1
KONTROL SİSTEMLERİ(ELT302)
Dr.Erkan KAPLANOĞLU
İçerik1) Kontrol sistemlerine giriş2) Kontrol sistemlerinin yapısı ve kullanım alanı. Otomatik kontrol ile ilgili örnek
uygulamalar.3) Laplace dönüşümleri ve özellikleri.Bazı standart giriş fonksiyonları ve bunların
Laplace dönüşümleri4) Transfer fonksiyonun tanımı ve Blok şemaları,5) İşaret Akış Diyagramları6) Fiziksel Sistemlerin Matematiksel Modellemesi7) Birinci ve İkinci dereceden transfer fonksiyonun temel parametreleri8) Doğrusal Kontrol Sistemlerinin Zaman Tanım Bölgesi Analizi9) Kararlılık: Tanım ve Routh-Hurwitz kararlılık kriteri10) Açık ve kapalı çevrim sistemler: kararlılık, duyarlılık, izleme ve bozucu etki
tepkeleri11) İleri beslemeli ve geri beslemeli denetleyici yapıları12) Kontrol Sistemlerinin Tasarımı13) Tipik geri beslemeli kontrolörler:Oransal (P),oransal ve entegral (PI),oransal,
entegral ve türev (PID)14) Mekatronik sistemlerde kontrol uygulamaları
Tarihçe Çok eski çağlardan beri insanoğlunun çok basit de olsa "kendi kendine
çalışma sistemine" göre çalışan "otomatik makineler" yaptığıbilinmekteydi. Bu aletler daha çok hayvan taklitleri yapan oyuncak biçimi aygıtlar (M.Ö. 430 yılında Taretumlu Achytas'ın yaptığı otomatik güvercin) veya zamanı ölçmeye (İskenderiyeli Ktesbios (Heron) M.Ö. 285-247 de yaptığı su saati) ve su kemerlerindeki su düzeyini sabit tutmaya çalışan sistemlerdi. Bizde ise 1205'lerde yaşamış olan Cizreli Eb-ül-iz adında bir Türk bilgininin Diyarbakır'da otomatik makinalaryaptığı bilinmektedir. Batı Dünyasında "al cazari" olarak da bilinen Cizreli Eb-ül-iz İbni İsmail İbni Razzaz'ın su saatleri, müzik otomatlar ve kuyu yada akarsulardan su çıkaran tulumlar üzerinde tasarımlar yaptığıve bunların imalatını gerçekleştirdiği ileri sürülmektedir. Bütün bu örneklerde; makinenin, işlemden elde edilen bilgileri uyarınca çalıştırılması temeline dayalı geribesleme ilkesi kullanılmıştır.
Sanayi Devrimi'nin başlangıç yıllarında bulunan geribeslemelisistemler olarak Hollandalı C. Drebeelin (1572-1633) sıcaklık düzenleyicisi, Fransız D. Papin'in (1647-1712) buhar kazanları için bulduğu basınç düzenleyicisi gibi örnekler sayılabilir.
Tarihçe(devam)Endüstriyel alanda kullanılan ilk geribeslemelikontrol organı ise James Watt'ın 1769'da geliştirdiği toplu hız düzenleyicisidir (regülatör). Bu aygıt buhar makinesine buhar akışını ayarlayarak, yük değişimlerine rağmen buhar makinesinin sabit bir hızla çalışmasını sağlıyordu. Tamamen mekanik olan bu aygıt çıkış milinin hızını mekanik olarak ölçer ve bu hıza bağlı hareket eden metal küreciklerin hareketinden yararlanarak buhar valfininaçılıp kapanmasını ve dolayısıyla makineye giren buhar miktarını denetler.
Tarihçe(devam) Tarihçe(devam)Makinenin hızı artınca merkezkaç kuvvetin etkisi ile metal kürecikler yukarı kalkmaya çalışır ve buna bağlı olarak da çubuk-manivela mekanizması valfıkapamaya çalışır. Aksi bir durumda kürecikler aşağıya doğru hareket ederek valf açmaya çalışır. Metal kürecikler; hız ölçümü ve valfın hareketi için gerekli gücü makineden çektiklerinden hız ölçümünütam doğrulukta sağlayamazlar. Kürecikli hız düzenleyici hız kontrol uygulamalarında bugün halen kullanılmaktadır. Yalnız burada tamamen mekaniksel sistemler yerine valf hareketinde yüksek servo motorlar yer alır.
2
Basit Sıvı Seviye Kontrol Sistemi Blok Diyagramı
İyi Bir Kontrol İçin Gerekli Konular
Kontrol sisteminin başarıya ulaşması için aşağıdaki konular göz önünde bulundurulması gerekir: Sistem(Kontrol edilecek Süreç) Amaç Algılayıcılar Eyleyiciler(Aktüatörler) Haberleşme Hesaplamalar Mimari ve Arayüz Algoritmalar Bozucu etkiler ve Belirsizlikler
İyi Bir Kontrol Sisteminden Beklenen Çalışma 1) Sistem de meydana gelen herhangi bir bozucu etkiden sonra bile
değişkenin değeri set değerinden minimum şekilde sapma olmalıdır. Çalışan sistemler, sürekli bozucu etkiler altındadır. Örnek elektrik motorunun aniden yüklenmesi veya aniden üzerindeki yükün kalkmasıgibi. Yine elektrik motorunun sargılarına uygulanan gerilimin ani değer değiştirmesi bozucu etki olarak ifade edilir.
2) Bozulma sonunda , normal çalışmaya en kısa zamanda dönebilmelidir. Örneğin elektrik motoru ani bir bozucu etki ile karşılaşmışsa, buradaki devir regülatörü, bu değişimi hemen hissetmelidir ve hemen düzeltici önlemi almalıdır. Burada istenen, bozulma ile normale dönme arasındaki zaman çok kısa olmalıdır.
3) Çalışma şartlarında meydana gelen değişmelerden ötürü olacak sapma set değerinden minimum seviyede olmalıdır. Yine örneğimizi elektrik motoru ile sürdürecek olursak, motorun yükündeki değişme veya giriş gerilimindeki değişimler bir devir değişikliği yaratacaktır. Ancak bu durum da istenen, her ne kadar değişim olsa da istenen değerden çok uzak olmamalıdır. Yani set değerine yakın olmalıdır.
Better ControlProvides more finesse by combining sensors and actuators in more intelligent ways
Better ActuatorsProvide more Muscle
Better SensorsProvide better Vision
Kontrolde Temel Kavramlar
Başvuru giriş
Elemanları
HataSinyali
e(t)KontrolOrganı
Motor ElemanVeya Sürücü
Elemanı
Kontrol edilenSistem
DüzeltmeSinyali
a(t)
Bozucu Girişd(t)
ÇIKIŞ
GeribeslemeElemanı
Karşılaştırıcı
GİRİŞKumanda Sinyali
V(t)
BaşvuruGirişi
r(t)
kontrolSinyali
m(t)
GeribeslemeSinyali
b(t)
KontrolDeğ işken
c(t)
3
SİSTEM (SYSTEM): KONTROL (CONTROL):
KONTROL SİSTEMİ (CONTROL SYSTEM): OTOMATİK KONTROL (AUTOMATIC CONTROL): KONTROL EDİLEN SİSTEM (SYSTEM or PLANT): GİRİŞ (INPUT): ÇIKIŞ (OUTPUT): BAŞVURU GİRİŞ ELEMANI (REFERENCE INPUT ELEMENT): BAŞVURU GİRİŞİ (REFERENCE INPUF); r(t): KARŞILAŞTIRICI VEYA HATA SEÇİCİ (COMPARATOR OR
ERROR DETECTOR); HATA VE SAPMA (ERROR AND DEVİATİON); e(t): KONTROL ORGANI (CONTROLLER OR CONTROL ELEMENT): SON KONTROL ELEMANI VEYA MOTOR ELEMAN (ACTUATOR
0R MOTOR ELEMENT): KONTROL SİNYALİ (CONTROL SIGNAL OR MANIPULATED
VARIABLE);M(T): KONTROL EDİLEN SİSTEM (CONTROLLED SYSTEM OR PLANT ÇIKIŞ VEYA DENETLENEN DEĞİŞKEN (CONTROLLED
VARIABLE); e(t):
BOZUCU GİRİŞLER (DİSTURBANCE INPUTS); GERİBESLEME SİNYALİ (FEEDBACK SIGNAL); GERİBESLEME ELEMANI (FEEDBACK ELEMENT): GERİBESLEME YOLU (FEEDBACK PATH): İLERİBESLEME ELEMANLARI (FEEDFORWARD OR FORVVARD
ELEMENT): İLERİBESLEME YOLU (FEEDFORWARD PATH): SÜREÇ kontrol SİSTEMİ (PROCESS CONTROL SYSTEM): NÜMERİK KONTROL (NUMERICAL CONTROL): DOĞRUDAN SAYISAL KONTROL (DIRECT DIGITAL CONTROL): UYARLAMALI KONTROL (ADAPTIVE CONTROL): BİLGİSAYARLI KONTROL (COMPUTER CONTROL): DUYARGA (SENSOR, DETECTOR): DÖNÜŞTÜRGEÇ (TRANSDUCER):
Tanımlar Kontrol sistemleri, genel olarak, çalışan
sistemlerin insan gücüne gerek kalmadan denetlenmesini, kontrol edilmesini konu olarak alır.
TanımlarSİSTEM; Genel anlamda: Plana uygun bir amacı gerçekleştirmek üzere tasarlanmış
çeşitli bileşenlerin oluşturduğu bütündür. Fiziksel anlamda: Bir amacı gerçekleştirmek için düzenlenmiş ve bütün bir
birim olarak hareket etmek üzere birleştirilen etkileşimli veya ilişkili fiziksel elemanlar düzenidir.
Giriş: Sistem içerisine akan, sistem tarafından işlenen işaretler, büyüklükler.
Çıkış: Sistem dışına çıkan,işlem görmüş işaretler, büyüklükler.
DinamikSistem
Girişler Çıkışlar
Sisteminsınırı
Tanımlar(Devam) KONTROL (Control): kontrol kelimesi genellikle ayarlamak, düzenlemek,
yöneltmek veya kumanda etmek anlamlarına gelir. Tanım olarak; bir değişken niceliğin ya da değişken nicelikler kümesinin önceden belirlenmiş bir koşula uyumunu sağlamaya yönelik olarak gerçekleştirilen işlemler bütünüdür.
KONTROL SİSTEMİ (Control System): Kendisini veya diğer bir sistemi kumanda etmek, yönlendirmek veya ayarlamak üzere birleştirilen fiziksel organlar kümesidir. Mühendislik açısından kontrol sistemi, en az veya hiçbir insan girişimi gerektirmeyecek şekilde, arzu edilen işlevleri ve sonuçlarısağlamak üzere bir araya getirilen makine, süreç (process) ve diğer aygıt donanımlarının (Instrumentation) otomatik çalışmasını ifade eder. kontrol sistemleri, denetlenen niceliklerin değerlerini sabit tutar ya da bu değerleri, önceden belirlenmiş biçimde değişmesini sağlar.
GERIBESLEME ELEMANI (Feedback Element): Kontrol edilen çıkışsinyali ile geribesleme sinyali arasında işlevsel bağıntı kuran elemandır. Geribesleme elemanları özellikle denetlenen değişken ile başvuru girişsinyalinin farklı fiziksel yapıda olduğu durumlarda bir dönüştürgeçten(transducer) ibarettir. Geribesleme elemanı denetlenen değişkenin ölçülen değerini sağlar. Genellikle geribesleme elemanı bir ölçü elemanı biçimindedir.
Açık Çevrim Kontrol Sistemleri Kontrol işlemi üzerinde, çıkışın etkisinin olmadığı sistemler açık çevrim kontrol olarak bilinir. Diğer bir deyişle, bir açık kontrol sisteminde ne çıkış ölçülür ne de referans girişle karşılaştırmak için geri beslenir. Açık çevrimli kontrol genelde, kumanda edilen sistemin yapısının ve sisteme etkiyen diğer girişlerin önceden çok iyi bilindiği uygulamalarda kullanılır. Açık çevrim kontrol sisteminde çıkış, referans giriş ile karşılaştırılmadığından, her referans giriş sabit bir operasyon şartına karşılık gelir. Sonuçta, sistemin hassasiyeti kalibrasyona bağlıdır. Zamana göre operasyon yapan her sistem, açık çevrimdir. Örnek olarak, trafik sinyalizasyonunu ve çamaşır makineleri verilebilir. Şekilde, açık çevrimli kontrole ait blok şeması verilmiştir
Şekil Açık çevrim kontrol blok diyagramı
4
Kapalı Çevrim Kontrol Sistemleri
Şekil kapalı çevrim kontrol blok diyagramı
Bir kontrol çevriminde kontrol ve kumanda, sistemin çıkışlarındaki değişmelere doğrudan bağımlı olarak belirleniyorsa, kontrol çevrimi kapalıdır. Kumandanın çıkışlardaki değişmelerden etkilendiği, bu değişmelere göre belirlendiği kontrol sistemine kapalı çevrimli kontrol adi verilir. Sistem çıkışındaki değişmeler, kumandanın belirlenmesi için önceki adımlara geri gönderildiğinden geri beslemeli kontrol çevrimi de denir.
Düzenleyici denetim ( regulator)
Başvuru girişinin uzun zaman değişmediği veya sabit tutulduğu geri beslemeli sistemdir.
Regülator (Düzenleyici) Sistemler
Yükselteç
YÜK
Takometre
motor
DA kaynak
Vt
Vr
+
-+
++
--
-
G
H
Servomekanizma, servo (Servomechanism)
Çıkışın mekaniksel; konum, hız ve ivme olduğu geribeslemeli denetim sistemidir.
Servo Sistemler
Yükselteç
YÜK
motor
DA kaynakVe
m
++
- -
c
dişli
+
-
Vm
+
-
Vr
rGiriş kadranı
Vc
I
Süreç Denetim Sistemi(Process Control System)
Çıkışı; sıcaklık, basınç, akış, seviye ve pH gibi değişkenler olan düzenleyici denetim tipinde geribeslemeli denetim sistemidir.
5
Kontrol Sistemlerinin Tasarım İlkeleri Kontrol sistemlerinden ilk istek, her kontrol
sisteminin kararlı olmasıdır. Mutlak kararlılık yanında, bir kontrol sistemi kabul edilebilir bir bağıl kararlılığa sahip olmalıdır, yani cevap kabul edilebilir bir sönüm göstermelidir. Cevap hızı kabul edilebilir şekilde hızlı olmalıdır.
Bir kontrol sistemi, hataları sıfıra veya toleranslar içerisinde bir değere indirebilmelidir. Her kullanışlı kontrol sistemi bu istekleri karşılamalıdır.
Laplace Dönüşümleri
•Karmaşık sayılar•Laplace Dönüşümünün temelleri•Temel giriş fonksiyonları ve Laplace Dönüşümleri•Ters Laplace Dönüşümü•Adi diferansiyel denklem çözümü
Karmaşık sayı düzlemiSanal eksen (j)
Gerçek eksen
jyxz
x
y
jyxz y
22||||
)arctan(
yxzrzxyz
r
r
)sin(.)cos(.
ryrx
Karmaşık sayıların gösterimijyxz
22
)arctan(
yxrxy
sincos je j
- Dik koordinat sistemi
- Kutupsal koordinat sistemi r
jrez - Üstel olarak
Karmaşık sayı işlemleri111 jyxz - Toplama ve çıkarma işlemi
- Çarpma ve bölme işlemi
222
111
rzrz
222 jyxz
)()( 212121 yyjxxzzz
)()/(/)().(.
212121
212121
rrzzz
rrzzz
2
1
22
11
j
j
erzerz
)(
2121
)(2121
21
21
)/(/
).(.
j
j
errzzzerrzzz
s-karmaşık Değişken
111 js
j
1
1
Karmaşık s değişkeni gerçek ve sanal olmak üzere iki kısımdan oluşur.
Karmaşık s - düzlemi
js
6
Karmaşık değişkenin fonksiyonu
111 js j
1
1
Herhangi bir s değerine bir veya daha çok G(s) değeri karşı düşüyor ise G(s) fonksiyonu s karmaşık değişkenin bir fonksiyonudur ve gerçek ve sanal kısımdan oluşur.
s-düzlemi
)(Im)(Re)( sGjsGsG
)( 1sG
GRe
Gj Im
G(s)-düzlemi
s-düzleminden G(s)-düzlemine tek değerli görüntüleme
Analitik fonksiyon
Eğer s-düzleminin bir bölgesinde s-karmaşık değişkenin bir fonksiyonu olan G(s) fonksiyonunun kendisi ve tüm türevleri mevcut ise, söz konusu bölgede analitik fonksiyon olarak adlandırılır.
)1(1)(
ss
sG
2)( ssG
s=0 ve s=-1 noktaları dışında analitiktir.
s-düzleminin her noktasında analitiktir.
Tekil noktalar ve kutuplar
Bir fonksiyonun s-düzleminde tekil noktaları,fonksiyonun ya da türevinin bulunmadığınoktalardır. Kutup en yaygın tekil noktadır.
Fonksiyonun s = si’de sonsuz olması için G(s)’nin paydasında (s - si)r çarpanının bulunması gerekir. r = 1 ise s = si’deki kutba katsız kutup denir
2)3)(1()2(10)(
sssssG
s=0 ve s=-1’de iki adet katsız kutup
s=-3’de bir adet katlı, s=0 ve s=-1’de
İki adet katsız kutup (toplam dört kutup)
)1(1)(
ss
sG
G(s) fonksiyonu si civarında analitik, tek değerli ve
)()(lim sGss ri
ss i
limiti sıfırdan farklı sonlu bir değer alıyor ise G(s)’nin s = si ’de r katlı bir kutbu vardır.
Fonksiyonun sıfırı
G(s) fonksiyonu s = si’de analitik ve
2)3)(1()2(10)(
sss
ssG
Sonlu sıfırı yok, sonsuzda iki sıfır
s=-2’de bir adet sonlu sıfır ve sonsuzda üç sıfır (toplam dört sıfır)
)1(1)(
ss
sG
limiti sıfırdan farklı sonlu bir değer alıyor ise G(s)’nin s = si ’de r katlı bir sıfırı vardır.
)()(lim sGss ri
ss i
Bir rasyonel fonksiyonda sonsuzdakilerde sayıldığında, sıfır ve kutupların sayısı eşittir
Laplace Dönüşümü
“zor” problem
0)0(')0("
yyteyy t
“basit” denklem
Çözüm YÇözüm y
22
)1(1)1(
s
YsL
1L
Cebrik işlemÇöz ?
22 )1)(1(1
ssY
tt etetty 21
21cos
21)(
t s
Zaman düzlemi Laplace veya karmaşık frekans düzlemi
Laplace
dönüşümü
Ters
Laplace
dönüşümü
Laplace Dönüşüm Çifti
0
)( dtetfsFtf stL
jc
jc
stdsesFj
tfsF21)(1L
7
Birim Basamak fonksiyonu u(t)’nin Laplace dönüşümü
.
ss
edtesUtust
st 1)()(0
0
L
u(t)
t
1
0100
)(tt
tu
Ötelenmiş Basamak fonksiyonu
.
seTtu
sT
)(L
1
TtTt
Ttu10
)(
T t
f(t)u(t-T)
Darbe fonksiyonu
.
)1()()()()( sTeshTthuthutfsF LLL
h
TttTth
tf,00
0)(
T t
f(t)
Ani Darbe fonksiyonu
.
00/lim
0
tIht
h
t0 t
f(t)
t
f(t)
I=h t0
I=1 için birim ani darbe adını alır.
Birim ani darbe (t) ile gösterilir ve Laplace dönüşümü 1’dir.
1)( dtt
Rampa fonksiyonu
.
20
)(sAdteAtAtsF st
L
000
)(tAtt
tf
t
f(t)
f(t)=At
1
! n
n
sntL
e-at’nin Laplace dönüşümü
.
)(1
)( 0
)(
0
)(
0
asase
dtedteee
tas
tasstatat
L
e-at
t
atetf )(
8
Fonksiyonun türev ve integralinin Laplace dönüşümü
.
f(0)-(s) sf(0)-L(f(t))L Fsdtdf(t)
dtds
tdt
s 0
1 )()( sFs
tfs
f(t)dtt
0
1L
1L
f(0) değeri Başlangıç değer teoremi
f(t) sonlu bir değere yakınsar mı? F(s)’nin kutupları
f(t) salınım yapar mı? F(s)’nin kutupları
Kararlı halde f(t) değeri ne olur (yakınsama varsa) Son değer teoremi
Laplace Dönüşümü f(t) hakkında ne söyler ?
.Başlangıç Değer
f(t) fonksiyonun t 0’a giderken alacağıdeğer:
f(t) = e -t
F(s) = 1/(s+1)
f(0 ) = Lim s /(s+1) = 1s
Örnek
)(.lim)(lim 0 sFstf st
Son Değer
f(t) fonksiyonun t ’a giderken alacağı değer:
f(t) = e -t
F(s) = 1/(s+1)
f() = Lim s /(s+1) = 0s 0
Örnek
)(.lim)(lim 0 sFstf st
Başlangıç ve Son değer teoremi
Fonksiyonun Laplace dönüşümü
Son değer teoreminin uygulanması
Başlangıç değer teoreminin uygulanması
)4()2(2)(
ssssF
41
)40()20(2)(.lim)(lim 0
sFstf st
0)4()2(
2)(.lim)(lim 0
sFstf st
Laplace Dönüşüm Teoremleri
.
9
Laplace Dönüşüm Çiftleri
.
f(t)=5u(t)+3e -2t ‘nin Laplace dönüşümü
)2(108
235)(
23][3]3[
5)]([5)](5[
22
sss
sssF
see
stutu
tt LL
LL
Kısmi kesirlere ayırma (basit kutuplar)
)())(()(
)()()(
21 nsssssssQ
sPsQsG
)()2()1()( 21
snsK
ssK
ssKsG snss
)())(()(
)()()(
13121
1
111
nsss ssssss
sQsPsQssK
Kısmi kesirlere ayırma (basit kutuplar)
)2)(1(3)(
ss
ssG)2()1(
)( 21
sK
sK
sG
1)21(3)2(
)2)(1(3)2(
2)12(3)1(
)2)(1(3)1(
22
11
s
s
ssssK
ssssK
)2(1
)1(2)(
sssG
tt eesGtg 21 2)()( L
Residue (Matlab)
>> [R,P,K] = residue([1 3],[1 3 2])
R =
-1
2
P =
-2
-1
K =
[]
mmjPsmjR
jPsjR
jPsjR
sKnPs
nRPsR
PsR
sAsB
))1(()1(
))1(()1(
)()(
)()(
)()2(
)2()1(
)1()()(
2
kökler; Katlı
kökler; Basit
12
21
233)( 2
ssss
ssG
Kısmi kesirlere ayırma (basit kutuplar)
)3)(2)(1(35)(
sssssG
)3()2()1()( 321
sK
sK
sKsG
6)32)(31(
3)3(5)()3(
7)23)(21(
3)2(5)()2(
1)13)(12(
3)1(5)()1(
33
22
11
s
s
s
sGsK
sGsK
sGsK
)3(6
)2(7
)1(1)(
sss
sG
ttt eeesGtg 321 67)()( L
10
Kısmi kesirlere ayırma (katlı kutuplar)
rirn ssssssss
sQsPsQsG
))(())(()(
)()()(
21
ri
r
ii
rn
rnsss
ssA
ssA
ssA
ssK
ssK
ssKsG
)()(
)()()()(
221
)(
2
2
1
1
i
i
i
i
ssr
ir
r
ssr
ir
ssr
ir
ssr
ir
sGssdsd
rA
sGssdsdA
sGssdsdA
sGssA
)()()!1(
1
)()(!2
1
)()(
)()(
1
1
1
2
2
2
1
(n-r) adet basit kutup
r adet katlı kutup
Kısmi kesirlere ayırma (katlı kutuplar)
)2()1(1)( 3
sss
sG3
32
2120
)1()1()1()2()(
sA
sA
sA
sK
sKsG
21)()2(
21)(
22
00
s
s
sGsK
ssGK
1)2(
1!2
1)()1(!2
1
0)2(
1)()1(
1)2(
1)()1(
12
2
13
2
2
1
11
32
11
33
ss
ss
ss
ssdsdsGs
dsdA
ssdsdsGs
dsdA
sssGsA
3)1(1
)1(1
)2(21
21)(
sssssG
Residue (Matlab)
sssssssssG
27951
)2()1(1)( 23453
R =
0.5000
-1.0000
-0.0000
-1.0000
0.5000
P =
-2.0000
-1.0000
-1.0000
-1.0000
0
K =
[]
[R,P,K] = residue([1],[1 5 9 7 2 0])
3)1(1
)1(1
)2(21
21)(
sssssG
ssssssG 5.0
)1(1
)1(0
)1(1
)2(5.0)( 32
Katsız Karmaşık Eşlenik Kutuplar
jj
jj
jj
sGjsK
sGjsK
jsK
jsK
sG
)()(
)()(
Re(s)
Im(s)
x
-x -
js
js
Diferansiyel Denklem Çözümü
0)0(')0(2862
2
yyydtdy
dtyd
Dif. Denk. ve başlangıçkoşulları
Her terime Laplace dönüşümü uygula
Y(s)’yi bul
Kısmi kesirlere ayır
Her terime ters Laplace dönüşümü uygula
ssYsYssYs /2)(8)(6)(2
)4()2(2)(
ssssY
)4(41
)2(21
41)(
sss
sY
4241)(
42 tt eety
F(s)=5/(s2+3s+2) nin ters Laplace Dönüşümü
)()55()]([
25
15)(
5|1
5|)()2(
5|2
5|)()1(
21235)(
21
222
111
212
tueesFf(t)
sssF
ssFsk
ssFsk
sk
sk
sssF
tt
ss
ss
L
:Sonuç
11
F(s)=(2s+3)/(s3+2s2+s) nin ters Laplace Dönüşümü
tt
s
ss
ss
ss
teetfsss
sF
sssk
ss
dsdsFs
dsdk
sssFsk
ssssFk
sk
sk
sksF
33)()1(
11
33)(
31
12|)1)(32()2(
|]32[|)]()1[()!12(
1
1|32|)()1(
3|)1(32|)(
)1(1)(
2
1221
112
21
112
22
0201
222211
F(s)=10/(s3+4s2+9s+10) nin ters Laplace Dönüşümü
)2sin()2cos(22)()4.1532cos(23.22)(
4.153/118.1)90/4)(4.63/236.2(
10)4)(21(
10)2121)(221(
10
|)21)(2(
10)()21(
2|4)1(
10|)()2(
21212)(
]2)1)[(2(10
109410)(
2
2
2
2
212
2221
*221
2223
teteetfteetf
k
jjjjjk
jsssFjsk
ssFsk
jsk
jsk
sksF
ssssssF
ttt
ott
ooo
js
ss