departamento de aeronáutica mecanismos y sistemas de …

Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores

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Departamento de Aeronáutica

Mecanismos y Sistemas de Aeronaves

Reguladores

0.-Introducción. Pag. 2

1.-Reguladores – clasificación. Pag.2 a 4

2.-Reguladores a fuerza centrífuga. Pag. 5 a 19

3.-Reguladores en sistemas de hélices de paso variable.- Regulador tipo Hartnell.

Pag.19

4.-Reguladores axiales. Pag. 19 a 29

4.1- Regulador a péndulo. Pag. 19 a 26

4.2- Regulador a volante. Pag. 26 a 29

Apéndice de estabilidad.


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En muchos procesos y aplicaciones mecánicas, sobre todo las aeronáuticas, es necesario mantener

los valores de ciertas magnitudes de estos, dentro de límites preestablecidos.

Dichos procesos deben ser controlados entonces manual o automáticamente.

Un esquema básico de control puede ser el siguiente:

Para el caso de una aeronave que hay que controlar, el piloto seria el órgano de control (control

manual).

Para el caso de maquinas en las cuales se requiere controlar su velocidad, es decir mantenerla

dentro de límites preestablecidos, debido al surgimiento de variaciones en los pares motores y/o

resistentes, el mecanismo que hace las funciones de sensor y de organo de control, es un

regulador.

1.-Reguladores – Clasificación.

Un regulador es un dispositivo capaz de graduar automáticamente la potencia de una máquina,

que varía continuamente.

El regulador participa del movimiento de la máquina a la que pertenece, de manera que un cambio

en su velocidad, por ejemplo, debido a una variación en la carga, produce correspondientemente

un cambio en las partes móviles del regulador, que a su vez, mediante un adecuado mecanismo,

hace cambiar la presión ó la cantidad de fluido de un determinado mecanismo (vapor, nafta, etc.)

suministrado a la maquina.

Desviaciones Sistema

controlado Instrumento

ó sensor

Organo de

comando.

Organo de

control

Perturbaciones

Señales Acción de

corrección

Corrección.

(orden)

Figura 1


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Esquema básico de un regulador:

La acción de un regulador no debe confundirse con la del volante de inercia de un motor. Este,

que actúa como un almacenador de energía, es útil para regular la velocidad durante intervalos de

tiempo pequeños del ciclo de un motor, mientras que la función del regulador es regular la

velocidad durante intervalos mucho mayores, manteniendo un equilibrio entre la energía

suministrada al motor y la resistencia a vencer.

En síntesis, los reguladores son dispositivos destinados a oponerse a eventuales perturbaciones de

un movimiento uniforme.

De acuerdo a la disposición de las masas giratorias y el método de conectarlos al motor, los

reguladores pueden clasificarse, en general, en dos tipos:

a) Reguladores centrífugos (ó de bolas).

b) Reguladores axiales.

Entre los reguladores centrífugos podemos nombrar:

Regulador tipo Watt (Fig. 3): Consta de dos masas rotantes que mueven un buje que desliza a

lo largo de un eje y acciona un cuerno de comando.

Regulador tipo Porter (Fig. 4): Es similar al anterior pero tiene una masa central cuya

gravedad compensa ampliamente la acción centrifuga de los contrapesos.

Regulador tipo Hartnell (Fig. 5): Se caracteriza por disponer de un resorte de compresión que

se opone al movimiento del buje (v) que puede moverse hacia arriba y abajo, y esta limitado

por topes. Dentro de la cubierta (A) se encuentra el resorte (G) que presiona sobre la cubierta

y sobre el buje. La parte inferior de la cubierta dispone de los cuernos o brazos (L) que

soportan en un extremo la masa (W) y en el otro una rueda que presiona el buje deslizable.

Este tipo de regulador es usado en el sistema de hélice de paso variable.

1

2 1

2

Carga Máquina

Regulador

Figura 2


Página 4 de29

Los reguladores axiales pueden ser centrífugos, en los cuales la fuerza centrífuga juega el papel

principal en la acción reguladora (Fig. 6), ó de inercia, en los que predomina el efecto inercial

(Fig. 7).

Figura 3. Regulador tipo Watt Figura 4. Regulador tipo Porter Figura 5. Regulador tipo Hartnell

Figura 6 Figura 7


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2.-Reguladores a fuerza centrífuga.

Este tipo de reguladores es él más antiguo y el original usado por Watt en sus máquinas, fue usado

mucho en las máquinas de vapor de poca velocidad y luego, tras posteriores modificaciones, en

motores a explosión y turbinas de vapor, y diferentes sistemas de control.

En su forma más simple puede describirse como un dispositivo R (destinado a oponerse a

eventuales perturbaciones de un movimiento de rotación uniforme), constituido esencialmente por

dos brazos iguales OA y OB vinculados con una articulación en un punto fijo O de un eje

rotatorio “a”.

Dicho eje, que se supone, vertical es solidario a un sistema

rotante “S” (eje de la máquina que se desea regular), del

cuál interesa mantener uniforme su movimiento.

Los brazos mencionados llevan en sus extremos dos

masas iguales “m” y están vinculados con una articulación

mediante dos brazos menores iguales a un cuello (ó buje)

C, deslizable sobre el eje “a”. De esta manera, queda

asegurado que en cada instante los dos brazos OA y OB

forman con “a” un mismo ángulo denominado “”.

Este eje gira a un velocidad proporcional a la de la

maquina “S” y los contrapesos “m”, al girar con el eje,

tienden a separarse por acción de la fuerza centrífuga.

Puede determinase en forma precisa la vinculación entre la

variación de “” y la eventual irregularidad del movimiento de “S”, o sea se busca una expresión que

relacione el ángulo “” con “” (ángulo que indica la

rotación de “S”).

Se observa que el dispositivo R y el sistema rotante “S” constituyen en conjunto un sistema

material de dos grados de libertad, ya que pueden asumirse como parámetros lagrangeanos el

ángulo “” que fija la orientación de R (y también de S) alrededor de “a” y el ángulo “” que individualiza la configuración de R en su plano.

O

A m m

k

l

S

a

R

Figura 8


Página 6 de29

Con esto podemos hallar las ecuaciones de movimiento del sistema, que nos permitirán obtener

las soluciones del mismo.

La energía cinética del sistema completo tendrá la

forma:

22

2

1

2

1

IIT (1)

donde I e I son funciones de .

Para un primer análisis, supongamos que la masa de

los brazos es despreciable frente a la masa m de los

contrapesos.

En tales hipótesis, si "Ia" es el momento de inercia de S respecto de a (momento de inercia del

acople a la maquina), se tiene:

222 senlmII a (2)

22 lmI (3)

Energía potencial*:

En cuanto al peso, este admite un potencial U que esta dado como el

potencial de las dos masas, o sea:

cos12 lgmU ** (4)

En cuanto al as fuerzas activas Q y Q, nos limitamos a suponer que solo intervienen el peso y un momento respecto del eje de rotación (considerado como un eventual exceso de potencia sobre la

resistencia) que coincide con Q.

*(Sin considerar la acción del resorte ni las fuerzas de roce) **(Tomando como potencial cero la posición mas baja de las masas)

S

senl

m m

k

l

a U = 0

cos1l

Figura 9


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En base a estas hipótesis, se obtienen las ecuaciones de movimiento, a partir de las ecuaciones de

Lagrange, considerando la energía disipativa y las fuerzas aplicadas:

j

j

d

jjj

Q

q

E

q

U

q

T

q

T

dt

d

(5)

Sustituyendo para el sistema en estudio, queda:

QIdt

d

(6)

02

12

UI

Idt

d (7)

Así, reemplazando Io, Q, I y U por las expresiones correspondientes y resolviendo las

ecuaciones diferenciales podemos hallar las ecuaciones de movimiento del sistema, es decir (t) y

(t).

Pero estas ecuaciones tienen particular interés para el estudio de las pequeñas oscilaciones entorno

de un movimiento de rotación de régimen ( o

= constante, = o =constante).

Es decir, se determinara el comportamiento de la vinculación entre la variación de y la eventual irregularidad del momento del eje S, expresadas como pequeños cambios en la velocidad. En

otras palabras analizaremos la condición de estabilidad del sistema.

Se dijo, que Q representa un momento respecto del eje de rotación. En un movimiento

perturbado, a partir de un movimiento en régimen en el cual la inclinación de los brazos del

regulador sobre la vertical tenga un valor constante , este momento tendrá siempre signo opuesto

a la perturbación a partir de 0 (pues esta perturbación con respecto de 0, se trata de oponer

al momento Q). Q puede tomarse entonces como una función de la diferencia - 0, que tiene

un carácter elástico.

En primera aproximación puede ponerse:

Q = -·( - 0) (8)

Con = constante de proporcionalidad positiva (similar a una constante de rigidez torsional).


Página 8 de29

Desarrollando las ecuaciones (6) y (7), obtenemos:

QIsenlmIdt

d

0

2 cos22 (6´)

02cos22

2

senlgmsenlmIdt

d (7´)

Ecuaciones que son verificadas por la posición de equilibrio, en la cual se cumple:

= 0 (8)

0

(9)

Y además:

00cos senlgmlF

Pero:

2

0

2

senlmrmF

Entonces:

00

2

0 cos senlgmlsenlm

Quedando:

0

2

0

cos

l

g (10)

Con: (sen0 0) y 0

Si suponemos que durante el funcionamiento normal de la maquina que se quiere regular, las

variaciones inducidas por este (momento Q), provocan pequeñas perturbaciones sobre el

regulador, las ecuaciones de las pequeñas oscilaciones en el entorno de esta solución ( = 0,

0

y 0

2

0

cos

l

g), se obtienen poniendo = 0 + ,

0 , donde w y son

pequeñas variaciones.

= 0 +

0 0

20

2

0

2

2

0 l

F

m·g

l·cos0

l·sen0

Figura 10


Página 9 de29

y de lo que se desprende:

000

1

00 coscoscos

sensensensensen

(11)

000

1

00 coscoscoscoscos

sensensen

(12)

Reemplazando en las ecuaciones (6´) y (7´) se obtiene:

Para la (6´):

0

2 cos4

Isenlm

0

2

00

2

00000

0

0

2

cos2

coscos4

senlmIa

sensenwlm

Reemplazando las (11) y (12):

00

20

0

22

00

22

0

0

0

00

2

0

2

0

2

000

2

coscos22

coscoscos4

sensenlmIaw

sensensenwlm

cos22

22cos22

14

0

2

0

22

000

2

senlmw

senlmwIawsenwlm

I

senlmIaw

wlmsenwlmlmsenlm

0

22

0

0

2

0

0

2

0

002

002

22

2cos4222cos422

022 0020

senlmwI (13)


Página 10 de29

Para la (7´):

02cos222

22

senlgmsenlmlm

0coscoscos 00

2

0000

0

0

sengsensenll

0coscoscoscos 00

20

0

2

0

2

0

2

00

l

gsen

l

gsensensen

0cos22coscos 000

2

0000

l

gsen

l

gwsen

0cos

2cos2cos22coscos

00

0

000000

2

00

2

0

l

gsen

l

g

wsenwsen

0cos2coscos2 000

2

00

2

0000

senl

gsen

l

gsenw

Considerando la ecuación (10) obtenida de la condición de equilibrio:

0

2

0

cos

l

g 00

0

00

2

0 coscos

cos

senl

gsen

l

gsen

000

2

0 cos senl

gsen

Quedando para la (7´):

02coscos2 000

2

0000

senl

gsen

l

g

l

gsenw

02coscos2 0

2

0000

l

gsenw (14)


Página 11 de29

Obteniendo, entonces, el sistema de ecuaciones diferenciales:

022 0020

senlmwI (13)

02coscos2 0

2

0000

l

gsenw (14)

En donde 0

I es el valor de I para = 0.

Si asumimos como solución de este sistema, a funciones del tipo exponencial:

tzew 1

tze 2

Con 1, 2, z constantes, se obtiene la siguiente ecuación característica:

Para la (13):

0222 2002

2

10

22

tztztz esenezlmezsenlmIa

Simplificando tze , dividiendo por 22 lm , y reagrupando, queda:

02

22 20020

2

21

lmsenzzsen

lm

Ia (15)

Para la (14):

02coscos2 20

2

00102

2 0

tztztz e

l

gseneez

Simplificando tze , y reagrupando, queda:

02coscos2 0

2

0

2

2001 0

l

gzsen

Despejando 1 :


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00

0

2

0

2

2

1

2

2coscos0

sen

l

gz

(16)

Sustituyendo (16) en (15):

02

22

2

2coscos

20020

2

2

00

0

2

0

2

2 0

lmsenzzsen

lm

Ia

sen

l

gz

Simplificando 2 , y multiplicando por 00 2

sen :

02

222

2coscos200000

2

20

2

0

20

lmsenzsenzsen

lm

Ia

l

gz

Distribuyendo:

02

2

22

2coscos2

200

0

22

00

2

20

2

0

3

0

2

2 0

lmsen

senzzsenlm

Ia

l

gzsen

lm

Ia

Pero de la ecuación (10) tenemos que:

0

22

0 coscos0

l

g

Entonces:

02

2

22

2coscos2

200

0

22

00

2

20

2

0

22

3

0

2

2 00

lmsen

senzzsenlm

Iazsen

lm

Ia

(17)

Además:

0

22

0

22

0

22

0

2

0

22

00000coscos2coscos sen


Página 13 de29

0

22

0

2

0

22

0002coscos sen

y

0

2

0

2

0

2 cos42 sensen

Sustituyendo en la (17)queda:

02

2

cos422

200

0

2

0

22

00

2

20

20

3

0

2

2

lmsen

senzzsenlm

Iasenzsen

lm

Ia

(18)

Reagrupando:

022

cos422

0

2

020

2

0

2

20

22

03

0

2

2

senlm

zsenlm

Iasenzsen

lm

Ia

022

1cos322

0

2

020

2

20

22

03

0

2

2

senlm

zlm

Iasenzsen

lm

Ia (19)

La cual es una ecuación de tercer orden en z., a la cual se le puede aplicar el criterio de

estabilidad* para polígonos de este tipo, que dice:

Sea F(z) la ecuación característica de un sistema, tal que F(z)= A0·z3+ A1·z

2 + A2z + A3. Para que

el sistema sea estable se debe cumplir la siguiente condición:

A1·A2 -A0·A3 > 0

Para nuestro caso se ve que A1 es cero, y que A0, A2 y A3, son siempre positivas, por lo que el

sistema como esta planteado no cumple la condición de estabilidad.

Esta condición teórica se verifica con la constatación experimental, que el regulador de Watt no

cumple precisamente su objetivo, pues actúa muy rápidamente (por ejemplo)tanto al abrir como al

cerrar alguna válvula de acceso, por lo que se recurre a dispositivos mas perfeccionados

Por esto es necesario considerar el problema agregando la acción del resorte y de las fuerzas de

roce.

Si consideráramos solo el resorte, indicado en la figura 1 con la letra k, su acción en el

funcionamiento del regulador no modifica esencialmente su comportamiento en cuanto a la

estabilidad (sigue siendo inestable). En efecto, la energía potencial ahora es suma de dos partes: la

debida a la fuerza de gravedad y la energía del resorte, o sea:


Página 14 de29

2

2

1cos12 klgmU (20)

*Ver apéndice de estabilidad.

Operando con esta consideración, se obtendrán ecuaciones de movimiento, cuya ecuación

característica tendrá una forma similar con la ecuación característica del caso anterior, la cuál no

varia en relación a la estabilidad del sistema.

Si consideramos tanto la acción del resorte como de la fuerza de roce (en la energía disipativa),

tendremos:

22

2

1

2

1

IIT (21)

2

2

1cos12 klgmU (22)

2

2

1vcE (23)

Donde:

es el desplazamiento que sufre el resorte, y VA es la velocidad sobre la guía del resorte.

Tomando el caso mas general, se tiene para el desplazamiento :

cos1cos1coscos rRrRrR (24)

si consideramos (para simplificar el análisis), que:

R = r = , y que R + r = l (25) Se obtiene:

cos1cos12cos1cos1 lRrR (26)

Y para la velocidad VA:

Por condición cinemática de rigidez:

90coscos VcVA

cos

90cos

VcVA (27)

Además:

A

senlV

'

R

Vc

lV

VA

(90 - - )

r

A

C

Figura 11


Página 15 de29

senrsenR para todo y

sen

R

rarcos (28)

senR

rar

senR

rarR

senR

rar

senR

rarVc

VA

coscos

cos90cos

coscos

cos90cos

(29)

Tomando la misma consideración que en el caso del desplazamiento, se tiene:

cos

cos2

cos

2

cos

2902cos90cos

cos

290cos senRsenRsensenRRVA

senlsenRVA

2 (30)

Quedando las ecuaciones para la energía potencial disipativa:

22 cos12

1cos12 lklgmU (31)

22

2

2

1senlcEd

(32)

La ecuación de Lagrange en su forma completa es:

j

j

d

jjj

Q

q

E

q

U

q

T

q

T

dt

d

(33)

De donde:

0

U y 0

dE, por lo que la ecuación (13)se mantiene igual.

senlksenlgmU

cos12 2 (34)

2222 senlcsenlcEd

* (35)

*Considerando pequeñas variaciones ( 0 )


Página 16 de29

Agregando estas últimas a la ecuación (7’), se obtiene:

0

cos12cos22

22

22

22

senlc

senlksenlgmsenlmlm (36)

Sustituyendo con las pequeñas variaciones:

0coscoscos1

222coscos22

2

00

2

0000

2

0

2

0000

22

senlcsensenlk

senlgmsenlmlm (37)

Desarrollando y simplificando términos de segundo orden:

0coscos22

cos

coscoscoscos2

2cos222coscos

0

0

22

000

2

0

00

2

0

2

0

2

0000

0

0

00000

2

000

2

0

sensenm

c

l

g

sensensensenm

k

senl

gsensen

Reagrupando y simplificando nuevamente:

0cos2

cos

2coscoscos12

22cos

0

000

2

0

0000000

2

0

senm

csen

m

c

l

g

senm

ksen

(39)

02

cos

cos2cos2

cos12

22cos

0

2

0

0000000

2

0

senm

c

l

g

m

ksen

m

ksen

(38)

(40)


Página 17 de29

Sacando como factor común

, y :

0cos12

2cos2cos2

cos2cos2

00

0000

2

00

2

senm

k

senm

k

l

gsen

m

c

Sustituyendo 0cosl

g, por 0

22

0 cos

:

0cos12

2

cos2cos2

cos2cos2

0000

0

22

00

2

00

2

senm

ksen

m

ksen

m

c

(42)

Simplificando y reagrupando:

0cos12

2

cos2cos2

coscos2

0000

0

22

00

2

0

22

00

2

senm

ksen

m

ksensen

m

c

(43)

0cos12

2cos2cos22

00

000

22

00

2

senm

k

senm

ksensen

m

c

(44)

Por simplicidad, escribamos la (43) y la (44) así:

0211

bba (45)

0

fedb (46)

(41)


Página 18 de29

donde:

0

2

22

0

122

senlm

Ia

lm

Ia

001 2

senb

22

2 lmb

0

2

2sen

m

cb

cos2cos2

0

22

0

m

ksend

00 2

sene

00 cos12

senm

kf

Tomando, para el sistema homogéneo (f = 0), soluciones del tipo:

tzew 1

tze 2

y reemplazando en la (45) y (46), se tiene:

022111 bzbza (47)

02

2

1 dzbze (48)

La ecuación característica resultante es:

02

2

1221 dzbzzabzbe

02

121 dzbzzabzbe

O sea:

032

2

1

3

0 AzAzAzA

Siendo:

10 aA

baA 11

112 bedaA

23 beA


Página 19 de29

Está ecuación característica es de tercer grado con todos sus coeficientes positivos. La condición

de estabilidad de la ecuación cúbica establece que:

A1·A2 -A0·A3 > 0

Es decir:

21111 beabedaba 0

Esta condición supone que la cantidad b dependiente de la ficción, cumpla el requisito:

b> 11

2

111

21

beda

be

bedaa

bea

, o sea

b>

22

00

22

02

0

0

22cos2cos

22

2

lmsen

m

ksen

lm

I

sen

b>

22200

22

0

0

0

2cos2cos2

2

senm

ksenI

sen (49)

Si no se satisface esta condición, el movimiento estacionario supuesto del regulador es inestable;

una variación brusca en la carga de la máquina producirá oscilaciones en el regulador que no se

amortiguarán gradualmente, y tendrá lugar el conocido fenómeno de penduleo del regulador.

La solución particular de la ecuación diferencial no aporta al estudio de la estabilidad del sistema

más que la ecuación (49) por lo que no hace falta desarrollarla.

3.-Reguladores en sistemas de hélices de paso variable.- Regulador tipo Hartnell. Pag.

Ver apéndice B. Regulador tipo Hartnell

4.-Reguladores axiales.

4.1- Regulador a péndulo.

Consideremos el regulador cuyo esquema está indicado el la figura 12, donde un disco circular

gira alrededor de su eje vertical cuya traza es “O”.


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En un punto “A” del disco, situado a una distancia “r” del eje de rotación, se agrega un péndulo de

longitud “l” y masa “m”.

Si se supone que el péndulo está apoyado

sobre una superficie horizontal pulida, de

manera que el movimiento del sistema esté

confinado al plano horizontal del disco; no

se necesitará considerar los efectos de la

fricción, ni los de la gravedad.

Estudio cinemático general.

Deseamos determinar la velocidad y aceleración del punto “G”, centro de gravedad de la

masa“m”.

La velocidad total de la masa “m” que se indica como VG es igual a la suma geométrica (ó

vectorial) de la velocidad que tiene en su

movimiento con el disco (al acompañarlo), la que

se denomina V (velocidad de arrastre), y su

velocidad respecto del mismo Vr (velocidad

relativa), o sea:

VrVVG

Para este caso:

OGV AGVr

Cuyos módulos son:

sVV

llVrVr

Luego del triangulo de velocidades se obtiene:

cos2cos22

2222

2222lslslslsVG

A

r

O

C m

s k

I

l

E

a

G

Figura 12

w

w

A

r

O

m

s

l

G

Figura 13

Vr

V

GV

-( - )

C k

E


Página 21 de29

Sustituyendo “s” ( OGs ) y cos por funciones de :

cos2222 rlrls

cos2222 lslsr ls

lsr

2cos

222

Desarrollando cos en serie de potencias, y tomando los dos primeros terminos (los mas

relevantes considerando pequeñas variaciones:

21cos

2 2222 2 rlrlrls

222 rlrls

Queda:

ls

lrlrlrlr

ls

lsr

2

2

2cos

22222222

ls

rll

2

22cos

22

Sustituyendo en VG:

ls

rlllsrlrllVG

2

222

22222

222

222222

2222

rllrlrllVG

Considerando una variación de w: dw =

22

2

222

2222

rllrlrllVG

En cuanto a la aceleración de la masa “m”, o sea aG, se tiene:

CrG aaaa

donde:

AGAGar

2 aceleración relativa

OGOGa

2 aceleración de arrastre

AGAGVra 222 aceleración de Coriolis


Página 22 de29

Conocido el valor de aG, pueden obtenerse las fuerzas de inercia:

GamFi

Estudio dinámico del regulador:

Se estudiará en este apartado las características dinámicas de este regulador.

Suponiendo en un primer momento, un movimiento estacionario estable del sistema, en el que el

péndulo toma una dirección radial mientras el disco gira a una velocidad uniforme w.

Ahora, si una pequeña perturbación cualquiera provoca un pequeño desplazamiento del péndulo

de la posición inicial, dará por resultado pequeñas oscilaciones del péndulo y pequeñas

fluctuaciones en la velocidad angular del disco.

Para el estudio de estas oscilaciones se hará uso de las ecuaciones de Lagrange, siendo el

pequeño ángulo de oscilación del péndulo y llamando con

las pequeñas fluctuaciones en la

velocidad angular del disco.

En estas condiciones la energía cinética vale:

2

2

2

1

2

1GVmIT

2222

2

1

2

1 akAEkU

La expresión de Lagrange, en su forma

completa es:

j

j

d

jjj

Q

q

E

q

U

q

T

q

T

dt

d

Que aplicándola para qj =, da:

222222

2

1

rllmwrlrlmwI

T

222222

2

1

rllmwrlmwrlmI

T

-( - ) w

A

r

O

m

s

l

G

Figura 14

Vr

V

GV

C k

E

I


Página 23 de29

0

2

22

00

2222

2

12

rlm

rllmwrlmrlmrlmIT

t

0

2

22222

2

1

22

1

rlm

rlmlmrlmIrlmlmrlmIT

lrlmrlmIT 2

Y además:

0

T

0

U

0

dE

0Q

Por lo que:

02

lrlmrlmIEUTT

dt

d d

Aplicando ahora, la expresión de Lagrange, para qj =

, da:

222 222

1

rllmlm

T


Página 24 de29

0

222

2

1

mrlmlmlm

T

lrlmlmT 2

lrlmlmT

t

2

rlmrlmT

2

00

22 2

rlmrlmrlm

T

0

2

0

2 2

rlmrlmrlm

T

2

rlm

T

Además:

2akU

0

dE

0Q


Página 25 de29

Por lo que:

0222

akrlmlrlmlmEUTT

dt

d d

0

2

22

lm

ak

l

r

l

lr

0

2

22

lm

ak

l

r

l

lr

Quedando el sistema:

02

lrlmrlmI

0

2

22

lm

ak

l

r

l

lr

Llamando 20 rlmII y eliminando

de las ecuaciones, resulta:

0I

lrlm

0

2

22

0

lm

ak

l

r

I

lrlm

l

lr

012

22

0

2

lm

ak

l

r

I

lrm

02

22

0

2

0

lm

ak

l

r

I

lrmI

02

22

0

22

lm

ak

l

r

I

lrmlrmI

02

22

0

lm

ak

l

r

I

I


Página 26 de29

Esto indica que el péndulo giratorio oscila armónicamente con una pulsación:

2

2202

lm

ak

l

r

I

Ip

que resulta función de la velocidad de rotación estacionaria del disco () y de la frecuencia

natural del sistema péndulo-resorte.

4.2- Regulador a volante.

Dos brazos pesados H y H’ están articulados en los extremos de un disco L que rota alrededor de

su eje O

Los dos brazos están vinculados por un resorte de constante k, y sus ejes forman ángulos iguales

con respecto de la línea de los centros de articulación BB’.

Es evidente, dado la simetría, que el sistema

posee dos grados de libertad. Por simplicidad se

toma como coordenadas Lagrangeanas los

ángulos 1 (inclinación de los brazos H y H’

respecto de la normal a BB’) y 2 (ángulo de orientación de los puntos B y B’ con respecto a

una terna fija)

La energía cinética del disco es:

2

22

1

dd IT

Id = momento de inercia del disco.

Y la energía cinética de cada brazo es:

2

212

2

1

2

1

bGbb IVmT

pues el movimiento de H (ó H’) respecto de su centro de gravedad G (ó G’), es la rotación

alrededor de la recta que pasa por G (ó G’) paralela a la dirección común del eje del disco y a la

del eje de la articulación en B (ó B).

Por otra parte, en la figura b, se a dibujado la posición de uno de los brazos (el izquierdo) para un

instante genérico del movimiento del disco.

L

B

B’

H’

H O

k

G’

G

E’

E

(/2 - 1)

1

1

2

Figura 15.a


Página 27 de29

Las coordenadas de G respecto de una terna fija (x; y; z), cuyo eje vertical (z) coincide con el eje

que pasa por O, son:

122 cos lsenaxG

122cos senlayG

Con: OBa ; BGl

Derivando con respecto del tiempo:

121222cos senlaxG

121222 cos lsenayG

Luego:

22

2

GGG yxV

212122

212122

2

12

22

2

22

cos2

cos2

senla

senlalaVG

122212

2

12

22

2

222

senlalaVG

1212

2

12

22

2

222 senlalaVG

x (+)

y (+)

B

O

n l

G

2 2

1

Figura b

a


Página 28 de29

Quedando entonces, la energía cinética total del sistema:

2

212

2

22

12

bGbdbd IVmITTT

2

211212

2

12

22

2

22

2 22

1

bbbbd IsenlamlmamIT

211

2

21

22

21

22

22

22

1

senmlalmI

lmIsenmlalmamIIT

bbb

bbbbbbd

2112

2

222

2111 2

2

1 aaaT

Siendo:

2

11 22 lmIa bb

1

22

22 22 senlalamIIa bbd

senmlalmIa bbb 22 2

12

Ahora, en la hipótesis de que los brazos pesados están obligados a moverse sobre el plano del

disco y están libres de fricción, la energía potencial se reduce a la energía elástica, y la energía

disipada es cero, por lo que:

2'

2

1EEkU 0dE

Siendo E y 'E , los desplazamientos de los puntos de anclaje E, E’ del resorte.

Si se indica con EBh , resulta hlEB '' .

Luego:

1 hE

1' hlE

111' lhlhEE

Por lo que queda:

2

1

22

2

1'

2

1 lkkU EE


Página 29 de29

Aplicando las ecuaciones de Lagrange, se obtiene:

02 1

2

212111

lkaa

0112222

aa

Resolviendo estas ecuaciones, se puede obtener el estado dinámico del regulador.

departamento de aeronáutica mecanismos y sistemas de …

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