1. Tanak jednoliko gust dugačak štap 0.9m njiše oko horizontalne osi s istim titrajnim vremenom kao matematičko njihalo duljine 0,66m. Kolika je udaljenost osi štapa od njegovog težišta?
lF=0,9m, lM=0,66m TM=TF 2π�𝑙𝑙𝑀𝑀𝑔𝑔
= 2π� 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑔𝑔𝑚𝑚
, I= 112
mlF2 +md2 lM= 𝑚𝑚𝑙𝑙𝐹𝐹
2 +12𝑚𝑚𝑚𝑚2
12𝑚𝑚𝑚𝑚
12dlM= lF2 + 1d2 12d2 – 12lMd + lF
2 =0 d1,2=12𝑙𝑙𝑀𝑀 +− �(12𝑙𝑙𝑀𝑀 )2− 4∗12∗𝑙𝑙𝐹𝐹
2
24 → d2=
0,13m 2. Kugla polumjera 10 cm njise se oko vodoravne osi udaljene 5 cm od sredista C kugle. Gdje treba biti os druge jednake kugle da omjer perioda titranja ovih kugli bude 0.5?
R=10cm , d=5cm T = 2π� 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑔𝑔𝑚𝑚
= 2π�25 𝑚𝑚𝑅𝑅2+ 𝑚𝑚𝑚𝑚2
𝑚𝑚𝑔𝑔𝑚𝑚 =2π�2𝑅𝑅2+ 5𝑚𝑚2
5𝑔𝑔𝑚𝑚
𝑇𝑇2𝑇𝑇2
= 0.5 0.5 = 2𝜋𝜋�2𝑅𝑅2+ 5𝑚𝑚1
2
5𝑔𝑔𝑚𝑚1
2𝜋𝜋�2𝑅𝑅2+ 5𝑚𝑚22
5𝑔𝑔𝑚𝑚2
0.5 =�𝑚𝑚2(2𝑅𝑅2+ 5𝑚𝑚12)
𝑚𝑚1(2𝑅𝑅2+ 5𝑚𝑚22)
0.52 = 𝑚𝑚2(2𝑅𝑅2+ 5𝑚𝑚12)
2𝑅𝑅2𝑚𝑚1+ 5𝑚𝑚1𝑚𝑚22)
2R2d1+5d1d22 = d2
2𝑅𝑅2+ 5𝑚𝑚12
0.52
5d1d22 - d2
2𝑅𝑅2+ 5𝑚𝑚12
0.52 + 2R2d1 = 0 0.25d22 – 0.13d2 + 10-3 = 0 d2 = 7.8*10-3 m
3. Dva harmonicka oscilatora titraju na istim pravcima i jednakim frekvencijama. Jednadzbe tih titranja su: x1 = x01 sin(ωt + 𝜋𝜋
4 ) , x2 = x02 sin(ωt + 𝜋𝜋
2 ) , gdje su x01= 6cm i x02=12cm. Odredite
amplitudu i pocetnu fazu rezultantnog titranja koje je nastalo zbrajanjem ova dva harmonijska titranja racunskom metodom. x1= 6cm sin (ωt + 𝜋𝜋
4 ) , x2 =12cm sin(ωt + 𝜋𝜋
2 ) x=�𝑥𝑥1
2𝑥𝑥21 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
x=16,8cm
α= 𝜋𝜋4 + 𝜋𝜋
2 = 3𝜋𝜋
4 φ = arctan
6 sin 𝜋𝜋4 + 12 sin 𝜋𝜋2
6cos 𝜋𝜋4 + 12 cos 𝜋𝜋2
4. Zicom putuju sinusoidalni valovi frekvencije 60Hz i amplitude 6 cm. Zica debljine 2.5 m, promjera 1.2 mm i mase 1.4g, napeta je silom 40 N. Izracunajte gustocu energije tih valova i njihov intenzitet? m = φV ω = 1
2 φω2A2 = 1
2 φ (2πf )2A2 = 1
2 𝑚𝑚𝑟𝑟2𝜋𝜋𝑙𝑙
4π2f 2 A2 = 126,669 J/m3 I = vω v2 = F/μ =F l /m = 33,85*106 W/m2 5. Izvor zvuka cija je frekvencija 800Hz miruje, a prema njemu se priblizava slusatelj brzinom 15 posto manjom od brzine zvuka. Koju frekvenciju cuje slusatelj? Uzmite za brzinu zvuka 340m/s. fi= 800Hz vi=0m/s fd = ? vd = vz -15%vz = 289m/s fd = fi
𝑣𝑣𝑧𝑧− 𝑟𝑟0 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣𝑧𝑧− 𝑟𝑟0 𝑣𝑣𝑖𝑖
φ=180o fd = fi 𝑣𝑣𝑧𝑧+ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣𝑧𝑧
= 1480Hz
6.Zice dvaju torzijskih njihala imaju jednake duljine i polumjere.Na jednoj zici visi puna kugla, a na drugoj puni valjak, Kugla i valjak imaju jednake mase i polumjere. Za vrijeme dok torzijsko njihalo s valjkom nacini 40 titraja, torzijsko njihalo s kuglom nacini 24 titraja. Koliki je modul torzije zice na kojoj visi valjak ako je modul torzije zice na kojoj visi kugla 80Gpa? I1= 2
5 m R2 – puna kugla I2=1
2 m
R2 G1= 80Gpa G2=?
za vrijeme t→f1= 24Hz f2=40Hz T1=1/f1 =1/24 = 2π�𝐼𝐼1𝐷𝐷1
= �25 𝑚𝑚𝑅𝑅2
𝐷𝐷1 T2=1/f2 =1/40 = 2π�𝐼𝐼2
𝐷𝐷2 = �
12 𝑚𝑚𝑅𝑅2
𝐷𝐷2
T1 / T2 = 40/24 = �2
5𝐷𝐷11
2𝐷𝐷2
= �4𝐷𝐷25𝐷𝐷1
( 53 )2 = 4𝐷𝐷2
5𝐷𝐷1 D = 𝜋𝜋𝜋𝜋
2𝑙𝑙 r4 25
9 = 4
5 𝜋𝜋𝜋𝜋2
2𝑙𝑙 𝑟𝑟4
𝜋𝜋𝜋𝜋12𝑙𝑙 𝑟𝑟4
= 4𝜋𝜋25𝜋𝜋1
G2= 259
54 G1 = 278Gpa
6. Tijelo mase 600g priguseno titra na opruzi konstante 0,25N/cm. Koliki je logaritamski dekrement prigusenja ako se amplituda titranja nakon 1 minute smanji za 60% ? m=0,6kg k=0,25N/cm = 25N/m ∆t=1min A2= 0,4A1
𝐴𝐴2𝐴𝐴1
= 0,4 A=A0e-ᵟt A1=A0e-ᵟt2 A2=A0e-ᵟt2 →→→ A2/A1=e - ᵟt2+ᵟt1 = e-ᵟ(t2+t1) 0,4= e- ᵟ∆t ln0,4= - 𝛿𝛿 ∆t 𝛿𝛿= 0,00153 s-1
7.Klavirska zica duga 2m nacinjena je od zeljeza cija gustoca iznosi ρ=7800kg/m3 a youngov modul elasticnosti 2.2*1011Pa. Naprezanje zice je takvo da je relativno produljenje zice 1%. Izracunajte
osnovnu frekvenciju zice. l=2m, ρ=7800, E=2.2*1011Pa, ∆l/l=1%, fo=? fo=v/λ = 12𝑙𝑙
. �𝐹𝐹𝜇𝜇
F=SE∆𝑙𝑙𝑙𝑙
μ=m/l = Ρv/l = ρSl/l = ρS fo= 12𝑙𝑙
�𝑆𝑆𝑆𝑆∆𝑙𝑙𝑙𝑙𝜌𝜌𝑆𝑆
= 12𝑙𝑙
�𝑆𝑆∆𝑙𝑙𝜌𝜌𝑙𝑙
= 132Hz
8. Radarskim valovima čija je frekvancija 2000 MHz kontrolira se brzina automobila. Kolika je razlika u frekvanciji upadnog vala i vala reflektiranog na automobilu koji se približava brzinom 72 km/h ? fi=2000 MHz , vd= 72 m/s , v= 3*108 m/s ,∆ f= f R- fi 1) Radar je izvor (miruje), a auto koji mu se približava je detektor: fa= fi
v− 𝑟𝑟0 𝑣𝑣𝑚𝑚v− 𝑟𝑟0 𝑣𝑣𝑖𝑖
=fi v+𝑣𝑣𝑚𝑚
v = 2000000133Hz 2) Auto je izvor (približava se radaru),
a radar je sada detektor: fR= fi v− 𝑟𝑟0 𝑣𝑣𝑚𝑚v− 𝑟𝑟0 𝑣𝑣𝑖𝑖
= vv−𝑣𝑣𝑚𝑚
= 2000000267Hz ∆f=fR=fi=267Hz 9.Tijelo objeseno o oprugu titra amplitudom 15cm. U jednom trenutku pocinje djelovati sila koja prigusuje titranje. Ako je omjer amplituda u prvoj i osmoj sekundi prigusenja jednak 8, za koje vrijeme ce se amplituda smanjiti na 2 cm? AO=15cm, A1/A8=8, A'=2cm, t1=1s, t8=8s A0/A8=8=𝐴𝐴𝑂𝑂𝑒𝑒
−𝑐𝑐𝑡𝑡1
𝐴𝐴𝑂𝑂𝑒𝑒−𝑐𝑐𝑡𝑡8 = 𝑒𝑒−𝑐𝑐𝑡𝑡1+ 𝑐𝑐𝑡𝑡8= e-α+8α = e7α 8= e7α → α=ln8/7 = 0,297s-1
A'= AOe-αt'
2/15= e-αt' → t'= 𝑙𝑙𝑙𝑙 2
15−∝
= 6,8s 10.Dva izvora A i B ispustaju zvukoe jednakih frekvencija od 400Hz. Izvor B miruje, a A se giba nalijevo brzinom 61m/s. Promatrac se nalazi izmedu izvora A i B i giba se nalijevo brzinom 30m/s. Kolika je razlika u frekvenciji zvuk kojeg promatrac prima od izvora B i od izvora A? Uzmite brzinu zvuka 333m/s. Zanemarite gibanje zraka. v=333m/s fD1-fD2=? B: fD1=fi
v− 𝑟𝑟0 𝑣𝑣𝐷𝐷v− 𝑟𝑟0 𝑣𝑣𝐵𝐵
=fi v+𝑣𝑣𝐷𝐷v−0
= 363,96Hz
A: fD2=fiv− 𝑟𝑟0 𝑣𝑣𝐷𝐷v− 𝑟𝑟0 𝑣𝑣𝐴𝐴
=fi v+vov+vA
= 368,53Hz | fD1-fD2|=4,578Hz 11. U trenutku t = 0s jednostavni harmonički oscilator udaljen je na osi x od svog ravnotežnog položaja za +6 cm i giba se brzinom 5πcm/s .Odredite početnu fazu titranja i amplitudu ako je period njegova titranja 2 s. A(t)=AOsin(ωt+φo) t=0s→A(0)=8cm= AOsinφo vx(t)=
𝑚𝑚𝐴𝐴(𝑡𝑡)𝑚𝑚𝑡𝑡
= AOωsin(ωt+φo)
vx= AOωcos φo=6π, ω=2πf= (2π/T), 6π=2𝜋𝜋𝐴𝐴𝑂𝑂3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 φo 8= AOsinφo → AO=8/ sinφo
6π=2𝜋𝜋𝐴𝐴𝑂𝑂3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 φo → 6π= 2𝜋𝜋3
8𝑐𝑐𝑖𝑖𝑙𝑙𝜑𝜑𝑐𝑐
cos φo → 3= 8/ 3tg φo → φo=41.6o → AO= 8𝑐𝑐𝑖𝑖𝑙𝑙𝜑𝜑𝑐𝑐
= 12,2cm 12. Stojni val sa cvorom u tocki x=3cm formira se superpozicijom sinusoidalnog vala s1=8cm sin(5t s-1 – (x/4)cm-1) i pripadnog vala s2. Napisite jednadzbu drugog vala. s=s1+s2 = 8sin(5t-(x/4)) + 8 sin(5t+(x/4)+φ) = 8*2sin(5t +(φ/2)) cos((x/4)+(𝜑𝜑/2))=0 cos( ¾+ (φ/2))=0 ¾+( φ/2)= π/2 φ/2= π/2- ¾ φ=π- 3/2 = 1,64rad s2=8cm sin(5t s-1 + x/4 cm-1 + 1,64) 13. Jakost harmnijskog sfernog vala smanji se za 19dB na putu od radijalne udaljenosti r1=1.5m (od tockastog izvora vala) do radijalne udaljenosti r2=3m. Koliki je koef. apsorpcije(lin slabljenja vala) sredstva kroz koje se val siri? A1= 𝐴𝐴𝑂𝑂
𝑟𝑟1 e-μr1 A2= 𝐴𝐴𝑂𝑂
𝑟𝑟2 e-μr2 →→ A1/A2=(r2/r1) e-μr1+μr2 (r2/r1) eμ(r2-r1) I∼A2
(A1/A2)2= I1/I2 = (r2/r1)2 e 2μ(r2-r1) L=10log I1/I2 logI1/I2=1 I1/I2=10 → 10=(r2/r1)2 e 2μ(r2-r1)
e 2μ(r2-r1)= 10𝑟𝑟12
𝑟𝑟22 → μ=
ln 1010𝑟𝑟12
𝑟𝑟22
2μ(r2−r1) = 0,31
14. Torziono njihalo sastoji se od diska mase 2kg i polumjera 0,2m, koji visi na celicnoj zici duljine 1.5m i promjera 3mm. Modul torzije celika je 70GPa. Odredite: a)konctantu torzije zice, b) period
njihala. m=2kg, R=0,2m, l=1.5m, 2r=3mm, G=70GPa T=2π�𝐼𝐼𝐷𝐷
I=(1/2)mR2 = 0,04kgm2
T=2,07s D= 𝜋𝜋𝑟𝑟4
2𝑙𝑙 G D=0,37Nm
15. Dva harmonijska titranja x1(t)=2cos((5πt/2)), x2=2cos((5.1πt/2)), medusobno se superponiraju.
a) kolika je frekv. udara?, b) koliko udara ima u 3 minute? f=𝜔𝜔1− 𝜔𝜔22𝜋𝜋
= 5.1𝜋𝜋
2 − 5𝜋𝜋22𝜋𝜋1
= 0,1/4 = 0,025Hz
N=t/T=ft=0,025*180=4,5 puta 16. Dvije zivce, bakrena i srebrna, jednakih promjera i jednakih duljina podvrgnute su jednakim napetostima. Izracunajte osnovnu frekvenciju srebrne zice ako je osnovna frekvencija bakrene zice 200Hz. Gustoca bakra je 8900kg/m3, a gustoca srebra je 10600kg/m3.
r1=r2=r f= v/2L = 𝐹𝐹𝜇𝜇
2𝑙𝑙 =
�𝐹𝐹𝑙𝑙𝑚𝑚
2𝑙𝑙 = �
𝐹𝐹𝑙𝑙𝜌𝜌𝜌𝜌
4𝑙𝑙2 =� 𝐹𝐹4𝜌𝜌𝜌𝜌𝑙𝑙
= � 𝐹𝐹4𝜌𝜌𝑟𝑟2𝜋𝜋𝑙𝑙2 f1/f2=
� 𝐹𝐹4𝜌𝜌1𝑟𝑟2𝜋𝜋𝑙𝑙2
� 𝐹𝐹4𝜌𝜌2𝑟𝑟2𝜋𝜋𝑙𝑙2
= �
𝜌𝜌2𝜌𝜌1
f2=f1�𝜌𝜌1𝜌𝜌2
=183,9Hz
17. Na udaljenosti l=1000m od izvora zvuka, jacina usmjerenog zvucnog vala iznosi I=7,5W/m2. a) Kolika je jacina zvucnog izvora ako je koeficijent linearnogslabljenja zvuka μ=0,4*103m-1? b) Na kojoj udaljenosti od ovog izvora zvuka jacina zvuka odgovara granici bola?
a) Io=Ieμl = 11,2W/m2 b) Ib≈ 10W/m2 Ib=Ioeμx x= 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐼𝐼𝑏𝑏𝐼𝐼𝑐𝑐−𝜇𝜇
= 283m 18.Kruzni disk polumjera 0.5m njise u okomitojravnini sa 30 titraja u minuti oko horizontalne osi. Koliki je razmak od osi u disku do centra mase diska? R=0,5m, f=30titr/min = 0,5Hz
T=2π� 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑔𝑔𝑚𝑚
=2π�12 𝑚𝑚𝑅𝑅2+ 𝑚𝑚𝑚𝑚2
𝑚𝑚𝑔𝑔𝑚𝑚 T2 =4π2 𝑅𝑅
22𝑚𝑚2
2𝑔𝑔𝑚𝑚 → T2/4π2 = 𝑅𝑅
2+ 2𝑚𝑚2
2𝑔𝑔𝑚𝑚 8π2d2+4π2R2 – 2T2gd =0
8π2d2-2T2gd +4π2R2=0 d1,2=2𝑇𝑇2𝑔𝑔 +−√4𝑇𝑇2 −128𝜋𝜋4𝑅𝑅2
16𝜋𝜋2 d2=0,147m 18.Dva harmonicka oscilatora titraju na istim pravcima i jednakim frekvencijama. Jednadzbe tih titraja su: x1=x01sin(ωt + π/2), x2=x02sin(ωt + π/6), gdje su x01=4cm i x02=8cm. Odredite amplitudu i pocetnu fazu rezultantnog titranja koje je nastalo zbrajanjem ova dva harmonijska titranja metodom rotirajucih vektora. f1=π/2 , f2=π/6 α=2π/3 xo=�𝑥𝑥1
2 + 𝑥𝑥22 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∝ xo=10,58cm tg 𝜑𝜑= 1,154 𝜑𝜑= 49o
19. Celicna zicaduljine 1m zategnuta je silom koja u njoj izaziva naprezanje 𝜎𝜎 =0,78GPa. Gustoca celika od kojeg je zicanapravljena iznosi 7850kg/m3. Odredite: a) valnu duzinu stojnog transverzalnog vala koji se formira na zici prilikom njene rezonancije, b) frekv. osnovnog tona koji proizvodi ova
zica za vrijeme titranja. 𝜇𝜇 = 𝑚𝑚𝑙𝑙
= 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑙𝑙
= 𝜌𝜌𝑙𝑙𝑆𝑆𝑙𝑙
= 𝜌𝜌𝑆𝑆 b) fo=v/λ= 12𝑙𝑙
� 𝐹𝐹𝜌𝜌𝑆𝑆
= 12𝑙𝑙
�𝜎𝜎𝑆𝑆𝜌𝜌𝑆𝑆
E= 𝜎𝜎 ∆𝑙𝑙𝑙𝑙
F=SE∆𝑙𝑙𝑙𝑙
F=S∆𝑙𝑙𝑙𝑙
𝜎𝜎 ∆𝑙𝑙𝑙𝑙
= 𝜎𝜎𝑆𝑆 fo=12𝑙𝑙
�𝜎𝜎𝜌𝜌 = 157,6Hz
20.Monokromatsja svj. upada okomito na opticku resetku max spektra 3. reda vidi se pod 41o20' Izracunajte : a) konst. resetke u jed valne duljine upadne svj. b) ako je valna duljina 600nm izracunajte njenu vrijednost. a) kλ=dsinα → d=(k/λ)sinα λ=4,5 b) d=2,7*10-3mm 21.Usamljena izolirana kuglica od Zn nalazi se u vakuumu na nju pada monokromatska svjetlost λ=154nm. Koliko ce elektrona biti izbaceno iz kuglice ako je njen polumjer 2cm, a izlazni rad Wi= 3,74eV? h=6,626*10-34Js n=Q/e Uz=k𝑄𝑄
𝑅𝑅 hf=Wi + eUz = Wi + e k𝑄𝑄
𝑅𝑅 → Q= ℎ𝑡𝑡−𝑊𝑊𝑖𝑖
𝑒𝑒𝑒𝑒 R
n= (ℎ𝑡𝑡−𝑊𝑊𝑖𝑖) 𝑅𝑅
𝑒𝑒2𝑒𝑒 = 6*107elektrona
22.Svjetlost iz el. izboja iz plinom ispunjene cijevi pada okomito na resetku. Kolika je konst. resetke ako se maksimum na 2. valne duljine vide pod istim kutem α=40o, λ1=656,3nm, λ2= 410,2nm k1 λ1=dsinα k2 λ2=dsinα k1 /k2= λ2/ λ1 = 0,625= 5/8 d=( k1 λ1) / sinα = 5,1*10-6m
