3.5 线性系统的稳定性分析
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3.5 线性系统的稳定性分析. 3.5.1 稳定的概念和线性系统稳定的充要条件. 如果系统受到有界扰动,不论扰动引起的初始偏差有多大,当扰动取消后,系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态,则这种系统称为 大范围稳定的系统 ;如果系统受到有界扰动,只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时,系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态,否则就不能恢复到初始平衡状态,则称为 小范围稳定的系统 。. 对于稳定的线性系统,它必然在大范围内和小范围内都能稳定,只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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3.5 线性系统的稳定性分析
3.5.13.5.1 稳定的概念和线性系统稳定的充要条件 稳定的概念和线性系统稳定的充要条件
如果系统受到有界扰动,不论扰动引起的初始偏差有多大,当扰动取消后,系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态,则这种系统称为大范围稳定的大范围稳定的系统系统;如果系统受到有界扰动,只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时,系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态,否则就不能恢复到初始平衡状态,则称为小范围稳定的系统小范围稳定的系统。
2
3
对于稳定的线性系统,它必然在大范围内和小范围内都能稳定,只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。
4
线性控制系统稳定性稳定性的定义如下:若线性控制系统在初始扰动 (t) 的影响下,其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零,则称系统为稳定。反之,则为不稳定。 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性,而与输入信号无关。 根据定义输入 (t) ,其输出为脉冲过渡函数 g(t) 。如果当 t→∞ 时, g(t) 收敛到原来的平衡点,即有
0)(lim
tgt
那么,线性系统是稳定的。
5
q
i
r
kkdk
tk
tpi tteBeAtg kki )0( )sin()(
011
1
011
1
)(
)()(
asasasa
bsbsbsb
sD
sMs n
nn
n
mm
mm
线性系统稳定的充要条件是线性系统稳定的充要条件是:闭环系统特征方程的所有根都具有负实部,或者说,闭环传递函数的极点均位于 s 左半平面(不包括虚轴)。 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性,必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根,则立即可如果能解出全部根,则立即可判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。然而对于高阶系统,求根的工作量很大,常常希望使用一种直接判断根是否全在 s左半平面的代替方法,下面就介绍劳斯代数稳定判据。
不失一般性,设 n 阶系统的闭环传递函数为
6
3.5.23.5.2 线性系统的代数稳定判据 线性系统的代数稳定判据 首先给出系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件:设线性系统的闭环特征方程为
0)()(1
012
21
10
n
iinn
nnn ssaasasasasasD
式中, a0 >0 , si ( i =1,2 , , n )是系统的 n 个闭环极点。根据代数方程的基本理论,下列关系式成立:
0
2
11
0
1
1
a
ass
a
as
n
jiji
ji
n
ii
01
)1(a
as nn
n
ii
7
从上式可以导出,系统特征根都具有负实部的必要条件为:
ai aj > 0 ( i, j =1,2, , n)
即闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件,系统必然非渐近稳定。但满足上式,还不能确定一定是稳定的,因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。 1. 劳斯判据 系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是::该方程式的全部系数为正,且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的;劳斯表中第一列元素符号改变的次数,等于相应特征方程式位于右半 s 平面上根的个数。
8
1,11,1
1,21,2
1,1
1
jii
jii
iij cc
cc
cc
表中: 1)最左一列元素按 s 的幂次排列,由高到低,只起标识作用,不参与计算。2)第一,二行元素,直接用特征方程式的元素填入。3)从第三行起各元素,是根据前二行的元素计算得到。
a0 0 a2 a4 …
a1 1 a3 a5 …
c11 c2 c3 …
┋…
cn (an)
sn
sn−1
sn−2
┋s1
s0
( i 3, j = 1, 2, )
9
2. 劳斯判据的应用 ( 1 )判断系统的稳定性 例 3-5 设有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 =
0 试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。
解:劳斯表
第一列元素 符号改变了 2 次,∴系统不稳定,且 s 右半平面有 2 个根。
s4
s3
s2
s1
s0
1 3 5
2 4
6
1 5
5
10
例 3-6 系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0
试用劳斯判据确定正实数根的个数。解:系统的劳斯表为
第一种特殊情况第一种特殊情况:劳斯表中某行的第一列元素为零,而其余各项不为零,或不全为零。对此情况,可作如下处理:
s3
s2
s1
s0
1 3
0 2
∞
① 用一个很小的正数 ε 来代替第一列为零的项,从而使劳斯表继续下去。② 可用因子( s+a )乘以原特征方程,其中 a 可为任意正数,再对新的特征方程应用劳斯判据。
11
32
1b
∵ε→0+ 时, b1< 0 ,劳斯表中第一列元素符号改变了两次
∴ 系统有两个正根,不稳定。
( s+3 )乘以原特征方程,得新的特征方程为: D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0
s3
s2
s1
s0
1 3
0(ε) 2
2
s4
s3
s2
s1
s0
1 3 6
3 7
2/3 6
20
6
12
例 3-7 设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0
试用劳斯判据判断系统稳定性。解 : 该系统的劳斯表如下
第二种特殊情况第二种特殊情况:劳斯表中某行元素全为零。此时,特征方程中存在对原点对称的根(实根,共轭虚根或共轭复数根)。对此情况,可作如下处理:
s4
s3
s2
s1
s0
1 3 2
1 1
2 2
0 0
13
由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次,∴系统有两个正根,系统不稳定。关于对原点对称的根,可解辅助方程求出。得 s1=1 和 s2= 1 。 对本例题,可用长除法求出另二个根,分别为 s3=
1 和 s4= 2 。
用全为零上一行的系数构成一个辅助方程,对辅助方程求导,用所得方程的系数代替全零行,继续劳斯表。
s4
s3
s2
s1
s0
1 3 2
1 1
2 2
4
2
F(s) = 2s2+ 2
F(s)= 4s
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( 2 )分析参数变化对稳定性的影响
例 3-8 已知系统结构图如下,试确定使系统稳定时 K的取值范围。
解:系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0
要使系统稳定,劳斯表中第一列元素均大于零。
0< K < 6
s3
s2
s1
s0
1 2
3 K
(6 K)/3
K
s(s+1)(s+2)
R(s)
C(s) K﹣+
15
( 3 )确定系统的相对稳定性
例 3-9 检验多项式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0
是否有根在 s 右半平面,并检验有几个根在垂直线 s =
1 的右边?解: 1) 劳斯表中第一列元素均
为正
∴系统在 s 右半平面没有根,系统是稳定的。
2) 令 s = s1 1 坐标平移,得新特征方程为
2 s13 + 4 s1
2 s1 1 = 0
s3
s2
s1
s0
2 13
10 4
12.2
4
16
劳斯表中第一列元素不全为正,且第一列元素符号改变了一次,故系统在 s1 右半平面有一个根。因此,系统在垂直线 s = 1 的右边有一个根。
s13
s12
s11
s10
2 1
4 1
0.5
1
2 s13 + 4 s1
2 s1 1 = 0
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3.6 稳态误差的定义及一般计算公式3.6.13.6.1 误差的基本概念 误差的基本概念
1. 误差的定义 误差的定义有两种: ① 从系统输入端定义,
它等于系统的输入信号与主反馈信号之差,即
E(s)=R(s) B(s)
② 从系统输出端定义,它定义为系统输出量的实际值与希望值之差。(性能指标中经常使用) 对于单位反馈系统,两种定义是一致的。 2. 两种定义的关系
G(s)R(s) C(s
)﹣+
H(s)
E(s)
B(s)
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由图可知, R' (s) 表示等效单位反馈系统的输入信号,也就是输出的希望值。因而, E' (s) 是从输出端定义的非单位控制系统的误差。
E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s)
)()()(
1)()()( sCsR
sHsCsRsE
由此可见,从系统输入端定义的稳态误差,可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。
G(s)H(s)R(s) C(s)
1H(s)
E'(s)R'(s)
﹣+
)()(
1)]()()([
)(
1sE
sHsCsHsR
sH
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3. 稳态误差 ess
定义: )(lim)(lim0s
ssEteet
ss 终值定理
例 3-10 设单位反馈控制系统的开环传函为 试求当输入信号分别为 r(t) = t2/2 , r(t) = 1(t) , r(t) = t , r(t) = sinωt 时,控制系统的稳态误差。 解:
TssG
1)(
Ts
s
TssGs
sR
sEe /1/11
1
)(1
1)(
)(
)(
(1) 当 r(t) = t2/2 R(s) =1/s3
解法一:
终值定理的条件
3
1
/1)(
sTs
ssE
sTs
ssEess
ss
1
/1
1lim)(lim
00
20
解法二:Ts
T
s
T
s
T
sTs
ssE
/1
1
/1)(
22
23
e(t) = T(t- T) + T2 e - t/T
)(lim)( teee sst
ssss
(2) 当 r(t) = 1(t) R(s) =1/s
sTs
ssR
sGsE
1
/1)(
)(1
1)(
0)(lim0
ssEes
ss
(3) 当 r(t) = t R(s) =1/s2
2
1
/1)(
sTs
ssE
TsTs
ssEse
ssss
1
/1lim)(lim
00
21
221)(
ss
ssE
T
222222122 1
1
1
sc
s
s
T
T
sT
T
T
tT
Tt
T
Te
T
Tte T
t
sin1
cos11
)( 22
22
2222
)sin(cos1
)( 22 tTtT
Ttess
0)( sse
)sin(1 22
t
T
TT
tg
11
(4) 当 r(t) = sinωt R(s) = ω/(s2 + ω2)
终值定理的条件不成立!
22
3.6.2 3.6.2 控制系统的类型控制系统的类型
不失一般性,开环传函可写为:
N = 0 称为 0 型系统;N = 1 称为Ⅰ型系统;N = 2 称为Ⅱ型系统。等等
在一般情况下,系统误差的拉氏变换为:
)()(1
1)()()( sR
sGsRssE
ke
)()1(
)1(
)(
)()( 0
1
1 sGs
K
sT
s
s
K
sN
sMsG NNn
ii
m
jj
Nk
23
3.6.3 给定信号作用下的稳态误差分析1. 阶跃输入作用下的稳态误差
)()(lim1
11
)()(1
1lim
00 sHsGssHsG
ses
sss
令 )()(lim0
sHsGKs
p 系统的静态位置误差系数
pss K
e
1
1
容许位置误差容许位置误差希望输出的位置
ss
ssp e
eK
1
0 型系统: Kp = K ess = 1/ (1+ K)
Ⅰ型及Ⅰ型以上系统: Kp = ∞ ess = 0
24
2. 单位斜坡输入作用下的稳态误差
)()(lim
11
)()(1
1lim
0
20 sHssGssHsGse
ss
ss
令 100lim)()(lim
Nssv s
KsHssGK 静态速度误差系数
vss K
e1
容许的位置误差希望的输出速度
ss
v eK
1
0 型系统: Kv = 0 ess = ∞
Ⅰ型系统: Kv = K ess = 1/ K
Ⅱ型及Ⅱ型以上系统: Kv = ∞ ess = 0
25
3. 加速度输入作用下的稳态误差
)()(lim
11
)()(1
1lim 2
0
30 sHsGsssHsGse
ss
ss
令20
2
0lim)()(lim
Nssa s
KsHsGsK 静态加速度误差系数
ass K
e1
容许位置误差希望输出的加速度
ss
a eK
1
0 型系统: Ka = 0 ess = ∞
Ⅰ型系统: Ka = 0 ess = ∞
Ⅱ型系统: Ka = K ess = 1/ K
Ⅲ型及Ⅲ型以上系统: Ka = ∞ ess = 0
26
阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差
r(t)=t2/2r(t)=tr(t)=1(t)静态误差系数
系统
型别
ess=1/Ka ess=1/Kv ess=1/(1+ Kp ) Kp Kv KaN
∞∞1/(1+ K ) K 0 00
∞
1/K 00 ∞ ∞ K2
1/K 0 ∞ K 01
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例 3-11 已知两个系统如图所示,当参考输入r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ,试分别求出两个系统的稳态误差。
解:图( a ),Ⅰ型系统
Kp = ∞, Kv =10/4 , Ka =
0
avp
ss KKKe
66
1
41
图( b ),Ⅱ型系统
Kp = ∞, Kv = ∞ , Ka = 10/4
4.24/10
66
1
42
sse
10s(s+4)
R(s) C(s)
E(s)
( a )
﹣+10(s+1) s2(s+4)
R(s) C(s)
E(s)
( b )
﹣+
28
3.6.4 3.6.4 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差
所有的控制系统除承受输入信号作用外,还经常处于各种扰动作用之下。因此,系统在扰动作用下的稳态误差数值,反映了系统的抗干扰能力。
计算系统在扰动作用下的稳态误差,同样可以采用拉氏变换终值定理。 例 3-12 控制系统如图
G1(s)R(s) C(s
)﹣+
H(s)
E(s)G2(s)
N(s)
++
29
H(s) =1 , G1(s)=K1 , G2(s)=K2 / s(Ts+1)
试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。
解:( 1 )单位阶跃给定作用下的稳态误差 :
系统是Ⅰ型系统: Kp = ∞ ess = 0
( 2 )单位阶跃扰动作用下的稳态误差 :
系统误差为
sKKsTs
KsN
TssKK
TssK
sEn
1)(
)1(2
1
)1()(
212
2
1
2
30
系统结构稳定,且满足终值定理的使用条件。扰动单独作用时稳态误差为
10
/1)(lim KssEe ns
ssn
( 3 )根据线性系统的叠加原理,系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为
1/1 Keee ssnssrss
31
结束,谢谢欣赏结束,谢谢欣赏