numerical analysis 2 - iran university of science and...
TRANSCRIPT
١
آناليزعددی دو
ادکتر رشيدی ني:مدرس
٢
فهرست مطالب
عنوان صفحات
حل سيستمهای خطی : فصل اول 3 – 1 ................................................................................................ مقدمه
5 - 3..... ................................................................................م ی مستقيروشها 7 - 5 .. ............................................................................روش حذفی گاوس
LU................................................... ....................... 7 -13روش تجزيه مثلثی 14-13 .................................................................. استفاده از روش حداقل سازی
16-15 ..................................................................................... تمرینهای فصل : روشهای تکراری
19-16 ..........................................................................روش ژاکوبی 23-19 ..............................................................دل ساي–روش گاوس
SOR...... ....................................................... . 23-31 –ف روش تخفي ز خطا آنالي
35-32 : .................................................................................... مقدمه 39-35 .... .................................................م آناليز خطای روشهای مستقي
44-39 ................................................. ز همگرايی روشهای تکراری آنالي 48-44 ....................................................................... مثالهای حل شده
ژه دارهای وي مقادير و بر: فصل دوم
50-49 ................................................................................................ مقدمه 51-50 ............... .................................................................نان روش بسط دترمي
52-51 ...................................................................................ر روش فاديو لوري
57-52 ..... .................................................................................ای مربوطه قضاي :س برای تعيين مقادير ويژه يک ماتري تکراریروشهای
62-57 .. ............................................................روش به توان رسانی 65-62 .................... .......................................لی ژاکوبی روشهای تبدي
LR .............................................................................. 65-68روش 72-68 ................................................................... روش هاوس هولدر
74-73......................... ................................................نهای فصل تمري
لحل عددی معادالت ديفرانسي: وم فصل س .......................................................................................... مقذمه
75-76
٣
روشهای تک گامی 80-77 ............ .........................................................لر روش تفاضلی اوي
87-81 ............................................................... روشهای رانگ کوتا 89-87 . ...........................................ز خطای روشهای رانگ کوتا همگرايی و آنالي
روشهای چند گامی 95-90 .............................ح آدامز ـ بشفورت گامی صريkروشهای گامی
98- 95 ....................................روشهای چند گامی ضمنی آدامز ـ مولتون 100 – 98 .......................................... ................................شگوی اصالحگر روشهای پي
– 100 ................................................................... حل عددی مسائل مقدار مرزی 101
– 101 ...... .....................................................................روش تفاضلی مرتبه دوم 104 106 – 104............................................................................................ ومرو روش ني
108 – 106 ..................................................ی حل معادالت ديفرانسيل با مشتتقات جزي
. 111 – 109...............................................................................ت روش اسمي
– 111 .................................................................................روش السنن
113 114 – 113 ..................................................................کلسون روش کرانک ني
– 115 ........................................................................ چارد سون روش ري
116 116 ............................. ......................................................مثال های حل شده
– 118 – 118.............................. ....................................................نهای فصل سوم تمري119
٤
فصل اول
حل سيستمهای خطی
:مقدمه
می گيريم مجهول خطی زير را درنظرn معادله و nسيستم
njiبه طوری که )1(1, )( و = ija و ib ، مقادير حقيقی و معلوم باشـند ix خطـی مجهـوالت سيـستم
:اين سيستم را به فرم ماتريسی زير می توان نوشت.هستند که بايستی محاسبه شوند)۱(
bAX
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
nnnnnn
n
n
=
=
2
1
2
1
21
22221
11211
nibiاگر )1(1,0)( ناصـفر باشـد در ايـن ib باشند سيستم را همگن می ناميم و اگر حـداقل يـک ==
دارای جـواب يکتاسـت اگـر و فقـط اگـر )۱(سيستم ناهمگن .صورت سيستم را سيستم ناهمگن خوانند
:شد يعنی صفر نباAدترمينان
nxnnnna
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++
=+++
221
22222121
11212111
)1(
٥
0)det(
21
22221
11211
≠=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
: به صورت زير خواهد بود)۱(در اين صورت جواب سيستم
bAX 1−= )det(0 است اگر X=0 دارای جواب AX=0سيستم همگن ≠Aبنـابراين در مـسائل عملـی . باشد
چـه لـذا چنـان . بـرای مـا عمـال پـذيرفتنی نيـست X=0مواجه هستيم و جواب ما با سيستمهای همگن
به صورت زير بنويسيمλسيستم را برحسب پارامتر
XAX λ= را چنان بيابيم که λو
0)det( =− IA λ
اين مسئله ما را به مبحث مقـادير ويـژه و بردارهـای ويـژه . می يابيم Xاب ناصفر را برای باشد آنگاه جو
.بردار ويژه متناظر با آن می ناميم را X مقدار ويژه و راλ .رهنمون می سازد
)det(0تی برای اينکه جواب ناصفر بگيريم بايس =− IA λ از بـسط دترمينـان يـک چندجملـه ای . باشـد
n از آنجـا کـه سيـستم خطـی . خواهيم داشت که به معادله ويژه معروف است λ ام بر حسب nدرجه
nλλλ ريشه است که nدارای ن معادله ايمجهول دارد nمعادله و ,...,, ايـن ريـشه هـای . مـی باشـند 21
مقدار ويژه ای که . می توانند تکراری و مختلط نيز باشند ،معادله می توانند جملگی مجزا و حقيقی باشند
.نشان داده می شود Aρ)(از لحاظ کمی بيشترين مقدار را داشته باشد شعاع طيفی ناميم و با
)2(0)(0 =−⇒=−⇒= XIAXAXXAX λλλ
٦
: به طور اجمالی به دو دسته کلی تقسيم می شوند که عبارتند از)۱(روشهای حل سيستم
روشهای تکراری-۲ روشهای مستقيم -۱
را بـه دسـت خواهنـد داد و )۱(تم روشهای مستقيم روشهايی هستند که هـم زمـان همـه جوابهـای سيـس
در زيـر . را بايک معيار دقـت تقريـب مـی زننـد )۱(روشهای تکراری روشهايی هستند که جواب سيستم
.ابتدا روشهای مستقيم را بررسی می کنيم
روشهای مستقيم
های سيستم را بـه سيـستم ) تبديالتی(اساس کار روشهای مستقيم اين است که اگر با استفاده از تمهيداتی
. بيابيم هم زمان مشروح زير برگردانيم می توانيم مستقيما تمامی جوابها را
Ι- قطـری را به سيـستم چنانچه بتوانيم ماتريس ضرايب سيستم را به ماتريس قطری يا به عبارتی سيستم
: يعنی→DAتبديل کنيم يعنی اگر
jiifdjiifd
ij
ij
=≠
≠=
0
0
آنگاه
nn
nnnnnn a
bxbxa
abxbxa
abxbxa
=⇒=
=⇒=
=⇒=
22
222222
11
111111
niaاگربه طوری که ii )1(1,0 nxxx باشد می توان ≠= ,...,, . را همزمان يافت21
bAXبرای سيستم داده شده الگوريتم در اين حالت :عبارت است از =
niبرای: مرحله اول -۱ )1(1=.
محاسبه می کنيم : مرحله دوم-۲ii
ii a
bx =.
٧
ΙΙ- چنانچه بتوان سيستم را به سيستم پائين مثلثـی تبـديل کنـيم يعنـی مـاتريس ضـرايب A را بـه يـک
:ماتريس پائين مثلثی برگردانيم
ijiflijiflLA
ij
ij
>=
≤≠⇒→
0
0
nnnnnn bxaxaxa
bxaxabxa
=+++
=+=
2211
2222121
1111
: را به صورت زير به دست آورد1xمی تواناز رابطه اول ابتدا
11
11 a
bx = : را می توان يافت2x را در رابطه دوم قرار دهيم 1xو اگر
22
12122
)(a
xabx −= :يعنی. را يافت nx تا 3x ،4xن طريق سرانجام می توان و به همي
nn
n
jjnjn
n a
xabx
∑−
=
−=
1
1)(
.لذا می توان الگوريتم جايگزينی از باال را به صورت زير بنويسيم
bAXبرای سيستم : باال را به شرح زير می نويسيم الگوريتم جايگزينی از=
nkبرای : مرحله اول-۱ )1(1=.
محاسبه کن : مرحله دوم-۲kk
k
jjkjk
k a
xabx
∑−
=
−=
1
1)(
.
ΙΙΙ-ماتريس ضرايب سيستم را به ماتريس باال مثلثی تبديل کنيم يعنی اگر :
jiifUjiifU
ij
ij
>=
≤≠
00
٨
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxabxaxaxa
=
=++=+++
22222
11212111
...
...
)( را nxيگزينی از پائين ابتدا با استفاده از جا nn
nn a
bx را محاسبه می کنيم و در روابط باال قرار می =
الگوريتم اين حالـت را کـه الگـوريتم جـايگزينی از . را محاسبه می کنيم xدهيم و سرانجام همه مقادير
:پائين می ناميم به شرح زير است
=−)1(1برای : مرحله اول-۱ nk .
محاسبه کن : مرحله دوم-۲kk
n
kjjkjk
k a
xabx
∑+=
−= 1
)(.
پـس اسـاس کـار . نتيجه می گيريم که در سه حالت فوق عمال مقدور اسـت جوابهـای سيـستم را بيـابيم
س را در زيـر روش حـذفی گـاو .روشهای مستقيم و هدف آنها تبديل سيستم بـه سـه حالـت فـوق اسـت
.بررسی می کنيم
روش حذفی گاوس
اساس اين روش مستقيم بر حذف ساده مجهوالت و تبديل سيستم به سيستم باال مثلثی است و با اسـتفاده
برای توضيح ايـن روش .از الگوريتم جايگزينی از پائين دستگاه معادالت را می توان به آسانی حل نمود
bAXابتدا فرض می کنيم سيستم nn يک سيستم = را مرتـب مـی سيـستم ابتدا. و خوش وضع باشد ×
می سپاريم و طرف راسـت سيـستم کامپيوتر حافظه تمام ضرايب سيستم را در محلهای مناسب بهکنيم و
پس رابطـه اول را نگـه مـی داريـم و بـه کمـک ايـن رابطـه و سـ .را نيز به حافظه کامپيوتر وارد می کنـيم
)1(همـه ضـرايب مجهـوالت در . را حذف می نمائيم 1xمضربهای مناسب ضريب −n رابطـه باقيمانـده
)1(.تغيير می نمايند و در همان محلهای قبلی به جای ضرايب قبلی به حافظه سپرده می شوند −n رابطـه
٩
دسـتخوش تغييـر را که
مجـددا مرتـب شدند را
در دور بعـد .می کنـيم
)2( را از 2x ضريب ۲به کمک رابطه −n دامـه مـی اعمـل را و ايـن سـازيم رابطه باقيمانده صـفر مـی
.دهيم
kn را از kx ام رسيده ايم يعنی می خواهيم ضريب kحال فرض می کنيم به مرحله رابطه باقيمانـده −
:عبارت است ازمضرب مناسب در اين حالت . سازيمبصفر
nkiankibmbb
nkjnkiamaa
nkiaam
kik
kk
kik
ki
ki
kkj
kik
kij
kij
kkk
kikk
ik
)1(10
)1(1
)1(
)1(1
)1(1
)1(
)()()()1(
)()()()1(
)(
)()(
+==
+=−=
=
+=−=
+==
+
+
+
nkبدين طريق وقتی که . تغيير کند سيستم را به سيستم باالمثلثی تبديل می کنيم=1)1(
تعداد اعمال حسابی قابل تـوجهی اسـت و امل بزرگ باشد اين روش ش يب سيستم اچنانچه ماتريس ضر
را ايـن مـوقعيتی . به کـار مـی بـريم بعد مرحلهاعداد محاسبه شده را در، حاسبات در هر مرحله از روند م
پـس بايـد .می تواند منشاء خطـای بزرگـی شـود انباشتگی خطا محتمل است و در آن کهايجاد می کند
k)(اين کار زمانی عملی است که عنصر محور . سازيمMin سعی شود که خطا را kka بزرگتـرين عنـصر
nianibmbb
njniamaa
niaam
nibb
i
iii
jiijij
ii
ii
)1(20
)1(2
)1(1,)1(2
)1(2
)1(1
)2(1
)1(1
)1(1
)1()2(
)1(1
)1(1
)1()2(
)1(11
)1(1)1(
1
)1(
==
=−=
==−=
==
==
١٠
)(kika در همان ستون برای ki باشد يعنی مضربهای به کار رفته از يـک کـوچکتر باشـند تـا خطـای ≤
. برسد ممکن مقدارمحاسباتی به حداقل
ايـن .يعنی جـای سـطرها را عـوض نمـاييم .هدف ، الزم است که سيستم را مرتب کنيم برای نيل به اين
با محـورگيری جزئـی ممکـن اسـت در حـين عمليـات .محورگيری جزئی می ناميم نوع مرتب کردن را
لوگيری جچنانچه پس از محورگيری جزئی الزم باشد تا از تقسيم بر صفر . تقسيم بر صفر صورت گيرد
. می نامندمحورگيری کلین عمل رايا اييمکنيم آنگاه می توان جای ستونها را عوض نم
.ير توضيح می دهيماين روش را با مثال ز
)3(208208)2(36852161284)1(16128436852
321321
321321
321321
=++=++=++⇒−=−+
−=−+=++
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
.سازيم می صفر)3( و )2( روابط را از 1xضريب )1( رابطهبا استفاده از: مرحله اول
4414)3(244641
2446)2(441421
161284)1(161284
3232
3232
321321
=+′=+−=
=+⇒′=+−=
−=−+′−=−+
xxxxm
xxxxm
xxxxxx
)2(با استفاده از معادله :مرحله دوم ′ 2x 3( را از معادله( . حذف می کنيم′
)3(40340
61
)2(2446)1(161284
3
32
321
′′=−=
′′=+
′′−=−+
xm
xxxxx
تم جايگزينی از پائين بنابراين با استفاده از الگوري
1
26
12243
1
2
3
=
=−
=
=
x
x
x
LU روش تجزيه مثلثی
١١
مجهول باشـد و مـاتريس ضـرايب سيـستم نـامنفرد n معادله و n می کنيم که سيستم خطی دارای ضرف بـه مـی تـوان ماتريس ضرايب سيـستم را صورتدر اين .دنباشد و کهادهای اصلی پيشرو آن ناصفر باش
. به صورت زير تجزيه کنيمباال و پايين مثلثی دو سيستم
=
=
=
nn
n
n
nnnn u
uuuuu
U
lll
lll
L
LUA
0
,
0
222
11211
21
2221
11
ضـرب مـی کنـيم و عناصـر حاصـله را بـا درايـه هـای U را در Lبا استفاده از قانون ضرب ماتريسی ،
. مقايسه می کنيمAناظر ماتريس مت
: عبارت است ازU از امjستون وL از امiحاصل ضرب سطر
jiuijl
njiaululul
ij
ij
ijnjinjiji
00
)1(1,...2211
=
=
==+++
لذا برای اين که درايه ) مجهول بيشترn(ط بيشتر است فوق تعداد مجهوالت از تعداد روابدر رابطه :ی به صورت منحصر به فرد بيابيم الزم است کهيها
niuii )1(11 == Lلذا می توان همه سطرهای.معلوم هستند U اولين ستون همه درايه هایمی دانيم کهدر اين صورت
:بنابراين داريم . ضرب کرد Uرا در ستون اول
njlau
nial
jj
ii
)1(2
)1(1
11
11
11
==
==
ين و آنگـاه دومـ Lحـال دومـين سـتون . را تعيـين کـرديم U و سپس اولـين سـطر Lابتدا اولين ستون
. را پيدا می کنيمUسطر
njlulau
niulal
jjj
iii
)1(3)()1(2
22
12122
12122
=−
=
=−=
١٢
و Lو سپس سومين سـتون
:يعنی به ترتيب. را محاسبه می کنيم و ادامه می دهيم Uسومين سطر
.کنيم سيستم را به صورت زير تجزيه میU وLپس از تعيين درايه های
bLUXbAX=
=
.سيستم را به دو سيستم باال و پائين مثلثی تبديل می کنيمو
)2()1(
bLZZUX
==
ايگزينی از بـاال بـا اسـتفاده از الگـوريتم جـ حل کرده و پائين مثلثی است را که سيستم )2(ابتدا سيستم
nzzz ,...,, را با استفاده از الگوريتم جايگزينی از پائين حل می کنـيم و )1(سپس سيستم . را می يابيم 21
nn xxx ,,..., 11 . را به دست می آوريم−
jil
ulau
jiulal
ii
i
kkjikij
ij
j
kkjikijij
<−
=
≥−=
∑
∑−
=
−
=
1
1
1
1
)(
١٣
:۱مثال
.سيستم داده شده زير را با روش تجزيه مثلثی حل کنيد
1,3320,1
12
4
8
33320
212
04
331
008
33320)
3313(
21)
41(2999
3313
433
)41(13
/)(
21)
41(21
433
4118
41
82,
41
82
2,1,8912
381228
10010
1000
12924388228
321
3
2
1
23321331333323321331
2213212323
13313232
12212222
11
1313
11
1212
312111
23
1312
333231
2221
11
321
321
321
===⇒
−=
−
==
=−−−
−=−−=⇒=++
−=−
−×−=−=
=×−=−=
−=×−−=−=
−=−
=====
===
−
−=
=++−=+−=−+
zzz
z
z
z
ZUXbLZ
ululllulul
lulau
ulal
ulal
lau
lau
lll
uuu
lllll
lxxxxxx
xxx
=
=
=
⇒
=
−
−
1
1
1
13320
1
100331310
41
411
1
2
3
3
2
1
x
x
x
x
x
x
١٤
:۲مثال .سيستم داده شده زير را با روش تجزيه مثلثی حل کنيد
105233
51
41)(
1
2351)1(43
111
111
3,4,1100
101
000
353134111
4353634
1
233213313333
22
13212323
11
1313
12313232
12212222
11
3113
11
2112
312111
23
1312
333231
2221
11
321
321
321
−=×−−=−−=
=−
−−=−=
==
=−=−=−=−=−=
===
===
===
=
−
=++=−+
=++
ululall
ulau
lau
ulalulal
lau
lau
lll
uuu
lllll
lxxx
xxxxxx
1,21,
21
2121
100510111
21,2,1
461
1023014001
123
3
2
1
321
3
2
1
==−=⇒
−
−=
⇒=
−=−==⇒
=
−−⇒=
xxxxxx
ZUX
zzzzzz
bLZ
١٥
:۳مثال . حل کنيدLUسيستم داده شده را با روش
111
2,25,21
521
1035
25,4133
52
25011
1013
25
413
3
252
0
41
21
1,2,1,46121
153213210124
1000100
101
000000
3625532
532024
444423421341
434234343324321431
2424221221
333323321331
4232321221
2424221421
2323221321
22221221
11
1414
11
1313
11
1212
41312111
34
2423
141312
44434241
333231
2221
11
4321
4321
4321
321
=⇒−=++
==−=⇒=++
−=⇒=+
=⇒=++
=−=−−=⇒−=+
−=−
−=⇒=+
−=
−
+=⇒=+
−=⇒−=+
==
−==
==
−====
−−−−
−
=
=+−+−−=++−
−=++−=−+
llulul
lluululul
uulul
llulul
lllul
uulul
uulul
llul
lau
lau
lau
llll
uuu
uuu
lllllll
lll
xxxxxxxx
xxxxxxx
١٦
2,6,9,3
21020
10002100
104
101310
041
211
2,10,2,0
355
0
112251
010342
00251
0004
4321
4
3
2
1
3321
4
3
2
1
−===−=⇒
−
=
−
−−
−
−====⇒
−−
=
−
−
−
xxxx
xxxx
zzzz
zzzz
استفاده از حداقل سازی خطا
:يک دستگاه معادالت خطی را می توان به صورت زير نوشت
33333232131
2232322121
11313212111
RbxaxaxaRbxaxaxa
Rbxaxaxa
x
=−++=−++
=−++
و 2x و 1xمـی شـوند کـه اصطالحا باقيمانده ناميده می شوند و هنگامی صفر 3R و 2R و 1Rجمالت
3x طوری با تکرار تصحيح می شوند که بنابراين روشهای حدس اوليه .اشند مقادير دقيق خود را داشته ب
. تا دقت مطلوب به صفر نزديک شوندRمقادير
:مثال
.ا با روش حداقل سازی حل کنيددستگاه زير ر
3321
2321
1321
495293263
185210
RxxxRxxx
Rxxx
=−−−=−+−−
=−+−
)0,0,0(با تقريب اوليه 321 === xxx49,93,185(. شروع می کنيم( 321 −=−=−= RRR
١٧
را طـوری تغييـر مـی 1x بيشترين سهم را در تغييـر آن دارد 1x بزرگترين کميت را داراست و 1Rچون
. مقداری نزديک به صفر داشته باشد1Rدهيم تا
بزرگتر
170
324
4318
33
22
11
==
−=−=
==
Rx
Rx
Rx
ايـن عمليـات را بـه . را تغييـر مـی دهـيم 1x به عنوان بزرگترين باقيمانده ناچـارا 1Rبرای کاهش مجددا
∑همين ترتيب ادامه داده تا 2Rبا دقت مطلوب به صفر نزديک شود .
310
1470
518
33
22
11
−==
−==
−==
Rx
Rx
Rx
١٨
. تجزيه شودLUنشان دهيد که ماتريس زير نامنفرد است اما نمی توان به صورت -۱
− 201142321
022ن وچ[:راهنمايی =l23 نمی توان ] استu010با اين که. را محاسبه کرد ≠=A چون .اتريسی با دترمينان صفر دارد اين روش جواب نمی دهد زيرم
. حل کنيدLUبا روشهای حذفی گاوس و . دستگاه سه معادله و سه مجهول زير را درنظر می گيريم-۲
=−+=++−−=−+
=++=++=++
031223132
33753424
321
321
321
xxxxxx
xxxzyxzyxzyx
.سيستمهای خطی زير را بار وش حذفی گوس با محورگيری جزئی حل کنيد -۳
=−+−=++
=−+
=−+=−+
=++
63233532
2
6423424
44
321
321
321
321
321
321
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
. را بار وش تجزيه مثلثی حل کنيد۳ تمرين سيستمهای -۴
دستگاه زير را با محورگيری جزئی حل کرده و کليه عمليات محاسباتی را تا چهار رقم اعشار انجـام -۵
.دهيد
59.741.1611.102.373.052.811.179.541.243.1
07.1402.341.241.723.194.573.043.123.101.4
4321
4321
4321
4321
=−−+−
=−++=+++=−++
xxxxxxxxxxxxxxxx
١٩
: به صورت زير تعريف شده استB ماتريس -۶
2irAIB += 12هم چنين . بيانگر نرم هيلبرت است. ماتريسی هرميتی و A ماتريس واحد و Iدر اينجا −=i.
.r، 1>B≠0نشان دهيد برای تمام مقادير حقيقی
روشهای تکراری
)(نسبت به خطای گرد کردن اين روشها با توجه به سادگی و عدم حساسيتشان ErrorRound برای
را در مقايـسه بـا روشـهای روشـهای مـستقيم مـی باشـند، زيـ کاربرد با برنامه های کامپيوتری مناسـبتر از
ند عمليات تکرار را تا رسيدن به دقت مورد نظر ادامه فظه کمتری را اشغال می کنند و می توان مستقيم حا
.برای آشنايی با اين روشها ابتدا روش تکرار ژاکوبی را فرامی گيريم.دهند
ژاکوبی تکراریروش )الف
سيستم خطی
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...
......
2211
22222121
11212111
تغيـره اين روش در حقيقت تعميم روش تکرار ساده در حل معادالت غير خطی و يـک م .مفروض است
سيستم خطی را مرتب می کنيم به طريقی که درايه هـای روی قطـر ناصـفر باشـند و از لحـاظ ابتدا .است
دستگاه معادالت خطـی کمی نسبت به ساير درايه های هم سطر آن بيشترين کميت را داشته باشد سپس
ت ديگـر بيـان يکی از مجهوالت را برحسب مجهوالروابط را طوری بازنويسی می کنيم که هرکدام از
.نمايد
٢٠
nnnnnnnn
nn
nn
axaxabx
axaxabxaxaxabx
)...(
)...()...(
11,11
22212122
11121211
−−−−−=
−−−=−−−=
ــواه ــه دلخ ــب اولي ــا تقري ],...,[ب )0()0(1
)0(nxxX ــيم = ــی کن ــروع م ــی ش ــاز م ــراری را آغ و دور تک
سپس اين مقـدار را بـه عنـوان تقريـب در دور . را محاسبه کرده ايم X)1(فرض می کنيم تقريب .نماييم
:پس. را می يابيم و اين عمل را ادامه می دهيم X)2(بعد به کار می گيريم و
nnnnnnnn
nn
nn
axaxabx
axaxabxaxaxabx
)...(
)...(
)...(
)0(11,
)0(11
)1(
22)0(
2)0(
1212)1(
2
11)0(
1)0(
2121)1(
1
−−−−−=
−−−=
−−−=
:داريم. را در رابطه فوق قرار می دهيمX)1(سپس
nnnnnnnn
nn
nn
axaxabx
axaxabxaxaxabx
)...(
)...(
)...(
)1(11,
)1(11
)2(
22)1(
2)1(
1212)2(
2
11)1(
1)1(
2121)2(
1
−−−−−=
−−−=
−−−=
. را به شرح زير می يابيمkX شود سرانجام تکرار مرتبه k−1اگر فرض کنيم اين عمليات
nn
n
j
kjnjnnn
knnn
knn
kn
n
jj
kjj
knn
kk
n
j
kjj
knn
kk
axabaxaxabx
axabaxaxabx
axabaxaxabx
∑
∑
∑
−
=
−−−−
−
≠=
−−−
=
−−−
−=−−−=
−=−−−=
−=−−−=
1
1
)1()1(11,
)1(11
)(
22
21
)1(2222
)1(2
)1(1212
)(2
112
)1(1111
)1(1
)1(2121
)(1
)()...(
)()...(
)()...(
روش ژاکوبیالگوريتم
ــستم bAX سيـ ــده= ــه داده شـ ــب اوليـ ],,,[،يک تقريـ )0()0(2
)0(1
)0(nxxxX = ــی ــاب مـ انتخـ
.دستگاه را مرتب کرده تا تقسيم برصفر صورت نگيرد.کنيم
٢١
.k=0 برای : مرحله اول-۱
ni برای : مرحله دوم-۲ :يمکنمی محاسبه =1)1(
ii
n
ijj
kjiji
ki axabx ∑
≠=
+ −=1
)()1( )(
ــه ســوم -۳ ــر : مرحل )1( اگ +kix ــد ــافی دقيــق باش ــدازه ک ــه معيــار بــه ان ــت يعنــی ب ــل مــسئله دق ح
ξ≤−+ )()1( kk XX 1ر غير اين صورت د. به مرحله چهارم می رويم رسيده باشد+= kk به مرحلـه
.يمدوم برگرد
. روند را متوقف کنيد-۴
بـه حال الگوريتم فوق را با نماد ماتريسی نشان می دهيم که جهت کارهای نظری مانند همگرايـی روش
.آن نياز داريم
:اشت ضرب کنيم خواهيم دiia اگر طرفين رابطه فوق را در
bDXULDX
bXULDX
b
bb
x
xx
aL
aUa
xaxabxa
xaxabxaxaxabxa
kk
kk
nnnn
knnn
knn
knnn
knn
kk
knn
kk
1)1(1)(
)1()(2
1
2
1
22
11
)1(11,
)1(11
)(
)1(12
)1(1212
)(222
)1(1
)1(2121
)(111
)(
)(
...
...
...
−−−
−
−−−
−
−−
−
−−
++−=
++−=⇒
=
−−−=
−−−=
−−−=
1)(که ULD +− bDمعمـوال . می گيرند و ماتريس روش تکراری ژاکـوبی گوينـد H را برابر با − 1−
:پس داريم. می گيرندC را هم برابر با
,...3,2,1)1()( =+= − kCXHX jk
jk
: را هم به صورت زير نوشتjHمی توان
٢٢
)(
)()(1
11
ADIH
ADDULDDDH
j
j
−
−−
−=
+−−=+++−−=
سايدل - گاوس تکراریروش) ب
( در اين روش آخرين مقدار محاسبه شـده بـرای مجهـوالت .است ژاکوبی اين روش اصالح شده روش
عـين حـال ايـن روش در .در معادالت بعدی مورد اسـتفاده قـرار مـی گيرنـد ) رای هريک از مجهوالت ب
زيـرا هـر بـار از .زودتر از روش قبل به جواب می رسد و حافظه کمتری از کـامپيوتر را اشـغال مـی کنـد
حدس اوليه هـيچ گونـه . نمی باشد kx)( و نيازی به ذخيره سازی مقادير کندمتغيرهای جديد استفاده می
. تاثيری بر سرعت همگرايی نخواهد داشت
بزرگتـر باشـد عمليـات سـطر از مجموع سـاير ضـرايب همـان در هر سطر سيستم قطروی ريب ااگر ضر
.خيلی زودتر به جواب خواهد رسيد
:حال اگر سيستم مرتب شده ژاکوبی را درنظر بگيريم
nnnnnnnn
nn
nn
axaxabx
axaxabxaxaxabx
)...(
)...(
)...(
)1(11,
)1(11
)1(
22)0(
2)1(
1212)1(
2
11)0(
1)0(
2121)1(
1
−−−−−=
−−−=
−−−=
:اين بار. مجددا اين روش را ادامه می دهيم. به دست می آيدX)1(که
nnnnnnnn
nn
nn
axaxabx
axaxabxaxaxabx
)...(
)...(
)...(
)2(11,
)2(11
)2(
22)1(
2)2(
1212)2(
2
11)1(
1)0(
2121)2(
1
−−−−−=
−−−=
−−−=
: داريم بار انجام شودk−1فرض کنيم اين عمل . حاصل می شودX)2(و
٢٣
nn
n
j
kjnjnnn
knnn
knn
kn
n
j
kjj
kknn
kk
n
j
kjj
knn
kk
axabaxaxabx
axaxabaxaxabx
axabaxaxabx
∑
∑
∑
−
=−−
=
−−
=
−−−
−=−−−=
−−=−−−=
−=−−−=
1
1
)()(11,
)(11
)(
223
)1(2
)(121222
)1(2
)(1212
)(2
112
)1(1111
)1(1
)1(2121
)(1
()...(
)()...(
)()...(
سايدل- روش گاوس الگوريتم
bAX بـرای سيـستم داده شــده معيـار دقـت ζ و بـا انتخـاب X)0( و بـرای تقريـب اوليـه مفــروض =
:سايدل به شرح زير است -الگوريتم روش گاوس
.k=1 برای : مرحله اول-۱
ni برای : مرحله دوم-۲ : محاسبه کن =1)1(
ii
i
j
n
ij
kjij
kjiji
ki axaxabx ∑ ∑
−
= +=
−−−=1
1 1
)1()()( )(
−≥ζ به اندازه کافی دقيق باشد يا به عبارت ديگر kX)( اگر : مرحله سوم -۳ − )1()( kk XX بـه باشـد
=+1در غير اين صورت . بروچهارممرحله kk برودوم و به مرحله .
. روند را متوقف کنيد-۴
)1( را در طرف چـپ و kx)(برای نشان دادن فرم ماتريسی آن اگر −kx را درطـرف راسـت رابطـه فـوق
.قرار دهيم بدين صورت مرتب خواهد شد
٢٤
bLDCULDH
kCXHXbDLUXDLX
bUXXDL
bxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxa
xaxabxa
xaxabxaxaxabxa
gg
gk
gk
kk
kk
nk
nnnk
nk
n
knn
kkk
knn
kk
knnn
knn
knnn
knn
kk
knn
kk
11
)1()(
1)1(1)(
)1()(
)()(22
)(11
2)1(
2)1(
323)(
222)(
121
1)1(
1)1(
212)(
111
)(11,
)(11
)(
)1(12
)(1212
)(222
)1(1
)1(2121
)(111
)(,)(
,...3,2,1)()(
)(
...
...
...
...
...
...
−−
−
−−−
−
−−
−−
−−
−−
−−
+=+−=
=+=
+++−=
+−=+⇒
=+++
+−−−=+
+−−−=
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−=
−−−=
−−−=
بـرای کـاربرد عملـی ار فـرم زيـر بهتـر .ادامه روش تکرار به صورت فوق برای کارهای نظری بهتر است
است استفاده شود
nia
xaxabx
ii
n
ij
kjij
i
j
kjiji
ki )1(1
)(1
)(1
1
)1(
)1( =−−
=∑∑
+=
−
=
+
+
:مثال
۱۴مراحل تکرار را تـا . سايدل و ژاکوبی حل کنيد-ه سه مجهول زير را با روش گاوس دستگاه سه معادل
.مرحله در نظر بگيريد و درصد خطای نسبی را بيابيد
=+−=−+−=−
121272
32
321
21
xxxxx
xx
:حل به روش ژاکوبی
+=++=
+=
2)1(2)1(
2)7(
23
132
21
xxxxx
xx
٢٥
)0(]0,0,0[حال تقريب دلخواه اوليه =Xپس داريم. را درنظر می گيريم:
]5.0,5.0,5.3[
5.0
5.0
5.3)1(
)1(3
)1(2
)1(1
=⇒
=
=
=
Xxxx
. تقريبی برای مرحله بعدی می شودX)1(حال
)()1(4و اين روند را مجددا ادامه می دهيم تا جايی که 103 −− ×≤− mm XXشود .
: سايدل–حل به روش گاوس
5.3}{max625.12)1(
]625.1,25.2,5.3[25.22)1(
5.3
31
)0()1()1(2
)1(3
)1()0(3
)1(1
)1(2
)1(1
==−=+=
=⇒=++=
=
≤≤ iixXXxx
Xxxxx
375.13125.22625.31
]3125.2,625.3,625.4[625.32
625,1625.41
625.42
5.2.27
)1()2()2(3
)2()2(2
)2(1
=−=+
=
=⇒=++
=
=+
=
XXx
Xx
x
65625.2
3125.4
3125.5
)2(3
)3(2
)3(1
=
=
=
xxx
: داريم۱۳در مرحله باالخره
]75.0,5.2,75.3[
75.0
5.2
75.3)2(
)2(3
)2(2
)2(1
=⇒
=
=
=
Xxxx
9996.2
9993.4
9993.5
)13(3
)13(2
)13(1
=
=
=
xxx
٢٦
:۱۴ودر تکرار
ــال ــق ح ــای مطل )14(13(4 خط 103)0002.0,0003.0,0003.0( −×==− TXX ــای ــد خط ودرص
100نسبی9996.50003.0100
)14(
)13()14(
×=×−
X
XXبه دست می آيد .
:مثال
همگراست؟زير سايدل برای حل سيستم –آيا روش ژاکوبی يا گاوس
−
222111221
حل
14maxچون 3
1== ∑
=jiji
aHروش ژاکوبی واگراست .
15}2,5,4max{
200320220
000100220
011001
)( 1
==
−−
=
−
−
−=+−= −
g
g
H
UDLH
.يعنی اين روش هم همگرا نيست
روش تخفيف
ما در قبل بررسی کرديم که سرعت همگرايی يـک رونـد بـه شـعاع طيفـی مـاتريس تکـراری آن روش
ود کـه شود ،آن است که روشـی انتخـاب شـ می به همگرايی سريع ی که منجر يک راه حل .بستگی دارد
.ن کوچکترين شعاع طيفی را داشته باشدآماتريس تکراری
9998.2
9996.4
9996.5
)14(3
)14(2
)14(1
=
=
=
xxx
٢٧
ام k جواب تقريبی در مرحله چه چنان. سايدل را درنظر می گيريم - روش گاوس ،برای تسريع
Tkn
ki
ki
kkk xxxxxX ),...,,,...,,( )1()1()(1
)(2
)(1
)( −−−=
اگـر در روابـط رتدرغيـر ايـن صـو . جواب دقيق سيستم هستندها ودر روابط صدق نمايد اين جواب باشد
:نمايش می دهيم Rابنابراين بردار مانده را ب.در هر رابطه يک مانده خواهيم داشتصدق نکنند
Tkni
ki
ki
ki rrrR ),...,,( )()(
2)(
1)( =
: ام اين بردارهای مانده عبارت است ازi مولفه
)1()1(1
)1(1
)1(1
1
1 1
)1()()()1(
1
1 1
)1()()1()(
1
1
)1()()(
nixaxabrxa
nixaxabxar
nixaxabr
i
j
n
ij
kjij
kjiji
kii
kiii
i
j
n
i
kjij
kjiji
kiii
kii
i
j
n
ij
kjij
kjiji
kii
=−−=+
=−−=+
=−−=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
−
= +=
−−
−
= +
−−
−
= =
−
:داريميدل سا- روش گاوساز ما
)()()1()1()2(
1
)1(1
1
)(
)( )2()(
kiii
kii
kiii
in
ii
n
ij
kjij
i
j
kjiji
Ki
xarxaa
xaxabx
=+ →
−−=
−
+=
−−
=∑∑
)3( ii
kiik
ik
i arxx
)()1()( +=∴ −
:داريم ضرب کنيم ωاگر مانده را در يک فاکتورپس
)4( ,...2,1,)1(1)(
)1()( ==+= − kniarxx
ii
kiik
ik
iω
آن که در
10 اگر فاکتور -۱ << ω و می توان آن را جهت به باشد دراين صورت روش را تحت تخفيف گوييم
. سايدل همگرا نيستند به کار برد -دست آوردن همگرايی دستگاههايی که به روش گاوس
٢٨
21 اگر فاکتور -۲ << ω باشـد در ايـن صـورت روش را فـوق تخفيـف يـا SOR مـی نـاميم و بـرای
.کار می رود سايدل همگرا هستند به -که به روش گاوس سرعت بخشيدن به همگرايی دستگاههايی
.سايدل است - باشد روش همان روش گاوس ω=1 اگر -۳
k)(اگر به جایiirقرار دهيم)1( رابطه)4( در :
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑∑
−
= +=
−−
= +=
−−−
−
= +=
−−−
=
−−
=
−
−−+−=∴
−−+−=
−−−+=
==−−+=
1
1 1
)1()()1()(
1 1
)1()()1()1(
1
1 1
)1()1()()1(
)1(1
1
)()1()(
)()1(
)(
)(
)1(1,...2,1)(
i
j
n
ij
kjij
kjiji
ii
ki
ki
i
j
n
ij
kjij
kjiji
ii
ki
ki
i
j
n
ij
kiii
kjij
kjiji
ii
ki
n
ij
kiij
i
j
kjiji
ii
ki
ki
xaxaba
xx
xaxaba
xx
xaxaxaba
x
nikxaxaba
xx
ωω
ωω
ω
ω
SOR روشالگوريتم
bAX سيستم داده شده برای داده شـده عبـارت اسـت ζ و مناسب ω يک تقريب اوليه و انتخاب و =
:از
.k=1برای : ولمرحله ا -۱
ni برای : مرحله دوم-۲ : محاسبه کن=1)1(
)()1(1
1 1
)1()()1()( ∑ ∑−
= +=
−− −−+−=i
j
n
ij
kjij
kjiji
ii
ki
ki xaxab
axx ω
ω
−≥ξ دقيق باشد و يا به عبارت ديگر kX)( اگر -۳ − )1()( kk XX ۴ برو به مرحله.
=+1در غير اين صورت kkبرو۲ مرحله و به .
. متوقف شو-۴
٢٩
:اثبات همگرايی به روش ماتريسی
)()1(1
1 1
)1()()1()( ∑ ∑−
= +=
−− −−+−=i
j
n
ij
kjij
kjiji
kiii
kiii xaxabxaxa ωω
,...2,1
)())1[()(])1[()(
)1(
)1()(
1)1(1)(
)1()(
1
)1()1()(
=+=
++−−+=
+−−=+
−+−=
−
−−−
−
+=
−− ∑
kCXHXor
bLDXUDLDXbXUDXLD
xabxaxa
kk
kk
kk
n
ij
kjiji
kiii
kiii
ω
ωωωωω
ωωωω
ωωω
.بيان می کنيم ابتدا دو قضيه زير را SOR جهت استفاده از روش ωبرای تعيين فاکتور
: قضيه کاهان
nnA، واهدلخماتريس برای هر × 1)( −≥ ωρ ωHاگر روش . استSORآنگاه همگرا باشد
20 << ω )()]1([که در آن 1 UDLDH ωωωω −−+= . استSOR ماتريس تکراری روش−
:اثبات
LDIبرای اثبات قضيه ماتريس 1−+ ωاين يک ماتريس پايين مثلثـی اسـت و قطـر . را درنظر می گيريم
ــابراين بــرای هــر مقــدار دلخــواه .ن واحــد مــی باشــدآاصــلی )}ω،1)}detبن 1 =+ − LDI ω. بنــابراين
: را می توان به صورت زير نوشتωHچندجمله ای مشخصه ماتريس تکراری
)1(])()(det[
))(det()det()(11
1
ω
ωω
ωωλ
λωλλ
HLDILDIHILDIHIP
−−
−
−−+=
−+=−=
: عبارت است ازSORاما ماتريس تکراری
٣٠
)4()1(})1(det{)0()3(})]1(det{[
})1()(det{]})1[())(()(det{)(
)2(])1[()(])1[()()])1(([)]([
])1[()(
1
11
11
11111)1()2(
111
1111
111
1
n
in
UDIPUDLDIUDILDI
UDILDILDILDIPUDILDI
UDIDDLDIUDIDLDID
UDLDH
−=+−−=
++−−=
+−−+=
−−++−+= →
−−+=
−−+=
−−+=
−−+=
−
−−
−−
−−−−−
−−−
−−−−
−−−
−
ωωω
ωλωωλ
ωωωλ
ωωωωωλλ
ωωω
ωωω
ωωω
ωωωω
. استω−1که ماتريسی باالمثلثی است و روی قطر اصلی
nn
ii H 1)(
1−=∏
=
ωλ ω
1)(1)]([
})(max{)(
−≥⇒−≥
=
ωρωρ
λρ
ωω
ωω
HH
HHnn
i
)(1همگرا باشد الزم است داشته باشيم SORحال اگر روش <ωρ H. بنابراين نتيجه می گيريم که:
2011)( ωωρ ω ⇒≤−≤H
:تعريف
nnAماتريس : داشته باشيمX را معين مثبت گوييم هرگاه برای يک بردار ناصفر ×
0
0
1 1
∑∑= =
=n
i
n
jijij
T
T
xxaAXX
orAXX
. ماتريس شبه معين مثبت ناميده می شودAXXT≤0گر ا
:مثال
.نشان دهيد ماتريس زير معين مثبت است
٣١
−−=
410143034
A
حل
Aمتقارن و سه قطری است .
. معين مثبت استAيعنی
:قضيه
nnAهرگاه ماتريس : مثبت و سه قطری باشد آن گاه معين×
1)]([)( 2 <= jg HH ρρ
. ماتريس تکراری روش ژاکوبی استjH سايدل و- ماتريس تکراری روش گاوس gHکه در آن
: عبارت است ازSOR روش ωبهترين انتخاب
03)()(3
42464
44334
][410143
034][
][
0
23
232
221
21
2332
2221
21
32
321
21
321
3
2
1
321
321
3
2
1
xxxxxxxxxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxx
xxx
xxxX
xxx
X
T
+−+++=
+−++=
+−−+
+=
−−
=
≠
=
2)]([1121)(
jH
H
ρω
ωρ ω
−+=
−=
٣٢
: از فرمولهای زير محاسبه می گرددoptωو يا در مسائل عملی
1sin1
)sin1(2sin1sin1)(
sin12
−=+
+−=
+−
=
+=
opt
opt
hh
hhH
h
ωπ
πππ
ρ
πω
ω
که n
h+
=1
. گامهايی است که معادله ديفرانسيل با آن حل شده است1
:مثال
2108.0در صـورتی کـه معيـار دقـت . حل کنيد SORدستگاه زير را با روش −×=ζ و تقريـب اوليـه
TX ]1,1,1[)0( . باشد=
−=+−=−+
=+
2443043
2434
32
321
21
xxxxxxx
حل
−−=410143
034A
پس می توان از قـضيه .ماتريس متقارن و سه قطری است و در مثال قبل نشان داديم معين مثبت نيز است
. را محاسبه نمودωر فوق استفاده کرد و فاکتو
)(;)(11
2 1
2ω
ρω ω +−=
−+= − LDH
H
:برای دستگاه داده شده ماتريس تکراری ژاکوبی عبارت است از
٣٣
25.1
161011
2
1610)(
410
00)
1610(
410
41
43
043
0410
410
43
0430
010103030
4100
0410
0041
2
3,2
12
≅−+
=
=⇒
±=
=⇒=−−=
−
−−
−−
=−
−
−
=
−−
−=
ω
ρλ
λλλ
λ
λ
λ
λ jj
j
HIH
H
. مجاز استSOR استفاره از روش ωبا توجه به مقدار
را 3x و 2x و 1xدر انتها . ضرب می کنيم ω=25.1سپس طرفين فوق را در .يمسيستم را مرتب می کن
.در طرف چپ و بقيه را به سمت راست انتقال می دهيم
٣٤
00279.5
98882.3
01341.3
008.0_______________________________
0044703.5
9821186.3
0214577.3
649.6
522.3
313.6
__________________________25.03125.05.7
25.03125.0937.0375.925.0937.05.7
_______________________3125.05.725.1
3125.0937.0375.925.1937.05.725.1
_____________________4
)24(4
)330(4
)324(
)7(3
)7(2
)7(1
)6()7(
)6(3
)6(2
)6(1
)1(3
)1(2
)1(1
323
2312
121
23
312
21
23
312
21
−=
=
=
=−⇒
−=
=
=
−=
=
=
−+−=−+−=
−−=
+−=+−=
−=
+−=
+−=
−=
xxx
XX
xxx
xxx
xxxxxxx
xxx
xxxxx
xx
xx
xxx
xx
٣٥
آناليز خطا
يسینرمهای برداری و ماتر
بعـدی بـا مولفـه هـای حقيقـی ، n يعنی مجموعه تمـام بردارهـای nℜيک نرم برداری روی :تعريف
ℜ بتوی nℜ از .تابعی است مانند
ℜ→ℜn:.
: خواص زير صدق می کند که در
۱- 0: >ℜ∈∀ XX n
۲- 0>X 0اگر و فقط اگر≠X.
۳- XXX n ααα =ℜ∈ℜ∈∀ :,
۴- YXYXYX n +≤+ℜ∈∀ :,
T برای بردارl∞ و 2l و 1lنرمهای : تعريفnxxxX ),,,( 21 =به صورت زير تعريف می شوند :
: نرم اقليدسی -۱
21
1
22
})({∑=
=n
iixX
: نرم ماکزيمم -۲
}{max1 ini
xX≤≤∞
=
: نرم مطلق -۳
∑=
=n
iixX
11
٣٦
∋ℜ∈ℜ به ازای هر :قضيه α,, nXY
۱- 0>∞
X
۲- 0>∞
X 0 اگر و فقط اگر=X
۳- ∞∞
= XX αα
۴- ∞∞∞
+≤+ YXYX
):۴اثبات
∞∞
≤≤≤≤
≤≤≤≤∞
+=
+≤
+≤+=+
YX
yx
yxyxYX
iniini
iiniiini
11
11
maxmax
}{maxmax
∞دنباله : تعريف=1
)( }{ kkx از بردارهای درnℜ همگرا به .م نربت به را نس x گويند اگـر بـه ازای هـر
0ζ عدد صحيحی مانند )(ζN يافت شود به طوری که به ازای هر )(ζNk : داشته باشيم≤
ζ<− xx k)(
ماتريسی نرم تعريف
nnمجموعه تمام ماتريسهای يک نرم ماتريسی بر ايـن کـه بـر . حقيقی تابعی اسـت حقيقـی ماننـد ×
nn و ماتريـسهای ℜ∈αمجموعه تعريف شده باشد و به ازای هر مقـدار ×، A و B ايط زيـر در شـر
:صدق کند
۱- 0>×nnA
۲- 00 =⇔= AA
۳-AAA nn ααα =ℜ∈∀ × :,
۴- BABABA nnnn +≤+∀ ×× :,
۵- BAAB .
٣٧
:قضيه
)(هرگاه ijaA= يک ماتريس nn باشد آن گاه ×
∑=≤≤∞
=n
jijni
aA11
max
:تعريف
nnيک ماتريس )( مانند × ijaA را همگرا ناميم اگر =
0)(lim:)1(1, ==∀∞→ ij
k
kAnji
:نرمهايی که معموال استفاده می کنيم عبارتند از
) :فروبينيوس( نرم اقليدسی ) ۱
21
1,
2})({)( ∑=
=n
jiijaAF
:نرم ماکزيمم) ۲
سطری: الف
}{max1
∑=
∞=
n
jiji
aA
ستونی) ب
}{max1
∑=
∞=
n
iijj
aA
)هيلبرت(نرم طيفی ) ۳)(
2AAA Tρ=
٣٨
:لم
:،آنگاه A>1 هرگاه
AAI
A −≤±≤
+−
11)(
11 1.
)برهان
)(1طــی طبــق تعريفــی در جبــر خA>1اگــر <Aρ 0 آنگــاه≠− AI). 1چــون اگــرλ آنگــاه
0=− AIλ(
)(1 يعنی −− AI پس داريم. موجود است:
nnIAIAI ×− =−− )()( 1
AAA
AIA
AI
AAI
AIAAIAAIAAI
AIIAIAAI
IAIAAIAAIAII
AAif
−=
−≤+ →
−≤−∴
−−≥
−−≥−⇒
−≤−
−−≥−−=−
−−=−
−−−=
−−→−
−
−−
−−
−−−
−−
−−
11)(
11)(
]1[)(1
1)()()()(
1)()()(
)1()()()()(
11
1
11
11
111
11
11
آناليز خطای روشهای مستقيم سيستم خطی
)1(bAX =
bAXرا که دارای جواب منحصر به فرد Aδفـرض مـی کنـيم کـه .مگيـري می را در نظر است =−1
عبـارت Xايـن صـورت جـواب تقريبـی در .باشد bبردار خطای bδ و Aخطای درايه های ماتريس
:است از
٣٩
)4()()()(
)3()()(
)3()(])[()()(
)()()2()()()(
1111111
111
111
111
11
1
−−−−−−−
−−−
−−−
−−−
−−
−
+−+≤+−+=+
′++−+≤−
++−+=
−+++=
−++=−
++=⇒+=+
AAAAAAAAAA
bAAbAAAXXbAAbAAAbAbAAbAA
bAbbAAXXbbAAXbbXAA
δδδ
δδδ
δδδ
δδδ
δδ
δδδδ
)3(در)4(با قرار دادن : داريم′
)5(][*)(
)()(111
11111
bAbbAAA
bAbAAAbAAAXX
δδδ
δδδδ−−−
−−−−−
++−+=
+−++−+≤−
)6()()(
][)(
)(
])(
111111
1111
111
111
AAAAIAAAA
AIAAIAAI
AAAII
AAAII
δδδ
δδ
δ
δ
−−−−−−
−−−−
−−−
−−−
−−≤−+∴
−−−=
−−≤
−−=
11اگر فرض کنيم <− AA δطبق لم داريم :
AAAAI
δδ
111
11)(
−−−
−<−
: قرار دهيم داريم)6(اگر عبارت فوق را در
)7(1
)(1
1111
AA
AAAAAA
δ
δδ
−
−−−−
−≤−+
: قرار می دهيم)5(دررا )7(حال
[ ]1111
1111111
)(
)()()(
−−−−
−−−−−−−
−−=
−−=+−=−+
AAAIA
AAIAAAAAAAA
δ
δδδ
٤٠
)10()(1
)(
)9()(1
)8()(1
][1
1
1
1
1
1
11
11
bb
AA
AAAcond
XXX
XAb
XAAX
AA
AAX
XX
XAbAX
Ab
AAX
AA
AAXX
bAbbAA
AAAXX
δδ
δ
δδ
δ
δδ
δ
δδδ
δ
+−
≤−
+−
≤−
≤=
+−
≤−∴
++−
≤−
−
−
−
−
−
−−
−−
را سيـستم 1condخـوش وضـع و اگـر را سيـستم نزديک به عدد يـک باشـد Acond)(حال اگر
. نامندبدوضع می
بـا خطـای نـسبی درايـه Xنتيجه می گيريم کـه خطـای نـسبی در بـردار جـواب (10)با توجه به رابطه
در ) ۱۰در عمـل بيـشتر از ( باشـد يکبزرگتر ازبسيار چه عدد حالت چنان .در ارتباط است bو Aهای
در ايـن .ين تغييرات را در بردار جواب ايجاد می کنـد ر بزرگت A يا bاينصورت کوچکترين تغييراتی در
لذا سيـستم را سيـستم بـد .ند اطمينان نيست قابل د و صورت جوابهای حاصله با خطای زيادی همراه هستن
.وضع می نامند
هرگونـه تغييـرات در )10( باشد در اينصورت با توجه بـه يککوچکتر از نزديک و چنانچه عدد حالت
A وb در عمـل . مـی نامنـد خـوش وضـع را سيـستم يستم لذا س .تغيير آنچنانی در بردار جواب نمی دهد
چنـان چـه ابعـاد آن Aاستفاده از تعريف عدد حالت به خاطر اين که به دست آوردن معکوس ماتريس
لذا می توان معيارهای ديگـری را جهـت بررسـی کـردن مرسوم نيست بسيار بزرگ باشد مقدور نيست ،
اگـر ميـانگين يکی از اين معيارها اين است کـه .عمال به کار برد خوش وضعی و بدوضعی يک سيستم
٤١
ين صـورت سيـستم را بدوضـع ادرايه های ماتريس نسبت به دترمينان آن ماتريس بسيار بزرگ باشد در
:است از عبارت می توان از معيار بررسی نيومن استفاده کرد که همچنين.می ناميم
min
max)(λλ
=Acond
minλ کوچکترين مقدار ويژه و maxλ چنـان چـه نـسبت ايـن دو . بزرگترين مقدار ويـژه مـاتريس اسـت
امـا از لحـاظ عملـی چنـان چـه سيـستم بـسيار . می نامند بدوضع را سيستم مقدار ويژه بسيار بزرگ باشد
يست، لذا می تـوان سيـستم فـوق را بايـک معيار های فوق الذکر عمال مقدور ن به کار بردن بزرگ باشد
رقم اعشار محاسبه نمود و سپس همين الگـوريتم را بـا معيـار دقـت دو برابـر tالگوريتم و با معيار دقت
چنان چه جوابهای هر دو حالت نزديک هم باشند سيستم را خوش وضع می ناميم در غيـر . محاسبه نمود
.بدوضع می ناميماين صورت سيستم را
:نتايج
خطـای آنگـاه ) bδ=0يعنـی (داشـته باشـد هيچ خطايی وجود ن bبردار در فرض کنيم که اگر ) الف
:نسبی عبارت است از
AA
AAAcond
XXX δ
δ⋅
−≤
−−11
)(
در ايـن ) Aδ=0يعنـی (باشـد داشـته وجـود ن خطايیAدر درايه های ماتريس فرض کنيم که اگر )ب
: بااست خطای نسبی برابرصورت
bb
AcondX
XX δ)((≤
−
مثال
.کنيدبررسی بد وضعی يا خوش وضعی دستگاه های زير را
٤٢
793940)1(
814041
21
21
=+
=+
xx
xx
0000.13333.00000.1)2(
0000.26667.00000.2
21
21
=+
=+
xx
xx
:حل
: عبارت است از)1(جواب دستگاه
121 == xx
.يعنی سيستم بدوضع است. است-۱ و دترمينان ماتريس ضرايب ۴۰در حالی که ميانگين درايه ها
99.8081چــون اگــر 01.7979 و → 19.0,79.1 جــواب دســتگاه → 21 == xxيعنــی . مــی شــود
. در بردار جواب می گرددررين تغيي باعث بزرگتbرکوچکترين تغيير د
: جوابها عبارتند از)2(برای دستگاه
00000.1
2
1
==
xx
جوابها به ۰,۶۶۶۶ به ۰,۶۶۶۷حال با تغيير
kxkx
=−=
2
1 333.01
.پس سيستم بدوضع است.همچنين دترمينان ماتريس به صفر تقليل می يابد.تغيير می يابند
روشهای تکراریهمگرايیآناليز
چنان چه روشهای تکراری را جهت حل آن به کار بگيريم .سيستم خطی ذيل مفروض است
)1(,...3,2,1)1()( =+=
=− kCHXX
bAXkk
٤٣
)(kX پس از جواب تقريبی است که با استفاده از روش تکراری k و شـده اسـت محاسبه مرتبه تکرار
Xفوق هستيم سيستم رفتار جواب بررسی ما درصدد در اين جا . است سيستم جواب واقعی.
.صدق می کندفوق جواب واقعی سيستم است پس در رابطه تکراری Xاز آنجا که
)2(CHXX +=
:کم کنيم)1( را از )2(اگر
)3(
,...2,1,...2,1)(
)0()(
)0(2)1()2(
)0()1(
)1()(
)1()(
ξξ
ξξξ
ξξ
ξξ
kk
kk
kk
H
HHH
kHkXXHXX
=
==
=
==
=−=−−
−
برای اين که خطا k→∞ افزايش بيابد يا به عبارتیk می توان دريافت که اگر )۳ (با توجه به رابطهجهت بررسی همگرايی .ميل نمايد به سمت صفر kHبه سمت صفر ميل کند الزم است که ماتريس
حال جهت اثبات همگرايی . در هر مرحله تکرار ثابت باشدHفرض می کنيم که ماتريس تکراری روشهای تکراری ابتدا چند لم و قضيه زير را درنظر می گيريم و سپس قضايای همگرايی را اثبات می
.کنيم : داريم.pبرای هر نرم : ۱لم
pAA ≤)(ρ
)اثبات
:پس داريم. باشندA مقدار ويژه و بردار ويژه متناظر با آن برای ماتريس λ,xفرض می کنيم
.برای هر مقدار ويژه ای از جمله شعاع طيفی
:۱قضيه
nnAماتريس 0limمفروض است آنگاه× =∞→
k
kA 1 اگر<A 1و اگر و فقط اگر)( <Aρ.
pppp
pppp
AxAx
xAAxxxxAx
≤⇒≤∴
≤==
=
λλ
λλ
λ
٤٤
: قسمت اولبرهان
0lim0lim0lim0limlim
1
=⇒=→⇒→≤
≤⇒<
∞→∞→∞→∞→∞→
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kk
AAAAA
AAAif
:برهان قسمت دوم
د آنگـاه يـک نبرای آسانی کار فرض می کنيم تمام مقادير ويژه ماتريس مورد نظر مجـزا و حقيقـی باشـ
مـی تبـديل D که ماتريس را به ماتريسی قطری مثل يافت می شود به طوری S انندل متشابه ساز م تبدي
:يعنی.دارد قرار Dی که تمام مقادير ويژه ماتريس موردنظر روی قطر اصلی ماتريس تورصکند به
=
n
D
λ
λλ
0
0
2
1
1max)1(11
0lim0lim0lim
:
0limlim
,...3,2,11)1(1)(
0,1
1
1
<⇒=<≡
= →=≡=
⇐
→=
=<⇒<
∞→
≠−
∞→∞→
∞→
−
∞→
−
ii
k
k
SSk
k
k
k
k
k
k
k
i
ni
DSDSAif
SDSA
iinAif
λλ
λρ
=⇒
=
===
⇒
−
−−−−
kn
k
k
k
kk
D
SDSA
SDSDSSDSSDSSA
λ
λ
λ
2
1
1
2111212 ))(()(:
٤٥
:۲قضيه
32...سری نامتناهی ++++ AAAI 1 به)( −− AI 0همگراست اگرlim =∞→
k
kA.) اين سری بـه سـری
.) استعروفنيومن م
:با توجه به قضيه فوق نتيجه می گيريم )اثبات
01)(0lim 1 ≠−⇒< →=∞→
AIAA theoremk
kρ
)(1يعنی −− AIموجود است .
:۱ همگرايی قضيه
)()2,110...,روش تکراری =+= − kCHXX kk که برای حل سيـستم bAX بـه کارگرفتـه مـی =
.H>1شود عليرغم هر تقريب اوليه ای به مقدار واقعی جواب همگراست اگر
:برهان
)0()0,0,...,0(0 تقريب اوليه اگر برداره بدون خلل به کليت مسئل ==X را انتخاب کنيم داريم:
)()(lim
)(limlim
)())((3)(2
1
1)(
21)(
220()3(
)1()2(
)1(
BCHIX
CIHHHX
CIHHCCIHHCHXXkCIHCHCCHXXk
CXk
k
k
kk
k
k
k−
∞→
−−
∞→∞→
−=
++++=
++=++=+==
+=+=+==
==
:اگر روش تکراری ژاکوبی باشد) ۱حالت
bDCULDH jj11 ;)( −− =+−=
: داريمB)(و با قرار دادن اين عبارت در
1120
112
12
)())(0(
))((lim)(lim))((
−−→
−+
∞→∞→
+
−=−−=+++ →
−−=++++
−=−++++
AIAIIAAI
AIAIAAAIAIAIAAAI
kA
k
k
k
k
kk
٤٦
0limlim
)())](([
))((lim
1)0()(*
1
11
111
111
111)(
→=→
==
=
=
++=
++=
∞→∞→
−
−−
−−−
−−−
−−−
∞→
Hk
k
k
k
k
k
H
XbA
bDDAbDAD
bDLUDD
bDLUDIX
ζζ
: سايدل باشد-اری گاوس اگر روش تکر) ۲حالت
bDLCUDLH gg11 )(;)( −− +=+−=
: داريمB)(با قرار دادن اين عبارت در
0lim))((
)())()((
)())((lim
)(
11
111
111)(
→⇒
=++=
++++=
+++=
∞→
−−
−−−
−−−
∞→
k
k
k
k
XbDLDLAbDLUDLDL
bDLUDLIX
ζ
: باشدSORاگر روش تکراری ) ۳حالت bLDCUDLDH 11 )(;])1[()( −− +=−−+= ωωωωω ωω
: داريمB)(با جايگذاری در عبارت
0lim))((
)(]})1([){(
)(]))1[()((lim
)(
11
111
111)(
→⇒
=++=
++−−++=
+−−+−=
∞→
−−
−−−
−−−
∞←
k
k
k
k
XbLDLDAbLDUDLDLD
bLDUDLDIX
ζ
ωω
ωωωωωω
ωωωωω
:۲قضيه همگرايی
)()1(2,1...,شرط الزم و کافی برای آنکه يک روش تکراری بـه فـرم =+= − kCHXX kk همگـرا
: در رابطه زير صدق کندHباشد آن است که مقادير ويژه ماتريس تکراری
,...2,1;1)( =< iHiλ
٤٧
:برهان
nλλλمقدار ويـژه متمـايز n دارای Hفرض کنيم ماتريس تکراری ,...,, خطـا در ζ)0(اگـر . باشـد 21
تقريب اوليه اين روش باشد از آنجا که مقادير ويژه مجزا هستند نتيجـه مـی گيـريم کـه تمـام بردارهـای
nxxxمتناظر اين مقادير يژه و ,,, 21 يعنـی هـر . مستقل خطی هستند و تشکيل فضای برداری مـی دهنـد
: از بردارهای مستقل خطی نوشتترکيب خطی بردار در اين فضا را می توان به صورت
)2()(limlim
)1(0,
111)0(
22
2221
211
)0(2
222111
2211)0(
2211)0(
nk
nnk
k
k
k
nnn
nnn
XHXnn
iinn
XCXCH
XCXCXCHXCXCXC
HXCHXCHXCHXCXCXCXC
λλζ
λλλζ
λλλζ
ζλ
++=
+++=
+++= →+++=
≠+++=
∞→∞→
=
niCXbecauseorHif kikii
k
k
k
k)1(10lim0,0lim0lim )( ==≠⇔→→
∞→∞→∞→λζ
nii )1(11 =⇔ λ
: تعريف
بـه صـورت را vشد در اين صورت مـی تـوان با روشهای تکراری سرعت همگرايی vکنيمفرض می
:نمودزير تعريف
يعنی.از اين تعريف نتيجه می گيريم که تعداد مراحل تکرار الزم با نرخ همگرايی نسبت معکوس دارد
.و مرتبه همگرايی بيشتر می شود تعداد مراحل کمتر باشد کوچکترHهر چقدر شعاع طيفی ماتريس
:۱مثال
. تا دو مرحله حل کرده و سرعت همگرايی آن را بيابيدSORسيستم را به روش
)(log Hv ρ−=
٤٨
−=+−=−+=+
5.025325.423
zyzyx
yx
:يعنی.مثبت استثابت می کنيم معين .ماتريس ضرايب متقارن، سه قطری است:راهنمايی
[ ] 0)()2(2210132023
22222 yzzxyxyxzyx
zyx −+++++=
−−
1811)(
1811
00
0210
310
32
0320
)(
1871
2)(11
2
2
3,2
11
2
=⇒
±=
=≡=−⇒
−
−
=+−=
+=
−+=
−jjj HIHULDH
H
ρλ
λλ
ρω
bAXاگر سيستم خطی : قضيه روش تکـراری ژاکـوبی همـواره آنگـاه اکيـدا غالـب قطـری باشـد =
.همگراست
:داريم) غالب قطری (بق تعريف ط : برهان
٤٩
−=⇒
=+
=⇒
=
+−=
=
<<
−
−
−
−
≠=
≠=
∑∑
0
0
0
00
10
01
1
0
0
)(;
(*)1
1,1
11
1
11
1,1
11
12
21
221
112
22
11
122
11
1
21
22221
11211
11
nn
nn
nn
n
nn
nn
n
n
nn
nn
nnnn
n
n
n
ijj ii
ijii
n
ijj
ij
aa
aa
aa
aa
aa
H
aa
aaaa
UL
a
a
a
D
a
aa
D
ULDH
aaa
aaaaaa
A
aa
oraa
: را حساب کنيم کهHيمم سطری ماتريس حال کافی است که نرم ماکز
∑≠=
n
ijj ii
ij
aa
1
:يعنی. کمتر از يک می باشد(*)می شود که طبق 0lim0lim1 =≡=⇒<
∞→∞→
k
k
k
kHH ζ
.همگراست) ژاکوبی(يعنی اين روش
:۲مثال
CBA به صورت A فرض کنيم ماتريس C و B و A داده شده است که در آن =−
٥٠
)()1(2,1...,همچنين .نامنفرد هستند =+= − mYCXBX mm شرط الزم و کافی بـرای . مفروض است
YAXآن که m
m
1)(lim −
∞→ ت؟ چيس=
:حل
dIHHXHX
dIHXHddHXHdHXXmdHXXm
dYBHCBifYBCXBX
mmmm
mm
)(
)()(21
,
21)0()(
)0(2)0()1()2(
)0()1(
111)1(1)(
++++=
⇔++=++=+==
⇔+==
==+=
−−
−−−−−
حال اگر فرض کنيم(*)11 CBH −=
در اين صورت
YABdAX
dCBBX
CB
m
m
m
m
m
m
11)(
11)(
1
lim
))((lim
0)(lim
−−
∞→
−−
∞→
−
∞←
==
⇔−=
⇔=
. می باشد(*)يعنی شرط الزم و کافی همان
bAX اگر ماتريس ضرايب سيستم :قضيه سـايدل -وس اکيدا غالب قطـری باشـد آن گـاه روش گـا =
.همگراست X)0(برای هر
)اثبات
)1(
1
)(1
1
)(
1
1
)1(
1
)()(
11)( )()(
−
+=
−
=
−
=
−
+=
−−
∑∑
∑ ∑
+≤
−−=
+−++=
kn
ij ii
ijki
j ii
ijk
i
j
kj
n
ij ii
ijkj
ii
ijk
k
eaa
eaa
e
eaa
eaa
e
bDLUDLXe
٥١
)0()1()(
1
1
1 1
1
)1()(1
1
1
)1(
eee
aa
aa
aa
eaa
eaa
kkn
ijj
i
j
n
ij ii
ij
ii
ij
ii
ij
n
ij
k
ii
ijki
j ii
ij
−
≠=
−
= +=
+=
−−
=⇒
+=
≤−
∑ ∑ ∑
∑∑
.همگراست) سايدل -گاوس (يعنی اين روش
٥٢
فصل دوم
مقادير ويژه و بردارهای ويژه
زيرسيستم خطی
bAX= را ناهمگن ودرغير اين صـورت سيـستم در اين حالت سيستم را باشد b≠0آن را درنظربگيريدکه در
)det(0اگر سيستم همگن باشد و .ندنخوامی همگن ≠A آنگاه تنها جواب دسـتگاه مـی توانـد جـواب،
)0(بديهی =X 0دارای فـوق ناهمگن ولی هرگاه سيستم . باشدdet ≠A باشـد سيـستم دارای جـواب
bAXمنحصر به فرد له بردارهای ويژه ئمنجر به مس همگن برای سيستم غيرصفريافتن جواب . است =−1
:بدين منظور بايد داشته باشيم.گردد مقادير ويژه ميو
0)(det =− IA λ
:يعنی. است λ برحسب nکه عبارت باال چندجمله ای از درجه
0)( 11
1 =++++= −−
nnnn
n aaaP λλλλ
),,,(با حل اين معادله تمام ريشه های آن 21 nλλλ به دست می آيند که همان مقادير ويژه مـاتريس
.موردنظر می باشند
های چندجمله ای مـی تـوان ه س با حل ريشندجمله ای ويژه می يابند و سپ چمستقيمی که ابتدا روشهای
... ير و رمقادير ويژه را يافت عبارتند از روش بسط دترمينان ، روش برداری و روش فاديو لو
.اين روشها را می توان با استفاده از مثال زير بررسی نمود
:مثال
.به دست می آوريم از روش بسط دترمينان ابتدا مقادير ويژه را با استفاده.مفروض است Aماتريس
٥٣
=
213132321
A
:حل به روش بسط دترمينان
±=
=⇒=−++−=
=−−+−−+−−−−
=−
−−
=−
3
601836)(
0))3(32(3))2(23(2]1)2)(3)[(1(
0213
132321
)det(
3,2
1233 λ
λλλλλ
λλλλλ
λλ
λλ
P
IA
هـاميلتون در -روش برداری مبتنی بـر اسـتفاده از قـضيه کيلـی .اين مثال را با روش برداری حل می کنيم
بنـابراين .صه خـود صـدق مـی کنـد که بيان می کند هر ماتريس در چندجمله ای مشخـ است جبر خطی
:عبارت است از آن برای مثال فوق چندجمله ای مشخصه
:يعنی.در رابطه فوق صدق می کند A هاميلتون ماتريس -طبق قضيه کيلی
0)( 322
13
3 =+−+−= IaAaAaAAP
TYحال اگر يک بردار دلخواه ناصفر مانند اب کنيم و در رابطه فوق ضرب نماييم را انتخ=]0,0,1[
:داريم
0322
13 =+−+− YaAYaYAaYA
123رابطه فوق يک دستگاه سه معادله و سه مجهول است که در آن مجهوالت ,, aaa بـا حـل . هـستند
اين دستگاه
6,3,18 123 =−=−= aaa
.تلذا چندجمله ای مشخصه را می توان به فرم زير ياف.می باشند
322
13
3 )( aaaP +−+−= λλλλ
٥٤
01836)( 233 =−++−= λλλλP
که به طرق مختلف چندجمله ای مشخصه را می يابند و با حل چندجملـه اين است هدف دو روش فوق
.ای مشخصه مقادير ويژه را به دست می دهند که از لحاظ محاسباتی مقرون به صرفه نيستند
ير اسـت کـه رود روش فاديو لـو از روشهای مستقيمی که برای تعيين مقادير ويژه به کارمی ر ديگر يکی
.به شرح آن می پردازيم
:يررروش فاديو لو
اين روش با استفاده از اثر ماتريس چندجمله ای مشخصه را محاسبه و با حـل ايـن چندجملـه ای مقـادير
:اثر ماتريس عبارت است از.ويژه را به دست می دهد
nnnn aaaAtr +++=× 2211)(
بعدی باشد آنگاه معادله مشخـصه ايـن مـاتريس را بـه nک ماتريس يAچنان چه فرض کنيم ماتريس
:صورت زير درنظر می گيريم
nnnnn
n aaaP ++++−= −− λλλλ 11
1 ...)1()(
: ماتريس های جديد به شرح زير ساخته می شوندطبق الگوريتم اين روش
)(1)(
)(31)(
)(21)(
)(
11
33223
22112
111
nnnnn Btrn
aIaBAB
BtraIaBAB
BtraIaBAB
BtraAB
=⇒−=
=⇒−=
=⇒−=
=⇒=
−−
٥٥
باحـل ايـن .و جايگزينی آن ،معادله مشخـصه تعيـين مـی شـود چندجمله ای حال با تعيين شدن ضرايب
. می يابيم مقادير ويژه راچندجمله ای
)مثال
.ير بيابيدر لوفاديو روش را توسطAتمام مقادير ويژه ماتريس
=
213132321
A
:حل
−−−
−−=
−−
−
=−=
=++==⇒==+++−=
257541718
621316323261
213132321
)(
6231)(0)1()(
112
111
322
133
3
IaBAB
BtraABaaaP λλλλ
01836)(
18)181818(31)(
180001800018
325753417158
213132321
)(
3)248(21)(
233
33
223
22
=−++−=∴
−=−−−==⇒
−−
−=
−−−−−
−−−
=−=
=+−==⇒
λλλλP
Btra
IaBAB
Btra
.حال کافی است که معادله باال حل گردد و مقادير ويژه به دست آيد
ير ضرايب راحـت ر لو روش در اين است که در و برداری های بسط دترمينان ير بر روش رلوروش مزيت
.دنتر به دست می آي
:۱قضيه
.متعامد هستندويژه بردارهای ه يکسان ودارای مقادير ويژTA و A ماتريس های
٥٦
:اثبات
)det()det(چون TAA . دارندسان يعنی مقادير ويژه يک هستند پس دارای چندجمله ايهای يکسانی=
با مقادير بردارهای ويژه متناظر iuاشد و مجزا ب iλ مقدار ويژه n دارای Aحال فرض می کنيم ماتريس
طبـق . باشـد jv ويـژه هـای بردار وjλ مقـادير ويـژه دارایTAفرض می کنيم مـاتريس و باشد آن ويژه
:تعريف مقدار ويژه داريم
≠=
=≠⇒=−⇒
= →
=
=
==
==
==
0
)7(00)(
)5(
)4(
)3()1(1
)2()1(1
)1()1(1
)5(),4(
iT
j
iT
ji
Tjij
iT
jiijT
j
iT
jiiT
j
iT
jjiT
j
Tjj
Tj
jjjT
iii
uvjiif
uvjiifuv
uvuv
uvAuv
uvAuv
njvAv
njvvAniuAu
λλ
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
را طـوری انتخـاب v وuمولفه هـای از آنجا که مولفه های بردارهای ويژه پارامتری هستند لذا می توان
: که ردک
)8(1=iT
j uv
=≠
= →jiji
uv iT
j ;1;0)8(),7( . استTA وAو اين همان متعامد بودن بردارهای ويژه
:۲قضيه
. نسبت به هم معکوس هستند اما بردارهای ويژه يکسانی دارندA−1 و Aمقادير ويژه
٥٧
:اثبات
:پس داريم. باشندAتريس به ترتيب مقادير ويژه وبردارهای ويژه ماiu وiλفرض کنيم
ii
i
iniiiAisthere
iii
uuA
iAisAbecauseuAu
niuAu
λ
λλλλλ
λ
100)det(:;
)1(1
1
21111
=
∀≠⇒≠== →
==
−
−−−
. هستندA معکوس مقادير ويژه ماتريسA−1يعنی مقادير ويژه ماتريس
:تعريف
:ن بيابيم کهنا چS نظيريم هرگاه يک ماتريس نامنفرد را دو ماتريس متشابه گويB وAماتريس
BSSA 1−= . می باشدA و متشابهS تحت متشابه سازBدر اين رابطه
:نتيجه
:چون.نی هستنددو ماتريس متشابه دارای دترمينانهای يکسا
1)det()det()det()det(
)det()det()det()det(
1
1
=
=⇒=
−
−
SSBA
SBSA
:قضيه گرشگورين
:يعنی.شعاع طيفی يک ماتريس نمی تواند از نرم سطری ستونی آن تجاوز کند
AA ≤)(ρ
:۱اثبات
AXXAXAAXX
XAXXAX
XAX
X < →≥⇒≤=
=
=
=
λλλ
λ
λ
λ
0
٥٨
:۲اثبات
niininninin
iininii
iininii
niiiiiii
XXaXaXa
XXaXaXaXXaXaXa
XXXXniXAX
,,2,21,1
2,,22,221,21
1,,12,121,11
,2,1, ),,,()1(1
λ
λ
λ
λ
=+++
=+++
=+++
===
rirkiاگر فرض کنيم که XX ,, max= ابطه باشد رk ام را در نظر می گيريم:
)1()1(1
)1(1
,
,
,
2,2
,
1,1
,
,
,
2,2
,
1,1
,,,2,21,1
niXX
aaXX
aXX
a
niXX
aaXX
aXX
a
XXaXaXaXa
ki
niknkk
ki
ik
ki
iki
iki
niknkk
ki
ik
ki
ik
kiiniknkikkikik
=++++≤
==+++++
=+++++
λ
λ
λ
با توجه به فرض فوق داريم که
)2(1,
, rXX
ki
ri ∀<
:نتيجه می گيريم که ) ۱(با استفاده ازرابطه
)3(1
21 ∑=
=+++++≤n
jkjknkkkki aaaaa λ
اگر جای سطر و ستونها عوض شود مقـادير ۱ قضيهحال طبق .بارت همان تعريف نرم سطری است اين ع
.پس برای نرم ستونی هم رابطه برقرار است. ويژه تغيير نمی کند
:قضيه براور
nnAبرای ماتريس ام بـه جـز درايـه روی قطـر باشـد k سطر حاصلجمع قدر مطلق عناصر kP ، هرگاه ×
nnAآنگاه تمام مقادير ويژه زير داخل يا روی يکی از دواير×
nkPa kkk )1(1=≤−λ
٥٩
.دنقرار دار
:برهان
: داريم در قضيه گرشگورين)3(استفاده از رابطهبا
∑=
=+++++≤n
jkjknkkkki aaaaa
121 λ
:از رابطه فوق می توان نتيجه گرفت که
k
n
kjj
kjknkkkkkkkki Paaaaaaa ==++++++≤− ∑≠=
+−1
1,1,21 λ
):کاربرد قضيه براور(مثال
.حدود مقادير ويژه ماتريس زير را تعيين کنيد
213132321
اجتماع دواير سـطری و سـتونی ماتريس متقارن است از آنجا که .درنظر می گيريم ابتدا دواير ستونی را
.برهم منطبق اند
42
5133
51
≤−
∪
≤−⇒≤−
∪
≤−
λ
λλ
λ
)شکل(
∑≠=
− =+++++≤−n
kjj
kjknkkkkkki aaaaaa1
1,21 λ
٦٠
لـذا بـا .باشندداشته قرار۱ و مرکز ۵رون يا روی دايره ای به شعاع د ها می بينيم که بايد مقادير ويژه در انت
می باشد مقـادير ويـژه نمـی ۶توجه به اين که قبال مقادير ويژه اين ماتريس را يافته ايم و شعاع طيفی آن
.تواند از اجتماع دواير فوق خارج گردد
ادير ويژه يک ماتريسروشهای تکراری برای تعيين مق
)(ن رسانی ااز روشهای تکراری می توان به روش توانی يا تو MethodPowerاشاره کرد .
تعيين مـورد نظـر با معيار دقت راو بردار ويژه متناظر با آن اين روش در هر مرحله بزرگترين مقدار ويژه
بـه صـورت زيـر ه مجزا و حقيقـی باشـند و برای آسانی کار فرض می کنيم که تمام مقادير ويژ . کند می
:مرتب شده باشند
nλλλ >>> 21
انتخاب می کنيم ودر ماتريس مورد نظر ضرب می را v)0( مانندبردار دلخواه ناصفر يک در مرحله اول
:يعنی.کنيم
nnn vcvcvv ++=ℜ∈ 11
)0()0( :
nivAvAvcAvcAvcAv iiinn )1(1;2211)0( ==+++= λ
][1
21
22111
222111)0()1(
nn
n
nnn
vcvcvc
vcvcvcAvv
λλ
λλ
λ
λλλ
+++=
+++==
٦١
])()([
])()([
12
1
22111
)1()(
2
12
2
1
2211
21
)1()2(
nkn
nkkkk
nn
n
vcvcvcAvv
vcvcvcAvv
λλ
λλ
λ
λλ
λλ
λ
+++==
+++==
−
])()([ 1
12
1
1
2211
11
)()1(n
knn
kkkk vcvcvcAvv ++++ +++==λλ
λλ
λ
111)(
1
)(
)1(
1
)1(21
)(lim
vcvnikif
vv
kki
rk
k
k
λλλ
λ
=⇒=<⇒∞→
=+
∞→
ايـن بردارهای حاصله را نرمال سازيم يعنی هر بردار را بر نرم ماکزيمم آن تقسيم کنيم اگردر هر مرحله
kدر مرحله پايانی به جای اينکه که عمل باعث می شود 1λ 1تنهـا را به دست آوريـمλ از.را مـی يـابيم
ايـن .می شوند کوچکتر از يک همه ها kv)( درايه های با نرمال سازی نتيجه می گيريم که طرف ديگر
خطــای باعــث مهــار ود در ضــربهای متــوالی مــی گــرددعــدعمـل باعــث جلــوگيری از حجــم بــزرگ
offRound شود می.
)2)1((سرعت همگرايی اين روش بستگی به نسبت ضمنا 1
nii =λλهرچه اين نـسبت کمتـر باشـد . دارد
.رعت همگرايی بيشتر می شودس
الزم اسـت کـه . بزرگتـرين مقـدار ويـژه اش باشـد 2λبرای مرحله بعد ماتريسی را معرفی می کنيم کـه
يـک مـی 1v اولـين مولفـه در نتيجـه . بر اولين مولفه اش تقـسيم کنـيم در مرحله قبل راحاصله 1vر بردا
. گردد
:حال تعريف می کنيم. باشديک نيز 2vمولفه اول همچنين فرض می کنيم که
21 vvv −=∆
٦٢
:تعريف می کنيمرا به صورت زير 1Aماتريسباشد Aسطر اول ماتريس 1aيم اگر فرض کن
111 avAA −=
.است صفر1A سطر اول ماتريس طريقبدين
. هستند1A به ترتيب بردار ويژه و بزرگترين مقدارويژه ماتريس 2λ و ∆v نشان می دهيم که حال
هستندو با توجه به رابطه فوق نتيجه می همه صفر1A اول طر س می دانيم که1Aبا توجه به تعريف
لذا . همه از مرحله عمليات خارج می شوند1A ستون اول ∆vت صفر بودن اولين مولفهگيريم که به عل
يک را درنظر بگيريم و از اولين سطر و ستون آن صرفنظر کنيم 1Aنتيجه می گيريم که اگر ماتريس
حال روند فوق را روی .. است2λرا خواهيم داشت که بزرگترين مقادير ويژه آن n−1ماتريس با بعد
.ماتريس حاصله تکرار می کنيم
:مثال
)10(.بزرگترين مقدار ويژه ماتريس زير را با روش توانی به دست آوريد 2−=ε
213132321
:حل
.رداری دلخواه اما ناصفر انتخاب می کنيمابتدا ب
vvv
vvvvavavAvAv
vvavAvA
∆=−=
−−−=−−−=
−−=∆
2
212
2112211
2111121
21111
)())1()1((
)())((
λλ
λλλλ
٦٣
=
==
=
=
==
=
141114111
3113
113
14
13231
321
001
123132321
001
)2(
)1()2(
)1(
)0()1(
)0(
normal
normal
normal
V
AVV
V
AVV
V
٦٤
ــداد 0 ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ تعــــ
مراحل
111
1
999832.0999195.0
1
999209.0999424.0
998281.0998271.0
1
99653.993120.
9795497945
175727569
141114111
12131
001
)(kV
ــال نرمــــ
شده
997481.5996476.5992658.5
994833.5990094.5991385.5
975890.597583.598618.5
93835.591780.589750.5
7542975
42975438
147514721469
3113
113
14
321
)(kV ــال نرمــــ
نشده
997481.5 994833.5 98618.5 93835.5
840.
بزرگترين 3 357142.56.4
λ در هر
ــه مرحلـــ
تکرار
[ ]
3011
21
1121
112211000
321111
213132321
2,1*
1
*1111
±=⇒=−−−
−−=−
−−
−=⇒
−−−=
−
=−=
λλ
λλIA
AaVAA
٦٥
ضـمنا بـردار .بزرگترين مقادير ويژه ماتريس زير را تا دو مرحله توسط روش توانی تعيـين کنيـد :تمرين
TXدلخواه اوليه ]1111[)0( . می باشد=
=
2110110110110112
A
فرض کنيم :رينتم
=−=
−
−
−
11
2
2
10000
),det()(
aaaa
aaaaa
AIAP
nn
n
n
n
nnn
λλثابت کنيد :
۱- 221 )()()()( −
− −−−= nnnn aaPaP λλλλ
۲-λλ −= 11 )( aP
۳- ])(4)()[(21,2)1(1 2
222
111 aaaaaania ni +−±+=−== λλ
روشهای تبديلی برای تعيين مقادير ويژه
:روش ژاکوبی
درايه ای است که روی قطـر ikaفرض می کنيم .متقارن به کار می رود اين روش در مورد ماتريسهای
را درنظـر مـی iia و ika و kia وkkaدرايـه هـای .اصلی نيست و از لحاظ کمی بيشترين مقـدار را دارد
: را به صورت زير تشکيل می دهيمA از 1Aگيريم و زير ماتريس
kkki
ikii
aaaa
−=
θθθθ
cossinsincos*S
٦٦
*از حاصل ضرب 1
* 1
SAS جمالت باال و پايين قطر را متحد صفر قرار می دهيم و رابطه زير را می −
:يابيم
0)sin(coscossin)( 22 =−+− θθθθ ikiikk aaa
kkii
ikikiikk aa
aaaa−
=⇒=+−2
2tan02cos2sin)(21
θθθ
kkiikkii
ik aaifaa
a≠
−= − )
2(tan
21 1θ
0,4
>== ikkkii aaaifπθ
0,4
<=−= ikkkii aaaifπθ
−=
10
cossin
sincos
0101
1
θθ
θθS
11
11 ASSB −=
211
11
22 SASSSB −−=
)()( 211
21211
11
21
kkkkk SSSASSSSSASSSSB −−−− ==
ASSBk1−=
مراحل حداکثرضمنا تعداد2
2 nnk − . می باشد=
٦٧
:مثال
.مقادير ويژه ماتريس زير با روش ژاکوبی تعيين کنيد
122
232
221
:حل
=
1221
1A
−
=
−=⇒=
220
22
010220
22
cos0sin010sin0cos
4 1
θθ
θθπ
θ S
−== −
100032023
11
11 ASSB
−
=
100
022
22
022
22
2S
−== −
100010005
211
22 SBSB
.-۱ و ۱ و۵:د ازکه مقادير ويژه عبارت
٦٨
−
−−
==
22
21
21
022
22
22
21
21
21SSS
.دن می باشiλ مقادير ويژه ويژه متناظر باهای بردارS های ستونهالزم به ذکر است ک
LRروش
. اشاره نمودLRروشهای تبديلی برای تعيين مقادير ويژه می توان به روش از جمله
بـه Aاسـاس کـار ايـن روش تبـديل مـاتريس .ورد ماتريسهای نامتقارن هم کـاربرد دارد ماين روش در
حاصل ضرب دو ماتريس باال و پايين مثلثی است که سرانجام ماتريس پايين مثلثی در دنباله تکـراری بـه
ماتريس باال مثلثی به يک ماتريس باال مثلثی همگـرا اسـت بـه طـوری کـه ماتريس واحد همگرا است و
:تعريف می کنيملذا . روی قطر اصلی ماتريس باال مثلثی قرار داردAتمام مقادير ويژه ماتريس
1AA=
nilRLA ii )1(1,1,111 ===
22112 RLLRA ==
33223 RLLRA ==
kkkkk RLLRA == −− 11
RIRRLA kkkkkk===
∞→∞→∞→limlimlim
٦٩
برابـر بـا مقـادير ويـژه مـاتريس آن در اين روش ماتريس به ماتريسی تبديل می شـود کـه مقـادير ويـژه
Aکهچون.است :
11
11 LRA =− 1
111112−== RARLRA
)det()det( 12 AA =
21
22 LRA =− 1
21
1112223−−== RRARRLRA
)det()det( 13 AA =
)det()det( 1AAk =
به سمت يک ماتريس باال مثلثی بايک معيار دقت تبديل می شود که همـه kAيابد می افزايش kوقتی
:يعنی. قرار داردkA روی قطر اصلی Aمقادير ويژه
RA kk → ∞→
offRoundوقتی سيستم بزرگ باشد تعداد عمليات محاسباتی زياد شده و خطای قابل کنترل نيـست −
.که اين مورد از معايب اين روش شمرده می شود
:مثال
. تعيين کنيد تکرار مرحله۶ تا LRمقادير ويژه ماتريس زير را توسط روش
=
2134
A
٧٠
:حل
1920
45
765
165
34
19
19200
34
19
1765
01
010145
165
34
19
141
01
450
34
4523
4114
450
34
141
01
0101
2134
22221221
211121
12
11
22
22
1211
21
112
2222122112
21112111
11
22
1211
211
=⇒=+
=⇒=
=
=
=
=
=
==
=⇒=+=
=⇒==
=
=
=
rrrl
lrl
r
r
RL
rrr
l
LRA
rrrlr
lrlr
RL
rrr
lA
٧١
000426.1,999564.40000568.010
000426.1000568.03999564.4
1000568.001
000426.10399786.4
000426.10399786.4
1000568.001
46947000284.0
399786.4
4964700
394496
144086125
01
9495
8836125
344
469
178618050
31994
11786
2501
01011920
36125
376
376
1765
01
19200
34
19
213
556
55
445
44
334
33
22
1211
21
223
==≡→⇒=
=
==
=
==
=
==
=
=
=
==
− λλεif
LRA
RL
LRA
RL
LRA
RL
rrr
l
LRA
. هستند۱و ۵مقادير ويژه واقعیمی دانيم در صورتی که
):تبديل به ماتريس سه قطری(روش هاوس هلدر nn ماتريسی Aم فرض کني بـه ا رAو متعامد می تـوان با استفاده از تبديالت ماتريسی متقارن . باشد ×
. تغيير کندAماتريس سه قطری تبديل کرد بدون اين که مقادير ويژهn
nT
nT
nn WWWWWIP ℜ∈=−= ×××× ,1,2 1111
PWWIWWIWWIP TTTTTnn
T =−=−=−= ×× )(2)2( 11
. متقارن استPيعنی
٧٢
IWWWWIWWWWWWWWIWWIWWIPP
TT
TTTTTTT
=+−=
+−−=−−=
44)(422)2)(2(
. متعامد استPيعنی فرض کنيم که
],...,,0,...,0,0[1212
1nr
rr
rT
rn
rT
rrr
xxWnrWWWWWIP
−
=−≤≤=ℜ∈−=
TWWiPr 222 22 −=⇒=
niiAiAPAPAAA ≤≤=⇒== 3)1,(),1(, 2221221
niiAiAPAPA ≤≤=⇒= 4)2,(),2( 333233
kkkk PPPAPPPA 32121−=
. يک ماتريس سه قطری خواهد شدk ، kAبا افزايش
فرض کنيم
=
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
A
1],,,0[2 24
23
22224322 =++==⇒= xxxWWxxxWr TT
[ ]
−−−
−−−
−−−=
−=
−
=
243424
432332
423222
243424
432323
423222
432
4
3
22
21220
22120
222100001
0
0
00000
20
0
2
1000010000100001
xxxxxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
Ixxx
xxx
P
٧٣
2122 PAPA = )(سطر اول 212 PAP21رابر است با سطر اول بPA.
سطر اول حاصل ضرب برابر است با
)]21(22
,2)21(2,22)21(,[241443134212
431423133212421432
31
221211
xaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaa
−+−−
−−+−−−−
)](2),(2),(2,[
414313212414
41431321231341431321221211
xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaa
++−++−++−
4143132121اگر فرض کنيم که xaxaxaq صورت زير در می آ لذا سطر اول حاصل ضرب به=++
:يد]2,2,2,[ 14141313121211 qxaqxaqxaa −−−
)2(02)1(02
1414
1313
=−=−
qxaqxa
:يعنی.حاصل جمع مجذورات سطرها قبل و بعد از تبديل برابر باشدبايستی 2
1212211
214
213
212
211 )2( qxaaaaaa −+=+++
214
213
2121212 2 aaaqxa ++±=−⇒
)3()(2 2
14213
212111212 aaaSSqxa ++=±=−
±=→=−±=−++→=−
±=−
)4()2(022)1(02
)3(2
2111414
2114143132121313
11212
xSqqxaxSqxaxaxaqxa
Sqxa
: قرار داده شود)3( در رابطه )4(حال کافی است رابطه
)5()22
1(21
122211
2212 S
axSSxa ±=→±=±
قرار می دهيم)1( را در رابطه )4(حال رابطه
)6(2
0)(221
13321313 xS
axxSxa ±=→=±−
٧٤
)7(2 21
144 xS
ax =
:هايتا خواهيم داشتن
)2
)sgn(21(
1
121222 S
aax +=
21
12133 2
)sgn(xSaax =
21
12144 2
)sgn(xSaax =
:مثال .با استفاده از الگوريتم هاوس هلدر ماتريس زير را سه قطری کنيد
−−−−−−−−−
−−
=
411214122141
2214
A
3)2()2()1( 2222
14213
2121 =++−=++= aaaS
]0[ 4322 xxxWT =
3
2)32
)1)(1(21()
2)sgn(
21(
1
121222 =
×−−
+=+=S
aax
61
3232
)1)(2(2
)sgn(
21
12133 =
××
−−==
xSaax
61
3232
)1(22
)sgn(
21
12144 −=
××
−×==
xSaax
٧٥
لذا
]6
1,6
1,32,0[2 −=TW
بنابراين
−
−−
=
32
31
320
31
32
320
32
32
310
0001
2P
−
−==
34
31
310
31
316
320
31
32
3163
0034
222 APPA
]00[ 433 xxWT =
35)
31()
32( 222
242232 =+=+= aaS
9732.0)5
121()
2)sgn(
21( 3
2
232323 =→+=
∗+= x
Saax
2293.01 234 =−= xx
]2293.09732.000[3 =Tw
٧٦
٢نهای فصل يتمر : نشان دهيد-١
∑∞
=
∞
=
==
1
2
1)21(
k
kk An
An
nAA
. نشان دهيد ماتريس زير دارای مقادير ويژه حقيقی است-٢
Ο
Ο
=
21421
421421
42
A
٣-1−A را محاسبه کنيد شعاع طيفی
=
010000101000010100001010000101000010
A
)(0 مفروضند،B×22و A×22اتريسهای م-٤ =Aρ 1 و)( =Bρ. آيا)(ABρ کراندار است؟
فرض کنيم -٥
=
1111
Aو
=
2
1
01β
βB. 1برای چه مقاديری ازβ2 وβ وقتی ∞→k
)(0داريم →kAB. . به يک ماتريس قطری تبديل می شودT به وسيله ماتريس A ماتريس-٦
=
−−−
=
322433101
1410418136
321
T
A
٧٧
. ويژه ماتريس را بيابيد مقادير ويژه و بردارهای . نشان دهيد که ماتريسهای زير معين مثبت هستند-٧
−
−
=
−
−=
113610319619661812
11174092415
6111741412
B
A
nnA ماتريس حقيقی λ با استفاده از قضيه گرشگورين کرانی برای مقادير ويژه -٨ × )3( ≥nبيابيد .
−−Ο
−−Ο−−
−
=
a
aa
a
A
11
1111
1
در يک معادله تفاضلی صدق می نمايند، آنگاه همه X بردار ويژه ix نشان دهيد که مولفه های -٩ .بردارهای ويژه و مقادير ويژه را بيابيد
YAX سيستم -١٠ : مفروض است به طوری که=
=
=
=
21
1232
2
1
Y
xx
X
A
.جواب اين سيستم را با رابطه تکراری زير به دست می آوريم
=
−+=+
11
)(
)0(
)()()1(
X
YAXXX kkk α
را بيابيم تا روند تکراری فوق دارای همگرايی بهينه باشد؟αچگونه پارامتر
]2293.09732.000[3 =TW
٧٨
وليهحل عددی معادالت ديفرانسيل معمولی مرتبه اول با شرايط ا )مسائل مقادير اوليه(
)(.. problemvalueinitialPVI
:مگيريمی مسئله مقدار اوليه زير را درنظر
)1()(,),( α=≤≤=′ aybxayxfy
: زير صد ق نمايدطدر شراي fتابع اگرمسئله فوق دارای جوب منحصر به فرد است
۱- ),( yxfباشد حقيقی
)},(,{ در ناحيه مستطيلی fتابع -۲ ∞∞−= ybxayxD پيوسته باشد و
),(تابع -۳ yxf به ازای جميع مقادير x متعلق به بازه],[ ba 1 و برای هـرy 2 وy لـق بـه ناحيـه کـه متع
D کنديعنی شيتزصدق ليپ شرطردباشد:
2121 ),(),( yyLyxfyxf −−
دارای جواب منحصر بـه فـرد )۱( مقدار اوليه مسئلهآن گاه ز ناميده می شود،شيت ثابت ليپLکه در آن
)(xy کندست که در شرط اوليه صدق میا .
بـرای .دارای جـواب منحـصر بـه فـرد اسـت )۱(اين فصل فرض ما بر اين است که مسئله مقدار اوليـه در
],[توضيح و بيان روشهای تفاضلی برای حل عددی ايـن مـسئله ابتـدا بـازه ba را بـه n بـا گـام بـازه زير
:می کنيم افراز hمساوی
njjhxxbxxax
nabh
j
n
)1(0,,,
0
10
=+===
−=
)2()1(0))(,()( njxyxfxy jjj ==′
٧٩
:برای حل مسئله مقدار اوليه فوق را به دو دسته کلی زير می توان تقسيم نمودروشهای تفاضلی
تک گامیروشهای -۱
چندگامیروشهای -۲
.دن می شو تفکيک صريح و ضمنیبه دو بخش خود اين روشها
تعريـف jyدر هـر مرحلـه توسـط و بدون واسـطه صراحتا jy+1راست يعنی روشهايی که در آن طرف
ضـمنی خوانـده مـی های صريح و درغير اين صورت روش های روش را دنمحاسبه شو شده در مرحله قبل
.دنشو
: می باشد زيرفرم کلی روشهای تک گامی صريح به فرم
),,(1 hyxhyy jjjj φ+=+
.ی باشد مfو h تابع تصحيح ناميده می شود و تابعی از گام φکه در آن
:فرم کلی روشهای تک گامی ضمنی به فرم زير می باشد
),,( 11 hyxhyy jjjj ++ += φ
:يک روش تک گامی) قطع کردن( خطای برشی
:شی را به صورت زير تعريف می کنيمخطای بر
)),(,()()( 1 hxyxhxyxyT jjjjj φ−−= +
:دقت يک روش تک گامی
، رابطـه زيـر برقـرار p است هرگاه به ازای عدد حقيقی و مثبـت pيک روش تک گامی دارای مرتبه
.باشد
)(1 pj hOTh ≤−
٨٠
: اويلر تفاضلیروش
],[که در آن بازه ) ۱(ای حل عددی مسئله مقدار اوليه رابطه بر ba را به n زير بـازه بـا گـام مـساویh
:نظير فوق افراز نموده ايم و معادله ديفرانسيل را در نقاط گره ای در نظر می گيريم
))(,()( jjj xyxfxy =′
.حال در صدد تقريب مشتق مرتبه اول با يک فرمول مشتق گيری دارای دقت مرتبه اول می باشيم
1)1(0))(,()()()(
)( 1 −==+−
=+∆
=′ + njxyxfTh
xyxyT
hxy
xy jjjjj
jj
j
: صرف نظر کنيم داريمjTچنان چه در رابطه فوق از خطای
)3(1)1(0),(1 −=+=+ njyxhfyy jjjj
خطای برشـی ايـن روش .ح می باشد رابطه فوق فرمول روش اويلر است که يک روش تک گامی صري
:عبارت است از
))(,()()( 1 jjjjj xyxhfxyxyT −−= +
: داريمjxاستفاده کنيم و با استفاده از بسط سری تيلور حول ) ۲(چنان چه در رابطه فوق از رابطه
)()(!2
)()()(!2
)()(
22
2
hOyhT
xyxyhxyhxyhxyT
j
jjjjjj
=′′=
−′−+′′+′+=
ε
:با توجه به تعريف مرتبه دقت داريم
)()(2
1 hOyhTh j =′′=− ε . روش اويلر دارای دقت مرتبه اول می باشدبنابراين
٨١
:آناليز خطا و همگرايی روش
. بنماييمEquationTestقبل ازپرداختن به آناليز خطا الزم است اشاره ای به معادله آزمون يا
),(در همسايگی نقطه ای نظير ) ۱(رفتار جواب مسئله مقدار اوليه yx را می توان با در نظر گرفتن فرم
),(لذا تابع غير خطی .پيش بينی نمود) ۱(خطی مسئله yxf را می توان با استفاده از بسط سری تيلور
),(حول yxنهايتا فرم خطی معادله ديفرانسيل فوق عبارت . و قطعذ آن بعد از جمالت اول خطی نمود
:زاست ا
در صورتی که
)()()(),( ),(),( xxxf
yfyyxfc yxyx −
∂∂
+∂∂
−=
حال با انتخاب λcyw : معادله به صورت زير ساده می شود=+
. مطلقا موهومی باشد متناوب خواهد بودλ معادله فوق درصورتی که xw)(جواب
.دهدشکل زير رفتار جواب را نشان می
cyy +=′ λ
),()( yxyf
∂∂
=λ
ww λ=′
٨٢
:با استفاده از تعريف خطای برشی داريم.حال به آناليز خطای اويلر می پردازيم
)1())(,()()( 1 jjjjj xyxhfxyTxy ++=+
را می يابيم اما در عمل jyدر روند محاسبات دقيق و حساب دقيق با استفاده از روش اويلر
را می يابيم jy به دست نمی آيد لذا ما تقريب jyدرمحاسبات به علت تاثير خطای روند کردن عمال
:بنابراين می توانيم تعريف کنيم که.
)2(1)1(0,),(1 −=−+=+ njRyxhfyy jjjjj
کم کنيم ) ۱(را از ) ۲(حال اگر رابطه
)()],()(,([)()( 11 jjjjjjjjjj RTyxfxyxfhyxyyxy ++−+−=− ++
:و از معادله آزمون استفاده نماييم داريم
)(])([)()( 11 jjjjjjjj RTyxyhyxyyxy ++−+−=− ++ λ
jjjبا فرض yxye −= : و قرار دادن آن در رابطه فوق معادله خطا را به صورت زير می يابيم)(
)()1(
1)1(0)(
1
1
jjjj
jjjjj
RTehenjRTehee
+++=
−=+++=
+
+
λ
λ
Ahحال اگر =+ λ1 و BRT jj : فرض کنيم داريم+=
BABBAeAeBAeABBAeABAeej
BAeejnjBAee jj
+++=
++=++=+=⇒=
+=⇒=
−=+=+
20
33
02
012
01
1
)1()(1
01)1(0
Ahe
ABh
eABA
AeABA
AeAe
BAAAeAe
h
jjj
jj
jj
jjj
=+≥
−+=−−
+≤−−
+=
+++++= −
λ
λλ 1
)1(111
11
)1(
000
120
٨٣
1)1(0)(1
max,max;)(10
1
;1
)()1(1)1(0)(
)(
)(
0
)(
0)(
)()(
00
1
1
0
0
00
0
−=+−
≤
==+−
≤=
−+≤∴
≤≤
−≤−=≥⇒=+≥
+++=
−=+++=
−
−
−−
−−
+
+
njhR
hTee
RRTTh
RTeeeif
Bh
eeee
eeA
xxxxjhAeAhe
RTehenjRTehee
xx
j
jjjj
xx
j
xxxx
j
xxxxj
njjhjh
jjjj
jjjjj
n
n
nn
nj
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λλ
λ
λλ
hT 0پس وقتی .است ) خطی ( درجه اول→h ولـی در مـورد . اين عبـارت بـه سـمت صـفر مـی رود
hR 0 وقتی→h به اين خاطر بايد بين اين دو خطا تعـادل برقـرار شـود . خطا به بی نهايت ميل می کند
.بهترين راه انتخاب گام مناسب است. مهار گرددRoundای که خط
:ی روشپايدار
خطای مرحله پايانی به سمت صفر ميـل h→0 وقتی Roundروشی پايدار است که در غياب خطای
.کند
٨٤
: کوتا– رانگ هایروش
موضـعی مرتبـه ی يـا برشـ همانا خطای کهحث شد دارای ويژگی مناسبی هستند تيلور که قبال ب روشهای
),(ولی نياز به محاسبه مشتقات .باالی آنهاست yxf و مـالل آور پيچيده می تواند ری از مسائل ا دربسي
کوتـا را -ی روشـهای رانـگ سـ ما ابتدا اصـول اسا .بنابراين از روش تيلور به ندرت استفاده می شود باشد
:با استفاده از قضيه مقدار ميانگين داريم.يمنبيان می ک
10,))(),()()()()( 1
<<+++=
+′+=+
θθθ
θ
hxyhxhfxyhxyhxyxy
jjj
jjj
به ازای21
=θداريم :
))2
(,2
()()( 1hxyhxhfxyxy jjjj +++=+
2روش اويلر با نصف گام hداريم :
jjj fhyhxy2
)2
( +≈+
:تقريب زير را داريمبنابراين
)2
,2
(1 jjjjj fhyhxhfyy +++=+
:رابطه فوق را می توان به صوت زير نوشت
21
12
1
)21,
2(
kyy
kyhxhfk
hfk
jj
jj
j
+=
++=
=
+
.اين روش را روش اويلر با نصف گام می نامند
با استفاده از روش اويلر می توان روند زير را بررسی کرد حال
٨٥
)],(),([21
)]()([21)
2(
11
1
++
+
+≈
′+′≈+′
jjjj
jjj
yxfyxf
xyxyhxy
:يم داشتبنابراين تقريب ذيل را خواه
))],(,(),([2 11 jjjjjjjj yxhfyxfyxfhyy +++= ++
:اين روش را می توان به فرم زير نيز نوشت
1)1(0,)(21
),(
),(
211
12
1
−=++=
++=
=
+ njkkyy
kyhxhfkyxhfk
jj
jj
jj
. اويلر می نامند-اين روش را روش کوشی
:دو روش قبل را می توان به صورت زير تعبير نمود
hyy)متوسط ضريب زاويه( jj +=+1
کوتا ما ضريب زاويه را در نقطه –عموما در روشهای رانگ .د کوتا می باش –اين اساس روشهای رانگ
jx و ساير نقاط ديگر می يابيم و متوسط اين ضريب زاويه هارا در گام h ضرب می نماييم و به جواب
jyی توان به صورت کلی زير تعريف کرد کوتا را م-بنابراين روشهای رانگ. اضافه می کنيم:
: ضريب زاويه ایv کوتای –روش رانگ
: ضريب زاويه را می توان به صورت زير تعريف کردv کوتای با –روش رانگ
٨٦
=+=
+++++=
+++=
++=
=
∑∑==
+
−−
1,
),(
),(
),(),(
111
11,2211
23213133
12122
1
v
ii
v
iiijj
vvvvvjvjv
jj
jj
jj
wkwyy
kakakayhcxhfk
kakayhcxhfkkayhcxhfk
yxhfk
و تعـداد ديگـر jxاويـه هـا درنقطـه در فرمول فوق تابع تصحيح عبارت است از ترکيب خطی ضريب ز
را بـه آسـانی محاسـبه jy+1بـا دانـستن طـرف راسـت مـی تـوان . قرار دارند jx+1و jxنقاط که در بين
هـا a هـا ، cبرای تعيين . ضريب زاويه ای استv کوتا يک روش صريح –رو ش رانگ بنابراين .نمود
بسط می دهيم به طوری که بـا بـسط سـری h را به صورت سری توانی jy+1 ها در رابطه فوق ما wو
برای آسانی کار در ذيـل نحـوه بـه . معينی از جمالت منطبق باشد ده ديفرانسيل تا تعدا تيلور جواب معادل
. ها را برای روش مرتبه دوم با جزئيات بحث و بررسی می کنيمw ها و a ها ، cدست آوردن
مرتبه دومروش رانگ کوتای
: کوتای دو ضريب زاويه ای را مدنظر قرار می دهيم–انگ روش ر
++=
++=
=
+ 22111
12122
1
),(
),(
kwkwyykayhcxhfk
yxhfk
jj
jj
jj
)( بـه jy+1 را به طريقی می يـابيم تـا 2w و 2c ، 21a ، 1wپارامترهای 1+jxy بنـابراين . نزديکتـر گـردد
)(بسط سری تيلور جواب معادله ديفرانسيل 1+jxyرا به صورت زير داريم :
٨٧
(**)))(
2(!3
)(!2
)()(
))(2(
))()(()(
)()()(
),()(),()(
(*))(!3
)(!2
)()()()(
232
1(*)
2
32
1
++
+++++++= →
++++=
+++++=′′′
+=′′⇒+=′+=+=′′
=′⇒=′
+′′′+′′+′+=+=
+
+
j
j
j
j
j
xyyx
yyxyxxxyxjjin
xyyxyyxyxx
xyyyxyyxxyxxj
xyxjyxyxyxj
jjjj
jjjjjj
ffff
fffffhfffhhfxyxy
fffffffff
fffffffffffxy
fffxyfffyffdxdyffxy
yxfxyyxfxy
xyhxyhxyhxyhxyxy
),( حول fحال با بسط jj yx 2 مقدارkرا حساب می کنيم :
]))(2(!2
1)(),([
),(
22121
22
222212
2122
++++++=
++=
yyxyxxyxjj
jj
fhfaffahcfhchffahfcyxfh
hfayhcxhfk
با جايگزينی
1k 2 وk در
رابطه فوق
:داريم
:داريم*)*(* و(**)حال با متحد قرار دادن
=
=
=
=+
212
212
22
21
21
21
1
ac
aw
cw
ww
*)*(*)2
(!2
)(
222
212122
222
3
212222
211
++
++++++=+
wffaffacw
fcwhffawfcwhhfwhfwyy
yyxy
xxyxjj
٨٨
221جواب دستگاه فوق عبارت است از ca = ، 2
2 21c
w و =2
1 211c
w 02 بـه طـوری کـه =− ≠c
:چنان چه جواب را در رابطه باال قرار دهيم داريم. می باشدپارامتر آزاد
+++++++=+ jj xyyxyxxxyxjjj fffffchfffhhfyy )2(4
)(2
2232
1
:خطای برشی عبارت است از
+
++−++++=
−= ++
]
2(!2
1)(2(!3
1[
)(
22
221
22122
2223
11
yy
xyxxyyxyyxyxx
jjj
ffwa
ffwacfcwfffffffffh
yxyT
++−++−= ])(61)2)(
61
4[( 223
yyxyyxyxx fffffffffch
معموال بين صفر 2cپارامتر آزاد .ه نشان می دهد که روش فوق دارای دقت مرتبه دوم استاين رابط ها صفر w را به طريقی انتخاب می کنيم که يکی از 2cبرخی اوقات .ويک انتخاب می گردد
به عنوان مثال اگر .شوند21
2 =c 01 انتخاب شود =wمی گردد .
)(a اگر 21
2 =cانتخاب شود داريم :
1)1(0,)2
,2
(1 −=+++=+ njfhyhxhfyy jjjjj .اين رابطه همان روش نصف گام اويلر است
)(b 12 اگر =c کنيم داريمانتخاب رامتر آزادبه عنوان پارا:
1)1(0,)],(),([21 −=++++=+ njhfyhxfyxfhyy jjjjjjj
. اويلر است که قبال بحث شد–اين روش همان روش کوشی
)(c اگر 32
2 =c انتخاب شود يعنی ضريب جمالتی از خطای قطع کردن را صفر بسازيم روشی را کـه
. کوتای مرتبه دوم بهينه می باشد–به دست خواهيم آورد، روش رانگ
٨٩
1)1(0,)3(41
)32,
32(
),(43,
41
211
12
1
21
−=++=
++=
=
==
+ njkkyy
kyhxhfk
yxhfk
ww
jj
jj
jj
:کوتای مرتبه سوم- رانگ هایروش
+++=
−=+++=
++=
=
+ 3322111
23213133
12122
1
1)1(0),(),(
),(
kwkwkwyynjkakayhcxhfk
kayhcxhfkyxhfk
jj
jj
jj
jj
چنان چه . ها را محاسبه کردw ها و c ها ، aنظير روش مرتبه دوم می توان 21
2 =c به عنوان پارامتر . کوتای کالسيک مرتبه سوم می باشد–آزاد انتخاب کنيم روشی که می يابيم رانگ
+++=
−=+−+=
++=
=
====−====
+ )4(61
1)1(0)2,(
)21,
21(
),(64,
61,2,1,1,
21
3211
213
12
1
23132313212
kkkyy
njkkyhxhfk
kyhxhfk
yxhfk
wwwaacac
jj
jj
jj
jj
:کوتای مرتبه چهارم-رانگ های روش
++++=
−=++++=
+++=
+=
=
+ 443322111
34324214144
23213133
12122
1
1)1(0),(),(
),,(
),(
kwkwkwkwyynjkakakayhcxhfk
kakayhcxhfkkayhcxhfk
yxhfk
jj
jj
jj
jj
jj
٩٠
رابطه را به ۱۲ فقط ما در اينجا. ها را می يابيمw ها و a ها ، cنظير روند فوق عمل می کنيم و باز همر آزاد برابر ت می باشد، با انتخاب پارام۱۳ مجهوالت ددست آورديم اما تعدا
2 مجهوالت را به صورت 1
: کوتا را خواهيم داشت–هارم رانگ لذا روش کالسيک مرتبه چ. زير می توان محاسبه کرد
62
61
101
0,21
3241
4342414
31323212
====
====
=====
wwww
aaac
aacac
: کوتای کالسيک مرتبه چهارم–روش رانگ
++++=
−=++=
++=
++=
=
+ )22(61
1)1(0),(
)21,
21(
)21,
21(
),(
43211
34
13
12
1
kkkkyy
njkyhxhfk
kyhxhfk
kyhxhfk
yxhfk
jj
jj
jj
jj
jj
کـه در شـرايط اوليـه α=)(ay ازچـون .روشهای فوق صريح ، تک گامی و خودشروع کننده هـستند
.و روشها را راه اندازی نمودمسئله داده شده، می توان استفاده کرد
:همگرايی و آناليز خطای روشهای رانگ کوتا
کوتـا را اثبـات مـی کنـيم –رانـگ ضـريب زاويـه ای وم يـا سـه سـ مرتبـه روش جا ما همگرايی اين در
:بنابراين داريم.
+++=
−=+++=
++=
=
+ )1()
1)1(0),(),(
),(
3322111
23213133
12122
1
kwkwkwyynjkakayhcxhfk
kayhcxhfkyxhfk
jj
jj
jj
jj
٩١
:همچنين می دانيم که فرم کلی روش تک گامی به فرم زير است
)2(),(1 hyxhyy jjjj φ+=+ : کوتا عبارت است از–نتيجه می گيريم که تابع تصحيح روش مرتبه سوم رانگ ) ۲(و ) ۱(از مقايسه
)3(][1),,( 332211 kwkwkwh
hyx jj ++=φ
در fاين مسئله دارای جواب منحصر به فرد اسـت اگـر .را درنظر می گيريم زير حال مسئله مقدار اوليه
:صدق کندشرط ليپ شيتز
2121 ),(),(),(
yyLyxfyxfyxfy
−≤−
=′
و jyلـذا بـه ازای .در شرط ليپـشيتز صـدق کننـد هستند بايستی f توابعی از iki=1)1(3از آنجا که
jy*داريم :
)5()1({
}{
)()()()(
),(),(
)4(),(),(
),(
*21
*21
*
*1121
*
*1121
**121
*121
*121
*21212
*22
***11
1
jjjjjj
jj
jjjj
jjjj
jjjjjj
jj
yyhLahLyyhLayyhL
kkayyhL
kkayyhLkaykayhL
kayhcxfkayhcxfhkk
yyhLyxfyxfhkk
yxhfk
−+=−+−≤
−+−≤
−+−=+−+≤
++−++=−
−≤−=−
=
)6()}1(1{
)1({
}{
)()()(
)()(
),(),(
*213231
*2132
*31
*
*2232
*1131
*
*2232
*1131
*
*232
*131
*232131
*232
*131
*32321313
*33
jj
jjjjjj
jj
jj
jj
jjjj
yyhLahLahLahL
yyhLahLayyhLayyhL
kkakkayyhL
kkakkayyhL
kakaykakayhL
kakayhcxfkakayhcxfhkk
−+++=
−++−+−≤
−+−+−≤
−+−+−=
++−++≤
+++−+++=−
. هم در شرط ليپشيتز صدق می کند)3(رابطه تابع تصحيح h→0وقتی که کنيم ثابت بايستی حال
٩٢
)()()(1
)()(1),,(),,(
*333
*222
*111
*33
*22
*11332211
**
kkwkkwkkwh
kwkwkwkwkwkwh
hyxhyx jjjj
−+−+−=
++−++=−φφ
**
*2221323332313212321
*21323132121
*
)6(),5(),4(*2132
313*
212*
1
*333
*222
*111
0
}))(){(
))}1(1()1({
}))1(
1()1({1
}{1
jj
jj
jj
jj
jjjj
yyLhif
yyLhaawwhLaawawhLwwwL
yyhLahLahLawhLawwL
yyhahLa
hLahLwyyhLahLwyyhLwh
kkwkkwkkwh
−≤−⇒→
−++++++=
−++++++≤−∴
→−+
+++−++−=
−+−+−≤
φφ
φφ
مـی تـوان ر همـين اسـاس بـ .لذا نتيجه می گيريم که جواب محاسبه شده بـه جـواب واقعـی همگراسـت
. بررسی کرد هممگرايی روشهای رانگ کوتای مراتب باالتر راه
:روشهای چندگامی
آن را بـا اسـتفاده truncate)( ناميم هرگاه خطای موضعی Pيک روش چندگامی را دارای دقت مرتبه
:هيم بسط دjxاز سری تيلور حول
)(
)()()()()()2
)1(11
)(2210
+
+++
+
+++′′+′+=P
jPP
PjPP
Pjjjj
hO
xyhCxyhCxyhCxyhCxyCT
00)1(,0ضرايب 1 ≠== +Pi CPiCباشد . :سازگاری روشهای چندگامی
)tan( را سازگار خطی يک روش چندگامی tconsis 1(گوييم اگر دارای دقت مرتبه می(>P باشـد
010يعنی حداقل == CC باشد.
: گامیkروش
: گامی به صورت زير استkفرم کلی روشهای
٩٣
),,,,,,,( 11111
11 hyyxxxhyay kjjkjjj
k
iijij +−++−+
=+−+ ′′+= ∑ φ
: گامی خطیkروش :گامی خطی به فرم زير استkفرم کلی روشهای
∑∑=
+−=
+−+ ′+=k
iiji
k
iijij ybhyay
01
111
)1(][1 1
1101∑ ∑= =
+−++− ′+′+=k
i
k
iijijiji ybybhya
00 ، )1(اگر در رابطه =b باشد روش k ودرغيـر يا روش پيشگو و يا بـاز صريحرا روش گامی خطی
. خوانده می شود يا اصالحگر و يابستهاينصورت روش ضمنی
: بشفورت– گامی صريح آدامز k هایروش
: را درنظر می گيريممسئله مقدار اوليه زير
)2()(,,),( α=≤≤=′ aybxayxfy
],[ابتدا بازه ba را به n زير بازه با گام مساویhافراز می کنيم لذا داريم :
nabh −
=
njjhax j )1(0, =+=
],[ فاصله حال اگر از معادله داده شده در 1+jj xx نسبت به xانتگرال بگيريم داريم:
)3(),()()(
),(
1
11
1 ∫
∫∫+
++
+=
=′
+
j
j
j
j
j
j
x
xjj
x
x
x
x
dxyxfxyxy
dxyxfdxy
را مجهول می باشد نمی توان انتگرال گرفـت لـذا آن yاز آن جا که انتگرال عالمتتابع زير از ) ۳(در
11 نقطـه k يعنـی jx قبـل از نقـاط گـره ای توسط فرمول درون ياب پسرو نيـوتن در ,,, +−− kjjj xxx
:لذا داريم.تقريب می زنيم
٩٤
)(!
)()()!1(
)()(2
))(()(
)(1
11
222
11
cfk
xxxx
fhk
xxxxf
hxxxx
fh
xxfxP
kkjj
jk
kkjj
jjj
jj
jk
+−
−−
+−−−
−−+
∇−
−−++∇
−−+∇
−+=
:بنابراين داريم. می توان حدود انتگرال گيری را ساده نمودحال با تغيير متغير زير
]1,0[:],[: 1 uxxx
hdudxuh
xx
jj
j
⇒
=⇒=−
+
)4()(
!)1()1(
)!1()2()1()1(
21)(
)(
121
cfhk
kuuu
fk
kuuufuufufuP
kk
jk
jjjk
−+++
∇−
−++++∇++∇+= −
−
:قرار می دهيم داريم) ۳(را در رابطه ) ۴(حال رابطه
ducfhk
kuuu
dufk
kuuufuufufhxyxy
kk
jk
jjjjj
∫
∫
+
−+
−+++
∇−
−++++∇++∇++=
1
0
)(1
1
0
121
)(!
)1()1(
])!1(
)2()1()1(21[)()(
jjjjjjjj Tfffffhxyxy ++∇+∇+∇+∇++=+ }720251
83
125
21{)()( 432
1 از اين رابطه می توان خانواده ای از .حال اگر از خطای قطع کردن صرف نظر کنيم رابطه زير را داريم
.ت آن به دست آورد بشفورت را با انتخاب جمالت متفاو-روشهای آدامز)5(}
720251
83
125
21{ 432
1 +∇+∇+∇+∇++=+ jjjjjjj fffffhyy :که خطای آن عبارت است از
)6()()1()1(!
1
0
)(1
ducfkuuuk
hT kk
j ∫ −++=+
را بايـک fتا تفاضل مرتبه اول به عنوان تقريب استفاده کنيم يا به عبارت ديگر تـابع ) ۵(اگر در رابطه
:ورت دوگانی يا مرتبه دوم را خواهيم داشت بشف-روش آدامزچندجمله ای درجه اول تقريب بزنيم
روش آدامز بشفورت مرتبه دوم
٩٥
1)1(1]3[2
)](21[
)21{
11
11
1
−=−+=
−++=
∇++=
−+
−+
+
njffhyy
fffhyy
ffhyy
jjjj
jjjjj
jjjj
: داريمk=2و با انتخاب ) ۶(حال با استفاده از رابطه
10;)1()(!2
1
0
3
<<+′′= ∫ cduuucfhTj
. محاسبه اين انتگرال بايد به نکته زير توجه کنيمبرای
:نکته
و بخواهيم انتگرال باشند دو تابعxg)( وxf)(اگر
∫b
a
dxxfxg )()(
در فاصـله انتگرالگيـری تغييـر عالمـت ندهـد xg)(و تابعی پيوسته باشد xf)(حساب کنيم که در آن
:است ازآنگاه مقدار اين انتگرال عبارت
badxxgfdxxgxfb
a
b
a
<<= ∫∫ ξξ )()()()(
:بشفورت مرتبه دوم عبارت است از–بنابراين خطای برشی روش آدامز
)(
)(125
10;)1()(!2
21
3
1
0
3
hOTh
fh
duuufhT
j
j
=
′′=
<<+′′=
−
∫
ξ
ξξ
٩٦
. مرتبه دوم است دارای دقتيعنی روش
روش آدامز بشفورت مرتبه سوم
)(
10)(83
1)1(2]51623[12
)2(125)(
21[
)125
21{
31
4
211
2111
21
hOTh
ccfhT
njfffhyy
ffffffhyy
fffhyy
j
j
jjjjj
jjjjjjjj
jjjjj
=
′′′=
−=+−+=
+−+−++=
∇+∇++=
−
−−+
−−−+
+
آدامز بشفورت مرتبه چهارمروش
)(
)1,0()(720251
1)1(3]9375955[24
)83
125
21[
41
)4(5
3211
321
hOTh
ccfhT
njffffhyy
ffffhyy
j
j
jjjjjj
jjjjjj
=
∈=
−=−+−+=
∇+∇+∇++=
−
−−−+
+
:مثال
همچنين جواب محاسبه شـده در . حل کنيدh=2.0مساله زير را با کليه روشهای آدامز بشفورت با گام
1=xرا با جواب واقعی مقايسه کرده و قدر مطلق خطا را بيابيد .
=≤≤+=′
1)0(10
yx
yxy
)حل
ز معادالت ديفرانسيل داريم که برای حل معادله خطـی مرتبـه ا.ابتدا جواب واقعی را به دست می آوريم
FIاول بايد يعنی اگر. يا عامل انتگرالساز را بيابيم.
)()( xgyxfy =+′
٩٧
آنگاه
]).([
.)()(
)(
cdxexgey
eFIdxxfdxxf
dxxf
+∫∫=
∫=
∫−
:پس داريم
211)0((*)436564.3)1(21
1
][][
.
=⇒=+−==⇒+−−=⇒
+−−=
+−−=+=
=∫=
∫ −−−
−−
ccyyexy
cexy
cexeecdxxeey
eeFI
x
x
xxxxx
xdx
:ابتدا روش آدامز بشفورت مرتبه دوم
. چون اين روش خودشروع کننده نيستنديم، را محاسبه کرد1y (*) توسط مابل از آنولی ق
242806.1)2.0( 11 === xyy
(**))1(375422.3
))024061.26.0()613714.28.0(3(1.0613714.24613714.2
))575647.14.0()024061.26.0(3(1.0024061.23024061.2
))242806.12.0()575647.14.0(3(1.0575647.12575647.1
))10()242806.12.0(3(1.0242806.1118.0
6.04.02.00
52.001
4)1(1)3(2
5
5
4
3
2
54
32
10
11
===
+−++===
+−++===
+−++===
+−++==
====
==
⇒=−
=
=−+= −+
xy
yj
yj
yj
yjxxxxxx
n
iffhyy jjjj
٩٨
پس قـدر مطلـق خطـا در . استx=1 مقدار محاسبه شده در (**) و x=1 مقدار واقعی در (*)مقدار
:اين نقطه عبارت است از
061142.0)1( 555 ==−= xyye
),,,(ضمنا 510 eee با نرم ماکزيمم گرفتن اين بـردار خطـای حـل مـسئله حاصـل مـی . بردار خطاست
.شود
:روش آدامز بشفورت مرتبه سوم
. محاسبه کنيم(*) را از 2yن بايد ولی قبل از آ
583649.1)4.0( 22 === xyy
0077462.0)1(428818.34646903.23042633.2
)]10(5)242806.12.0(16)583649.14.0(23[583649.12
4)1(2]51623[12
555
5
4
3
211
==−=
=====
+++−+==
=+−+= −−+
xyyeyjyj
yj
jfffhyy jjjjj
:تمرين
.مسئله فوق را با روش آدامز بشفورت مرتبه چهارم حل کنيد
مولتون-روش چندگامی ضمنی آدامز
],[در بازه ) ۲(از معادله ديفرانسيل رابطه 1+jj xxلذا داريم. انتگرال می گيريم:
)1(),()()(
),(
1
11
1 ∫
∫∫+
++
+=
=′
+
j
j
j
j
j
j
x
xjj
x
x
x
x
dxyxfxyxy
dxyxfdxy
٩٩
يعنـی فرمـول درون يـاب پـسرو نيـوتن با استفاده از jx+1 نقطه قبل از k+1را در f چنان چه تابع حال
11در نقاط ,,, +−+ kjjj xxx چنـد جملـه ای درون يـاب درجـه بـزنيم تقريبk ام را بـه صـورت زيـر
:داريم
)()!1(
)())((!
)())((!2
))(()(
)1(111
211
22
11
11
cfk
xxxxxxf
hkxxxxxx
fh
xxxxf
hxx
fxP
kkjjjj
k
kkjjj
jjj
jj
jk
++−++
+−++
++
++
+
−−−+∇
−−−++∇
−−+∇
−+=
u تغيير متغيـر برای آسانی کار و جهت تغيير حدود انتگرال گيری از h
xx j =اسـتفاده مـی کنـيم لـذا −
:داريم
1)(
]1,0[:
1 −=−−
=+−
=−
=
+ uh
hxxh
hxxhxx
uhdudx
jjj
)()!1(
)1()1()1(
!)2()1()1(
!3)1()1(
!2)1()1({)(
)1(1
*
1
13
12
11
cfk
kuuuuh
fk
kuuuu
fuuufuufufuP
kk
jk
jjjjk
++
+
++++
+−++−
+
∇−++−
+
+∇+−
+∇−
+∇−+=∴
: قرار می دهيم)1( رابطهحال اين عبارت را در
ducfk
kuuuuhdxxyxy kkjj ∫∫ ++
+ +−++−
++=1
0
)1(21
01 )(
)!1()1()1()1((*))()(
:حال اگراز خطای برشی اين رابطه صرف نظر کنيم و انتگرال بگيريم و محاسبه کنيم داريم
١٠٠
)2(]1440
2772019
241
121
21[
15
14
13
12
111
−∇−
∇−∇−∇−∇−+=
+
++++++
j
jjjjjjj
f
fffffhyy
: آن عبارت است از خطای برشیکه
)1,0()()1()1()1()!1(
1
0
)1(2
∈−++−+
= ∫ ++
µµkk
j fkuuuukhT
مولتون را بـه دسـت -زلف آدامت روشهای مخ می توان مراتب مختلفبا انتخاب جمالت ) ۲( در رابطه
مولتـون مرتبـه دوم –چنان چه تا تفاضل مرتبه اول را به عنوان تقريب در نظر بگيريم روش آدامز . آورد :و تک گامی را داريم
)تک گامی(روش آدامز مولتون مرتبه دوم -۱
)(
)(12
)1()(!2
][2
1)1(0)](21[
]21[
21
31
0
3
1
11
111
111
hOTh
fhuduufhT
ffhyy
njfffhyy
ffhyy
j
j
jjjj
jjjjj
jjjj
=
′′−=−′′=
++=
−=−−+=
∇−+=
−
+
++
+++
+++
∫ µµ
)دوگامی( روش آدامز مولتون مرتبه سوم -۲
:تا تفاضل مرتبه دوم را به عنوان تقريب استفاده کنيم داريم) ۲(ه در رابطه چچنان
)(
)(24
)1()1()(!3
]85[12
1)1(1)]2(121)(
21[
]121
21[
31
41
0
4
1
111
11111
12
111
hOTh
fhduuuufhT
fffhyy
njffffffhyy
fffhyy
j
j
jjjjj
jjjjjjjj
jjjjj
=
′′′−=+−′′′=
−++=
−=+−−−−+=
∇−∇−+=
−
+
−++
−++++
++++
∫ µµ
١٠١
):سه گامی( روش آدامز مولتون مرتبه چهارم -۳
:ن تقريب استفاده نماييم داريمتا تفاضل مرتبه سوم را به عنوا) ۲(چنان چه در رابطه
)(
)(720
19)2)(1()1()(!4
1)1(2]5199[24
]241
121
21[
41
)4(51
0
)4(5
1
2111
13
12
111
hOTh
fhduuuuufhT
njffffhyy
ffffhyy
j
j
jjjjjj
jjjjjj
=
−=++−=
−=+−++=
∇−∇−∇−+=
−
+
−−++
+++++
∫ µµ
:Pr)( پيشگو اصالحگر های روش MethodCorrectededictedPCM
∑∑=
+−=
+− +=k
iiji
k
iijij fbhyay
P
1
)0(1
1
)0(1
)0(
:
:و به طور کلی
∑∑=
+−++=
+−+
+ =++=k
iiji
rjj
k
iiji
rj rfbhyxfhbyay
C
11
)(110
11
)1(1 ,2,1,0),(
:
می کنيم پيشگويی با استفاده از يک روش چندگامی صريح جواب معادله را ابتدا
)0(1: +jyP
می کنيممحاسبه با استفاده از جواب مرحله پيشگويی جمله ضمنی کننده روش اصالحگر را سپس
),(: )0(11 ++ jj yxfE
را می يابيم تصحيح با استفاده از موارد فوق جواب مرحلهدر مرحله آخر
)1(1: +jyC
: داريمدر نتيجهبار اين عمل را تکرار کرديم nاين عمل را مجددا تکرار می کنيم فرض می کنيم
١٠٢
,2,1)( =≡ nECPECPECECEC n
. بار محاسبه و اصالح می کنيمnيعنی يکبار پيشگويی می کنيم و
:مثال
)1,0(تکرارمرتبه سوم تا دو مرحله ئله زير را با روشهای پيشگو اصالحگرمس =rحل کنيد .
2.01)0(10
==≤≤+=′
hy
xyxy
)حل
====
==
=−
=
18.06.04.02.00
52.001
54
32
10
xxxxxx
n
:ابتدا با روش آدامز بشفورت مرتبه سوم پيشگويی می کنيم
4)1(2)](5)(16)(23[601
]51623[12
:
2211)0(1
211
=+++−++=
+−+=
−−−−+
−−+
jyxyxyxyy
fffhyy
P
jjjjjjjj
jjjjj
:حال با روش آدامز مولتون مرتبه سوم تصحيح می کنيم
583649.1242806.1)2.0(21
)]()(8)(5[12
2.0
]85[12
:
2
11
11)(11
)1(1
111
====⇒+−−=
+−++++=
−++=
−−+++
+
−++
yxyyexy
yxyxyxyy
fffhyy
C
x
jjjjr
jjjr
j
jjjjj
١٠٣
);1;0();4;2(++≤=
++≤=rrrfor
jjjfor
044448.2)]()(8)(5[12
2.0
044309.2)]()(8)(5[12
2.0
042634.2)](5)(16)(23[601
1122)1(
332)2(
3
1122)0(
332)1(
3
0011222)0(
3
=+−++++=
=+−++++=
=+++−++=
yxyxyxyy
yxyxyxyy
yxyxyxyy
حل عددی مسائل مقدار مرزی
:معادله ديفرانسيل مرتبه دوم زير را در نظر می گيريم
)1(),,( bxayyxfy ≤≤′=′′
: مانندهمراه باشد شرايط مرزی نوع اولاين معادله می تواند با
βα == )(,)( byay
:مانند شرايط مرزی نوع دوميا با
βα =′=′ )(,)( byay
651599.2
651433.2)]((8)(5[12
2.0
649430.2)](5)(16)(23[601
)2(4
22)2(
33)0(
44)2(
3)1(
4
1122)2(
33)2(
3)0(
4
=
=+−++++=
=+++−++=
y
yxyxyxyy
yxyxyxyy
437515.3
437308.3)]()(8)(5[12
2.0
434831.3)](5)(16)(23[601
)2(5
)2(33
)2(44
)0(55
)2(4
)1(5
22)2(
33)2(
44)2(
4)0(
5
=
=+−++++=
=+++−++=
y
yxyxyxyy
yxyxyxyy
١٠٤
: مانندشرايط مرزی نوع سومو يا با
243121 )()(,)()( dbycbycdaycayc =+′=+′
. اين موضوع را روشن می سازد و قضيه زير است جواب منحصر به فرددارای) ۱( مقدار مرزی مسئله
:قضيه
است ودريکی از شرايط مرزی داده شده صدق مـی کنـد xy)(صر به فرد دارای جواب منح )1(معادله
),,(اگــر yyxf :)},,(,,{ در ناحيــه ′ ∞′−∞≤≤′ yybxayyxD پيوســته باشــد همچنــين
دارای مــــشتقات نــــسبی اول yf
yf
∂∂
′∂∂ ــته در , ),,(:0 باشــــد وDناحيــــه پيوســ
yfDyyx
∂∂
∈′∀
MوyfDyyx ′∂
∂∈′∀ .باشد),,(:
. باشدخطی ويا غير خطی می تواند ′y و y نسبت به )1(معادله
خطی باشد آن گاه )1(اگر معادله
)2()()()( xryxqyxpy ++′=′′
ه در مورد معادله خطی تعميم قضي
],[ در xr)( و xq)( ، xp)(توابع دارای جواب منحصر به فرد است اگر )1(معادله ba پيوسته باشـند
و
0)( xq وMxp )(.
روش تفاضلی مرتبه دوم
: با شرايط مرزی نوع اول را درنظر می گيريم مرزیمقدارحال مسئله
١٠٥
)1()1(1;
)()(
)()()(
njjhaxn
abh
byay
bxaxryxqyxpy
j =+=−
=
==≤≤
++′=′′
βα
)3()(!4
...................................................................
)(!4
)(!3
)(!2
)()()()(
)2()1(0)()()()()()(
)4(4
)4(432
1
+
+
+=
++′′′+′′+′+=+=
=++′=′′
j
jjjjjjj
jjjjjj
xyh
xyhxyhxyhxyhxyhxyxy
njxrxyxqxyxpxy
1)1(1)())(2
1())(2())(2
1(
)()())((2
2
1)1(1)()()()](122
)()()[()(
!4)()(2)(
)6()(!32
)()()(
)5()(!4
)()(2)()(
)4()(!4
...................................................................
)(!4
)(!3
)(!2
)()()()(
21
21
221111
211)4(
2
211)1()6(),5(
2
211)4()3(
1)4(
2
211)4(),3(
)4(4
)4(432
1
−==−++−+∴
++−=+−
−=++′′′
−−
=−+−
→
′′′−−
=′ →
−+−
=′′ →
+=
−+′′′−′′+′−=−=
+−
−++−
−++−
−+−
+−
−
−
njxrhyxphyxqhyxph
xrhyxqhyyxphyyy
njxrxyxqcy
hh
xyxyxpcyh
hxyxyxy
cyhh
xyxyxy
cyhh
xyxyxyxy
xyh
xyhxyhxyhxyhxyhxyxy
jjjjjjj
jjjjjjjjj
jjj
jjj
jjjin
jjj
jjjj
j
jjjjjjj
−−
+−
=
−−+
−−−+
−−−+
−−−
−−
−
−
−
−
−−
−−−
112
22
32
22
112
1
2
3
4
3
2
1
12
1
222
2
222
2
112
)2
1(
)2
1(
22
1
212
21
212
21
212
nn
n
n
n
n
nn
nnn
phrh
rh
rhrh
phrh
yyy
yyyy
qhph
phqhph
phqhph
phqh
β
α
١٠٦
:مثال
.با روش تفاضلی مرتبه دوم مسئله زير را حل کنيد
2.01)1(2)0(10
)32(23
===≤≤
+++′−=′′
hyy
xxyyy
)حل
02)(3)(
32)(
=−=
+=
xqxp
xxr
پس شرايط قضيه قبل حـاکم اسـت ومـا دارای . مثبت است xq)( کرندار و xp)(.تمام توابع پيوسته اند
.جواب منحصر به فرد هستيم
======
⇒=−
=18.0
6.04.02.00
52.001
54
32
10
xxxxxx
n
.حال ماتريس فوق را تشکيل می دهيم
−+
++
−+
=
−−
−−
3.1)32(04.0)32(04.0)32(04.0
)7.0(2)32(04.0
08.27.0003.108.27.00
03.108.27.0003.108.2
4
3
2
1
4
3
2
1
xxx
x
yyyy
.اين دستگاه توسط روش حذفی گاوس به سادگی حل می شود
١٠٧
روش نيومرو
: زير را درنظر می گيريمبا شرايط مرزی نوع اول مقدار مرزی مسئله
)1()()(
,),(
βα
==
≤≤=′′
byay
bxayxfy
],[بازه baرا به nکنيم زير بازه با گام مساوی افراز می :
nabh −
=
njjhax j )1(0, =+=
: درنظر می گيريم jxمعادله ديفرانسيل داده شده را در
)2()1(1))(,()( njxyxfxy jjj ==′′
تقريب می را در سه نقطه با ضرايب نامعينfحال مشتق مرتبه دوم را با يک فرمول سه نقطه ای و تابع
:زنيم
)3())}(,())(,())(,({)()(2)(
112
11102
11
jjj
jjjjjjj
Txyxfxyxfxyxfhxyxyxy
+
++=+−
++
−−+−
β
ββ
)(اسـتفاده کنـيم و همچنـين ) ۲(از رابطه کافی است که برای تعيين ضرايب نامعين 1−jxy، )( 1+jxy،
)( 1+′′ jxy و )( 1−′′ jxy را حول jx دهيم بسطتيلور با سری .
++′′′+′′+′++
−−+′′′−′′+′−
)(!4
)(!3
)(!2
)()(
)(2)(!4
)(!3
)(!2
)()(:..
)4(432
)4(432
jjjjj
jjjjjj
xyhxyhxyhxyhxy
xyxyhxyhxyhxyhxySHL
١٠٨
j
jjjjj
jjjj
jjjj
T
xyhxyhxyhxyhxy
xyhxyhxyhxyh
xyhxfxyhxyhSHR
+
+++′′′+′′+′′+
++−+′′′
−′′=+++′′
]}
)(!4
)(!3
)(!2
)([)(
])(!4
)(!3
)(!2
)(
)({)(2)(!4
2)([{:..
)6(4
)5(32
21
)6(4
)5(3
)4(2
02)6()4(
4
02
ββ
ββ
. فوق را می کنيمهرابط
jj
jj
jj
Txyh
xyhxyh
xyhxyhSHR
++−+
−++
+′′′−+′′++
)(!4
)(
)(!3
)()(!2
)(
)()()()(:..
)6(6
02
)5(5
02)4(
4
02
302
2210
ββ
ββββ
βββββ
می توان روابط زير را بـه دسـت آورد کـه از ايـن با سمت چپ قرار دادن روابط سمت راست متحد با
. را محاسبه نمودمجهوالتروابط می توان
61
1210,
1210
1
02
12002
210
=+
===⇒=−
=++
ββ
βββββ
βββ
محاسبه شده فـوق کـه اولين جمله ناصفر متناظر با مجهوالت خطای برشی روش نيومرو عبارت است از
:به صورت زير می يابيم
)(144
1)(!46
1 )6(6)6(6
cYhcYhTj ==
)(بنابراين خطای برشی دارای دقت مرتبه 6ho روش نيومرو دارای دقت است لذا نتيجه می گيريم که .باشدم می نجپتبه مر
:الگوريتم روش
١٠٩
1)1(1]10[12
2 11
2
11 −=++=+− +−+− njfffhyyy jjjjjj
:مثال
.مسئله زير را با روش نيومرو حل کنيد
2.00)3()2(
)32(22
===
++=′′
hyy
xyx
y
)حل
4)1(1)]322(
)322(10)322[(30012
38.26.24.22.22
52.023
1121
21121
11
54
32
10
=++
++++++=+−
==
====
⇒=−
=
+++
−−−
+−
jxyx
xyx
xyx
yyy
xxxxxx
n
jjj
jjj
jjj
jjj
:با جايگذاری در معادله باال داريم
=
−
−
3307.03266.0312.0296.0
0085.29990.0009991.00098.29988.0009990.00115.29988.0009988.00137.2
4
3
2
1
yyyy
.اين دستگاه با روش حذفی گاوس به راحتی حل می گردد
١١٠
PDE)(معادالت ديفرانسيل با مشتقات جزئیحل
:به صورت زير استبا مشتقات جزئی معادالت ديفرانسيل فرم کلی
)1(0),,,,(2 2
2
2
2
=∂∂
∂∂
−∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
yu
xuuyxF
yuC
yxuB
xuA
هستند يا توابعی از y و xتوابعی از يا Cو B وAکه در آن xu
∂ و ∂
yu
∂∂.
و u يـک تـابع خطـی نـسبت بـه F و y و x تـوابعی از Cو B و Aاگر xu
∂ و ∂
yu
∂ باشـد آن گـاه ∂
),( معادله ديفرانسيل خطـی مرتبـه دوم ناميـده مـی شـود کـه دارای جـواب )1(معادله ديفرانسيل yxu
:يعنی.است
02 2
22
2
2
=++∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
∂+
∂∂ GHu
yuE
xuD
yuC
yxuB
xuA
.y و x هم می توانند ثابت باشند وهم تابعی از Cو B وAکه در آن
.عادله ناهمگن خوانده می شودت م معادله همگن و درغير اين صورG=0اگر در اين معادله
02اگر ) ۱حالت =− ACBاز نوع سهموی است که معادله گرما از جمله اينهاست فوق باشد معادله .
:در اين صورت داريم
AACBB
dxdy −±
=2
02اگر) ۲حالت ACB .ز اين دسته استعادله موج افوق از نوع هذلولوی است که م معادله −
02اگر ) ۳حالت ACB از ) پواسـون (از نـوع بيـضوی اسـت و معادلـه الپـالس فـوق باشد معادله −
.جمله اينهاست
١١١
معادله گرما در فضای يک بعدی
در فضای يک بعد چنان چه تمامی ثابتهای فيزيکی را واحد انتخاب نماييم معادله انتقال حرارت
:عبارت است از
(*))(),()(),()()0,(
)1(0,
2
1
2
2
===
≤≤∂∂
=∂∂
tgtbutgtauxfxu
tbxaxu
tu
),(جواب معادله فوق يعنی يافتن ما هدف txu مـرزی و اوليـه شـرايط در و )1( است که در معادلـه(*)
.صدق کندديريکله معروف است مرزی که به شرايط
:زير استکلی تفاضلی برای حل عددی به صورت روش
],[بازه ba را بهM زير فاصله با گام مساویh 0,[ افراز می کنيم و همچنين بازه[ T را به N زير بازه با
:ريم افراز می کنيم بنابراين داkگام مساوی
NnnktNTk
MmmhaxM
abh
n
m
)1(0
)1(0
==
=
=+=
−=
),(شبکه عمومی نقاط فوق را که عبارت است از nm tx در نظر می گيريم و معادله ديفرانسيل را در اين
برای آسانی کار فرض می کنيم.شبکه نقاط گسسته می سازيم
)(
)(),(
SolutioneapproximatusolutionExactUtxu
nm
nmnm =
١١٢
:در فضای تک بعدیاشميت برای حل عددی معادله گرما صريح روش
:را د رمجموعه نقاط گسسته در نظر می گيريم) ۱(معادله ديفرانسيل رابطه
)2()()( ),(2
2
),( nmnm txtx xu
tu
∂∂
=∂∂
:با استفاده از فرضيات فوق داريم
)3(2
2
xU
tU n
mnm
∂∂
=∂
∂
بـا وtبرای تقريـب مـشتق نـسبی مرتبـه اول نـسبت بـه مرتبه اول از فرمول تفاضلی پيشرو حال با استفاده
:داريم x برای تقريب مشتق نسبی مرتبه دوم نسبت بهفرمول تفاضل مرکزی مرتبه دوماستفاده از
)4()(2
)(
)()(
22
111
22
hOh
UUUkOk
UUhOUkOU
nm
nm
nm
nm
nm
nmx
nmt
++−
=+−
+=+∆
+−+
δ
:ا داريم در طرفين رابطه نهايتkو با استفاده از ضرب ) ۳(دررابطه ) ۴(با استفاده از رابطه
)]([]2[ 2112
1 hkOkUUUhkUU n
mnm
nm
nm
nm +++−=− +−
+
باانتخاب
2hk
=λ
:داريم)]([]2[ 2
111 hkOkUUUUU n
mnm
nm
nm
nm +++−=− +−
+ λ : خطای برشی رابطه فوق صرفنظر کنيم داريمحال اگر از
)5(1)1(1,1)1(0)1(
]2[
111
111
−=−=+−+=
+−=−
+−+
+−+
MmNnuuuuuuuuu
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
λλλ
λ
:برای تعيين دقت روش به شرح زير عمل می کنيم.تفاضلی اشميت می نامندروش را رابطه فوق
١١٣
:خطای برشی روش فوق عبارت است از :دقت روش
)6()21( 122121 n
mnm
nm
nm
nm U
hkU
hkU
hkUT +−
+ −−−−=
),(را با استفاده از سری تيلورحول)۶(حال رابطه nm txبنابراين داريم. بسط می دهيم:
}!3!2
{)21(}!3
!2{
!3!2
3
3
2
22
3
33
2
22
23
33
2
22
+∂∂
+∂
∂+
∂∂
+−−−+∂
∂
−∂
∂+
∂∂
−−+∂
∂+
∂∂
+∂
∂+=
xUh
xUh
xUhUU
xUh
xUh
xUhU
hk
tUk
tUk
tUkUT
nm
nm
nmn
mnm
nm
nm
nmn
m
nm
nm
nmn
mn
m
λλ
:رابطه فوق را ساده می کنيم
+∂
−∂
∂+
∂∂
−∂
∂=
∗
4
42
2
22
2
2
12!2)(
xUkh
tUk
xU
tUkT
nm
nm
nm
nmn
mα
: داريم) ۳(بطه با استفاده از را
+∂
∂−
∂∂
= 4
42
2
22
12!2 xUkh
tUkT
nm
nmn
m
:بنابراين دقت خطای برشی روش اشميت عبارت است از)( 22 khkOT n
m += : رابطه فوق دقت روش اشميت را به صورت زير می يابيمkبا تقسيم بر
)( 21 hkOTk nm +=−
)(فوق دارای دقت اين روش بنابر 2hko اگـر اين روش مشروط پايـدار اسـت و . است +
21
≤λ روش .واره پايدار استهم
١١٤
:فرم سلولی روش فوق عبارت است از. روش اشميت روشی است دو اليه ای و صريح
)شکل(
:رای حل عددی معادله گرما در يک فضای تک بعدیضمنی السنن بروش
بـا اسـتفاده ازيـک فرمـول مـشتق را ) ۳(طرف چپ رابطه در tحال اگر مشتق نسبی مرتبه اول نسبت به
مرکزی مرتبـه دوم تفاضل فرمول يک وسمت راست اين رابطه را با تقريب بزنيم پسرو مرتبه اول گيری
:داريم زنيمب تقريب
: ضرب کنيم داريمkقرار دهيم و طرفين اين رابطه را در) ۳(را در رابطه ) ۷(حال اگر رابطه
)()2( 2211
1 khkOUUUUU nm
nm
nm
nm
nm +++−=− +−
− λ
: داريمn+1 به nاز خطای برشی رابطه فوق صرفنظر کنيم و هم چنين با تغيير حال چنان چه
)8(1)1(0,1)1(1)21( 11
111 −=−=−++−= +
+++
− NnMmuuuu nm
nm
nm
nm λλλ
رو ش فوق روش السنن ناميده می شود که روشی ضمنی و دواليه ای لست که فرم سـلولی آن عبـارت
:است از
)شکل(
)7()(2)( 22
111
2
hOh
UUUkOkUU
UUnm
nm
nm
nm
nm
nmx
nmt
++−
=+−
=∇
−+−
δ
١١٥
:دقت روش :خطای برشی روش السنن عبارت است از
nm
nm
nm
nm
nm UU
hkU
hkU
hkT −−++−= +
++−
−112
12
112 )21(
),(ه فوق را با استفاده از سری تيلورحول رابط nm txبسط می دهيم داريم:
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nmn
mn
m
UtUk
tUk
UxUh
xtUkh
xtUhk
tUk
xUh
txUkh
tUk
xUh
tUkU
hkT
−+∂
∂+
∂∂
+
+++∂
∂−
∂∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
+∂
∂−
∂∂
+−=
]!2
)[21()33(!3
1
)2(!2
1)([
2
22
3
33
2
3
2
32
3
33
2
22
2
2
22
2
λ
:با ساده کردن رابطه فوق داريم
+∂
−∂
∂+
∂∂
−∂
∂= 4
42
2
22
*
2
2
12!2)(
xUkh
tUk
xU
tUkT
nm
nm
nm
nmn
mα
:رابطه فوق به صورت زير ساده می شود) ۳(با استفاده از رابطه
+∂
∂−
∂∂
= 4
42
2
22
12!2 xUkh
tUkT
nm
nmn
m
:يم که خطای برشی روش السنن عبارت است ازلذا نتيجه می گير
:بنابراين دقت روش السنن عبارت است از
)( 21 hkOTk nm +=−
)( 22 khkOT nm +=
١١٦
برای اين روش61
≤λپايدار است لذا رو ش را مشروط پايدار نامند .
:نيکلسون -کروش کران
.اين روش در واقع ترکيبی از دو روش قبلی است
بنـابراين دوروش .رين روش برای اثبات فرمول عبارت است از ميـانگين گـرفتن از دو روش فـوق ساده ت
:فوق را درنظر می گيريم
)9(1)1(1,1)1(0)1( 111 −=−=+−+= +−
+ MmNnuuuu nm
nm
nm
nm λλλ
)10(1)1(0,1)1(1)21( 11
111 −=−=−++−= +
+++
− NnMmuuuu nm
nm
nm
nm λλλ
:و حال ميانگين دو روش فوق
1)1(1,1)1(02
)1(22
)1(2 11
11
111
−=−=
+−+=−++− +−++
++−
MmNn
uuuuuu nm
nm
nm
nm
nm
nm
λλ
λλλ
λ
:فرم اپراتوری اين رو ش عبارت است از)11(1)1(1,1)1(0)
21()
21( 212 −=−=+=− + MmNnuu n
mxnmx δ
λδ
λ فرم سلولی اين روش .اين روش را روش کرانک نيکلسون نامند که روشی دو اليه ای و ضمنی است
:عبارت است از
)شکل(
١١٧
:دقت روش
:خطای برشی روش عبارت است از ميانگين خطای برشی دو روش اشميت و السنن
)(4
)(2
)(2
2322
43
4
4
2
2
22
*
2
2
khkOtx
UkxU
hk
xU
tU
tk
xU
tUkTTT
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nml
nmsn
m
+=+∂∂
∂−
∂∂
−∂
∂−
∂∂
∂∂
+∂
∂−
∂∂
=+
=
:داريم) ۳(با استفاده از رابطه
:ا نتيجه می گيريم که دقت روش عبارت است ازلذ
)( 221 hkOTk nm +=−
. ای روش همگرا می شودλمنا اين روش همواره پايدار است يعنی با انتخاب هرض
:روش ريچاردسون
ک فرمول مشتق گيری نسبی مرتبـه دوم با ي ) ۳(رادر رابطه tبه اول نسبت به تحال چنانچه مشتق نسبی مر
:تقريب بزنيم داريم
)(2
)(2
22
11211
hOh
UUUkOkUU n
mnm
nm
nm
nm +
+−=+
− +−−+
2h ضرب کنيم و با استفاده ازk2چنان چه رابطه فوق را درk
=λداريم :
)()2( 2211
11 khkOUUUUU nm
nm
nm
nm
nm +++−=− +−
−+ λ
:چه از خطای برشی صرفنظر کنيم داريمچنان
)12(1)1(11)1(1)2(2 111
1 −=−=++−= −+−
+ MmNnuuuuu nm
nm
nm
nm
nm λ
)(4
2322
43
4
42 khkO
txUk
xUkhT
nm
nmn
m +=+∂∂
∂−
∂∂
=
١١٨
فـرم سـلولی عبـارت . که روشی سـه اليـه ای و صـريح اسـت روش فوق را روش ريچاردسون می نامند
:است از
)شکل(
:دقت روش
:رو شريچاردسون عبارت است ازخطای برشی
111
1 )2(2 −+−
+ −+−−= nm
nm
nm
nm
nm
nm UUUUUT λ
),(با بسط سری تيلور حول nm tx داريمنهايتا) ۳( و با استفاده از رابطه :
)( 23 khkOT nm +=
:بنابراين دقت روش عبارت است از
)( 221 hkOTk nm +=−
: فرنکل–روش دافورت :اگر در روش ريچاردسون از تقريب زير استفاده کنيم
)1()(
21 11 −+ +≅ n
mnm
nm uuu
:داريم
1)1(11)1(0)21()(2)21( 1
111
−=−=−++=+ −
+−+
MmNnuuuu n
mnm
nm
nm λλλ
:تقسيم کنيم داريم +λ21 فين رابطه را دررحال اگر ط)13(1)1(11)1(1
2121)(
212 1
111 −=−=
+−
+++
= −+−
+ MmNnuuuu nm
nm
nm
nm λ
λλ
λ
١١٩
:روش فوق روشی است سه اليه ای و صريح که فرم سلولی آن عبارت است از
:دقت روش : فرنکل عبارت است از–خطای برشی روش دافورت
111
1 )21()(2)21( −+−
+ −++−+= nm
nm
nm
nm
nm UUUUT λλλ
:نيم داريمچنان چه رابطه فوق را با استفاده از سری تيلور بسط دهيم و ساده ک
)( 23 khkOT nm +=
:لذا نتيجه می گيريم که دقت روش عبارت است از)( 221 hkOTk n
m +=−
.ضمنا اين روش از روش قبلی پايدارتر است
:۱مثال
با استفاده از روش اشميـت و 31,
361
== hk1,0 معادله زير را برای دو اليه=n کنيد حل.
1002
2
≤≤∂∂
=∂∂ xt
xu
tu
===
0),1(0),0(sin)0,(
tutu
xxu π
)حل
١٢٠
33293
329
24
24
2,11
3833
83
233sinsin2sin24
233sinsin2sin24
2,10
);2;1();1;0(24
21)(
41
22
211
312
11
22
12
11
10
21
21
11
32103
02
01
21
21002
01
00
11
111
111
==⇒
++=
++=
==
==⇒
=++=++=
=++=++=
==
++≤=++≤=++=
++=
+−+
+−+
uuuuuuuuuu
mn
uuxxxuuuu
xxxuuuu
mn
mmmfornnnfor
uuuu
uuuunm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
πππ
πππ
:۲مثال
. نيکلسون برای دو اليه حل کنيدله زير را بااستفاده از روش کرانکمسا
==
=
≤≤∂∂
=∂∂
ttuttu
xxu
xtxu
tu
2),1(),0(
sin)0,(
100
2
2
2
π
41
91
361
36101,0
132
310
3)1(0
30131
2
10
32
10
===
==⇒==
==
==⇒==
=⇒−
=
hk
ttnnkt
xx
xxmmhx
MM
n
m
λ
١٢١
)حل
تمرينهاي فصل سوم')sin,()0(1: ست مسئله مقدار اوليه زير مفروض ا-١ =+= yyxy
حل h=0.1 كوتاه با گام -اين مسئله را با روشهاي اويلر پيراسته اويلرروشهاي مراتب مختلف رانگ . را بيابيد y(0.4)كنيد و جواب تقريبي
')(2,)0(2: مسئله مقدار اوليه زير مفروض است-٢ =−+= yxyxy y(0.6 ( جواب تقريبي معادله رادر h=0.15,h=0.2,h=0.3 روش اويلر و گامهايبا استفاده از: الف
) رقم اعشار٥محاسبات تا .(بيابيد . كوتاه و پيراسته اويلر حل كنيد-مسئله را با گامهاي مندرج در فوق با روشهاي مرتبه دوم رانگ :ب
5443.05275.0
])36(
1)18(
1[610
61610
610
610
1812),1(
)361(),0(
912),1(
181)
361(22),0(
2,11
6742.05567.0
22
21
2212
11
22
21
12
11
22
21
13
12
11
23
22
21
12
11
10
22
21
20
1113
2211
10
2223
22
2220
11
12
==⇒
+++=−
++=+−≡
++=−+−
++=−+−
===
===
===
=====
==
==⇒
uu
uuuu
uuuu
uuuuuuuuuuuu
ttuu
ttuu
ttuu
ktttuu
mn
uu
١٢٢
بيابيد x=0.8تقريبي مسئله زير را درجواب چهارم كوتاه مرتبه - با استفاده از روش كالسيك رانگ-٣',)4.0(41.0 .باشد h=0.2به طوريكه =+= yyxy
,)0(1: مسئله مقدار اوليه زير مفروض است-٤
)()(' =
−+
= yxyxyy
. كوتاه مرتبه سوم كالسيك بيابيد- با روش رانگy(0.4) جواب مسئله را درh=0.2با گام بشفورت مر تبه - با استفاده از روش آدامزx=0.3يل زير را در نقطه جواب تقريبي معادله ديفرانس-٥
'2,)0(1 . بيابيدh=0.1 دوم و با گام =−= yyxy . كوتاه مرتبه دوم كالسيك استفاده كنيد-براي شروع روش از روش رانگ.
)(: روش مرتبه چهارم به فرم-٦ 3
'2
'1
''21 −−−−+ ++++= jjjjjj eydycybyhayy
'),(براي حل معادله yxfy . تعيين كنيد و خطاي آنرا بيابيد= 0: براي حل معادله -٧
' )0(),,( yyyxfy == خطاي برشي اين روش را بيابيد و مرتبه دقت آنرا تعييين. روش زير پيشنهاد مي شود
)44(.كنيد194)(
1918
321321 −−+−−+ +++++−= jjjjjjjj ffffhyyyy ٨-b,c,a را بطريقي بيابيد كه روش چند
)1()(:گامي 1''
1'
11 −+−+ ++++−= jjjjjj dycybyhayyay '),(داراي حداكثر مرتبه دقت براي حل مسئله مقدار اوليه yxfy . گردد=
022,]3,2,[)2()3(0: مسئله مقدار مرزي زير مفروض است-٩ ==∈=+−′′ yyxxyyx
. حل كنيدh=0.1,h=0.25با استفاده از روشهاي تفاضلي مرتبه دوم و روش نيومر و با گام
1,]1,0[ده از يك روش مرتبه دوم تفاضلي مسئله مقدار مرزي با استفا-١٠ ∈+=′′ xxyy 1)1(,1)0()0( ' ==+ yyy
.حل كنيدh=0.25 را با گام