Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Departamento de Aeronáutica
Mecanismos y Sistemas de Aeronaves
Reguladores
0.-Introducción. Pag. 2
1.-Reguladores – clasificación. Pag.2 a 4
2.-Reguladores a fuerza centrífuga. Pag. 5 a 19
3.-Reguladores en sistemas de hélices de paso variable.- Regulador tipo Hartnell.
Pag.19
4.-Reguladores axiales. Pag. 19 a 29
4.1- Regulador a péndulo. Pag. 19 a 26
4.2- Regulador a volante. Pag. 26 a 29
Apéndice de estabilidad.
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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En muchos procesos y aplicaciones mecánicas, sobre todo las aeronáuticas, es necesario mantener
los valores de ciertas magnitudes de estos, dentro de límites preestablecidos.
Dichos procesos deben ser controlados entonces manual o automáticamente.
Un esquema básico de control puede ser el siguiente:
Para el caso de una aeronave que hay que controlar, el piloto seria el órgano de control (control
manual).
Para el caso de maquinas en las cuales se requiere controlar su velocidad, es decir mantenerla
dentro de límites preestablecidos, debido al surgimiento de variaciones en los pares motores y/o
resistentes, el mecanismo que hace las funciones de sensor y de organo de control, es un
regulador.
1.-Reguladores – Clasificación.
Un regulador es un dispositivo capaz de graduar automáticamente la potencia de una máquina,
que varía continuamente.
El regulador participa del movimiento de la máquina a la que pertenece, de manera que un cambio
en su velocidad, por ejemplo, debido a una variación en la carga, produce correspondientemente
un cambio en las partes móviles del regulador, que a su vez, mediante un adecuado mecanismo,
hace cambiar la presión ó la cantidad de fluido de un determinado mecanismo (vapor, nafta, etc.)
suministrado a la maquina.
Desviaciones Sistema
controlado Instrumento
ó sensor
Organo de
comando.
Organo de
control
Perturbaciones
Señales Acción de
corrección
Corrección.
(orden)
Figura 1
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Esquema básico de un regulador:
La acción de un regulador no debe confundirse con la del volante de inercia de un motor. Este,
que actúa como un almacenador de energía, es útil para regular la velocidad durante intervalos de
tiempo pequeños del ciclo de un motor, mientras que la función del regulador es regular la
velocidad durante intervalos mucho mayores, manteniendo un equilibrio entre la energía
suministrada al motor y la resistencia a vencer.
En síntesis, los reguladores son dispositivos destinados a oponerse a eventuales perturbaciones de
un movimiento uniforme.
De acuerdo a la disposición de las masas giratorias y el método de conectarlos al motor, los
reguladores pueden clasificarse, en general, en dos tipos:
a) Reguladores centrífugos (ó de bolas).
b) Reguladores axiales.
Entre los reguladores centrífugos podemos nombrar:
Regulador tipo Watt (Fig. 3): Consta de dos masas rotantes que mueven un buje que desliza a
lo largo de un eje y acciona un cuerno de comando.
Regulador tipo Porter (Fig. 4): Es similar al anterior pero tiene una masa central cuya
gravedad compensa ampliamente la acción centrifuga de los contrapesos.
Regulador tipo Hartnell (Fig. 5): Se caracteriza por disponer de un resorte de compresión que
se opone al movimiento del buje (v) que puede moverse hacia arriba y abajo, y esta limitado
por topes. Dentro de la cubierta (A) se encuentra el resorte (G) que presiona sobre la cubierta
y sobre el buje. La parte inferior de la cubierta dispone de los cuernos o brazos (L) que
soportan en un extremo la masa (W) y en el otro una rueda que presiona el buje deslizable.
Este tipo de regulador es usado en el sistema de hélice de paso variable.
1
2 1
2
Carga Máquina
Regulador
Figura 2
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Los reguladores axiales pueden ser centrífugos, en los cuales la fuerza centrífuga juega el papel
principal en la acción reguladora (Fig. 6), ó de inercia, en los que predomina el efecto inercial
(Fig. 7).
Figura 3. Regulador tipo Watt Figura 4. Regulador tipo Porter Figura 5. Regulador tipo Hartnell
Figura 6 Figura 7
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2.-Reguladores a fuerza centrífuga.
Este tipo de reguladores es él más antiguo y el original usado por Watt en sus máquinas, fue usado
mucho en las máquinas de vapor de poca velocidad y luego, tras posteriores modificaciones, en
motores a explosión y turbinas de vapor, y diferentes sistemas de control.
En su forma más simple puede describirse como un dispositivo R (destinado a oponerse a
eventuales perturbaciones de un movimiento de rotación uniforme), constituido esencialmente por
dos brazos iguales OA y OB vinculados con una articulación en un punto fijo O de un eje
rotatorio “a”.
Dicho eje, que se supone, vertical es solidario a un sistema
rotante “S” (eje de la máquina que se desea regular), del
cuál interesa mantener uniforme su movimiento.
Los brazos mencionados llevan en sus extremos dos
masas iguales “m” y están vinculados con una articulación
mediante dos brazos menores iguales a un cuello (ó buje)
C, deslizable sobre el eje “a”. De esta manera, queda
asegurado que en cada instante los dos brazos OA y OB
forman con “a” un mismo ángulo denominado “”.
Este eje gira a un velocidad proporcional a la de la
maquina “S” y los contrapesos “m”, al girar con el eje,
tienden a separarse por acción de la fuerza centrífuga.
Puede determinase en forma precisa la vinculación entre la
variación de “” y la eventual irregularidad del movimiento de “S”, o sea se busca una expresión que
relacione el ángulo “” con “” (ángulo que indica la
rotación de “S”).
Se observa que el dispositivo R y el sistema rotante “S” constituyen en conjunto un sistema
material de dos grados de libertad, ya que pueden asumirse como parámetros lagrangeanos el
ángulo “” que fija la orientación de R (y también de S) alrededor de “a” y el ángulo “” que individualiza la configuración de R en su plano.
O
A m m
k
l
S
a
R
Figura 8
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Con esto podemos hallar las ecuaciones de movimiento del sistema, que nos permitirán obtener
las soluciones del mismo.
La energía cinética del sistema completo tendrá la
forma:
22
2
1
2
1
IIT (1)
donde I e I son funciones de .
Para un primer análisis, supongamos que la masa de
los brazos es despreciable frente a la masa m de los
contrapesos.
En tales hipótesis, si "Ia" es el momento de inercia de S respecto de a (momento de inercia del
acople a la maquina), se tiene:
222 senlmII a (2)
22 lmI (3)
Energía potencial*:
En cuanto al peso, este admite un potencial U que esta dado como el
potencial de las dos masas, o sea:
cos12 lgmU ** (4)
En cuanto al as fuerzas activas Q y Q, nos limitamos a suponer que solo intervienen el peso y un momento respecto del eje de rotación (considerado como un eventual exceso de potencia sobre la
resistencia) que coincide con Q.
*(Sin considerar la acción del resorte ni las fuerzas de roce) **(Tomando como potencial cero la posición mas baja de las masas)
S
senl
m m
k
l
a U = 0
cos1l
Figura 9
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En base a estas hipótesis, se obtienen las ecuaciones de movimiento, a partir de las ecuaciones de
Lagrange, considerando la energía disipativa y las fuerzas aplicadas:
j
j
d
jjj
Q
q
E
q
U
q
T
q
T
dt
d
(5)
Sustituyendo para el sistema en estudio, queda:
QIdt
d
(6)
02
12
UI
Idt
d (7)
Así, reemplazando Io, Q, I y U por las expresiones correspondientes y resolviendo las
ecuaciones diferenciales podemos hallar las ecuaciones de movimiento del sistema, es decir (t) y
(t).
Pero estas ecuaciones tienen particular interés para el estudio de las pequeñas oscilaciones entorno
de un movimiento de rotación de régimen ( o
= constante, = o =constante).
Es decir, se determinara el comportamiento de la vinculación entre la variación de y la eventual irregularidad del momento del eje S, expresadas como pequeños cambios en la velocidad. En
otras palabras analizaremos la condición de estabilidad del sistema.
Se dijo, que Q representa un momento respecto del eje de rotación. En un movimiento
perturbado, a partir de un movimiento en régimen en el cual la inclinación de los brazos del
regulador sobre la vertical tenga un valor constante , este momento tendrá siempre signo opuesto
a la perturbación a partir de 0 (pues esta perturbación con respecto de 0, se trata de oponer
al momento Q). Q puede tomarse entonces como una función de la diferencia - 0, que tiene
un carácter elástico.
En primera aproximación puede ponerse:
Q = -·( - 0) (8)
Con = constante de proporcionalidad positiva (similar a una constante de rigidez torsional).
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Desarrollando las ecuaciones (6) y (7), obtenemos:
QIsenlmIdt
d
0
2 cos22 (6´)
02cos22
2
senlgmsenlmIdt
d (7´)
Ecuaciones que son verificadas por la posición de equilibrio, en la cual se cumple:
= 0 (8)
0
(9)
Y además:
00cos senlgmlF
Pero:
2
0
2
senlmrmF
Entonces:
00
2
0 cos senlgmlsenlm
Quedando:
0
2
0
cos
l
g (10)
Con: (sen0 0) y 0
Si suponemos que durante el funcionamiento normal de la maquina que se quiere regular, las
variaciones inducidas por este (momento Q), provocan pequeñas perturbaciones sobre el
regulador, las ecuaciones de las pequeñas oscilaciones en el entorno de esta solución ( = 0,
0
y 0
2
0
cos
l
g), se obtienen poniendo = 0 + ,
0 , donde w y son
pequeñas variaciones.
= 0 +
0 0
20
2
0
2
2
0 l
F
m·g
l·cos0
l·sen0
Figura 10
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y de lo que se desprende:
000
1
00 coscoscos
sensensensensen
(11)
000
1
00 coscoscoscoscos
sensensen
(12)
Reemplazando en las ecuaciones (6´) y (7´) se obtiene:
Para la (6´):
0
2 cos4
Isenlm
0
2
00
2
00000
0
0
2
cos2
coscos4
senlmIa
sensenwlm
Reemplazando las (11) y (12):
00
20
0
22
00
22
0
0
0
00
2
0
2
0
2
000
2
coscos22
coscoscos4
sensenlmIaw
sensensenwlm
cos22
22cos22
14
0
2
0
22
000
2
senlmw
senlmwIawsenwlm
I
senlmIaw
wlmsenwlmlmsenlm
0
22
0
0
2
0
0
2
0
002
002
22
2cos4222cos422
022 0020
senlmwI (13)
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Para la (7´):
02cos222
22
senlgmsenlmlm
0coscoscos 00
2
0000
0
0
sengsensenll
0coscoscoscos 00
20
0
2
0
2
0
2
00
l
gsen
l
gsensensen
0cos22coscos 000
2
0000
l
gsen
l
gwsen
0cos
2cos2cos22coscos
00
0
000000
2
00
2
0
l
gsen
l
g
wsenwsen
0cos2coscos2 000
2
00
2
0000
senl
gsen
l
gsenw
Considerando la ecuación (10) obtenida de la condición de equilibrio:
0
2
0
cos
l
g 00
0
00
2
0 coscos
cos
senl
gsen
l
gsen
000
2
0 cos senl
gsen
Quedando para la (7´):
02coscos2 000
2
0000
senl
gsen
l
g
l
gsenw
02coscos2 0
2
0000
l
gsenw (14)
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Obteniendo, entonces, el sistema de ecuaciones diferenciales:
022 0020
senlmwI (13)
02coscos2 0
2
0000
l
gsenw (14)
En donde 0
I es el valor de I para = 0.
Si asumimos como solución de este sistema, a funciones del tipo exponencial:
tzew 1
tze 2
Con 1, 2, z constantes, se obtiene la siguiente ecuación característica:
Para la (13):
0222 2002
2
10
22
tztztz esenezlmezsenlmIa
Simplificando tze , dividiendo por 22 lm , y reagrupando, queda:
02
22 20020
2
21
lmsenzzsen
lm
Ia (15)
Para la (14):
02coscos2 20
2
00102
2 0
tztztz e
l
gseneez
Simplificando tze , y reagrupando, queda:
02coscos2 0
2
0
2
2001 0
l
gzsen
Despejando 1 :
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00
0
2
0
2
2
1
2
2coscos0
sen
l
gz
(16)
Sustituyendo (16) en (15):
02
22
2
2coscos
20020
2
2
00
0
2
0
2
2 0
lmsenzzsen
lm
Ia
sen
l
gz
Simplificando 2 , y multiplicando por 00 2
sen :
02
222
2coscos200000
2
20
2
0
20
lmsenzsenzsen
lm
Ia
l
gz
Distribuyendo:
02
2
22
2coscos2
200
0
22
00
2
20
2
0
3
0
2
2 0
lmsen
senzzsenlm
Ia
l
gzsen
lm
Ia
Pero de la ecuación (10) tenemos que:
0
22
0 coscos0
l
g
Entonces:
02
2
22
2coscos2
200
0
22
00
2
20
2
0
22
3
0
2
2 00
lmsen
senzzsenlm
Iazsen
lm
Ia
(17)
Además:
0
22
0
22
0
22
0
2
0
22
00000coscos2coscos sen
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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0
22
0
2
0
22
0002coscos sen
y
0
2
0
2
0
2 cos42 sensen
Sustituyendo en la (17)queda:
02
2
cos422
200
0
2
0
22
00
2
20
20
3
0
2
2
lmsen
senzzsenlm
Iasenzsen
lm
Ia
(18)
Reagrupando:
022
cos422
0
2
020
2
0
2
20
22
03
0
2
2
senlm
zsenlm
Iasenzsen
lm
Ia
022
1cos322
0
2
020
2
20
22
03
0
2
2
senlm
zlm
Iasenzsen
lm
Ia (19)
La cual es una ecuación de tercer orden en z., a la cual se le puede aplicar el criterio de
estabilidad* para polígonos de este tipo, que dice:
Sea F(z) la ecuación característica de un sistema, tal que F(z)= A0·z3+ A1·z
2 + A2z + A3. Para que
el sistema sea estable se debe cumplir la siguiente condición:
A1·A2 -A0·A3 > 0
Para nuestro caso se ve que A1 es cero, y que A0, A2 y A3, son siempre positivas, por lo que el
sistema como esta planteado no cumple la condición de estabilidad.
Esta condición teórica se verifica con la constatación experimental, que el regulador de Watt no
cumple precisamente su objetivo, pues actúa muy rápidamente (por ejemplo)tanto al abrir como al
cerrar alguna válvula de acceso, por lo que se recurre a dispositivos mas perfeccionados
Por esto es necesario considerar el problema agregando la acción del resorte y de las fuerzas de
roce.
Si consideráramos solo el resorte, indicado en la figura 1 con la letra k, su acción en el
funcionamiento del regulador no modifica esencialmente su comportamiento en cuanto a la
estabilidad (sigue siendo inestable). En efecto, la energía potencial ahora es suma de dos partes: la
debida a la fuerza de gravedad y la energía del resorte, o sea:
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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2
2
1cos12 klgmU (20)
*Ver apéndice de estabilidad.
Operando con esta consideración, se obtendrán ecuaciones de movimiento, cuya ecuación
característica tendrá una forma similar con la ecuación característica del caso anterior, la cuál no
varia en relación a la estabilidad del sistema.
Si consideramos tanto la acción del resorte como de la fuerza de roce (en la energía disipativa),
tendremos:
22
2
1
2
1
IIT (21)
2
2
1cos12 klgmU (22)
2
2
1vcE (23)
Donde:
es el desplazamiento que sufre el resorte, y VA es la velocidad sobre la guía del resorte.
Tomando el caso mas general, se tiene para el desplazamiento :
cos1cos1coscos rRrRrR (24)
si consideramos (para simplificar el análisis), que:
R = r = , y que R + r = l (25) Se obtiene:
cos1cos12cos1cos1 lRrR (26)
Y para la velocidad VA:
Por condición cinemática de rigidez:
90coscos VcVA
cos
90cos
VcVA (27)
Además:
A
senlV
'
R
Vc
lV
VA
(90 - - )
r
A
C
Figura 11
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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senrsenR para todo y
sen
R
rarcos (28)
senR
rar
senR
rarR
senR
rar
senR
rarVc
VA
coscos
cos90cos
coscos
cos90cos
(29)
Tomando la misma consideración que en el caso del desplazamiento, se tiene:
cos
cos2
cos
2
cos
2902cos90cos
cos
290cos senRsenRsensenRRVA
senlsenRVA
2 (30)
Quedando las ecuaciones para la energía potencial disipativa:
22 cos12
1cos12 lklgmU (31)
22
2
2
1senlcEd
(32)
La ecuación de Lagrange en su forma completa es:
j
j
d
jjj
Q
q
E
q
U
q
T
q
T
dt
d
(33)
De donde:
0
U y 0
dE, por lo que la ecuación (13)se mantiene igual.
senlksenlgmU
cos12 2 (34)
2222 senlcsenlcEd
* (35)
*Considerando pequeñas variaciones ( 0 )
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Agregando estas últimas a la ecuación (7’), se obtiene:
0
cos12cos22
22
22
22
senlc
senlksenlgmsenlmlm (36)
Sustituyendo con las pequeñas variaciones:
0coscoscos1
222coscos22
2
00
2
0000
2
0
2
0000
22
senlcsensenlk
senlgmsenlmlm (37)
Desarrollando y simplificando términos de segundo orden:
0coscos22
cos
coscoscoscos2
2cos222coscos
0
0
22
000
2
0
00
2
0
2
0
2
0000
0
0
00000
2
000
2
0
sensenm
c
l
g
sensensensenm
k
senl
gsensen
Reagrupando y simplificando nuevamente:
0cos2
cos
2coscoscos12
22cos
0
000
2
0
0000000
2
0
senm
csen
m
c
l
g
senm
ksen
(39)
02
cos
cos2cos2
cos12
22cos
0
2
0
0000000
2
0
senm
c
l
g
m
ksen
m
ksen
(38)
(40)
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Sacando como factor común
, y :
0cos12
2cos2cos2
cos2cos2
00
0000
2
00
2
senm
k
senm
k
l
gsen
m
c
Sustituyendo 0cosl
g, por 0
22
0 cos
:
0cos12
2
cos2cos2
cos2cos2
0000
0
22
00
2
00
2
senm
ksen
m
ksen
m
c
(42)
Simplificando y reagrupando:
0cos12
2
cos2cos2
coscos2
0000
0
22
00
2
0
22
00
2
senm
ksen
m
ksensen
m
c
(43)
0cos12
2cos2cos22
00
000
22
00
2
senm
k
senm
ksensen
m
c
(44)
Por simplicidad, escribamos la (43) y la (44) así:
0211
bba (45)
0
fedb (46)
(41)
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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donde:
0
2
22
0
122
senlm
Ia
lm
Ia
001 2
senb
22
2 lmb
0
2
2sen
m
cb
cos2cos2
0
22
0
m
ksend
00 2
sene
00 cos12
senm
kf
Tomando, para el sistema homogéneo (f = 0), soluciones del tipo:
tzew 1
tze 2
y reemplazando en la (45) y (46), se tiene:
022111 bzbza (47)
02
2
1 dzbze (48)
La ecuación característica resultante es:
02
2
1221 dzbzzabzbe
02
121 dzbzzabzbe
O sea:
032
2
1
3
0 AzAzAzA
Siendo:
10 aA
baA 11
112 bedaA
23 beA
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Está ecuación característica es de tercer grado con todos sus coeficientes positivos. La condición
de estabilidad de la ecuación cúbica establece que:
A1·A2 -A0·A3 > 0
Es decir:
21111 beabedaba 0
Esta condición supone que la cantidad b dependiente de la ficción, cumpla el requisito:
b> 11
2
111
21
beda
be
bedaa
bea
, o sea
b>
22
00
22
02
0
0
22cos2cos
22
2
lmsen
m
ksen
lm
I
sen
b>
22200
22
0
0
0
2cos2cos2
2
senm
ksenI
sen (49)
Si no se satisface esta condición, el movimiento estacionario supuesto del regulador es inestable;
una variación brusca en la carga de la máquina producirá oscilaciones en el regulador que no se
amortiguarán gradualmente, y tendrá lugar el conocido fenómeno de penduleo del regulador.
La solución particular de la ecuación diferencial no aporta al estudio de la estabilidad del sistema
más que la ecuación (49) por lo que no hace falta desarrollarla.
3.-Reguladores en sistemas de hélices de paso variable.- Regulador tipo Hartnell. Pag.
Ver apéndice B. Regulador tipo Hartnell
4.-Reguladores axiales.
4.1- Regulador a péndulo.
Consideremos el regulador cuyo esquema está indicado el la figura 12, donde un disco circular
gira alrededor de su eje vertical cuya traza es “O”.
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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En un punto “A” del disco, situado a una distancia “r” del eje de rotación, se agrega un péndulo de
longitud “l” y masa “m”.
Si se supone que el péndulo está apoyado
sobre una superficie horizontal pulida, de
manera que el movimiento del sistema esté
confinado al plano horizontal del disco; no
se necesitará considerar los efectos de la
fricción, ni los de la gravedad.
Estudio cinemático general.
Deseamos determinar la velocidad y aceleración del punto “G”, centro de gravedad de la
masa“m”.
La velocidad total de la masa “m” que se indica como VG es igual a la suma geométrica (ó
vectorial) de la velocidad que tiene en su
movimiento con el disco (al acompañarlo), la que
se denomina V (velocidad de arrastre), y su
velocidad respecto del mismo Vr (velocidad
relativa), o sea:
VrVVG
Para este caso:
OGV AGVr
Cuyos módulos son:
sVV
llVrVr
Luego del triangulo de velocidades se obtiene:
cos2cos22
2222
2222lslslslsVG
A
r
O
C m
s k
I
l
E
a
G
Figura 12
w
w
A
r
O
m
s
l
G
Figura 13
Vr
V
GV
-( - )
C k
E
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Sustituyendo “s” ( OGs ) y cos por funciones de :
cos2222 rlrls
cos2222 lslsr ls
lsr
2cos
222
Desarrollando cos en serie de potencias, y tomando los dos primeros terminos (los mas
relevantes considerando pequeñas variaciones:
21cos
2 2222 2 rlrlrls
222 rlrls
Queda:
ls
lrlrlrlr
ls
lsr
2
2
2cos
22222222
ls
rll
2
22cos
22
Sustituyendo en VG:
ls
rlllsrlrllVG
2
222
22222
222
222222
2222
rllrlrllVG
Considerando una variación de w: dw =
22
2
222
2222
rllrlrllVG
En cuanto a la aceleración de la masa “m”, o sea aG, se tiene:
CrG aaaa
donde:
AGAGar
2 aceleración relativa
OGOGa
2 aceleración de arrastre
AGAGVra 222 aceleración de Coriolis
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Conocido el valor de aG, pueden obtenerse las fuerzas de inercia:
GamFi
Estudio dinámico del regulador:
Se estudiará en este apartado las características dinámicas de este regulador.
Suponiendo en un primer momento, un movimiento estacionario estable del sistema, en el que el
péndulo toma una dirección radial mientras el disco gira a una velocidad uniforme w.
Ahora, si una pequeña perturbación cualquiera provoca un pequeño desplazamiento del péndulo
de la posición inicial, dará por resultado pequeñas oscilaciones del péndulo y pequeñas
fluctuaciones en la velocidad angular del disco.
Para el estudio de estas oscilaciones se hará uso de las ecuaciones de Lagrange, siendo el
pequeño ángulo de oscilación del péndulo y llamando con
las pequeñas fluctuaciones en la
velocidad angular del disco.
En estas condiciones la energía cinética vale:
2
2
2
1
2
1GVmIT
2222
2
1
2
1 akAEkU
La expresión de Lagrange, en su forma
completa es:
j
j
d
jjj
Q
q
E
q
U
q
T
q
T
dt
d
Que aplicándola para qj =, da:
222222
2
1
rllmwrlrlmwI
T
222222
2
1
rllmwrlmwrlmI
T
-( - ) w
A
r
O
m
s
l
G
Figura 14
Vr
V
GV
C k
E
I
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
Página 23 de29
0
2
22
00
2222
2
12
rlm
rllmwrlmrlmrlmIT
t
0
2
22222
2
1
22
1
rlm
rlmlmrlmIrlmlmrlmIT
lrlmrlmIT 2
Y además:
0
T
0
U
0
dE
0Q
Por lo que:
02
lrlmrlmIEUTT
dt
d d
Aplicando ahora, la expresión de Lagrange, para qj =
, da:
222 222
1
rllmlm
T
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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0
222
2
1
mrlmlmlm
T
lrlmlmT 2
lrlmlmT
t
2
rlmrlmT
2
00
22 2
rlmrlmrlm
T
0
2
0
2 2
rlmrlmrlm
T
2
rlm
T
Además:
2akU
0
dE
0Q
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Por lo que:
0222
akrlmlrlmlmEUTT
dt
d d
0
2
22
lm
ak
l
r
l
lr
0
2
22
lm
ak
l
r
l
lr
Quedando el sistema:
02
lrlmrlmI
0
2
22
lm
ak
l
r
l
lr
Llamando 20 rlmII y eliminando
de las ecuaciones, resulta:
0I
lrlm
0
2
22
0
lm
ak
l
r
I
lrlm
l
lr
012
22
0
2
lm
ak
l
r
I
lrm
02
22
0
2
0
lm
ak
l
r
I
lrmI
02
22
0
22
lm
ak
l
r
I
lrmlrmI
02
22
0
lm
ak
l
r
I
I
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Esto indica que el péndulo giratorio oscila armónicamente con una pulsación:
2
2202
lm
ak
l
r
I
Ip
que resulta función de la velocidad de rotación estacionaria del disco () y de la frecuencia
natural del sistema péndulo-resorte.
4.2- Regulador a volante.
Dos brazos pesados H y H’ están articulados en los extremos de un disco L que rota alrededor de
su eje O
Los dos brazos están vinculados por un resorte de constante k, y sus ejes forman ángulos iguales
con respecto de la línea de los centros de articulación BB’.
Es evidente, dado la simetría, que el sistema
posee dos grados de libertad. Por simplicidad se
toma como coordenadas Lagrangeanas los
ángulos 1 (inclinación de los brazos H y H’
respecto de la normal a BB’) y 2 (ángulo de orientación de los puntos B y B’ con respecto a
una terna fija)
La energía cinética del disco es:
2
22
1
dd IT
Id = momento de inercia del disco.
Y la energía cinética de cada brazo es:
2
212
2
1
2
1
bGbb IVmT
pues el movimiento de H (ó H’) respecto de su centro de gravedad G (ó G’), es la rotación
alrededor de la recta que pasa por G (ó G’) paralela a la dirección común del eje del disco y a la
del eje de la articulación en B (ó B).
Por otra parte, en la figura b, se a dibujado la posición de uno de los brazos (el izquierdo) para un
instante genérico del movimiento del disco.
L
B
B’
H’
H O
k
G’
G
E’
E
(/2 - 1)
1
1
2
Figura 15.a
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Las coordenadas de G respecto de una terna fija (x; y; z), cuyo eje vertical (z) coincide con el eje
que pasa por O, son:
122 cos lsenaxG
122cos senlayG
Con: OBa ; BGl
Derivando con respecto del tiempo:
121222cos senlaxG
121222 cos lsenayG
Luego:
22
2
GGG yxV
212122
212122
2
12
22
2
22
cos2
cos2
senla
senlalaVG
122212
2
12
22
2
222
senlalaVG
1212
2
12
22
2
222 senlalaVG
x (+)
y (+)
B
O
n l
G
2 2
1
Figura b
a
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Quedando entonces, la energía cinética total del sistema:
2
212
2
22
12
bGbdbd IVmITTT
2
211212
2
12
22
2
22
2 22
1
bbbbd IsenlamlmamIT
211
2
21
22
21
22
22
22
1
senmlalmI
lmIsenmlalmamIIT
bbb
bbbbbbd
2112
2
222
2111 2
2
1 aaaT
Siendo:
2
11 22 lmIa bb
1
22
22 22 senlalamIIa bbd
senmlalmIa bbb 22 2
12
Ahora, en la hipótesis de que los brazos pesados están obligados a moverse sobre el plano del
disco y están libres de fricción, la energía potencial se reduce a la energía elástica, y la energía
disipada es cero, por lo que:
2'
2
1EEkU 0dE
Siendo E y 'E , los desplazamientos de los puntos de anclaje E, E’ del resorte.
Si se indica con EBh , resulta hlEB '' .
Luego:
1 hE
1' hlE
111' lhlhEE
Por lo que queda:
2
1
22
2
1'
2
1 lkkU EE
Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores
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Aplicando las ecuaciones de Lagrange, se obtiene:
02 1
2
212111
lkaa
0112222
aa
Resolviendo estas ecuaciones, se puede obtener el estado dinámico del regulador.