Download - INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
1/25
INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1/3
Integrasi numerik metode simpson 1/3 dihasilkan bila polinomial orde dua disubsitusikan ke
dalam persamaan
Persamaan (1)
Simpson 1/3 digunakan polinomial orde dua (persamaan parabola) yang melalui titik f(xi-
1), f(xi)dan f(xi1) untuk mendekati fungsi! "umus simpson dapat diturunkan berdasarkan deret
taylor! #pabila persamaan (1) didiferensialkan terhadap x, maka men$adi%
Persamaan (&)
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
2/25
'ambar (1)
engan memperhatikan gambar (1) dan persamaan (&) maka persamaan deret taylor adalah%
Persamaan (3)
Persamaan ()
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
3/25
ari gambar (1) nilai I(xi+1) adalah luas diba*ah fungsi f(x) antara batas a dan (xi+1)!
Sedangkan nilai I(xi-1)adalah luas diba*ah fungsi f(x) antara batas a dan (xi-1)! +isal luas
diba*ah fungsi f(x) antara batas (xi-1) dan (xi+1) adalah I , maka%
atau
Persamaan ()
Sedangkan f ''(xi) didapat dari diferensial enter
Persamaan (.)
emudian subsitusikan persamaan (.) ke dalam persamaan ()
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
4/25
Persamaan (0)
Persamaan (0) ini adalah metode simpson 1/3, diberi tambahan 1/3 karena delta x dibagi dengan3!
Pada pemakaian banyak pias (n pias), membagi luasan dengan n pias dengan pan$ang interal
yang sama dan missal n2 'ambar (&)!
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
5/25
Rabu, 22 September 2010 -
homas Simpson mengembangkan metode yang lebih baik lagi, yang disebut aturan Simpson!
alau dalam aturan trapesium dan segi empat kita menggunakan garis lurus di punak potongan
kura, maka aturan Simpson memakai parabola!
engan menggunakan parabola, luas tiap potongan dalam aturan Simpson adalah %
alam aturan Simpson, daerah di ba*ah kura yang dipotong harus ber$umlah genap!Sekarang kita oba menggunakan aturan Simpson untuk menari integral berikut dengan $umlah
potongan n2
http://www.faktailmiah.com/2010/09/22/aturan-trapesium.htmlhttp://www.faktailmiah.com/2010/09/19/integral.htmlhttp://www.faktailmiah.com/2010/09/19/integral.htmlhttp://www.faktailmiah.com/2010/09/22/aturan-trapesium.html
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
6/25
Pertama, ari delta-x yaitu rentang tiap potongan di sumbu x! 4aranya sama dengan aturan
rapesium, ari selisih batas atas dan batas ba*ah, lalu bagi dengan $umlah potongan
5 x 2 (3 6 &)/ 2 7!&
Sudah ketemu, berarti kita dapat potongannya &, &!&, &!7, &!0 dan 3! +asukkan ke persamaan
fungsi
y7 2 f (a) 2 f (&) 2 1/(& 1) 2 7!3333333
y1 2 f (a + 5 x) 2 f (&!&) 2 1/(&!&1) 2 7!370.8&3
y& 2 f (a + &5 x) 2 f (&!) 2 1/(&!1) 2 7!&901&
y3 2 f (a + 35 x) 2 f (&!0) 2 1/(&!01) 2 7!&.....0
y 2 f (b) 2 f (3) 2 1/(31) 2 7!&
ketemu semua nilai y, masukkan ke rumus luas
:a*aban sesungguhnya dari soal ini adalah 7!&90.9& $adi aturan Simpson memiliki kesalahan
hanya 7!7773. ;! eliti banget kan5
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
7/25
'ambar ()
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
8/25
#tau
#tau untuk n pias
persamaan (8)
Persamaan (8) adalah untuk menari nilai integral dari f(x) dengan pias n antara a dan b!
Penggalan program dalam 4%
temp2f(a)f(b)=
$arak2a=
for(i21=i>2n=i)
?$arak2$arakdelta=if(fmod(i,&)@27)
temp2tempAf($arak)=
else
temp2temp&Af($arak)=B
I2(tempAdelta)/3=
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
9/25
Integral Numer! Met"#e Trape$"# #an Met"#e Smp%"n
. Cotes
Integral numerik $uga dinamakan quadrature telah men$adi perhatian para ilmu*an se$ak abad
19 hingga 18! Quadrature pada prinsipnya adalah konsep yang sangat mudah yaitu bagaimana
mengealuasi integral suatu fungsi%
ipandang dari sudut persamaan diferensial maka menari nilai integral I adalah sama dengan
menyelesaikan persamaan diferensial%
engan syarat batas f(x)27
Ne&t"n'("te% )"rmula
+etode yang umum digunakan dalam menghitung integral numerik adalah De*ton-4otes
Eormula, dimana batas antara a dan b dibagi ke dalam bagian yang lebih keil (step-siFe h)
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
10/25
sedemikian rupa sehingga notasi integral dapat diganti ,em$adi notasi pen$umlahan (sigma),
yaitu%
Gntuk metode closed loop
Gntuk metode open loop
Eungsi f(x) adalah fungsi yang diintegralkan, namun untuk memperoleh rumus integral numerik
dapat diganti dengan fungsi interpolasi seperti deret aylor, De*ton for*ard,
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
11/25
imana " adalah suku yang mengandung error komputasi H(h3)! Sehingga kita mendapatkanrumus integral trapeFoid yaitu%
Smp%"n rule
+etode Simpson dapat diturunkan dengan substitusi fungsi
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
12/25
imana " s adalah suku yang mengandung error komputasi H(h3)! Sehingga kita mendapatkan
rumus integral Simpson yaitu%
Sekarang kita oba kedua metode di atas untuk menyelesaikan persoalan berikut ini%
itung
menggunakan metode trapeFoid dan simpson 1/3 dengan $umlah pias D29@
Sebelum menghitung dengan metode numerik, sebaiknya kita hitung dahulu menggunakan
metode analitik kemudian hasil akhirnya kita bandingkan!
+isal u 2 1x sehingga
ita substitusikan men$adi
S"lu% met"#e trape$"#
asil integral di atas didekati dengan metode trapeFoid dengan persamaan%
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
13/25
engan D29, sehingga nilai h27,1&
ita lakukan perhitungan manual terlebih dahulu seperti berikut%
i xi E(xi)
7 7 1
1 7,1& 7,999
& 7,& 7,9
3 7,30 7,0&0&
7, 7,...
7,.& 7,.13
. 7,0 7,01
0 7,90 7,33
9 1 7,
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
14/25
asil yang diberikan metode trapeFoid memberikan nilai 7,.839!
S"lu% met"#e Smp%"n 1/3
Solusi ini menggunakan persamaan
engan tabel yang sama kita dapatkan
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
15/25
asil yang didapatkan melalui metode simpson 1/3 adalah 7,.8&!
Setelah melakukan perhitungan manual, kita buat program pada +#
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
16/25
end
f
ff2f(&%n)
sum27=
for i21%(n-1)=
sum2sumff(i)=
end
sum
trap2(h/&)A(f(1)&Asumf(n1))
sigma27=
for i21%(n-1)
if (rem(i,&)K27)
sigma2sigmaAff(i)=
else
sigma2sigma&Aff(i)=
end
end
simp2(h/3)A(f(1)sigmaf(n1))
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
17/25
edua metode di atas dapat diletakkan pada satu listing program sa$a! ode
trap2(h/&)A(f(1)&Asumf(n1))digunakan untuk metode trapeFoid dan kode
simp2(h/3)A(f(1)sigmaf(n1))
untuk metode simpson 1/3! :ika program di atas kita run maka akan memberikan hasil berikutini%
n 2
9
n 2
9
f 2
1!7777 7!9998 7!9777 7!0&03 7!...0 7!.1 7!01 7!333 7!777
ff 2
7!9998 7!9777 7!0&03 7!...0 7!.1 7!01 7!333
sum 2
!9737
trap 2
7!.81
simp 2
7!.83&
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
18/25
ampak nilai trap 2 7,.81 dan simp 2 7,.83& masing-masing nilai metode trapeFoid dan metode
simpson yang hampir sama dengan perhitungan manual!
("nt"* S"al
itunglah I 2 LintM7N ex dx menggunakan +etode Simpson 1 per 3 dengan pias!
Penyelesaian %
h 2 Lfra?-7B?B 2 1
x7 2 7
x1 2 a h 2 1
x& 2 a &h 2 &
x3 2 a 3h 2 3
x 2 a h 2
S(x) 2 Lfra?1B?3Bh O(f(x7) f(x)) (f(x1) f(x3)) &f(x&)
2 Lfra?1B?3B(1) O(e7 e) (e1 e3) &e&
2 Lfra?1B?3B O(1 !891) (&!019& &7!79) &(0!3987)
2 Lfra?1B?3B O!891 81!&19 1!009
2 3!9.3.
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
19/25
Integrasi Dumerik +Qtode Simpson
+etode integrasi numerik adalah suatu ara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di ba*ah
fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan!Integrasi numerik metode simpson adalah metode yang digunakan dengan mem- fitting persamaan
Ruadratik kedalam tiga point yang melalui f(x) untuk mengetahui luas area yang berada di
ba*ahnya!! diilustrasikan kedalam grafik ayng terdapat pada buku omputer oriented numerial
method ,C! "a$araman halaman 10!
persamaan umum metode simpson adalah sebagai berikut %
logaritma dalam menyelesaikan aturan simpson adalah %
1! untuk i 2 1 ke n1 ker$akan instruksi berikut (atatan n1 harus gan$il)&! Jaa fi
3! Glangi intruksi 1
! $umlah f1 (fn1)
! untuk i2&ke nlangkah-langkahnya sebagai berikut %
.!$umlah >---- $umlah fi
0! ulangi instruksi
9! untuk i23 ke n-1 longkap& ker$akan instruksi berikut %
8! $umlah >--- $umlah &fi
17! ulangi instruksi 9
11! tulis integral
1&! berhenti
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
20/25
#da dua aturan simpson yang digunakan
+enghitung luas bidang lengkung dengan aturan Simpson I adalah rumus luas untuk 3
(tiga) ordinat yaitu % y7, y1 dan y& atau $ika $umlah ordinat lebih banyak dapat dikatakan, rumus pendekatan ini digunakan untuk menghitung luas bidang lengkung pada setiap $arak ordinat (h)
kelipatan &!
Gntuk menghitung atau mendapatkan rumus luas bidang lengkung dengan metode aturan
Simpson I, dapat dilakukan dengan & (dua) ara, yaitu %
(ara I +
'ambar 1 Jidang lengkung (aturan Simpson I - 4ara I)
Seperti terlihat pada gambar !3, misalkan persamaan garis lengkung bidang tersebut adalah y 2
a7 a1!x a&!x! engan integrasi, luas bidang lengkung di atas (#) dapat dihitung sebagai
berikut %
T Persamaan garis % y 2 a7 a1!x a&!x UUU!! OI
T
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
21/25
+isalkan % A -.0 (.1 D.2 . III
ari persamaan OI%
Jila % x 2 7 maka % y7 2 a7 a1!7 a&!7 2 a7
x 2 h maka % y1 2 a7 a1!h a&!h
x 2 &h maka % y& 2 a7 &a1!h a&!h
+asukkan y7, y1 dan y& di atas ke persamaan OIII, didapat %
# 2 J(a7) 4(a7 a1!h a&!h) (a7 &a1!h a&!h)
2 (J!a7 4!a7 !a7) (4!a1!h &!a1!h) (4!a&!h !a&!h
2 (J 4 )a7 (4 &)a1!h (4 )a&!h UUU! OIC
ari persamaan OII % # 2 &h! a7 &h!a1!h 9/3h! a&!h
dan OIC, didapat %
( J 4 ) 2 & h UU!(1)( 4 & ) 2 & h UU!(&)
( 4 ) 2 9/3 h U !(3)
ari (3) 6 (&) didapat % (4 6 4 6 &) 2 9/3 h 6 &h
& 2 &/3 h, 2 1/3 h
ari (&) % (4 &/3h) 2 & h, 4 2 &h 6 &/3h 2 /3 h
ari (1) % (J /3 h 1/3 h) 2 & h, J 2 &h 6 /3 h 2 1/3 h
:adi didapat % J 2 2 1/3 h dan 4 2 /3 h
imasukkan ke persamaan OIII, didapat %
# 2 1/3 h!y7 /3 h!y1 1/3 h!y&
# 2 1/3 h (1!y7 !y1 1!y& )
(ara II +
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
22/25
'ambar & Jidang lengkung (aturan Simpson I - 4ara II)
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
23/25
2 &/3 Q ! &h 2 /3 h (J 6 JQ)
2 /3 h Oy1 6 W (y7 y&)
2 /3 h (y1 6 W y7 6 W y&)UUUUUUUUU(&)
ari (1) dan (&) %
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
24/25
x7 2 7
x1 2 a h 2 1
x& 2 a &h 2 &
x3 2 a 3h 2 3
x 2 a h 2
S(x) 2 h O(f(x7) f(x)) (f(x1) f(x3)) &f(x&)
2 (1) O(e7 e) (e1 e3) &e&
2 O(1 !891) (&!019& &7!79) &(0!3987)
2 O!891 81!&19 1!009
-
8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx
25/25
2 3!9.3.