul dreptunghiular �n punctele x � �a�deoarece �n aceste puncte nu este veri�cat�a o condit�ie suplimentar�a� cum ar� condit�ia lui Dini

Observat�ia � Pentru calculul transform�arii inverse s�a folosit egalitateacunoscut�a Z �

sin �u

�d� �

�sgnu

� �� Se consider�a semnalul triunghiular

qa�x� �

��� jxj

a� jxj � a

�� jxj a� a � �

S�a se calculeza transformata sa Fourier F ��� iar acesteia transformata in�vers�a S�a se interpreteze rezultatul

Page 6: Matematici Speciale - Seminarul 1 - Transformata Fourier.pdf

Seminarul �� Matematici speciale�

Transformata Fourier�

Gheorghe Opri�san

����������

� Probleme rezolvate

� �� S�a se calculeze transformata Fourier a funct�iei f�x� � e�ajxj� a � �

Solut�ie� Avem prin de�nit�ie

F ��� �

Z �

��e�ajxje�i�xdx

Z �

��e�ajxj�cos�x� i sin�x�dx

� �

Z �

�e�ax cos�x dx �

�a

�� � a�

� � S�a se calculeze transformata Fourier a funct�iei f�x� ��

x� � a�� a � �

Solut�ie� Dac�a folosim de�nit�ia obt�inem

F ��� �

Z �

��

e�i�x

x� � a�dx

Acest�a integral�a se poate calcula cu teorema reziduurilor �si obt�inem

F ��� �

�������iRes

�e�i�x

x� � a�� ia

�� � � �

���iRes

�e�i�x

x� � a���ia

�� � � �

Deci

F ��� �

����ea�

a� � � �

�e�a�

a� � � �