-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
1/22
GEOMETRI TRANSFORMASI
HASIL KALI TRANSFORMASI
Disusun oleh :
Fajar Arif Setyaan !"#$#"$%$&'(
Arif )u*i Setyaan !"#$#"$%$&+(
,e-i- Satyaa*a !"#$#"$%$&.(
Rah/an Setiaan !"#$#"$%$&0(
12R2SAN MATEMATIKA
FAK2LTAS MATEMATIKA DAN ILM2 3ENGETAH2AN ALAM
2NI4ERSITAS NEGERI SEMARANG
&$$0
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
2/22
HASIL KALI TRANSFORMASIDefinisi :
Andaikan F dan G dua transformasi, dengan
F : V V
G : V V
Maka komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G F didefinisikan sebagai:
(GF) (P) = G[F(P), ∀ P∈V
Teore/a :
!ika F : V V dan G : V V masing"masing suatu transformasi maka #asil kali $ =
GF : V V adala# %uga suatu transformasi&
)u5ti :
Akan dibuktikan $ = GF suatu transformasi&
'ntuk ini #arus dibuktikan dua #al yaitu $ sur%ektif dan $ in%ektif&
1) Akan dibuktikan $ sur%ektif&
arena F transformasi maka daera# nilai F adala# seluru# bidang V, dan
daera# asal G %uga seluru# V sebab G suatu transformasi&
Ambil ∈ y V, apaka# ada x se#ingga $( x) = y Akan dibuktikan y = $( x)&
arena G transformasi maka ∈∀ y V ∈∃ z V y∋ = G( z )&
arena F suatu transformasi maka pada ∈∃ x z V z ∋ = F( x)&
Maka y = G[F( x) atau y = GF ( x)&
!adi y = $( x)&
1a*i H surje5tif6
2) Akan dibuktikan $ in%ektif&
Artinya, !ika P * maka $(P) $(*) ∀ P,* + V&
Ambil P,* + V dan P *& arena F in%ektif maka F(P) F(*)&
!elas G(F(P)) G(F(*)) karena G in%ektif&
-iperole#, !ika P * maka G(F(P)) G(F(*)) ∀P,* + V&
1a*i H inje5tif6
arena $ sur%ektif dan $ in%ektif maka H suatu transfor/asi6
1a*i H 7 GF suatu transfor/asi6
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
3/22
.atatan : -engan %alan yang serupa dapat pula dibuktikan ba#/a #asil kali F G
%uga suatu transformasi&
Soal8soal
1). -iketa#ui : garis"garis g dan h dan titik"titik P,* dan &
0ukisla# :
a). A = Mg[M#(P)
b). 1 = M#[Mg(P)
c). . = M#[M#(P)
d). - = Mg[M#()
e). 2 se#ingga M#[Mg(2) = *
f). Apaka# MgM# = M#Mg
!a/ab:
a)&
b)&
3)&
M#(P)
A
g
h
P
*
1
g
h
Mg(P)
P
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
4/22
d)&
e)&
f)& 4idak, sebab terli#at pada nomor (a) dan (b), diperole# Mg[M#(P)≠
M#[Mg(P)&
2). -iketa#ui : 4 dan 5 isometri
5elidiki :
a). 45 sebua# isometri
g
h
M#(P)
P = M#[M
#(P)
= -
g
h
P
*
2
g
h
P
*
M#(*)
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
5/22
b). 45 = 54
c). !ika g sebua# garis maka g 6 = (45)( g ) %uga sebua# garis&
d). !ika g 77 h dan g 6 = (45)( g ), h6 = (45)(h) maka g 6 77 h6
!a/ab :
a). 4 dan 5 adala# isometri"isometri se#ingga 4 dan 5 adala# suatu
transformasi
1erdasarkan teorema 8!ika F : V V dan G : V V masing"masing suatu
transformasi, maka #asil kali $ = G F : V V adala# %uga suatu
transformasi9, maka 45 %uga transformasi&
Adb apaka# 45 isometri
Ambil sebarang titik A, 1∈V
5(A) = A6, 5(1) = 16
arena 5 isometri se#ingga A1 = A616
4(A6) = A9, 4(16) = 19
arena 4 suatu isometri se#ingga A616 = A919
-engan demikian A1 = A616 = A919
45(A) = 4[5(A) 45(A) = 4[5(A)
= 4(A6) = 4(16)
= A9 = 19
arena A1 = A919 se#ingga 45 sebua# isometri&
!adi 45 adala# suatu isometri&
b). Adb 45 = 54
c). Apabila g sebua# garis maka g 6 = 45( g ) %uga sebua# garis
4ela# diketa#ui ba#/a 45 sebua# isometri
1erdasarkan teorema 8sebua# isometri memetakan garis men%adi garis9
Maka g 6 = 45( g ) adala# sebua# garis
!adi pernyataan 8%ika g sebua# garis maka g 6 = 45( g ) %uga sebua# garis9
benar&
d). Apabila g 77 h dan g 6 = 45( g ), h6 = 45(h) maka g 677 h6
arena 45 sebua# isometri, berdasarkan teorema 8sebua# isometri
menga/etkan kese%a%aran dua garis9
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
6/22
5e#ingga diperole# g 677 h6 dengan g 6 = 45( g ), h6 = 45(h), g 77 h
!adi pernyataan 8Apabila g 77 h dan g 6 = 45( g ), h6 = 45(h) maka g 677 h69
benar&
3). -iketa#ui : garis"garis g dan h, A∈ g , 1∈ h, . ∈ h
0ukisla# :
a). Mg[M#(∆A1.)
b). M#[Mg(∆A1.)
c). se#ingga Mg[M#() =
d). 2 se#ingga M#[Mg(2) = -
!a/ab:
a).
M#(A) = A6
M#(1) = 16 (karena 1 h∈ maka M#(1) = 16)
M#(.) = .6
Mg(A6) = A9
Mg(16) = 19
Mg(.6) = .9
!adi, Mg[M#(A1.) = A919.9
19
A9
.9
.6
A6
1.
A
h
g
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
7/22
b).
Mg(A) = A6 = A (karena A g ∈ )
Mg(1) = 16
Mg(.) = .6
M#(A6) = A9
M#(16) = 19
M#(.6) = .9
!adi, M#[Mg(A1.) = A919.9
c). Akan dilukis se#ingga Mg[M#() =
Mg[M#() = ⇔ (MgM#)() =
$asil kali persamaan (MgM#)() = #anya akan ter%adi pada titik potong
antara garis g dan garis h& le# karena itu adala# titik potong garis g
dan garis h&
d). Akan dilukiskan titik 2 se#ingga M#[Mg(2) = -
arena - h∈ maka -6 = M#(-) = -
5e#ingga diperole# Mg(2) = -
16
19
.6
.9
A9
1.
A = A6
h
g
h
g
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
8/22
!adi, 2 adala# prapeta - ole# Mg
4). -iketa#ui : garis"garis g , h, k dengan g 77 k
0ukisla# :
a). g 6 = M#[Mg( g )
b). g 6 = Mg[M#( g )
c). k 6 = Mg[M#(k )
!a/ab:
a). g 6 = M#[Mg( g )
b). g 6 = Mg[M#( g )
-
2
h
g
g ;
k
h g
g ;
M#( g )
k
h g
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
9/22
c). k6 = Mg[M#(k )
5). -iketa#ui : dua garis g dan h yang berpotongan
0ukisla# :
a). k se#ingga Mg[M#(k ) = g
b). m se#ingga M#[Mg(m) = g
c). n se#ingga M#[Mg(n) membagi sama besar sudut lan3ip antara g dan h
!a/ab:
6). -iketa#ui : padanan 5 dan 4 sebagai berikut
-aera# asal 5 adala# g , 5(
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
10/22
b). arena 45(
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
11/22
= ( ){ } R y y ∈,,=
!adi, diperole# M#[Mg( g ) adala# sumbu"@ sebua# sistem sumbu
ortogonal& Persamaan garis M#[Mg( g ) adala# x = &
b). Akan ditentukan P9 = M#[Mg(P) dengan P = (,>)
M#[Mg(P) = M#[Mg(,>)
= M#[(,">)
= (">,)
!adi P9 = (">,)&
c). Akan ditentukan *9 = Mg[M#(*) dengan * = (>,"?)M#(*) = M#(>,"?)
= ("?,>)
!adi, *9 = Mg[M#(*)
= Mg("?,>)
= ("?,">)
d). Akan ditentukan 29 = Mg[M#(2) dengan 2 = ( x, y)
29 = Mg[M#(2)
= Mg[M#( x, y)
= Mg( y, x)
= ( y," x)
e). m(∠229) = &&&
Misalkan m(∠229) =
29( y," x)
2( x, y)
(,)
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
12/22
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )
°=°=⇔
=⇔
=+−⇔
+−+++=++++−⇔
−++−−+++=++−⇔
−+=
BC=atauD=
=3os
=3osB
3osBBB
3osB
3os2E2 B2E2 22E
BB
BBBBBBBBBB
BBBBBBBBBB
BBB
y x
y x x y y x x xy y y xy x
x y y x x y y x x y y x
!adi, m(∠229) = D
8). -iketa#ui : dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P
1uktikan : Mg[M#(A) = P %ika dan #anya %ika A = P
1ukti :
Garis g dan h berpotongan di titik P, maka P g ∈ dan P h∈
(1) ( )⇒ -iketa#ui Mg[M#(A) = P &&&&&&&&&&(i)
Akan dibuktikan %ika Mg[M#(A) = P maka A = P
arena P , g ∈ menurut definisi pen3erminan,
Mg(P) = P &&&&&&&&&&(ii)
-ari (i) dan (ii) diperole#
Mg[M#(A) = P = Mg(P)⇔ M#(A) = P &&&&&&&&&&(iii)
arena P ,h∈ menurut definisi pen3erminan,
M#(P) = P &&&&&&&&&&(i)
-ari (iii) dan (i) diperole#
M#(A) = P = M#(P)⇔ A = P
!adi, %ika Mg[M#(A) = P maka A = P (terbukti)
(2) ( )⇐ -iketa#ui A = P
Akan dibuktikan %ika A = P maka Mg[M#(A) = P
arena A = P dan P ,h∈ menurut definisi pen3erminan,
M#(A) = M#(P) = P
arena P , g ∈ menurut definisi pen3erminan,
Mg(P) = P = Mg[M#(A) se#ingga Mg[M#(A) = P
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
13/22
!adi, %ika A = P maka Mg[M#(A) = P (terbukti)
-ari (?) dan (B) diperole# :
!ika dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P, maka
Mg[M#(A) = P %ika dan #anya %ika A = P (terbukti)
D)& -iketa#ui : andaikan g sumbu < dan h =( ){ } x y y x =,
5 adala# padanan yang didefinisikan sebagai berikut :
!ika P g ∈ maka 5(P) = P, %ika P g ∉ maka 5(P) adala# titik tenga# ruas garis
tegak lurus dari P pada g
-itanyakan :
a). 1uktikan 5 suatu transformasi
b). !ika P = (H,y) sebua# titik sembarang, tentukan koordinat"koordinat titik
5[Mg(P)
c). 5elidiki apaka# 5 Mg = Mg 5
d). 5elidiki apaka# 5 M# = M# 5
!a/ab:
a). 5 : V VAkan dibuktikan 5 bi%ektif
(i). Akan dibuktikan 5 sur%ektif
(?)& 'ntuk P g ∈
Ambil sebarang P∈V
!elas prapeta P = P sebab 5(P) = P
(B)& 'ntuk P g ∉
le# karena V bidang eu3lide maka terdapat dengan tunggal P
dengan P P4∈ dimana 4 g ∈ dan P4 g
5e#ingga P< =
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
14/22
Ambil sebarang P, *∈V dengan P≠ *
(?)& 'ntuk P, *
g ∈
!elas 5(P) = P dan 5(*) = *
arena P≠ * maka 5(P)≠ 5(*)
(B)& 'ntuk P g ∈ dan * g ∉
!elas 5(P) = P dan 5(*) = )& 'ntuk P, * g ∉
!elas 5(P) = @, dimana @ titik tenga# ruas garis tegak lurus dari
P pada g dan 5(*) = < titik tenga# ruas garis tegak lurus dari *
pada g &
Andaikan 5(P) = 5(*) atau @ = <
arena @ titik tenga# ruas garis tegak lurus dari P pada g ,
misalkan ruas garis tersebut dinamakan P4 dimana 4 g ∈ &
Maka @ P4∈ dan P@ = @4
arena < = @ maka < P4∈ dan P< =
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
15/22
5[Mg(P) =)
B
?,( y x −
c). Ambil sebarang P = ( x, y)
(i)& 'ntuk P g ∈
[5(P)M(P)[M5 P(P)M[5(P)M maka P5(P)
P5(P)(P)[M5 maka P(P)M
gg
gg
gg=
===
===
(ii)& 'ntuk P g ∉
[5(P)M(P)[M5 )
B
?,(M[5(P)M maka )
B
?,(5(P)
)B
?,(5(P)(P)[M5 maka ),((P)M
gg
gg
gg
=
−=−=
−==−=
y x y x
y x y x
!adi,[5(P)M(P)[M5 gg =
d). Ambil sebarang P = ( x, y)
(i)& 'ntuk P g ∈
(P)[M5[5(P)M
),=([5(P)M maka )=,(5(P)
)B
?,=((P)[M5 maka ),=((P)M
##
#
## ≠
==
==
x x
x x
(ii)& 'ntuk P g ∉
(P)[M5[5(P)M
),B
?([5(P)M maka )
B
?,(5(P)
)B
?,((P)[M5 maka ),((P)M
##
#
##
≠
==
==
x y y x
x y x y
!adi, (P)[M5[5(P)M ## ≠
?)& -iketa#ui : g =( ){ }=, = y y x
dan h =( ){ } x y y x =,
5 transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor D)
A = (B,"J) dan P = ( x, y)
4entukan koordinat"koordinat titik"titik berikut :
a). M# Mg 5(A) d)& M# 5 Mg(A)
b). Mg 5 M#(A) e)& 5B M#(A)
c). 5 M# 5(A) f)& 5 MB
g(A)
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
16/22
!a/ab:
a). A = (B, "J)
A6 = 5(A)
5esuai definisi 5 (%ika P g ∈ maka 5(P) adala# titik tenga# ruas garis
tegak lurus dari P pada g ) maka A6 adala# titik tenga# garis yang melalui
A dan g &
A6 =)K,B()
B
)J(=,
B
BB( −=
−++
!adi, 5(A) = (B,"K)
A9 = Mg5(A) = Mg(B,"K)
5esuai definisi pen3erminan, maka garis g adala# garis sumbu titik (B, "K)
dan A9& Misal:
A9 = (a, b), maka:
K,B)BB,
B?()=,B()
B
K,
B
B()=,B( ==⇔−+=⇔
+−+= ba
baba
!adi, A9 = Mg5(A) = Mg(B,K)
A96 = M#(A9) = M#Mg5(A) = M#(B,K)
5esuai definisi pen3erminan, maka garis h adala# garis sumbu titik (B,K)
dan A96& Misal A96 = (a6, b6), maka:
'ntuk men3ari titik tenga# A9 dan A96
Misal titik tenga# A9 dan A96 adala# L, maka L h∈
arena h adala# garis y = x, maka nilai absis sama dengan ordinat,
gradien h = ?
Misal L = (m,m)
Persamaan garis melalui A9 dan L:
)K(?B +−=⇔−−=− x y x y (dengan gradien(m) = ?)
5ubtitusikan L(m,m) pada +−= x y maka >B =⇔=⇔+−= mmmm
!adi, L(>,>)&
11). -iketa#ui : andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
17/22
A, 1, . adala# tiga bua# titik, se#ingga Mg(A) = 1 dan M#(A) = .
-itanyakan : tentukan titik"titik
a). M>g(A) 3)& M#MgM#M#Mg(A)
b). M#MgM#(A) d)& MB
gM>#(A)
!a/ab:
Misalkan seperti gambar berikut:
a). M>g(A) = (MgMgMg)(A) 3)& M#MgM#M#Mg(A)
= (MgMg)[Mg(A) = (M#MgMB#)[Mg(A)
= (MgMg)(1) = (M#MgMB#)(1)
= Mg[Mg(A) = (M#Mg)[MB
#(1)
= Mg(A) = (M#Mg)(1)
= 1 = M#[Mg(1)
= M#(A)
= .
b). (M#MgM#)(A)= (M#Mg)[M#(A) d)& MBgM
>#(A) = (M
BgM#)[M
B# (A)
= (M#Mg)(.) = (MBgM#)(A)
= M#[Mg(.) = MBg[M#(A)
= M#(-) = MBg(.)
= 1 = .
?B)& -iketa#ui : dua garis, g 77 h, titik"titik P dan *, P g ∉ dan P h∉
-itanyakan :
a). 0ukisla# P9 = MgM#(P) dan *9 = MgM#(*)
h
g
-( x," y).(" x," y)
A(" x, y) 1( x, y)
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
18/22
b). 1erbentuk apaka# segiempat PP9**9
c). 1uktikan pendapat anda
!a/ab:
a).
b). 5egiempat PP9*9* berbentuk %a%argen%ang
c). g 77 h, P9 = MgM#(P), dan *9 = MgM#(*)
!adi, *EPE = MgM#(P* )
arena pen3erminan suatu isometri, maka *EPE 77 P* dan*EPE
=P*
,
dengan demikian segiempat PP9*9* suatu %a%argen%ang (berdasarkan
teorema 8segiempat yang memiliki sepasang sisi yang se%a%ar dan sama
pan%ang adala# %a%argen%ang9)&
13). -iketa#ui : g =( ){ },>, = y y x
h =( ){ },?, −= y y x
dan k sebua# garis yang
melalui A = (?,K) dan 1 = ("?,"B)
4entukanla# :
a). Persamaan k 6 = MgM#(k )
b). 0uas segiempat AA9119 apabila A9 = MgM#(A) dan 19 = MgM#(1)
c). oordinat P9 = MgM#(P), P9 = MgM#(P) apabila P = ( x, y)
MgM
#(*) = *9
MgM
#(P) = P9
*6 = M#(*)
P6 = M#(P) P
*
h g
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
19/22
d). Nilai dalam persamaan garis( ){ }, == y y xh
apabila
( ){ },B, == x y x g A = (O,?), dan A9 = M#Mg(A) = (">,?)
!a/ab:
a). k 6 = MgM#(k )
arena A k ∈ dan 1 k ∈ , se#ingga A9=MgM#(A) k ∈ dan 19=MgM#(1)
k ∈ &
A9 = (?,?B), 19 = ("?,)& Misal A9 = ),( ?? y x dan 19 = ),( BB y x &
Persamaan garis k 6:
??
?
?B
?B
?B
?
?B
?
−−
−=
−
−⇔
−
−=
−
− x y
x x
x x
y y
y y
D>
>>?B
)?(>?B
B
?
?B
+=⇔
−=−⇔
−=−⇔−
−=
−
−⇔
x y
x y
x y
x y
!adi, persamaan garis D>:; += x yk
b). AA9191 membentuk bangun %a%argen%ang dengan alas(a) = B d an
tinggi(t ) = J& 0uas = a H t = B H J = ?
!adi, luas AA9191 = ? satuan luas&
3)& P ),( y x & Pen3erminan titik P ter#adap garis h M#(P) = P6);,;( y x
arena garis h merupakan sumbu PP6, se#ingga "? merupakan titik
tenga# dari y dan y6:
B;B;?B
;−−=⇔−=−⇔−=
− y y y y
y y
dan x x =;
!adi, koordinat titik P6( x, " y B)
Pen3erminan titik P6 ter#adap garis g Mg[M#(P) = P9)E,E( y x
arena garis g merupakan sumbu P6P9, se#ingga > merupakan titik
tenga# dari y6 dan y9:
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
20/22
JE)B(E;EE;>B
E;+=⇔−−−=⇔−=⇔=−⇔=
− y y y y y y y y
y y
-an x x x == ;E
!adi, koordinat titik P9( x, y Q J)
d). ( ){ }, == y y xh
,( ){ },B, == x y x g
A = (O,?), dan A9 = M#Mg(A) = ("
>,?), berapa
Pen3erminan titik A ter#adap garis( ){ }B, == x y x g
: Mg(A) = A6);,;( y x
arena garis g merupakan sumbu AA6 (dari definisi pen3erminan),
se#ingga x = B merupakan titik tenga# O dan x6 sedangkan y6 = ? (tetap)&
?;K;OBB
;O−=⇔=+⇔=
+ x x
x
!adi, A6 = Mg(O,?) = ("?,?)
Pen3erminan titik A6 ter#adap garis( ){ }, == y y xh
: A9 = M#(A6) =
M#("?,?) = (">,?)
arena garis h merupakan sumbu A6A9 (dari definisi pen3erminan),
se#ingga x = merupakan titik tenga# "? dan "> sedangkan y9 = y = ?&
BB
)>(?−=⇔=
−+−
!adi, persamaan garis( ){ }B, == y y xh
?K)& -iketa#ui : dua garis, g h, * ,h g ∩= dan sebua# titik P , g ∉ dan P h∉
-itanyakan :e). 0ukisla# A = MgM#(P)
f)& 5elidiki apaka# * titik tenga# AP
g). 0ukisla# 1 = M#Mg(P)
!a/ab:
a). A = MgM#(P)
5
2 h
g
*
P
M#(P) A
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
21/22
b). Misalkan M#(P) = P6
Maka PP; memotong h di titik 2 dan AP; memotong g di titik 5
arena P6 adala# pen3erminan dari P maka P2 = 2P6 dan PP; h
arena A adala# pen3erminan dari P6 maka P65 = 5A dan AP; g
arena PP; h dan g h maka PP; 77 g se#ingga 2P6 = *5
arena AP; g dan g h maka AP; 77 h se#ingga P65 = 2*
Per#atikan P2* dan *5A
P2 = 2P6 dan 2P6 = *5 maka P2 = *5
m(P2*) = m(*5A) = D
2* = P65 dan P65 = 5A maka 2* = 5A
1erdasarkan sistem aksioma kekongruenan
Maka P2* ≅ *5A dengan aturan 5 5d 5
5e#ingga P* = *A
arena P* = *A dan P*∈ PA dan *A∈ PA maka * tenga#"tenga#PA
!adi, titik * pada pertenga#an PA
c). A = MgM#(P)
h
g 1
M g ( P ) P
-
8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan
22/22
15). -iketa#ui : h adala# sumbu"< dan g sumbu"@ sebua# sistem sumbu
ortogonal
A = (K,">) dan P = ( x, y)
4entukanla# :
a). oordinat"koordinat M#Mg(A) dan MgM#(A)
b). oordinat"koordinat M#Mg(P)
c). Apaka# M#Mg dan MgM#
!a/ab:
a). M#Mg(A) = M#[Mg(A)
= M#[Mg(K,">)
= M#("K,">)
= ("K,>)
MgM#(A) = Mg[M#(A)
= Mg[M#(K,">)
= M#(K,>)
= ("K,>)
b). M#Mg(P) = M#[Mg( x, y)
= M#(" x, y)
= (" x," y)
c). MgM#(P) = Mg[M#( x, y)
= Mg( x," y)
= (" x, " y)
4ernyata M#Mg(P) = (" x," y) = MgM#(P)
!adi, M#Mg(P) = MgM#(P)