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Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)
http://www-lacan.upc.edu
CEROS DE FUNCIONES
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Diseño de un colector solar
Diseño óptimo de un colector solar plano para obtener la máxima eficiencia energética con el mínimo coste posible
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Existe una distancia óptima entre los conductos del colector que se obtiene resolviendo la ecuación
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Deep Penetrating Anchor El DPA (Deep Penetrating Anchor) es un sistema de
anclaje que permite fijar estructuras flotantes al fondo marino a grandes profundidades.
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Para determinar el ángulo de incidencia de la fuerza transmitida a la pluma metálica que ejerce el ancla, hay que resolver la ecuación no lineal
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7
Diseño chimenea de equilibrio con vertedero
Esquema de una central hidroeléctrica
Oscilaciones de nivel en la chimenea
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8
Chimenea de equilibrio con vertedero
Idea: • La altura de la chimenea es menor • A cambio, se vierte un cierto caudal de agua
¿Cuál es la cota máxima de agua en la chimenea?
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9
Chimenea simple (sin vertedero)
Fórmula de Prasil
Cota inicial
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10
Chimenea simple (sin vertedero)
El flujo de agua se detiene para la cota máxima:
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Chimenea con vertedero
Caudal evacuado por el vertedero
Para la cota máxima, el caudal que circula por la galería de presión coincide con el caudal vertido:
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12
Chimenea con vertedero
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MÉTODOS ITERATIVOS PARA CEROS DE FUNCIONES
Problema a resolver: 1 ecuación con 1 incógnita
Notación: solución analítica cero/raíz de f, no conocida en general, puede haber varias
Esquema iterativo: Dada una aproximación inicial x0, se calcula una sucesión de aproximaciones
x0, x1, x2, x3... hasta obtener un valor xk suficientemente bueno (similar a α).
13
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CEROS DE FUNCIONES · 14
Método de la bisección Idea Utilizando el teorema de Bolzano, determinar un intervalo (tan pequeño como se quiera) que contenga la solución
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CEROS DE FUNCIONES · 15
Algoritmo del método de la bisección
Inicialización 1. Contador de iteraciones k = 0 2. Aproximaciones iniciales x0, a tales que f(x0)f(a) < 0 Iteración k 3. Calcular el punto medio del intervalo xk+1 = (xk+a)/2 4. Evaluar la función en la nueva aproximación 5. Si xk+1 es suficientemente buena Parar
• Si no Actualización Actualización 6. Si f(xk+1)f(xk) < 0 a = xk
7. k = k+1 8. Volver a 3
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CEROS DE FUNCIONES · 16
Propiedades del método de la bisección
Requisitos f continua aproximaciones iniciales x0 y a tales que f(x0)f(a) < 0
Características convergencia lineal robusto (si se verifican los requisitos, podemos asegurar
que el algoritmo converge)
Inconvenientes lentitud no se tienen en cuenta las características de la función f
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CEROS DE FUNCIONES · 17
Método de Newton
Idea: Aproximar la función por la recta tangente (Taylor de primer orden) e imponer que la siguiente aproximación sea solución de la ecuación
Escribiremos
y entonces
Imponiendo que xk+1 sea solución se obtiene
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CEROS DE FUNCIONES · 18
Interpretación gráfica del método de Newton
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CEROS DE FUNCIONES · 19
Algoritmo del método de Newton
Inicialización 1. Contador de iteraciones k = 0 2. Aproximaciones iniciales x0 Iteración k 3. Evaluar la función f en el punto xk 4. Evaluar la derivada de la función en el punto xk 5. xk+1= xk - f(xk) / f ’ (xk) 6. Si xk+1 es suficientemente buena Parar Si no k = k+1 Volver a 3
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CEROS DE FUNCIONES · 20
Propiedades del método de Newton
Requisitos f tiene que ser derivable la derivada de f tienen que ser siempre diferente de cero
Características convergencia cuadrática (si la aproximación inicial es
suficientemente buena y la derivada está bien calculada) método caro: en cada iteración se evalúa la función y su
derivada
Inconvenientes coste por iteración elevado es necesario calcular la derivada de la función
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CEROS DE FUNCIONES · 21
Método de la secante Idea: Utilizar el esquema del método de Newton aproximando la derivada de la función por la pendiente de la recta que pasa por las dos aproximaciones anteriores
En cada iteración, se calcula la aproximación como
El incremento es
donde sk es la pendiente de la recta que pasa per xk y xk-1
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CEROS DE FUNCIONES · 22
Interpretación gráfica del método de la secante
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CEROS DE FUNCIONES · 23
Algoritmo del método de la secante
Inicialización 1. Contador de iteraciones k = 0 2. Aproximaciones iniciales x0, x1 Iteración k 3. Evaluar la función f en el punto xk 4. Calcular la aproximación de la derivada
5. xk+1= xk - f(xk) / sk 6. Si xk+1 es suficientemente buena Parar
Si no k = k+1 Volver a 3
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CEROS DE FUNCIONES · 24
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Una sucesión {xk} converge a α si
Dividiendo por α :
Diremos que una aproximación xk es suficientemente buena si
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En la práctica, supondremos que y utilizaremos como criterio de convergencia
Para tener en cuenta el caso α=0 se utiliza el siguiente criterio ampliado
En algunos casos se puede verificar este criterio aun estando lejos de la solución del problema. Para evitarlo, basta tener en cuenta que si es convergente entonces
Por esto, es conveniente utilizar un criterio complementario
CEROS DE FUNCIONES · 25
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CEROS DE FUNCIONES · 26
y
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CEROS DE FUNCIONES · 27
Controles de convergencia:
y
Métodos iterativos para resolver F(z) = 0
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28
¿Tienen los métodos siempre el mismo comportamiento?
¿Cómo se puede medir lo rápido que es un método?
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ANÁLISIS DE LA CONVERGENCIA
Análisis de la convergencia de un método: • Consistencia • Convergencia (orden, velocidad)
Consideramos esquemas iterativos de la forma: iteración funcional
Las propiedades dependen de la función de iteración y de la raíz α que se analice.
29
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Ejemplo
Método de Newton
Función de iteración
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31
Consistencia y convergencia
Dado un esquema iterativo y una raíz
1. Consistencia: se dice que el esquema es consistente si y sólo si es un punto fijo de
3. Convergencia:
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32
Convergencia
Convergencia lineal (orden 1)
Convergencia de orden p>1
(convergencia cuadrática para p=2)
Convergencia superlineal
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33
Velocidad de convergencia para esquemas lineales
Esquema iterativo con convergencia lineal
Iteración k-ésima con ≠ 0
Pregunta: ¿cuántas iteraciones ν más hay que hacer para conseguir m cifras correctas más?
¿ν tal que ?
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Por lo tanto, basta con
donde velocidad de convergencia
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35
Análisis de la convergencia
Objetivo: estudiar la convergencia y el orden de convergencia de un esquema iterativo consistente para el cálculo de una raíz
Si
Asintóticamente (cerca de la raíz)
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36
Si convergencia lineal con
Si no convergente
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Si
Si y convergencia de orden p
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Ejemplo convergencia del método de Newton
La convergencia es cuadrática cerca de la raíz
Conv. cuadrática
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Aproximación inicial: 4
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Análisis de la convergencia (2)
Factor asintótico de convergencia
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Métodos híbridos
Idea
Combinar:
• La robustez del método de la bisección para acercarse a la raíz
• La velocidad de los métodos de Newton o secante (o similares) cerca de la raíz
1. Método híbrido bisección-secante:
Si el paso con método de la secante es muy grande,
se recurre a la bisección
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Métodos híbridos
2. Método de Brent (función fzero de Matlab)
Combinación de:
• Bisección
• Interpolación cuadrática inversa:
Tres puntos [a,f(a)], [b,f(b)], [c,f(c)]
Ajuste de función cuadrática inversa (x función cuadrática de y)
se toma su valor en y=0 como siguiente x
Ref.: Numerical recipes (bibliografía asignatura)
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