distribuciones bivariantes

8/17/2019 DISTRIBUCIONES BIVARIANTES

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DISTRIBUCIONES BIVARIANTES

1. Introducción

En el presente informe se tratara de las relaciones existentes entre dos variables.Supondremos que sobre cada individuo se miden u observan dos caracteres X eY, o equivalentemente, que sobre cada individuo se observa el carácter

bidimensional (X;Y). Cada observacin vendrá dada por un par ( x I ; y I ),!" i

"n, # por tanto a$ora los datos observados serán los n pares ( x

1 ; y

1 ),( x

2 ;

y2 ), ...,(

xn ; y

n ). %enotaremos por x

1 ,&, xk a las ' modalidades

distintas observadas del carácter X; # por y

1 ,&, y p a las p modalidades

distintas observadas del carácter Y. En eneral k # p no tienen porqu coincidir.E*emplo !.En cualquier caso, para reali+ar el análisis utili+aremos tablas estadsticas,representaciones ráficas # res-menes numricos.E*emplo !.

cada uno de !/ alumnos se le $a observadoX 0 n-mero de asinaturas aprobadas en el primer cuatrimestre eY 0 n-mero de asinaturas aprobadas en el seundo cuatrimestre, obteniendo lossiuientes resultados1

X 2 3 4 3 ! 3 5 3 2 3Y 3 5 4 2 2 4 4 2 3 2

Si X e Y son ambas variables, entonces a la representacin de los n pares observados enun sistema de e*es se le denomina nube de puntos.

2. Tabla de doble entrada

6ambin llamadas tablas de continencias, son aquellas tablas de datos referentes

a dos variables, formada, en las cabeceras de las filas, por las cateoras o

valores de una variable # en las de las columnas por los de la otra, # en las

casillas de la tabla, por las frecuencias o numero de elementos que re-nen a la

ve+ las dos cateoras o valores de las dos variables que se cru+an en cada

casilla. 7ara la tabulacin de un material arupado de observaciones simultáneas

de dos variables aleatorias necesitaremos una tabla descrita como anteriormente

lo describimos, las relas para arupar son las mismas que en el caso de una sola

variable.

Este tipo de tablas brindan informacin estadstica de dos eventos relacionados

entre s, es -til en casos en los cuales los experimentos son dependientes de otro

experimento.

Descrición.! En una tabla de doble entrada, los datos se muestran en columnas

# filas al iual que en las tablas. Sin embaro, en comparacin con las tablas,

cada columna tiene por lo menos un encabe+ado # cada fila tiene por lo menos un



encabe+ado de fila. 8os datos correspondientes aparecen en la interseccin de los

encabe+ados de la columna # la fila1 esta seccin corresponde al 9cuerpo9.

E"e#lo$ de la tabla de doble entrada muestra el volumen de neocios por

prestacin # por trimestre. 8os rtulos de las prestaciones son encabe+ados de fila

#, los rtulos de trimestre son encabe+ados de columna. El volumen de neocios

para cada prestacin para cada trimestre aparece en el cuerpo.

7ara entender la disposicin de los elementos en una tabla de doble entrada,

imanese la tabla de doble entrada como un bloque terminado. 8os ob*etos que

se colocan en el cuadrante inferior i+quierdo de la tabla de doble entrada

proporcionan los datos para los encabe+ados de fila; los ob*etos colocados en el

cuadrante superior derec$o proporcionan los datos para los encabe+ados de

columna, # los ob*etos del cuadrante inferior derec$o proporcionan los datos para

el cuerpo de la tabla. :o puede colocar nin-n ob*eto en el cuadrante superior

i+quierdo.

Uso.! 7resentacin de la informacin en un formato multidimensional de filas #

columnas, donde cada elemento está asociado a otro. 7or e*emplo, un tipo de

prestacin podra estar asociado a un centro de vacaciones en particular.

I#ortante$ ranice los ob*etos en el orden en que desea que apare+can en el

bloque.

%epende de si el documento contiene secciones o no, la disposicin del cuerpo de

la tabla de doble entrada corresponde siempre a la orani+acin de los ob*etos del

panel <loque.

8os ob*etos de tipo indicador no se pueden utili+ar en los encabe+ados verticales u$ori+ontales; slo se pueden utili+ar en el cuerpo de la tabla de doble entrada.

7uede utili+ar más de un ob*eto en el cuerpo de la tabla de doble entrada.

7uede utili+ar varios ob*etos en los encabe+ados verticales u $ori+ontales. 7or

e*emplo, podra utili+ar los ob*etos 6ipos de prestaciones # 7restaciones en un

encabe+ado, de modo que tanto el tipo de prestaciones como las prestaciones se

muestren en la tabla de doble entrada.

8os ob*etos no tienen que formar parte de la misma clase. 7or e*emplo, podra

utili+ar los ob*etos 6ipo de prestaciones # Centro de vacaciones para mostrar

informacin por tipo de prestaciones por centro de vacaciones.

8o más importante as nos damos cuenta que la tabla de doble estrada se uti+ará

si se está estudiando 3 fenmenos como nos e*emplificaban en el aula peso #

edad.

%. &recuencias absolutas ' relati(as

La frecuencia (absoluta) conjunta del par (xi; y j), que denotaremos nij , esel número de veces que se observa dicho par. Se tiene que



∑i=1

k

∑ j=1

p

nij−n

La frecuencia relativa conjunta del par (xi; y j), que denotaremos f ij , es laproporcin de veces que se observa dicho par, es decir,

f ij ! nij

n , " # i # $, " ≤ j # p

Se tiene que

∑i=1

k

∑ j=1

p

f ij−1

La frecuencia (absoluta) mar%inal de xi, que denotaremos ni&, es elnúmero de veces que ' presenta dicha modalidad. Se tiene que

ni& ∑ j=1

p

n ij

" # i # $,∑i=1

k

n i−n

La frecuencia relativa mar%inal de xi, que denotaremos f i&, es laproporcin de veces que ' presenta dicha modalidad. Se tiene que

f i !ni

n ! ∑ j=1

p

f ij , " ≤ j # $, ∑i=1

k

f i−1

La frecuencia (absoluta) mar%inal de y j , que denotaremos n&j , es elnúmero de veces que presenta dicha modalidad. Se tiene que

n&j ! ∑ j=1

k

n ij " # i # p, ∑ j=1

p

n j−n

La frecuencia relativa mar%inal de y j , que denotaremos f &j , es laproporcin de veces que presenta dicha modalidad. Se tiene que

f j !n j

n ! ∑i=1

k

f ij , " ≤ j # p, ∑ j=1

p

f j−1

*stas frecuencias se representan en una tabla llamada tabla defrecuencias conjuntas o

tabla de doble entrada como si%ue

%istribucin con*unta de (X;Y)

X=Y y

1 y

2 & y p

x" n"" n"+ n"p n"

x+ n+" n++ n+p n+ . . . . . . . . . . . . . . .

x$ n$" n$+ n$p n$



n." n.+ ... n.p n

). Reresentación *r+,ica

Reresentación *ra,icas de tablas de doble entrada

Dia*ra#a de barras a*ruadas

-isto*ra#a de ,recuencia tridi#ensional



Reresentación de datos indi(idualiados

Dia*ra#a de disersión o nube de untos

Se representa un punto en el plano para cada par de valores de la variablebidimensional.



/. Distribuciones #ar*inales

-istribucin mar%inal de '' ni f ix" n" f "x+ n+ f + . . . . . . . . .'$ n$ f $ n "

-istribucin mar%inal de n&j f &jy" n&" f &"y+ n&+ f &+ . . .

. . . . . .yp n&p f &p n "

Son distribuciones de un carcter, y por tanto tiene sentido, para cadauna de ellas, calcular las medidas estudiadas anteriormente. /s0, si ' e son variables hablaremos de la media mar%inal de la variable ', x, la

varian1a mar%inal de la variable ', s2

' , la media mar%inal de la

variable , y, y la varian1a mar%inal de la variable , s2

.

*jemploLa tabla de frecuencias conjuntas con los datos del ejemplo " es'2 + 3 4 5 " 6 " 6 6 " + 6 3 " " 5 3 + 6 6 6 + 4 6 6 " 6 " 5 6 6 " 6 " + 4 3 " "6

0. Distribuciones condicionales

-e los n individuos en el estudio hay n&j con y j . 7odemos estar

interesados en estudiar el carcter ' en este subconjunto de los datos

ori%inales. / la distribucin de frecuencias del carcter ' en este

subconjunto, de8nido por aquellos individuos con y j , se le denomina

distribucin de ' condicionada a y j . *n esta distribucin ' presenta

las modalidades x", x+,, x$ con frecuencias (absolutas) condicionadas



y frecuencias relativas condicionadas

Se tiene que

*jemplo 9on los datos del ejemplo ", la distribucin de frecuencias de 'condicionada a 3 es

*xisten p distribucionescondicionadas del carcter 'correspondientes a las distintasmodalidades de &

/nlo%amente podemosconsiderar la distribucinde condicionadaa ' xi, que presenta las

modalidades y", y+, , yp con frecuencias (absolutas) condicionadas

y frecuencias relativas condicionadas

veri:cando que



*xisten $ distribuciones condicionadas del carcter correspondientes alas distintas modalidades de '&

Las distribuciones condicionadas son distribuciones de un carcter (enun subconjunto de los datos ori%inales), y por tanto tiene sentido, paracada una de ellas, calcular las medidas estudiadas en el tema anterior./s0, si ' es una variable, hablaremos de la media condicionalde la variable ' dado que la varian1a condicional

de la variable ' dado que ./nlo%amente, si es unavariable hablaremos de la media condicional de la variable dado que y la varian1a condicional de la variable dado que

. edia ' (ariana condicional

>edia aritmtica de la distribucin de Y condicionada a X

?arian+a de Y condicionada a X



7ara cada una de las p variables condicionadas definimos sus respectivas#edia condicionada # (ariana condicionada mediante1

# lo mismo $acemos para las k condicionadas

Es interesante observar que podemos considerar que las observaciones de lavariable X $an sido arupadas en p subrupos, cada uno de ellos caracteri+ados

por la propiedad de que Y 0y j para al-n .

3. Co(ariana

La covarian1a es una medida de dependencia de las dos variables& si lacovarian1a es positiva, la relacin entre ' e es directa, es decir,cuando ' crece, tambin tiende a crecer, y viceversa. Si la covarian1aes ne%ativa, la relacin es inversa, o sea, cuando ' crece, tiende adecrecer, y viceversa. Si S' 6, se dice que las variables ' e sonincorreladas. La covarian1a entre ' e se de:ne como



y una forma alternativa para el clculo de la covarian1acomputacionalmente ms e:ciente es

<tra forma de denotar la covarian1a entre dos variables es 9ov('; ).

Biblio*ra,ia

$ttp1==edelmirac$ocoo*@edelmira.blospot.com=3//A=/2=tabla@de@doble@entrada.$tml

$ttp1==ocB.usal.es=ciencias@sociales@!=estadistica@i=contenidos=6ema.pdf

$ttp1==virtual.uptc.edu.co=ova=estadistica=docs=libros=ftp.bioestadistica.uma.es=libro=

node2D.$tmSEC6F://24/!//////////////

$ttp1==BBB4.u*aen.es=Gmvalba=documentacion=tema3.pdf

$ttp1==BBB.lemat.unican.es=lemat=pro#ectoHlemat=estadistica=nivel!=teoria=estadisti

ca!!.$tm

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