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第四章 控制系統穩定性分析
4-1 穩定性定義
a. 時域定義:
若且唯若一線性系統稱為穩定,則對任一有限輸入均產生一有限輸出。此
穩定性的定義係基於系統研究之起因-效應或輸入-輸出之觀點。為闡示此定義,
下兩圖表示外加脈衝函數且產生響應之系統,上圖兩者(輸入與輸出)均為有限,
故此系統稱為穩定。而下圖有相同的有限脈衝函數外加至系統,但響應為無限,
故此系統為不穩定。
b. s 域定義:
通常系統整體轉移函數如下:
qn,a...sasas
b...sbs)s(M
n
2n
1
1n
0
n
q
1q
1
q
上式可以部份分式展開法分解成下列的形式:
n
n
2
2
1
1
s
k...
s
k,
s
k)s(M
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其中 ,i
為特性方程式( 0a...sasn
1n
0
n )的根,由反拉氏轉換得
t
n
t
2
t
1
1n21 ek...ekek)t(m
顯然,M(s)的穩定性與 m(t)的限度有關,且 m(t)與i
的正負號有關。通常i
為複
變數,若其實部均小於零,則響應將立刻消滅。故顯示一有限輸出的系統,是屬
於穩定的系統。例如:
t6
n
t)5j2(
3
t)5j2(
2
t
11ekekekek)t(m
t2
d
t)8j2(
c
t)8j2(
b
t
a2ekekekek)t(m
m1(t)係一穩定響應,故 M1(s)為穩定系統。然而 m2(t)有一i
具有正實部,則當 t
達到無窮時,響應成為無限,因此 M2(s)為不穩定系統。因此,於線性系統中,
穩定性的研究變成特性方程式的根的正負號研究。以圖形而言,確定是否所有的
特性根均位於 s 平面的左半面。
4-2 系統穩定性的判斷方法:
判斷系統的穩定性的方法一般是:在無外力作用下,系統內部由初始狀態隨
時間自然的變化的情況來定義,或者說系統由平衡點作微小的偏移後(可利用外
部脈衝),系統是否會再回到平衡點來判斷。
平衡點的的定義:在無外力干擾下,系統的狀態不隨時間改變,該點稱為系統的
平衡點。
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我們說一個系統是穩定的,代表此系統能趨於一個不變的狀態,或者說它對外界
的干擾具抵抗性,即外界的干擾不影響其最終的結果,如下圖所示。
4-3 微分方程式的穩定性
我們知道在解微分方程式的過程中,微分方程式的特性方程式的根決定了
系統響應的模態。因此,也決定了系統的穩定性,如下表所示。
80
下圖則為複數平面上不同根位置的動態特性,其說明了系統穩定性外,也表現出
系統的性能。
零輸入下不同特徵根位置之初始狀態變化情形
81
同樣地,系統經拉氏轉換後,系統的模態則變由轉移函
數中特徵方程式的根來決定,因此我們可以得到以下結論:
若系統特徵方程式的根,其實部都為負的,或說當根都
在複數平面的左半面時,則稱此系統為穩定系統。若系統特
徵方程式存在至少一個具正實部的根,則系統為不穩定系
統。若系統特徵方程式的根除了穩定根之外,存在至少一個
根其實部為零,則稱此系統為臨界穩定系統。
例:判斷具下列特徵方程式之系統的穩定性?
(a) s3 + 2s
2 + s + 2 = 0
(b) s5 + s
4 + 3s
3 + 7s
2 + 4s = 0
(c) 2s3 + 5s
2 + 8s + 3 = 0
(d) 2s4 + 9s
3 + 16s
2 + 14s + 4 = 0
解:
(a) 由觀察法直接分解可得
s3 + 2s
2 + s + 2 = s
2 (s+2)+ s + 2 = (s
2 +1)( s + 2)
= (s+2)(s+j)(s-j)
故特徵方程式的根為 1 個負根與 2 個虛軸上的根,因此系
統為臨界穩定。
(b) P(s) = s5 + s
4 + 3s
3 + 7s
2 + 4s = s(s
4 + s
3 + 3s
2 + 7s + 4)
= s(s+1)2(s
2 -s+4) = s(s+1)
2[s-(1+ 15 j)/2][s-(1- 15 j)/2]
故特徵方程式的根為 2 個負根、2 個正根與 1 個位於原點,
因此系統為不穩定。
(c) P(s) = 2s3 + 5s
2 + 8s + 3 = (2s+1)( s
2 +2s+3)
= (2s+1)(s+1+ 2 j)(s+1- 2 j)
故特徵方程式的根均為負實部的根,因此系統為穩定。
(d) P(s)=2s4 + 9s
3 + 16s
2 + 14s + 4 = (2s+1)(s+2)(s+1- 3 j)
(s+1+ 3 j)
故特徵方程式的根均為負實部的根,因此系統為穩定。
82
4-4 穩定性判斷法
判斷系統的穩定性,大致有下面的方法:
(1) 直接法:直接解出特性方程式的根,但對於高階系統
不見得好解,至於時變及非線性系統更有困難。
(2) 間接法:線性非時變系統可利用羅斯準則(Routh
criterion)判斷,不解出系統的根,但可判斷出系統的
絕對穩定性及相對穩定性,其他尚有系統以狀態空間
描述時 Lyapunov 法及非線性系統的 Popov 法則。
(3) 設計法:這裡包括根軌跡法、奈圭斯特準則及波德
圖法。這些方法除了用於系統的分析與控制器的設計
外,亦常拿來作為閉迴路系統穩定性或穩定裕度的判
斷工具
本節針對羅斯準則討論,考慮系統轉移函數之分母或系
統特徵方程式如下:
ansn +an-1 s
n-1 +…+a1s + a0 = 0
我們知道方程式的係數是所有根規則的組合,因此系統
特徵根均為負的必要條件為所有的係數均同號且不缺
項。滿足上述必要條件後,即可以羅斯法加以判斷。
將系統特徵方程式排成羅斯表(Routh table)
83
若計算後羅斯表第一行的值都為正值,則系統特徵根均為負
根,若有負值則符號改變次數即為正根數目。
例 1:判斷下列特徵方程式的穩定性
s4 + 5s
3 + 10s
2 + 10s + 4 =0
s4 1 10 4
s3 5 10
s2 (50-10)/5=8 4
s (80-20)/8= 15/2
s0 4
因羅斯表第一行的值都為正值,故系統特徵根均為負
根,即系統是穩定的。
例 2:判斷下列特徵方程式的穩定性
s4 + 2s
3 + s
2 + 4s + 4 =0
解:
s4 1 1 4
s3 2 4
s2 (2-4)/2=-1 8/2=4
s (-4-8)/(-1)= 12
s0 4
因羅斯表第一行有兩次正負變化,故系統有 2 特徵根為正
根,即系統是不穩定的。
84
例3 求滿足下圖中系統的特徵方程式及穩定的 K 值範圍?
+
-
解:
G
系統的整體轉移函數為 GC(s) =
1+GH
其中 H=1,G=K/[(s+1)( s2+2s-1)],代入上式可得
閉迴路系統特徵方程式為
s3 +3 s
2 +s +(K-1) =0
排出羅斯表
s3 1 1
s2 3 K-1
s (4-K)/3
s0 K-1
滿足系統穩定的條件為 4-K﹥0 且 K-1﹥0,
因此有 1﹤K﹤4。
羅斯表之應用除可判斷系統穩定性之外,尚由於其簡單
易解,可大量節省計算時間。當系統有不穩定時,其可利用
於系統組件參數異常之判斷。當應用於上述例題之控制器設
計時,其亦可大幅降低補償器修改與調整之測詴時間。
1
(s+1)(s2+2s-1)
K
85
4-5 羅斯準則之特殊情況
當進行羅斯準則測詴時,依所測詴的方程式常會發生以
下困難:
1.表中任何一列的第一個元素為零而其他元素卻不等於零。
2.表中有一列全部為零。
第一種情況,如果某一列第一位置出現零,則在下一列
的元素將全部變成無窮大,於是羅斯表就中斷了。這種情況
可以任意小的正數ε代替羅斯表中的零元素,然後繼續進行
測詴,用以下例題來加以說明。
例 4:判斷下列特徵方程式的穩定性
s4 + s
3 + 2s
2 + 2s + 3 =0
s4 1 2 3
s3 1 2
s2 0 3
s ∞
因 s2列的第一元素為零,造成 s 列的元素為∞,用一個小正
數ε取代 s2列內的零元素,可得
s2 ε 3
s (2ε-3)/ε 0
s0 3
因為假設ε為很小正數,所以(2ε-3)/ε趨近於-3/ε,是一負
數,故第一行有兩次符號改變,所以有兩根在右半 s 平面內。
86
第二種情況:有一列元素全為零時,依以下步驟建羅
斯表:
1. 利用零列的前一列係數構成輔助方程式 A(s)=0。
2. 對輔助方程式取 s 的微分,即求 dA(s)/ds=0。
3. 用 dA(s)/ds=0 的係數取代零列。
4. 用一般方法繼續完成羅斯表。
5. 判斷第一行係數的符號改變。
輔助方程式的根也是原方程式的根,且其為一個偶次多項
式,即多項式內只出現 s 的偶次項。
例 5:判斷下列特徵方程式的穩定性
s5 + 4s
4 + 8s
3+ 8s
2 + 7s + 4 =0
s5 1 8 7
s4 4 8 4
s3 6 6 0
s2 4 4
s 0 0
由於 s 列的所有元素為零,故用 s2列的係數構成輔助方程式
A(s) = 4s2 + 4 = 0
將 A(s)對 s 微分得 dA(s)/ds = 8s
用 8 和 0 取代原 s 列係數
s 8 0
s0 4
由於第一行無符號改變,故無右半 s 平面內的根,解輔助方
程式可得兩個根為±j,其同時為原式的根,所以系統為臨界
穩定。
87
4-6 控制系統的相對穩定性
用羅斯準則確認穩定性的方式,只對穩定性的問題提供
部份的答案,藉由檢查特性方程式的根是否落在 s 平面右半
面,羅斯準則可確認系統的絕對穩定度,如果系統滿足羅斯
準則而且是絕對穩定,就有必要決定相對穩定性,也就是說
必須研究特性方程式各個根的相對阻尼。
系統的相對穩定性定義為各個根或共軛根對的相對實
部來衡量的性質,如 P.87 圖 3-5 中,愈靠左邊的根,其離虛
軸愈遠,則其相對穩定性愈好。系統的相對穩定性也可用複
數根對的相對阻尼系數ζ來定義,如此一來則是以響應速度
和超越量取代安定時間,來描述相對穩定度,此將於下一章
詳細探討之。
因為系統的相對穩定性,是以特性方程式根的位置來表
示,所以可在 s 平面上,將羅斯準則加以引申使用,以確定
相對穩定性,也就是移動 s 平面上的座標軸,以便使用羅斯
準則,靠這種方法不用解出特性方程式的根,即可決定主要
根的實部。移動 s 平面軸以確定系統的相對穩定性,是非常
有用的方法,特別是對擁有多個閉回路複數共軛根對的高階
系統更是如此。
由於數位電腦的高速發展,利用套裝軟體 MATLAB 計
算特性方程式的根,是一極為簡易且精確的方法,當特性方
程式為單一參數的函數時,對參數的改變,可產生一圖形來
展現極點的移動軌跡,稱為根軌跡圖,根軌跡對設計和分析
回授控制系統來說,是強而有力的工具,將於下節討論,吾
人將討論如何用手繪方式求得一根軌跡圖的實用技巧,也將
討論如何用電腦來產生根軌跡圖,並在設計程序中說明根軌
跡的效果。
88
4-7 根軌跡技巧
在設計控制系統時,必須先研究當系統的一個或多個參
數在某一已知範圍內變化時,對該系統的工作性能的影響。
因為特性方程式在線性系統的動態性能裡扮演著重要的角
色,所以在線性控制系統的理論裡,研究當系統的某一參數
變化,特性方程式根的軌跡或簡稱為根軌跡,是個重要的問
題。事實上,在上一章的例題中已經顯示出根軌跡在研究線
性控制系統時的重要性。
通常單一可變參數根軌跡的問題可用下列形式的方程
式來定義
F(s) = sn + a1s
n-1 +…..+ an-1s
+ an
+K(sm
+ b1sm-1
+….+bm-1s+ bm)=0
其中 K 是參數,可在-∞和∞之間變化,係數 a1,…,an,b1 ,…,
bm-1,bm假設為固定的。
雖然上式中當 K 在-∞和∞之間變化時,稱為根軌跡,
但仍須做下列之定義:
1. 根軌跡:在 K 為正值時的部份,即 0≦K<∞。
2. 互補根軌跡:在 K 為負值時的部份,即-∞≦K<0。
3. 根廓線(root contours):當一個以上的參數變化時的軌跡。
根軌跡與互補根軌跡的結合稱為完全根軌跡。
4-7-1 根軌跡的基本條件
若將上式等號兩邊同除以不包含 K 的項可得
011
1
1
1
1
1
nn
nn
mm
mm
asa...sas
)bsb...sbs(K
89
由前式獲得上式的步驟在許多其他的分析和設計的情
況裡是很有用的,由於缺乏一個較適當的名字,我們將特性
方程式等號兩邊同除以一個不含K之項的過程稱為黃金法則
(Golden Rule)。
因為我們的興趣主要是在控制系統,所以考慮前式為線
性控制系統的特性方程式,而線性控制系統的閉迴路轉移函
數為
)s(H)s(G
)s(G
)s(R
)s(C
1
設 1+G(s)H(s)為零,就可獲得特性方程式,或者特性方程式
的根必須滿足
1+G(s)H(s) = 0
比較第二式與上式可看出下列的關係是成立的:
nn
nn
mm
mm
asa...sas
)bsb...sbs(K)s(H)s(G
1
1
1
1
1
1
其中 G(s)H(s)為控制系統的迴路轉移函數,現在可以定義一
完全根軌跡為:在 s 平面上當 K 在-∞和∞之間變化時,令
G(s)H(s) = K G1(s)H1(s)
其中 G1(s)H1(s)不再包括可變參數 K,則式可寫成
K)s(H)s(G
111
為了滿足這個方程式,必須同時滿足下列的條件:
90
其中 K=0, ±1,…..(所有的整數)。實際上,完全根軌跡是由
在 s 平面上滿足上式中之相角方程式的所有點組成的,然後
以上式中增益方程式求出沿著軌跡的 K 值。
根軌跡的構成根本上是畫圖的問題,雖然有些作圖的規
則是以解析的方式得到。藉著根軌跡性質的幫助,使得根軌
跡圖的實際作圖工作,在大多數的情況下並不是複雜得難以
克服,正常情況下靠著分析者的一些經驗,根軌跡可藉著作
圖規則而畫出。若事先不知道 G(s)H(s)的極點和零點,則必
須要使用數位計算機的程式或解析的方法來畫根軌跡圖,在
應用任何工程器械或數值方法之前,都必須對基本原理有徹
底的了解,方能成功的應用。
4-7-2 完全根軌跡的作圖規則
下列的作圖規則是由 G(s)H(s)的極點和零點間的關係發
展而來,這些規則只用來幫助根軌跡和互補根軌跡的作圖,
而不能提供確實的圖形。G(s)H(s)的極點和零點可表示如下
式:
K
1
)ps)...(ps)(ps(
)zs)...(zs)(zs(
a...sas
b...sbs)s(H)s(G
n21
m21
n
1n
1
n
m
1m
1
m
11
91
92
93
4-7-3 使用 MATLAB 繪製根軌跡圖
以 MATLAB 獲得根軌跡圖的步驟如下:
1.獲得如式(6-4)及式(6-5)之形式的特性方程式,其中 K 是變
化的參數。
2.使用 rlocus 函數來產生根軌跡圖。
3.執行 rlocfind 函數會在根軌跡圖上出現一交叉線的符號,可
以移動此交叉線,到軌跡上有興趣的位置,並敲下輸入鍵,
參數 K 的值及所選擇點的值會顯示在指令視窗內。