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Funktionentheorie
Vorlesungszusammenfassung
SS 2012Andreas Muller-Rettkowski
e-mail: [email protected]
Dies ist eine Vorlesungszusammenfassung, gedacht zur Vorlesungsbegleitungund als Gedachtnisstutze. Der Besuch der Vorlesung ist hierdurch nicht zuersetzen, denn in der Vorlesung wird erklart, begrundet, veranschaulicht undeingeordnet.
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INHALTSVERZEICHNIS 1
Inhaltsverzeichnis
1 Die komplexen Zahlen C 41.1 Definition von C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Polardarstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Funktionen in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Die Funktion f(z) = zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Die Gleichung ε|z|2 + αz + αz + β = 0 . . . . . . . . . . . . . 81.8 Die Riemannsche Zahlenkugel und “C . . . . . . . . . . . . . . 91.9 C kann nicht angeordnet werden . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in CTopologische Grundbegriffe 112.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Kompakte Mengen in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Zusammenhangende Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Differentiation in Komplexen 153.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Bemerkungen. Erganzungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Potenzreihen 184.1 Erinnerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Konforme Abbildung 235.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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INHALTSVERZEICHNIS 2
6 Mobiustransformationen 256.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.4 Winkeltreue. Orientierungstreue. Gebietstreue. . . . . . . . . 276.5 Das Doppelverhaltnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.6 Spiegeln an verallgemeinerten Kreisen. . . . . . . . . . . . . . 28
7 Der Logarithmus 297.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8 KurvenintegraleStammfunktionen 318.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9 Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy fur Stern-gebiete 349.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.2 Der Integralsatz fur Sterngebiete . . . . . . . . . . . . . . . . 359.3 Die Cauchysche Integralformel fur Kreise und Sterngebiete . . 35
10 Folgerungen 3710.1 Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen . . . . . . 3710.2 Der Identitatssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.3 Ganze Funktionen. Der Satz von Liouville
Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.4 Die Gebietstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11 Das Maximumprinzip 4111.1 Die Parsevalsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.2 Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.3 Das Schwarzsche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.4 Die biholomorphen Abbildungen D → D . . . . . . . . . . . . 42
12 Die Windungszahl 4412.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.3 Die Windungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.4 (Verkehrsregel) zur Berechnung der Windungszahl . . . . . . 46
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INHALTSVERZEICHNIS 3
13 Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Inte-gralsatz 4713.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4713.2 Verallgemeinerung von Satz 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.3 Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
14 Die Laurent Entwicklung 5214.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214.2 Die Laurent Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5314.3 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
15 Die isolierten Singularitaten 5515.1 Isolierte Singularitat. Hebbare Singularitat. . . . . . . . . . . 5515.2 Hebbare Singularitat, Polstelle, wesentliche Singularitat . . . 5615.3 Die Laurent Entwicklung um isolierte Singularitaten . . . . . 56
16 Der Residuensatz 5816.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5816.2 Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
17 Berechnung reeller Integrale mit Hilfe des Residuensatzes 6117.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6117.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
17.3
+∞ˆ
−∞
f(x)eix dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18 Das ArgumentprinzipDer Satz von Rouche 6418.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6418.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6418.3 Der Satz von Rouche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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Die komplexen Zahlen C 4
Kapitel 1
Die komplexen Zahlen C
1.1 Definition von C
Eine komplexe Zahl z ist eine geordnetes Paar (x, y) reeller Zahlen. Mit Cwird die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet. Es seien z = (x, y) undw = (u, v) aus C.
Definition:
1) z = w ⇐⇒ x = u und y = v,
2) z + w = (x+ u, y + v) (Addition in C),
3) zw = (xu− yv, xv + yu) (Multiplikation in C).
Satz 1: Mit diesen Verknupfungen ist C ein Korper.
Anmerkungen:0 := (0, 0) ist das neutrale Element bezuglich der Addition,1 := (1, 0) ist das neutrale Element bezuglich der Multiplikation,−z := (−x,−y) ist das inverse Element fur die Addition.
Fur z 6= 0 ist1
z:=
Åx
x2 + y2,
−yx2 + y2
ãdas Element aus C, fur das
1
zz = 1
gilt.
Satz 2: Es seien x, u ∈ R. Dann gelten:
(x, 0) + (u, 0) = (x+ u, 0) und (x, 0)(u, 0) = (xu, 0).
Die komplexe Zahl (x, 0) wird mit x ∈ R identifiziert. Somit sind die reellenZahlen ein Unterkorper von C.Fur λ ∈ R gilt:
λ(x, y) = (λ, 0)(x, y) = (λx, λy).
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Die komplexen Zahlen C 5
Wegen (0, 1)(y, 0) = (0, y) konnen wir schreiben
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x+ (0, 1)y.
Das heißt, dass jede komplexe Zahl z mittels zweier reeller Zahlen x, y undder Zahl (0, 1) dargestellt werden kann.
Definition: i := (0, 1).
Satz 3: i2 = −1.
Satz 4: z = (x, y) kann in der Form z = x+ iy geschrieben werden.
Es gilt C = z|z = x+ iy, x, y ∈ R.
1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen
z = x − iy heißt die zu z = x + iy (x, y ∈ R) konjugiert komplexe Zahl.Re(z) := x heißt Realteil und Im(z) := y heißt Imaginarteil von z.Fur z, w ∈ C und α, β ∈ R gelten:
Re(αz + βw) = αRe(z) + βRe(w),Im(αz + βw) = αIm(z) + βIm(w),
Re(z) =1
2(z + z),
Im(z) =1
2i(z − z).
Satz 5: Fur z, w ∈ C gelten:
a) z ∈ R ⇐⇒ z = z,
b) z = z,
c) z + w = z + w, zw = z w und
Å1
z
ã=
1
z,
d) zz ∈ R, zz ≥ 0 und zz = 0 nur falls z = 0.
Definition: |z| :=√zz heißt Betrag von z ∈ C.
|z| gibt den euklidischen Abstand des Punktes z vom Koordinatenanfangs-punkt an. |z − w| ist die Lange der Verbindungsstrecke [z, w].
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Die komplexen Zahlen C 6
Satz 6: Fur z, w ∈ C gelten:
a) |z| = |z|,
b) |zw| = |z||w|,
c)
∣∣∣∣1z∣∣∣∣= 1
|z|,
d) |Re(z)| ≤ |z| und |Im(z)| ≤ |z|,
e) |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + 2Re(zw),
f) |z + w| ≤ |z|+ |w|.
1.3 Konvergenz
(zk) ⊂ C sei eine Folge komplexer Zahlen, a ∈ C.
Definition: limk→∞
zk = a⇐⇒ limk→∞
|zk − a| = 0(⇐⇒ zk → a(k → ∞)
).
a heißt Grenzwert der Folge.
Satz 7: Es gilt:
zk → a (k → ∞) ⇐⇒ Re(zk) → Re(a) und Im(zk) → Im(a).
Eine Folge (zk) ⊂ C heißt Cauchy Folge, falls es zu jedem ε > 0 einen IndexN derart gibt, dass fur alle k, l ≥ N |zk − zl| < ε erfullt ist.
Bemerkung: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy Folge.
Eine Folge (zk) ⊂ C heißt beschrankt, wenn es eine Zahl R > 0 gibt, sodass |zk| ≤ R ∀k gilt.
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Die komplexen Zahlen C 7
Satz 8: (Bolzano, Weierstrass)In C gelten:
a) Jede beschrankte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
b) Jede Cauchy Folge ist konvergent.
1.4 Polardarstellung komplexer Zahlen
Jede komplexe Zahl z besitzt eine Darstellung
z = reiϕÄ:= r(cosϕ+ isinϕ)
ämit ϕ ∈ R und r = |z|.Fur z 6= 0 ist ϕ bis auf Addition ganzzahliger Vielfacher von 2π eindeutigbestimmt.Wird ϕ auf ein beliebiges halboffenes Intervall der Lange 2π beschrankt, soist der Zahl z 6= 0 ϕ mit z = reiϕ eindeutig zugeordnet.Wir werden je nach Gegebenheit ϕ auf [0, 2π) oder (−π,+π] beschranken.Der Winkel, der dann z = reiϕ liefert, heißt das Argument von z, es wirddurch Arg(z) bezeichnet. Also:
Arg : C\0 → [0, 2π) oder (−π,+π].
Ein Element der Menge Arg(z)+2kπ, k ∈ Z wird durch arg(z) bezeichnet.
Satz 9: Es seien θ, ϕ ∈ R. Es gilt:
ei(θ+ϕ) = eiθeiϕ.
Fur z = x+ iy wird definiert ez := exeiy.
Satz 10: Fur z, w ∈ C gilt:
ez+w = ezew.
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Die komplexen Zahlen C 8
1.5 Funktionen in C
Es sei S ⊂ C und z → w := f(z) eine Funktion f : S → C.f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) , (x, y) ∈ S.u := Re(f) : S ⊂ R2 → R.v := Im(f) : S ⊂ R2 → R.
Beispiele:
1) f(z) = z2 : u(x, y) = x2 − y2 und v(x, y) = 2xy
b) f(z) = ez : u(x, y) = excos(y) und v(x, y) = exsin(y)
1.6 Die Funktion f(z) = zn
Wir betrachten fur n ∈ N und z ∈ D = z/|z| ≤ 1
f(z) = zn.
Es gilt f(D) = D und jeder Punkt w ∈ D wird n mal angenommen.
Beispiel:Gegeben ist die Argumentfunktion mit Arg : C\0 → [0, 2π).Gegeben sei z = reiθ (z 6= 0), θ = Arg(z).Gesucht sind alle w ∈ C mit wn = z.Suche w in der Darstellung w = teiϕ, ϕ ∈ [0, 2π). Man erhalt alle Losungender Gleichung wn = z in der Form:
wk = n√re
iθn e
ik2πn , k = 0, 1, · · · , n− 1.
Bemerkung:
Fur ζ = e2πin gilt (ζk)n = 1.
ζk , k = 0, 1, · · · , n− 1 heißen die n-ten Einheitswurzeln.
1.7 Die Gleichung ε|z|2 + αz + αz + β = 0
Fur ε = 1, α ∈ C, β ∈ R mit β < |α|2 ist das die Gleichung des Kreises um
−α mit Radius»|α|2 − β.
Fur ε = 0, α ∈ C, β ∈ R liegen die z ∈ C, die dieser Gleichung genugen, aufeiner Geraden.
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Die komplexen Zahlen C 9
1.8 Die Riemannsche Zahlenkugel und C
Σ := (x1, x2, x3) ∈ R3/x21 + x22 + x23 = 1.
C := (x, y) ∈ R2 = z/z = x+ iy , x, y ∈ R.
N :=
Ö001
è∈ Σ.
Definiere Π : Σ\N → C durch
Π(x1, x2, x3) :=x1 + ix21− x3
und ∞ := Π(0, 0, 1)
Nennt man “C = C ∪∞, so ist Π : Σ → “C bijektiv.Π heißt stereographische Projektion.Die Umkehrabbildung Π−1 werde durch p bezeichnet. Man rechnet nach:
• p(z) =1
|z|2 + 1
Öz + z
−i(z − z)|z|2 − 1
è, z ∈ C,
• p(∞) =
Ö001
èDurch χ(z, z′) :=
2|z − z′|»|z|2 + 1
»|z′|2 + 1
, z, z′ ∈ “C wird auf “C eine Metrik
definiert.Man rechnet fur z ∈ C nach:
χ(z,∞) =2»
|z|2 + 1und χ(∞,∞) = 0.
Bemerkung: Es gilt
χ(z, z′) = ||p(z)− p(z′)||
wobei
∣∣∣∣∣∣∣∣Ö
x1x2x3
è−
Öx′1x′2x′3
è ∣∣∣∣∣∣∣∣= Ä(x1 − x′1)2 + (x2 − x′2)
2 + (x3 − x′3)2ä 1
2
der euklidische Abstand zwischen
Öx1x2x3
èund
Öx′1x′2x′3
èist.
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Die komplexen Zahlen C 10
Definition: Seien (an) ⊂ “C , a ∈ “C.an → a (n→ ∞) in“C :⇐⇒ χ(an, a) → 0 (n→ ∞).
Satz 11:
a) Π bildet Kreise in Σ auf Kreise oder Geraden in “C ab.
b) p bildet Kreise oder Geraden in “C auf Kreise in Σ ab.
1.9 C kann nicht angeordnet werden
Es gibt kein “<”. Es gibt lediglich “=” oder “6=”, denn:Aus 1 6= 0 folgt 0 < 12 = 1.Aus i 6= 0 musste folgen 0 < i2 = −1.Hieraus wurde folgen 0 < 1 + (−1) = 0 !Widerspruch!
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Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in CTopologische Grundbegriffe
11
Kapitel 2
Offene, abgeschlossene,kompakte Mengen in CTopologische Grundbegriffe
2.1
1) a ∈ C, r > 0.D(a, r) := z ∈ C/|z−a| < r heißt offene Kreisscheibe um amit Radius r (r-Umgebung von a).
2) U ⊂ C heißt offen :⇔ ∀ b ∈ U ∃ r > 0 D(b, r) ⊂ U .
3) A ⊂ C heißt abgeschlossen, wenn fur jede Folge (zn) ⊂ A mit zn → zo(n→ ∞) gilt: zo ∈ A.
M ⊂ C : M c := C\M .
4) Satz 1:
a) M ⊂ C ist abgeschlossen ⇔ M c ist offen.
b) M ⊂ C ist offen ⇔ M c ist abgeschlossen.
5) Es sei M ⊂ C. zo ∈ C heißt:
a) innerer Punkt von M , falls gilt: D(zo, r) ⊂M fur ein r > 0.
b) Randpunkt von M , wenn fur jedes ε > 0 gelten: D(zo, ε)∩M 6= ∅und D(zo, ε) ∩M c 6= ∅.
c) Haufungspunkt (HP) von M , wenn: ∀ ε > 0 ∃ z ∈M\zo z ∈D(zo, ε).
d) isolierter Punkt von M , wenn gelten: zo ∈M und zo ist kein HPvon M .
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Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in CTopologische Grundbegriffe
12
6) a)M := z/z ist innerer Punkt von M.
b) ∂M := z/z ist Randpunkt von M.c) M :=M ∪ ∂M heißt der Abschluss von M .
d) M heißt beschrankt, falls es ein R > 0 mit M ⊂ D(0, R) gibt.
e) diam(M) := sup|z − w|/z, w ∈ M heißt der Durchmesser derbeschrankten nichtleeren Menge M .
f) H(M) = z/z ist HP von M
7) Satz 2: Es sei M ⊂ C eine Menge. Es gelten:
1) M ist offen ⇔M =M ⇔ M ∩ ∂M = ∅.
2) ∂M = ∂(M c).
3) M ist abgeschlossen ⇔ ∂M ⊂M ⇔ M =M .
4) ∂M =M \M .
5) zo ∈ H(M) ⇔ es gibt eine Folge (zn) ⊂M \zo mit zn → zo(n→ ∞).
6) M ∪H(M) =M .
7) M ist abgeschlossen ⇔ H(M) ⊂M .
2.2
Es sei M 6= ∅, M ⊂ C. f :M → C sei eine Funktion.
1) zo ∈ H(M).limz→zo
f(z) = a :⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z ∈ (M ∩D(zo, δ)) \zo|f(z)− a| < ε.
2) zo ∈M .f heißt stetig in zo :⇔ lim
z→zof(z) = f(zo).
3) f heißt gleichmaßig stetig auf M , falls:∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z′ ∈M (|z − z′| < δ ⇒ |f(z)− f(z′)| < ε).
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Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in CTopologische Grundbegriffe
13
2.3 Kompakte Mengen in C
Die Menge K ⊂ C heißt kompakt, falls aus jeder Folge (zn) ⊂ K eine Teil-folge ausgewahlt werden kann, die gegen ein Element aus K konvergiert.
Satz 3: K ⊂ C ist kompakt ⇔ K ist beschrankt und abgeschlossen.
Satz 4: K ⊂ C sei kompakt und Kj (j ∈ N) seien abgeschlossene Men-gen, fur die Kj+1 ⊂ Kj (j ∈ N) erfullt ist. Dann gilt
⋂j∈N
Kj 6= ∅.
Satz 5: K ⊂ C sei kompakt und f : K → C sei stetig. Dann ist f(K)kompakt.
Satz 6: K ⊂ C sei kompakt und f : K → R sei stetig. Dann gibt esv, w ∈ K mit f(w) ≤ f(z) ≤ f(v) fur alle z ∈ K.
Satz 7: K ⊂ C sei kompakt und f : K → C sei stetig. Dann ist f aufK gleichmaßig stetig.
Definition: (Abstand zweier Mengen)A,B ⊂ C : dist(A,B) := inf|z − w| / z ∈ A,w ∈ B
Satz 8: Es seien A ⊂ C eine abgeschlossene Menge und v ∈ C. Dann gibtes ein w ∈ A mit dist(A, v) = |w − v|.
Satz 9: Es seien K ⊂ C kompakt und A ⊂ C abgeschlossen. Dann exis-tieren zo ∈ K und wo ∈ A mit dist(K,A) = |zo − wo|.
Satz 10: Gegeben ist eine kompakte Menge K ⊂ C und r > 0. Dann gibt
es endlich viele Punkte z1, z2, ..., zN so dass K ⊂N⋃j=1
D(zj , r) gilt.
2.4 Zusammenhangende Mengen
Ein metrischer Raum (X, d) heißt zusammenhangend (zshgd),
• wenn es keine Zerlegung X = U ∪ V gibt mit: U ∩ V = ∅; U, V offen(in X); U 6= ∅, V 6= ∅.
• wenn aus (X = U ∪V ; U ∩V = ∅; U, V offen) folgt: U = ∅ oder V = ∅.
Satz 11: X ⊂ R enthalte mindestens zwei Elemente. Dann ist X zshgd ge-nau dann, wenn X ein Intervall ist.
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Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in CTopologische Grundbegriffe
14
Satz 12: Das Bild f(X) eines zshgd Raumes X unter einer stetigen Funk-tion f : X → Y ist zshgd.
Der metrische Raum X heißt wegzshgd, wenn es zu je zwei Punkten a, b ∈ Xeine (stetige) Kurve (5.Kapitel) γ : [0, 1] → X mit γ(0) = a, γ(1) = b gibt.
Beispiel: Jede konvexe Menge X in einem normierten Vektorraum ist wegz-shgd.
Satz 13: Jeder wegzshgd Raum ist zshgd.Beweis: Indirekt und mit Satz 11 und Satz 12.
Satz 14: Jede zshgd offene Menge X in C ist wegzshgd. Es gilt sogar: Jezwei Punkte a, b ∈ X konnen durch einen Streckenzug in X verbunden wer-den.Beweis: Es sei a ∈ X. DefiniereU = x ∈ X/ es gibt in X einen Streckenzug, der a mit x verbindetZeige: U 6= ∅, U offen und V = X\U offen. Folgere mit der Voraussetzung“X zshgd”, dass V = ∅, also X = U gilt.
Definition: Eine nichtleere offene zshgd Menge in C heißt Gebiet.
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Differentiation in Komplexen 15
Kapitel 3
Differentiation in Komplexen
3.1
Es seien Ω ⊂ C eine offene Menge, zo ∈ Ω und f : Ω → C eine Funktion.
Existiert limz→zo
f(z)− f(zo)
z − zo, so heißt f in zo differenzierbar (diff’bar). Der
Grenzwert wird dann durch f ′(zo) bezeichnet und heißt die erste Ableitungvon f in zo.f heißt holomorph in zo ∈ Ω, falls es eine Umgebung D(zo, δ) ⊂ Ω von zogibt derart, dass f in jedem z ∈ D(zo, δ) diff’bar ist.f heißt holomorph in Ω, falls f in jedem Punkt z ∈ Ω holomorph ist. MitH(Ω) wird die Menge der auf Ω holomorphen Funktionen bezeichnet.
3.2
Es sei f : Ω ⊂ C → C, w = f(z) gegeben.u := Re(f) : Ω ⊂ R2 → R, v := Im(f) : Ω ⊂ R2 → R.
Satz 1:Es ist f genau dann in zo = xo + iyo ∈ Ω diff’bar, wenn u, v in (xo, yo)diff’bar sind und in (xo, yo) die Cauchy-Riemanschen Differentialgleichun-gen (CR-DGLn)
D1u = D2v und D2u = −D1v
erfullt sind.(f ist in Ω holomorph ⇔ u, v sind in Ω diff’bar und es sind in Ω
D1u = D2v und D2u = −D1v
erfullt.)
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Differentiation in Komplexen 16
3.3 Bemerkungen. Erganzungen.
1) Sind u, v in Ω stetig partiell diff’bar und sind in Ω die CR-DGLnerfullt, so ist f = u+ iv in Ω holomorph.
2) Ist f = u+ iv in z = x+ iy ∈ Ω diff’bar, so hat man
f ′(x+ iy) = D1u(x, y) + iD1v(x, y) = D2v(x, y)− iD2u(x, y)
= D2v(x, y) + iD1v(x, y) = D1u(x, y)− iD2u(x, y).
3) Mit ~f : Ω ⊂ R2 → R2, ~f(x, y) =
Çu(x, y)v(x, y)
å, folgt mit 2)
det~f ′(x, y) = |f ′(x+ iy)|2.
4) Wir ordnen f : Ω ⊂ C → C, f = u + iv, die Funktion F : Ω ⊂R2 → C, F (x, y) := u(x, y)+iv(x, y) zu. Hiermit konnen die CR-DGLnfur f in der einen Gleichung D2F (x, y) = iD1F (x, y) zusammengefasstwerden.
5) Es seien f und F wie unter 4). DefiniereG(z, z) := F
Å1
2(z + z),
1
2i(z − z)
ãund behandle die Variablen z, z als voneinander unabhangige Variable.Es gilt (∂z partielle Ableitung nach z)
∂zG(z, z) =i
2(D2F − iD1F ),
so dass man die Holomorphie von f auch durch
(∂zf) (z) = 0, z ∈ Ω,
charakterisieren kann. (Wirtinger Kalkul. Siehe dazu Remmert).
6) Ist f in Ω holomorph, u = Re(f), v = Im(f), so gilt∇u(x, y) · ∇v(x, y) = 0, d.h. die Kurvenscharen u(x, y) = konst undv(x, y) = konst sind orthogonal zueinander.
7) Wir nehmen das Ergebnis: f ∈ H(Ω) ⇒ f ′ ∈ H(Ω) vorweg. Es folgtdann: f ∈ H(Ω), u = Re(f), v = Im(f) ⇒ u, v ∈ C∞(Ω).
Satz 2: Es sei f ∈ H(Ω). Dann sind u und v in Ω ⊂ R2 harmonisch:es gilt fur (x, y) ∈ Ω ∆u(x, y) = ∆v(x, y) = 0 (∆u = D2
1u+D22u).
Satz 3: Ist Ω ⊂ R2 ein einfach zshgd Gebiet und ist u in Ω har-monisch, so gibt es harmonische Funktionen v derart, dass f := u+ ivin Ω ⊂ C holomorph ist.
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Differentiation in Komplexen 17
8) Es sei Ω ⊂ R2 ein einfach zshgd Gebiet und ~v : Ω → R2,
~v(x, y) =
Çp(x, y)q(x, y)
ådas Geschwindigkeitsfeld einer stationaren, ebe-
nen, inkompressiblen, wirbelfreien Flussigkeitsstromung. Es gelten so-mit (p, q sollen genugend oft stetig diff’bar sein)
D1p+D2q = 0 und D2p−D1q = 0
in Ω. Mit 7) erhalt man Funktionen ϕ,ψ : Ω ⊂ R2 → R mit ∇ϕ = ~v
und ∇ψ =
Ç−qp
åin Ω.
Damit ist f := ϕ+iψ in Ω holomrph. f heißt komplexes Potential fur ~v.
Es gilt f ′ = p+ iq (= ~v).Die Kurven ϕ(x, y) = konst heißen Potentiallinien, die Kurvenψ(x, y) = konst heißen Stromlinien der durch ~v = f ′ beschriebenenStromung. ψ heißt auch Stromfunktion von ~v.
Beispiele:
1) f(z) = z2 = ϕ+iψ ⇒ ~v =
Ç2x
−2y
å, ϕ(x, y) = x2−y2, ψ(x, y) =
2xy.(Skizze der Stromung!).
2) ~v(x, y) =
Ö x
x2 + y2y
x2 + y2
è, (0, 0) 6∈ Ω.
Man erhalt
ϕ(x, y) = ln(»x2 + y2), ψ(x, y) = arctan
y
x, f(z) = ln|z|+i arg(z).
Die Stromlinien sind vom Ursprung ausgehende Halbgeraden.
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Potenzreihen 18
Kapitel 4
Potenzreihen
4.1 Erinnerungen
1) (ak), (bk) seien komplexe Zahlenfolgen.
1. (∑
ak konvergent ) ⇒ ( ak → 0 , k → ∞ ).
2. (Majorantenkriterium)( |ak| ≤ |bk|,∀k,
∑bk konvergent ) ⇒ (
∑ak ist absolut kon-
vergent ).
2) U ⊂ C sei eine offene Menge, (fk) eine Folge von Funktionenfk : U → C.fk → f (k → ∞) punktweise auf U bedeutet:
∀ ε > 0 ∀ z ∈ U ∃ ko ∈ N ∀ k ≥ ko |fk(z)− f(z)| < ε.
Fur g : U → C bezeichnen wir durch ||g||U die Supremumsnorm:
||g||U = sup |g(z)| /z ∈ U.
fk → f (k → ∞) gleichmaßig auf U , falls gilt:
limk→∞
||fk − f ||U = 0.
fk → f (k → ∞) lokalgleichmaßig auf U , falls gilt:
∀ z ∈ U ∃D(z, λ) ⊂ U ||fk − f ||D(z,λ) → 0 (k → ∞).
Es gelten:
3. Die Folge (fk) konvergiert auf U lokalgleichmaßig genau dann,wenn (fk) auf jeder kompakten Teilmenge von U gleichmaßig kon-vergiert.
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Potenzreihen 19
4. Die Grenzfunktion einer auf U lokalgleichmaßig konvergenten Fol-ge stetiger Funktionen ist auf U stetig.
5. (fk), fk : U → C. Ist∞∑k=0
ak konvergent und gilt
|fk(z)| ≤ ak ∀z ∈ U, ∀k ∈ N,
so ist∞∑k=0
fk auf U gleichmaßig und absolut konvergent.
4.2
(ak) sei eine komplexe Zahlenfolge. zo ∈ C. Fur welche z ∈ C ist
(1)∞∑k=0
ak(z − zo)k
konvergent? Fur diese z wird durch (1) eine Funktion p definiert. WelcheEigenschaften hat p?
1) Satz 1: Es sei z1 6= zo und die FolgeÄan(z1−zo)n
änsei beschrankt.
Dann konvergiert die Potenzreihe (1) absolut und lokalgleichmaßig inD(zo, r1), wobei r1 = |z1 − zo| gesetzt ist.
Satz 2: Eine Potenzreihe (1) konvergiert entweder absolut undlokalgleichmaßig auf C oder es gibt eine Zahl R, 0 ≤ R < +∞, mit derEigenschaft: (1) konvergiert absolut und lokalgleichmaßig auf D(zo, R)und ist fur alle z mit |z − zo| > R divergent. Es gilt:
1
R= lim sup k
»|ak| .
Hierbei sind R = 0, falls lim sup k»|ak| = +∞, und R = +∞ im Fall
lim sup k»|ak| = 0 gemeint.
2) Bemerkungen:
a) R heißt Konvergenzradius der Reihe (1). R ist der Radius desgroßten Kreises um zo, in dem (1) konvergiert.
b) Es gilt1
R= lim
k→∞|ak+1
ak|, falls dieser Grenzwert existiert.
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Potenzreihen 20
3) Beispiele:
ez (= exp(z)) :=∞∑k=0
zk
k!, z ∈ C ,
sin(z) :=∞∑k=0
(−1)kz2k+1
(2k + 1)!, z ∈ C ,
cos(z) :=∞∑k=0
(−1)kz2k
(2k)!, z ∈ C .
Fur jede dieser Reihen gilt R = ∞. exp, sin, cos sind also fur alle z ∈ Cdurch obige Reihen definiert.Es gilt: eiz = cos(z) + i sin(z) , z ∈ C.
Es folgt: cos(z) =1
2(eiz + e−iz), sin(z) =
1
2i(eiz − e−iz).
Speziell fur z = x ∈ R hat man Re(eix) = cos(x), Im(eix) = sin(x),|eix = 1|.Es gilt (Ausmultiplizieren mittels Cauchy-Produkt, Binomischer Satz):exp(z) exp(w) = exp(z + w) , z, w ∈ C.
4.3
1) Satz 3: Die Potenzreihe∞∑k=0
akzk (o.B.d.A. zo = 0 ) mit ak ∈ C sei
inG = z/ |z| < R konvergent.
Dann ist die Funktion f : G→ C, z →∞∑k=0
akzk holomorph.
Es gilt f ′(z) =∞∑k=1
kakzk−1, z ∈ G.
zum Beweis:
1. Der Konvergenzradius der Reihe∞∑k=1
kakzk−1 ist ebenfalls R.
2. Fur ξ, |ξ| < R, ist zu zeigen, dass fur |z| ≤ %:
q(z) :=
f(z)− f(ξ)
z − ξ, z 6= ξ
∞∑k=1
kakξk−1 , z = ξ
in ξ stetig ist. Hier ist % beliebig mit |ξ| < % < R.
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Potenzreihen 21
Mit gn(z) =n−1∑k=0
zn−k−1 ξk , z ∈ C , n ∈ N gilt:
q(z) =∞∑n=1
an gn(z), |z| ≤ %.
3. Mit demMajorantenkriterium (4.1, 5.) zeigt man die gleichmaßigeKonvergenz dieser Reihe. Da die gn stetig sind, ist q in z/|z| ≤ %also in ξ stetig.
2) Folgerungen:
1. f(z) =∞∑k=0
ak(z − zo)k habe den Konvergenzradius R. Dann ist
f (j) fur |z − zo| < R holomorph (j = 0, 1, 2, · · · ). Es gelten:
f (j)(z) =∞∑k=j
k (k − 1) · · · (k − j + 1) ak (z − zo)k−j , |z| < R,
aj =1
j!f (j)(zo) , j = 0, 1, 2, · · · .
2. Satz 4: (Identitatssatz fur Potenzreihen)
Es seien f(z) =∞∑k=0
ak (z − zo)k und g(z) =
∞∑k=0
bk (z − zo)k kon-
vergent fur |z − zo| < R. Dann gilt:f(z) = g(z) fur |z − zo| < R⇔ ak = bk , k = 0, 1, 2, · · · .
4.4
Satz 5:
f(z) =∞∑k=0
ak zk mit ak ∈ R, ak+1 ≤ ak, ak → 0 (k → ∞) sei gegeben. Dann
konvergiert die Reihe fur |z| ≤ 1 mit eventueller Ausnahme von z = 1.
Satz 6: (Der Abelsche Grenzwertsatz)
Es sei f(z) =∞∑k=0
akzk mit Konvergenzradius R > 0 gegeben. Es sei ξ,
|ξ| = R, mit:∞∑k=0
ak ξk ist konvergent. Dann gilt lim
%→1−0f(%ξ) =
∞∑k=0
ak ξk.
(Stetigkeit von f in ξ bei radialer Annaherung).(fur eine Verallgemeinerung siehe Storch/Wiebe Lehrbuch der MathematikBand 1, Abschnitt 12.B.7).
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Potenzreihen 22
Beispiele:
1) ln 2 =∞∑k=1
(−1)k−1 1
k= lim
x→1−0
∞∑k=1
(−1)k−1xk
k=
Ålimx→1
ln(1 + x)
ã.
2) Aus der Konvergenz der Reihen
∞∑k=0
ak,∞∑k=0
bk,∞∑k=0
Ñk∑
j=0
ak−jbj
éfolgt
∞∑k=0
Ñk∑
j=0
ak−jbj
é︸ ︷︷ ︸Das Cauchy Pro-dukt der beidenReihen rechts
=
( ∞∑k=0
ak
)( ∞∑k=0
bk
).
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Konforme Abbildung 23
Kapitel 5
Konforme Abbildung
5.1
1) Eine Kurve C ist gegeben durch eine stetige Funktion ϕ : [α, β] → C;z = ϕ(t) heißt Parameterdarstellung von C. |C| heißt Trager der Kurve.|C| ist eine kompakte Menge als stetiges Bild der kompakten Menge[α, β].
2) Die Kurve C, ϕ heißt geschlossen, falls ϕ(α) = ϕ(β) gilt. ϕ heißtJordankurve, falls: α ≤ t < t′ < β ⇒ ϕ(t) 6= ϕ(t′).
3) Sind zwei Kurven Cj , ϕj : [αj , βj ] → C (j = 1, 2) mit ϕ1(β2) = ϕ2(α2)gegeben, so definieren wir die Summenkurve C1 + C2 durch:
ϕ(t) :=
®ϕ1(t) , α1 ≤ t ≤ β1
ϕ2(t+ α2 − β1) , β1 ≤ t ≤ β1 + β2 − α2
Mit [a, b] wird die Verbindungsstrecke von a ∈ C nach b ∈ C bezeich-net. Sind z1, z2, · · · , zn ∈ C, so bezeichnet [z1, z2] + [z2, z3] + · · · +[zn−1, zn] den Polygonzug von z1 uber z2, · · · , zn−1 bis zn.
4) C sei durch z = ϕ(t), α ≤ t ≤ β gegeben.−C, die zu C entgegengesetzteKurve, ist dann etwa durch:
z = ψ(t) := ϕ(α+ β − t) , α ≤ t ≤ β ,
gegeben.
5) Die Kurve C: z = ϕ(t) , α ≤ t ≤ β, heißt glatt, wenn ϕ ∈ C1[α, β] undϕ(t) 6= 0 , α ≤ t ≤ β, erfullt sind.Die Kurve C heißt ein Weg (oder stuckweise glatt), falls es glatte Kur-ven C1, C2, · · · , Cn mit C = C1 + C2 + · · ·+ Cn gibt.
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Konforme Abbildung 24
5.2
Es seien G ⊂ C eine offene Menge, f : G → C eine holomorphe Funktionund C : z = ϕ(t), α ≤ t ≤ β, eine Kurve in G, d.h. ϕ : [α, β] → G oder auch|C| ⊂ G.f(C), w : [α, β] → C, w = f ϕ, ist stetig, also eine Kurve: die Bildkurve.Es sei jetzt C glatt: ϕ(t) 6= 0 und f ′(z) 6= 0, z ∈ G.Dann ist f(C) wieder glatt:
w(t) = f ′(ϕ(t))ϕ(t) 6= 0 , α ≤ t ≤ β
arg(z(to)) ist der Winkel zwischen der Tangente an C in zo = z(to) und derpositiven reellen Achse.
Satz:Es sei f in G holomorph und f ′(z) 6= 0 fur z ∈ G. Dann ist das Bild f(C) derglatten Kurve C eine glatte Kurve, und der Winkel zwischen zwei glattenKurven bleibt unter f (hinsichtlich Große und Drehsinn) erhalten.
Bemerkungen:
1) Ist in zo ∈ G f ′(zo) = 0, so kann sich der Winkel in zo andern:f(z) = zn (n ∈ N), zo = 0. Der Winkel zwischen Kurven, die sich in 0schneiden ver-n-facht sich.
2) Ist f ′(zo) 6= 0, ϕ(to) 6= 0 (zo = ϕ(to)), so gilt fur die Langen derKurven C und f(C) bei zo naherungsweise l(f(C)) = l(C)|f ′(zo)|.
3) Eine Abbildung f heißt konform, wenn Schnittwinkel erhalten bleiben.Der Satz besagt somit:Holomorphe Funktionen f mit f ′(z) 6= 0 sind konforme Abbildungen.
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Mobiustransformationen 25
Kapitel 6
Mobiustransformationen
6.1
T : “C → “C heißt Mobiustransformation ⇔ es gibt Zahlen a, b, c, d ∈ C mitad− bc 6= 0 und
T (z) :=
az + b
cz + d, z ∈ C\−d
c
a
c, z = ∞
∞ , z = −dc
c = 0 ist der Trivialfall: T ist eine Drehstreckung verknupft mit einer Trans-lation.
c 6= 0: T (z) =a
c− ad− bc
c(cz + d), T ′(z) =
ad− bc
(cz + d)2, z ∈ “C.
Wir bezeichnen durch M die Menge aller Mobiustransformationen. T ∈ Mistbijektiv und holomorph.
Satz 1: (M, ) ist eine Gruppe.zum Beweis:id ∈ M.
T =az + b
cz + d, T ∈ M ⇒ T−1(z) =
−dz + b
cz − a, T−1 ∈ M.
S, T ∈ M ⇒ S T ∈ M.
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Mobiustransformationen 26
6.2 Bemerkung
Spezielle Mobiustransformationen sind:
z → az (a 6= 0) Drehstreckung,
z → a+ z Translation,
z → 1
zInversion.
Satz 2: Die Gruppe (M, ) wird durch Drehstreckungen, Inversion undTranslationen erzeugt.
Bemerkungen:
1) Ein verallgemeinerter Kreis ist ein Kreis oder eine Gerade.
2) Eine Abbildung “C → “C heißt kreistreu, wenn sie verallgemeinerte Krei-se in verallgemeinerte Kreise abbildet.
Satz 3: Die Inversion ist kreistreu.
Satz 4: Jede Abbildung T ∈ M ist kreistreu.
6.3
Satz 5: Eine Mobiustransformation mit mehr als zwei Fixpunkten ist dieIdentitat.
(DV ) Es seien z1, z2, z3 paarweise verschiedene Punkte aus “C. Durch:
T (z) :=
z − z1z − z3
z2 − z3z2 − z1
, (z1, z2, z3 ∈ C)
z2 − z3z − z3
, (z1 = ∞)
z − z1z − z3
, (z2 = ∞)
z − z1z2 − z1
, (z3 = ∞)
wird die Mobiustransformation definiert, die z1 → 0, z2 → 1, z3 → ∞ ab-bildet.
Satz 6:z1, z2, z3 und w1, w2, w3 seien Tripel paarweise verschiedener Zahlen aus “C.
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Mobiustransformationen 27
Es gibt genau ein T ∈ M mit T (zj) = w; (j = 1, 2, 3).zum Beweis:Existenz mit (DV ). Eindeutigkeit mit Satz 5.Ist T1 die Abbildung, die w1 → 0, w2 → 1, w3 → ∞ und T2 die Abbildung,die z1 → 0, z2 → 1, z3 → ∞ bewirkt, so ist T = T−1
1 T2 die geforderteMobiustransformation.
Die in Satz 6 bestimmte Abbildung T wird implizit durch T1(T (z)) = T2(z)gegeben. Ausgeschrieben bedeutet das:
(∗) T (z)− T (z1)
T (z)− T (z3)
T (z2)− T (z3)
T (z2)− T (z1)=z − z1z − z3
z2 − z3z2 − z1
.
6.4 Winkeltreue. Orientierungstreue. Gebietstreue.
1. Zwei verallgemeinerte Kreise K1, K2 mogen sich in b schneiden. Gilta ∈ K1, c ∈ K2, so bezeichnen wir den (orientierten) Schnittwinkelzwischen K1, K2 in b durch ](a, b, c).Da fur T ∈ M fur alle z T ′(z) 6= 0 gilt, hat man nach Kapitel 5:
Satz 7: (Winkeltreue)Fur T ∈ M gilt: ](a, b, c) = ](T (a), T (b), T (c)).
2. Drei verschiedene Punkte a, b, c eines verallgemeinerten Kreises K le-gen wie folgt eine Orientierung (a, b, c) fest: c liegt nicht auf dem Bogen(a, b) von a nach b.“C wird unterteilt in K und zwei Gebiete. Das zur Linken von K lie-gende Gebiet ist dasjenige, in das der Normalenvektor it (t Tangente)weist.
Satz 8: (Orientierungstreue, Gebietstreue)Es sei G ⊂ “C das Gebiet zur Linken bezuglich der Orientierung (a, b, c)des verallgemeinerten Kreises K. Dann liegt fur jedes T ∈ M das BildT (G) zur Linken bezuglich der Orientierung (T (a), T (b), T (c)) des ver-allgemeinerten Bildkreises T (K). T (G) ist ein Gebiet.zum Beweis: T (G) ist offen, da T−1 in “C stetig und G offen ist. DaT stetig ist, ist T (G) zshgd: T (G) ist ein Gebiet. Es liegt links oderrechts von T (K). Die Tangentenrichtung im Bild ergibt sich aus derAbfolge der Bogen T (ıab), T (Ùbc), T (ıca).
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Mobiustransformationen 28
6.5 Das Doppelverhaltnis
Das Doppelverhaltnis der Zahlen z, z1, z2, z3: z ∈ “C und z1, z2, z3 ∈ “C undz1 6= z2 6= z3 ist die unter 6.3 (DV ) definierte Mobiustransformation T , diewir jetzt durch (z, z1, z2, z3) bezeichnen. Es gelten also:(z1, z1, z2, z3) = 0, (z2, z1, z2, z3) = 1, (z3, z1, z2, z3) = ∞.
Satz 9: Es seien z, z1, z2, z3 ∈ “C und z1, z2, z3 paarweise verschiede-ne und S ∈ M. Es gilt:
(z, z1, z2, z3) = (S(z), S(z1), S(z2), S(z3)).
Lemma:z1, z2, z3, z4 liegen auf einem verallgemeinerten Kreis genau dann, wenn(z4, z1, z2, z3) ∈ R gilt.
6.6 Spiegeln an verallgemeinerten Kreisen.
Definition: z1, z2, z3 mogen auf einem verallgemeinerten Kreis K liegen.%K(z) heißt Spiegelpunkt von z an K, falls:
(%K(z), z1, z2, z3) = (z, z1, z2, z3)
erfullt ist.
Bemerkung: Ist K = “R (= R ∪ ∞), so liest man ab:
%R(z) = z.
Satz 10: (Symmetrie-Prinzip) Es seien T ∈ M, K ein verallgemeinerterKreis und z1, z2, z3 ∈ K. Es gilt:
T (%K(z)) = %T (K)(T (z)) , z ∈ “C.Im Fall K = “R und T (K) = “R, besagt das: T (z) = T (z).(Das kann man auch aus (∗), 6.3 ablesen).
Satz 11: L sei die Gerade z(t) = a+ t eiϕ, t ∈ R, (a ∈ C, ϕ ∈ R fest). Esgilt:
%L(z) = e2iϕ(z − a) + a.
L ist die Mittelsenkrechte der Strecke [z, %L(z)].
Satz 12: Es sei K der Kreis um a mit Radius R. Es gilt:
%K(z) = a+R2
z − a.
Ubung: Deute %K(z) geometrisch. Verwende dies zu einer Konstruktion von%K(z) aus z.
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Der Logarithmus 29
Kapitel 7
Der Logarithmus
7.1
7.2
Satz 1: Es sei α ∈ R. Jeder Streifen Sα := z/α < Im(z) < α + 2πwird durch f(z) = exp(z) schlicht (d.h. holomorph und injektiv) auf diegeschlitzte Ebene Eα = C\w/w = reiα, r ≥ 0 abgebildet.
7.3
Satz 2: E−π = z/ z 6= 0, −π < arg(z) < π (=C\(−∞, 0]) wird durchlog(z) := ln |z| + i arg(z) schlicht auf S−π := w/ − π < Im(w) < πabgebildet.
Es gelten exp(log(z)) = z, z ∈ E−π, und log′(z) =1
z, z ∈ E−π.
7.4
Es seien G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine stetige Funktion, dieexp(f(z)) = z, z ∈ G, erfullt.f heißt dann ein Zweig des Logarithmus auf G.Mit G = E−π ist log aus Satz 2 ein Zweig des Logarithmus: der sogenannteHauptzweig.
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Der Logarithmus 30
Satz 3: Ist G ⊂ C ein Gebiet und f auf G ein Zweig des Logarithmus,so sind alle Zweige des Logarithmus auf G durch f(z)+2kπi, k ∈ Z, gegeben.
Bemerkung:
In A3, 5. Ubung, wird gezeigt, dass auf z/ |z− 1| < 1 der Hauptzweig desLogarithmus die Darstellung
log(z) =∞∑n=1
(−1)n−1 (z − 1)n
n
besitzt.
7.5
Ist log(z) ein Zweig des Logarithmus auf G, so wird fur b ∈ C f(z) = zb
durchzb = exp(b log(z)), z ∈ G,
definiert.
Satz 4: Ist log der Hauptzweig des Logarithmus, so ist f(z) = zb, z ∈ E−π
holomorph. Es gilt f ′(z) = bzb−1.
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KurvenintegraleStammfunktionen
31
Kapitel 8
KurvenintegraleStammfunktionen
8.1
−∞ < α < β <∞, w : [α, β] → C sei stuckweise stetig:
w(t) = u(t) + i v(t), u(t) = Rew(t), v(t) = Imw(t).
Satz 1:∣∣∣ β
α
w(t)dt∣∣∣ ≤ β
α
|w(t)|dt.
zum Beweis:
Ist
β
α
w(t)dt 6= 0, so sei ϑ = arg(
β
α
w(t)dt).
Es gilt:∣∣∣ β
α
w(t)dt∣∣∣ = β
α
Re(e−iϑw(t))dt ≤β
α
|w(t)|dt.
8.2
1) Ist ϕ : [α, β] → C eine glatte Kurve C und f : |C| → C stetig, so wirddefiniert: ˆ
C
f(z)dz =
β
α
f(ϕ(t))ϕ(t)dt.
Bemerkung: Ist h : [α∗, β∗] → [α, β] aus C1 und streng wachsend, soist z = ψ(τ) := ϕ(h(τ)), α∗ ≤ τ ≤ β∗, eine Kurve C∗ mit |C| = |C∗|.Es gilt:
(∗)ˆ
C
f(z)dz =
ˆ
C∗
f(z)dz.
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KurvenintegraleStammfunktionen
32
Also: Geht C aus C∗ durch Parametertransformation hervor, so gilt(∗).
2) Ist C ein Weg: C = C1 + C2 + · · ·+ Cn, so gilt
ˆ
C
f(z)dz =n∑
j=1
ˆ
Cj
f(z)dz.
3) Ist −C die zu C entgegengesetzte glatte Kurve, so gilt
ˆ
−C
f(z)dz = −ˆ
C
f(z)dz,
und also ˆ
C+(−C)
f(z)dz = 0 .
4)
ˆ
C
f(z)|dz| :=β
α
f(ϕ(t))|ϕ(t)|dt.
Satz 2:∣∣∣ ˆC
f(z)dz∣∣∣ ≤ ˆ
C
|f(z)||dz| ≤Ml(C),
wobei M = max|f(z)|, z ∈ |C| und l(C) =
ˆ
C
|dz| die Lange von |C|
sind.
Ist C ein geschlossener Weg, so schreiben wir auch:
ˆ
C
f(z)dz =
‰
C
f(z)dz
oder ˆ
C
f(z)dz =
C
f(z)dz.
Beispiel: Es sei C: z = ϕ(t) = reit, 0 ≤ t ≤ 2π.Es gilt ‰
C
zndz =
®2πi , n = −10 , n 6= −1 , n ∈ Z.
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KurvenintegraleStammfunktionen
33
8.3
Es sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G→ C eine Funktion.g : G → C heißt Stammfunktion von f in G, wenn g in G holomorph istund wenn g′ = f in G erfullt ist.
Satz 3:Die stetige Funktion f habe in G die Stammfunktion g. Es seien a, b ∈ G.Es gilt: ˆ
C
f(z)dz = g(b)− g(a)
fur jeden Weg C, |C| ⊂ G, der a mit b verbindet.
Folgerung: Es sei f stetig im Gebiet G und besitze in G eine Stamm-funktion. Dann gilt fur jeden geschlossenen Weg C in G:
‰
C
f(z)dz = 0.
Beispiele:
1) f(z) =∞∑n=0
anzn haben den Konvergenzradius r.
g mit g(z) =∞∑n=0
ann+ 1
zn+1 ist in z/ |z| < r eine Stammfunktion
von f .
2) In C\0 ist g(z) = − 1
n− 1
1
zn−1, n = 2, 3, · · · Stammfunktion von
f(z) =1
zn, n = 2, 3, · · · .
3) Da
‰
|z|=r
1
zdz = 2πi 6= 0 gilt, besitzt f(z) =
1
zin C\0 keine Stamm-
funktion.
4) f(z) =1
zbesitzt in E−π = C\(−∞, 0], (7.2) die Stammfunktion
g(z) = log(z) = ln |z|+ i arg(z), −π < arg(z) < π.
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Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy fur Sterngebiete 34
Kapitel 9
Der Integralsatz und dieIntegralformel von Cauchyfur Sterngebiete
9.1
Satz 1: (Das Lemma von Goursat)Es sei G ⊂ C ein Gebiet und p ∈ G. Es sei f ∈ C(G)∩H(G\p). Dann giltfur jedes abgeschlossene Dreieck 4 ⊂ G:‰
∂4
f(z)dz = 0.
zum Beweis:
Angenommen∣∣∣ ‰∂4
f(z)dz∣∣∣ = α > 0.
Man konstruiert abgeschlossene Dreiecke 4j mit:
4 ⊃ 41 ⊃ 42 ⊃ · · · ⊃ 4n ⊃ 4n+1 ⊃ · · ·die
(1)∣∣∣ ‰∂4n
f(z)dz∣∣∣ ≥ α
4n, n = 1, 2, · · ·
erfullen.Bezeichnen dn = diam(4n) und l(∂4n) die Lange von ∂4n, so folgt mit
(2) dn <1
2nl(∂4) und dn =
1
2ndiam(4) n = 1, 2, · · ·
zunachst:∞⋂j=1
4j = zo.
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Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy fur Sterngebiete 35
Nutzt man aus, dass f in zo diff’bar ist, so erhalt man mit (1) und (2):Fur beliebiges ε > 0 gilt:
α ≤ ε diam(4) l(∂4)
Fur ε <α
diam(4) l(∂4)ist das falsch.
9.2 Der Integralsatz fur Sterngebiete
Das Gebiet G heißt Sterngebiet, falls es in G einen Punkt a gibt mit:
(z ∈ G) ⇒ ([a, z] = ξ = a+ t(z − a), 0 ≤ t ≤ 1 ⊂ G).
Satz 2:Es sei G ein Sterngebiet bezuglich a. Es sei p ∈ G. Dann hat jede Funktionf ∈ C(G) ∩H(G\p) in G eine Stammfunktion.
zum Beweis: g(z) =
ˆ
[a,z]
f(ξ)dξ , z ∈ G, ist in G Stammfunktion von f .
Satz 3: (Cauchy Integralsatz fur Sterngebiete)Es sei G ein Sterngebiet und p ∈ G und f ∈ C(G) ∩H(G\p). Dann giltfur jeden geschlossenen Weg C in G:
‰
C
f(z)dz = 0.
9.3 Die Cauchysche Integralformel fur Kreise undSterngebiete
Satz 4: (Die Integralformel fur Kreise)Es seien G ein Gebiet und f ∈ H(G). Es seien zo ∈ G und r > 0 so, dassz/ |z − zo| ≤ r ⊂ G. Dann gilt:
f(z) =1
2πi
‰
|ξ−zo|=r
f(ξ)
ξ − zdξ , z ∈ D(zo, r).
zum Beweis:Wahle zu z ∈ D(zo, r) δ > 0 so, dass D(z, δ) ⊂ D(zo, r) gilt.Zeige: ‰
|ξ−zo|=r
f(ξ)
ξ − zdξ =
‰
|ξ−z|=δ
f(ξ)
ξ − zdξ
und bilde limδ→0
.
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Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy fur Sterngebiete 36
Bemerkungen:
1) Fur z mit |z − zo| < r gilt (setze oben f = 1):
‰
|ξ−zo|=r
1
ξ − zdξ = 2πi.
2) Fur z = zo in Satz 4 erhalt man den Mittelwertsatz:
f(zo) =1
2π
2πˆ
0
f(zo + reit)dt.
Satz 5: (Die Integralformel fur Sterngebiete)Es seien G ein Sterngebiet, C ein geschlossener Weg in G und f ∈ H(G).Dann hat man fur z ∈ G \ |C|:
n(C, z)f(z) =1
2πi
‰
C
f(ξ)
ξ − zdξ , z 6∈ |C|
wobei zur Abkurzung
n(C, z) =1
2πi
‰
C
dξ
ξ − z
gesetzt wurde. (Siehe Kap. 12)(Ist C ein Kreis um zo mit |C| ⊂ G, so gilt fur z aus dem Innern des Kreisesn(C, z) = 1).zum Beweis:Mit z ∈ G beliebig, fest, z 6∈ |C|, wird der Satz 3 angewendet auf
g : G→ C, g(ξ) :=
f(ξ)− f(z)
ξ − z, ξ 6= z
f ′(z) , ξ = z.
Es ist g ∈ C(G) ∩H(G\z).
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Folgerungen 37
Kapitel 10
Folgerungen
10.1 Potenzreihenentwicklung holomorpher Funk-tionen
Satz 1: Es sei f holomorph im Gebiet G ⊂ C und zo ∈ G. Es sei D(zo, r)die großte Kreisscheibe um zo, die in G liegt. Dann gilt:
f(z) =∞∑n=0
an(z − zo)n , z ∈ D(zo, r),
mit
an =1
2πi
‰
|ξ−zo|=ρ
f(ξ)
(ξ − zo)n+1dξ , n = 0, 1, 2 · · · .
ρ ist beliebig mit 0 < ρ < r.zum Beweis:
1) O.B.d.A zo = 0.
2) Mit |ξ| = ρ und |z| < ρ und m ∈ N hat man:
1
ξ − z=
m∑n=0
zn
ξn+1+Äzξ
äm+1 1
ξ − z.
3) Mit der Cauchy Integralformel (9.3, Satz 4) gilt:
f(z) =1
2πi
‰
|ξ|=ρ
f(ξ)
ξ − z, |z| < ρ.
Setze 2) hier ein, setze an wie im Satz angegeben (mit zo = 0). Manerhalt:
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Folgerungen 38
|f(z)−m∑
n=0
anzn| =
∣∣∣ 1
2πi
‰
|ξ|=ρ
f(ξ)
ξ − z
Äzξ
äm+1dξ∣∣∣
→ 0 (m→ ∞) mit∣∣∣zξ
∣∣∣ < 1 und Satz 2, 8. Kapitel.
Folgerungen:
1) Ist f ∈ H(G), so gilt f (n) ∈ H(G) fur jedes n ∈ N.
2)
f (n)(zo) =n!
2πi
‰
|ξ−zo|=ρ
f(ξ)
(ξ − zo)n+1dξ , n = 0, 1, 2, · · · .
Mit 1) folgt leicht der Satz von Morera:Es sei G ⊂ C ein Gebiet und f ∈ C(G). Fur jedes abgeschlossene Dreieck4 ⊂ G gelte ‰
∂4
f(z)dz = 0.
Dann ist f auf G holomorph.zum Beweis: Wahle zo ∈ G und δ > 0 so, dass D(zo, δ) ⊂ G. In D(zo, δ)ist
g(z) :=
zˆzo
f(ξ)dξ
(Integration langs der geradlinigen Verbindung von zo nach z) Stammfunk-tion von f . Da mit g auch g′ holomorph ist, ist f holomorph.
10.2 Der Identitatssatz
Satz 2: Es sei G ein Gebiet und f ∈ H(G), zo ∈ G. Aus f(z) = 0fur unendlich viele verschiedene sich in zo haufende Punkte z ∈ G folgt:f(z) = 0, z ∈ G.zum Beweis:
1) Mit Satz 1 und den Voraussetzungen folgt
f (j)(zo) = 0 , j = 0, 1, · · · .
Somit gilt f(z) = 0 fur |z − zo| < r, z ∈ G.
2) Die Menge Go = z ∈ G/f (n)(z) = 0, n = 0, 1, 2, · · · ist nichtleerund offen. Hier wird wieder Satz 1 angewendet. G1 = G\Go ist offen,da f (n) stetig ist fur jedes n. Da G als Gebiet zshgd ist, folgt G1 = ∅und somit G = Go.
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Folgerungen 39
Bemerkungen:
1) Das Gebiet G enthalte das Intervall I ⊂ R. Es sei g eine auf I definierteFunktion. Dann: g lasst sich auf hochstens eine Weise ins Komplexeals holomorphe Funktion fortsetzen.
2) Aus cos2 x+ sin2 x = 1 fur x ∈ R folgt cos2 z + sin2 z = 1 fur z ∈ C.
3) Es sei G ein Gebiet, f ∈ H(G), f 6= konst.zo heißt c - Stelle der Ordnung m, falls f(zo) = c, f (j)(zo) = 0
(j = 1, 2, · · · ,m− 1), f (m)(zo) 6= 0.Es gilt in der Umgebung einer c - Stelle der Ordnung m die Entwick-lung
f(z) = c+ (z − zo)mÄ ∞∑l=0
am+l(z − zo)lä
mit am 6= 0.
10.3 Ganze Funktionen. Der Satz von LiouvilleDer Fundamentalsatz der Algebra
f heißt ganze Funktion, wenn f ∈ H(C). Das sind die Funktionen, die sichum jeden Punkt in eine Potenzreihe mit unendlichem Konvergenzradius ent-wickeln lassen.
Satz 3: (Der Satz von Liouville)Eine beschrankte ganze Funktion ist konstant.
zum Beweis: Man geht aus von f(z) =∞∑n=0
anzn mit
an =1
2πi
‰
|ξ|=r
f(ξ)
ξn+1dξ (Satz 1).
Mit M(r) = max|f(ξ)|, |ξ| = r folgt mit Satz 2, 8. Kapitel:
|an| ≤M(r)
rn, n = 0, 1, 2, · · · , 0 < r <∞.
Die Ungleichungen (∗) findet man auch unter dem Stichwort ”Cauchysche Abschatzung”.
Folgerung aus dem Satz von Louville:
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Folgerungen 40
Der Fundamentalsatz der Algebra:Es sei p ein nichtkonstantes Polynom. Dann hat p in C eine Nullstelle.
zum Beweis: Ist p(z) 6= 0 fur alle z, so ist f(z) :=1
p(z)eine ganze Funk-
tion, fur die wegen p(z) → ∞ fur z → ∞ gilt: f(z) → 0 fur z → ∞. Hierausfolgt mit Satz 3, dass f konstant ist.
10.4 Die Gebietstreue
Hilfssatz:Es sei f in einer Umgebung von D(zo, r) holomorph. Es gelte|f(zo)| < min|f(z)|, |z − zo| = r. Dann hat f in D(zo, r) eine Nullstelle.
Beweis: mittels Widerspruch: mit Potenzreihenentwicklung von1
f(z)um
zo und mit der Cauchyschen Abschatzung fur1
f(zo).
Satz 4: (Gebietstreue)Es sei G ⊂ C ein Gebiet, f ∈ H(G) und f 6= konst. Dann ist f(G) einGebiet.zum Beweis: mit dem Hilfssatz.
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Das Maximumprinzip 41
Kapitel 11
Das Maximumprinzip
11.1 Die Parsevalsche Formel
Satz 1: Es sei f(z) =∞∑n=0
an(z − zo)n holomorph in z/ |z − zo| < ρ
(0 < ρ ≤ ∞). Es gilt:
1
2π
2πˆ
0
|f(zo + reit)|2 dt =∞∑n=0
|an|2r2n (0 < r < ρ).
zum Beweis: Nachrechnen! Es werden Satze verwendet uber die Vertausch-
barkeit von∑
und
ˆ, d.h. auch Satze die Konvergenz von Potenzreihen
betreffend.
11.2 Das Maximumprinzip
Satz 2: Es sei G ein Gebiet, f ∈ H(G), f 6= konst. Dann nimmt |f | in Gkein Maximum an.zum Beweis: Es wird gezeigt:Zu jedem zo ∈ G gibt es ein z1 ∈ G mit |f(zo)| < |f(z1)|. Es wird der Satz1 angewendet. Ist D(zo, r) eine Kreisscheibe mit D(zo, 2r) ⊂ G, so liegt z1auf dem Kreis ξ(t) = zo + reit , 0 ≤ t ≤ 2π.
Satz 3: Das Gebiet G sei beschrankt. Es sei f ∈ H(G) ∩ C(G). Danngilt |f(z)| ≤ max|f(ξ)|, ξ ∈ ∂G , z ∈ G. Hier gilt ′′ =′′ nur im Fallf = konst.zum Beweis: Mittels Widerspruch und mit Satz 2.
Folgerung: Voraussetzungen wie fur Satz 3.Es gilt Re(f(z)) ≤ maxRe(f(ξ)), ξ ∈ ∂G. Gleichheit gilt nur im Fallf = konst.
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Das Maximumprinzip 42
zum Beweis:Setze g(z) := exp(f(z)). Es gilt |g(z)| = exp(Ref(z)). Wende Satz 3 auf|g(z)| an. Beachte die Monotonie von exp und ln.
Bemerkung: Dies ist ein Satz zu harmonischen Funktionen.
11.3 Das Schwarzsche Lemma
Satz 4: Es sei f holomorph in D = z/ |z| < 1 und es seien f(0) = 0und |f(z)| < 1 fur z ∈ D erfullt. Dann gelten:
|f(z)| ≤ |z| , z ∈ D, und |f ′(0)| ≤ 1.
Gilt |f ′(0)| = 1 oder |f(z)| = |z| fur ein z ∈ D, so folgt f(z) = eiαz miteinem α ∈ R.zum Beweis:Verwende die Potenzreihe von f um 0 und wende das Maximumprinzip auf
g(z) :=f(z)
z, z ∈ D, (g(0) = f ′(0)) an.
11.4 Die biholomorphen Abbildungen D → D
1) Es sei a ∈ D beliebig, fest.
ϕa mit ϕa(z) :=z − a
1− azist holomorph in einer offenen Kreischeibe, die
D = z/ |z| ≤ 1 enthalt.
Satz 5: ϕa : D → D und ϕa ist biholomorph. Es ist ϕ−1a = ϕ−a. Es
gelten: ϕa(∂D) = ∂D, ϕ′a(0) = 1− |a|2, ϕ′
a(a) =1
1− |a|2.
2) Es sei a ∈ D und f ∈ H(D) mit |f(z)| ≤ 1, z ∈ D. Es gilt:
(1) |f ′(a)| ≤ 1− |f(a)|2
1− |a|2
und: In (1) gilt die Gleichheit genau fur
(2) f(z) = ϕ−f(a)(c ϕa(z)) , z ∈ D
mit c konstant und |c| = 1.
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Das Maximumprinzip 43
zum Beweis von (1), (2):Auf g := ϕf(a) f ϕ−a kann das Schwarzsche Lemma angewendetwerden. Es gilt somit |g′(0)| ≤ 1 zusammen mit einer Aussage, unterwelchen Umstanden Gleichheit vorliegt. Wird dies auf f umgerechnet,so erhalt man (1), (2).
3) Satz 6:Es sei f : D → D biholomorph mit f(a) = 0. Dann gilt f = cϕa miteiner Konstanten c mit |c| = 1.zum Beweis:Es sei g die inverse Funktion von f
(3) g(f(z)) = z , z ∈ D.
Wende (1), (2) mit f und a und mit g und f(a) = 0 an. Verwende (3).Man erhalt |f ′(a)| = (1− |a|2)−1.Die Aussage (2) zur Gleichheit in (1) gibt die Behauptung.
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Die Windungszahl 44
Kapitel 12
Die Windungszahl
12.1
Die (Zusammenhangs)komponenten der offenen MengeG ⊂ C sind die maxi-
malen zshgd. Teilmengen vonG. Die Komponenten sind die Aquivalenzklassender Aquivalenzrelation ∼ auf G×G, die fur a, b ∈ G so definiert wird:
a ∼ b ⇔ a und b lassen sich in G durch eine Kurve verbinden.
Jede offene Menge ist disjunkte Vereinigung ihrer Komponenten. Jede Kom-ponente ist ein Gebiet.
12.2
Ist C ein geschlossener Weg in C, so heißen die Komponenten von C\|C| auchdie Komplementargebiete von C. Da ∞ 6∈ |C|, liegt ∞ in genau einem die-ser Gebiete: dem Außengebiet von C. Bezeichnet man diese unbeschrankteKomponente von C\|C| durch U , so hat man:
z/ |z| > R ⊂ U fur R > 0 genugend groß.
12.3 Die Windungszahl
Es sei C ⊂ C ein geschlossener Weg. Die Windungszahl n(C, z) von C bzglz ∈ C\|C| ist durch
n(C, z) :=1
2πi
‰
C
1
ξ − zdξ
definiert.
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Die Windungszahl 45
Satz 1: n(C, z) ∈ Zzum Beweis:Ist C durch ξ : [α, β] → C parametrisiert, ξ glatt, so ist mit
h(τ) =
τˆα
ξ(t)
ξ(t)− zdt , α ≤ τ ≤ β,
g(τ) = (ξ(τ)− z) exp(−h(τ)) auf [α, β] konstant. Hieraus folgt die Behaup-tung.
Satz 2: Ist C ein Weg in C, so ist die Funktion
f : C\|C| → C
mit f(z) :=
ˆ
C
dξ
ξ − zstetig.
Satz 3: Es sei C ein geschlossener Weg in C. Es gelten:
1) Ist U eine Komponente von C\|C|, so ist f : U → C, f(z) :=‰
C
dξ
ξ − z,
konstant.
2) n(C, z) = 0 fur z aus der unbeschrankten Komponente von C\|C|.
Bemerkung/Ubung:
1) C sei geschlossener Weg. Dann gilt:
n(C, a) = −n(−C, a) , a 6∈ |C|.
2) C1, C2 seien geschlossene Wege mit demselben Anfangspunkten. Fura 6∈ |C1| ∪ |C2| gilt:
n(C1 + C2, a) = n(C1, a) + n(C2, a).
3) Ist C ein geschlossener Weg in C, so heißen die Mengen
int(C) := z ∈ C\|C|/ n(C, z) 6= 0,
ext(C) := z ∈ C\|C|/ n(C, z) = 0
heißen das Innere bzw. das Außere von C.
3.1 Es istC = int(C) ∪ |C| ∪ ext(C)
eine disjunkte Zerlegung von C.
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Die Windungszahl 46
3.2 Es gelten
∂(int(C)) ⊂ |C| , ∂(ext(C)) ⊂ |C|
3.3 und fur D = D(zo, r)
int(∂D) = D , ext(∂D) = C\D,
∂(int(∂D)) = ∂(ext(∂D)) = ∂D.
3.4 int(C) ist beschrankt, ext(C) ist nichtleer und unbeschrankt:Aus |C| ⊂ D(zo, r) folgen int(C) ⊂ D(zo, r), C\D(zo, r) ⊂ ext(C).
12.4 (Verkehrsregel) zur Berechnung derWindungs-zahl
Satz 4: Der geschlossene Weg C zerlege die Kreisscheibe D in zwei Ge-biete Dl und Dr.
Es giltn(C, zl) = n(C, zr) + 1 , zl ∈ Dl , zr ∈ Dr
(”Vorfahrtsregel”).
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Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz 47
Kapitel 13
Die CauchyscheIntegralformel und derCauchysche Integralsatz
13.1
Satz 1: (Die Integralformel) Es seien G ⊂ C eine offene Menge und f :G→ C eine holomorphe Funktion. C sei ein geschlossener Weg in G. Es sein(C,w) = 0 fur w ∈ C\G erfullt. Dann gilt fur z ∈ G\|C|
n(C, z)f(z) =1
2πi
˛
C
f(ξ)
ξ − zdξ.
zum Beweis:1. Schritt: Es ist H := w ∈ C/ n(C,w) = 0 eine offene Menge, und esgilt H ∪G = C.2. Schritt: g : G×G→ C mit:
g(ξ, z) :=
f(ξ)− f(z)
ξ − z, ξ 6= z
f ′(z) , ξ = z.
ist stetig auf G×G.Beim Nachweis der Stetigkeit in (zo, zo) ∈ G × G mit (ξ, z) → (zo, zo) mitξ 6= z verwendet man
g(ξ, z)− g(zo, zo) =1
ξ − z
ξˆz
(f ′(w)− f ′(zo)) dw
(Integration langs der Verbindungsstrecke) und die Stetigkeit von f ′.
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Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz 48
3. Schritt: ho(z) :=
˛
C
g(ξ, z) dξ , z ∈ G, ist holomorph. Dies wird mit
dem Satz von Morera (10.1) gezeigt. Es werden verwendet: der Satz vonFubini und das Lemma von Goursat (Satz 1 in 9.1).4. Schritt: Fur z ∈ G ∩H gilt
ho(z) =
‰
C
f(ξ)
ξ − zdξ =: h1(z).
5. Schritt: Es ist h1 auf H holomorph. Das ist ein Spezialfall des folgendenSatzes: Ist C ein Weg in der offenen Menge U und p eine auf |C| stetigeFunktion, so ist
λ(z) :=
ˆ
C
p(ξ)
ξ − zdξ
auf U\|C| holomorph mit
λ(n)(z) = n!
ˆ
C
p(ξ)
(ξ − z)n+1dξ , z ∈ U\|C| , n ∈ N.
Diesen Satz haben wir mittels Potenzreihenentwicklung des Integranden be-wiesen.6. Schritt
h(z) :=
ho(z) , z ∈ G
h1(z) , z ∈ H.
ist eine ganze beschrankte (es gilt h1(z) → 0, z → ∞) Funktion, die alsonach dem Satz von Louville (10.3) konstant ist. Wegen h(z) → 0 fur z → ∞gilt somit h(z) = 0, z ∈ G, also auch ho(z) = 0 fur z ∈ G\|C|. Das ist dieBehauptung des Satzes.
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Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz 49
13.2 Verallgemeinerung von Satz 1
Satz 2: Es sei G ⊂ C eine offene Menge und f ∈ H(G).
(V )
C1, · · · , Cm seinen geschlossene Wege in G mit
m∑j=1
n(Cj , w) = 0 fur w ∈ C\G.
Dann gilt fur z ∈ G\m⋃j=1
|Cj |Ä m∑j=1
n(Cj , z)äf(z) =
m∑j=1
1
2πi
‰
Cj
f(ξ)
ξ − zdξ.
zum Beweis: Der Beweis geht wie der von Satz 1. g = g(ξ, z) wird wiedort definiert. Jetzt ist
H = w/m∑j=1
n(Cj , w) = 0
und
ho(z) =m∑j=1
‰
Cj
g(ξ, z) dξ , z ∈ G.
13.3 Der Cauchysche Integralsatz
Satz 3: (V ) wie in Satz 2.
Dann giltm∑j=1
‰
Cj
f(ξ)dξ = 0.
zum Beweis:
Wahle a ∈ G\m⋃j=1
|Cj |. Setze F (z) := (z − a)f(z).
Nach Satz 2 gilt:
1
2πi
m∑j=1
‰
Cj
f(ξ) dξ =1
2πi
m∑j=1
‰
Cj
F (ξ)
ξ − adξ =
Ä m∑j=1
n(Cj , a)äF (a) = 0
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Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz 50
13.4 Beispiele
1) Es seiG offene Menge, C ein geschlossener Jordanweg inGmit int(C) ⊂G und f ∈ H(G). Dann gilt:
‰
C
f(z)dz = 0
2) Es sei f ∈ H(G). G = z/R1 < |z| < R2. Wahle r1, r2 mitR1 < r1 < r2 < R2 und bezeichne
C1 : ξ1(t) = r1eit , 0 ≤ t ≤ 2π
C2 : ξ2(t) = r2eit , 0 ≤ t ≤ 2π
Mit Satz 3 folgt ‰
C1
f(z)dz =
‰
C2
f(z)dz
Es seien z ∈ G und r1, r2 so, dass R1 < r1 < |z| < r2 < R2 erfullt ist.Mit Satz 2 folgt:
Satz 4: (Cauchy Integralformel fur den Kreisring)
f(z) =1
2πi
‰
C2
f(ξ)
ξ − zdξ − 1
2πi
‰
C1
f(ξ)
ξ − zdξ.
3) Eine Anwendung von 1) oben gibt:Ist C ein positiv orientierter geschlossener Jordanweg, so gilt fur z ∈int(C):
n(C, z) (=1
2πi
‰
C
dξ
ξ − z) = 1
Man weist hierzu nach, dass
‰
C
dξ
ξ − z=
‰
K
dξ
ξ − z
gilt, wobei K der positiv orientierte Rand eines Kreises um z ist, derK ⊂ int(C) erfullt.
4) Eine Anwendung von Satz 3 liefert das folgende Ergebnis: Co, C1, ..., Cm
seien geschlossene Jordanwege. C1, ..., Cm liegen alle im Innengebietvon Co, jeder der Wege C1, ..., Cm liegt im Innengebiet von Co, und
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Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz 51
jeder der Wege C1, ..., Cm liegt im Außengebiet aller anderen(int (Cj) ∩ int (Cl) = ∅ , j 6= l , j , l=1,...,m). Dann gilt
˛
Co
f(z)dz =m∑j=1
˛
Cj
f(z)dz ,
falls Co, C1, ..., Cm und das Ringgebiet zwischen Co und denCj(j = 1, ...,m) ganz in einer offenen Menge G liegen, in der f holo-morph ist, und falls Co, C1, ..., Cm in demselben Sinn orientiert sind.
Zeige: Fur w 6∈ G gilt n(Co, w) +m∑j=1
n(−Cj , w) = 0. Man wende
Satz 3 auf Co,−C1, ...,−Cm an.
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Die Laurent Entwicklung 52
Kapitel 14
Die Laurent Entwicklung
14.1
an, n ∈ Z, sind gegebene komplexe Zahlen.
(∗)+∞∑
n=−∞an(z − zo)
n
heißt Laurent Reihe um zo.
(∗) heißt konvergent in z, falls fur z
(1) h(z) :=−1∑
n=−∞an(z − zo)
n =∞∑n=1
a−n(z − zo)−n
und
(2) r(z) :=+∞∑n=0
an(z − zo)n
konvergieren.Liegt Konvergenz vor, so wird
+∞∑n=−∞
an(z − zo)n = h(z) + r(z)
(Hauptteil und Nebenteil) geschrieben.
Da h(z) eine Potenzreihe in1
z − zound r(z) eine Potenzreihe ist, konnen
wir die fruher bereitgestellten Ergebnisse zu Potenzreihen anwenden. Manerhalt so leicht den:
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Die Laurent Entwicklung 53
Satz 1 Es seien1
R1der Konvergenzradius der Reihe
∞∑n=1
a−nzn und R2
der Konvergenzradius der Reihe∞∑n=0
anzn. Dann hat man:
1.+∞∑
n=−∞anz
n ist konvergent fur alle z mit R1 < |z| < R2.
2. Im Fall R1 < R2 ist die durch+∞∑
n=−∞anz
n auf A = z/R1 < |z| < R2
definierte Funktion f in A holomorph.
Bemerkung: In den Anwendungen (siehe auch die nachsten Kapitel) tritthauptsachlich der Fall R1 = 0 auf: A ist die “ punktierte ” Kreischeibe
D′(0, R2) = z/ 0 < |z| < R2
14.2 Die Laurent Entwicklung
Satz 2 Es seien R1, R2 Zahlen mit 0 ≤ R1 < R2 ≤ +∞. Mit
A = z/R1 < |z− zo| < R2 sei f ∈ H(A) gegeben. Dann gilt fur z ∈ A dieDarstellung (als Laurentreihe)
f(z) =∞∑n=1
a−n(z − zo)−n +
∞∑n=0
an(z − zo)n
mit
an =1
2πi
‰
|ξ−zo|=%
f(ξ)
(ξ − zo)n+1dξ , n ∈ Z.
% ist beliebig mit R1 < % < R2.zum Beweis: Vorgehen wie in Satz 1, 10.1, ausgehend von der Cauchy Inter-gralformel fur den Kreisring, Satz 4, 13.4. Dass die Integrale fur die Koeffi-zienten mittels eines Kreises z/ |z − zo| = % ausgerechnet werden konnen,folgt aus 2), 13.4.
Bemerkung:Die Laurent Reihe von f um zo in A := z/R1 < |z−zo| < R2 ist eindeutigbestimmt:
Aus f(z) =+∞∑−∞
an(z − zo)n, z ∈ A, folgt
an =1
2πi
‰
|ξ−zo|=%
f(ξ)
(ξ − zo)n+1dξ , n ∈ Z,
mit % beliebig aus (R1, R2).
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Die Laurent Entwicklung 54
14.3 Beispiele:
1) a, b ∈ C, 0 < |a| < |b| <∞, seien gegeben.
Gesucht sind fur f(z) =1
(z − a)(z − b)die Laurent Reihen um zo = 0.
f ist holomorph in R1 = z/ |z| < |a|f ist holomorph in R2 = z/ |a| < |z| < |b|f ist holomorph in R3 = z/ |b| < |z|Satz 2 und Bemerkung liefern:
Die Reihe in R1: f(z) =1
a− b
∞∑n=0
Ä 1
bn+1− 1
an+1
äzn
Die Reihe in R2: f(z) =1
a− b
Ä ∞∑n=1
an−1
zn+
∞∑n=1
zn−1
bn
äDie Reihe in R3: f(z) =
1
a− b
∞∑n=1
an−1 − bn−1
zn
2) (U) Berechne fur f(z) =1
(z − 1)(z − 2)die Entwicklungen um zo = 3.
Gib jeweils den Konvergenzbereich an.
3) Laurentreihe von(z + 1)2
zfur |z| > 0 ist
1
z+ 2 + z.
4) Gib die verschiedenen Entwicklungen um zo = 0 und zo = 1 an fur
f(z) =1
z2(1− z).
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Die isolierten Singularitaten 55
Kapitel 15
Die isolierten Singularitaten
15.1 Isolierte Singularitat. Hebbare Singularitat.
Es seien G ⊂ C eine offene Menge und a ∈ C. Gilt f ∈ H(G\a), so besitztf in a eine isolierte Singularitat.Gibt es eine Funktion g ∈ H(G) mit g(z) = f(z), z ∈ G\a, so heißt ahebbare Singularitat von f . g ist holomorphe Fortsetzung von f von G\aauf G.
Satz 1: Es gelte f ∈ H(G\a), und f sei aufD′(a, r) = z/ 0 < |z − a| < r (⊂ G) beschrankt. Dann ist a eine hebbareSingularitat fur f .zum Beweis:
h(z) :=
(z − a)2f(z) , z ∈ G\a
0 , z = a
ist holomorph in G. Die Potenzreihe fur h um a gibt eine Potenzreihe fur f ,die in a konvergiert.
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Die isolierten Singularitaten 56
15.2 Hebbare Singularitat, Polstelle, wesentlicheSingularitat
Satz 2: Es sei a ∈ G und f ∈ H(G\a). Dann liegt genau einer der dreifolgenden Falle vor:
1) f hat in a eine hebbare Singularitat.
2) Es gibt Zahlen c1, c2, ..., cm ∈ C, cm 6= 0, derart, dass f(z)−m∑k=1
ck(z − a)k
in a eine hebbare Singularitat hat.
3) Fur jedes r > 0 mit D(a, r) ⊂ G liegt f(D′(a, r)) dicht in C.
Bemerkung:a heißt Pol m-ter Ordnung, falls 2) eintritt.a heißt wesentliche Singularitat, falls 3) eintritt.zum Beweis des Satzes:3) liegt nicht vor:Es existiert dann ein r > 0, ein w ∈ C und δ > 0 mit |f(z)−w| ≥ δ furalle z ∈ D′(a, r).
Es ist dann g(z) :=1
f(z)− winD′(a, r) holomorph und holomorph nach
D(a, r) fortsetzbar.Gilt g(a) 6= 0, so liegt 1) vor fur f . Gilt g(a) = 0 und ist a eine Nullstellem−ter Ordnung, so liegt 2) vor fur f .
15.3 Die Laurent Entwicklung um isolierte Singu-laritaten
Es sei a eine isolierte Singularitat der Funktion f : f ist holomorph inD′(a, r) = z/ 0 < |z − a| < r.Mit Satz 2, Kapitel 14 (Laurent-Entwicklungssatz) erhalten wir eindeutigdie Darstellung fur f(z), z ∈ D′(a, r):
(∗) f(z) =+∞∑
n=−∞an(z − a)n , 0 < |z − a| < r
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Die isolierten Singularitaten 57
Satz 3: f habe in a eine isolierte Singularitat. Dann gelten in Zusammen-hang mit (∗): a ist
1) eine hebbare Singularitat ⇔ a−n = 0, n = 1, 2, ...
2) eine Polstelle m−ter Ordnung ⇔ a−m 6= 0, a−n = 0 fur n > m, n ∈ N.
3) eine wesentliche Singularitat ⇔ a−n 6= 0 fur unendlich viele n ∈ N.zum Beweis: Verknupfe (∗) mit Satz 2 / Satz 1.
Beispiele:
f(z) =1
sin2z, z = 0,
f(z) = exp(1
z) , z = 0.
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Der Residuensatz 58
Kapitel 16
Der Residuensatz
16.1
Res(f ; zo) Residuum von f in zo.
Es sei G eine offene Menge in C und zo ∈ G. Es sei f ∈ H(G\zo) und
r > 0 mit D(zo, r) ⊂ G und f(z) =+∞∑
n=−∞an(z − zo)
n die Laurentreihe von
f(z) in 0 < |z − zo| < r.
Res(f ; zo) := a−1 =1
2πi
‰
|ξ−zo|=%
f(ξ) dξ (0 < % < r).
Satz 1:
a) f habe in zo einen Pol der Ordnung k (∈ N). Es gilt
Res(f ; zo) =1
(k − 1)!limz→zo
Dk−1Ä(z − zo)
kf(z)ä
b) Fur f(z) =A(z)
B(z)mit A,B holomorph in zo, A(zo) 6= 0, B(zo) = 0,
B′(zo) 6= 0 gilt
Res(f ; zo) =A(zo)
B′(zo).
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Der Residuensatz 59
Beispiele:
1) f(z) =−z
(z − 1)(z − 2). z1 = 1 , z2 = 2 sind Polstellen 1. Ordnung.
Mit a) mit k = 1 oder mit b) erhalt man leicht:
Res(f ; 1) = 1 , Res(f ; 2) = −2
2) f(z) = exp(1
z) hat in z = 0 eine wesentliche Singularitat.
Aus der Laurentreihe liest man ab:
Res(f ; 0) = 1.
3) f(z) =1
sin2zhat in zk = kπ (k ∈ Z) Polstellen zweiter Ordnung.
Res(f ; 0) = 0. Das sieht man leichter mittels der Laurentreihe alsmit Satz 1 a), k = 2.(siehe auch Beispiele zu Satz 3 / 15. Kapitel).
4) Res(f ′
f; zo) = N , falls f in zo eine N−fache Nullstelle hat.
5) Res(f ′
f; zo) = −N , falls f in zo eine N−fache Polstelle hat.
16.2 Der Residuensatz
Satz 2 Es seien G eine offene Menge und a1, a2, ..., am ∈ G isolierte Sin-gularitaten von f ∈ H(G\a1, a2, ..., am). Es sei C ein geschlossener Wegin G, auf dem keine der Singularitaten liegt und fur den n(C,w) = 0 furw ∈ C\G erfullt ist.Dann gilt:
1
2πi
˛
C
f(z)dz =m∑k=1
n(C, ak)Res(f ; ak).
zum Beweis:Es wird Satz 3 aus dem 13. Kapitel angewendet mit G\a1, ..., am anstellevon G (dort) und C,C1, ..., Cp anstelle von C,C1, ..., Cm (dort). Hier sind Cj
(j = 1, ..., p; 1 ≤ p ≤ m) Kreislinien um die aj , fur die n(C, aj) 6= 0 gilt.Die Cj sind geeignet orientiert, fur sie sind int(Cj) ∩ int(Ck) = ∅ (j 6= k)und int(Cj) ⊂ G (j = 1, ..., p) erfullt.
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Der Residuensatz 60
Satz 3 (Spezialfall von Satz 2) (vergleiche 13.4, 4))Es seien G eine offene Menge und C ein geschlossener Jordanweg in G mitint(C) ⊂ G. Es sei f holomorph in G außer in isolierten Singularitaten, vondenen a1, a2, ..., am in int(C) liegen. Dann gilt
˛
C
f(z)dz = 2πim∑j=1
Res(f ; aj)
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Berechnung reeller Integrale mit Hilfe des Residuensatzes 61
Kapitel 17
Berechnung reeller Integralemit Hilfe des Residuensatzes
17.1
Satz 1 Es sei R = R(x, y) eine rationale Funktion, R(cos t, sin t) sei furt ∈ [0, 2π] definiert. Dann gilt:
2πˆ
0
R(cos t, sin t) dt = 2πi∑j
Res(f ; aj)
Die aj sind die Polstellen in |z| < 1. Es ist
f(z) =1
izRÄ12(z +
1
z),
1
2i(z − 1
z)ä.
zum Beweis:
Setze cos t =1
2(eit + e−it), sin t =
1
2i(eit − e−it) und eit = z.
Beispiel: Es sei a > 1 eine feste Zahl. Es gilt
π
0
dt
a+ cos t=
π√a2 − 1
.
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Berechnung reeller Integrale mit Hilfe des Residuensatzes 62
17.2
Satz 2: Es sei f eine rationale Funktion ohne Pole auf der reellen Achse.Fur f sei erfullt:(∗) Grad Nennerpolynom − Grad Zahlerpolynom ≥ 2.Sind z1, z2, ..., zm die Polstellen von f in der oberen Halbebene, so gilt
+∞ˆ
−∞
f(x)dx = 2πim∑j=1
Res(f ; zj).
zum Beweis:Betrachte fur r > 0 Cr := [−r,+r] ∪ z = reit , 0 ≤ t ≤ π und wahle rso groß, dass z1, z2, ..., zm ∈ int(Cr). Nach dem Residuensatz gilt
1
2πi
‰
Cr
f(z)dz =m∑j=1
Res(f ; zj)
Mit der Voraussetzung (∗) folgt
limr→∞
‰
Cr
f(z)dz =
+∞ˆ
−∞
f(x)dx,
und (∗) gewahrleistet ebenfalls, dass+∞ˆ
−∞
f(x)dx existiert.
Beispiel:
1) Die Nullstellen von zn + 1 (n ∈ N) sind
zk = exp(iπ
n+ 2
k − 1
nπi) , k = 1, 2, ..., n.
In den zk hat1
1 + zneinfache Polstellen mit den Residuen
Res(f ; zk) = −zkn
, k = 1, 2, ..., n.
2)
+∞ˆ
−∞
dx
1 + x4=
√2π
2mit Satz 2 und 1) vorher.
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Berechnung reeller Integrale mit Hilfe des Residuensatzes 63
17.3
+∞ˆ−∞
f(x)eix dx
Satz 3: Es sei f eine rationale Funktion mit:Grad des Nennerpolynoms − Grad des Zahlerpolynoms ≥ 1.f habe auf R keine Pole außer in z = 0 einen Pol hochstens erster Ordnung.z1, z2, ..., zm seien die Pole in z/ Im(z) > 0. Es gilt
HW
ˆ +∞
−∞f(x)eix dx = πiRes(f ; 0) + 2πi
m∑j=1
ResÄf(z)eiz; zj
äzum Beweis:Wende den Residuensatz an auf den Rand des Rechtecks mit den EckenX2, X2+ iY,−X1+ iY,−X1 (mit X1, X2, Y > 0) . Auf der Strecke [−X1, X2]wird das Stuck [−δ, δ] durch die Halbkreislinie von −δ nach δ um Null inder oberen Halbebene ersetzt. Bilde X1, X2, Y → ∞ und δ → 0. Es bleibennur Integrale uber die reelle Achse ubrig und
limδ→0
−iπ
0
f(δeit)eiδeitδeit dt = −iπRes(f ; 0)
Beispiel:
Ist f ungerade. Mit I = HW
ˆ +∞
−∞f(x)eix dx von Satz 3 gilt:
∞
0
f(x) sinx dx =I
2i=π
2Res(f ; 0) + π
m∑j=1
ResÄf(z)eiz, zj
ä.
Mit f(x) =1
xerhalt man:
∞
0
sinx
xdx =
π
2.
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Das ArgumentprinzipDer Satz von Rouche
64
Kapitel 18
Das ArgumentprinzipDer Satz von Rouche
18.1
Es sei G ⊂ C eine offene Menge.f : G→ C heißt meromorph in G, wenn f in G bis auf Pole holomorph ist.
Bemerkung:Eine meromorphe Funktion hat in einem beschrankten Gebiet hochstensendlich viele Pole. (Begrundung !?).
18.2
Satz 1: (Das Argumentprinzip)Es sei G eine offene Menge und ‹C ein geschlossener Jordanweg in G mitint(‹C) ⊂ G. Es sei f meromorph in G. Es seien zk die Nullstellen, ξl diePolstellen von f , jeweils der Ordnung entsprechend gezahlt. Es sei C eingeschlossener Weg in int(‹C) auf dem weder Nullstellen noch Pole von fliegen. Wenn f(C) der Bildweg ist, so gelten:
n(f(C); 0)(1)=
1
2πi
˛
C
f ′(z)
f(z)dz
(2)=∑k
n(C, zk)−∑l
n(C, ξl)
zum Beweis:zu (1): Definition von n(f(C); 0) und Definition von Linienintegral, insbe-
sondere von
˛
C
und
˛
f(C)
.
zu (2): mit Beispiel 4a), 4b) in 16.1 und mit dem Residuensatz.
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Das ArgumentprinzipDer Satz von Rouche
65
Satz 1’ Es sei G ein Gebiet und f meromorph in G. Es sei Do eineKreisscheibe mit Do ⊂ G, und es gelte f 6= 0, ∞ auf ∂Do. Die der Ordnungentsprechend oft gezahlte Anzahl der Nullstellen bzw der Polstellen von fin Do wird durch N bzw P bezeichnet. Es gilt dann
n(f(∂Do); 0) =1
2πi
‰
∂Do
f ′(z)
f(z)dz = N − P.
zum Beweis: Umformulierung/Spezialisierung von Satz 1.
18.3 Der Satz von Rouche
Es sei G ein Gebiet und Do eine Kreisscheibe mit Do ⊂ G.Fur f , g ∈ H(G) sei(1) |g(z)| < |f(z)| fur z ∈ ∂Do erfullt.Dann haben die Funktionen f und f + g in Do gleichviele Nullstellen, derOrdnung entsprechend oft gezahlt.zum Beweis:
h(z) :=f(z) + g(z)
f(z)= 1 +
g(z)
f(z)
ist meromorph in G.Aus (1) folgt leicht: h(z) 6= 0,∞ auf ∂Do.
Die Differenz der Anzahl der Nullstellen von f + g und f ist gleich derDifferenz der Anzahl der Nullstellen und Polstellen von h, also nach Satz 1’= n(h(∂Do); 0)
Wegen |h(z)− 1| = | g(z)f(z)
| < 1, z ∈ ∂Do,
gilt h(∂Do) ⊂ w/ |w − 1| < 1. Also:0 liegt in der unbeschrankten Zusammenhangskomponente von h(∂Do) unddas heißt n(h(∂Do); 0) = 0, und das ist die Behauptung.
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Das ArgumentprinzipDer Satz von Rouche
66
Beispiel:
1) Fundamentalsatz der Algebra
p(z) = anzn +
n−1∑k=0
akzk mit n ≥ 1, an 6= 0.
Mit f(z) = anzn, g(z) =
n−1∑k=0
akzk gilt fur genugend großes r:
|g(z)| < |f(z)| , |z| = r.Nach dem Satz von Rouche, da f in |z| < r genau n Nullstellen hat,hat somit p = f + g in |z| < r genau n Nullstellen.
2) (U) p(z) = 3z3 − 2z2 + 2iz − 8 hat die drei Nullstellen in 1 < |z| < 2.