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Matemática ITópico 02 e 03– Radiciação,
Potenciação, Polinômios, Fatoração e Frações
Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Faculdade de Economia
e do PPGE (Economia) UFPA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA
FACULDADE DE ECONOMIA
Radiciação e Potenciação
Uma revisão sobre radiciação e potenciação
Se 𝑏2 = 𝑎 então b é a raiz quadrada de a.
Vejamos alguns exemplos:
36 = 6, porque 62 = 36
3 27
8=3
2
3− 27/8 = −
3
24−2=?
Uma revisão sobre radiciação e potenciação
Propriedades dos radicais
1) 𝑛 𝑢𝑣 = 𝑛 𝑢 × 𝑛 𝑣
2)𝑛 𝑢
𝑣=
𝑛 𝑢𝑛 𝑣
3)𝑚 𝑛 𝑢 = 𝑚.𝑛 𝑢
4) 𝑛 𝑢 𝑛 = 𝑢
5)𝑛𝑢𝑚 = 𝑛 𝑢 𝑚
6)𝑛𝑢𝑛 =
para par
para impar
u n
u n
Uma revisão sobre radiciação e potenciação
Simplificando os radicais
1)480 = 4 16(5) =
424(5) =
424 ×
45 = 2
45
2) 18𝑥5 = 9𝑥4 × 2𝑥 = (3𝑥2)2× 2𝑥 = 3𝑥2 2𝑥
Racionalização
É o processo de reescrever frações contendo radicais de modoque o denominador fique sem esses radicais. Quando o
denominador possui a forma𝑛𝑢𝑛−𝑘 poderemos eliminar o radical
do denominador, pois:𝑛𝑢𝑘 ×
𝑛𝑢𝑛−𝑘 =
𝑛𝑢𝑘 × 𝑢𝑛−𝑘 =
𝑛𝑢𝑘+𝑛−𝑘 =
𝑛𝑢𝑛 = 𝑢
Uma revisão sobre radiciação
Por exemplo teremos:
14𝑋=
14𝑋×
4𝑋3
4𝑋3
=
4𝑋3
4𝑋4
=
4𝑋3
𝑋
Potenciação com expoentes racionais
Seja u um número real, variável ou expressão algébrica e n uminteiro maior que 1. então
𝑢1𝑛 = 𝑛 𝑢
Sejam um inteiro positivo,m/n está na forma reduzida e todas asraízes são número reais, então
𝑢𝑚
𝑛 = 𝑢1
𝑛
𝑚
= 𝑛 𝑢 𝑚 ou 𝑢𝑚
𝑛= 𝑢𝑚1
𝑛 = 𝑛 𝑢𝑚
Uma revisão sobre radiciação e potenciação
Alguns exemplos:
𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥 + 𝑦3
2
𝑥2
3𝑦1
3 = 𝑥2𝑦1
3 =3𝑥2𝑦
3𝑥5𝑥2 = (3𝑥)𝑥
2
5 = 3𝑥7
5
𝑧−2
3 =1
𝑧23
=1
3𝑧2
Uma revisão sobre polinômios e fatoração
Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escritana forma:
𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
Vejamos dois exemplos de adição e subtração polinomial:
(a) 2𝑥2 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 1 + (𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 + 3)
(b) 4𝑥2 + 3𝑥 − 4 − (2𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 2)
Agora os exemplos sobre multiplicação (expansão) polinomial|:
3𝑥 + 2 4𝑥 − 5 = Qual o resultado??
Uma revisão sobre polinômios e fatoração
Produtos Notáveis: Vejamos alguns produtos notáveis
1. Produto de uma soma e uma diferença:𝑢 + 𝑣 𝑢 − 𝑣 = 𝑢2 − 𝑣2
2. Quadrado de uma soma de dois termos:𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢2 + 2𝑢𝑣 + 𝑣2
3. Quadrado de uma diferença de dois termos:𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢2 − 2𝑢𝑣 + 𝑣2
4. Cubo de uma soma de dois termos:𝑢 + 𝑣 3 = 𝑢3 + 3𝑢2𝑣 + 3𝑢𝑣2 + 𝑣3
5. Cubo de uma diferença de dois termos:𝑢 − 𝑣 3 = 𝑢3 − 3𝑢2𝑣 + 3𝑢𝑣3 − 𝑣3
Uma revisão sobre polinômios e fatoração
Fatorando polinômios: é uma forma de reduzir a expressão dopolinômio para “termos” de menor grau. A fatoração encerra-sequando, usando coeficientes inteiros, não é possível mais reduzi-lo,essa forma é conhecida como polinômio irredutível.
Ex:𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟏)
Como podemos observar x+1 é irredutível, porém vejamos apróxima expressão:
𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟗)
𝒙𝟐 − 𝟗 (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)
𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 𝒙(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)
Uma revisão sobre polinômios e fatoração
O primeiro passo na fatoração de um polinômio é remover ecolocar em evidência os fatores comuns de seus termos usando apropriedade distributiva, vejamos o exemplo abaixo:
2𝑥3 + 2𝑥2 − 6𝑥
= 2𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 3)
Outro exemplo seria:
𝑢3𝑣 + 𝑢𝑣3
= 𝑢𝑣(𝑢2 + 𝑣2)
Uma revisão sobre polinômios e fatoração
Ter conhecimento da forma expandida dos cinco produtosnotáveis ajudará a fatorar uma expressão algébrica. A forma maisfácil de identificar é a diferença de dois quadrados:
25𝑥2 − 36 = 5𝑥 2 − 62
= 5𝑥 + 6 5𝑥 − 6
4𝑥2 − 𝑦 + 3 2 = 2𝑥 2 − 𝑦 + 3 2
= 2𝑥 + 𝑦 + 3 [2𝑥 − 𝑦 + 3 ]
= (2𝑥 + 𝑦 + 3)(2𝑥 − 𝑦 − 3)
Uma revisão sobre expressões fracionárias
Antes de levar adiante essa discussão, temos que adiantar oconceito de domínio de uma função
Vejamos a seguinte expressão que envolve o quociente de doispolinômios:
2𝑥3 − 𝑥2 + 1
5𝑥2 − 𝑥 − 3
Qual seria o domínio das expressões abaixo:
(a) 3𝑥2 − 𝑥 + 5 - Todos os reais (R)
(b) 𝑥 − 1 - Todos os reais maiores que 1
(c)𝑥
𝑥−2- Todos os reais com exceção do 2
Uma revisão sobre expressões fracionárias
As expressões fracionadas podem ser simplificadas, para realizartal tarefa temos que ter em mente a seguinte propriedade:
𝑢𝑧
𝑣𝑧=𝑢
𝑣
Contanto que z seja diferente de zero. Isto requer uma fatoraçãodo numerador e denominador em fatores primos. Quando todos osfatores comuns do numerador e denominador forem removidos, aexpressão racional (ou número racional) está na forma reduzida.
Vejamos um exemplo 2 do capítulo 4:
Escreva𝑥2−3𝑥
𝑥2−9na forma reduzida. Verifique o domínio
𝑥2 − 3𝑥
𝑥2 − 9=
𝑥 𝑥 − 3
𝑥 + 3 𝑥 − 3
=𝑥
𝑥 + 3Logo 𝑥 ≠ 3 𝑒 𝑥 ≠ −3
Importante: Duas expressões racionais são equivalentes se elas têm omesmo domínio e os mesmos valores para todos os números no domínio.A forma reduzida de uma expressão racional precisa ter o mesmo domínioque a expressão racional original. Esta é a razão que nos levou a adicionara restrição x3 para a forma reduzida no Exemplo 2.
Uma revisão sobre expressões fracionárias
Operações com expressões racionais
Considerando duas frações iguais, (u/v)=(z/w) se, e somente se,uw=vz.
Uma revisão sobre expressões fracionárias
Operação Exemplo
𝒖
𝒗+𝒘
𝒗=𝒖 +𝒘
𝒗
𝟐
𝟑+𝟓
𝟑=𝟐 + 𝟓
𝟑=𝟕
𝟑𝒖
𝒗+𝒘
𝒛=𝒖𝒛 +𝒘𝒗
𝒗𝒛
𝟐
𝟑+𝟒
𝟓=𝟐 𝟓 + 𝟒 𝟑
𝟏𝟓=𝟐𝟐
𝟏𝟓𝒖
𝒗
𝒘
𝒛=𝒖𝒘
𝒗𝒛
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓=
𝟐 𝟓 + 𝟒 𝟑
𝟑 𝟓=
𝟖
𝟏𝟓
𝒖
𝒗÷𝒘
𝒛=𝒖𝒛
𝒘𝒗𝟐
𝟑÷𝟒
𝟓=𝟏𝟎
𝟏𝟐=𝟓
𝟔
Vejamos a questão a e b do exemplo 3 do livro:
(a)2𝑥2+11𝑥−21
𝑥3+2𝑥2+4𝑥×
𝑥3−8
𝑥2+5𝑥−14
=2𝑥 − 3 𝑥 + 7
𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 4×
𝑥 − 2 𝑥2 + 2𝑥 + 4
𝑥 − 2 𝑥 + 7
=2𝑥 − 3
𝑥Logo 𝑥 ≠ 0; 𝑥 ≠ −7; 𝑥 ≠ 2
(b)𝑥3+1
𝑥2−𝑥−2÷
𝑥2−𝑥+1
𝑥2−4𝑥+4
Uma revisão sobre expressões fracionárias
Já para o exemplo da soma teríamos:
𝑥
3𝑥−2+
3
𝑥−5
=𝑥 𝑥−5 +3 3𝑥−2
3𝑥−2 𝑥−5
=𝑥2+4𝑥−6
3𝑥−2 𝑥−5
Uma revisão sobre expressões fracionárias
Imagine agora que tenhamos a seguinte expressão:
2
𝑥2 − 2𝑥+1
𝑥−
3
𝑥2 − 4
Nesse caso temos que fazer uso do artifício do mínimo múltiplocomum (mmc), observe que podemos fatorar todos osdenominadores (com exceção de x), assim teremos as seguintesexpressões:
x(x-2); x; e (x-2)(x+2)
Com isso o menor denominador comum será: x(x-2)(x+2)
Uma revisão sobre expressões fracionárias
Com isso a solução será:
2
𝑥2−2𝑥+
1
𝑥−
3
𝑥2−4
=2
𝑥 𝑥−2+
1
𝑥+
3
𝑥−2 𝑥+2
=2 𝑥+2
𝑥 𝑥−2 𝑥+2+
𝑥−2 𝑥+2
𝑥 𝑥−2 𝑥+2−
3𝑥
𝑥 𝑥−2 𝑥+2
=2 𝑥 + 2 + 𝑥 − 2 𝑥 + 2 − 3𝑥
𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2
Uma revisão sobre expressões fracionárias
=2𝑥 + 4 + 𝑥2 − 4 − 3𝑥
𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2
=𝑥2 − 𝑥
𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2
=𝑥 𝑥 − 1
𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2
=𝑥 − 1
𝑥 − 2 𝑥 + 2,
Logo 𝑥 ≠ 0; 𝑥 ≠ 2; 𝑒 𝑥 ≠ −2
Uma revisão sobre expressões fracionárias
Operações com raízes e polinômios no Octave
Operações básicas no Calc (LibreOffice)