Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)

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CEROS DE FUNCIONES

Diseño de un colector solar

Diseño óptimo de un colector solar plano para obtener la máxima eficiencia energética con el mínimo coste posible

  Existe una distancia óptima entre los conductos del colector que se obtiene resolviendo la ecuación

Deep Penetrating Anchor   El DPA (Deep Penetrating Anchor) es un sistema de

anclaje que permite fijar estructuras flotantes al fondo marino a grandes profundidades.

  Para determinar el ángulo de incidencia de la fuerza transmitida a la pluma metálica que ejerce el ancla, hay que resolver la ecuación no lineal

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Diseño chimenea de equilibrio con vertedero

Esquema de una central hidroeléctrica

Oscilaciones de nivel en la chimenea

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Chimenea de equilibrio con vertedero

Idea: •  La altura de la chimenea es menor •  A cambio, se vierte un cierto caudal de agua

¿Cuál es la cota máxima de agua en la chimenea?

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Chimenea simple (sin vertedero)

Fórmula de Prasil

Cota inicial

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Chimenea simple (sin vertedero)

El flujo de agua se detiene para la cota máxima:

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Chimenea con vertedero

Caudal evacuado por el vertedero

Para la cota máxima, el caudal que circula por la galería de presión coincide con el caudal vertido:

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Chimenea con vertedero

MÉTODOS ITERATIVOS PARA CEROS DE FUNCIONES

  Problema a resolver: 1 ecuación con 1 incógnita

  Notación: solución analítica cero/raíz de f, no conocida en general, puede haber varias

  Esquema iterativo: Dada una aproximación inicial x0, se calcula una sucesión de aproximaciones

x0, x1, x2, x3... hasta obtener un valor xk suficientemente bueno (similar a α).

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Método de la bisección Idea Utilizando el teorema de Bolzano, determinar un intervalo (tan pequeño como se quiera) que contenga la solución

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Algoritmo del método de la bisección

Inicialización 1.  Contador de iteraciones k = 0 2.  Aproximaciones iniciales x0, a tales que f(x0)f(a) < 0 Iteración k 3.  Calcular el punto medio del intervalo xk+1 = (xk+a)/2 4.  Evaluar la función en la nueva aproximación 5.  Si xk+1 es suficientemente buena Parar

•  Si no Actualización Actualización 6.  Si f(xk+1)f(xk) < 0 a = xk

7.  k = k+1 8.  Volver a 3

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Propiedades del método de la bisección

Requisitos   f continua   aproximaciones iniciales x0 y a tales que f(x0)f(a) < 0

Características   convergencia lineal   robusto (si se verifican los requisitos, podemos asegurar

que el algoritmo converge)

Inconvenientes   lentitud   no se tienen en cuenta las características de la función f

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Método de Newton

Idea: Aproximar la función por la recta tangente (Taylor de primer orden) e imponer que la siguiente aproximación sea solución de la ecuación

Escribiremos

y entonces

Imponiendo que xk+1 sea solución se obtiene

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Interpretación gráfica del método de Newton

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Algoritmo del método de Newton

Inicialización 1.  Contador de iteraciones k = 0 2.  Aproximaciones iniciales x0 Iteración k 3.  Evaluar la función f en el punto xk 4.  Evaluar la derivada de la función en el punto xk 5.  xk+1= xk - f(xk) / f ’ (xk) 6. Si xk+1 es suficientemente buena Parar Si no k = k+1 Volver a 3

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Propiedades del método de Newton

Requisitos   f tiene que ser derivable   la derivada de f tienen que ser siempre diferente de cero

Características   convergencia cuadrática (si la aproximación inicial es

suficientemente buena y la derivada está bien calculada)   método caro: en cada iteración se evalúa la función y su

derivada

Inconvenientes   coste por iteración elevado   es necesario calcular la derivada de la función

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Método de la secante Idea: Utilizar el esquema del método de Newton aproximando la derivada de la función por la pendiente de la recta que pasa por las dos aproximaciones anteriores

En cada iteración, se calcula la aproximación como

El incremento es

donde sk es la pendiente de la recta que pasa per xk y xk-1

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Interpretación gráfica del método de la secante

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Algoritmo del método de la secante

Inicialización 1.  Contador de iteraciones k = 0 2.  Aproximaciones iniciales x0, x1 Iteración k 3.  Evaluar la función f en el punto xk 4.  Calcular la aproximación de la derivada

5.  xk+1= xk - f(xk) / sk 6. Si xk+1 es suficientemente buena Parar

Si no k = k+1 Volver a 3

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CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Una sucesión {xk} converge a α si

Dividiendo por α :

Diremos que una aproximación xk es suficientemente buena si

  En la práctica, supondremos que y utilizaremos como criterio de convergencia

Para tener en cuenta el caso α=0 se utiliza el siguiente criterio ampliado

  En algunos casos se puede verificar este criterio aun estando lejos de la solución del problema. Para evitarlo, basta tener en cuenta que si es convergente entonces

Por esto, es conveniente utilizar un criterio complementario

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y

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Controles de convergencia:

y

Métodos iterativos para resolver F(z) = 0

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¿Tienen los métodos siempre el mismo comportamiento?

¿Cómo se puede medir lo rápido que es un método?

ANÁLISIS DE LA CONVERGENCIA

  Análisis de la convergencia de un método: •  Consistencia •  Convergencia (orden, velocidad)

  Consideramos esquemas iterativos de la forma: iteración funcional

Las propiedades dependen de la función de iteración y de la raíz α que se analice.

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Ejemplo

  Método de Newton

  Función de iteración

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Consistencia y convergencia

Dado un esquema iterativo y una raíz

1.  Consistencia: se dice que el esquema es consistente si y sólo si es un punto fijo de

3.  Convergencia:

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Convergencia

  Convergencia lineal (orden 1)

  Convergencia de orden p>1

(convergencia cuadrática para p=2)

  Convergencia superlineal

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Velocidad de convergencia para esquemas lineales

  Esquema iterativo con convergencia lineal

  Iteración k-ésima con ≠ 0

  Pregunta: ¿cuántas iteraciones ν más hay que hacer para conseguir m cifras correctas más?

¿ν tal que ?

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  Por lo tanto, basta con

donde velocidad de convergencia

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Análisis de la convergencia

Objetivo: estudiar la convergencia y el orden de convergencia de un esquema iterativo consistente para el cálculo de una raíz

  Si

Asintóticamente (cerca de la raíz)

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Si convergencia lineal con

Si no convergente

  Si

Si y convergencia de orden p

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Ejemplo convergencia del método de Newton

La convergencia es cuadrática cerca de la raíz

Conv. cuadrática

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Aproximación inicial: 4

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Análisis de la convergencia (2)

Factor asintótico de convergencia

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Métodos híbridos

Idea

Combinar:

•  La robustez del método de la bisección para acercarse a la raíz

•  La velocidad de los métodos de Newton o secante (o similares) cerca de la raíz

1.  Método híbrido bisección-secante:

Si el paso con método de la secante es muy grande,

se recurre a la bisección

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Métodos híbridos

2.  Método de Brent (función fzero de Matlab)

Combinación de:

•  Bisección

•  Interpolación cuadrática inversa:

  Tres puntos [a,f(a)], [b,f(b)], [c,f(c)]

  Ajuste de función cuadrática inversa (x función cuadrática de y)

  se toma su valor en y=0 como siguiente x

Ref.: Numerical recipes (bibliografía asignatura)

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