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CablesCables
CablesCables Los cables flexibles y las cadenas se usan parasoportar y transmitir cargas entre miembros.
En los puentes en suspensión, estos llevan la mayorparte de las cargas.
En el análisis de fuerzas, el peso de los cables sedeprecia al ser muy pequeño comparado con lascargas.
Consideraremos dos casos: cables sujetos a cargasconcentradas y a cargas distribuidas
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CablesCables Asumamos que el cable es perfectamente flexible y nose extiende
Debido a su flexibilidad, los cables no ofrecenresistencia a flexión y por esto, la fuerza tensora queactúa en el cable es siempre tangente a los puntos a lolargo de su longitud.
Al no extenderse, la longitud permanece constanteantes y después de la carga, se puede considerar comoun cuerpo rígido.
Cables With Concentrated Loads
Cables With Concentrated Loads
• Para el análisis se asume:a) Cargas concentradas verticales en
líneas verticales dadas,b) El peso del cable es despreciable,c) cable es flexible, i.e., resistencia a
flexión es pequeña, d) porciones del cable entre cargas
sucesivas se puede tratar como elementos sometidos a dos fuerzas
• Se desea determinar la forma del cable, i.e., la distancia vertical desde el apoyo A a cada punto de carga.
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CablesCables
Cables Sujetos a Cargas Concentradas
Para un cable con peso despreciable que soporta varias cargas concentradas, el cable toma la forma de varios segmentos de líneas rectas, cada uno sujeto a una fuerza de tensión constante.
CablesCables
Cables Sujetos a Cargas Concentradas
Conocidas: h, L1, L2, L3 y las cargas P1 y P2
Formar 2 ecuaciones de equilibrio en cada punto A, B, C y D
Si se tiene la longitud total L, usar Pitágoras para relacionar las tres longitudes del segmento.
Si no, especificar una de las deflectadas, yC y yD, y de la respuesta, determine la otra deflectada y entonces la longitud total L
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7‐ 7
Cables con Cargas Concentradas Cables con Cargas Concentradas • Considerar el cable completo como un cuerpo libre. Las pendientes del cable en A y B no se conocen – se requieren dos reacciones en cada apoyo.
• Cuatro desconocidas y tres ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las reacciones.
• For other points on cable,
2 02
ydaMC yxyx TTFF , da 0,0
• constantcos xx ATT
• La ecuación adicional se obtiene al considerar equilibrio en la porción de cable AD y asumiendo que las coordenadas del punto Den el cable se conocen. La ecuación adicional es: .0 DM
CablesCables
EjemploDetermine la tensión en cada segmento del cable.
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CablesCables
SoluciónDCL para el cable completo
CablesCables
Solución
kNE
EkNkNkNkN
F
kNA
mknmkNmkNmAM
EA
F
y
y
y
y
yE
xx
x
10
0315412
;0
12
0)2(3)10(15)15(4)18(;0
0
;0
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CablesCables
Solución
Considere la sección a la extrema izquierda que corta el cable BC con el colgante conocido yC = 12m
CablesCables
Solución
kNT
TkNkN
F
kNT
F
kNEA
mkNmkNmAM
BCBC
BCBC
y
BCBC
x
xx
xC
2.10,6.51
0sin412
;0
033.6cos
;0
33.6
0)5(4)8(12)12(;0
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CablesCables
SoluciónConsidere los puntos A, C y E,
CablesCables
SoluciónPunto A
kNT
kNT
F
kNT
F
AB
AB
ABAB
y
ABAB
x
6.13
2.62
012sin
;0
033.6cos
;0
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CablesCables
SoluciónPunto C
kNT
kNkNT
F
kNT
F
CD
CD
CDCD
y
CDCD
x
44.9
9.47
0156.51sin2.10sin
;0
06.51cos2.10cos
;0
CablesCables
SoluciónPunto E
kNT
TkN
F
TkN
F
ED
ED
EDED
y
EDED
x
8.11
7.57
0sin10
;0
0cos33.6
;0
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CablesCables
Solución Por comparación, la tensión máxima en el cable esta
en el segmento AB dado que este segmento tiene la mayor pendiente.
Para cualquier segmento a la izquierda, el componente horizontal Tcosθ = Ax
Dado que los ángulos de la pendiente que el segmento del cable tiene con la horizontal se pueden calcular, las colgantes yB y yD se pueden determinar usando trigonometría
CablesCables
Cable Sujeto a una Carga Distribuida Considere un cable con peso despreciable
sujeto a una carga con función w = w(x) medida en la dirección x.
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Cable Sujeto a Carga DistribuidaCable Sujeto a Carga Distribuida
• Para un cable que lleva una carga distribuida:a) El cable cuelga con la forma de una curvab) La fuerza interna es una fuerza de tensión dirigida
a lo largo de la tangente a la curva.
DCL del cable con longitud ∆
Cable Sujeto a Carga DistribuidaCable Sujeto a Carga Distribuida
0<k<1
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Dado que la fuerza de tensión en el cable cambia continuamente en magnitud y dirección a lo largo de la longitud, este cambio se denota en el DCL como ∆T
La carga distribuida se representa por su fuerza resultante w(x)(∆x) que actúa a una distancia fraccional k(∆x) desde el punto O donde o < k < 1
Cable Sujeto a Carga DistribuidaCable Sujeto a Carga Distribuida
0sincos)())((
;0
0)sin()())((sin
;0
0)cos()(cos
;0
xTyTxkxxw
M
TTxxwT
F
TTT
F
O
y
x
Cable Sujeto a Carga DistribuidaCable Sujeto a Carga Distribuida
Aplicando Equilibrio:
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Dividimos por ∆x y tomamos el limite, x0, y de allí y0, 0, T0:
Integrando,FH= componente horizontal fuerza de tensión en
cualquier punto a lo largo del cable.
HFtT
dx
dy
xwdx
Tddx
Td
tancoscos
tan
0)()sin(
0)cos(
Cable Sujeto a Carga DistribuidaCable Sujeto a Carga Distribuida
Integrando,
Eliminando T,
Segunda integración,
dxdxxwF
y
dxxwFdx
dy
dxxwT
H
H
)(1
)(1
tan
)(sin
Cable Sujeto a Carga DistribuidaCable Sujeto a Carga Distribuida
Ecuación para determinar la curva del cable y=f(x). La componente FH y las constantes C1, C2 se hallan con las condiciones de borde.
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CablesCablesEjemplo
El cable de un puente suspendido soporta la mitad de lacarga uniforme entre dos columnas en A y B. Si la cargadistribuida es wo, determine la fuerza máxima desarrolladaen el cable y la longitud requerida del cable. Se conocen laseparación L y la colgante h.
CablesCablesEjemplo
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CablesCables
SoluciónNote w(x) = wo
Desarrollar dos integraciones
Condiciones de borde en x = 0
0/,0,0
21
1
21
2
dxdyxy
CxCxw
Fy
dxdxwF
y
o
H
oH
CablesCablesSoluciónPor esto,
La curva se convierte en:
Esta es la ecuación de una parábola
Condición de borde en x = L/2hy
xF
wy
CC
H
o
2
21
2
0
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CablesCablesSoluciónLa constante FH se puede obtener tomando las condiciones de frontera y=h en x=L/2,
Tensión, T = FH/cosθ
La máxima tensión ocurre en el punto B para 0 ≤ θ ≤ π/2
22
2
48
xL
hy
h
LwF oH
CablesCablesSoluciónLa pendiente en el punto B
O
Por esto
Usando una relación triangular
2
4
)cos(
2tan
tan
222
max
maxmax
1max
2/max
2/
LwFT
FT
FLw
Fw
dxdy
oH
H
H
o
LxH
o
Lx
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CablesCablesSolución
Para un segmento diferencial del cable de longitud ds
Determine la longitud total integrando
La integración queda:
Lh
hL
LhL
dxxL
hds
dxdxdy
dydxds
hLLw
T
L
o
4sinh
44
12
812
1
41
2
12
2/
0
2
2
222
2
max
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
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Pórticos Pórticos
Marcos: Estructura compuesta de
varios miembros conectadospor pasadores (pines) o bienson rígidos en sus extremos.
Frecuentemente se necesitadibujar diagramas de cortantey momento para diseñarlos.
Fuerzas Internas Positivas Actuando en un Pórtico
Fuerzas Internas Positivas Actuando en un Pórtico
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Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Procedimiento para el Análisis:
Determinar las reacciones en losapoyos, si es posible.
Determine las reacciones en losapoyos A, V y M en los extremosde los miembros usando el métodode las secciones.
Construir diagramas de V y M.
Dibujaremos el diagrama demomentos en el lado de compresióndel miembro
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Ejemplo: Dibujar los diagramas de V y M para elpórtico mostrado.
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Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Primero: Encontrar el mayor numero dereacciones externas que sea posible.
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Segundo: Cortar el marco en sus miembros yencontrar las reacciones internas.
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Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Tercero: Resolver las ecuaciones de equilibriopara cada miembro. Comencemos en el miembroAB.
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Siguiente: Resolver las ecuaciones de equilibriopara el miembro CD.
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Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Ahora: Dibujar los diagramas de M y V (recordardibujar el diagrama en el lado de compresión delmiembro).
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Punto de Inflexión: Ubicación del momento ceropara estructuras mecánicamente cargadas.
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Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante por Superposición
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante por Superposición
Si la viga o marco son linealmente elásticos,podemos usar los principios de superposiciónpara construir los diagramas de V y M.
Cada una de las cargas sobre la viga se puedetratar de forma separada y el diagrama de Mpuede construirse en una serie de partes y no enuna sola parte, algunas veces compleja.
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante por Superposición
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante por Superposición
La mayor parte de las cargas en vigas se formade la combinación de las siguientes cargas:
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Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante por Superposición
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante por Superposición
La mayor parte de las cargas en vigas se formade la combinación de las siguientes cargas:
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Ejemplo: Dibujar los diagramas de V y M para laviga usando superposición.
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Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Los diagramas de V usando superposición.
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Pórticos
Los diagramas de M usando superposición.
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Funciones de DiscontinuidadFunciones de Discontinuidad
Para manejar discontinuidades en las curvas de V(x) yM(x) introducimos una familia de funciones llamadasfunciones de singularidad.
Permiten la formulación de una función discontinuamediante una expresión simple y no mediante unaserie de expresiones (una para cada región donde lafunción es diferente).
La función es discontinua… Tienen diferentes valoresen diversas regiones de la variable independiente
Funciones de DiscontinuidadFunciones de Discontinuidad
Funciones de Macaulay:
Representan cantidades que “empiezan” en algún puntoparticular sobre el eje x (como el punto x=a) y que tienenvalor cero a la izquierda de este.
Ej:
x es la variable independiente y a es el valor de x donde“empieza” la función.
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Funciones de DiscontinuidadFunciones de Discontinuidad
En términos generales definimos la función por lassiguientes expresiones:
n= 0,1,2,3,…
“Si la cantidad x‐a incluida en los paréntesis angulares esnegativa o cero, la función de Macaulay tiene valor cero;si la función x‐a es positiva o cero, la función tiene elvalor obtenido al sustituir los paréntesis angulares porparéntesis curvos”.
Funciones de DiscontinuidadFunciones de Discontinuidad
Cuando n=0, la función toma alguno de los valores:
Esta función tiene un “salto” vertical en el punto dediscontinuidad x=a, se llama función escalón.
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Funciones de DiscontinuidadFunciones de Discontinuidad
Operaciones como suma, resta y multiplicación por una constante.
Una función y con diferentes expresiones algebraicas para diferentesregiones a lo largo de x puede escribirse como una función simple confunciones Macaulay.
Pueden diferenciarse
e integrarse
La función impulsounitaria también se llamafunción delta Dirac
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Funciones de SingularidadFunciones de Singularidad
Definidas por las expresiones:
n= ‐1, ‐2, ‐3, …
Definidas para valores enteros negativos de n, mientras quelas de Macaulay lo están para enteros positivos y cero.
Tienen valor cero en cualquier punto excepto en x=a.
Se presentan singularidades cuando n=entero negativo y x=a lafuncion se vuelve infinita.
Funciones de SingularidadFunciones de Singularidad
Definidas por las expresiones:
n= ‐1, ‐2, ‐3, …
Definidas para valores enteros negativos de n, mientras quelas de Macaulay lo están para enteros positivos y cero.
Tienen valor cero en cualquier punto excepto en x=a.
Se presentan singularidades cuando n=entero negativo y x=a lafuncion se vuelve infinita.
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Funciones de SingularidadFunciones de Singularidad
La índole de las singularidades depende del valor de n.
Las mas importantes son:
La función doblete unitaria (n=‐2): dos flechas de extensióninfinita, infinitesimalmente cercanas, que pueden visualizarsecomo fuerzas, se representa con una flecha curva (momentounitario o dipolo).
La función impulso unitaria (n=‐1): también infinita en x=a,flecha sencilla, fuerza unitaria
Representación de Cargas con funciones de discontinuidad:
Únicamente se requiere multiplicar las funciones dadas (funciones unitarias) por las intensidades de carga apropiadas para obtener representaciones matemáticas de las cargas.
En cargas complicadas se pueden superpones casos elementales.