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Identificación
Asignatura/submódulo: Álgebra 1 de 1
Plantel : CECyTE QUERÉTARO
Profesor (es): Academia Estatal de Matemáticas
Periodo Escolar: Agosto/Diciembre 2015
Academia/ Módulo:
Matemáticas
Semestre: Primero
Horas/semana: 4
Competencias: Disciplinares (X ) Profesionales ( ) 1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Competencias Genéricas: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos Resultado de Aprendizaje: Que el estudiante desarrolle el razonamiento matemático, haga uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos. Tema Integrador:
El álgebra en tu contexto cotidiano
Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447): 3.- Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contexto disciplinares, curriculares y sociales amplios. 3.1.- Identifica los conocimientos previos y necesidades de formación de los estudiantes, y desarrolla estrategias para avanzar a partir de ellas. 3.3.- Diseña y utiliza en el salón de clases materiales apropiados para el desarrollo de competencias.
Dimensiones de la Competencia
Conceptual: Identifica los elementos de un término algebraica.
Nombra la notación algebraica.
Define expresión algebraica.
identifica la evaluación numérica de expresiones algebraicas.
Interpreta una expresión algebraica.
Reconoce las operaciones fundamentales.
Procedimental: Escribe expresiones algebraicas en lenguaje común y
viceversa.
Sustituye valores numéricos en las expresiones algebraicos.
Resuelve ejercicios identificando las partes de una expresión algebraica.
Realiza ejercicios que impliquen la aplicación de las operaciones fundamentales algebraicas y el uso de las leyes de los exponentes y radicales.
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Identifica las leyes de los exponentes y los radicales.
Conoce las reglas de los productos notables.
Identifica los casos de factorización.
Identifica ecuaciones lineales de 1, 2 y 3 incógnitas, así como sus métodos de solución.
Conoce la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y sus métodos de solución.
Desarrolla los productos notables aplicando sus respectivas reglas.
Resuelve ejercicios aplicando los casos de factorización.
Realiza despejes en ecuaciones lineales.
Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales aplicando los métodos correspondientes.
Expresa las raíces de las ecuaciones cuadráticas según el caso.
Actitudinal: Se relaciona respetuosamente con la comunidad escolar y practica el auto respeto. Realiza con pulcritud el trabajo y se observa aseo personal. Realizar los trabajos con puntualidad y apegado a los requerimientos. Se compromete con el trabajo en equipo y se ajusta a los principios filosóficos del trabajo colaborativo.
Actividades de Aprendizaje
Tiempo Programado: 60 horas
Tiempo Real:
Fase I Apertura
Competencias a desarrollar (habilidad,
conocimiento y actitud)
Actividad / Transversalidad
Producto de Aprendizaje
Ponderación
Actividad que realiza el docente
(Enseñanza) No. de sesiones
Actividad que realiza el alumno
(Aprendizaje)
El material didáctico a utilizar en cada clase.
Da a conocer a los estudiantes el contenido de planeación (la forma de evaluación, la interrelación con otras asignaturas, etc.), la rúbrica de evaluación, el reglamento interno de clase y los compromisos del docente. 1 sesión
1. Conoce el
contenido de la
planeación (la forma
de evaluación, la
interrelación con
otras asignaturas,
etc.), la rúbrica de
evaluación, el
reglamento interno
de clase y los
compromisos del
docente.
Rúbricas de
evaluación.
Apuntes
completos en
el portafolio
de evidencias.
N/A
Aplica la evaluación
diagnóstica y dirige la
retroalimentación y
correcciones de la
2.- Elaboración de
evaluación
diagnóstica y
correcciones de la
Evaluación
diagnóstica
escrita.
Libreta de
Evaluación
diagnóstica
escrita,
pegada y
4%
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misma.
1 sesión
misma.
apuntes. corregida en
la libreta de
apuntes.
Fase II Desarrollo
Competencias a desarrollar (habilidad,
conocimiento y actitud)
Actividad/ transversalidad
Producto de Aprendizaje
Ponderación
Actividad que realiza el docente
(Enseñanza) No. de sesiones
Actividad que realiza el alumno
(Aprendizaje)
El material didáctico a utilizar en cada clase.
4.1. Expresa ideas y
conceptos mediante
representaciones
lingüísticas,
matemáticas o
gráficas.
8.1 Propone maneras
de solucionar un
problema o desarrollar
un proyecto en equipo
definiendo un curso de
acción con
Pide al alumno que realice una investigación, posteriormente retroalimenta la investigación y las participaciones orales por parte de los educandos. 1 sesión
3.- Realiza una investigación de conceptos (álgebra, constante, variable o literal, coeficiente, exponente, término y expresión algebraica) a trabajar durante el parcial. La investigación debe incluir bibliografía y glosario. La actividad se comenta en clase.
Bibliografías
sugeridas
Investigación
escrita. 4%
Pide a los alumnos un mapa mental, supervisa y retroalimenta la actividad de los estudiantes. Propicia la co-evaluación de la actividad. 1 sesión
4.-De manera individual realiza un mapa mental sobre los signos de: agrupación, relación y operación.
Pintarrón
Colores
Computadora
Proyector
Mapa mental
en libreta de
apuntes.
4%
Expone la forma de transformación de un lenguaje común a lenguaje algebraico y viceversa. 1 sesión
5.- Realiza apuntes de la práctica demostrativa por parte del facilitador.
Pintarrón y/o
Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Apuntes en
portafolio de
evidencias.
N/A
Por medio de la técnica expositiva trabaja con el grupo la conversión de expresiones algebraicas a lenguaje común y viceversa. 1 sesión
6.- Colabora con su grupo en la práctica de ejercicios de conversión de lenguaje común a lenguaje algebraico y viceversa.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Ejercicios resueltos en libreta.
N/A
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Le encarga al alumno que realice la tarea 1. Lenguaje algebraico y lenguaje común. Posteriormente se realiza una co-evaluación. 1 sesión
7.- Realiza la tarea correspondiente al tema. Tarea 1
Material
didáctico.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Resultados de la tarea 1
4%
Explica ejemplos sobre reducción de términos semejantes. 1 sesión
8.-Toma notas y expresa sus dudas.
Pintarrón y/o
Matarial
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejemplos en
libreta. N/A
Conforma equipos de trabajo y presenta ejercicios sobre reducción de términos semejantes para su solución. 1 sesión
9.- Resuelve los ejercicios propuestos por el facilitador.
Pintarrón y/o
Apuntes
electrónicos,
Problemario.
Ejercicios en
libreta. NA
Le encarga al alumno que realice la tarea 2. Reducción de términos semejantes. Posteriormente se realiza una co-evaluación. 1 sesión
10.- Realiza la tarea correspondiente al tema. Tarea 2
Material
didáctico.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Resultados de la tarea 2
4%
Explica ejemplos sobre la evaluación numérica. 1 sesión
11.-Toma notas y expresa sus dudas.
Pintarrón y/o
Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejemplos en
libreta. N/A
Conforma equipos de trabajo y presenta ejercicios sobre evaluación numérica para su solución. 1 sesión
12.- Resuelve los ejercicios propuestos por el facilitador.
Pintarrón y/o
Apuntes
electrónicos,
Problemario.
Ejercicios en
libreta. NA
Le encarga al alumno que realice la tarea 3. Evaluación numérica. Posteriormente se realiza una co-evaluación. 1 sesión
13.- Realiza la tarea correspondiente al tema. Tarea 3
Material
didáctico.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Resultados de la tarea 3
4%
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Por medio de técnica expositiva explica la solución a ejemplos de operaciones con monomios y polinomios. 1 sesión
14.- Realiza anotaciones de los ejemplos. Suma y resta de polinomios.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Apuntes en
libreta. N/A
Revisa los procesos de solución a operaciones con monomios y polinomios determinadas. Le encarga al alumno tarea 4. 1 sesión
15.-Resuelve ejercicios en parejas o tríos con el apoyo del profesor en caso de dudas acerca de los procesos de solución. La actividad se coevalúa entre las parejas de trabajo.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Ejercicios
resueltos en
libreta. Tarea
4.
4%
Retroalimenta el trabajo colaborativo (operaciones con monomios y polinomios) por parte de las parejas de alumnos involucradas en la aplicación de dicha actividad y da seguimiento a la coevaluación de la misma. 1 sesión
16.- Trabaja en tríos
o parejas la solución
de algunas
operaciones con
monomios y
polinomios. La
actividad se coevalúa
entre las parejas de
trabajo.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Actividad
contestada y
pegada en la
libreta (Ya
calificada).
NA
Explica ejemplos sobre la aplicación de las leyes de los radicales y de los exponentes. 1 sesión
17.- Realiza anotaciones respecto a los ejemplos compartidos por el facilitador.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Apuntes en
portafolio de
evidencias.
N/A
Por medio de una práctica guiada da seguimiento a la actividad en parejas por parte de los estudiantes. Propicia la autoevaluación de cada uno de los estudiantes. Le encarga a los alumno las tareas 5: leyes de exponentes y tarea 6: leyes de radicales. 1 sesión
18.- Resuelve ejercicios y problemas que implican el trabajo con leyes de los exponentes y de los radicales para su solución. La actividad se autoevalúa.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Ejercicios y
problemas en
libreta. Tarea
5 y 6.
8%
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Realiza una exposición sobre los temas de: signos de agrupación. 1 sesión
19.-Toma notas sobre el tema
Material
didáctico.
Plataforma de
matemáticas.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Apuntes NA
Le pide al alumno que realice la tarea 7. Posteriormente se realiza una co-evaluación. 1 sesión
20.- Realiza la tarea 7
Material
didáctico.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Portafolio 4%
Proporciona las instrucciones de aplicación de la evaluación parcial, así mismo heteroevalúa la actividad con apoyo de la rúbrica correspondiente.
21.- Por medio de una práctica autónoma se realiza la evaluación parcial escrita de manera individual.
Examen
escrito.
Examen
escrito pegado
y corregido en
la libreta de
apuntes.
60%
LECTURA: El hombre que calculaba. Coordina la dinámica de lectura y menciona los lineamientos de la entrega del reporte.
22.-Realiza la lectura del capítulo 1 y 2, entrega el reporte de acuerdo a los criterios del facilitador
Libro
electrónico
Reporte en
libreta N/A
Evaluación Primer Parcial
Expone la multiplicación y división de polinomios 4 sesiones
23.- Realiza apuntes de la práctica demostrativa por parte del facilitador.
Pintarrón y/o
Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Apuntes en
portafolio de
evidencias.
N/A
Le pide al alumno que realice la tarea 8. Posteriormente se realiza una co-evaluación. 1 sesión
24.- Realiza la tarea 8
Material
didáctico.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Portafolio y/o
libreta. 10 %
Toma como referencia 25.- De la Computadora Bibliografía
Investigación N/A
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los resultados obtenidos
en la lluvia de ideas para
delimitar los conceptos,
que forman parte de la
investigación de los
educandos.
Retroalimenta la investigación apoyándose en la rúbrica de evaluación. 1 sesión
Investigación realiza
una lluvia de ideas
para colaborar en la
elaboración de la
tabla con las reglas
de los productos
notables y los casos
de factorización que
existen.
sugerida escrita en
libreta de
apuntes y
Tabla.
Realiza ejercicios demostrativos sobre la solución de productos notables. 4 sesiones
26.- Realiza anotaciones sobre los ejemplos explicados por el facilitador.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Anotaciones
en el
portafolio de
evidencias.
N/A
Le pide al alumno solución de productos notables. Tarea 9 1 sesión
27.- Resuelve ejercicios sobre productos notables en parejas o tríos. Al terminar coevaluan la actividad entre los grupos de trabajo tomando como apoyo la rúbrica de evaluación.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejercicios en
portafolio de
evidencias
10 %
Realiza mediante la técnica expositiva el tema sobre factorización. 3 sesiones
28.- Realiza anotaciones sobre el trabajo con los ejemplos en la libreta de apuntes
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Apuntes en
libreta. N/A
Proporciona ejercicios de factorización. Realiza la rifa de un ejercicio de factorización distinto a cada pareja de trabajo en el salón y
29.- Realizan ejercicios de factorización. En parejas se les asigna un ejercicio de factorización al azar,
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
Rotafolios con
su ejercicio
de exposición
resuelto y/o
exposición
5%
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retroalimenta la planeación de las exposiciones de las soluciones de los ejercicios de los educandos por medio de una práctica supervisada. 2 sesiones
para resolverlo y exponerlo ante el grupo. Al finalizar la actividad cada estudiante se coevaluarán según los criterios establecidos en la rúbrica de evaluación para dicha actividad.
didáctico,
Apunte
electrónicos
electrónica.
Coordina el orden de las exposiciones por parte de los educandos y retroalimenta el contenido de la actividad en caso necesario. 1 sesión
30.- Por medio de una práctica autónoma expone verbalmente el ejercicio correspondiente a la pareja de trabajo. La exposición se coevaluarán entre las parejas de trabajo, según la rúbrica correspondiente.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Portafolio de evidencias con los apuntes de todas las exposiciones.
5%
Plantea ejercicios de factorización para su solución y coevalúa la actividad terminada con apoyo de la rúbrica de evaluación. 1 sesión
31.- Resuelve ejercicios de factorización de manera individual por medio de una práctica autónoma. Tarea 10.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejercicios en
portafolio de
evidencias.
10%
Proporciona las instrucciones de aplicación de la evaluación parcial, así mismo heteroevalúa la actividad con apoyo de la rúbrica correspondiente. 1 sesión
32.- Por medio de una práctica autónoma se realiza la evaluación parcial escrita de manera individual.
Examen
escrito.
Examen
escrito pegado
y corregido en
la libreta de
apuntes.
60%
LECTURA: El hombre que calculaba. Coordina la dinámica de lectura y menciona los lineamientos de la entrega del reporte.
33.-Realiza la lectura del capítulo 3 y 4, entrega el reporte de acuerdo a los criterios del facilitador
Libro
electrónico
Reporte en
libreta N/A
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1 sesión
Evaluación Segundo Parcial
Exposición que implica el
trabajo con ejemplos de
soluciones a ecuaciones
lineales con una
incógnita.
4 sesiones
34.- Escribe los ejemplos en la libreta de apuntes así mismo agrega anotaciones significativas que puedan complementar sus anotaciones sobre el tema.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora y/o Material didáctico, Apunte electrónicos
Investigación
escrita en
libreta de
apuntes.
N/A
Propone ejercicios de despejes de ecuaciones lineales con una incógnita 2 sesiones
35.- Integrado en parejas o tríos trabaja la solución de las ecuaciones lineales con una incógnita, proporcionados por el facilitador. Al terminar colabora en la coevaluación de la actividad teniendo como apoyo la rúbrica de evaluación.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejercicios de reforzamiento en libreta de apuntes.
5%
Da a conocer los lineamientos generales de la investigación sobre los métodos de solución a sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. 3 sesiones
36.- Investiga los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Al finalizar coevalúa la actividad.
Computadora Internet Bibliografía sugerida
Investigación
en hojas para
entregar.
Requisito para
calificar la
actividad 33.
N/A
Por medio de una práctica demostrativa explica ejemplos sobre los métodos de solución a ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2 sesiones
37.- Realiza anotaciones obre las soluciones a los ejemplos de cada método trabajado.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Examen rápido pegado (ya revisado) y corregido en la libreta de apuntes.
N/A
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Da a los estudiantes los ejercicios y problemas que resolverán utilizando los métodos de solución. Conforma equipos y retroalimenta las dudas. 1 sesión
38.- En equipos trabajan la solución de ejercicios y problemas, que implican el trabajo con la solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas por los distintos métodos. Colabora en la coevaluación de la actividad al término de la misma.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejercicios
resueltos en
libreta.
20%
Da a conocer los lineamientos de la investigación sobre las generalidades de las ecuaciones cuadráticas y sus métodos de solución. 1 sesión
39.- Investiga los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas. Al finalizar coevalúa la actividad.
Computadora Internet Bibliografía sugerida
Investigación
en hojas para
entregar.
Requisito para
calificar la
actividad 36.
N/A
Por medio de una práctica demostrativa explica ejemplos sobre los métodos de solución de ecuaciones cuadráticas 4 sesiones
40.- Realiza anotaciones obre las soluciones a los ejemplos de cada método trabajado.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Examen rápido pegado (ya revisado) y corregido en la libreta de apuntes.
N/A
Da a los estudiantes los ejercicios y problemas que resolverán utilizando las ecuaciones cuadráticas 1 sesión
41.- En equipos trabajan la solución de ejercicios y problemas, que implican el trabajo con la solución de ecuaciones cuadráticas. Colabora en la coevaluación de la actividad al término de la misma.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejercicios
resueltos en
libreta.
15%
Fase III Cierre
Competencias a desarrollar (habilidad,
Actividad/transversalidad Producto de Aprendizaje
Ponderación Actividad que realiza el Actividad que realiza El material
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conocimiento y actitud)
docente (Enseñanza)
No. de sesiones
el alumno (Aprendizaje)
didáctico a utilizar en cada clase.
C. D. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. C.G.4.1
Proporciona las instrucciones de aplicación de la evaluación parcial, así mismo heteroevalúa la actividad con apoyo de la rúbrica correspondiente. 1 sesión
42.- Por medio de una práctica autónoma se realiza la evaluación parcial escrita de manera individual.
Examen
escrito.
Examen
escrito pegado
y corregido en
la libreta de
apuntes.
60%
LECTURA: El hombre que calculaba. Coordina la dinámica de lectura y menciona los lineamientos de la entrega del reporte. 1 sesión
43.- Realiza la lectura del capítulo 5 y 6, entrega el reporte de acuerdo a los criterios del facilitador
Libro
electrónico
Reporte en
libreta N/A
Evaluación Tercer Parcial
Se cumplieron las actividades programadas: SI ( ) NO ( )
Registra los cambios realizados:
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Elementos de Apoyo (Recursos)
Equipo de apoyo Bibliografía
Cañón Computadora Pintarron Rotafolios
Lehman, Ch. H. (1986) Álgebra (1° Ed) México. Ed. Limusa Baldor, A. (2006) Álgebra (1° Ed) México. Publicaciones Cultural. Acosta, R. (2006) Álgebra (1° Ed) México. DGETI Phillips, E. Butts, Thomas & Schaugnessy, Michael. (1997). Álgebra con aplicaciones (2° Ed.) México. Ed. Harla Olvera, B. (1990) Aritmética y álgebra (1° Ed.) México. DGETI. Recuperado de : www.soko.com.ar/matematicas.htm
Evaluación
Criterios: 40% Trabajos y tareas. 60% Examen parcial
Instrumento: Rúbrica global que incluye: Rúbrica general de actividades de clase y tareas Rúbrica para evaluar el examen parcial
Porcentaje de aprobación a lograr: 70% Fecha de validación: 04 de agosto de 2015
Fecha de Vo.Bo de Servicios Docentes: 09 de Julio de 2015
EXAMEN
DIAGNÓSTICO
ÁLGEBRA FECHA:
SEMESTRE Y ESPECIALIDAD O GRUPO: ACIERTOS: ___ /10
ALUMNO: CALIFICACIÓN:
Lee cuidadosamente cada una de las instrucciones y contesta lo que se te pide. No olvides escribir todos los procedimientos que sean necesarios para llegar a cada solución. I.- ARITMÉTICA (5 puntos) Resuelve los siguientes retos:
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a) Una persona sube a un ascensor desde la planta baja de un edificio (planta cero). El ascensor sube 5 pisos, después baja 3, sube 5, baja 8, sube 10, sube 5 y baja 6. ¿En qué piso está?
b) Si Alicia gasta $2, le quedaría el doble del dinero que si gastara $4. ¿Cuántos pesos tiene Alicia?
c) En una ciudad se registraron por 7 días a la misma hora las siguientes temperaturas en °C: 27°, 26°,20°,15°,7°, 0° y -3°. ¿En cuáles de los días se registraron las temperaturas que sobrepasaban los – 1° pero estaban por debajo de los 20°?
d) Doña Concha quiere preparar frijoles charros, para lo cual le encargó a su marido los siguientes ingredientes: 1000 gr. de frijol,
de
salchicha, 1 kg de jamon, ¼ kg de chorizo, 50 gr. de cilantro, 150 gr. de puré de tomate y .5 kg. de tocino. ¿A cuánto equivale la masa total de los ingredientes?. Expresa el resultado en kg.
e) Marco tiene de alambre, si para realizar una conexión eléctrica requiere
solo la mitad. ¿Qué fracción de metro le sobra?
II.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS (5 puntos) Resuelve las siguientes operaciones algebraicas:
a) 3a – 2a + a =
b) 2x2 - 5x – x2 – x =
c) (6x3y)(-2y) =
d) (5a) (2a + 7b – 5c)=
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e) – 55 a8 = 5 a3
RÚBRICA GLOBAL DE ÁLGEBRA DE 1° PARCIAL PONDERACIÓN ACTIVIDAD
5% 4% 2-3 % 0-1% Total
Examen diagnóstico
Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Más del 40% y menos del 60% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Investigación sobre conceptos relacionados con expresiones algebraicas.
Investigación completa. Se entrega en tiempo y forma. Letra legible y excelente ortografía.
Investigación completa. Se entrega en tiempo y forma. Letra poco legible y algunas faltas de ortografía.
Investigación incompleta (falta solo una pequeña parte del trabajo) con algunas faltas de ortografía.
La investigación carece de la información requerida.
Mapa mental sobre signos de operación, agrupación y relación.
Mapa mental completo y con buena presentación. Usa colores, flechas e imágenes asociadas al tema.
Mapa mental completo, pero usa mucho texto en lugar de colores, flechas e imágenes asociadas al tema.
Mapa mental incompleto y con buena presentación. Usa colores, flechas e imágenes.
Mapa mental incompleto. Usa información muy limitada. La actividad tiene presentación regular.
Ejercicios y problemas sobre evaluación numérica
Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.
Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.
Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible
Ejercicios y problemas sobre reducción de términos semejantes
Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.
Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.
Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible
Ejercicios y problemas sobre adición y sustracción de polinomios.
Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.
Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.
Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible
Ejercicios y problemas sobre producto y cociente de polinomios.
Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.
Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.
Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible
Ejercicios y problemas sobre leyes de los exponentes y de
Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas
Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.
Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y
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los radicales. de ortografía. letra poco legible
Actividad 46-60% 31-45% 16-30% - 0-15%
Examen parcial Más del 80% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Más del 60% y menos del 80% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Más del 40% y menos del 60% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Menos del 40% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
TOTAL
RÚBRICA GLOBAL DE ÁLGEBRA DE 2° PARCIAL PONDERACIÓN ACTIVIDAD
5% 4% 3-2 % 1-0 % Total
Ejercicios sobre multiplicación de polinomios(monomios)
Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.
Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.
Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible
Exposiciones sobre división de polinomios (monomios)
La solución del problema se presenta de manera clara, completa y correcta. La expresión oral y escrita es fluida. Su escritura presenta excelente ortografía.
La solución del problema se presenta de manera poco clara y con la solución correcta. La expresión oral y escrita es poco fluida. Su escritura presenta de 1 a 3 errores ortográficos.
La solución del problema se presenta de manera poco clara y con la solución correcta. La expresión oral y escrita es confusa. Su escritura presenta de 4 a 6 errores ortográficos.
La solución del problema se presenta de manera poco clara y con la solución incorrecta. La expresión oral y escrita es confusa. Su escritura presenta más de 7 errores ortográficos.
Actividad 10 – 9 % 8 – 7% 6 – 4% 3 – 0% Ejercicios y problemas sobre productos notables.
Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.
Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.
Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible
Solución de ejercicios sobre un caso de factorización.
Trabajo en equipos de manera colaborativa, investigan sobre su ejercicio de exposición y elaboran el material adecuado como herramienta de apoyo para explicar procesos de solución. Letra legible y excelente ortografía.
Trabajo en equipos de manera colaborativa. Elaboran el material adecuado como herramienta de apoyo para explicar procesos de solución. Letra legible con pocos errores ortográficos.
Trabajo en equipos poco colaborativo. Uno de los integrantes elabora el material adecuado como herramienta de apoyo para explicar procesos de solución. Letra legible con algunos errores ortográficos.
Trabajo en equipos poco colaborativo. Uno de los integrantes elabora el material de apoyo de manera errónea. Letra legible con demasiados errores ortográficos.
Actividad 60 – 46% 45 – 31% 30 - 16% - 15 – 0%
Examen parcial Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Más del 40% y menos del 60% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
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RÚBRICA GLOBAL DE ÁLGEBRA DE 3° PARCIAL PONDERACIÓN ACTIVIDAD
5% 4% 3-2 % 1-0 % Total
Ejercicios y problemas sobre ecuaciones lineales con una incógnita.
Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.
Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.
Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible
Actividad 15 –12 % 11 – 8% 7 – 4% 3 – 0% Ejercicios en parejas sobre la solución a ecuaciones cuadráticas.
Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.
Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.
Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible
Actividad 20 –16 % 15 – 11% 10 – 6% 5 – 0% Ejercicios y problemas sobre solución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.
Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.
Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.
Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible
Actividad 60 – 46% 45 – 31% 30 - 16% - 15 – 0%
Examen parcial Mas del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Más del 40% y menos del 60% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.
TOTAL
Lecturas del Primer Parcial
CAPITULO I
En el que se narran las divertidas circunstancias de mi encuentro con un singular viajero camino de la
ciudad de Samarra, en la Ruta de Bagdad. Qué hacía el viajero y cuáles eran sus palabras. ¡En el nombre
de Allah, Clemente y Misericordioso! Iba yo cierta vez al paso lento de mi camello por la Ruta de Bagdad
de vuelta de una excursión a la famosa ciudad de Samarra, a orillas del Tigres, cuando vi, sentado en una
piedra, a un viajero modestamente vestido que parecía estar descansando de las fatigas de algún viaje.
Me disponía a dirigir al desconocido el trivial salam de los caminantes, cuando, con gran sorpresa por mi
parte, vi que se levantaba y decía ceremoniosamente:
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-Un millón cuatrocientos veintitrés mil setecientos cuarenta y cinco…Se sentó en seguida y quedó en
silencio, con la cabeza apoyada en las manos, como si estuviera absorto en profundas meditaciones.
Me paré a cierta distancia y me quedé observándolo como si se tratara de un monumento histórico de los
tiempos legendarios.
Momentos después, el hombre se levantó de nuevo y, con voz pausada y clara, cantó otro número
igualmente fabuloso:
-Dos millones trescientos veintiún mil ochocientos sesenta y seis…Y así, varias veces, el raro viajero se
puso en pie y dijo en voz altaun número de varios millones, sentándose luego en la tosca piedradel
camino.
Sin poder refrenar mi curiosidad, me acerqué al desconocido, y, después de saludarlo en nombre de Allah
–con Él sean la oración y la gloria-, le pregunté el significado de aquellos números que solo podrían figurar
en cuentas gigantescas.-Forastero, respondió el Hombre que Calculaba, no censuro la curiosidad que te ha
llevado a perturbar mis cálculos y la serenidad de mis pensamientos. Y ya que supiste dirigirte a mí con
delicadeza y cortesía, voy a atender a tus deseos. Pero para ello necesito contarte antes la historia de mi
vida. Y relató lo siguiente, que por su interés voy a trascribir con toda fidelidad:
CAPITULO II
Donde Beremiz Samir, el Hombre que Calculaba, cuenta la historia de su vida. Cómo quedé informado de
los cálculos prodigiosos que realizaba y de cómo vinimos a convertirnos en compañeros de jornada.
-Me llamo Beremiz Samir, y nací en la pequeña aldea de Khoi, en Persia, a la sombra de la pirámide
inmensa formada por el monte Ararat. Siendo aún muy joven empecé a trabajar como pastor al servicio
de un rico señor de Khamat.
Todos los días, al amanecer, llevaba a los pastos el gran rebaño y me veía obligado a devolverlo a su redil
antes de caer la noche. Por miedo a perder alguna oveja extraviada y ser, por tal negligencia, severamente
castigado, las contaba varias veces al día.
Así fui adquiriendo poco a poco tal habilidad para contar que, a veces, de una ojeada contaba sin error
todo el rebaño. No contento con eso, pasé luego a ejercitarme contando los pájaros cuando volaban en
bandadas por el cielo.
Poco a poco fui volviéndome habilísimo en este arte. Al cabo de unos meses –gracias a nuevos y
constantes ejercicios contando hormigas y otros insectos- llegué a realizar la proeza increíble de contar
todas las abejas de un enjambre. Esta hazaña de calculador nada valdría, sin embargo, frente a muchas
otras que logré más tarde. Mi generoso amo poseía, en dos o tres distantes oasis, grandes plantaciones de
datileras, e, informado de mis habilidades matemáticas, me encargó dirigir la venta de sus frutos,
contados por mí en los racimos, uno a uno.
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Trabajé así al pie de las palmeras cerca de diez años. Contento con las ganancias que le procuré, mi
bondadoso patrón acaba de concederme cuatro meses de reposo y ahora voy a Bagdad pues quiero visitar
a unos parientes y admirar las bellas mezquitas y los suntuosos palacios de la famosa ciudad. Y, para no
perder el tiempo, me ejército durante el viaje contando los árboles que hay en esta región, las flores que
la embalsaman, y los pájaros que vuelan por el cielo entre nubes.
Y señalándome una vieja higuera que se erguía a poca distancia, prosiguió:
-Aquel árbol, por ejemplo, tiene doscientas ochenta y cuatro ramas. Sabiendo que cada rama tiene como
promedio, trescientos cuarenta y seis hojas, es fácil concluir que aquel árbol tiene un total de noventa y
ocho mil quinientos cuarenta y ocho hojas. ¿No cree, amigo mío?
-¡Maravilloso! –exclamé atónico. Es increíble que un hombre pueda contar, de una ojeada, todas las
ramas de un árbol y las flores de un jardín… Esta habilidad puede procurarle a cualquier persona inmensas
riquezas.
-¿Usted cree? –se asombró Beremiz. Jamás se me ocurrió pensar que contando los millones de hojas de
los árboles y los enjambres de abejas se pudiera ganar dinero. ¿A quién le puede interesar cuántas ramas
tiene un árbol o cuántos pájaros forman la bandada que cruza por el cielo?
-Su admirable habilidad –le expliqué- puede emplearse en veinte mil casos distintos. En una gran capital
como Constantinopla, o incluso en Bagdad, sería usted un auxiliar precioso para el Gobierno.
Podría calcular poblaciones, ejércitos y rebaños. Fácil le sería evaluar los recursos del país, el valor de las
cosechas, los impuestos, las mercaderías y todos los recursos del Estado. Le aseguro –por las relaciones
que tengo, pues soy bagdalí- que no le será difícil obtener algún puesto destacado junto al califa Al-
Motacén, nuestro amo y señor. Tal vez pueda llegar al cargo de visir-tesorero o desempeñar las funciones
de secretario de la Hacienda musulmana.
-Si es así en verdad, no lo dudo, respondió el calculador. Me voy a Bagdad.
Y sin más preámbulos se acomodó como pudo en mi camello –el único que llevábamos-, y nos pusimos a
caminar por el largo camino cara a la gloriosa ciudad.
Desde entonces, unidos por este encuentro casual en medio de la agreste ruta, nos hicimos compañeros y
amigos inseparables.
Beremiz era un hombre de genio alegre y comunicativo. Muy joven aún –pues no había cumplido todavía
los veintiséis años- estaba dotado de una inteligencia extraordinariamente viva y de notables aptitudes
para la ciencia de los números.
Formulaba a veces, sobre los acontecimientos más triviales de la vida, comparaciones inesperadas que
denotaban una gran agudeza matemática. Sabía también contar historias y narrar episodios que
ilustraban su conversación, ya de por sí atractiva y curiosa.
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A veces se quedaba en silencio durante varias horas; encerrado en un mutismo impenetrable, meditando
sobre cálculos prodigiosos. En esas ocasiones me esforzaba en no perturbarlo. Le dejaba tranquilo, para
que pudiera hacer, con los recursos de su privilegiada memoria, descubrimientos fascinantes en los
misteriosos arcanos de la
Matemática, la ciencia que los árabes tanto cultivaron y engrandecieron.
Lectura del Segundo Parcial
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PROYECTO GLOBAL
Algebra
Aplicación de las propiedades de polinomio
I. Organización 1. El proyecto deberá ser realizado en tercias
II. Problemática 1. Construir una red de calles (las más transitadas de su
localidad) y analizar el flujo de tráfico en cada una de las calles
III. Contenido 1. Índice 2. Breve reseña histórica de las calles que eligió 3. Fotografía de los cruces de la calle y de la red de calles que
eligió para el análisis 4. Construcción del sistema de ecuaciones de primer grado 5. Resolución del sistema de ecuaciones de primer grado 6. Análisis de los resultados obtenidos 7. Posibles soluciones al problema 8. Conclusiones 9. Numeración de páginas
IV. Entrega del proyecto 1. A consideración del profesor
V. Valor:
Nota importante: Cualquier duda con el desarrollo del proyecto se puede consultar con el docente
en horario conveniente.
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EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Instrucciones: El siguiente modelo de rúbrica está diseñado para evaluar un proyecto de investigación en el que se centra la atención en los atributos 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo, las cuales forman parte de la competencia genérica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados y 8. Participa y colabora en equipos diversos. El evaluador marcará con una “X” el nivel de logro alcanzado, el puntaje obtenido por cada aspecto puede ser de 1 hasta 4, seleccionando el nivel que considere más adecuado. La suma total más alta es de 40 puntos, al final de la rúbrica se proponen los rangos para calificar.
NOMBRE DEL EQUIPO GRUPO NOMBRE DEL PROYECTO:
ATRIBUTO ASPECTOS A
EVALUAR REFERENTE
NIVEL DE DOMINIO
Competente
4 puntos Satisfecho
3 puntos
Básico
2 puntos
Insuficiente
1 punto Puntaje.
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Planteamiento
del problema
Identifica el
problema y
plantea
preguntas
pertinentes y
significativas.
Hipótesis
La hipótesis está
planteada con
claridad y
relacionada con
el objeto de
estudio.
La hipótesis
refleja posible
explicación de
lo que se quiere
estudiar.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos
Metodología
Elige una
Metodología
acorde con el
tipo de
investigación.
Desarrollo
Aplica
correctamente la
metodología,
utiliza los
instrumentos
diseñados para
el registro de
observaciones y
datos, y cumple
con los tiempos
establecidos.
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Anexo Matriz de evaluación por competencias
Avance de la competencia GEOMETRIA ANALITICA
Competencias genéricas Actividad No la ha
desarrollado
(0-2.4%)
Porcentaje de
avance logrado
(2.5-4%)
Desarrollada
(4.1-5%)
Total
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Competencias genéricas Actividad No la ha
desarrollado
(0- 20%)
Porcentaje de
avance logrado
(21-30%)
Desarrollada
(31 - 40%)
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Nombre y firma del Profesor Nombre y firma del Tutor
8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos.
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Antología Teórico-Práctica Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral V 0.0
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda. Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE QUERETARO.
Área de Matemáticas.
Programa Educativo: Matemáticas Acuerdo_653_2013.
Materias: Álgebra, Geometría Analítica, Cálculo Integral.
Antología teórico-práctica.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín
Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Agosto 2015-Enero 2016.
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Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda. Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
ÌNDICE
Contenido Presentación ........................................................................................................................................ 4
2).- Competencias a desarrollar: ..................................................................................................... 4
3).- Justificación ............................................................................................................................... 4
4).- Utilidad de la antología: ............................................................................................................ 5
ALGEBRA .............................................................................................................................................. 6
I.I Operaciones básicas con fracciones. ........................................................................................... 6
I.II Propiedades de los números reales. ......................................................................................... 8
I.III Lenguaje común al lenguaje algebraico ................................................................................... 9
I.IV Leyes de los exponentes ......................................................................................................... 13
I.V Operaciones fundamentales en algebra .................................................................................. 15
I.VI Productos Notables ................................................................................................................. 16
I.VII Factorización .......................................................................................................................... 17
I. VIII Ecuaciones 1er grado. .......................................................................................................... 19
II.Geometría Analítica ....................................................................................................................... 24
Sistema coordenado...................................................................................................................... 24
Sistema de Coordenadas Polares. ................................................................................................. 24
Teorema: Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares y viceversa. ......... 25
De cartesianas a polares ............................................................................................................... 27
Distancia entre 2 puntos. .............................................................................................................. 28
División de un segmento en una razón dada. ............................................................................... 29
Punto Medio. ................................................................................................................................. 30
Lugares geométricos ..................................................................................................................... 31
LA RECTA ....................................................................................................................................... 31
Cónicas .......................................................................................................................................... 32
La circunferencia. .......................................................................................................................... 32
Parabola ........................................................................................................................................ 33
Elipse ............................................................................................................................................. 35
Hiperbola ....................................................................................................................................... 36
III. CALCULO INTEGRAL ...................................................................................................................... 39
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Antología Teórico-Práctica Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral V 0.0
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda. Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
III.I Funciones trigonométricas ...................................................................................................... 39
III.II Aproximaciones ...................................................................................................................... 41
III.III Anti derivada ......................................................................................................................... 42
Integral. ......................................................................................................................................... 43
Integrales impropias ...................................................................................................................... 44
Integración por partes ................................................................................................................... 45
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Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda. Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
Presentación
1).- Objetivo: Auxiliar al estudiante a desarrollar las competencias genéricas y disciplinares dentro de las asignaturas de Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral que el docente impartirá dentro del semestre Agosto 2015- Enero 2016.
2).- Competencias a desarrollar:
Algebra, Geometría Analítica, Calculo Integral.
Competencias disciplinares
1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 4.- Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8. Interpreta tablas, gráficas mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Competencias genéricas
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
3).- Justificación
La presente antología se elaboró con la finalidad de auxiliar al estudiante a desarrollar de una manera efectiva las competencias genéricas y disciplinares de las materias de Algebra, Geometría Analítica y Calculo integral.
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Antología Teórico-Práctica Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral V 0.0
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda. Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
El propósito de este documento es que el estudiante tenga a la mano definiciones, ejemplos, lecturas, gráficas y tablas que podrá consultar para la comprensión y entrega de tareas, trabajos y proyectos. Para hacer los ejercicios que van incluidos dentro de la planeación didáctica y de esta manera se tenga una mejora en el índice de aprobación. Matemáticas tiene como propósito ampliar el razonamiento del estudiante para tener una mejor toma de decisiones. Las matemáticas es la ciencia de los números y requiere de pensamiento abstracto, es más preciso su lenguaje a comparación de otros lenguajes. Con el fin de comprender lo que se escribe y lo que se lee, es necesario que los estudiantes conozcan el significado de las palabras empleadas en matemáticas en las actividades a realizar, por lo que resulta importante decir que los textos matemáticos que hemos incluido permite expresar procedimientos y resultados en la solución de problemas.
4).- Utilidad de la antología:
Muestre disposición para trabajar en forma individual y en equipo. Comunique sus ideas. Aporte información significativa a la discusión grupal. Tenga interés y compromiso en el proceso de aprendizaje y en ampliar su
campo de estudio. Realice búsqueda de información en las diferentes fuentes informativas que
hemos incluido. Realice la autoevaluación y evaluación del aprendizaje. Utilizando las tics.
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Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda. Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
ALGEBRA La materia de algebra tiene como propósito fundamental que el estudiante desarrolle el razonamiento matemático, haga uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos. Razonar con números y variables es la introducción de lo que en realidad son las matemáticas las cuales nos servirán para hacer operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) de polinomios. Productos notables que no son más que una manera avanzada de multiplicar binomios al cuadrado y al cubo. Descomposición de una expresión matemática en la mínima expresión. Resolución de sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Toda esta información será el principio de las próximas asignaturas de matemáticas en los próximos semestres. Esperamos que sea una antología de gran utilidad para tu desarrollo dentro de tu estancia en la educación media superior.
I.I Operaciones básicas con fracciones.
Una de las dificultades encontradas en nuestros alumnos es la comprensión de las fracciones en sus operaciones básicas. Incluso hemos percibido esa misma dificultad en algunos de los padres de familia en el difícil momento de tener de apoyar al alumno al desarrollar sus deberes escolares. Hace tanto tiempo que vimos esto, que en la mayoría de los casos lo hemos olvidado, y por esa razón estoy dejando para ustedes un pequeño documento que espero sea de gran ayuda para todos. Suma de fracciones Suma de fracciones para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: Fracciones homogéneas 1, 3, 5 4 4 4 Fracciones heterogéneas 1, 2, 3 3 5 7 Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador. Las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferente denominador. Ejemplo de suma de fracciones homogéneas 1 + 3 = 4 2 + 3 = 5 5 5 5 7 7 7
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Antología Teórico-Práctica Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral V 0.0
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda. Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
Son fracciones homogéneas ya que tienen el mismo denominador. En las fracciones homogéneas se suman los numeradores y el denominador queda igual. Suma de fracciones heterogéneas Comparación de fracciones utilizando las reglas de proporción. Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. Veamos: sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla: a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman) --- --- ----------- b d bd (se multiplican los denominadores) Ejemplo 1: El jefe de paco repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A paco le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total, ¿qué parte del trabajo tiene que realizar paco? 1 + 1 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7 --- --- -------------- -------- --- (se simplifica la fracción 4 3 (4) (3) 12 12 si es posible) Solución: paco tuvo que realizar 7/12 del trabajo. Ejemplo 2: a maría le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a maría? 1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11 --- --- -------------- --------- --- 3 5 15 15 15 A maría le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.
Resta de fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar. Ejemplo 1: 5 _ 1 = 4 resta de fracciones homogéneas. 9 9 9 Ejemplo 2: 2 _ 1 = (2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1 resta de fracciones 3 2 6 6 6 heterogéneas
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Multiplicación de fracciones
En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma: Ejemplo: 2 x 3 = 6 = 1 3 4 12 2
División de fracciones
En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco. Ejemplo 1: 3 ÷ 4 = 3 x 3 = 9 5 3 5 x 4 20 Ejemplo 2: 3 ÷ 1 = 3 x 2 = 6 7 2 7 x 1 7 (Swokowski, 1998)
I.II Propiedades de los números reales.
Terminología Caso general Significado
La adición es conmutativa a + b = b + a El orden es intrascente cuando se suman dos
números.
La adición es asociativa a +(b+c) = (a+b) +c La agrupación es intrascendente cuando se suman tres cifras.
0 es la identidad aditiva a + 0 =a Sumar 0 a cualquier cantidad produce la misma cantidad.
1 es la identidad multiplicativa
a.1 = a Multiplicar cualquier número por 1 da el mismo número.
Inverso aditivo a + (-a) = 0 Sumar una cifra y su inverso da 0.
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Inverso multiplicativo a (1/a) = 1 Multiplicar un número diferente de 0 por su recíproco da 1
Multiplicación es distributiva sobre la adición
a (b+c) = ab +ac y (a+b)c = ac +bc
Multiplicar un número y la suma de dos cifras equivale a multiplicar cada cifra por el número y luego sumar los resultados.
Figura 1
Leyes de los signos
Multiplicación y división. 1) Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y a/b son positivos. 2) Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y a/b son negativos.
Suma y resta 3) Si a y b tienen el mismo signo, entonces se suman y se coloca el mismo
signo. 4) Si a y b tienen diferente signo, entonces se restan y se coloca el signo del
número mayor.
I.III Lenguaje común al lenguaje algebraico
Traducir una proposición verbal a una expresión algebraica o en una ecuación. Quizá la parte difícil al resolver un problema verbal sea transformarlo en una ecuación. Antes de representar los problemas como ecuaciones, se da algunos ejemplos o frases representadas como expresiones algebraicas. Un número incrementado en 8. Sea x = el número La expresión algebraica: x + 8 Dos veces un número. Sea x = el número La expresión algebraica: 2x Un noveno de un número. Sea x = el número La expresión algebraica: x/9 2 más que 3 veces un número. Sea x = el número La expresión algebraica: 3x + 2 4 menos que 6 veces un número. Sea x = el número La expresión algebraica: 6x - 4 12 veces la suma de un numero y 5. Sea x = el número La expresión algebraica: 12(x + 5)
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El quíntuplo de un número menos tres. Sea x = el número La expresión algebraica: 5x – 3 Un entero impar Entonces 2x es siempre un número par La expresión algebraica: (2x + 1) es un entero impar Tres enteros consecutivos. Sea x = es el menor de los enteros Entonces (x + 1) y (x + 2) serán los otros dos. El exceso de 50 sobre el triplo de un número. Sea x = el número Entonces (50 – 3x) En estas expresiones algebraicas se utilizó la variable x, pero podríamos haber utilizado cualquier otra variable para representar la cantidad desconocida. Ejemplo. El radio, r, disminuido en 9 centímetros. Solución: r – 9 5 menos que dos veces la distancia, d. Solución: 2d – 5 7 veces un número, n, aumentado en 8. Solución: 7n + 8 El costo por adquirir "y" camisas a $ 6 cada una. Solución: 4y dólares La distancia recorrida en t horas a 65 Km por hora. Solución: 65t El número de centavos en n monedas de 5 centavos. Solución: 5n Una comisión del 7% en la venta de z dólares. Solución: 0.07z ((7% se escribe como 0.07 en forma decimal) Cuando se nos pide determinar un porcentaje, siempre estanos determinando el porcentaje de alguna cantidad. Por lo tanto cuando se lista un porcentaje, siempre se 8% de un número. Solución: 0.08b El costo de un artículo incrementado en un 6% impuesto. Solución: b + 0.06b El costo de un artículo reducido en 25%. Solución: b – 0.25b A veces en un problema hay dos números que se relacionan entre sí. Con frecuencia representamos uno de ellos con una variable y el otro con una expresión que contiene esa variable. Por lo general representamos con la variable la descripción menos complicada y escribimos la segunda (la expresión más compleja) en términos de la variable. En los ejemplos siguientes utilizaremos x para la variable. La edad de Juan ahora y la edad de Juan dentro de 5 años. Sea x = un número (edad de Juan) Segundo número: x + 5 Un número es 8 veces el otro. Sea x = un número
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Segundo número: 8x Un número es 5 menos que el otro Sea x = un número Segundo número: x - 5 Un número y el número aumentado en 15%. Sea x = un número Segundo número: x + 0.15%x Un número y el número disminuido en 10%. Sea x = un número Segundo número: x - 0.10%x La suma de dos números es 22. Sea x = un número Una tabla de 15 centímetros cortada en dos pedazos Sea x = un número Segundo número: 15 - x $ 70 000 compartidos por dos personas Sea x = un número Segundo número: 70 000 – x La velocidad del segundo tren es 1.9 veces la velocidad del primero. La velocidad del primer tren = x Velocidad del segundo tren = 1.9x Carlos y su hermano comparten $ 70. La cantidad de Carlos = x La cantidad que tiene su hermano = 70 - x A Marcelo le lleva tres horas más que a Karen terminar la tarea. Karen = x Marcelo = x + 3 Jenny tiene $5 más que dos veces la cantidad de dinero que tiene Luis. Luis = x Jenny = 2x + 5 La longitud de un rectángulo es 7 unidades menos que 3 veces su ancho. Ancho = x Longitud = 3x – 7 La palabra es en un problema verbal con frecuencia significa es igual a y se representa por el signo igual, =. Ejemplos: 5 menos que tres veces un número es 19 Sea x = el número La expresión algebraica: 3x – 5 = 19 Sea x = el número La expresión algebraica: x – 4 = 2x + 5 El producto de dos enteros consecutivos es 70. Sea x = primer entero, (x +1) = segundo entero La expresión algebraica: x(x +1) = 70 Un número incrementado en su 20% es 85. Sea x = el número La expresión algebraica: x + 0.20x = 85
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Un número reducido en un 15% es 70. Sea x = el número La expresión algebraica: x - 0.15x = 70 La suma de un número y el número incrementado en un 6% es 478. Sea x = el número Numero incrementado en 6% = (x + 0.06x) La expresión algebraica: x + (x + 0.06x) = 478 El costo por rentar un VCR durante x días a 18% por día es $120. Sea x = los días La expresión algebraica: 18x = 120 Procedimiento para resolver problemas de aplicación 1. Entienda el problema. Identifique la cantidad o cantidades que se pide determinar. 2. Traduzca el problema a lenguaje matemático (exprese el problema como una ecuación) a. Elija una variable para representar una cantidad, y escriba exactamente lo que representa. Represente cualquier otra cantidad a determinar en términos de esta variable. b. Utilice la información del paso a., escriba una ecuación que represente el problema verbal. 4. Compruebe la respuesta (utilice el texto original del problema). 5. Responda la pregunta que se hizo. Ejemplos de ángulos complementarios y suplementarios. Si el ángulo A y el ángulo B son complementarios y el ángulo B es 42º mayor que el ángulo A, determine las medidas de los ángulos. Solución: La suma de las medidas de los ángulos complementarios = 90º Sea x = medida del ángulo A. Entonces x + 42 = medida del ángulo B. Medida del ángulo A + medida del ángulo B = 90º X + (x +42) = 90 X + x +42 = 90 2x +42 = 90 2x = 90 - 42 2x = 48 X = 24 La medida del ángulo A = 24º La medida del ángulo B = x + 42º B = 24º + 42º B = 66º La suma de las medidas de los dos ángulos = 90º Ángulo A + ángulo B = 90º 24º +66º = 90º Si los ángulos C y D son suplementarios y la medida de los ángulos C es 6º mayor que el doble de la medida del ángulo D, determine las medidas de los ángulos C y D. La suma de las medidas de los ángulos suplementarios = 180º Entonces 2x + 6 = medida del ángulo C. Medida del ángulo C + medida del ángulo D = 180º (2x + 6) + x = 180
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2x + 6 + x = 180 3x = 180 – 6 3x = 174 x = 58 La medida del ángulo D = 58º La medida del ángulo C = 2(58º) + 6º C = 116º +6º C = 122º La suma de las medidas de los dos ángulos = 180º Ángulo C + ángulo D = 180º 122º +58º = 90º
Figura 2
I.IV Leyes de los exponentes
Ley Ejemplo
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x1 = x 61 = 6
x0 = 1 70 = 1
x-1 = 1/x 4-1 = 1/4
xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5
xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2
(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3
(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn x-3 = 1/x3
Figura 3 Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo: verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye). La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5 Así que x2x3 = x (2+3) = x5 La ley que dice que xm/xn = xm-n
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Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces. Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2 (Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.) Esta ley también te muestra por qué x0=1: Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1 La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx) (xxx) (xxx) (xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12 Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley que dice que (xy)n = xnyn Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo: Ejemplo: (xy)3 = (xy) (xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3 La ley que dice que (x/y)n = xn/yn
Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo:
I.V Operaciones fundamentales en algebra
Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos. 3x, -5c, xy/xy. Binomio: Es un polinomio que consta de 2 términos. Trinomio: Es un polinomio que consta de 3 términos. Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de más de un término como: a + b, x+y+z, x-y-z+w. Suma y Resta de polinomios (Términos semejantes) Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, cuando tienen misma letra mismo exponente.
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Ejemplo: 3x +3x+2x -5x Sumar los siguientes polinomios: 2x+3x 2 -3x +2x2 = -x +x2
2x2 +2x3-5x2-5x3 = -3x2 - 3x3
Multiplicación de polinomios Es una operación que tiene por objeto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto, que sea respecto al multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. El multiplicando y el multiplicador son factores del producto. Ejemplo: 3x (4x + 5x -3y+ 8x2y2)
Regla importante: Se aplica la ley distributiva de la multiplicación:
a) Se multiplican coeficientes y a continuación de cada producto se escriben las
letras en orden alfabético; 12x + 15x -9xy + 24xy
b) Colocándole a cada uno la suma de los exponentes que le corresponda a
cada literal. 12x 2+ 15x2 -9xy + 24x3y2
c) El signo de la multiplicación será dado por leyes de los signos. División de polinomios Dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor cociente. Ejemplo: 6x3/3x Regla: Se dividen los coeficientes. 6/3 =2 Después se coloca la variable. x Por último se restan los exponentes. 3-1 = 2 Se escribe: 2x2
I.VI Productos Notables
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Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son: Binomio de Suma al Cuadrado: El Cuadrado del primer Término, más el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio Diferencia al Cuadrado: El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término. (a + b) (a - b) = a2 - b2 Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, más el producto de termino común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos no comunes. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término. (a + b) 3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b) Binomio Diferencia al Cubo: El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término , menos el cubo del segundo Término. (a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
I.VII Factorización
Es descomponer en factores a una expresión algebraica. Tipos de factorización. Factor común: Es cuando la expresión se puede descomponer y en todos los términos existe un factor igual. Ejemplo: ax +ay-az Regla: Se identifica el factor común en todos los términos. a
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Después se divide a cada termino entre el factor común. 𝑎𝑥
𝑎+
ay
𝑎+
𝑎𝑧
𝑎
Por último se ordena y queda = a (x +y +z) Trinomio cuadrado perfecto: Se obtiene raíz cuadrada del primero y tercer término, se coloca el signo del segundo término y se colocan e resultado de las raíces entre paréntesis. Ejemplo: a2+2ab+b2
√𝑎2= 𝑎 √𝑏2=
𝑏 = (a+b) (a+b)
Factorizar diferencia de cuadrados
Se saca raíz en cada uno de los cuadrados para obtener los factores y se coloca un signo positivo y uno negativo. Ejemplo:
x2 – y2 =√𝑥2= 𝑥 √𝑦2=
𝑦
Se toman las raíces (x + y)(x – y) obteniendo asi el producto de binomios conjugados Suma de dos Cubos: Se saca raíz cubica a cada uno de los dos términos cúbicos, para obtener un binomio (la suma de dos números), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) Diferencia de Cubos Se saca raíz cubica a cada uno de los dos términos cúbicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos números), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) Trinomio Suma al Cuadrado o Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero. (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ac) Trinomio Suma al Cubo (a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b). (b +c). (a + c)
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I. VIII Ecuaciones 1er grado.
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2
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x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28. Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos
Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones. Veamos el siguiente ejemplo:
Primero quitamos los paréntesis.
Reducimos términos semejantes.
Ahora quitamos los corchetes.
Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
Nuevamente reducimos términos semejantes
Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos.
Figura 4 Resolución de problemas mediante ecuaciones
Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer). Veamos un problema característico: Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno? Digamos que las edades de los tres son:
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x edad de Pedro y edad de Álvaro z edad de María Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro): y = x + 3 También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María): z = x – 7 Ahora tenemos que: Edad de Pedro: x Edad de Álvaro: x +3 Edad de María: x – 7 La suma de las tres edades es 38: x + x +3 + x – 7 = 38 Resolviendo está última ecuación tendremos: x = 14 (esta es la edad de Pedro) Finalmente: Edad de Pedro: x = 14 años Edad de Álvaro: x + 3 = 17 años Edad de María: x – 7 = 7 años Método de reducción para ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas
En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas, y deben de tener diferente signo para que puedan ser eliminadas cualquiera de las dos variables. Ejemplo:
5𝑥 + 6𝑦 = 20 Ecuación 1 (4 x– 3y = -23) 2 Ecuación 2
1) Primero se multiplica por 2 la segunda ecuación, quedando de la siguiente manera: 8x – 6y = -46.
2) Se vuelven a colocar las ecuaciones.
5𝑥 + 6𝑦 = 20 Ecuación 1 8x – 6y = -46. Ecuación 2
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3) Se realiza la suma de términos. 13x =-26 X = -26/13 = -2
4) Después se sustituye el valor de x en cualquiera de las 2 ecuaciones para obtener el valor de y.
5 (-2) + 6y = 20 -10 + 6y = 20
6y = 20+10 Y = 30/6 = 5
Método por determinantes para ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas
Este método consiste en restar el producto de los coeficientes ab al producto cd. Tendremos la expresión ab – cd. Se escribe de la siguiente manera obteniendo así una determinante.
ab – cd = |𝑎 𝑑𝑐 𝑏
|
Ejemplo:
5𝑥 + 6𝑦 = 20 Ecuación 1 4 x– 3y = -23 Ecuación 2
1) Se colocan los coeficientes dentro de la determinante, haciendo una fracción de determinantes. 𝑥 𝑦
|5 64 −3
|
|5 64 −3
|
2) Se sustituyen los valores de la igualdad en la variable que se quiere obtener. x
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|20 6
−23 −3| = −60 − (−138) = 78
|5 64 −3
| = -15 -24 = -39
3) Para obtener el valor de x se dividen los valores 78/-39 = -2 4) Por último se hace el mismo procedimiento para y
|5 204 −23
| = −115 − 80 = −195
|5 64 −3
|= -39
5) Para obtener el valor de y se dividen los valores -195/-39 = 5
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II.Geometría Analítica
Sistema coordenado
Hasta ahora para graficar puntos en el plano siempre se ha utilizado un sistema de coordenadas rectangulares. En un sistema de coordenadas rectangulares un punto en el plano se representa mediante un par ordenado (x, y).Figura 1.
Sistema de Coordenadas Polares.
En un sistema de coordenadas polares, se selecciona un punto, llamado polo y luego un rayo con vértice en el polo, llamado eje polar. Figura 2.
Al comparar los 2 sistemas de coordenadas se ve que el origen y eje x de las coordenadas rectangulares coinciden con el polo y el eje polar de las coordenadas polares respectivamente.
Antes de hacer conversión de coordenadas recuerda que el origen de las coordenadas rectangulares es el polo de las coordenadas polares, y que el eje positivo x de las coordenadas rectangulares es el eje polar de las coordenadas polares.
Figura 2
Figura 1
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Teorema: Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares y viceversa.
Si P es un punto con coordenadas polares (r,0)las coordenadas rectangulares (x,y)de P están dadas por:
Demostración. Suponga que P tiene las coordenadas polares (r,0). Se buscan las coordenadas rectangulares (x,y)de P. Figura 5.
Si r=0 entonces independientemente de Ɵ, el punto P corresponde al polo, para el que las coordenadas rectangulares son (0,0). La fórmula es válida para r=0.
Si r>0 el punto P está sobre el lado terminal de Ɵ y r = d (0,P)-√𝑥2 + 𝑦2 puesto que:
cos 𝜃 =𝑥
𝑟 sen 𝜃 =
𝑦
𝑟
Se tiene:
Ejemplo de coordenadas rectangulares.
El semestre anterior en la asignatura de Geometría y Trigonometría viste en clase el tema de sistemas de coordenadas, vamos a recordar cómo se grafica un punto.
1. Graficar el punto (4,3)
Lo primero que debemos ubicar son los ejes, el eje x esta siempre horizontal y el eje y está siempre vertical. Del punto dado tomamos el primer valor y lo ubicamos en el eje de x, ahora ubicamos el segundo valor en el eje y, lo último que debes
x=r cos Ɵ y= r sen Ɵ
Figura 3
x=r cos Ɵ y= r sen Ɵ
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hacer es ver donde se cruzan o intersectan los puntos que identificaste anteriormente y tendrás la coordenada del punto (4,3).
Figura 4
Ejemplo de coordenadas polares.
1. Graficar el punto (3,5𝜋
3) usando coordenadas polares.
Lo primero que debemos hacer es identificar los datos que nos están dando, puedes observar 2 valores en el punto (3,5𝜋
3) en donde el 3 es el radio vector
y 5𝜋
3 es el ángulo polar. Recuerda que el ángulo se mide en sentido opuesto
a las manecillas del reloj. Veamos cómo se representa en la Figura 4.
Figura 5
Ahora te preguntaras como calculamos el valor de 5𝜋
3, recuerda que el valor de π
es de 180°; entonces si multiplicamos el valor de π por 5
3 nos dará como resultado
300° y por último los ubicamos en nuestro plano cartesiano. Por lo anterior queda un radio vector de longitud 3 con un ángulo polar de 300°.
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Ejemplo de conversión de coordenadas polares a rectangulares y viceversa.
De polares a Rectangulares
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
1. Convertir la coordenada polar (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?
Figura 6
Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98
Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08
De Rectangulares a Polares
De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
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Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Figura 7
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ)
son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )
Distancia entre 2 puntos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
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Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)
d = 5 unidades
División de un segmento en una razón dada.
Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) los extremos del segmento AB, si se desea encontrar el punto P (xr, yr) que divida al segmento de recta en una razón dada r,
Para el valor de la abscisa (x) Para el valor de la ordenada (y)
𝑟 =𝑥𝑟 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥𝑟 𝑟 =
𝑦𝑟 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦𝑟
Por lo tanto el punto (𝑥𝑟,𝑦𝑟), que divide a un segmento en una razón dada r se determina:
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Así las formulas de punto medio son:
Ejemplo:
Figura 8
Punto Medio.
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Las coordenadas del punto medio es igual a la suma de las ordenadas (Y) de cada extremo y divididos entre 2 y la suma de las abscisas (X) de cada extremo y divididos entre 2.
𝑋𝑚 =𝑥1 + 𝑥2
2
𝑌𝑚 =𝑦1 + 𝑦2
2
Ejemplo:
Encontrar el punto medio del segmento formado por las coordenadas P1(-4,-4) y P2(2,2).
Encontramos primero 𝑋𝑚
𝑋𝑚 =𝑥1 + 𝑥2
2
𝑋𝑚 =−4 + 2
2
𝑋𝑚 =−2
2 = −1
𝑌𝑚 =𝑦1 + 𝑦2
2
𝑌𝑚 =−4 + 2
2
𝑌𝑚 =−2
2 = −1
Por lo tanto 𝑃𝑚 = (−1, −1)
Lugares geométricos
LA RECTA
Se llama línea recta al lugar geométrico de todos los puntos contenidos en el plano tales que, tomados dos puntos cualesquiera P ( 1, 1 ) y Q (2, 2 ) de la recta.
Ecuación general de la recta
𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶 = 0
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Ecuación de la forma punto pendiente
𝑌 − 𝑌1 = 𝑚(𝑋 − 𝑋1)
La pendiente de una recta es la inclinación que tiene la recta con respecto al eje X positivo, el valor de la pendiente m , es siempre constante. La pendiente de la recta se denota por m.
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Ejemplo.
Encuentra la pendiente que pasa por los puntos A(3,2) y B(-2,-1)
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =−1 − 2
−2 − 3 =
−3
−5=
3
5
Como el signo de la pendiente es positivo (+) indica que el ángulo de inclinación esta en el primer cuadrante.
El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma la recta con el eje coordenado X en su dirección positiva, y se mide a partir del eje X en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj.
𝛼 = tan−1 𝑚
Ejemplo.
Encuentra el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A(3,2) y B(-2,-1).
𝛼 = tan−13
5 = 30°57′
Cónicas
La circunferencia.
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Es el lugar geométrico de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
Ecuación de una circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 (𝑥 − 𝐻)2 + (𝑦 − 𝐾)2 = 𝑅2
Con centro en el origen Con centro fuera del origen
y
P(x,y)
x
figura 9
Ejemplo.
Obtener la ecuación de la circunferencia de centro c(-3,2) y radio = 5.
(𝑥 − 𝐻)2 + (𝑦 − 𝐾)2 = 𝑅2
(𝑥 − (−3))2 + (𝑦 − 2)2 = 52
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 25 //Forma ordinaria
Desarrollamos para obtener la forma general.
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 25
𝑥2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 25 = 0
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0// Forma general
Parabola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta denominada directriz. Si la parábola tiene concavidad positiva la función es decreciente hasta alcanzar un valor mínimo para luego ser creciente. Si tiene concavidad negativa la función es creciente hasta alcanzar un valor máximo para luego ser decreciente. El punto donde se encuentra el mínimo o máximo se denomina vértice de la parábola. Observa las siguientes figuras con vértice se encuentra en el origen:
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Figura 10
Figura 11
Ejemplo.
La ecuación de una parábola es y2 = 16x, realiza la gráfica y obtén el valor de cada uno de los elementos. Como la incógnita que está elevada al cuadrado es “y” se trata de una parábola horizontal con vértice en el origen. Realizando una analogía con la expresión en su forma ordinaria tenemos:
A partir del vértice (0, 0) consideramos 4 unidades a la derecha y 4 unidades a la izquierda, entonces las coordenadas del foco son F( 4, 0) y la ecuación de la directriz D = es x = - 4. El valor del lado recto es LR = 4p
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LR = 4(4) = 16.
Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es una constante.
Ejemplo.
Obtén la ecuación de la elipse con vértices en (± 5, 0) focos en (± 3, 0)
Figura 12
El valor de a es la distancia del centro a uno de los vértices por lo que a = 5. El valor de c es la distancia del centro a uno de los focos c = 3.
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Hiperbola
Se define como el lugar geométrico formado por puntos para los cuales la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
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Figura 13
Ejemplo.
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III. CALCULO INTEGRAL
III.I Funciones trigonométricas
Una función trigonométrica, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno, la cosecante; coseno, la secante, tangente y la cotangente.
Función seno
Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.
Figura 1
Función coseno
La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.
Figura 2
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Función tangente:
Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.
Figura 3
• La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.
• La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.
• La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:
• Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.
• Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
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• Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
• Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
III.II Aproximaciones
Los diferenciales nos dan una aproximación a estos resultados de raíces de números próximos a aquellos que si tienen una raíz exacta, y esta aproximación es más exacta cada vez que las diferencias sean más pequeñas.
Para cualquier radical se tiene que y= √𝑥𝑛 y = x 1/n, y dependiendo del valor de
“n” será el valor del diferencial en cada caso.
Ejemplos:
Radical Forma exponencial
Derivada Diferencial
y= √𝑥𝑛 y = x 1/2 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
2𝑥 -1/2 𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
2 √𝑥
y= √𝑥3 y = x 1/3 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
3𝑥 -2/3 𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
3 √𝑥 2
y= √𝑥4 y = x 1/4 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
4𝑥 -1/4 𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
4 √𝑥4 3
y= √𝑥𝑛 y = x 1/n 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
𝑛𝑥 -1/n 𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
𝑛 √𝑥𝑛 n-1
Figura 4
Ejemplo:
√9.01 =?
Se usará la expresión: y= √𝑥𝑛
+ 𝑑𝑥 = 𝑦 + 𝑑𝑦
La raíz más próxima es del número entero 9; y= √9 = 3.
El cálculo de dx es partir de x + dx = 9.01. Se obtiene despejando;
dx = 9.01 –x, ya se conoce que x = 9.
Se tiene dx = 9.01 – 9 = .01 = 1/100.
Para calcular dy se tiene 𝑑𝑦 =𝑑𝑥
2 √𝑥 = 1/100
2 √9 = 1/600.
y= √𝑥𝑛
+ 𝑑𝑥 = 𝑦 + 𝑑𝑦 y= √9.01 = 3 +1
600=
1801
600= 3.0017
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III.III Anti derivada
La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. Por ejemplo: Si f(x) = 3x2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra anti derivada de f(x). La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración. La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. Área bajo la curva Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a, b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:
Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a, b] en n-subintervalos iguales de longitud Delta.gif (151 bytes) x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de la n rectángulos es entonces:
∑[𝑓(𝑥 ∗)(∆𝑥)
𝑛
𝑘=1
A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann.
Definimos el área bajo la curva como:
Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.
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Integral.
Se define la integral de la función f(x) entre los límites a y b con la fórmula utilizada para calcular el área bajo la curva f(x) y se representa como:
Todo factor constante se puede sacar fuera del signo de la integral:
La integral de una suma (o resta) de funciones es la suma (o resta) de las integrales de cada función por separado:
Al cambiar de orden los límites de integración, cambiará el signo de la integral:
Dados tres números a, b y c, se cumple que:
Si en el intervalo [a, b] las funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≤ g(x), entonces:
Ejemplo.
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Integrales impropias
Cuando en una integral alguno de los límites (o ambos) es •}∞, se le llama integral impropia.
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Integración por partes
Este método se utiliza cuando en el integrando hay productos de funciones que no pueden reducirse a un cambio de variable. Recordemos que para derivar un producto de funciones se usa la regla:
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Bibliografía
- Baldor Aurelio. Algebra. México (2004); 20ª. Edición. Publicaciones cultural - Earl W. Shokowski y Jeffery A. Cole. Algebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. México (2008); 12ª. Edición. Ed. Thomson. - Louis Leithold. El cálculo. México (1998).7ª. Edición. - J.Sullivan.Algebra y Trigonometría. México (2006).12ª edición .Ed Pearson. - Joaquín Ruiz Basto. Geometría Analítica. México (2014).Ed. Patria. - Fausto Cervantes Ortiz. Métodos Operativos de Cálculo integral
Mèxico(2008)Ed.UACM.
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
Pág. 27 Ing. Paola Carina Prado Olvera
TALLER LUDICO DE MATEMATICAS
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Jugando a aprender Algebra
CECYTEQ, Plantel Corregidora No. 6
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Correo: [email protected]
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
Pág. 1 Ing. Paola Carina Prado Olvera
Índice
Introducción……………………………………………………………………. 2 - 4
Propósito………………….……………………………………………………...4 – 8
Marco Curricular Común…………………………………………….………..9
Estrategia didáctica…………………………………………………………....9 – 10
Lenguaje algebraico y Crucigrama………………………………………..10 –12
Operaciones fundamentales y Domino………………………………..…..13 –16
Productos notables, Factorización y Laberinto……………………….…..17 – 22
Ecuaciones de 1er y 2do grado y Maratón…………………………….. 23 - 30
Referencia de fuentes consultadas…………………………………………..31
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
Pág. 2 Ing. Paola Carina Prado Olvera
INTRODUCCIÓN
En un futuro si el docente comprometido con su entorno llegara a aplicar las técnicas de enseñanza-aprendizaje siguiendo los lineamentos de la reforma podremos hacer una sociedad mejor. Considero que las matemáticas es una poderosa herramienta para el pensamiento analítico esto va de la mano actualmente con las exigencias de la globalización que requieren cambios de fondo en los planes y programas de estudio en algebra, para formar jóvenes con mayores posibilidades de éxito y capaces de incorporarse al desarrollo social y productivo de su región, al generar en su transformación la incorporación de habilidades y competencias para la vida haciendo la adquisición de estas de manera lúdica. Estos han sido los principales motivos de la creación de la RIEMS. Ésta contempla elementos importantes donde los docentes debemos hacer participar a los alumnos en el aprendizaje de los principios generales de las matemáticas conforme aprenden aritmética y dicen que con frecuencia se ha aislado la aritmética de otra ideas matemáticas afines, lo cual aísla a los alumnos con respecto a eficaces maneras de pensar en las matemáticas y les puede dificultar el aprendizaje del álgebra más adelante.
Lo llame jugando a aprender Algebra pues considero que muchas veces esta opción que muy pocas veces se retoma hace que el estudiante de bachillerato tenga bien fundamentados estos conocimientos y lo más importante que no los olvide. Pues el día a día se torna más tecnológico, el razonamiento y solución de problemas que exige el algebra son requeridos en diversos ámbitos del trabajo ya que el Marco Curricular Común se establece para llevar a las estructuras curriculares actuales un paso más adelante, de manera que contribuyan a formar personas con capacidad de enfrentar las circunstancias del mundo actual.También vemos evidencias de la creciente importancia del álgebra en las nuevas normas y evaluaciones. Las evaluaciones nacionales y estatales incluyen habilidades algebraicas desde el segundo año de la secundaria y muchos exámenes finales de la enseñanza media evalúan ahora el dominio del álgebra.
Muchos alumnos que estudian el álgebra en la enseñanza media no ven los procedimientos que se utilizan para resolver ecuaciones o simplificar expresiones como algo basado en las mismas propiedades que ya usaron en los cálculos aritméticos es por eso que de manera lúdica podría quedarse este aprendizaje significativo en el estudiante de bachillerato.
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
Pág. 3 Ing. Paola Carina Prado Olvera
Actualmente la educación media superior ha sido cuestionada por sus limitaciones para cubrir con equidad y calidad de la demanda educativa; por los procesos de globalización y liberación de la economía, por el desarrollo acelerado de las comunicaciones, por los altos índices de deserción, falta de trabajo, delincuencia son unas de las causas por lo que se decidió reformar la educación en el nivel medio superior llegando a la Reforma Integral de la Educación Media
Superior para atacar las deficiencias existentes en este nivel de enseñanza importante para el bachiller, que pretende egresar a un nivel superior o al ámbito laboral de ahí la creación del Marco Curricular Común, pues se requiere que los estudiantes de bachiller cuenten con las competencias idóneas para su desarrollo social y laboral.
Es por ello que en el área de matemáticas 1 para lograr el desarrollo de las competencias genéricas y disciplinares que requiere que el alumnos tenga al término de su bachillerato se logren efectivamente considere que la estrategia “Jugando a aprender Algebra” es un método efectivo para lograr en el alumno las
competencias y aprendizajes significativos pues a través del juego pueden desarrollar estas competencias genéricas y disciplinares.
De acuerdo a los ejes que maneja la RIEMS, un mecanismo para fortalecer el desempeño académico de los alumnos da lugar a mi estrategia de que el álgebra se puede aprender jugando.
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PRESENTACION DEL CURSO
Asignatura Profesor Elementos
Algebra Ing. Paola Carina Prado Olvera
Se expresa y comunica, piensa crítica y reflexivamente
Actitudinal: responsabilidad, compromiso, expresión escrita de manera correcta, respeto, tolerancia, trabajo colaborativo e individual, creatividad
REPRESENTACION TEMATICA DE LA MATERIA
PROPOSITO
El propósito del programa de estudios de la materia de Algebra (matemáticas 1) es que el alumno pueda expresar, comunicar, pensar crítica y reflexivamente, los conocimientos propios de la asignatura de tal manera que esta red cognoscitiva que adquiera a través de un aprendizaje significativo lúdico ayude a culminar los matemáticas consecuentes que el alumno deberá cursar durante su estancia en la preparatoria y su interrelación con las competencias genéricas y disciplinares referidas en el marco curricular común (MCC) del sistema nacional de bachillerato (SNB) producto de la reforma integral, a partir de su despliegue en las actividades didácticas propuestas en el diseño de estrategias educativas centradas en el aprendizaje.
Con Algebra pretendo guiar, acompañar y facilitar el proceso de enseñanza
aprendizaje ya que en él se establecen los referentes teóricos y metodológicos para la planeación de prácticas instruccionales que estimulen vigorosamente los aprendizajes significativos.
Algebra
Productos Notables y
factorización
Operaciones básicas
algebraicas (suma, resta, multiplicación
y división)
Representación algebraica de
expresiones en lenguaje común
Ecuaciones lineales y
cuadráticas
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Dada mi experiencia como docente se observa que en el área de matemáticas los índices de reprobación y siguen siendo altos pues a pesar de los esfuerzos que se han hecho los estudiantes traen deficiencias desde aritmética y porque no mencionarlo muchas veces la misma sociedad y la familia hace que le tengamos pavor a esta materia por las experiencias que padres, amigos o compañeros dicen de las matemáticas, otro factor importante que influye en el aprendizaje de las matemáticas es que no todos los maestros tienen una preparación matemática y éstos lo único que hacen es transmitir al alumno su incapacidad.
Considerando el contexto en donde se desenvuelven los estudiantes de esta preparatoria y dado que el ser niño o regresar a esta etapa donde tu vida no está llena de problemas solo de jugar y aprender es una estrategia de aprendizaje excelente para lograr en el estudiante estos aprendizajes que posteriormente les serán útiles cuando se desarrollen en el entorno laboral pues la habilidad que se adquiere a través de la matemáticas facilita que la toma de decisiones sea más efectiva.
A continuación se presentan se presentan las competencias genéricas y disciplinares a utilizar en la asignatura de Algebra:
COMPETENCIAS GENERICAS
ATRIBUTOS PRODUCTOS
4.- Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medio, códigos y herramientas apropiadas.
1.Saber leer y comprender las instrucciones 2.Interpreta los conceptos 3.Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo
Mapa conceptual Ejercicios resueltos Cuadro Sinóptico Formulario
AMBITO DE APLICACION
Salón de clase
5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a partir de métodos establecidos.
1.Saber leer y comprender las instrucciones 2.Analizar la información
Crucigrama Laberinto Domino Maratón
AMBITO DE APLICACION
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3.Organiza la información 4.Verifica la información 5.Comprende los conceptos 6.Aplica los conceptos 7.Considera diversos métodos o enfoques 8.Resuelve el problema 9.Interpreta los resultados
Salón de clase
COMPETENCIAS DISCIPLINARES
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Estas competencias integran conocimientos, habilidades y actitudes por medio de las cuales el docente crea ambientes de aprendizaje para que el alumno a través de las competencias genéricas se apropie del conocimiento; las competencias del docente se promueven en forma transversal y adecuadas al contexto del trabajo del facilitador y deben ser trascendentales para el desarrollo y actualización de los mediadores, por lo que, para la formación de egresados del bachillerato estos deben ser capaces de comprender su realidad y el facilitador debe utilizar los instrumentos necesarios para que adquieran las herramientas para poder actuar a lo largo de su vida. Por lo que el perfil del docente y el perfil del egresado deben ser congruentes el uno con el otro, esto quiere decir que las competencias deben mantener una relación de una a varias o viceversa, pero no necesariamente ser simétricas ni contemplar los mismos elementos.
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La tendencia de la enseñanza de las ciencias exactas pretende incluir conocimientos que sean utilizados por los alumnos para resolver problemas cotidianos. En el área de las Matemáticas se propone el trabajo colaborativo como
una herramienta para construir el conocimiento y promover el desarrollo de
habilidades prácticas.
La metodología aplicada lleva de la mano al docente en todo momento ya que se basa en una planeación bien estructurada, detallada, donde los objetivos y las actividades de los aprendizajes con los contenidos y las tareas de evaluación están alineadas constructivamente (Biggs, 2005). Los conocimientos y habilidades (procedimental-actitudinal), (Díaz-Barriga, A. y Hernández, R. 2004), atributos de competencias, son adquiridos por los estudiantes siguiendo un proceso para cada uno; de apertura (dimensiones 1 y 2), desarrollo (dimensiones 3 y 4) y cierre (dimensión 5), (Marzano, R., 1993).
En la fase de apertura se aporta el conocimiento declarativo, en la fase de
desarrollo¸ el procedimental y en la fase de cierre se llega a la metacognición, en el entendido que para lograr buenos y excelentes resultados en cada una, son indispensables las actitudes y valores que van implícitos en el comportamiento, que se promueven, se desarrollan y se fortalecen porque también son evaluadas.
Los contenidos de cada unidad integradora se desglosan del siguiente modo:
Primeramente se definen los objetivos de aprendizajes seccionados por fase en el proceso (apertura, desarrollo y cierre) e inicia la secuencia didáctica describiendo las actividades a realizar en ese orden y basados en los objetivos, se consideran los conocimientos y habilidades requeridos por los alumnos de otras disciplinas, los recursos y medios, así como las estrategias didácticas o el tipo de mediaciones que deben llevarse a cabo para obtener los productos deseados sin perder en ningún momento el (los) objetivo(s) que se persigue.
Fundamentos de la elección de los contenidos de ALGEBRA
La asignatura de Algebra integra el primer semestre del ciclo escolar. En función de ello el curso tiene como objetivo desarrollar la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes pues el hecho que el estudiante cuente con el desarrollo de estas competencias podrá argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos, resulta imprescindible que esta asignatura quede bien establecida como base sólida en los estudiantes, ya que Algebra es la base para otras asignaturas en el campo de la Matemática, propiciando así la culminación del bachillerato y/o la integración al campo laboral, y/o el seguimiento de estudios universitarios.
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Durante el este proceso de enseñanza lúdica el estudiante asume una
actitud con diversas características como: Trabajo colaborativo Respeto Puntualidad en la entrega de ejercicios Pensamiento lógico-matemático Formación de criterio Trabajo individual Responsabilidad Tolerancia por los puntos de vista de sus compañeros
Características de los productos
Consiste en que todos los elementos que se consideren tendrán sentido en sus relaciones, es decir, pensar el curso a partir de los resultados que se esperan, es una manera de armar un sistema finalizado.
Investigación documental (bibliográfica): Documento que se caracteriza por contener resultados coherentes, ordenados y objetivos precisos donde se utilizan procedimientos lógicos y mentales, con la finalidad de ser base para la construcción de conocimientos.
Retroalimentación Docente: Es esencial para formar recursos humanos competentes que satisfagan las necesidades del sector profesional y/o productivo, desarrollando en el capacitando el saber, el saber hacer y el saber ser.
Resolución de problemas: Contribuyen al desarrollo intelectual e integral de la personalidad del estudiante; es un aspecto importante en el aprendizaje de las Matemáticas. En el proceso de enseñanza-aprendizaje, es común explicar los problemas como algo que se sabe hacer.
Técnica lúdica: Es un conjunto de estrategias diseñadas para crear un ambiente de armonía en los estudiantes que están inmersos en el proceso de aprendizaje. Este método busca que los alumnos se apropien de los temas impartidos por los docentes utilizando el juego, desarrolla actividades muy profundas dignas de su aprehensión por parte del alumno, empero disfrazadas a través del juego.
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MCC DA LUGAR A LA ESTRATEGIA
Actualmente la educación media superior ha sido cuestionada por sus limitaciones para cubrir con equidad y calidad de la demanda educativa; por los procesos de globalización y liberación de la economía, por el desarrollo acelerado de las comunicaciones, por los altos índices de deserción, falta de trabajo, delincuencia son unas de las causas por lo que se decidió reformar la educación en el nivel medio superior llegando a la Reforma Integral de la Educación Media Superior para atacar las deficiencias existentes en este nivel de enseñanza importante para el bachiller, que pretende egresar a un nivel superior o al ámbito laboral de ahí la creación del Marco Curricular Común, pues se requiere que los estudiantes de bachiller cuenten con las competencias idóneas para su desarrollo social y laboral.
Es por ello que en el área de matemáticas 1 para lograr el desarrollo de las competencias genéricas y disciplinares que requiere que el alumnos tenga al término de su bachillerato se logren efectivamente considere que la estrategia “Jugando a aprender Algebra” es un método efectivo para lograr en el alumno las
competencias y aprendizajes significativos pues a través del juego pueden desarrollar estas competencias genéricas y disciplinares.
De acuerdo a los ejes que maneja la RIEMS, un mecanismo para fortalecer el desempeño académico de los alumnos da lugar a mi estrategia de que el algebra se puede aprender jugando.
Los componentes que considero esenciales para un enfoque pedagógico son: los propósitos, que atañen al sentido y finalidad de la educación; el
estudiante, como elemento clave del proceso educativo; el proceso de
enseñanza-aprendizaje, en donde el docente tiene un papel fundamental; los
contenidos y la forma como éstos son presentados como objeto de
aprendizaje; la evaluación como un componente esencialmente articulado al proceso anterior y; la organización, que posibilita la articulación de todos los elementos y procesos del modelo.
ESTRATEGIA DIDACTICA
Dado que se pretende que los alumnos sean personas que construyan para su futuro y su persona la estrategia que propongo es la de “JUGANDO A APRENDER
ALGEBRA”, pues una estrategia es una serie de procedimientos flexibles para promover el logro de aprendizajes significativos y el hecho de que el alumno aprende por que lo hace, no por lo que el maestro hace considere este tipo de estrategia para Algebra.
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PRIMER PARTE
El alumno investiga temas proporcionados por el docente de acuerdo al programa de estudios de Algebra.
SEGUNDA PARTE El docente retroalimenta los temas sobre lo pedido
TERCERA PARTE Resolver los ejercicios proporcionados por el docente para asegurar el aprendizaje significativo de los mismos.
CUARTA PARTE Con los conocimientos proporcionados por el docente el alumno utilizara los temas y los aplicara en la técnica lúdica, de tal manera que el alumno investigue sobre una enseñanza de aprendizaje lúdica y explicar por qué se puede tomar esta técnica de enseñanza para aprender algebra
QUINTA PARTE Jugar con los juegos diseñados y resolver los ejercicios establecidos en cada juego.
ALGEBRA
Es el nombre que identifica a una rama de las Matemáticas que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”
LENGUALE COMUN Y ALGEBRAICO
Como otros lenguajes, el lenguaje algebraico se basa en la representación de cantidades mediante letras, signos y símbolos. Para “hablar” con soltura el
lenguaje algebraico es necesario adquirir, ante todo, una idea clara y concisa de sus propiedades fundamentales, y después, poseer una gran dosis de práctica y para lograr esta práctica, considero que la parte lúdica será un medio eficaz para lograrlo. Para este tema considere un Crucigrama donde el alumno relaciona el lenguaje algebraico y el común.
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Exprésate algebraicamente!!!
FRASE O LENGUAJE COMUN LENGUAJE ALGEBRAICO
1) Dos veces un número o el doble de un número
2x
2) Un número al cuadrado menos diez unidades
𝑥2 − 10
3) Un octavo de un número 1
8𝑥
4) La raíz cuarta de la diferencia de dos números
√𝑥 − 𝑦4
Es importante considerar los siguientes sinónimos matemáticos para la traducción del lenguaje algebraico:
Suma: incrementar, sumar, mas, agregar, aumentar,
Resta: diferencia, menos, restar, quitar, disminuir,
Producto: por, veces, multiplicar, duplo o doble (por 2), triple (por 3), cuádruple (por 4) y así sucesivamente.
División: cociente, entre, razón, mitad o un medio (entre 2), tercera parte (entre 3), cuarta parte (entre 4), así sucesivamente.
Potencia: al, a la, cuadrado o segunda potencia, cubo o tercera potencia, cuarta potencia, así sucesivamente.
CRUCIGRAMA: Un crucigrama es un juego o un pasatiempo escrito que consiste en escribir en una plantilla una serie de palabras en orden vertical y horizontal que se cruzan entre sí, cuyo objetivo es favorecer a la memoria, la atención, la concentración, la agilidad mental, el enriquecimiento del vocabulario.
DESARROLLO DEL JUEGO
El jugador, lee las referencias que se encuentran divididas en dos zonas (una horizontal y otra vertical)
Cada referencia tiene un número que no se repite y que se encuentra asociado a la palabra oculta en el crucigrama
Las palabras se encuentran imbricadas de tal modo que muchas de ellas se pueden deducir cuando una o más palabras cruzadas ya han sido escritas
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El jugador tendrá presente que las palabras horizontales, se completan siempre de izquierda a derecha en todos los casos y verticales de arriba hacia abajo.
2 1
1
2
3
3
4
VERTICALES
1 1
2 2
3 3
4 4
HORIZONTALES
CRUCIGRAMA DE LENGUAJE ALGEBRAICO
𝑥
𝑥2 −𝑦2
𝑥2
𝑥 𝑦
𝑥 𝑦
𝑥𝑦
𝑥 𝑦
𝑥 −
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OPERACIONES FUNDAMENTALES
Para este tema de operaciones fundamentales que abarca la suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz, utilizaré el juego de Domino, cuyo objetivo es que al colocar la ficha siguiente el alumno haya realizado las operaciones pertinentes para seguir jugando y ganar el juego, esta otra forma de enseñar las operaciones fundamentales lograra que el alumno tenga los aprendizajes significativos para estos temas, que le ayudan en otras disciplinas.
SUMA O RESTA ALGEBRAICA
Consiste en la reducción de términos semejantes haciendo las operaciones que están involucradas en la expresión algebraica en la que éstos se encuentran y con ello convertir en un solo término dos o más términos semejantes. a) Si aparecen términos semejantes con el MISMO SIGNO SUMAR sus
coeficientes, respetar su signo y escribir la LETRA IGUAL. − 𝑚2 − 5𝑚2 = −7𝑚2
b) Si aparecen términos semejantes con DIFERENTE SIGNO RESTAR sus coeficientes, respetar el signo del número mayor y escribir la LETRA IGUAL.
− 𝑚2 5𝑚2 = 𝑚2
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA a) Consiste en aplicar la LEY DE LOS SIGNOS, multiplicar:
b) Multiplicar los coeficientes ya sean enteros o fracciones; c) y la LEY DE LOS EXPONENTES: (𝑎𝑚)(𝑎𝑛) = 𝑎𝑚+𝑛 SUMAR los
EXPONENTES de letras iguales, LA LETRA CAMBIA
Ejemplos:
1) (− 𝑥 )(5𝑥𝑎) = − 0𝑥 +𝑎
2) (− 4𝑥5
7) (−
2𝑥
) =
8𝑥6
21
(𝑥 − 5𝑥2 7𝑥 )
(𝑥5 − 1)
Signos iguales (+)(+) = +
(-)(-) = +
(-)(+) = -
(+)(-) = - Signos diferentes
iguales
−𝑥 5𝑥2 − 7𝑥 −
𝑥8 − 5𝑥7 − 7𝑥6 𝑥5
𝑥8 − 5𝑥7 − 7𝑥6 𝑥5 − 𝑥 5𝑥2 − 7𝑥 −
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DIVISIÓN ALGEBRAICA a) Consiste en aplicar la LEY DE LOS SIGNOS, división:
b) Dividir coeficientes en caso de que se pueda, sino simplificar la fracción;
c) y la LEY DE LOS EXPONENTES:
RESTAR los EXPONENTES de las letras iguales
Ejemplo:
1) − 6𝑚3−𝑎
12𝑚𝑎= −
𝑚3−𝑎−𝑎
2= −
𝑚3−2𝑎
2
2) 𝑏2−4𝑏−12
𝑏+2=
POTENCIA ALGEBRAICA a) Multiplicar la base con su signo tantas veces lo indiqué la potencia
(−5𝑥𝑚+2) = (−5𝑥𝑚+2)(−5𝑥𝑚+2)(−5𝑥𝑚+2) = −1 5𝑥 𝑚+6 b) Ley de exponentes:
(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
RAIZ ALGEBRAICA a) Buscar un número que multiplicado así mismo de él radicando b) Dividir el exponente de la variable y el índice de la raíz
√𝑎𝑚𝑛= 𝑎𝑚/𝑛
DOMINO: Es un juego de mesa en el que se emplean fichas rectangulares, divididas en dos cuadrados, el objetivo del domino es fortalecer el cálculo mental y las estrategias matemáticas.
DESARROLLO DEL JUEGO:
Comienza repartiendo todas las fichas aleatoriamente a todos los miembros del equipo por igual.
Signos iguales
=
−
−=
−
= −
−= −
Signos diferentes
iguales
𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 , 𝑚 > 𝑛
𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 = 𝑎0 = 1, 𝑚 = 𝑛
𝑎𝑚
𝑎𝑛=
1
𝑎𝑛−𝑚, 𝑚 < 𝑛
1 -4 -12
-2 +12
2 1 -6 0
Cociente b – 6 con
residuo 0
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Dejar una ficha en el centro de la mesa La ficha contendrá una operación y en la otra parte tendrá una de las
respuestas de otra operación, de tal manera que el alumno del equipo que posea la ficha con la operación y la resuelva, coincida con la respuesta de la ficha, si es así, deberá unir su ficha con la que está puesta en el juego.
Y así sucesivamente hasta terminar todas las fichas
−1 𝑥5+𝑎 − 𝑥4+𝑎 − 5𝑥 +𝑎
𝑥𝑎
−10𝑐𝑥
−15𝑚𝑎+4
(𝑥 )(𝑥 − 1)
𝑐𝑥 − 1 𝑐𝑥
8𝑎 − 𝑎2𝑥 − 𝑎
− 𝑎
− 𝑚𝑎
(5𝑚4)
− 𝑥5 − 𝑥4 −5
𝑥
(− 𝑥𝑎𝑦𝑏+2𝑐 )
−1
𝑚6
−8𝑥 𝑎𝑦 𝑏+6𝑐9
𝑥2 𝑥 −
− 𝑥2𝑏−2 − 𝑥 𝑏−6
𝑚6
−6
8𝑚6
𝑦2 √𝑥5 𝑏4
1
𝑥2𝑏−5 (−1 𝑥 − 𝑥𝑏−1)
√81𝑥5𝑦8 𝑏4
− 𝑥 𝑚𝑦𝑛√ 3 C
OP
IA IM
PR
ES
A N
O C
ON
TRO
LAD
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Pág. 16 Ing. Paola Carina Prado Olvera
1 𝑥2 −11
6𝑦𝑎
√−6 𝑥9𝑚𝑦 𝑛 3
9𝑥2 −7
𝑦𝑎 𝑥2
5
𝑦𝑎
(𝑥 5)2
−1 5𝑥 𝑚+6 𝑥2 10𝑥 5
(−5𝑥𝑚+2)
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PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
En este tema emplearé un Laberinto de tal manera que el alumno logre encontrar la salida realizando los procedimientos correctos de cada producto notable y factorización, esta manera lúdica lograra que el alumno se divierta encontrando la salida como un reto y adquiriendo así los aprendizajes significativos de estos importantes temas.
PRODUCTOS NOTABLES Son fórmulas que mediante la utilización de las propiedades conmutativa (a+b = b+a) y distributiva (a(b+c)) = ((a)(b) +(a)(c)) de los números reales, nos permiten obtener las relaciones que generan los productos correctos. 1. BINOMIO AL CUADRADO O CUADRADO DE UN BINOMIO: Son dos
términos con “+” o “-” en medio, encerrados en un paréntesis y elevados al cuadrado.
(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ± 𝒃) = (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐(𝒂)(𝒃) 𝒃𝟐
2. BINOMIO AL CUBO O CUBO DE UN BINOMIO: Son dos términos con “+” o “-” en medio, encerrados en un paréntesis y elevados al cubo.
(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ± 𝒃) = (𝒂 ± 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 ± 𝟑(𝒂)𝟐(𝒃) 𝟑(𝒂)(𝒃)𝟐 𝒃𝟑
ELEVAR el
1er término
al
cuadrado
o
MULTIPLICAR
el 1er y 2do
término por
dos
ELEVAR el
2do
término al
cuadrado
ELEVAR el
1er término
al cubo
o
ELEVAR el 1er
termino al
cuadrado
MULTIPLICARLO
por el 2do
término y por
tres
ELEVAR el
2do
término al
cubo
ELEVAR el 2do
termino al
cuadrado
MULTIPLICARLO
por el 1er
término y por
tres
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3. BINOMIOS CON TÉRMINO COMUN: Son dos paréntesis multiplicándose con dos términos cada uno, y tienen un término común y otro no común. (𝒙 ± 𝒂)(𝒙 ∓ 𝒃) = 𝒙𝟐 (±𝒂 ∓ 𝒃)(𝒙) (±𝒂)(∓𝒃)
4. BINOMIOS CONJUGADOS: Son dos paréntesis multiplicándose con dos términos cada uno, los términos de ambos paréntesis son iguales, solo difieren en el signo sin importar el lugar de este.
(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ∓ 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
5. BINOMIO POR TRINOMIO: Son dos paréntesis multiplicándose con dos términos uno de ellos y el otro con tres términos.
(𝒂 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 𝒃𝟐) = 𝒂𝟑 𝒃𝟑
(𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 𝒂𝒃 𝒃𝟐) = 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑
ELEVAR al
cuadrado el
término
común
cubo
SUMAR O RESTAR
los términos no
comunes y
MULTIPLICAR por
el término común
MULTIPLICAR
los términos
no comunes
ELEVAR
al
cuadra
do el
1er
término
ELEVAR
al
cuadra
do el
2do
término
MULTIPLIC
AR los
signos
diferentes
de los
términos
que los
contienen
ELEVAR
al cubo
1er
término
del
binomio
ELEVAR
al cubo
el 2do
término
del
binomio
RESPETAR el
signo del
binomio,
verificando
se cumpla la
condición
de los signos
en el
trinomio
SUMA DE CUBOS
DIFERENCIA DE CUBOS
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FACTORIZACION Es la forma de expresar un polinomio mediante un producto de dos o más factores.
1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Son tres términos, el 1ero y 3er termino tienen raíz cuadrada exacta.
𝒂𝟐 ± 𝟐(𝒂)(𝒃) 𝒃𝟐 = (𝒂 ± 𝒃)𝟐
2. CUATRINOMIO CUBO PERFECTO: Son cuatro términos, el 1ero y 4to término tienen raíz cubica exacta.
𝒂𝟑 ± 𝟑(𝒂)𝟐(𝒃) 𝟑(𝒂)(𝒃)𝟐 ± 𝒃𝟑 = (𝒂 ± 𝒃)𝟑
3. TRINOMIO CUADRADO IMPERFECTO (Coeficiente 1): Son tres términos, solo el 1ero término tienen raíz cuadrada exacta.
𝒙𝟐 ∓ (𝒂 𝒃)𝒙 ± (𝒂)(𝒃) = (𝒙 ∓ 𝒂) (𝒙 ± 𝒃)
√𝑎22 √𝑏22
COMPROBAR
(𝑎)(𝑏)
√𝑎 3 √𝑏 3
COMPROBAR
√𝑥22
MULTIPLICAR
signos del
2do y 3er
término
FACTORIZAR y
multiplicar los
factores de tal
manera que
solo sean dos,
al multiplicarlos
del el 3er
término
RESPETAR
el signo
del 2do
término
Si los signos son
IGUALES en los
binomios, SUMAR
los dos factores;
si los signos son
DIFERENTES,
RESTARLOS
comprobando
del el 2do
termino
COLOCAR las raíces
obtenidas en un
paréntesis separadas por
el signo del 2do término
y elevarlos al cuadrado
COLOCAR las raíces obtenidas en
un paréntesis separadas por el
signo de acuerdo a la siguiente
condición +,+,+=+; -,+,-= - y
elevarlos al cubo
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4. TRINOMIO CUADRADO IMPERFECTO (Coeficiente diferente a 1): Son tres términos, por lo general el 1ero término no tiene raíz cuadrada exacta.
𝒂𝒙𝟐 ∓ 𝒃𝒙 ± 𝒄 = (𝒂𝒙 ∓ 𝒃) (𝒄𝒙 ± 𝒅)
PASO 1: Multiplicar el trinomio por el coeficiente de 𝒙𝟐, excepto el término bx
PASO 2: Aplicar los pasos del trinomio cuadrado imperfecto con coeficiente uno
PASO 3: Dividir los binomios entre el coeficiente que multiplico al principio al trinomio descomponiendo éste en dos factores, verificando que cada término de cada binomio sea divisible entre el factor.
5. DIFERENCIA DE CUADRADOS: Son dos términos separados por un signo negativo, y ambos tienen raíz cuadrada exacta.
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ∓ 𝒃)
6. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS: Son dos términos separados por un signo negativo o positivo, y ambos tienen raíz cubica exacta.
𝒂𝟑 𝒃𝟑 = (𝒂 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 𝒃𝟐)
𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 𝒃)(𝒂𝟐 𝒂𝒃 𝒃𝟐)
√𝑎22 √𝑏22
COLOCAR las raíces obtenidas en
dos paréntesis, en uno colocar un
signo más para separar las raíces y
en el otro separarlas por un signo
menos.
√𝑎 3 √𝑏 3
COLOCAR las raíces obtenidas en un
paréntesis para formar un binomio, y
multiplicarlo por un trinomio que se obtiene: a)
el cuadrado de la 1er raíz, b) multiplicar la
1era por la 2da raíz, c) el cuadrado de la 2da
raíz.
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7. FACTOR COMUN: Son varios términos y se repite una o varias letras en los términos, los coeficientes también son factor común en la mayoría de los casos.
𝒂𝒃 ± 𝒂𝒄 = 𝒂(𝒃 ± 𝒄)
PASO 1: Obtener el máximo común divisor, en el caso de que haya coeficientes en la expresión, para obtener el factor común
PASO 2: Poner la variable(s) de menor exponente que se encuentre(n) en la expresión y que se repita(n).
PASO 3: Dividir cada término de la expresión entre el factor común y la respuesta de la división colocarla entre paréntesis para generar un producto.
LABERINTO: Es un juego que promueve el desarrollo de habilidades motoras finas; el objetivo principal es encontrar una ruta a través de productos notables y factorizaciones desarrollando las habilidades matemáticas y los aprendizajes significativos en este tema.
DESARROLLO DEL JUEGO:
Comienza identificando si la primera expresión en el laberinto es un producto notable o una factorización.
Resuelve dependiendo si es producto o factorización para encontrar el camino o ruta correcta y así sucesivamente hasta encontrar la salida.
Escribir los procedimientos correctos de acuerdo al seguimiento de la ruta en el laberinto.
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(𝑥 )(𝑥 − )
𝑥2−
9
𝑥2−8𝑥 16
(𝑥 − )2
7𝑥6 − 1 5𝑦
( 𝑥2 − 5𝑦)(9𝑥4 15𝑥2𝑦 5𝑦2)
𝑥2 𝑥 − 15
(𝑥 5)(𝑥
− ) (
𝑥 −5𝑦4)
6 𝑥9 − 0𝑥6𝑦4 00𝑥 𝑦8 − 1 5𝑦12
1 𝑥2(𝑦2 − 𝑥 𝑥2)
1 𝑥2𝑦2 − 8𝑥 56𝑥4 16𝑥6 − 𝑥 𝑦2
𝑦4
16
( 𝑥 −𝑦2
)2
( 𝑥 7𝑦2)(16𝑥6 − 8𝑥 𝑦2 9𝑦4)
6 𝑥9 𝑦6
𝑥𝑦2(𝑥𝑦 − )
𝑥2𝑦 − 6𝑥𝑦2
9 − 𝑥2𝑦2
( 𝑥𝑦)(
𝑥𝑦)
𝑥4𝑦6 − 𝑥2𝑦 − 8
(𝑥2𝑦 − 8)(𝑥2𝑦 6) (1 − 5𝑥)2
8𝑥 𝑦9 6
( 𝑥𝑦 )( 𝑥2𝑦6 − 8𝑥𝑦 16) (5𝑥 − )
𝑥2− 6
(−6 𝑥)( 𝑥 6)
1 5𝑥 − 5𝑥2 1 5𝑥 − 7
( 𝑥2 − )(5𝑥2 1)
15𝑥4 − 17𝑥2 −
( 𝑥 − 𝑦)2
𝑥2 1 𝑥𝑦 9𝑦2
1− 0𝑥 5𝑥2 81𝑥4 − 9𝑦2
5𝑥( 𝑥𝑎 5𝑥2𝑏 6𝑐)
15𝑥2𝑎 5𝑥 𝑏 0𝑥𝑐
(9𝑥2 − 𝑦)(9𝑥2 )
5−10𝑥𝑎−2 𝑥2𝑥−4
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ECUACIONES
El maratón es un juego que considero apropiado para lograr aprendizajes significativos en cuanto a los temas de las ecuaciones lineales, cuadráticas, y sistemas de ecuaciones, pues el hecho de que el alumno va avanzando resuelve ecuaciones, se divierte y vence a la ignorancia, esta manera lúdica lograra que el alumno se divierta encontrando la salida como un reto. Ponle la cola a la ecuación.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita, es una igualdad con dos miembros el de la izquierda y el de la derecha, la incógnita que normalmente está representada por las letras x, y, z esta siempre elevada a la primer
potencia y para encontrar su valor se debe despejar esta letra o incógnita. Despejar significa hacer los 3 pasos siguientes: a) Dejar la incógnita sola b) Dejar la incógnita positiva c) Dejar la incógnita arriba solo en el numerador
SUMANDO = RESTANDO MULTIPLICANDO= 𝟏
𝑫𝑰𝑽𝑰𝑫𝑰𝑬𝑵𝑫𝑶
RESTANDO = SUMANDO 𝟏
𝑫𝑰𝑽𝑰𝑫𝑰𝑬𝑵𝑫𝑶 = MULTIPLICANDO
Se debe observar que cuando la pieza se cambia de un lado a otro del igual, el cambio es de operaciones no de signo.
(x ) − x = (x − 1)5
x 6 − x = 5x − 5
x − x − 5x = −5 − 6
−7x = −7
x =−7
−7
x = 1
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SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS Existen muchas situaciones en los campos del saber humano, como puede ser administración, contabilidad o ciencias, en las que los datos para encontrar una solución involucran dos o más cantidades desconocidas, las cuales están relacionadas de diferente forma y no siempre depende de un dato específico. En forma general, un sistema de dos ecuaciones con 2 variables se denota en la forma:
𝒂𝟏𝒙 𝒃𝟏𝒚 = 𝒄𝟏
𝒂𝟐𝒙 𝒃𝟐𝒚 = 𝒄𝟐
Hay diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones simultáneas:
a) Método grafico b) Eliminación por suma o resta; o Reducción c) Por sustitución d) Por igualación e) Por cramer
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟒𝟒
𝟓𝒙 − 𝒚 = −𝟓𝟕
𝒙 =
− − −57 −1 − 5 −1
=(− )(−1) − (−57)(− )
( )(−1) − (5)(− )=
− 11
− 10=
−70
7= −𝟏𝟎
𝒚 =
− 5 −57 − 5 −1
=( )(−57) − (− )(5)
( )(−1) − (5)(− )=
−171 0
− 10=
9
7= 𝟕
SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS
Una ecuación con 3 incógnitas de primer grado representa en 𝑅 (el espacio), por lo que resolver 3 ecuaciones de esta forma significa encontrar el cruce entre los 3 planos que puede ser un punto, una recta, un plano, o no haber
solución.
En forma general, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se denota como:
𝒂𝟏𝒙 𝒃𝟏𝒚 𝒅𝟏𝒛 = 𝒄𝟏
𝒂𝟐𝒙 𝒃𝟐𝒚 𝒅𝟐𝒛 = 𝒄𝟐
𝒂𝟑𝒙 𝒃𝟑𝒚 𝒅𝟑𝒛 = 𝒄𝟑
Hay diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones simultáneas:
a) Método grafico
Cada ecuación representa geométricamente una línea recta
a b c
c b
a c
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por cramer
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b) Eliminación por suma o resta; o Reducción c) Por sustitución d) Por igualación e) Por cramer
𝟑𝒙 𝟓𝒚 𝟐𝒛 = −𝟕 𝐞𝐜. (𝟏)
𝟐𝒙 𝟒𝒚 𝟑𝒛 = −𝟐 𝐞𝐜. (𝟐)
𝟓𝒙 𝟕𝒚 𝟓𝒛 = 𝟑 𝐞𝐜. (𝟑)
( ) x 5y z = −7 ec. 1 (− ) x y z = − ec.
(5) x y z = − ec. (− ) 5x 7y 5z = ec. − y − 5z = −8 ec. ( )
6y 5z = −16 ec. (5) y = − y =
−24
4
𝐲 = −𝟔
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA Las ecuaciones de segundo grado, son las ecuaciones que tienen una variable elevada a la segunda potencia (𝒙𝟐), una variable elevada a la primer potencia (x) y un término independiente (c). Clasificación de las ecuaciones de 2do grado
1) La ecuación de 2do grado se considera completa, cuando tiene los tres términos
𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 = 𝟎
Los métodos de solución para este tipo de ecuaciones son: Factorización del trinomio cuadrado perfecto o imperfecto
Formula general 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Completar el trinomio cuadrado perfecto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por reducción
6x 10y z = −1 −6x − 1 y − 9z = 6
− y − 5z = −8 ec. ( )
10x 0y 15z = −10 −10x − 1 y − 10z = −6
6y 5z = −16 ec. (5)
− y − 5z = −8
− (−6) − 5z = −8
−5z = −8 − 1
z = − 0−5⁄
𝐳 = 𝟒
x 5y z = −7
x 5(−6) ( ) = −7
x = −7 0 − 8
z = 15 ⁄
𝐱 = 𝟓
𝑥2 − x − 10 = 0
(x − 5)(x ) = 0
x − 5 = 0
𝐱𝟏 = 𝟓
x = 0
𝐱𝟐 = −𝟐
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2) La ecuación de 2do grado se considera incompleta pura, cuando no tiene el término elevado a la primer potencia.
𝒂𝒙𝟐 𝒄 = 𝟎 ; 𝒃 = 𝟎
Los métodos de solución para este tipo de ecuaciones son: Despeje
Formula general
3) La ecuación de 2do grado se considera incompleta mixta, cuando no tiene el término independiente
𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 = 𝟎 ; 𝒄 = 𝟎
Los métodos de solución para este tipo de ecuaciones son: Factor común
Formula general
MARATON: Es un juego tiene como objetivo principal ayudar a transmitirles a los alumnos, entre otras muchas cosas de interés general, los principales aprendizajes significativos en el tema de las ecuaciones.
DESARROLLO DEL JUEGO:
Colocar un tablero en la mesa y cada jugador toma una ficha de un color, exceptuando la negra, la cual representa la ignorancia.
Por turnos se tira el dado, avanzando las casillas que indique el número. Al llegar a la casilla indicada se toma una de las tarjetas con una ecuación y
el jugador en turno debe contestar la ecuación con procedimiento claro e identificar el método correcto para resolverla así como el tipo de ecuación que es.
Si el jugador en turno no conoce la respuesta, entonces los demás jugadores, en el orden del juego pueden contestar la pregunta y avanzar el número de puntos que indica la pregunta, pues cada pregunta cuenta con un valor dependiendo de su complejidad
Si ninguno de ellos conoce la respuesta, entonces avanza la ficha negra, la ignorancia, que cuenta con un carril especial para ella.
El objetivo del juego consiste en llegar primero a la casilla final y derrotar a la ignorancia.
𝑥2 − 5 = 0
𝑥2 = 5
√𝑥2 = ±√ 5
𝐱 = ±𝟓
5𝑥2 − 15x = 0
5𝑥(𝑥 − ) = 0
𝒙 =𝟎
𝟓= 𝟎
x − = 0
𝐱 = 𝟑
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TABLERO MARATON
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TARJETAS DEL MARATON
𝟓𝐱 𝟐 = 𝟐𝐱 𝟖
AVANCE 1
Una muchacha le pregunta a
su amiga la edad, y la amiga le
contesta, piensa un número
cualquiera, súmale su mitad,
auméntale tres veces el
número e iguálalo a setenta y
dos y sabrás mi edad, ¿Qué
edad tiene la amiga?.
AVANCE 2
𝟑(𝐱 − 𝟔)
𝟐−𝒙
𝟒=
𝟐(𝐱 − 𝟐)
𝟑
AVANCE 1
Un señor reparte a sus hijos
unos centenarios, al hijo
mayor le deja la tercera parte,
al de en medio la cuarta parte
y al menor la quinta parte,
quedándose el señor con 26
centenarios. ¿Cuántos
centenarios tenia?
AVANCE 2
𝟑𝐱 𝟐𝐲 = 𝟗
−𝟐𝐱 𝟒𝐲 = −𝟐𝟐
AVANCE 2
En un viaje por los E.U. me
ofrecieron una manzana y tres
melones por diez dólares o dos
manzanas y cuatro melones
por catorce dólares, me
pregunté, ¿Cuánto cuesta cada
pieza?
AVANCE 3
𝐱
𝟐
𝐲
𝟑= 𝟑
𝐱
𝟓
𝐲
𝟐=
𝟐𝟑
𝟏𝟎
AVANCE 3
Al dividir 125 en dos partes
resulto que el doble de la
mayor, menos el triple de la
menor es iguala 30. Hallar las
partes.
AVANCE 2
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𝟑𝐱 − 𝐲 𝐳 = 𝟕
𝟒𝐱 𝟐𝐲 − 𝟕𝐳 = −𝟒
𝟏𝟎𝐱 − 𝟑𝐳 = 𝟏𝟒
AVANCE 2
Tres hermanas de edades
diferentes y pares se encuentran
en la siguiente relación, el doble
de la edad de Janis es igual a la
edad de Maria dentro de 2 años,
la mitad de la edad de Janis es
igual a la edad de Paola hace 6
años y la suma de las edades de
Janis y Pao es igual a la edad de
Maria dentro de 4 años. Hallar sus
edades actuales.
AVANCE 4
La suma de 3 números es 9, el
doble del primero más el triple
del segundo más el cuádruplo
del tercero suman 29 y el
segundo es igual al doble del
tercero menos el primero.
Hallar los números.
AVANCE 4
𝟑𝐱 − 𝟑𝐲 𝟑𝐳 = 𝟏𝟐
𝐲 −𝒙 𝒚
𝟖= 𝟏𝟎
𝐳 − 𝟓 =𝒚 − 𝒙
𝟐
AVANCE 3
𝐱(−𝐱 𝟖) = 𝟑(𝒙𝟐 𝐱 𝟒)
AVANCE 2
𝟒𝒙 − 𝟕
𝟐=
𝟒𝐱 − 𝟕
𝟓𝒙
AVANCE 3
El producto de dos números
enteros pares y consecutivos
es 1088. Encontrar los números
AVANCE 3
Si se divide 35 en dos partes
tales que el cuadrado de la
menor aumentada en la mayor
da 245. ¿Cuáles son las partes?
AVANCE 4 CO
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𝟕𝒙𝟐 𝟐 = 𝟏𝟒 𝟒𝒙𝟐
AVANCE 2
𝟐𝒙𝟐 − 𝟓
𝟐−𝟓𝒙𝟐 𝟏
𝟑= 𝒙𝟐 − 𝟔
AVANCE 2
𝟓(𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝐱) = −𝟐(−𝒙𝟐 𝒙)
AVANCE 2
( 𝑥2 − x )
=
𝑥2 − 𝑥 )
AVANCE 2
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.
Biggs, J. Teaching Teaching& Understanding Understanding. A 19-minute short-
film about teaching at University. Video:Obtenido desde http://video.google.com/videoplay?docid=-5629273206953884671
Biggs, J. (1996). Mejoramiento de la enseñanza mediante la alineación constructiva. Obtenido desde: http://www.fceia.unr.edu.ar/labinfo/facultad/decanato/secretarias/desarr_institucional/biblioteca_digital/articulos_pdf_biblioteca_digital/bd_Doc_T-18.pdf
Biggs, J. (1999) Capítulo 2 “Construir el aprendizaje alineando la enseñanza:
alineamiento constructivo” pp. 29-53 del libro Calidad del Aprendizaje Universitario Obtenido desde.:
http://www.sems.gob.mx/aspnv/video/Biggs Cap. 2/Construir el aprendizaje alineando la enseñanza: alineamiento constructivo .pdf.
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Plantel #5 Querétaro.
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NOMBRE DEL ALUMNO:_______________________________
SEMESTRE:____________ ESPECIALIDAD________________
PROFESORES:
ING. JUAN CARLOS LÓPEZ SAAVEDRA
AEQ. JUAN LUIS RESENDIZ ARTEAGA.
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INDICE DE TEMAS.
1.-POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS ENTEROS ......................................... 1
2.-FRACCIONES ......................................................................................................... 19
3.-NÚMEROS DECIMALES ...................................................................................... 39
4.-PROPORCIONALIDAD ......................................................................................... 57
I. INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA .......................................................................... 80
II. OPERACIONES FUNDAMENTALES ................................................................. 86
III. POTENCIA .............................................................................................................. 99
IV. P R O D U C T O S N O T A B L E S ............................................................. 103
V. FACTORIZACIÓN ................................................................................................ 112
VI. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. ............................................................. 120
VII. SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS ............................................................................................... 127
VIII. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES INCÓGNITAS ........ 144
IX.ECUACINES CUADRATICAS .......................................................................... 150
X. ANEXO 1 ................................................................................................................ 160
XI. REFERENCIAS ................................................................................................... 161
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I. INTRODUCCION ALGEBRA. El algebra es la materia que presenta a los alumnos la herramienta que les va a permitir trabajar las materias como: trigonometría, geometría analítica, calculo, etc., por lo anterior es una materia básica en el desarrollo de los programas de preparatoria, e importante para todos aquellos alumnos que estudiaran carreras en las cuales van a tener que aplicarla. El algebra es una materia sencilla y fácil de aprender si la desarrollamos con orden y nos aprendemos las reglas y las propiedades que se pueden aplicar a cada una de las piezas que entran el juego. A diferencia de otros textos, este intenta guiar al alumno detallando cada uno de los ejercicios de ejemplo, redactando en forma sencilla y comprensible las reglas en cada caso. Asimismo por ser algebra didáctica, pretende expresar el lenguaje – matemático en forma familiar, por lo que en ocasiones encontraremos palabras como letras en lugar de literales o números chicos en lugar de exponentes. TÉRMINO ALGEBRAICO Consta de: a) signo b) coeficiente numérico c) factor literal Ejemplo:
-3a4
GRADO DE UN TÉRMINO Es la suma de los exponentes del factor literal Ejemplo:
En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x) En el término 4x2y3 tiene grado 2 (2 + 3, la suma de los exponentes)
GRADO DE UNA EXPRESIÓN Es el grado mayor de sus distintos términos. Ejemplo:
En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo término) En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo término)
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas. De acuerdo al número de términos puede ser:
MONOMIO: tiene uno término Ej. 5 x2yz4 ; x y
a b
2 2
BINOMIO: tiene dos términos Ej. 7 5xy y ; p + q TRINOMIO: tiene tres términos Ej. x2 + 3x - 5
Factor literal
Coeficiente numérico
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POLINOMIO O MULTINOMIO: tiene varios términos Ej. Inventa uno ________________________________________________________________
TERMINOS SEMEJANTES Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal. Ejemplo:
El término 3x2y y el término 2x2y , son semejantes. (Tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5x2y
EJERCICIOS: ahora te toca a ti demostrar lo que aprendiste 1) Define con tus palabras:
a) Coeficiente numérico b) Factor literal c) Término algebraico
2) En cada término algebraico, determina el coeficiente numérico, factor literal y el grado.
a) 3x2y b) m c) mc2 d) –vt e) 0,3ab5 f) 3
g) -8x3y2z4
h) a3
2 i) 3
2
1x j)
3
7 2a k)
4
3m l) 24
4
3ba
3) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:
a) 7x2y + xy b) -3 + 4x – 7x2 c) -2xy d) vt + 2
2
1at e)
7m2n – 6mn2
f) 2
cba g) x2 + 8x + 5 h) 2(3x + 4y) i) 2x2(3x2 + 6y)
j) 4
432 hcb
4) Calcula el perímetro de cada rectángulo encontrando su expresión algebraica. Luego clasifica según su número de términos, antes de reducir términos semejantes:
2a
3a
4m
4mn 7y – 2x
5x + 3y
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5) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:
EVALUACION DE EXPRESIONES A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numérico.
Ahora tú: Si a = -2 ; b = 4 ; c = -1 encuentra el valor de cada expresión
1. 12a - 8a + 10a + 3a - 18a + 5a = 2. 7ª - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a =
Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a =32
y b = 21
, evaluemos la
expresión: 3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b =
Ejemplo:
Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión:
3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b =
3 3 - 2 2 - 5 3 + 4 2 - 6 3 + 3 2 =
9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14
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332
- 221
- 532
+ 421
- 632
+ 321
=
2 - 1 - 3
10 + 2 - 4 +
3
2
= 6
52
6
17
Ahora te toca a ti:
Si a = 21
; b = 41
; c = 32
encuentra el valor de cada expresión
3. 2 a - 8 a + 10 a + 3 a - 2
3a + 5 a =
4. -12
3 a + 5 b - 3 c + 2 a - 4
1
2c + 7 b =
5. -5 c + 34
5 b - (-4 a) + 4
1
2 c + (-5 b) - 0,6 c =
ENCONTRANDO FÓRMULAS A Continuación debes encontrar una fórmula que represente a todos los términos de la sucesión de números, esta fórmula debe ser válida para valores naturales, es decir si le damos valores a la fórmula, debe irnos entregando los términos de la sucesión. Ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, . Tiene una fórmula que general estos números, una manera de encontrarla es descomponer sus términos: 2 = 2 · 1 4 = 2 · 2 6 = 2 · 3 8 = 2 · 4 …….. 2 · n, donde n N. Esta es la fórmula que genera a esta sucesión. ¡Prueba dándole valores a “n” !
Encuentra la fórmula para las siguientes sucesiones:
1) 22, 42, 62, 82, 102, ….. 2) 73, 93, 113, 133, …..
3) -1, 1 , -1 , 1 , -1 , …… 4) 4, 10, 18, 28, ……
5) 0, 2, 5 ,9, ….. 6) 2, 4, 8, 16, 32 ,……..
ALGEBRA Y GEOMETRÍA: CÁLCULO DE PERÍMETROS
Se dan los siguientes segmentos :
a b c
d e
1) Elige un segmento y dibujas 3 veces el segmento elegido
2) Elige dos segmentos y dibuja la suma de dichos segmentos
3) Elige otros dos segmentos y dibuja la diferencia entre ambos segmentos.
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Recordemos el concepto de PERÍMETRO
1 cm
b
c
b
d P = a + b + c + d + e
e a Ahora tú determinarás el perímetro de cada figura:
4. 5. 6.
x
P = _____________ P = ____________ P = _________
6. 7. 8.
2
1m
2c 2c 2m
2m r m
m
c 2s
P = _________ P = __________ P = _____________
2 cm 3 cm
4 cm
a a
b
m
a
p
m
a
x
x x
x
a a
b b
a a
m r
P = 2 + 4 + 3 + 1 = 10 cm es decir, perímetro es la suma de todos sus lados
P = a + b + a + b, es decir, P = 2a + 2b
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9. 10. 2y
3t 5t m
y
4t
P = _________________ P = ____________________
Encuentra el polinomio que representa el perímetro de cada figura (todos sus ángulos
son rectos):
11. y 12.
y
x x
P = ________________ P = ____________________
y
y
x x
x x
x x
x x
y
x x y
0,5y 0,5y
1,5x 1,5x
1,5x 1,5x
x+y
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II. OPERACIONES FUNDAMENTALES Para poder efectuar una operación algebraica cualquiera, es necesario antes – conocer las reglas que podemos aplicar durante el desarrollo de la operación, por tal motivo vamos a describir detalladamente las reglas que debemos manejar para cada operación en particular. SUMA Y RESTA Reglas: 1.) Solo se pueden sumar o restar términos semejantes, esto significa tener las mismas letras y los mismas letras y los mismos exponentes, no importando el signo ni el coeficiente.
Términos semejantes:
7 a x, -a x ,9 a x, -2 a x 2 a2 b3, -3 a2 b3, 4 a2 b3
2.) Los coeficientes o números grandes se suman o restan de acuerdo con la ley de los signos 3.) Las letras y exponentes se pasan igual 4.) Signos iguales: Se deja el singo de ellos y las cantidades se suman. + 3 a2 b + 8 a2 b = + 11 a2 b
7 x3 – 12 x3 = -19 x3
5.) Signos diferentes: Se deja el signo del mayor y al mayor se le resta el menor. + 2 x y – 8 x y = -6 x y + 13 a b3 – 4 a b3 = + 9 a b3 Ejemplos: Sumar o restar cada una de las parejas de términos semejantes.
+ 7 a2 b + 8 a2 b = + 15 a2 b 4.) -18 x4 + 9 x4 = - 9 x4 – 3 x y – 2 x y = - 5 x y 5.) – 6 a m + 6 a m = 0 + 9 a b4 – 2 a b4 = +7 a b4 6.) – 7 a b c + 3 a b c = - 4 a b c
Ejercicio 1.1) Efectuar las sumas indicadas aplicando las reglas anteriores.
1) 4 a b + 8 a b =___________ 4.) - 4 a b2 + 8 a b2 =_________________
2) 7 x2 y – 9 x2 y =___________5.) – 3 b3 – 5 b3 =____________________
3) – 3 a y + 8 a y =___________6.) 4 a – 7 a =_______________________
7.) - 8 a3 b4 – 3 a3 b4 =____________9.) + 4 a7 x – 4 a7 x =__________________
8.) + 11 a x + 2 a x =__________10.) – 2 x3 + 2x3 =____________________
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TERMINOS SEMEJANTES Reduce los términos semejantes, resolviendo previamente los paréntesis, cuando corresponda:
1. 7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b = 2. 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y = 3. 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c = 4. 3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p = 1. 4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r = 6. 2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 = 7. 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b = 8. 8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a =
9. 3m - 2
5n + 5m - 7n + 5 1
2n + 3n - 2
5p - 5n + 8p =
10. 2 1
2a2 + 3 3
5b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 – 5 b2 =
11. 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) = 12. 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) = 13. 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) = 14. 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } = 15. -( x - 2y ) - { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } =
16. 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
17. 8x - ( 1 1
2y + 6z - 2 3
4x ) - ( -3 3
5x + 20y ) - ( x + 3
4 y + z ) =
18. 9x + 3 1
2 y - 9z - 7
1
22 5
1
39 5 3x y z x y z z
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ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)
1. Identifica los elementos que se piden: a) Los términos de 5r +s_________________________________ b) Los términos de 5xy2 +2y –7w__________________________ c) Dos factores de 5z __________________________________ d) La base en 3xy2_____________________________________ e) El coeficiente numérico en 2xy__________________________ f) El coeficiente numérico en x/3__________________________ g) Las variables en 6xy__________________________________ h) Las variables en 6x 5 y 2_______________________________ i) El grado de la variable m en 7m5n_______________________ j) El grado de la variable n en 7m5n_______________________ k) La constante de 7x2 –1_______________________________ 2. Considerando que un monomio es un número variable o producto de
números y variables explique por qué las siguientes expresiones no son monomios
a) 5x +y b) 7xy3 c) x 2y _____________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Considere las siguientes expresiones identificando cada una de ellas con
una letra a) 14x + 10 y –3 d) 2/3 x +1/3 y b) –17x5y3z2 e) 5x4z –1/2 x2 z2 + xz3 –7z6 c) 7x5y f) x+4 I) Identifique los polinomios:____________________
II) Identifique los monomios:____________________
III) Identifique los binomios:____________________
IV) Para cada polinomio, que no sea monomio, especifique los
términos___________________________________________________
_
V) Dé los coeficientes numéricos de las expresiones D y E
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4. Evalúe cada polinomio para los valores dados: a) 4x2 –x +3 = x=-2 b) x2/3 –3x +5= x=3/2 c) –x2 +7 = x =5 d) 4xy –8y2= x=3 y=0,5 5. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios: a) 8x -3x+7x= b) 3x +9y –2x –6y= c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c = e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c= 6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)= b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)= 7. Dados los polinomios A: 2b2c –3b + 6c B: 4b - c2b + 12 b2c C: 4 – 2c Ejecute las siguientes operaciones: a) A+B=________________________________________________________
_____________________________________________________________ b) A-C=________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________
c) B - A=_______________________________________________________ 8. Calcular el perímetro de la siguiente figura:
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x2 +x 2x2 +x x 3x2 +x –3 9. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado?
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MULTIPLICACION
Los coeficientes o números grandes se multiplican. Los exponentes de las letreas iguales se suman. Signos iguales da positivo, signos diferentes da negativo.
( + ) ( + ) = + ( - ) ( + ) = -
( - ) ( - ) = + ( + ) ( - ) = -
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Vamos a ver los tres casos que se pueden presentar al multiplicar. Monomio x Monomio (a2 b c3) ( a b c4 ) = a 2+1 b1+1 c3+4 = a3 b2 c7 (3x2 y z3) (-8 x3 y3 z4) = (3) (-8) x2+3 y1+3 z7 (2a3 b) (- 3a2 b2) (5a3 b4) = (2) (-3) (5) a3+2+3 b1+2+4 = - 30 a8 b7
Monomio x Polinomio Para multiplicar un término por varios, se debe multiplicar el término de afuera por todos y cada uno de los términos de adentro.
x2 y ( 5 x y + 3x2 y – 7 ) = 5 x3 y2 + 3 x4 y2 – 7 x2 y 4a3 b ( 2a2 b – 5 a4 b2 + 3 b4 ) = 8 a5 b2 – 20 a7 b3 + 12 a3 b5
– 3 x2 y3 ( 2 x y2 + 4 x3 y – 8 x2 ) = - 6 x3 y5 – 12 x5 y4 + 24 x4 y3
Polinomio x Polinomio Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio, acomodando los términos que resulten semejantes uno debajo del otro para posteriormente sumarlos. Ejemplos: Multiplicar los siguientes polinomios. (2 a2 + 5 a b) (2 a2 + 5 a b) 2a2 + 5 a b (3 x2 y – 2 x y2) (9 x4 y2 + 6 x3 y3 + 4 x2 y4) 2a2 + 5 a b 9 x4 y2 + 6 x3 y3 + 4 x2 y4 4 a4 + 10 a3 b 3 x2 y – 2 x y2 + 10 a3 b + 25 a2 b2 27 x6 y3 + 18 x5 y4 + 12 x4 y5 4 a4 + 20 a3 b + 25 a2 b2 - 18 x5 y4 – 12 x4 y5 – 8 x3 y6
27 x6 y3 - 8 x3 y6
Ejercicio: 1.3) Efectuar las multiplicaciones indicadas. (2 a2 b) (3 a3 b4) =____________________________________________
(5 x2 y4) (- 2 x3 y) =___________________________________________
(2 a3 b2) (- 3 a2 b) (4 a2 b3) =____________________________________
(3 x2 y3) (- 5 x3 y) (- 2 x4 y5) =____________________________________
2 a2 b (5 a b – 3 a3 b2 + 4) =____________________________________
– 8 a4 b2 (3 a4 b2 – 5 a2 b5 + 2 a) =________________________________
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2 x2 y2 (5 a x2 – 3 x y3 + 4) =____________________________________
– 7 a3 b2 (3 a2 b + 5 a4 b c – 8) =_________________________________
(2 a + 3 b2) (2 a – 3 b2) =______________________________________
(5 a2 b2 + 3 a3 b) (5 a2 b2 + 3 a3 b) =______________________________
(3 a2 + 2 a) (4 a2 – 2 a + 5) =___________________________________
(2 a + 3 b2) (4 a2 - 6 a b2 + 9 b4) =_______________________________
(5 x2 – 2 a3) (25 x4 + 10 a3 x2 + 4 a6) =____________________________
(a3 + 2 a2 – a)(a3 – 3 a2 – 5) =___________________________________
(3 a2 - 2 a3 b + 4) (3 a2 + 2 a3 b – 4) =_____________________________
(4 a2 b – 5 b) (2 a2 + 3 a b + 4) =________________________________
MULTIPLICACION DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN
Resuelve los siguientes productos:
1) (x + 1)(x + 2) =
2) (x + 2)(x + 4) =
3) (x + 5)(x – 2) =
4) (m – 6)(m – 5) =
5) (x + 7)(x – 3) =
6) (x + 2)(x – 1) =
7) (x – 3)(x – 1) =
8) (x – 5)(x + 4) =
9) (a – 11)(a + 10) =
10) (n – 19)(n + 10) =
11) (a2 + 5)(a2 – 9) =
12) (x2 – 1)(x2 – 7) =
13) (n2 – 1)(n2 + 20) =
14) (n3 + 3)(n3 – 6) =
15) (x3 + 7)(x3 – 6) =
16) (a4 + 8)(a4 – 1) =
17) (a5 – 2)(a5 + 7) =
18) (a6 + 7)(a6 – 9) =
19) (ab + 5)(ab – 6) =
20) (xy2 – 9)(xy2 + 12) =
21) (a2b2 – 1)(a2b2 + 7) =
22) (x3y3 – 6)(x3y3 + 8) =
23) (ax – 3)(ax + 8) =
24) (ax+1 – 6)(ax+1 – 5) =
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División algebraica:
Veamos, el área de un terreno rectangular cuyo frente es de 3 m es igual a 24
m2. ¿Cuál será la longitud del fondo? Efectivamente, es igual a 8 m ¿por qué?
Demuéstralo:
De manera generalizada, si tenemos un rectángulo de área A = 6 x2 + 24 x + 24 y
uno de sus lados mide 2 x + 4 ¿cuánto medirá su otro lado?
Dibuja tu rectángulo, con los datos conocidos.
Lado = ¿?
Por división algebraica:
A = 6 x2 + 24 x + 24 se divide entre el lado conocido 2 x + 4 y obtenemos el
lado desconocido. Inténtalo, al realizar la operación,
¿Qué resultado obtuviste?
Si no tuviste éxito, analiza el siguiente ejemplo: 23 42 xxx
Para dividir polinomios se emplea la siguiente metodología:
Monomio ÷ Monomio a7 3.) 8 a4 b5 c a4 = a7-4 = a3 4 a b3 c = (8 / 4) a4-1 b5-3 = 2 a3 b2 4 a3 b2 c 12 a b2 c = (4 / 12) a3-1 = a2 / 3 4.) 15 x2 y3 z2
5 x4 y z5=(15 / 5)x2-4 y3-1 z2-5 = = 3 y2 X2z3
Ejemplo:
2x + 4 A = 6 x2 + 24 x + 24
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Dividir x3 + 4 x2 entre x + 2, debiendo ordenar en forma descendente a los polinomios respecto a la variable.
Ahora intenta calcular el lado del rectángulo del problema de la actividad anterior:
Divide el primer término del dividendo ( x3 ) entre el primer término de divisor ( x ) el resultado es x2
X + 2 X3 + 4 x 2
X2
x2
X + 2 x3 + 4 x 2
- x3 – 2 x2
+2 x2
Se escribe x2 en el cociente, se multiplica por el divisor x2 (x + 2) y se resta el resultado tal como en la división aritmética y se obtiene el nuevo divisor.
Ahora se divide 2x2 entre (x + 2), dividiendo 2 x2 entre el primer término del divisor, se obtiene +2x, este término se suma al cociente y se multiplica por (x + 2) para que este resultado se reste al residuo.
x2 +2x
x + 2 x3 + 4 x 2
- x3 – 2 x2
+2 x2
-2 x2 – 4x
– 4x
Repite el procedimiento para dividir – 4x entre
( x + 2 ) utilizando los primeros términos. El
resultado es – 4 y se escribe en el cociente,
multiplicas y finalmente restas.
¡No olvides cambiar el signo!
x2 +2x - 4 x + 2 x3 + 4 x 2
- x3 – 2 x2
+2 x2
-2 x2 – 4x
– 4x
8 Residuo
4x + 8
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Cabe aclarar que al ordenar en forma descendente ( de mayor a menor el
exponente) el polinomio del dividendo, podrían faltar uno o varios términos, los
cuales se agregarían teniendo cada uno, el coeficiente cero (0) .
Ejemplo:
Dividir: x2 – 16 entre x + 5
Una división algebraica se termina cuando:
El grado del dividendo sea menor que el del divisor.
El coeficiente del dividendo no sea divisible exactamente entre el divisor.
Instrucciones: Efectúa las operaciones indicadas :
a) Suma de monomios y polinomios
1. 3 x y + 7 x y + x y + 2 x y =
2. 6 x + 8 y + 5 z + 6 y + 3 z + 2 x + 4 y + x + 7 z + 4 =
3. ½ a + 2/3 x + ¾ a + 5/6 x + 3/8 a + 7/12 x = b) Sustracción de monomios y polinomios
1. 8mm– 5mm =
2. (11a - 7 b + 4 c) –(6a + b + 8c) =
3. (4/9 mn + 11/18 m2 + 5/12 n2) - (- 4/3 mn + 7/6 m2 + 9/4 n2) =
c) Multiplicación de monomio por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio
1. ( x2 y)(-2 x y ) =
2. ( a b )(b2 - a2 ) =
3. ( 2mn)(2m- 3n-4mn+1) =
4. ( - b2 c)( a3 – 2 ab + 3 bc3 ) =
x - 5 x + 5 x2 +0x -16
- x2 – 5x
-5x -16
5x + 25
9 Residuo
El resultado es:
X - 5 + 9
X + 5
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5. ( y + 2 x )( x2+ x y – y2 ) =
6. ( x 2– 2 x + 4 ) ( 3 x2 – 5 x – 2 ) =
7. (3 x2 y – 6 x y2 + 12 x ) ( - 6 x2 + 3 x + 1 ) =
d) División de monomio entre monomio, polinomio entre monomio y polinomio entre
polinomio:
1) 23
352
xa
xa 5)
x
xxx
2
6104 23
2) ax
xa
3
15 32
6)
4
12102
23
x
xxx
3) x
x
7
21 3
7)
2
610342
2345
aa
aaaaa
4)
2
234
2
23
x
xxx 8)
1
152 345
y
yyy
9) Se tiene un terreno rectangular cuya área es 217 m2 y uno de los lados es igual a
7 m. ¿Cuánto mide el lado desconocido?
10) Si el área de una parcela rectangular es 24 x2 + 62 x + 14 metros cuadrados; y uno de los lados es igual a 3 x + 7 metros. ¿Cuánto mide el otro lado?
Ejercicio: 1.4) Efectuar las divisiones indicadas.
(a4 b2 c5) (a b c2)= (6 x2 y5) ÷ (2 x y2)= (14 a2 b3 c) ÷ (- 14 a2 b3 c)= (9 a2 b5 c) ÷ (- 3 a5 b c4)= (18 x3 y4 z) ÷ (2 x5 y z2 9)= (2 x3 y4 z2) ÷ (- 12 x5 y2 z4)= (12 a3 b2 c + 6 a2 b3 c4 – 2 a b2 c3) ÷ (2 a b2 c) (7 x2 y2 – 21 x3 y4 + 14 x3 y5 z) ÷ (7 x2 y)= (4 a2 b4 + 8 a5 b3 c – 12 a3 b2 c4) (4 a5 b3 c2)= (x2 + 7 x + 12 ) ÷ (x + 3)= (6 x2 + 7 x – 5) ÷ (3 x + 5)= (18 x2 – 6 x – 4) ÷ (3 x + 1)= (12 a2 b2 – 16 a b x + 5 x2) ÷ (2 a b – x)= (14 x3 – 15 x2 + 16 x) ÷ (2 x – 3)=
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(6 a2 x3 – a b x2 – 2 b2 x) ÷ (2 a x + b)= (10 a4 + 11 a3 – 6 a2 + 6 a + 9) ÷ (2 a + 3)= (4 a3 b3 + 6 a2 b2 + 10 a b – 2 a2 b3 – 3 a b2 – 5 b) ÷ (2 a b – b)=
III. POTENCIA Reglas: Los coeficientes se elevan a la potencia. Los exponentes se multiplican por la potencia. Signos: Si la cantidad es negativa, y se eleva a una potencia impar, el resultado será negativo, en todos los demás casos será positivo.
Ejemplos: Elevar a la potencia indicada
(+ 7 a2 b3) 2 = + (7) 2 a2x2 b3x2 = + 49 a4 b6
(+ 5 x3 y) 3 = + (5) 3 x3x3 y1x3 = + 125 x9 y3
(- 3 a4 b2) 2 = + (3) 2 a4x2 b2x2 = + 9 a8 b4
(- 2 x3 y4) 5 = - (2) 5 x3x5 y4x5 = - 32 x15 y20
Ejercicio: 1.5) Elevar las cantidades siguientes a la potencia indicada.
(2 a b2) 2 =_______________________ 6.) (- 3 x2 y) 5 =_______________
(3 a2 b3) 2 =______________________ 7.) (4 a3 b) 3 =_______________
(- 5 a4 b) 2 =_______________________8.) (- 5 x3 y4) 3 =_____________
(- 7 x2 y) 3 =_______________________9.) (- 2 a2 b3) 4 =_____________
(2 a4 b2) 4 =_______________________10.) (- 3 a3 b4) 2 =_____________
RAIZ
a) A los números grandes o coeficientes de le saca raíz. b) Los números chicos o exponentes se divide entre el índice de la raíz.
SIGNOS: la Raíz de un número negativo se puede sacar si el índice de la raíz es impar: raíz cubica, quinta, etc. Y el resultado será negativo.
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IV. P R O D U C T O S N O T A B L E S Como su nombre lo dice, los productos notables son multiplicaciones especiales y por ese motivo, no las vamos a efectuar en forma de multiplicación normal, por lo que las resolveremos mediante la aplicación de una regla que mencionaremos para cada caso en particular. También para cada caso vamos a dar la forma de identificar a que producto notable se refiere y poder aplicar la regla correspondiente. Nota: Es recomendable para el alumno, no hacer ningún ejercicio hasta saber
correctamente la identificaron y la regla de cada uno de los productos notables.
BINOMIO CUADRADO PERFECTO Identificación: Son dos términos con un mas o un menos en medio, encerrados en
un paréntesis y elevados al cuadrado. El primer término al cuadrado, más el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo término.
Regla: El primer término al cuadrado, más el doble producto del primero por el
segundo, mas el cuadrado del segundo término. Ejemplos: Elevar al cuadrado los siguientes binomios.
1) ( x + y )2 = ( x )2 + 2 ( x ) ( y ) + ( y )2 = x2 + 2 x y + y2
2) ( 3m3 - 2a2 )2 = ( 3m3 )2 + 2 ( 3m3 ) ( - 2a2 ) + ( - 2a2 )2
= 9m6 - 12a 2 m3 + 4a 4
3) ( 2a2 b + 3a3 b2 )2 = ( 2a2 b )2 + ( 2a b2 ) ( 3a3 b ) + (3a3 b2 )2
= 4a4 b + 12a5 b3 + 9a6 b4
Ejercicios de afirmación: Elevar al cuadrado los siguientes binomios.
1.) ( 3a + 2b ) = _______________________________________________
2.) (2a3 b – 2a2 b )2 = __________________________________________
__________________________________________________________ _________________________________________________________
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BINOMIO CUBO PERFECTO
Identificación: Son dos termino con un mas o un menos en medio, encerrados en un paréntesis y elevados al cubo.
Regla: El primer término al cubo, más tres veces el primero al cuadrado por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, mas el cubo del segundo término.
Ejemplos: Elevar al cubo los siguientes binomios.
1.) ( x y )3 = ( x )3 + 3 ( x )2 ( y ) + 3 ( x ) ( y )2 + ( y )3
= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3
2.) ( 3a2 + 2ab )3 = ( 3a2 )3 + 3 ( 3a2 )2 ( 2ab ) + 3 ( 3a2 ) ( 2ab )2 +( 2ab )3
= 27a6 + 3 ( 9a4 ) ( 2 ab ) + 3 ( 3a2 ) ( 4a2 b ) + 8a3 b3
= 27a6 + 54a5 b + 36a4 b + 8a3 b3
3.) ( 3ab – 2a b ) =
= ( 3ab3 – )3 + 3 ( 3ab3 )2 ( - 2a3 b ) + 3 ( 3ab3 ) ( -2a3 b )2 + ( -2ª b )3
= 27a3 b9 + 3 ( 9a2 b6 ) ( - 2a3 b ) +3 ( 3ab3 ) (4a6 b2 ) – 8a9 b3
= 27a3 b9 – 54a5 b7 + 36a7 b5 – 8a9 b3
Ejercicios de afirmación: Elevar al cubo los siguientes binomios. 1.) ( 2x2 + 3y )3 = ______________________________________________
__________________________________________________________ __________________________________________________________
2.) (3a2 b – 3ab3 )3 =
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________
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BINOMIOS CONJUGADOS Identificación: son dos paréntesis multiplicando con dos términos cada uno, los
primeros términos década paréntesis son iguales y los segundos términos también, solo difieren en el signo.
Regla: El primer termino el cuadrado menos el segundo término al cuadrado. Ejemplos: Efectuar los siguientes binomios conjugados. 1.) ( 2a – y ) ( 2a + y ) = ( 2a )2 – ( y )2 = 4a2 – y 2
2.) ( 5x2 y – 3b3 ) ( 5x2 y + 3b3 ) = ( 5x2 y + 3b3 ) = ( 5x2 y )2 – ( 3b3 )2
= 25x4 y2 – 9b6
3.) ( a6 b2 – 7x3 y4 ) ( a6 b2 + 7x3 y4 ) = ( a6 b2 )2 – ( 7x3 y4 )2 = a12 b4 – 49x6 y8
Ejercicios de afirmación: Efectuar los siguientes binomios conjugados. 1.) ( 3m – 1 ) ( 3m + 1) = _________________________________________ _______________________________________________________________ 2.) (4a3 b – 2x4 ) ( 4a3 b + 2x4 ) = __________________________________ _______________________________________________________________ BINOMIOS CON TERMINO COMUN Identificación: Son dos paréntesis multiplicando con dos termino cada uno, el
primer termino de cada paréntesis es igual (termino común) y el segundo término de cada paréntesis es diferente (termino no común).
Regla: El termino común al cuadrado, más la suma algebraica de los términos no
comunes por el término común, más la multiplicación de los términos no comunes.
Ejemplos: Efectuar los siguientes binomios con termino común. 1.) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = ( x )2 + ( 2 + 5 ) ( x ) + ( 2 ) ( 5 ) = x2 + 7x + 10
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2.) ( m2 – 8 ) ( m + ) = ( m2 )2 + ( -8 + 2 ) ( m2 ) + ( -8 ) ( +2 ) = m4 – 6m2 – 16
3.) ( 5y3 – m ) ( 5y3 + n )2 = ( 5y ) + ( - m + n ) ( 5y3 ) + ( - m ) ( n ) = 25y6 – 5my3 + 5ny3 – m n
Ejercicios de afirmación: Efectuar los siguientes binomios con término común. 1.) ( y + 8 ) ( y – 3 ) = ____________________________________________ = _______________________________________________________________ 2.) ( 3a2 + 9 ) ( 3a2 – 2 ) = _______________________________________ _______________________________________________________________ PRODUCTOS QUE DAN UNA SUMA O UNA DIFERENCIA DE CUBOS Identificación: Son dos paréntesis multiplicando, uno con dos términos y otro con
tres términos; en el segundo paréntesis se encuentran, el primer término al cuadrado, la multiplicación de los términos, y el segundo término al cuadrado.
Los signos deben ser: Regla: El primer término al cubo más o menos el segundo término al cubo. Ejemplos: Efectuar los siguientes productos que dan una suma o diferencia de cubos. 1.) ( 3x + y ) ( 9x2 - 3xy + y2 ) = ( 3x )3 + ) ( y )3
= 27x3 + y3
2.) ( 3m – 2b2 ) ( 9m2 + 6b2 m + 4b4 ) = ( 3m )3 – ( 2b2 )3
= 27m3 – 8b6
3.) ( 2a2 b + 3a3 b2 ) ( 4a4 b2 – 6a5 b3 + 9a6 b4 ) = ( 2a2 b )3 + ( 3a3 b2 )3
= 8a6 b3 + 27a9 b6
Ejercicios de afirmación: Efectuar los siguientes productos que dan una suma o diferencia de cubos.
1.) ( m2 – 3n ) ( m4 + 3m2 n + 9n2 ) = _______________________________
( x + y ) ( x2 – xy + y2 )
( x – y ) ( x2 + xy + y2 )
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_______________________________________________________________ 2.) ( 4a3 + 2ab ) ( 16a6 – 8a4 b + 4a2 b2 ) _____________________________ POLINOMIO AL CUADRADO Identificación: Son tres o más termino encerrados en un paréntesis y elevados al cuadrado. Regla: El cuadrado de cada uno de los términos, mas el doble producto del primero
por el segundo, mas el doble producto del primero por el tercero y así sucesivamente, mas el doble producto del segundo por el tercero, mas el doble producto del segundo por el cuarto y así sucesivamente.
Ejemplos: Elevar al cuadrado los siguientes polinomios. 1.) ( a + 2c + d )2 = (a)2 + (2c)2 + (d)2 + 2 (a) (2c) + 2 (a) (d) + 2 (2c) (d) = a2 + 4c2 + d2 + 4ac + 2ad + 4cd 2.) ( 3m + 2a2 – 4b3 )2 = =( 3m)2 + (2a2 )2 + ( -4b3 )2 + 2 ( 3m ) (2a2 ) + 2 ( 3m ) ( - 4b3 ) + 2 ( 2a2 ) ( - 4b3) = 9m2 + 4a4 +16b6 + 12a2 m – 24b3 m – 16a2 b3 Ejercicios de afirmación: Elevar al cuadrado los siguientes polinomios.
1.) ( x + y – 3z ) = ________________________________________________
_______________________________________________________________
2.) (m2 +2ab3 – 3b )2 =_____________________________________________
_______________________________________________________________
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Ejercicio: Anotar la identificación en cada caso y posteriormente en tu cuaderno de trabajo por medio de las reglas, desarrollar los siguientes productos notables. 1.) ( x + y )2 ___________________________________________________
2.) ( x + y )3 __________________________________________________
3.) ( x + y ) ( x – y )_____________________________________________
4.) ( x + 3 ) ( x + 2 ) ____________________________________________
5.) ( x – y ) ( x2 + xy + y2 ) _______________________________________
6.) ( 2x – 3a )2 _________________________________________________
7.) ( 2x – 3a )3 _________________________________________________
8.) ( 2x – 3a ) ( 2x + 3a ) ________________________________________
9.) ( 2x – 3a ) ( 4x2 + 6ax +9a2 ) _______________________________________
10.) ( 2a + 5 ) ( 4a2 – 10a + 25 ) ___________________________________
11.) ( 3a2 b + 5ab2 )2 _____________________________________________
12.) ( 3a2 b + 5ab2 )3 _____________________________________________
13.) ( 3a2 b + 5ab2 ) ( 3a2 b – 5ab2 ) ________________________________
14.) ( 3a2b + 8 ) ( 3a2 b – 7 ) _______________________________________
15.) ( 3a2 b + 5ab2 ) ( 9a4 b2 – 15a3 b3 + 25a2 b4 )______________________
___________________________________________________________
16.) ( 2x4 – 8x2 y )2 ______________________________________________
17.) ( 2x4 – 8x2 y )3 ______________________________________________
18.) ( 2x4 – 8x2 y ) ( 2x4 + 8x2 y ) ___________________________________
19.) ( 2x4 + 3a ) ( 2x4 + 5b ) ______________________________________
20.) ( 2x4 – 8x2 y ) ( 4x8 + 16x6 y + 64x4 y2 )___________________________
___________________________________________________________
21.) ( 3a2 b2 + 5ab3 )2 ____________________________________________
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22.) ( 3a2 b2 + 5ab3 )3 ____________________________________________
23.) ( 3a2 b2 – 4 ) ( 3a2 b2 – 6 ) ____________________________________
24.) ( 3a2 b2 + 5ab3 ) ( 3a2 b2 – 5ab3 ) ______________________________
25.) ( 3a2 b2 + 5ab3 ) ( 9a4 b4 – 15a3 b5 + 25a2 b6 )_____________________
___________________________________________________________
26.) ( x4 y6 – x3 y2 )2 _____________________________________________
27.) ( x4 y6 – x3 y2 )3 _____________________________________________
28.) ( x4 y6 – x3 y2 ) ( x4 y6 + x3 y2 ) __________________________________
29.) ( x4 y6 – a ) ( x4 y6 – c ) ______________________________________
30.) ( x4 y6 – x3 y2 ) ( x8 y12 + x7 y8 + x6 y4 )___________________________
___________________________________________________________
31.) (2a – b + 3c )2 ______________________________________________
32.) (x – 2x2 + 3x3 )2 ____________________________________________
33.) (2ab + 3b2 – 2c3 )2 __________________________________________
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GUIA PARA EXAMEN
Resuelve en tu cuaderno la solución para el siguiente grupo de ejercicios y coteja tu resultado con los resultados que se anexan.
1) (m+3)2 21) (x +5)(x – 2) SOLUCIONES
2) (5+x)2 22) (a – 11)(a + 10) 1) m2+6m+9
2)x2+10x+25
3) (6a + b)2 23) (a6 + 7)(a6 – 9) 3) 36a2+12ab+b2
4) 49x2+154x+121
4) (7x + 11)2 24) (ab + 5)(ab – 6) 5) 1+6x2+9x4
6) 4x2+12xy+9y2
5) (1+ 3x2)2 25) (x + 2)(x + 3) 7) 16m10+40m5n6+25n12
8) a2m+2am+n+a2n
6) (2x + 3y)2 26) (3ab – 5x2)2 9) a2-6a+9
10) 4a2-12ab+9b2
7) (4m5 + 5n6)2 27) (a2 + 8)(a2 – 7) 11) x4-2x2+1
12) x2-y2
8) (am + an)2 28) (m2–m + n)(n+m+m2) 13) a2-x2
14) 4a2-1
9) (a – 3)2 29) (x+5)(x-5)(x2+1) 15) 4m2-81
16) a6-b4
10) (2a – 3b)2 30) (a+2)(a-3)(a-2)(a+3) 17) 1-64x2y2
18) x2+2xy+y2-z2
11) (x2 – 1)2 31) (x2-11)(x2-2) 19) 4a2-4ab+b2-c2
20) ) a2+3a+2
12) (x + y)(x – y) 32) (m2-m+n)(n+m+m2) 21) x2+3x-10
22) a2-a-110
13) (a –x)(x + a) 23) a12-2a6-63
24) a2b2-ab-30
14) (2a– 1)(1 + 2a) 25) x2+5x+6
26) 9a2b2-30abx2+25x4
15) (2m + 9)(2m – 9) 27) a4+a2-56
28) m4+2m2n+n2-m2
16) (a3 + b2)(a3 – b2) 29) x4-24x2-25
30) a4-13a2+36
17) (1 – 8xy)(1 + 8xy) 31) x4-13x2+22
32) m4+2m2n+n2-m2
18) (x + y +z)(x + y – z)
19) (2a – b – c)(2a – b + c)
20) (a + 1)(a + 2)
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V. FACTORIZACIÓN
Para cada operación existe una nueva que regresa el a lo que era antes por ejemplo el regreso de la suma es la resta el de la multiplicación la división y el regreso de los productos notables es la factorización tema que vamos a trabajar Vamos a recordar cómo se factoría en aritmética para que en forma similar la ágamos la factorización en algebra Ejemplos Aritmética algebra 1.) ---------------- 2.) -------------- 3.) --------------- Al igual que en los productos notables y a diferencia de los demás textos para cada factorización la forma de identificarse y sus reglas Trinomio cuadrado perfecto Identificación: son tres términos y dos de ellos tiene raíz cuadrad exacta. Regla: Se extrae la raíz cuadrada a los términos que la tiene se pone el signo del otro termino en medio se encierra en uno de los paréntesis y se el va al cuadrado.(para checar se multiplica dos veces el termino por el segundo y debe dar el termino que no tiene raíz cuadrad exacta).
1) 2.)4x4 – 12x3y + 9x2y2 3.) 1.) 2.) 3.) 4.) 5.)
6.)
Ejercicios de afirmación: factor izar los siguientes trinomios cuadrados perfectos 1.) 2.) 3.) ____________ _______________ _________________
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Factor común Identificación: Son dos o más términos y algo se repite en todos y cada uno de ellos Regla: se saca como factor común al mayor numero que se repite y de las letras que te repite mayor exponente Ejemplos: factor izar los siguientes factores comunes.
1.) 2xy2 – 3x3y + x4yz = xy(2y – 3x2 + x3z)
2.) 15x3y – 20x4z + 30x6m = 5x3 ( 3y – 4xz + 6x3m)
3.) 12m2n2 + 18m3n – 24m6n = 6m2n ( 2n + 3m – 4m4) Ejercicios de afirmación: factorizar los siguientes factores comunes. 1.) ________________________________________________ 2.)21 ab2-14 a3 b4 + 28 a4 b = ____________________________________________ Cuadrado cubo perfecto Identificación: Son cuatro términos y dos de ellos tiene raíz cubica exacta. Regla: se extrae la raíz cubica a los términos que la tiene si todos los signos son positivos son positivos se pone una más en medio si lo signos son alterados se pone menos en medio se encierran en paréntesis Y se eleva al cubo. (Es conveniente checar los términos con la regla del producto notable). Ejemplos: factorizar los siguientes cuatrinomios cubos perfectos.
1) 2)
(a+1
2) 8a6b3
Ejercicios de afirmación: factorizar los cuatrinomios cubos perfectos.
1.) 27 a6b3 – 54 a4b2 + 36 a2b – 8 =_________________________
2.) _________________________
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Trinomio cuadrado no perfecto De la forma: Regla: se factoriza en dos paréntesis multiplicando, se le quita el cuadrado al termino que no tiene y se le coloca como primer termino de de cada paréntesis se busca dos números que multiplicados den el ultimo termino (C) y sumados el de en medio ( b ) y se le coloca como segundo términos de cada paréntesis Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios cuadrados no perfectos. ) (3) (7) = 21 (-3) (-5)=15 3 + 7 = 10 - 3 - 5 = - 8
(9)(-3)=-27 (-15)(5)=-75 +9 -3=+6 -15+5=-10 Ejercicios de afirmación: factorizar los trinomios cuadrados no perfectos
1.) ____________________________________________________
2.) ___________________________________________________
Trinomio cuadrado no perfecto
De la forma
Identificación: son tres términos no es cuadrado perfecto no es factor común y el coeficiente que acompaña a la (x2) es diferente de uno. Regla: La factorización en dos paréntesis multiplicando con dos términos cada uno de los primeros términos de cada paréntesis multiplicando deben de dar el primeros términos de cada paréntesis multiplicados deben da el primero (ax2) los dos últimos términos de cada paréntesis multiplicado dar el últimos (c) y el producto de los dos extremos sumados con el producto de los extremos sumados con el producto de los dos medios deben dar el de en medio (bx).
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Ejemplos factorizar los siguientes trinomios cuadrados no perfectos con a 1 6x2-19x+10 7x2+19x-6 -4x +21x -15x -2x ___-19x___ __+19x_____ (2x-5) (3x-2) (7x-2) (x+3) (6x2) (7x2) (10) (-6) Ejercicios de afirmación: factorizar los trinomios cuadrados no perfectos con a=1
1. 6x2 – 13x + 6 2. 12x2 + 22x – 4
____________________ ______________________ AGRUPACIÓN: Identificación: son cuatro términos, no es factor común y no es cuatrinomio cubo perfecto. Regla: se eligen por parejas y se saca el factor común de cada pareja asegurándose que los términos de los paréntesis queden iguales, se agrupan en un paréntesis los factores comunes y en otro paréntesis que los quedaron iguales Ejemplo: Factorizar las siguientes agrupaciones.
1. Xy + xz + wy + wz 2. ac – ax – 3bc + 3bx X(y + z) + w(y + z) a(c – x) – 3b(c – x) (x +w) (y +z) (a – 3b) (c – x)
Ejercicios de afirmación: Factorizar las siguientes agrupaciones.
1. ac - ad – bc + bd 2. 6a3 – 10a2b2 + 9ab – 15b3
______________________ _________________________ DIFERENCIA DE CUADRADOS Identificación: Son dos términos que tienen raíz cuadrada exacta con un menos en medio. Regla:Se factoriza en dos paréntesis multiplicando con dos términos cada uno se saca raíz cuadrada a cada uno de los términos y se coloca como primeros y segundos términos en cada paréntesis la diferencia el signo. Ejemplos: Factorizar las siguientes diferencias cuadrados.
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1. ) 2. 3.
Ejercicios de afirmación: Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados.
_________________________________________________________ ____________________________________________________ SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS Identificación: Son dos términos que tienen raíz cubica exacta con un mas o un menos en medio. Regla: Se factoríza en dos paréntesis multiplicado uno con dos términos y otro con tres; se le saca raíz cubica a los términos y se le coloca en el primer paréntesis, en el segundo paréntesis va el primer término al cuadrada, la multiplicación de los dos, y el segundo al cuadrado. Signos: Diferencia de cubos (x3 – y3) = (x – y) (x2 + xy + y2) Suma de cubos (x3 + y3) = (x + y) (x2 - xy + y2) Ejemplos: Factor izar las siguientes sumas o diferencia de cubos.
1. a3b3 – 1 = (ab – 1) (a2b2 + ab + 1)
2. x9 + y9 = (x3 + y3) (x6 – x3y3 + y6) 3. 64a3b9 – 125c6 d12 = (4ab3 -5c2 d4) (16a2b6 + 20ab3 c2 d4 + 25c4 d8)
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Ejercicios: Anotar la identificación en cada caso y posterior en el cuaderno de trabajo por medio de reglas efectuar las siguientes factorizaciones. Es importante no resolver estos ejercicios por parte del alumno si antes saber las identificaciones de reglas.
1) A2- 4a + 4______________________________________________________
2) Ax2+a2xy_______________________________________________________
3) A3-3ab2+3ab2-b3_________________________________________________
4) X2+3x+2_______________________________________________________
5) 4x2+10x+6_____________________________________________________
6) Ac-bc+ad-bd____________________________________________________
7) A3+x3__________________________________________________________
8) X4-y4__________________________________________________________
9) 9x2-30x+25_____________________________________________________
10)5ab2-10a2b2+15a3b3c_____________________________________________
11)27a6- 108a4 + 144a2 - 64______________________________________
12)X2 - 11x+24________________________________________________
13)2x2+7x-15_________________________________________________
14)8ab2+6a2-12b3-9ab_________________________________________
15)A9-b9 __________________________________________________________________________
16)9a2-25_____________________________________________________
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17)4x4+12x2y3+9y6_________________________________________________________________
18)4a3b-8abc______________________________________________
19)X3+9x2y+27y3+27xy2_____________________________________________________
20)X2-3x-18___________________________________________________
21)3x2-2x-5___________________________________________________
22)8ac-14ax+12bc-21bx_________________________________________
23)49b6-x8__________________________________________________________________________
24)46b4+b-12abx2_________________________________________________________
25)2xy+3xy2-8xy3______________________________________________________________________
26)125x+225xy+135xy+27y____________________________________
27)Y+11y+28__________________________________________________
28)6x+13+6___________________________________________________
29)15xy-12x+10xy-8y__________________________________________
30)125a-64x__________________________________________________
31)36a2b2-4x8____________________________________________ 32)25ab2-70ab2+49x2y2_________________________________________ 33)3x3y2-6xy3+9xy____________________________________________ 34)Ab—3abx+3abx-x____________________________________________
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VI. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación de primer grado con una incógnita, es un igualdad con dos miembros, el de la izquierda y el de la derecha, la incógnita que normalmente está representada por letras como x, y ó z esta siempre elevada a la primer potencia y para encontrar su valor debemos despejar esta letra o incógnita.
Despejar significa hacer los tres pasos siguientes:
a) Dejar la incógnita sola
b) Dejar la incógnita positiva
c) Dejar la incógnita arriba (en el numerador).
Con la aplicación de las propiedades de los números reales, se puede hacer el despeje paso a paso hasta encontrar el valor buscado, aunque esto es lo adecuado, no es lo más operante o práctico, una forma práctica de obtener este despeje, es mover las piezas de la igualdad en la forma como se indica a continuación: Si una cantidad que se va a mover está sumando, pasa al otro lado restando. Si una cantidad que se va a mover está restando, pasa al otro lado sumando. Si una cantidad que se va a mover está multiplicando, pasa al otro lado dividiendo. Si una cantidad que se va a mover está dividiendo, pasa al otro lado multiplicando.
SUMANDO = RESTANDO MULTIPLICANDO = 1 / DIVIDIENDO RESTANDO = SUMANDO 1 / DIVIDIENDO = MULTIPLICANDO
Debemos observar que cuando la pieza se cambia de un lado a otro del
igual, el cambio debe ser de operación, no de signo. Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado.
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1) X + 5 = 17 2) 3x – 8 = 7
X = 17 – 5 3x = 7 + 8 X = 12 3x = 15 X = 15 / 3 X = 5 Es bien importante que el despeje se haga paso por paso, y solo se
saltara uno los pasos, cuando se tenga practica suficiente para hacerlo. Otro punto importante es llevar alineados en forma vertical los signos de
igual, de esta manera se observa fácilmente los movimientos de las piezas de un lado a otro del igual.
En los casos de haber fracciones, para poder mover el denominador de la fracción, debe estar dividiendo a todo lo que este de ese lado, por lo tanto hay que sacar el común denominador para posteriormente poder moverlo.
3.) 33x = 99 4.) 2x + 20 = -8x – 10 5.) 3(2x + 4) = 4x - 8 X = 99 2x + 8x = -20 – 10 6x + 12 = 4x – 8 33 X = 3 10x = -30 6x – 4x = -12 - 8
X = -30 2x = -20 10 X = -3 x = -20 2 X = -10
6.) x / 3 + x / 6 = 4 7.) 3x + 2 = 5x – 4 8.) 2x – 3 = (3x + 2) 2x + x = 4 5 3 5 6 3(3x + 2) = 5(5x – 4) 2x – 3 = 5 (3x + 2) 3x = 4 9x + 6 = 25x – 20 2x – 3 = 15x + 10 6 9x – 25x = -20 – 6 2x – 15x = 10 + 3 3x = 4(6) -16x = -26 -13x = 13 3x = 24 x = -26 / -16 x = 13 / -13 X = 24/3 x = 13 x = -1 X = 8 8
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Ejercicio: Resolver las ecuaciones siguientes de primer grado en tu cuaderno y después resolverlo en el programa proporcionado por el profesor o puedes consultar la siguiente página http://www.ematematicas.net/ecuacion.php inserta el resultado que obtuviste, dar enter y ver la solución y compárala con la obtenida registrándola en tu cuaderno.
.
1) X + 8 = 3 2) X – 4 = -7 3) 5 – x = 9 4) 8 = -x + 2 5) -7 + x = 12 6) 2x – 8 = 2 7) 3x = 12 8) -4x = 16 9) -8x = -64 10) 20/x= 5
Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado
En los problemas que se resuelven mediante el planteamiento de
ecuaciones de primer grado con una incógnita, es necesario identificar la
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incógnita y darle un nombre (X), entonces cuando tengamos que pensar en un número desconocido, pensaremos siempre en (X) y a partir de esto, las combinaciones que de este número desconocido se puedan presentar, como por ejemplo: Un numero cualquiera X El cuadrado del numero x2
El doble de un numero 2x El cubo del numero x3
El triple del numero 3x El numero aumentado en dos x + 2 El cuádruplo del numero 4x El numero aumentado en tres x + 3 El quíntuplo del numero 5x El numero disminuido en cinco x – 5 La mitad de un numero x / 2 La cuarta parte del numero x / 4 La tercera parte del numero x / 3 La quinta parte del numero x / 5 Con la idea clara de cómo este número desconocido puede estar disfrazado, podemos tratar de plantear una ecuación de primer grado con una incógnita, que al ser resuelta encontraremos el valor del numero buscado.
1. Encuentra un numero que al sumarle 2 da como resultado 18.
PLANTEO SOLUCION Un numero cualquiera (X) x + 2 = 18 Un numero sumado con 2 (X + 2) x = 18 – 2
X = 16
2. La suma de dos números enteros consecutivos da como resultado. Encuentra cuáles son esos números. PLANTEO SOLUCION
Un numero cualquiera (X) x + (x +1) = 25 Un numero sumado con (X + 1) x + x +1 = 25 2x = 25 – 1 X = 24/2 X = 12 Ahora resuelve en tu cuaderno los problemas del libro Algebra Didáctica para preparatoria del autor J. Alejandro Pérez y Romero.
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VII. SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
Se le da el nombre de sistemas de ecuaciones a un conjunto de dos o
más ecuaciones que tienen idénticas soluciones, por lo que también se les
llama ecuaciones simultáneas.
Veamos el siguiente problema:
Víctor compra un kilogramo de sal y dos kilogramos de harina por $8.00;
en la misma tienda Amado compra dos kilogramos de sal y dos kilogramos de
harina por $10.00. ¿Cuál es el precio de un kilogramo de sal y un kilogramo de
harina?
Este problema podría ser resuelto por tanteo, es decir proponer
diferentes precios que satisfagan las condiciones del problema. Por ejemplo si
el kilogramo de sal, vale $1.00 entonces el kilogramo de harina costara $3.50
para la compra de Víctor, pero esta solución no satisface a la compra de
Amado ya que el total sería $9.00, podríamos seguir indagando otras
cantidades que pudieran ser la solución, siguiendo la estrategia de aumentar el
precio de un artículo y disminuir el de otro. Sin embargo, como notaras la
inversión de tiempo a través de este método puede ser prolongado y el álgebra
se encarga de resolver problemas de la manera más general posible. Por lo
que recurriremos a otra estrategia de solución.
Para resolver este problema por un método propio del álgebra se siguen
los siguientes pasos:
1. Se utiliza “x” para representar 1Kg de sal, e “y” para representar 1Kg de
harina.
2. Se escribe el enunciado del problema en lenguaje algebraico
x + 2y = 8
2x + 2y = 10
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3. A las ecuaciones obtenidas se les llama sistemas de ecuaciones, las cuales
se pueden resolver por varios métodos (cabe destacar que todos nos llevan a
la misma solución), nosotros estudiaremos los siguientes:
a) Suma o resta
b) Igualación
c) Sustitución
d) Gráfico
e) Por determinantes
a) Método de suma o resta.
Este método consiste en lo siguiente: Se modifican las ecuaciones del
sistema dado de tal manera que se igualen en valor absoluto los coeficientes
de una de las incógnitas y tengan signos contrarios, por lo que al sumarse
algebraicamente se elimine una de las incógnitas. Apliquemos el método al
sistema generado del problema anterior.
Primero asignemos un número que identifique a nuestras ecuaciones, sean
estos 1 y 2 de la siguiente manera:
x + 2y = 8 -------------- (1)
2x + 2y = 10 -------------- (2)
Segundo como los coeficientes de "y" en ambas ecuaciones son iguales
“se resta la primera ecuación de la segunda”, (para ello se cambian los
signos de la primera ecuación).
2x + 2y = 10
- x - 2y = - 8
x = 2
De donde obtenemos el valor de la incógnita "x"
Para obtener el valor de la incógnita “y”, se multiplica la primera
ecuación por el coeficiente de “x” de la segunda ecuación; al realizar la
operación se obtiene:
2 ( x + 2y ) = 2(8)
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2x +4y= 16
Después se resta la ecuación obtenida de la segunda (para ello se
cambian los signos de la ecuación obtenida):
2x + 2y = 10
-2x - 4y = -16
-2y = -6
26y
y = 3
De donde obtenemos el valor de la incógnita "y"
Así la solución del sistema es x=2 e y=3
Otra forma de encontrar el valor de “y” es sustituyendo el valor de “x” en
cualquiera de las dos ecuaciones propuestas en el sistema, en este caso
tomaremos la primera ecuación y sustituiremos x = 2 para encontrar el valor
de “y”.
(2) + 2y = 8
Pasamos el “2” que sustituyó a la “x” al segundo miembro quedando:
2y = 8 – 2
Nos quedará:
2y= 6
Dividimos ambos miembros entre “2” para dejar despejada “y”,
26
22y
Y el resultado es:
y = 3
Observemos que la solución del sistema es igual que por el
procedimiento anterior quedando: x = 2 e y = 3
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Concluyendo: El costo de 1 Kg. de sal es de $2.00
Y el costo de 1Kg de harina es $3.00
Para comprobar estos resultados se sustituyen en cada una de las
ecuaciones originales y si éstos son correctos se deberá cumplir la igualdad es
decir:
Al sustituir los valores x = 2, e y = 3 en las dos ecuaciones se obtiene:
Primera ecuación
x + 2y = 8
2 +2(3) = 8
2 + 6 = 8
8 = 8
Segunda ecuación
2x + 2y = 10
2(2) + 2(3) = 10
4 + 6 = 10
10 = 10
Al comprobar que en las dos ecuaciones se cumple, se dice que los valores
encontrados son correctos.
b) Método de igualación.
Para ejemplificar este método se considera el mismo sistema de
ecuaciones es decir:
x + 2y = 8 ---------------------------- (1)
2x + 2y = 10 ---------------------------- (2)
Primero se despeja "y" de la ecuación 1 resultando:
x + 2 y = 8
2y = 8 - x
2x8y
---------------------------------(3)
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Después se despeja "y" de la ecuación 2, resultando:
22x10y
22x
210y
x5y ----------------------------------(4)
Igualando los valores obtenidos de "y" de las ecuaciones 3 y 4 se tiene:
2
8 x 1
5 x
1( 8 - x ) = 2( 5-x )
8 - x = 10 - 2x
2x – x = 10 - 8
x = 2
Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación (1):
(2) + 2 y = 8
2y = 8 – 2
2y = 6
26y
y = 3
Se observa que el resultado coincide con el método anterior.
Para la comprobación se procede de la misma manera que en el método
anterior.
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c) Método de sustitución.
x + 2y = 8 ----------------------------- (1)
2x + 2y = 10 ----------------------------- (2)
Se despeja "y" de la ecuación 2
22x10y
22x
210y
x5y ----------------------------------(3)
Sustituyendo "y" en la ecuación (1) resulta:
x + 2(5 –x) = 8
x + 10 – 2x = 8
x – 2x = 8 –10
-x = -2
Multiplicando por (-1 ) se tiene:
-1 (-x) = -1 (-2)
x = 2
Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación (1)
2 + 2 y = 8
2y = 8 – 2
2y = 6
26y
y = 3
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Se observa que los resultados son iguales a los obtenidos en los métodos
anteriores.
d) Método gráfico:
El método consiste en graficar las ecuaciones lineales, donde cada una
de ellas nos representa una recta y el punto de intersección de ambas rectas
nos dará los valores que satisfacen el sistema de ecuaciones.
x + 2y = 8 --------------------------------(1)
2x + 2y = 10 -------------------------------(2)
Despejando “y” en las dos ecuaciones resulta:
2x8y
22x10y
22x
210y
x5y
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Se asignan valores a "x" arbitrariamente para ambas ecuaciones
obteniendo para cada valor de "x" uno de "y", cada pareja de valores
corresponde a un punto que deberá ser ubicado en el plano cartesiano, para
formar las rectas que representan las ecuaciones, estos valores se registran
en una tabulación como se muestra a continuación.
x Y
-1 4.5
0 4.0
1 3.5
2 3.0
3 2.5
4 2.0
x y
-1 6.0
0 5.0
1 4.0
2 3.0
3 2.0
4 1.0
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-2 -1 1 2 3 4
6
5
4
3
2
1
-1
-2
Al observar la gráfica se obtiene que el punto de intersección es: R (2,3)
estos son los valores de “x” e “y “que satisfacen ambas ecuaciones, es decir
X = 2; y = 3
2x8y
y = 5 – x
Y
R ( 2 , 3 )
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e) método por determinantes
x + 2y = 8 ----------------------------- (1)
2x + 2y = 10 ----------------------------- (2)
Un determinante de segundo orden se define como el producto de los
términos que pertenecen a la diagonal principal menos el producto de los
términos que pertenecen a la diagonal secundaria donde ad son los elementos
de la diagonal principal y bc son los elementos de la diagonal secundaria, así:
Para obtener el valor de las variables procedemos de la siguiente manera:
Se forma un cociente de determinantes, en el denominador, el
determinante formado por las columnas de los coeficientes de las incógnitas,
en el numerador uno igual al denominador sólo que en el lugar de los
coeficientes de la incógnita a encontrar se sustituyen los coeficientes
independientes, así:
22
4
42
2016
)2)(2()2)(1(
)2)(10()2)(8(
22
21
210
28
x
32
6
42
1610
)2)(2()2)(1(
)8)(2()10)(1(
22
21
102
81
y
a c b d
= ad - bc a y d forman la diagonal principal b y c forman la diagonal secundaria
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Después de haber resuelto el problema por los diferentes métodos
podemos concluir que la solución x=2, y=3 significa: que Víctor compró1 Kg. de
sal a $2.00 y 2 Kg. de harina por $6.00 por lo que en total gastó $8.00. Amado
compró 2 Kg. de sal por $4.00 y de Kg. de harina por $6.00 por lo que gastó
$10.00, observamos que esta solución satisface ambas compras.
Se observa que por cualquiera de los métodos usados se obtienen los
mismos resultados. La recomendación es que se domine uno o dos métodos
para la resolución de sistemas de ecuaciones.
Veamos la solución de otro problema: En un corral hay gallinas y
borregos. Los animales tienen en total 60 cabezas y 150 patas. ¿Cuántas
gallinas y cuántos borregos hay en el corral?
SOLUCIÓN:
Como se observa existen dos variables (g) Gallinas y (b) Borregos
además se tiene dos datos de referencia (cabezas y patas) por lo que se
deberá relacionar para dar como resultado dos ecuaciones.
Datos:
En base a 60 cabezas en total
g+b=60 -------------------------------(1)
En relación al número total de patas 150, considerando dos patas para
las gallinas y 4 patas para los borregos
2g+4b=150 ---------------------------(2)
El sistema planteado podrá ser resuelto por el método que gustes, en
este caso nosotros lo haremos por el método de suma y resta.
Multiplicando por (2) la ecuación (1) y restando ésta a la ecuación dos; por lo
que cambiamos el signo a los coeficientes de la ecuación resultante.
2(g+b)=2(60)
2g+2b=120
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2g+4b= 150
-2g-2b=-120
2b=30
Despejando obtenemos
b=2
30
b =15
Sustituyendo en la ecuación (2) el valor de b =15
2g+4b=150
2g+4(15)=150
2g+60=150
2g=150-60
2g=90
g=2
90
g=45
Por lo tanto el número de borregos es 15 y el número de gallinas es 45.
Comprobemos
Número de cabezas
45 gallinas + 15 borregos = 60 animales
Número de patas
15 borregos (4 patas)+45 gallinas (2 patas)=150 patas
60 patas+90 patas=150 patas
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Ejercicios propuestos.
1.- Elabora un problema en donde apliques el sistema de ecuaciones lineales
que se da a continuación
x + y = 12 R: x = 8 ; y = 4
x – y = 4
2.- Comprueba el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
por el método de tu preferencia:
4x – 2y = 9 R: x = 23 / 10 ; y = 1 / 10
3x + y = 7
3.- Comprueba el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
por el método de tu preferencia:
5x – 4y = 3 R: x = - 1 / 9 ; y = – 8/ 9
6x – 3y = 2
4- Comprueba el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
por el método de tu preferencia:
4x – 3y = -17 R: x = – 2 ; y = 3
2x + 5y = 11
5- Comprueba el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
por el método de tu preferencia:
3x + y = 4 R: x = 2 ; y = – 2
2x + y = 2
6. La suma de dos números es 98 y su diferencia es 30, hallar dichos números.
R. x = 64; y = 34
7. La suma de dos números es 190 y 1/9 de su diferencia es 2. Encontrar
dichos números.
R. x = 104 ; y = 86
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8. Cinco trajes y tres sombreros cuestan $4,180.00, 8 trajes y nueve sombreros
cuestan $6,940.00, ¿Cuál es el precio de cada uno de los trajes y sombreros?
R. traje = $800.00 ; sombreros = $60.00
9. Un ranchero compra 4 vacas y 7caballos por $5,140.00 y más tarde a los
mismos precios compro 8 vacas y 9 caballos por $8,180.00, encontrar el costo
de una vaca y un caballo.
R. vaca = $550.00 ; caballo = $420.00
10. En un cine 10 entradas de adulto y 9 entradas de niño cuestan $5,120; 17
entradas de niño y 15 de adulto cuestan $8,310.00. ¿Cuál es el costo de
entrada de un adulto y un niño?
R. adulto = $350.00 ; niño = $180.00
11. La temperatura mínima tomada en la ciudad de México en dos días
distintos fue tal que cinco veces la del primer día más seis veces la del
segundo es igual a 121°. Seis veces la del primer día más cinco veces la del
segundo también es 121° ¿cuáles fueron las temperaturas mínimas en cada
uno de los días?
R= La temperatura de ambos días fue de 11 °C.
12. Dos hermanos trabajan en una misma empresa. La suma de sus salarios
diarios es $177.00; el salario de uno de ellos menos, $ 61.00, es la tercera
parte del salario del otro; ¿Cuál es el salario diario de cada uno?
R= Uno de ellos gana $90.00 al día y el otro gana $87.00 al día.
13. Una vendedora de flores camina al mercado, planea comprar una licuadora
con el producto de la venta del día. Pensó, sí vendo cada ramo en $5.00 me
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faltarán $16.00 para completar el costo de la licuadora. Sí vendo cada ramo en
$7.00, podré comprar la licuadora y me sobrarán $4.00. ¿Cuántos ramos
llevaba y cuál es el costo de la licuadora?
R= Llevaba 10 ramos y la licuadora cuesta $ 66.00.
14. En un criadero de perros hay 523 cachorros. Sí hay 66 machos menos que
hembras. ¿Cuántos hay de cada sexo?
R= Hay 295 hembras y 228 machos
15. Dos amigos deciden hacerse socios, aportando para la sociedad
cantidades X e Y respectivamente. Juntos reúnen $ 27,120.00. Sin embargo,
antes de emprender el negocio, uno gasta tres cuartas partes de la cantidad
que tenía, el otro gasta $7,745.00 y en ese momento a ambos les queda la
misma cantidad. ¿Cuáles eran las cantidades iniciales?
R= Uno aporta inicialmente $15,500.00 y el otro $ 11,620.00
Ahora compara tus resultados visita la siguiente pagina, ingresa los datos y
obtén el resultado (http://www.vadenumeros.es/actividades/resolver-sistemas-
lineales.htm)
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VIII. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES INCÓGNITAS
A continuación estudiaremos el método para resolver un sistema de
ecuaciones lineales con tres incógnitas. Para lo cual plantearemos el siguiente
problema que nos permitirá ejemplificar la aplicación del tema:
En un salón de clase tres estudiantes comentaban sobre el costo de tres
artículos de sus útiles escolares, adquiridos en la misma tienda: sí Luis compró
una goma de borrar, 2 lápices y 2 libretas por lo que pago $25.00; Enrique
compró 2 gomas de borrar, 1 lápiz y 3 libretas por lo que pago $34.00; Gabriel
compró 1 goma de borrar, 2 lápices y 4 libretas por lo que pago $45.00.
¿Cuánto les costó cada borrador, lápiz y libreta?
Solución: representemos las cantidades involucradas de la siguiente manera
x representa el costo de una goma de borrar.
y representa el costo de un lápiz.
z representa el costo de una libreta.
Utilizando el lenguaje algebraico de acuerdo al enunciado del problema,
nos resulta el siguiente sistema de ecuaciones:
x + 2y + 2z = 25 --------------------- (1)
2x + y + 3z = 34 ---------------------- (2)
x + 2y + 4z = 45 ---------------------- (3)
El sistema de ecuaciones obtenido puede ser resuelto por varios
métodos, como en el tema anterior, sin embargo lo resolveremos por el método
de suma y/o resta, por lo que a continuación señalamos los pasos que se
deben seguir para resolverlo.
Conocido el sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas, a las que
llamaremos ecuaciones originales e identificadas con los números del uno al
tres, seguiremos el método siguiente:
1. Se elige del sistema de ecuaciones originales a dos de ellas.
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2. Se aplica el método de suma y resta como en el tema anterior para eliminar
una incógnita, el resultado que se obtiene es una ecuación con dos
incógnitas y la identificamos como la ecuación número 4.
3. Se repite el paso número 1 eligiendo una de las ecuaciones originales que
no fue seleccionada en el paso uno, y se aplica el método de suma y/o resta
eliminando la misma incógnita que en el paso 2, el resultado que se obtiene
lo identificamos como la ecuación número 5.
4. Para resolver el sistema de dos ecuaciones lineales obtenido en las
ecuaciones 4 y 5, se aplica cualquiera de los métodos estudiados en el
tema anterior. En este paso se obtienen los valores de dos de las tres
incógnitas.
5. Se sustituyen los valores encontrados en el paso anterior en una de las
ecuaciones originales. Resultando una ecuación lineal con una incógnita y
resolviéndola, se encuentra el valor de la tercera incógnita.
6. Realice la comprobación como se vio anteriormente.
A continuación aplicaremos el método descrito para resolver el sistema
de ecuaciones resultado del problema planteado inicialmente en este tema.
Primero reduciremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Para lo cual realizamos lo
siguiente:
1. Multiplicamos la ecuación (1) por el factor (3) y la ecuación (2) por el factor (-
2) y sumamos ambas ecuaciones resultantes.
3(x + 2y + 2z)=3 (25) 3x + 6y + 6z = 75
-2(2x + y +3z) =-2(34) -4x - 2y - 6z = -68
- X + 4Y = 7 ------------- (4)
2. Multiplicamos la ecuación 1 por 2 y al resultado obtenido se le resta la
ecuación 3.
2( x + 2y +2z)= 2(25)
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2x + 4y + 4z = 50
-x - 2y - 4z = 45
x + 2Y = 5 ------------- (5)
El sistema de dos ecuaciones lineales obtenido es:
- x+ 4y = 7----------------- (4)
x + 2y = 5 ----------------- (5)
3. Apliquemos el método de suma y/o resta, a la ecuación 4 le restamos el
producto de multiplicar por 2 la ecuación (5).
- x + 4y = 7 - x + 4y = 7
2(x + 2y) = 2(5) -2x -4y = -10
- 3X = -3
x = 3
3
x = 1
Sustituyendo x = 1 en la ecuación 5
x + 2y = 5
1 + 2y = 5
2y = 5 – 1
2y = 4
y = 4/2 y = 2
Sustituimos los valores obtenidos x = 1, y = 2 en la ecuación 1
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x + 2y + 2z = 25
1 + 2 (2)+ 2z = 25
1 + 4 + 2z = 25
5 + 2z = 25
2z = 25 - 5
2z = 20
z = 2
20
Z = 10
Por lo tanto el costo es: 1 borrador cuesta $ 1.00
1 lápiz cuesta $ 2.00
1 libreta cuesta $ 10.00
Resuelve correctamente los siguientes problemas:
1. x + y+ z =3 R: x=2; y=-3 y z=4
2x -4y+ 3z =28
x +2y - z =-8
2. -x + 2y+ 3z =14 R:x=-1;y=2;z=3
2x - y + z =-1
3x + +2y - 2 z =-5
3. x + y + z =6 R:x=1;y=2;z=3
x - y + 2z =5
x - y - 3 z =-10
4. 2x - 5y = 13 R:x=-1;y=-3;z=4
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4 y + z = -8
x - y - z = -2
5. s + t - w =1 R:s=2;t=4;w=5
s - t + w =3
-s + t + w =7
6.-Entre Juan, Armando y Vicente tienen $140, Vicente tiene la mitad de lo que
tiene Juan, y Juan $10 más de lo que tiene Armando, ¿Cuánto tiene cada
uno?
R. Juan tiene $60, Armando tiene $50 y Vicente tiene $30.
7. Inventa un problema que involucre un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas.
8. Calcula el volumen del prisma rectangular cuyos lados satisfacen las
siguientes condiciones: 5 veces el largo más 2 veces el ancho menos 3 veces
la altura es igual a 8 cm.; el doble de la altura, más el largo menos el ancho es
igual a 13 cm.; tres veces el ancho menos dos veces la altura más el doble del
largo es igual a 5 cm.
R= El volumen es 144 centímetros cúbicos
9. Luis, Pedro y Ernesto fueron a comer pizza, entre Luis y Ernesto comieron el
doble que Pedro; Pedro comió el doble que Ernesto y entre los tres terminaron
una pizza. ¿Qué porción de pizza comió cada uno?
R= Luis se comió media pizza, Pedro se comió la tercera parte de la pizza
y Ernesto se comió la sexta parte de la pizza.
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IMP
RE
SA
NO
CO
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10. Jaime dijo a su hijo: Sí puedes saber la cantidad de dinero que he ahorrado
en las tres últimas semanas, te daré la mitad. Voy a darte tres pistas. Un tercio
del monto de la primera semana más un quinto del de la segunda, más dos
séptimos del de la tercera es igual a 254. Cinco cuartos del ahorro de la
primera semana más un sexto del de la segunda, más un tercio del de la
tercera es igual a 315. Un medio del de la primera menos un quinto del de la
segunda, más siete cuarentavos del de la tercera es igual a 153. ¿Cuánto
recibirá el hijo de Jaime si resuelve el problema?
R= El hijo de Jaime recibirá $447.00 Ahora visita la siguiente dirección (http://www.vadenumeros.es/actividades/metodo-de-gauss.htm) resuelve con la ayuda del programita los problemas que ya resolviste en tu cuaderno de trabajo y realiza las actividades propuestas y repórtalas a tu maestro en tu cuaderno.
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IX. ECUACIONES CUADRÁTICAS
El largo de un terreno rectangular, es el doble de su ancho más 10m, si
el área del terreno es de 408m, ¿Cuáles son sus dimensiones?
De la geometría plana se sabe que el área de un rectángulo está dada
por el producto del largo y el ancho entonces, si representamos el ancho con la
variable x, el largo será representado algebraicamente como 2x+10 de esta
manera se tendrá que :
Área=x(2x+10)
Área=408
x(2x+10)=408
Así
2x2+10x=408
Transponiendo el término 408 al miembro izquierdo obtenemos una
ecuación donde el mayor exponente de la incógnita es dos. A este tipo de
ecuaciones se les llama ecuaciones de segundo grado.
A continuación veremos cuáles son las características de estas
ecuaciones y como se resuelven.
Una ecuación cuadrática o de segundo grado está formada por los siguientes
términos, si es completa.
0
2
2
cbXaX
NTEINDEPENDIE
TÉRMINO
xEN
TÉRMINO
xEN
TÉRMINO
a , b y c son cualquier número real, siendo a diferente de 0.
Algunas ecuaciones cuadráticas tienen solamente dos términos, por ejemplo;
a) 0126 2 xx falta un término. ¿Cuál es? ____________________
b) 0162 x falta un término. ¿Cuál es? :____________________
De lo anterior podemos concretar que hay ecuaciones cuadráticas
completas e incompletas, éstas últimas pueden ser:
CO
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IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
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1) Ecuación cuadrática incompleta de la forma 02 cax
2) Ecuaciones cuadráticas incompleta de la forma 02 bxax
En toda ecuación cuadrática se deben de encontrar dos resultados, a los
que llamaremos en adelante “RAÍCES DE LA ECUACIÓN“, que se
representarán con: x1 y x2 se utilizan los subíndices para identificación del
resultado, pero no se refiere a ningún orden.
Ecuaciones cuadráticas incompletas, de la forma 02 cax
Procedimiento de solución:
1) Transponer el término independiente a la derecha de la igualdad, de tal
manera que la variable quede sola en el lado izquierdo, para ello pasar
dividiendo el coeficiente a al miembro derecho de la ecuación.
2) Como la variable queda elevada al cuadrado se extrae la raíz cuadrada en
ambos miembros de la ecuación y se considera, los signos más y menos
del segundo miembro para encontrar así las dos soluciones.
Ejemplos:
0164 2 x
164 2 x
4
162 x
4
162 x
42 x
2
2
2
1
x
x
0259 2 x
259 2 x
9
252 x
9
252 x
Como la raíz es no existe
en los reales, entonces
las soluciones de esta
ecuación no existen en
los números reales., éstas
serán complejas.
3x2-3=0
3x2=3
33x 2
x2=1
1
1
1
1
2
1
x
x
x
x
CO
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IMP
RE
SA
NO
CO
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Ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas de la forma 02 bxax
Procedimiento de solución:
1) Se iguala la ecuación a cero, esto significa pasar los términos que
estuvieran en el segundo miembro al primero, de manera que quede cero
siempre en el lado derecho.
2) Se factoriza, sacando factor común.
3) Igualamos a cero cada uno de los factores obtenidos en el paso anterior.
4) Se resuelven las ecuaciones lineales resultantes. Estás soluciones son las
raíces de la ecuación resultante.
Ejemplos
042 xx
04 xx
04 xx
04
0
0
1
x
x
x
42 x
053 2 xx
053 xx
053
0
0
1
x
x
x
5
32 x
032 2 xx
032 xx
032
0
0
1
x
x
x
3
22 x
Ecuaciones cuadráticas completas, de la forma 02 cbxax resueltas
por el método de factorización
Procedimiento de solución:
1) Igualar la ecuación a cero.
2) Se factoriza el trinomio en el producto de dos factores.
3) Se iguala a cero cada uno de los factores.
4) Se resuelven las ecuaciones lineales resultantes, estas soluciones son las
raíces de la ecuación cuadrática.
5) Se comprueban los resultados en la ecuación original.
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
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Ejemplos:
01272 xx
043 xx
04
3
03
1
x
x
x
42 x
0322 xx
013 xx
01
3
03
1
x
x
x
12 x
0442 xx
022 xx
02
2
02
1
x
x
x
22 x
Ecuaciones de segundo grado por el método de completar cuadrados.
Sean de la forma: 022 bxxócbxx
Procedimiento de solución:
1) Colocar los términos de “ x2 “ y “ x “ en el primer miembro de la ecuación y
los términos constantes en el lado derecho.
2) En el lado izquierdo completamos el trinomio cuadrado perfecto, agregando
en ambos lados, la mitad del coeficiente del término en x elevado al
cuadrado.
2
2
b
3) Factorizar el trinomio cuadrado perfecto resultante en el miembro izquierdo
de la ecuación.
4) Extraer la raíz cuadrada a ambos lados de la resultante, no olvidando
considerar los dos signos (+,-) de la raíz cuadrada del miembro derecho de
la igualdad.
5) Las soluciones encontradas son las raíces de la ecuación cuadrática.
Por ejemplo:
a) 0782 xx
782 xx
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
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22
2
2
87
2
88
xx
222 4748 xx
1671682 xx
2342x
2342x
234 x
423;423 21 xx
b) 0442 aa
442 aa
22
2
2
44
2
44
aa
222 2424 aa
44442 aa
022a
022 aa
02;02 aa
igualesraicesaa 2;2 21
c) 01022 yy
1022 yy
22
2
2
210
2
22
yy
1101222 yy
9122 yy
912
y
91 y
Como la raíz es imaginaria las soluciones no existen en los números reales.
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
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Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, aplicando la fórmula
general.
El primer paso es deducir como se obtiene la fórmula general de la
ecuación de segundo grado:
02 cbxax
Multiplicando por 4a ambos lados de la ecuación obtenemos:
0444 2 acabxxa
Sumando b2 en ambos miembros de la ecuación 222 444 bbacabxxa
Pasando 4ac al miembro derecho.
acbbabxxa 444 222
factorizar el trinomio cuadrado perfecto del miembro izquierdo
abbax 42 22
Aplicando raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación
acbbax 42 2
Pasamos b al miembro derecho de la igualdad
acbbax 42 2
Pasamos dividiendo el coeficiente de x al miembro derecho de la igualdad, para
finalmente despejar a x.
a
acbbx
2
42
La formula obtenida recibe el nombre de fórmula general, con la cual
se pueden resolver todo tipo de ecuaciones de segundo grado.
Se recomienda revisar que la ecuación este ordenada de mayor o menor
exponente e igualada a cero:
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
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Ejemplos: 2 x2 + 14 x + 24 = 0
a b c
Procedimiento de solución:
1) Se encuentra los valores de a , b y c.
2) Se substituyen los valores encontrados en la fórmula general.
3) Se efectúan las operaciones necesarias, y se encuentran dos valores.
24;14;2
024142 2
cba
xx
22
24241414 2 x
4
19219614 x
4
414x
4
214x
3
4
12
1
1
x
x
4
4
16
2
2
x
x
25;10;1
025102
cba
xx
12
)25)(1(4)10()10( 2 x
2
10010010 x
2
010x
2
010x
5
2
10
1
1
x
x
5
2
010
2
2
x
x
10;3;2
01032 2
cba
xx
22
)10)(2(4)3(3 2 x
4
8093 x
4
713 x
Como la raíz no es un
número real, las
soluciones no existen en
los números reales.
Reflexionar sobre:
El discriminante (b2 - 4ac) nos muestra las posibles combinaciones de
soluciones:
Si b2 - 4ac 0 las raíces son reales e iguales
Si b2 - 4ac 0 las raíces son reales y diferentes
Si b2 - 4ac 0 las raíces son imaginarias (La ecuación no tiene solución real)
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NO
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En este momento ya podemos resolver, el problema planteado al inicio
de este tema, recordemos que la ecuación que quedo pendiente a resolver fue:
2x2+10x-408=0
Aplicando la formula general de ecuaciones de segundo grado tenemos:
408;10;2
0408102 2
cba
xx
22
)408(241010 2 x
4
326410010 x
4
336410x
4
5810x
12
4
48
4
5810
1
1
1
x
x
x
17
4
68
4
5810
2
2
2
x
x
x
Para determinar las dimensiones del terreno consideramos la raíz
positiva que corresponde al valor de x1=12, la raíz negativa que corresponde al
valor de x2 =-17, la descartamos pues las unidades de longitud no podrán ser
negativas en nuestro problema. Por lo tanto las dimensiones del terreno son 12
de ancho por 34 de largo.
Resuelve las ecuaciones cuadráticas incompletas siguientes:
1. 2
12012 21
2 xxx
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
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2. 5
7075 21
2 xxxx
3. 5
3
5
30325 21
2 xxx
4. 2
12014 21
2 xxx
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas por el método que
lo permita o se te facilité.
5. 3206 21
2 xxxx
6. 29187 21
2 xxxx
7. 2
1
3
404116 21
2 xxxx
8. 5502510 21
2 xxxx
9. 2
150295 21
2 xxxx
10. Un propietario desea construir una alberca en una porción de 40 pies por
100 pies de su propiedad. A él le gusta la forma de la alberca de su vecino, que
es un rectángulo de 20 por 60 pies. ¿Es posible que el propietario construya
una alberca como la de su vecino, pero con el doble de área que ésta, en la
parte asignada de su propiedad, si es así cuales deberán ser las dimensiones
de la alberca?
Respuesta. El terreno disponible es suficiente, pues las dimensiones son
28.3 pies de ancho por 84.8 pies de largo.
11. Un automóvil recorre 180 millas en una hora menos de lo que un segundo
automóvil recorre 200 millas. Si la velocidad del primer automóvil es 10 millas
por hora más que la velocidad del segundo automóvil, ¿cuál es la velocidad de
cada automóvil?
Respuesta. Velocidad del primer automóvil es 60 millas por hora y la
velocidad del segundo es 50 millas por hora.
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11. Un número de niñas muy precoces al cuadrado se elevaron, y como eran
muy audaces por dos se multiplicaron. Como ya se sintieron muchas por eso
se restaron doce veces lo que fueron. Las que al principio empezaron con esto
se contentaron y treinta y dos ahora son. Ahora quiero que me digas sin miedo
y sin compasión. ¿Cuántas niñas eran al principio de este cuento juguetón?
Respuesta: 8 niñas
Ahora visita la siguiente dirección (http://www.vadenumeros.es/actividades/ecuaciones-de-segundo-grado.htm) Resuelve con la ayuda del programita los problemas que ya resolviste en tu cuaderno de trabajo y realiza las actividades propuestas y repórtalas a tu maestro en tu cuaderno.
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X. ANEXO 1 Para cada una de las unidades el alumno realizara exámenes de matemáticas de Aritmética y algebra en cada unidad la cual tendrá que reportar al docente el examen que realizo en el Software de Matemáticas y entregar un reporte.
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XI. REFERENCIAS Algebra Didáctica Para Preparatoria. J. Alejandro Pérez y Romero. No. De registro 17718 SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DIRECCION GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL A PARTIR DE LA METODOLOGÍA CONTEXTUAL Y APRENDIZAJE DE GRUPOS OPERATIVOS http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Potenciabaseentera.htm http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-segundo-grado.htm http://www.vadenumeros.es/actividades/ecuaciones-de-segundo-grado.htm http://www.vadenumeros.es/primero/sistemas-gauss.htm http://www.ematematicas.net/ecuacion.php
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