Advanced Numerical Methods 103
سازي معادالت غیر خطیخطیبرايتوانمیمواردبرخیدر
غییرتازاستفادهبامشخص،توزیعیخطیبه صورترابطه ايمتغیر،
درونموداستخراجهادادهبرايبرايراخطیبرازشنهایت،
.کردحسابجدیدهايداده
Advanced Numerical Methods 104
)مدل نمایی(سازي معادالت غیر خطی خطی
خطی سازي
Advanced Numerical Methods 105
)مدل توانی(سازي معادالت غیر خطی خطی
خطی سازي
Advanced Numerical Methods 106
سازي معادالت غیر خطیخطی
خطی سازي
Advanced Numerical Methods 107
سازي معادالت غیر خطیخطیدکنیبرازشزیرجدولداده هايبرتوانیمعادلهیکتوانیتبدیلازاستفادهبا.
داده هايرويبرخطیبرازشبا:یممی رسزیرخطیمعادلهبهشدهتبدیل
Advanced Numerical Methods 108
روش حداقل مربعات: ايبرازش چند جمله
مقدار واقعی همقدار خطا یا باقی ماند
مقدار تقریبی
Advanced Numerical Methods 109
ايبرازش چند جمله
.ودشاي محاسبه میسه معادله و سه مجهول، به این ترتیب مقادیر ضرایب چندجمله
.هم بسط دادmهاي مرتبه ايتوان به چندجملهاین روش را می
Standard Error of Estimate:
Advanced Numerical Methods 110
2اي درجه چندجمله: مثالکنیدبرازشزیرداده هايبر2درجهايجملهچندیک.
Advanced Numerical Methods 111
2اي درجه چندجمله: مثال
Advanced Numerical Methods 112
2اي درجه چندجمله: مثال
Advanced Numerical Methods 113
ايمیانیابی چندجملهInterpolating Polynomials
Advanced Numerical Methods 114
ايمیانیابی چند جملهشود؟اي استفاده میچرا از میان یابی چندجمله
چه نکاتی در تقریب کردن باید رعایت شود؟-
1چند جمله اي درجه 2چند جمله اي درجه 3چند جمله اي درجه
Advanced Numerical Methods 115
ايمیانیابی چند جملهدادهنقاطبین)فاصلهازخارجگاهیو(میانینقاطدرتابعمقدارتخمینهدف
.می باشدشدهمی باشدزیربه صورتجمله ايچندازاستفادهروش،معمول ترین:
مرتبهجمله ايچندیکفقطوفقطاگرچهnازگذراندنبرايn+1نقطهآنبیانشکلوآنبهرسیدنبرايمتنوعیریاضیراه هايامادارد،وجود.داردوجود
میان یابیروش هاي:نیوتونروشالگرانژروشروشSpline
Advanced Numerical Methods 116
نیوتون) Divided Difference(درونیابی چند جمله اي اختالف تقسیم شده
درون یابی خطی)Linear Interpolation(
شیب خط
Advanced Numerical Methods 117
مثالی از میان یابی خطیراابیمیان یابتدادر.بزنیدتخمینخطیمیان یابیازاستفادهبارا2طبیعیلگاریتمبرابرln2دقیقمقدار.دهیدانجام4و1نقاطبیندوممرحلهدرو6و1نقاطبین
.است0.6931472
Advanced Numerical Methods 118
)Quadratic Interpolation(میانیابی درجه دو
ند؟آیا این دو رابطه با هم متفاوت هست
Advanced Numerical Methods 119
مقایسه میانیابی درجه دو و خطی: مثال
Advanced Numerical Methods 120
)Quadratic Interpolation(میانیابی درجه دو
دهد؟دو جمله اول به تنهایی چه چیزي را نشان می
تقریب تفاضل محدودمشتق اول
تقریب تفاضل محدود مشتق دوم
Advanced Numerical Methods 121
]x,x,...,x,x[fb
]x,x,x[fb]x,x[fb
)x(fb)xx)...(xx)(xx(b
...)xx)(xx(b)xx(bb)x(f
011nnn
0122
011
00
1n10n
102010n
−
−
=
===
−−−++−−+−+=
)Newton’s Interpolating Polynomials(اي نیوتن فرم کلی چندجملهمرتبهجمله ايچندیکتشکیلبرايnبهn+1چندکلیشکل.می باشدنیازنقطه
:می باشدزیربه صورتجمله اي
First Divided Difference
Second Divided Difference
nth Divided Difference
Advanced Numerical Methods 122
)Newton’s Interpolating Polynomials(اي نیوتن فرم کلی چندجمله
[ ]ij
ijij xx
xfxfxxf
−
−=
)()(,
[ ] [ ] [ ]ik
ijjkijk xx
xxfxxfxxxf
−
−=
,,,,
[ ] [ ] [ ]0
02111011
,...,,,...,,,,...,,xx
xxxfxxxfxxxxfn
nnnnnn −
−= −−−
−
:چند جمله اي میانیابی اختالف محدود نیوتون
Advanced Numerical Methods 123
)Newton’s Interpolating Polynomials(اي نیوتن فرم کلی چندجمله
Finiteشکل جدولی Divided Difference
اي چه ویژگی بارزي دارد؟این شکل چندجملهاي نهایی تاثیر دارد؟آیا مسیر در چندجمله
دهیدنشان:[ ] [ ]jiij xxfxxf ,, =
[ ] [ ] [ ] [ ]ikjjikkjiijk xxxfxxxfxxxfxxxf ,,,,,,,, ===
Advanced Numerical Methods 124
مثال: اي نیوتنچندجملهاز.بزنیدتخمیننیوتونجمله ايچندمیان یابیازاستفادهبارا2طبیعیلگاریتم
3جهدرجمله ايچندیکآوردنبه دستبرايx3=5وx0=1،x1=4،x2=6نقاط.کنیداستفاده
Advanced Numerical Methods 125
ادامه مثال: اي نیوتنچندجمله
xi
1
4
6
F(xi)
5
0.0
1.386294
1.791759۱�۶۰۹۴۳۸
First Second Third
0.4620981
0.2027326
0.1823216
-0.05187311
-0.02041100
0.007865529
Advanced Numerical Methods 126
ادامه مثال: اي نیوتنچندجملهln2=0.6931472 (مقدار دقیق )
f1(2)=0.4620981
f2(2)=0.5658444
f3(2)=0.6287686درصد خطاي مطلق
%9,3برابر
درصد خطاي مطلق %18,4برابر
درصد خطاي مطلق %33,3برابر
Advanced Numerical Methods 127
اي نیوتنخطاي چندجمله
درقطعخطايمقدار.استتیلوربسطشبیهبسیارنیوتنايچندجملهکهشودمیمشاهده:شودمیتعریفزیرصورتبهتیلوربسط
:کنیمنیوتن، اعمال میnاي مرتبه مشابه این آنالوژي را براي چندجمله
اما در بسیاري از مسائل این . معلوم باشدfبراي استفاده از این رابطه الزم است که تابع حال چه باید کرد؟. تابع مشخص نیست
Advanced Numerical Methods 128
اي نیوتنخطاي چندجمله
پس در صورتی که نقطه کمکی . اي استام چندجمله) n+1(این جمله در واقع جمله n+1پذیر استدر دسترس باشد، محاسبه خطا امکان.
اختالفواقعدرnمرتبهنیوتنمیان یابیخطايکهگرفتنتیجهتوانمیاساساینبر.استnمرتبهوn+1مرتبهمیان یابیشدهبینیپیشمقداربین