UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
TIAGO ANDREI ADAMCZEVSKI
COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E NO DOMÍNIO DO TEMPO
CURITIBA
2011
TIAGO ANDREI ADAMCZEVSKI
COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E NO DOMÍNIO DO TEMPO
Monografia apresentada à disciplina Projeto de
graduação como requisito parcial à conclusão
do Curso de Engenharia Elétrica, Departamento
de Engenharia Elétrica, Setor de Tecnologia,
Universidade Federal do Paraná.
Orientador: Prof. Dr. Gustavo Oliveira da Costa
CURITIBA
2011
TERMO DE APROVAÇÃO
TIAGO ANDREI ADAMCZEVSKI
COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E NO DOMÍNIO DO TEMPO
Monografia aprovada como requisito parcial para a conclusão do Curso de
Engenharia Elétrica, Departamento de Engenharia Elétrica, Setor de Tecnologia da
Universidade Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora:
Aprovado em 05 de Julho de 2011
Comissão examinadora:
Prof. Dr. Gustavo Oliveira da Costa
Universidade Federal do Paraná – UFPR
Orientador
Prof. Dr. Eduardo Parente Ribeiro
Universidade Federal do Paraná – UFPR
Prof. Dr. Gideon Villar Leandro
Universidade Federal do Paraná – UFPR
RESUMO
Muitas vezes um modelo para um sistema dinâmico não pode ser obtido
simplesmente por um processo de modelagem matemática devido a alta
complexidade do mesmo. A identificação de sistemas apresenta-se como uma
alternativa a obtenção de um modelo aproximado, e para isso tantos dados no
domínio do tempo como dados no domínio da frequência podem ser usados.
Neste trabalho faz-se uma comparação entre métodos de identificação de
sistemas lineares usando dados no domínio da frequência com métodos de
identificação clássicos que usam dados no domínio do tempo.
Os métodos escolhidos foram implementados e utilizados na modelagem de
4 sistemas propostos a fim de se comparar os modelos obtidos e analisar a
qualidade dos mesmos através de processos de validação.
Desenvolveu-se também uma pequena estratégia para análise de sistemas
de ordem desconhecida envolvendo os métodos de identificação no domínio da
frequência
ABSTRACT
Often a model for a dynamic system can not be obtained simply by a process
of mathematical modeling due to the high complexity of it. The system identification is
presented as an alternative in the attainment of approached models, and for that,
data in the time domain or in the frequency domain can be used.
This document makes a comparison between methods of identification of
linear systems using data in frequency domain with classical identification methods,
which use data in the time domain.
The methods chosen were implemented and used in modeling four proposed
systems in order to compare the obtained models and analyze their quality through a
validation process.
A strategy for small systems analysis of unknown order involving
identification methods in the frequency domain was developed.
LISTA DE SÍMBOLOS
Índice usado em iterações
Denota o operador da transformada de Laplace
Método de identificação usando uma estrutura Output Error
Método de identificação de Levy
Método de identificação Vector Fitting
Método de identificação usando Levenberg-Marquardt
Valor de frequência de índice dentro de um intervalo de frequências
( ) Saída de um sistema no instante
( ) Entrada de um sistema no instante
( ) Erro introduzido num instante
Operador de atraso, ( ) ( )
( ) Função transferência de um sistema
( ) Função transferência de um modelo usado na representação de um
sistema
( ) Erro encontrado entre sistema e modelo que o representa
( ) Erro ponderado. ( ) ( ) ( )
Módulo do erro ( ) ao quadrado | ( )|
Operador Jacobiano
Sistema simples de coeficientes e ordem conhecida
Sistema complexo de coeficientes e ordem conhecida
Sistema simples de coeficientes e ordem desconhecida
Sistema complexo de coeficientes e ordem desconhecida
Número de amostras
Período de amostragem
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 8
1.1 MOTIVAÇÂO ........................................................................................................ 8
1.2 OBJETIVOS .......................................................................................................... 9
1.3 METODOLOGIA ................................................................................................. 10
2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS ......................................................................... 11
2.1 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO ............................ 13
2.1.1 Output-Error .................................................................................................... 14
2.2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA .................. 16
2.2.1 Método de Levy (SK) ...................................................................................... 18
2.2.2 Método Vector Fitting (VF) .............................................................................. 21
2.2.3 Método de Levenberg-Marquardt (LM) ........................................................... 24
3 SISTEMAS PROPOSTOS .................................................................................... 28
4 RESULTADOS OBTIDOS .................................................................................... 33
4.1 SISTEMAS CONHECIDOS ................................................................................. 33
4.2 SISTEMAS DESCONHECIDOS ......................................................................... 62
5 CONCLUSÃO ....................................................................................................... 72
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 73
8
1 INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÂO
Desde o começo de nossas vidas e ao longo de nosso crescimento,
passamos por diversas situações em que aprendemos a relacionar certas
consequências com suas causas. Construindo intuitivamente dessa forma, um
grande modelo mental de nosso ambiente, que contém informações acerca de
nossas ações e que nos auxiliam principalmente a prever situações que possam
ocorrer devidas algumas atitudes.
A evolução do pensamento científico ao longo dos séculos e o surgimento
da física clássica levou o ser humano a aprimorar o conceito desse modelo mental e
a estendê-lo a análise de vários tipos de sistemas. Tornando-o não mais algo
meramente qualitativo, sujeito a dúvidas, mas sim algo preciso e de grande
confiabilidade que auxilia na análise e previsões nas mais diversas áreas.
Para que a confiabilidade de um modelo aumentasse novas técnicas
matemáticas surgiram deixando a antiga abordagem newtoniana utilizando uma
descrição de movimentos de corpos e dando lugar a técnicas cada vez mais
sofisticadas usando cálculos numéricos. A área de conhecimento que estuda essas
técnicas alternativas de modelagem matemática chama-se Identificação de
sistemas.
Em 1809, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicou um artigo no Werke
sobre a estimação de parâmetros desconhecidos. Esta técnica mais tarde foi
chamada por Legendre de mínimos quadrados e foi uma das primeiras publicações
referentes a identificação de sistemas não utilizando técnicas convencionais.
Gauss propôs que o melhor modelo para representar um sistema é o que
minimiza a soma dos quadrados dos resíduos entre ele e o sistema a ser
representado, ou seja, os parâmetros desconhecidos de um modelo são os que
minimizam a soma:
∑ ( )
( 1 )
9
com os dados obtidos experimentalmente, e indicando a saída de um modelo
um bom modelo.
As técnicas atuais utilizadas na obtenção de modelos tem como fundamento
a solução da equação ( 1 ) baseada em dados fornecidos pelo sistema quando da
aplicação de uma entrada conhecida. Esses dados podem estar no domínio do
tempo representado por valores instantâneos que variam ao longo dele, ou por
dados no domínio da frequência referindo-se a valores de magnitude e fase.
O presente trabalho tem por objetivo principal implementar, comparar e
analisar técnicas de estimação de modelos de sistemas lineares que resolvem a
equação proposta por Gauss de maneira distinta, utilizando tanto dados no domínio
do tempo, quanto dados no domínio da frequência.
1.2 OBJETIVOS
O presente trabalho tem como objetivo geral o estudo de métodos de
identificação de sistemas lineares usando dados no domínio da frequência em
comparação a métodos de identificação clássicos, que é a estimação feita a partir de
dados no domínio do tempo.
Visa descobrir vantagens e desvantagens na análise usando o domínio da
frequência na estimação de parâmetros de um modelo. E sua eficiência, ou não,
quando comparado com a modelagem de sistemas dinâmicos no domínio do tempo.
Tem como objetivos específicos:
1) Implementar, analisar e comparar diferentes métodos de identificação usando
dados no domínio da frequência.
2) Comparar a eficácia destes métodos com um procedimento clássico,
utilizando uma estrutura do tipo “output error”.
3) Comprovar a validade de todos os modelos obtidos tanto no domínio do
tempo quanto no domínio da frequência.
4) Analisar a qualidade de modelos obtidos usando variações nos dados usados
para estimação.
10
1.3 METODOLOGIA
A metodologia usada no presente trabalho visa basicamente o estudo,
implementação e uso de alguns métodos de identificação de sistemas lineares,
assim como a validação dos modelos obtidos na identificação de alguns sistemas
propostos.
Inicialmente foi realizada uma revisão bibliográfica para familiarização e
contextualização com o universo de identificação de sistemas. Foram levantadas
algumas características de alguns métodos de identificação de sistemas lineares
tanto no domínio do tempo, quanto no domínio da frequência. Desta etapa foram
escolhidos os métodos a serem comparados: um método de identificação com
dados no domínio do tempo usando uma estrutura conhecida como Output Error
(OE) e três métodos para comparação com dados no domínio da frequência.
A segunda etapa consistiu no estudo e implementação de cada um deles
especificamente usando um software de cálculo matemático. A validade dos
métodos implementados foi então comprovada na análise de dois sistemas de
dinâmica conhecida. A seguir uma sequência de testes foi realizada para verificar a
funcionalidade e precisão de modelos obtidos quando existia alguma variação no
conjunto de dados utilizado.
A última etapa refere-se a análise dos métodos quando usados na
identificação de dois conjuntos de dados relativos a sistemas de dinâmica não
conhecida.
11
2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS
A identificação de sistemas preocupa-se basicamente em encontrar um
modelo matemático que consiga relacionar variáveis de um sistema com sinais de
entrada e saída. Este processo de modelagem é feito a partir de dados obtidos
experimentalmente e um processo de estimação dos parâmetros de uma estrutura
usada para representá-lo.
O processo de modelagem de um sistema dinâmico passa por diversas
etapas desde a aquisição dos dados até o processo de estimação do valor de seus
parâmetros. Cada um dos processos é de vital importância para a obtenção de um
bom modelo e pode ser feita de diversas maneiras. Em (AGUIRRE, 2004)
encontramos uma descrição de cada etapa:
1. Testes dinâmicos e coleta de dados: Para que um processo de identificação
de um sistema possa ocorrer é necessário um conjunto de dados que
relacione entrada e saída de um sistema. Esta etapa é fundamental no
processo de identificação visto que sem dados não se pode obter um modelo.
Os dados obtidos podem estar tanto no domínio do tempo, representados por
valores instantâneos que variam ao longo do tempo, quanto no domínio da
frequência com a utilização de valores de magnitude e fase.
2. Escolha da representação matemática a ser usada: Nesta etapa escolhe-se a
estrutura que será usada pra representar o sistema.
3. Estimação de parâmetros: Nesta etapa os parâmetros das estruturas são
estimados através de métodos numéricos com dados tanto no domínio da
frequência, quanto no domínio do tempo.
4. Validação do modelo: Tendo obtido uma família de modelos, é necessário
verificar se eles incorporam ou não as características de interesse do sistema
original. Além disso, é interessante poder comparar os modelos entre si e
decidir se há algum candidato significativamente melhor.
12
A ideia da qualidade de um modelo reside no fato de ele representar fielmente
características desejadas de um sistema e não necessariamente todas elas. Para
que isso possa ser alcançado a escolha da estrutura é importante.
As estruturas utilizadas na modelagem podem ser de dois tipos: paramétrica
(número limitado de parâmetros), e não paramétricas (número infinito de
parâmetros) (BOSH, P. P. J. van den,1994) (AGUIRRE, 2000) (LJUNG, 1987). As
estruturas abordadas por este trabalho são todas paramétricas.
Deve-se lembrar que os dados experimentais são geralmente obtidos em
ambientes sujeito a ação de fontes geradoras de erro nas medidas. Por esse motivo
é relevante considerar isso nas estruturas utilizadas na estimação do modelo
(LJUNG, 1987).
A
FIGURA 1 ilustra o diagrama de blocos de um sistema sujeito a adição de
um sinal de ruído ou distúrbio ( ) modelado por uma função ( ) na saída do
sistema. Este diagrama representa o efeito do ruído como uma adição na saída.
Esta afirmação é válida para a maioria dos sistemas (BOSH, P. P. J. van den,1994).
FIGURA 1 - Sistema afetado por ruído ou distúrbio na saída.
Ao ser expressada matematicamente tem a forma:
Diante da equação ( 2 ) podemos definir cinco modelos de estruturas
paramétricas, são eles: Resposta Impulso Finita (FIR), Auto Regressiva com entrada
exógena (ARX), Auto regressiva de média móvel com entrada exógena (ARMAX),
Erro na Saída (OE) e Box-Jenkins (BJ). Que se distinguem quanto ao modelamento
tanto do sinal de entrada ( ) quanto em relação ao ruído ( ).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 2 )
13
Considere um modelo geral representado por:
em que os polinômios ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) são definidos como:
( )
( )
( )
( ) =
( )
denota o operador de deslocamento (avanço unitário).
Fazendo a escolha de valores específicos para estes polinômios faz-se a
permuta entre os diferentes modelos de representação que podem ser usados em
um processo de identificação de um sistema.
Este trabalho contemplará técnicas de estimação de parâmetros em
modelos para sistemas lineares e invariantes no tempo1, a partir de dados obtidos
tanto no domínio da frequência quanto no domínio do tempo, usando estruturas
paramétricas.
A seguir são apresentados os diversos métodos usados neste trabalho. Estes
visam basicamente a resolução do problema de minimização proposto por Gauss.
Porém como será visto adiante, dependendo da estrutura utilizada na representação
do sistema, as equações obtidas a partir de ( 1 ) são não lineares e de difícil
resolução.
2.1 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO
A identificação no domínio do tempo tem como objetivo obter um modelo
que caracteriza um sistema a partir de dados no domínio. Estes podem ser obtidos a
1 Segundo (LATHI, 2001) um sistema é dito linear quando obedece a regras de linearidade
e homogeneidade, e invariante no tempo quando o valor de suas variáveis não muda com o tempo. A maior parte dos sistemas existentes podem ser aproximados por um sistema linear e invariante no tempo.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) , ( 3 )
14
partir da operação normal do sistema ou usando alguns sinais específicos para se
obter respostas mais características. (AGUIRRE, 2004).
Como já mencionado para que os parâmetros de uma estrutura possam ser
estimados é necessário o uso de alguma técnica matemática. Uma possível maneira
de se realizar isso é comparar a previsão da saída realizada no instante anterior com
o valor real medido. Os métodos baseados neste principio são chamados de
Métodos de Predição de Erro (PEM). (BOSH, P. P. J. van den,1994)
Suponha que o valor da saída do sistema a ser estudado num instante é
representada por ( ), e que se deseja estipular o valor do processo no instante
. Então o valor para a predição neste instante (representado por ( | ) )
usando um método PEM pode ser obtido com base no modelo geral da equação ( 3
). Seu valor é calculado a partir da definição de um operador chamado de estimador
( | ). Seu valor para o modelo geral vale (MOUDGALYA, 2007) (BOSH, P. P.
J. van den,1994) :
2.1.1 Output-Error
A estrutura de interesse analisada neste trabalho é a modelo erro na saída ou
também conhecida como output error (OE). Nela a representação do distúrbio é feita
na saída do sistema. O que justifica o nome do modelo. Esta estrutura também
pode ser encontrada na literatura com o nome função de transferência (tranfer
function model ).
Ela pode ser desenvolvida com base em ( 3 ) fazendo com que os
polinômios ( ) ( ) ( ) tenham valor unitário:
Um diagrama de blocos para melhor visualização é apresentado na FIGURA
2. Podemos observar que a saída total do sistema ( ) é a combinação de uma
saída sem perturbação alguma ( ), corrompida por um sinal distúrbio ou erro ( )
( | ) ( ) ( ) [ ( ) ][ ( ) ( ) ( )] ( 4 )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( 5 )
15
FIGURA 2: Estrutura Output Error (OE)
Pela FIGURA 2 o valor de ( ) pode ser facilmente calculado por:
A partir do modelo geral de predição de erro ( 4 ) podemos obter o modelo
para a estrutura OE, fazendo ( ) e ( ) ( )
( ) :
que se escrita em termos de ( ) torna-se:
O vetor contém o valor dos parâmetros de ( ) e ( ):
[ ] .
Para melhor apresentação das equações é interessante a definição de um
vetor de regressão linear ou estimador ( | ) na forma:
Com isto o novo modelo de predição pode ser reescrito como:
( ) ( )
( ) ( ), ( 6 )
( | ) ( )
( ) ( ), ( 7 )
( | ) ( | )
( 8 )
( | ) = [ ( ) ... ( ) ( | ) ... ( | ) ] ( 9 )
( | ) ( | ) . ( 10 )
16
Logo o problema da estimação de um modelo se resume ao cálculo de
( | ) feito pela equação ( 6 ) que implica no conhecimento dos parâmetros .
Podemos perceber que quando se utiliza a estrutura OE o problema na
estimação de parâmetros tem caráter não linear. Algumas técnicas para resolução
desse problema são apresentadas em (BOSH, P. P. J. VAN DEN,1994), (LJUNG,
1987), (AGUIRRE,2004), (PINTELON, 2001).
2.2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
A modelagem no domínio da frequência diferencia-se da realizada no
domínio do tempo principalmente quanto da origem dos dados utilizados. No
domínio da frequência procura-se obter os parâmetros da estrutura utilizada a partir
dos valores de amplitude e fase de um sistema quando submetido a entradas
periódicas.
A identificação no domínio da frequência baseia-se no fato de que sistemas
lineares invariantes no tempo quando excitados por uma entrada senoidal de
frequência tem resposta em regime permanente também de frequência , porém
com valores de amplitude e fase diferentes (PINTELON, 2001).
Em (PINTELON, 1994) encontramos algumas vantagens do uso do domínio
da frequência na modelagem de um sistema.
Fácil redução de ruído: O ruído surge como frequências que não foram
excitadas na entrada do sistema. Assim, é fácil distingui-lo e eliminá-lo na
saída do sistema.
Redução do Volume de dados: um grande número de amostras no
domínio do tempo é substituído por um número pequeno de linhas
espectrais.
Quando se usa DFT (Discrete Fourier Transform) para calcular o espectro,
o erro tem função de distribuição de probabilidade normal.
Ao contrário da identificação no domínio do tempo, não é necessário
estimar o estado inicial do sistema, pois ele já é analisado em estado
estacionário.
É fácil combinar dados de diferentes experimentos, ou seja, o
levantamento da resposta em frequência de um sistema pode ser feito
17
através de vários experimentos, e depois, os resultados podem ser
combinados.
Uma das principais desvantagens encontradas no uso do domínio da
frequência reside no fato de que alguns sistemas, principalmente os industriais, não
podem ser excitados com entradas oscilatórias, não permitindo dessa forma a
aquisição dos valores de magnitude e fase. Para contornar esse problema, é
possível empregar o método de identificação a partir da aplicação de um algoritmo
de FFT (Fast Fourier Transform) nos sinais de entrada e saída, conhecido como
ETFE (Empirical Transfer Funcion Estimate) (PINTELON, 2001) (AGUIRRE, 2004).
A função de transferência de um sistema linear e invariante no tempo de
entrada simples e saída simples (SISO) pode ser escrita como (SOYSAL;
SEMLYEN,1993)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,
(11)
em que os coeficientes , , e são valores reais
Os coeficientes desta equação podem ser estimados a partir de ( 1 ).
Supondo que se deseja obter um modelo ( ) dado como a razão de dois
polinômios como em (11), a partir de valores de magnitude e fase amostrados em
diferentes frequências , com , dentre toda a resposta em frequência do
sistema, obtemos a seguinte função de custo ser minimizada :
( ) ∑ ( ( )
( )
( ) )
,
( 12 )
cujo problema é de natureza não linear.
Esta não linearidade em relação a estimação dos parâmetros do modelo tem
levado ao surgimento de diferentes formulações e métodos de identificação. Neste
trabalho são utilizados 3 diferentes métodos que abordam este problema
distintamente.
O primeiro método descrito por (LEVY,1959) sugere um maneira de
linearização da equação ( 9 ) através de um processo de ponderação da equação do
erro. Posteriormente (SANATHANAN, KOERNER,1963) propuseram uma variante
18
no método de Levy onde os coeficientes do denominador e numerador são
estimados iterativamente, dando origem ao procedimento conhecido como iterações
de Sanathanam e Koerner ou SK.
O segundo método contemplado por este trabalho é o método de interativo
baseado em frações parciais proposto por (GUSTAVSEN; SEMLYEN,1999)
conhecido como Vector Fitting. Este método difere do método de Levy com iterações
SK por utilizar uma estrutura diferente de modelo, baseada em decomposição em
frações parciais.
O último método apresentado é baseado no procedimento de otimização de
funções não lineares de Levenberg-Marquardt. Este é conhecido na literatura por
resolver problemas de mínimos quadrados não lineares. Tal método pode ser
empregado aqui, já que o processo de identificação no domínio da frequência se
resume a solução de um problema não linear.
2.2.1 Método de Levy (SK)
Como mencionado anteriormente, partindo-se do pressuposto que se deseja
modelar um sistema dado por ( ) a partir de uma estrutura de função de
transferência dada como a razão de dois polinômios (11), chega-se a uma equação
de erro ( ) que estabelece uma diferença entre valor medido e valor estimado em
uma dada frequência :
( ) ( ) ( ) ( 13 )
ou
( ) ( ) ( )
( ) .
( 14 )
Pode-se notar que a equação acima é não linear em termo nos coeficientes
, já que os mesmos encontra-se no denominador da função. Isso impede
o uso do método de mínimos quadrados convencional e dificulta a resolução do
problema de otimização.
(LEVY,1959) propôs uma maneira de se contornar esse problema de não
linearidade da equação ( 14 ), multiplicando todos os termos da equação pelo
19
denominador ( ). Dessa maneira obtém-se um sistema de equações lineares,
em que enfim o método de mínimos quadrados pode ser utilizado.
Multiplicando-se a equação ( 14 ) pelo denominador ( ), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
( 15 )
Minimizando a função de erro quadrática | ( )| de modo a se
encontrar o valor dos parâmetros do modelo ( ) , pode-se chegar a um
conjunto de equações na forma linear . Que constitui um conjunto de
equações lineares sobre determinado, ou seja, com mais equações que incógnitas.
Para a minimização da função de erro quadrática utilizamos uma condição
necessária e suficiente para que tenha mínimos locais (DYER; DYER,2009).
e
Isolando os termos , . Nas condições acima
apresentadas considerando todos os pontos de frequência analisados , e
isolando em relação aos mesmos encontra-se o seguinte sistema de equações
lineares que pode ser resolvido por um método de mínimos quadrados convencional:
( 16 )
[
]
[
]
[
]
em que
∑( )
20
∑ ( )
,
∑( )
∑( (
) )
e são as partes reais e imaginárias do valor experimental em uma determinada
frequência ( ( ) ).
Notamos que com o método sugerido por Levy, a ponderação do sistema de
equações leva a uma linearidade das equações e com isso um método de estimação
ordinário pode ser utilizado. Tornando dessa forma a estimação dos parâmetros do
modelo facilmente implementável.
Porém em algumas situações a solução deste problema pode resultar em
matrizes mau condicionadas, principalmente quando estruturas de ordem elevadas
são utilizadas.
Para contornar este problema Sanathanam e Koerner (1963) propuseram o
uso de um método iterativo através de um novo termo referente ao “passado” de
( ).
Com a adição desse termo a equação ( 15 ) torna-se então:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ,
( 17 )
Nesta equação corresponde ao índice de iterações O termo refere-se dessa
forma ao valor anterior da referida variável.
Resolvendo novamente a nova expressão | ( )| obtém-se o mesmo
conjunto de equações anteriores em ( 16 ), porém os novos coeficientes das
matrizes são dados por:
∑
| ( ) |
∑
| ( ) |
21
∑
| ( ) |
∑
(
)
| ( ) |
Nota-se que as novas equações dependem dos valores anteriores do
denominador. Os coeficientes obtidos pela iteração são usados para o calculo de
( ) para a próxima iteração. No início do processo como seu valor não é
conhecido um valor unitário pode ser usado (SANATHANAM; KOERNER, 1963).
À medida que as iterações são realizadas, os resultados obtidos tendem a
convergir e os coeficientes avaliados tornam-se rapidamente aqueles obtidos pela
minimização da soma de | ( )| , que de certa maneira era o problema inicial.
2.2.2 Método Vector Fitting (VF)
O método descrito a seguir proposto por Gustavsen e Semlyen (1999) aborda
o problema de modelagem de um sistema de uma forma diferente do método
descrito anteriormente. O método de Levy consiste da estimação de parâmetros de
um modelo descrito como a razão de dois polinômios, já o método de Vector Fitting
aborda o problema de identificação no domínio da frequência usando um modelo
descrito em frações parciais. Esta abordagem trás uma grande vantagem ao método
que é a não necessidade de lidar com os termos de frequências elevados à ordem
do modelo do sistema.
Considere uma função de transferência no formato apresentado em (11),
reescrita agora utilizando frações parciais, tal que:
( ) ( )
( ) ∑
,
( 18 )
Nesta equação e são respectivamente os resíduos e os pólos, d e h valores
reais.
O método de Vector Fitting consiste na busca dos valores dos pólos e
resíduos ótimos para a descrição de um sistema a partir de dados obtidos
22
experimentalmente. Esta busca pelos pólos é feita por um esquema iterativo de
realocação de pólos a partir de um conjunto de pólos iniciais arbitrários, em que em
cada iteração um problema de mínimos quadrados é resolvido para se obter melhor
exatidão nos valores dos parâmetros.
O processo de identificação dos pólos é feita em dois estágios. O primeiro
consiste na estimação dos pólos do modelo a partir do uso de uma função de
escalonamento com pólos iguais aos pólos iniciais escolhidos O segundo estágio
estima o valor dos resíduos de ( 18 ) usando uma função não escalonada, também
com base nos valores dos pólos iniciais.
Considerando um certo conjunto de pólos ditos pólos iniciais, distribuídos
por todo o intervalo de frequência de interesse e uma função desconhecida ( ),
pode-se definir uma função de escalonamento ( ) tal que o produto desta função
por ( ) seja :
( ) ( ) ∑
, ( 19 )
Uma aproximação de ( ) é:
( ) ∑
. ( 20 )
Note que as duas funções possuem os mesmo pólos.
Substituindo a equação ( 20 ) em ( 19 ) encontramos a seguinte relação:
∑
(∑
) ( ),
( 21 )
∑
∑
( ) ( ),
( 22 )
Lembrado que e cada ponto em frequência analisada levaria a uma
equação no formato apresentado em ( 22 ), podemos reescrever todo o conjunto de
pontos de frequência analisados como um sistema linear na forma:
23
( 23 )
Tal que:
[
( )
( )
]
[ ]
( )
As expressões acima demonstradas só são válidas para um conjunto de
pólos iniciais puramente reais. Caso pares de pólos complexos conjugados sejam
utilizados deve-se alterar os coeficientes de e para que o valor dos resíduos
e também apareçam em pares complexos conjugados.
Os dois elementos e devem ser substituídos por :
.
Os respectivos elementos no vetor solução torna-se e . Em que
( 24 )
O sistema de equações descrito em ( 23 ) pode ser resolvido usando um
método de mínimos quadrados convencional, como em ( 16 ). Uma vez com os
valores de e , podemos aproximar a função ( ) a partir de ( 21 ) como:
( )
∑
∑
, ( 25 )
Como cada conjunto de frações parciais pode ser reescrito na forma de
produtos obtemos então:
24
( )
∏ ( )
∏ ( )
∏ ( )
∏ ( )
∏ ( )
∏ ( )
( 26 )
Pode-se notar que uma simplificação dos pólos iniciais pode ser realizada já
que tanto a função de escalonamento quanto o produto ( ) ( ) tinham os mesmo
pólos. A equação ( 26 ) demonstra que os zeros da função ( ) convertem-se em
pólos da função ( ). Durante o processo iterativo estes valores são usados como
novos valores para os pólos iniciais da próxima iteração.
Os zeros de ( ) são calculados a partir dos autovalores de uma matriz
definida abaixo:
,
( 27 )
Em que é uma matriz diagonal contendo o valor dos pólos iniciais, é um vetor
coluna de e é um vetor fila contendo os resíduos de ( ) (portanto os valores
de ) encontrados anteriormente. A demonstração disto pode ser encontrada em
(GUSTAVSEN B.; SEMLYEN, A, 1999).
Executando os passos descritos anteriormente em um processo iterativo
chega-se a um modelo ( ) de ( )
Para a obtenção de um modelo satisfatório é de vital importância a solução do
problema com exatidão e para isso bons pólos iniciais devem ser escolhidos.
Uma solução dada pelo autor para esses problemas é o uso de pares complexos de
pólos de forma que:
Com .
Aprimoramentos no método vector fitting podem ser encontradas, dentre
outras referências em (GUSTAVSEN, 2006).
2.2.3 Método de Levenberg-Marquardt (LM)
Quando se menciona o termo solução numérica para o problema de
otimização, em particular, de minimização, quer dizer que o algoritmo tenta de
25
alguma forma encontrar o valor dos parâmetros ou variáveis de uma determinada
função, denominada de função objetivo ou custo, de modo que o seu valor seja o
menor (no caso de minimização) possível, seja num determinado intervalo (mínimo
local) ou em todo o seu conjunto imagem (mínimo global).
De certa maneira é isso o que tem-se abordado até o momento porém não
usando uma abordagem tão “direta” do problema como quando usando técnicas de
otimização. Tanto o método de Levy quanto o método de Vector Fitting buscam
encontrar o valor dos parâmetros do modelo em questão para os quais o erro em
relação aos valores medidos tem o menor valor possível, ou seja, visam encontrar o
mínimo da função erro ( ) dada pela equação ( 13). O objetivo de um algoritmo de
otimização é justamente esse, determinar os pontos onde uma função assume
determinado valor, ou assume valores extremos.
A diferença na utilização do algoritmo de otimização para se modelar um
sistema reside no fato de que o algoritmo não foi desenvolvido para isso como os
demais, e sim vai ser utilizado para esse fim.
O algoritmo de Levenberg–Marquardt (LM) é um dos mais utilizados algoritmos
de otimização e será utilizado neste documento para fins de encontrar os
parâmetros do modelo que minimizam a função de erro quadrático entre os dados
medidos e os dados previstos pelo modelo. Tem como objetivo prover uma solução
numérica para problemas de minimização em que uma função custo é expressa na
forma de soma de quadrados, ou seja:
( )
∑[ ( )]
( 28 )
Para que os coeficientes , possam ser obtidos
devemos minimizar uma função custo, que se tratando do processo de identificação
já foi apresentada em ( 13 ).
Assim como outros métodos de otimização o método de Levenberg–
Marquardt (LM) é iterativo. Isso significa que dado um valor inicial , aqui
representado pelos coeficientes do modelo, ele produzirá uma série de valores
, que espera-se que a função de custo vá convergir para um valor de
mínimo local ou global .
26
Pode-se interpretar o funcionamento do algoritmo do Levenberg–Marquardt
como a combinação de dois outros métodos de otimização: gradiente descendente
ou declive descendente e o método de Gauss-Newton. No primeiro a função custo é
reduzida através do acréscimo dos parâmetros na direção de maior redução. Ao
passo que no segundo, a soma do quadrado dos erros é reduzida fazendo-se uso de
um processo de linearização local e a utilização de mínimos quadrados ordinários
para encontrar um mínimo local dessa linearização. O algoritmo de LM atua como
gradiente descendente quando os valores analisados estão longe de seu valor ótimo
e como Gauss-Newton quando estão próximos. (RANGANATHAN, 2004)
A base para a aplicação do algoritmo é a aproximação linear do modelo em
torno dos parâmetros iniciais [ , ] :
( ) ( ) ( 29 )
Nesta equação representa a matriz jacobiana ( )
Usando esta
aproximação na equação de custo a ser minimizada
( ) | ( ) ( )| | ( ) ( ) | | |
( 30 )
Para que o valor da função acima convirja para um mínimo devemos
encontrar um valor ótimo de A procura por esse valor está relacionada com um
problema de mínimos quadrados ou também com as conhecidas equações normais:
( 31 )
A Matriz do lado esquerdo da equação acima é dita uma aproximação
Hessiana ou seja, uma aproximação da matriz de derivadas de segunda ordem. O
algoritmo Levenberg-Marquardt resolve um grupo de equação um pouco diferentes
destas, conhecidas como equações normais aumentadas (augmented normal
equations ) :
( 32 )
Em que os elementos que não fazem parte da diagonal de são idênticos
as de e os demais são dados por [ ] para .
27
A estratégia de alterar os coeficientes da diagonal da matriz é conhecida
como damping e o termo é conhecido como fator de amortecimento (damping
factor). Quando o valor do vetor de parâmetros atualizado calculado usando a
equação ( 32 ) leva a uma redução do erro a atualização é aceita e o processo
continua com um fator de amortecimento menor. Ao passo que, se o valor de
aumenta, o valor de amortecimento é incrementado e as equações normais
aumentadas são recalculadas até um valor de que decrementa o erro for
encontrado. O processo de resolver a equação ( 32 ) para diferentes valores do fator
de amortecimento até um valor aceitável de parâmetros for encontrado corresponde
a uma iteração no algoritmo de Levenberg-Marquardt (RANGANATHAN A., 2004).
28
3 SISTEMAS PROPOSTOS
Este capítulo apresenta os sistemas que foram utilizados na obtenção dos
dados para estimação dos modelos usando os diferentes métodos de identificação
de sistemas.
Para formação do conjunto de dados que foram utilizados nos testes
envolvendo os método de identificação de sistemas foram escolhidos 4 tipos de
sistemas, sendo que algum deles se conhecia a sua representação usando função
de transferência e outros de que não se tinha nenhuma informação prévia a cerca de
sua dinâmica.
A nomenclatura adotada neste trabalho para facilitar a referência a esses
sistemas está apresentada abaixo:
: Sistema simples com valor de ordem conhecido.
: Sistema complexo com valor de ordem conhecido.
: Sistema simples de dinâmica não conhecida.
: Sistema complexo de ordem não conhecida.
O termo sistema simples, refere-se a um sistema de ordem relativa baixa ao
passo que sistema complexo refere-se a um sistema cuja ordem relativa é grande e
seu comportamento é mais caótico do que o anterior.
Para representar o sistema foi escolhido o uso de um circuito eletrônico
que representa um filtro com topologia Sallen-key. A FIGURA 3 ilustra o circuito:
FIGURA 3: Filtro Sallen Key para extração da função de transferência
FONTE: LATHI, 2007
29
Essa estrutura é muito usada na implementação de filtros do tipo passa-
baixas ou passa-altas. Escolhendo adequadamente o valor das impedâncias do
circuito pode-se obter respostas do tipo Bessel, Butterworth, Chebyshev, etc.
Em (LATHI, 2007) podemos encontrar a função de transferência que
representa este circuito:
( )
( )
(
) ,
( 33 )
em que
O termo na equação ( 33 ) referente a é chamado de frequência de corte e
é o fator de qualidade do filtro.
Escolhendo os valores das capacitâncias e resistências de modo a se definir
uma frequência de corte em e um fator de qualidade de na
equação ( 33 ), obtém-se o seguinte modelo:
( )
( )
. ( 34 )
A resposta em frequência da equação ( 34 ) está sendo exibida na FIGURA
4:
FIGURA 4: Reposta em frequência para o sistema
100
101
102
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
30
Podemos notar que a equação do sistema , possui dois pólos complexos
conjugados localizados em:
.
Para representar o sistema complexo de ordem conhecida ( ) foi
escolhido o sistema apresentado em (ISERMANN; MÜNCHHOF, 2010). Trata-se do
chamado oscilador com três massas (three mass oscillator), ilustrado na FIGURA 5.
É formado por um motor com um eixo que se movimenta presos a três massas e três
discos. Um dos quais será o alvo do estudo. As massas e os dois discos extras
servem para acrescentar momentos de inércia ao sistema, tornando-o dessa forma
mais crítico ou caótico.
FIGURA 5: Oscilador com três massas
FONTE: (ISERMANN; MÜNCHHOF, 2010)
Substituindo os valores propostos por (ISERMANN; MÜNCHHOF, 2010)
necessários para os momentos de inércia, diâmetros dos discos e massa dos pesos
acrescentados, encontramos a seguinte função de transferência da velocidade do
último disco em relação ao torque do motor:
( )
,
( 35 )
31
cuja resposta em frequência encontra-se na FIGURA 6.
A equação ( 35 ) tem pólos reais e complexos localizados em:
FIGURA 6: Resposta em frequência para o sistema
Os sistemas e são de dinâmica desconhecida e foram fornecidos pelo
orientador desde trabalho. Os gráficos de resposta em frequência podem ser
encontrados respectivamente na FIGURA 7 e FIGURA 8
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
100
101
102
-500
-400
-300
-200
-100
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
32
FIGURA 7: Reposta em frequência para o sistema
FIGURA 8: Reposta em frequência para o sistema
10-2
10-1
100
101
102
-40
-30
-20
-10
0
10
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência sistema desconhecido H3
10-2
10-1
100
101
102
-100
-50
0
50
100
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
101
102
103
104
105
106
107
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência sistema desconhecido H3
101
102
103
104
105
106
107
-100
-50
0
50
100
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
33
4 RESULTADOS OBTIDOS
Este capítulo descreve os testes realizados nos sistemas descritos no
capítulo 3, para a análise dos métodos de identificação no domínio do tempo e da
frequência.
Primeiramente serão apresentados a análise em sistemas de dinâmica
conhecida ( e ) em algumas situações distintas e depois passa-se a
modelagem dos sistemas de dinâmica não conhecida ( e ).
4.1 SISTEMAS CONHECIDOS
Nesta etapa foram executados um conjunto de testes nos sistemas ditos
conhecidos: e . Foram testados o funcionamento de cada um dos métodos de
identificação implementados no domínio da frequência e no domínio do tempo, em 5
testes distintos, envolvendo variações no processo de amostragem e diferentes
estruturas usadas no processo de modelagem.
O primeiro tem por objetivo verificar a qualidade dos métodos
implementados. Para isso os modelos obtidos na identificação foram sujeitos a uma
etapa de validação na qual um valor de erro médio quadrático (RMS) em relação ao
sistema analisado era medido.
A partir de todos os métodos funcionando corretamente, passou-se ao
segundo teste envolvendo a introdução de um erro nas amostras coletadas. O erro
foi adicionado de modo a verificar-se o comportamento dós métodos.
O terceiro teste contempla o uso de diferentes números de amostras e uma
variação no período de amostragem utilizado no domínio do tempo. O teste seguinte
usa um número fixo de amostras, porém com diferentes espectros de frequência
para a coleta dos dados usados na estimação dos modelos.
O último teste foi realizado utilizando estruturas sub e sobre dimensionadas
no modelamento, isto é, as estrutura tinham ordem menor e maior das do sistema a
ser modelado.
34
4.1.1 Verificação do funcionamento dos métodos e validação dos resultados
obtidos
Este teste tem como objetivo verificar o funcionamento dos algoritmos
implementados. Ao final os modelos obtidos foram sujeitos a um processo de
validação que comprova sua qualidade.
Os dados para identificação no domínio do tempo foram coletados a partir da
aplicação de uma entrada aleatória nos sistemas. A saída destes foi amostrada com
período de amostragem , no total foram utilizados pontos.
Como dito anteriormente as estruturas escolhidas para o modelamento tem
denominador e numerador de ordem igual a ordem ao sistema a ser modelado.
Os resultados obtidos para o processo de estimação dos sistemas e
usando o método OE encontram-se respectivamente nas FIGURA 9 e FIGURA 10.
As figuras exibem o valor da resposta em frequência para os modelos obtidos.
Para que uma comparação adequada fosse realizada com os modelos no
domínio do tempo, foi necessário um processo de discretização dos sistemas
analisados, já que o método fornecia modelos no tempo discreto (Z). A discretização
realizada usou o mesmo período de amostragem anterior, .
FIGURA 9: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando OE. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.
100
101
102
-100
-80
-60
-40
-20
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
Real
OE
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
35
Pode-se notar pelas figuras que o modelo obtido usando OE apresenta
resposta em frequência idêntica ao sistema. Este resultado era esperado uma vez
que a ordem da estrutura usada é igual a do sistema.
FIGURA 10: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando OE. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.
No domínio da frequência os dados foram coletados num intervalo de
frequência de [ ] , dispostos com um intervalo de ,
totalizando dessa forma também amostras.
Para o funcionamento dos métodos foi necessária algumas configurações
prévias, distintas para cada um deles.
Método de SK: 10 iterações.
Método de VF: Foram usados pólos reais linearmente dispostos pelo intervalo
de frequência analisado. O número de pólos utilizado era igual a ordem do
sistema.
No método de LM foram utilizadas 50 iterações. O valor inicial dos
coeficientes utilizados foi no sistema igual a unidade e no sistema foi
igual a grandeza dos coeficientes a serem estimados.
A resposta em frequência dos modelos obtidos usando a estrutura de
mesma ordem dos sistemas e encontra-se respectivamente nas FIGURA 11 e
FIGURA 12. Diferentemente dos dados anteriores não foi necessário um processo
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
Real
OE
100
101
102
-500
-400
-300
-200
-100
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
36
de discretização já que todos os métodos no domínio da frequência fornecem
modelos no domínio
FIGURA 11: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando os métodos do domínio da frequência. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.
FIGURA 12: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando os métodos do domínio da frequência. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.
100
101
102
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
Real
SK
VF
LM
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
Real
SK
VF
LM
100
101
102
-500
-400
-300
-200
-100
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
37
Observa-se que todos os métodos apresentaram respostas que se
sobrepõem a resposta em frequência original do sistema. O que sugere a obtenção
de um bom modelo.
Para uma melhor verificação dos modelos obtidos é interessante comparar a
posição de seus pólos. A TABELA 1 e a TABELA 2 contém os pólos dos modelos
obtidos no domínio do tempo e no domínio da frequência para o sistema e ,
respectivamente. Na primeira os modelos apresentam os mesmos pólos do sistema,
o que nos levar a supor que quando os modelos obtidos para o sistema forem
submetidos a uma análise de validação os erros encontrados serão pequenos.
TABELA 1: Pólos dos modelos obtidos. Sistema
Tem
po
OE
Fre
quê
ncia
SK
VF
LM
Os modelos do sistema obtidos apresentaram diferenças em relação a
alocação dos pólos reais. O pólo próximo a origem do sistema não foi encontrado
em SK, e foi completamente excluído nos modelos obtidos por VF e LM, ao passo
que no domínio do tempo foi corretamente encontrado.
TABELA 2: Pólos dos modelos obtidos. Sistema
Tem
po
OE
Fre
quê
ncia
SK
VF
LM
38
Os modelos obtidos no domínio do tempo e no domínio da frequência foram
sujeitos a um processo de validação, em que uma entrada aleatória era aplicada aos
modelos e ao sistema. Valores de erro entre saída do modelo e saída do sistema
foram medidos.
Pelo mesmo motivo anterior, para a realização da validação foi necessário a
discretização dos modelos obtidos no domínio da frequência. A discretização
realizada foi feita com o mesmo período de amostragem
Os resultados obtidos nesta etapa foram comparados e podem ser
visualizados na FIGURA 13. Pode-se notar que, como o esperado, devido a boa
alocação dos pólos dos modelos do sistema os erros são quase imperceptíveis.
Uma análise mais crítica pode ser feita a partir da TABELA 3, que apresenta o valor
médio dos erros quadráticos (RMS).
Todos os métodos de identificação na frequência trouxeram baixos valores
de erros, mesmo os que não consideraram a inclusão do pólo real anteriormente
comentado. O que nos leva a crer que o sistema , pode também ser modelado pro
uma estrutura de ordem inferior. Esta observação será discutida mais adiante
TABELA 3: Valores de erro quadráticos medidos na validação
Output-Error (OE)
Levy (SK)
Vector Fitting (VF)
Levenberg-Marquardt (LM)
39
FIGURA 13: Resultado do processo de validação dos modelos obtidos usando entrada aleatória. Sistema (Superior) e sistema (Inferior)
4.1.2 Análise do funcionamento dos métodos com a adição de incertezas nas
medidas
Uma vez com todos os métodos funcionando corretamente passou-se ao
teste seguinte utilizando incertezas nas medidas coletadas. Os métodos de
identificação foram aplicados no modelamento dos sistemas e com dados
coletados contendo erros. Para simular o efeito da presença de erros nas medidas
foi adiciona ao conjunto de dados coletados, tanto no domínio do tempo como no
domínio da frequência, um pequeno valor aleatório.
A amplitude deste foi variada ao longo dos testes em intervalos constantes
de em relação ao valor RMS obtido considerando os dados de magnitude, fase
e as amostras no período do tempo.
Foram considerados os dois sistemas no processo de identificação. As
estruturas dos modelos utilizados tem a mesma ordem da dos sistemas. O tempo de
amostragem utilizado foi de para o OE e o intervalo de frequência
utilizado para os demais métodos era [ ] dispostos em intervalos de
. Em todas as situações foram usados um número de 1000 amostras, e
os métodos tinham as mesmas configurações que o teste anterior em relação a
iterações e valores iniciais.
0 1 2 3 4 5 6 7-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015Saída dos modelos estimados sujeitos a uma entrada aleatória. Sistema H1
0 1 2 3 4 5 6 7-2
0
2
4
6
8
10Saída dos modelos estimados sujeitos a uma entrada aleatória. Sistema H2
Real
OE
SK
VF
LM
Real
OE
SK
VF
LM
40
A FIGURA 14 representa o comportamento do erro calculado na magnitude e
fase, presente na resposta em frequência dos modelos quando comparados com o
sistema . A FIGURA 15 por sua vez, ilustra o valor dos erros dos modelos
discretizados usando-se o mesmo anterior.
Observa-se que o método OE foi o que sofreu menos influência conforme a
amplitude do erro aumentava, tanto para a magnitude quanto para a fase. Os
métodos de identificação no domínio da frequência apresentaram um crescimento
exponencial do erro para o valor da magnitude, sendo que o VF apresentou o maior
dos erros. Foi verificado ainda que o VF apresentou um comportamento diferente
quando sofreu o processo de discretização nos valores referentes a fase (FIGURA
15) .
FIGURA 14 Evolução do erro para os modelos no domínio da frequência variando-se a amplitude do erro aplicado sobre as medidas realizadas. Sistema .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4x 10
-3
Erro Introduzido (%)
Valo
r rm
s d
o e
rro d
e v
alid
ação
Evolução do erro na MAGNITUDE no domínio s
SK
VF
LM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
10
20
30
40
50
Erro Introduzido (%)
Valo
r rm
s d
o e
rro d
e v
alid
ação
Evolução do erro na FASE no domínio s
41
FIGURA 15: Evolução do erro para os modelos discretizados variando-se a amplitude do erro aplicado sobre as medidas realizadas. Sistema .
Durante o processo de validação dos modelos o erro medido apresentou um
comportamento similar ao das figuras anteriores. Os resultados estão apresentados
na FIGURA 16. O método SK apresentou um pico quando o erro tinha 5% em
relação ao RMS total, este valor provavelmente foi oriundo de um problema de mau
condicionamento da matriz dos coeficientes utilizada pelo método.
FIGURA 16: Evolução do erro RMS encontrado na validação dos modelos obtidos. Sistema .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4x 10
-3
Erro Introduzido (%) V
alo
r rm
s d
o e
rro
de
va
lid
açã
o
Evolução do erro na MAGNITUDE no domínio Z
OE
SK
VF
LM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
100
200
300
400
Erro Introduzido (%)
Va
lor
rms d
o e
rro
de
va
lid
açã
o
Evolução do erro na FASE no domínio Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4x 10
-3
Erro Introduzido (%)
Va
lor
rms d
o e
rro
de
va
lid
açã
o
Evolução do erro de validação
OE
SK
VF
LM
42
Os modelos obtidos para o sistema demostraram um comportamento
diferente aos do sistema . Pode-se observar pela FIGURA 17 que os métodos de
identificação na frequência SK e LM, apresentaram grandes valores de erro quando
o erro introduzido era muito grande. Ao contrário do sistema , não foram
verificadas diferenças no comportamento do erro no domínio do tempo contínuo e
discreto em nenhum dos métodos.
FIGURA 17: Evolução do erro encontrado conforme variação da amplitude do erro aplicado sobre as medidas realizadas. Sistema .
No processo de validação dos modelos, os métodos VF e SK apresentaram
erros muito grandes dificultando dessa forma a visualização da curva de validação.
Por esse motivo a FIGURA 18 contém o valor dos erros obtidos para o método de
identificação no domínio da frequência VF e identificação no domínio do tempo OE.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
Erro Introduzido (%)
Va
lor
rms d
o e
rro
de
va
lid
açã
o
Evolução do erro na MAGNITUDE no domínio Z
OE
SK
VF
LM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
Erro Introduzido (%)
Va
lor
rms d
o e
rro
de
va
lid
açã
o
Evolução do erro na FASE no domínio Z
43
FIGURA 18: Evolução do erro na validação usando os métodos OE (domínio do tempo) e VF (domínio da frequência).
Os valores obtidos para os dois sistemas, simples e complexo, foram
diferentes. Porém o método de identificação no domínio do tempo apresentou-se
mais eficiente para os dois sistemas.
4.1.3 Análise do funcionamento dos métodos com a variação no número de
amostras coletadas.
Este teste tem por objetivo avaliar o comportamento do erro no
modelamento dos sistemas quando um número diferente de amostras é usado. Para
que essa análise fosse realizada foi definido um intervalo fixo no domínio da
frequência e no domínio do tempo e o intervalo entre as amostras coletadas era
variado.
Os intervalos de variação de frequência foram definidos em [ ] e
no tempo [ ] . Toda vez que o intervalo entre as amostras era variado uma
nova coleta de dados era realizada e novos modelos eram obtidos e então avaliados
em relação ao valor de magnitude e fase.
Para a realização dos testes foi utilizada as configurações iniciais utilizada
nos testes anteriores e também uma estrutura de mesma ordem que a do sistema
avaliado.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10-0.6
10-0.5
10-0.4
10-0.3
10-0.2
10-0.1
100
100.1
Erro Introduzido (%)
Va
lor
rms d
o e
rro
de
va
lid
açã
o
Evolução do erro de validação
OE
VF
44
A FIGURA 19 contém as diversas respostas em frequência para os
diferentes modelos obtidos no domínio do tempo para o sistema . Nota-se que à
medida que o número de amostras aumentava, ou seja diminuía, o modelo ia se
tornando mais preciso. O que nos leva a perceber que os modelos no domínio do
tempo são totalmente dependentes do período de amostragem utilizado.
FIGURA 19: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio do tempo usando-se um número variável de amostras.
As figuras abaixo ilustram as resposta em frequência para os demais
métodos de identificação no domínio da frequência para o sistema . O método VF
(FIGURA 22) apresentou os melhores resultados para um baixo número de amostras
ao passo, que o método LM os piores. Este último só obteve resultados satisfatórios
quando as amostras utilizadas ultrapassavam o número de 200.
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Magnitude (
dB
)
Resposta em frequência
100
101
102
-2000
-1500
-1000
-500
0
Phase (
deg)
Frequency (rad/s)
real
N = 20
N = 60
N = 80
N = 200
N = 300
N = 500
45
FIGURA 20: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio da frequência com o método SK ,usando um número variável de amostras
FIGURA 21: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio da frequência com o método VF ,usando um número variável de amostras
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Magnitude (
dB
)
Resposta em frequência
100
101
102
-500
-400
-300
-200
-100
0
Phase (
deg)
Frequency (rad/s)
real
N = 20
N = 60
N = 80
N = 100
N = 200
N = 300
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
100
101
102
-500
-400
-300
-200
-100
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
real
N = 20
N = 60
N = 80
N = 100
N = 200
N = 300N = 500
46
FIGURA 22: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio da frequência com o método LM ,usando um número variável de amostras
A partir da evolução do erro na análise do sistema (FIGURA 23) e do
sistema (FIGURA 24) podemos concluir que o método de identificação no
domínio do tempo usado é bastante dependente do tempo de amostragem. Nos dois
gráficos notamos que a medida que o número de amostras aumenta, e
consequentemente o período de amostragem diminuía o erro diminuía
proporcionalmente, até o número de 100 amostras.
FIGURA 23:Evolução dos erros entre magnitude e fase em relação ao sistema quando o número de amostras era variado. Sistema
100
101
102
-100
-50
0
50
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
100
101
102
-500
-400
-300
-200
-100
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
real
N = 20
N = 60
N = 80
N = 100
N = 200
N = 300
N = 500
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010
-20
10-15
10-10
10-5
100
Erro acumulado MAGNITUDE
Amostras
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
OE
SK
VF
LM
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010
-15
10-10
10-5
100
105
Erro acumulado FASE
Amostras
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
47
FIGURA 24: Evolução dos erros entre magnitude e fase em relação ao sistema quando o número de amostras era variado. Sistema
Em relação a um número pequeno de amostras, os métodos no domínio da
frequência apresentaram melhores resultados do que no domínio do tempo. O
método VF apresentou o menor dos erros nos dois sistemas.
Verifica-se que SK forneceu modelos mais precisos que no tempo em
relação ao sistema isso já não foi verificado no sistema . Isto se deve
provavelmente devido a ordem elevada do mesmo.
O método de otimização LM apresentou variações bruscas no erro quando o
sistema foi modelado, já os resultados obtidos para foram bem mais estáveis.
4.1.4 Análise do funcionamento dos métodos com o uso de sinais de excitação de
mesmo espectro de frequência
Este teste tem como objetivo comparar de maneira mais exata a capacidade
de identificação dos métodos quando sinais de mesmo espectro de frequência são
usados para a excitação durante a coleta dos dados. Isso quer dizer que se um
determinado intervalo de frequência for coletado no domínio da frequência, este
mesmo intervalo será utilizado para compor o sinal que vai ser usado na excitação
do sistema para a coleta de informações no domínio do tempo.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010
-15
10-10
10-5
100
105
Erro acumulado MAGNITUDE
Amostras
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
OE
SK
VF
LM
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010
-10
10-5
100
105
Erro acumulado FASE
Amostras
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
48
O objetivo do teste é também verificar se o uso de componentes de
frequência distante ou próximo dos pólos acarreta em diferenças na qualidade do
modelo adquirido.
A análise envolveu o estudo de dois casos com faixas de frequências
diferentes. Em ambos, foi utilizada uma faixa de frequência para compor o sinal de
excitação denotado por , e outra para compor um sinal usado no processo
de validação, representado por . Os métodos também foram submetidos a
validação usando um sinal de entrada aleatória ( ).
{
[ ]
[ ]
{
[ ]
[ ]
Estas faixas foram escolhidas de modo que no Caso 1, o sinal usado para
estimação abrangesse os pólos das funções de transferência, e o espectro usado na
validação ( ) estivesse fora desse intervalo. No Caso 2, esta situação se
inverte, a coleta de dados era feita fora da faixa de frequência dos pólos e a
validação dentro dela. Deve-se observar que nos dois casos a validação usando
entrada aleatória usava uma distribuição normal de frequência ( ).
Para uma melhor avaliação dos modelos obtidos os erros relativos entre
modelos e sistemas foram analisados graficamente e quantitativamente num
intervalo de [ ] .
Nos dois casos foi usado um total de amostras. Logo 1000 pontos
de frequência foram usados dentro do intervalo de cada situação e estes foram
usados para compor um sinal que foi aplicado a um sistema, cuja saída, foi
amostrada com , de modo a também se obter 1000 pontos para serem
usados na identificação no domínio do tempo.
As estruturas utilizadas tem a mesma ordem dos sistemas e as
configurações iniciais para os métodos são as mesmas dos testes anteriores.
Pode-se observar pelas FIGURA 25 e FIGURA 26 que a resposta em
frequência dos modelos obtidos para o Caso 1 aproximaram-se de forma satisfatória
da resposta em frequência dos sistemas avaliados. Os modelos obtidos por VF e LM
apresentaram bons resultados, ao passo que SK e OE apresentaram desvios
elevados no modelamento de .
49
FIGURA 25: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, fora da faixa dos pólos do sistema. Sistema .
FIGURA 26: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, fora da faixa dos pólos do sistema. Sistema .
A FIGURA 27 e a FIGURA 28 apresentam o teste de validação dos modelos
utilizando a faixa do Caso 1, e também a entrada aleatória. Como já
observado os métodos de identificação no domínio da frequência apresentaram
bons resultados, e os erros encontrados podem ser visto na TABELA 4.
100
101
102
-100
-80
-60
-40
-20
Magnitude (
dB
)
Resposta em frequência
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
Phase (
deg)
Frequency (rad/s)
Real
OE
SK
VF
LM
Faixa estimação
Faixa validação
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Magnitude (
dB
)
Resposta em frequência
Real
OE
SK
VF
LM
Faixa estimação
Faixa validação
100
101
102
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
Phase (
deg)
Frequency (rad/s)
50
FIGURA 27: Testes de validação usando as faixas de frequência do Caso 1. Sistema .
FIGURA 28: Testes de validação usando as faixas de frequência do Caso 1. Sistema .
TABELA 4: Erros de estimação e validação obtidos no Caso 1
Entradas Estimação Validação Aleatória Estimação Validação Aleatória
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-10
0
10Teste de validação com a entrada de estimação
real
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-10
0
10
20Teste de validação 1
real
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-1
0
1
Tempo (s)
Teste de validação 2
real
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-5000
0
5000Teste de validação com a entrada de estimação
real
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-1
0
1
2x 10
4 Teste de validação 1
real
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-500
0
500
1000
Tempo (s)
Teste de validação 2
real
OE
SK
VF
LM
51
No caso 2 foi utilizada uma faixa de frequência cujo espectro estava
predominantemente dentro da faixa de disposição dos pólos dos sistemas. As
figuras FIGURA 29 e FIGURA 30 apresentam as respostas em frequência dos
modelos discretizados. Pode-se notar que ao contrário do Caso 1, o método OE não
apresentou o mesmo problema em altas frequências que anteriormente, tanto para o
sistema quanto para .
FIGURA 29: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, dentro da faixa dos pólos do sistema. Sistema .
FIGURA 30: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, dentro da faixa dos pólos do sistema. Sistema
100
101
102
-100
-80
-60
-40
-20
Magnitude (
dB
)
Resposta em frequência
Real
OE
SK
VF
LM
Faixa estimação
Faixa validação
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
Phase (
deg)
Frequency (rad/s)
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Magnitude (
dB
)
Resposta em frequência
Real
OE
SK
VF
LM
Faixa estimação
Faixa validação
100
101
102
-500
-400
-300
-200
-100
0
Phase (
deg)
Frequency (rad/s)
52
As FIGURA 31 e FIGURA 32 ilustram os resultados obtidos no processo de
validação usando as faixas de frequência do Caso 2.
FIGURA 31: Testes de validação usando as faixas de frequência do Caso 2. Sistema .
FIGURA 32: Testes de validação usando as faixas de frequência do Caso 2. Sistema .
O valor dos erros obtidos usando a validação com espectro do
Caso 2 está próximo dos valores obtidos quando se utilizava uma entrada aleatória e
também próximo aos erros obtidos do teste usando uma coleta de dados usando
uma entrada aleatória (TABELA 3).
0 1 2 3 4 5 6 7-5
0
5
10
15Teste de validação com a entrada de estimação
real
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-10
-5
0
5
10Teste de validação 1
real
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo (s)
Teste de validação 2
real
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-5000
0
5000
10000
15000Teste de validação com a entrada de estimação
real
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-2000
0
2000
4000
6000Teste de validação 1
real
OE
SK
VF
LM
0 1 2 3 4 5 6 7-200
0
200
400
600
Tempo (s)
Teste de validação 2
real
OE
SK
VF
LM
53
TABELA 5: Erros de estimação e validação obtidos no Caso 2
Entradas Estimação Validação Aleatória Estimação Validação Aleatória
OE
SK
VF
LM
Um dos objetivos deste teste era mostrar a capacidade de extrapolação dos
métodos, ou seja, tentar verificar se o modelo obtido por em uma certa faixa de
frequência continua sendo válido para outra faixa. O que foi válido no domínio do
tempo e da frequência quando essa faixa continha os pólos do sistema.
O método de OE trouxe bons resultados somente quando o sinal de excitação
do sistema continha o valor dos pólos (Caso 2) do mesmo (TABELA 5), se
aproximando dessa forma dos resultados obtido quando todo o intervalo de
frequência era utilizado.
4.1.5 Análise da evolução do erro com diferentes estruturas para o modelo.
O objetivo teste experimento é simular uma situação prática em que não se
conhece a estrutura do sistema. Procurou-se observar a evolução do erro do modelo
enquanto se usava estruturas de ordem menor (subdimensionada) e de ordem maior
(sobredimensionada) para o modelo do sistema a ser identificado.
Por motivos de simplicidade do experimento a ordem do sistema aqui
indicada, refere-se tanto a ordem do numerador quanto do denominador da função
de transferência que representa os sistemas.
Para a realização dos testes foram usados os mesmos parâmetros que até o
momento, e um intervalo de frequência de [ ] ,
dispostos em intervalos de . As configurações iniciais dos métodos são
as mesmas das análises anteriores.
54
Foram usadas estruturas que variavam de ordem 1 até 10. Os modelos
obtidos foram então submetidos a um processo de validação usando entrada
aleatória.
As figuras a seguir demostram a evolução de cada modelo de cada método
individualmente conforme a estrutura aumentava de ordem. A evolução do erro de
magnitude e fase de cada um deles também estão sendo apresentados.
FIGURA 33: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio do tempo com o método OE para o sistema
FIGURA 34: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método SK
100
101
102
-100
-80
-60
-40
-20
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
real
Or = 1
Or = 2
Or = 3
Or = 4
Or = 5
Or = 6
100
101
102
-100
-80
-60
-40
-20
0
Magnitude (
dB
)
Resposta em frequência
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
Phase (
deg)
Frequency (rad/s)
real
Or = 1
Or = 2
Or = 3
Or = 4
Or = 6
Or = 7
55
FIGURA 35: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método VF
FIGURA 36: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método LM
100
101
102
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
Magnitude (
dB
)
Resposta em frequência
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
Phase (
deg)
Frequency (rad/s)
real
Or = 1
Or = 2
Or = 3
Or = 4
Or = 5
Or = 6
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
Magnitude (
dB
)
Resposta em frequência
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
Phase (
deg)
Frequency (rad/s)
real
Or = 1
Or = 2
Or = 4
Or = 5
Or = 8
Or = 9
56
FIGURA 37: Evolução do Erro (RMS) conforme aumento da ordem da estrutura, usando identificação no domínio do tempo e frequência.
A FIGURA 37 ilustra a evolução do erro RMS entre magnitude e fase dos
modelos em relação ao sistema real. Pode-se notar que a partir do momento que a
estrutura atinge o valor ideal e começa a ser sobrestimada o erro diminui
drasticamente tanto nos métodos de identificação no domínio do tempo, quanto no
domínio da frequência. Porém o efeito é mais acentuado nestes do que naqueles.
Na modelagem do sistema conhecido simples, todos os métodos
comportaram-se de maneira satisfatória. O método de VF apresentou o menor erro
conforme a estrutura evoluía de ordem.
O mesmo teste foi aplicado ao sistema e os resultados obtidos encontram-
se abaixo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-20
10-10
100
1010
1020 Erro acumulado MAGNITUDE
Ordem da estrutura
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
OE
SK
VF
LM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-15
10-10
10-5
100
105
Erro acumulado FASE
Ordem da estrutura
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
57
FIGURA 38: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio do tempo com o método OE . Sistema .
FIGURA 39: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método SK. . Sistema .
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
100
101
102
-500
-400
-300
-200
-100
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
real
Or = 1
Or = 2
Or = 3
Or = 4
Or = 5
Or = 6
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
100
101
102
-500
-400
-300
-200
-100
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
real
Or = 2
Or = 3
Or = 4
Or = 5
Or = 7
Or = 8
58
FIGURA 40: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método VF. Sistema .
FIGURA 41: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método LM. Sistema .
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
100
101
102
-500
-400
-300
-200
-100
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
real
Or = 3
Or = 4
Or = 5
Or = 6
Or = 7
100
101
102
-800
-600
-400
-200
0
200
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
100
101
102
-1000
-800
-600
-400
-200
0
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
real
Or = 4
Or = 5
Or = 7
Or = 8
Or = 9
Or = 10
59
FIGURA 42: Evolução do Erro (RMS) conforme aumento da ordem da estrutura, usando identificação no domínio do tempo e frequência . Sistema .
Na modelagem do sistema , o método LM não nos forneceu nenhum
resultado satisfatório. O método de VF novamente apresentou os melhores
resultados quando a estrutura era sobrestimada.
Novamente observando a evolução do erro RMS conforme aumento da
ordem da estrutura (FIGURA 42) notamos que no momento em que a ordem é igual
a ordem do sistema o erro diminui drasticamente e mantém-se num valor patamar
menor do que quando a estrutura era subestimado. Esta variação é mais uma vez
mais intensa nos métodos de identificação no domínio da frequência do que no
domínio do tempo.
Pode-se observar que esta variação, no entanto, não foi exatamente na
ordem do sistema para a modelagem de . No domínio da frequência ela acontece
na em Isso foi devido ao fato de que existe um pólo próximo da origem na
função de transferência de .
O melhor resultado usando VF pode ser explicado devido ao fato de que
para os outros métodos a função de transferência é estimada usando um valor inicial
para a ordem do numerador e denominador da função (estrutura do modelo), ou em
outras palavras, deve-se definir previamente qual é o número de pólos e zeros do
sistema. O método VF consegue estimar o valor de ambos apenas usando um
determinado conjunto de pólos iniciais.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-15
10-10
10-5
100
105
Erro acumulado MAGNITUDE
Ordem da estrutura
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
OE
SK
VF
LM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-10
10-5
100
105
Erro acumulado FASE
Ordem da estrutura
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
60
Uma análise apenas no sentido de complementação usando o método de
SK foi realizada. Anteriormente foram variados ao mesmo tempo o número de pólos
e zeros das estruturas e observou-se que em dado momento o erro assumiu um
valor mínimo. Supondo este valor como ordem do denominador da estrutura e
fazendo-o fixo durante uma nova análise em que apenas o número de zeros da
estrutura varia, obteremos a seguinte nova evolução do erro para o método de SK.
FIGURA 43: Evolução do erro obtido pelo método de SK fixando-se a ordem do denominador da estrutura.
Pode-se observar pela FIGURA 43 que novamente a evolução do erro tem
uma variação abrupta em uma determinada ordem e depois o valor volta a
aumentar.
Considerando a equação de transferência do sistema ( 34 ), podemos
realizar algumas manipulações algébricas a fim de compará-la aos modelos obtidos,
obtemos então:
A equação de transferência dos modelos obtidos por SK e VF são dadas por:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 102
2.5
3
3.5
4x 10
-12 Erro acumulado MAGNITUDE usando SK
Ordem da estrutura
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1x 10
-7 Erro acumulado FASE usando SK
Ordem da estrutura
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
( )
( )
61
Que se desconsiderarmos os termos do numerador de ordem pequena,
chegamos a conclusão que os métodos foram capazes de modelar a função
perfeitamente.
4.1.6 Discussão dos resultados
Os testes realizados mostraram a eficiência dos métodos de identificação de
sistemas quando sujeitos a situações envolvendo variações no processo de
amostragem e diferentes estruturas usadas no processo de modelagem. Procurou-
se comparar os métodos utilizando dados no domínio do tempo e no domínio da
frequência na identificação de sistemas de dinâmica conhecida.
Pode-se perceber que em situações envolvendo poucos amostras os métodos
de identificação no domínio da frequência forneceram melhores resultados. Isto se
deve ao fato de que a identificação no domínio do tempo está relacionada com o
período de amostragem utilizado, sendo dependente deste. Algo muitas vezes ruim,
já que em situações reais muitas vezes não se conhece a dinâmica dos sistemas,
tornando a escolha de um período de amostragem adequado uma difícil decisão.
A escolha de um sinal usado para obtenção dos dados de amplo espectro de
frequência também é algo importante quando se usa métodos de identificação no
domínio do tempo. Preferencialmente este sinal deve comtemplar os pólos do
sistema analisado no âmbito em que se deseja modelar o sistema.
Os métodos de identificação usando dados no domínio da frequência não
foram tão sensíveis neste sentido quando uma estrutura de ordem conhecida foi
usada. Apresentando bons resultados mesmo quando o espectro de frequência não
continha os pólos do sistema.
Pode-se perceber a consequência no processo de sub e sobre estimação da
ordem da estrutura de um sistema. Observou-se que o valor do erro medido entre
modelo e sistema nestas duas formas da estrutura cria patamares distintos.. Esta
diferença é muito mais significativa nos métodos de identificação no domínio da
frequência do que os no domínio do tempo.
( )
62
A partir dessa análise de variação de estrutura pode-se criar um procedimento
para estimação da ordem de um sistema. E pode-se concluir que o método de
identificação que usa uma estrutura na forma de frações parciais apresenta uma
vantagem nesta situação.
4.2 SISTEMAS DESCONHECIDOS
Os métodos de identificação no domínio do tempo e no domínio da frequência
foram testados na análise de um sistema de dinâmica desconhecida, partindo-se do
pressuposto que um conjunto de dados já foi coletado tanto no domínio do tempo
quanto no domínio da frequência usando uma determinada faixa de frequência e
intervalo de amostragem.
Os conjuntos de dados disponíveis foram analisados individualmente, e os
modelos obtidos foram então sujeitos a um processo de validação. Na primeira parte
dos testes foram analisados os dados referentes ao sistema e na segunda parte
os do sistema .
Em ambos os sistemas o principal problema encontrado foi na escolha da
ordem da estrutura. Como não se conhecia a natureza original dos mesmos, não se
podia estipular um valor inicial para ela. A partir dos resultados obtidos nos testes
em e , este problema foi contornado usando-se um teste de variação na ordem
da estrutura. A partir dele foi obtido um valor para a ordem dos modelos e por um
consequência, chegou-se a bons resultados.
Para a utilização dos métodos foram usadas as mesmas configurações em
relação ao número de iterações (SK, VF e LM), disposição de pólos (VF) e valor
inicial para variáveis (LM), que já tinham sido usadas na primeira parte deste
trabalho.
4.2.1 Análise do Sistema
O conjunto de dados referente ao sistema foi submetido aos mesmos
testes de variação de ordem na estrutura que anteriormente. Para a execução deste
teste foi considerada novamente que a ordem de numerador e denominador para a
estrutura utilizada era a mesma.
63
A FIGURA 44 apresenta e evolução do erro encontrada conforme variação da
ordem da estrutura. Nota-se que a partir de um determinado valor, o erro entre
modelo e sistema apresentou uma variação significativa, principalmente para os
métodos no domínio da frequência.
FIGURA 44: Evolução do erro conforme variação da ordem da estrutura do modelo. Sistema
Nota-se que para o método VF a partir de um valor de ordem igual a 3, o erro
manteve-se praticamente constante. Desse modo, como afirmado anteriormente,
devido a maneira de funcionamento do método a estrutura utilizada tem 3 pólos e
não é necessária uma estimação do número de zeros do modelo. O modelo obtido
por VF foi:
( )
Os métodos de OE, SK e LM por usam uma estrutura na forma
numerador/denominador requerem mais uma análise para um modelamento mais
preciso.
Fixando o número de pólos para essa estrutura e variando a ordem do
numerador, ou seja o número de zeros dos modelos, obtemos o gráfico da FIGURA
45. Observa-se que a partir da ordem igual a 2 os métodos apresentaram uma
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-15
10-10
10-5
100
Erro acumulado MAGNITUDE
Ordem da estrutura
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
OE
SK
VF
LM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-15
10-10
10-5
100
105
Erro acumulado FASE
Ordem da estrutura
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
64
variação significativa. Desse modo a estrutura que representa melhor o modelo para
esses métodos é uma estrutura com 2 zeros e 3 pólos.
FIGURA 45: Evolução do erro conforme o número de zeros era acrescentado na estrutura utilizada nos métodos OE, SK e LM. Sistema
As funções de transferência dos modelos encontrados são:
( )
( )
( )
As respostas em frequência dos modelos obtidos pelo método no domínio do
tempo e no domínio da frequência podem ser encontradas em FIGURA 46.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-15
10-10
10-5
100
105
Erro acumulado MAGNITUDE
Ordem da estrutura
Valo
r do e
rro a
bsolu
to
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-15
10-10
10-5
100
105
Erro acumulado FASE
Ordem da estrutura
Valo
r do e
rro a
bsolu
to
OE
SK
LM
65
FIGURA 46: Resposta em frequência dos modelos obtidos para o sistema no domínio da frequência e no domínio do tempo
Observando as repostas em frequência notamos que OE apresentou um erro
grande. A partir dos resultados obtidos nas análises dos sistemas e , podemos
afirmar que esse erro pode ser consequência de um processo de má escolha no
sinal de excitação usado para a coleta de dados ou devido ao valor do período de
amostragem utilizado.
Os modelos obtidos foram usados em um processo de validação. A FIGURA
47 apresenta os resultados para a saída dos modelos e o erro em cada ponto.
FIGURA 47: Resultado do processo de validação usando os modelos obtidos na identificação no domínio do tempo
10-2
10-1
100
101
102
-40
-30
-20
-10
0
10
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
Real
OE
SK
VF
LM
10-2
10-1
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
0 5 10 15 20 25 30 35-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Saída dos modelos estimados
0 5 10 15 20 25 30 35-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06Erro encontrado
Real
SK
VF
LM
66
A TABELA 6 apresenta o valor RMS dos erros encontrados na saída de cada
modelo em comparação à saída do sistema. Como já era esperado devido a análise
da resposta em frequência, o modelo obtido por OE apresenta o maior dos erros. O
valor encontrado em todos os modelos no domínio da frequência é o mesmo já que
a função de transferência de cada um deles era idêntica.
TABELA 6: Valor dos erros RMS obtidos por validação
4.2.2 Análise do Sistema
O conjunto de dados referente ao sistema foi submetido aos mesmos
testes anteriores.
A FIGURA 48 ilustra a evolução do erro conforme variação na ordem da
estrutura utilizada.
FIGURA 48: Evolução do erro conforme variação na ordem da estrutura utilizada
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-15
10-10
10-5
100
Erro acumulado MAGNITUDE
Ordem da estrutura
Valo
r do e
rro a
bsolu
to
OE
SK
LM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-10
10-5
100
105
Erro acumulado FASE
Ordem da estrutura
Valo
r do e
rro a
bsolu
to
Output-Error (OE)
Levy (SK)
Vector Fitting (VF)
Levenberg-Marquardt (LM)
67
Pode-se observar que tanto o OE quanto LM não apresentaram uma variação
do erro como aconteceu nos testes anteriores.
Observando a evolução da estrutura na identificação no domínio do tempo
(FIGURA 49) com mais detalhes, observa-se que o modelo obtido comtempla
apenas um grupo de pólos da função de transferência do sistema . Novamente
este fato pode ter acontecido devido ao período de amostragem utilizado ou também
devido ao pobre espectro de frequência do sinal de excitação para coleta de dados
no domínio do tempo.
FIGURA 49: Evolução dos modelos obtidos conforme variação na ordem da estrutura usando o método de OE
Esta última afirmação pode ser confirmada no diagrama de distribuição de
frequência do sinal usado na estimação do sistema. A FIGURA 50 foi construída a
partir da transformada rápida de Fourier, e mostra que a maior parte do espectro de
frequência situa-se na região do único pólo identificado no método OE.
101
102
103
104
105
106
107
-150
-100
-50
0
50
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
real
Or = 5
Or = 6
Or = 7
Or = 8
Or = 9
Or = 10
101
102
103
104
105
106
107
-1500
-1000
-500
0
500
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
68
FIGURA 50: Distribuição de frequência obtida após a aplicada da FFT no sinal usado na excitação do sistema para obtenção dos dados no domínio do tempo.
Pela análise da FIGURA 48, observa-se que os dois métodos de identificação
no domínio da frequência, SK e VF, apresentaram variações grandes quando a
ordem do sistema foi igual a 7. O que sugere que a ordem do sistema seja igual a 7,
ou que pelo menos o números de pólos do sistema seja este (VF).
Fixando o número de pólos em 7 e fazendo variar o número de zeros da
estrutura usada em SK obtemos o gráfico apresentado na FIGURA 51. Que nos
mostra que o erro foi menor no ponto em que o numerador do modelo tinha ordem 6.
Dessa forma os modelos obtidos pelos métodos de VF com 7 pólos e SK com
numerador de ordem 6 e denominador de ordem 7 foram:
,
,
Que se diferem apenas pelo coeficiente do termo em no numerador.
103
104
105
106
107
0
10
20
30
40
50
60
70
80Bode Plot
Frequency (Hz)
Am
plit
ude
69
FIGURA 51: Evolução do erro obtido pelo método de SK fixando-se a ordem do denominador da estrutura.
As respostas em frequência dos modelos obtidos encontram-se na FIGURA
52. Pode-se observar que os dois modelos apresentam bons resultados, que podem
ser comprovados quantitativamente pela análise do erro entre magnitude e fase do
sistema na TABELA 7.
O método de SK apresentou o maior dos erros com relação a fase do
modelo obtido.
FIGURA 52: Resposta em frequência dos modelos obtidos para o sistema .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-8
10-6
10-4
10-2
100
Erro acumulado MAGNITUDE usando SK
Ordem da estrutura
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
-1
100
101
102
Erro acumulado FASE usando SK
Ordem da estrutura
Va
lor
do
err
o a
bso
luto
101
102
103
104
105
106
107
-150
-100
-50
0
Ma
gn
itu
de
(d
B)
Resposta em frequência
Real
SK
VF
101
102
103
104
105
106
107
-100
-50
0
50
100
Ph
ase
(d
eg
)
Frequency (rad/s)
70
TABELA 7: Valor dos erros RMS da magnitude e fase dos modelos.
Os modelos e
foram submetidos a um teste de validação e os
resultados obtidos juntamente com uma apresentação gráfica da variação do erro
estão apresentados na FIGURA 53.
FIGURA 53: Resultado do processo de validação usando os modelos obtidos por SK e VF
TABELA 8: Valor dos erros RMS obtidos para o teste de validação
4.2.3 Discussão de resultados
Os testes descritos anteriormente propunham a identificação de sistemas de
natureza não conhecida, a principal dificuldade encontrada nesse tipo de análise,
uma vez que os dados para identificação já tinham sido obtidos, era a escolhida da
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10-4
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Saída dos modelos estimados
Real
SK
VF
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10-4
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04Erro encontrado
SK
VF
Magnitude Fase
Levy (SK)
Vector Fitting (VF)
Levy (SK)
Vector Fitting (VF)
71
estrutura a ser utilizada. Previamente na análise dos sistemas e construiu-se
um procedimento usando diferentes estruturas para o processo de escolha da ordem
do modelo. Este procedimento forneceu bons modelos para os sistemas e .
Pode-se perceber a influência do sinal usado na excitação do sistema para
obtenção dos dados no domínio do tempo. Verificou-se que o sinal utilizado no
sistema , era formado por valores de frequências elevada, resultando dessa forma
num modelo que só era válido para essa faixa de frequência.
O método de identificação LM apresentou resultados ruins devido a
dificuldade e a necessidade de bons valores iniciais quando da tentativa de
identificação do sistema .
72
5 CONCLUSÃO
Neste documento, foram apresentados resultados do projeto de conclusão
de curso relativo a comparação de métodos de identificação de sistemas no domínio
do tempo e no domínio da frequência. Estudou-se o comportamento de alguns
métodos de identificação de sistemas quando na tentativa de modelagem de alguns
sistemas de dinâmica conhecida e não conhecida e procurou-se verificar o
comportamento destes quando surgem alterações nos valores dos dados usados no
processo de identificação.
Percebeu-se que os modelos obtidos nos dois tipos de identificação
fornecem bons resultados quando a ordem do sistema é conhecida e um número
elevado de amostras é utilizado. Esta qualidade dos modelos foi verificada por um
processo de validação no qual um baixo valor de erro RMS foi medido entre saída
do modelo e saída do sistema.
Em situações que se utilizavam de um pequeno número de amostras, ou o
sinal de excitação para coleta de dados não possui um espectro de frequência muito
rico, a identificação no domínio da frequência apresentou modelos mais precisos.
Sendo que dentre os métodos utilizados a modelagem utilizando frações parciais
(VF) apresentou-se uma ótima ferramenta para uso quando a ordem do sistema é
desconhecida.
Os métodos iterativos no domínio da frequência que se utilizavam de
estruturas convencionais apresentaram algumas falhas em situações distintas. O SK
apresentou alguns problemas de mau condicionamento da matriz de estimação em
situações sem um padrão aparente. O método de otimização (LM) não forneceu
bons modelos quando a função de transferência do sistema a ser estimado tinha
coeficientes de valores muito elevados, devido a dificuldade na escolha dos
parâmetros iniciais necessários para funcionamento do método.
73
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Guimarães. 2. ed. Porto Alegre : Bookman,2007.
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Simulation of Dynamical Systems. 1. ed. Florida : CRC PRESS,1994
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2007.
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Não Lineares Aplicadas a Sistemas Reais. 2. ed. Belo Horizonte: UFMG, 2000
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River: Pretince Hall PTR, 1987.
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River: Pretince Hall,1994
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Systems: An Introduction with applications, 1. Ed. London: Springer, 2010
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identificação para levantamento de modelos a partir de dados de resposta
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Control, Vol. AC-4, pp.37-44, Mai. 1959.
74
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Levy’s method (Part 1), IEEE Instrumentation & Measurement, vol. 12, no. 6,
pp. 40–43, Dec. 2009.
[12] SANATHANAN, C. K.; KOERNER J.,Transfer Function as a Ratio of Two
Complex Polynomials. IEEE Transactions on automatic control, Vol. 8,p. 56-
58, Jan. 1963.
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Application to Wide Frequency Range Modeling of Transformers, IEEE
Transactions on Power Delivery, Vol. 8, No. 3, pp. 1627-1637, Jul. 1993.
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responses by vector fitting, IEEE Transactions Power Delivery, vol. 14, no. 3,
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IEEE Trans. Power Delivery, Vol. 21, No. 3, pp. 1587-1592, Jul. 2006
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curve-fitting problems, Department of Civil and Environmental Engineering, Duke
University: Abr. 2011.
[17] HNOCKAERT L., FERRANTI F., DHAENE T., Vector fitting vs Levenberg-
marquardt; some experiments, IEEE Signal Propagation on Interconnects,
2009. SPI '09. IEEE Workshop on, pp 1-4, Jun. 2009
[18] RANGANATHAN A., The Levenberg-Marquardt Algorithm, Jun. 2004
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University of Denmark, pp. 60, Abr. 2004