Download - FVK Adi_Edit
1
VARIABEL KOMPLEKS
DAN ANALISANYACatatan milik:
Adi PrasetiaE-mail : [email protected] : http://www.adi-prasetia.co.cc
(Referensi: Dari berbagai sumber)
Didukung oleh:
BRIGHT MATH & Science
Lembaga Bimbingan Belajar Privat Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Email: [email protected]
http://www.bm-science.co.cc
Phone: +6282135009960, +628562859020
2
BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
Dengan memiliki sistem bilangan real saja kita tidak
dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi disamping
bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis
baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan
kompleks.
http://www.adi-prasetia.co.cc
3
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
Notasi
Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang
huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy
menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x
dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian
real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya
dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
http://www.adi-prasetia.co.cc
4
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
DEFINISI 2
Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleksz2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2
dan y1=y2.
DEFINISI 3
Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlahdan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)
http://www.adi-prasetia.co.cc
5
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ
Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan
khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner
murni dengan y=0, yakni bilangan i, dinamakan satuan
imajiner.
http://www.adi-prasetia.co.cc
6
Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahandan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapunsifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 danz3 adalah sebagai berikut:1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup)
2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif)
3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)(sifat assosiatif)
4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distributif)
5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netralpenjumlahan)
http://www.adi-prasetia.co.cc
7
6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral
perkalian
7. Untuk setiap z=x+iy ℂ, ada –z=–x–iy
sehingga z+(–z)=0
8. Untuk setiap z=x+iy ℂ, ada z-1=sehingga
z•z-1=1.
Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang
telah diberikan.
http://www.adi-prasetia.co.cc
8
Contoh soal:
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan2
1
z
z
http://www.adi-prasetia.co.cc
9
Kompleks Sekawan
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan
kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai =
(x,–y) = x – iy.
Contoh:
sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan
dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam
himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut
:
z
http://www.adi-prasetia.co.cc
10
Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :
1.
2.
3.
4. 22)Im()Re(
)Im(2
)Re(2
z
zzzz
zzz
zzz
z
http://www.adi-prasetia.co.cc
11
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1.
2.
3.
4. , dengan z2≠0.
2121 zzzz
2
1
2
1
z
z
z
z
2121 zzzz
2121 zzzz
http://www.adi-prasetia.co.cc
12
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y),
merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat
digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius
sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x
diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi
sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama
bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal
(0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga
bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang
sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan
pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar
berikut.
http://www.adi-prasetia.co.cc
13
Re
Im
)y,x(z
O
ArganBidangz
http://www.adi-prasetia.co.cc
14
Im
Re
2z
1z
O
21 zz
http://www.adi-prasetia.co.cc
15
Re
Im
2z
2z
1z
21 zz
O
http://www.adi-prasetia.co.cc
16
Tugas :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada
bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,
212121 zz,zz,z,z
http://www.adi-prasetia.co.cc
17
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka
modulus dari z, ditulis z = x+iy =
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak
dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara
dua bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2
adalah
22 yx
221
221 )yy()xx(
http://www.adi-prasetia.co.cc
18
Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,
maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r
Gambarkanlah pada bidang z.
http://www.adi-prasetia.co.cc
19
Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5. )zIm()zIm(z
)zRe()zRe(z
zzz
zz
)zIm()zRe(z
2
222
http://www.adi-prasetia.co.cc
20
B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan
memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A,
buktikan juga teorema B !
2121
2121
2121
2
1
2
1
2121
zzzz
zzzz
zzzz
z
z
z
z
zzzz
http://www.adi-prasetia.co.cc
21
1. Bukti: 2121 zzzz
)iyx()iyx(zz 221121
)yxyx(i)yyxx( 12212121
212121
22
22
212121
22
21
22
21 yyxx2yxyxyyxx2yyxx
21221
22121 )yxyx()yyxx(
)yx()yx( 22
22
21
21
)yx()yx( 22
22
21
21
21 zz
2121 zzzz
http://www.adi-prasetia.co.cc
22
2. Bukti:
22
22
22
11
2
1
iyx
iyx
iyx
iyx
z
z
22
22
211222
22
2121
yx
yxyxi
yx
yyxx
2
22
22
2112
2
22
22
2121
yx
yxyx
yx
yyxx
222
22
212122
21
21
222121
22
21
22
21
)yx(
yyxx2yxyxyyxx2yyxx
)yx()yx(
)yx()yx(22
22
22
22
22
22
21
21
.terbuktiz
z
yx
yx
2
1
22
22
21
21
http://www.adi-prasetia.co.cc
23
3. Bukti: 2121 zzzz2
1221 )yxyx(0
212121
22
22
21 yyxx2yxyx0
21
22
22
212121 yxyxyyxx2
21
22
22
21
22
21
22
212121
22
21
22
21 yxyxyyxxyyxx2yyxx
)yx)(yx()yyxx( 22
22
21
21
22121
)yx)(yx(2)yyxx(2 22
22
21
212121
2221
21
2221
21 yyy2yxxx2x
22
22
22
22
21
21
21
21 yx)yx)(yx(2yx
222
22
21
21
221
221 yxyx)yy()xx(
22
22
21
21
221
221 yxyx)yy()xx(
terbukti
zzzz 2121
http://www.adi-prasetia.co.cc
24
4. Bukti: 2121 zzzz
2121
2121
221
2211
zzzz
zzzz
zzz
zzzz
http://www.adi-prasetia.co.cc
25
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan
Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),
bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam
bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r, ).
Im
Re
),r()y,x(z
rz
O
http://www.adi-prasetia.co.cc
26
Adapun hubungan antara keduanya, dan
adalah :
x = r cos , y = r sin ,
sehingga = arc tan
adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis .
dan sekawan dari z adalah = (r, - ) = r(cos - i sin ).
xy
zyxr 22
)y,x( ),r(
http://www.adi-prasetia.co.cc
27
Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ),
sudut disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut
dengan 0 < 2 atau - < disebut argument
utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan untuk
sudut tersebut dipakai salah satu saja.
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan
z2 = r2(cos 2 + i sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2,
dan 1 = 2.
http://www.adi-prasetia.co.cc
28
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, )
= r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat
menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z =
rei , dan sekawannya adalah re-i .
Tugas: Buktikan bahwa ei = cos + i sin , dengan
menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin
dan et dengan mengganti t = i .
http://www.adi-prasetia.co.cc
29
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
http://www.adi-prasetia.co.cc
30
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
Jawab :
z = 1 + i, r = , tan = 1, sehingga = 45⁰=
Jadi z = (cos + i sin ) = cis = 2 41
41 2 4
1 2i
4e
2 41
http://www.adi-prasetia.co.cc
31
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks
Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam
bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).
Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2),
maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai
berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin 1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos ( 1 + 2 ) + i sin ( 1 + 2)]
http://www.adi-prasetia.co.cc
32
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?
http://www.adi-prasetia.co.cc
33
Jika diketahui:
z1 = r1(cos 1 + i sin 1)
z2 = r2(cos 2 + i sin 2)
zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh rumusperkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos ( 1 + 2+…+ n) + i sin ( 1 + 2+…+ n)] .
Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka
zn = rn (cos n + i sin n ). . . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos + i sin )n = cos n + i sin n , n asli.
http://www.adi-prasetia.co.cc
34
Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
diperoleh : [cos ( 1 - 2 ) + i sin ( 1 - 2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg 1- 2 = arg z1 – arg z2.
)sin(cos
)sin(cos
222
111
2
1
ir
ir
z
z
2
1
2
1
r
r
z
z
2
1
z
z
http://www.adi-prasetia.co.cc
35
Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),
maka:
Untuk: .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
. . . . . . . 2
ninrz
irz
nn sincos
11
)sin()cos(11
)sin()cos(11
ninrz nn
http://www.adi-prasetia.co.cc
36
Dari 1 dan 2 diperoleh:
, Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
)sin()cos( ninrz nn
http://www.adi-prasetia.co.cc
37
Contoh:
Hitunglah :
Jawab :
Misalkan maka
karena z di kuadran IV, maka dipilih
jadi
3
1tan
213
,3
zr
iz
6
6
66
2
)01(2
180sin180cos23
30sin30cos23
oo
oo
ii
ii
o30
6
3 i
http://www.adi-prasetia.co.cc
38
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan
kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .
Jika z = (cos +i sin ) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cos +i sin ), maka dari zn = w diperoleh:
n(cosn +i sinn ) = r(cos +i sin ), sehingga n = r dan
n = +2k , k bulat.
Akibatnya dan
Jadi . . .
nwz
1
nr
1
n
k2
http://www.adi-prasetia.co.cc
39
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos +i sin ) adalah:
z = [cos( ) + i sin ( )],
k bulat dan n bilangan asli.
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang
memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);
0 < 2 , sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai
akar ke-n dari z.
n
1
rn
k2
n
k2
nk2
http://www.adi-prasetia.co.cc
40
Contoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = (cos +i sin ) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga 4(cos4 +i sin4 ) = 81(cos1800+i sin1800),
diperoleh 4 = 81, atau = 3 dan .
Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
4
2k
4
2k
4
2k
http://www.adi-prasetia.co.cc
41
Latihan Soal Bab I
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z dan b.
5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )
6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
zz
1z2z 2z
http://www.adi-prasetia.co.cc
42
7.Gambarkan pada diagram argand dan
sebutkan nama kurva yang terjadi :
a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6
b. z + i = z – i
c. 1 < |z – i|< 3
8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15
10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0
http://www.adi-prasetia.co.cc
43
BAB II
FUNGSI , LIMIT, DAN KEKONTINUAN
Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka
perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan
digunakan pada fungsi kompleks.
Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks
Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau
kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah
memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan,
penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya.
http://www.adi-prasetia.co.cc
44
1. Lingkungan/persekitaran
a. Persekitaran zo adalah himpunan semua titik z
yang
terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo,
berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(zo,r) atau z – zo <
r.
b. Persekitaran tanpa zo adalah himpunan semua
titik
z zo yang terletak di dalam lingkaran yang
berpusat
di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(zo,r) atau
0< z – zo < r.
http://www.adi-prasetia.co.cc
45
Contoh :
a. N(i,1) atau z – i < 1, lihat pada gambar 1
b. N*(O,a) atau 0< z – O < a, lihat pada gambar 2
Im
Re
i
i2
O
1gambar
Re
Im
O
2gambar
a
http://www.adi-prasetia.co.cc
46
2. Komplemen
Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S
ditulis Sc,merupakan himpunan semua titik pada
bidang Z yang tidak termasuk di S.
Contoh :
Gambarkan !
A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.
B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z 2 atau z 4}.
http://www.adi-prasetia.co.cc
47
A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.
B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z 2 atau z 4}.
Re
Im
O
1A
Re
Im
O 2 4
4
2
B
cA
cB
http://www.adi-prasetia.co.cc
48
3. Titik limit
Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap
N*(zo, ) maka N*(zo, ) S . Jika zo ∈ S dan zo bukan
titik limit, maka zo disebut titik terasing.
4. Titik batas
Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk
setiap N*(zo, ) memuat suatu titik di S dan memuat suatu
titik yang tidak di S.
5. Batas dari himpunan S
adalah himpunan semua titik batas dari S.
http://www.adi-prasetia.co.cc
49
6. Interior dan Eksterior
Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo, )
sehingga N(zo, ) S. Titik yang bukan titik interior atau
bukan titik batas disebut titik eksterior.
7. Himpunan Terbuka
Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota
S adalah titik interior S.
http://www.adi-prasetia.co.cc
50
6. Interior dan Eksterior
Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo, )
sehingga N(zo, ) S. Titik yang bukan titik interior atau
bukan titik batas disebut titik eksterior.
7. Himpunan Terbuka
Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota
S adalah titik interior S.
8. Himpunan Tertutup
Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat
semua titik limitnya.
http://www.adi-prasetia.co.cc
51
9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S
dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak
di S.
10. Daerah domain
Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.
11. Daerah Tertutup
Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan
batasnya.
12. Penutup dari himpunan S
adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.
http://www.adi-prasetia.co.cc
52
Contoh :
1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka:
A adalah himpunan terbuka dan terhubung.
Batas dari A adalah { z / |z|=1}.
Penutup dari A adalah { z / |z| 1}.
Im
Re
1
11
1
A
http://www.adi-prasetia.co.cc
53
2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:
B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan
himpunan tertutup.
Titik-titik limit dari B adalah { z / |z| 1}.
Im
Re
1
11
1
B
http://www.adi-prasetia.co.cc
54
3. Diberikan C = { z / |z| 2}, maka:
Titik-titik interior C adalah { z / |z|<2}.
Im
Re
1
11
1
2
22
2
http://www.adi-prasetia.co.cc
55
Fungsi Kompleks
Definisi :
Misalkan D himpunan titik pada bidang Z.
Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan
setiap titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada
bidang W, yaitu (z,w).
Fungsi tersebut ditulis w = f(z).
Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan
f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau
daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf , yaitu himpunan f(z)
untuk setiap z anggota D.
http://www.adi-prasetia.co.cc
56
z )z(fw)zRe( )wRe(
)zIm( )wIm(
Bidang Z Bidang W
f
http://www.adi-prasetia.co.cc
57
Contoh :
a) w = z + 1 – i
b) w = 4 + 2i
c) w = z2 – 5z
d) f(z) =
Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua
titik pada bidang Z.
Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik
pada bidang Z , kecuali z =
12
3
z
z
2
1
http://www.adi-prasetia.co.cc
58
Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan
menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan
Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua
variabel real x dan y.
Apabila z = r(cos + i sin ), maka w = u(r, ) + iv(r, ).
http://www.adi-prasetia.co.cc
59
Contoh :
Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !
http://www.adi-prasetia.co.cc
60
Contoh :
Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !
Jawab :
Misal z = x + iy,
maka fungsi w = f(z) = 2z2 – i
= 2(x + iy )2 – i
= 2(x2+2xyi-y2) – i
= 2(x2-y2) + i(2xy-1).
Jadi u = 2(x2-y2) dan v = 2xy-1.
http://www.adi-prasetia.co.cc
61
Jika z = r (cos + i sin ).
Tentukan f(z) = z2 + i
http://www.adi-prasetia.co.cc
62
Jika z = r(cos + i sin ).
Tentukan f(z) = z2 + i
Jawab
f(z) = z2 + i
= [r (cos +i sin )]2 + i
= r2[cos2 - sin2 + 2isin cos ] + i
= r2 (cos2 - sin2 ) + r2isin2 + i
= r2 (cos2 - sin2 ) +(1+r2sin2 )i
berarti u = r2(cos2 - sin2 ) dan v = 1+r2sin2 ) .
http://www.adi-prasetia.co.cc
63
Komposisi Fungsi
Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan
domain Dg.
‣ Jika Rf Dg , maka ada fungsi komposisi (gof) (z) = g (f (z)),
dengan domain Df.
f g
fg
z )z(f)z)(fg(
)z(fg
http://www.adi-prasetia.co.cc
64
‣ Jika Rg Df , maka ada fungsi komposisi (fog) (z) = f
(g (z)), dengan domain Dg.
∷ Tidak berlaku hukum komutatif pada (g⃘f) (z) dan (f ⃘g)(z).
g f
gf
z )z(g)z)(gf(
)z(gf
http://www.adi-prasetia.co.cc
65
Contoh :
Misal: f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i
‣ Jika Rf Dg ,
maka (g o f) (z) = g (f (z))
= g(3z – i)
= (3z – i)2 + (3z – i) –1 + i
= 9z2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i
= 9z2 – 3z – 2 – 6iz
http://www.adi-prasetia.co.cc
66
‣ Jika Rg Df ,
maka (f o g) (z) = f (g (z))
= f(z2 + z –1 + i)
= 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Karena 9z2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Jadi (g o f ) (z) (f o g)(z) atau
(g o f ) (f o g), (tidak komutatif)
http://www.adi-prasetia.co.cc
67
Interpretasi Geometris
Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota
domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas
w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks.
Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang
kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W.
Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi,
maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu
sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w =
f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut
sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang Z
ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik
z maka f(z) disebut peta dari z.
http://www.adi-prasetia.co.cc
68
Contoh 1 :
Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i.
Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai
w = (2x – 1) + (2y + 1)i.
Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i , berturut-turut
diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1, z2, w1 ,
dan w2 dapat dilihat di bawah ini
X U
Y V
1z
2z
1w
2w
O O
ZbidangWbidang
1
1
2
3
1
3
3
5http://www.adi-prasetia.co.cc
69
Contoh 2 :
Diketahui fungsi w = z2.
Dengan menggunakan z = r (cos +i sin ), maka diperoleh
w = z2 = r2 (cos2 +i sin2 ).
Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z,
maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah
lingkaran pusat O berjari-jari r2. Daerah 0 arg z
dipetakan menjadi daerah
0 arg w 2 .
Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.
http://www.adi-prasetia.co.cc
70
2
Zbidang
Wbidang
r
2r
http://www.adi-prasetia.co.cc
71
Diketahui daerah D pada bidang Z
dan titik zo terletak di dalam D atau
pada batas D.
Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi
pada D, kecuali di zo.
oz
D z
),z(*N o
Apabila titik z bergerak mendekati
titik zo melalui setiap lengkungan
sebarang K dan mengakibatkan nilai
f(z) bergerak mendekati suatu nilai
tertentu, yaitu wo pada bidang W,
maka dikatakan limit f(z) adalah wo
untuk z mendekati zo, ditulis :
)z(f
),w(N o
ozz
wzfo
)(lim
Limit
ow
D
K
Zbidang
Wbidang
http://www.adi-prasetia.co.cc
72
Definisi :
Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D, kecuali
di zo (titik zo di dalam D atau pada batas D). limit f(z)
adalah wo untuk z mendekati zo, jika untuk setiap > 0,
terdapat > 0 sedemikian hingga
|f(z) – wo |< , apabila 0 <|z – zo|< ,
ditulis:o
zzw)z(flim
o
http://www.adi-prasetia.co.cc
73
Perlu diperhatikan bahwa :
1. Titik zo adalah titik limit domain fungsi f.
2. Titik z menuju zo melalui sebarang lengkungan K,
artinya z menuju zo dari segala arah.
3. Apabila z menuju zo melalui dua lengkungan yang
berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang
berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z
mendekati zo.
http://www.adi-prasetia.co.cc
74
Contoh 1 :
Buktikan bahwa : 52
232lim
2
2 z
zz
z
http://www.adi-prasetia.co.cc
75
Contoh 1 :
Buktikan bahwa :
Bukti:
Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari >
0 sedemikian, sehingga:
, untuk z 2
Lihat bagian sebelah kanan
|52
232||2|0
2
z
zzz
52
232lim
2
2 z
zz
z
http://www.adi-prasetia.co.cc
76
Dari persamaan kanan diperoleh:
Hal ini menunjukkan bahwa telah diperoleh.
2|2|
|)2(2|
|)2(
)2)(512(|
|5)2(
)2)(12(||5
2
232|
2
z
z
z
zz
z
zz
z
zz
2
http://www.adi-prasetia.co.cc
77
Bukti Formal :
Jika diberikan > 0 , maka terdapat , sehingga untuk
z 2, diperoleh
Jadi apabila
Terbukti
2|)2(2|
|5)2(
)2)(12(|
|52
2322||2|0
z
z
zz
z
zzz
2
|52
2322|
z
zz
2|2|0 z
52
232lim
2
2 z
zz
z
http://www.adi-prasetia.co.cc
78
Teorema Limit :
Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka
nilai limitnya tunggal.
http://www.adi-prasetia.co.cc
79
Teorema Limit :
Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka
nilai limitnya tunggal.
Bukti:
Misal limitnya w1 dan w2, maka
21
21
2121
2
11
22)()()()(
2)(
2)()(
wwjadi
wwsehingga
wzfzfwwzfzfw
wzf
zfwwzf
http://www.adi-prasetia.co.cc
80
Teorema 2 :
Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
dengan domain D. Titik zo = (xo,yo) = xo+iyo di dalam D
atau batas D.
Maka jika dan hanya jika
dan
oozz
iyxzfo
)(lim
ozz
xyxuo
),(limo
zzyyxv
o
),(lim
http://www.adi-prasetia.co.cc
81
Teorema 3 :
Misalkan fungsi f dan g limitnya ada.
lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka
1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untuk z → zo)
2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → zo)
3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → zo)
Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !
http://www.adi-prasetia.co.cc
82
Contoh 1 :
Hitunglahiz1z
lim2
iz
http://www.adi-prasetia.co.cc
83
Contoh 1 :
Hitunglah
Jawab:
iz
z
iz
1lim
2
i
iz
iz
iziz
iz
z
iz
iziz
2
)(lim
))((lim
1lim
2
http://www.adi-prasetia.co.cc
84
Contoh 2 :
Jika . Buktikan tidak ada !iy
x
yx
xyzf
1
2)(
2
22)(lim
0zf
z
http://www.adi-prasetia.co.cc
85
Contoh 2 :
Jika . Buktikan tidak ada !iy
x
yx
xyzf
1
2)(
2
22
)(lim0
zfz
Bukti :
Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis
y = 0, maka
Sedangkan di sepanjang garis y = x,
Dari 1 dan 2, terbukti tidak ada
10lim)(lim)(lim 2
0)0,0()0,(0ixzfzf
xxz
21)1
1(lim)(lim)(lim2
0)0,0(),(0i
x
xzfzf
xxxz
)(lim0
zfz
http://www.adi-prasetia.co.cc
86
Kekontinuan Fungsi
Definisi :
Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan
titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan
kontinu di zo jika untuk z menuju zo,
maka lim f(z) = f(zo).
http://www.adi-prasetia.co.cc
87
Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :
Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z)
kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut.
)()(lim.3
)(lim.2
)(.1
ozz
zz
o
zfzf
adazf
adazf
o
o
http://www.adi-prasetia.co.cc
88
Teorema 4 :
Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik
pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dalam R, maka
fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan
v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).
http://www.adi-prasetia.co.cc
89
Teorema 5 :
Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di zo, maka masing-masing
fungsi :
1. f(z) + g(z)
2. f(z) . g(z)
3. f(z) / g(z), g(z) 0
4. f(g(z)); f kontinu di g(zo),
kontinu di zo.
http://www.adi-prasetia.co.cc
90
Contoh 1 :
Fungsi f(z) = , apakah kontinu di 2i
Jawab :
f(2i) = 3 + 4(2i) = 3 + 4i,
sedangkan untuk z mendekati 2i, lim f(z) = z + 2i,
Jadi f(z) diskontinu di z = 2i.
izz
iziz
z
2,43
2,2
42
)2()(lim2
ifzfsehinggaiz
http://www.adi-prasetia.co.cc
91
Contoh 2.
Dimanakah fungsi kontinu ?
Jawab :
Coba anda periksa bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan
z = 2. Jadi g(z) kontinu di daerah
23
1)(
2
2
zz
zzg
2zz
http://www.adi-prasetia.co.cc
92
BAB III. TURUNAN
3.1 Definisi Turunan
Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan
zo D.
Jika diketahui bahwa nilai ada, maka
nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di
titik zo.
Dinotasikan : f’(zo)
o
o
zz zz
zfzf
o
)()(lim
http://www.adi-prasetia.co.cc
93
⇛ Jika f’(zo) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau
diferensiabel di zo.
Dengan kata lain :
⇛ Jika f terdifferensial di semua titik pada D, maka f
terdifferensial pada D
Contoh 3.1.1
Buktikan f(z) = z2 terdifferensiasi diseluruh ℂ
z
zfzzf
z
fzf oo
zzo
)()(limlim)('
00
http://www.adi-prasetia.co.cc
94
Bukti :
Ditinjau sebarang titik zo ℂ
o
o
oo
zz
o
o
zz
o
o
zzo
z
zz
zzzz
zz
zz
zz
zfzfzf
o
o
o
2
))((lim
lim
)()(lim)('
22
Karena zo sebarang maka f(z) = z2 terdefferensial
di seluruh ℂ
http://www.adi-prasetia.co.cc
95
Teorema 3.1
Jika f fungsi kompleks dan f’(zo) ada, maka
f kontinu di zo
Bukti :
http://www.adi-prasetia.co.cc
96
Bukti :
Diketahui f’(zo) ada
Akan dibuktikan f kontinu di zo atau )()(lim ozz
zfzfo
0
0)('
)(lim)(
)()(lim
)()(
)()(lim))()((lim
zf
zzzz
zfzf
zzzz
zfzfzfzf
ozz
o
o
zz
o
o
o
zzo
zz
oo
oo
sehingga
dengan kata lain f kontinu di zo.
)()(lim)(lim oozzzz
zfzfzfoo
http://www.adi-prasetia.co.cc
97
Contoh 3.1.2
Buktikan f(z) = |z|2 kontinu di seluruh bidang kompleks
tetapi hanya terdifferensial di z = 0
Bukti :
f(z) = |z|2 = x2 + y2 berarti u(x,y) = x2 + y2 dan
v(x,y) = 0
u dan v kontinu di D, maka f(z) kontinu di D
0lim
||lim
0
)0()(lim)0('
0
2
00
z
zz
z
z
z
fzff
z
zz
Jadi f(z) terdifferensial di z = 0
http://www.adi-prasetia.co.cc
98
3.2 Syarat Chauchy-Riemann
Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di zo = xo + i yo
adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-
derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi
bagian imajiner dari f.
http://www.adi-prasetia.co.cc
99
Terema 3.2.1 (Syarat Chauchy-Riemann
Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdifferensial di zo = xo + i yo,
maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di
(xo,yo) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy – Riemann
derivatif f di zo dapat dinyatakan dengan
Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di (xo,yo) maka
f(z) = u(x,y) + i v(x,y) tidak terdifferensial di zo = xo + i yo
x
v
y
udan
y
v
x
u
),(),()(' ooxooxo yxviyxuzf
http://www.adi-prasetia.co.cc
100
Contoh 3.2.1
Buktikan f(z) = |z|2 tidak terdifferensiasi di z 0
Bukti : f(z) = x2 + y2 sehingga
u(x,y) = x2 + y2
v(x,y) = 0
Persamaan Cauchy – Riemann
y2yu
danx2xu
0yv
dan0xv
)1(0x2yv
xu
http://www.adi-prasetia.co.cc
101
)2(02 yx
v
y
udan
(1) dan (2) tidak dipenuhi jika x 0 atau y 0,
jadi pasti f tidak terdeferensial di z 0
http://www.adi-prasetia.co.cc
102
Catatan :
Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan.
Contoh 3.2.2
Buktikan fungsi f(z) =22
33 11
yx
i)(yi)(x
dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R
Bukti :
u = 22
33
yx
yxdengan u(0,0) = 0
v = 22
33
yx
yxdengan v(0,0) = 0
ux(0,0) =ox
limx
),u()u(x, 000= 1
uy(0,0) = y
),u(,y)u(
oy
000lim = -1
http://www.adi-prasetia.co.cc
103
vx(0,0) =x
),v()v(x,
ox
000lim = 1
oylim
y
),v(,y)v( 000vy(0,0) = = 1
Jadi persamaan Cauchy – Riemann terpenuhi
iy))(xy(x
i)(yi)(x
z
fzf
zz 22
33
00
11lim
)0()(limTetapi
Untuk z 0
oxlim 3
3 1
x
i)(xSepanjang garis real y = 0 = 1 + i
http://www.adi-prasetia.co.cc
104
oxlim 3
3
12
2
xi)(
xi
i
i
1Sepanjang garis real y = x =
ozlim
z
)f(f(z) 0Jadi tidak ada
sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun
persamaan C-R dipenuhi di (0,0)
http://www.adi-prasetia.co.cc
105
xu
yu
xv
yv
xu
yv
yu
xv
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :
i. Syarat perlu
f(z) = u(x,y) + iv(x,y), zo = xo + i yo
f’(z) ada maka ,, ,
berlaku C-R yaitu :
= dan =
dan f’(z0) = ux(x0,y0) + i vx(x0,y0)
ada di (xo, yo)
http://www.adi-prasetia.co.cc
106
ii. Syarat cukup
u(x,y), v(x,y), ux(x,y), vx(x,y), uy(x,y), vy(x,y) kontinu
pada kitar zo = xo + i yo dan di (xo,yo) dipenuhi C-R
maka f’(zo) ada
http://www.adi-prasetia.co.cc
107
Contoh 3.2.3
Buktikan f(z) = ex(cos y + i sin y) terdiferensial
untuk setiap z dalam ℂ
Bukti :
u(x,y) = excos y ux(x,y) = excos y
uy(x,y) = -exsin y
v(x,y) = exsin y vx(x,y) = exsin y
vy(x,y) = excos y
ada dan
kontinu di
setiap (x,y) ℂ
http://www.adi-prasetia.co.cc
108
Berdasarkan persamaan C-R :
ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di (x,y) ℂ, dan ada
kitar
dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di
(x,y).
Jadi f’(z) ada z ℂ.
Dan f’(z) = ux(x,y) + i vx(x,y)
= excos y + i exsin y
http://www.adi-prasetia.co.cc
109
3.3 Syarat C-R Pada Koordinat Kutub
Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dapat diilustrasikan
dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan
hubungan x = r cos dan y = r sin , diperoleh
z = r cos + i sin , sehingga
f(z) = u(r, ) + i v(r, ) dalam sistem koordinat kutub
http://www.adi-prasetia.co.cc
110
Teoreama 3.3.1
Jika f(z) = u(r, ) + i v(r, ) terdiferensial dan kontinu pada
suatu kitar (ro, o) dan jika dalam kitar tersebut
ur, u , vr, v ada dan kontinu di (ro, o) dan dipenuhi
C-R yaitu:
ru
r1 v
r1 v
rv
= dan = , r 0
maka f’(z) = ada di z = zo dan
f’(z) = (cos o – i sin o) [ur(ro, o) + i vr(ro, o)]
http://www.adi-prasetia.co.cc
111
Contoh 3.3.1
Diketahui f(z) = z-3,
tentukan f’(z) dalam bentuk koordinat kutub
http://www.adi-prasetia.co.cc
112
Jawab :
f(z) = z-3 = r-3 (cos 3 - i sin 3 ), maka :
u = r-3 cos 3 , sehingga ur = -3r-4 cos 3 dan
u = -3r-3 sin 3
v = -r-3 sin 3 , sehingga vr = 3r-4 sin 3 dan
v = -3r-3 cos 3
keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk
semua z 0
Jadi f(z) = z-3 terdiferensial untuk z 0
Dengan demikian f’(z) dalam koordinat kutub adalah :
f’(z) = (cos – i sin ) (-3r-4 cos 3 + i 3r-4 sin 3 )
= cis(- ) (-3r-4) cis(-3 )
= -3r-4 cis(-4 )
http://www.adi-prasetia.co.cc
113
2)(
)(')()()('
)(
)(.5
)(')()()(')()(.4
)(')(')()(.3
)(')(
.2
1dz
d(z),0
dz
dc.1
zg
zgzfzgzf
zg
zf
dx
d
zgzfzgzfzgzfdx
d
zgzfzgzfdx
d
zcfdz
zcfd
3.4 Aturan Pendiferensialan
Jika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi- fungsi kompleks
serta f’(z), g’(z) dan h’(z) ada, maka berlaku rumus-rumus :
http://www.adi-prasetia.co.cc
114
dz
d.
d
dw
dz
dw
)(
)(')]([')(')]([)(.7
.6 1
rantaiaturankomposisidengandisebutbiasa
zfzfgzhmakazfgzhJika
nzdz
dz nn
http://www.adi-prasetia.co.cc
115
3.5 Fungsi Analitik
Definisi 3.5.1
Fungsi f analitik di zo, jika ada r > 0 sedemikian, hingga
f’(z) ada untuk setiap z N(zo,r) (persekitaran zo)
rf diferensiable
Fungsi analitik untuk setiap z ℂ dinamakan fungsi utuh
oz
http://www.adi-prasetia.co.cc
116
Contoh 3.5.1
1. f(z) =
2. f(z) = x3 + iy3
diperoleh : u = x3 ; v = y3 sehingga
ux = 3x2 ; vx = 0 ; uy = 0 ; vy = 3y2
dengan menggunakan persamaan C-R :
3x2 = 3y2 y = x dan vx = uy = 0
persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris y = x
berarti f’(z) ada hanya di y = x
Jadi f(z) tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar.
z1
analitik kecuali di z = 0
http://www.adi-prasetia.co.cc
117
0)z('g0)z(gdengan,zg'
zf'
zg
zflim
ozz
Sifat sifat analitik
Misalnya f dan g analitik pada D, maka :
o f g merupakan fungsi analitik
o f.g merupakan fungsi analitik
o f/g merupakan fungsi analitik dengan g 0
o h = g ∘ f merupakan fungsi analitik
o berlaku aturan L’hospital yaitu :
http://www.adi-prasetia.co.cc
118
3.6 Titik Singular
Definisi 3.6.1
Titik z1 disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di z1
tetapi untuk setiap kitar dari z1 memuat paling sedikit satu titik
dimana f analitik.
http://www.adi-prasetia.co.cc
119
Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain :
1. Titik singular terisolasi
Titik zo dinamakan titik singular terisolasi dari f(z) jika
terdapat 0 demikian sehingga lingkaran |z – zo| =
hanya melingkari titik singular lainnya. Jika seperti itu
tidak ada, maka z = zo disebut titik singular tidak
terisolasi.
http://www.adi-prasetia.co.cc
120
2. Titik Pole (titik kutub)
Titik z = zo disebut titik pole tingkat n, jika berlaku
.
Jika n = 1, zo disebut sebagai titik pole sederhana.
3. Titik Cabang
Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular.
4. Titik Singular dapat dihapuskan
Titik singular zo disebut titik singular dapat dihapuskan
dari f(z) jika f(z) ada.
0A)z(f)zz(lim no
zz o
ozlim
http://www.adi-prasetia.co.cc
121
5. Titik Singular Essensial
Titik singular z = zo yang tidak memenuhi syarat titik
singular pole titik cabang atau titik singular yang dapat
dihapuskan disebut titik singular essensial.
6. Titik Singular tak hingga
Jika f(z) mempunyai titik singular di z = , maka sama
dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di
w = 0.
http://www.adi-prasetia.co.cc
122
Contoh 3.6.1
• g(z) = berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 dari
g(z)
• h(z) = |z|2 tidak merupakan titik singular
• k(z) = ln (z2 + z – 2) maka titik cabang adalah z1 = 1 dan z2 =
–2 karena (z2 + z – 2) = (z – 1) (z + 2) = 0
2)1z(
1
http://www.adi-prasetia.co.cc
123
3.7 Fungsi Harmonik
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v
mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue
pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux = vy dan uy = –vx
Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam
D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = –vx
diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka (x,y) D
berlaku
uxx + uyy = 0
vxx = vyy = 0
http://www.adi-prasetia.co.cc
124
Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi
persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi.
u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu
domain maka f(z) harmonik pada domain tersebut.
Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domain dinamakan
dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu.
02
2
2
2
yx
http://www.adi-prasetia.co.cc
125
Contoh 3.7.1
Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang
harmonik konjugat dengan u = 4xy3 – 12x3y, (x,y) ℂ
Jawab :
Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y)
jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada ℂ sedemikian sehingga
berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx
ux = 4y3 – 12x2y vy = 4y3 – 12x2y
uy= 12xy2 – 4x3 v= y4 – 6x2y2 + g(x)
karena vx = –uy maka –12xy2 + g’(x) = –12xy2 + 4x3 sehingga
g’(x) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + C
Jadi v = y4 – 6x2y2 + x4 + C
http://www.adi-prasetia.co.cc
126
Cara Milne Thomson
Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi
harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga
f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D
f”(z) = ux(x,y) + ivx(x,y)
sesuai persamaan C-R : f”(z) = ux(x,y) – iuy(x,y)
z = x + iy dan = x – iy sehingga diperolehz
i2zz
ydan2
zzx
i2zz
,2
zzi2zz
,2
zzf(z) = ux – iuy
http://www.adi-prasetia.co.cc
127
Suatu identitas dalam z dan , jika diambil = z maka f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0)
Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya ux(z,0) – iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y)z z
http://www.adi-prasetia.co.cc
128
Contoh 3.7.2
Dari Contoh 3.7.1 dengan u= 4xy3 – 4x3y, (x,y) ℂ, jika
diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson.
Jawab :
ux = 4y3 – 12x2y
uy= 12xy2 – 4x3
f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0)
= –i(– 4z3)
= 4iz3
sehingga f(z) = iz4 + A
f(z) = i(x + iy)4 + A
= 4xy3 – 4x3y + i(x4 – 6x2y2 + y4) + A
http://www.adi-prasetia.co.cc
SEMOGA BERMANFAATAMIIN..
Supported by:http://www.adi-prasetia.co.cc