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DISTRIBUCIONES BIVARIANTES
1. Introducción
En el presente informe se tratara de las relaciones existentes entre dos variables.Supondremos que sobre cada individuo se miden u observan dos caracteres X eY, o equivalentemente, que sobre cada individuo se observa el carácter
bidimensional (X;Y). Cada observacin vendrá dada por un par ( x I ; y I ),!" i
"n, # por tanto a$ora los datos observados serán los n pares ( x
1 ; y
1 ),( x
2 ;
y2 ), ...,(
xn ; y
n ). %enotaremos por x
1 ,&, xk a las ' modalidades
distintas observadas del carácter X; # por y
1 ,&, y p a las p modalidades
distintas observadas del carácter Y. En eneral k # p no tienen porqu coincidir.E*emplo !.En cualquier caso, para reali+ar el análisis utili+aremos tablas estadsticas,representaciones ráficas # res-menes numricos.E*emplo !.
cada uno de !/ alumnos se le $a observadoX 0 n-mero de asinaturas aprobadas en el primer cuatrimestre eY 0 n-mero de asinaturas aprobadas en el seundo cuatrimestre, obteniendo lossiuientes resultados1
X 2 3 4 3 ! 3 5 3 2 3Y 3 5 4 2 2 4 4 2 3 2
Si X e Y son ambas variables, entonces a la representacin de los n pares observados enun sistema de e*es se le denomina nube de puntos.
2. Tabla de doble entrada
6ambin llamadas tablas de continencias, son aquellas tablas de datos referentes
a dos variables, formada, en las cabeceras de las filas, por las cateoras o
valores de una variable # en las de las columnas por los de la otra, # en las
casillas de la tabla, por las frecuencias o numero de elementos que re-nen a la
ve+ las dos cateoras o valores de las dos variables que se cru+an en cada
casilla. 7ara la tabulacin de un material arupado de observaciones simultáneas
de dos variables aleatorias necesitaremos una tabla descrita como anteriormente
lo describimos, las relas para arupar son las mismas que en el caso de una sola
variable.
Este tipo de tablas brindan informacin estadstica de dos eventos relacionados
entre s, es -til en casos en los cuales los experimentos son dependientes de otro
experimento.
Descrición.! En una tabla de doble entrada, los datos se muestran en columnas
# filas al iual que en las tablas. Sin embaro, en comparacin con las tablas,
cada columna tiene por lo menos un encabe+ado # cada fila tiene por lo menos un
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encabe+ado de fila. 8os datos correspondientes aparecen en la interseccin de los
encabe+ados de la columna # la fila1 esta seccin corresponde al 9cuerpo9.
E"e#lo$ de la tabla de doble entrada muestra el volumen de neocios por
prestacin # por trimestre. 8os rtulos de las prestaciones son encabe+ados de fila
#, los rtulos de trimestre son encabe+ados de columna. El volumen de neocios
para cada prestacin para cada trimestre aparece en el cuerpo.
7ara entender la disposicin de los elementos en una tabla de doble entrada,
imanese la tabla de doble entrada como un bloque terminado. 8os ob*etos que
se colocan en el cuadrante inferior i+quierdo de la tabla de doble entrada
proporcionan los datos para los encabe+ados de fila; los ob*etos colocados en el
cuadrante superior derec$o proporcionan los datos para los encabe+ados de
columna, # los ob*etos del cuadrante inferior derec$o proporcionan los datos para
el cuerpo de la tabla. :o puede colocar nin-n ob*eto en el cuadrante superior
i+quierdo.
Uso.! 7resentacin de la informacin en un formato multidimensional de filas #
columnas, donde cada elemento está asociado a otro. 7or e*emplo, un tipo de
prestacin podra estar asociado a un centro de vacaciones en particular.
I#ortante$ ranice los ob*etos en el orden en que desea que apare+can en el
bloque.
%epende de si el documento contiene secciones o no, la disposicin del cuerpo de
la tabla de doble entrada corresponde siempre a la orani+acin de los ob*etos del
panel <loque.
8os ob*etos de tipo indicador no se pueden utili+ar en los encabe+ados verticales u$ori+ontales; slo se pueden utili+ar en el cuerpo de la tabla de doble entrada.
7uede utili+ar más de un ob*eto en el cuerpo de la tabla de doble entrada.
7uede utili+ar varios ob*etos en los encabe+ados verticales u $ori+ontales. 7or
e*emplo, podra utili+ar los ob*etos 6ipos de prestaciones # 7restaciones en un
encabe+ado, de modo que tanto el tipo de prestaciones como las prestaciones se
muestren en la tabla de doble entrada.
8os ob*etos no tienen que formar parte de la misma clase. 7or e*emplo, podra
utili+ar los ob*etos 6ipo de prestaciones # Centro de vacaciones para mostrar
informacin por tipo de prestaciones por centro de vacaciones.
8o más importante as nos damos cuenta que la tabla de doble estrada se uti+ará
si se está estudiando 3 fenmenos como nos e*emplificaban en el aula peso #
edad.
%. &recuencias absolutas ' relati(as
La frecuencia (absoluta) conjunta del par (xi; y j), que denotaremos nij , esel número de veces que se observa dicho par. Se tiene que
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∑i=1
k
∑ j=1
p
nij−n
La frecuencia relativa conjunta del par (xi; y j), que denotaremos f ij , es laproporcin de veces que se observa dicho par, es decir,
f ij ! nij
n , " # i # $, " ≤ j # p
Se tiene que
∑i=1
k
∑ j=1
p
f ij−1
La frecuencia (absoluta) mar%inal de xi, que denotaremos ni&, es elnúmero de veces que ' presenta dicha modalidad. Se tiene que
ni& ∑ j=1
p
n ij
" # i # $,∑i=1
k
n i−n
La frecuencia relativa mar%inal de xi, que denotaremos f i&, es laproporcin de veces que ' presenta dicha modalidad. Se tiene que
f i !ni
n ! ∑ j=1
p
f ij , " ≤ j # $, ∑i=1
k
f i−1
La frecuencia (absoluta) mar%inal de y j , que denotaremos n&j , es elnúmero de veces que presenta dicha modalidad. Se tiene que
n&j ! ∑ j=1
k
n ij " # i # p, ∑ j=1
p
n j−n
La frecuencia relativa mar%inal de y j , que denotaremos f &j , es laproporcin de veces que presenta dicha modalidad. Se tiene que
f j !n j
n ! ∑i=1
k
f ij , " ≤ j # p, ∑ j=1
p
f j−1
*stas frecuencias se representan en una tabla llamada tabla defrecuencias conjuntas o
tabla de doble entrada como si%ue
%istribucin con*unta de (X;Y)
X=Y y
1 y
2 & y p
x" n"" n"+ n"p n"
x+ n+" n++ n+p n+ . . . . . . . . . . . . . . .
x$ n$" n$+ n$p n$
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n." n.+ ... n.p n
). Reresentación *r+,ica
Reresentación *ra,icas de tablas de doble entrada
Dia*ra#a de barras a*ruadas
-isto*ra#a de ,recuencia tridi#ensional
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Reresentación de datos indi(idualiados
Dia*ra#a de disersión o nube de untos
Se representa un punto en el plano para cada par de valores de la variablebidimensional.
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/. Distribuciones #ar*inales
-istribucin mar%inal de '' ni f ix" n" f "x+ n+ f + . . . . . . . . .'$ n$ f $ n "
-istribucin mar%inal de n&j f &jy" n&" f &"y+ n&+ f &+ . . .
. . . . . .yp n&p f &p n "
Son distribuciones de un carcter, y por tanto tiene sentido, para cadauna de ellas, calcular las medidas estudiadas anteriormente. /s0, si ' e son variables hablaremos de la media mar%inal de la variable ', x, la
varian1a mar%inal de la variable ', s2
' , la media mar%inal de la
variable , y, y la varian1a mar%inal de la variable , s2
.
*jemploLa tabla de frecuencias conjuntas con los datos del ejemplo " es'2 + 3 4 5 " 6 " 6 6 " + 6 3 " " 5 3 + 6 6 6 + 4 6 6 " 6 " 5 6 6 " 6 " + 4 3 " "6
0. Distribuciones condicionales
-e los n individuos en el estudio hay n&j con y j . 7odemos estar
interesados en estudiar el carcter ' en este subconjunto de los datos
ori%inales. / la distribucin de frecuencias del carcter ' en este
subconjunto, de8nido por aquellos individuos con y j , se le denomina
distribucin de ' condicionada a y j . *n esta distribucin ' presenta
las modalidades x", x+,, x$ con frecuencias (absolutas) condicionadas
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y frecuencias relativas condicionadas
Se tiene que
*jemplo 9on los datos del ejemplo ", la distribucin de frecuencias de 'condicionada a 3 es
*xisten p distribucionescondicionadas del carcter 'correspondientes a las distintasmodalidades de &
/nlo%amente podemosconsiderar la distribucinde condicionadaa ' xi, que presenta las
modalidades y", y+, , yp con frecuencias (absolutas) condicionadas
y frecuencias relativas condicionadas
veri:cando que
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*xisten $ distribuciones condicionadas del carcter correspondientes alas distintas modalidades de '&
Las distribuciones condicionadas son distribuciones de un carcter (enun subconjunto de los datos ori%inales), y por tanto tiene sentido, paracada una de ellas, calcular las medidas estudiadas en el tema anterior./s0, si ' es una variable, hablaremos de la media condicionalde la variable ' dado que la varian1a condicional
de la variable ' dado que ./nlo%amente, si es unavariable hablaremos de la media condicional de la variable dado que y la varian1a condicional de la variable dado que
. edia ' (ariana condicional
>edia aritmtica de la distribucin de Y condicionada a X
?arian+a de Y condicionada a X
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7ara cada una de las p variables condicionadas definimos sus respectivas#edia condicionada # (ariana condicionada mediante1
# lo mismo $acemos para las k condicionadas
Es interesante observar que podemos considerar que las observaciones de lavariable X $an sido arupadas en p subrupos, cada uno de ellos caracteri+ados
por la propiedad de que Y 0y j para al-n .
3. Co(ariana
La covarian1a es una medida de dependencia de las dos variables& si lacovarian1a es positiva, la relacin entre ' e es directa, es decir,cuando ' crece, tambin tiende a crecer, y viceversa. Si la covarian1aes ne%ativa, la relacin es inversa, o sea, cuando ' crece, tiende adecrecer, y viceversa. Si S' 6, se dice que las variables ' e sonincorreladas. La covarian1a entre ' e se de:ne como
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y una forma alternativa para el clculo de la covarian1acomputacionalmente ms e:ciente es
<tra forma de denotar la covarian1a entre dos variables es 9ov('; ).
Biblio*ra,ia
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$ttp1==ocB.usal.es=ciencias@sociales@!=estadistica@i=contenidos=6ema.pdf
$ttp1==virtual.uptc.edu.co=ova=estadistica=docs=libros=ftp.bioestadistica.uma.es=libro=
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$ttp1==BBB4.u*aen.es=Gmvalba=documentacion=tema3.pdf
$ttp1==BBB.lemat.unican.es=lemat=pro#ectoHlemat=estadistica=nivel!=teoria=estadisti
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