PredikatiPredikatiPredikati
Na prethodnim predavanjima izv rsili smo logicku analizu slozenih iskaza,
onih koji se sastoje od jednostavnijih iskaza koji su povezani logickim
veznicima.
Takva analiza pojasnjava mnoge aspekte ljudskog zakljucivanja, ali ipak
nije dovoljna za razmatranje mnogo slozenijih tvrdenja koja se javljaju
u matematici.
Na primer, iskaznim formulama se ne mogu izraziti tvrdenja poput
”Postoji element skupa X koji nije element skupa Y ”,
”x + y > 0”,
”x = y + 3”, i slicno.
Logickom i simbolickom analizom takvih tvrdenja bavi se predikatska
logika, kojom cemo se mi baviti u nastavku.
Diskretne strukture – 2 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 2 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 2 – Predikatska logika - I deo
PredikatiPredikatiPredikati
U matematici se cesto radi sa recenicama koje u sebe ukljucuju promen-
ljive, poput sledecih
”x > 3”, ”x = y + 3”, ”x + y = z”.
Prvo sto kod ovakvih recenica mozemo primetiti je to da ne mozemo
govoriti o njihovoj istinitosti ili neistinitosti sve dok promenljivim x, y
i z ne dodelimo neke konkretne vrednosti.
Na primer, ako u ”x > 3” promenljivoj x dodelimo vrednost 5, onda
dobijamo tacan iskaz, ali ako joj dodelimo vrednost 1, dobijamo netacan
iskaz, ali bilo koju konkretnu vrednost da dodelimo promenljivoj x, uvek
dobijamo iskaz.
Drugo, mozemo primetiti da recenica ”x je vece od 3” ima dva dela.
Prvi deo je promenljiva x, koja ovde ima ulogu subjekta.
Diskretne strukture – 3 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 3 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 3 – Predikatska logika - I deo
PredikatiPredikatiPredikati
Drugi deo ove recenice, ”je vece od 3” je predikat koji ukazuje na
svojstvo koje subjekat moze imati.
Recenicu ”x je vece od 3” mozemo oznaciti sa P (x), gde P oznacava
predikat, a x je promenljiva.
Pri ovakvom nacinu oznacavanja, kada promenljivoj x dodelimo neku
konkretnu vrednost a, onda P (x) postaje iskaz P (a) koji ima svoju
istinitosnu vrednost.
Na primer, P (5) je tacan iskaz, a P (1) je netacan iskaz.
Recenicu ”x = y+3”, u kojoj se javljaju dve promenljive x i y mozemo
oznaciti sa Q(x, y), gde je Q predikat, a ”x+y = z”, sa tri promenljive
x, y i z, oznacavamo sa R(x, y, z), gde je R predikat.
Diskretne strukture – 4 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 4 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 4 – Predikatska logika - I deo
PredikatiPredikatiPredikati
U prethodnim slucajevima, za predikat P , koji deluje na jednu promen-
ljivu, govoricemo da je unarni predikat.
Za predikat Q, koji deluje na dve promenljive, govoricemo da je binarni
predikat, a za predikat R, koji deluje na tri promenljive, govoricemo da
je ternarni predikat.
U opstem slucaju, za P predikat koji deluje na n promenljivih x1, x2,
. . . , xn, gde je n prirodan broj, pisemo
P (x1, x2, . . . , xn)
i kazemo da je P n-arni predikat.
Izraz P (x1, x2, . . . , xn) nazivamo iskaznom funkcijom, jer dodeljiva-
njem konkretnih vrednosti promenljivim dobijamo tacan ili netacan
iskaz.
Diskretne strukture – 5 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 5 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 5 – Predikatska logika - I deo
PredikatiPredikatiPredikati
Primer 1: Neka je Q(x, y) oznaka za ”x = y + 3”.
Tada je Q(1, 2) oznaka za ”1 = 2+3”, sto je ocigledno netacan iskaz.
Sa druge strane, Q(3, 0) je oznaka za ”3 = 0 + 3”, sto je tacan iskaz.
Primer 2: Neka je R(x, y, z) oznaka za ”x + y = z”.
Tada je R(1, 2, 3) oznaka za ”1 + 2 = 3”, sto je tacan iskaz.
Sa druge strane, R(0, 0, 1) je oznaka za ”0 + 0 = 1”, sto je netacan
iskaz.
Diskretne strukture – 6 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 6 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 6 – Predikatska logika - I deo
KvantifikatoriKvantifikatoriKvantifikatori
Kao sto smo videli u prethodnim razmatranjima, kada se promenljivim
u iskaznoj funkciji dodele konkretne vrednosti, onda ta iskazna funkcija
postaje iskaz sa izvesnom istinitosnom vrednoscu.
Medutim, postoji i drugi vazan nacin da se od iskazne funkcije nacini
iskaz, koji se naziva kvantifikovanje.
Ovde cemo razmatrati dva tipa kvantifikovanja – univerzalno kvan-
tifikovanje i egzistencijalno kvantifikovanje.
Veliki broj matematickih tvrdenja tvrdi da nesto vazi za sve vrednosti
koja promenljiva moze da uzme u nekom datom skupu.
Taj skup u kome promenljiva uzima svoje vrednosti naziva se univerzum
razmatranja ili domen.
Drugim recima, univerzum razmatranja specifikuje sve moguce vred-
nosti koje promenljiva x moze da uzme.
Diskretne strukture – 7 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 7 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 7 – Predikatska logika - I deo
Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikator
Univerzalna kvantifikacija iskazne funkcije P (x) je iskaz
”P (x) je tacno za sve vrednosti promenljive x u datom univerzumu
razmatranja.”
Ovaj iskaz simbolicki zapisujemo kao
(∀x) P (x) ili ∀x P (x)
pri cemu kazemo sledece:
❏ (∀x)P (x) je univerzalni kvantifikator;
❏ P (x) je oblast dejstva ovog kvantifikatora;
❏ promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;
❏ simbol ∀ citamo ”za svaki”, ”za svaku”, ”za svako” ili ”za sve”,
odnosno, (∀x) P (x) citamo ”za svako x P (x)” ili ”za sve x P (x)”.
Diskretne strukture – 8 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 8 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 8 – Predikatska logika - I deo
Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikator
Kvantifikator i vezana promenljiva koja sledi treba da se tretiraju kao
celina, i ta celina deluje poput unarnog veznika.
Tvrdenja koja sadrze reci ”svaki”, ”svako”, ”svi”, ”bilo koji”, ”ma koji”
i slicno, obicno ukazuju na univerzalnu kvantifikaciju.
Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa ”za svaki x”,
sto se potom prevodi u ∀x.
Diskretne strukture – 9 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 9 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 9 – Predikatska logika - I deo
Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikator
Primer 3: Neka je P (x) oznaka za ”x + 1 > x”. Koja je istinitosna
vrednost iskaza (∀x) P (x), ako za univerzum razmatranja
uzmemo skup svih realnih brojeva.
Resenje: Imamo da je P (x) tacno za svaku vrednost koju promenljiva
x uzme u skupu realnih brojeva, sto znaci da je (∀x) P (x) tacan iskaz.
Primer 4: Neka je Q(x) oznaka za ”x < 2”. Koja je istinitosna
vrednost iskaza (∀x) Q(x), ako je univerzum razmatranja
skup svih realnih brojeva.
Resenje: Imamo da je Q(x) nije tacno za svaku vrednost koju promen-
ljiva x uzme u skupu realnih brojeva, jer, na primer, nije tacno Q(3),
a to znaci da je (∀x) Q(x) netacan iskaz.
Diskretne strukture – 10 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 10 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 10 – Predikatska logika - I deo
Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikator
Napomena 1: Ako je univerzum razmatranja konacan skup, i svi
njegovi elementi su a1, a2, . . . , an, tada je univerzalni
kvantifikator (∀x) P (x) isto sto i konjunkcija
P (a1) ∧ P (a2) ∧ · · · ∧ P (an).
Naime, (∀x) P (x) tacan iskaz ako i samo ako su tacni svi iskazi P (a1),
P (a2), . . . , P (an).
Prema tome, univerzalnu kvantifikaciju mozemo shvatiti kao neku vrstu
uopstenja konjunkcije, i videcemo da ima mnoga ista ili slicna svojstva
koja ima i konjunkcija.
Diskretne strukture – 11 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 11 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 11 – Predikatska logika - I deo
Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikator
Napomena 2: Precizno odredivanje univerzuma razmatranja je vrlovazno kada se koriste kvantifikatori.
Naime, istinitosna vrednost kvantifikovanog iskaza jako zavisi od toga
koji univerzum razmatranja je izabran. Na primer, istinitosna vrednost
izkaza (∀x) (x2 > x) zavisi od toga da li smo za univerzum razmatranja
izabrali skup realnih brojeva ili skup prirodnih brojeva.
Primetimo da je x2 > x ako i samo ako je x2 − x > 0, odnosno
x(x − 1) > 0. Prema tome, x2 > x ako i samo ako je x 6 0 ili x > 1.
Dakle, iskaz (∀x) (x2 > x) je netacan ako je univerzum razmatranja
skup realnih brojeva, jer x2 > x nije tacno za sve realne brojeve, jer
nije tacno za realne brojeve x za koje vazi 0 < x < 1.
Medutim, x2 > x je tacno za sve prirodne brojeve, i (∀x) (x2 > x) je
tacan iskaz ako je univerzum razmatranja skup prirodnih brojeva.
Diskretne strukture – 12 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 12 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 12 – Predikatska logika - I deo
Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikator
Napomena 3: Da bi se za iskaz oblika (∀x) P (x) dokazalo da je
netacan, dovoljno je naci bar jednu vrednost promen-
ljive x u datom univerzumu razmatranja za koju je P (x) netacno.
Takva vrednost promenljive x naziva se kontraprimer iskaza (∀x) P (x).
Na primer, kada smo napred pokazali da iskaz (∀x) (x2 > x) nije tacan
ako je univerzum razmatranja skup realnih brojeva, kontraprimer je bio
svaki realan broj x za koji vazi 0 < x < 1.
Diskretne strukture – 13 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 13 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 13 – Predikatska logika - I deo
Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikator
Mnogi iskazi u matematici tvrde da postoji element nekog skupa sa izves-
nim svojstvom, i njih izrazavamo uz pomoc egzistencijalne kvantifikacije.
Egzistencijalna kvantifikacija iskazne funkcije P (x) je iskaz
”postoji vrednost promenljive x u datom univerzumu razmatranja
za koju je P (x) tacno.”
Ovaj iskaz simbolicki zapisujemo kao
(∃x) P (x) ili ∃x P (x)
pri cemu kazemo sledece:
❏ (∃x)P (x) je egzistencijalni kvantifikator;
❏ P (x) je oblast dejstva ovog kvantifikatora;
❏ promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;
❏ simbol ∃ citamo ”postoji”, odnosno (∃x) P (x) citamo ”postoji x
tako da vazi A” ili ”postoji x tako da A”.
Diskretne strukture – 14 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 14 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 14 – Predikatska logika - I deo
Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikator
Tvrdenja koja sadrze reci ”neki”, ”za neki”, ”bar jedan” i slicno, obicno
ukazuju na egzistencijalnu kvantifikaciju.
Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa ”postoji x
tako da”, sto se potom prevodi u ∃x.
Na primer, neka je P (x) predikat ”voleti sirovo meso”.
Tada je (∃x)P (x) oznaka za
”Postoje ljudi koji vole sirovo meso”
ili
”Neki ljudi vole sirovo meso”.
Diskretne strukture – 15 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 15 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 15 – Predikatska logika - I deo
Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikator
Primer 5: Neka je P (x) oznaka za ”x > 3”. Koja je istinitosna
vrednost iskaza (∃x) P (x), ako za univerzum razmatranja
uzmemo skup svih realnih brojeva.
Resenje: Na primer, imamo da je P (x) tacno za vrednost x = 4, i
dakle, (∃x) P (x) je tacan iskaz.
Primer 6: Neka je Q(x) oznaka za ”x = x + 1”. Koja je istinitosna
vrednost iskaza (∃x) Q(x), ako je univerzum razmatranja
skup svih realnih brojeva.
Resenje: Kako je Q(x) netacno za svaku vrednost koju promenljiva x
uzme u skupu realnih brojeva, to je iskaz (∃x) Q(x) netacan.
Diskretne strukture – 16 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 16 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 16 – Predikatska logika - I deo
Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikator
Napomena 4: Ako je univerzum razmatranja konacan skup, i svi
njegovi elementi su a1, a2, . . . , an, tada je egzisten-
cijalni kvantifikator (∀x) P (x) isto sto i disjunkcija
P (a1) ∨ P (a2) ∨ · · · ∨ P (an).
Naime, (∃x) P (x) tacan iskaz ako i samo ako je tacan bar jedan od
iskaza P (a1), P (a2), . . . , P (an).
Prema tome, egzistencijalnu kvantifikaciju mozemo shvatiti kao neku
vrstu uopstenja disjunkcije, i videcemo da ima mnoga ista ili slicna
svojstva koja ima i disjunkcija.
Diskretne strukture – 17 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 17 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 17 – Predikatska logika - I deo
Napomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorima
Narednom tabelom dajemo kratku rekapitulaciju znacenja univerzalnog
i egzistencijalnog kvantifikatora:
TABELA 1 Kvantifikatori
Iskaz Kada je tacan? Kada je netacan?
(∀x) P (x) P (x) je tacno za svako x Postoji x za koje je P (x) netacno
(∃x) P (x) Postoji x za koje je P (x) tacno P (x) je netacno za svako x
Diskretne strukture – 18 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 18 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 18 – Predikatska logika - I deo
Napomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorima
Ponekad je korisno razmisljati o kvantifikovanju kao o petljama koje
koristimo u programiranju.
Neka se univerzum razmatranja sastoji od n objekata a1, a2, . . . , an.
Da bi odredili istinitosnu vrednost iskaza (∀x) P (x), mozemo formirati
petlju kojom, jednu po jednu, utvrdujemo istinitosne vrednosti iskaza
P (a1), P (a2), . . . , P (an).
Ukoliko utvrdimo da je neki od tih iskaza netacan, zavrsavamo postupak
i utvrdujemo da je iskaz (∀x) P (x) netacan.
U suprotnom, ako smo prosli kroz celu petlju i time ustanovili da su
svi iskazi P (a1), P (a2), . . . , P (an) tacni, onda utvrdujemo da je iskaz
(∀x) P (x) tacan.
Diskretne strukture – 19 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 19 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 19 – Predikatska logika - I deo
Napomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorima
Slicno, da bi odredili istinitosnu vrednost iskaza (∃x) P (x), mozemo
formirati petlju kojom, jednu po jednu, utvrdujemo istinitosne vrednosti
iskaza P (a1), P (a2), . . . , P (an).
Ukoliko utvrdimo da je neki od tih iskaza tacan, zavrsavamo postupak
i utvrdujemo da je iskaz (∃x) P (x) tacan.
U suprotnom, ako smo prosli kroz celu petlju i time ustanovili da su svi
iskazi P (a1), P (a2), . . . , P (an) netacni, onda utvrdujemo da je iskaz
(∃x) P (x) netacan.
Diskretne strukture – 20 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 20 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 20 – Predikatska logika - I deo
Vezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljive
Potsetimo se da se u (∀x) P (x), odnosno (∃x) P (x), iskazna funkcija
P (x) naziva oblast dejstva kvantifikatora ∀x, odnosno ∃x.
❏ Za pojavljivanje promenljive x u samom zapisu kvantifikatora ∀x ili
∃x, ili u oblasti dejstva jednog od tih kvantifikatora, kazemo da je
vezano pojavljivanje, a za promenljivu x da je vezana.
Na primer, u izrazu (∀x)(P (x) ⇒ Q(x)) promenljiva x se javlja tri
puta, i sva tri pojavljivanja su vezana.
❏ Pojavljivanje promenljive koji nije vezano naziva se slobodno pojav-
ljivanje, a promenljiva se naziva slobodnom.
Kasnije cemo videti da ista promenljiva u jednoj formuli moze imati i
vezana i slobodna pojavljivanja.
U takvim slucajevima je neophodno jasno istaci poziciju na kojoj se
javlja promenljiva o kojoj govorimo.
Diskretne strukture – 21 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 21 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 21 – Predikatska logika - I deo
Vezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljive
Primer 7: Odrediti vezane i slobodne promenljive u
(∀z)(P (z) ∧ Q(x)) ∨ (∃y)Q(y).
Jedino pojavljivanje promenljive x je slobodno, jer na x ne deluje nije-
dan kvantifikator. Sva pojavljivanja promenljivih z i y su vezana.
Primer 8: Odrediti vezane i slobodne promenljive u
(∃x)(P (x) ∧ Q(x)) ∨ (∀x)R(x).
Ovde su sva pojavljivanja promenljive x vezana. Oblast dejstva kvantifi-
katora ∃x je P (x) ∧ Q(x), jer ∃x deluje samo na taj izraz.
Primetimo i da se u sustini nista ne menja ako gornji iskaz zapisemo sa
dve razlicite promenljive x i y, tj. kao (∃x)(P (x)∧Q(x))∨ (∀y)R(y).
Diskretne strukture – 22 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 22 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 22 – Predikatska logika - I deo
Vezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljive
Napomena 5: Da bi se kvantifikovanjem iskazna funkcija pretvorila u
iskaz, tim kvantifikovanjem moraju biti vezane sve
promenljive koje se javljaju u toj iskaznoj funkciji.
Na primer,
(∀z)(P (z) ∧ Q(x)) ∨ (∃y)Q(y).
nije iskaz, jer je promenljiva x slobodna, i istinitost tog izraza zavisi od
toga koju ce vrednost ta promenljiva uzeti u univerzumu razmatranja.
Sa druge strane, sve promenljive u
(∃x)(P (x) ∧ Q(x)) ∨ (∀y)R(y)
su vezane, i taj izraz predstavlja iskaz.
Diskretne strukture – 23 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 23 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 23 – Predikatska logika - I deo
Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora
Cesto se javlja potreba da razmatramo negaciju kvantifikovanog izraza.
Na primer, razmotrimo tvrdenje
”Svaki student u grupi pohada kurs iz matematike”.
Ako je univerzum razmatranja skup svih studenata iz date grupe, ovo
tvrdenje se moze prevesti sa (∀x)P (x), gde P (x) znaci ”x pohada
kurs iz matematike”.
Negacija ovog tvrdenja je ”Nije tacno da svaki student u grupi pohada
kurs iz matematike”, sto je ekvivalentno sa
”Postoji student u grupi koji ne pohada kurs iz matematike”
a to se moze izraziti sa (∃x)¬P (x).
Ovaj primer ilustruje sledecu logicku ekvivalenciju
¬(∀x) P (x) ≡ (∃x) ¬P (x)
Diskretne strukture – 24 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 24 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 24 – Predikatska logika - I deo
Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora
Sa druge strane, razmotrimo tvrdenje
”Postoji student u grupi koji pohada kurs iz matematike”.
Ako je univerzum razmatranja skup svih studenata iz te grupe, ovo se
moze prevesti sa (∃x)P (x), gde je P (x) tvrdenje ”x pohada kurs iz
matematike”.
Negacija ovog tvrdenja je ”Nije tacno da postoji student u grupi koji
pohada kurs iz matematike”, sto je ekvivalentno sa
”Svaki student u grupi ne pohada kurs iz matematike”
a to se moze izraziti sa (∀x)¬P (x)
Ovaj primer ilustruje logicku ekvivalenciju
¬(∃x) P (x) ≡ (∀x) ¬P (x)
Diskretne strukture – 25 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 25 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 25 – Predikatska logika - I deo
Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora
Zapazanja vezana za negaciju kvantifikatora mogu se prikazati sledecom
tabelom:
TABELA 1 Negacija kvantifikatora
Negacija Ekvivalentan
izraz
Kada je negacija
tacna?
Kada je negacija
netacna?
¬(∃x)P (x) (∀x)¬P (x) P (x) je netacno za
svako x
Postoji x za koje je
P (x) tacno
¬(∀x)P (x) (∃x)¬P (x) Postoji x za koje je
P (x) netacno
P (x) je tacno za
svako x
Diskretne strukture – 26 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 26 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 26 – Predikatska logika - I deo
Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora
Napomena 6: Neka se univerzum razmatranja sastoji od n objekata
a1, a2, . . . , an.
Na osnovu Napomena 1 i 4 i DeMorganovih zakona za konjunkciju i
disjunkciju imamo da je
¬(∀x) P (x) ≡ ¬(P (a1) ∧ P (a2) ∧ · · · ∧ P (an))
≡ ¬P (a1) ∨ ¬P (a2) ∨ · · · ∨ ¬P (an))
≡ (∃x) ¬P (x)
¬(∃x) P (x) ≡ ¬(P (a1) ∨ P (a2) ∨ · · · ∨ P (an))
≡ ¬P (a1) ∧ ¬P (a2) ∧ · · · ∧ ¬P (an))
≡ (∀x) ¬P (x)
Diskretne strukture – 27 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 27 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 27 – Predikatska logika - I deo
Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora
Odavde se vidi da logicke ekvivalencije
¬(∀x) P (x) ≡ (∃x) ¬P (x)
¬(∃x) P (x) ≡ (∀x) ¬P (x)
predstavljaju uopstenje DeMorganovih zakona za konjunkciju i disjunk-
ciju, pa ih nazivamo DeMorganovi zakoni za kvantifikatore.
Diskretne strukture – 28 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 28 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 28 – Predikatska logika - I deo
Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora
Primer 9: Odrediti negaciju iskaza
(a) ”Postoji posten politicar”;
(b) ”Svi Amerikanci jedu cizburgere”.
Resenje: (a) Ako je P (x) oznaka za ”x je posten”, tada gornje tvrdje-
nje postaje (∃x) P (x).
Kao sto smo videli, negacija ovog iskaza je (∀x) ¬P (x), odnosno
”Svaki politicar je neposten”.
Napomenimo da se u obicnom govoru ponekad kaze ”Svi politicari nisu
posteni”, sto nije sasvim precizno, jer cesto znaci i ”Nisu svi politicari
posteni”, a to, jasno, ima drugacije znacenje od gornjeg iskaza.
Ovo je jos jedan primer koji pokazuje da se veoma mnogo mora voditi
racuna o preciznoj formulaciji iskaza.
Diskretne strukture – 29 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 29 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 29 – Predikatska logika - I deo
Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora
(b) Ako je Q(x) oznaka za ”x jede cizburgere”, tada gornje tvrdjenje
postaje (∀x) Q(x), a negacija toga je (∃x) ¬Q(x), sto se moze iskazati
sa
”Postoji Amerikanac koji ne jede cizburgere”,
ili sa
”Neki Amerikanci ne jedu cizburgere”.
Diskretne strukture – 30 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 30 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 30 – Predikatska logika - I deo
Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora
Primer 10: Odrediti negaciju iskaza
(a) (∀x) (x2 > x);
(b) (∃x) (x2 = 2).
Resenje: (a) Negacija od (∀x) (x2 > x) je iskaz ¬(∀x) (x2 > x), koji
je ekvivalentan sa (∃x) ¬(x2 > x), a ovaj iskaz se moze zapisati u
obliku (∃x) (x2 6 x).
(b) Negacija od (∃x) (x2 = 2) je iskaz ¬(∃x) (x2 = 2), koji je ekviva-
lentan sa (∀x) ¬(x2 = 2), sto se moze zapisati u obliku (∀x) (x2 6= 2).
Istinitosna vrednost svih ovih iskaza zavisi od univerzuma razmatranja
sa kojim cemo raditi.
Diskretne strukture – 31 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 31 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 31 – Predikatska logika - I deo