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SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008

PLANEACION DIDACTICA DOCENTES FEPD-004

V 05 ELABORACIÓN DE PLANEACION DIDÁCTICA PP/PPA/ESF-06

Identificación

Asignatura/submódulo: Álgebra 1 de 1

Plantel : CECyTE QUERÉTARO

Profesor (es): Academia Estatal de Matemáticas

Periodo Escolar: Agosto/Diciembre 2015

Academia/ Módulo:

Matemáticas

Semestre: Primero

Horas/semana: 4

Competencias: Disciplinares (X ) Profesionales ( ) 1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Competencias Genéricas: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos Resultado de Aprendizaje: Que el estudiante desarrolle el razonamiento matemático, haga uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos. Tema Integrador:

El álgebra en tu contexto cotidiano

Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447): 3.- Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contexto disciplinares, curriculares y sociales amplios. 3.1.- Identifica los conocimientos previos y necesidades de formación de los estudiantes, y desarrolla estrategias para avanzar a partir de ellas. 3.3.- Diseña y utiliza en el salón de clases materiales apropiados para el desarrollo de competencias.

Dimensiones de la Competencia

Conceptual: Identifica los elementos de un término algebraica.

Nombra la notación algebraica.

Define expresión algebraica.

identifica la evaluación numérica de expresiones algebraicas.

Interpreta una expresión algebraica.

Reconoce las operaciones fundamentales.

Procedimental: Escribe expresiones algebraicas en lenguaje común y

viceversa.

Sustituye valores numéricos en las expresiones algebraicos.

Resuelve ejercicios identificando las partes de una expresión algebraica.

Realiza ejercicios que impliquen la aplicación de las operaciones fundamentales algebraicas y el uso de las leyes de los exponentes y radicales.

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Identifica las leyes de los exponentes y los radicales.

Conoce las reglas de los productos notables.

Identifica los casos de factorización.

Identifica ecuaciones lineales de 1, 2 y 3 incógnitas, así como sus métodos de solución.

Conoce la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y sus métodos de solución.

Desarrolla los productos notables aplicando sus respectivas reglas.

Resuelve ejercicios aplicando los casos de factorización.

Realiza despejes en ecuaciones lineales.

Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales aplicando los métodos correspondientes.

Expresa las raíces de las ecuaciones cuadráticas según el caso.

Actitudinal: Se relaciona respetuosamente con la comunidad escolar y practica el auto respeto. Realiza con pulcritud el trabajo y se observa aseo personal. Realizar los trabajos con puntualidad y apegado a los requerimientos. Se compromete con el trabajo en equipo y se ajusta a los principios filosóficos del trabajo colaborativo.

Actividades de Aprendizaje

Tiempo Programado: 60 horas

Tiempo Real:

Fase I Apertura

Competencias a desarrollar (habilidad,

conocimiento y actitud)

Actividad / Transversalidad

Producto de Aprendizaje

Ponderación

Actividad que realiza el docente

(Enseñanza) No. de sesiones

Actividad que realiza el alumno

(Aprendizaje)

El material didáctico a utilizar en cada clase.

Da a conocer a los estudiantes el contenido de planeación (la forma de evaluación, la interrelación con otras asignaturas, etc.), la rúbrica de evaluación, el reglamento interno de clase y los compromisos del docente. 1 sesión

1. Conoce el

contenido de la

planeación (la forma

de evaluación, la

interrelación con

otras asignaturas,

etc.), la rúbrica de

evaluación, el

reglamento interno

de clase y los

compromisos del

docente.

Rúbricas de

evaluación.

Apuntes

completos en

el portafolio

de evidencias.

N/A

Aplica la evaluación

diagnóstica y dirige la

retroalimentación y

correcciones de la

2.- Elaboración de

evaluación

diagnóstica y

correcciones de la

Evaluación

diagnóstica

escrita.

Libreta de

Evaluación

diagnóstica

escrita,

pegada y

4%

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misma.

1 sesión

misma.

apuntes. corregida en

la libreta de

apuntes.

Fase II Desarrollo



Actividad/ transversalidad

Producto de Aprendizaje

Ponderación

Actividad que realiza el docente

(Enseñanza) No. de sesiones

Actividad que realiza el alumno

(Aprendizaje)

El material didáctico a utilizar en cada clase.

4.1. Expresa ideas y

conceptos mediante

representaciones

lingüísticas,

matemáticas o

gráficas.

8.1 Propone maneras

de solucionar un

problema o desarrollar

un proyecto en equipo

definiendo un curso de

acción con

Pide al alumno que realice una investigación, posteriormente retroalimenta la investigación y las participaciones orales por parte de los educandos. 1 sesión

3.- Realiza una investigación de conceptos (álgebra, constante, variable o literal, coeficiente, exponente, término y expresión algebraica) a trabajar durante el parcial. La investigación debe incluir bibliografía y glosario. La actividad se comenta en clase.

Bibliografías

sugeridas

Investigación

escrita. 4%

Pide a los alumnos un mapa mental, supervisa y retroalimenta la actividad de los estudiantes. Propicia la co-evaluación de la actividad. 1 sesión

4.-De manera individual realiza un mapa mental sobre los signos de: agrupación, relación y operación.

Pintarrón

Colores

Computadora

Proyector

Mapa mental

en libreta de

apuntes.

4%

Expone la forma de transformación de un lenguaje común a lenguaje algebraico y viceversa. 1 sesión

5.- Realiza apuntes de la práctica demostrativa por parte del facilitador.

Pintarrón y/o

Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Apuntes en

portafolio de

evidencias.

N/A

Por medio de la técnica expositiva trabaja con el grupo la conversión de expresiones algebraicas a lenguaje común y viceversa. 1 sesión

6.- Colabora con su grupo en la práctica de ejercicios de conversión de lenguaje común a lenguaje algebraico y viceversa.

Pintarrón

Proyector

Computadora

Ejercicios resueltos en libreta.

N/A

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Le encarga al alumno que realice la tarea 1. Lenguaje algebraico y lenguaje común. Posteriormente se realiza una co-evaluación. 1 sesión

7.- Realiza la tarea correspondiente al tema. Tarea 1

Material

didáctico.

Apuntes y/o

bibliografía

sugerida.

Resultados de la tarea 1

4%

Explica ejemplos sobre reducción de términos semejantes. 1 sesión

8.-Toma notas y expresa sus dudas.

Pintarrón y/o

Matarial

didáctico,

Apunte

electrónicos

Ejemplos en

libreta. N/A

Conforma equipos de trabajo y presenta ejercicios sobre reducción de términos semejantes para su solución. 1 sesión

9.- Resuelve los ejercicios propuestos por el facilitador.

Pintarrón y/o

Apuntes

electrónicos,

Problemario.

Ejercicios en

libreta. NA

Le encarga al alumno que realice la tarea 2. Reducción de términos semejantes. Posteriormente se realiza una co-evaluación. 1 sesión


Material

didáctico.

Apuntes y/o

bibliografía

sugerida.


4%

Explica ejemplos sobre la evaluación numérica. 1 sesión

11.-Toma notas y expresa sus dudas.

Pintarrón y/o

Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Ejemplos en

libreta. N/A

Conforma equipos de trabajo y presenta ejercicios sobre evaluación numérica para su solución. 1 sesión

12.- Resuelve los ejercicios propuestos por el facilitador.

Pintarrón y/o

Apuntes

electrónicos,

Problemario.

Ejercicios en

libreta. NA

Le encarga al alumno que realice la tarea 3. Evaluación numérica. Posteriormente se realiza una co-evaluación. 1 sesión


Material

didáctico.

Apuntes y/o

bibliografía

sugerida.


4%

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Por medio de técnica expositiva explica la solución a ejemplos de operaciones con monomios y polinomios. 1 sesión

14.- Realiza anotaciones de los ejemplos. Suma y resta de polinomios.

Pintarrón

Proyector

Computadora

Apuntes en

libreta. N/A

Revisa los procesos de solución a operaciones con monomios y polinomios determinadas. Le encarga al alumno tarea 4. 1 sesión

15.-Resuelve ejercicios en parejas o tríos con el apoyo del profesor en caso de dudas acerca de los procesos de solución. La actividad se coevalúa entre las parejas de trabajo.

Pintarrón

Proyector

Computadora

Ejercicios

resueltos en

libreta. Tarea

4.

4%

Retroalimenta el trabajo colaborativo (operaciones con monomios y polinomios) por parte de las parejas de alumnos involucradas en la aplicación de dicha actividad y da seguimiento a la coevaluación de la misma. 1 sesión

16.- Trabaja en tríos

o parejas la solución

de algunas

operaciones con

monomios y

polinomios. La

actividad se coevalúa

entre las parejas de

trabajo.

Pintarrón

Proyector

Computadora

Actividad

contestada y

pegada en la

libreta (Ya

calificada).

NA

Explica ejemplos sobre la aplicación de las leyes de los radicales y de los exponentes. 1 sesión

17.- Realiza anotaciones respecto a los ejemplos compartidos por el facilitador.

Pintarrón

Proyector

Computadora

Apuntes en

portafolio de

evidencias.

N/A

Por medio de una práctica guiada da seguimiento a la actividad en parejas por parte de los estudiantes. Propicia la autoevaluación de cada uno de los estudiantes. Le encarga a los alumno las tareas 5: leyes de exponentes y tarea 6: leyes de radicales. 1 sesión

18.- Resuelve ejercicios y problemas que implican el trabajo con leyes de los exponentes y de los radicales para su solución. La actividad se autoevalúa.

Pintarrón

Proyector

Computadora

Ejercicios y

problemas en

libreta. Tarea

5 y 6.

8%

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Realiza una exposición sobre los temas de: signos de agrupación. 1 sesión

19.-Toma notas sobre el tema

Material

didáctico.

Plataforma de

matemáticas.

Apuntes y/o

bibliografía

sugerida.

Apuntes NA

Le pide al alumno que realice la tarea 7. Posteriormente se realiza una co-evaluación. 1 sesión

20.- Realiza la tarea 7

Material

didáctico.

Apuntes y/o

bibliografía

sugerida.

Portafolio 4%

Proporciona las instrucciones de aplicación de la evaluación parcial, así mismo heteroevalúa la actividad con apoyo de la rúbrica correspondiente.

21.- Por medio de una práctica autónoma se realiza la evaluación parcial escrita de manera individual.

Examen

escrito.

Examen

escrito pegado

y corregido en

la libreta de

apuntes.

60%

LECTURA: El hombre que calculaba. Coordina la dinámica de lectura y menciona los lineamientos de la entrega del reporte.

22.-Realiza la lectura del capítulo 1 y 2, entrega el reporte de acuerdo a los criterios del facilitador

Libro

electrónico

Reporte en

libreta N/A

Evaluación Primer Parcial

Expone la multiplicación y división de polinomios 4 sesiones

23.- Realiza apuntes de la práctica demostrativa por parte del facilitador.

Pintarrón y/o

Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Apuntes en

portafolio de

evidencias.

N/A

Le pide al alumno que realice la tarea 8. Posteriormente se realiza una co-evaluación. 1 sesión

24.- Realiza la tarea 8

Material

didáctico.

Apuntes y/o

bibliografía

sugerida.

Portafolio y/o

libreta. 10 %

Toma como referencia 25.- De la Computadora Bibliografía

Investigación N/A

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los resultados obtenidos

en la lluvia de ideas para

delimitar los conceptos,

que forman parte de la

investigación de los

educandos.

Retroalimenta la investigación apoyándose en la rúbrica de evaluación. 1 sesión

Investigación realiza

una lluvia de ideas

para colaborar en la

elaboración de la

tabla con las reglas

de los productos

notables y los casos

de factorización que

existen.

sugerida escrita en

libreta de

apuntes y

Tabla.

Realiza ejercicios demostrativos sobre la solución de productos notables. 4 sesiones

26.- Realiza anotaciones sobre los ejemplos explicados por el facilitador.

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Anotaciones

en el

portafolio de

evidencias.

N/A

Le pide al alumno solución de productos notables. Tarea 9 1 sesión

27.- Resuelve ejercicios sobre productos notables en parejas o tríos. Al terminar coevaluan la actividad entre los grupos de trabajo tomando como apoyo la rúbrica de evaluación.

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Ejercicios en

portafolio de

evidencias

10 %

Realiza mediante la técnica expositiva el tema sobre factorización. 3 sesiones

28.- Realiza anotaciones sobre el trabajo con los ejemplos en la libreta de apuntes

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Apuntes en

libreta. N/A

Proporciona ejercicios de factorización. Realiza la rifa de un ejercicio de factorización distinto a cada pareja de trabajo en el salón y

29.- Realizan ejercicios de factorización. En parejas se les asigna un ejercicio de factorización al azar,

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

Rotafolios con

su ejercicio

de exposición

resuelto y/o

exposición

5%

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retroalimenta la planeación de las exposiciones de las soluciones de los ejercicios de los educandos por medio de una práctica supervisada. 2 sesiones

para resolverlo y exponerlo ante el grupo. Al finalizar la actividad cada estudiante se coevaluarán según los criterios establecidos en la rúbrica de evaluación para dicha actividad.

didáctico,

Apunte

electrónicos

electrónica.

Coordina el orden de las exposiciones por parte de los educandos y retroalimenta el contenido de la actividad en caso necesario. 1 sesión

30.- Por medio de una práctica autónoma expone verbalmente el ejercicio correspondiente a la pareja de trabajo. La exposición se coevaluarán entre las parejas de trabajo, según la rúbrica correspondiente.

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Portafolio de evidencias con los apuntes de todas las exposiciones.

5%

Plantea ejercicios de factorización para su solución y coevalúa la actividad terminada con apoyo de la rúbrica de evaluación. 1 sesión

31.- Resuelve ejercicios de factorización de manera individual por medio de una práctica autónoma. Tarea 10.

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Ejercicios en

portafolio de

evidencias.

10%

Proporciona las instrucciones de aplicación de la evaluación parcial, así mismo heteroevalúa la actividad con apoyo de la rúbrica correspondiente. 1 sesión


Examen

escrito.

Examen

escrito pegado

y corregido en

la libreta de

apuntes.

60%

LECTURA: El hombre que calculaba. Coordina la dinámica de lectura y menciona los lineamientos de la entrega del reporte.

33.-Realiza la lectura del capítulo 3 y 4, entrega el reporte de acuerdo a los criterios del facilitador

Libro

electrónico

Reporte en

libreta N/A

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GESTIÓN DE

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1 sesión

Evaluación Segundo Parcial

Exposición que implica el

trabajo con ejemplos de

soluciones a ecuaciones

lineales con una

incógnita.

4 sesiones

34.- Escribe los ejemplos en la libreta de apuntes así mismo agrega anotaciones significativas que puedan complementar sus anotaciones sobre el tema.

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora y/o Material didáctico, Apunte electrónicos

Investigación

escrita en

libreta de

apuntes.

N/A

Propone ejercicios de despejes de ecuaciones lineales con una incógnita 2 sesiones

35.- Integrado en parejas o tríos trabaja la solución de las ecuaciones lineales con una incógnita, proporcionados por el facilitador. Al terminar colabora en la coevaluación de la actividad teniendo como apoyo la rúbrica de evaluación.

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Ejercicios de reforzamiento en libreta de apuntes.

5%

Da a conocer los lineamientos generales de la investigación sobre los métodos de solución a sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. 3 sesiones

36.- Investiga los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Al finalizar coevalúa la actividad.

Computadora Internet Bibliografía sugerida

Investigación

en hojas para

entregar.

Requisito para

calificar la

actividad 33.

N/A

Por medio de una práctica demostrativa explica ejemplos sobre los métodos de solución a ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2 sesiones

37.- Realiza anotaciones obre las soluciones a los ejemplos de cada método trabajado.

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Examen rápido pegado (ya revisado) y corregido en la libreta de apuntes.

N/A

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LA CALIDAD

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Da a los estudiantes los ejercicios y problemas que resolverán utilizando los métodos de solución. Conforma equipos y retroalimenta las dudas. 1 sesión

38.- En equipos trabajan la solución de ejercicios y problemas, que implican el trabajo con la solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas por los distintos métodos. Colabora en la coevaluación de la actividad al término de la misma.

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Ejercicios

resueltos en

libreta.

20%

Da a conocer los lineamientos de la investigación sobre las generalidades de las ecuaciones cuadráticas y sus métodos de solución. 1 sesión

39.- Investiga los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas. Al finalizar coevalúa la actividad.

Computadora Internet Bibliografía sugerida

Investigación

en hojas para

entregar.

Requisito para

calificar la

actividad 36.

N/A

Por medio de una práctica demostrativa explica ejemplos sobre los métodos de solución de ecuaciones cuadráticas 4 sesiones

40.- Realiza anotaciones obre las soluciones a los ejemplos de cada método trabajado.

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Examen rápido pegado (ya revisado) y corregido en la libreta de apuntes.

N/A

Da a los estudiantes los ejercicios y problemas que resolverán utilizando las ecuaciones cuadráticas 1 sesión

41.- En equipos trabajan la solución de ejercicios y problemas, que implican el trabajo con la solución de ecuaciones cuadráticas. Colabora en la coevaluación de la actividad al término de la misma.

Pintarrón

Marcadores

Proyector

Computadora

y/o Material

didáctico,

Apunte

electrónicos

Ejercicios

resueltos en

libreta.

15%

Fase III Cierre


Actividad/transversalidad Producto de Aprendizaje

Ponderación Actividad que realiza el Actividad que realiza El material

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docente (Enseñanza)

No. de sesiones

el alumno (Aprendizaje)

didáctico a utilizar en cada clase.

C. D. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. C.G.4.1

Proporciona las instrucciones de aplicación de la evaluación parcial, así mismo heteroevalúa la actividad con apoyo de la rúbrica correspondiente. 1 sesión


Examen

escrito.

Examen

escrito pegado

y corregido en

la libreta de

apuntes.

60%

LECTURA: El hombre que calculaba. Coordina la dinámica de lectura y menciona los lineamientos de la entrega del reporte. 1 sesión

43.- Realiza la lectura del capítulo 5 y 6, entrega el reporte de acuerdo a los criterios del facilitador

Libro

electrónico

Reporte en

libreta N/A

Evaluación Tercer Parcial

Se cumplieron las actividades programadas: SI ( ) NO ( )

Registra los cambios realizados:

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Elementos de Apoyo (Recursos)

Equipo de apoyo Bibliografía

Cañón Computadora Pintarron Rotafolios

Lehman, Ch. H. (1986) Álgebra (1° Ed) México. Ed. Limusa Baldor, A. (2006) Álgebra (1° Ed) México. Publicaciones Cultural. Acosta, R. (2006) Álgebra (1° Ed) México. DGETI Phillips, E. Butts, Thomas & Schaugnessy, Michael. (1997). Álgebra con aplicaciones (2° Ed.) México. Ed. Harla Olvera, B. (1990) Aritmética y álgebra (1° Ed.) México. DGETI. Recuperado de : www.soko.com.ar/matematicas.htm

Evaluación

Criterios: 40% Trabajos y tareas. 60% Examen parcial

Instrumento: Rúbrica global que incluye: Rúbrica general de actividades de clase y tareas Rúbrica para evaluar el examen parcial

Porcentaje de aprobación a lograr: 70% Fecha de validación: 04 de agosto de 2015

Fecha de Vo.Bo de Servicios Docentes: 09 de Julio de 2015

EXAMEN

DIAGNÓSTICO

ÁLGEBRA FECHA:

SEMESTRE Y ESPECIALIDAD O GRUPO: ACIERTOS: ___ /10

ALUMNO: CALIFICACIÓN:

Lee cuidadosamente cada una de las instrucciones y contesta lo que se te pide. No olvides escribir todos los procedimientos que sean necesarios para llegar a cada solución. I.- ARITMÉTICA (5 puntos) Resuelve los siguientes retos:

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http://www.soko.com.ar/matematicas.htm

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a) Una persona sube a un ascensor desde la planta baja de un edificio (planta cero). El ascensor sube 5 pisos, después baja 3, sube 5, baja 8, sube 10, sube 5 y baja 6. ¿En qué piso está?

b) Si Alicia gasta $2, le quedaría el doble del dinero que si gastara $4. ¿Cuántos pesos tiene Alicia?

c) En una ciudad se registraron por 7 días a la misma hora las siguientes temperaturas en °C: 27°, 26°,20°,15°,7°, 0° y -3°. ¿En cuáles de los días se registraron las temperaturas que sobrepasaban los – 1° pero estaban por debajo de los 20°?

d) Doña Concha quiere preparar frijoles charros, para lo cual le encargó a su marido los siguientes ingredientes: 1000 gr. de frijol,

de

salchicha, 1 kg de jamon, ¼ kg de chorizo, 50 gr. de cilantro, 150 gr. de puré de tomate y .5 kg. de tocino. ¿A cuánto equivale la masa total de los ingredientes?. Expresa el resultado en kg.

e) Marco tiene de alambre, si para realizar una conexión eléctrica requiere

solo la mitad. ¿Qué fracción de metro le sobra?

II.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS (5 puntos) Resuelve las siguientes operaciones algebraicas:

a) 3a – 2a + a =

b) 2x2 - 5x – x2 – x =

c) (6x3y)(-2y) =

d) (5a) (2a + 7b – 5c)=

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e) – 55 a8 = 5 a3

RÚBRICA GLOBAL DE ÁLGEBRA DE 1° PARCIAL PONDERACIÓN ACTIVIDAD

5% 4% 2-3 % 0-1% Total

Examen diagnóstico

Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.

Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.


Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.

Investigación sobre conceptos relacionados con expresiones algebraicas.

Investigación completa. Se entrega en tiempo y forma. Letra legible y excelente ortografía.

Investigación completa. Se entrega en tiempo y forma. Letra poco legible y algunas faltas de ortografía.

Investigación incompleta (falta solo una pequeña parte del trabajo) con algunas faltas de ortografía.

La investigación carece de la información requerida.

Mapa mental sobre signos de operación, agrupación y relación.

Mapa mental completo y con buena presentación. Usa colores, flechas e imágenes asociadas al tema.

Mapa mental completo, pero usa mucho texto en lugar de colores, flechas e imágenes asociadas al tema.

Mapa mental incompleto y con buena presentación. Usa colores, flechas e imágenes.

Mapa mental incompleto. Usa información muy limitada. La actividad tiene presentación regular.

Ejercicios y problemas sobre evaluación numérica

Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.

Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.

Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.

Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible

Ejercicios y problemas sobre reducción de términos semejantes





Ejercicios y problemas sobre adición y sustracción de polinomios.





Ejercicios y problemas sobre producto y cociente de polinomios.





Ejercicios y problemas sobre leyes de los exponentes y de


Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas


Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y

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LA CALIDAD

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los radicales. de ortografía. letra poco legible

Actividad 46-60% 31-45% 16-30% - 0-15%

Examen parcial Más del 80% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.




TOTAL


5% 4% 3-2 % 1-0 % Total

Ejercicios sobre multiplicación de polinomios(monomios)





Exposiciones sobre división de polinomios (monomios)

La solución del problema se presenta de manera clara, completa y correcta. La expresión oral y escrita es fluida. Su escritura presenta excelente ortografía.

La solución del problema se presenta de manera poco clara y con la solución correcta. La expresión oral y escrita es poco fluida. Su escritura presenta de 1 a 3 errores ortográficos.

La solución del problema se presenta de manera poco clara y con la solución correcta. La expresión oral y escrita es confusa. Su escritura presenta de 4 a 6 errores ortográficos.

La solución del problema se presenta de manera poco clara y con la solución incorrecta. La expresión oral y escrita es confusa. Su escritura presenta más de 7 errores ortográficos.

Actividad 10 – 9 % 8 – 7% 6 – 4% 3 – 0% Ejercicios y problemas sobre productos notables.





Solución de ejercicios sobre un caso de factorización.

Trabajo en equipos de manera colaborativa, investigan sobre su ejercicio de exposición y elaboran el material adecuado como herramienta de apoyo para explicar procesos de solución. Letra legible y excelente ortografía.

Trabajo en equipos de manera colaborativa. Elaboran el material adecuado como herramienta de apoyo para explicar procesos de solución. Letra legible con pocos errores ortográficos.

Trabajo en equipos poco colaborativo. Uno de los integrantes elabora el material adecuado como herramienta de apoyo para explicar procesos de solución. Letra legible con algunos errores ortográficos.

Trabajo en equipos poco colaborativo. Uno de los integrantes elabora el material de apoyo de manera errónea. Letra legible con demasiados errores ortográficos.

Actividad 60 – 46% 45 – 31% 30 - 16% - 15 – 0%

Examen parcial Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.




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5% 4% 3-2 % 1-0 % Total

Ejercicios y problemas sobre ecuaciones lineales con una incógnita.





Actividad 15 –12 % 11 – 8% 7 – 4% 3 – 0% Ejercicios en parejas sobre la solución a ecuaciones cuadráticas.





Actividad 20 –16 % 15 – 11% 10 – 6% 5 – 0% Ejercicios y problemas sobre solución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.





Actividad 60 – 46% 45 – 31% 30 - 16% - 15 – 0%

Examen parcial Mas del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.




TOTAL

Lecturas del Primer Parcial

CAPITULO I

En el que se narran las divertidas circunstancias de mi encuentro con un singular viajero camino de la

ciudad de Samarra, en la Ruta de Bagdad. Qué hacía el viajero y cuáles eran sus palabras. ¡En el nombre

de Allah, Clemente y Misericordioso! Iba yo cierta vez al paso lento de mi camello por la Ruta de Bagdad

de vuelta de una excursión a la famosa ciudad de Samarra, a orillas del Tigres, cuando vi, sentado en una

piedra, a un viajero modestamente vestido que parecía estar descansando de las fatigas de algún viaje.

Me disponía a dirigir al desconocido el trivial salam de los caminantes, cuando, con gran sorpresa por mi

parte, vi que se levantaba y decía ceremoniosamente:

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-Un millón cuatrocientos veintitrés mil setecientos cuarenta y cinco…Se sentó en seguida y quedó en

silencio, con la cabeza apoyada en las manos, como si estuviera absorto en profundas meditaciones.

Me paré a cierta distancia y me quedé observándolo como si se tratara de un monumento histórico de los

tiempos legendarios.

Momentos después, el hombre se levantó de nuevo y, con voz pausada y clara, cantó otro número

igualmente fabuloso:

-Dos millones trescientos veintiún mil ochocientos sesenta y seis…Y así, varias veces, el raro viajero se

puso en pie y dijo en voz altaun número de varios millones, sentándose luego en la tosca piedradel

camino.

Sin poder refrenar mi curiosidad, me acerqué al desconocido, y, después de saludarlo en nombre de Allah

–con Él sean la oración y la gloria-, le pregunté el significado de aquellos números que solo podrían figurar

en cuentas gigantescas.-Forastero, respondió el Hombre que Calculaba, no censuro la curiosidad que te ha

llevado a perturbar mis cálculos y la serenidad de mis pensamientos. Y ya que supiste dirigirte a mí con

delicadeza y cortesía, voy a atender a tus deseos. Pero para ello necesito contarte antes la historia de mi

vida. Y relató lo siguiente, que por su interés voy a trascribir con toda fidelidad:

CAPITULO II

Donde Beremiz Samir, el Hombre que Calculaba, cuenta la historia de su vida. Cómo quedé informado de

los cálculos prodigiosos que realizaba y de cómo vinimos a convertirnos en compañeros de jornada.

-Me llamo Beremiz Samir, y nací en la pequeña aldea de Khoi, en Persia, a la sombra de la pirámide

inmensa formada por el monte Ararat. Siendo aún muy joven empecé a trabajar como pastor al servicio

de un rico señor de Khamat.

Todos los días, al amanecer, llevaba a los pastos el gran rebaño y me veía obligado a devolverlo a su redil

antes de caer la noche. Por miedo a perder alguna oveja extraviada y ser, por tal negligencia, severamente

castigado, las contaba varias veces al día.

Así fui adquiriendo poco a poco tal habilidad para contar que, a veces, de una ojeada contaba sin error

todo el rebaño. No contento con eso, pasé luego a ejercitarme contando los pájaros cuando volaban en

bandadas por el cielo.

Poco a poco fui volviéndome habilísimo en este arte. Al cabo de unos meses –gracias a nuevos y

constantes ejercicios contando hormigas y otros insectos- llegué a realizar la proeza increíble de contar

todas las abejas de un enjambre. Esta hazaña de calculador nada valdría, sin embargo, frente a muchas

otras que logré más tarde. Mi generoso amo poseía, en dos o tres distantes oasis, grandes plantaciones de

datileras, e, informado de mis habilidades matemáticas, me encargó dirigir la venta de sus frutos,

contados por mí en los racimos, uno a uno.

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Trabajé así al pie de las palmeras cerca de diez años. Contento con las ganancias que le procuré, mi

bondadoso patrón acaba de concederme cuatro meses de reposo y ahora voy a Bagdad pues quiero visitar

a unos parientes y admirar las bellas mezquitas y los suntuosos palacios de la famosa ciudad. Y, para no

perder el tiempo, me ejército durante el viaje contando los árboles que hay en esta región, las flores que

la embalsaman, y los pájaros que vuelan por el cielo entre nubes.

Y señalándome una vieja higuera que se erguía a poca distancia, prosiguió:

-Aquel árbol, por ejemplo, tiene doscientas ochenta y cuatro ramas. Sabiendo que cada rama tiene como

promedio, trescientos cuarenta y seis hojas, es fácil concluir que aquel árbol tiene un total de noventa y

ocho mil quinientos cuarenta y ocho hojas. ¿No cree, amigo mío?

-¡Maravilloso! –exclamé atónico. Es increíble que un hombre pueda contar, de una ojeada, todas las

ramas de un árbol y las flores de un jardín… Esta habilidad puede procurarle a cualquier persona inmensas

riquezas.

-¿Usted cree? –se asombró Beremiz. Jamás se me ocurrió pensar que contando los millones de hojas de

los árboles y los enjambres de abejas se pudiera ganar dinero. ¿A quién le puede interesar cuántas ramas

tiene un árbol o cuántos pájaros forman la bandada que cruza por el cielo?

-Su admirable habilidad –le expliqué- puede emplearse en veinte mil casos distintos. En una gran capital

como Constantinopla, o incluso en Bagdad, sería usted un auxiliar precioso para el Gobierno.

Podría calcular poblaciones, ejércitos y rebaños. Fácil le sería evaluar los recursos del país, el valor de las

cosechas, los impuestos, las mercaderías y todos los recursos del Estado. Le aseguro –por las relaciones

que tengo, pues soy bagdalí- que no le será difícil obtener algún puesto destacado junto al califa Al-

Motacén, nuestro amo y señor. Tal vez pueda llegar al cargo de visir-tesorero o desempeñar las funciones

de secretario de la Hacienda musulmana.

-Si es así en verdad, no lo dudo, respondió el calculador. Me voy a Bagdad.

Y sin más preámbulos se acomodó como pudo en mi camello –el único que llevábamos-, y nos pusimos a

caminar por el largo camino cara a la gloriosa ciudad.

Desde entonces, unidos por este encuentro casual en medio de la agreste ruta, nos hicimos compañeros y

amigos inseparables.

Beremiz era un hombre de genio alegre y comunicativo. Muy joven aún –pues no había cumplido todavía

los veintiséis años- estaba dotado de una inteligencia extraordinariamente viva y de notables aptitudes

para la ciencia de los números.

Formulaba a veces, sobre los acontecimientos más triviales de la vida, comparaciones inesperadas que

denotaban una gran agudeza matemática. Sabía también contar historias y narrar episodios que

ilustraban su conversación, ya de por sí atractiva y curiosa.

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A veces se quedaba en silencio durante varias horas; encerrado en un mutismo impenetrable, meditando

sobre cálculos prodigiosos. En esas ocasiones me esforzaba en no perturbarlo. Le dejaba tranquilo, para

que pudiera hacer, con los recursos de su privilegiada memoria, descubrimientos fascinantes en los

misteriosos arcanos de la

Matemática, la ciencia que los árabes tanto cultivaron y engrandecieron.

Lectura del Segundo Parcial

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PROYECTO GLOBAL

Algebra

Aplicación de las propiedades de polinomio

I. Organización 1. El proyecto deberá ser realizado en tercias

II. Problemática 1. Construir una red de calles (las más transitadas de su

localidad) y analizar el flujo de tráfico en cada una de las calles

III. Contenido 1. Índice 2. Breve reseña histórica de las calles que eligió 3. Fotografía de los cruces de la calle y de la red de calles que

eligió para el análisis 4. Construcción del sistema de ecuaciones de primer grado 5. Resolución del sistema de ecuaciones de primer grado 6. Análisis de los resultados obtenidos 7. Posibles soluciones al problema 8. Conclusiones 9. Numeración de páginas

IV. Entrega del proyecto 1. A consideración del profesor

V. Valor:

Nota importante: Cualquier duda con el desarrollo del proyecto se puede consultar con el docente

en horario conveniente.

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EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Instrucciones: El siguiente modelo de rúbrica está diseñado para evaluar un proyecto de investigación en el que se centra la atención en los atributos 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo, las cuales forman parte de la competencia genérica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados y 8. Participa y colabora en equipos diversos. El evaluador marcará con una “X” el nivel de logro alcanzado, el puntaje obtenido por cada aspecto puede ser de 1 hasta 4, seleccionando el nivel que considere más adecuado. La suma total más alta es de 40 puntos, al final de la rúbrica se proponen los rangos para calificar.

NOMBRE DEL EQUIPO GRUPO NOMBRE DEL PROYECTO:

ATRIBUTO ASPECTOS A

EVALUAR REFERENTE

NIVEL DE DOMINIO

Competente

4 puntos Satisfecho

3 puntos

Básico

2 puntos

Insuficiente

1 punto Puntaje.

4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Planteamiento

del problema

Identifica el

problema y

plantea

preguntas

pertinentes y

significativas.

Hipótesis

La hipótesis está

planteada con

claridad y

relacionada con

el objeto de

estudio.

La hipótesis

refleja posible

explicación de

lo que se quiere

estudiar.

8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos

Metodología

Elige una

Metodología

acorde con el

tipo de

investigación.

Desarrollo

Aplica

correctamente la

metodología,

utiliza los

instrumentos

diseñados para

el registro de

observaciones y

datos, y cumple

con los tiempos

establecidos.

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Anexo Matriz de evaluación por competencias

Avance de la competencia GEOMETRIA ANALITICA

Competencias genéricas Actividad No la ha

desarrollado

(0-2.4%)

Porcentaje de

avance logrado

(2.5-4%)

Desarrollada

(4.1-5%)

Total

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones

lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Competencias genéricas Actividad No la ha

desarrollado

(0- 20%)

Porcentaje de

avance logrado

(21-30%)

Desarrollada

(31 - 40%)

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Nombre y firma del Profesor Nombre y firma del Tutor

8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos.

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Antología Teórico-Práctica Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral V 0.0

Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda. Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE QUERETARO.

Área de Matemáticas.

Programa Educativo: Matemáticas Acuerdo_653_2013.

Materias: Álgebra, Geometría Analítica, Cálculo Integral.

Antología teórico-práctica.

Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín

Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.

Agosto 2015-Enero 2016.

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ÌNDICE

Contenido Presentación ........................................................................................................................................ 4

2).- Competencias a desarrollar: ..................................................................................................... 4

3).- Justificación ............................................................................................................................... 4

4).- Utilidad de la antología: ............................................................................................................ 5

ALGEBRA .............................................................................................................................................. 6

I.I Operaciones básicas con fracciones. ........................................................................................... 6

I.II Propiedades de los números reales. ......................................................................................... 8

I.III Lenguaje común al lenguaje algebraico ................................................................................... 9

I.IV Leyes de los exponentes ......................................................................................................... 13

I.V Operaciones fundamentales en algebra .................................................................................. 15

I.VI Productos Notables ................................................................................................................. 16

I.VII Factorización .......................................................................................................................... 17

I. VIII Ecuaciones 1er grado. .......................................................................................................... 19

II.Geometría Analítica ....................................................................................................................... 24

Sistema coordenado...................................................................................................................... 24

Sistema de Coordenadas Polares. ................................................................................................. 24

Teorema: Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares y viceversa. ......... 25

De cartesianas a polares ............................................................................................................... 27

Distancia entre 2 puntos. .............................................................................................................. 28

División de un segmento en una razón dada. ............................................................................... 29

Punto Medio. ................................................................................................................................. 30

Lugares geométricos ..................................................................................................................... 31

LA RECTA ....................................................................................................................................... 31

Cónicas .......................................................................................................................................... 32

La circunferencia. .......................................................................................................................... 32

Parabola ........................................................................................................................................ 33

Elipse ............................................................................................................................................. 35

Hiperbola ....................................................................................................................................... 36

III. CALCULO INTEGRAL ...................................................................................................................... 39

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III.I Funciones trigonométricas ...................................................................................................... 39

III.II Aproximaciones ...................................................................................................................... 41

III.III Anti derivada ......................................................................................................................... 42

Integral. ......................................................................................................................................... 43

Integrales impropias ...................................................................................................................... 44

Integración por partes ................................................................................................................... 45

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Presentación

1).- Objetivo: Auxiliar al estudiante a desarrollar las competencias genéricas y disciplinares dentro de las asignaturas de Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral que el docente impartirá dentro del semestre Agosto 2015- Enero 2016.

2).- Competencias a desarrollar:

Algebra, Geometría Analítica, Calculo Integral.

Competencias disciplinares

1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 4.- Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8. Interpreta tablas, gráficas mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Competencias genéricas

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

3).- Justificación

La presente antología se elaboró con la finalidad de auxiliar al estudiante a desarrollar de una manera efectiva las competencias genéricas y disciplinares de las materias de Algebra, Geometría Analítica y Calculo integral.

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El propósito de este documento es que el estudiante tenga a la mano definiciones, ejemplos, lecturas, gráficas y tablas que podrá consultar para la comprensión y entrega de tareas, trabajos y proyectos. Para hacer los ejercicios que van incluidos dentro de la planeación didáctica y de esta manera se tenga una mejora en el índice de aprobación. Matemáticas tiene como propósito ampliar el razonamiento del estudiante para tener una mejor toma de decisiones. Las matemáticas es la ciencia de los números y requiere de pensamiento abstracto, es más preciso su lenguaje a comparación de otros lenguajes. Con el fin de comprender lo que se escribe y lo que se lee, es necesario que los estudiantes conozcan el significado de las palabras empleadas en matemáticas en las actividades a realizar, por lo que resulta importante decir que los textos matemáticos que hemos incluido permite expresar procedimientos y resultados en la solución de problemas.

4).- Utilidad de la antología:

Muestre disposición para trabajar en forma individual y en equipo. Comunique sus ideas. Aporte información significativa a la discusión grupal. Tenga interés y compromiso en el proceso de aprendizaje y en ampliar su

campo de estudio. Realice búsqueda de información en las diferentes fuentes informativas que

hemos incluido. Realice la autoevaluación y evaluación del aprendizaje. Utilizando las tics.

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ALGEBRA La materia de algebra tiene como propósito fundamental que el estudiante desarrolle el razonamiento matemático, haga uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos. Razonar con números y variables es la introducción de lo que en realidad son las matemáticas las cuales nos servirán para hacer operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) de polinomios. Productos notables que no son más que una manera avanzada de multiplicar binomios al cuadrado y al cubo. Descomposición de una expresión matemática en la mínima expresión. Resolución de sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Toda esta información será el principio de las próximas asignaturas de matemáticas en los próximos semestres. Esperamos que sea una antología de gran utilidad para tu desarrollo dentro de tu estancia en la educación media superior.

I.I Operaciones básicas con fracciones.

Una de las dificultades encontradas en nuestros alumnos es la comprensión de las fracciones en sus operaciones básicas. Incluso hemos percibido esa misma dificultad en algunos de los padres de familia en el difícil momento de tener de apoyar al alumno al desarrollar sus deberes escolares. Hace tanto tiempo que vimos esto, que en la mayoría de los casos lo hemos olvidado, y por esa razón estoy dejando para ustedes un pequeño documento que espero sea de gran ayuda para todos. Suma de fracciones Suma de fracciones para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: Fracciones homogéneas 1, 3, 5 4 4 4 Fracciones heterogéneas 1, 2, 3 3 5 7 Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador. Las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferente denominador. Ejemplo de suma de fracciones homogéneas 1 + 3 = 4 2 + 3 = 5 5 5 5 7 7 7

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Son fracciones homogéneas ya que tienen el mismo denominador. En las fracciones homogéneas se suman los numeradores y el denominador queda igual. Suma de fracciones heterogéneas Comparación de fracciones utilizando las reglas de proporción. Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. Veamos: sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla: a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman) --- --- ----------- b d bd (se multiplican los denominadores) Ejemplo 1: El jefe de paco repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A paco le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total, ¿qué parte del trabajo tiene que realizar paco? 1 + 1 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7 --- --- -------------- -------- --- (se simplifica la fracción 4 3 (4) (3) 12 12 si es posible) Solución: paco tuvo que realizar 7/12 del trabajo. Ejemplo 2: a maría le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a maría? 1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11 --- --- -------------- --------- --- 3 5 15 15 15 A maría le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.

Resta de fracciones

En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar. Ejemplo 1: 5 _ 1 = 4 resta de fracciones homogéneas. 9 9 9 Ejemplo 2: 2 _ 1 = (2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1 resta de fracciones 3 2 6 6 6 heterogéneas

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Multiplicación de fracciones

En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma: Ejemplo: 2 x 3 = 6 = 1 3 4 12 2

División de fracciones

En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco. Ejemplo 1: 3 ÷ 4 = 3 x 3 = 9 5 3 5 x 4 20 Ejemplo 2: 3 ÷ 1 = 3 x 2 = 6 7 2 7 x 1 7 (Swokowski, 1998)

I.II Propiedades de los números reales.

Terminología Caso general Significado

La adición es conmutativa a + b = b + a El orden es intrascente cuando se suman dos

números.

La adición es asociativa a +(b+c) = (a+b) +c La agrupación es intrascendente cuando se suman tres cifras.

0 es la identidad aditiva a + 0 =a Sumar 0 a cualquier cantidad produce la misma cantidad.

1 es la identidad multiplicativa

a.1 = a Multiplicar cualquier número por 1 da el mismo número.

Inverso aditivo a + (-a) = 0 Sumar una cifra y su inverso da 0.

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Inverso multiplicativo a (1/a) = 1 Multiplicar un número diferente de 0 por su recíproco da 1

Multiplicación es distributiva sobre la adición

a (b+c) = ab +ac y (a+b)c = ac +bc

Multiplicar un número y la suma de dos cifras equivale a multiplicar cada cifra por el número y luego sumar los resultados.

Figura 1

Leyes de los signos

Multiplicación y división. 1) Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y a/b son positivos. 2) Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y a/b son negativos.

Suma y resta 3) Si a y b tienen el mismo signo, entonces se suman y se coloca el mismo

signo. 4) Si a y b tienen diferente signo, entonces se restan y se coloca el signo del

número mayor.

I.III Lenguaje común al lenguaje algebraico

Traducir una proposición verbal a una expresión algebraica o en una ecuación. Quizá la parte difícil al resolver un problema verbal sea transformarlo en una ecuación. Antes de representar los problemas como ecuaciones, se da algunos ejemplos o frases representadas como expresiones algebraicas. Un número incrementado en 8. Sea x = el número La expresión algebraica: x + 8 Dos veces un número. Sea x = el número La expresión algebraica: 2x Un noveno de un número. Sea x = el número La expresión algebraica: x/9 2 más que 3 veces un número. Sea x = el número La expresión algebraica: 3x + 2 4 menos que 6 veces un número. Sea x = el número La expresión algebraica: 6x - 4 12 veces la suma de un numero y 5. Sea x = el número La expresión algebraica: 12(x + 5)

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http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT

http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCION



El quíntuplo de un número menos tres. Sea x = el número La expresión algebraica: 5x – 3 Un entero impar Entonces 2x es siempre un número par La expresión algebraica: (2x + 1) es un entero impar Tres enteros consecutivos. Sea x = es el menor de los enteros Entonces (x + 1) y (x + 2) serán los otros dos. El exceso de 50 sobre el triplo de un número. Sea x = el número Entonces (50 – 3x) En estas expresiones algebraicas se utilizó la variable x, pero podríamos haber utilizado cualquier otra variable para representar la cantidad desconocida. Ejemplo. El radio, r, disminuido en 9 centímetros. Solución: r – 9 5 menos que dos veces la distancia, d. Solución: 2d – 5 7 veces un número, n, aumentado en 8. Solución: 7n + 8 El costo por adquirir "y" camisas a $ 6 cada una. Solución: 4y dólares La distancia recorrida en t horas a 65 Km por hora. Solución: 65t El número de centavos en n monedas de 5 centavos. Solución: 5n Una comisión del 7% en la venta de z dólares. Solución: 0.07z ((7% se escribe como 0.07 en forma decimal) Cuando se nos pide determinar un porcentaje, siempre estanos determinando el porcentaje de alguna cantidad. Por lo tanto cuando se lista un porcentaje, siempre se 8% de un número. Solución: 0.08b El costo de un artículo incrementado en un 6% impuesto. Solución: b + 0.06b El costo de un artículo reducido en 25%. Solución: b – 0.25b A veces en un problema hay dos números que se relacionan entre sí. Con frecuencia representamos uno de ellos con una variable y el otro con una expresión que contiene esa variable. Por lo general representamos con la variable la descripción menos complicada y escribimos la segunda (la expresión más compleja) en términos de la variable. En los ejemplos siguientes utilizaremos x para la variable. La edad de Juan ahora y la edad de Juan dentro de 5 años. Sea x = un número (edad de Juan) Segundo número: x + 5 Un número es 8 veces el otro. Sea x = un número

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Segundo número: 8x Un número es 5 menos que el otro Sea x = un número Segundo número: x - 5 Un número y el número aumentado en 15%. Sea x = un número Segundo número: x + 0.15%x Un número y el número disminuido en 10%. Sea x = un número Segundo número: x - 0.10%x La suma de dos números es 22. Sea x = un número Una tabla de 15 centímetros cortada en dos pedazos Sea x = un número Segundo número: 15 - x $ 70 000 compartidos por dos personas Sea x = un número Segundo número: 70 000 – x La velocidad del segundo tren es 1.9 veces la velocidad del primero. La velocidad del primer tren = x Velocidad del segundo tren = 1.9x Carlos y su hermano comparten $ 70. La cantidad de Carlos = x La cantidad que tiene su hermano = 70 - x A Marcelo le lleva tres horas más que a Karen terminar la tarea. Karen = x Marcelo = x + 3 Jenny tiene $5 más que dos veces la cantidad de dinero que tiene Luis. Luis = x Jenny = 2x + 5 La longitud de un rectángulo es 7 unidades menos que 3 veces su ancho. Ancho = x Longitud = 3x – 7 La palabra es en un problema verbal con frecuencia significa es igual a y se representa por el signo igual, =. Ejemplos: 5 menos que tres veces un número es 19 Sea x = el número La expresión algebraica: 3x – 5 = 19 Sea x = el número La expresión algebraica: x – 4 = 2x + 5 El producto de dos enteros consecutivos es 70. Sea x = primer entero, (x +1) = segundo entero La expresión algebraica: x(x +1) = 70 Un número incrementado en su 20% es 85. Sea x = el número La expresión algebraica: x + 0.20x = 85

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http://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat2.shtml#TEORICO

http://www.monografias.com/trabajos16/marx-y-dinero/marx-y-dinero.shtml



Un número reducido en un 15% es 70. Sea x = el número La expresión algebraica: x - 0.15x = 70 La suma de un número y el número incrementado en un 6% es 478. Sea x = el número Numero incrementado en 6% = (x + 0.06x) La expresión algebraica: x + (x + 0.06x) = 478 El costo por rentar un VCR durante x días a 18% por día es $120. Sea x = los días La expresión algebraica: 18x = 120 Procedimiento para resolver problemas de aplicación 1. Entienda el problema. Identifique la cantidad o cantidades que se pide determinar. 2. Traduzca el problema a lenguaje matemático (exprese el problema como una ecuación) a. Elija una variable para representar una cantidad, y escriba exactamente lo que representa. Represente cualquier otra cantidad a determinar en términos de esta variable. b. Utilice la información del paso a., escriba una ecuación que represente el problema verbal. 4. Compruebe la respuesta (utilice el texto original del problema). 5. Responda la pregunta que se hizo. Ejemplos de ángulos complementarios y suplementarios. Si el ángulo A y el ángulo B son complementarios y el ángulo B es 42º mayor que el ángulo A, determine las medidas de los ángulos. Solución: La suma de las medidas de los ángulos complementarios = 90º Sea x = medida del ángulo A. Entonces x + 42 = medida del ángulo B. Medida del ángulo A + medida del ángulo B = 90º X + (x +42) = 90 X + x +42 = 90 2x +42 = 90 2x = 90 - 42 2x = 48 X = 24 La medida del ángulo A = 24º La medida del ángulo B = x + 42º B = 24º + 42º B = 66º La suma de las medidas de los dos ángulos = 90º Ángulo A + ángulo B = 90º 24º +66º = 90º Si los ángulos C y D son suplementarios y la medida de los ángulos C es 6º mayor que el doble de la medida del ángulo D, determine las medidas de los ángulos C y D. La suma de las medidas de los ángulos suplementarios = 180º Entonces 2x + 6 = medida del ángulo C. Medida del ángulo C + medida del ángulo D = 180º (2x + 6) + x = 180

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2x + 6 + x = 180 3x = 180 – 6 3x = 174 x = 58 La medida del ángulo D = 58º La medida del ángulo C = 2(58º) + 6º C = 116º +6º C = 122º La suma de las medidas de los dos ángulos = 180º Ángulo C + ángulo D = 180º 122º +58º = 90º

Figura 2

I.IV Leyes de los exponentes

Ley Ejemplo

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x1 = x 61 = 6

x0 = 1 70 = 1

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

Figura 3 Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo: verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye). La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5 Así que x2x3 = x (2+3) = x5 La ley que dice que xm/xn = xm-n

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Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces. Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2 (Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.) Esta ley también te muestra por qué x0=1: Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1 La ley que dice que (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx) (xxx) (xxx) (xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12 Así que (x3)4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo: Ejemplo: (xy)3 = (xy) (xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3 La ley que dice que (x/y)n = xn/yn

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

I.V Operaciones fundamentales en algebra

Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos. 3x, -5c, xy/xy. Binomio: Es un polinomio que consta de 2 términos. Trinomio: Es un polinomio que consta de 3 términos. Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de más de un término como: a + b, x+y+z, x-y-z+w. Suma y Resta de polinomios (Términos semejantes) Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, cuando tienen misma letra mismo exponente.

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Ejemplo: 3x +3x+2x -5x Sumar los siguientes polinomios: 2x+3x 2 -3x +2x2 = -x +x2

2x2 +2x3-5x2-5x3 = -3x2 - 3x3

Multiplicación de polinomios Es una operación que tiene por objeto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto, que sea respecto al multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. El multiplicando y el multiplicador son factores del producto. Ejemplo: 3x (4x + 5x -3y+ 8x2y2)

Regla importante: Se aplica la ley distributiva de la multiplicación:

a) Se multiplican coeficientes y a continuación de cada producto se escriben las

letras en orden alfabético; 12x + 15x -9xy + 24xy

b) Colocándole a cada uno la suma de los exponentes que le corresponda a

cada literal. 12x 2+ 15x2 -9xy + 24x3y2

c) El signo de la multiplicación será dado por leyes de los signos. División de polinomios Dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor cociente. Ejemplo: 6x3/3x Regla: Se dividen los coeficientes. 6/3 =2 Después se coloca la variable. x Por último se restan los exponentes. 3-1 = 2 Se escribe: 2x2

I.VI Productos Notables

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Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son: Binomio de Suma al Cuadrado: El Cuadrado del primer Término, más el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio Diferencia al Cuadrado: El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término. (a + b) (a - b) = a2 - b2 Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, más el producto de termino común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos no comunes. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término. (a + b) 3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b) Binomio Diferencia al Cubo: El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término , menos el cubo del segundo Término. (a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

I.VII Factorización

Es descomponer en factores a una expresión algebraica. Tipos de factorización. Factor común: Es cuando la expresión se puede descomponer y en todos los términos existe un factor igual. Ejemplo: ax +ay-az Regla: Se identifica el factor común en todos los términos. a

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Después se divide a cada termino entre el factor común. 𝑎𝑥

𝑎+

ay

𝑎+

𝑎𝑧

𝑎

Por último se ordena y queda = a (x +y +z) Trinomio cuadrado perfecto: Se obtiene raíz cuadrada del primero y tercer término, se coloca el signo del segundo término y se colocan e resultado de las raíces entre paréntesis. Ejemplo: a2+2ab+b2

√𝑎2= 𝑎 √𝑏2=

𝑏 = (a+b) (a+b)

Factorizar diferencia de cuadrados

Se saca raíz en cada uno de los cuadrados para obtener los factores y se coloca un signo positivo y uno negativo. Ejemplo:

x2 – y2 =√𝑥2= 𝑥 √𝑦2=

𝑦

Se toman las raíces (x + y)(x – y) obteniendo asi el producto de binomios conjugados Suma de dos Cubos: Se saca raíz cubica a cada uno de los dos términos cúbicos, para obtener un binomio (la suma de dos números), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) Diferencia de Cubos Se saca raíz cubica a cada uno de los dos términos cúbicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos números), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) Trinomio Suma al Cuadrado o Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero. (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ac) Trinomio Suma al Cubo (a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b). (b +c). (a + c)

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I. VIII Ecuaciones 1er grado.

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2

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x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28. Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos

Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones. Veamos el siguiente ejemplo:

Primero quitamos los paréntesis.

Reducimos términos semejantes.

Ahora quitamos los corchetes.

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

Nuevamente reducimos términos semejantes

Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos.

Figura 4 Resolución de problemas mediante ecuaciones

Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer). Veamos un problema característico: Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno? Digamos que las edades de los tres son:

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x edad de Pedro y edad de Álvaro z edad de María Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro): y = x + 3 También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María): z = x – 7 Ahora tenemos que: Edad de Pedro: x Edad de Álvaro: x +3 Edad de María: x – 7 La suma de las tres edades es 38: x + x +3 + x – 7 = 38 Resolviendo está última ecuación tendremos: x = 14 (esta es la edad de Pedro) Finalmente: Edad de Pedro: x = 14 años Edad de Álvaro: x + 3 = 17 años Edad de María: x – 7 = 7 años Método de reducción para ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas

En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas, y deben de tener diferente signo para que puedan ser eliminadas cualquiera de las dos variables. Ejemplo:

5𝑥 + 6𝑦 = 20 Ecuación 1 (4 x– 3y = -23) 2 Ecuación 2

1) Primero se multiplica por 2 la segunda ecuación, quedando de la siguiente manera: 8x – 6y = -46.

2) Se vuelven a colocar las ecuaciones.

5𝑥 + 6𝑦 = 20 Ecuación 1 8x – 6y = -46. Ecuación 2

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3) Se realiza la suma de términos. 13x =-26 X = -26/13 = -2

4) Después se sustituye el valor de x en cualquiera de las 2 ecuaciones para obtener el valor de y.

5 (-2) + 6y = 20 -10 + 6y = 20

6y = 20+10 Y = 30/6 = 5

Método por determinantes para ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas

Este método consiste en restar el producto de los coeficientes ab al producto cd. Tendremos la expresión ab – cd. Se escribe de la siguiente manera obteniendo así una determinante.

ab – cd = |𝑎 𝑑𝑐 𝑏

|

Ejemplo:

5𝑥 + 6𝑦 = 20 Ecuación 1 4 x– 3y = -23 Ecuación 2

1) Se colocan los coeficientes dentro de la determinante, haciendo una fracción de determinantes. 𝑥 𝑦

|5 64 −3

|

|5 64 −3

|

2) Se sustituyen los valores de la igualdad en la variable que se quiere obtener. x

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|20 6

−23 −3| = −60 − (−138) = 78

|5 64 −3

| = -15 -24 = -39

3) Para obtener el valor de x se dividen los valores 78/-39 = -2 4) Por último se hace el mismo procedimiento para y

|5 204 −23

| = −115 − 80 = −195

|5 64 −3

|= -39

5) Para obtener el valor de y se dividen los valores -195/-39 = 5

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II.Geometría Analítica

Sistema coordenado

Hasta ahora para graficar puntos en el plano siempre se ha utilizado un sistema de coordenadas rectangulares. En un sistema de coordenadas rectangulares un punto en el plano se representa mediante un par ordenado (x, y).Figura 1.

Sistema de Coordenadas Polares.

En un sistema de coordenadas polares, se selecciona un punto, llamado polo y luego un rayo con vértice en el polo, llamado eje polar. Figura 2.

Al comparar los 2 sistemas de coordenadas se ve que el origen y eje x de las coordenadas rectangulares coinciden con el polo y el eje polar de las coordenadas polares respectivamente.

Antes de hacer conversión de coordenadas recuerda que el origen de las coordenadas rectangulares es el polo de las coordenadas polares, y que el eje positivo x de las coordenadas rectangulares es el eje polar de las coordenadas polares.

Figura 2

Figura 1

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Teorema: Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares y viceversa.

Si P es un punto con coordenadas polares (r,0)las coordenadas rectangulares (x,y)de P están dadas por:

Demostración. Suponga que P tiene las coordenadas polares (r,0). Se buscan las coordenadas rectangulares (x,y)de P. Figura 5.

Si r=0 entonces independientemente de Ɵ, el punto P corresponde al polo, para el que las coordenadas rectangulares son (0,0). La fórmula es válida para r=0.

Si r>0 el punto P está sobre el lado terminal de Ɵ y r = d (0,P)-√𝑥2 + 𝑦2 puesto que:

cos 𝜃 =𝑥

𝑟 sen 𝜃 =

𝑦

𝑟

Se tiene:

Ejemplo de coordenadas rectangulares.

El semestre anterior en la asignatura de Geometría y Trigonometría viste en clase el tema de sistemas de coordenadas, vamos a recordar cómo se grafica un punto.

1. Graficar el punto (4,3)

Lo primero que debemos ubicar son los ejes, el eje x esta siempre horizontal y el eje y está siempre vertical. Del punto dado tomamos el primer valor y lo ubicamos en el eje de x, ahora ubicamos el segundo valor en el eje y, lo último que debes

x=r cos Ɵ y= r sen Ɵ

Figura 3

x=r cos Ɵ y= r sen Ɵ

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hacer es ver donde se cruzan o intersectan los puntos que identificaste anteriormente y tendrás la coordenada del punto (4,3).

Figura 4

Ejemplo de coordenadas polares.

1. Graficar el punto (3,5𝜋

3) usando coordenadas polares.

Lo primero que debemos hacer es identificar los datos que nos están dando, puedes observar 2 valores en el punto (3,5𝜋

3) en donde el 3 es el radio vector

y 5𝜋

3 es el ángulo polar. Recuerda que el ángulo se mide en sentido opuesto

a las manecillas del reloj. Veamos cómo se representa en la Figura 4.

Figura 5

Ahora te preguntaras como calculamos el valor de 5𝜋

3, recuerda que el valor de π

es de 180°; entonces si multiplicamos el valor de π por 5

3 nos dará como resultado

300° y por último los ubicamos en nuestro plano cartesiano. Por lo anterior queda un radio vector de longitud 3 con un ángulo polar de 300°.

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Ejemplo de conversión de coordenadas polares a rectangulares y viceversa.

De polares a Rectangulares

Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:

1. Convertir la coordenada polar (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?

Figura 6

Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98

Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

De Rectangulares a Polares

De cartesianas a polares

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

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http://www.disfrutalasmatematicas.com/seno-coseno-tangente.html




Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?

Figura 7

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):

r2 = 122 + 52

r = √ (122 + 52)

r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

tan( θ ) = 5 / 12

θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ)

son:

r = √ (x2 + y2)

θ = atan( y / x )

Distancia entre 2 puntos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

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Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

División de un segmento en una razón dada.

Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) los extremos del segmento AB, si se desea encontrar el punto P (xr, yr) que divida al segmento de recta en una razón dada r,

Para el valor de la abscisa (x) Para el valor de la ordenada (y)

𝑟 =𝑥𝑟 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥𝑟 𝑟 =

𝑦𝑟 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦𝑟

Por lo tanto el punto (𝑥𝑟,𝑦𝑟), que divide a un segmento en una razón dada r se determina:

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Así las formulas de punto medio son:

Ejemplo:

Figura 8

Punto Medio.

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Las coordenadas del punto medio es igual a la suma de las ordenadas (Y) de cada extremo y divididos entre 2 y la suma de las abscisas (X) de cada extremo y divididos entre 2.

𝑋𝑚 =𝑥1 + 𝑥2

2

𝑌𝑚 =𝑦1 + 𝑦2

2

Ejemplo:

Encontrar el punto medio del segmento formado por las coordenadas P1(-4,-4) y P2(2,2).

Encontramos primero 𝑋𝑚

𝑋𝑚 =𝑥1 + 𝑥2

2

𝑋𝑚 =−4 + 2

2

𝑋𝑚 =−2

2 = −1

𝑌𝑚 =𝑦1 + 𝑦2

2

𝑌𝑚 =−4 + 2

2

𝑌𝑚 =−2

2 = −1

Por lo tanto 𝑃𝑚 = (−1, −1)

Lugares geométricos

LA RECTA

Se llama línea recta al lugar geométrico de todos los puntos contenidos en el plano tales que, tomados dos puntos cualesquiera P ( 1, 1 ) y Q (2, 2 ) de la recta.

Ecuación general de la recta

𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶 = 0

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Ecuación de la forma punto pendiente

𝑌 − 𝑌1 = 𝑚(𝑋 − 𝑋1)

La pendiente de una recta es la inclinación que tiene la recta con respecto al eje X positivo, el valor de la pendiente m , es siempre constante. La pendiente de la recta se denota por m.

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Ejemplo.

Encuentra la pendiente que pasa por los puntos A(3,2) y B(-2,-1)

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚 =−1 − 2

−2 − 3 =

−3

−5=

3

5

Como el signo de la pendiente es positivo (+) indica que el ángulo de inclinación esta en el primer cuadrante.

El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma la recta con el eje coordenado X en su dirección positiva, y se mide a partir del eje X en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj.

𝛼 = tan−1 𝑚

Ejemplo.

Encuentra el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A(3,2) y B(-2,-1).

𝛼 = tan−13

5 = 30°57′

Cónicas

La circunferencia.

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Es el lugar geométrico de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Ecuación de una circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 (𝑥 − 𝐻)2 + (𝑦 − 𝐾)2 = 𝑅2

Con centro en el origen Con centro fuera del origen

y

P(x,y)

x

figura 9

Ejemplo.

Obtener la ecuación de la circunferencia de centro c(-3,2) y radio = 5.

(𝑥 − 𝐻)2 + (𝑦 − 𝐾)2 = 𝑅2

(𝑥 − (−3))2 + (𝑦 − 2)2 = 52

(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 25 //Forma ordinaria

Desarrollamos para obtener la forma general.

(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 25

𝑥2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 25 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0// Forma general

Parabola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta denominada directriz. Si la parábola tiene concavidad positiva la función es decreciente hasta alcanzar un valor mínimo para luego ser creciente. Si tiene concavidad negativa la función es creciente hasta alcanzar un valor máximo para luego ser decreciente. El punto donde se encuentra el mínimo o máximo se denomina vértice de la parábola. Observa las siguientes figuras con vértice se encuentra en el origen:

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Figura 10

Figura 11

Ejemplo.

La ecuación de una parábola es y2 = 16x, realiza la gráfica y obtén el valor de cada uno de los elementos. Como la incógnita que está elevada al cuadrado es “y” se trata de una parábola horizontal con vértice en el origen. Realizando una analogía con la expresión en su forma ordinaria tenemos:

A partir del vértice (0, 0) consideramos 4 unidades a la derecha y 4 unidades a la izquierda, entonces las coordenadas del foco son F( 4, 0) y la ecuación de la directriz D = es x = - 4. El valor del lado recto es LR = 4p

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LR = 4(4) = 16.

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es una constante.

Ejemplo.

Obtén la ecuación de la elipse con vértices en (± 5, 0) focos en (± 3, 0)

Figura 12

El valor de a es la distancia del centro a uno de los vértices por lo que a = 5. El valor de c es la distancia del centro a uno de los focos c = 3.

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Hiperbola

Se define como el lugar geométrico formado por puntos para los cuales la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

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Figura 13

Ejemplo.

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III. CALCULO INTEGRAL

III.I Funciones trigonométricas

Una función trigonométrica, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno, la cosecante; coseno, la secante, tangente y la cotangente.

Función seno

Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Figura 1

Función coseno

La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

Figura 2

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Función tangente:

Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

Figura 3

• La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

• La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

• La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

• Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.

• Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).

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• Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.

• Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

III.II Aproximaciones

Los diferenciales nos dan una aproximación a estos resultados de raíces de números próximos a aquellos que si tienen una raíz exacta, y esta aproximación es más exacta cada vez que las diferencias sean más pequeñas.

Para cualquier radical se tiene que y= √𝑥𝑛 y = x 1/n, y dependiendo del valor de

“n” será el valor del diferencial en cada caso.

Ejemplos:

Radical Forma exponencial

Derivada Diferencial

y= √𝑥𝑛 y = x 1/2 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2𝑥 -1/2 𝑑𝑦 =

𝑑𝑥

2 √𝑥

y= √𝑥3 y = x 1/3 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

3𝑥 -2/3 𝑑𝑦 =

𝑑𝑥

3 √𝑥 2

y= √𝑥4 y = x 1/4 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

4𝑥 -1/4 𝑑𝑦 =

𝑑𝑥

4 √𝑥4 3

y= √𝑥𝑛 y = x 1/n 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑛𝑥 -1/n 𝑑𝑦 =

𝑑𝑥

𝑛 √𝑥𝑛 n-1

Figura 4

Ejemplo:

√9.01 =?

Se usará la expresión: y= √𝑥𝑛

+ 𝑑𝑥 = 𝑦 + 𝑑𝑦

La raíz más próxima es del número entero 9; y= √9 = 3.

El cálculo de dx es partir de x + dx = 9.01. Se obtiene despejando;

dx = 9.01 –x, ya se conoce que x = 9.

Se tiene dx = 9.01 – 9 = .01 = 1/100.

Para calcular dy se tiene 𝑑𝑦 =𝑑𝑥

2 √𝑥 = 1/100

2 √9 = 1/600.

y= √𝑥𝑛

+ 𝑑𝑥 = 𝑦 + 𝑑𝑦 y= √9.01 = 3 +1

600=

1801

600= 3.0017

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III.III Anti derivada

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. Por ejemplo: Si f(x) = 3x2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra anti derivada de f(x). La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración. La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. Área bajo la curva Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a, b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:

Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a, b] en n-subintervalos iguales de longitud Delta.gif (151 bytes) x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.

En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.

Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de la n rectángulos es entonces:

∑[𝑓(𝑥 ∗)(∆𝑥)

𝑛

𝑘=1

A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann.

Definimos el área bajo la curva como:

Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.

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Integral.

Se define la integral de la función f(x) entre los límites a y b con la fórmula utilizada para calcular el área bajo la curva f(x) y se representa como:

Todo factor constante se puede sacar fuera del signo de la integral:

La integral de una suma (o resta) de funciones es la suma (o resta) de las integrales de cada función por separado:

Al cambiar de orden los límites de integración, cambiará el signo de la integral:

Dados tres números a, b y c, se cumple que:

Si en el intervalo [a, b] las funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≤ g(x), entonces:

Ejemplo.

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Integrales impropias

Cuando en una integral alguno de los límites (o ambos) es •}∞, se le llama integral impropia.

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Integración por partes

Este método se utiliza cuando en el integrando hay productos de funciones que no pueden reducirse a un cambio de variable. Recordemos que para derivar un producto de funciones se usa la regla:

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Bibliografía

- Baldor Aurelio. Algebra. México (2004); 20ª. Edición. Publicaciones cultural - Earl W. Shokowski y Jeffery A. Cole. Algebra y Trigonometría con Geometría

Analítica. México (2008); 12ª. Edición. Ed. Thomson. - Louis Leithold. El cálculo. México (1998).7ª. Edición. - J.Sullivan.Algebra y Trigonometría. México (2006).12ª edición .Ed Pearson. - Joaquín Ruiz Basto. Geometría Analítica. México (2014).Ed. Patria. - Fausto Cervantes Ortiz. Métodos Operativos de Cálculo integral

Mèxico(2008)Ed.UACM.

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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA

Pág. 27 Ing. Paola Carina Prado Olvera

TALLER LUDICO DE MATEMATICAS

ING. PAOLA CARINA PRADO OLVERA

CURP: PAOP780807MQTRLL07

Jugando a aprender Algebra

CECYTEQ, Plantel Corregidora No. 6

Querétaro Arteaga

Correo: [email protected]

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Índice

Introducción……………………………………………………………………. 2 - 4

Propósito………………….……………………………………………………...4 – 8

Marco Curricular Común…………………………………………….………..9

Estrategia didáctica…………………………………………………………....9 – 10

Lenguaje algebraico y Crucigrama………………………………………..10 –12

Operaciones fundamentales y Domino………………………………..…..13 –16

Productos notables, Factorización y Laberinto……………………….…..17 – 22

Ecuaciones de 1er y 2do grado y Maratón…………………………….. 23 - 30

Referencia de fuentes consultadas…………………………………………..31

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INTRODUCCIÓN

En un futuro si el docente comprometido con su entorno llegara a aplicar las técnicas de enseñanza-aprendizaje siguiendo los lineamentos de la reforma podremos hacer una sociedad mejor. Considero que las matemáticas es una poderosa herramienta para el pensamiento analítico esto va de la mano actualmente con las exigencias de la globalización que requieren cambios de fondo en los planes y programas de estudio en algebra, para formar jóvenes con mayores posibilidades de éxito y capaces de incorporarse al desarrollo social y productivo de su región, al generar en su transformación la incorporación de habilidades y competencias para la vida haciendo la adquisición de estas de manera lúdica. Estos han sido los principales motivos de la creación de la RIEMS. Ésta contempla elementos importantes donde los docentes debemos hacer participar a los alumnos en el aprendizaje de los principios generales de las matemáticas conforme aprenden aritmética y dicen que con frecuencia se ha aislado la aritmética de otra ideas matemáticas afines, lo cual aísla a los alumnos con respecto a eficaces maneras de pensar en las matemáticas y les puede dificultar el aprendizaje del álgebra más adelante.

Lo llame jugando a aprender Algebra pues considero que muchas veces esta opción que muy pocas veces se retoma hace que el estudiante de bachillerato tenga bien fundamentados estos conocimientos y lo más importante que no los olvide. Pues el día a día se torna más tecnológico, el razonamiento y solución de problemas que exige el algebra son requeridos en diversos ámbitos del trabajo ya que el Marco Curricular Común se establece para llevar a las estructuras curriculares actuales un paso más adelante, de manera que contribuyan a formar personas con capacidad de enfrentar las circunstancias del mundo actual.También vemos evidencias de la creciente importancia del álgebra en las nuevas normas y evaluaciones. Las evaluaciones nacionales y estatales incluyen habilidades algebraicas desde el segundo año de la secundaria y muchos exámenes finales de la enseñanza media evalúan ahora el dominio del álgebra.

Muchos alumnos que estudian el álgebra en la enseñanza media no ven los procedimientos que se utilizan para resolver ecuaciones o simplificar expresiones como algo basado en las mismas propiedades que ya usaron en los cálculos aritméticos es por eso que de manera lúdica podría quedarse este aprendizaje significativo en el estudiante de bachillerato.

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Actualmente la educación media superior ha sido cuestionada por sus limitaciones para cubrir con equidad y calidad de la demanda educativa; por los procesos de globalización y liberación de la economía, por el desarrollo acelerado de las comunicaciones, por los altos índices de deserción, falta de trabajo, delincuencia son unas de las causas por lo que se decidió reformar la educación en el nivel medio superior llegando a la Reforma Integral de la Educación Media

Superior para atacar las deficiencias existentes en este nivel de enseñanza importante para el bachiller, que pretende egresar a un nivel superior o al ámbito laboral de ahí la creación del Marco Curricular Común, pues se requiere que los estudiantes de bachiller cuenten con las competencias idóneas para su desarrollo social y laboral.

Es por ello que en el área de matemáticas 1 para lograr el desarrollo de las competencias genéricas y disciplinares que requiere que el alumnos tenga al término de su bachillerato se logren efectivamente considere que la estrategia “Jugando a aprender Algebra” es un método efectivo para lograr en el alumno las

competencias y aprendizajes significativos pues a través del juego pueden desarrollar estas competencias genéricas y disciplinares.

De acuerdo a los ejes que maneja la RIEMS, un mecanismo para fortalecer el desempeño académico de los alumnos da lugar a mi estrategia de que el álgebra se puede aprender jugando.

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PRESENTACION DEL CURSO

Asignatura Profesor Elementos

Algebra Ing. Paola Carina Prado Olvera

Se expresa y comunica, piensa crítica y reflexivamente

Actitudinal: responsabilidad, compromiso, expresión escrita de manera correcta, respeto, tolerancia, trabajo colaborativo e individual, creatividad

REPRESENTACION TEMATICA DE LA MATERIA

PROPOSITO

El propósito del programa de estudios de la materia de Algebra (matemáticas 1) es que el alumno pueda expresar, comunicar, pensar crítica y reflexivamente, los conocimientos propios de la asignatura de tal manera que esta red cognoscitiva que adquiera a través de un aprendizaje significativo lúdico ayude a culminar los matemáticas consecuentes que el alumno deberá cursar durante su estancia en la preparatoria y su interrelación con las competencias genéricas y disciplinares referidas en el marco curricular común (MCC) del sistema nacional de bachillerato (SNB) producto de la reforma integral, a partir de su despliegue en las actividades didácticas propuestas en el diseño de estrategias educativas centradas en el aprendizaje.

Con Algebra pretendo guiar, acompañar y facilitar el proceso de enseñanza

aprendizaje ya que en él se establecen los referentes teóricos y metodológicos para la planeación de prácticas instruccionales que estimulen vigorosamente los aprendizajes significativos.

Algebra

Productos Notables y

factorización

Operaciones básicas

algebraicas (suma, resta, multiplicación

y división)

Representación algebraica de

expresiones en lenguaje común

Ecuaciones lineales y

cuadráticas

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Dada mi experiencia como docente se observa que en el área de matemáticas los índices de reprobación y siguen siendo altos pues a pesar de los esfuerzos que se han hecho los estudiantes traen deficiencias desde aritmética y porque no mencionarlo muchas veces la misma sociedad y la familia hace que le tengamos pavor a esta materia por las experiencias que padres, amigos o compañeros dicen de las matemáticas, otro factor importante que influye en el aprendizaje de las matemáticas es que no todos los maestros tienen una preparación matemática y éstos lo único que hacen es transmitir al alumno su incapacidad.

Considerando el contexto en donde se desenvuelven los estudiantes de esta preparatoria y dado que el ser niño o regresar a esta etapa donde tu vida no está llena de problemas solo de jugar y aprender es una estrategia de aprendizaje excelente para lograr en el estudiante estos aprendizajes que posteriormente les serán útiles cuando se desarrollen en el entorno laboral pues la habilidad que se adquiere a través de la matemáticas facilita que la toma de decisiones sea más efectiva.

A continuación se presentan se presentan las competencias genéricas y disciplinares a utilizar en la asignatura de Algebra:

COMPETENCIAS GENERICAS

ATRIBUTOS PRODUCTOS

4.- Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medio, códigos y herramientas apropiadas.

1.Saber leer y comprender las instrucciones 2.Interpreta los conceptos 3.Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo

Mapa conceptual Ejercicios resueltos Cuadro Sinóptico Formulario

AMBITO DE APLICACION

Salón de clase

5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a partir de métodos establecidos.

1.Saber leer y comprender las instrucciones 2.Analizar la información

Crucigrama Laberinto Domino Maratón

AMBITO DE APLICACION

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3.Organiza la información 4.Verifica la información 5.Comprende los conceptos 6.Aplica los conceptos 7.Considera diversos métodos o enfoques 8.Resuelve el problema 9.Interpreta los resultados

Salón de clase

COMPETENCIAS DISCIPLINARES

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Estas competencias integran conocimientos, habilidades y actitudes por medio de las cuales el docente crea ambientes de aprendizaje para que el alumno a través de las competencias genéricas se apropie del conocimiento; las competencias del docente se promueven en forma transversal y adecuadas al contexto del trabajo del facilitador y deben ser trascendentales para el desarrollo y actualización de los mediadores, por lo que, para la formación de egresados del bachillerato estos deben ser capaces de comprender su realidad y el facilitador debe utilizar los instrumentos necesarios para que adquieran las herramientas para poder actuar a lo largo de su vida. Por lo que el perfil del docente y el perfil del egresado deben ser congruentes el uno con el otro, esto quiere decir que las competencias deben mantener una relación de una a varias o viceversa, pero no necesariamente ser simétricas ni contemplar los mismos elementos.

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La tendencia de la enseñanza de las ciencias exactas pretende incluir conocimientos que sean utilizados por los alumnos para resolver problemas cotidianos. En el área de las Matemáticas se propone el trabajo colaborativo como

una herramienta para construir el conocimiento y promover el desarrollo de

habilidades prácticas.

La metodología aplicada lleva de la mano al docente en todo momento ya que se basa en una planeación bien estructurada, detallada, donde los objetivos y las actividades de los aprendizajes con los contenidos y las tareas de evaluación están alineadas constructivamente (Biggs, 2005). Los conocimientos y habilidades (procedimental-actitudinal), (Díaz-Barriga, A. y Hernández, R. 2004), atributos de competencias, son adquiridos por los estudiantes siguiendo un proceso para cada uno; de apertura (dimensiones 1 y 2), desarrollo (dimensiones 3 y 4) y cierre (dimensión 5), (Marzano, R., 1993).

En la fase de apertura se aporta el conocimiento declarativo, en la fase de

desarrollo¸ el procedimental y en la fase de cierre se llega a la metacognición, en el entendido que para lograr buenos y excelentes resultados en cada una, son indispensables las actitudes y valores que van implícitos en el comportamiento, que se promueven, se desarrollan y se fortalecen porque también son evaluadas.

Los contenidos de cada unidad integradora se desglosan del siguiente modo:

Primeramente se definen los objetivos de aprendizajes seccionados por fase en el proceso (apertura, desarrollo y cierre) e inicia la secuencia didáctica describiendo las actividades a realizar en ese orden y basados en los objetivos, se consideran los conocimientos y habilidades requeridos por los alumnos de otras disciplinas, los recursos y medios, así como las estrategias didácticas o el tipo de mediaciones que deben llevarse a cabo para obtener los productos deseados sin perder en ningún momento el (los) objetivo(s) que se persigue.

Fundamentos de la elección de los contenidos de ALGEBRA

La asignatura de Algebra integra el primer semestre del ciclo escolar. En función de ello el curso tiene como objetivo desarrollar la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes pues el hecho que el estudiante cuente con el desarrollo de estas competencias podrá argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos, resulta imprescindible que esta asignatura quede bien establecida como base sólida en los estudiantes, ya que Algebra es la base para otras asignaturas en el campo de la Matemática, propiciando así la culminación del bachillerato y/o la integración al campo laboral, y/o el seguimiento de estudios universitarios.

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Durante el este proceso de enseñanza lúdica el estudiante asume una

actitud con diversas características como: Trabajo colaborativo Respeto Puntualidad en la entrega de ejercicios Pensamiento lógico-matemático Formación de criterio Trabajo individual Responsabilidad Tolerancia por los puntos de vista de sus compañeros

Características de los productos

Consiste en que todos los elementos que se consideren tendrán sentido en sus relaciones, es decir, pensar el curso a partir de los resultados que se esperan, es una manera de armar un sistema finalizado.

Investigación documental (bibliográfica): Documento que se caracteriza por contener resultados coherentes, ordenados y objetivos precisos donde se utilizan procedimientos lógicos y mentales, con la finalidad de ser base para la construcción de conocimientos.

Retroalimentación Docente: Es esencial para formar recursos humanos competentes que satisfagan las necesidades del sector profesional y/o productivo, desarrollando en el capacitando el saber, el saber hacer y el saber ser.

Resolución de problemas: Contribuyen al desarrollo intelectual e integral de la personalidad del estudiante; es un aspecto importante en el aprendizaje de las Matemáticas. En el proceso de enseñanza-aprendizaje, es común explicar los problemas como algo que se sabe hacer.

Técnica lúdica: Es un conjunto de estrategias diseñadas para crear un ambiente de armonía en los estudiantes que están inmersos en el proceso de aprendizaje. Este método busca que los alumnos se apropien de los temas impartidos por los docentes utilizando el juego, desarrolla actividades muy profundas dignas de su aprehensión por parte del alumno, empero disfrazadas a través del juego.

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MCC DA LUGAR A LA ESTRATEGIA

Actualmente la educación media superior ha sido cuestionada por sus limitaciones para cubrir con equidad y calidad de la demanda educativa; por los procesos de globalización y liberación de la economía, por el desarrollo acelerado de las comunicaciones, por los altos índices de deserción, falta de trabajo, delincuencia son unas de las causas por lo que se decidió reformar la educación en el nivel medio superior llegando a la Reforma Integral de la Educación Media Superior para atacar las deficiencias existentes en este nivel de enseñanza importante para el bachiller, que pretende egresar a un nivel superior o al ámbito laboral de ahí la creación del Marco Curricular Común, pues se requiere que los estudiantes de bachiller cuenten con las competencias idóneas para su desarrollo social y laboral.

Es por ello que en el área de matemáticas 1 para lograr el desarrollo de las competencias genéricas y disciplinares que requiere que el alumnos tenga al término de su bachillerato se logren efectivamente considere que la estrategia “Jugando a aprender Algebra” es un método efectivo para lograr en el alumno las

competencias y aprendizajes significativos pues a través del juego pueden desarrollar estas competencias genéricas y disciplinares.

De acuerdo a los ejes que maneja la RIEMS, un mecanismo para fortalecer el desempeño académico de los alumnos da lugar a mi estrategia de que el algebra se puede aprender jugando.

Los componentes que considero esenciales para un enfoque pedagógico son: los propósitos, que atañen al sentido y finalidad de la educación; el

estudiante, como elemento clave del proceso educativo; el proceso de

enseñanza-aprendizaje, en donde el docente tiene un papel fundamental; los

contenidos y la forma como éstos son presentados como objeto de

aprendizaje; la evaluación como un componente esencialmente articulado al proceso anterior y; la organización, que posibilita la articulación de todos los elementos y procesos del modelo.

ESTRATEGIA DIDACTICA

Dado que se pretende que los alumnos sean personas que construyan para su futuro y su persona la estrategia que propongo es la de “JUGANDO A APRENDER

ALGEBRA”, pues una estrategia es una serie de procedimientos flexibles para promover el logro de aprendizajes significativos y el hecho de que el alumno aprende por que lo hace, no por lo que el maestro hace considere este tipo de estrategia para Algebra.

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PRIMER PARTE

El alumno investiga temas proporcionados por el docente de acuerdo al programa de estudios de Algebra.

SEGUNDA PARTE El docente retroalimenta los temas sobre lo pedido

TERCERA PARTE Resolver los ejercicios proporcionados por el docente para asegurar el aprendizaje significativo de los mismos.

CUARTA PARTE Con los conocimientos proporcionados por el docente el alumno utilizara los temas y los aplicara en la técnica lúdica, de tal manera que el alumno investigue sobre una enseñanza de aprendizaje lúdica y explicar por qué se puede tomar esta técnica de enseñanza para aprender algebra

QUINTA PARTE Jugar con los juegos diseñados y resolver los ejercicios establecidos en cada juego.

ALGEBRA

Es el nombre que identifica a una rama de las Matemáticas que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”

LENGUALE COMUN Y ALGEBRAICO

Como otros lenguajes, el lenguaje algebraico se basa en la representación de cantidades mediante letras, signos y símbolos. Para “hablar” con soltura el

lenguaje algebraico es necesario adquirir, ante todo, una idea clara y concisa de sus propiedades fundamentales, y después, poseer una gran dosis de práctica y para lograr esta práctica, considero que la parte lúdica será un medio eficaz para lograrlo. Para este tema considere un Crucigrama donde el alumno relaciona el lenguaje algebraico y el común.

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Exprésate algebraicamente!!!

FRASE O LENGUAJE COMUN LENGUAJE ALGEBRAICO

1) Dos veces un número o el doble de un número

2x

2) Un número al cuadrado menos diez unidades

𝑥2 − 10

3) Un octavo de un número 1

8𝑥

4) La raíz cuarta de la diferencia de dos números

√𝑥 − 𝑦4

Es importante considerar los siguientes sinónimos matemáticos para la traducción del lenguaje algebraico:

Suma: incrementar, sumar, mas, agregar, aumentar,

Resta: diferencia, menos, restar, quitar, disminuir,

Producto: por, veces, multiplicar, duplo o doble (por 2), triple (por 3), cuádruple (por 4) y así sucesivamente.

División: cociente, entre, razón, mitad o un medio (entre 2), tercera parte (entre 3), cuarta parte (entre 4), así sucesivamente.

Potencia: al, a la, cuadrado o segunda potencia, cubo o tercera potencia, cuarta potencia, así sucesivamente.

CRUCIGRAMA: Un crucigrama es un juego o un pasatiempo escrito que consiste en escribir en una plantilla una serie de palabras en orden vertical y horizontal que se cruzan entre sí, cuyo objetivo es favorecer a la memoria, la atención, la concentración, la agilidad mental, el enriquecimiento del vocabulario.

DESARROLLO DEL JUEGO

El jugador, lee las referencias que se encuentran divididas en dos zonas (una horizontal y otra vertical)

Cada referencia tiene un número que no se repite y que se encuentra asociado a la palabra oculta en el crucigrama

Las palabras se encuentran imbricadas de tal modo que muchas de ellas se pueden deducir cuando una o más palabras cruzadas ya han sido escritas

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El jugador tendrá presente que las palabras horizontales, se completan siempre de izquierda a derecha en todos los casos y verticales de arriba hacia abajo.

2 1

1

2

3

3

4

VERTICALES

1 1

2 2

3 3

4 4

HORIZONTALES

CRUCIGRAMA DE LENGUAJE ALGEBRAICO

𝑥

𝑥2 −𝑦2

𝑥2

𝑥 𝑦

𝑥 𝑦

𝑥𝑦

𝑥 𝑦

𝑥 −

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OPERACIONES FUNDAMENTALES

Para este tema de operaciones fundamentales que abarca la suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz, utilizaré el juego de Domino, cuyo objetivo es que al colocar la ficha siguiente el alumno haya realizado las operaciones pertinentes para seguir jugando y ganar el juego, esta otra forma de enseñar las operaciones fundamentales lograra que el alumno tenga los aprendizajes significativos para estos temas, que le ayudan en otras disciplinas.

SUMA O RESTA ALGEBRAICA

Consiste en la reducción de términos semejantes haciendo las operaciones que están involucradas en la expresión algebraica en la que éstos se encuentran y con ello convertir en un solo término dos o más términos semejantes. a) Si aparecen términos semejantes con el MISMO SIGNO SUMAR sus

coeficientes, respetar su signo y escribir la LETRA IGUAL. − 𝑚2 − 5𝑚2 = −7𝑚2

b) Si aparecen términos semejantes con DIFERENTE SIGNO RESTAR sus coeficientes, respetar el signo del número mayor y escribir la LETRA IGUAL.

− 𝑚2 5𝑚2 = 𝑚2

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA a) Consiste en aplicar la LEY DE LOS SIGNOS, multiplicar:

b) Multiplicar los coeficientes ya sean enteros o fracciones; c) y la LEY DE LOS EXPONENTES: (𝑎𝑚)(𝑎𝑛) = 𝑎𝑚+𝑛 SUMAR los

EXPONENTES de letras iguales, LA LETRA CAMBIA

Ejemplos:

1) (− 𝑥 )(5𝑥𝑎) = − 0𝑥 +𝑎

2) (− 4𝑥5

7) (−

2𝑥

) =

8𝑥6

21

(𝑥 − 5𝑥2 7𝑥 )

(𝑥5 − 1)

Signos iguales (+)(+) = +

(-)(-) = +

(-)(+) = -

(+)(-) = - Signos diferentes

iguales

−𝑥 5𝑥2 − 7𝑥 −

𝑥8 − 5𝑥7 − 7𝑥6 𝑥5

𝑥8 − 5𝑥7 − 7𝑥6 𝑥5 − 𝑥 5𝑥2 − 7𝑥 −

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DIVISIÓN ALGEBRAICA a) Consiste en aplicar la LEY DE LOS SIGNOS, división:

b) Dividir coeficientes en caso de que se pueda, sino simplificar la fracción;

c) y la LEY DE LOS EXPONENTES:

RESTAR los EXPONENTES de las letras iguales

Ejemplo:

1) − 6𝑚3−𝑎

12𝑚𝑎= −

𝑚3−𝑎−𝑎

2= −

𝑚3−2𝑎

2

2) 𝑏2−4𝑏−12

𝑏+2=

POTENCIA ALGEBRAICA a) Multiplicar la base con su signo tantas veces lo indiqué la potencia

(−5𝑥𝑚+2) = (−5𝑥𝑚+2)(−5𝑥𝑚+2)(−5𝑥𝑚+2) = −1 5𝑥 𝑚+6 b) Ley de exponentes:

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

RAIZ ALGEBRAICA a) Buscar un número que multiplicado así mismo de él radicando b) Dividir el exponente de la variable y el índice de la raíz

√𝑎𝑚𝑛= 𝑎𝑚/𝑛

DOMINO: Es un juego de mesa en el que se emplean fichas rectangulares, divididas en dos cuadrados, el objetivo del domino es fortalecer el cálculo mental y las estrategias matemáticas.

DESARROLLO DEL JUEGO:

Comienza repartiendo todas las fichas aleatoriamente a todos los miembros del equipo por igual.

Signos iguales

=

−

−=

−

= −

−= −

Signos diferentes

iguales

𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 , 𝑚 > 𝑛

𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 = 𝑎0 = 1, 𝑚 = 𝑛

𝑎𝑚

𝑎𝑛=

1

𝑎𝑛−𝑚, 𝑚 < 𝑛

1 -4 -12

-2 +12

2 1 -6 0

Cociente b – 6 con

residuo 0

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Dejar una ficha en el centro de la mesa La ficha contendrá una operación y en la otra parte tendrá una de las

respuestas de otra operación, de tal manera que el alumno del equipo que posea la ficha con la operación y la resuelva, coincida con la respuesta de la ficha, si es así, deberá unir su ficha con la que está puesta en el juego.

Y así sucesivamente hasta terminar todas las fichas

−1 𝑥5+𝑎 − 𝑥4+𝑎 − 5𝑥 +𝑎

𝑥𝑎

−10𝑐𝑥

−15𝑚𝑎+4

(𝑥 )(𝑥 − 1)

𝑐𝑥 − 1 𝑐𝑥

8𝑎 − 𝑎2𝑥 − 𝑎

− 𝑎

− 𝑚𝑎

(5𝑚4)

− 𝑥5 − 𝑥4 −5

𝑥

(− 𝑥𝑎𝑦𝑏+2𝑐 )

−1

𝑚6

−8𝑥 𝑎𝑦 𝑏+6𝑐9

𝑥2 𝑥 −

− 𝑥2𝑏−2 − 𝑥 𝑏−6

𝑚6

−6

8𝑚6

𝑦2 √𝑥5 𝑏4

1

𝑥2𝑏−5 (−1 𝑥 − 𝑥𝑏−1)

√81𝑥5𝑦8 𝑏4

− 𝑥 𝑚𝑦𝑛√ 3 C

OP

IA IM

PR

ES

A N

O C

ON

TRO

LAD

A



1 𝑥2 −11

6𝑦𝑎

√−6 𝑥9𝑚𝑦 𝑛 3

9𝑥2 −7

𝑦𝑎 𝑥2

5

𝑦𝑎

(𝑥 5)2

−1 5𝑥 𝑚+6 𝑥2 10𝑥 5

(−5𝑥𝑚+2)

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PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

En este tema emplearé un Laberinto de tal manera que el alumno logre encontrar la salida realizando los procedimientos correctos de cada producto notable y factorización, esta manera lúdica lograra que el alumno se divierta encontrando la salida como un reto y adquiriendo así los aprendizajes significativos de estos importantes temas.

PRODUCTOS NOTABLES Son fórmulas que mediante la utilización de las propiedades conmutativa (a+b = b+a) y distributiva (a(b+c)) = ((a)(b) +(a)(c)) de los números reales, nos permiten obtener las relaciones que generan los productos correctos. 1. BINOMIO AL CUADRADO O CUADRADO DE UN BINOMIO: Son dos

términos con “+” o “-” en medio, encerrados en un paréntesis y elevados al cuadrado.

(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ± 𝒃) = (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐(𝒂)(𝒃) 𝒃𝟐

2. BINOMIO AL CUBO O CUBO DE UN BINOMIO: Son dos términos con “+” o “-” en medio, encerrados en un paréntesis y elevados al cubo.

(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ± 𝒃) = (𝒂 ± 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 ± 𝟑(𝒂)𝟐(𝒃) 𝟑(𝒂)(𝒃)𝟐 𝒃𝟑

ELEVAR el

1er término

al

cuadrado

o

MULTIPLICAR

el 1er y 2do

término por

dos

ELEVAR el

2do

término al

cuadrado

ELEVAR el

1er término

al cubo

o

ELEVAR el 1er

termino al

cuadrado

MULTIPLICARLO

por el 2do

término y por

tres

ELEVAR el

2do

término al

cubo

ELEVAR el 2do

termino al

cuadrado

MULTIPLICARLO

por el 1er

término y por

tres

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3. BINOMIOS CON TÉRMINO COMUN: Son dos paréntesis multiplicándose con dos términos cada uno, y tienen un término común y otro no común. (𝒙 ± 𝒂)(𝒙 ∓ 𝒃) = 𝒙𝟐 (±𝒂 ∓ 𝒃)(𝒙) (±𝒂)(∓𝒃)

4. BINOMIOS CONJUGADOS: Son dos paréntesis multiplicándose con dos términos cada uno, los términos de ambos paréntesis son iguales, solo difieren en el signo sin importar el lugar de este.

(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ∓ 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

5. BINOMIO POR TRINOMIO: Son dos paréntesis multiplicándose con dos términos uno de ellos y el otro con tres términos.

(𝒂 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 𝒃𝟐) = 𝒂𝟑 𝒃𝟑

(𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 𝒂𝒃 𝒃𝟐) = 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑

ELEVAR al

cuadrado el

término

común

cubo

SUMAR O RESTAR

los términos no

comunes y

MULTIPLICAR por

el término común

MULTIPLICAR

los términos

no comunes

ELEVAR

al

cuadra

do el

1er

término

ELEVAR

al

cuadra

do el

2do

término

MULTIPLIC

AR los

signos

diferentes

de los

términos

que los

contienen

ELEVAR

al cubo

1er

término

del

binomio

ELEVAR

al cubo

el 2do

término

del

binomio

RESPETAR el

signo del

binomio,

verificando

se cumpla la

condición

de los signos

en el

trinomio

SUMA DE CUBOS

DIFERENCIA DE CUBOS

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FACTORIZACION Es la forma de expresar un polinomio mediante un producto de dos o más factores.

1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Son tres términos, el 1ero y 3er termino tienen raíz cuadrada exacta.

𝒂𝟐 ± 𝟐(𝒂)(𝒃) 𝒃𝟐 = (𝒂 ± 𝒃)𝟐

2. CUATRINOMIO CUBO PERFECTO: Son cuatro términos, el 1ero y 4to término tienen raíz cubica exacta.

𝒂𝟑 ± 𝟑(𝒂)𝟐(𝒃) 𝟑(𝒂)(𝒃)𝟐 ± 𝒃𝟑 = (𝒂 ± 𝒃)𝟑

3. TRINOMIO CUADRADO IMPERFECTO (Coeficiente 1): Son tres términos, solo el 1ero término tienen raíz cuadrada exacta.

𝒙𝟐 ∓ (𝒂 𝒃)𝒙 ± (𝒂)(𝒃) = (𝒙 ∓ 𝒂) (𝒙 ± 𝒃)

√𝑎22 √𝑏22

COMPROBAR

(𝑎)(𝑏)

√𝑎 3 √𝑏 3

COMPROBAR

√𝑥22

MULTIPLICAR

signos del

2do y 3er

término

FACTORIZAR y

multiplicar los

factores de tal

manera que

solo sean dos,

al multiplicarlos

del el 3er

término

RESPETAR

el signo

del 2do

término

Si los signos son

IGUALES en los

binomios, SUMAR

los dos factores;

si los signos son

DIFERENTES,

RESTARLOS

comprobando

del el 2do

termino

COLOCAR las raíces

obtenidas en un

paréntesis separadas por

el signo del 2do término

y elevarlos al cuadrado

COLOCAR las raíces obtenidas en

un paréntesis separadas por el

signo de acuerdo a la siguiente

condición +,+,+=+; -,+,-= - y

elevarlos al cubo

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4. TRINOMIO CUADRADO IMPERFECTO (Coeficiente diferente a 1): Son tres términos, por lo general el 1ero término no tiene raíz cuadrada exacta.

𝒂𝒙𝟐 ∓ 𝒃𝒙 ± 𝒄 = (𝒂𝒙 ∓ 𝒃) (𝒄𝒙 ± 𝒅)

PASO 1: Multiplicar el trinomio por el coeficiente de 𝒙𝟐, excepto el término bx

PASO 2: Aplicar los pasos del trinomio cuadrado imperfecto con coeficiente uno

PASO 3: Dividir los binomios entre el coeficiente que multiplico al principio al trinomio descomponiendo éste en dos factores, verificando que cada término de cada binomio sea divisible entre el factor.

5. DIFERENCIA DE CUADRADOS: Son dos términos separados por un signo negativo, y ambos tienen raíz cuadrada exacta.

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ∓ 𝒃)

6. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS: Son dos términos separados por un signo negativo o positivo, y ambos tienen raíz cubica exacta.

𝒂𝟑 𝒃𝟑 = (𝒂 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 𝒃𝟐)

𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 𝒃)(𝒂𝟐 𝒂𝒃 𝒃𝟐)

√𝑎22 √𝑏22

COLOCAR las raíces obtenidas en

dos paréntesis, en uno colocar un

signo más para separar las raíces y

en el otro separarlas por un signo

menos.

√𝑎 3 √𝑏 3

COLOCAR las raíces obtenidas en un

paréntesis para formar un binomio, y

multiplicarlo por un trinomio que se obtiene: a)

el cuadrado de la 1er raíz, b) multiplicar la

1era por la 2da raíz, c) el cuadrado de la 2da

raíz.

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7. FACTOR COMUN: Son varios términos y se repite una o varias letras en los términos, los coeficientes también son factor común en la mayoría de los casos.

𝒂𝒃 ± 𝒂𝒄 = 𝒂(𝒃 ± 𝒄)

PASO 1: Obtener el máximo común divisor, en el caso de que haya coeficientes en la expresión, para obtener el factor común

PASO 2: Poner la variable(s) de menor exponente que se encuentre(n) en la expresión y que se repita(n).

PASO 3: Dividir cada término de la expresión entre el factor común y la respuesta de la división colocarla entre paréntesis para generar un producto.

LABERINTO: Es un juego que promueve el desarrollo de habilidades motoras finas; el objetivo principal es encontrar una ruta a través de productos notables y factorizaciones desarrollando las habilidades matemáticas y los aprendizajes significativos en este tema.


Comienza identificando si la primera expresión en el laberinto es un producto notable o una factorización.

Resuelve dependiendo si es producto o factorización para encontrar el camino o ruta correcta y así sucesivamente hasta encontrar la salida.

Escribir los procedimientos correctos de acuerdo al seguimiento de la ruta en el laberinto.

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(𝑥 )(𝑥 − )

𝑥2−

9

𝑥2−8𝑥 16

(𝑥 − )2

7𝑥6 − 1 5𝑦

( 𝑥2 − 5𝑦)(9𝑥4 15𝑥2𝑦 5𝑦2)

𝑥2 𝑥 − 15

(𝑥 5)(𝑥

− ) (

𝑥 −5𝑦4)

6 𝑥9 − 0𝑥6𝑦4 00𝑥 𝑦8 − 1 5𝑦12

1 𝑥2(𝑦2 − 𝑥 𝑥2)

1 𝑥2𝑦2 − 8𝑥 56𝑥4 16𝑥6 − 𝑥 𝑦2

𝑦4

16

( 𝑥 −𝑦2

)2

( 𝑥 7𝑦2)(16𝑥6 − 8𝑥 𝑦2 9𝑦4)

6 𝑥9 𝑦6

𝑥𝑦2(𝑥𝑦 − )

𝑥2𝑦 − 6𝑥𝑦2

9 − 𝑥2𝑦2

( 𝑥𝑦)(

𝑥𝑦)

𝑥4𝑦6 − 𝑥2𝑦 − 8

(𝑥2𝑦 − 8)(𝑥2𝑦 6) (1 − 5𝑥)2

8𝑥 𝑦9 6

( 𝑥𝑦 )( 𝑥2𝑦6 − 8𝑥𝑦 16) (5𝑥 − )

𝑥2− 6

(−6 𝑥)( 𝑥 6)

1 5𝑥 − 5𝑥2 1 5𝑥 − 7

( 𝑥2 − )(5𝑥2 1)

15𝑥4 − 17𝑥2 −

( 𝑥 − 𝑦)2

𝑥2 1 𝑥𝑦 9𝑦2

1− 0𝑥 5𝑥2 81𝑥4 − 9𝑦2

5𝑥( 𝑥𝑎 5𝑥2𝑏 6𝑐)

15𝑥2𝑎 5𝑥 𝑏 0𝑥𝑐

(9𝑥2 − 𝑦)(9𝑥2 )

5−10𝑥𝑎−2 𝑥2𝑥−4

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ECUACIONES

El maratón es un juego que considero apropiado para lograr aprendizajes significativos en cuanto a los temas de las ecuaciones lineales, cuadráticas, y sistemas de ecuaciones, pues el hecho de que el alumno va avanzando resuelve ecuaciones, se divierte y vence a la ignorancia, esta manera lúdica lograra que el alumno se divierta encontrando la salida como un reto. Ponle la cola a la ecuación.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita, es una igualdad con dos miembros el de la izquierda y el de la derecha, la incógnita que normalmente está representada por las letras x, y, z esta siempre elevada a la primer

potencia y para encontrar su valor se debe despejar esta letra o incógnita. Despejar significa hacer los 3 pasos siguientes: a) Dejar la incógnita sola b) Dejar la incógnita positiva c) Dejar la incógnita arriba solo en el numerador

SUMANDO = RESTANDO MULTIPLICANDO= 𝟏

𝑫𝑰𝑽𝑰𝑫𝑰𝑬𝑵𝑫𝑶

RESTANDO = SUMANDO 𝟏

𝑫𝑰𝑽𝑰𝑫𝑰𝑬𝑵𝑫𝑶 = MULTIPLICANDO

Se debe observar que cuando la pieza se cambia de un lado a otro del igual, el cambio es de operaciones no de signo.

(x ) − x = (x − 1)5

x 6 − x = 5x − 5

x − x − 5x = −5 − 6

−7x = −7

x =−7

−7

x = 1

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SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS Existen muchas situaciones en los campos del saber humano, como puede ser administración, contabilidad o ciencias, en las que los datos para encontrar una solución involucran dos o más cantidades desconocidas, las cuales están relacionadas de diferente forma y no siempre depende de un dato específico. En forma general, un sistema de dos ecuaciones con 2 variables se denota en la forma:

𝒂𝟏𝒙 𝒃𝟏𝒚 = 𝒄𝟏

𝒂𝟐𝒙 𝒃𝟐𝒚 = 𝒄𝟐

Hay diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones simultáneas:

a) Método grafico b) Eliminación por suma o resta; o Reducción c) Por sustitución d) Por igualación e) Por cramer

𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟒𝟒

𝟓𝒙 − 𝒚 = −𝟓𝟕

𝒙 =

− − −57 −1 − 5 −1

=(− )(−1) − (−57)(− )

( )(−1) − (5)(− )=

− 11

− 10=

−70

7= −𝟏𝟎

𝒚 =

− 5 −57 − 5 −1

=( )(−57) − (− )(5)

( )(−1) − (5)(− )=

−171 0

− 10=

9

7= 𝟕

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS

Una ecuación con 3 incógnitas de primer grado representa en 𝑅 (el espacio), por lo que resolver 3 ecuaciones de esta forma significa encontrar el cruce entre los 3 planos que puede ser un punto, una recta, un plano, o no haber

solución.

En forma general, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se denota como:

𝒂𝟏𝒙 𝒃𝟏𝒚 𝒅𝟏𝒛 = 𝒄𝟏

𝒂𝟐𝒙 𝒃𝟐𝒚 𝒅𝟐𝒛 = 𝒄𝟐

𝒂𝟑𝒙 𝒃𝟑𝒚 𝒅𝟑𝒛 = 𝒄𝟑

Hay diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones simultáneas:

a) Método grafico

Cada ecuación representa geométricamente una línea recta

a b c

c b

a c

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por cramer

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b) Eliminación por suma o resta; o Reducción c) Por sustitución d) Por igualación e) Por cramer

𝟑𝒙 𝟓𝒚 𝟐𝒛 = −𝟕 𝐞𝐜. (𝟏)

𝟐𝒙 𝟒𝒚 𝟑𝒛 = −𝟐 𝐞𝐜. (𝟐)

𝟓𝒙 𝟕𝒚 𝟓𝒛 = 𝟑 𝐞𝐜. (𝟑)

( ) x 5y z = −7 ec. 1 (− ) x y z = − ec.

(5) x y z = − ec. (− ) 5x 7y 5z = ec. − y − 5z = −8 ec. ( )

6y 5z = −16 ec. (5) y = − y =

−24

4

𝐲 = −𝟔

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA Las ecuaciones de segundo grado, son las ecuaciones que tienen una variable elevada a la segunda potencia (𝒙𝟐), una variable elevada a la primer potencia (x) y un término independiente (c). Clasificación de las ecuaciones de 2do grado

1) La ecuación de 2do grado se considera completa, cuando tiene los tres términos

𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 = 𝟎

Los métodos de solución para este tipo de ecuaciones son: Factorización del trinomio cuadrado perfecto o imperfecto

Formula general 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Completar el trinomio cuadrado perfecto

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por reducción

6x 10y z = −1 −6x − 1 y − 9z = 6

− y − 5z = −8 ec. ( )

10x 0y 15z = −10 −10x − 1 y − 10z = −6

6y 5z = −16 ec. (5)

− y − 5z = −8

− (−6) − 5z = −8

−5z = −8 − 1

z = − 0−5⁄

𝐳 = 𝟒

x 5y z = −7

x 5(−6) ( ) = −7

x = −7 0 − 8

z = 15 ⁄

𝐱 = 𝟓

𝑥2 − x − 10 = 0

(x − 5)(x ) = 0

x − 5 = 0

𝐱𝟏 = 𝟓

x = 0

𝐱𝟐 = −𝟐

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2) La ecuación de 2do grado se considera incompleta pura, cuando no tiene el término elevado a la primer potencia.

𝒂𝒙𝟐 𝒄 = 𝟎 ; 𝒃 = 𝟎

Los métodos de solución para este tipo de ecuaciones son: Despeje

Formula general

3) La ecuación de 2do grado se considera incompleta mixta, cuando no tiene el término independiente

𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 = 𝟎 ; 𝒄 = 𝟎

Los métodos de solución para este tipo de ecuaciones son: Factor común

Formula general

MARATON: Es un juego tiene como objetivo principal ayudar a transmitirles a los alumnos, entre otras muchas cosas de interés general, los principales aprendizajes significativos en el tema de las ecuaciones.


Colocar un tablero en la mesa y cada jugador toma una ficha de un color, exceptuando la negra, la cual representa la ignorancia.

Por turnos se tira el dado, avanzando las casillas que indique el número. Al llegar a la casilla indicada se toma una de las tarjetas con una ecuación y

el jugador en turno debe contestar la ecuación con procedimiento claro e identificar el método correcto para resolverla así como el tipo de ecuación que es.

Si el jugador en turno no conoce la respuesta, entonces los demás jugadores, en el orden del juego pueden contestar la pregunta y avanzar el número de puntos que indica la pregunta, pues cada pregunta cuenta con un valor dependiendo de su complejidad

Si ninguno de ellos conoce la respuesta, entonces avanza la ficha negra, la ignorancia, que cuenta con un carril especial para ella.

El objetivo del juego consiste en llegar primero a la casilla final y derrotar a la ignorancia.

𝑥2 − 5 = 0

𝑥2 = 5

√𝑥2 = ±√ 5

𝐱 = ±𝟓

5𝑥2 − 15x = 0

5𝑥(𝑥 − ) = 0

𝒙 =𝟎

𝟓= 𝟎

x − = 0

𝐱 = 𝟑

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TABLERO MARATON

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TARJETAS DEL MARATON

𝟓𝐱 𝟐 = 𝟐𝐱 𝟖

AVANCE 1

Una muchacha le pregunta a

su amiga la edad, y la amiga le

contesta, piensa un número

cualquiera, súmale su mitad,

auméntale tres veces el

número e iguálalo a setenta y

dos y sabrás mi edad, ¿Qué

edad tiene la amiga?.

AVANCE 2

𝟑(𝐱 − 𝟔)

𝟐−𝒙

𝟒=

𝟐(𝐱 − 𝟐)

𝟑

AVANCE 1

Un señor reparte a sus hijos

unos centenarios, al hijo

mayor le deja la tercera parte,

al de en medio la cuarta parte

y al menor la quinta parte,

quedándose el señor con 26

centenarios. ¿Cuántos

centenarios tenia?

AVANCE 2

𝟑𝐱 𝟐𝐲 = 𝟗

−𝟐𝐱 𝟒𝐲 = −𝟐𝟐

AVANCE 2

En un viaje por los E.U. me

ofrecieron una manzana y tres

melones por diez dólares o dos

manzanas y cuatro melones

por catorce dólares, me

pregunté, ¿Cuánto cuesta cada

pieza?

AVANCE 3

𝐱

𝟐

𝐲

𝟑= 𝟑

𝐱

𝟓

𝐲

𝟐=

𝟐𝟑

𝟏𝟎

AVANCE 3

Al dividir 125 en dos partes

resulto que el doble de la

mayor, menos el triple de la

menor es iguala 30. Hallar las

partes.

AVANCE 2

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𝟑𝐱 − 𝐲 𝐳 = 𝟕

𝟒𝐱 𝟐𝐲 − 𝟕𝐳 = −𝟒

𝟏𝟎𝐱 − 𝟑𝐳 = 𝟏𝟒

AVANCE 2

Tres hermanas de edades

diferentes y pares se encuentran

en la siguiente relación, el doble

de la edad de Janis es igual a la

edad de Maria dentro de 2 años,

la mitad de la edad de Janis es

igual a la edad de Paola hace 6

años y la suma de las edades de

Janis y Pao es igual a la edad de

Maria dentro de 4 años. Hallar sus

edades actuales.

AVANCE 4

La suma de 3 números es 9, el

doble del primero más el triple

del segundo más el cuádruplo

del tercero suman 29 y el

segundo es igual al doble del

tercero menos el primero.

Hallar los números.

AVANCE 4

𝟑𝐱 − 𝟑𝐲 𝟑𝐳 = 𝟏𝟐

𝐲 −𝒙 𝒚

𝟖= 𝟏𝟎

𝐳 − 𝟓 =𝒚 − 𝒙

𝟐

AVANCE 3

𝐱(−𝐱 𝟖) = 𝟑(𝒙𝟐 𝐱 𝟒)

AVANCE 2

𝟒𝒙 − 𝟕

𝟐=

𝟒𝐱 − 𝟕

𝟓𝒙

AVANCE 3

El producto de dos números

enteros pares y consecutivos

es 1088. Encontrar los números

AVANCE 3

Si se divide 35 en dos partes

tales que el cuadrado de la

menor aumentada en la mayor

da 245. ¿Cuáles son las partes?

AVANCE 4 CO

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𝟕𝒙𝟐 𝟐 = 𝟏𝟒 𝟒𝒙𝟐

AVANCE 2

𝟐𝒙𝟐 − 𝟓

𝟐−𝟓𝒙𝟐 𝟏

𝟑= 𝒙𝟐 − 𝟔

AVANCE 2

𝟓(𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝐱) = −𝟐(−𝒙𝟐 𝒙)

AVANCE 2

( 𝑥2 − x )

=

𝑥2 − 𝑥 )

AVANCE 2

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

Biggs, J. Teaching Teaching& Understanding Understanding. A 19-minute short-

film about teaching at University. Video:Obtenido desde http://video.google.com/videoplay?docid=-5629273206953884671

Biggs, J. (1996). Mejoramiento de la enseñanza mediante la alineación constructiva. Obtenido desde: http://www.fceia.unr.edu.ar/labinfo/facultad/decanato/secretarias/desarr_institucional/biblioteca_digital/articulos_pdf_biblioteca_digital/bd_Doc_T-18.pdf

Biggs, J. (1999) Capítulo 2 “Construir el aprendizaje alineando la enseñanza:

alineamiento constructivo” pp. 29-53 del libro Calidad del Aprendizaje Universitario Obtenido desde.:

http://www.sems.gob.mx/aspnv/video/Biggs Cap. 2/Construir el aprendizaje alineando la enseñanza: alineamiento constructivo .pdf.

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http://video.google.com/videoplay?docid=-5629273206953884671

http://www.fceia.unr.edu.ar/labinfo/facultad/decanato/secretarias/desarr_institucional/biblioteca_digital/articulos_pdf_biblioteca_digital/bd_Doc_T-18.pdf

http://www.fceia.unr.edu.ar/labinfo/facultad/decanato/secretarias/desarr_institucional/biblioteca_digital/articulos_pdf_biblioteca_digital/bd_Doc_T-18.pdf

http://www.sems.gob.mx/aspnv/video/Biggs%20Cap.%202/%20Construir%20el%20aprendizaje%20alineando%20la%20enseñanza:%20alineamiento%20constructivo%20.pdf

http://www.sems.gob.mx/aspnv/video/Biggs%20Cap.%202/%20Construir%20el%20aprendizaje%20alineando%20la%20enseñanza:%20alineamiento%20constructivo%20.pdf



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Colegio de Estudios Científicos y

Tecnológicos del estado de Querétaro.

Plantel #5 Querétaro.

Algebra

NOMBRE DEL ALUMNO:_______________________________

SEMESTRE:____________ ESPECIALIDAD________________

PROFESORES:

ING. JUAN CARLOS LÓPEZ SAAVEDRA

AEQ. JUAN LUIS RESENDIZ ARTEAGA.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del

Estado de Querétaro

Algebra

INDICE DE TEMAS.

1.-POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS ENTEROS ......................................... 1

2.-FRACCIONES ......................................................................................................... 19

3.-NÚMEROS DECIMALES ...................................................................................... 39

4.-PROPORCIONALIDAD ......................................................................................... 57

I. INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA .......................................................................... 80

II. OPERACIONES FUNDAMENTALES ................................................................. 86

III. POTENCIA .............................................................................................................. 99

IV. P R O D U C T O S N O T A B L E S ............................................................. 103

V. FACTORIZACIÓN ................................................................................................ 112

VI. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. ............................................................. 120

VII. SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS ............................................................................................... 127

VIII. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES INCÓGNITAS ........ 144

IX.ECUACINES CUADRATICAS .......................................................................... 150

X. ANEXO 1 ................................................................................................................ 160

XI. REFERENCIAS ................................................................................................... 161

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ALGEBRA

I. INTRODUCCION ALGEBRA. El algebra es la materia que presenta a los alumnos la herramienta que les va a permitir trabajar las materias como: trigonometría, geometría analítica, calculo, etc., por lo anterior es una materia básica en el desarrollo de los programas de preparatoria, e importante para todos aquellos alumnos que estudiaran carreras en las cuales van a tener que aplicarla. El algebra es una materia sencilla y fácil de aprender si la desarrollamos con orden y nos aprendemos las reglas y las propiedades que se pueden aplicar a cada una de las piezas que entran el juego. A diferencia de otros textos, este intenta guiar al alumno detallando cada uno de los ejercicios de ejemplo, redactando en forma sencilla y comprensible las reglas en cada caso. Asimismo por ser algebra didáctica, pretende expresar el lenguaje – matemático en forma familiar, por lo que en ocasiones encontraremos palabras como letras en lugar de literales o números chicos en lugar de exponentes. TÉRMINO ALGEBRAICO Consta de: a) signo b) coeficiente numérico c) factor literal Ejemplo:

-3a4

GRADO DE UN TÉRMINO Es la suma de los exponentes del factor literal Ejemplo:

En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x) En el término 4x2y3 tiene grado 2 (2 + 3, la suma de los exponentes)

GRADO DE UNA EXPRESIÓN Es el grado mayor de sus distintos términos. Ejemplo:

En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo término) En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo término)

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas. De acuerdo al número de términos puede ser:

MONOMIO: tiene uno término Ej. 5 x2yz4 ; x y

a b

2 2

BINOMIO: tiene dos términos Ej. 7 5xy y ; p + q TRINOMIO: tiene tres términos Ej. x2 + 3x - 5

Factor literal

Coeficiente numérico

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POLINOMIO O MULTINOMIO: tiene varios términos Ej. Inventa uno ________________________________________________________________

TERMINOS SEMEJANTES Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal. Ejemplo:

El término 3x2y y el término 2x2y , son semejantes. (Tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5x2y

EJERCICIOS: ahora te toca a ti demostrar lo que aprendiste 1) Define con tus palabras:

a) Coeficiente numérico b) Factor literal c) Término algebraico

2) En cada término algebraico, determina el coeficiente numérico, factor literal y el grado.

a) 3x2y b) m c) mc2 d) –vt e) 0,3ab5 f) 3

g) -8x3y2z4

h) a3

2 i) 3

2

1x j)

3

7 2a k)

4

3m l) 24

4

3ba

3) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:

a) 7x2y + xy b) -3 + 4x – 7x2 c) -2xy d) vt + 2

2

1at e)

7m2n – 6mn2

f) 2

cba g) x2 + 8x + 5 h) 2(3x + 4y) i) 2x2(3x2 + 6y)

j) 4

432 hcb

4) Calcula el perímetro de cada rectángulo encontrando su expresión algebraica. Luego clasifica según su número de términos, antes de reducir términos semejantes:

2a

3a

4m

4mn 7y – 2x

5x + 3y

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ALGEBRA

5) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:

EVALUACION DE EXPRESIONES A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numérico.

Ahora tú: Si a = -2 ; b = 4 ; c = -1 encuentra el valor de cada expresión

1. 12a - 8a + 10a + 3a - 18a + 5a = 2. 7ª - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a =

Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a =32

y b = 21

, evaluemos la

expresión: 3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b =

Ejemplo:

Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión:

3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b =

3 3 - 2 2 - 5 3 + 4 2 - 6 3 + 3 2 =

9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14

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ALGEBRA

332

- 221

- 532

+ 421

- 632

+ 321

=

2 - 1 - 3

10 + 2 - 4 +

3

2

= 6

52

6

17

Ahora te toca a ti:

Si a = 21

; b = 41

; c = 32

encuentra el valor de cada expresión

3. 2 a - 8 a + 10 a + 3 a - 2

3a + 5 a =

4. -12

3 a + 5 b - 3 c + 2 a - 4

1

2c + 7 b =

5. -5 c + 34

5 b - (-4 a) + 4

1

2 c + (-5 b) - 0,6 c =

ENCONTRANDO FÓRMULAS A Continuación debes encontrar una fórmula que represente a todos los términos de la sucesión de números, esta fórmula debe ser válida para valores naturales, es decir si le damos valores a la fórmula, debe irnos entregando los términos de la sucesión. Ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, . Tiene una fórmula que general estos números, una manera de encontrarla es descomponer sus términos: 2 = 2 · 1 4 = 2 · 2 6 = 2 · 3 8 = 2 · 4 …….. 2 · n, donde n N. Esta es la fórmula que genera a esta sucesión. ¡Prueba dándole valores a “n” !

Encuentra la fórmula para las siguientes sucesiones:

1) 22, 42, 62, 82, 102, ….. 2) 73, 93, 113, 133, …..

3) -1, 1 , -1 , 1 , -1 , …… 4) 4, 10, 18, 28, ……

5) 0, 2, 5 ,9, ….. 6) 2, 4, 8, 16, 32 ,……..

ALGEBRA Y GEOMETRÍA: CÁLCULO DE PERÍMETROS

Se dan los siguientes segmentos :

a b c

d e

1) Elige un segmento y dibujas 3 veces el segmento elegido

2) Elige dos segmentos y dibuja la suma de dichos segmentos

3) Elige otros dos segmentos y dibuja la diferencia entre ambos segmentos.

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ALGEBRA

Recordemos el concepto de PERÍMETRO

1 cm

b

c

b

d P = a + b + c + d + e

e a Ahora tú determinarás el perímetro de cada figura:

4. 5. 6.

x

P = _____________ P = ____________ P = _________

6. 7. 8.

2

1m

2c 2c 2m

2m r m

m

c 2s

P = _________ P = __________ P = _____________

2 cm 3 cm

4 cm

a a

b

m

a

p

m

a

x

x x

x

a a

b b

a a

m r

P = 2 + 4 + 3 + 1 = 10 cm es decir, perímetro es la suma de todos sus lados

P = a + b + a + b, es decir, P = 2a + 2b

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9. 10. 2y

3t 5t m

y

4t

P = _________________ P = ____________________

Encuentra el polinomio que representa el perímetro de cada figura (todos sus ángulos

son rectos):

11. y 12.

y

x x

P = ________________ P = ____________________

y

y

x x

x x

x x

x x

y

x x y

0,5y 0,5y

1,5x 1,5x

1,5x 1,5x

x+y

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II. OPERACIONES FUNDAMENTALES Para poder efectuar una operación algebraica cualquiera, es necesario antes – conocer las reglas que podemos aplicar durante el desarrollo de la operación, por tal motivo vamos a describir detalladamente las reglas que debemos manejar para cada operación en particular. SUMA Y RESTA Reglas: 1.) Solo se pueden sumar o restar términos semejantes, esto significa tener las mismas letras y los mismas letras y los mismos exponentes, no importando el signo ni el coeficiente.

Términos semejantes:

7 a x, -a x ,9 a x, -2 a x 2 a2 b3, -3 a2 b3, 4 a2 b3

2.) Los coeficientes o números grandes se suman o restan de acuerdo con la ley de los signos 3.) Las letras y exponentes se pasan igual 4.) Signos iguales: Se deja el singo de ellos y las cantidades se suman. + 3 a2 b + 8 a2 b = + 11 a2 b

7 x3 – 12 x3 = -19 x3

5.) Signos diferentes: Se deja el signo del mayor y al mayor se le resta el menor. + 2 x y – 8 x y = -6 x y + 13 a b3 – 4 a b3 = + 9 a b3 Ejemplos: Sumar o restar cada una de las parejas de términos semejantes.

+ 7 a2 b + 8 a2 b = + 15 a2 b 4.) -18 x4 + 9 x4 = - 9 x4 – 3 x y – 2 x y = - 5 x y 5.) – 6 a m + 6 a m = 0 + 9 a b4 – 2 a b4 = +7 a b4 6.) – 7 a b c + 3 a b c = - 4 a b c

Ejercicio 1.1) Efectuar las sumas indicadas aplicando las reglas anteriores.

1) 4 a b + 8 a b =___________ 4.) - 4 a b2 + 8 a b2 =_________________

2) 7 x2 y – 9 x2 y =___________5.) – 3 b3 – 5 b3 =____________________

3) – 3 a y + 8 a y =___________6.) 4 a – 7 a =_______________________

7.) - 8 a3 b4 – 3 a3 b4 =____________9.) + 4 a7 x – 4 a7 x =__________________

8.) + 11 a x + 2 a x =__________10.) – 2 x3 + 2x3 =____________________

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TERMINOS SEMEJANTES Reduce los términos semejantes, resolviendo previamente los paréntesis, cuando corresponda:

1. 7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b = 2. 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y = 3. 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c = 4. 3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p = 1. 4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r = 6. 2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 = 7. 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b = 8. 8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a =

9. 3m - 2

5n + 5m - 7n + 5 1

2n + 3n - 2

5p - 5n + 8p =

10. 2 1

2a2 + 3 3

5b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 – 5 b2 =

11. 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) = 12. 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) = 13. 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) = 14. 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } = 15. -( x - 2y ) - { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } =

16. 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =

17. 8x - ( 1 1

2y + 6z - 2 3

4x ) - ( -3 3

5x + 20y ) - ( x + 3

4 y + z ) =

18. 9x + 3 1

2 y - 9z - 7

1

22 5

1

39 5 3x y z x y z z

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ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)

1. Identifica los elementos que se piden: a) Los términos de 5r +s_________________________________ b) Los términos de 5xy2 +2y –7w__________________________ c) Dos factores de 5z __________________________________ d) La base en 3xy2_____________________________________ e) El coeficiente numérico en 2xy__________________________ f) El coeficiente numérico en x/3__________________________ g) Las variables en 6xy__________________________________ h) Las variables en 6x 5 y 2_______________________________ i) El grado de la variable m en 7m5n_______________________ j) El grado de la variable n en 7m5n_______________________ k) La constante de 7x2 –1_______________________________ 2. Considerando que un monomio es un número variable o producto de

números y variables explique por qué las siguientes expresiones no son monomios

a) 5x +y b) 7xy3 c) x 2y _____________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Considere las siguientes expresiones identificando cada una de ellas con

una letra a) 14x + 10 y –3 d) 2/3 x +1/3 y b) –17x5y3z2 e) 5x4z –1/2 x2 z2 + xz3 –7z6 c) 7x5y f) x+4 I) Identifique los polinomios:____________________

II) Identifique los monomios:____________________

III) Identifique los binomios:____________________

IV) Para cada polinomio, que no sea monomio, especifique los

términos___________________________________________________

_

V) Dé los coeficientes numéricos de las expresiones D y E

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4. Evalúe cada polinomio para los valores dados: a) 4x2 –x +3 = x=-2 b) x2/3 –3x +5= x=3/2 c) –x2 +7 = x =5 d) 4xy –8y2= x=3 y=0,5 5. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios: a) 8x -3x+7x= b) 3x +9y –2x –6y= c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c = e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c= 6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)= b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)= 7. Dados los polinomios A: 2b2c –3b + 6c B: 4b - c2b + 12 b2c C: 4 – 2c Ejecute las siguientes operaciones: a) A+B=________________________________________________________

_____________________________________________________________ b) A-C=________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________

c) B - A=_______________________________________________________ 8. Calcular el perímetro de la siguiente figura:

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x2 +x 2x2 +x x 3x2 +x –3 9. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado?

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MULTIPLICACION

Los coeficientes o números grandes se multiplican. Los exponentes de las letreas iguales se suman. Signos iguales da positivo, signos diferentes da negativo.

( + ) ( + ) = + ( - ) ( + ) = -

( - ) ( - ) = + ( + ) ( - ) = -

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Vamos a ver los tres casos que se pueden presentar al multiplicar. Monomio x Monomio (a2 b c3) ( a b c4 ) = a 2+1 b1+1 c3+4 = a3 b2 c7 (3x2 y z3) (-8 x3 y3 z4) = (3) (-8) x2+3 y1+3 z7 (2a3 b) (- 3a2 b2) (5a3 b4) = (2) (-3) (5) a3+2+3 b1+2+4 = - 30 a8 b7

Monomio x Polinomio Para multiplicar un término por varios, se debe multiplicar el término de afuera por todos y cada uno de los términos de adentro.

x2 y ( 5 x y + 3x2 y – 7 ) = 5 x3 y2 + 3 x4 y2 – 7 x2 y 4a3 b ( 2a2 b – 5 a4 b2 + 3 b4 ) = 8 a5 b2 – 20 a7 b3 + 12 a3 b5

– 3 x2 y3 ( 2 x y2 + 4 x3 y – 8 x2 ) = - 6 x3 y5 – 12 x5 y4 + 24 x4 y3

Polinomio x Polinomio Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio, acomodando los términos que resulten semejantes uno debajo del otro para posteriormente sumarlos. Ejemplos: Multiplicar los siguientes polinomios. (2 a2 + 5 a b) (2 a2 + 5 a b) 2a2 + 5 a b (3 x2 y – 2 x y2) (9 x4 y2 + 6 x3 y3 + 4 x2 y4) 2a2 + 5 a b 9 x4 y2 + 6 x3 y3 + 4 x2 y4 4 a4 + 10 a3 b 3 x2 y – 2 x y2 + 10 a3 b + 25 a2 b2 27 x6 y3 + 18 x5 y4 + 12 x4 y5 4 a4 + 20 a3 b + 25 a2 b2 - 18 x5 y4 – 12 x4 y5 – 8 x3 y6

27 x6 y3 - 8 x3 y6

Ejercicio: 1.3) Efectuar las multiplicaciones indicadas. (2 a2 b) (3 a3 b4) =____________________________________________

(5 x2 y4) (- 2 x3 y) =___________________________________________

(2 a3 b2) (- 3 a2 b) (4 a2 b3) =____________________________________

(3 x2 y3) (- 5 x3 y) (- 2 x4 y5) =____________________________________

2 a2 b (5 a b – 3 a3 b2 + 4) =____________________________________

– 8 a4 b2 (3 a4 b2 – 5 a2 b5 + 2 a) =________________________________

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ALGEBRA

2 x2 y2 (5 a x2 – 3 x y3 + 4) =____________________________________

– 7 a3 b2 (3 a2 b + 5 a4 b c – 8) =_________________________________

(2 a + 3 b2) (2 a – 3 b2) =______________________________________

(5 a2 b2 + 3 a3 b) (5 a2 b2 + 3 a3 b) =______________________________

(3 a2 + 2 a) (4 a2 – 2 a + 5) =___________________________________

(2 a + 3 b2) (4 a2 - 6 a b2 + 9 b4) =_______________________________

(5 x2 – 2 a3) (25 x4 + 10 a3 x2 + 4 a6) =____________________________

(a3 + 2 a2 – a)(a3 – 3 a2 – 5) =___________________________________

(3 a2 - 2 a3 b + 4) (3 a2 + 2 a3 b – 4) =_____________________________

(4 a2 b – 5 b) (2 a2 + 3 a b + 4) =________________________________

MULTIPLICACION DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN

Resuelve los siguientes productos:

1) (x + 1)(x + 2) =

2) (x + 2)(x + 4) =

3) (x + 5)(x – 2) =

4) (m – 6)(m – 5) =

5) (x + 7)(x – 3) =

6) (x + 2)(x – 1) =

7) (x – 3)(x – 1) =

8) (x – 5)(x + 4) =

9) (a – 11)(a + 10) =

10) (n – 19)(n + 10) =

11) (a2 + 5)(a2 – 9) =

12) (x2 – 1)(x2 – 7) =

13) (n2 – 1)(n2 + 20) =

14) (n3 + 3)(n3 – 6) =

15) (x3 + 7)(x3 – 6) =

16) (a4 + 8)(a4 – 1) =

17) (a5 – 2)(a5 + 7) =

18) (a6 + 7)(a6 – 9) =

19) (ab + 5)(ab – 6) =

20) (xy2 – 9)(xy2 + 12) =

21) (a2b2 – 1)(a2b2 + 7) =

22) (x3y3 – 6)(x3y3 + 8) =

23) (ax – 3)(ax + 8) =

24) (ax+1 – 6)(ax+1 – 5) =

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ALGEBRA

División algebraica:

Veamos, el área de un terreno rectangular cuyo frente es de 3 m es igual a 24

m2. ¿Cuál será la longitud del fondo? Efectivamente, es igual a 8 m ¿por qué?

Demuéstralo:

De manera generalizada, si tenemos un rectángulo de área A = 6 x2 + 24 x + 24 y

uno de sus lados mide 2 x + 4 ¿cuánto medirá su otro lado?

Dibuja tu rectángulo, con los datos conocidos.

Lado = ¿?

Por división algebraica:

A = 6 x2 + 24 x + 24 se divide entre el lado conocido 2 x + 4 y obtenemos el

lado desconocido. Inténtalo, al realizar la operación,

¿Qué resultado obtuviste?

Si no tuviste éxito, analiza el siguiente ejemplo: 23 42 xxx

Para dividir polinomios se emplea la siguiente metodología:

Monomio ÷ Monomio a7 3.) 8 a4 b5 c a4 = a7-4 = a3 4 a b3 c = (8 / 4) a4-1 b5-3 = 2 a3 b2 4 a3 b2 c 12 a b2 c = (4 / 12) a3-1 = a2 / 3 4.) 15 x2 y3 z2

5 x4 y z5=(15 / 5)x2-4 y3-1 z2-5 = = 3 y2 X2z3

Ejemplo:

2x + 4 A = 6 x2 + 24 x + 24

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ALGEBRA

Dividir x3 + 4 x2 entre x + 2, debiendo ordenar en forma descendente a los polinomios respecto a la variable.

Ahora intenta calcular el lado del rectángulo del problema de la actividad anterior:

Divide el primer término del dividendo ( x3 ) entre el primer término de divisor ( x ) el resultado es x2

X + 2 X3 + 4 x 2

X2

x2

X + 2 x3 + 4 x 2

- x3 – 2 x2

+2 x2

Se escribe x2 en el cociente, se multiplica por el divisor x2 (x + 2) y se resta el resultado tal como en la división aritmética y se obtiene el nuevo divisor.

Ahora se divide 2x2 entre (x + 2), dividiendo 2 x2 entre el primer término del divisor, se obtiene +2x, este término se suma al cociente y se multiplica por (x + 2) para que este resultado se reste al residuo.

x2 +2x

x + 2 x3 + 4 x 2

- x3 – 2 x2

+2 x2

-2 x2 – 4x

– 4x

Repite el procedimiento para dividir – 4x entre

( x + 2 ) utilizando los primeros términos. El

resultado es – 4 y se escribe en el cociente,

multiplicas y finalmente restas.

¡No olvides cambiar el signo!

x2 +2x - 4 x + 2 x3 + 4 x 2

- x3 – 2 x2

+2 x2

-2 x2 – 4x

– 4x

8 Residuo

4x + 8

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

Cabe aclarar que al ordenar en forma descendente ( de mayor a menor el

exponente) el polinomio del dividendo, podrían faltar uno o varios términos, los

cuales se agregarían teniendo cada uno, el coeficiente cero (0) .

Ejemplo:

Dividir: x2 – 16 entre x + 5

Una división algebraica se termina cuando:

El grado del dividendo sea menor que el del divisor.

El coeficiente del dividendo no sea divisible exactamente entre el divisor.

Instrucciones: Efectúa las operaciones indicadas :

a) Suma de monomios y polinomios

1. 3 x y + 7 x y + x y + 2 x y =

2. 6 x + 8 y + 5 z + 6 y + 3 z + 2 x + 4 y + x + 7 z + 4 =

3. ½ a + 2/3 x + ¾ a + 5/6 x + 3/8 a + 7/12 x = b) Sustracción de monomios y polinomios

1. 8mm– 5mm =

2. (11a - 7 b + 4 c) –(6a + b + 8c) =

3. (4/9 mn + 11/18 m2 + 5/12 n2) - (- 4/3 mn + 7/6 m2 + 9/4 n2) =

c) Multiplicación de monomio por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio

1. ( x2 y)(-2 x y ) =

2. ( a b )(b2 - a2 ) =

3. ( 2mn)(2m- 3n-4mn+1) =

4. ( - b2 c)( a3 – 2 ab + 3 bc3 ) =

x - 5 x + 5 x2 +0x -16

- x2 – 5x

-5x -16

5x + 25

9 Residuo

El resultado es:

X - 5 + 9

X + 5

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

5. ( y + 2 x )( x2+ x y – y2 ) =

6. ( x 2– 2 x + 4 ) ( 3 x2 – 5 x – 2 ) =

7. (3 x2 y – 6 x y2 + 12 x ) ( - 6 x2 + 3 x + 1 ) =

d) División de monomio entre monomio, polinomio entre monomio y polinomio entre

polinomio:

1) 23

352

xa

xa 5)

x

xxx

2

6104 23

2) ax

xa

3

15 32

6)

4

12102

23

x

xxx

3) x

x

7

21 3

7)

2

610342

2345

aa

aaaaa

4)

2

234

2

23

x

xxx 8)

1

152 345

y

yyy

9) Se tiene un terreno rectangular cuya área es 217 m2 y uno de los lados es igual a

7 m. ¿Cuánto mide el lado desconocido?

10) Si el área de una parcela rectangular es 24 x2 + 62 x + 14 metros cuadrados; y uno de los lados es igual a 3 x + 7 metros. ¿Cuánto mide el otro lado?

Ejercicio: 1.4) Efectuar las divisiones indicadas.

(a4 b2 c5) (a b c2)= (6 x2 y5) ÷ (2 x y2)= (14 a2 b3 c) ÷ (- 14 a2 b3 c)= (9 a2 b5 c) ÷ (- 3 a5 b c4)= (18 x3 y4 z) ÷ (2 x5 y z2 9)= (2 x3 y4 z2) ÷ (- 12 x5 y2 z4)= (12 a3 b2 c + 6 a2 b3 c4 – 2 a b2 c3) ÷ (2 a b2 c) (7 x2 y2 – 21 x3 y4 + 14 x3 y5 z) ÷ (7 x2 y)= (4 a2 b4 + 8 a5 b3 c – 12 a3 b2 c4) (4 a5 b3 c2)= (x2 + 7 x + 12 ) ÷ (x + 3)= (6 x2 + 7 x – 5) ÷ (3 x + 5)= (18 x2 – 6 x – 4) ÷ (3 x + 1)= (12 a2 b2 – 16 a b x + 5 x2) ÷ (2 a b – x)= (14 x3 – 15 x2 + 16 x) ÷ (2 x – 3)=

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

(6 a2 x3 – a b x2 – 2 b2 x) ÷ (2 a x + b)= (10 a4 + 11 a3 – 6 a2 + 6 a + 9) ÷ (2 a + 3)= (4 a3 b3 + 6 a2 b2 + 10 a b – 2 a2 b3 – 3 a b2 – 5 b) ÷ (2 a b – b)=

III. POTENCIA Reglas: Los coeficientes se elevan a la potencia. Los exponentes se multiplican por la potencia. Signos: Si la cantidad es negativa, y se eleva a una potencia impar, el resultado será negativo, en todos los demás casos será positivo.

Ejemplos: Elevar a la potencia indicada

(+ 7 a2 b3) 2 = + (7) 2 a2x2 b3x2 = + 49 a4 b6

(+ 5 x3 y) 3 = + (5) 3 x3x3 y1x3 = + 125 x9 y3

(- 3 a4 b2) 2 = + (3) 2 a4x2 b2x2 = + 9 a8 b4

(- 2 x3 y4) 5 = - (2) 5 x3x5 y4x5 = - 32 x15 y20

Ejercicio: 1.5) Elevar las cantidades siguientes a la potencia indicada.

(2 a b2) 2 =_______________________ 6.) (- 3 x2 y) 5 =_______________

(3 a2 b3) 2 =______________________ 7.) (4 a3 b) 3 =_______________

(- 5 a4 b) 2 =_______________________8.) (- 5 x3 y4) 3 =_____________

(- 7 x2 y) 3 =_______________________9.) (- 2 a2 b3) 4 =_____________

(2 a4 b2) 4 =_______________________10.) (- 3 a3 b4) 2 =_____________

RAIZ

a) A los números grandes o coeficientes de le saca raíz. b) Los números chicos o exponentes se divide entre el índice de la raíz.

SIGNOS: la Raíz de un número negativo se puede sacar si el índice de la raíz es impar: raíz cubica, quinta, etc. Y el resultado será negativo.

CO

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IMP

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NO

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ALGEBRA

IV. P R O D U C T O S N O T A B L E S Como su nombre lo dice, los productos notables son multiplicaciones especiales y por ese motivo, no las vamos a efectuar en forma de multiplicación normal, por lo que las resolveremos mediante la aplicación de una regla que mencionaremos para cada caso en particular. También para cada caso vamos a dar la forma de identificar a que producto notable se refiere y poder aplicar la regla correspondiente. Nota: Es recomendable para el alumno, no hacer ningún ejercicio hasta saber

correctamente la identificaron y la regla de cada uno de los productos notables.

BINOMIO CUADRADO PERFECTO Identificación: Son dos términos con un mas o un menos en medio, encerrados en

un paréntesis y elevados al cuadrado. El primer término al cuadrado, más el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo término.

Regla: El primer término al cuadrado, más el doble producto del primero por el

segundo, mas el cuadrado del segundo término. Ejemplos: Elevar al cuadrado los siguientes binomios.

1) ( x + y )2 = ( x )2 + 2 ( x ) ( y ) + ( y )2 = x2 + 2 x y + y2

2) ( 3m3 - 2a2 )2 = ( 3m3 )2 + 2 ( 3m3 ) ( - 2a2 ) + ( - 2a2 )2

= 9m6 - 12a 2 m3 + 4a 4

3) ( 2a2 b + 3a3 b2 )2 = ( 2a2 b )2 + ( 2a b2 ) ( 3a3 b ) + (3a3 b2 )2

= 4a4 b + 12a5 b3 + 9a6 b4

Ejercicios de afirmación: Elevar al cuadrado los siguientes binomios.

1.) ( 3a + 2b ) = _______________________________________________

2.) (2a3 b – 2a2 b )2 = __________________________________________

__________________________________________________________ _________________________________________________________

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NO

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ALGEBRA

BINOMIO CUBO PERFECTO

Identificación: Son dos termino con un mas o un menos en medio, encerrados en un paréntesis y elevados al cubo.

Regla: El primer término al cubo, más tres veces el primero al cuadrado por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, mas el cubo del segundo término.

Ejemplos: Elevar al cubo los siguientes binomios.

1.) ( x y )3 = ( x )3 + 3 ( x )2 ( y ) + 3 ( x ) ( y )2 + ( y )3

= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3

2.) ( 3a2 + 2ab )3 = ( 3a2 )3 + 3 ( 3a2 )2 ( 2ab ) + 3 ( 3a2 ) ( 2ab )2 +( 2ab )3

= 27a6 + 3 ( 9a4 ) ( 2 ab ) + 3 ( 3a2 ) ( 4a2 b ) + 8a3 b3

= 27a6 + 54a5 b + 36a4 b + 8a3 b3

3.) ( 3ab – 2a b ) =

= ( 3ab3 – )3 + 3 ( 3ab3 )2 ( - 2a3 b ) + 3 ( 3ab3 ) ( -2a3 b )2 + ( -2ª b )3

= 27a3 b9 + 3 ( 9a2 b6 ) ( - 2a3 b ) +3 ( 3ab3 ) (4a6 b2 ) – 8a9 b3

= 27a3 b9 – 54a5 b7 + 36a7 b5 – 8a9 b3

Ejercicios de afirmación: Elevar al cubo los siguientes binomios. 1.) ( 2x2 + 3y )3 = ______________________________________________

__________________________________________________________ __________________________________________________________

2.) (3a2 b – 3ab3 )3 =

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

_______________________________________________________

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NO

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ALGEBRA

BINOMIOS CONJUGADOS Identificación: son dos paréntesis multiplicando con dos términos cada uno, los

primeros términos década paréntesis son iguales y los segundos términos también, solo difieren en el signo.

Regla: El primer termino el cuadrado menos el segundo término al cuadrado. Ejemplos: Efectuar los siguientes binomios conjugados. 1.) ( 2a – y ) ( 2a + y ) = ( 2a )2 – ( y )2 = 4a2 – y 2

2.) ( 5x2 y – 3b3 ) ( 5x2 y + 3b3 ) = ( 5x2 y + 3b3 ) = ( 5x2 y )2 – ( 3b3 )2

= 25x4 y2 – 9b6

3.) ( a6 b2 – 7x3 y4 ) ( a6 b2 + 7x3 y4 ) = ( a6 b2 )2 – ( 7x3 y4 )2 = a12 b4 – 49x6 y8

Ejercicios de afirmación: Efectuar los siguientes binomios conjugados. 1.) ( 3m – 1 ) ( 3m + 1) = _________________________________________ _______________________________________________________________ 2.) (4a3 b – 2x4 ) ( 4a3 b + 2x4 ) = __________________________________ _______________________________________________________________ BINOMIOS CON TERMINO COMUN Identificación: Son dos paréntesis multiplicando con dos termino cada uno, el

primer termino de cada paréntesis es igual (termino común) y el segundo término de cada paréntesis es diferente (termino no común).

Regla: El termino común al cuadrado, más la suma algebraica de los términos no

comunes por el término común, más la multiplicación de los términos no comunes.

Ejemplos: Efectuar los siguientes binomios con termino común. 1.) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = ( x )2 + ( 2 + 5 ) ( x ) + ( 2 ) ( 5 ) = x2 + 7x + 10

CO

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ALGEBRA

2.) ( m2 – 8 ) ( m + ) = ( m2 )2 + ( -8 + 2 ) ( m2 ) + ( -8 ) ( +2 ) = m4 – 6m2 – 16

3.) ( 5y3 – m ) ( 5y3 + n )2 = ( 5y ) + ( - m + n ) ( 5y3 ) + ( - m ) ( n ) = 25y6 – 5my3 + 5ny3 – m n

Ejercicios de afirmación: Efectuar los siguientes binomios con término común. 1.) ( y + 8 ) ( y – 3 ) = ____________________________________________ = _______________________________________________________________ 2.) ( 3a2 + 9 ) ( 3a2 – 2 ) = _______________________________________ _______________________________________________________________ PRODUCTOS QUE DAN UNA SUMA O UNA DIFERENCIA DE CUBOS Identificación: Son dos paréntesis multiplicando, uno con dos términos y otro con

tres términos; en el segundo paréntesis se encuentran, el primer término al cuadrado, la multiplicación de los términos, y el segundo término al cuadrado.

Los signos deben ser: Regla: El primer término al cubo más o menos el segundo término al cubo. Ejemplos: Efectuar los siguientes productos que dan una suma o diferencia de cubos. 1.) ( 3x + y ) ( 9x2 - 3xy + y2 ) = ( 3x )3 + ) ( y )3

= 27x3 + y3

2.) ( 3m – 2b2 ) ( 9m2 + 6b2 m + 4b4 ) = ( 3m )3 – ( 2b2 )3

= 27m3 – 8b6

3.) ( 2a2 b + 3a3 b2 ) ( 4a4 b2 – 6a5 b3 + 9a6 b4 ) = ( 2a2 b )3 + ( 3a3 b2 )3

= 8a6 b3 + 27a9 b6

Ejercicios de afirmación: Efectuar los siguientes productos que dan una suma o diferencia de cubos.

1.) ( m2 – 3n ) ( m4 + 3m2 n + 9n2 ) = _______________________________

( x + y ) ( x2 – xy + y2 )

( x – y ) ( x2 + xy + y2 )

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ALGEBRA

_______________________________________________________________ 2.) ( 4a3 + 2ab ) ( 16a6 – 8a4 b + 4a2 b2 ) _____________________________ POLINOMIO AL CUADRADO Identificación: Son tres o más termino encerrados en un paréntesis y elevados al cuadrado. Regla: El cuadrado de cada uno de los términos, mas el doble producto del primero

por el segundo, mas el doble producto del primero por el tercero y así sucesivamente, mas el doble producto del segundo por el tercero, mas el doble producto del segundo por el cuarto y así sucesivamente.

Ejemplos: Elevar al cuadrado los siguientes polinomios. 1.) ( a + 2c + d )2 = (a)2 + (2c)2 + (d)2 + 2 (a) (2c) + 2 (a) (d) + 2 (2c) (d) = a2 + 4c2 + d2 + 4ac + 2ad + 4cd 2.) ( 3m + 2a2 – 4b3 )2 = =( 3m)2 + (2a2 )2 + ( -4b3 )2 + 2 ( 3m ) (2a2 ) + 2 ( 3m ) ( - 4b3 ) + 2 ( 2a2 ) ( - 4b3) = 9m2 + 4a4 +16b6 + 12a2 m – 24b3 m – 16a2 b3 Ejercicios de afirmación: Elevar al cuadrado los siguientes polinomios.

1.) ( x + y – 3z ) = ________________________________________________

_______________________________________________________________

2.) (m2 +2ab3 – 3b )2 =_____________________________________________

_______________________________________________________________

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ALGEBRA

Ejercicio: Anotar la identificación en cada caso y posteriormente en tu cuaderno de trabajo por medio de las reglas, desarrollar los siguientes productos notables. 1.) ( x + y )2 ___________________________________________________

2.) ( x + y )3 __________________________________________________

3.) ( x + y ) ( x – y )_____________________________________________

4.) ( x + 3 ) ( x + 2 ) ____________________________________________

5.) ( x – y ) ( x2 + xy + y2 ) _______________________________________

6.) ( 2x – 3a )2 _________________________________________________

7.) ( 2x – 3a )3 _________________________________________________

8.) ( 2x – 3a ) ( 2x + 3a ) ________________________________________

9.) ( 2x – 3a ) ( 4x2 + 6ax +9a2 ) _______________________________________

10.) ( 2a + 5 ) ( 4a2 – 10a + 25 ) ___________________________________

11.) ( 3a2 b + 5ab2 )2 _____________________________________________

12.) ( 3a2 b + 5ab2 )3 _____________________________________________

13.) ( 3a2 b + 5ab2 ) ( 3a2 b – 5ab2 ) ________________________________

14.) ( 3a2b + 8 ) ( 3a2 b – 7 ) _______________________________________

15.) ( 3a2 b + 5ab2 ) ( 9a4 b2 – 15a3 b3 + 25a2 b4 )______________________

___________________________________________________________

16.) ( 2x4 – 8x2 y )2 ______________________________________________

17.) ( 2x4 – 8x2 y )3 ______________________________________________

18.) ( 2x4 – 8x2 y ) ( 2x4 + 8x2 y ) ___________________________________

19.) ( 2x4 + 3a ) ( 2x4 + 5b ) ______________________________________

20.) ( 2x4 – 8x2 y ) ( 4x8 + 16x6 y + 64x4 y2 )___________________________

___________________________________________________________

21.) ( 3a2 b2 + 5ab3 )2 ____________________________________________

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22.) ( 3a2 b2 + 5ab3 )3 ____________________________________________

23.) ( 3a2 b2 – 4 ) ( 3a2 b2 – 6 ) ____________________________________

24.) ( 3a2 b2 + 5ab3 ) ( 3a2 b2 – 5ab3 ) ______________________________

25.) ( 3a2 b2 + 5ab3 ) ( 9a4 b4 – 15a3 b5 + 25a2 b6 )_____________________

___________________________________________________________

26.) ( x4 y6 – x3 y2 )2 _____________________________________________

27.) ( x4 y6 – x3 y2 )3 _____________________________________________

28.) ( x4 y6 – x3 y2 ) ( x4 y6 + x3 y2 ) __________________________________

29.) ( x4 y6 – a ) ( x4 y6 – c ) ______________________________________

30.) ( x4 y6 – x3 y2 ) ( x8 y12 + x7 y8 + x6 y4 )___________________________

___________________________________________________________

31.) (2a – b + 3c )2 ______________________________________________

32.) (x – 2x2 + 3x3 )2 ____________________________________________

33.) (2ab + 3b2 – 2c3 )2 __________________________________________

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ALGEBRA

GUIA PARA EXAMEN

Resuelve en tu cuaderno la solución para el siguiente grupo de ejercicios y coteja tu resultado con los resultados que se anexan.

1) (m+3)2 21) (x +5)(x – 2) SOLUCIONES

2) (5+x)2 22) (a – 11)(a + 10) 1) m2+6m+9

2)x2+10x+25

3) (6a + b)2 23) (a6 + 7)(a6 – 9) 3) 36a2+12ab+b2

4) 49x2+154x+121

4) (7x + 11)2 24) (ab + 5)(ab – 6) 5) 1+6x2+9x4

6) 4x2+12xy+9y2

5) (1+ 3x2)2 25) (x + 2)(x + 3) 7) 16m10+40m5n6+25n12

8) a2m+2am+n+a2n

6) (2x + 3y)2 26) (3ab – 5x2)2 9) a2-6a+9

10) 4a2-12ab+9b2

7) (4m5 + 5n6)2 27) (a2 + 8)(a2 – 7) 11) x4-2x2+1

12) x2-y2

8) (am + an)2 28) (m2–m + n)(n+m+m2) 13) a2-x2

14) 4a2-1

9) (a – 3)2 29) (x+5)(x-5)(x2+1) 15) 4m2-81

16) a6-b4

10) (2a – 3b)2 30) (a+2)(a-3)(a-2)(a+3) 17) 1-64x2y2

18) x2+2xy+y2-z2

11) (x2 – 1)2 31) (x2-11)(x2-2) 19) 4a2-4ab+b2-c2

20) ) a2+3a+2

12) (x + y)(x – y) 32) (m2-m+n)(n+m+m2) 21) x2+3x-10

22) a2-a-110

13) (a –x)(x + a) 23) a12-2a6-63

24) a2b2-ab-30

14) (2a– 1)(1 + 2a) 25) x2+5x+6

26) 9a2b2-30abx2+25x4

15) (2m + 9)(2m – 9) 27) a4+a2-56

28) m4+2m2n+n2-m2

16) (a3 + b2)(a3 – b2) 29) x4-24x2-25

30) a4-13a2+36

17) (1 – 8xy)(1 + 8xy) 31) x4-13x2+22

32) m4+2m2n+n2-m2

18) (x + y +z)(x + y – z)

19) (2a – b – c)(2a – b + c)

20) (a + 1)(a + 2)

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V. FACTORIZACIÓN

Para cada operación existe una nueva que regresa el a lo que era antes por ejemplo el regreso de la suma es la resta el de la multiplicación la división y el regreso de los productos notables es la factorización tema que vamos a trabajar Vamos a recordar cómo se factoría en aritmética para que en forma similar la ágamos la factorización en algebra Ejemplos Aritmética algebra 1.) ---------------- 2.) -------------- 3.) --------------- Al igual que en los productos notables y a diferencia de los demás textos para cada factorización la forma de identificarse y sus reglas Trinomio cuadrado perfecto Identificación: son tres términos y dos de ellos tiene raíz cuadrad exacta. Regla: Se extrae la raíz cuadrada a los términos que la tiene se pone el signo del otro termino en medio se encierra en uno de los paréntesis y se el va al cuadrado.(para checar se multiplica dos veces el termino por el segundo y debe dar el termino que no tiene raíz cuadrad exacta).

1) 2.)4x4 – 12x3y + 9x2y2 3.) 1.) 2.) 3.) 4.) 5.)

6.)

Ejercicios de afirmación: factor izar los siguientes trinomios cuadrados perfectos 1.) 2.) 3.) ____________ _______________ _________________

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Factor común Identificación: Son dos o más términos y algo se repite en todos y cada uno de ellos Regla: se saca como factor común al mayor numero que se repite y de las letras que te repite mayor exponente Ejemplos: factor izar los siguientes factores comunes.

1.) 2xy2 – 3x3y + x4yz = xy(2y – 3x2 + x3z)

2.) 15x3y – 20x4z + 30x6m = 5x3 ( 3y – 4xz + 6x3m)

3.) 12m2n2 + 18m3n – 24m6n = 6m2n ( 2n + 3m – 4m4) Ejercicios de afirmación: factorizar los siguientes factores comunes. 1.) ________________________________________________ 2.)21 ab2-14 a3 b4 + 28 a4 b = ____________________________________________ Cuadrado cubo perfecto Identificación: Son cuatro términos y dos de ellos tiene raíz cubica exacta. Regla: se extrae la raíz cubica a los términos que la tiene si todos los signos son positivos son positivos se pone una más en medio si lo signos son alterados se pone menos en medio se encierran en paréntesis Y se eleva al cubo. (Es conveniente checar los términos con la regla del producto notable). Ejemplos: factorizar los siguientes cuatrinomios cubos perfectos.

1) 2)

(a+1

2) 8a6b3

Ejercicios de afirmación: factorizar los cuatrinomios cubos perfectos.

1.) 27 a6b3 – 54 a4b2 + 36 a2b – 8 =_________________________

2.) _________________________

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ALGEBRA

Trinomio cuadrado no perfecto De la forma: Regla: se factoriza en dos paréntesis multiplicando, se le quita el cuadrado al termino que no tiene y se le coloca como primer termino de de cada paréntesis se busca dos números que multiplicados den el ultimo termino (C) y sumados el de en medio ( b ) y se le coloca como segundo términos de cada paréntesis Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios cuadrados no perfectos. ) (3) (7) = 21 (-3) (-5)=15 3 + 7 = 10 - 3 - 5 = - 8

(9)(-3)=-27 (-15)(5)=-75 +9 -3=+6 -15+5=-10 Ejercicios de afirmación: factorizar los trinomios cuadrados no perfectos

1.) ____________________________________________________

2.) ___________________________________________________

Trinomio cuadrado no perfecto

De la forma

Identificación: son tres términos no es cuadrado perfecto no es factor común y el coeficiente que acompaña a la (x2) es diferente de uno. Regla: La factorización en dos paréntesis multiplicando con dos términos cada uno de los primeros términos de cada paréntesis multiplicando deben de dar el primeros términos de cada paréntesis multiplicados deben da el primero (ax2) los dos últimos términos de cada paréntesis multiplicado dar el últimos (c) y el producto de los dos extremos sumados con el producto de los extremos sumados con el producto de los dos medios deben dar el de en medio (bx).

CO

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RE

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NO

CO

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ALGEBRA

Ejemplos factorizar los siguientes trinomios cuadrados no perfectos con a 1 6x2-19x+10 7x2+19x-6 -4x +21x -15x -2x ___-19x___ __+19x_____ (2x-5) (3x-2) (7x-2) (x+3) (6x2) (7x2) (10) (-6) Ejercicios de afirmación: factorizar los trinomios cuadrados no perfectos con a=1

1. 6x2 – 13x + 6 2. 12x2 + 22x – 4

____________________ ______________________ AGRUPACIÓN: Identificación: son cuatro términos, no es factor común y no es cuatrinomio cubo perfecto. Regla: se eligen por parejas y se saca el factor común de cada pareja asegurándose que los términos de los paréntesis queden iguales, se agrupan en un paréntesis los factores comunes y en otro paréntesis que los quedaron iguales Ejemplo: Factorizar las siguientes agrupaciones.

1. Xy + xz + wy + wz 2. ac – ax – 3bc + 3bx X(y + z) + w(y + z) a(c – x) – 3b(c – x) (x +w) (y +z) (a – 3b) (c – x)

Ejercicios de afirmación: Factorizar las siguientes agrupaciones.

1. ac - ad – bc + bd 2. 6a3 – 10a2b2 + 9ab – 15b3

______________________ _________________________ DIFERENCIA DE CUADRADOS Identificación: Son dos términos que tienen raíz cuadrada exacta con un menos en medio. Regla:Se factoriza en dos paréntesis multiplicando con dos términos cada uno se saca raíz cuadrada a cada uno de los términos y se coloca como primeros y segundos términos en cada paréntesis la diferencia el signo. Ejemplos: Factorizar las siguientes diferencias cuadrados.

CO

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ALGEBRA

1. ) 2. 3.

Ejercicios de afirmación: Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados.

_________________________________________________________ ____________________________________________________ SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS Identificación: Son dos términos que tienen raíz cubica exacta con un mas o un menos en medio. Regla: Se factoríza en dos paréntesis multiplicado uno con dos términos y otro con tres; se le saca raíz cubica a los términos y se le coloca en el primer paréntesis, en el segundo paréntesis va el primer término al cuadrada, la multiplicación de los dos, y el segundo al cuadrado. Signos: Diferencia de cubos (x3 – y3) = (x – y) (x2 + xy + y2) Suma de cubos (x3 + y3) = (x + y) (x2 - xy + y2) Ejemplos: Factor izar las siguientes sumas o diferencia de cubos.

1. a3b3 – 1 = (ab – 1) (a2b2 + ab + 1)

2. x9 + y9 = (x3 + y3) (x6 – x3y3 + y6) 3. 64a3b9 – 125c6 d12 = (4ab3 -5c2 d4) (16a2b6 + 20ab3 c2 d4 + 25c4 d8)

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ALGEBRA

Ejercicios: Anotar la identificación en cada caso y posterior en el cuaderno de trabajo por medio de reglas efectuar las siguientes factorizaciones. Es importante no resolver estos ejercicios por parte del alumno si antes saber las identificaciones de reglas.

1) A2- 4a + 4______________________________________________________

2) Ax2+a2xy_______________________________________________________

3) A3-3ab2+3ab2-b3_________________________________________________

4) X2+3x+2_______________________________________________________

5) 4x2+10x+6_____________________________________________________

6) Ac-bc+ad-bd____________________________________________________

7) A3+x3__________________________________________________________

8) X4-y4__________________________________________________________

9) 9x2-30x+25_____________________________________________________

10)5ab2-10a2b2+15a3b3c_____________________________________________

11)27a6- 108a4 + 144a2 - 64______________________________________

12)X2 - 11x+24________________________________________________

13)2x2+7x-15_________________________________________________

14)8ab2+6a2-12b3-9ab_________________________________________

15)A9-b9 __________________________________________________________________________

16)9a2-25_____________________________________________________

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ALGEBRA

17)4x4+12x2y3+9y6_________________________________________________________________

18)4a3b-8abc______________________________________________

19)X3+9x2y+27y3+27xy2_____________________________________________________

20)X2-3x-18___________________________________________________

21)3x2-2x-5___________________________________________________

22)8ac-14ax+12bc-21bx_________________________________________

23)49b6-x8__________________________________________________________________________

24)46b4+b-12abx2_________________________________________________________

25)2xy+3xy2-8xy3______________________________________________________________________

26)125x+225xy+135xy+27y____________________________________

27)Y+11y+28__________________________________________________

28)6x+13+6___________________________________________________

29)15xy-12x+10xy-8y__________________________________________

30)125a-64x__________________________________________________

31)36a2b2-4x8____________________________________________ 32)25ab2-70ab2+49x2y2_________________________________________ 33)3x3y2-6xy3+9xy____________________________________________ 34)Ab—3abx+3abx-x____________________________________________

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ALGEBRA

VI. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado con una incógnita, es un igualdad con dos miembros, el de la izquierda y el de la derecha, la incógnita que normalmente está representada por letras como x, y ó z esta siempre elevada a la primer potencia y para encontrar su valor debemos despejar esta letra o incógnita.

Despejar significa hacer los tres pasos siguientes:

a) Dejar la incógnita sola

b) Dejar la incógnita positiva

c) Dejar la incógnita arriba (en el numerador).

Con la aplicación de las propiedades de los números reales, se puede hacer el despeje paso a paso hasta encontrar el valor buscado, aunque esto es lo adecuado, no es lo más operante o práctico, una forma práctica de obtener este despeje, es mover las piezas de la igualdad en la forma como se indica a continuación: Si una cantidad que se va a mover está sumando, pasa al otro lado restando. Si una cantidad que se va a mover está restando, pasa al otro lado sumando. Si una cantidad que se va a mover está multiplicando, pasa al otro lado dividiendo. Si una cantidad que se va a mover está dividiendo, pasa al otro lado multiplicando.

SUMANDO = RESTANDO MULTIPLICANDO = 1 / DIVIDIENDO RESTANDO = SUMANDO 1 / DIVIDIENDO = MULTIPLICANDO

Debemos observar que cuando la pieza se cambia de un lado a otro del

igual, el cambio debe ser de operación, no de signo. Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado.

CO

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ALGEBRA

1) X + 5 = 17 2) 3x – 8 = 7

X = 17 – 5 3x = 7 + 8 X = 12 3x = 15 X = 15 / 3 X = 5 Es bien importante que el despeje se haga paso por paso, y solo se

saltara uno los pasos, cuando se tenga practica suficiente para hacerlo. Otro punto importante es llevar alineados en forma vertical los signos de

igual, de esta manera se observa fácilmente los movimientos de las piezas de un lado a otro del igual.

En los casos de haber fracciones, para poder mover el denominador de la fracción, debe estar dividiendo a todo lo que este de ese lado, por lo tanto hay que sacar el común denominador para posteriormente poder moverlo.

3.) 33x = 99 4.) 2x + 20 = -8x – 10 5.) 3(2x + 4) = 4x - 8 X = 99 2x + 8x = -20 – 10 6x + 12 = 4x – 8 33 X = 3 10x = -30 6x – 4x = -12 - 8

X = -30 2x = -20 10 X = -3 x = -20 2 X = -10

6.) x / 3 + x / 6 = 4 7.) 3x + 2 = 5x – 4 8.) 2x – 3 = (3x + 2) 2x + x = 4 5 3 5 6 3(3x + 2) = 5(5x – 4) 2x – 3 = 5 (3x + 2) 3x = 4 9x + 6 = 25x – 20 2x – 3 = 15x + 10 6 9x – 25x = -20 – 6 2x – 15x = 10 + 3 3x = 4(6) -16x = -26 -13x = 13 3x = 24 x = -26 / -16 x = 13 / -13 X = 24/3 x = 13 x = -1 X = 8 8

CO

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ALGEBRA

Ejercicio: Resolver las ecuaciones siguientes de primer grado en tu cuaderno y después resolverlo en el programa proporcionado por el profesor o puedes consultar la siguiente página http://www.ematematicas.net/ecuacion.php inserta el resultado que obtuviste, dar enter y ver la solución y compárala con la obtenida registrándola en tu cuaderno.

.

1) X + 8 = 3 2) X – 4 = -7 3) 5 – x = 9 4) 8 = -x + 2 5) -7 + x = 12 6) 2x – 8 = 2 7) 3x = 12 8) -4x = 16 9) -8x = -64 10) 20/x= 5

Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado

En los problemas que se resuelven mediante el planteamiento de

ecuaciones de primer grado con una incógnita, es necesario identificar la

CO

PIA

IMP

RE

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http://www.ematematicas.net/ecuacion.php



ALGEBRA

incógnita y darle un nombre (X), entonces cuando tengamos que pensar en un número desconocido, pensaremos siempre en (X) y a partir de esto, las combinaciones que de este número desconocido se puedan presentar, como por ejemplo: Un numero cualquiera X El cuadrado del numero x2

El doble de un numero 2x El cubo del numero x3

El triple del numero 3x El numero aumentado en dos x + 2 El cuádruplo del numero 4x El numero aumentado en tres x + 3 El quíntuplo del numero 5x El numero disminuido en cinco x – 5 La mitad de un numero x / 2 La cuarta parte del numero x / 4 La tercera parte del numero x / 3 La quinta parte del numero x / 5 Con la idea clara de cómo este número desconocido puede estar disfrazado, podemos tratar de plantear una ecuación de primer grado con una incógnita, que al ser resuelta encontraremos el valor del numero buscado.

1. Encuentra un numero que al sumarle 2 da como resultado 18.

PLANTEO SOLUCION Un numero cualquiera (X) x + 2 = 18 Un numero sumado con 2 (X + 2) x = 18 – 2

X = 16

2. La suma de dos números enteros consecutivos da como resultado. Encuentra cuáles son esos números. PLANTEO SOLUCION

Un numero cualquiera (X) x + (x +1) = 25 Un numero sumado con (X + 1) x + x +1 = 25 2x = 25 – 1 X = 24/2 X = 12 Ahora resuelve en tu cuaderno los problemas del libro Algebra Didáctica para preparatoria del autor J. Alejandro Pérez y Romero.

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ALGEBRA

VII. SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

Se le da el nombre de sistemas de ecuaciones a un conjunto de dos o

más ecuaciones que tienen idénticas soluciones, por lo que también se les

llama ecuaciones simultáneas.

Veamos el siguiente problema:

Víctor compra un kilogramo de sal y dos kilogramos de harina por $8.00;

en la misma tienda Amado compra dos kilogramos de sal y dos kilogramos de

harina por $10.00. ¿Cuál es el precio de un kilogramo de sal y un kilogramo de

harina?

Este problema podría ser resuelto por tanteo, es decir proponer

diferentes precios que satisfagan las condiciones del problema. Por ejemplo si

el kilogramo de sal, vale $1.00 entonces el kilogramo de harina costara $3.50

para la compra de Víctor, pero esta solución no satisface a la compra de

Amado ya que el total sería $9.00, podríamos seguir indagando otras

cantidades que pudieran ser la solución, siguiendo la estrategia de aumentar el

precio de un artículo y disminuir el de otro. Sin embargo, como notaras la

inversión de tiempo a través de este método puede ser prolongado y el álgebra

se encarga de resolver problemas de la manera más general posible. Por lo

que recurriremos a otra estrategia de solución.

Para resolver este problema por un método propio del álgebra se siguen

los siguientes pasos:

1. Se utiliza “x” para representar 1Kg de sal, e “y” para representar 1Kg de

harina.

2. Se escribe el enunciado del problema en lenguaje algebraico

x + 2y = 8

2x + 2y = 10

CO

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CO

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ALGEBRA

3. A las ecuaciones obtenidas se les llama sistemas de ecuaciones, las cuales

se pueden resolver por varios métodos (cabe destacar que todos nos llevan a

la misma solución), nosotros estudiaremos los siguientes:

a) Suma o resta

b) Igualación

c) Sustitución

d) Gráfico

e) Por determinantes

a) Método de suma o resta.

Este método consiste en lo siguiente: Se modifican las ecuaciones del

sistema dado de tal manera que se igualen en valor absoluto los coeficientes

de una de las incógnitas y tengan signos contrarios, por lo que al sumarse

algebraicamente se elimine una de las incógnitas. Apliquemos el método al

sistema generado del problema anterior.

Primero asignemos un número que identifique a nuestras ecuaciones, sean

estos 1 y 2 de la siguiente manera:

x + 2y = 8 -------------- (1)

2x + 2y = 10 -------------- (2)

Segundo como los coeficientes de "y" en ambas ecuaciones son iguales

“se resta la primera ecuación de la segunda”, (para ello se cambian los

signos de la primera ecuación).

2x + 2y = 10

- x - 2y = - 8

x = 2

De donde obtenemos el valor de la incógnita "x"

Para obtener el valor de la incógnita “y”, se multiplica la primera

ecuación por el coeficiente de “x” de la segunda ecuación; al realizar la

operación se obtiene:

2 ( x + 2y ) = 2(8)

CO

PIA

IMP

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ALGEBRA

2x +4y= 16

Después se resta la ecuación obtenida de la segunda (para ello se

cambian los signos de la ecuación obtenida):

2x + 2y = 10

-2x - 4y = -16

-2y = -6

26y

y = 3

De donde obtenemos el valor de la incógnita "y"

Así la solución del sistema es x=2 e y=3

Otra forma de encontrar el valor de “y” es sustituyendo el valor de “x” en

cualquiera de las dos ecuaciones propuestas en el sistema, en este caso

tomaremos la primera ecuación y sustituiremos x = 2 para encontrar el valor

de “y”.

(2) + 2y = 8

Pasamos el “2” que sustituyó a la “x” al segundo miembro quedando:

2y = 8 – 2

Nos quedará:

2y= 6

Dividimos ambos miembros entre “2” para dejar despejada “y”,

26

22y

Y el resultado es:

y = 3

Observemos que la solución del sistema es igual que por el

procedimiento anterior quedando: x = 2 e y = 3

CO

PIA

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ALGEBRA

Concluyendo: El costo de 1 Kg. de sal es de $2.00

Y el costo de 1Kg de harina es $3.00

Para comprobar estos resultados se sustituyen en cada una de las

ecuaciones originales y si éstos son correctos se deberá cumplir la igualdad es

decir:

Al sustituir los valores x = 2, e y = 3 en las dos ecuaciones se obtiene:

Primera ecuación

x + 2y = 8

2 +2(3) = 8

2 + 6 = 8

8 = 8

Segunda ecuación

2x + 2y = 10

2(2) + 2(3) = 10

4 + 6 = 10

10 = 10

Al comprobar que en las dos ecuaciones se cumple, se dice que los valores

encontrados son correctos.

b) Método de igualación.

Para ejemplificar este método se considera el mismo sistema de

ecuaciones es decir:

x + 2y = 8 ---------------------------- (1)

2x + 2y = 10 ---------------------------- (2)

Primero se despeja "y" de la ecuación 1 resultando:

x + 2 y = 8

2y = 8 - x

2x8y

---------------------------------(3)

CO

PIA

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RE

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NO

CO

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ALGEBRA

Después se despeja "y" de la ecuación 2, resultando:

22x10y

22x

210y

x5y ----------------------------------(4)

Igualando los valores obtenidos de "y" de las ecuaciones 3 y 4 se tiene:

2

8 x 1

5 x

1( 8 - x ) = 2( 5-x )

8 - x = 10 - 2x

2x – x = 10 - 8

x = 2

Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación (1):

(2) + 2 y = 8

2y = 8 – 2

2y = 6

26y

y = 3

Se observa que el resultado coincide con el método anterior.

Para la comprobación se procede de la misma manera que en el método

anterior.

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IMP

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NO

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ALGEBRA

c) Método de sustitución.

x + 2y = 8 ----------------------------- (1)

2x + 2y = 10 ----------------------------- (2)

Se despeja "y" de la ecuación 2

22x10y

22x

210y

x5y ----------------------------------(3)

Sustituyendo "y" en la ecuación (1) resulta:

x + 2(5 –x) = 8

x + 10 – 2x = 8

x – 2x = 8 –10

-x = -2

Multiplicando por (-1 ) se tiene:

-1 (-x) = -1 (-2)

x = 2

Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación (1)

2 + 2 y = 8

2y = 8 – 2

2y = 6

26y

y = 3

CO

PIA

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NO

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DA



ALGEBRA

Se observa que los resultados son iguales a los obtenidos en los métodos

anteriores.

d) Método gráfico:

El método consiste en graficar las ecuaciones lineales, donde cada una

de ellas nos representa una recta y el punto de intersección de ambas rectas

nos dará los valores que satisfacen el sistema de ecuaciones.

x + 2y = 8 --------------------------------(1)

2x + 2y = 10 -------------------------------(2)

Despejando “y” en las dos ecuaciones resulta:

2x8y

22x10y

22x

210y

x5y

CO

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RE

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ALGEBRA

Se asignan valores a "x" arbitrariamente para ambas ecuaciones

obteniendo para cada valor de "x" uno de "y", cada pareja de valores

corresponde a un punto que deberá ser ubicado en el plano cartesiano, para

formar las rectas que representan las ecuaciones, estos valores se registran

en una tabulación como se muestra a continuación.

x Y

-1 4.5

0 4.0

1 3.5

2 3.0

3 2.5

4 2.0

x y

-1 6.0

0 5.0

1 4.0

2 3.0

3 2.0

4 1.0

CO

PIA

IMP

RE

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NO

CO

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ALGEBRA

-2 -1 1 2 3 4

6

5

4

3

2

1

-1

-2

Al observar la gráfica se obtiene que el punto de intersección es: R (2,3)

estos son los valores de “x” e “y “que satisfacen ambas ecuaciones, es decir

X = 2; y = 3

2x8y

y = 5 – x

Y

R ( 2 , 3 )

CO

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ALGEBRA

e) método por determinantes

x + 2y = 8 ----------------------------- (1)

2x + 2y = 10 ----------------------------- (2)

Un determinante de segundo orden se define como el producto de los

términos que pertenecen a la diagonal principal menos el producto de los

términos que pertenecen a la diagonal secundaria donde ad son los elementos

de la diagonal principal y bc son los elementos de la diagonal secundaria, así:

Para obtener el valor de las variables procedemos de la siguiente manera:

Se forma un cociente de determinantes, en el denominador, el

determinante formado por las columnas de los coeficientes de las incógnitas,

en el numerador uno igual al denominador sólo que en el lugar de los

coeficientes de la incógnita a encontrar se sustituyen los coeficientes

independientes, así:

22

4

42

2016

)2)(2()2)(1(

)2)(10()2)(8(

22

21

210

28

x

32

6

42

1610

)2)(2()2)(1(

)8)(2()10)(1(

22

21

102

81

y

a c b d

= ad - bc a y d forman la diagonal principal b y c forman la diagonal secundaria

CO

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IMP

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CO

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ALGEBRA

Después de haber resuelto el problema por los diferentes métodos

podemos concluir que la solución x=2, y=3 significa: que Víctor compró1 Kg. de

sal a $2.00 y 2 Kg. de harina por $6.00 por lo que en total gastó $8.00. Amado

compró 2 Kg. de sal por $4.00 y de Kg. de harina por $6.00 por lo que gastó

$10.00, observamos que esta solución satisface ambas compras.

Se observa que por cualquiera de los métodos usados se obtienen los

mismos resultados. La recomendación es que se domine uno o dos métodos

para la resolución de sistemas de ecuaciones.

Veamos la solución de otro problema: En un corral hay gallinas y

borregos. Los animales tienen en total 60 cabezas y 150 patas. ¿Cuántas

gallinas y cuántos borregos hay en el corral?

SOLUCIÓN:

Como se observa existen dos variables (g) Gallinas y (b) Borregos

además se tiene dos datos de referencia (cabezas y patas) por lo que se

deberá relacionar para dar como resultado dos ecuaciones.

Datos:

En base a 60 cabezas en total

g+b=60 -------------------------------(1)

En relación al número total de patas 150, considerando dos patas para

las gallinas y 4 patas para los borregos

2g+4b=150 ---------------------------(2)

El sistema planteado podrá ser resuelto por el método que gustes, en

este caso nosotros lo haremos por el método de suma y resta.

Multiplicando por (2) la ecuación (1) y restando ésta a la ecuación dos; por lo

que cambiamos el signo a los coeficientes de la ecuación resultante.

2(g+b)=2(60)

2g+2b=120

CO

PIA

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RE

SA

NO

CO

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ALGEBRA

2g+4b= 150

-2g-2b=-120

2b=30

Despejando obtenemos

b=2

30

b =15

Sustituyendo en la ecuación (2) el valor de b =15

2g+4b=150

2g+4(15)=150

2g+60=150

2g=150-60

2g=90

g=2

90

g=45

Por lo tanto el número de borregos es 15 y el número de gallinas es 45.

Comprobemos

Número de cabezas

45 gallinas + 15 borregos = 60 animales

Número de patas

15 borregos (4 patas)+45 gallinas (2 patas)=150 patas

60 patas+90 patas=150 patas

CO

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CO

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ALGEBRA

Ejercicios propuestos.

1.- Elabora un problema en donde apliques el sistema de ecuaciones lineales

que se da a continuación

x + y = 12 R: x = 8 ; y = 4

x – y = 4

2.- Comprueba el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

por el método de tu preferencia:

4x – 2y = 9 R: x = 23 / 10 ; y = 1 / 10

3x + y = 7

3.- Comprueba el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas


5x – 4y = 3 R: x = - 1 / 9 ; y = – 8/ 9

6x – 3y = 2

4- Comprueba el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas


4x – 3y = -17 R: x = – 2 ; y = 3

2x + 5y = 11

5- Comprueba el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas


3x + y = 4 R: x = 2 ; y = – 2

2x + y = 2

6. La suma de dos números es 98 y su diferencia es 30, hallar dichos números.

R. x = 64; y = 34

7. La suma de dos números es 190 y 1/9 de su diferencia es 2. Encontrar

dichos números.

R. x = 104 ; y = 86

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

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ALGEBRA

8. Cinco trajes y tres sombreros cuestan $4,180.00, 8 trajes y nueve sombreros

cuestan $6,940.00, ¿Cuál es el precio de cada uno de los trajes y sombreros?

R. traje = $800.00 ; sombreros = $60.00

9. Un ranchero compra 4 vacas y 7caballos por $5,140.00 y más tarde a los

mismos precios compro 8 vacas y 9 caballos por $8,180.00, encontrar el costo

de una vaca y un caballo.

R. vaca = $550.00 ; caballo = $420.00

10. En un cine 10 entradas de adulto y 9 entradas de niño cuestan $5,120; 17

entradas de niño y 15 de adulto cuestan $8,310.00. ¿Cuál es el costo de

entrada de un adulto y un niño?

R. adulto = $350.00 ; niño = $180.00

11. La temperatura mínima tomada en la ciudad de México en dos días

distintos fue tal que cinco veces la del primer día más seis veces la del

segundo es igual a 121°. Seis veces la del primer día más cinco veces la del

segundo también es 121° ¿cuáles fueron las temperaturas mínimas en cada

uno de los días?

R= La temperatura de ambos días fue de 11 °C.

12. Dos hermanos trabajan en una misma empresa. La suma de sus salarios

diarios es $177.00; el salario de uno de ellos menos, $ 61.00, es la tercera

parte del salario del otro; ¿Cuál es el salario diario de cada uno?

R= Uno de ellos gana $90.00 al día y el otro gana $87.00 al día.

13. Una vendedora de flores camina al mercado, planea comprar una licuadora

con el producto de la venta del día. Pensó, sí vendo cada ramo en $5.00 me

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

faltarán $16.00 para completar el costo de la licuadora. Sí vendo cada ramo en

$7.00, podré comprar la licuadora y me sobrarán $4.00. ¿Cuántos ramos

llevaba y cuál es el costo de la licuadora?

R= Llevaba 10 ramos y la licuadora cuesta $ 66.00.

14. En un criadero de perros hay 523 cachorros. Sí hay 66 machos menos que

hembras. ¿Cuántos hay de cada sexo?

R= Hay 295 hembras y 228 machos

15. Dos amigos deciden hacerse socios, aportando para la sociedad

cantidades X e Y respectivamente. Juntos reúnen $ 27,120.00. Sin embargo,

antes de emprender el negocio, uno gasta tres cuartas partes de la cantidad

que tenía, el otro gasta $7,745.00 y en ese momento a ambos les queda la

misma cantidad. ¿Cuáles eran las cantidades iniciales?

R= Uno aporta inicialmente $15,500.00 y el otro $ 11,620.00

Ahora compara tus resultados visita la siguiente pagina, ingresa los datos y

obtén el resultado (http://www.vadenumeros.es/actividades/resolver-sistemas-

lineales.htm)

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

http://www.vadenumeros.es/actividades/resolver-sistemas-lineales.htm

http://www.vadenumeros.es/actividades/resolver-sistemas-lineales.htm



ALGEBRA

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

VIII. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES INCÓGNITAS

A continuación estudiaremos el método para resolver un sistema de

ecuaciones lineales con tres incógnitas. Para lo cual plantearemos el siguiente

problema que nos permitirá ejemplificar la aplicación del tema:

En un salón de clase tres estudiantes comentaban sobre el costo de tres

artículos de sus útiles escolares, adquiridos en la misma tienda: sí Luis compró

una goma de borrar, 2 lápices y 2 libretas por lo que pago $25.00; Enrique

compró 2 gomas de borrar, 1 lápiz y 3 libretas por lo que pago $34.00; Gabriel

compró 1 goma de borrar, 2 lápices y 4 libretas por lo que pago $45.00.

¿Cuánto les costó cada borrador, lápiz y libreta?

Solución: representemos las cantidades involucradas de la siguiente manera

x representa el costo de una goma de borrar.

y representa el costo de un lápiz.

z representa el costo de una libreta.

Utilizando el lenguaje algebraico de acuerdo al enunciado del problema,

nos resulta el siguiente sistema de ecuaciones:

x + 2y + 2z = 25 --------------------- (1)

2x + y + 3z = 34 ---------------------- (2)

x + 2y + 4z = 45 ---------------------- (3)

El sistema de ecuaciones obtenido puede ser resuelto por varios

métodos, como en el tema anterior, sin embargo lo resolveremos por el método

de suma y/o resta, por lo que a continuación señalamos los pasos que se

deben seguir para resolverlo.

Conocido el sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas, a las que

llamaremos ecuaciones originales e identificadas con los números del uno al

tres, seguiremos el método siguiente:

1. Se elige del sistema de ecuaciones originales a dos de ellas.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

2. Se aplica el método de suma y resta como en el tema anterior para eliminar

una incógnita, el resultado que se obtiene es una ecuación con dos

incógnitas y la identificamos como la ecuación número 4.

3. Se repite el paso número 1 eligiendo una de las ecuaciones originales que

no fue seleccionada en el paso uno, y se aplica el método de suma y/o resta

eliminando la misma incógnita que en el paso 2, el resultado que se obtiene

lo identificamos como la ecuación número 5.

4. Para resolver el sistema de dos ecuaciones lineales obtenido en las

ecuaciones 4 y 5, se aplica cualquiera de los métodos estudiados en el

tema anterior. En este paso se obtienen los valores de dos de las tres

incógnitas.

5. Se sustituyen los valores encontrados en el paso anterior en una de las

ecuaciones originales. Resultando una ecuación lineal con una incógnita y

resolviéndola, se encuentra el valor de la tercera incógnita.

6. Realice la comprobación como se vio anteriormente.

A continuación aplicaremos el método descrito para resolver el sistema

de ecuaciones resultado del problema planteado inicialmente en este tema.

Primero reduciremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a un

sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Para lo cual realizamos lo

siguiente:

1. Multiplicamos la ecuación (1) por el factor (3) y la ecuación (2) por el factor (-

2) y sumamos ambas ecuaciones resultantes.

3(x + 2y + 2z)=3 (25) 3x + 6y + 6z = 75

-2(2x + y +3z) =-2(34) -4x - 2y - 6z = -68

- X + 4Y = 7 ------------- (4)

2. Multiplicamos la ecuación 1 por 2 y al resultado obtenido se le resta la

ecuación 3.

2( x + 2y +2z)= 2(25)

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

2x + 4y + 4z = 50

-x - 2y - 4z = 45

x + 2Y = 5 ------------- (5)

El sistema de dos ecuaciones lineales obtenido es:

- x+ 4y = 7----------------- (4)

x + 2y = 5 ----------------- (5)

3. Apliquemos el método de suma y/o resta, a la ecuación 4 le restamos el

producto de multiplicar por 2 la ecuación (5).

- x + 4y = 7 - x + 4y = 7

2(x + 2y) = 2(5) -2x -4y = -10

- 3X = -3

x = 3

3

x = 1

Sustituyendo x = 1 en la ecuación 5

x + 2y = 5

1 + 2y = 5

2y = 5 – 1

2y = 4

y = 4/2 y = 2

Sustituimos los valores obtenidos x = 1, y = 2 en la ecuación 1

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

x + 2y + 2z = 25

1 + 2 (2)+ 2z = 25

1 + 4 + 2z = 25

5 + 2z = 25

2z = 25 - 5

2z = 20

z = 2

20

Z = 10

Por lo tanto el costo es: 1 borrador cuesta $ 1.00

1 lápiz cuesta $ 2.00

1 libreta cuesta $ 10.00

Resuelve correctamente los siguientes problemas:

1. x + y+ z =3 R: x=2; y=-3 y z=4

2x -4y+ 3z =28

x +2y - z =-8

2. -x + 2y+ 3z =14 R:x=-1;y=2;z=3

2x - y + z =-1

3x + +2y - 2 z =-5

3. x + y + z =6 R:x=1;y=2;z=3

x - y + 2z =5

x - y - 3 z =-10

4. 2x - 5y = 13 R:x=-1;y=-3;z=4

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

4 y + z = -8

x - y - z = -2

5. s + t - w =1 R:s=2;t=4;w=5

s - t + w =3

-s + t + w =7

6.-Entre Juan, Armando y Vicente tienen $140, Vicente tiene la mitad de lo que

tiene Juan, y Juan $10 más de lo que tiene Armando, ¿Cuánto tiene cada

uno?

R. Juan tiene $60, Armando tiene $50 y Vicente tiene $30.

7. Inventa un problema que involucre un sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas.

8. Calcula el volumen del prisma rectangular cuyos lados satisfacen las

siguientes condiciones: 5 veces el largo más 2 veces el ancho menos 3 veces

la altura es igual a 8 cm.; el doble de la altura, más el largo menos el ancho es

igual a 13 cm.; tres veces el ancho menos dos veces la altura más el doble del

largo es igual a 5 cm.

R= El volumen es 144 centímetros cúbicos

9. Luis, Pedro y Ernesto fueron a comer pizza, entre Luis y Ernesto comieron el

doble que Pedro; Pedro comió el doble que Ernesto y entre los tres terminaron

una pizza. ¿Qué porción de pizza comió cada uno?

R= Luis se comió media pizza, Pedro se comió la tercera parte de la pizza

y Ernesto se comió la sexta parte de la pizza.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

10. Jaime dijo a su hijo: Sí puedes saber la cantidad de dinero que he ahorrado

en las tres últimas semanas, te daré la mitad. Voy a darte tres pistas. Un tercio

del monto de la primera semana más un quinto del de la segunda, más dos

séptimos del de la tercera es igual a 254. Cinco cuartos del ahorro de la

primera semana más un sexto del de la segunda, más un tercio del de la

tercera es igual a 315. Un medio del de la primera menos un quinto del de la

segunda, más siete cuarentavos del de la tercera es igual a 153. ¿Cuánto

recibirá el hijo de Jaime si resuelve el problema?

R= El hijo de Jaime recibirá $447.00 Ahora visita la siguiente dirección (http://www.vadenumeros.es/actividades/metodo-de-gauss.htm) resuelve con la ayuda del programita los problemas que ya resolviste en tu cuaderno de trabajo y realiza las actividades propuestas y repórtalas a tu maestro en tu cuaderno.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

http://www.vadenumeros.es/actividades/metodo-de-gauss.htm



ALGEBRA

IX. ECUACIONES CUADRÁTICAS

El largo de un terreno rectangular, es el doble de su ancho más 10m, si

el área del terreno es de 408m, ¿Cuáles son sus dimensiones?

De la geometría plana se sabe que el área de un rectángulo está dada

por el producto del largo y el ancho entonces, si representamos el ancho con la

variable x, el largo será representado algebraicamente como 2x+10 de esta

manera se tendrá que :

Área=x(2x+10)

Área=408

x(2x+10)=408

Así

2x2+10x=408

Transponiendo el término 408 al miembro izquierdo obtenemos una

ecuación donde el mayor exponente de la incógnita es dos. A este tipo de

ecuaciones se les llama ecuaciones de segundo grado.

A continuación veremos cuáles son las características de estas

ecuaciones y como se resuelven.

Una ecuación cuadrática o de segundo grado está formada por los siguientes

términos, si es completa.

0

2

2

cbXaX

NTEINDEPENDIE

TÉRMINO

xEN

TÉRMINO

xEN

TÉRMINO

a , b y c son cualquier número real, siendo a diferente de 0.

Algunas ecuaciones cuadráticas tienen solamente dos términos, por ejemplo;

a) 0126 2 xx falta un término. ¿Cuál es? ____________________

b) 0162 x falta un término. ¿Cuál es? :____________________

De lo anterior podemos concretar que hay ecuaciones cuadráticas

completas e incompletas, éstas últimas pueden ser:

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

1) Ecuación cuadrática incompleta de la forma 02 cax

2) Ecuaciones cuadráticas incompleta de la forma 02 bxax

En toda ecuación cuadrática se deben de encontrar dos resultados, a los

que llamaremos en adelante “RAÍCES DE LA ECUACIÓN“, que se

representarán con: x1 y x2 se utilizan los subíndices para identificación del

resultado, pero no se refiere a ningún orden.

Ecuaciones cuadráticas incompletas, de la forma 02 cax

Procedimiento de solución:

1) Transponer el término independiente a la derecha de la igualdad, de tal

manera que la variable quede sola en el lado izquierdo, para ello pasar

dividiendo el coeficiente a al miembro derecho de la ecuación.

2) Como la variable queda elevada al cuadrado se extrae la raíz cuadrada en

ambos miembros de la ecuación y se considera, los signos más y menos

del segundo miembro para encontrar así las dos soluciones.

Ejemplos:

0164 2 x

164 2 x

4

162 x

4

162 x

42 x

2

2

2

1

x

x

0259 2 x

259 2 x

9

252 x

9

252 x

Como la raíz es no existe

en los reales, entonces

las soluciones de esta

ecuación no existen en

los números reales., éstas

serán complejas.

3x2-3=0

3x2=3

33x 2

x2=1

1

1

1

1

2

1

x

x

x

x

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

Ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas de la forma 02 bxax


1) Se iguala la ecuación a cero, esto significa pasar los términos que

estuvieran en el segundo miembro al primero, de manera que quede cero

siempre en el lado derecho.

2) Se factoriza, sacando factor común.

3) Igualamos a cero cada uno de los factores obtenidos en el paso anterior.

4) Se resuelven las ecuaciones lineales resultantes. Estás soluciones son las

raíces de la ecuación resultante.

Ejemplos

042 xx

04 xx

04 xx

04

0

0

1

x

x

x

42 x

053 2 xx

053 xx

053

0

0

1

x

x

x

5

32 x

032 2 xx

032 xx

032

0

0

1

x

x

x

3

22 x

Ecuaciones cuadráticas completas, de la forma 02 cbxax resueltas

por el método de factorización


1) Igualar la ecuación a cero.

2) Se factoriza el trinomio en el producto de dos factores.

3) Se iguala a cero cada uno de los factores.

4) Se resuelven las ecuaciones lineales resultantes, estas soluciones son las

raíces de la ecuación cuadrática.

5) Se comprueban los resultados en la ecuación original.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

Ejemplos:

01272 xx

043 xx

04

3

03

1

x

x

x

42 x

0322 xx

013 xx

01

3

03

1

x

x

x

12 x

0442 xx

022 xx

02

2

02

1

x

x

x

22 x

Ecuaciones de segundo grado por el método de completar cuadrados.

Sean de la forma: 022 bxxócbxx


1) Colocar los términos de “ x2 “ y “ x “ en el primer miembro de la ecuación y

los términos constantes en el lado derecho.

2) En el lado izquierdo completamos el trinomio cuadrado perfecto, agregando

en ambos lados, la mitad del coeficiente del término en x elevado al

cuadrado.

2

2

b

3) Factorizar el trinomio cuadrado perfecto resultante en el miembro izquierdo

de la ecuación.

4) Extraer la raíz cuadrada a ambos lados de la resultante, no olvidando

considerar los dos signos (+,-) de la raíz cuadrada del miembro derecho de

la igualdad.

5) Las soluciones encontradas son las raíces de la ecuación cuadrática.

Por ejemplo:

a) 0782 xx

782 xx

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

22

2

2

87

2

88

xx

222 4748 xx

1671682 xx

2342x

2342x

234 x

423;423 21 xx

b) 0442 aa

442 aa

22

2

2

44

2

44

aa

222 2424 aa

44442 aa

022a

022 aa

02;02 aa

igualesraicesaa 2;2 21

c) 01022 yy

1022 yy

22

2

2

210

2

22

yy

1101222 yy

9122 yy

912

y

91 y

Como la raíz es imaginaria las soluciones no existen en los números reales.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, aplicando la fórmula

general.

El primer paso es deducir como se obtiene la fórmula general de la

ecuación de segundo grado:

02 cbxax

Multiplicando por 4a ambos lados de la ecuación obtenemos:

0444 2 acabxxa

Sumando b2 en ambos miembros de la ecuación 222 444 bbacabxxa

Pasando 4ac al miembro derecho.

acbbabxxa 444 222

factorizar el trinomio cuadrado perfecto del miembro izquierdo

abbax 42 22

Aplicando raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación

acbbax 42 2

Pasamos b al miembro derecho de la igualdad

acbbax 42 2

Pasamos dividiendo el coeficiente de x al miembro derecho de la igualdad, para

finalmente despejar a x.

a

acbbx

2

42

La formula obtenida recibe el nombre de fórmula general, con la cual

se pueden resolver todo tipo de ecuaciones de segundo grado.

Se recomienda revisar que la ecuación este ordenada de mayor o menor

exponente e igualada a cero:

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

Ejemplos: 2 x2 + 14 x + 24 = 0

a b c


1) Se encuentra los valores de a , b y c.

2) Se substituyen los valores encontrados en la fórmula general.

3) Se efectúan las operaciones necesarias, y se encuentran dos valores.

24;14;2

024142 2

cba

xx

22

24241414 2 x

4

19219614 x

4

414x

4

214x

3

4

12

1

1

x

x

4

4

16

2

2

x

x

25;10;1

025102

cba

xx

12

)25)(1(4)10()10( 2 x

2

10010010 x

2

010x

2

010x

5

2

10

1

1

x

x

5

2

010

2

2

x

x

10;3;2

01032 2

cba

xx

22

)10)(2(4)3(3 2 x

4

8093 x

4

713 x

Como la raíz no es un

número real, las

soluciones no existen en

los números reales.

Reflexionar sobre:

El discriminante (b2 - 4ac) nos muestra las posibles combinaciones de

soluciones:

Si b2 - 4ac 0 las raíces son reales e iguales

Si b2 - 4ac 0 las raíces son reales y diferentes

Si b2 - 4ac 0 las raíces son imaginarias (La ecuación no tiene solución real)

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

En este momento ya podemos resolver, el problema planteado al inicio

de este tema, recordemos que la ecuación que quedo pendiente a resolver fue:

2x2+10x-408=0

Aplicando la formula general de ecuaciones de segundo grado tenemos:

408;10;2

0408102 2

cba

xx

22

)408(241010 2 x

4

326410010 x

4

336410x

4

5810x

12

4

48

4

5810

1

1

1

x

x

x

17

4

68

4

5810

2

2

2

x

x

x

Para determinar las dimensiones del terreno consideramos la raíz

positiva que corresponde al valor de x1=12, la raíz negativa que corresponde al

valor de x2 =-17, la descartamos pues las unidades de longitud no podrán ser

negativas en nuestro problema. Por lo tanto las dimensiones del terreno son 12

de ancho por 34 de largo.

Resuelve las ecuaciones cuadráticas incompletas siguientes:

1. 2

12012 21

2 xxx

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

2. 5

7075 21

2 xxxx

3. 5

3

5

30325 21

2 xxx

4. 2

12014 21

2 xxx

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas por el método que

lo permita o se te facilité.

5. 3206 21

2 xxxx

6. 29187 21

2 xxxx

7. 2

1

3

404116 21

2 xxxx

8. 5502510 21

2 xxxx

9. 2

150295 21

2 xxxx

10. Un propietario desea construir una alberca en una porción de 40 pies por

100 pies de su propiedad. A él le gusta la forma de la alberca de su vecino, que

es un rectángulo de 20 por 60 pies. ¿Es posible que el propietario construya

una alberca como la de su vecino, pero con el doble de área que ésta, en la

parte asignada de su propiedad, si es así cuales deberán ser las dimensiones

de la alberca?

Respuesta. El terreno disponible es suficiente, pues las dimensiones son

28.3 pies de ancho por 84.8 pies de largo.

11. Un automóvil recorre 180 millas en una hora menos de lo que un segundo

automóvil recorre 200 millas. Si la velocidad del primer automóvil es 10 millas

por hora más que la velocidad del segundo automóvil, ¿cuál es la velocidad de

cada automóvil?

Respuesta. Velocidad del primer automóvil es 60 millas por hora y la

velocidad del segundo es 50 millas por hora.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

11. Un número de niñas muy precoces al cuadrado se elevaron, y como eran

muy audaces por dos se multiplicaron. Como ya se sintieron muchas por eso

se restaron doce veces lo que fueron. Las que al principio empezaron con esto

se contentaron y treinta y dos ahora son. Ahora quiero que me digas sin miedo

y sin compasión. ¿Cuántas niñas eran al principio de este cuento juguetón?

Respuesta: 8 niñas

Ahora visita la siguiente dirección (http://www.vadenumeros.es/actividades/ecuaciones-de-segundo-grado.htm) Resuelve con la ayuda del programita los problemas que ya resolviste en tu cuaderno de trabajo y realiza las actividades propuestas y repórtalas a tu maestro en tu cuaderno.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

http://www.vadenumeros.es/actividades/ecuaciones-de-segundo-grado.htm



ALGEBRA

X. ANEXO 1 Para cada una de las unidades el alumno realizara exámenes de matemáticas de Aritmética y algebra en cada unidad la cual tendrá que reportar al docente el examen que realizo en el Software de Matemáticas y entregar un reporte.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ALGEBRA

XI. REFERENCIAS Algebra Didáctica Para Preparatoria. J. Alejandro Pérez y Romero. No. De registro 17718 SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DIRECCION GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL A PARTIR DE LA METODOLOGÍA CONTEXTUAL Y APRENDIZAJE DE GRUPOS OPERATIVOS http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Potenciabaseentera.htm http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-segundo-grado.htm http://www.vadenumeros.es/actividades/ecuaciones-de-segundo-grado.htm http://www.vadenumeros.es/primero/sistemas-gauss.htm http://www.ematematicas.net/ecuacion.php

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Potenciabaseentera.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Potenciabaseentera.htm

http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-segundo-grado.htm

http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-segundo-grado.htm



http://www.vadenumeros.es/primero/sistemas-gauss.htm

http://www.ematematicas.net/ecuacion.php

identificación - cecyteq · de clase y los compromisos del docente. rúbricas de evaluación....

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